Matematik 7 Ders NotuSUNUfi De¤erli ö¤renciler, bu ders notu s›ras›yla fonksiyonlar, limit...
112
Ders Notu T . C . M ‹ L L Î E ⁄ ‹ T ‹ M B A K A N L I ⁄ I AÇIK Ö⁄RET‹M OKULLARI (AÇIK Ö⁄RET‹M L‹SES‹ - MESLEK‹ AÇIK Ö⁄RET‹M L‹SES‹) Haz›rlayan Ayhan ÖZDEM‹R Matematik 7 A N K A R A 2 0 1 4
Transcript of Matematik 7 Ders NotuSUNUfi De¤erli ö¤renciler, bu ders notu s›ras›yla fonksiyonlar, limit...
Ders Notu
T.C.M‹LLÎ E⁄‹T‹M BAKANLI⁄IAÇIK Ö⁄RET‹M OKULLARI
(AÇIK Ö⁄RET‹M L‹SES‹ - MESLEK‹ AÇIK Ö⁄RET‹M L‹SES‹)
Haz›rlayan
Ayhan ÖZDEM‹R
Matematik 7
ANKARA 2014
Copyright MEB
Her hakk› sakl›d›r ve Millî E¤itim Bakanl›¤›na aittir. Tümü ya da bölümleri izin
al›nmadan hiçbir flekilde ço¤alt›lamaz, bas›lamaz ve da¤›t›lamaz.
Resimleyen : Hatice DEM‹RER
Ozan AKORAL
Bülent DURSUN
Grafik Tasar›m : Süleyman B‹LG‹N
Dizgi : Nazmi KEP‹R
Havva ÖZKAN
Münevver KARABACAK
SUNU
“E¤itim” kavram› yaflam boyu süren çok önemli bir etkinliktir. E¤itim süreci ilk
ça¤lardan beri sürekli olarak geliflim göstermektedir. Teknolojinin geliflim gösterme-
siyle birlikte, yeni bilgi ve iletiflim teknolojileri e¤itim sürecinde h›zla kullan›lmaya
bafllanm›flt›r.
Günümüzde pek çok problemin çözümünde e¤itimin etkin bir flekilde kullan›lmas›
gereklidir. Pek çok çaba ve çözümün içinde, biliflim teknolojisi geleneksel araçlar
aras›ndan s›yr›larak öne ç›kmaktad›r. Öne ç›kan bu teknolojiyle birlikte geliflen ve öne-
mini giderek art›ran yöntemlerden birisi de yer, zaman ve yafl s›n›rlamas› olmayan
uzaktan e¤itimdir.
“Uzaktan e¤itim” yolu ile e¤itim görmekte oldu¤unuz Aç›kö¤retim Lisesi’nde, Genel
Müdürlük olarak sizlere sundu¤umuz hizmetlerden birisi de ders notu mahiyetindeki
kitaplar›m›zd›r. Uzaktan e¤itim ilkelerine uygun olarak haz›rlanan bu ders materyali
lise müfredat programlar›na uygun olarak haz›rlanmaktad›r. Haz›rlanan bu ders not-
lar›m›z, müfredat programlar›nda meydana gelen de¤iflikliklere paralel olarak yenilen-
mekte ve güncellefltirilmektedir.
Bu ders notundan yararlanacak olan ö¤rencilerimize baflar›lar diliyor, ders notlar›n›n
haz›rlanmas›nda eme¤i geçen tüm Genel Müdürlü¤ümüz çal›flanlar›na teflekkür ediyo-
rum.
SUNUfi
De¤erli ö¤renciler, bu ders notu s›ras›yla fonksiyonlar, limit ve süreklilik konular›n›içermektedir.
Matematik bilgi birikimine dayal› bir dersdir. Konular› ö¤renmek için ön koflul, lise 1ve lise 2 konular›n› iyi kavramakt›r.
Ders notlar›n› haz›rlarken, bir çok örne¤e yer verdim. Bu örneklere çal›flarak baflar›l›olaca¤›n›za inan›yorum. Ayr›ca bu konular, ileride üniversite okurken karfl›n›zaç›kaca¤›n› unutmay›n›z.
De¤erli ö¤renciler önekleri çal›fl›rken titizlikle kendinize neden niçin sorular›n›sorunuz ve tam ö¤renmeden baflka örne¤e ya da konuya geçmeyiniz.
Bu ders notunda;
Karfl›s›nda verilen tan›mlar›
Karfl›s›nda verilen uyar›lar›
Karfl›s›nda verilen yaz›lar› dikkatlice okuyunuz.
Ayr›ca konu ya da bölüm sonunda verilen özetleri okuyunuz.
➯
FONKS‹YONLAR
Fonksiyonlarla ‹lgili Temel Kavramlar
Eflit Fonksiyonlar
Fonksiyon Türleri
Birim Fonksiyon
Sabit Fonksiyon
Fonksiyonlar›n Bileflkesi
Bir Fonksiyonun Tersi
Fonksiyonlarda ‹fllemler
Fonksiyonlar›n Tan›m ve De¤er Kümelerini Bulmak
Tek ve Çift Fonksiyonlar
Fonksiyon Grafikleri
Ters Fonksiyonlar›n Grafikleri
Parçal› Fonksiyonlar›n Grafikleri
Mutlak De¤er Fonksiyonu ve Mutlak De¤er Fonksiyon Grafikleri
‹flaret Fonksiyonu ve ‹flaret Fonksiyonu Grafikleri
Tam k›s›m Fonksiyonu ve Tam k›s›m Fonksiyon Grafikleri
Örnekler
ÜN‹TE I
2
☞ BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIfiMALIYIZ?
* Bu bölüme bafllamadan önce lise 1 de gösterilen fonksiyon konusunu yeniden gözdengeçiriniz.
* Tan›mlar› iyice okuyunuz.
* Bölüm içindeki örnek ve çözümleri inceleyerek bölüm sonundaki de¤erlendirme sorular›n› çözmeniz yarar›n›za olacakt›r.
Bu bölümü çal›flt›¤›n›zda, * Fonksiyonlar›n tan›m›n› kavrayacak, bir ifadenin fonksiyon olup olmad›¤›n› belirtecek,* Eflit fonksiyonu kavrayacak,* Fonksiyon türlerini kavray›p, fonksiyonun hangi tür fonksiyon oldu¤unu söyleyecek,* Birim fonksiyonu kavrayacak,* Sabit ve s›f›r fonksiyonu kavrayacak ve üzerinde ifllem yapmay› ö¤renecek,* Fonksiyon bilefliklerini kavray›p, bileflke fonksiyon sorular›n› çözmeyi ö¤renecek,* Fonksiyonlarda ifllemleri kavrayacak, üzerinde ifllem yapmay› ö¤renecek,* Fonksiyonun tan›m ve de¤er kümelerini bulmay› ö¤renecek,* Tek ve çift fonksiyonlar› tan›y›p, bir fonksiyonun tek ya da çift fonksiyon oldu¤unu
söyleyecek,* Fonksiyon grafiklerini çizebilecek,* Ters fonksiyon grafiklerini çizebilecek,* Parçal› fonksiyon grafiklerini çizebilecek,* Mutlak de¤er fonksiyonunu tan›yacak ve mutlak de¤er fonksiyon grafiklerini çizecek,
* ‹flaret fonksiyonunu tan›yacak ve iflaret fonksiyonu grafiklerini çizmeyi ö¤renecek,
* Tam k›s›m fonksiyonu tan›yacak ve tamk›s›m fonkosiyon grafiklerini çizmeyi ö¤reneceksiniz.
BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI
☞
☞ ☞MATEMAT‹K 7
FONKS‹YONLAR
1.1. FONKS‹YONLARLA ‹LG‹L‹ TEMEL KAVRAMLAR
1. A ≠ , B ≠ olacak.
2. A kümesinin bir eleman› B kümesinde birden fazla eleman ile eflleflmeyecek.
3. A kümesinde (tan›m kümesinde) aç›kta eleman kalmayacak. (De¤er kümesinde
aç›kta eleman kalabilir.)
E¤er f: A B fleklinde tan›mlanan bir ba¤›nt› (1), (2) ve (3) koflullar›n› sa¤l›yorsa bu
ba¤›nt›ya A dan B ye tan›mlanan fonksiyon denir. O hâlde afla¤›daki ba¤›nt›lar›n
fonksiyon olup olmad›klar›n› görmek mümkün olacakt›r.
3
h: fonksiyon de¤ilÇünkü A’daki 1 eleman›
B de hem a ya hem de b ye efllenmifl
g: fonksiyon de¤ilÇünkü tan›m kümesindeki
3 aç›kta kald›.
f: fonksiyon
MATEMAT‹K 7
Yandaki flekilde,
A kümesine, f fonksiyonunun tan›m kümesi
B kümesine, f fonksiyonunun de¤er kümesi
f(A) kümesine de, f fonksiyonu alt›nda
A kümesinin görüntü kümesi denir.
Bir f fonksiyonunun belli olmas› için, f fonksiyonunun tan›m kümesinin, de¤erkümesinin ve de¤iflken ile görüntü aras›ndaki ba¤›nt›s›n›n (fonksiyon kural›n›nverilmesi gerekir.
Yani, fonksiyon ya
Örnek: A={-1,0,1} ve B={1,3,5,7} kümeleri verilsin. f:A B olmak üzere, f(x)=2x+3 fleklinde tan›mlans›n.
a) f fonksiyonun tan›m kümesi A={-1,0,1}dir.
b) f fonksiyonun de¤er kümesi B= {1,3,5,7}dir.
c) f fonksiyonun görüntü kümesi, verilen kuralda x yerine A kümesinin elemanlar›yaz›larak bulunacakt›r.
f(x)= 2x+3 kural›nda
x = -1 için f(-1) = 2. (-1) + 3 = 1
x = 0 için f(0) = 2. (0) + 3 = 3
x = 1 için f(1) = 2. (1) + 3 = 5 dir.
Buradan f(A)={1,3,5} olur.
Bir ba¤›nt›n›n grafi¤inden fonksiyon olup olmad›¤›n› anlamak için y eksenine paralel do¤rular çizdi¤imizi
düflünelim. .(x=a do¤rular›) Bu do¤ru grafi¤i en fazla bir noktada kesiyorsa, grafik bir fonksiyon
grafi¤idir.
4
➯
f: A B x y= f(x) ile
ya da f : (x,y) = x A, y B ve y= f (x)
biçiminde, ikililer kümesi olarak belirtilir.
MATEMAT‹K 7
Örnek
Efi‹T FONKS‹YONLAR
5
x= a do¤rusu grafi¤i en fazla bir noktada kesiyor. Grafik bir fonksiyona aittir.
x=a do¤rusu grafi¤i farkl› ikinoktada kesiyor. Fonksiyon
de¤ildir.
f= A B ve g: A B fonksiyonlar›nda, x A için f(x) = g(x) ise, f, g fonksiyonlar›na
birbirine eflit fonksiyonlar denir. f fonksiyonu ile g fonksiyonunun birbirine eflitli¤i
f = g yaz›larak belirtilir.
x=a do¤rusu grafi¤i farkl› iki
noktada kesiyor. Grafik
fonksiyona ait de¤ildir.
Örnek: A= -1,0,1 , B= 1,2f: A B , x y = f (x) = x2 +1g: A B, x y = g (x) = -x +1 fonksiyonlar› veriliyor.f= g dir. Gerçekten,
MATEMAT‹K 7
Dikkat edilirse f (-1) = g(-1)
f(0) = g(0)
f(1) = g(1) oldu¤u görülür.
O hâlde f= g
FONKS‹YON TÜRLER‹
1. Bire bir Fonksiyon
Örnek
Örnek:
6
f(-1)=(1)2 +1= 2 g(-1)= -1 +1=2
f(-0)= (0)2+1=1 g (0) = 0 +1=1
f(1)=(1)2+1=2 g(1)=1 +1=2
( x A için)
f : A B , x y= f (x) fonksiyonunda
( x1, x2 A ve x1 x2) iken f (x1) f (x2)
ise f fonksiyonuna, bire bir fonksiyon denir.
f= A B , A= -1,0,1 B= 0,1,2
f (x) = x2 fonksiyonu 1: 1 de¤ildir. Çünkü
f (-1) = (-1)2 = 1 yani, -1 1 iken f (-1) = f (1) oldu¤undan
f (1) = (1)2 = 1 bire bir de¤ildir.
f bire bir dir.
MATEMAT‹K 7
2. Örten fonksiyon
f:A B, f(A) = B ise f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Yani, A n›n
elemanlar›n›n f alt›ndaki görüntüleri B kümesine eflit olacak.
Örnek
3. ‹çine Fonksiyon:
f: A B , x y= f (x) fonksiyonunda,
f (A) ≠ B ise, f fonksiyonuna,
içine fonksiyon denir.
Di¤er bir ifade ile örten olmayan bir fonksiyon içine fonksiyondur.
7
Örnek: A= 1,2,3 B= 3,5,7 f: A B f (x) = 2x+1,
verilen f fonksiyonu örtendir. Çünkü,
f (1) = 2. 1+1 = 3
f (2) = 2. 2+1= 5
f (3) = 2.3+1 = 7
f (A) = B oldu¤undan, f örten, di¤er bir ifadeile de¤er kümesinde aç›kta eleman kalmad›¤›ndanörten fonksiyondur.
MATEMAT‹K 7
Örnek
4. Bire bir ve ‹çine fonksiyon
f:A B, x y = f (x) fonksiyonu hem bire bir hem de içine fonksiyon ise
f fonksiyonuna, bire bir ve içine fonksiyon denir.
Örnek
f(A) ≠ B dir. Çünkü f (A) = { 1, 2, 3 }
B = {1, 2, 3, 4, 5}
O hâlde f içine,
f (a) = 1
f (b) = 2
f (c) = 3
oldu¤undan f bire bir fonksiyondur.
8
f örten de¤il ancak f içine fonksiyon(Çünkü f (A) ≠ B) dir.
g örtendir. Ancak g içine fonksiyon de¤ilÇünkü (f (A) = B) dir.
MATEMAT‹K 7
5. Bire bir ve Örten Fonksiyon
f:A B, x y = f (x) fonksiyonu hem bire bir hem de örten fonksiyon ise
f fonksiyonuna, bire bir ve örten fonksiyon denir.
Örnek:
f (a) = 1
f (b) = 2 f bire bir fonksiyon
f (c) = 3
f (A) = {1, 2, 3}
B= {1, 2, 3 }
O halde, f bire bir (1-1) ve örten fonksiyondur.
Birim Fonksiyon
I (a) = a
I (b) = b
I (c) = c ise
Sabit Fonksiyon: f : A B , f (x) = C, C R ise f sabit fonksiyondur.
Örnek:
9
f (A) = B örten fonksiyon
I:A A
x A için I(x) = xise I birim fonksiyon
Örnek: A = a, b, c I: A A
x A I (x) = x ile gösterilir.Buradan I birim fonksiyondur.
MATEMAT‹K 7
Örnek : f: R R
x y= f (x) = 2x -3
fonksiyonu bire bir ve örten midir?
Çözüm: Bire birlik:
Örnek: f:R R, olmak üzere,f(x)=x.f(x+1) ve f(2)=4 ise f(4) nedir?
Çözüm: x=2 yazal›m. fiimdi
f(2)=2.f(3) x=3 yazal›m.
4=2.f(3) f(3)=3.f(4)
2= f(3) olarak bulunur.
10
x1 x2 ( x1, x2 R) için f (x1) f (x2) oluyor mu? (1:1 lik flart›)
O halde,x1 x2 iken
f (x1) = 2x1-3 ise f (x1) f (x2) oldu¤u aç›kt›r.
f (x2) = 2x2-3 o halde, f 1:1 dir.Örtenlik:y1 R ve f (x1) = y1 2x1 -3 = y1
x1 =y1+3
2 R
x1 R O halde f örtendir.
Örnek: 1) f (x) = 2x - 1 ise f (2x) i f (x) cinsinden yazal›m.
