Matematicas2°(Pearson)Induccion a las competencias

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Inducción a las competencias

Matemáticas, Segundo GradoEducación Secundaria

1

SEGUNDA EDICIÓN, 2008

DR © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.Atlacomulco 500 - 5o pisoCol. Industrial AtotoC.P. 53519, Naucalpan de JuárezEstado de México

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031.

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El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.

ISBN 10: 970-26-1535-6ISBN 13: 978-970-26-1535-4

IMPRESO EN MÉXICO PRINTED IN MEXICO

Datos de catalogación bibliográfica

ARRIAGA CORONILLA, ALFONSO, MARCOS MANUEL BENÍTEZ CASTANEDO y MARÍA DEL CARMEN CORTÉS ALTAMIRANO

MATEMÁTICAS 2, Inducción a las competencias

PEARSON EDUCACIÓN. México, 2008

ISBN 13: 978-970-26-1535-4Área: Secundaria

Formato: 20.5 x 27 cm Páginas: 272

Editado por: EDIMEND, S.A. de C.V.

Director editorial: Francisco Méndez Gutiérrez

Editor general: Alberto García Rodríguez

Revisión Técnica: Rosalía Blancas Noriega

Diseño y formación editorial: Alexandro Portales Padilla

Corrección de estilo y editorial: Rosalía Blancas Noriega

Diseño de portada: Elizabeth Martínez Suástegui

Ilustraciones: Hugo Miranda Ruiz

Fotografías: Archivo EDIMEND

Coordinación editorial PEARSON: Gloria Morales Veyra / Sandra Pérez Morales

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3INTRODUCCIÓN

Al maestro:

El propósito de este libro es servir de apoyo para que sus alumnos consoliden conocimientos, sean más competentes y asuman de manera responsable las tareas de participación social que les corresponde.

El estudio de las matemáticas en la educación secundaria se orienta a lograr que los alumnos aprendan a plantear y resolver problemas en distintos contextos, a justificar la validez de los proce-dimientos y resultados, así como a utilizar adecuadamente el lenguaje matemático para comunicar-los. Bajo esta perspectiva, la participación del docente será la de organizar el trabajo de sus alumnos a través de la solución de problemas, para que aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces, y que sean los propios estudiantes quienes de forma colaborativa y crítica presenten propuestas de resolución que posibiliten nuevos aprendizajes.

La intención de las actividades contenidas en este libro es precisamente la de que en su resolución se propicie en los alumnos el desarrollo de las competencias matemáticas como son: Planteamiento y resolución de problemas, Argumentación, Comunicación y Manejo de técnicas; para ello, es con-veniente promover el trabajo individual, en equipo y el grupal, ya que la interacción con los demás fortalece la responsabilidad y la motivación para aprender. En la organización del trabajo, tome en cuenta el intercambio de experiencias con los demás docentes de la asignatura; aproveche la vinculación de los contenidos con los de otras asignaturas y realice un trabajo interdisciplinario; de esta manera, favorecerá el desarrollo integral de los alumnos y posibilitará que alcancen uno de los principales propósitos de todas las asignaturas: la formación de individuos autónomos, capaces de aprender por cuenta propia.

Al alumno:

Ahora que estás en el segundo grado de secundaria debes sentirte orgulloso de avanzar en tu edu-cación, ya que el primer beneficiado eres tú. Al cursar el primer grado te diste cuenta de lo impor-tante que son las matemáticas; el hecho de que hayas aprobado el curso anterior se relaciona con tu capacidad de pensar, razonar y saberte ubicar en tu entorno.

En este libro, MATEMÁTICAS 2, Inducción a las competencias, tratamos de llevarte a entender el contenido teórico de las matemáticas para que posteriormente lo apliques a situaciones particulares (seas competente); no encontrarás fórmulas, series numéricas, símbolos, signos o cuestiones abstrac-tas que te den de forma automática la respuesta a un problema. Al resolver los problemas plantea-dos te darás cuenta de tu capacidad para generar métodos y situaciones que te permitirán resolver problemas sin la necesidad de ajustarte a modelos prescritos; tendrás la posibilidad de que integres y apliques las matemáticas de manera propia, ajustando las situaciones teóricas a problemas coti-dianos.

Las competencias que desarrollarás en el estudio de las matemáticas, de acuerdo con cada eje, te permitirán:

• EnelPlanteamiento y resolución de problemas: identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones, utilizando más de un procedimiento de solución.

• EnlaArgumentación: formular líneas de pensamiento que den sustento al procedimiento de solución encontrado.

• EnlaComunicación: expresar y representar información matemática, así como interpretarla.

• EnelManejo de técnicas: Hacer uso eficiente de procedimientos y formas de representación al efectuar cálculos, ya sea que te apoyes o no en la tecnología.

Por último, te damos la bienvenida a tu segundo año de secundaria y esperamos que hagas de esta etapa una de las mejores de tu vida.

Los autores

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Los contenidos de MATEMÁTICAS 2, Inducción a las competencias, fueron desarrollados pensan-do en jóvenes como tú que requieren y hacen uso de conocimientos ágiles y precisos para ser competentes. Para alcanzar estos objetivos y aprovechar al máximo los recursos de esta obra, te presentamos al detalle las secciones del libro:

ESTRUCTURA DEL LIBRO

ENTRADA DE BLOQUE: En ella se establecen los logros que se esperan de ti al término del mismo.

EJES TEMÁTICOS: Señalados con un color diferente, te ayudarán a identificar a cuál corresponden los contenidos que se estudiarán: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la información.

TEMA: Indica el contenido general que se desarrollará y su correspondiente APARTADO.

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Indica cuáles son los que se pretenden alcanzar al finalizar el apartado.

ACTIVIDAD PREVIA: Te ayuda a recuperar lo que aprendiste en otro momento, y así aprovechar tu experiencia. Frecuentemente se propone el trabajo en equipo, fomentando el desarrollo colaborativo, y se plantean situaciones en las que desarrollarás tu capacidad para construir nuevos conocimientos.

Interconexión con otras asignaturas: Te permite saber en qué áreas del saber humano se aplican las matemáticas.

LÍNEA DEL TIEMPO: Esta sección tiene como propósito mostrar la influencia que tienen entre sí los avances de la sociedad y las matemáticas en un esfuerzo por resolver los problemas que se hacen presentes en cada contexto. Recuerda que las matemáticas son producto de la participación de la sociedad. Antes de iniciar el trabajo de cada bloque, comenta su contenido y a lo largo del trabajo del libro identifica la temporalidad de los esfuerzos de la humanidad por comprender y avanzar en el estudio de las matemáticas

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Al finalizar cada bloque encontrarás las secciones de APLICACIÓN DE APRENDIZAJES Y ExPLORACIÓN DE RE-CURSOS: en la primera tendrás la oportunidad de aplicar específicamente algunas habilidades matemáticas al resolver situaciones; en la última, tendrás la oportunidad de mostrar tu creatividad y hacer uso de la tecnología para hacer presentaciones de los temas que elijas.

Se sabe que…: Te brinda datos que enriquecen el tema principal del apartado.

Vocabulario: Incluye la definición de aquellas palabras que pueden presentar alguna dificultad por su significado. En el texto las encontrarás destacadas en color rojo.

Recuadros de información: Para reforzar los conceptos y hacer más accesibles los temas tratados.

Actividad: Incluye ejercicios para que practiques, adquieras seguridad, alcances la autonomía y desarrolles competencias en el manejo de técnicas.

Actividad Extra: Te ayudará a reforzar los conocimientos desarrollados en el tema. Si eres competente y te gustan los retos, ésta será una de tus secciones favoritas.

Actividad complementaria: Contiene referencias de actividades adicionales que puedes realizar con otros materiales y recursos.

¿CUÁNTO APRENDÍ? Te servirá a ti y a tu maestro como diagnóstico, para que identifiques en cuáles temas debes esforzarte y aplicarte más. El propósito de esta sección es que aprendas a reconocer tres cosas: “Qué aprendí, qué estoy aprendiendo y qué me falta por aprender”.

PIENSA: Te invita a reflexionar acerca del tema que estás estudiando, para que adquieran mayor sentido las actividades que desarrollas.

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ENTRADA DE BLOQUE ......................................................................................................................................................... 9

SENTIDO NUMéRICO Y PENSAMIENTO ALgEBRAICO .............................................................................................. 10

TEMA: SIgnIFICAdo y uSo dE LAS oPERACIonES .............................................................................................. 10

Apartado 1: PRoBLEMAS MuLTIPLICATIVoS I (Multiplicación y división de números con signo) ........... 10

Apartado 2: PRoBLEMAS AdITIVoS (Adición y sustracción de expresiones algebraicas) ....................... 21

Apartado 3: oPERACIonES CoMBInAdAS I (Expresiones algebraicas equivalentes) ............................. 29

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA .......................................................................................................................................... 33

TEMA: MEdIdA ............................................................................................................................................................... 33

Apartado 4: ESTIMAR, MEdIR y CALCuLAR I (Medición de ángulos) .......................................................... 33

TEMA: FoRMAS gEoMÉTRICAS ................................................................................................................................. 44

Apartado 5: RECTAS y ÁnguLoS I (Posiciones relativas de dos rectas en el plano) .............................. 44Apartado 6: RECTAS y ÁnguLoS II (Posiciones relativas entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal) ......................................................................................................................... 51

MANEJO DE LA INFORMACIÓN ..................................................................................................................................... 65

TEMA: ÁnALISIS dE LA InFoRMACIÓn .................................................................................................................... 65

Apartado 7: RELACIonES dE PRoPoRCIonALIdAd I (Factor inverso de proporcionalidad) .................. 65

Apartado 8: RELACIonES dE PRoPoRCIonALIdAd II (Proporcionalidad múltiple) .................................. 73

TEMA: REPRESEnTACIÓn dE LA InFoRMACIÓn .................................................................................................... 78

Apartado 9: dIAgRAMAS y TABLAS (Conteo) .................................................................................................... 78

Apartado 10: gRÁFICAS I (Polígonos de frecuencias) ..................................................................................... 84

APLICACIÓn dE APREndIZAJES ...................................................................................................................................... 96

EXPLoRACIÓn dE RECuRSoS TECnoLÓgICoS ........................................................................................................... 97

¿CuÁnTo APREndÍ? ........................................................................................................................................................... 98

ENTRADA DE BLOQUE ..................................................................................................................................................... 101

SENTIDO NUMéRICO Y PENSAMIENTO ALgEBRAICO ............................................................................................ 102

TEMA: SIgnIFICAdo y uSo dE LAS oPERACIonES ............................................................................................ 102

Apartado 1: oPERACIonES CoMBInAdAS II (Jerarquía de las operaciones) ......................................... 102

Apartado 2: PRoBLEMAS MuLTIPLICATIVoS II (Multiplicación con expresiones algebraicas) ............. 110

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA ........................................................................................................................................ 118

TEMA: FoRMAS gEoMÉTRICAS ............................................................................................................................... 118

Apartado 3: CuERPoS gEoMÉTRICoS (Construcción de prismas y pirámides) ...................................... 118

TEMA: MEdIdA ............................................................................................................................................................. 129

Apartado 4: JuSTIFICACIÓn dE FÓRMuLAS I (Volúmenes de prismas y pirámides rectos) .................. 129

ÍNDICE

BLOQUE 1

BLOQUE 2

InTRoduCCIÓn .....................................................................................................................................................................3

ESTRuCTuRA dEL LIBRo .......................................................................................................................................................4

7

Apartado 5: ESTIMAR, MEdIR y CALCuLAR II (Medidas de volumen y capacidad) ............................... 132

MANEJO DE LA INFORMACIÓN ................................................................................................................................... 143

TEMA: AnÁLISIS dE LA InFoRMACIÓn .................................................................................................................. 143

Apartado 6: RELACIonES dE PRoPoRCIonALIdAd III (Equivalencia de razones) ................................. 143

TEMA: REPRESEnTACIÓn dE LA InFoRMACIÓn .................................................................................................. 146

Apartado 7: MEdIdAS dE TEndEnCIA CEnTRAL y dE dISPERSIÓn (Moda, mediana y media aritmética) ........................................................................................................................................ 146

APLICACIÓn dE APREndIZAJES .................................................................................................................................... 151

EXPLoRACIÓn dE RECuRSoS TECnoLÓgICoS ......................................................................................................... 152

¿CuÁnTo APREndÍ? ......................................................................................................................................................... 153



TEMA: SIgnIFICAdo y uSo dE LAS LITERALES .................................................................................................... 156

Apartado 1: PATRonES y FÓRMuLAS (Sucesiones aritméticas) .................................................................. 156

Apartado 2: ECuACIonES I (Ecuaciones con incógnita en los dos miembros) ........................................ 161

Apartado 3: RELACIÓn FunCIonAL (Funciones lineales) .............................................................................171

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA ........................................................................................................................................ 184

TEMA: FoRMAS gEoMÉTRICAS. .............................................................................................................................. 184

Apartado 4: JuSTIFICACIÓn dE FÓRMuLAS II (Ángulos de los polígonos) .............................................. 184

Apartado 5: FIguRAS PLAnAS I (Recubrimiento de un plano) .................................................................... 191

MANEJO DE LA INFORMACIÓN ................................................................................................................................... 196

TEMA: REPRESEnTACIÓn dE LA InFoRMACIÓn .................................................................................................. 196

Apartado 6: gRÁFICAS II (Funciones asociadas) ............................................................................................ 196

Apartado 7: gRÁFICAS III (ordenada al origen) ............................................................................................ 199

Apartado 8: gRÁFICAS IV (Inclinación o pendiente de una recta) .............................................................202

APLICACIÓn dE APREndIZAJES ....................................................................................................................................205

EXPLoRACIÓn dE RECuRSoS TECnoLÓgICoS .........................................................................................................206

¿CuÁnTo APREndÍ? ......................................................................................................................................................... 207

ENTRADA DE BLOQUE .....................................................................................................................................................209


TEMA: SIgnIFICAdo y uSo dE oPERACIonES .................................................................................................. 210

Apartado 1: PoTEnCIACIÓn y RAdICACIÓn (Productos y cocientes de potencias) .............................. 210

BLOQUE 3

BLOQUE 4

8

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA ................................................................................................................................... 217

TEMA: FoRMAS gEoMÉTRICAS ............................................................................................................................... 217

Apartado 2: FIguRAS PLAnAS II (Criterios de congruencia de triángulos) .............................................. 217

Apartado 3: RECTAS y ÁnguLoS III (Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo) ..223

MANEJO DE LA INFORMACIÓN.............................................................................................................................. 231

TEMA: AnÁLISIS dE LA InFoRMACIÓn .................................................................................................................. 231

Apartado 4: noCIÓn dE PRoBABILIdAd I (Probabilidad de eventos independientes) ........................ 231

TEMA: REPRESEnTACIÓn dE LA InFoRMACIÓn ..................................................................................................234

Apartado 5: gRÁFICAS V (Interpretación y utilización de gráficas) ............................................................234

Apartado 6: gRÁFICAS VI (Modelación por medio de funciones lineales) .............................................. 237


EXPLoRACIÓn dE RECuRSoS TECnoLÓgICoS ......................................................................................................... 242

¿CuÁnTo APREndÍ? ......................................................................................................................................................... 243



TEMA: SIgnIFICAdo y uSo dE LAS LITERALES .................................................................................................... 246

Apartado 1: ECuACIonES II (Sistemas de ecuaciones con coeficientes enteros) ................................... 246

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA ........................................................................................................................................250

TEMA: TRAnSFoRMACIonES ....................................................................................................................................250

Apartado 2: MoVIMIEnToS En EL PLAno (Rotación y traslación de figuras) .........................................250

MANEJO DE LA INFORMACIÓN ...................................................................................................................................259

TEMA: REPRESEnTACIÓn dE LA InFoRMACIÓn ..................................................................................................259

Apartado 3: gRÁFICAS VII (Representación gráfica de sistemas de ecuaciones) ..................................259

TEMA: AnÁLISIS dE LA InFoRMACIÓn ..................................................................................................................265

Apartado 4: noCIÓn dE PRoBABILIdAd II (Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes) ....... 265


EXPLoRACIÓn dE RECuRSoS TECnoLÓgICoS .........................................................................................................268

¿CuÁnTo APREndÍ? .........................................................................................................................................................269

FuEnTES dE ConSuLTA ................................................................................................................................................... 271

BIBLIogRAFÍA PARA EL ALuMno ................................................................................................................................. 271

BIBLIogRAFÍA PARA EL doCEnTE ................................................................................................................................. 271

SITIoS dE InTERnET ......................................................................................................................................................... 272

BIBLIogRAFÍA ConSuLTAdA .......................................................................................................................................... 272

BLOQUE 5

1000 a.C.Los fenicios

desarrollan el alfabeto.

575 a.C.Anaximandro, fundador de la cartografía, introduce en

Grecia el reloj de sol.

753 a.C.Fundación de Roma.

280 a.C.Se construye el

Coloso de Rodas, cuya altura es de 110 pies.

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos:

1. Resuelvan problemas que impliquen efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de nú�meros con signo.

2. Justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.

3. Resuelvan problemas de conteo mediante cálculos numéricos.

4. Resuelvan problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades.

5. Interpreten y construyan polígonos de frecuencia.

240 a.C.Arquímedes inventa la catapulta, y

determina las leyes de la hidráulica, las poleas y el centro de gravedad

de un objeto.

240 a.C

Arquímedes de Siracusa calcula el valor aproximado de Pi y

descubre cómo calcular el volumen de una esfera.

BLOQUE 1

1700 a.C 1350 a.C 1000 a.C 650 a.C300 a.C

50

300 a.C

Euclides escribe la obra de geometría Los elementos, en donde resume y organiza el conocimiento matemático desarrollado en

Grecia durante los tres siglos anteriores.

540 a.C

Pitágoras abrió dos escuelas de matemáticas en Grecia, en las cuales por primera

vez se admitieron mujeres.

1650 a.C

El papiro de Rhind, documento matemático

egipcio, presenta soluciones de ecuaciones simples.

Contexto histórico

Hechos matemáticos

9

10 MATEMÁTICAS 2

A continuación te proponemos algunos ejercicios que te pueden servir para recordar el manejo de cantidades positivas y negativas. Considera que, por cuestiones de uso, el 0 (cero) se considera como origen.

ConoCimientos y habilidadesResolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.

ActividAd PreviAReúnete con alguno de tus compañeros para resolver la siguiente situación: En la parte exterior de un refrigerador hay un indicador que señala la tempera�tura de su interior; las variaciones de temperatura deben anotarse cada hora en un registro. El encargado del refrigerador debe estar atento a los cambios y mantener, mediante un termostato, la temperatura dentro de cierto rango. La lectura registrada al iniciar su trabajo era de 27 °C.

En el transcurso de la jornada anotó los siguientes datos: bajó 2 °C; subió 3 °C; subió 5 °C; bajó 7 °C; bajó 4 °C y subió 4 °C. Completa la tabla y la gráfica de registro. Contesta. ¿En qué hora se presentó la mayor variación? ¿Y la menor? ¿Qué temperatura tenía marcada el registro cuando llegó el em�pleado del siguiente turno? ¿Con qué número representas esta información?

1. Representa mediante un número positivo o negativo cada una de las siguientes situaciones.

a) 2.5 °C bajo cero f) 200 m bajo el nivel del mar

b) Un descuento del 3.25% g) Perder 2 kg de peso

c) 2 375 m sobre el nivel del mar h) 25 pasos a la izquierda

d) $200 de ganancia i) Crecer 2 cm de estatura

e) Perder de un capital j) 4 °C sobre cero

2. Escribe cuatro ejemplos de situaciones en las que consideres posible el uso de números positivos y negativos. Argumenta tus respuestas.

a) c)

b) d)

¿De qué otra forma puede escribirse 14?

¿Por qué?

SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Tema: Significado y uSo de laS operacioneS

aparTado 1: proBlemaS mulTiplicaTiVoS i

multiplicación y divisón de números con

signo

Temperatura(ºC)

27

01 2 3 4 5 6

Tiempo(horas)

32

12

Tiempo Entrada 1a. hora 2a. hora 3a. hora 4a. hora 4a. hora 5a. hora

Temperatura

BLOQUE 1 11

¿Hay alguna diferencia entre 22.5 y 2.5?

¿Por qué?

Anota una conclusión, ¿cómo puedes identificar la dife�rencia entre un número positivo y un número negativo?

3. En la siguiente recta numérica, a cada letra le corresponde un número. Determina qué número le corresponde al punto donde se ubica cada letra. En los casos que se trate de una fracción, escríbela tanto en su forma común como en su forma decimal.

A F K P

B G L Q

C H M R

D I N S

E J O T

23 21 0222425 13 15141211

D S N Q A B G T M P E R O C F H L KIJ

12

34

12

14

14

34

12

14

14

4. A partir de la observación de la recta numérica, en la que se encuentran algunos números con signo, escribe entre cada pareja de los elementos señalados el símbolo > (mayor que), < (menor que) o 5 (igual que), de manera que la relación sea correcta.

a) 24.5 24 c) 22 1 2.5 e) 1 3 1 3.25 g) 1 2 i) 1 5 25

b) 23 1 4.75 d) 1 11 f) 25 25 h) 0 1 2.5 j) 24 0

23 21 0222425 13 1514121126 16

24.5 23.25 10.75 1 2.5 13.25 1 4.75

14

2512

2212

34

112

1112

21

21.75

1415

Se sabe que...

En la recta numérica si a y b son dos números

cualesquiera puede suceder:

a > b; a está a la dere-cha de b

a 5 b; a está en el mis-mo punto que b

a < b; a está a la izquierda de b

Inverso AdItIvo

dos números son inversos aditivos entre sí cuando su suma es cero.

(13) 1 (23) 5 0

(1n) 1 (2n) 5 0

12 MATEMÁTICAS 2

5. En la recta numérica, considera como lugar de inicio el punto dado (0), en cada caso, realiza el recorrido indicado (movimiento positivo hacia la derecha y negativo hacia la izquierda) en las tablas y determina la posición de ese nuevo punto.

En cada situación se modificó el punto de origen. Comenta por qué es esto posible.

6. Sobre la recta numérica realiza, a partir de cero, los recorridos correspondientes en cada caso; agrupa y reduce cada expresión a un solo número. En el caso de las fracciones, no olvides simplificar.

a) 5 1 4 2 2 5 h) 4 1 2 2 8 1 5 5

b) 1 5 2 7 1 4 5 i)

c) 1 5 1 3 2 2 2 2 5 j) 24.4 1 2.2 2 1.1 1 6.6 5

d)

e) 2.5 2 3.5 1 4.2 5

f) 23 1 5 22 5

g) 24 1 6 23 5

24 22 0232527 13 1514121126 21 16 17

34

24

154

1 52

1 2 52110

310

510

710

Origen Recorrido Nueva posición

a) 4 2 6

b) 5 27

c) 23.2 21.3

d) 4.2 22

e) 4 2

Origen Recorrido Nueva posición

f) 22 4 2

g) 4 1.5

h) 24.5 2.5

i) 2

j) 34

12

32

12

12

0

reglAs de lA sumA

(1a) 1 (1b) 5 1(a 1 b)

Ej: (15) 1 (13) 5 1(5 1 3) = 18

(2a) 1 (2b) 5 2(a 1 b)

Ej: (25) 1 (23) 5 2(5 1 3) 5 28

(1a) 1 (2b) 5 (a 2 b) o (b 2 a)

Ej: (15) 1 (23) 5 1(5 2 3) = 12

(25) 1 (13) 5 2(5 2 3) = 22

signo del mayor

BLOQUE 1 13

7. Explica en cada caso cómo se obtiene el valor numérico y el porqué del signo en el resultado.

a) 15 1 2 5 17

b) 23 2 2 5 25

c) 17 2 2 5 15

d) 15 2 7 5 22

sustrACCIón(minuendo) 2 (sustraendo) 5 (resta)

transformada en adición(minuendo) 2 (sustraendo) 5 (minuendo) 1 (inverso de sustraendo) 5 (resta)

(1a) 2 (1b) 5 (1a) 1 (2b)(1a) 2 (2b) 5 (1a) 1 (1b)

8. Convierte cada una de las siguientes sustracciones en una adición. Resuelve y compara tus resultados con los que obtengan tus compañeros.

Sustracción Adición Resultado

a) (17) 2 (12) ( ) 1 ( )

b) (14.5) 2 (12.3) ( ) 1 ( )

c) (1 ) 2 (1 ) ( ) 1 ( )

d) (19) 2 (23) ( ) 1 ( )

e) (1 ) 2 (2 ) ( ) 1 ( )

f) (22.6) 2 (14.9) ( ) 1 ( )

Sustracción Adición Resultado

g) (26.5) 2 (25.3) ( ) 1 ( )

h) (13) 2 (18) ( ) 1 ( )

i) (1 ) 2 (1 ) ( ) 1 ( )

j) (14.2) 2 (25.3) ( ) 1 ( )

k) (29) 2 (27) ( ) 1 ( )

l) (2 ) 2 (2 ) ( ) 1 ( )

34

12

13

56

710

25

56

23

14 MATEMÁTICAS 2

Representa, por medio de una multiplicación, cada una de las siguientes adiciones de suman-dos iguales. Verifica tus resultados con los de tus compañeros.

a) (14) 1 (14) 1 (14) 5 ( ) 3 ( ) 5

b) (22) 1 (22) 1 (22) 1 (22) 5 ( ) 3 ( ) 5

c) (12.2) 1 (12.2) 5 ( ) 3 ( ) 5

d) (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 5 ( ) 3 ( ) 5

e) (2 ) 1 (2 ) 1 (2 ) 1 (2 ) 5 ( ) 3 ( ) 5

f) (11.2) 1 (11.2) 1 (11.2) 1 (11.2) 5 ( ) 3 ( ) 5

Explica los procedimientos que usas para efectuar la operación...

1) entre dos números enteros:

2) entre dos números decimales:

3) entre dos números fraccionarios:

Explica brevemente cómo convertiste cada sustracción en una adición.

