MATEMÁTICA BÁSICA

MATRICES Y DETERMINANTES

¿Imágenes sobre matrices?

¿Por qué estudiar matrices?

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión el estudiante identifica y clasifica las matrices, realiza operaciones entre matrices, calcula el determinante de una matriz y resuelve ejercicios de con matrices, y problemas del contexto real relacionados a la ingeniería, haciendo uso de la teoría de matrices; de forma correcta.

Operaciones con matrices

MATRICES

Matrices especiales

Elementos de la matrizNúmero de filas, columnas y orden

Matrices fila Matriz columnaMatriz nulaMatriz cuadradaMatriz diagonal Matriz escalar Matriz Identidad

AdiciónSustracciónMultiplicación

Determinante de una matriz

5

Se llama matriz de orden m x n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n líneas verticales (columnas).

Columna 1 Columna 2 Columna 3

Fila1

Fila 2

654

321A

Orden de la matriz = Número de filas x Número de columnas

=2x3=6 elementos

MATRIZ

• Se expresa: A = (aij), con:

i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. • Los aij indican la posición del

elemento dentro de la matriz, el (i) denota la fila y (j) la columna (j).

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

MATRIZ DE ORDEN mxn

• Matrices iguales

La matriz A es igual a la matriz B, cuando tienen el mismo orden y los elementos que ocupan el mismo lugar son iguales . Es decir, A = (aij) = B= (bij) si y sólo si aij = bij para toda i, j.

06

12

032

11 22

00

000

0

0

0

0

0

0

0

• Matriz NulaEs aquella matriz de orden mxn cuyos elementos son todos ceros.

MATRICES ESPECIALES

• Matriz fila.- Es una matriz de orden 1xn.

• Matriz columna.- Es una matriz de orden mx1.

naaaa 1131211 ....A

1

21

11

....

ma

a

a

A

• Matriz cuadrada.- Es aquella cuyo número de filas es igual al número de columnas.

3132

001

423

A

Diagonal Principal

¿Cuál es orden de una matriz cuadrada?

• Matriz diagonal– Si a i j = 0 para i ≠ j

200

010

003

C

• Matriz escalar– Si a i j = 0 para i ≠ j

300

030

003

C

• Matriz identidad– Es la matriz In se define.

aij =1 si i=j0 si ij

Ejemplo:

100

010

001

I3 =

Transpuesta de una matriz

Ejemplo:

Halle la transpuesta de la matriz A.

654

321A

63

52

41tA

¿Qué condiciones debe cumplir dos matrices para poder sumarlas?

Si A =(aij), y B =(bij) son matrices de m x n, entonces la suma A+B es la matriz de m x n que se obtiene al sumar las entradas correspondientes de A y B, esto es A + B=(aij + bij). Para sumar las matrices A y B deben ser del mismo orden, es decir de tamaños iguales.

ijbac ijijij todoparaBAC

Suma

OPERACIONES CON MATRICES

Suma de matrices

23

22

34

B

24

01

12

A

Ejemplo:

Encuentre la suma de:

07

21

42

BA

Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción(en miles) en su Fábrica A, esta dado por:

La capacidad de producción en la Fábrica B, esta dado por:

1) ¿Cuál es la capacidad de producción total en las dos fábricas?

2) Si la empresa decide incrementar su producción en la Fábrica A en un 20 por ciento. ¿cuál será la nueva producción en ésta fábrica?

APLICACIÓN

A+20%A=A+0.2A=1,2A

Sea A = (a ij) de orden mxn y B = (bij) de orden nxp.

El producto AB es la matriz C = (cij) de orden mxp, tal que:

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj

orden de A orden de B m x n n x p

igual entonces el orden de AB es m x p

¿Cuándo se puede multiplicar dos matrices?

PRODUCTO DE MATRICES

cij = (i- fila de A).(j- columna de B)

Regla para determinar el producto:

232221

131211

aaa

aaa

3231

2221

1211

bb

bb

bb

22

12

21

11

c

c

c

c=

31132112111111 bababac

A23 x B32 = C22

Los precios (en dólares por unidad) para tres libros de texto están representados por la matriz fila P = [26,25 34,75 28,50]. Una librería universitaria hace un pedido de estos libros en las cantidades dadas por la matriz columna:

175

325

250

Q

Ejemplo:

Determine el costo (en dólares) de la compra.

-38 -38 4 33

5 -2 4-1 -5 76 -2 1

3 57 -60 -9

c11= (5)(3) + (-2)(7) + (4)(0) =

Ejemplo:

=

1

c12= (5)(5) + (-2)(-6) + (4)(-9) = 1

• Determine el producto de cada uno el tamaño de cada uno de los siguientes productos que puedan ser encontrados.

1 2 2 4 5

2 4 1 2 3) ) 5 10 3 6 ) 2 1 0 6

6 8 0 1 212 7 9 1 4

a b c

PROPIEDAD DE PRODUCTO DE MATRICES

Si todas las sumas y productos están definidas:1. A (BC) = (AB) C asociativa2. A (B+C) = AB + AC distributiva3. (A+B) C = AC + BC distributiva4. A.I=A=I.ANota: La multiplicación de matrices por lo general no es

conmutativa.

¿En cuál de los siguientes ejercicios es posible realizar el producto de matrices?

1 2 2 4 5

2 4 1 2 3) ) 5 10 3 6 ) 2 1 0 6

6 8 0 1 212 7 9 1 4

a b c

PARA TENER EN CUENTA ….

• El determinante de una matriz es el número

real denotado por det (A) o y es definido del modo siguiente:

2221

1211

aa

aaA

A

211222112221

1211)det( aaaaaa

aaAA

• Hallar la determinante de

65

24A

141024)5)(2()6)(4(65

24A

Ejemplo:

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

11 12 13

21 22 23

a a a

a a a

¿Cómo calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden 3?

Regla práctica

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a 1 2A S S P1

P2

P3

P4

P5

P6

S1S2

Propiedades:• Si una fila o una columna de A son ceros , entonces 0.A

• Si dos fila o dos columna de A son iguales , entonces 0.A

.nkA k A• Si k es una constante y A matriz de orden n, entonces

• .AB A B tB B 11BB

BIBLIOGRAFÍA

# CÓDIGO AUTOR TÍTULO AÑO

[1] 510 HAEU

Haeussler, Ernest; Richard

Paul.

Matemáticas para administración y

economía. 2010

[2] 510 ARYA

Arya Jagdish

Matemáticas Aplicadas para la administración y a

la economía.

2009

[3]510

HARS

Harshbarger &

Reynolds

Matemáticas Aplicadas para la administración y a

la economía.

2009