Çözüm: f (x) + 1 = 2x f (2x) = 2 (2x) - 1
f (x) + 1
2 = x = 4x -1
f 2x = 4x-1 de x yerinef (x) + 1
2 yazarsak
f 2x = 4f (x) +1
2 -1
= 2f (x) + 2 - 1 f (2x) = 2f (x) + 1 olur.
23
= f (4)
MATEMAT‹K 7
Örnek: f:R R, f(x) =
oldu¤una göre
f(2) + f(3) + f(5) nedir?
Çözüm:
f(2) = 22 + 2.2 = 8 (2<3 oldu¤undan x2 + 2x de x yerine 2 yazd›kf(3) = 5 f(5) =4.52 - 2.5 = 100 - 10 = 90 olur. (5> 3 oldu¤undan) 4x2 -2x de,
x yerine 5 yazd›k8+5 + 90 = 103 olarak bulunur.
Örnek: f(x)=(a-1)x2 + (2b-1)x + 5 fonksiyonu sabit fonksiyon ise a+b nedir?
Çözüm: f(x), sabit fonksiyon oldu¤undan f(x) = 5 olmal›d›r. Buradan, a-1 =0 ve 2b-1=0a=1 ve b=1/2 dira+b = 3/2 olur.
Örnek: f(x) = (2k-4)x2 + (n-1)x + m -1 fonksiyonu birim (özdefl) fonksiyon ise
k+m+n nedir?
Çözüm: f(x) birim fonksiyon ise f(x) = x olmal› o hâlde,
2k-4 = 0 , n-1= 1 m-1 = 0 olmal›
k=2 , n =2 ve m =1 dir.
k+n+m = 5 olarak bulunur.
FONKS‹YONLARIN B‹LEfiKES‹
A = {-2, -1, 0, 1} , B = {0, 1, 4 } , C = {2, 3, 4, 6 }
f= A B ye f (x)= x2 fonksiyonun görüntü kümesi
f (A) = {0, 1, 4,} (f (A) = B)
g = B C, g (x) = x+2
fonksiyonunun görüntü kümesi g (f (A)) = {2, 3, 6}
11
x2 +2x, x <3 ise 5 , x = 3 ise4x2 - 2x , x >3 ise
gof (-2) = g(4) = 6gof (-1) = g(1) = 3gof (0) = g(0) = 2gof (1) = g (1) = 3
MATEMAT‹K 7
Afla¤›daki flemay› inceleyelim
fiemada görüldü¤ü gibi, A kümesinin elemanlar› f ve g fonksiyonlar› yard›m›yla C kümesindeki elemanlara efllenmifltir.
Burada f ve g fonksiyonlar›ndan yararlan›larak, A dan C ye yeni bir fonksiyon elde edilmifltir. Bu fonksiyon, f ile g fonksiyonlar›n bileflke fonksiyonudur ve gof biçimindegösterilir.
gof fonksiyonunda, tan›m kümesinden al›nan bir eleman›n önce f alt›ndaki görüntüsü,sonra bunun g alt›ndaki görüntüsü bulunur.
Bofl kümeden farkl› A, B, C kümeleri için
f: A B, g: B C
fonksiyonlar› verilsin. f ve g fonksiyonlar› yard›m›yla A dan C’ye tan›mlanan yeni
bir fonksiyona f ile g fonksiyonlar›n›n bileflkesi denir ve gof ile gösterilir.
12
Yani, (gof): A C, (gof) (x) =g f(x) dir.Buna göre, (gof) (x) fonksiyonun kural›n› bulal›m.
(gof : A C; x A için (gof) (x) = g f x fleklinde de gösterilir.
f(x) = x2
g(x) = x+2) (gof) (x) = g f (x) = g(x2) =x2+2 dir.
(gof) (x)= g f x anlam›:
Bir g fonksiyonunda x gördü¤ün yere f (x) fonksiyonunu yaz.
fiimdi bileflke fonksiyonun tan›m›n› yapabiliriz.
MATEMAT‹K 7
Örnekler
1) f: R R, g: R R ile tan›mlans›n
f (x) = x2 -1, g(x)= x +3 olsun
(fog) (x) = (gof) (x) olup olmad›¤›n› gösterelim.
Çözüm
(fog) (x) = f [g (x)] = f (x+3) = (x+3)2 -1
= x2 + 6x + 9 -1
= x2 + 6x + 8
(gof) (x) = g [f (x)]= g (x2-1)
= (x2 -1) +3)
= x2 + 2
fog (x) ≠ (gof) (x)
Sonuç = Fonksiyonlarda bileflke iflleminin de¤iflme özeli¤i yoktur. Yani,
(gof) (x) ≠ (fog) (x)
2) f= R R , g= R R , h = R R
f(x) = 2x , g (x) = x+1 h (x) = x2 -1
a) (fogoh) (x) = ?
b) (gofoh) (1) = ?
Çözüm
a) (fogoh) (x) = (fog) (h(x)) = (fog) (x2 -1)
= f [g (x2 - 1)]
= f [ (x2-1) +1] = f[x2]
= 2x2
b) (gof oh) (1) = (gof) [h(1) ]
= (gof) (12 - 1) = (gof) (0) = g [f (0)]
= g(2 . 0) = g(0) = 0+1 = 1
13
MATEMAT‹K 7
3) f= R R , g= R R ,
f(x) = 3 - 4x ve g (x) = x
fonksiyonlar› veriliyor.
(fog) (x) = (gof) (x)
olup olmad›¤›n› araflt›ral›m.
O hâlde, (fog) (x) = (gof) (x) dir.
Ayr›ca, (fog) (x) = (gof) (x) = f (x)
Çünkü, g (x) = x fonksiyonu birim (etkisiz) fonksiyon yani, kendisini kendisinedönüfltüren fonksiyon
A dan B ye bir f fonksiyonu ve A dan A ya bir I (x) = x veya I: x x
fonksiyonu verilsin.
A kümesindeki her f fonksiyonu için
foI = Iof= f
Koflulunu sa¤layan I fonksiyonuna bileflke ifllemine göre birim (etkisiz) fonksiyon
denir.
Örnek
g, f: R R,
f(x) =2x+5 olsun
(fog) (x) = I (x) oldu¤una göre
g (x) fonksiyonunu bulunuz.
14
(fog) (x) = f g x , (gof) (x) = g f (x) = g 3-4x = f g x = 3 -4x = f (x) = 3- 4x
MATEMAT‹K 7
Çözüm
(fog) (x) = f [g (x)] = I (x)
= 2.g (x) + 5 = x
= 2g (x) = x-5
dikkat edilirse g(x), f (x) fonksiyonunun bileflke ifllemine göre tersidir. (‹fllem bilgisinihat›rlay›n›z. )
B‹R FONKS‹YONUN TERS‹
Her fonksiyonun tersi vard›r. Ancak her fonksiyonun tersi fonksiyon de¤ildir.
Bir fonksiyonun tersininde fonksiyon olmas› için o fonksiyonun bire bir ve örten olmas›
gerekir. Aksi hâlde o fonksiyonun ters fonksiyonundan söz edemeyiz.
f fonksiyonu, A’dan B’ye tan›mlanm›fl bire bir ve örten fonksiyon ise,
fog = gof = I koflulunu sa¤layan g fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir ve
f-1 ile gösterilir.
f= A B bire bir ve örten fonksiyon I: A A birim fonksiyon olsun
fof -1 = f-1 of = I
15
= g(x) = x-52
MATEMAT‹K 7
Bir fonksiyonun tersini almada pratik kural
16
Örnek: A= -1, 0, 1, 2 , B= -1, 1, 3, 5 kümeleri ile f: A B f: x 2x+1 fonksiyonu veriliyor. a) f, 1-1 ve örten midir? b) f -1 var m›d›r? c) f -1(x) nedir?
d) f -1 liste biçiminde yaz›n›z.
b) f, 1- 1 ve örten oldu¤undan f -1 mevcuttur.c) Hat›rlatma: bir fonksiyonun tersi bulunurken, x yerine y, y yerinex yaz›l›r. Buradan y çekilir. Bulunan y= f -1 (x) dir.
O hâlde, f (x) = 2x+1y= 2x+1 (x yerine y, y yerine x yazal›m)x = 2y+1 (y'yi çekelim)x- 1 = 2y
y= x-12
o hâlde, f -1(x) = x-12
dir.
d) f -1= (-1, -1), (1,0), (3, 1), (5,2)
a, b, c, d IR a 0, c 0 olmak üzere,
f (x) = ax +b fonksiyonunun tersi f -1(x) = x-ba d›r.
f (x) = ax +bcx+d
fonksiyonunun tersi f -1(x) = -dx+bcx-a
Örnek: Afla¤›daki fonksiyonlar 1- 1 ve örten oldu¤una göre, terslerini bulal›m. a) f (x) = 2x -1
b) f (x) = 2x+13x-1
c) f (x) = 1-2xx-3
d) f (x) = 2- 3x
Çözüm: a) f(x) = 2x+1 f(-1) = 2 (-1) +1 = -1 f(0) = 2.0+1 = 1 f(1) = 2.1+1 =3 f(2) = 2.2+1 = 5 oldu¤undan, bire bir dir.Ayr›ca B kümesinde aç›kta eleman kalmad›¤›ndan örtendir.
MATEMAT‹K 7
Örnek: f: R R, f(x) = x +3, (fog) (x) = 2x -1
ise g-1 (x) nedir?
17
Çözüm
a) f (x)= 2x-1 ise f -1(x) = x+12
b) f (x) = 2x+13x-1
ise f -1(x) = x+13x-2
c) f (x) = 1-2xx-3
= -2x+1x-3
ise f -1(x) = 3x+1x+2
d) f (x) = 2-3x = - 3x+2 ise f -1(x) = x-2-3
Not: fonksiyonun tersinin tersi, kendisidir. f -1 -1 = f
Örnek: f (x) = x-1 bire bir örten fonksiyon olsun.
f -1(x) = x+1
f -1 -1 = x+1 -1 = x-1 o hâlde,
f(x) = f -1 x -1 oldu¤u aç›kt›r.
Örnek: x < -3 ve f(x) = x2+6x +10 bire bir örten oldu¤u bilindi¤ine göre,
f-1(x) nedir?
Çözüm: f (x) = y oldu¤undan
y= x2+6x+10 (x yerine y, y yerine x yaz›p,
y'yi çekelim. O zaman, x< -3 flart›
y< -3 olur.
y+3 < 0
x = y2+6y +10
x = (y+3)2+1
x-1 = (y+3)2
x-1 = y+ 3
x-1 = - y - 3
y = -3 - x- 1
MATEMAT‹K 7
Çözüm
Örnek: f:R R, g: R R
(fog) (x) = 2x+1 , g (x) = x-5 ise f (x) = ?
Çözüm
Not :
Not :
O halde örne¤in çözümü,
olarak bulunur.
18
fog og-1 = 2x+1 og-1 (x)
I. YOL(fog) (x) = f g (x) = 2x- 1
II. YOLf-1o (fog) (x) = f-1o (2x-1)
fog (x) = A (x)f-1 (x)o(fog) (x) = f-1 (x) oA (x)I og (x)
g(x) = f-1 (x) oA (x)
(fog) (x) = A (x)(fog) (x) og-1(x) = A (x) og-1(x)
(foI) (x) = A (x) og-1(x)f (x) = A (x) og-1(x)
(Iog) (x) = (x-3) o (2x-1)
I(x)
I(x)
g(x) = 2x -1 - 3 = 2x - 4
g-1 (x) = x+42
= g(x) + 3 = 2x -1
= g (x) = 2x-1-3
= g(x) = 2x-4
= g-1 (x) = x+42
fo gog-1 = 2x+1 o(x+5)
foI = 2(x+5) + 1
f (x) = 2x+11
MATEMAT‹K 7
Örnek: f, g: R R
Çözüm :
Örnek: f: R R, f(x) = 2x-1 (fof) (a) = 9 ise a= ?
Çözüm: (fof) (x) = f [f (x) ]= 2.(2x -1) - 1
(fof) (x) = 4x -3(fof) (a) = 4a - 3 = 9
4a = 12a= 3 olarak bulunur.
Örnek: f(x) do¤rusal bir fonksiyon olsun
f (1) = 2 ve f (2) = 3 ise f-1 (4)’ün de¤erini bulal›m
Çözüm: f(x) do¤rusul bir fonksiyon ise,
f(x) = ax+b dir.
f(1) = a+b = 2
f(2) = 2a+b= 3
19
f-1 (x) = 3x+1 ve (gof -1) (x) = 4+x fonksiyonlar› veriliyor.
Buna göre, g (x)'i bulal›m.
gof -1 of = (4+x) of
gof -1 (x) = 4+x
goIg= (4+x) of
g= (4+x) o x-13
g (x) = 4 + x-13
= 12 + x -13
= x+113
f -1 (x) = 3x+1 ise tersinintersi kendisine eflit oldu¤undan
f(x) = x-13
MATEMAT‹K 7
- 2 / a + b = 2 - 2a - 2b = -4 b= 1 ise
2a +b = 3 2a + b = 3 a+b = 2 yerine
- b = -1 yazal›m.
b = 1 a + 1 = 2
a = 1
O hâlde, f(x) = 1.x + 1 = x +1 dir.
f-1 (x) = x-1
f-1 (4) = 4 - 1 = 3 olarak bulunur.
Örnek: R R ye tan›ml› bire bir ve örten f ve g fonksiyonlar› için
f -1 (2) = 3 ve g (4) = 2 ise (f -1 og)-1 (3)
FONKS‹YONLARDA ‹fiLEMLER
olarak tan›mlan›r.
20
Çözüm
Not: (fog) -1= g-1 of -1 dir. O hâlde,
f -1 (2) = 3 f (3) = 2 dir.
(f -1og) -1(3) = (g -1of) (3) = g -1 f (3)
= g -1(2) = 4
(fog) -1 = g-1 of -1
(gof) -1 = f -1 og-1➯
f: R R , g: R R iki fonksiyon ve R olmak üzere
1. f ile g nin toplam› x R için (f+g) (x) = f(x) + g(x)
2. f nin ile çarp›m›, x R için ( f) (x) = .f(x)
3. f ile g nin çarp›m›, x R için (f.g) (x) = f(x). g(x)
4. f nin, g ye bölümü x R için
fg
(x) =f(x)
g (x ) , x R için g(x) 0
+
MATEMAT‹K 7
FONKS‹YONLARIN TANIM VE DE⁄ER KÜMELER‹N‹ BULMAK
A. Polinom fleklineki fonksiyonlar›n tan›m ve de¤er kümeleri R d›r.
Yani, f(x) = ao +a1 x+ ....................+anx
fleklinde ise f : R R dir.
B. Rasyonel fonksiyonlarda tan›m kümesini bulmak için R’den varsa payday› s›f›r yapan
de¤erler ç›kart›l›r. De¤er kümesini bulmak için de fonksyionun tersi al›n›r, payday› s›f›r
yapan de¤erler R den ç›kart›l›r. Yani,
21
Çözüm
a) (f+g) (x) = x2+2x -1 b) 5 f (x) = 5.(2x) = 10x c) 2f(x) = 4x 3g(x) = 3x2 - 3 d) (f.g) (x) = 2x (x2-1) = 2x3 - 2x
e) fg (x) =
f(x)g(x)
= 2xx2 -1
, x2 -1 0
Örnek: f: R R , g : R R f(x) =2x , g(x) = x2- 1 iki fonksiyon ise,
a) (f+g) (x) b) 5.f(x) c) 2f(x)+3g(x)
d) (f.g) (x) e) fg (x) fonksiyonlar›n› bulunuz?
f(x) = ax + bcx + d
fleklinde ise
tan›m kümesi R - -dc
De¤er kümesini bulmak için;
f -1(x) = -dx + bcx - a
cx + d = 0 cx= - d x= - d
c
cx - a = 0 cx= a
x = ac
De¤er kümesi R- ac
O hâlde, fonksiyonu
f: R - -dc R - a
cile göstermeliyiz.