¿Qué le sucede a los números contenidos en un paréntesis precedido de un signo negativo?

¿De qué manera cambia 2(23 1 4 25 1 8) al suprimir el paréntesis?

Actividad 1.1

12

12

12

suprImIr pAréntesIs

si a un paréntesis lo antecede un signo 2, todos los términos contenidos

en él cambian de signo:

2(1a 2b) 5 2a 1 b

2(2c 1d) 5 1c 2 d

14

14

14

14

BLOQUE 1 15

¿Cúal es el número que multiplicado por 1 da por resultado 11?

(1 ) 3 ( ) 5 5 1134

34

descomponer una multiplicación en sumandos: 3n 5 n 1 n 1 n

Agrupar sumandos iguales: a 1 a 1 a 1 a 5 4 a

Actividad 1.2

Representa con una adición de sumandos iguales cada una de las siguientes multiplicaciones. Luego, resuelve cada caso.

a) (14) 3 (15) 5 5

b) (13) 3 (12.5) 5 5

c) (16) 3 (1 ) 5 5

d) (15) 3 (23) 5 5

e) (14) 3 (28.4) 5 5

f) (16) 3 (2 ) 5 5

g) (24) 3 (2 ) 5 5

h) (23) 3 (25) 5 5

i) (24) 3 (25.5) 5 5

j) (25) 3 (2 ) 5 5

En el ejercicio a) (14) 3 (15), ¿cómo resultó el producto de dos números positivos?

En el caso d) (15) 3 (23), ¿cómo resultó el producto de dos números de diferente signo?

En el caso i) (24) 3 (25.5), ¿qué hiciste? Explica y da una conclusión.

Podemos afirmar que el producto de dos números de diferente signo es siempre:

Además, que el producto de dos números de igual signo es siempre:

De tus afirmaciones anteriores, deduce las leyes de los signos para la multiplicación de números con signo:

(1a) 3 (2b) 5 , (2a) 3 (1b) 5 ,

(1a) 3 (1b) 5 , (2a) 3 (2b) 5 .

23

45

23

78

16 MATEMÁTICAS 2

Actividad 1.3

Usa tus conocimientos sobre algoritmos de las operaciones y leyes de los signos y encuentra los productos que resultan de cada una de las siguientes multiplicaciones.

a) (18) 3 (17) 5 g) (17) 3 (25) 5

b) (29) 3 (18) 5 h) (26) 3 (24) 5

c) (12.2) 3 (13.2) 5 i) (11.2) 3 (22.4) 5

d) (24.5) 3 (12.3) 5 j) (25.2) 3 (22.5) 5

e) (1 ) 3 (1 ) 5 k) (1 ) 3 (2 ) 5

f) (2 ) 3 (1 ) 5 l) (2 ) 3 (2 ) 5

34

23

78

89

56

34

25

34

¿Qué procedimiento seguiste para multiplicar dos números enteros?

¿Qué procedimiento seguiste para multiplicar dos números decimales?

¿Qué procedimiento seguiste para multiplicar dos números fraccionarios?

Observa que la diferencia entre los factores de la primera multiplicación y los de la segunda es que el 3 se multiplica por 2 para obtener el 6.

37 3 3 5 37 3 3 3 2 5 37 3 6

Ahora efectúa las multiplicaciones y observa los resultados.

37 3 3 5 37 3 6 5

¿Qué resultado supones que se encontrará en la siguiente multiplicación? Compruébalo.

37 3 9 5

Si ya tienes un modelo de comportamiento de estos números, escribe los siguientes productos y verifica tus resultados.

37 3 12 5 37 3 18 5 37 3 24 5

37 3 15 5 37 3 21 5 37 3 27 5

Actividad Extra

Algoritmo: Procedimiento orde-nado para realizar una operación. Método. Proceso.

BLOQUE 1 17

Actividad 1.4

Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Ten en cuenta que, en adelante, debes consi-derar que los números siempre tienen un signo.

a) En mi cuenta de ahorro tenía $5 325.00. Si en cada uno de los siguientes tres meses ahorré $136.50, ¿cuánto tengo ahorrado ahora en mi cuenta?

b) Pensé en un número, lo multipliqué por 8 y le resté 56. Si obtuve por resultado cero, ¿cuál es el número que pensé?

c) Cierto día, en el norte de Alaska, la temperatura varió 22.3 °C en cada hora, a par�tir de las 2 de la mañana cuando la temperatura era de 212.5 °C. Si la variación se mantuvo durante cinco horas consecutivas, ¿cuál era la temperatura a las 7 de la ma�ñana?

d) El peso de Marcela ha variado de 64.500 a 55.500 kg en los últimos seis meses, de manera que cada mes la variación ha sido constante, ¿qué número representa esta variación?

18 MATEMÁTICAS 2

Actividad 1.6

Considera los tres elementos de cada una de las multiplicaciones de la actividad 1.5 y escribe una de las dos divisiones que se obtienen en cada caso.

a) ( ) 4 ( ) 5 f) ( ) 4 ( ) 5

b) ( ) 4 ( ) 5 g) ( ) 4 ( ) 5

c) ( ) 4 ( ) 5 h) ( ) 4 ( ) 5

d) ( ) 4 ( ) 5 i) ( ) 4 ( ) 5

e) ( ) 4 ( ) 5 j) ( ) 4 ( ) 5

la multiplicación y la división son dos operaciones inversas, por ejemplo:

4 3 7 5 28 da origen a28 4 7 5 4 y 28 4 4 5 7

De manera inversa,45 4 9 5 5 da lugar a 5 3 9 5 45

Actividad 1.5

En las siguientes multiplicaciones falta uno de los factores. Determínalo y anótalo dentro del paréntesis correspondiente.

a) (17) 3 ( ) 5 156 f) (1 ) 3 ( ) 5 2

b) ( ) 3 (11.5) 5 13.3 g) ( ) 3 (22.5) 5 17.5

c) (15) 3 ( ) 5 230 h) (12.8) 3 ( ) 5 156

d) ( ) 3 (13.2) 5 216 i) ( ) 3 (1 ) 5 2

e) (1 ) 3 ( ) 5 1 j) (2 ) 3 ( ) 5 11220

23

1424

35

12

410

34

Actividad 1.7

Si consideramos que la multiplicación y la división son dos operaciones inversas, ¿de qué ma-nera expresarías las leyes de los signos para la división? Anota cada concepto en las líneas de la derecha usando tus propias palabras. Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

(1a) 4 (2b) ,

(2a) 4 (1b) ,

(1a) 4 (1b) ,

(2a) 4 (2b) .

adbc

cd

ab

ab

cd

adbc

dIvIsIón exACtA

D = dividendo d = divisor c = cociente

D 4 d 5 c c 3 d 5 D Con fracciones

( ) 4 ( ) 5 3 5

1530

BLOQUE 1 19

Actividad 1.8

Resuelve cada una de las siguientes divisiones. Toma en cuenta los signos de los elementos participantes.

a) (124) 4 (13) 5 e) (170) 4 (25) 5 i) (228) 4 (14) 5

b) (236) 4 (29) 5 f) (17.04) 4 (13.2) 5 j) (12.99) 4 (21.3) 5

c) (26.93) 4 (16.3) 5 g) (20.52) 4 (20.2) 5 k) (1 ) 4 (1 ) 5

d) (1 ) 4 (2 ) 5 h) (2 ) 4 (1 ) 5 l) (2 ) 4 (2 ) 5156

32

98

34

25

12

68

34

Actividad 1.9

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones. Comprueba los resultados y compáralos con los de tus compañeros.

a) 8x 5 72 e) 24x 5 2.4

b) 6x 5 236 f) 22.5x 5 212.5

c) 5 24 g) x 5

x 5

x 5

x 5

x 5

x 5

x 5

56

x25

2018

Subsiste: Que sigue existiendo. Permanece.

Se sabe que...

Toda cantidad diferente dividida entre su igual da por resultado 1

1 ( 5 1; 5 1; 4 5 1).2525

2.52.5

12

12

propIedAd unIforme de lA IguAldAd

si a los dos miembros de una igualdad se les multiplica 1 o se les divide 2 por un mismo número, la igualdad subsiste.

5 7 3x 5 12

5 ( ) 5 5(7) 5

x 5 35 x 5 35

x5

x5

3x3

123

1

d) 2 x 5 h) 5 22

x 5 x 5

23

412

x7

2

20 MATEMÁTICAS 2

i) 5 j) 5

h) 5 j) 5

x 5 x 5

14

45

Actividad 1.10

Resuelve cada uno de los siguientes problemas. Compara tus resultados y comenta los proce-dimientos con tus compañeros.

x12

x13

40o

35o

30o

25o

20o

15o

10o

95o 90o 85o 80o 75o 70o 65o 60o 55o

a) Un ciclón recorrió una distancia de 12 km por hora hacia el oeste a partir de un punto. Si se extinguió después de 14 horas, ¿a qué distancia se ubicó del punto inicial?

c) Cecilia participa en una competencia de salto de longitud. Si del punto límite camina 15 pasos en sentido contrario a la fosa y un paso de ella equivale a 0.70 m y su salto es de 3.80 m, ¿con qué número con signo representas el recorrido previo al salto?

Si tienen oportunidad de trabajar en la computadoras, desarrollen la lección “Variación proporcional (3)”, que está en la página 58 del libro Hoja electrónica de cálculo. EMAT. México, SEP, 2000.

Actividad Complementaria

b) A partir del año 1980, el promedio de vida se ha incrementado en 0.08 años cada año. Si el pro� A partir del año 1980, el promedio de vida se ha incrementado en 0.08 años cada año. Si el pro� A partir del año 1980, el promedio de vida se ha incrementado en 0.08 años cada año. Si el pro�medio de vida en ese año era de 65 años, ¿cuál es el promedio de vida actualmente?

BLOQUE 1 21

ConoCimientos y habilidadesResolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.

ActividAd PreviARecordarás que es frecuente representar un número por medio de una literal. Forma un equipo con tus compañeros y propónganse situaciones como: “Pablo tiene que ir de la ciudad a su pueblo que se encuentra a 42 km de distancia. Como decide hacerlo caminando, ha dividido el total de la distancia en cuatro tramos. En el primer tramo recorre cierta distancia; en el segundo tramo recorre lo doble que en el primero; en el tercer tramo recorre lo triple que en el primero, y en el último tramo hace un recorrido que es igual al primer tramo. Si la longitud del primer tramo es x, ¿cómo representas la longitud del segundo? ¿Y la del tercer tra�mo? . ¿Cuál es la longitud del primer tramo? ¿Y la del segundo? ¿Y la del tercero? .

Observa el gráfico.

1. Traduce cada una de las siguientes expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico. Comenta tus estrategias y compara tus respuestas con las de tus compañeros.

a) Un número. b) La suma de dos números.

c) La diferencia de dos números. d) El producto de dos números.

e) La división de dos números. f) El doble de un número.

g) El triple de un número. h) La mitad de un número.

i) La tercera parte de la suma de dos j) La suma de un número con su triple es igual números. a 20.

k) El doble de un número disminuido en 5 l) La suma del doble de un número más el triple es igual a 11. de otro número es igual a 15.

m) La suma de tres números consecutivos. n) La suma de dos números consecutivos.

o) La suma de tres números p) La mitad de la suma de dos números consecutivos pares. consecutivos pares.

Tema: Significado y uSo de laS operacioneSaparTado 2: proBlemaS adiTiVoS

adición y sustración de expresiones algebraicas

42 km

Se sabe que...

Cualquier número puede representarse por

una literal.a, b, c, representan nú-

meros cualesquiera.

Lenguaje común: El que se utiliza cotidia-namente al hablar o escribir.

Lenguaje algebraico:Símbolos numéricos y literales que represen-tan una situación.

22 MATEMÁTICAS 2

2. Traduce al lenguaje común cada una de las siguientes expresiones algebraicas.

a) n i) a 1 3

b) 4b j) c 1 d 1 e

c) 2f 5 6 k) n 1 n 1 1

d) m 1 2m 1 3m l) 4p 2 4

e) 2r 2 3 5 1 m) 2a 1 2b 5 40

f) x 1 x 1 2 1 x 1 4 n) p 1 p 1 1 1 p 1 2

g) 5 5 o) q 1 q 1 1

h) y 1 y 1 1 1 2 p) x 1 x 1 2 1 x 1 4

g3

3

2

6

BLOQUE 1 23

Actividad 2.1

Las expresiones algebraicas que constan de un término están formadas por una parte numé-rica o coeficiente y por una parte literal. Por ejemplo: 23m2, su coeficiente es 23 y su parte literal m2; ab, su coeficiente es 1 y su parte literal ab.

Identifica en cada caso las partes de los términos algebraicos y completa la tabla.

Término Coeficiente Parte literal

a) 15m 3n 2

b) 2p 2q 3 r

c) 12.8 h 3k

d) m 2

e) 2 m 2n 3

f) 24a 2b 2

g) 7r 3s 2

h) 23.25 m 3np 2

i) 2n

j) a 3b 2c

34

56

Actividad 2.2

Si 4m2 = m2 1 m2 1 m2 1 m2, quiere decir que el coeficiente 4 es el resultado de sumar 1 1 1 1 1 1 1, que son los coeficientes de los cuatro sumandos m2 (1m2 1 1m2 11m2 11m2). Observa que cada sumando lleva la misma parte literal, es decir, son términos semejantes. Agrupa los siguientes términos algebraicos.

a) 3a 1 2a 1 4a 5 g) 23a3 1 2a3 1 5a3 5

b) 5m 2 3m 1 2m 2 2m 5 h) 2b2 2 5b2 1 7b2 5

c) 21.5m3n 2 3m3n 2 4.3m3n 5 i) 5n 1 n 1 2n 2 n 5

d) 4.5ab 2 2.2ab 5 j) 2.5p 2 3.5p 5

e) 28.2m 1 4.5m 5 k) 4a 1 2a 1 2a 5

f) 2 a2 1 a2 5 l) 2 a2b 1 a2b 5 34

74

49

29

Coeficiente: Factor numérico de un térmi-no algebraico.

Se sabe que...

Cuando un coeficiente o un exponente no

están escritos, su valor es 1. Ejemplos:

1a 2b 5 a 2b

x 5 1x

a 2b 5 a 2b1

m 5 m1

De modo que:

a 5 1a 1

Se sabe que...

Un término algebraico es una

expresión formada por variables y constantes que no se encuentran

separadas por los signos de 1 o 2 .

24 MATEMÁTICAS 2

Actividad 2.3

Reduce a su más simple expresión los siguientes grupos de términos algebraicos. Recuerda que la reducción sólo se puede realizar con términos que tengan igual su parte literal. Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

a) 3a 1 2b 1 4a 1 5b 5

b) 4d 1 2e 2 2 3d 1 6e 2 5

c) 2 4.5f 32 3.2h 2 0.8h 1 1.5f 3 5

d) 2 2m 3 1 3n 2 1 5m 3 1 7n 2 5

e) 3.2a 3 b 2 1 1.2a 2 b 3 1 3.8a 3 b 2 2 0.6a 2 b 3 2 2.2a 3 b 2 5

f) 4x 2 2y 2 4 1 4y 1 5 1 2 2 7x 5

g) n 1 n 1 2 1 n 1 4 1 n 1 6 5

h) 2 4.5m 3n 2 3m 3 1 1.4m 3n 1 2m 3 2 3.1m 3n 5

i) 2 a 1 b 2 a 2 b 5

j) 1 a 2 b 3 1 a 3 b 2 1 a 2 b 3 1 a 3 b 2 5

38

13

28

53

12

23

34

56

Actividad 2.4

La medida de los lados de cada uno de los siguientes polígonos se encuentra expresada por un término algebraico. Calcula su perímetro.

2x2x

2x

4b

4b

4b4b

4d

12d

7d 7d

m m

mm

m

2c

2c

c c

BLOQUE 1 25

Actividad 2.5

Para cada uno de los siguientes enunciados, determina la expresión algebraica correspondiente. Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

a) La edad de Pedro es el doble de la edad de María y ambas suman 24 años.

b) Las edades de José y su hermano suman 28 años. José es dos años mayor que su hermano.

c) Alberto realizó dos pruebas en el bimestre. La suma de sus calificaciones es 14, y en una prueba obtuvo dos puntos menos que en la otra.

d) Las estaturas de dos hermanos tienen una diferencia de cinco centímetros.

e) El perímetro de un triángulo cuyos lados, de menor a mayor, difieren en dos decímetros.

f) El perímetro de un triángulo mide 36 cm. Sus lados son entre sí como los números 3, 4 y 5.

g) El segundo de los ángulos interiores de un triángulo es lo doble del primero y el tercero es el triple del primero.

2y2y

y

4a

5a

5a

2.5a

7m

5m

3m

8x

8x

5x

3x

3c

4c5c

3.16c

26 MATEMÁTICAS 2

Actividad 2.6

Reúnete con tus compañeros de equipo para que analicen y comenten cada cuestión antes de responder. Después sustituyan las literales para comprobar sus respuestas.

a) Si un número natural está expresado por m, ¿cuál es su consecutivo?

¿Y cuál es su antecesor? Si m = 790, entonces:

Su consecutivo es: 5 y su antecesor es: 5

b) Si a es un número natural par, ¿cuál es el siguiente número par?

¿Y el siguiente? . ¿Y el siguiente?

Si a 5 4, ¿cuáles son su siguiente y su antecesor?

c) Si n es un número natural, escribe tres números consecutivos.

¿Cómo expresarías algebraicamente la suma de esos tres números consecutivos?

Si agrupas términos semejantes, ¿a qué se reduce?

Si n 5 , entonces su suma es 5

d) Considera cuatro números pares consecutivos a partir de d. Representa algebraicamente su suma.

Redúcelos, agrupando términos semejantes.

Analiza esta nueva expresión y anota lo que observas.

e) Expresa algebraicamente cinco números consecutivos. Agrúpalos.

f) Considera la serie: 1, 3, 5, 7, 9, 11. Exprésala algebraicamente y reduce términos semejantes.

Haz lo mismo con: 2, 4, 6, 8, 10, 12.

¿Qué observas en ambas reducciones?

BLOQUE 1 27

Actividad 2.7

Formen equipos, respondan cada una de las siguientes situaciones y anoten la justifica-ción de sus respuestas mediante un ejemplo numérico.

a) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de tres números consecutivos es divisible entre 3”.

b) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de cuatro números consecutivos es divisible entre 2, entre 3 y entre 4”.

d) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de cinco números consecutivos es divisible entre 5”.

c) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de dos números consecutivos es un número par”

e) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de dos números consecutivos es un número divisi�ble entre 2”.

Se sabe que...

Un número es divisible entre otro, si al hacer la división el cociente es

entero y el residuo cero.

Números consecutivos:

x, x 1 1, x 1 2

Su suma: 3 x 1 1es divisible entre 3

si x 5 7 7 1 8 1 9 5 24 24 4 3 5 8

si x 5 1 1 1 2 1 3 5 6 6 4 3 5 2

28 MATEMÁTICAS 2

f) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de cuatro números consecutivos pares es un núme�ro divisible entre 2 y entre 4”.

h) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de cinco números consecutivos pares es un número divisible entre 5”.

g) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de dos números consecutivos impares es un núme�ro par”.

i) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de cinco números consecutivos pares es un número divisible entre 5 y entre 10”.

j) Comprueba si es cierto o no que: “la suma de tres números consecutivos impares es un número impar”.

BLOQUE 1 29

ActividAd PreviAEs posible representar una situación por medio de una expresión algebraica. Tam-bién es frecuente utilizar figuras geométricas para facilitar la comprensión, pues ob-jetivamente nos permiten entender situaciones concretas a partir de los conceptos de forma y medida (perímetro y área). Por ejemplo: El caso de las fórmulas. Si el perímetro y el área de un rectángulo están dados por 2a 1 2b y ab, respectiva-mente, dibuja el rectángulo correspondiente señalando sus dimensiones.

ConoCimientos y habilidadesReconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

En primer grado estudiaste que la unidad de área: 1 u2 5 , que se obtiene de un cuadrado cuyo lado mide una unidad. Como el área resulta de multiplicar lado por lado, entonces:

1u 3 1u 5 1u2

Es posible calcular el área de un rectángulo o de un cuadrado conociendo sus medidas. Por ejemplo: Determina el área de un cuadrado cuyo lado mide 7 cm.

A 5 3 5 7 cm 3 7 cm 5 49 cm2.

En el caso de un rectángulo, a 5 7 m; b 5 5 m, entonces:

A 5 7 m 3 5 m 5 35 m2.

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES

APARTADO 3: OPERACIONES COMBINADAS I

Expresiones algebraicas equivalentes

Se sabe que...

Las unidades de área resultan del cuadrado de la unidad lineal.

ProDuCto DE PotEnCiAs

El producto de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la

suma de los exponentes.

m2 3 m3 5 m2 1 3 5 m5

a 3 a2 5 a1 1 2 5 a3

7 cm7 cm

5 cm

30 MATEMÁTICAS 2

Actividad 3.1

Para cada uno de los siguientes cuadriláteros, calcula su área.

10 cm

4 cm

2 cm

2 cm5.5 dm

2.5 dm

0.1 m

0.1 m

105 m

60 m

Actividad 3.2

Para cada uno de los siguientes cuadrados, calcula su área, dado uno de sus lados.

1.2n

3a

5b

7c

x12

BLOQUE 1 31

n

2n 1 1 d 2 2

5

Actividad 3.3

Para cada uno de los siguientes rectángulos, determina su área.

Actividad 3.4

En el recuadro se muestra cómo se obtiene el área de cada cuadrilátero. Utiliza esa idea para expresar el área de cada figura de dos maneras diferentes (expre-siones algebraicas equivalentes). Observa el ejemplo.

A 5

A 5

a

2a x 1 26b

32b

A 5 y (y 1 2)

A 5 y2 1 2y

a)

y

y 1 y

y

y

2

2

2

y

y

y 1 2

Si te dan el área y uno de los lados, ¿qué harías para calcular el otro lado?

Ejemplo: El área de la figura compuesta,

dados sus lados.

y 2

2 y

4

32 MATEMÁTICAS 2

b)

A 5

A 5

A 5 A 5

A 5 A 5

y

2 1 2

c) e)

y 1 2

2

22

y 1 2

d) f)

A 5 A 5

A 5 A 5

2

2

2

y 1 2

2

2

2

2

y 1 2

ProPiEDAD DistributivA

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos del número

en cuestión por cada sumando. Ejemplo:

a 3 (b 1 c 2 d) 5 a 3 b 1 a 3 c 2 a 3 d

Encuentra las áreas de dos cuadrados cuya suma sea 10 unidades cuadradas. ¿Cuánto miden los lados de cada cuadrado?

Actividad Extra

BLOQUE 1 33

ConoCimientos y habilidadesResolver problemas que impliquen reconocer, estimar y

medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.

ActividAd PreviAReúnete con tus compañeros para realizar este ejercicio. Consiste en reconocer tu juego de geometría. Anota el nombre de cada instrumento, sus características y el uso que se le da a cada uno de ellos en la construcción de figuras geométricas.

Nombre Características Usos

¿Cuál es el uso principal que se le da al transportador?

observa tu entorno y menciona en dónde está formado un ángulo.

forma, espacio y medida

TEMA: MEDIDA

APARTADO 4: ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR I

Medición de ángulos

Ángulo: Sección del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto.

34 MATEMÁTICAS 2

Actividad 4.1

En las siguientes imágenes, marca con rojo la mayor cantidad de ángulos que observes. Considera que son imágenes planas. Fíjate en los ejemplos.

Escribe cómo le explicarías a tus compañeros lo que es un ángulo.

Actividad 4.2

Haciendo uso correcto del transportador, mide la abertura que está marcada con un arco rojo, entre cada par de semirrectas o semiplanos y anota su medida.

BLOQUE 1 35

Actividad 4.3

Tu transportador te da la posibilidad de medir diferentes ángulos. Dentro de esa di-versidad existe una clasificación de los án-gulos, de acuerdo con su abertura. Observa la figura y su notación:

i = lado inicial; f = lado final; v = vértice

Ubica en el transportador circular cada án-gulo y, en equipos, completa en el siguiente cuadro las características; escribe un con-cepto de cada uno de ellos en tu cuaderno.

Clase Rango de medida

Ángulo agudo Entre , y o sea, mayor de , pero menor de .

Ángulo recto Igual a

Ángulo obtuso Entre , y o sea, mayor de , pero menor de .

Ángulo llano Igual a

Ángulo entrante Entre , y o sea, mayor de , pero menor de .

Ángulo perígono Igual a

Actividad 4.4

Utiliza tu transportador para que construyas cada uno de los siguientes ángulos. Indica en cada caso de qué clase de ángulo se trata.

a) ABC 5 120° c) DEF 5 60° e) GHI 5 90°

b) JKL 5 45° d) MNO 5 180° f) PQR 5 240°

270º

0º i

90º

180ºf

f

f

f

f

360º f

colineal o llano

períg

ono

agudorecto

entrante

obtuso

Se sabe que...

El ángulo a puede denotarse como

a, o bien ABC.

AB

C

a

V

36 MATEMÁTICAS 2

Actividad 4.5

Utilizando sólo regla y compás, construye un ángulo congruente a cada ángulo dado. Anota a qué clase pertenece y verifica con el transportador la igualdad de las medidas. Observa el proceso de construcción.

a)

ABC 5 ; Clase:

d)

DEF 5 ; Clase:

b)

GHI 5 ; Clase:

e)

JKL 5 ; Clase:

c)

MNO 5 ; Clase:

f)

PQR 5 ; Clase:

C

B A

D

E

F

G H

I

K

LJ

O

N

MP Q

R

2) Traza un arco

Ángulo dadoÁngulo obtenido

Resulta: N’ A’ M’ 5 NAM

3) Mide el arco

AA A’ A’ A’ N’

M’

N’N’NN

M

M

1) Traza una semirrecta2) Traza un arco

3) Mide el arco y márcalo

4) Traza para formar el ángulo

BLOQUE 1 37

Actividad 4.6

Observa los siguientes ángulos. Estima su medida y anota qué clase de ángulos son. Compara tus aproximaciones con las de tus compañeros (¡NO MIDAS! Si al final quieres verificar cuánto te aproximaste, hazlo).

a)

Medida estimada: Clase:

d)


b)


e)


c)


f)


¿En qué tipo de unidades expresaste la medida de cada uno de los ángulos anteriores?

38 MATEMÁTICAS 2

Completa las siguientes equivalencias:

1o = 60’ y 1”=

También las unidades de tiempo varían de manera sexagesimal, por lo tanto:

1 hora 5 minutos y 1 minuto 5 segundos.

Otra forma de clasificar los ángulos es “por su suma”. En este caso se trata de parejas de án-gulos cuya suma es igual a cada uno de los ángulos, que por su clase siempre tienen la misma medida, es decir:

Por su abertura Medida constante Por su suma Algebraicamente

Recto 90° Complementarios a + b 5 90°

Llano o colineal 180° Suplementarios a + b 5 180°

Perígono 360° Conjugados a + b 5 360°

Gráficamente

a + b 5 90° a + b 5 180° a + b 5 360°

a

bab

a

b

Actividad 4.7

En cada una de las siguientes figuras aparece la medida de un ángulo. Determina la medida del ángulo señalado con una literal.

a)

a 5

b)

b 5

c)

c 5

d)

d 5

e)

e 5

120°

a

30°

b 90°c

25° d

75°

e

Ángulos complementarios Ángulos suplementarios Ángulos conjugados

BLOQUE 1 39

Actividad 4.8

Para cada uno de los siguientes ángulos determina la medida de su complemento, su suple-mento y su conjugado correspondiente. Observa los ejemplos y completa la tabla.

Ángulo Complemento Suplemento Conjugado

45° 90° — 45° = 45°

30° 30’

48° 10’

78° 45’ 179°60’ — 78°45’ = 101°15’

Actividad 4.9

Resuelve cada una de las siguientes situaciones y ejercicios. Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

a) Para sostener verticalmente un poste se re-quieren cables que van sujetos de la parte más alta del poste al piso. Uno de los ángulos que se forma entre el cable y el piso mide 58°, ¿cuánto mide el otro ángulo?

c) La hora de entrada a la escuela es a las 7:30. La primera sesión de este día es Taller y la clase dura 100 minutos. ¿A qué hora empieza la segunda sesión?

b) Al trazar las diagonales de un cuadrilátero, uno de los ángulos formados entre ellas mide 40°, ¿cuánto mide el ángulo que se encuentra junto a él?

d) En el trayecto de mi casa a la escuela tardé 50´, si llegué al plantel a las 7:20, ¿a qué hora salí de casa?

40°

58°

Explica qué hiciste para hallar el conjugado de 48o 10’.

40 MATEMÁTICAS 2

e) Un papalote se sostuvo en cierta posición, por lo que se amarró a un soporte en el suelo. En esa posición el hilo formó un ángulo de 78° 30´ con el piso, ¿qué ángulo formó con la ver-tical?

h) Una película en DVD tiene marcado un tiempo de duración de 190 minutos. Si se comienza a proyectar a las 19:45, ¿a qué hora finalizará?

f) En un lanzamiento de jabalina, ésta queda clavada en el piso formando un ángulo de 60° 30´, con el piso, en dirección del tirador, ¿qué ángulo se forma en dirección contraria?

i) La mamá de Elsa va a hornear un pavo. Si lo colocó en el horno a las 5:45 pm y lo sacó a las 21.30 horas, ¿cuánto tiempo estuvo asán-dose el pavo en el horno?

g) El ángulo interior de un polígono regular de 13 lados mide 152° 18´, ¿cuál es la medida de su ángulo exterior?

j) A las 19 horas, 24 minutos y 36 segundos se cronometró el tiempo de llegada del gana-dor de la carrera de maratón. Si el tiempo del recorrido fue de 4 horas, 15 minutos y 24 segundos, ¿a qué hora se dio el disparo de salida para todos los competidores?

78° 30´

60° 30´?

BLOQUE 1 41

Actividad 4.10

a) Cierta nave se encuentra en el océa-no Pacífico en un punto cuya posición es 35° 40´ 20”, latitud Norte. Llegará a puerto cuando en la misma dirección se encuen-tre a 72° 50´ 45”. ¿Qué arco debe recorrer para llegar a su destino?

d) El lanzamiento de un cohete a la Luna se realizó a las 7 horas, 30 minutos, 30 segun-dos del día 12 de mayo. El tiempo estimado de vuelo es de 13 días, 8 horas, 20 minutos, 24 segundos. ¿Para qué día y a qué hora se calcula que se realice el alunizaje?

b) Suma: e) Suma:

c) Resta: f) Resta:

Ciertos trabajos requieren hacer operaciones con unidades angulares y de tiempo, llamadas “denominados”. Te proponemos que realices algunos para afinar tu habilidad en las conver-siones de unidades en el sistema sexagesimal.

12 días 1 14 h 1 35 min 1 20 seg

8 días 1 10 h 1 45 min 1 30 seg

45º 1 46’ 1 54’’

120º 1 8’ 1 22’’15 h 1 34 min 1 45 seg

12 h 1 45 min 1 24 seg

180º

174º 1 45’ 1 15’’

¿Para qué se utilizan las medidas angulares en Geografía?

42 MATEMÁTICAS 2

450 150

300

900

900

900 900

900

900

750

900

600

1200

1200

600

1200

600

600

600600

750

300

600

1200


Para medir los ángulos de la siguiente página, construye este recurso. Necesitas un cuadrado de papel para doblar y seguir el procedimiento mostrado en los esquemas.

1 2

3 4 5

BLOQUE 1 43

Las manecillas del reloj forman ángulos. Por ejemplo, observa que a las 4:00 los ángulos que se forman miden 120º y 240º, respectivamente.

Encuentra la medida de la pareja de ángulos que se forman cuando las manecillas del reloj marcan las siguientes horas.

Actividad Extra

Medir ángulos con el transportador de papel.

Mide los siguientes ángulos (puedes sumar, restar, superponer... los ángulos de tu “transporta-dor de papel”).

a) 3:00 y

b) 7:00 y

c) 11:00 y

d) 4:30 y

e) 8:20 y

f) 11:15 y

44 MATEMÁTICAS 2

ConoCimientos y habilidadesDeterminar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar defi- niciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

ActividAd PreviA

Supongamos que cada uno de los siguientes rectángulos es un plano que puede extenderse de manera infinita en todos sus sentidos. Sobre cada uno de ellos, traza dos líneas rectas en cualquier dirección. Posteriormente, completa los enunciados propuestos.

Al hacer tus trazos, ¿en cuáles casos las rectas no se cortaron?

Y si se prolongaran de manera indefinida, ¿habrá un punto donde se corten? Obsérvalas bien.

¿En cuáles de los trazos que realizaste se cortaron las líneas rectas?

Al cortarse las rectas en un punto, ¿qué se forma?

¿Cuántos?

¿Qué clase de ángulos encontraste?

¿Algunas rectas que se cortaron formaron ángulos rectos? ¿Cómo son entre sí?

TEMA: FORMAS GEOMéTRICAS APARTADO 5: RECTAS Y ÁNGULOS I

Posiciones relativas de dos

rectas en el plano

a)b)

c)d)

e)f)

BLOQUE 1 45

¿Cómo se llama a las rectas que por más que se prolonguen nunca se cortan?

Comenta con tus compañeros las respuestas que obtuvieron y anota tus conclusiones relatando qué es lo que puede suceder al trazar dos líneas rectas en un plano.

Las posiciones relativas de dos rectas en el plano son dos: se cortan (secantes), o no se cortan (paralelas). A dos rectas que no son paralelas ni perpendiculares también se les conoce como oblicuas.

Actividad 5.1

A continuación aparecen cuatro líneas rectas. Ubícalas en cada plano, por parejas, según se indica y completa las cuestiones que se te plantean. Trabaja en equipo con la idea de resolver lo que se plantea.

En el ejercicio a), ¿se cortaron las rectas?

,

¿Cuántos ángulos se formaron? ,

¿De qué clase son esos ángulos?

,

Estima sus medidas: y ,

¿Qué otro ejercicio es semejante a éste? .

¿Habría algún cambio si en lugar de la recta GH se hubiera considerado la recta HG ?

.

¿Por qué?

AAB y GH

a)CD y EF AB y CD

c) e)

EF y GHb)

CD y GH AB y EFd) f)

B

C D

E

F H

G

Oblicuo: Inclinado. Que no es perpen-dicular ni paralelo a otro (rectas, no paralelas ni perpen-diculares).

46 MATEMÁTICAS 2

En el ejercicio c), ¿se cortaron las rectas?

¿Cuántos ángulos se formaron?

¿De qué clases son esos ángulos?

Estima sus medidas: y

¿Qué otro ejercicio es semejante a éste?

¿Habría algún cambio si en lugar de la recta EF se hubiera considerado

la recta FE ?

¿Por qué?

¿Qué nombre reciben estas parejas de líneas rectas?

¿Cuánto mide cada uno de los ángulos que se forman?

Actividad 5.2

A continuación aparecen algunas situaciones similares a las del ejercicio anterior. Escribe sobre la figura, en el ángulo, a qué clase pertenece de acuerdo a su amplitud. Sigue el ejemplo.

a)

obtuso

c)

b) d)

rECtAs PErPEnDiCuLArEs

rectas que se cortan en el plano formando

ángulos rectos.

rECtAs PArALELAs

rectas que no se cortan en el plano.

rECtAs obLiCuAs

rectas no perpendicu-lares que se cortan en

el plano.

¿Cómo se les llama a las rectas de la figura a)?

¿Cuántos ángulos se forman? , ¿cuánto mide cada ángulo? .

rECtAs sECAntEs

Dos rectas que tienen un punto en común.

BLOQUE 1 47

¿Cómo se les llama a las rectas de la figura b)? ,

¿Por qué? .

En la figura c), ¿cuántas clases de ángulos se forman? ,

¿Cuáles son? y .

¿Cuánto suman? .

¿Hay en esa figura ángulos de la misma clase? ;

Si los midieras, ¿cómo consideras que resultan sus medidas? .

Analiza la figura d) y anota tus observaciones.

Actividad 5.3

Observa la siguiente figura y responde cada cuestión.

¿Qué parejas de ángulos tienen la misma medida?

¿Qué parejas de ángulos suman 180°?

¿Cuál es el ángulo opuesto por el vértice al a ?

Y ¿al b?

¿Cuáles son los ángulos adyacentes al a ?

¿Y al b?

¿Y al c?

¿Y al d?

db c

a

Se sabe que...

Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno son la prolongación de los

lados del otro.

Adyacente: Que está inmediato, contiguo o junto.

ÁnguLos AdyAcentes

son dos ángulos que tienen un lado común y el otro lado de uno es la prolongación del otro lado del otro ángulo.

48 MATEMÁTICAS 2

Actividad 5.4

Observa la siguiente figura y completa cada proposición.

db c 5 65°

a

¿Qué ángulo es igual al c ?

¿Cuánto suman el a y el c ?

¿Qué parejas de ángulos son opuestos por el vértice? y ,

¿Cómo son entre sí?

¿Cuánto mide el b ?

¿Qué ángulos son adyacentes al d ? y

¿Cuál es el ángulo opuesto por el vértice al a ? ,

¿Cuánto mide el a ?

¿Cuánto suman a 1 b 1 c 1 d 5 ? .

Actividad 5.5

En cada una de las siguientes figuras aparece la medida de uno o dos ángulos. Determina el valor de los ángulos que se señalan e identifica las parejas de ángulos adyacentes u opuestos por el vértice, según se solicite.

a)

db

a

a 5 b 5 d 5

Ángulos opuestos por el vértice:

y

y

Ángulos adyacentes:

y

y

c 5 55°

BLOQUE 1 49

b)

a 5 b 5 c 5

d 5 e 5 f 5

Ángulos opuestos por el vértice:

y

y

y

y

Ángulos adyacentes:

y

y

y

y

fd

40°e

140°a b

c

c)

m 5 n 5 p 5

s 5 t 5 v 5

50°

105°m n

p

s t

v

d)

a 5 b 5 c 5

d 5 e 5 f 5 90° a

b c

90°

ed

f

50 MATEMÁTICAS 2

Trabaja en equipo. Completen la demostración del teorema: “Dos rectas que se cortan en el plano forman ángulos opuestos por el vértice iguales”, completando las siguientes proposicio-nes justificarán cada afirmación. No se pretende que escriban axiomas o propiedades, com-pleten según su forma de entender y comunicar.

El punto O, ¿se encuentra en la recta AB o en la recta BA?

El punto O, ¿se encuentra en la recta MN o en la recta NM ?

¿Qué representa el punto O ?:

FIGURA HIPÓTESIS

Dos rectas se cortan en el punto O y forman los

ángulos:p, q, r y s

RAZONAMIENTO

p 1 q 5 ,

¿Por qué?

r 1 q 5 ,

¿Por qué?

p 1 q 5 r 1 q ,

¿Por qué?

p 1 q 2 q 5 r 1 q 2 ,

¿Por qué?

Conclusión: p 5 r

¿Por qué?

TESIS p 5 r

AM

BN

Op r

q

DEmostrACión

Deducir una cosa partiendo de pro-posiciones verdaderas y evidentes.

AxiomA

verdad evidente que no requiere demostración. se acepta.

tEorEmA

Proposición verdadera que requiere demostración.

HiPótEsis

Lo que se establece provisionalmen-te como base de investigación para

confirmar o negar su validez.

Si tienen oportunidad de trabajar en las com-putadoras, desarrollen la lección “Posiciones relativas de las rectas en el plano”, que está en las páginas 102 y 103 del libro Geometría dinámica. EMAT. México, SEP, 2000.


tEsis

Conclusión que se obtiene con razonamientos.

Actividad Extra

s

BLOQUE 1 51

ActividAd PreviAEn cada uno de los siguientes rectángulos, considerados como planos, traza tres líneas rectas en cualquier dirección. Posteriormente, comenta las diferentes posibilidades que encontraste. Compara y comenta con tus compañeros. Anota tus conclusiones.

ConoCimientos y habilidadesEstablecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

Seguramente tres de tus trazos coinciden con las siguientes descripciones, indica cuáles.

Tres rectas paralelas.

Dos rectas paralelas y una transversal.

Dos rectas paralelas y una transversal, perpendicular a ellas.

Tres rectas que se cortan en un punto.

Dos rectas convergentes y una transversal.

a) b) c) d) e)

TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS

APARTADO 6: RECTAS Y ÁNGULOS II

Posiciones rela-tivas entre dos rectas paralelas

cortadas por una transversal

Transversal: Recta que corta dos líneas en dos puntos dife-rentes.

52 MATEMÁTICAS 2

Estos casos y otros que hayan surgido los vamos a resumir en los siguientes:

Actividad 6.1

Observa junto con uno de tus compañeros la figura. Contiene información que les permitirá completar las cuestiones que se plantean.

Describe la figura:

¿Cuántos ángulos se forman?

¿Cuáles son?

¿Qué ángulos se encuentran en la región interior?

¿Qué ángulos se encuentran en la región exterior?

M

B

A

C

N

D

g h

fe

dc

a b

R E G I Ó N E X T E R I O R

R E G I Ó N E X T E R I O R

R E G I Ó N I N T E R I O R

A Tres rectas paralelas.

AB CD EF

B

C D

E F

M

NT U

R SM

R S

T UN

Dos paralelas cortadas por una transversal.

RS TU MN es una transversal; en el primer caso resultó perpendicular a las paralelas.

Dos rectas convergentes cor-tadas por una transversal.

FG y IJ, cortadas por RS

S

RGF

IJ

Convergente: Diri-girse dos o más líneas hacia un punto.

BLOQUE 1 53

¿Cuáles parejas de ángulos son iguales?

¿Cuáles parejas de ángulos suman 180°?

Estima la medida de cada ángulo, ¿consideras que algún ángulo de la parte superior tiene la misma medida que alguno de la parte inferior?

¿Cuáles?

¿Qué parejas de ángulos de la región interior suman 180°?

¿Qué parejas de ángulos de la región exterior suman 180°?

Actividad 6.2

En la figura CD AB y RS es una secante. Completa las siguientes cuestiones.

¿Cuántos ángulos se forman?

Por su amplitud, ¿cuántas clases de ángulos hay?

¿De qué clases son?

¿Cuáles son sus medidas? Usa el transportador.

¿Qué ángulos son iguales al a ?

¿Qué ángulos son iguales al b ?

R

DC

A

S

B

a b

dc

fe

g h

ÁnguloS EnTrE paralElaSalternos externos: ángulos exteriores que se encuentran a uno y otro lado de la transversal.alternos internos: ángulos interiores que se encuentran a uno y otro lado de la transversal.

Correspondientes: ángulos que se encuentran del mismo lado de la secante formando parejas, un interno con un externo.

54 MATEMÁTICAS 2

Si seleccionas al azar una pareja de ángulos, ¿cuál es el total de combinaciones que se presentan? Si es necesario, observa de nuevo la figura de la página anterior.

¿Qué parejas de ángulos de la región interior son iguales? ¿Por qué?

¿Qué parejas de ángulos de la región exterior son iguales? ¿Por qué?

¿Qué parejas de ángulos del lado derecho de la secante son iguales? ¿Por qué?

¿Qué características en común tienen esas parejas de ángulos?

¿Qué parejas de ángulos del lado izquierdo de la secante son iguales? ¿Por qué?

¿Qué características en común tienen esas parejas de ángulos?

¿Qué parejas de ángulos llamarías alternos internos?

¿Qué parejas de ángulos llamarías alternos externos?

¿Cuánto suma cada pareja de ángulos adyacentes?

Representa por medio de una expresión algebraica la suma de los ángulos adyacentes exteriores.

Y la de los adyacentes interiores.

¿Cuánto suman cada pareja de ángulos internos que están del mismo lado de la secante?

¿Cuánto suman cada pareja de ángulos externos que están del mismo lado de la secante?

Completa cada una de las siguientes relaciones.

a 5 a 5 a 5 b 5 b 5

a 1 b 5 c 1 d 5 e 1 f 5 f 5 g 5

BLOQUE 1 55

Actividad 6.3

Observa la figura y completa la clasificación de los ángulos que hemos venido trabajando.

Clasificación de los ángulos que se forman al cor-tar dos paralelas por una secante. Complétala.

Ángulos opuestos por el vértice: 1 y 4,

Ángulos adyacentes externos: 1 y 2,

Ángulos adyacentes internos: 5 y 6,

Ángulos correspondientes: 7 y 3,

Ángulos alternos externos: 1 y 8,

S

QP

F

T

G

7 8

65

43

1 2

Actividad 6.4

Reúnete en equipo con el fin de hacer algunas consideraciones sobre la clasificación del ejer-cicio anterior a partir de las siguientes preguntas.

¿Qué parejas de ángulos son iguales?

¿Qué parejas de ángulos suman 180°?

Nota: Por el momento aceptaremos estas últimas respuestas como proposiciones verdaderas; es necesario demostrarlas de manera formal.

Teoremalos ángulos correspon-

dientes son iguales. Teoremalos ángulos alternos internos son iguales. Teorema

los ángulos alternos externos son iguales.

Ángulos alternos internos: 3 y 6,

Ángulos colaterales internos: 4 y 6,

Ángulos colaterales externos: 1 y 7,

Colateral: Que se encuentra del mismo lado.

56 MATEMÁTICAS 2

Actividad 6.5

En las figuras siguientes FG JK y PQ es una secante. Considerando la medida arbitraria del ángulo dado, determina las medidas de los demás.

a 1 70° 5 ,

despejando: a 5 2

a 5

c 5

d 5

e 5

f 5

g 5

h 5

P

GF

J

Q

K

g h

fe

dc

a 70°

v 1 140° 5 ,

despejando: v 5 2

p 5

q 5

r 5

s 5

t 5

u 5

p

GF

J

Q

K

v

q

ut

sr

p

140°

Al trabajar en la computadora, ¿qué programa utilizarías para trazar rectas? ¿Cómo harías para que la computadora trace en la pantalla dos rectas que al intersecarse formen ángulos de 30° y 150°? ¡Demuéstralo en la computadora!


BLOQUE 1 57

Actividad 6.6

Analiza las figuras y completa los planteamientos.

M

A

N

Ba

M

A

N

B

b

a’

as

rn

mA’ B’

c

FIGURA 2: AB se desplaza a la posición

A’B’, de manera que: MN es

secante a AB A’B’

FIGURA 1: AB es cortada por MN

AB se ha desplazado en la dirección de MN, paralelamente, hasta tomar la posición A’B’.

¿ Q u é á n g u l o s s e c o r r e s p o n d e n ?

¿Cómo son entre sí a y a’ ?

¿Cómo les llamarías a dos ángulos que se corresponden?

¿Qué otras parejas de ángulos son correspondientes?

58 MATEMÁTICAS 2

Actividad 6.7

Reproduce en una lámina la figura. Colócala en un lugar visible para poder realizar un ejerci-cio oral. Se han elegido algunas parejas de ángulos; hay que identificar cada una de ellas por su nombre, de acuerdo con la clasificación.

a) a y m k) a y q

b) a y d l) p y d

c) a y r m) p y h

d) m y s n) q y h

e) a y s o) r y s

f) p y q p) d y h

g) m y p q) q y s

h) h y m r) q y d

i) h y r s) r y m

j) p y r t) d y s

A

QP

R

B

S

m

hd

qp

a

sr

PQ RS; AB secante que las corta.

¿Cuáles parejas de ángulos cambiarían de nombre con el que se les puede identificar, si las rectas PQ y RS de la actividad 6.7 no fueran paralelas? Por ejemplo: la pareja de ángulos a y m no cambiarían de nombre, siguen siendo ángulos adyacentes y suplementarios.

Si tienen oportunidad de trabajar en las computadoras, desarrollen la lección “Relaciones de los ángulos entre paralelas”, que está en las páginas 104 y 105 del libro Geometría dinámica. EMAT. México, SEP, 2000.


BLOQUE 1 59

Actividad 6.8

En las siguientes figuras hay una pareja de ángulos con los que puedes formar una relación (no midas, su apertura es arbitraria). A partir de que la obtengas, determina el valor de los ángulos que se solicitan.

a) Rectas paralelas cortadas por una diagonal. x 5

a 5

c 5

e 5

x 1 40° 5

b 5

d 5

f 5

b) Rectas paralelas cortadas por una diagonal. x 5

p 5

r 5

t 5

3x 5

q 5

s 5

u 5

c) Rectas no paralelas cortadas por una secante.

a 5

c 5

g 5

b 5

h 5

f 5

ab

ed

fc

xx 1 40°

3xx

pq

s

tu

r

95°a

bc

fhg

130°

60 MATEMÁTICAS 2

Calca la siguiente figura. Recórtala en tres partes, de manera que en cada una de ellas quede uno de los ángulos. Pega los ángulos sobre la línea, de manera que el primer lado coincida con ella y el vértice se ubique en el punto O.


¿Cuánto mide el ángulo de vértice en O?

Al pegar los ángulos, ¿los hiciste coincidir de manera que aparezcan solamente tres líneas rectas?

¿Cuánto suman esos tres ángulos?

Anota una conclusión relativa a los ángulos del triángulo que recortaste y acomodaste sobre la línea recta.

Actividad 6.9

En la siguiente figura MN AB y MP BC, determina la medida de cada uno de los ángulos que se solicitan.

aA

M

C

N

BPfg

dc e

b

90°

90°

60° a 5

b 5

c 5

d 5

e 5

f 5

g 5

0

a

b c

BLOQUE 1 61

Actividad 6.10

Tratando de hacer consistente la afirmación anterior y tus conocimientos sobre ángulos entre paralelas, te proponemos que completes lo siguiente para demostrar que: “Los ángulos interio-res de un triángulo cualquiera suman 180°”.

FIGURA HIPÓTESIS

Dado ABC, de ángulos interiores a, b y c.

Sea MN AB, al trazarla se forman los ángulos m y n.

RAZONAMIENTO

¿Cómo son entre sí los ángulos m y a ? Por su posición en la figura, ¿cómo se llaman?

¿Cómo se les llama a los ángulos n y b ? ¿Cómo son sus medidas? ¿Cuánto suman m, n y c? ¿Cómo se le llama al ángulo que forman los tres por estar sobre una recta? Si m 5 a y n 5 b , entonces: a + b + 5 180°Lo que prueba que:

A B

m

M C N

c n

a b

Actividad 6.11

A partir de los datos que aparecen en cada figura, determina la medida de cada uno de los ángulos que se indican.

a) c)

a 5 b 5

a

60°

90° b

100°

30°

b) d)

c 5 d 5

c c

40°

40°

d

110°

¿Cuánto suman los ángulos agudos de un triángulo rec-tángulo?

62 MATEMÁTICAS 2

e)

Actividad 6.12

Observa la siguiente figura y responde las preguntas que se plantean. Se trata del cuadrilátero PQRS en el que se ha trazado la diagonal PR con el propósito de dividir el cuadrilátero en dos triángulos.

abs

cp q

Q

RS

P

¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo?

¿Cuál es la suma de p 1 q 1 a ?

¿Cuál es la suma de s 1 b c ?

¿Cuáles son los ángulos que se encuentran al interior del cuadrilátero?

Completa la igualdad: c 1 p 1 q 1 a 1 b 1 s 5

¿Cuánto suman los ángulos interiores del cuadrilátero?

dd

d

d 5

¿Cuánto mide cada uno de los ángulos agudos de un triángulo equilátero?

BLOQUE 1 63

Actividad 6.13

En los siguientes cuadriláteros convexos, traza una diagonal y verifica si se puede generalizar que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.