2f(x) +3g (x) = 3x2 +4x-3
MATEMAT‹K 7
Örnek: f(x)= xx fonksiyonun en genifl tan›m kümesini bulunuz.
Çözüm: 0° belirsiz ve x ≠ 0 için xx tan›ml› oldu¤undan, fonksiyonun tan›m kümesiR-{0} d›r.
22
Örnek: f(x) = 2x-13x-4
fonksiyonun tan›m ve de¤er kümelerini bulunuz?
Çözüm: 3x- 4 = 0 Tan›m kümesi R- 43
3x = 4 x = 4/3 f -1 (x) = 4x - 1
3x -2 3x+ 2= 0 x = 2/3 De¤er kümesi IR - 2
3
f (x)n
fonksiyonunun tan›m kümesi
n, tek ise tan›m kümesi f(x) ile ayn›,
n, çift ise tan›m kümesi f(x) ≥ 0, x R
Örnek: Afla¤›daki fonksiyonlar›n tan›m kümelerini bulunuz.
a) f (x) = x + 13
b) f (x) = x2 - 1
Çözüm: a) n = 3 tek oldu¤undan tan›m kümesi x+1 ile ayn›, R dir.
b) x2 - 1 ≥ 0
(x - 1) (x + 1) = 0
x = -1, x = 1Tan›m kümesi = (- , -1] [ 1, + )
Örnek: log (2x - 1) tan›m kümesini bulunuz.
2x - 1 > 0 dan 2x > 1
x > 12
dir.
log f(x) fonksiyonun tan›m kümesi f (x) > 0
tan f(x) fonksiyonu x k için tan›ml›d›r.
cot f(x) fonksiyonu x k için tan›ml›d›r.
MATEMAT‹K 7
Çözüm:
x > 1/2 ve - log (2x - 1) ≥ 0
log (2x - 1) ≤ 0
2x - 1 ≤ 1
x ≤ 1
O hâlde tan›m kümesi (1/2 , 1] olur.
TEK VE Ç‹FT FONKS‹YONLAR
f: R R bir fonksiyon olsun.
1. f(-x) = f(x) ise f ye çift fonksiyon
2. f(-x) = -f(x) ise f ye tek fonksiyon
Çift fonksiyonun grafi¤i y eksenine göre simetrikTek fonksiyonun grafi¤i orijine göre simetriktir.
Örnek: f:R R oldu¤una göre, afla¤›daki fonksiyonlar›n tek mi çift mi, oldu¤unu söyleyiniz.
23
Örnek: f(x) = log 1/10(2x-1) fonksiyonunun en genifl tan›m kümesini bulunuz.
➯
a ) f(x) = x3 b) f(x) = x2 c) f(x) = sin x
d) f(x) = cos (x) e ) f(x) = x2 + x3
(Eflitsizli¤i - ile çarpmak ya da bölmekeflitsizli¤in yönünü de¤ifltirir.
l og 2x - 1 ≤ 0log 2x - 1 ≤ log10
1
2x - 1 ≤ 1
2x > 1 ve log 1/10(2x-1) ≥ 0
2x -1 > 0 ve log 1/10.(2x-1) ≥ 0 için tan›ml›
MATEMAT‹K 7
Çözüm
FONKS‹YON GRAF‹KLER‹
f: A B, f(x) = y fonksiyonu verilsin.
f= {(x ,y) : y = f(x), x A, y B} kümesine düzlemde karfl›l›k gelen noktalar›n
oluflturdu¤u flekle f fonksiyonun grafi¤i denir.
Fonksiyonlar›n grafiklerini çizmek için afla¤›daki hat›rlatmalar› dikkatle inceleyiniz.
A. E¤er fonksiyon do¤rusal ise
yani f(x)=ax+b fleklinde fonksiyonlar›n
grafikleri için f(x) = y = ax+b oldu¤undan
x=0 için y= b de y eksenini
y=0 için x = -b/a x eksenini kesti¤i nokta bulunur.
Bu noktalardan geçen do¤ru çizilir.
24
a ) f(x) = x3 f(-x) = (-x)3 = -x3 = - f(x) f(-x) = -f (x) oldu¤undan f (x) = x3 tek fonksiyondur.
b) f(x) = x2 f( -x) = (-x)2= x2 = f (x) f (-x) = f (x) oldu¤undan f(x) = x2 çift fonksiyondur.
c) f(x) = sin x f(-x) = sin (-x) = -sin x = -f(x) f(-x) = -f (x) oldu¤undan f(x) = sin x tek fonksiyondur.
d) f(x) = cos (x) fonksiyonunda, f(-x) = cos (-x) = cos x = f(x) f(-x) = f(x) oldu¤undan f(x) = cos x fonksiyonu çift fonksiyondur.
e ) f(x) = x3 + x2 fonksiyonunda f(-x) = (-x)3 + (-x)2
= -x3 + x2 dikkat edilirse f(-x) = f(x) ya da f (-x) = -f(x) olmuyor.O hâlde, f(x) ne tek ne de çift fonksiyondur.
MATEMAT‹K 7
Örnek: f(x) = 2x - 4 fonksiyon grafi¤i
f (x) = 2x - 4
y = 2x - 4
x = 0 için y = -4 (0, -4) y eksenini
y = 0 için x = 2 (2, 0) x eksenini keser.
Bu noktalar› XOY koordinat sisteminde belirler ve do¤ru grafi¤ini çizeriz.
B. ‹kinci dereceden polinom fleklindeki fonksiyonlar›n grafikleri parabol fleklindedir.
B.1) y= f (x) = ax2 a > 0 ise kollar yukar› do¤ru,
a < 0 ise kollar afla¤› do¤ru olacak flekilde orjinden bafllayan
parabol e¤rileridir.
25
MATEMAT‹K 7
B.2) f(x) = y = a (x ± r)2
grafi¤ini çizmek için önce y = ax2 fonksiyonun grafi¤i çizilir. Sonra grafik x ekseni
üzerinde r bilim sola veya sa¤a kayd›r›larak çizilir.
Örnek
B.3) y = f(x) = ax2 + k öncelikle y = ax2 grafi¤i çizilir. Sonra k birim y ekseni üzerinde
kayd›r›l›r.
fiekil Örnek
26
MATEMAT‹K 7
B.4) f(x) = y = a (x-r)2 + k
Bu fonksiyon grafi¤inde tepe noktas› belirlenir. Tepe noktas› T(r,k) belirlenecek.
Sonra a’n›n durumuna göre fonksiyon çizilir.
B.5) f (x) = y = ax2 + bx + c
Bu tür fonksiyonlar›n grafikleri çizilirken
x = 0 için y eksenini kesti¤i nokta
y = 0 için x eksenini kesti¤i nokta bulunur.
Tepe noktas›n› bulmak için
27
y= f(x) = (x-1)2+2 a = 1 > 0 kollar yukar› do¤ruTepe noktas› (1, 2)x= 0 için y = (-1)2 + 2 = 3
r = - b2a
, k = 4ac - b2
4a formüllerinden yararlan›l›r.
Örnek: y = f(x) = x2 - 2x - 3 fonksiyonunun grafi¤ini çizelim.
x2 - 2x - 3 = 0
(x - 3) (x + 1) = 0
x - 3 = 0 veya x + 1 = 0
x = 3 veya x = -1 bulunur.
Çözüm: x = 0 için y = - 3
y = 0 için x = 3 veya x = -1
r = - b2a
dan r = 1
k = 4ac - b2
4a dan k = - 4 T (1,-4)
MATEMAT‹K 7
fiekil
TERS FONKS‹YONLARIN GRAF‹KLER‹
Örnek: f= R+ R, f(x) = x2 -1 ise f-1 in grafi¤ini çiziniz.
Çizim: Dikkat edilirse tan›m kümesi R+
28
MATEMAT‹K 7
ARTAN VE AZALAN FONKS‹YONLAR
A R, ve f:A B bir fonksiyon olsun.
1. x2>x1 için f (x2) > f(x1) ise fonksiyona artan
2. x2>x1 için f (x2) < f(x1) ise fonksiyona azalan
3. x2>x1 için f (x2) = f(x1) ise fonksiyona sabit sabit fonksiyon denir.
Örnek: f(x) = x2 fonksiyonu ele alal›m. Grafik afla¤›da oldu¤u gibidir.
Grafi¤e dikkat edilirse f(x) = x2 R- de azalm›fl R+ da artm›fld›r. Ayn› örne¤i x’e de¤erlervererek inceleyelim.
29
R+ da iki say› düflünelim.x2 = 2x1 = 1
f(x2) = (2)2 = 4f(x1) = (1)2 = 1
O hâlde R+ da artanR- de iki say› düflünelim.x2 = -1x1 = -2
f(x2) = (-1)2 = 1
f(x1) = (-2)2 = 4O hâlde R- de fonksiyon azaland›r.
x2 > x1 iken
f(x2) < f (x1) dir.
x2 > x1 iken
f(x2) < f (x1) dir.
MATEMAT‹K 7
Ancak bu yol her zaman sa¤l›kl› de¤ildir. Çünkü say›sal ifadelerde yap›lan ispat ve
sonuçlar ifadeyi her zaman do¤rulamaz.
Örnek: f(x) =2x fonksiyonun artan ve azalan oldu¤u aral›klar› bulunuz.
Çözüm: Fonksiyonun grafi¤ini çizerek görmek daha basit oldu¤undan,
x = 1 için f(1) = 2 x = -1 için f (-1) = 1/2
x = 2 için f(2) = 4 x = -2 için f(-2) = 1/4
x = 3 için f(2) = 8
O hâlde fonksiyon R de artand›r.
Örnek: f(x)=lnx fonksiyonun artan ve azalan oldu¤u aral›klar› belirleyiniz.
Çözüm: Fonksiyonun grafi¤ini çizelim.
f (x) = lnx = logex
f(1) = ln 1= 0
f(e) = lne = 1
f(e2) = lne2 = 2
x1<x2 iken f(x1) < f(x2)
oldu¤undan f(x) = lnx
fonksiyonu artand›r.
30
x1, x2 R için x2 > x1 2x2 > 2x1
MATEMAT‹K 7
Bundan sonraki konular›m›zda, parçal› fonksiyonunun, mutlak de¤er fonksiyonunun,
tam k›s›m fonksiyonunun ve iflaret fonksiyonunun özeliklerini araflt›raca¤›z,
grafiklerinin nas›l çizildi¤ini ö¤renece¤iz.
PARÇALI FONKS‹YONLARIN GRAF‹KLER‹
f(x), x< a ise,
f(x) = h(x), a≤ x < b ise,
k(x), x≥b ise
a,b, say›lar›na fonksiyonun kritik noktas› denir. Fonksiyon bu noktalarda de¤iflikliklere
u¤rar. (S›çrama, k›vr›lma,... gibi) Parçal› fonksiyonlar›n grafiklerini çizmeden önce
lise 1 konusu olan do¤ru ve parabol grafiklerinin nas›l çizildi¤ini tekrar etmede fayda
olaca¤›na inan›yoruz.
Örnek:
2 - x , x ≥ 3 isef(x) =
x + 1 , x < 3 ise
fonksiyonun grafi¤ini çizelim.
Parçal› fonksiyonu analiz ederken x ≥ 3 noktalar›nda fonksiyonun f(x)=2-x oldu¤unu,
x < 3 iken ise fonksiyonun f(x) = x+1 oldu¤unu görmüfltük.
O hâlde x ≥ 3 noktalar›nda f(x) = 2 - x in grafi¤ini çizelim.
Önce, f(x) = 2 - x grafi¤ini çizip sonra x ≥ 3 durumunu inceleyelim.
31
MATEMAT‹K 7
Yukar›daki iki flekli tek flekil ile gösterirsek,
flekli elde edilir.
32
MATEMAT‹K 7
Örnek:
Çözüm:
33
MATEMAT‹K 7
Örnek:
MUTLAK DE⁄ER FONKS‹YONU VE MUTLAK DE⁄ER FONKS‹YON
GRAF‹KLER‹
n çift ise
fiekinde tan›mlanan fonksiyona mutlak de¤er fonksiyonu denir.
Mutlak de¤er fonksiyonu incelenirken önce kritik noktalar bulunur. Sonra parçal›fonksiyon halinde yaz›l›p, grafi¤i çizilir.
Örnek: f(x) = |x+2| fonksiyonu parçal› fonksiyon olarak yaz›n›z.
34
[ ( f (x ) ]nn = f (x) =
x2 - 1, x < 2 isef(x) =
(x + 1)2 -1, x ≥ 2 ise
f(x) , f(x) ≥ 0 ise
-f(x) , f(x) < 0 ise
MATEMAT‹K 7
Çözüm
x≥ -2 için |x+2| = x+2
x< -2 için |x+2| = -x-2 oldu¤undan
Örnek: f(x) = |x – 2| - x fonksiyonun grafi¤ini çizelim.Önce f(x) fonksiyonunu parçal› fonksiyon olarak yazal›m. Mutlak de¤er tan›m›
gere¤ince;
|x-2| de x - 2 = 0 dan, x = 2 kritik noktad›r.
x ≥ 2 için, f(x) = x - 2 - x = -2
x < 2 için, f(x) = -x + 2 - x = 2 - 2x
parçal› fonksiyon olarak yazarsak;
fleklinde parçal› fonksiyon olarak yaz›l›r.
fiimdi grafi¤i çizelim. Önce x ≥ 2 için f(x) = - 2 nin grafi¤ini sonra da x < 2 ninf(x) = 2 - 2x' in grafi¤ini çizilerek grafik son fleklini al›r.
35
x + 2, x ≥ -2 ise-x -2, < -2 ise
f(x) =- 2, x ≥ 2 ise 2-2x x < 2 ise
|x + 2| =
MATEMAT‹K 7
Örnek: f(x) = |x-1| + | x | fonksiyonun grafi¤ini çiziniz.
Çözüm: x - 1 = 0
x = 1 ve x = 0 kritik noktalar
x < 0 için f(x) = - x + 1 - x = - 2x +1
0 ≤ x < 1 için f(x) = -x +1 + x = 1
x ≥ 1 için f (x) = x - 1 + x = 2x - 1
f(x) = -2x + 1, x < 0 ise
1 0 ≤ x <1 ise
2x - 1 1 ≤ x ise.
Örnek: f (x) = | 2- x | - | x+2| fonksiyonun grafi¤ini çiziniz.
Çözüm: 2 -x = 0 dan x = 2
x + 2 = 0 dan x = -2 kritik noktalard›r.
x < -2 nin f (x) = 2 -x + x + 2 = 4
-2 ≤ x < 2 için f (x) = 2 -x -x -2 = -2x
x ≥ 2 için f (x) = -2 +x -x -2 = -4
parçal› fonksiyon olarak yazarsak
fieklinde parçal› fonksiyon olarak yaz›l›r.
Bu parçal› fonksiyonun grafi¤i yandaki flekilde gösterilmifltir.
36
4 x<-2 ise-2x -2≤x<2 ise-4 x ≥ 2 ise
f(x) =
MATEMAT‹K 7
Örnek: f(x) = |x-2| + |1-x| fonksiyonunu parçal› fonksiyon olarak yaz›n›z.
Çözüm :
‹fiARET FONKS‹YONU VE ‹fiARET FONKS‹YONU GRAF‹KLER‹
‹flaret fonksiyonu sgnf (x) ile gösterilir.
A R ve f : A R bir fonksiyon olsun
fieklinde tan›mlanan fonksiyona signum fonksiyonu veya iflaret fonksiyonu denir.Signum fonksiyonun kritik noktas› signum fonksiyonunun içini s›f›r yapan x de¤erlerdir.Signum fonksiyonunun grafi¤i çizilirken, önce fonksiyon parçal› fonksiyon olarakyaz›l›r. Sonra parçal› fonksiyonlar›n grafi¤i yard›m›yla çizim yap›l›r.