Comenta:

Actividad 6.14

Verifica si es posible generalizar que en todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interio-res es igual a 360°. Analiza la siguiente figura y argumenta una conclusión.

polígono ConvExo

El que tiene todos sus ángulos interiores menores de 180°.

polígono CónCavo

El que tiene al menos un ángulo entrante (mayor de 180° y menor de 360°).

la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo es igual a .

Actividad 6.15

En los siguientes polígonos convexos se encuentra marcado el vértice V. Desde él, traza todas las diagonales posibles y determina para cada figura, cuál es la suma (S ) de sus ángulos interiores.

S 5 S 5

VV

64 MATEMÁTICAS 2

Actividad 6.16

En los siguientes polígonos cóncavos realiza un análisis y comenta lo que puedes hacer para deter-minar la suma de sus ángulos interiores. Considera estos dos casos; explica cada uno de ellos.

S 5 S 5 S 5

VV

V

¿Resulta igual la suma de los ángulos interiores de un polígono cóncavo o convexo de n lados? Explica.

Observa la figura, establece la igualdad en términos de x, resuélvela y determina los valores de los otros ángulos.

a 5 b 5 c 5 4x 5 d 5 e 5 x 5 f 5

Actividad Extra

a

bc

4x

de

xf

BLOQUE 1 65

ConoCimientos y habilidadesDeterminar el factor inverso dada una relación de

proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.

ActividAd PreviAEn el primer curso aprendiste que una razón es el número que resulta de comparar, por cociente, dos cantidades de la misma especie. Recordemos: La estatura de Rebeca es 120 cm, y la de su padre, de 180 cm, ¿cuál es la razón que resulta de comparar la estatura de Rebeca con la de su padre?

la pregunta pudo haberse planteado de manera recíproca, ¿cuál es la razón que resulta de comparar la estatura del padre con la de rebeca?

Compara ambas razones, ¿qué observas? Comenta.

Actividad 7.1

Determina la razón que resulte de comparar las siguientes parejas de cantidades en el orden en que se encuentran. Observa que no todas son de la misma especie.

a) 12 kg y 16 kg d) 30 cm y 45 cm

b) 200 mg y 4 g e) 400 cm y 4 km

c) 15 meses y 2.5 años f) $900 y $2 250

¿Qué hiciste en los casos en que las unidades son diferentes?

Manejo de la inforMación

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIóN

APARTADO 7: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD I

Factor inverso de

proporcionalidad

EjEmploS DE razón

la razón entre las edades de dos niños de 10 y 14

años:

Tiene las mismas propiedades de la fracciones comu-

nes. Se puede simplificar:

También puede expresarse como:

10:14 = 5:7

1014

57

Se sabe que...

En geometría, dibujo, arquitectura y geografía la razón se utiliza para representar escalas.

66 MATEMÁTICAS 2

Actividad 7.2

Reúnete con un compañero para que analicen y resuelvan las siguientes situaciones.

a) La razón entre las edades de José y su padre es , si el padre tiene 40 años, ¿qué edad tiene José?

e) La superficie del estado de Colima está en razón de con respecto al estado de Chi-huahua. Sabemos que Chihuahua tiene 246 000 km2 de superficie, ¿qué superficie tie-ne Colima?

b) Elsa consume diariamente del total de calo-rías que consume su hermano. Si el hermano consume 2 400 calorías, ¿cuántas calorías con-sume Elsa?

f) La población de México está en razón en-tre hombres y mujeres, según el censo del año 2 000. Si entonces eran 49 000 000 de mujeres, ¿cuántos hombres había?

c) La distancia entre el D.F. y Toluca está en razón con respecto a la distancia entre el D.F. y

Morelia, que es de 302 km. ¿Cuál es la distan-cia del D.F. a Toluca?

g) La siguiente tabla representa datos de dos magnitudes proporcionales. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad?

d) Arturo gasta en razón de lo que gasta su hermana en ropa. Si la hermana gastó $900, ¿cuánto gastó Arturo?

h) De 30 kg de betabel se pueden obtener 4 kg de azúcar. ¿Cuál es el factor de proporciona-lidad que se usa para saber cuánta azúcar puede obtenerse de cualquier cantidad de betabel?

25

15

23

145

1150

9498

x 3 5 8

y 9 15 24

BLOQUE 1 67

Actividad 7.3

Determina la razón simplificada entre A’B’ y AB.

Determina la razón simplificada entre A’D ’ y AD.

¿Son iguales estas razones a la razón dada?

¿Cuál es el perímetro de A’B’C’D ’?

¿Y el de ABCD ?

Establece la razón entre los perímetros y simplifícala.

¿Qué observas?

Comenta:

Considera las siguientes parejas de figuras. La figura de la derecha es una reproducción, en la razón dada, de la figura de la izquierda. Completa lo que se solicita.

a) Razón de semejanza: 12

A B

D C

C’D’

B’A’

7 cm

ancho 5

largo 5

3.4 cm

68 MATEMÁTICAS 2

b) María mandó a hacer una ampliación de su fotografía. El tamaño de reproducción que escogió está en escala de la original.

Establece las razones simplificadas entre los lados correspondientes.

¿Cómo son entre sí esas razones? .

¿Sucederá lo mismo con la razón de los perímetros? .

Verifica .

Supongamos que la reproducción hubiera quedado del mismo tamaño que la original, ¿cuál sería la escala?

c) Toma las medidas y reproduce la siguiente figura en una escala 1:3.

¿Cuál es el perímetro de la figura dada?

¿Y el perímetro de la figura que obtuviste?

Escribe la razón del lado mayor de la figura original, en relación con el lado mayor de la figura que obtuviste

¿Cómo son entre sí esas razones?

¿Son iguales a la razón dada?

ancho 5

alto 5

1.8 cm

2 cm

52

Escala: Razón entre las medidas reales y las de una imagen que representa la realidad sobre un

plano o mapa.Escala natural: 1:1

Escala de reducción: 1:2, 2:3...

Escala de amplia-ción: 2:1, 3:2...

BLOQUE 1 69

Actividad 7.4

En parejas, resuelvan los siguientes problemas. Comparen sus resultados con los de los equipos más cercanos y argumenten sus respuestas.

a) Para colocar una imagen en el periódico mural de esta semana se realizó un dibujo de una persona a de la estatura de uno de los compañeros. Si el dibujo mide 56 cm de alto, ¿cuál es la estatura del compañero?

¿Cuál es el factor de proporcionalidad que permite resolver el problema?

b) Al participar en un maratón, mi vecino había avanzado del recorrido total cuando alguien estaba llegando a la meta. Si en ese momento había recorrido 8 km, ¿cuál era la longitud del recorrido total?


c) En un mapa de la escuela la distancia entre dos ciudades es de 15 cm. Si en el mapa se puede observar que está hecho a una escala de 1:500,000, ¿a qué distancia en realidad se encuentran dichas ciudades?


d) Mi papá me pidió que calcule la altura que tiene un mueble que quiere comprar; si la fotografía que presenta la publicidad tiene como referencia que está hecha del tamaño original, ¿qué altura tiene en realidad el mueble si en la fotografía mide 12 cm de alto?


13

23

225

70 MATEMÁTICAS 2

Actividad 7.5

Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Compara las respuestas con las de tus compañeros.

a) Hace cinco años Marcos pesaba 60 kg, lo que equivale a de su peso actual, ¿cuánto pesa Marcos?

d) La renta que paga mi hermano es de $3 000, lo que equivale de su salario, ¿cuál es el salario de mi hermano?

b) En un mapa escolar, la distancia entre la Ciu-dad de México y Cuernavaca es de 1 cm en línea recta. Si el mapa está a escala 1:10 000 000, ¿cuál es la distancia real entre las dos ciudades?

e) La producción petrolera que se obtiene del mar es de 2 200 000 barriles por día. Esto re-presenta las partes de la producción total. ¿Cuántos miles de barriles se producen en México cada día?

c) En México la población que tiene algún tipo de trabajo es de 60 500 000 personas, lo que viene representando del total de habitan-tes del país. ¿Cuántos habitantes había en el momento que se tomó esta información?

f) En un embarazo normal, al tercer mes el feto mide 75 mm, lo que representa de lo que medirá al nacer. Si todo marcha bien, ¿cuánto medirá ese niño el día de su naci-miento?

25

23

25

1120

320

BLOQUE 1 71

Actividad 7.6

Trabajemos nuevamente con figuras. La de la derecha es una reproducción de la figura de la iz-quierda. Considera la razón dada para dar respuesta a los planteamientos que se te hacen.

a) Razón de semejanza: 25

Explica el procedimiento y anota las operaciones que realizaste para determinar las medidas de la figura original.

b) Esta imagen apareció en un espectacular para anunciar ropa. Los folletos promocionales tenían la misma imagen hecha a una escala de 1:250. Escribe las operaciones efectuadas.

ancho 5

largo 5

1 cm

2 cm

5 cm

3 cm

ancho 5

largo 5

72 MATEMÁTICAS 2

Escribe la serie de razones que se obtienen de las medidas, simplifica y compara con las razones dadas.

En estas figuras los lados correspondientes son:

Y los ángulos correspondientes son:

c) De una fotografía se obtuvo una ampliación y una reducción en razones y , respectiva-mente.

FaCTor invErSo o rECíproCo

al multiplicar una fracción y un número dado se obtiene cierto producto; si este producto se multiplica por el recíproco de la fracción se obtiene el número dado inicialmente.

Ejemplo: 8 3 5 6 y 6 3 5 843

34

9 cm

Ampliación

cm

cm

cm

9 cm

Original

Reducción

32

34

cm

recíprocos

BLOQUE 1 73

ActividAd PreviA

Utilizando las proporciones has resuelto problemas como este:

Se compraron cuatro piezas de tela en $4 400, ¿cuánto se pagará por 11 piezas de esa misma tela? Resuélvelo en el siguiente espacio.

Considerando lo aprendido, resuelve ahora este problema. Apóyate utilizando la tabla.

En cierto hospital, la dietista debe preparar cuatro comidas a partir de estos ingre�dientes: 200 gramos de pasta, 360 gramos de carne, 4 huevos y 300 gramos de legumbres. ¿Qué cantidad requiere de cada uno de los ingredientes para preparar seis comidas?

Establece las razones correspondientes a cada columna y simplifícalas.

¿Qué puedes observar? Comenta:

ConoCimientos y habilidadesElaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

ProPorciones múltiPles

a 3 d 5 b 3 c 5 c 3 f 5 d 3 e...

5ab

cd

TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

APARTADO 8: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD II

Proporcionalidad múltiple

Proporción: Es la igualdad de dos razones.a:b = c:d

=ab

cd

Comidas Pasta Carne Huevos Legumbres

4 200 gramos 360 gramos 4 piezas 300 gramos

6

5ef

... (se forma por tres o más razones iguales

74 MATEMÁTICAS 2

Actividad 8.1

a) Un ganadero tiene 34 vacas y sólo dispone de alimento para 10 días. ¿Cuántas vacas tiene que vender para que el elimento le alcance para 5 días más?

b) Para realizar una excursión a la sierra, se cal�cula que se necesitan 20 litros de agua dia�rios por cada tres personas. ¿Cuántos litros se necesitarán si se va a realizar una excursión con 120 personas durante 7 días?

c) En el recuadro se enlistan los ingredientes para hacer un pastel de manzana: Determina la can�tidad necesaria de cada uno de los ingredientes, si sólo se dispone de 8 tazas de manzana.

d) Dos personas deben reunir $40 000 para un negocio y quieren que la aportación de cada quien sea proporcional a sus ingresos (las ga�nancias las distribuirán también proporcional�mente). Paula gana mensualmente $30 000. Antonio gana $20 000 por mes. ¿Cuánto debe aportar cada quien?

e) Tres hermanas deben reunir $5 600 para la manutención de su casa aportando proporcio�nalmente a los ingresos mensuales de cada una. María gana $2 500, Josefina gana $3 500 y Marisol gana $2 000. ¿Cuánto debe aportar cada una de ellas?

Actividad 8.2

Lee con cuidado los siguientes enunciados y resuelve las situaciones que se plantean.

a) Julián está organizando una fiesta y pretende decorar el salón con globos. Por cada 5 globos rojos colocará 2 azules. Para bailar, por cada 3 discos de salsa pondrá 4 de rock. Si coloca 100 globos rojos, ¿cuántos azules habrá? ¿Cuántos discos de rock colocará si se escuchan 9 de salsa? Habrá 35 invitados y calcula que cada uno consumirá 5 vasos de refresco. ¿Serán suficientes 160 vasos?

12 tazas de manzana rebanada

taza de harina

cucharadita de sal

2 cucharadas de mantequilla

1 cucharadita de nuez

1 cucharadita de canela

1 tazas de azúcar

12

14 1

2

BLOQUE 1 75

b) En un colegio hay 8 niñas por cada 5 niños. ¿Cuántos estudiantes son en total si hay 105 niños? Si en un grupo están inscritos 39 alumnos, ¿cuántas niñas hay en ese salón? Comprueba tus resultados.

c) Una señora fue a la carnicería a comprar $20 de carne molida. El carnicero quiere saber cuánto debe marcar en la báscula para despacharla, si el precio es de $48 el kg. Luego, la señora, le pide que aparte le ponga 400 g de esa misma carne. ¿Cuánto debe pagar por esta cantidad? ¿Cómo demuestras que tu resultado es correcto?

d) Un cliente le dio a coser a doña Lupe un lote de 78 pantalones. Ella estima que con tres cos�tureras podrá terminar 12 pantalones en 3 días. El cliente desea saber en cuántos días hábiles deberá regresar por su lote completo de pantalones terminados. Comprueba tu resultado.

e) Un contratista desea colocar piso de cerámica en una superficie de 32 m2. Cada loseta es un cuadrado de 33 cm por lado. Contrató a Juan, quien puede colocar 1 m2 en 2 horas. También con�trató a Manuel, quien puede colocar 4 m2 por cada jornada de 8 horas. Entre los dos, ¿en cuánto tiempo terminan el trabajo?

76 MATEMÁTICAS 2

Actividad 8.3

Resuelve las siguientes situaciones problemáticas. Compara tus procedimientos y resultados con los de tus compañeros.

a) Los lados del rectángulo están en razón 1:2.

Determina su perímetro y su área: P =

A =

Enseguida completa lo que se pide. Si se duplica el largo,

¿qué sucede con el perímetro?

¿Y con el área?

Si se duplica el ancho, ¿qué sucede con el perímetro?

¿Y con el área?

Si ambas medidas se duplican, ¿qué sucede con el perímetro? ¿Y con el área?

¿En qué casos existe proporcionalidad entre los perímetros? y, ¿entre las áreas? Comprueba tus resultados; de ser necesario, ilústralos.

b) La siguiente pareja de cubos están en razón 2:1, en el orden a, b

¿Cómo son entre sí las medidas de sus lados?

¿Cuántas veces cabe la superficie de una cara del cubo b en una cara del cubo a ?

Si llenas el cubo a con cubos b, ¿cuántos necesitas para llenarlo?

Establece la razón entre los lados, entre las áreas de una cara y entre los volúmenes. ¿Alguna

resulta equivalente con la razón dada? ¿Cuál?

Escribe la proporción correspondiente. ¿A qué se debe que sean semejantes?

c) Calcula el volumen del siguiente prisma cuadrangular

y posteriormente contesta lo que se pide.

¿Qué sucede con el volumen si uno de los lados de la base se duplica?

¿Qué pasa con el volumen si en la base se duplica un lado y se

triplica el otro?

¿Qué sucederá si se duplican las tres dimensiones del prisma?

l 5 6 cm

a 5 3 cm

a b

2 cm

10 cm

2 cm

V 5

BLOQUE 1 77

d) Consideremos ahora un paralelepípedo rectángulo cuyas aristas son a, b y c.

Escribe la expresión algebraica para determinar el volu�men:

V1 5

Si se duplica el lado b, ¿cuál es el volumen?

V2 5

Si se duplican los lados a y c , ¿cuál es el volumen?

V3 5

Si se duplican los tres lados, el volumen es:

V4 5

Establece las razones:

De los cuatro paralelepípedos del problema, ¿cuáles tienen un volumen proporcional?

V1

V2

;V

1

V3

;V

1

V4

;V

2

V3

;V

2

V4

;V

3

V4

;

f) En un recorrido de 325 km, un automóvil consume 25 litros de gasolina. ¿Cuántos litros de gaso�lina se requieren para hacer un recorrido de 800 km por día, durante tres días?

e) Según un instructor de alpinismo, se requiere que por cada cinco personas que realicen un ascenso se deben llevar, para consumo, 7.5 litros de agua por día. ¿Cuántos litros de agua se requieren para un grupo de 15 personas que realizará una escalada de 10 días?

a

b

c

Paralelepípedo: Prisma cuyas bases son dos paralelogramos iguales.

Arista: Segmento de recta donde se unen dos caras de un poliedro.

Se han planteado tres preguntas alternas al problema, en cada caso tuviste que calcular el volumen. Establece las seis razones que resulten de comparar los volúmenes y señala si hay algún caso en que éstos sean proporcionales.

78 MATEMÁTICAS 2

ConoCimientos y habilidadesAnticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.

ActividAd PreviASituaciones como ésta se presentan cada día. Lee con cuidado y responde lo que se te solicita. Hugo, Paco y Luis son tres compañeros de segundo de secundaria que deci�dieron visitar a su amiga Sofía. Al entrar a la sala encontraron un sofá de tres plazas. Utiliza las iniciales de sus nombres para ubicarlos de todas las formas posibles en los sofás que a continuación se simulan (no sabemos si sobran o faltan sofás).

¿De cuántas maneras diferentes pudieron sentarse?

¿cómo podrás obtener el número de acomodos posibles sin hacer el diagrama?

Del modo en que lo obtuviste, ¿empleaste una multiplicación, de cuáles números?

¿Por qué?

Generaliza la situación mediante una expresión algebraica.

H

TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

APARTADO 9: DIAGRAMAS Y TABLASConteo

BLOQUE 1 79

Actividad 9.1

Recuperemos la información anterior. Resulta que en la sala de Sofía no había otro lugar para sentarse. Por lo que Sofía decide sentarse junto a sus compañeros. Realiza un esquema de si-mulación utilizando la siguiente cuadrícula (si faltan aumenta, si sobran, déjalas en blanco).

¿De cuántas maneras diferentes se acomodaron?

Este número es el resultado de multiplicar: 3 ,

que en forma algebraica lo puedo expresar:

Ya que estaban acomodados, llegó Pedro. ¿Cuántos amigos hay ahora reunidos?

¿Con qué expresión podemos hacer el cálculo del número de combinaciones, suponiendo que to�dos se sientan en el sofá? .

¿Cuántas combinaciones resultan?

Actividad 9.2

Representa cada una de las siguientes situaciones mediante un diagrama cartesiano y com-pleta lo que se indica.

a) En el menú de cierto restaurante se ofrecen tres plati�llos calientes y cuatro postres.

¿De cuántas formas se puede pedir un platillo caliente y un postre?

¿Cuántos puntos ubicaste en el diagrama?

¿Con qué operación podrías obtener de manera inme�diata la respuesta? Explica y representa la situación con una expresión general.

Postres

Platillos

80 MATEMÁTICAS 2

b) En una familia hay cuatro personas: papá, mamá, hijo e hija. Al sentarse a la mesa, que es cuadrada, cada uno ocupa uno de los lados.


¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse?

Si el lugar del papá siempre es el mismo, ¿de cuántas formas diferentes se pueden acomodar?

Y si el papá y la mamá siempre tienen lugares fijos, ¿cuántas posibilidades de acomodo existen?

Lugares

Personas

c) ¿Cuántos códigos de una letra y de un dígito se pue�¿Cuántos códigos de una letra y de un dígito se pue�den formar con las vocales del alfabeto y los números 1, 2, 3, 4?


Si tuvieras que hacerlo con las 26 letras del alfabeto y los 10 números dígitos, ¿cuántos códigos formarías?

¿Con qué operación podrías obtener de manera inmediata las respuestas? Explica cada caso y represéntalo por medio de una expresión algebraica.

Números

Vocales

BLOQUE 1 81

Actividad 9.3

Representa cada una de las siguientes situaciones mediante un diagrama de árbol y completa lo que se indica.

a) Si tienes una moneda y un dado.

¿Qué resultados puedes obtener al lanzar la moneda?

¿Qué resultados puedes obtener al lanzar el dado?

Si lanzas la moneda y el dado, ¿qué obtienes? Completa el diagrama.

¿Cuántos resultados diferentes puedes obtener al hacer un lanzamiento?

¿Cuáles son?

b) A una reunión asisten 5 hombres y 4 mujeres y deciden bailar en parejas de distinto sexo.

¿Cuántas parejas diferentes se pueden formar?

¿Cómo puedes obtener el resultado de forma inmediata?

H1

H2

H3

H4

H5

M1

M2

M3

M4

2 5

82 MATEMÁTICAS 2

Actividad 9.4

En algunas ocasiones no es posible que mediante una operación puedas establecer el número de combinaciones. Analiza la siguiente situación y resuelve. Probablemente tengas que hacer un listado ordenado. Utiliza tu cuaderno.

Si tienes cuatro monedas de las siguientes denominaciones: 10¢, 20¢, 50¢ y $1, ¿cuál es el número total de precios que puedes pagar usando alguna o todas tus monedas?

Actividad 9.5

Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Luego de llegar al resultado, trata de expre-sar cada situación con una expresión algebraica. Puedes hacer un diagrama en tu cuaderno.

a) ¿Cuántos grupos de 2 o más personas se pue�den formar con 4 integrantes?

c) Hay 5 niños en fila. Si el más chiquito quiere estar adelante, hay 4 maneras de elegir al segundo de la fila, 3 de elegir al tercero, 2 maneras de elegir al cuarto y una para elegir el quinto y último.

3 3 3 5

Exprésalo algebraicamente.

b) ¿De cuántas maneras se pueden poner en una fila 3 niños y 3 niñas si los niños quieren ocupar el primero y el último lugar?

d) La prueba de una olimpiada de matemáticas tiene 5 problemas, numerados del 1 al 5. Por cada problema se pueden recibir 0, 1 o 2 puntos. ¿De cuántas maneras puede un estu�diante obtener un puntaje total de 7?

BLOQUE 1 83

e) ¿Cuántas veces hay que tirar un dado para asegurarse de sacar por lo menos 2 veces el mismo número?

h) ¿De cuántas formas distintas se pueden aco�modar cinco bolas de billar en una fila?

f) ¿Cuántos códigos de una letra y un número dí�gito se pueden formar con las 26 letras del alfa�beto y los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

i) Paco tiene 3 pantalones y 5 camisas. ¿Cuán�tas mudas de ropa puede elegir?

g) Hay 10 libros que me interesa sacar de la bi�blioteca, pero sólo me prestan 3. ¿Cuántas elecciones posibles tengo?

j) En un coche viajan 5 personas. ¿De cuántas formas distintas pueden ir sentadas si sólo 2 de ellas saben conducir?

84 MATEMÁTICAS 2

ConoCimientos y habilidadesInterpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.

ActividAd PreviASupongamos que la siguiente tabla de frecuencias representa los resultados obteni�dos en un grupo de 1° de secundaria en una prueba mensual de Español. Con la información que aparece, completa la tabla y realiza dos gráficas: una de barras y una gráfica poligonal representativa de esta situación.

Calificación Conteo Frecuencia

5 4

6

7

8

9

10

Total

5 6 7 8 9 100

8

12

16

20

24

Calificación

Frecuencia

4

Calificaciones de Español

TEMA: REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN

APARTADO 10: GRÁFICAS I

Polígonos de frecuencias

PolíGono De frecuencias

Gráfica poligonal o lineal. Se forma uniendo los puntos medios de la parte supe-rior de las barras de un histograma de frecuencia.

Histograma: Repre-sentación gráfica en forma de barras en la que la superficie queda determinada por una variable y su frecuencia.

BLOQUE 1 85

Calificación Frecuencia absoluta Frecuencia relativa %

5 4 5 0.08 8

6

7

8

9

10

Total 100

450

calcula ahora la frecuencia relativa. completa la tabla.

5 6 7 8 9 100

8

12

16

20

24

Calificación

Frecuencia

4

Calificaciones de Español

Aprendiste a dibujar una gráfica circular, considerando la razón entre el 100% con 360° y las proporciones que se pueden formar con cada una de las frecuencias relativas y el ángulo por trazar. ¿Podrías hacer la gráfica circular correspondiente en tu libreta de apuntes...? ¡Hazlo!

utilizaremos gran parte de la información del ejercicio anterior para estudiar otro tipo de gráfica llamada poligonal, la cual se encuentra muy relacionada con un histogra-ma.

Frecuencia relativa: Parte del total de frecuencia que le corresponde a cada dato. Se expresa como porcentaje o como decimal.

Frecuencia absoluta: Número de veces que se repite un dato.

86 MATEMÁTICAS 2

Actividad 10.1

Lee con mucha atención la siguiente situación y completa su resolución en el momento y espacio que se te solicite o que esté en blanco. Trabaja en pareja para que vayan aclarando sus dudas.

El orientador de una escuela desea determinar cuántas horas estudian los alumnos por semana y representar esta información mediante una gráfica. Seleccionó una muestra, al azar, de 30 estudiantes y tomó notas al entrevistar a cada uno de los seleccionados: 15, 23, 19, 15, 18, 23, 14, 20, 13, 20, 17, 18, 12, 20, 13, 21, 18, 29, 17, 18, 20, 26, 15, 14, 17, 33, 23, 30, 27, 16.

En primer lugar, ordenó de menor a mayor los datos obtenidos (muestra o espacio muestral). Ordena de menor a mayor los datos.

12, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , 33.

Observó que el número de datos diferentes es grande, al hacer la diferencia entre el dato mayor y el menor:

2 5

Se dio cuenta de que el número de renglones en la tabla y, en consecuen�cia, el número de puntos en la gráfica era elevado y aportaría escasa infor�mación. Por tal motivo, decidió agruparlos por “clases”. Esto lo obtuvo a par�tir de decidir cuántos intervalos de clase quería formar y, en consecuencia, cuántos puntos habría de señalar en la gráfica.