Örnek: f = R R
f (x) = Sgn(x2 - 2x - 15) fonksiyonunu parçal› fonksiyon olarak yaz›n›z.
37
y= Sgnf(x) =
1, f(x) > 0 ise
0, f(x) = 0 ise
-1, f(x) < 0 ise
x =2 ve x = 1 kritik noktalarx < 1 için f(x) = -x + 2 +1 -x = 3 - 2x
1≤ x < 2 için f(x) = - x+2 -1 + x = 1
x ≥2 için f(x) = x -2 - 1 +x = - 3 + 2x
3 -2x, x < 1 isef(x) = 1, 1≤ x < 2 ise - 3 + 2x , x ≥ 2 ise
MATEMAT‹K 7
Çözüm
x2- 2x - 15 = (x-5) (x + 3) = 0
x - 5 = 0 ise x = 5
x + 3 = 0 ise x = -3
fiimdi tablosunu yazal›m.
O hâlde +1 x< -3 V x >5
f(x) = Sgn (x2 - 2x - 15) = 0 x = -3 V x = 5
-1 -3 < x < 5 ise
fleklinde parçalan›r.
Örnek: f : R R
f(x)= Sgn (4-x2) fonksiyonunun grafi¤ini çiziniz.
Çözüm: Verilen fonksiyonu önce parçal› fonksiyon olarak yazal›m.
4- x2 = 0
(2 - x ) (2 + x) = 0
O hâlde, x = 2 ve x = -2 kritik noktalard›r.
-1 x < -2 V x > 2
Sgn (4- x2 ) = 0 x = -2 V x = 2
+1 -2 < x < 2 ise
fleklinde parçalan›r.
38
-
-
MATEMAT‹K 7
Örnek: f : R R
f (x) = sgn (x2 - 5x - 14) fonksiyonunun grafi¤ini çizelim.
Çözüm: Verilen fonksiyonu önce parçal› fonksiyon olarak yazal›m.
x2 - 5x - 14 = (x - 7) (x +2 ) = 0
x = 7 ve x = - 2 kritik noktalar
+1 , x < -2 V x > 7
Sgn (x2 -5x -14) = 0 , x = -2 V x= 7
-1, -2 < x < 7 ise
39
-
MATEMAT‹K 7
Örnek: f : R R
f(x) = x. sgn (x -2 ) fonksiyonun grafi¤ini çiziniz.
Çözüm:
Örnek: f : R R f(3x - 2) =6x - 4 ise
Çözüm: f (3x - 2) = 6x - 4 ise f(x) i bulmak için
O halde yukar›daki ifllemin sonucu 1+5 = 6 olur. Örnek:
40
Sgn f(3) + f - 52
nedir?
g(x) = 3x - 2 olarak alal›m g-1(x) = x + 23
tür.
f 3. x + 23
- 2 = 6 x + 23
- 4
f (x + 2 - 2 ) = 2. (x +2) - 4
f (x) = 2x
Sgn f(3) = sgn (2 . 3 ) = sgn (6) = 1
f -52
= 2 . - 52
= -5 = 5
f(x) = 8x - 1 ise, Sgn f (1) = sgn (8.1 -1) = sgn (7) = 1
Sgn f(-11) = sgn 8. (-11) -1 = sgn (-89) = -1
Sgn f 18
= sgn 8. 18
-1 = sgn (0) = 0
- x , x < 2 ise
Tabloya göre parçal› fonksiyon x.sgn (x -2) = 0 , x = 2 ise
x , x > 2 ise
MATEMAT‹K 7
Tan›m ve örneklerde görüldü¤ü gibi, iflaret fonksiyonunda bütün reel de¤erlere gelebileceksay›lar -1, 0, 1 den baflkas› olamaz.
Örnek:
Çözüm: x2 + 4= 0
x2 = - 4,
Bu durumda sgn (x2 + 4) = +1
x2 - 4 = 0
(x -2) (x + 2) = 0
x = 2 x = -2
O hâlde |x2 -4| = x2 - 4 x < - 2 ise I. durum0 x = -2 ve x = 2 ise II. durum- x2 + 4 - 2 < x < 2 III. durumx2 - 4 x > 2 ise IV. durum
O hâlde 4 durum söz konusudur.
l. durum: 3x (+1) = x2 - 4 3x = x2 - 4 den x2 - 3x - 4 = 0
(x - 4) (x + 1) = 0x = +4 ve x = -1 kök yoktur. (x<-2 olaca¤›ndan)
ll. durum: 3x . (+1 ) = 0 dan 3x = 0 ise x = 0 kök yoktur.
lll. durum: 3x (+1) = - x2 - 4 den x2 + 3x - 4 = 0(x + 4 ) (x - 1) = 0x = -4 ve x = 1 x= 1 köktür.
lV. durum: 3x (+1) )= x2 - 4 den x = 4 ve x = -1 x= 4 köktür.
O hâlde denklemin çözüm kümesi {1, 4} olur.
41
3x. sgn (x2 + 4) = |x2 - 4| denklemini çözünüz.
x R
MATEMAT‹K 7
TAM KISIM FONKS‹YONU VE TAM KISIM FONKS‹YONU GRAF‹KLER‹
x R olmak üzere, x in tam k›s›m›; [| x |] gösterilir.
x x Z ise
[|x|]=
x den küçük ilk tamsay›, x Z ise
olarak tan›mlan›r.
Örnek: Afla¤›daki ifadelerin tam de¤erlerini bulal›m
Çözüm:a) log 34 ün karekteristi¤i 1 dir.
(Çünkü basamak say›s› 2, karekteristik 1 olur.
O hâlde
b) f(x)=Sinx fonksiyonu 0 < x < π de¤erleri için (0,1) aral›¤›nda de¤erler al›r.O hâlde için
Tam k›s›m Fonksiyonun Özelikleri
Örnek:
42
a) [| log 34 |] nedir?
[|log 34|] = 1 olur.
x (0, ) [| sin x|] = 0 olur.
c) [| 2, 34 |] = 2d) [|-1, 26|] = -2
xy R ve n Z olmak üzere
1) x Z
2) x = n ise n ≤ x <n + 1 dir.3) x+n = x + n4) x < x < x + 15) x+y ≥ x + y
[|2x - 1|] = 3 denkleminin çözüm kümesi nedir?
b) x (0, ) için sin x nedir?
c) 2,34 nedir? d) -1,26 nedir?
MATEMAT‹K 7
43
3≤ 2x - 1 < 4 4 ≤ 2x < 5
2 ≤ x < 52
O hâlde Ç= [2, 52
)
[|x -2|] = [|x|] - 2 dir. (3. özelli¤e göre)O hâlde[|x|] + [|x|] - 2 = 62 [|x|] = 8[|x|] = 44 ≤ x < 5 olur. Ç= [ 4, 5) dir.
[|2x -1|] , 1< x < 3 ise(x + 4) , x ≤ 1 ise
f 32
+ f (- 6)
32
(1,3) o hâlde, [|2. 32
- 1|] = [|3-1|] = 2
-6 (x ≤ 1, x R) o hâlde, f(-6) = - 6+4 = -2
f 32
+ f (-6) = 2 - 2 = 0
f (x) = sgn (x+1) + [| -x|] ise
f 72
nedir?
Sgn 72
+ 1 = Sgn 92
= 1
[| - 72
|] = -3, 5 = -4
Buradan, f 72
= 1 - 4 = -3 olur.
[| x + [| x -2 |]|] = 6
2x -1 = 3Örnek:
Çözüm: 2. özelli¤e göre
Örnek: denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm:
Örnek: f(x) = fleklinde f(x) fonksiyonu tan›mlan›yor.
nedir?
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
MATEMAT‹K 7
TAM KISIM FONKS‹YONLARININ GRAF‹KLER‹
Tam k›s›m fonksiyonunun kritik noktalar›, tam k›s›m fonksiyonunun içini tam say›yapan x de¤erleridir. Tam k›s›m fonksiyonlar›n›n grafikleri çizilirken,
44
y = ax + b aral›k boyu , 1a
olan aral›klarda inceleme yap›l›r.
Kritik noktalardan biri bulunduktan sonra x ekseni üzerinde iflaretlenir.
Sa¤a ve sola 1a
kadar gidilir.
Ancak,a > 0 ise aral›¤›n sol uçlar› dahila < 0 ise aral›¤›n sa¤ uçlar› dahil edilir.
Örnek: f = -4, 4 R, f(x) = [| x2
|] nin grafi¤ini çiziniz.
Çözüm: Burada a = 12
> 0 O hâlde aral›¤›n sol uçlar› dahil
1a
dan 112
= 2 olarak artma olacak. O hâlde, tan›m kümesi
- 4, 4 aral›¤›nda oldu¤una göre, 2 artmaya göre bu aral›¤› parçalayal›m.- 4 ≤ x < - 2 ise f(x) = [|x
2 |] = - 2 = y
- 2 ≤ x < 0 ise f(x) = [|x2
|] = - 1 = y
0 ≤ x < 2 ise f(x) = [|x2
|] = 0 = y
2 ≤ x < 4 ise f(x) = [|x2
|] = 1 = y
x = 4 ise f(x) = [|x2
|] = 2 = y
O hâlde bu flartlara uygun grafi¤i çizelim.
✎
MATEMAT‹K 7
Örnek: f: [ 0, 2 ] R
f (x) = [| 2x|] fonksiyonunun grafi¤ini çiziniz.
45
Çözüm: 2= a > 0 O hâlde aral›¤›n sol uçlar› dahil
a = 2 , 1a
dan 12
= 12
kadar 0,2 aral›¤›n› parçalamal›y›z, O hâlde
0 ≤ x < 12
ise 0 ≤ 2x < 1 ise f (x) = [|2x|] = 0
12
≤ x < 1 ise 1 ≤ 2x < 2 ise f (x) [|2x|] = 1
1 ≤ x < 32
ise 2 ≤ 2x < 3 ise f (x) = [|2x|] = 2
32
≤ x < 2 ise 3 ≤ 2x < 4 ise f (x) =[|2x|] = 3
x = 2 ise 2x = 4 ise f (x) = [|2x|] = 4
Örnek: f (x): -1, 1 R , f (x) = -2x fonksiyonun grafi¤ini çiziniz.Çözüm: a = - 2 < 0 sa¤ uçlar dahil
a = - 2 ise 1a
dan 1-2
= 12
kadar -1, 1 aral›¤›n› parçalamal›y›z. O hâlde
x = -1 ise -2x = 2 ise f(x) = -2x = 2
-1 < x ≤ -12
ise 2 > -2x ≥ 1 ise f (x) = -2x = 1
-12
< x ≤ 0 ise -1 > -2x ≥ 0 ise f(x) = -2x = 0
0 < x ≤ 12
ise 0 > -2x ≥ -1 ise f(x) = -2x = -1
12
< x ≤ 1 ise -1> -2x ≥ -2 ise f(x) = -2x = -2
Yukar›daki flartlara göre grafi¤i çizersek
MATEMAT‹K 7
46
Örnek: A = (x, y ) : [|x2 + y2|] = 1, (x, y) R2 grafi¤ini çiziniz.
[| x2+y2|] = 1 den 1 ≤ x2 + y2 < 2yukar›daki yaz›l›fl›n anlam› fludur: Merkezi (0, 0) yar›çap› 1'e eflit, çember
ve çemberin d›fl› ile merkezi (0, 0) olan yar›çap› 2 ye eflit olmayançemberlerin iç bölgesi aras›ndaki kalan k›s›md›r.
MATEMAT‹K 7
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ÇÖZÜMLER
1) a. ( fog) (x) = f(g(x)) = 3.(1 - 2x) +2 = 3 - 6x + 2= - 6x + 5
b. (gof) (3) = g[f(3)] = g [f(3)] = g [3. 3+2]= g (11) = 1 - 2. 11= 1 - 22 = - 21
2) f (x) = x . f (x + 1) x = 2 olsunx = 3 olsun f (2) = 2. f (3)f (3) = 3. f (4) f (2) = 2. 4
= 8
3) f (2) = 4f (3) = 2. 3 + 4 = 10f (4) = 2. 4 + 4 = 12f (2) + f (3) + f (4) = 4+ 10 + 12 = 26
47
= 3. 43
= 4
f (3) = 4
1) f : R R , f(x) = 3x+2 , g(x) = 1 - 2x ise
a) fog (x) nedir? b) (gof) (3) nedir?
2) f(x) = x.f(x+1) , f(4) = 43
ise f(2) nedir? 4, x < 3 ise 2x + 4, x ≥ 3 ise f(2) + f(3) + f(4) = ?
4) f : R R, f(x) = x +x-2 fonksiyonunun grafi¤ini çiziniz.
5) f : R R, f(x) = x+1 +x-2 fonkisoyunu parçal› fonksiyon olarak yaz›n›z.
6) R de Sgn (x2- 4x+3) < 0 eflitsizli¤inin çözüm kümesi nedir?
7) f (x) = Sgn (x -1) fonksiyonunu parçal› fonksiyon olarak yaz›n›z.
8) [|log 1998|] de¤eri nedir?
9) [|Sgn (2x -6 )|] = 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
3) f = R R, f(x) =
MATEMAT‹K 7
4) x - 2 = 0 x = 2 kritik nokta O hâlde
Parçal› fonksiyon olarak
yaz›l›rsa,
2, x < 2 ise
x + |x - 2| = 2, x = 2 ise
2x - 2 x > 2 ise
x 0 1 2
y = 2x - 2 -2 0 2
5) x+1 = 0 x = -1 kritik nokta
x - 2 = 0 x = 2 kritik nokta.
O hâlde,
-2x+1, x < -1 ise
f(x) = 3 , -1 ≤ x < 2
2x -1 , x ≥ 2 ise
6) x2- 4x+3 =0(x-3) (x -1) = 0x = 3 , x = 1 kritik nokta.
48
MATEMAT‹K 7
7) f(x )= Sgn ( |x| -1) = ?
| x | -1 = 0
| x | = 1
x = ±1
parçal› fonksiyon olarak yazarsak,
-1 -1 < x < 1, için
f(x) =Sgn (|x|-1) = 0 x = ± 1 için
1 x< -1 , x > 1 için
8) log1998 in karekteristi¤i 3 tür.
Çünkü 1998 dört basamakl› say›d›r : Bu durumda, karakteristik 4 - 1 = 3 dür.
9) 1 ≤ sgn (2x - 6) < 2
Sgn (2x - 6) ≥ 1 ve sgn (2x - 6) < 2
2x -6 = 0
x = 3
O hâlde Ç. K x > 3 yani (3, + ∞ )
49
O hâlde [| log 1998 |] = 3
MATEMAT‹K 7
ÖZET
Bu bölümde, afla¤›daki durumlar ö¤rencilere verilmeye çal›fl›lm›flt›r:
1. Fonksiyonlar›n tan›m› verilerek, bir ifadenin niçin fonksiyon oldu¤utan›t›lm›flt›r.
2. fonksiyon türleri (içine fonksiyon, örten fonksiyon, bire bir fonksiyon, birimfonksiyon, sabit ve s›f›r fonksiyon) tan›mlar› verilerek, ö¤rencilere fonksiyon türlerihakk›nda bilgi verilmifltir.
3. Fonksiyon bileflkesi tan›m› verilerek, bileflke fonksiyona ait örneklerle problem çözme bilgisi art›r›lma hedeflenmifltir.
4. Bir fonksiyonun tersinin tan›m› yap›larak, hangi durumlarda ters fonksiyonun olabilece¤i aç›klanm›fl, gerekli örnekler verilerek fonksiyonlar›n tersininnas›l al›naca¤› ö¤rencilere gösterilmifltir.
5. Fonksiyonlarda ifllemlerin tan›m› verilerek örneklerle konu pekifltirilmifltir.
6. Fonksiyonlar›n tan›m ve de¤er kümelerini bulmak için gerekli tan›mlar kullan›lm›fl örnekler üzerinde durulmufltur.
7. Tek ve çift fonksiyonun tan›m› verilerek, herhangi bir fonksiyonun tek ya daçift oldu¤u örneklerle gösterilmifltir.
8. Fonksiyon grafiklerini çizerken, önceki bilgilerimizin hat›rlatmalar› yap›l›ps›ras›yla ters fonksiyonlar›n grafikleri parçal› fonksiyonlar›n grafikleri, mutlak de¤erfonksiyonu grafikleri, iflaret fonksiyonu grafikleri tam de¤er fonksiyonu grafikleri çizimleri ö¤rencilerin anlayabilece¤i flekilde çizilmifltir.
50
MATEMAT‹K 7
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ (1)
2) f(x) = 2x - |x| fonksiyonunun grafi¤i afl›dakilerden hangisidir?
A) B) C) D)
3) f(x) =y = |x2 -4x+3| fonksiyonunun grafi¤i afla¤›dakilerden hangisidir?
51
1) f(x) = 3x2 , g(x) = e-x , h(x) = x2
ise
(fogoh) (x) afla¤›dakilerden hangisidir?
A) ex B) e-x C) 12ex
D) 3ex
✎
MATEMAT‹K 7
4) f(x) = Sgn (lnx) fonksiyonunun grafi¤i afla¤›dakilerden hangisidir?
5) f(x) = x+ Sgnx fonksiyonunun grafi¤i afla¤›dakilerden hangisidir?
52
MATEMAT‹K 7
6) f(x) = x+ [| x |] fonksiyonunun için grafi¤i afla¤›dakilerden hangisidir?
53
x [ -1, 3)
MATEMAT‹K 7
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹N‹N ÇÖZÜMLER‹
Do¤ru cevap A
Do¤ru cevap B
Do¤ru cevap D
Do¤ru cevap A
Do¤ru cevap A
54
1) (fogoh) (x) = (fog) x2
= f e- x
2
= f e- x
2 = 3. e- x
22 = 3.e-x
Do¤ru cevap D
2x - x = x , x ≥ 02) y = 2x - x = 2x - ( -x) = 3x, x < 0
x2 - 4x + 3 , x ≤ 1, x ≥ 33) f (x) = x2 - 4x +3 = -x2 + 4x - 3 , 1 < x < 3
4) f (x ) = sgn (lnx) fonksiyonun grafi¤i, 0 < x <1 lnx < 0 sgn (lnx ) = -1
x = 1 lnx = 0 sgn (lnx) = 0
x > 1 lnx > 0 sgn (lnx) = +1
x - 1 , x < 0 ise5) f (x) = x + sgn x = x , x = 0 ise x + 1 , x > 0 ise
x - 1 , -1 ≤ x < 0 ise6) f (x) = x + [|x|] = x , 0 ≤ x < 1 ise x + 1 , 1 ≤ x < 2 ise x + 2 , 2 ≤ x < 3 ise
0
MATEMAT‹K 7
L‹M‹T
Limit
Sa¤dan ve Soldan Limit
Özel Fonksiyonlarda Limit
Limit Teoremleri
Belirsizlik Durumlar›
Örnekler
ÜN‹TE II
56
☞ BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIfiMALIYIZ?
* Ön bilgi olarak lise II s›n›f Matematik konusundaki trigonometri bilgisine ihtiyac›n›z olacak.
* Birinci bölümü çok iyi kavray›p bu bölüme geçiniz.
* Tan›mlar› çok dikkatli okuyun.
* Örnek ve çözümlerini çok iyi inceleyin yazarak çal›fl›n.
* Bölüm sonundaki de¤erlendirme sorular›n› çözmeniz yarar›n›za olacakt›r.
Bu bölümü çal›flt›¤›n›zda (bitirdi¤inizde),
* Bir fonksiyonun limitinin ne oldu¤unu ö¤renip kavrayacaks›n›z.
* Fonksiyonun limiti varsa sa¤dan ve soldan limitlerinin eflit oldu¤unu ö¤renecek ve kavrayacaks›n›z.
* Özel fonksiyonlar› gerçek fonksiyon olarak yaz›p, limitlerine bakmay›ö¤reneceksiniz.
* Limit teoremlerini kavray›p, üzerinde ifllem yapmay› ö¤reneceksiniz.
* Trigonometrik fonksiyonlar›n limitini kavray›p, problem çözme yetene¤inizi gelifltireceksiniz.
* Limit hesaplar›ndaki belirsizlik durumlar›n› inceleyerek, her belirsizlik durumu için ayr› bir yoldan limit hesab›n› yapmay› ö¤reneceksiniz.
BU BÖLÜM NELER‹ AMAÇLIYOR?
☞
☞ ☞MATEMAT‹K 7
ÜN‹TE II
L‹M‹T
Limit kavram› ve tan›m›, kavram olarak eski olmas›na karfl›n, tan›mlanmas› ve
kullan›lmas› çok eski de¤ildir. Örne¤in limit ünlü tekni¤i ile tan›mlanmas› ve
kullan›lmas› ülü Alman Matematikçisi Eduard Heine (1821-1881) taraf›ndan
olmufltur. Limit fizik ve mühendislikte yayg›n olarak kullan›l›l›r.
Limit kavram›n›n ö¤rencilere verilmesi, tan›t›lmas›, ö¤retilmesi ve ö¤renilmesi öyle okadar da kolay de¤ildir. Bunun için, limitin tan›t›lmas›na önce sezgisel olarakyaklaflal›m. Daha sonra tam tan›m›n› verelim.
f(x) fonksiyonu verilsin. x noktas› bir a noktas›na yeteri kadar yaklafls›n. x noktas›n›na noktas›na reel eksen üzerinde sa¤dan ve soldan olmak üzere, iki yönlü yaklafl›m›vard›r.
.a
Burada, x de¤erinin a de¤erine eflit olmas› gerekmez. Bir çok durumda, a noktas›, f(x)fonksiyonunun tan›m bölgesinde olmayabilir. Yani, x noktas› a noktas›na (x≠a) sa¤danve soldan yaklafl›rken f(x) fonksiyonu bir L say›s›na yaklafl›yorsa f(x) fonksiyonununbu a noktas›nda limiti vard›r denir ve k›saca limit;
(x noktas› a ya giderken f(x) fonksiyonunun limiti L dir, diye okunur.)
E¤er x noktas› , a ya yaklafl›rken f(x) fonksiyonu bir L say›s›na yaklaflm›yorsa,
f(x) fonksiyonunun limiti yoktur, diyece¤iz.
Yukardaki aç›klamalar gösteriyor ki, f(x) fonksiyonunun x=a noktas›na sa¤dan ve soldan
yaklafl›mlar› için , f(x) fonksiyonunun de¤erine eflit olmas› gerekir. Yani;
Aksi takdirde bu noktada limit yoktur diyece¤iz.
57
x - 1n
x + 1n
limx a
f(x) = L ile gösterilir.
limx a- f(x) = L1 ve lim
x a+ f(x) = L2
L1=L2= L ise limx a
f(x) = L dir.
MATEMAT‹K 7
Örnek: y = x2 fonksiyonu için , x noktas› 2 de¤erine yaklafl›rken, y de¤eri hangi de¤ereyaklafl›r? Bu durumda Reel eksen üzerindeki bu 2 say›s›na sa¤dan ve soldan de¤erlervererek yaklaflal›m.
x y = x2 x y = x2
1,5 2,25 2,9 8,41
1,7 2.89 2,5 6,25
1,9 3,61 2,1 4,41
1,99 3,9601 2,01 4.0401. . . .. . . .. . . .
Soldan yaklaflma Sa¤dan yaklaflma
2.Soldan yaklaflma Sa¤dan yaklaflma
Yukarda görüldü¤ü gibi x say›s›, reel eksen üzerinde gerek sa¤dan ve gerekse soldan 2 say›s›na yaklafl›rken y de¤eri de her iki hâlde de 4 say›s›na yaklaflmaktad›r.
Öyleyse oldu¤u kolayca yaz›l›r.
Benzer olarak de¤eri var m›d›r?
x f(x) = [|x|] x f(x) = [|x|]1,9 1
0,5 0 1,5 10,6 0 1,4 10,8 0 1,1 10,9 0 1,01 10.99 0 1,001 1
Soldan yaklaflma Sa¤dan yaklaflma
Görüldü¤ü gibi, soldan yaklafl›l›rsa limit de¤eri 0, sa¤dan yaklafl›l›rsa limit de¤eri
1 olmaktad›r. O hâlde,
58
x2 = 4Limx 2
Limx 1
[|x|]
Limx 1
[|x|] de¤eri yoktur denir.
MATEMAT‹K 7
A R, f : A R bir fonksiyon olsun. a R sabit bir say› olmak üzere, terimleri
A-{a} kümesinde olan ve a ya yak›nsayan her ( xn ) dizisi için (f( xn )) görüntü
dizileri bir L R say›s›na yaklafl›yorsa. x, a ya yaklafl›rken (x a için)
f fonksiyonunun limiti L dir denir ve limit;
Örnek: f = R R, f(x)= x2 -1 fonksiyonu veriliyor. x, 1 e giderken fonksiyonun limitini bulunuz.
Yani,
Çözüm: 1 e soldan yak›nsayan dizisi için,
Ayr›ca 1 e sa¤dan yak›nsayan dizisi için,
O halde ;
olarak yaz›l›r.
Pratik yöntem ile , limitin var oldu¤u kesin olarak biliniyorsa
59
Limx a
f(x) = L biçiminde gösterilir.
x2 - 1Limx 1
nedir?
1 - 1n
f xn = (1+ 1n)2-1 = 1+ 2
n + 1n2
-1
= 1n2
+ 2n = 1
n2 + 2. 1
n 0
1 + 1n
limx 1-
f(x) = limx 1+
f(x) = 0 oldu¤undan
limx 1
f(x) = 0
limx 1
f(x) = limx 1
x 2 - 1 =12 - 1 = 0➯
f (xn) = (1- 1n )2 - 1 = 1 - 2
n + 1n2
- 1 = 1n2
- 2n = 1
n2 -2 1
n 0
MATEMAT‹K 7
2 - x2, x < 0 iseÖrnek: f: R R, f(x) =
3, x ≥ 0 ise
fonksiyonu veriliyor.
Çözüm: 0 noktas›na soldan yaklafl›rsak, f(x) = 2 - x2
0 noktas›na sa¤dan yaklafl›rsak f(x) = 3 al›r›z.
O hâlde;
A R, f = A R bir fonksiyon olsun veA IR olsun.
60
lim f (x)x 0
de¤erini bulunuz.
lim f(x)x 0-
= (2 -x2) = 2-limx 0
-02 = 2
lim f(x)x 0+
=lim 3x 0+
=3
2≠ 3 oldu¤undan limit yoktur.
R+ için x -a < (delta) oldu¤unda f(x)- L < olacak biçimde bir
( ) R+ say›s› varsa, x a için f nin limiti L dir, denir ve f(x) = Llimx a
fleklinde gösterilir.
R+ için ( ) R+ öyleki x -a < f(x)- L < f(x) = Llimx a
Bu tan›m önceki limit tan›m›na denktir. Çünkü x-a < olmas› demek, xn-a < yani
xn a olmas› demektir. Bu durumda f(x) - L < olmas› demek f(xn) -L <
olmas› yani f xn L olmas› demektir.
Di¤er bir deyiflle x - a < olmas›, istenildi¤i kadar küçük seçildi¤inde x ile a
aras›ndaki uzakl›¤›n dan küçük kalmas› ve s›f›ra yaklaflmas›, dolay›s›yla x a
MATEMAT‹K 7
Bu durumda |f (x) -L | < olmas› ise, çok küçük lar için f(x) ile L aras›ndaki uzakl›¤›n0 a yaklaflmas› f(x) L olmas› anlam›na gelir.
Bu yönteme tekni¤i ad› verilir.
Örnek: f : R R, f(x) = 2x +1 ise oldu¤unu ispatlay›n›z.
SA⁄DAN VE SOLDAN L‹M‹T
A bir aç›k aral›k, a A ve f, A da ya da A-{a} da tan›ml› bir fonksiyon olsun.
1. x de¤iflkeni a ya sa¤dan yaklaflt›rd›¤›m›zda f(x) bir L1 say›s›na yaklafl›yorsa,
f nin x = a da sa¤dan limiti L1 dir, denir ve bu durum ;
2. x de¤iflkeni a ya soldan yaklaflt›¤›nda f(x) bir L2 say›s›na yaklafl›yorsa,
f nin x = a da soldan limiti L2 denir ve bu durum ;
3. x de¤iflkeni soldan ve sa¤dan a ya yaklaflt›¤›nda f(x) bir L say›s›na
yaklafl›yorsa , f nin x = a da limiti L dir denir ve bu durum
61
f(x) = L2 ile gösterilir.limx a-
f(x) = L1 ile gösterilir.limx a+
2x + 1 = 5Limx 2
f(x) = L ile gösterilir.limx a
R+ in f R2 öyleki, x-a < iken f x -L < olmal›d›r.
x - 2 < 2 x - 2 < 2
2x - 4 < 22x + 1 - 5 < 2
O hâlde 2 < dersek. <2
bulunur. Yani R+ verildi¤inde ( ) =2
veya =2
den küçük pozitif bir say›
olarak al›nabilir.
R+ en az bir bulundu¤unda tan›ma göre
2x + 1 = 5 olur.Limx 2
MATEMAT‹K 7
Parçal› fonksiyonlarda, parçalanma noktalar›nda (kritik noktalarda) sa¤dan ve soldan limite mutlaka
bak›lmal›d›r.
Örnek: f: R R f(x) =
Çözüm:
Örnek
62
1. f (x) = f (x) = L ise f (x) = L d›r.limx a
limx a+
limx a-
2. f (x) ≠ f (x)limx a-
ise f (x) yoktur.limx a
limx a+
3. h > 0 olmak üzere, f (x) = f (a -h) ve f (x) =lim
x a+f (a+h) dir.lim
h 0limh 0
limx a-
4. f (x) varsa bu limit tekdir.limx a
➯
➯x2 - 1, x < 0 ise2x+1, x ≥ 0 ise
f(x) nedir?limx 0
f (x) = (x2 -1) =02-1 = -1limx 0-
limx 0-
f(x) = (2x+1) =2.0+1 =1limx 0+
limx 0+
- 1 1 O hâlde
f (x) yoktur.limx 0
fiekildeki f (x) fonksiyonun x = 1noktas›nda limiti var m›d›r? Varsanedir?
MATEMAT‹K 7
Çözüm
Örnek
fiekildeki f(x) fonksiyonunun x = 1 noktas›nda limiti var m›d›r? Varsa nedir?
Çözüm
fonksiyonun limiti vard›r. Limit de¤eri 1 dir.
Bir fonksiyonun x = x0 noktas›nda limitinin olmas› için x = x0 noktas›nda tan›ml› olmas› gerekmez.
ÖZEL FONKS‹YONLARDA L‹M‹T
Bütün özel tan›ml› fonksiyonlar›n limiti araflt›r›l›rken, verilen özel tan›ml› fonksiyon
parçal› fonksiyon olarak yaz›lmal›, sonra sa¤dan ve soldan limit de¤erlerine bak›lmal›.
E¤er verilen noktada sa¤dan limit de¤eri soldan limit de¤erine eflit ise 0 noktada limiti
vard›r denir. Aksi hâlde verilen noktada limiti yoktur deriz.
63
f(x) =3limx 1+
f(x) =2limx 1-
3≠ 2 oldu¤undan f(x) yoktur.limx 1
f(x) =1limx 1+
f(x) =1limx 1-
f (1) = Tan›ms›z
f(x) =1limx 1
➯
MATEMAT‹K 7
Örnek:
Çözüm: f(x) = Sgn(x -2) fonksiyonunu parçal› fonksiyon olarak yazarsak.
x - 2 = 0
x = 2
- 1 ≠ 1 oldu¤undan x = 2 noktas›nda limit de¤eri
yoktur denir ve diye ifade edilir.