Decidió que formaría 5 intervalos, y procedió a obtener el tamaño de la “clase”: 21 : 5 ≈ 4.2, por lo que dejó cinco valores

Las clases obtenidas son: 12216, 17221, , , , 32236.

Completa la tabla.

Horas de estudio Frecuencia absoluta Punto medio Frecuencia relativa

12216 9 14 5 0.3 30%

17221

32236

Total 5 1.0 100%

12 1 162

930

Muestra: Es una parte de una población. Grupo de datos que se usa para hacer cierta investigación.

Intervalo de clase: Es la cantidad de valores que se encuentran en-tre dos límites dados.

Punto medio o marca de clase: Valor que representa la informa-ción que contiene un intervalo de clase.

3030

BLOQUE 1 87

Al final, decidió mostrar la información en dos gráficas, un histograma y un polígono de frecuencias.

Con la información que aparece ejemplificada, completa ambas gráficas.

14 34

4

6

8

10

14

Horas

Frecuencia

2

12

Histograma

14 34

4

6

8

10

14

Horas

Frecuencia

2

12

Polígono de frecuencias

Algunas personas acostumbran hacer la representación de ambas gráficas encimadas, ¿por qué crees que lo hacen?

Completa:

14 34

4

6

8

10

14

Horas

Frecuencia

2

12

Horas de estudio

88 MATEMÁTICAS 2

Actividad 10.2

Lee con atención la siguiente situación y realiza lo que se indica.

En cierta empresa se hizo una encuesta en la que participaron 100 personas; se le preguntó a cada una de ellas cuánto adeudaban en sus tarjetas de crédito. Las respuestas variaron, los adeudos iban de 0 a $10 000.

Para mostrar la información se hizo un polígono de frecuencias, de acuerdo con los registros de la tabla. Te corresponde completar la tabla y hacer la gráfica.

Adeudo Frecuencia absoluta Punto medio Frecuencia relativa

0 2 menos de 2 000 9 1 000 5 0.19 19%

2 000 2 menos de 4 000 24

4 000 2 menos de 6 000

6 000 2 menos de 8 000 17

8 000 2 10 000 7

Total 100

0 1 2 0002

19100

1 0000 Adeudo

Frecuencia relativa

3 000 5 000 7 000 9 000

35%

30%

25%

20%

15%

10%

5%

BLOQUE 1 89

Actividad 10.3

Ten en cuenta la información proporcionada y posteriormente completa lo que falta y responde a las situaciones que se te plantean.

El siguiente histograma representa los aciertos obtenidos en un examen por los alumnos de los cuatro grupos de 2° año.

Puntuación Frecuencia absoluta Punto medio Frecuencia relativa

20 – 24 22 %

25 – 29

30 – 34

35 – 39

40 – 44

45 – 49

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

Total

20 � 240

20

30

40

50

10

Histograma (puntuaciones de un examen)

25 � 29 30 � 34 35 � 39 40 � 44 45 � 49 50 � 54 55 � 59 60 � 64 65 � 69

12

7

18

22

42

30

37

15

6

En la gráfica se nos olvidó identificar los ejes. Anota allí mismo el indicador correspondiente.

¿Cuántos alumnos presentaron el examen?

¿Cuál es el intervalo de clase?

Completa la tabla que dio origen a la gráfica.

90 MATEMÁTICAS 2

Traza un polígono de frecuencias sobre el histograma.

Si tuvieras que dar una calificación, en relación con el puntaje obtenido, ¿cuántos alumnos con� sideras que resultarían reprobados?

¿Y aprobados?

Actividad 10.4

En pareja, consideren la siguiente situación y respondan los cuestionamientos que se plantean.

Un corrector de textos contabiliza el número de errores que encuentra en cada página de un texto que consta de 50 páginas. Obtiene el siguiente número de errores por página:

2 3 5 0 1 4 0 6 2 1

1 0 2 4 5 3 1 2 3 2

2 5 4 1 3 2 6 8 2 0

1 0 2 3 1 5 10 2 1 3

3 1 2 4 4 6 2 0 1 3

a) Construye la tabla de frecuencias correspondiente.

Errores Frecuencia absoluta Punto medio Frecuencia relativa

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Total 50 100%

BLOQUE 1 91

d) ¿Qué porcentaje de páginas, con respecto al total de las que se han corregido, tienen dos errores?

e) ¿Qué porcentaje de páginas respecto del total tienen menos de seis errores? ¿Y seis errores o más?

f) ¿Qué porcentaje de páginas con respecto al total tienen como mínimo cinco errores?

b) Construye el histograma de las frecuencias absolutas.

c) Construye el polígono de frecuencias de esta distribución.

Errores

f

Errores

f

92 MATEMÁTICAS 2

Actividad 10.5

Resuelvan en grupo la siguiente situación.

En mi grupo hay: mujeres y hombres.

Las estaturas de los hombres, expresadas en centímetros, son:

Y ordenadas de menor a mayor quedan:

Las estaturas de las mujeres, expresadas en centímetros, son:

Y ordenadas de menor a mayor quedan:

Determinen la clase, procurando que se formen seis intervalos de estaturas entre hombres y mujeres.

Haz una tabla de frecuencias de cada subgrupo.

Clase hombres

Frecuenciaabsoluta

Punto medio

Frecuenciarelativa

Clase mujeres

Frecuenciaabsoluta

Punto medio

Frecuenciarelativa

BLOQUE 1 93

Con la información de ambas tablas, traza en el siguiente plano cartesiano ambos polígonos de frecuencias.

0 estatura

Frecuencia absoluta

¿Cuál es la estatura promedio de las mujeres?

¿Y de los hombres?

Actividad Extra

a) Desarrollen esta actividad en equipo; expongan la información obtenida.

En la unidad habitacional donde vive Juan hay departamentos. Las familias que los habitan gastan en alimentación semanal la cantidad, en pesos, que aparece en la tabla.

Gasto semanal en alimentación por familia

1 170 1 207 1 581 1 277 1 305 1 472 1 077 1 319 1 537 1 849

1 332 1 418 1 949 1 403 1 744 1 532 1 219 896 1 500 1 671

1 471 1 399 1 041 1 379 821 1 558 1 118 1 533 1 510 1 760

1 826 1 309 1 426 1 288 1 394 1 545 1 032 1 289 695 803

1 440 1 421 1 329 1 407 718 1 457 1 449 1 455 2 051 1 677

1 119 1 020 1 400 1 442 1 593 1 962 1 263 1 788 1 501 1 668

1 352 1 340 1 459 1 823 1 451 1 138 1 592 982 1 981 1 091

94 MATEMÁTICAS 2

Ordena de menor a mayor los datos de la muestra.

Determinen la cantidad de intervalos con que van a trabajar.

Elabora una tabla de frecuencias para cada intervalo.

Clase Frecuencia absoluta Punto medio Frecuencia relativa

BLOQUE 1 95

¿En qué intervalo de clase se encuentra la mayor frecuencia?

De la tabla ordenada, ¿cuál es el gasto que, en común, hacen más familias?

¿Cuál es el gasto promedio que hacen las familias?

Construye el polígono de frecuencias y su congruente histograma en los siguientes ejes. Ten cui�dado al hacer las divisiones y colocar los puntos y valores correspondientes, así como lo que se representa en cada eje.

Reforcemos la lectura de gráficas. Después de la segunda vuelta se graficó el lugar que fueron ocupando los pilotos en una carrera de 16 vueltas.

Actividad Extra

Escribe una breve reseña de los lugares que fue ocupando el piloto que quedó en segundo lugar.

Vueltas

Número de automóvilCARRERA DE ANIVERSARIO

Lugar de llegada a la meta

3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16

15

6

7

12

3

9

1º

2º

3º

4º

5º

6º

Español: Analicen la información y escriban un texto que comunique lo ocurrido.

La competitividad y el éxito que una persona puede alcanzar dependen, entre otros factores, de un buen aprendizaje y del desarrollo de habilidades y destrezas que la formación matemática ofrece.

en esta ocasión llevaremos a cabo algunas actividades que permiten el desarrollo de la habilidad de imaginación espacial; con ésta se puede pasar de manera más sencilla de representaciones espaciales a planas o viceversa. esta habilidad matemática no se limita a cuestiones geométricas: tiene que ver también con la observación de las relaciones que se establecen entre las formas geométricas, las expresiones aritméticas y las representaciones algebraicas.

Al concluir esta práctica compara tus resultados con los que obtuvieron tus compañeros de grupo. Hagan comentarios al respecto y lleguen a conclusiones.

Las balanzas se utilizan para pesar cierto tipo de objetos.

imagina que te asignan una balanza y sólo te dan cuatro pesas, cada una con diferente peso: de 1 kg, de 3 kg, de 9 kg y de 27 kg. el instructivo indica que con esas cuatro pesas puedes llegar a equilibrar el peso de objetos de hasta 40 kg, pesando siempre kilogramos completos.

Por ejemplo:Para equilibrar un objeto de 20 kg se puede hacer de la siguiente manera:

APLicAción de APrendizAjesimaginación espacial

es tu turno. indica cómo harías con esas pesas para mantener en equilibrio los siguientes pesos:

a) 2 kg:

b) 4 kg:

c) 5 kg:

d) 7 kg:

e) 15 kg:

f) 25 kg:

g) 29 kg:

h) 33 kg:

i) 38 kg:

j) 40 kg:

96

5

La tecnología es un recurso muy versátil para realizar trabajos. Las computadoras, por ejemplo, lo mismo se utilizan para efectuar de manera rápida operaciones, que para graficar, reproducir música, reproducir o hacer películas, jugar, escribir notas o tareas, almacenar fotografías, comunicarse vía internet, etcétera. A lo largo del curso tenemos oportunidad de elaborar y presentar trabajos de calidad. Uno de los medios que más se están empleando es el intercambio de archivos de cómputo conocidos como “presentaciones”. Una presentación se diseña con un programa con el que podemos dar a conocer lo creativos que somos, a través de la utilización de imágenes, textos y sonidos con

los que podemos mostrar una noticia, expresar un pensamiento, transmitir un mensaje, preparar una lección, etcétera.

este primer proyecto de utilización de recursos tecnológicos será a través de las presentaciones; consulta con tu profesor si en la escuela tienen un programa para diseñarlas o, si tienes computadora en casa, verifica cuál programa puedes utilizar. si no tienes acceso a una computadora puedes efectuar tu pre-sentación en hojas extendidas (para rotafolio) o en acetatos para retroproyector, por ejemplo, y apóyate con otros recursos que agreguen sonido o luz.

Forma un equipo de trabajo, con otro compañero del grupo y elaboren su primera presentación. Aprovechemos los conocimientos adquiridos acerca de las rectas y ángulos. iniciemos con la presentación del tema, indicando, por ejemplo, cómo se ven dos rectas paralelas en el plano. Aprovechen para presentar las rectas paralelas con diferentes inclinaciones (horizontales, ver-ticales o inclinadas), escribiendo su correspondiente título, un pequeño texto que indique las características que tienen dos rectas paralelas y mostrando ejemplos.

no olviden anexar los datos de quien elaboró la presentación (nombre de los integrantes del equipo, grupo, asignatura, nombre de la escuela y fecha de elaboración).

Agreguen a la presentación otras pantallas que presenten información y ejemplos para el caso de dos rectas perpendiculares y el caso de dos rectas inclinadas.

Puedes ampliar tu presentación agregando el caso de las rectas parale-las cortadas por una secante, cómo se identifican las regiones interior y exterior, cómo se identifican los ángulos adyacentes, los opuestos por el

vértice, los ángulos interiores, los exteriores, los alternos internos, los alternos externos y los corres-pondientes.

Presenten el trabajo al grupo y vayan formando su carpeta de presentaciones.

97

exPLorAción de recUrsos tecnoLógicos

rectasparalelas en

el plano

región interior

98 MATEMÁTICAS 2

¿CUÁnTO APREnDÍ?

Instrucciones: Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Ocupa los espacios para anotar tus procedimientos, operaciones y resultados.

1. Encuentra un número que al multiplicarse por 22 y dividirse entre 3, dé por resultado 212.

2. La suma de tres números enteros consecutivos es igual a un múltiplo de 3, mayor que 20. Encuentra tres números que cumplan con esta condición.

3. Los lados de un rectángulo son 2 m de ancho y 4 m de largo. Si el largo se incrementa en dos uni�dades, ¿cuál es el área del nuevo rectángulo?

4. Se sabe que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180°. Uno de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo mide 27° 30’, ¿cuánto mide el otro ángulo agudo?

5. Analiza la siguiente figura que surge de un paralelogramo. A partir de los datos que en ella se dan, determina los ángulos que se solicitan. Completa las afirmaciones y justifícalas.

an

p

srecd

bm 20°

55°

99BLOQUE 1

a, b, c, ¿qué ángulos son en la figura? ,

¿Cuál debe ser su suma?

a 5 ,

¿Cómo deduces el valor de a?

¿Cuánto suman el ángulo b y el de 55°?

¿Qué tipo de ángulos son?

a 5 e , ¿por qué?

p 5 r , ¿por qué?

c 5 n , ¿por qué?

a 1 b 1 c 1 e 1 r 1 n 5 360°,

¿por qué suman 360o?

a 5 d 5

b 5 s 5

c 5 r 5

m 5 n 5

p 5 e 5

6. Elisa y sus compañeros de oficina participaron en una rifa y ganaron. A ella le dieron $2 500, porque al comprar el boleto solamente aportó el 15% de su costo. Si hubiera comprado ella sola el boleto, ¿cuánto hubiera ganado?

7. El plano de una casa está hecho en escala 1:200. En dicho plano la sala mide 2.5 cm de largo por 1.25 cm de ancho. ¿Cuáles serán las dimensiones de la sala ya que esté construida la casa?

100 MATEMÁTICAS 2

8. Se quiere poner un florero en el escritorio del salón, de manera que contenga 5 rosas por cada 3 claveles. ¿Cuántas rosas debe tener el florero si hay 12 claveles?

10. La siguiente tabla representa la vida útil, en meses, que han tenido 30 baterías para automóvil.

9. Para un concurso de oratoria se quieren seleccionar 3 alumnos de los 5 que obtuvieron la mejor puntuación. Los jueces quieren que cualquiera que sea la elección, uno de ellos, el de menor edad, quede seleccionado. ¿De cuántas maneras se puede elegir a los otros dos? Realiza una gráfica o haz una lista.

Ordena los datos.

Establece la clase con que vas a trabajar.

Elabora la tabla de frecuencia absoluta. No olvides la columna de puntos medios.

Representa los datos mediante un polígono de frecuencias.

24 36 4 40 16 5 18 6 30 60

3 72 66 78 3 28 67 72 15 3

18 48 71 22 57 9 54 4 12 72

BLOQUE 2

250 a.C. 100 a.C. 50 200350

150 a.C.Los romanos inventan

la argamasa.

80Inauguración del Coliseo en Roma.44 a.C.

César es nombrado emperador vitalicio de Roma.

75

Herón. Desarrolla estudios acerca de medición y estudio

total de las raíces.

1 Se considera que el matemático chino Liu Hsin es el primero en

usar fracciones decimales.

500

Como resultado de este bloque temático se espera que los alumnos:

1. Evalúen, con o sin calculadora, expresiones numéricas con paréntesis y expresiones algebraicas, dados los valores de las literales.

2. Resuelvan problemas que impliquen operar o expresar resultados mediante expresiones algebraicas.

3. Anticipen diferentes vistas de un cuerpo geométrico.

4. Resuelvan problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de los términos de las fórmulas para obtener el volumen de prismas y pirámides rectos. Establezcan relaciones de variación entre dichos términos.

5. Resuelvan problemas que impliquen comparar o igualar dos o más razones.

6. Resuelvan problemas que impliquen calcular e interpretar las medidas de tendencia central.

476Caída de Roma.

300

Pappo. Se dedica a formar una colección matemática.

480

Tsu Chung-chi. Aproxima el valor de Pi a 355/113.

Contexto histórico

Hechos matemáticos

101

102 MATEMÁTICAS 2

ConoCimientos y habilidadesUtilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos.

ActividAd PreviA

Teniendo en cuenta el orden de importancia, resuelve las siguientes operaciones.

Compara tus resultados y procedimientos con tus compañeros.

3 3 4 1 5 5 8 3 3 1 8 5

5 3 4 1 3 3 6 5 8 3 5 1 3 3 5 5

(8 3 3) 1 5 5 8 3 (3 1 5) 5

6 1 7 3 3 1 4 5 9 2 2 3 3 1 4 5

Informática: No todas las calculadoras tienen un sistema operativo que jerarquice las operaciones. El uso de paréntesis ayuda a dar-le orden a la ejecución de las operaciones.

En matemáticas, los paréntesis se utilizan para indicar agrupamientos de una o más cantidades en expresiones que involucran más de una sola operación, el resultado surge resolviendo las operaciones por niveles de importancia.

LOS SIGNOS (1) Y (2)

Además de indicar si una cantidad es positiva o negativa, separan cantidades u operaciones.

Cuando un grupo de operaciones no tiene paréntesis, recuerda que son agrupaciones con el siguiente orden:

1o Potencias

2o Multiplicaciones y divisiones

3o Adiciones y sustracciones


Tema: SIgnIfIcado y uSo de laS operacIoneS

aparTado 1: operacIoneS comBInadaS II

Jerarquía de las

operaciones

Jerarquizar: Ordenar, del más al menos importante.

paréntesis: Son sím-bolos utilizados para agrupar. En el caso de la multiplicación

(3a) (2a)Debe inferirse que en-tre los paréntesis está el signo 3 aunque no se escriba.

BLOQUE 2 103

Actividad 1.1

Resuelve las siguientes situaciones con números naturales. Algunos casos presentan paréntesis para facilitar los agrupamientos.

a) 4 1 3 3 7 5 f) 9 2 2 3 4 5

b) 5 1 42 5 g) 6 3 4 1 3 3 2 2 3 5

c) 32 1 4 3 2 1 6 3 3 5 h) (3 1 9) 2 2 3 3 5

d) 16 1 (13 2 22) 5 i) 4 3 23 2 3 3 3 1 5 3 (4 1 3) 5

e) 4 3 [3 1 2 3 (4 2 2) 1 4] 5 j) 25 2 (3 2 2) 1 (4 2 1) 5

Actividad 1.2

Avancemos otro poco. Efectúa las siguientes operaciones. Recuerda la jerarquización.

a) 2.4 1 3.1 3 2 2 5 f) 29 2 2 3 (8 1 4) 5

b) 25 2 32 5 g) 26 3 4 1 3 X 22 2 8 5

c) 0.32 2 4 3 2 2 6 3 2 3 5 h) (2 3 1 9) 1 2 3 2 3 5

d) i)

e) j)

45

210

34

12

2 3 2 5

22

323

23

23

1 3 2 5223

2

56

23

46

12

1 1 2 5212

3

710

410

32

34

2 531 2

Observa que en el ejercicio anterior algunos casos quedan con dos signos operadores juntos. Una función del paréntesis es evitar estas situaciones.

UN USO DE PARÉNTESIS

2 (a …) equivale a: 2 3 (a …5 2 a …

1 (b …) equivale a: 1 3 (b …5 1 b …

2 5(a …) 5 25a …

1 5(a …) 5 15a ...

Entre los signos 2 o 1 y el parén-tesis hay un signo 3 que no está escrito, pero existe.

Signos operadores: Son los que se utilizan en el lenguaje matemático. Los básicos: 1, 2, 3, 4 .

104 MATEMÁTICAS 2

Actividad 1.3

En las siguientes situaciones aparecen señalados algunos agrupamientos mediante paréntesis. Resuélvelas. Si puedes, utiliza tu calculadora.

34

12

23

1 52

a) 2 1 3 (2 3 1 5) 5

b) 4 (5 2 7) 1 (2 9 2 3) 5

c) 2 (2 1 1 4) 2 (2 7 1 3) 5

d) 2

e) 2

f) 22 [2 5 1 5 (4 2 3) 1 7] 5

g) 22 2 (2 4.5 1 2.25) 2 3 (22 2 1.25) 5

h) 4.2 2 2.2 (2 3.4 1 2.6) 2 (2 1.1 1 2.3) 5

i)

j) 22 2 1 0.75 1 4 5

25

32

12

234

12

2 2 2 2 5

56

12

14

13

12

2 2 1 5

12

UN USO DE PARÉNTESIS Para sustituir una variable por un valor numérico.

Hallar el valor de G, en G 5 3a 2 2 2a 1 4

si: a 5 22

G 5 3 (22)2 2 2 (22) 1 4 5

5 3 (4) 1 4 1 4 5

5 12 1 8 5 20

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

a (b 1 c 2 d) 5 ab 1 ac 2 ad

Combina a la multiplicación con la suma.

El factor común debe multiplicarse por todos y cada uno de los sumandos.Equivale a una multiplicación de un monomio por un polinomio.

BLOQUE 2 105

Actividad 1.4

Haciendo uso de los paréntesis, determina la expresión algebraica (fórmula) que permita calcular el perímetro de cada una de las siguientes figuras. Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

a)

P 5

m 5

m

8

A B

24

d 2 4

c)

P 5

b)

P 5

d)

P 5

a 3

4

3

3

b

b

Ésta es la clave para resolver un cuadrado mágico de 3 3 3:

Compruébalo con estos tres casos.

Suma: Suma: Suma:

Ahora, ¿cuál es la suma en el cuadro fórmula?

Actividad Extra Clave: Nota o expli-cación de un código para su comprensión.

x 1 1 x 2 4 x 1 3

x 1 2 x x 2 2

x 2 3 x 1 4 x 2 1

Recuerda que las líneas verticales, las horizontales y las diagonales suman lo mismo.

x 5 3 x 5 22 x 5 3a 22

e)

P 5

h

3 2 4

106 MATEMÁTICAS 2

Actividad 1.5

En parejas consideren las siguientes expresiones. Consideren como datos los valores dados en la tabla. Utilicen paréntesis para hacer la sustitución, realicen la operación y resuelvan.

Variables

Actividad a 1 b a 2 b 2a 2 2 3b 1 5 5

a b

2 3

sustitución

operaciones

solución

22 24

sustitución

operaciones

solución

Variables

Actividad 2 ( f 1 h ) 2 2g 1 ( 2h 1 k ) f g 1 ( 2h 1 2g )

f g h

21 2 23

sustitución

operaciones

solución

4 2 22

sustitución

operaciones

solución

BLOQUE 2 107

Actividad 1.6

Sabiendo que: a 5 3; b 5 2; c 5 22; d 5 1 y e 5 23, en parejas, calculen el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones.

a) 2a 2 (2 2c) 5

b) 4c 2 (a 2 d) 1 e 5

c) 2(a 1 b)2 2 (c 2 e)2 5

d) 4ad 2 2ce 5

e) 22 1 (2 3d 2) 5

f) 23ac 1 a b 5

g) 3.5a 2 2.3b 1 c 5

h) 2(4.2e 1 1.2c) 1 bcd 5

i) 5

j) 5 2cb

4b 1 6c5

25a5d

1 2ba

dc

ac

Actividad 1.7

Reduce a su más simple expresión los siguientes polinomios. Pon mucha atención en los signos al momento de suprimir paréntesis. Compara tus resultados con los de tus compañeros. Observa el ejemplo

a) 23a 2 (22a) 5

b) 2(3m 2 2 2m 2) 5

c) 2(24h 3) 1 5 (2h 3) 5

d) 4 (3b 2 3) 1 3b 5

e) 8 (n 1 1) 2 8 (n 2 1) 5

f) 24 (a 2 2) 2 (22a 1 8) 5

g) 4a 2 2 2ab 1 5b 2 2 (2a 2 1 4ab 2 3b 2) 5

h) 5mn 2 2m 2 3m (n 2 1) 1 2n (m 1 1) 1 3n 5

i) 2x 2 y 2 3xy 2 1 3x (2xy 2 4y 2) 5

j) a (a 1 1) 2 b (b 2 1) 1 a 2 2 b 2 1 3 5

Reducir: Agrupar dos o más términos seme-jantes mediante una suma algebraica con el fin de obtener su mínima expresión.

Resuelve la siguiente situación.

En una tribu del Amazonas se sigue usando el trueque:

– Un collar y un escudo valen una lanza.– Una lanza vale tres cuchillos.– Dos escudos valen tres cuchillos.

¿Con cúantos collares pueden comprar una lanza?

Actividad Extra

Al hecho de agrupar términos algebraicos que tengan igual su parte literal se le llama reducción de términos semejantes. Ejemplo: 8a 1 2b 2 3a 1 b 5 (8a 2 3a) 1 (2b 1 4b) 5 5a 1 5b

Polinomio: Es una expresión formada por varios términos algebraicos.

Términos semejantes: Son dos o más términos que tienen igual su parte literal.

24a 1 8 1 2a 2 8 = 22a

108 MATEMÁTICAS 2

Actividad 1.8

Encuentra el valor de x en cada una de las siguientes ecuaciones. Suprime paréntesis y aplica las propiedades de la igualdad. Observa el ejemplo y compara tus resulta-dos con los de tus compañeros.

a) 3(x 1 5) 5 24 f) 2(y 2 3) 5 8

b) 4(z 1 6) 5 216 g) 5(w 2 2) 5 250

c) 2(3h 1 4) 5 216 h) 2 6(x 1 5) 5 30

d) 2(2x 1 4) 5 2(x 1 2) i) 5(x 2 3) 2 2 5 23

e) 2(22x15)522(x14)119 j) y 5

PROPIEDAD UNIFORME Si en ambos miembros de una igualdad se agrega un mismo sumando o un mismo

factor, la igualdad no cambia.

a 1 6 5 13, entonces a 1 6 2 6 5 13 2 6 ; 2x 5 28 entonces (2x) 5 (28)

Su uso tiene como propósito cancelar elementos simétricos o inversos:

a 1 6 2 6 5 13 2 6 ; 2x (28)

a 5 13 2 6 ; x 5

Se sabe que...