Örnek:
Çözüm:
olur. 4 ≠ 3 oldu¤undan limit yok.
Örnek
64
Sgn(x-2) = ?limx 2
-1, x< 2 isef(x) = 0, x= 2 ise
1, x> 2 ise
f(x) =-1limx 2-
f(x) =1limx 2+
sgn (x -2) yokturlimx 2
x + 2 = ?limx 2+
f(x) = 4limx 2+
f(x) = 3limx 2-
x- 4 = ?limx 4
f (x) = x+2 = x + 2x 2+ x = 2x 2- x = 1
oldu¤unu düflünürsek
MATEMAT‹K 7
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
f (x) = x- 4 fonksiyonunu parçal› fonksiyon olarak yazal›m. -x + 4 , x < 4 isex -4 = 0 , x = 4 ise x - 4 , x > 4 ise
f(x) = - x + 4 = - 4 + 4 = 0limx 4-
f(x) = 4limx 4
limx 4-
f(x) = ( x - 4) = 4 - 4 = 0limx 4+
limx 4+
65
xx = ?lim
x 0
- 1 , x < 0xx =lim
x 0 Tan›ms›z, x = 0
1 x > 0
f(x) = 1 = 1limx 0+
limx 0+
f(x) = ( -1) = -1limx 0-
limx 0-
1 -1 oldu¤undanxxlim
x 0 yoktur.
cos xlimx
2
= ?
cos x, 0 ≤ x <2
cos x = -cos x,
2 < x ≤
cos x = (- cos x) = -cos2
= 0limx (
2)+
limx (
2)+
cos x = (cos x) = cos2
= 0limx (
2) -
limx (
2) -
O hâlde (cos x) = 0limx (
2)
MATEMAT‹K 7
Örnek:
Çözüm :
Örnek:
Çözüm :
L‹M‹T TEOREMLER‹
A R, f: A R ve g : A R iki fonksiyon olsun.
66
f(x) =xx - Sgn 2x - 1 ise f (x) nedir?lim
x 0-
f (x) = - 1 - Sgn [|2. - 0.001 - 1|] = -1 - Sgn ( -0,002 -1) = -1+1 = 0limx 0-
f (x) = 1 - Sgn [|2. 0.001 - 1|] =1 -1 = 0limx 0+
oldu¤undan f (x) =0limx 0
2 - x x2 - 4
+Sgn 3x + 4
x + 2 = ?lim
x 2+
x 2+ iken 2-x = -2+x
Sgn (3x+4) = 1
x+2 = 4 dür.
f(x) = L1 , g(x) = L2 ve IR iselimx a
limx a
1) f±g (x) = f(x) ± g(x) = L1 ± L2limx a
limx a
limx a
2) f (x) = f(x) = . L1 limx a
limx a
3. f .g (x) = f(x) . g(x) = L1 .L2limx a
limx a
limx a
4) x A için g(x) 0 ve L2 0 ise
fg
(x) =f(x) lim
x a
g(x) limx a
=L1
L2 lim
x a
x-2(x-2) (x+2)
+Sgn 3x + 4
x + 2 =lim
x 2+
= 14
+ 14
= 12
MATEMAT‹K 7
Örnekler
TEOREM
Örnek:
Örnek:
Örnek:
Örnek:
67
a) (2x +3) = 2x+ 3limx 1
limx 1
limx 1
= 2.1 + 3 = 5b) 3x2 - 2x + 2 = 3x2 - 2x + 2lim
x 1 lim
x 1limx 1
limx 1
= 3 x2 - 2 x + 2limx 1
limx 1
limx 1
= 3 (1)2 - 2. (1) + 2
= 3 - 2 + 2 = 3
c) x2+4
x - 2 =
x2+4limx 1
x - 2limx 1
= 1+41 -2
= 5- 1
= - 5limx 1
d) 3x + sgn x2- 1 + [| x - 12
|] limx 2
= (3x) + sgn (x2 - 1) + [| x - 12
|]limx 2
limx 2
limx 2
= 6 + 1 + 1 = 8
1. f(x) =| f(x)| dir.limx a
limx a
2. cf(x) = cx alim f (x)
limx a
3. a) n bir çift do¤al say› ve f(x) ≥ 0 ise f(x)
nlimx a
= f(x)limx a
n
b) n bir tek do¤al say› ise f(x)
nlimx a
= f(x)limx a
n dir.
4. logb f(x)limx a
=logb f(x)limx a
dir
x-2 = x-2 = 0limx 2
limx 2
3x2=
limx2
3x 2 limx 2
= 34 = 81
xlimx 4
= lim xx 4
= 2
x2 -13
limx 2
= x2 -1limx 2
3 = 33
MATEMAT‹K 7
Örnek:
A R ve f : A R bir fonksiyon olsun.
1. (xn), (xn) için (f(xn)) L1 ise x için f fonksiyonunun limiti L1 denir
ve
2. (xn), (xn) için (f(xn)) L2 ise x için f fonksiyonunun limiti
L2 denir ve
Örnek:
Örnek:
Teorem:
Örnek:
68
(lnx) = ln lim xx e
limx e
= lne = 1
(f (x) = L1limx
biçiminde gösterilir.
f (x) = L2limx -
fleklinde gösterilir.
1x = 0lim
x
2+x1-x
= - 1 + 31- x
limx
limx
= (- 1) + 3-1+x
limx
limx
= -1 +0 = -1a < 1 ise ax = 0 d›r.lim
x
13
x = 1
3x = 0limx
limx
x +2-x +1
= -1 + 3-x + 1
Geniflletilmifl reel say›larda ifllem ve özellikleri:
a olsun
1) a. =
2 ) + =
3 ) = belirsiz
4 ) - = belirsiz
5 ) - a =
6 ) 0 = belirsiz
7 ) 00 = belirsiz
Polinom fleklindeki ifadelerde x ± için limit hesab›
k R, n N +
f(x) = axn + bxn-1 +cxn-2 + ....+ k
f (x) = a + bx
+ c
x2 + ...... + k
xn = ± n. alim xn
x ± lim
x ±
Pratik kuralp(x)
Q(x) , Q (x) 0lim
x
E¤er, der p(x) > der Q(x) ise limitin de¤eri veya - dur.
E¤er, der p(x) = der Q (x) ise en büyük dereceli terimlerin katsay›-
lar›n›n bölümü
E¤er der p (x) < der Q(x) ise limitin de¤eri 0 d›r.
MATEMAT‹K 7
TR‹GONOMETR‹K FONKS‹YONLARIN L‹M‹T‹
Teorem: a,b,c R olmak üzere,
3- 9 aras› ifadelerin anlamlar› türev konusunda l Hospital kural› ile daha iyi anlafl›lacakt›r.
BEL‹RS‹ZL‹K DURUMLARI
Limit hesaplamalar›nda ,
69
1. sin x = sin alimx a
2. cos x = cos alimx a
3. xsin x
= 1limx 0
4. sin xx = 1lim
x 0
5. tanxx = 1lim
x 0
6. tan bxsin cx
= bc lim
x 0
7. sin bxsin cx
= bc lim
x 0
8. tan bxtan cx
= bc lim
x 0
9. sin bxtan cx
= bc lim
x 0
➯
00
, , 0. , - , belirsizlik durumlar›n› görelim
f(x)g(x)
içinf(x)lim
x a
g (x)limx a
= 00
olmas› durumunda pay ve payda da (x-a) çarpan›limx a
var demektir.
A) 00
biçimindeki belirsizlikler.
Pay x - a). f1 (x) payda da (x -a) . g1 (x ) fleklinde çarpanlar›na ayr›l›rsa
MATEMAT‹K 7
hâline gelir. E¤er yine hâlinde ise ayn› yol ile pay ve payda çarpanlar›na ayr›l›r.
Örnek:
Örnek:
Örnek:
durumunda pay ve payda en yüksek dereceli x parantezine al›n›p k›saltmalar yap›l›r velimit hesab›na geçilir.
Örnek:
70
f (x)limx a
g (x)limx a
=(x -a) f1 (x)lim
x a
(x- a) g1(x)limx a
=f1 (x)lim
x a
g1(x)limx a
00
x2 - 4x - 2
= 4 - 42 - 2
= 00
belirsiz.limx 2
(x -2) (x + 2)x - 2
= x + 2 = 4limx 2
limx 2
x2 - x - 2x + 1
=-1 2 - -1 - 2
-1 +1 = 1 + 1 - 2
0 = 0
0 belirsiz.lim
x -1
(x +1) (x - 2)x + 1
= x - 2 = -1 - 2 = - 3limx -1
limx -1
y3 - x3
y2 - x2 =
y3 - y3
y2 -y2 = 0
0 lim
x y
(y -x) y2 + yx + x2
(y- x) (y + x) =
y2 + yx +x2
y + x =y2+y2+y2
2y lim
x y lim
x y
=3y2
2y = 3
2 y
B) biçimindeki belirsizlikler.
f (x)g (x)
için f (x)lim
x
g (x)limx
= limx
x2+xx2 - x
= x2+xx2 - x
= o hâlde,limx
x2+xx2 - x
=x2 1 + 1
x
x2 1 - 1x
limx
= 1 + 1
xlimx
1 - 1xlim
x
=1 + 1
xlimx
limx
1 - 1xlim
xlimx
= 1+01- 0
= 1limx
1x
= 0 limx ➯
MATEMAT‹K 7
Örnek:
Örnek:
C) - B‹Ç‹M‹NDEK‹ BEL‹RS‹ZL‹K
Örnek:
Çözüm
71
3x4- 7x2+33x2 - 5x + 7
= o hâlde,limx
x4 3 - 7x2
+ 3x4
x2 3 - 5x + 7
x2
=x2. 3 - 7
x2 + 3
x4 lim
x
3 - 5x + 7
x2limx
limx
=3x2 - 7
x2 + 3
x4 lim
xlimx
limx
3- limx
5x + 7
x2limx
limx
= - 0 + 0
3 - 0 + 0 =
3 =
x2+ 1x -1
=-
limx -
x2 1 + 1x2
x . 1- 1x
=- 1+0
1-0 = - lim
x -
f (x) - g (x) için f(x) - g (x)limx
= - durumunda f (x)limx
limx
ifadesi, eflleni¤i olan f (x) + g (x) ifadesi ile çarp›l›p bölünürse 00
veya belirsiz-
li¤i ile karfl›lafl›l›r. Bundan sonra, önceki yöntemlerle limit bulunmaya çal›fl›l›r.
x - x ifadesini bulunuz.limx
x - x = - o hâlde,limx
limx
(x - x ) (x + x )(x + x)
= x2 - xx + x
= bulimx
limx
durumdan sonra önceki
yöntemlerle
x2( 1 - 1x )
x (1 - x- 12 )
= 1-01-0
=limx
-+ -+ -+
MATEMAT‹K 7
Örnek:
Çözüm:
Örnek:
Çözüm:
D) 0. B‹Ç‹M‹NDEK‹ BEL‹RS‹ZL‹KLER
Örnek:
Çözüm:
72
2x2-1
- 1x - 1
ifadesini bulunuz.limx 1
2x2-1
- 1x - 1
= - O hâlde,limx 1
limx 1
2x2-1
- 1x - 1
( x +1)
2 - x - 1x2-1
= - x + 1x2-1
= 00
limx 1
limx 1
limx 1
- (x - 1)(x - 1) (x + 1)
= -1x + 1
= - 12
limx 1
limx 1
x - 2x - 1 de¤erini bulunuz.limx
x - 2x - 1 = - o hâlde eflleni¤i ile çarp›p bölelim.limx
limx
x - 2x - 1 x + 2x - 1
x + 2x - 1 =lim
x
= x2 - 2x +1x + 2x - 1
= bulunur.limx
x2 1- 2
x + 1x2
x 1 + 2x - 1
x2
= x = limx
limx
f (x) . g(x) için f (x) . g (x) = 0. olmas› durumunda bu belirsizliklimx a
limx a
limx a
f (x) . g (x) =g (x)
1f (x)
ya da f (x)
1g (x)
hâlinde yaz›l›rsa ya da 00
limx a
limx a
limx a
belirsizlikleri hâline dönüfltürürüz.
1x . x2 -1 limitini bulunuz.lim
x
1x x2 -1 1
x x2 -1 = 0. o hâlde,limx
limx
1x x2 -1 =
x2 1- 1x2
x = 1 - 1 =limx
limx
MATEMAT‹K 7
Çözüm: x - 11+ x
=-1 - 1
1 + (-1)+ =-20+ = - x - 1
1 + x x - 1
1 + x lim
x (-1) -lim
x (-1)+ lim
x (-1)+
x - 11 + x
=-1 - 1
1+ (-1)- =-20- = + limit yok.lim
x (-1)-
L‹M‹TE A‹T ÖRNEKLER
Çözüm:
73
1) 1x de¤eri var m›d›r?lim
x 0
1x = + , 1
x = - limx 0-
limx 0+
1x = 1
x 1x yoklim
x 0 lim
x 0- lim
x 0+
2) 1 + x2x
= ?limx 0+
Çözüm: x > 0 2x = 2x;
1+ x2x
= 1+ 12
= 32
limx 0+
3) 1+ x2x
= ?limx 0-
Çözüm: x < 0 ise 2x = - 2x
1+ x2x
= 1+ x-2x
= 1- 12
= 12
limx 0-
4) x - 11 + x
de¤eri var m›d›r?limx -1
5) x2
x de¤eri var m›d›r?limx 0
Çözüm: x2
x =x x lim
x 0 lim
x 0
x > 0 ise x = x x < 0 ise x = - x d›r.
o hâlde, xx = 1lim
x 0+
xx = -1lim
x 0-
xx
xx = oldu¤undan limit yok.lim
x 0-limx 0+
oldu¤undan
MATEMAT‹K 7
74
6) Sgn x + (2x-1) de¤eri var m›d›r?limx 0
Çözüm: Sgn x + 2x - 1 = Sgn [|0+|] + 2. 0 -1limx 0+
=0 - 1 = -1 Sgn x + 2x - 1 = Sgn [|0-|] + 2 0 - 1lim
x 0-
= Sgn (-1) + (-1)
= - 1 - 1 = - 2 - 1 - 2 o hâlde limit yok.
7)x-2x-2
+Sgn x ifadesini hesaplay›n›z.limx 2+
Çözüm: (x - 2)x - 2
+ Sgn x = (1 + Sgn x)limx 2+
limx 2+
= 1 + Sgn (2+) = 1+ 1 = 2
8) 1+21x de¤eri var m›d›r?lim
x 0
Çözüm: 1 +21x = 1+ 2
10+ = 1 + 2 = 1+ = lim
x 0+
1 +21x = 1+ 2- = 1 + 1
2 = 1 limit yoktur.lim
x 0-
9) x2 - 6x + 9x2 - 2x - 3
ifadesini hesaplay›n›z.limx 3
10) x - 12x - 2
ifadesini hesaplay›n›zlimx 1
Çözüm: 1 - 12 - 2
= 00
= belirsiz.
x - 12 . ( x - 1)
= 12
= 12
= 2 2
limx 1
limx 1
Çözüm: 32 - 6.3 +9
32 - 2.3 -3 = 0
0 belirsiz.