Una ecuación lineal o de primer grado es aquella igualdad que se satisface para uno y sólo un valor de la

incógnita.

Incógnita: Cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación o en un problema.

34

56

28x28

22428

Ejemplo: 24 (2x 1 3) 5 236

Aplicando la propiedad distributiva: 28x 212 5 236Aplicando la propiedad uniforme: 28x 212 1 12 5 236 1 12

Reduciendo 28x 5 224

Aplicando la propiedad uniforme: 5

Simplificando: x 5 13

12

12

12

12

282

BLOQUE 2 109

En equipo, completen y resuelvan las siguientes ecuaciones. Comprueben sus resultados susti-tuyendo las literales por el valor obtenido en la ecuación inicial.

a) x 1 6 5 12

Ejemplos e) b 2 4 5 13

x 1 6 2 5 12 2 b 2 4 1 5 13 1

x 5 b 5

b) 3x 5 12 f) 5 23

5

( ) 5 ( ) (23)

x 5 z 5

c) 2 5m 5 2 15 g) 5 220

5

( ) 5 ( ) (220)

m 5 y 5

d) 2x 1 4 5 14 h) 2 3x 2 6 5 15

2x 1 4 2 5 14 2 2 3x 2 6 1 5 15 1

2x 5 2 3x 5

5

5

x 5 x 5

COMPROBACIÓN

Si en ambos miembros de una ecua-ción el valor numérico es el mismo, la solución (o raíz de la ecuación) es

correcta.

Actividad Extra

Si 2x 5 7 aplicando la propiedad uniforme, obtén x 5 7 utilizando dos procesos diferentes. ¿Cuál fue mejor y por qué?

Resolver la siguiente situación.

Tres amigos van a tomar café. Piden la cuenta, que es de $25 por los tres cafés. Cada uno pone $10, en total $30. Con los $5 sobrantes, cada uno se queda con $1 y dejan $2 de propina; es decir, cada uno pagó $9, que por los tres serían $27; más $2 de pro-pina, $29. ¿Dónde está el peso que falta?

Actividad 1.9

z8

z8

25m 215

y24

y24

23x

3x 123 3

6 6

6

2x

110 MATEMÁTICAS 2

ConoCimientos y habilidadesResolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

ActividAd PreviAResuelve la siguiente situación: En un terreno rectangular se encuentra construida una casa. El terreno tiene un largo de 18 m, pero se pretende aumentarlo en 6 m con el fin de hacer un espacio para estacionamiento. Se desea calcular el área del terreno, pero se desconoce la medida del ancho.

¿Cuál es el área del terreno original?

¿Cuál es el área del terreno que se agrega?

¿Cuál es la suma de esas dos áreas?

Explica cómo calculaste el área de un rectángulo.

¿De qué dimensiones queda el terreno? largo 5 ; ancho 5

Si el área se calcula multiplicando por , ¿cómo indicarías,

con esos datos, la multiplicación? .

Resuelve la multiplicación, ¿qué resultado obtienes?

Compara este resultado con el que obtuviste de sumar las dos áreas. ¿Qué observas? Comenta y justifica.

Tema: SIgnIfIcado y uSo de laS operacIoneS

aparTado 2: proBlemaS mulTIplIcaTIVoS II

multiplicación con expresiones

algebraicas

BLOQUE 2 111

Actividad 2.1

Determina la expresión algebraica que permita calcular el área para cada una de las siguien-tes figuras y realiza las operaciones correspondientes con el fin de expresar la solución en la forma más simple.

a)

b)

c)

d)

e)

A 5

A 5

A 5

A 5

A 5

h

3 2 4

m 5

m

8 A B

24

d

a 3

4

3

3

b

b

112 MATEMÁTICAS 2

expresiones algebraicas

Monomio Un término a, 3a 2b 3, 14m 3n 2p

Binomio Dos términos a 1 b, 2a 2 3bc 2

Trinomio Tres términos 3a 2 1 2ab 2 b 3

Polinomio Más de tres términos 4x 2 2 2y 1 3x 2y 2 1 7

Hasta el momento hemos trabajado con una gran variedad de expresiones algebraicas. Conviene detenernos un poco para que practiques, específicamente, algunas operaciones.

Actividad 2.2

Suma los siguientes monomios. Recuerda que solamente puedes reducir términos semejantes, para tal efecto puedes agrupar los coeficientes en uno solo y conservar la parte literal.

a) (7a) 1 (4a) 5 f) (2x 2) 1 (25x 2) 5

b) (9b 3) 1 (3b 3) 1 (27b 3) 5 g) (24a 2b 3) 1 (4a 2b 3) 1 (2a 2b 3) 5

c) (8a 2) 1 (24a) 1 (3a 2) 1 (a) 5 h) (2.3a) 1 (23.4a) 1 (1.3a) 5

d) (22.5m) 1 (25.2m) 1 (24.3m) 5 i) (7a 2) 1 (24a 3) 1 (7a 3) 1 (4a 2) 5

e) m 2 n 3 1 2 m 2 n 3 5 j) 2 a 2 1 2 a 2 1 a 2 5

PROPIEDAD ASOCIATIVA

Pueden agruparse dos o más sumandos, por parejas.

a 1 b 1 c 5 (a 1 b) 1 c

23 1 4 2 5 5 (23 1 4) 2 5 5 1 2 5 5 2 4

34

23

25

610

12

TÉRMINO ALGEBRAICO

Se forma por dos factores, un numérico (llamado coeficiente) y otro literal.

Ejemplo:En 3a 2b

El coeficiente es: 3

La parte literal es: a 2b

En 2 mn 3

El coeficiente es: 2

La parte literal: mn 3

23

23

BLOQUE 2 113

Actividad 2.3

Suma los siguientes polinomios. Si lo consideras necesario, puedes acomodar verticalmente los polinomios, de manera que tengas columnas de términos semejantes.

a) (4a 1 3b) 1 (22a 1 5b) 5

b) (4x 2 1 3x 2 7) 1 (22x 2 1 5x 1 6) 5

c) (4m 2 1 3n 2 7p) 1 (22m 2 1 5n 1 6p) 5

d) (22.5a 1 2.2b) 1 (22.3a 1 1.5b) 1 (1.4a 2 2.3b) 5

e) (4m 1 2n 1 3) 1 (22m 2 5n 2 2) 1 (2m 1 3n) 5

f) a 2 b 1 c 1 2 a 1 b 2 c 512

23

14

34

56

34

Actividad 2.4

Resta los siguientes monomios.

Ejemplo: (2a 2 1 3a 1 2) 1 (3a 2 2 1) 1 (2a 2 2 a 1 3) 5

Suma:

2a 2 1 3a 1 23a 2 2 12a 2 2 a 1 3

7a 2 1 2a 1 4

2

a) (3g 3h 2) 2 (1 4g 3h 2) 5

b) (3m 4n) 2 (22m 4n) 5

c) 2(4b 3c 2d) 2 (5b 3c 2d) 5

d) (23.5ab 3) 2 (27.75ab 3) 5

e) m 2n 3 2 2 m 2n 3 5

f) (23a 4m 2) 2 (23a 4m 2) 5

49

23

ADICIÓNPara operar verticalmente, acomoda en una columna los términos semejantes.

114 MATEMÁTICAS 2

Actividad 2.5

Resta los siguientes polinomios. Al igual que en la adición, puedes disponer los polinomios en columna con el fin de obtener el resultado con más facilidad.

a) (14m 3 1 2n 2) 2 (8m 3 1 4n 2) 5

b) (4a 2 2 2b 1 3) 2 (2 2a 2 1 4b 2 3) 5

c) (4x 3 1 2y 2 5z 3) 2 (1 2 2x 3 1 4y 2 3z 3) 5

d) (3.4g 1 2.2h 4 2 3.5k ) 2 (2 2.2g 1 1.4h 4 2 0.5k ) 5

e) m 2n 1 mn 2 2 mn 2 2 m 2n 2 mn 2 2 mn 5

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

El producto se obtiene de multiplicar cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro (propiedad distributiva).

(a 1 b)(c 2 d) 5 ac 2 ad 1 bc 2 bd

Actividad 2.6

Con el propósito de reafirmar tus conocimientos sobre la multiplicación de monomios y polino-mios, contesta las preguntas y calcula lo que se solicita.

Un término algebraico está formado por dos partes, ¿cuáles son?

y

Explica cómo las identificas.

Al multiplicar 3a 2bc por −2a 3b, lo haces en orden. ¿Qué haces en primer lugar?

Y, ¿en segundo lugar?

Explica, ¿de qué manera obtienes el producto de dos potencias de la misma base, como a2 y a3, y como b y b?

¿Qué haces con el elemento c del primer término?

¿Cuál es el resultado de esa multiplicación de monomios?

710

34

23

35

12

46

BLOQUE 2 115

F I G U R A S

A continuación aparecen algunas figuras compuestas. Identifícalas por la letra mayúscula que apa-rece en su interior. En la parte inferior aparecen como subíndices del área por calcular.

AM 5 A

N 5

AM+N

5 AC 5

AC+D

5 AC+D+E

5

AF 5 A

G 5

AH5 A

F+G 5

AG+H

5 AF+G+H

5

AI5 A

J 5

AK5 A

I+J5

AJ+K

5 AI+J+K

5

M N2a

7a 3a

G

F G

H

4c

4c

5

5

a 1 1 I J K

a 1 4 a 1 2 a

A 5 área P 5 perímetro

DE

3b

3b

6b 3b

C

Actividad 2.7

Practica un poco más la adición, calculando los perímetros de las figuras anteriores. El períme-tro debe corresponder al exterior, en el caso de los agrupamientos de figuras.

pM 5

pM+N

5

PC+D+E

5

PG 5

PF+G

5

PF+2G+H

5

PJ5

PI+J

5

PI+J+K

5

PN 5

PC 5

PF 5

PH 5

PG+H

5

PI 5

PK 5

PJ+K

5

116 MATEMÁTICAS 2

Actividad 2.8

Se han resuelto algunas multiplicaciones, el archivo electrónico en que se hicieron los ejercicios se dañó. En la copia de seguridad de los archivos se recuperaron uno de los factores y el produc-to. A partir de esa información, determina el factor que falta, completando la siguiente tabla.

Producto Factor conocido Factor desconocido

a) 6a 3b 3 3a 2b

b) 8m 3n −4m 2n

c) 4a 5 1 8a 4 4a 3

d) 15x 5 2 10x 3 1 10x 2 5x 2

e) 2y 3 2 2y 2 2y 2

f) 4a 2b 1 8ab 2 2 4abc 4ab

g) a 2 1 ac 2 ad 1 ab a

h) 3m 4 2 4.5m 3 1 7.5m 2 1.5m

i) a 3 2 a 2 a 2

j) 2 b 5 1 b 3c 2 b 3

26

49

38

26

23

12

Actividad 2.9

Los datos que aparecen en la tabla están referidos a un prisma. Para calcular el volumen del prisma se usa la fórmula: V 5 abc, donde a, b y c son sus tres dimensiones. Completa la tabla calculando el valor faltante en cada caso.

a b c V

2x 5x 30x 3

m 2m 4m 3 1 2m 2

2s s 2 1s 1 1 2s 4 1 2s 3 1 2s 2

c

a

b

BLOQUE 2 117

Actividad 2.10

Una parte de una huerta de perales ha dejado de producir frutos por falta de sustancias nutritivas en el suelo. El propietario decide plantar otro tipo de árbol frutal en esa superficie. Hace un croquis como el siguiente para aclarar sus dudas. (Las medidas de las respuestas son absolutas, ya que se omitieron las unidades de medida de longitud.)

Calcula el área que se tiene que reforestar.

Calcula el área en la que se conservan los perales.

Calcula el área total de la parcela.

Calcula el perímetro de la zona que se va a reforestar.

Calcula el perímetro del terreno que se conservará sembrado de perales.

Calcula la suma de estos dos perímetros.

Calcula el perímetro de la parcela.

Resultaron diferentes, ¿por qué?

x

60

100

Calcula el volumen del cubo.

V5

Actividad Extra

Considera que este segmento es cada lado del cuadrado y cada

arista del cubo.

Calcula el área del cuadrado.

A5

a 1 5

a) b)

¿Cuántos sólidos forman al cubo?

118 MATEMÁTICAS 2

ConoCimientos y habilidadesDescribir las características de cubos, prismas y pirámides. Construir desarrollos planos

de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico.

ActividAd PreviAAl centro de una caja de cristal se ha colocado un prisma. Hay observadores en cinco direcciones de la caja. El que está al frente observa un rectángulo (ya dibujado). ¿Qué observan las personas que están en las otras cuatro direcciones. Realiza los trazos.

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Tema: formaS geoméTrIcaS

aparTado 3: cuerpoS geoméTrIcoS

construcción de prismas y

pirámides

Se sabe que...

Los poliedros son sóli-dos geométricos forma-dos por caras planas.

¿Todos los cuerpos geométricos son poliedros?, ¿cuáles no?Explica y da ejemplos.¿Sabes cuál es el poliedro más grande creado por el hombre?

Se sabe que...

Un prisma es un poliedro cuyas bases

son dos polígonos iguales y paralelos y

cuyas caras laterales son paralelogramos.

BLOQUE 2 119

Actividad 3.1

Utilizando los recursos que consideres pertinentes o a mano alzada, dibuja la forma en que te imaginas cada uno de los siguientes poliedros (no copies).

a) Cubo d) Prisma triangular

b) Prisma cuadrangular e) Prisma rectangular

c) Pirámide triangular f) Pirámide cuadrangular

120 MATEMÁTICAS 2

Actividad 3.2

En parejas resuelvan la siguiente situación. Se da una proposición y cuatro posibles respuestas. Seleccionen la respuesta correcta.

a) Número de vértices de un prisma pentagonal.

10 20 15 5

b) Elementos de un prisma de 18 aristas.

12 caras 6 caras 6 vértices 12 vértices

c) Número de aristas de un poliedro que tiene 4 vértices y 4 caras.

4 6 8 12

d) Caras laterales de un prisma.

equiláteros isósceles escalenos Paralelogramos

e) Es un poliedro.

Esfera Cilindro Prisma Cono

f) Es una pirámide que tiene 9 caras.

Triangular Pentagonal Hexagonal Octagonal

g) Vértices de una pirámide que tiene 9 caras.

8 16 9 12

h) Vértices en un prisma que tiene 9 caras.

8 14 12 10

i) Caras laterales de una pirámide recta.

rectángulos isósceles Cuadriláteros escalenos

j) Número de vértices de un prisma triangular.

12 3 6 9

k) Es un cuerpo no redondo.

Cono Esfera Cilindro Prisma

Vértice

Cara

Arista

Cúspide

caras: Polígonos que limitan un poliedro.arista: Segmento de recta donde se intersecan dos caras.Vértice: Punto donde concurren tres o más planos.cúspide: Vértice opuesto a la base de una pirámide.

BLOQUE 2 121

l) Pirámide de 7 caras.

Pentagonal Hexagonal Octagonal Triangular

m) Número de vértices de una pirámide triangular.

9 4 3 6

n) Pirámide formada por 6 caras.

Octagonal Triangular Hexagonal Pentagonal

o) Número de aristas de un prisma rectangular.

8 12 16 4

p) Número de aristas de un paralelepípedo.

12 16 8 4

Actividad 3.3

En parejas, analicen las respuestas seleccionadas en el ejercicio anterior para tratar de dar un concepto de los siguientes sólidos. Escriban con sus propias palabras, no tomen alguna defini-ción textual de algún libro ni del glosario.

Poliedro:

Prisma:

Pirámide:

Paralelepípedo:

Cuerpo redondo:

Actividad Extra

Investiga cuáles son los cinco poliedros regulares. Represéntalos en el siguiente espacio (en forma tridimensional). En tu cuaderno anota la definición de cada uno de ellos y representa su desarrollo.

1.

2.

3.

4.

5.

Sólidos: Son cuerpos que ocupan un lugar en el espacio; tienen tres dimensiones: largo, ancho y profun-didad (altura).

122 MATEMÁTICAS 2

Actividad 3.4

En la columna de la izquierda aparecen las representaciones, en el plano, de algunos polie-dros. En la columna de la derecha aparece su desarrollo (el poliedro desarmado). Observa con cuidado y completa los espacios que faltan (no necesariamente la solución es única).

a) Cubo Ejemplo:

b) Prisma cuadrangular

d) Prisma rectangular

c) Prisma triangular

e) Prisma hexagonal

a

a

a

a

BLOQUE 2 123

f) Pirámide triangular

g) Pirámide cuadrangular

h) Pirámide rectangular

i) Paralelepípedo

124 MATEMÁTICAS 2

Al desarrollar un poliedro, en el plano, queda representado un polígono compuesto, formado por todas las caras que determinan al poliedro en cuestión. Dichos polígonos tienen área, la cual corresponde al propio poliedro. Observa.

La base es un rectángulo de área: B 5 ab Como son dos bases: 2B 5 2ab

Para las caras laterales tenemos una superficie rectangular cuya base es: a 1 b 1 a 1 b (que corresponde al perímetro de la base) y su altura, c, por lo que, reduciendo, el área lateral: A

L 5 (2a 1 2b)c, que es equivalente al perímetro de la base por la altura: A

L 5 Ph. El área total

del prisma quedará determinada por la suma de estas dos áreas:

A T 5 Ph 1 2ab

o bien, A

T 5 A

L 1 2B

j) Pirámide hexagonal

ab

c

b

Bases

Base

Base

Caras laterales

PRISMA

Es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos llamados bases y por tantos paralelogramos como lados tenga la base, llamados caras laterales.

c

a

BLOQUE 2 125

Actividad 3.5

Realiza un ejercicio similar al anterior, con el propósito de determinar el área total de una pirámide. Tú decides la forma de la base.

PRISMAS Y PIRÁMIDES

Se nombran de acuerdo con la forma del polígono que tiene como base.

Actividad 3.6

Determina el área lateral, las áreas de las bases y el área total de los siguientes poliedros. Observa el ejemplo.

Ejemplo: Determinar el área total de un prisma rectangular como el de la figura.

A L 5 Ph 5 2(6 cm 1 4 cm)(12 cm) 5 2(10 cm)(12 cm) 5 240 cm2

B 5 (6 cm)(4 cm) 5 24 cm2, por lo que: 2B 5 2(24 cm) 5 48 cm2

A T 5 A

L 1 2B 5 240 cm2 1 48 cm2 5 288 cm2

Solución: A T 5 288 cm2

12 cm

4 cm

6 cm

126 MATEMÁTICAS 2

a) Determinar el área total de un prisma cuadrangular que tiene una altura de 10 m y cuya base es un cuadrado que mide 5 m por lado.

d) Un dado tiene una arista de 1.5 cm, determi-nar su área total.

b) Una caja de cerillos tiene la forma de un para-lelepípedo recto y sus dimensiones son 2 cm, 7 cm y 4 cm. Si quieres hacer una reproducción en cartulina, ¿cuál es el mínimo de papel que necesitas para armarla?

e) Jesús tiene que pintar una alberca que tiene forma de prisma rectangular. Sus dimensiones son: largo, 10 m; ancho 6 m y profundidad, 3 m. Si con un litro puede pintar 2 m2, ¿cuántos litros de pintura necesita para hacer todo el trabajo?

c) Al realizar un corte transversal desde uno de los vértices de un prisma rectangular, se obtuvo la siguiente pirámide. Determina su área total.

f) La base de la gran pirámide de Egipto es un cuadrado cuyo lado mide aproximadamente 230 m. Si la línea que une el punto medio de cada lado de la base con el vértice superior de la pirámide mide 186 m, ¿qué área de la pirámide queda expuesta a la erosión?

5 cm

3 cm

10 cm

3 cm

BLOQUE 2 127

Actividad 3.7

Observa cada uno de los siguientes sólidos, que se dan en tres dimensiones en el plano. Dibuja las vistas planas o proyecciones que se solicitan (en dos dimensiones). En tu cuaderno, puedes seleccionar algunos objetos del entorno y hacer algo similar.

Sólidotridimensional Vista frontal Vista superior

Vista lateral derecha Vista lateral izquierda



128 MATEMÁTICAS 2








Con 2 km3 de arcilla se construyen dados de 1 cm3. ¿Cuántos dados se pueden construir?

Si los formas en fila, ¿qué longitud alcanzan?

Actividad Extra

BLOQUE 2 129

ConoCimientos y habilidadesJustificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

ActividAd PreviAEn cursos anteriores aprendimos que, según ciertos convenios, existen diversas uni-dades. En el caso del volumen la unidad es un cubo de arista 1u ( 5 1u), el cual al llenar el espacio que ocupa un sólido determina el número de unidades cúbicas que contiene (volumen). Observa la figura.

Cuenta el número de unidades;

largo: ; ancho: y alto: .

El área de la base se obtiene multiplicando 3 5 u2.

¿Cuántos cubos amarillos llenarán al prisma rojo?

3 3 5 u3.

Suponiendo que cada uno de los cubitos amarillos mide 1 cm por lado, ¿cuáles son las dimensiones del prisma? Largo: ; ancho: ; alto: .

En este caso. ¿cuál es el volumen del cubo rojo?

Si consideramos que el cubito amarillo mide 1 m por lado, ¿cuál es el volumen del cubo grande?

Los que inventaron las matemáticas consideran que el volumen debe medirse con cu-bos que midan una unidad por lado; dentro del Sistema Métrico Decimal, esa unidad es el metro cúbico (m3).

En este cubo.

Tema: medida

aPaRTadO 4: JUSTiFiCaCiÓN de FÓRmULaS i

Volúmenes de prismas y

pirámides rectos

130 MATEMÁTICAS 2

Actividad 4.1

Considerando las dimensiones en cada uno de los siguientes sólidos, escribe, mediante una expresión algebraica, la fórmula para calcular su volumen.

¿Qué son en cada caso a 3 a; p 3q y a 3 b?

¿Qué son en cada caso a, r y c ?

a) Un cubo b) Un prisma rectangular c) Un paralelepípedo

V 5 V 5 V 5

a

a

ap

q

r

c

a b

Actividad 4.2

Antes de iniciar esta actividad se requiere que tengas a la mano cartulina, escuadras, compás, tijeras y pegamento; un cuarto de kilogramo de alpiste u otro material de grano pequeño (sal de cocina, ajonjolí, arena, tierra cernida, harina, etc.). Calca los siguientes modelos para que los reproduzcas en cartulina. Después realiza las actividades que se indican.

Las bases de estos dos poliedros son iguales.

Las alturas de estos dos poliedros son iguales.

BLOQUE 2 131

Actividad 4.2

Considera la siguiente figura y de acuerdo con la conclusión obtenida en el ejercicio anterior, calcula los volúmenes del prisma y de la pirámide. Toma los datos de la figura.

Calca, recorta y arma los poliedros; una de las bases de cada sólido no se pega (tendrá la función de tapa).

Llena la pirámide de alpiste. Esta es nuestra unidad de medida.

¿Con cuántas pirámides llenas el prisma?

Si el volumen aproximado del prisma es de 54 cm3, ¿cuál es el volumen de la pirámide?

PIRÁMIDE RECTA

Es un sólido en el que la base es cualquier polígono y sus caras laterales son triángulos isósceles.

¿Cómo expresarías un concepto de prisma recto?

español: Utilizando la argumentación, escribe qué relación encuentras entre el volumen de una pirá-mide y un prisma de iguales base y altura.

132 MATEMÁTICAS 2

ActividAd PreviAConviene que repasemos las unidades de volumen y sus formas de conversión. Observa, analiza y encuentra la utilidad de las siguientes tablas de equivalencias.

ConoCimientos y habilidadesEstimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Calcular datos

desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Realizar

conversiones de medidas de volumen y de capacidad y analizar la relación entre ellas.

UNidadeS de VOLUmeN

MÚLTIPLOS UNIDAD BÁSICA SUBMÚLTIPLOS

km3 hm3 dm3 m3 dm3 cm3 mm3

kilómetro cúbico

hectómetro cúbico

decámetro cúbico

metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

UNIDADES DE VOLUMEN

Al convertir de una unidad menor en una inmediata superior

se divide entre 1 000.

UNIDADES DE VOLUMEN

Al convertir de una unidad mayor en una inmediata inferior

se multiplica por 1 000.

km3 hm3 dm3 m3 dm3 cm3 mm3

3 1 000 3 1 000 3 1 000 3 1 000 3 1 000 3 1 000

4 1 000 4 1 000 4 1 000 4 1 000 4 1 000 4 1 000

Tema: medidaaPaRTadO 5: eSTimaR, mediR Y CaLCULaR ii

medidas de volumen y capacidad

Ejemplos: Convertir 45 m3 a cm3: 45 3 1 000 3 1 000 5 45 000 000 45 m3 5 45 000 000 cm3

Convertir 358 400 mm3 a cm3: 358 400 4 1 000 5 358.4 358 400 mm3 5 358.4 cm3

BLOQUE 2 133

Es frecuente que las unidades de volumen se relacionen con las unidades de capaci-dad, por lo que te ofrecemos la información necesaria para hacer las transformaciones que requieras para resolver algunos problemas.

LA CApACIdAd ES UnA MAgnITUd

Para medir la cantidad de líquido que cabe en un recipiente se puede utilizar el litro como unidad de medida. Si se tiene un cubo que mide 1 decímetro de arista, su volu-men será igual a: 1 decímetro cúbico y su capacidad es de 1 litro.

1 dm

1 dm

1 dm

Volumen 5 1 dm3

Capacidad 5 1

UNidadeS de CaPaCidad

MÚLTIPLOS UNIDAD BÁSICA SUBMÚLTIPLOS

k h da d c m

kilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

Para hacer conversiones entre unidades de capacidad, nos apoyamos de la respectiva tabla.

EQUIVALENCIAS

1 m3 5 1 000

1 dm3 5 1

1 cm3 5 0.001

EQUIVALENCIAS

1 d 5 100 cm3

1 c 5 10 cm3

1 m 5 1 cm3

134 MATEMÁTICAS 2

k h da d c m

3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10

4 10 4 10 4 10 4 10 4 10 4 10

Actividad 5.1

Ejemplos: Convertir 0.0025 a m : 0.0025 3 10 3 10 3 10 5 2.5 0.0025 5 2.5 m

Convertir 52 300 a h : 52 300 4 (10 3 10) 5 52 300 4 100 5 523 52 300 5 523 h

Realicen en parejas las siguientes conversiones. Al terminar, comparen sus respuestas.

a) 49 m3 a dm3 f) 12.55 dm3 a cm3

b) 456 568 mm3 a cm3 g) 0.0088 dm3 a m3

c) 36 654 235 m3 a km3 h) 12 345 m a

d) 1 200 000 c a i) 0.0025 a m

e) 45 500 cm3 a j) 12 a dm3

BLOQUE 2 135

Actividad 5.2

Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Trabaja en parejas y al finalizar compara tus resultados con los de tus compañeros.

a) Cuando Jesús terminó de pintar la alberca y estuvo en condiciones, trató de llenarla con agua. ¿Recuerdas que las dimensiones de la alberca son 10 3 6 3 3 m? Si se llena al tope, ¿cuántos litros de agua se requieren?

d) Para fabricar un dado de 1.5 cm de arista se requieren 5 gramos de material plástico. ¿Qué cantidad de material se requiere para fabri-car otro dado cuya arista mida lo doble? ¿Qué volumen tendrá este nuevo dado?

b) Un frasco de suavizante de telas contiene 1.9 . En la lavadora dice que hay que agregar, a cada carga, 50 cm3 de suavizante, ¿para cuántas cargas sirve el frasco?

e) ¿Qué volumen ocupan las canteras que for-man la gran pirámide de Egipto? Recuerda que es cuadrangular y mide 146 m de altura y 230 m cada lado de su base.

c) Marilú lleva a la escuela diariamente 6 libros que miden aproximadamente 1 cm de grueso, 27 cm de largo y 20.5 cm de ancho. ¿Qué volu-men ocupan esos libros en su mochila?

f) Cierta marca de leche se envasa en para-lelepípedos que miden 11 cm de ancho, 15 cm de alto y 6 cm de profundidad, ¿será un espa-cio suficiente para que pueda contener un litro de leche? ¿Por qué?

136 MATEMÁTICAS 2

g) Un almacén cuenta con un espacio de 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto. Se quieren almacenar cajas de 1 m de largo, 0.6 m de an-cho y 0.4 m de alto, ¿cuántas cajas se pueden almacenar?

i) En un envase con forma de prisma cuadrangu-lar se vende un litro de jugo. Si el envase mide 17 cm de altura y 8 cm cada lado de la base, ¿qué volumen del envase queda vacío?

h) Una cisterna tiene forma de paralelepípedo recto. Sus dimensiones son: 2 m de largo, 1.5 m de ancho y el agua alcanza una profundidad de 2.20 m cuando está a su máxima capacidad. ¿Cuántos litros de agua se pueden reservar en la cisterna?

j) Un bote con forma de prisma rectangular con-tiene tres cuartas partes de aceite. Si mide 25 cm de alto y su base es un rectángulo de 15 cm 3 10 cm, ¿qué volumen de aceite contiene?

Actividad 5.3

En cada una de las siguientes situaciones problemáticas se ha calculado previamente el volu-men, pero falta una de las medidas del poliedro en cuestión. Calcula el elemento faltante.

a) Para empacar unos floreros se ocupan peque-ñas cajas en forma de prisma rectangular. Para que el florero quede justo y sin peligro de romperse, se rellena el total de la caja con bolitas de unicel. Si el volumen que se ocupa es de 384 cm3 y la altura de la caja es de 12 cm, ¿cuánto mide el área de su base?

b) Una pastilla de jabón para lavar ropa tiene forma de paralelepípedo recto. El volumen del jabón es de 1125 cm3, con una base de 7.5 3 10 cm. ¿Cuál es la otra medida del sólido?

BLOQUE 2 137

c) A una barra de queso con forma de prisma se le hizo un corte transversal de manera que quedó dividido en dos prismas triangulares iguales. Originalmente el volumen que ocu-paba el queso era de 1 620 cm3. Si el área de la base del corte mide 40.5 cm2, ¿cuánto mide el otro lado?

e) Un contenedor de ferrocarril, en forma de pris-ma cuadrangular, tiene un volumen de 360 m3. Si el cuadrado de la base mide 6 m por lado, ¿cuánto mide su altura?

d) Cierta marca de chocolate se envasa en cajas que tienen forma de prisma triangular y su base es un triángulo equilátero que mide 7 cm2 de área. ¿Cuánto mide el otro lado de la caja, si se sabe que ocupa un volumen de 175 cm3?

f) En una construcción se usan pilares hexago-nales que reducen el volumen de los espacios en 1.68 m3. Si la altura de cada pilar es de 4 m, ¿qué área del piso ocupan?

138 MATEMÁTICAS 2

Actividad 5.4

Analiza las siguientes situaciones y responde las preguntas que se plantean. Trata de justificar cada una haciendo los cálculos correspondientes. Compara tus respuestas con las de tus com-pañeros.

a) Se tiene un prisma cuadrangular como el de la figura. Si construyes otro prisma en el que las dimensiones sean la mitad de las del original, ¿cuál es la razón de semejanza entre la altura del menor con respecto a la del mayor?

¿Cuáles son las dimensiones de este prisma?

¿Qué relación hay entre las áreas de las caras frontales?

¿Cuánto mide cada área?

¿Cuál es su razón de semejanza?

¿Cuáles son los volúmenes de ambos?

Analiza y comenta tus respuestas.

8 cm

4 cm

4 cm

BLOQUE 2 139

b) En un prisma rectangular se hicieron cortes del centro de una de las bases a las aristas de la base opuesta para obtener una pirámide.

20 m

5 m

10 m

¿Cuál es el volumen del prisma?

¿Cuál el volumen de la pirámide?

¿Cuántas veces contiene el prisma a la pirámide?

¿Sucederá lo mismo con cualquier prisma?

Si la altura se reduce a la mitad, ¿qué sucede con el volumen?

140 MATEMÁTICAS 2

Actividad 5.5

¿Has observado que si a partir de un sólido haces algunos cortes puedes obtener otros sóli-dos? Cada corte que realizas es un plano que determina en el sólido un polígono determinado. Analiza el ejemplo y utiliza tu imaginación para realizar los demás ejercicios.

Ejemplo: Si hacemos un corte paralelo a una de las caras de un paralelepípedo, obtenemos un polígono igual a la cara paralela.

¿Qué figura se obtiene?

a) Realiza un corte perpendicular a la base de una pirámide cuadrangular que pase por su cúspide y los puntos medios de los lados paralelos de la base.

¿Qué figura se obtiene?

b) En el siguiente cubo, haz un corte para obtener una pirámide cuya base sea un triángulo isósceles.

Explica tu procedimiento:

c) Realiza dos cortes perpendiculares que pasen por los puntos medios de las aristas de este prisma.

¿Qué obtuviste?

Un rectángulo igual

y paralelo a una de las bases

BLOQUE 2 141

Actividad 5.6

Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Estima las medidas lineales para posterior-mente hacer con ellas los cálculos pertinentes.

a) Calcula el volumen de tu salón de clases. c) Acomoda 15 libros de matemáticas, uno sobre otro, de manera que se forme un prisma. Calcula el volumen de ese prisma.

b) Si en tu salón hay un estante, calcula cuántos litros de aire contendrá.

d) Un edificio tiene 12 pisos, en cada piso hay un departamento de 120 m2 de área. Sin escribir las operaciones, ¿cuál es el volumen que ocu-pan los 12 departamentos?

d) Encuentra los puntos de corte del siguiente cubo, de manera que obtengas el mayor trián-gulo equilátero.

Explica tu procedimiento y justifica.

e) Realiza un corte paralelo a la base de la siguiente pirámide hexagonal.

¿Qué obtuviste?

142 MATEMÁTICAS 2

e) ¿Cuántos mililitros de agua le caben a cada una de las pirámides cuadrangulares siguien-tes, las cuales tienen un lado de las bases y las alturas iguales?

f) Cada sobre para CD es un cuadrado de 12.5 cm por lado y un espesor de 0.05 cm. ¿Qué volumen ocupan 100 sobres para CD acomodados en forma de prisma?


a) Un lechero dispone solamente de dos jarras para medir la leche que vende, una de 3 y la otra de 5 . ¿Cómo le hace para medir 1 sin desperdiciar la leche?

b) Se hicieron cuatro cubos macizos con un mismo material. Los aristas miden 6 cm, 8 cm, 10 cm, y 12 cm, respectivamente. Hay que colocarlos en los platillos de una balanza de manera que queden en equilibrio. ¿Qué cubo o cubos pondrás en cada platillo? Argumenta tu respuesta.

Actividad Extra

BLOQUE 2 143

ActividAd PreviAEn ocasiones, para entender la relación que hay entre dos cantidades hacemos uso de una razón, misma que da sentido a la comparación que puede hacerse con otras razones. Resuelve la siguiente situación: En el grupo 2o A, hay 5 hombres por cada 6 mujeres; en el grupo 2o B, hay 6 hombres por cada 7 mujeres. ¿En cuál de los grupos la proporción de hombres es mayor?

¿Qué razón se obtiene al comparar hombres y mujeres en 2o A?

¿Qué razón se obtiene al comparar hombres y mujeres en 2o B?

Compara las razones obtenidas. ¿Qué haces para saber cuál es la mayor?

Una forma de comparar es convirtiendo esas razones a un común denominador. Com-pleta.

2o A: = y 2o B: =

¿A qué grupo le correspondió la mayor razón?

¿En qué grupo hay más hombres?

Si te hubieran preguntado: ¿En cuál de los dos grupos la proporción de mujeres es mayor?, ¿cómo lo hubieras planteado? Resuelve.

ConoCimientos y habilidadesResolver problemas de comparación de razones con base en la noción de equivalencia.

MANEJO DE lA INFORMACIÓN

Tema: aNáLiSiS de La iNFORmaCiÓN

aPaRTadO 6: ReLaCiONeS de PROPORCiONaLidad iii

equivalencia de razones

Actividad 6.1

Resuelve las siguientes situaciones problemáticas. Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

a) En el D.F., por cada 5 automóviles americanos están registrados 7 automóviles japoneses. En Zacatecas, por cada 3 automóviles americanos están registrados 4 japoneses. Proporcional-mente, ¿en qué entidad hay más automóviles americanos?

b) En un censo de escolaridad se obtuvo que en las escuelas del Distrito Federal hay inscritos 10 hombres por cada 9 mujeres; en Chiapas por cada 5 hombres, 4 mujeres, y en Oaxaca por cada 4 hombres, 3 mujeres. ¿En qué es-tado hay más mujeres estudiando?

56 42

67 42

144 MATEMÁTICAS 2

c) Para hacer una bebida refrescante, la pro-porción entre la esencia frutal y el agua carbonatada es de 9 partes por 30, respec-tivamente. Para hacer un refresco de cola se usan 3 partes de escencia por 9 de agua. ¿Qué bebida contiene mayor cantidad de escencia?

e) Un vendedor ambulante vende aguas de naranja y zanahoria. Con 2 de jugo de naranja y 1 de agua hace la de naranja, y con 3 de jugo de zanahoria y 1 de agua hace la de zanahoria. ¿Cuál de las dos bebi-das contiene mayor cantidad de agua?

d) En cierta fábrica de dulces tres son las má-quinas que los producen. La primera produce 7 dulces defectuosos por 10 en buen estado; la segunda 3 dulces defectuosos y 5 buenos, y la tercera 8 defectuosos por 15 buenos. Si te dijeran que sólo trabajarán dos máquinas, ¿de cuál detendrías la producción?

f) El automóvil de mi papá gasta 3 de gasolina por cada 27 km recorridos. El automóvil de mi tío gasta 2 de gasolina por cada 16 km y el de los vecinos gasta 5 por 45 km. Proporcio-nalmente, ¿cuál de los automóviles es el más económico?

g) En una fábrica de clavos y tornillos, por cada 15 clavos se producen 6 tornillos y 10 tuercas. Cierta semana la producción fue: lunes, 23 100 piezas; martes, 29 400 piezas; miércoles, 18 900 piezas; jueves, 27 300 piezas y viernes, 17 850 piezas. Utiliza la siguiente tabla para anotar tus resultados y realiza una gráfica comparativa entre los tres productos en la siguiente página.

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

Clavos

Tornillos

Tuercas

Total

Día

Producto

34

141

212

BLOQUE 2 145

h) El radio de la Luna es del radio de la Tierra, y el radio del Sol mide 108 radios terrestres. ¿Cuál es la razón entre los radios de la Luna y el Sol? Si el radio de la Luna es de 1 738 km, ¿cuál es el radio del Sol?

311

Días

Piezas

Resuelve las siguientes situaciones.

a) En el Banco A una inversión de $5 500 produjo un rendimiento de $350; en el Banco B se invir-tieron $5 000 y el rendimiento fue de $320, y en el Banco C por $6 000 invertidos se obtuvieron $340 de rendimiento. Si tu fueras a invertir, ¿qué banco escogerías?

b) Tres amigos compran un terreno en $170 000. El primero se quedó con 2 partes; el segundo con 5 partes y el tercero con 3 partes. ¿Cuánto tendrá que pagar cada uno?

Actividad Extra

146 MATEMÁTICAS 2

ConoCimientos y habilidadesInterpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos

agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la media aritmética.

ActividAd PreviALa siguiente tabla representa el gasto que hace cada alumno de cierto grupo en la cooperativa escolar. Completa la tabla, traza el polígono de frecuencias correspondiente y contesta las preguntas planteadas.

Gasto en $ Conteo Frecuencia

10 4

12

14

15

20

25

Total

5 10 15 20 25 300

8

12

16

20

24

Gasto

Frecuencia Gasto en la cooperativa

4

MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL

Moda, mediana y media aritmética o

promedio.

¿Cuál es el gasto que tiene la mayor frecuencia?

Del total de alumnos, el caso que está en el punto medio del conteo, ¿qué gasto hizo?

Con los datos que tienes, ¿será posible calcular el gasto promedio por

alumno?

¿Cuál es el gasto promedio?

Explica cómo lo calculaste:

¿Qué observación puedes hacer acerca de las tres respuestas?

Tema: RePReSeNTaCiÓN de La iNFORmaCiÓN

aPaRTadO 7: medidaS de TeNdeNCia CeNTRaL Y de diSPeRSiÓN

moda, mediana y media

aritmética

MODA

El elemento de mayor fre-cuencia en una muestra.

MEDIANA

El elemento central de la muestra ordenada.

MEDIA ARITMéTICA O PROMEDIO

La suma de todos los casos entre el número de casos.

BLOQUE 2 147

Gasto

Actividad 7.1

Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Compara tus respuestas con tus compañeros.

a) Alfredo obtuvo en el primer bimestre, en todas sus asignaturas, las siguientes calificaciones: 7, 7.5, 9, 5, 6, 10, 9, 8 y 6. ¿Cuál es su promedio?

d) Un chofer de autobuses foráneos hace un recorrido diario de ida y vuelta a diferentes ciudades del país. En la semana recorrió: lunes, 475 km; martes, 360 km; miércoles, 680 km; jueves, 590 km; viernes, 710 km y sábado 327 km. En promedio, ¿cuántos kilómetros recorrió por día?

b) Los gastos diarios de una familia en trans-porte son: lunes $40; martes, $32.50; miércoles, $63.50; jueves, $37.50 y viernes, $48. A partir del promedio diario, ¿cuánto se debe reservar men-sualmente para transporte?

e) En una huerta familiar hay 5 manzanos cuya producción en esta temporada fue: 250, 300, 220, 400 y 330 manzanas. ¿Cuál fue la produc-ción promedio de manzana de los 5 árboles?

c) ¿Cuál es el dato central o mediana de las siguientes cantidades: 47, 58, 45, 40, 55, 49, 51?

f) Los siguientes datos corresponden al número de canastas anotado por un equipo de bás-quetbol en sus últimos 10 encuentros: 40, 40, 52, 30, 22, 27, 32, 18, 29, 40. Determina la moda.

148 MATEMÁTICAS 2

Actividad 7.2

A partir de la información que aparece en la siguiente gráfica, contesta las preguntas.

¿En qué mes se registró la temperatura más alta?

¿En qué mes se registró la temperatura más baja?

¿Cuál fue la temperatura más baja registrada?

¿Cuál fue la temperatura más alta registrada?

¿En qué meses se mantuvo estable la temperatura?

¿Cuál puede decirse que es la moda de estas temperaturas?

¿Cuál es la temperatura promedio a lo largo de ese año?

0

2

468101214

Meses

Grados centígrados

Temperaturas registradas en Teotihuacán

16

18

Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

Actividad 7.3

Considera la siguiente situación y realiza lo que se indica.

Los resultados siguientes representan los puntajes obtenidos por los alumnos de preparatoria en un examen de Estadística.

23 60 79 32 57 74 52 70 82 36

80 77 81 95 41 65 92 85 55 76

52 10 64 75 78 25 80 98 81 67

41 71 83 54 64 72 88 62 74 43

60 78 89 76 84 48 84 90 15 79

34 67 17 82 69 74 63 80 85 61

BLOQUE 2 149

La tabla siguiente es para que ordenes las puntuaciones de menor a mayor, en cada fila.

Establece la clase.

Completa la tabla.

Puntuación Frecuencia absoluta Punto medio Producto

—

—

—

—

—

—

—

—

—

—

Total 60

150 MATEMÁTICAS 2

Elabora la gráfica correspondiente.

¿Cuál es la moda?

¿Cuál es la mediana?

¿Cuál es la media aritmética?

Con base en los resultados obtenidos, comenta con tus compañeros qué conclusiones se pueden obtener acerca del desempeño académico del grupo en el examen de estadística. Anótalas.

0Puntaje

Frecuencia


a) La compañia de luz seleccionó a 20 clientes de cierta zona. Sus recibos marcaban las siguientes cantidades a pagar, en pesos: 540, 480, 580, 500, 250, 470, 750, 460, 600, 700, 670, 680, 390, 350, 560, 660, 330, 620, 650 y 670. Determina la mediana, la moda y la media aritmética.

Actividad Extra

b) En los 24 días que han transcurrido en este mes, que tiene 31, ha llovido cuatro días más que los días en que no ha caído lluvia. Si se mantiene esta proporción de días lluviosos, ¿cuántos días, de los restantes del mes, se espera que llueva?

Al finalizar el bloque anterior trabajaste la imaginación espacial entre pesas. veamos su aplicación en algunas formas geométricas. recuerda que al resolver la práctica es conveniente comparar tus resultados con los que obtuvieron tus compañeros y llegar a conclusiones.

1. dibuja la figura que corresponda, de acuerdo con los datos:

Si de sigue, antes de ¿qué figura debe estar?

2. Une mediante líneas, sin que se crucen, cada figura con su correspondiente pareja.

A B c d e F

G H i J K L

3. encierra en un círculo las piezas que se puedan superponer en la figura anaranjada.

APLicAción de APrendizAJeSimaginación espacial

151

exPLorAción de recUrSoS tecnoLóGicoS152

¿cómo le fue a tu equipo con la presentación que desarrollaron acerca de los ángulos que se forman en las rectas que se cortan por otra? en esta ocasión vamos a diseñar otra presentación, pi-diendo que también la trabajen en equipo de dos personas, pero cuidando las entradas o aparición de textos en cada pantalla que diseñen.

tomen de este Bloque el tratamiento de las medidas de volumen y capacidad, que se encuentra en el apartado 5, o bien las medidas de tendencia central y de disper-sión, que se encuentra en el apartado 7.

después de diseñar la pantalla del título, introduzcan preguntas en el desarrollo de la presentación del tema. consideren la posibilidad de agregar un tipo de sonido si la respuesta es correcta y otro tipo de sonido si la respuesta elegida por el usuario es equivocada, o bien, si es posible que liguen la respuesta con otra pantalla háganlo, buscando la posibilidad de regresar a la pantalla de inicio para que el usuario también aprenda al ver la presentación.

Por ejemplo: si están trabajando con las unidades de volumen y capacidad, presenten como información aquella que marca la dife-rencia entre el volumen y la capacidad, las unidades de medida que utilizan y hagan preguntas como ¿cuántos litros de agua cabrán en un recipiente cúbico cuyas medidas son: una base cuadrada de 10 cm por lado y la altura de 20 cm? consideren que la respuesta equivocada tenga cierta lógica, como 200 litros, considerando que el usuario piense que sólo basta multiplicar las 10 unidades de la

base por las 20 de altura, sin considerar la conversión a decímetros o sin utilizar la imaginación espacial y la estimación, dadas las medidas proporcionadas.

Si desarrollan el apartado 7, después de dar información acerca de lo que significan la moda, la mediana y la media aritmética, y al presentar ejemplos de cada una de estas medidas, pueden agregar problemas sencillos, como el del inciso c) de la actividad 7.1 o la gráfica de la actividad 7.2. Al igual que en el ejemplo mostrado en el párrafo anterior, consideren un sonido diferente para cada tipo de respuesta, o bien una pantalla alusiva al acierto o al error.

Hagan la presentación de su trabajo y pidan al grupo sugerencias para mejorarla.

153BLOQUE 2

¿CUÁnTO ApREndÍ?Instrucciones: Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Ocupa los espacios para anotar tus procedimientos, operaciones y resultados.

1. Resuelve: 23 (22 1 4) 2 [ 2 3 (2 4 1 6) 1 2 ] 5

2. Resuelve y comprueba la ecuación: 3 (x 1 2) 1 9 5 36

4. Resuelve las siguientes operaciones con polinomios.

a) (2x 3 1 3x 2 1 6) 1 (5x 3 2 2x 2 1 7) 1 (2 3x 3 2 3x 2 2 9) 5

b) (4a 3b 2 2 2b 2 4c 2) 2 (2a 3b 2 2 2b 2 3c 2) 5

c) 4a 2b 3 (2 a 2b 2 3a 3 1 2ab 2 1) 5

5. Determina el área lateral (de las paredes, incluyendo puertas y ventanas), el área total y el volumen de una habitación que mide 3 m de ancho por 4 m de largo y cuya altura es de 3.75 m.

6. En el siguiente prisma se han hecho algunos cortes transversales; determina el volumen del prisma y el volumen de la pirámide en términos de y, de acuerdo con los datos que se proporcionan.

3x2

3x

7x

3y

5y

10y

3. Determina el área de la parte azul oscuro de la figura.

154 MATEMÁTICAS 2

7. Arturo pretende construir una pecera de cristal, con tapa, que mida 80 cm de arista. ¿Cuánto cristal necesita para construirla? ¿Cuántos litros de agua necesita para llenarla a toda su capacidad?

8. En una granja, por cada 3 huevos rojos se producen 7 huevos blancos. Si en una semana se produ-cen 7 500 huevos, ¿cuántos huevos de cada tipo resultan?

9. Los alumnos que toman taller de lectura obtuvieron las siguientes calificaciones: 7, 8, 7, 8, 9, 6, 10, 10, 7, 5, 6, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 5, 7. Encuentra la moda, la mediana, la media aritmética, elabora una tabla de frecuencias y traza su gráfica poligonal.

Moda: Mediana: Media aritmética:

0calificaciones

frecuencia

5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

Calif. Frec.

5

6

7

8

9

10

Total

1122 Concordato de Worms.

870 Iâbit Ibn Qorra hace

aportaciones al Álgebra, cuadrados mágicos y números amigables.

820 Mohammed Ibn Mûsâ

al-Khowârizmî desarrolla numerales hindúes y el álgebra; de su nombre

proviene la palabra Álgebra.

BLOQUE 3

800 950 1100 12501400 1550

1514 El matemático holandés Vander Hoecke es el primero en usar los signos de adición y sustracción,

como se hace hoy en día en Álgebra.

Como resultado de este bloque temático se espera que los alumnos:

1. Elaboren sucesiones de números con signo a partir de una regla dada.

2. Resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax 1 b 5 cx 1 d; donde los coeficientes son números enteros o fraccionarios, positivos o negativos.

3. Expresen mediante una función lineal la relación de dependencia entre dos conjuntos de cantidades.

4. Establezcan y justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier polígono.

5. Argumenten las razones por las cuales una figura geométrica sirve como modelo para recubrir un plano.

6. Identifiquen los efectos de los parámetros m y b de la función y 5 mx 1 b, en la gráfica que corresponde.

1310 Dante Alighieri escribe

La Divina Comedia.

1507 Leonardo da Vinci pinta la Mona Lisa.

1515El Papa encarga a

Nicolás Copérnico la reforma del calendario.

1325 Thomas Bradwardine desarrolla

estudios de aritmética y geometría en polígonos formados

por líneas que se cruzan.

Contexto histórico

Hechos matemáticos

1095 El Papa Urbano II predica

la primera cruzada.

155

156 MATEMÁTICAS 2

ConoCimientos y habilidadesConstruir sucesiones de números con signo a partir de una regla dada.

Obtener la regla que genera una sucesión de números con signo.

ActividAd PreviAEn el curso anterior se te plantearon situaciones como la siguiente: completa la sucesión de números pares que tiene como primer elemento el número 2. Observa la información y responde las cuestiones planteadas.