(x - 3) (x - 3)(x - 3) (x +1)
= x - 3x + 1
= 0 4
= 0limx 3
limx 3
MATEMAT‹K 7
75
11) 3+x - 2x2-1
ifadesini hesaplay›n›z.limx 1
Çözüm: 3+x - 2x2 -1
= 00
belirsiz.limx 1
( 3+x - 2) ( 3+x + 2)
(x2 -1) ( 3+x +2) = 3 + x - 4
(x2 - 1) ( 3 + x + 2 lim
x 1limx 1
=(x -1)
(x - 1) (x + 1) ( 3+x +2) = 1
(x + 1) ( 3+x + 2) = 1
2 (2+2) = 1
8limx 1
limx 1
12) 2x2- 3x+15x4-2x + 1
ifadesini hesaplay›n›zlimx ±
Çözüm: 2x2- 3x+15x4-2x + 1
= belirsizlimx ±
x2 2 - 3
x + 1x2
x4 5 - 2x3
+ 1x4
= 2-0+02 5-0+0
= 2 = 0limx ±
13) xcos x de¤eri var m›d›r?lim
x2
Çözüm: xcos x = 2
cos (2)+
= 2
0+ = +limx (
2)+
xcos x = 2
cos (2)-
= 2
0- = -limx (
2) -
xcos x yoktur.lim
x (2
)
15) cos xx de¤eri var m›d›r?lim
x 0
Çözüm: cos xx =
cos (0+)0+ = 1
0+ = limx 0
+
cos xx yoktur.lim
x 0
cos xx = cos 0-
0- = 10- = - lim
x 0-
MATEMAT‹K 7
ÖZET
Bu bölümde, afla¤›daki durumlar ö¤rencilere verilmeye çal›fl›lm›flt›r:
1. Limitin tarihçesi, limite sezgisel yaklafl›m ve limitin tan›m› verilmifltir.
2. Limitde sa¤dan ve soldan yaklaflman›n ne oldu¤u anlat›larak örneklerlepekifltirilmifltir.
3. Limitin var olup olmad›¤›n› anlamak için - (Epsilon- Delta) tekni¤i ö¤rencilere tan›t›lm›flt›r.
4. Sa¤dan ve soldan limitin tan›m› verilerek ve gerekli uyar›larda bulunduktansonra örneklere geçilmifltir.
5. Özel fonksiyonlar›n limitinin nas›l al›naca¤› ö¤rencilere anlat›lm›fl, ilgiliörneklerle limit konusu aç›kl›k kazanm›flt›r.
6. Limit teoremleri verilip, pekifltirmek için örneklere baflvurulmufltur.
7. Limitte belirsizlik durumlar› verilip, ilgili örneklerle baz› belirsizlik durumlar› için limit al›nm›flt›r.
76
MATEMAT‹K 7
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ 2
A) 4 B) -3 C) -2 D) 1
A) -2 B) -1 C) 0 D) 1
A) -1 B) 0 C) 1 D) 2
4) flekildeki f (x) fonksiyonun grafi¤i verilmifltir.Buna göre x = 1 noktas› için ne söylenir?
a) x = 1 noktas›nda limit yoktur.
b) x = 1 noktas›nda limit vard›r.
c) x = 1 noktas›nda limit vard›r ve 2 dir.
d)
A) 0 B) 1 C) 2 D) limiti yoktur.
77
1) 5-3x2
de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?limx 3+
2) f (x) = sgn (x2 - 3x - 4) + 1 ise f (x) de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?limx 4-
3) f : R R f (x) = x2+ 1, x < 0 ise 2x + 1 , x ≥ 0 ise f (x) de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?lim
x 0
f(x) = 3limx 1-
5) sin x de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?limx
2
6) 3x2+5x - 3
de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?limx
A) e B) 12
C) 0 D)
7) ( x -x) de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?limx
A) 0 B) - 1 C) 1 D) -
✎
y
MATEMAT‹K 7
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹N‹N ÇÖZÜMLER‹
Do¤ru cevap B
2)
Do¤ru cevap C
Do¤ru cevap C
Do¤ru cevap A
Do¤ru cevap B
sin x 0 < x <2
5) sin x = -sin x
2 < x <
=lim
x2
sin x = sin x = sin2
= 1limx
2
78
1) [|5 - 3+
2|] = - 3lim
x 3+
x 4+ x2 - 3x - 4 < 0 d›r.Sgn x2 - 3x - 4 = - 1
f (x) = - 1 + 1 = 0limx 4-
3) x2 + 1 = 1limx 0-
2x + 1 = 1limx 0+
4) f (x) = 2limx 1-
2 3 limit yok.f (x) = 3lim
x 1+
MATEMAT‹K 7
Do¤ru cevap D
Do¤ru cevap D
79
6) I. Yol der 3x2 + 5 > der (x-3) oldu¤undan 3x2 + 5
x -3 =lim
x
II. Yolx2 3+ 5
x2
x 1 - 3x
=3+01-0
=limx
7) - biçiminde,
( x - x) . ( x +x)
x +x = x - x2
x +x = biçiminde belirsiz.lim
xlimx
x2 1x -1
x 1x
+1 =
0-10+1
= -limx
MATEMAT‹K 7
SÜREKL‹L‹K
Süreklilik
Baz› fonksiyonlar›n süreksiz oldu¤u noktalar› bulma
Süreksizlik çeflitleri
Örnekler
ÜN‹TE III
82
☞ BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIfiMALIYIZ?
* Limit konusunu ö¤renmeden, süreksizlik konusunu ö¤renmeye asla geçmeyiniz.
* Tan›mlar› dikkatli okuyunuz.
* Verilen örnekleri inceleyip, sürekli neden, niçin sorular›n› kendinize sorunuz.
* Bölüm sonundaki de¤erlendirme sorular›n› mutlaka çözmeye çal›fl›n›z.
Bu bölümü çal›flt›¤›n›zda (bitirdi¤inizde);
* Limit kavram› ile süreklilik kavram› aras›ndaki iliflkiyi kavrayacak,
* Sa¤dan ve soldan süreklilik tan›mlar›n› kavrayacak, ilgili sorular›n çözümleriniö¤renecek,
* Fonksiyonlar›n süreksiz oldu¤u noktalar› bulmay› ö¤renecek,
* Süreksizlik çeflitleri hakk›nda bilgi sahibi olacak, verilen süreksiz fonksiyonun netür süreksiz oldu¤unu söyleyebileceksiniz.
BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI
☞
☞ ☞
MATEMAT‹K 7
SÜREKL‹L‹K
Limit kavram› ile süreklilik kavram›n›n birbiriyle çok yak›n iliflkisi vard›r. K›saca
söylemek gerekirse, süreklilik bir limit problemidir.
biçimindeki tan›mda f fonksiyonunun x = a noktas›n›n sa¤›nda ve solunda
gibi sa¤ ve sol limitleri var, bu sa¤ ve sol limitler birbirine eflit yani,
ise f fonksiyonun x = a noktas›nda limiti vard›r denir. Görülüyor ki limitin varl›¤› için
fonksiyonun sa¤ ve sol limitleri var, birbirine eflit fakat bu limitin fonksiyonun o
noktadaki de¤erine eflit olmas› gerekmez.
Örne¤in;
biçiminde tan›mlanan f(x) fonksiyonunu düflünelim. Buna göre
oldu¤u aç›kt›r. ‹flte, bu örnek bizi afla¤›daki tan›ma götürür.
oluyorsa, f fonksiyonuna x = a noktas›nda süreklidir denir. Aksi hâlde,
f fonksiyonuna x = a noktas›nda sürekli de¤ildir veya f fonksiyonu x = a noktas›nda
süreksizdir denir.
83
f(x) =1, x a ise0, x = a ise
f(x) =1 =limx a+
f(x) ise f(x) =1limx a
limx a-
f (a) = 0, f(a) f(x)limx a
f(x)limx a+
ve f(x)limx a-
f(x)limx a-
= limx a+
f(x)
x=a'da tan›ml› olmal›.
f(x) limit var. Yani,limx a
1. f(x) =limx a-
f(x) =limx a+
f (x)limx a
2. f(x) = f (a)limx a
f(x)limx a
MATEMAT‹K 7
ÜN‹TE III
Limitte oldu¤u gibi, süreklili¤i de sezgisel yolla söylemek olana¤› vard›r.Fonksiyonun grafi¤inde hiçbir kesiklilik yoksa, fonksiyon sürekli olur. E¤er fonksiyonun grafi¤inde kesiklilik varsa, bu kesiklili¤i yapan noktalarda fonksiyonsüreksizdir denir.
x = 1 noktas›nda süreksiz x = 1 noktas›nda süreksiz
a,b R ve x0 (a,b) olmak üzere, f : (a,b) R fonksiyonunda,
ise, f fonksiyonu x0 noktas›nda süreklidir.
f fonksiyonu en az bir x0 (a,b) noktas›nda sürekli de¤ilse, f fonksiyonu (a,b)
aral›¤›nda sürekli de¤ildir.
BAZI FONKS‹YONLARIN SÜREKS‹Z OLDU⁄U NOKTALARI BULMA
a) Rasyonel fonksiyonlar; payday› s›f›r yapan noktalarda, fonksiyon tan›ms›z
olaca¤›ndan, bu noktalarda süreksizdir.
Örnek :
84
f(x) = f(x0) limx x0
E¤er f(x) f(x0) ise f fonksiyonu, x0 noktas›nda sürekli de¤ildir.limx x0
(Süreksizdir.)
f(x) = xx - 1
x - 1 = 0 x = 1 noktas›nda süreksizdir.
MATEMAT‹K 7
b) ‹rrasyonel fonksiyonlarda; kök kuvveti çift ise fonksiyon, kök içini negatif yapan
de¤erler için tan›ms›z ve süreksizdir.
Örnek :
tan›ms›z ve süreksizdir.
c) Parçal› fonksiyonlar; kritik noktalarda süreksiz olabilir. Yine de incelemekte fayda
var.
d) y = Sgn f(x) fonksiyonu; f(x) = 0 denkleminin köklerinde süreksizdir.
Örnek : y=Sgn(x + 1) fonksiyonu x + 1 = 0 den x = -1 noktas›nda süreksizdir.
e) y = [|f(x)|] fonksiyonu f(x) Z olacak flekilde seçilen x R ler için süreksiz
olabilir.
Örnek :
O hâlde (e) deki durumu süreklilik tan›m›n› kullanarak incelemek daha do¤rudur.
Örnek : f : R R fonksiyonu,
ile tan›mlans›n. f fonksiyonunun x0 = 1 noktas›nda sürekli olup olmad›¤›n› bulunuz.
Çözüm :
Oldu¤undan f(x) fonksiyonu x0 = 1 noktas›nda süreklidir.
85
y = x + 1 fonksiyonu için x + 1 < 0 x < -1 için
y = 2x3
fonksiyonu x = 3, 6, 9, .... noktalar›nda süreksizdir.
Ancak y = (x - 1)2 fonksiyonu x = 1 için (x - 1)2 Z oldu¤u hâlde
x = 1 noktas›nda süreklidir.
f(x) =
x2 - 1x - 1
, x < 1 ise
2 , x = 1 ise-x2 - 2x + 5 , x > 1 ise
f(x) = x2 - 1x - 1
limx 1-
=(x - 1) (x + 1)
x - 1limx 1-
limx 1-
= limx 1-
(x + 1) = 2
f(x)= (- x2 - 2x + 5) = -(1+)2 - 2 (1+) + 5 = -1 -2 +5 = 2limx 1+
limx 1+
f(1) = 2f(x) = 2 = f(1)lim
x 1
➯
MATEMAT‹K 7
Örnek :
Çözüm :
Teorem :
f : A R ve g : A R fonksiyonlar› x0 noktas›nda sürekli iseler.
1) f + g fonksiyonu x0 noktas›nda süreklidir.
2) f . g fonksiyonu x0 noktas›nda süreklidir.
4) a R olmak üzere, a . f fonksiyonu x0 noktas›nda süreklidir.
Örnek : h : R R
h(x) = [| x - 1 |] fonksiyonu x = 1 noktas›nda sürekli midir?
Çözüm :
O hâlde h(x) fonksiyonu x = 1 noktas›nda sürekli de¤ildir.
86
Sgn (x - 2)2 = Sgn (2- - 2)2 = Sgn (-0,0....1)2 = 1limx 2-
Sgn (x - 2)2 = Sgn (2+ - 2)2 = Sgn (0,0....1)2 = 1limx 2+
g(2) = Sgn (2 -2)2 = 0g(x) g(2) oldu¤undanlim
x 2
g(x) fonksiyonu x0 = 2 noktas›nda sürekli de¤ildir.
g : R R
g(x) = Sgn (x - 2)2 ile tan›mlans›n g fonksiyonu x0 = 2 noktas›nda
sürekli midir?
3) x A için g (x) ≠ 0 olmak üzere, fg fonksiyonu x0 noktas›nda süreklidir.
A R, x0 A olmak üzere
5) f(A) A ise gof fonksiyonu x0 noktas›nda süreklidir.
h(x) = [|1- - 1|]= -1limx 1-
h(x) = [|1+ - 1|] = 0limx 1+
MATEMAT‹K 7
Örnek : Afla¤›daki flekillere göre fonksiyonlar›n hangi noktalarda süreksiz oldu¤unu
gösterelim.
Çözüm : A) fiekile göre f(2) yok, Bu durumda f, x=2 noktas›nda süreksiz.
SÜREKS‹ZL‹K ÇEfi‹TLER‹
Örnek :
fonksiyonunun x = 1 noktas›ndaki süreklilik durumunu araflt›r›n›z.
Çözüm:
x = 1 noktas›ndan fonksiyonun kald›r›labilir süreksizli¤i vard›r.
87
A R ve f: A R bir fonksiyon olsun.
f(x) = L R fakat f(x) ≠ f(a) iselimx a
limx a
ise f fonksiyonu x= a noktas›nda kald›r›labilir bir süreksizli¤i vard›r.
f(x) = x + 1, x < 1 ise 4 , x = 1 isex2 + x, x >1 ise
x + 1 = 2limx 1-
12 + 1 = 2limx 1+
f(x) = 2limx 1
Ancak, f(1) = 4f(x) f(1)lim
x 1
B) fiekile göre f(2) var. Ancak f(x)limx 2
yok. Bu durumda f, x=2 noktas›nda
süreksiz.
MATEMAT‹K 7
Örnek : f(x) = Sgn (x + 1) fonksiyonunda x = -1 noktas›nda ne tür süreksizli¤e
sahiptir?
Çözüm :
Örnek :
Çözüm :
oldu¤undan f fonksiyonunun x = 0 noktas›nda sonsuz süreksizli¤i vard›r.
88
A R ve f : A R bir fonksiyon olsun.
f (a) R, f(x) = L1 R , f(x) = L2 Rlimx a+
limx a-
ve L1 L2 ise
f fonksiyonunun x = a noktas›nda s›çramal› süreksizli¤e sahiptir.
f(x) = Sgn (-1- + 1) = -1limx -1-
f(x) = Sgn (-1+ + 1) = 0limx -1+
-1 ≠ 0O hâlde fonksiyon s›çramal› süreksizli¤e sahiptir.
A R ve f : A R bir fonksiyon olsun.
E¤er x a için fonksiyonu sa¤dan ya da soldan limitlerinden en az
biri + ya da - oluyorsa f fonksiyonu x = a da sonsuz
süreksizli¤i vard›r, denir.
f : R R, f(x) = 1x fonksiyonunun x = 0 daki süreksizlik türünü belirtiniz.
f(x) = 10+ = +lim
x 0+
f(x) = 10- = -lim
x 0-
MATEMAT‹K 7
SÜREKL‹L‹K ‹LE ‹LG‹L‹ ÖRNEKLER
Süreklilik tan›m›ndan faydalanarak afla¤›daki fonksiyonlar›n belirtilen noktalarda sürekli olup olmad›klarn›› araflt›rn››z.
1) f(x) = Sgn x, x0 = 0
Çözüm:
Çözüm:
Çözüm:
Çözüm:
89
f(x) = Sgn (0+) = +1limx 0+
f(x) = Sgn (0-) = -1limx 0+
f(x) f(x)limx 0-
limx 0+
Limit yoktur. O hâlde x0 = 0 noktas›nda fonksiyon sürekli de¤ildir.
2 ) f(x) = 1x - 2
, x0 = 2
1x - 2
= 10+ = +lim
x 2+
1x - 2
= 12- - 2
= 10- = -lim
x 2-
Limit yok x = 2 noktas›nda sürekli de¤ildir.
3 ) f(x) = x , x0 = 0
(+x) = 0limx 0+
(-x) = 0limx 0-
f(x) = 0 = f(0) x0 = 0 noktas›nda f(x) süreklidir.limx 0
f(0) = 0 = 0
4 ) f(x) = Sgn (x + 1) , x0 = -1
Sgn (-1)+ + 1 = Sgn (0+) = 1Sgn (-1)- + 1 = Sgn (0-) = -1
f(x) f(x)limx (-1)-
limx (-1)+
Limit yok x0 = -1 noktas›nda sürekli de¤ildir.
MATEMAT‹K 7
Çözüm:
Çözüm:
Çözüm:
x -∞ - 2 2 + ∞
-x2+4 - 0 + 0 -
90
5 ) f(x) =1, x ≤ 3ax + b, 3 < x < 5 ise7, x ≥ 5
f(x) nin R de sürekli olmas› için a ve b
ne olmal›d›r?
f(x) = f(x) = f(3) 3a + blimx 3-
limx 3+
f(x) = f(x) = f(5) 5a + blimx 5-
limx 5 +
5a + b = 7 3a + b = 1 __________ 2a = 6 a = 3 ve b = -8
6 ) f(x) = 1x2 - 7x + 10
fonksiyonlar›n sürekli oldu¤u kümeyi belirtiniz.
Payda x2 - 7x + 10 (x - 5) (x - 2) = 0 x = 5 ve x = 2
f(x) in sürekli oldu¤u aral›k payday› s›f›ryapmayan de¤erler oldu¤undan, foksiyonunsürekli oldu¤u aral›k, R- 2 , 5
7 ) f(x) = -x2 + 4 fonksiyonlar›n sürekli oldu¤u kümeyi belirtiniz.
Sürekli oldu¤u aral›k;
-x2 + 4 ≥ 0
-x2 + 4 = 0x2 = 4x1,2 = ±2
Sürekli oldu¤u aral›k {x : -2 ≤ x ≤ 2, x R }
TANIM BÖLGES‹
f(x) =1, f(x) = 3a+b,limx 3+
f(x) =5a+b, f(x) =7,limx 5+
f(3) =1, f (5) =7limx 5 -
limx 3-
MATEMAT‹K 7
Çözüm:
ile tan›mlan›yor, f fonksiyonunun süreksiz oldu¤u noktalar kümesini bulunuz.
Çözüm: Kritik nokta x = 1 oldu¤undan,
10)
fiekildeki h fonksiyonu x = 1
noktas›nda sürekli midir?
91
8) f(x) = 1x2 - x
fonksiyonunun sürekli oldu¤u aral›k nedir?
9 ) f : R R fonksiyonu
f(x) = x - 1x - 1
, x 1 ise
1 , x = 1 ise
x - 1x - 1
=-(x -1)
x - 1 = -1lim
x 1-limx 1-
x - 1x - 1
= x - 1x - 1
= 1limx 1+
limx 1+
Limit yok. x=1 noktas›nda sürekli de¤il.
Sürekli oldu¤u aral›k;
x2 - x > 0x2 - x = 0x(x - 1) = 0
x = 0 , x = 1
Sürekli oldu¤u aral›k {x : x < 0, x > 1, x R }
MATEMAT‹K 7
Çözüm:
11) Afla¤›da verilen f, g, h, fonksiyonlar›n› inceleyiniz.
f : [a, b] R sürekli g : [a, b) R sürekli
h : (a, b) R sürekli
(1) = 0
92
(x) = 2limx 1-
(x) = 0limx 1+
h(x) = 3limx 1-
= h(x)limx 1+
Ancak h(1) = 1
oldu¤u için h fonksiyonu x = 1 noktas›nda sürekli de¤ildir.
x = 1 noktas›nda fonksiyonu sürekli
de¤il.
MATEMAT‹K 7
ÖZET
Bu bölümde, afla¤›daki konular ö¤rencilere verilmeye çal›fl›lm›flt›r.
Limit kavram› ile süreklilik kavram›n›n birbiriyle yak›n iliflkisi anlat›lm›flt›r.
Sa¤dan ve soldan süreklilik tan›mlar› verilmifltir.
Fonksiyonlar›n süreksiz oldu¤u noktalar› bulmak için gerekli tan›m ve örnek çözümleriverilmifltir.
Süreksizlik çeflitleri hakk›nda bilgi verilmifl örneklerle, ö¤rencilerin kavrama kabiliyetleri h›zland›r›lm›flt›r.
93
MATEMAT‹K 7
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ (3)
1. fiekilde f fonksiyonunun grafi¤i veril-
mifltir. Bu fonksiyonun süreksiz oldu¤u
noktalar kümesi hangisidir?
A) {-2, -1, 2}
B) {-1, 1}
C) {-2, -1, 3}
D) {-2, -1, 0, 1, 3}
2.
fonksiyonu hangi x de¤erinde süreksizdir.
A) -3 B) -2 C) 0 D) 5
3. f(x) = Ln (4 - x2) kural› ile verilen f fonksiyonu afla¤›daki kümelerden hangisinde
süreklidir?
A) [-2, 2] B) ] –∞, 2] C) [2, ∞] D) (–2, 2)
4.
fonksiyonu R de sürekli ise a say›s› kaçt›r?
A) -2 B) -1 C) 0 D) 1
94
✎
f(x) =2x3
, x > -3 ise
1x2 - 9
, x -3 ise
f(x) =x2 + kx , x ≥ 1 isekx + a , x < 1 ise
MATEMAT‹K 7
5.
fonksiyonunda x = 1 noktas› için afla¤›dakilerden hangisi söylenir?
A) Fonksiyonun x = 1 noktas›nda limiti yoktur.
B) Fonksiyonu x , 1 noktas›nda süreklidir.
C) Fonksiyonun x = 1 noktas›nda kald›r›labilir süreksizli¤i vard›r.
D) Fonksiyonun x = 1 noktas›nda s›çramal› süreksizli¤i vard›r.
6.
fonksiyonunda x = 0 noktas› için afla¤›dakilerden hangisi söylenir?
A) Fonksiyonun x = 0 noktas›nda limiti vard›r.
B) Fonksiyonun x = 0 noktas›nda süreklidir.
C) Fonksiyonun x = 0 noktas›nda kald›r›labilir süreksizli¤i vard›r.
D) Fonksiyonun x = 0 noktas›nda sonsuz süreksizli¤i vard›r.
95
f(x) =x2 + 1 , x < 1 ise 3 , x = 1 isex3 + x2, x > 1 ise
f : R R f(x) =1x2
, x > 0, ise
x , x < 0 ise
MATEMAT‹K 7
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹N‹N ÇÖZÜMLER‹
1. x = -2, -1, 0, 1, 3 noktalar›nda tan›ml› de¤ildir. O hâlde bu noktalar süreksizlik nokta-lar›d›r.
Do¤ru Cevap D
2. Kritik noktaya bak, x=-3 için. Do¤ru cevap A
3. Lnf(x) de sürekli oldu¤u noktalar f(x) > 0
O hâlde, 4 - x2 > 0
x -2 2
4-x2 - 0 + 0 - Ç.K = (-2, 2)
çözüm
Do¤ru cevap D
4.
1 + k = k + a
a = 1 Do¤ru cevap D
5. O hâlde kald›r›labilir süreksizli¤i vard›r.
Do¤ru cevap C
6. Sonsuz süreksizli¤i vard›r. Do¤ru cevap D
96
f(x)limx 1
+= f(x)lim
x 1-
olmalı.
x2limx 1
-+ 1 = 2, x3 + x2lim
x 1+
= 2
f(x) = 3limx 1
1x2
= +limx 0
+
x = 0limx 0
-
f(x) f(x)limx - 3+
limx - 3-
MATEMAT‹K 7
SÖZLÜK
- A -
aç› : Bafllang›ç noktalar› ortak olan, iki ›fl›n›n bileflimi.
aral›k : ‹ki say› aras›ndaki aç›kl›k.
artan fonksiyon : x1, x2 [a,b] için
x1<x2 ise f(x1) < f(x2) koflulunu sa¤layan fonksiyon.
ardafl›k türevi : Bir fonksiyonun birinci, ikinci, üçüncü, ..., n, türevleri.
asimptot : Bir e¤rinin sonsuzda yaklaflt›¤› e¤ri veya do¤ru.
azalan fonksiyon : x1, x2 [a,b] için
x1<x2 ise f(x1) > f(x2) koflulunu sa¤layan fonksiyon.
- B -
belirsiz ifade :
birim çember : Merkezi orjinde bulunan ve yarçap› 1 birim olan çember.
büküm noktas› : Bir fonksiyonun çukurlu¤unun yön de¤ifltirdi¤i nokta.
- C-Ç-D -
çift fonksiyon : Tan›m kümesindeki her x eleman için f(-x) = f(x) olan fonksiyon.
determinant : Karesel matrisleri, reel say›lara dönüfltüren özel fonksiyon.
de¤iflken : De¤iflik say› de¤erleri alabilen nicelik.
diferansiyel : y= f(x) fonksiyonu için dy = (x).dx eflitli¤indeki dy ifadesi.
do¤al logaritma
fonksiyonu : Taban› e olan logaritma fonksiyonu.
dönel cisim : Düzlemsel bir bölgenin, bir do¤ru etraf›nda 360° dönmesindenoluflan cisim.
97
00
, , - , 0. , 00, 1 , 0 fleklinde ifade edilir.
f'
MATEMAT‹K 7
- E-F-G -
e¤im : Analitik düzlemde bir do¤runun 0x ekseni ile yapt›¤›, pozitif yönlü aç›n›n tanjant›.
esas ölçü : S›f›r ile 360° aras›nda olan aç› ya da yay ölçüsü.
ekstremum de¤er : Bir fonksiyonun grafi¤inin uç noktalar›.
grafik : Bir fonksiyonun belirtti¤i ikililere, düzlemde karfl›l›k gelen noktalar›n kümesi.
- H-I-‹ -
integral : Türevi bilinen bir fonksiyonun asl›n› bulma.
integrand :
integrasyon sabiti :
- K-L -
kapal› fonksiyon :
kofaktör : Bir kare matrisin aij teriminin kofaktörü, aij nin minörü ile(-1)i+j nin çarp›m›d›r.
limit : De¤iflken bir niceli¤in, istenilene yak›n olarak yaklaflt›¤› baflkabir nicelik.
logaritma fonksiyonu: Üstel fonksiyonun ters fonksiyonu.
- M-N -
maksimum de¤er : Bir fonksionun belli bir aral›ktaki en büyük de¤er.
mxn türünde matris : m tane sat›r ve n tane sütundan oluflan matris.
minumum de¤er : Bir fonksiyonun belli bir aral›ktaki en küçük de¤eri.
minör : Bir kare matrisin, aij teriminin bulundu¤u i. sat›r ile j. sütunun at›lmas› sonucu, geriye kalan matrisin determinant de¤eri.
norm : Uzunluk.
normal : Bir e¤rinin te¤etine, de¤me noktas›nda dik olan do¤ru.
98
f(x) dx ifadesindeki f(x) fonksiyonu.
F(x,y) = 0 biçiminde yaz›lan fonksiyon.
f(x) dx = F(x) + C = eflitli¤indeki C reel say›s›.
MATEMAT‹K 7
- P-R-S -
periyodik fonksiyon : Bir f fonksiyonunun tan›m kümesindeki her x eleman› için
f(x+T) = f(x) eflitli¤ini gerçekleyen f fonksiyonu.
parametre : Matematiksel bir denklemin, katsay›lar›na giren de¤iflken nicelik.
sarrus kural› : Üçüncü mertebeden bir determinant› hesaplama yöntemi.
skaler : Reel say›.
- T -
tek fonksiyon
fonksiyon.
ters matris
türev : Bir fonksiyondan limit ile elde edilen yeni bir fonksiyon.
transpoz : Bir matrisin sat›rlar›n›n sütun yap›lmas› ile elde edilen matris.
- Ü-Y -
üs : am say›s›ndaki m.
üstel denklem : Bilinmeyeni, denklemin üstünde olan denklem.
yerel ekstremum : Bir fonksiyonun belli bir aral›ktaki en büyük veya en küçük de¤eri.
99
MATEMAT‹K 7
: Tan›m kümesindeki her x eleman› için f(-x) = -f(x) olan
: Çarp›mlar› birim matrisi veren iki matrisden biri.
‹fiARETLER
N+ : Pozitif do¤al say›lar kümesi.
Z : Tamsay›lar kümesi
Q : Rasyonel say›lar kümesi.
R : Reel say›lar kümesi.
: Pi say›s› = 3,1415 926...
e : e say›s› e = 2, 718281...
: ise
: Çift gerektirme.
: Baz›.
: Her.
|AB| : [AB] nin uzunlu¤u
A(a,b) : Koordinatlar› a ve b olan A noktas›.
EBAS : En büyük alt s›n›r.
EKÜS : En küçük alt s›n›r.
I, IA : Birim fonksiyon.
| f | : f fonksiyonun mutlak de¤eri.
Sgnf : f fonksiyonun iflaret fonksiyonu.
[ ] : Tam k›s›m sembolü.
hoga : a taban›na göre lo¤aritma fonksiyonu.
hn : e taban›na göre logaritma fonksiyonu.
(x0) : f fonksiyonun x0 noktas›ndaki türevi.
100
f'
MATEMAT‹K 7
N : Do¤al say›lar kümesi.
: f fonksiyonunun x de¤iflkenine göre türevi.
: y nin x de¤iflkenine göre türevi.
: f fonksiyonunun x de¤iflkenine göre n. basamaktan türevi.
d f(x) : f fonksiyonun x de¤iflkenine göre diferansiyeli.
: belirsiz integral iflareti.
: Belirli (s›n›rl›) integral iflareti.
: [xk-1, xk+1] alt aral›¤›n›n uzunlu¤u.
A(f,p) : f nin p bölüntüsüne göre alt toplam›.
Ü(f,p) : f nin p bölüntüsüne göre üst toplam›.
R(f,p) : f nin p bölüm türüne göre Riemann toplam›.
[aij]mxn : m x n türünde matris.
aij : Matrisin i. sat›r›nda ve j. sütununda bulunan eleman.
A-1 : A kare matrisinin çarpma ifllemine göre tersi.
AT : A matrisinin devri¤i (transpozu)
|A| : A kare matrisinin determinant›.
Mij : Matrisinin aij eleman›n›n minörü.
Rank (A) : A matrisinin rank›
Aij : Matrisinin aij eleman››n kofaktörü (efl çarpan›)
Aij = (-1)i+j . Mij
101
b
a
xk
df (x )dx
dy
dx
dn f(x )
dx n
MATEMAT‹K 7
102
KAYNAKÇA
Ellis, Robert, Gulick, Denny; Calculus One and Several Variables, London 1990.
Thomas, B. George; Thomas Üniversite Matemati¤i.
F›scher and Ziebur, Calculus and Analyt›c Geometry, Prentice Hall.
MATEMAT‹K 7
N.Ö.C
NÖ
C:
Na
hc
iva
n Ö
zerk
Cu
mh
uri
ye
ti
(Aze
rba
yc
an
)
(AZE
RBAY
CAN)
GÜ
NE
Y K
IBR
ISR
UM
YÖ
NE
T‹M
‹
Baş
kent
(A
nkar
a)
l mer
kezl
eri
İ
Ö⁄RETMEN MARfiI
Aln›m›zda bilgilerden bir çelenk, Nura do¤ru can atan Türk genciyiz. Yeryüzünde yoktur, olmaz Türk’e denk;Korku bilmez soyumuz.
fianl› yurdum, her buca¤›n flanla dolsun;Yurdum, seni yüceltmeye andlar olsun.
Candan açt›k cehle karfl› bir savafl, Ey bu yolda and içen genç arkadafl!Ö¤ren, ö¤ret hakk› halka, gürle cofl;Durma durma kofl.
fianl› yurdum, her buca¤›n flanla dolsun;Yurdum, seni yüceltmeye andlar olsun.
‹smail Hikmet ERTAYLAN