PROGRESIÓN O SUCESIÓN ARITMÉTICAEs una secuencia de números tales que la diferencia de dos términos

sucesivos cualesquiera es una constante.Es creciente si se agrega: 1, 2, 3, 4, 5, ... y

es decreciente si se agrega 21, 22, 23, 24, 25,

Lugar: 1, 2, 3, 4, 5, 6,

Sucesión: 2, 4, 6, 8, 10, 12,

Diferencia: 2 2 2 2 2

a) ¿Cuál es el elemento que ocupa el primer lugar? b) ¿Cuál es el elemento que ocupa el sexto lugar? c) ¿Cuál es el elemento que ocupará el décimo lugar? d) ¿Cómo se obtiene la sucesión? e) Ésta es una progresión aritmética en la que la diferencia es: f) ¿Cuál es el vigésimo elemento de la sucesión? g) Si el primer elemento es a, ¿cómo representarías el segundo elemento? h) Y, conociendo el segundo término, ¿cómo representas el tercero? i) Si la diferencia la identificamos como d, en términos de d, ¿cómo represen- tarías el segundo y tercer términos? segundo: y tercero: j) Ésta es una sucesión creciente, ya que:


Tema: Significado y uSo de laS liTeraleS

aParTado 1: PaTroneS y fÓrmulaS

Sucesiones aritméticas

BLOQUE 3 157

Actividad 1.1

A continuación se dan cinco sucesiones o progresiones aritméticas. Analízalas y responde las preguntas que se plantean.

a) 12, 8, 4, 0, 24, 28, 212,…

¿Cuál es la diferencia de la progresión?

¿Cómo obtuviste esa diferencia? Demuéstralo.

b) , , 1, ,...



c) 2, , , ,...



d) 25, 21, 3, 7, 11, …



e) 7, 4, 1, 22, 25, 28, 211, …



12

34

54

85

65

45

a, b, c, d, e, f… x son los términos ordenados de una progresión en la que la diferencia es d, hasta el último término (n).

Los valores de los términos serán:

1o 5 a2o 5 a 1 d3o 5 (a 1 d ) 1 d 5 a 1 2d4o 5 (a 1 2d ) 1 d 5 a 1 3d5o 5 (a 1 3d ) 1 d 5 a 1 4d6o 5 (a 1 4d ) 1 d 5 a 1 5d…

último término 5 a 1 (n 2 1)dEjemplo: Si el primer elemento es el 2 y la diferencia es 3:

1o 5 22o 5 2 1 3 5 53o 5 5 1 3 5 84o 5 8 1 3 5 115o 5 11 1 3 5 14

duodécimo lugar 5 2 1 (12 2 1) 3 5 2 1 (11) 3 5 2 1 33 5 35

Sucesión: Números relacionados entre sí en forma secuencial. Progresión aritmética.Lugar 12

158 MATEMÁTICAS 2

Actividad 1.2

En cada una de las siguientes situaciones se proporcionan: el primer elemento (término) de una serie y la diferencia que corresponde a la progresión aritmética. Determina los siguientes seis términos de la sucesión.

a) Primer término: 4; d 5 3

b) Primer término: 2; d 5 24

c) Primer término: 25; d 5 2

d) Primer término: 23; d 5 23

e) Primer término: 2.5; d 5 1.5

f) Primer término: 22.2; d 5 2

g) Primer término: 23.5; d 5 21.5

h) Primer término: ; d 5

i) Primer término: 2 ; d 5 2

j) Primer término: ; d 5 2

34

12

13

23

34

34

BLOQUE 3 159

Actividad 1.3

En cada una de las siguientes situaciones se da la diferencia y un elemento de la sucesión. Escribe tres elementos a la derecha y tres elementos a la izquierda, de manera que la serie de los siete elementos sea correcta.

a) d 5 3 d) d 5 22

2 1

b) d 5 2.5 e) d 5 21.2

1.5 1

c) d 5 f) d 5 2

21 2

34

14

12

32

Actividad 1.4

Para cada una de las siguientes progresiones aritméticas, determina el término que se señala en cada caso, a partir del primero que se da.

a) 7, 10, 13, … d) 27, 23, 1, …

7o término: 9o término:

b) 19, 12, 5, … e) 3, 21, 25, …


c) , , 1, … f) 2 , , …


Explica qué hiciste.

23

56

35

310

Actividad 1.5

A continuación aparecen algunas sucesiones. Determina la diferencia que corresponda a cada caso.

a) 5, 10, 15, … d) 27, 22, 3, …

d 5 d 5

b) 19, 11, 3, … e) 3, 21, 25, …

d 5 d 5

c) , , 1, … f) 2 , , …

d 5 d 5

¿Cómo obtuviste la diferencia? Explica.

23

56

35

310

160 MATEMÁTICAS 2

Actividad 1.6

Encuentra la expresión algebraica que determine el modelo para obtener el último término (x) de cada sucesión. Compara tus resultados con algunos compañeros cercanos.

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …

b) 211, 27, 23, 1, 5, 9, …

c) 4, 2, 0, 22, 24, 26, …

d) , 6, , 11, , 16, , ...

e) 24.5, 23, 21.5, 0, 1.5, 3, 4.5, …

72

172

272

372

Actividad 1.7

Determina cinco términos significativos de la sucesión que modela cada una de las expresiones siguientes, a partir del valor indicado.

a) n 1 4 e) n 1 1.8

22, 29.6,

b) n 2 3.5 f) n 2

22.2, 2,

c) n 27 g) n 1

5, ,

d) n 2 h) n 2 12

, 27,

34

12

56

32

816

Actividad Extra

a) Investiga en qué ramas de la ciencia tiene significado la serie de Fibonacci. Escribe la serie.

b) Calcula la distancia que recorre un peón que arroja un cubo de agua en cada uno de los 30 árboles de un lado de cierta calzada, sabiendo que el primer árbol dista 10 m del pozo, los árboles distan 6 m entre sí y al final deja el cubo al lado del pozo.

Ejemplo x 5 a 1 (n 2 1) (2)

Resuelve lo siguiente.

BLOQUE 3 161

ConoCimientos y habilidadesResolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax 1 bx 1 c 5 dx 1 ex 1 f con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación,

utilizando coeficientes enteros o fraccionarios, positivos o negativos.

ActividAd PreviA

Ya en algún momento anterior aplicaste algunas de las propiedades de la igual-dad para resolver ecuaciones. Resuelve cada una de las siguientes situaciones. No dejes de comparar tus procedimientos con los de tus compañeros.

a) Una balanza está en equilibrio cuando sus dos platillos contienen igual peso. ¿Cuál es la igualdad que representa la situación de esta imagen?

b) En esta balanza, ¿cuál es la igualdad?

¿Qué movimiento realizarías con los elementos de la balanza anterior para determinar el valor de x? Represéntalos en la balanza y numérica-mente.

¿Cuál es el valor de x?


aParTado 2: ecuacioneS i

ecuaciones con incógnita en los dos miembros

162 MATEMÁTICAS 2

c) Establece la ecuación correspondiente.

¿Qué operación realizas en los dos miembros para despejar x?

¿Cuánto vale x?

d) Uno más. ¿Cuál es la ecuación?

Al eliminar los términos comunes en ambos miembros, la igualdad queda:

El paso siguiente es despejar x, hazlo:

¿Cuál es el valor de x?

Actividad 2.1

Cada expresión debe ser una igualdad. Determina cada nueva igualdad hasta encontrar el valor de la incógnita. Comenta con tus compañeros cada procedimiento y los resultados obte-nidos.

a) x 2 7 5 19 c) y 2 2.5 5 4.7 e) z 2 7.25 5 1.75

b) x 1 12 5 33 d) y 1 3.8 5 3.16 f) z 1 0.25 5 5.75

Explica el procedimiento que se siguió para eliminar el término numérico de cada igualdad.

BLOQUE 3 163

g) 9x 5 63 i) 2.5y 5 32.75 k) 0.7z 5 3.5

Divide entre 9 Divide entre 2.5 Divide entre 0.7

h) 5 8 j) 5 4 l) 5 2.05

Multiplica por 6 Multiplica por 0.5 Multiplica por 0.7

Explica el procedimiento que se siguió para cancelar el término numérico de cada igualdad.

Escribe una propiedad para cancelar términos o elementos de una ecuación (igualdad).

x6

y0.5

z0.7

Actividad 2.2

Aplica la propiedad correspondiente y resuelve cada una de las siguientes ecua-ciones. Comprueba los resultados y compáralos con los de tus compañeros.

a) 9x 5 72 c) 26x 5 2.4

x 5 x 5

b) 4x 5 220 d) 21.5x 5 26.25

x 5 x 5

Comprobar: Verificar. Probar que una cosa que se dudaba es verdadera. Comprobar una ecuación consiste en sustituir las variables por los valores obtenidos, hacer operaciones y ver si la igualdad resulta cierta.

164 MATEMÁTICAS 2

x12

46

25

x2

e) 5 2 6 i) x 5

x 5 x 5

f) x 5 j) 5 23

x 5 x 5

g) 5 k) 5

x 5 x 5

h) 5 2 l) 5 2

x 5 x 5

x25

56

2030

x5

12

412

x12

23

x12

46

BLOQUE 3 165

Actividad 2.3

Para cada una de las siguientes situaciones, establece la ecuación que permita dar solución al ejercicio. Resuelve y verifica tus resultados.

a) Pagué $87 por un libro y una playera. La pla-yera costó $15 menos que el libro. ¿Cuánto pa-gué por cada artículo?

d) Entre Marilú y Cecilia tienen $1 154; Cecilia tiene $506 menos que Marilú, ¿cuánto dinero tiene cada una?

b) Un número disminuido en 14.5 unidades es igual a 27. ¿Cuál es ese número?

e) Me gasté $13.75 al comprar un chocolate y una paleta. La paleta costó $9.50, ¿cuánto costó el chocolate?

c) Al comprar un bolso se hace un descuento de $13.50, y se pagan $122.50, ¿cuál era el costo del bolso?

f) Por un costal de 8 kg de café se pagan $740, ¿cuánto cuesta un kilogramo?

166 MATEMÁTICAS 2

g) Por de kg de azúcar pagué $7.50, ¿cuánto cuesta un kilogramo?

h) La quinta parte de un pastel pesa 0.45 kg, ¿cuánto pesa el pastel entero?

34

Actividad 2.4

Sigue las indicaciones para resolver y comprobar la siguiente ecuación. Completa lo que se requiera.

5(x 1 4 ) 1 12 5 2(x 2 3 ) 2 1

Aplica la propiedad distributiva:

Agrupa los términos semejantes:

Aplica la propiedad uniforme:

Cancela los términos simétricos:

Reduce términos semejantes:

Aplica la propiedad uniforme:

Por lo que:

x 5

Para comprobar, sustituimos la solución o raíz (valor de x) en la ecuación original.

Sustituyendo en la ecuación original

5 [ ( ) 1 4 ] 1 12 5 2 [ ( ) 2 3 ] 2 1

Suprimiendo paréntesis rectangulares:

Agrupando:

Suprimiendo paréntesis:

Reduciendo:

5

NOTA: Si los valores obtenidos son idénticos, la raíz o solución de la ecuación es correcta.

BLOQUE 3 167

Actividad 2.5

En cada una de las siguientes ecuaciones determina el valor de x. Suprime paréntesis y aplica las propiedades de la igualdad utilizando los procedi-mientos lógicos aprendidos. No olvides comprobar tus resultados y compa-rarlos con los de tus compañeros.

a) 2(x 1 4) 5 14 f) 3(y 2 5) 5 30

b) 22(z 2 6) 5 236 g) 4(w 2 4) 5 224

c) 2(22h 1 6) 5 226 h) 27(x 1 5) 5 105

d) 4(x 1 4) 5 2(x 1 2) i) 5(x 2 3) 2 2.5 5 20

e) 2(22x 1 5)5 22(x 1 4) 1 19 j) y 534

56

Ecuación lineal: Igualdad que se satis-face para un valor de su incógnita.

168 MATEMÁTICAS 2

Actividad 2.6

Resuelve los siguientes problemas. Compara los resultados; no olvides comentar los procedi-mientos con tus compañeros.

a) Juan tiene 24 años menos que su papá y las edades de ambos suman 64 años, ¿qué edad tiene cada uno?

d) Paco y Pepe ganaron un premio de $12 800, a Pepe le corresponden $1 014 menos que a Paco, ¿cuánto recibe cada uno?

b) La suma de las edades de tres personas es de 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la de en medio tiene 18 años menos que la mayor, ¿qué edad tiene cada una?

e) La edad de Estela es el triple de la de su her-mana y ambas edades suman 40 años, ¿qué edad tiene cada una?

c) Si al triple de la edad de tu profesor le aña-des 7 años, entonces tendría 100 años. ¿Qué edad tiene realmente?

f) La edad de Elsa es la mitad de la de Pablo; la edad de José es el triple de la de Elsa y la edad de Andrea es el doble de la de José. Si las cuatro edades suman 132 años, ¿cuál es la edad de cada uno de ellos?

BLOQUE 3 169

g) Entre Aldo, Bety y Ceci tienen $130. Ceci tiene el doble de lo que tiene Aldo y $15 menos de lo que tiene Bety, ¿cuánto dinero tiene cada uno de ellos?

i) En un grupo hay 60 alumnos, entre hombres y mujeres. El número de mujeres excede en 15 al doble de los hombres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres hay en ese grupo?

h) Encontrar tres números enteros consecutivos, tales que: el doble del menor más el triple del mediano más el cuádruple del mayor sean igual a 740.

j) Un padre deja una herencia de $16 500 000 a tres de sus hijos y dos hijas. Cada hija debe recibir $2 000 000 más que cada hijo. ¿Cuánto recibe cada hija y cuánto cada hijo?

Actividad 2.7

Resuelve y comprueba cada una de las siguientes ecuaciones. Compara las respuestas con las de tus compañeros.

a) 5x 5 8x 2 5 b) 9x 2 11 5 210 1 12x

170 MATEMÁTICAS 2

c) 2.5x 1 7 2 1.5x 5 9.5x 2 3.5 g) 4(x 1 1.5) 5 2(x 2 1.5)

d) x 2 (2x 1 1) 5 8 2 (3x 1 3) h) 2.2(x 1 4) 5 2(x 1 8)

e) y 1 3(y 2 1) 5 6 2 4(2y 1 3) i) 14z 2 (3z 2 2) 5 [5z 1 2 2 (z 2 1)]

f) (x 1 4) 5 (x 1 8) j) 1 1 3 5 1 2012

34

y2

y4

2y8

El perímetro de un rectángulo es de 98 m. Se sabe que el largo mide 15 m más que el ancho. ¿Cómo representas algebraicamente la medida de cada lado?

ancho 5 , largo 5

Forma la ecuación y resuelve.

¿Cuánto mide cada lado?

ancho 5 , largo 5

Actividad Extra

BLOQUE 3 171

ActividAd PreviAResuelve el siguiente problema: El precio de un dulce es de $2, ¿cuánto costarán 2, 3, 4 y 5 dulces de esos mismos?

ConoCimientos y habilidadesReconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta

relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma y 5 ax 1 b.

Completa la tabla.

Tema: Significado y uSo de laS liTeraleSaParTado 3: relaciÓn funcional

funciones lineales

x 1 2 3 4 5

y

¿Cuál es la relación que estableciste para llenar la tabla? y=

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x

Trazalagráfica.

172 MATEMÁTICAS 2

Actividad 3.1

En otro momento has utilizado el plano cartesiano o sistema de coordenadas rectangulares. Te invitamos que a partir de la información proporcionada, completes lo que haga falta. Conviene trabajar esta parte en parejas.

P (x , y)

x y y son las coordenadas de un punto. En P (13, 14)

la abscisa es 13 yla ordenada es 14

a) ¿Qué par ordenado se encuentra en el origen del sistema de coordenadas?

b) En el eje de las abscisas, ¿hacia qué lado se encuentran los números positivos?

c) En el eje de las ordenadas, ¿hacia qué lado se encuentran los números positivos?

d) En el eje de las abscisas, ¿hacia qué lado se encuentran los números negativos?

e) En el eje de las ordenadas, ¿hacia qué lado se encuentran los números negativos?

y’

y

x17

Eje de las ordenadas

o eje de las “y ”.

21x’

0 12 13 14 15 161122232425262721

22

23

24

25

26

27

11

12

13

14

15

16

17

Eje de las abcisas

o eje de las “x ”.

Primer cuadrante

Cuarto cuadrante

Segundo cuadrante

Tercer cuadrante

P (13, 14)

BLOQUE 3 173

f) ¿Qué ángulo forma el eje de las “ x ” con el eje de las “ y ”?

g) Los ejes cartesianos son dos rectas

que se cortan en el punto

h) En el par ordenado (3, 5), ¿cuál es el valor de la abscisa?

¿Y cuál el valor de la ordenada?

i) Al punto (0, 0) también se le da el nombre de:

j) Ubicación en el plano cartesiano de un punto, por los signos de sus coordenadas:

Cuadrante Abscisa Ordenada

1 1

2

3

4

FUNCIÓNUna función (f ) de un conjunto D a un con-junto E es una correspondencia que asigna un elemento y de E a cada elemento x de D.

21

y

x0 12 13 14 15 16112223242526

21

22

23

11

12

13

14

15

16

17

(3, 9)

(2, 6)

(1, 3)

18

19

Si un automóvil se desplaza a velocidad (v ) constante recorre cierta distancia (d ) dependiendo del tiempo (t ).

d 5 vt

Cuando la velocidad v 5 80 km/h, ¿qué distancia recorrerá en (t ): 1 h, 1.5 h, 3 h? , , .

La distancia recorrida depende del tiempo; a esta relación de dependencia se le llama función y puede expresarse como:

d 5 80t o bien, f (t ) 5 80t

Para cada valor que se asigne a t (variable independiente), obtendrás un único valor de d (varia-ble dependiente).

Ejemplo: Si y 5 3x (f (x) 5 3x) y el dominio es 1, 2, y 3, las imágenes correspondientes son: y 5 3(1) 5 3; y 5 3(2) 5 6 y y 5 3(3) 5 9.Cada elemento del dominio y su correspon-diente imagen determinan un punto en el pla-no cartesiano, así: (1, 3), (2, 6) y (3, 9) son las coordenadas resultantes, mismas que al ubi-carse en el plano determinan una gráfica.

DOMINIO IMÁGENES

D Ea zw x

f (a)f (z)f (x)f (w)

174 MATEMÁTICAS 2

Actividad 3.2

En términos generales, un plano cartesiano lo utilizamos para ubicar la posición de puntos, formar figuras y trazar gráficas. Los siguientes ejercicios te ayudarán a comprender estas situa-ciones. Es conveniente trabajar en equipos.

a) Una lancha recorre 20 km por cada litro de gasolina que consume.

¿Qué fórmula representa esta situación?

Completa la tabla y traza la gráfica.

b) Representa gráficamente la función y 5 2x 1 1. Completa la tabla, ubica los puntos en el plano cartesiano y traza la gráfica.

21

y

x0 2 3 4 5 6 71222324252627

21

22

23

24

25

26

27

1

2

3

4

5

6

7

x 2x 1 1 y Puntos

3 2 ( ) 1 1 5 B ( , )

2 C ( , )

1 D ( , )

0 E ( , )

2 1 F ( , )

2 2 G ( , )

2 3 H ( , )

x y 5 y Puntos

1 20 A (1, 20)

2 B ( , )

3 C ( , )

4 D ( , )

5 E ( , )

6 F ( , )

7 G ( , )

En una función de la forma y 5 ax, ¿cuál es la gráfica que se obtiene?

0

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

40

60

80

100

120

140

y

x

(Kilómetros)

(litros)

BLOQUE 3 175

Actividad 3.3

Las gráficas tienen una gran aplicación en todas las ramas de la ciencia (física, química, biolo-gía, economía, etcétera). A continuación se proponen algunas situaciones que deberás resolver completando las tablas y haciendo la representación gráfica.

a) En Estados Unidos de América hay una gran cantidad de inmigrantes que trabajan jornadas que les reditúan algunas cantida-des de dólares, como el siguiente caso: En Arizona, un recolector de tomate gana 3 dólares por hora. El salario de cada cam-pesino está en función del número de ho-ras que trabaje. ¿Cuánto ganará?

Reconsiderando esta situación “Ricardo se ha propuesto trabajar 4 horas diarias”. ¿Cuánto es lo que ganará?

Arturo recibe un salario de 15 dólares al día. ¿Cuántas horas trabaja?

Lilia solamente trabaja 6 horas. ¿Cuánto gana?

Señala en la gráfica con un punto rojo las abscisas y ordenadas de cada uno de estos tres puntos.

x y 5 y

1 ( ) 5

2

4

8

Se sabe que...

Cualquier gráfica de la función de la forma y = ax es una recta que pasa por el origen.

0

6

9

3

15

18

21

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9

dólares

horas

24

176 MATEMÁTICAS 2

b) Un automóvil hace un gasto de 1 litro de gasolina por cada 10 km de recorrido.

¿Cuántos litros de gasolina gastará en un recorrido de 75 km?

Sólo le quedan 7.5 de gasolina; ¿qué distancia recorrerá?

x y 5 y Puntos

2 ( ) 5 A ( , 20 )

3 B ( , )

4 C ( , )

5 D ( , )

6 E ( , )

8 F ( , )

10 G ( , )

0

40

60

20

100

120

140

80

1 2 3 4 5 6 7 8 9

¿Cuál es la gráfica de una función de primer grado?

y(Kilómetros)

x(litros)

BLOQUE 3 177

c) Un ciclista recorre una distancia de 40 km en una hora y quiere superar su propio récord, de 335 km sin parar, pero solamente aguanta 8 horas a ese ritmo.

¿Cuántos km recorre en 1 hora con 30 minutos?

¿En cuánto tiempo recorrió 100 km?

Si hubiera aguantado 9 horas, ¿cuánto habría recorrido?

Otro ciclista salió al mismo tiempo y llevaba una velocidad de 20 km/h. Traza la gráfica corres-pondiente, considerando los mismos tiempos que los del otro ciclista, para ubicar los puntos. ¿Qué distancia habrá recorrido en 4 horas?

Si lo que se pretende es hacer un recorrido de 300 km, ¿qué tiempo hará este segundo ciclista en completar el recorrido?

x y 5 y Puntos

2 ( ) 5 A ( , 80 )

3 B ( , )

4 C ( , )

5 D ( , )

6 E ( , )

8 F ( , )

10 G ( , )

La función y 5 6x representa una situación de variación proporcional directa. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Cuál es la razón que determina esa constante? Demuéstralo numéricamente.

0

80

120

40

200

240

280

160

1 2 3 4 5 6 7 8 9tiempo en horas

recorrido en km

Ciencias II: Recuerda que se considera movimiento recti-líneo aquel cuya trayectoria es una línea recta. Al graficar el desplazamiento de un objeto que se mueve a ve-locidad constante, la gráfica correspondiente también es una línea recta en la que las variables son la distancia en función del tiempo.

178 MATEMÁTICAS 2

d) Una pieza de 2 m de tela tiene un costo de $60, por medio de la gráfica encuentra otros costos.

¿Qué precio tiene una pieza de 6 m de tela?

Si solamente necesito 1 m, ¿cuánto me cuesta?

Por una pieza de 16 m, ¿cuánto debe pagarse?

Alicia sólo puede gastar $330. ¿Cuánta tela comprará?

José necesita 320 m, ¿cuánto debe pagar?

e) La siguiente tabla y la gráfica muestran lo que cuesta imprimir un volante publicitario:

Completa la tabla y traza la gráfica.

0

300

360

420

240

2 4 6 8 10

180

120

60

12 14 16 18

$

m

480

costo

Tela

¿Cuánto costará un volante? ¿Y cuánto 400?

Con $900, ¿cuántos volantes podrías mandar a imprimir?

¿Con qué expresión (costo-volante) expresas esta función?

100 200 300 400 500 600

900

750

600

450

300

150

Costo

$

Volantes

No. de volantes 50 100 200 500

Costo en $ 75

BLOQUE 3 179

f) Jaime renta una bicicleta en las siguientes condiciones: al rentar debe pagar $5 por cada 15 minutos de uso.

En los primeros quince minutos deberá pagar 5 (1) 5 5 $5

En los segundos quince minutos: 5(2) 5 5

En una hora y quince minutos: 5(5) 5 5

Jaime toma la bicicleta como si fuera propia, de modo que el que le renta la bicicleta calcula el cobro de acuerdo con la relación y 5 5x. De esta manera puede saber lo que hay que pagar por cada 15 minutos.

¿Cuánto paga Jaime si ocupa la bicicleta una hora?

Si el empleado le cobra $45, ¿qué tiempo usó la bicicleta?

Jaime sólo tiene $70, ¿para cuánto tiempo de renta de una bicicleta le alcanzará?

Si quiere rentar la bicicleta 24 horas, ¿cuánto debe pagar?

Cierto día sólo cuenta con $40, ¿para cuánto tiempo de alquiler de la bicicleta le alcanza?

0

45

50

55

40

1 2 3 4 5 6 7 8 9

35

30

25

x 1 2 3 4 5 6

y 5 5x

y

Marilú asegura que el punto (4, 5) pertenece a la recta y 5 2x 2 3. ¿Cómo puedes comprobar si esto es cierto?

Renta $

Tiempos de 15 minutos

180 MATEMÁTICAS 2

Actividad 3.4

Como has podido observar, en cuestiones comunes el primer cuadrante es el que se utiliza con más frecuencia, pero hay situaciones en las que es necesario usar los cuatro cuadrantes. Resuelve las siguientes situaciones, completa la tabla y realiza la gráfica.

a) Representa gráficamente la función y 5 2x, dados algunos valores de x.

Si x 5 0.5, ¿cuál es el valor de y ?

y 5 2.5, ¿cuánto vale x ?

Si la abscisa es 3, ¿qué valor representa en la ordenada?

x 4 3 2 1 0 21 22 23 24 25

y

x

y

Éstas son cuatro rectas:

y 5 3x 1 2 y 5 x 2 4 y 5 y 5

¿En qué punto corta cada una de ellas los ejes de coordenadas?

13

234

xx2

1 5

BLOQUE 3 181

b) Representa gráficamente la función y 5 2x 2 1, dados algunos valores de x. Completa la tabla y traza la gráfica.

Si x 5 1.5, ¿cuál es el valor de y ?

y 5 2, ¿cuánto vale x ?

Si la abscisa es 7, ¿qué valor representa en la ordenada?

Resuelve la siguiente situación y contesta. En tu cuaderno representa gráficamente la función f (x) 5 . Considera como dominio: 12, 8, 6, 4, 2.

1. Elabora una tabla de valores.

2. En un plano cartesiano, traza la gráfica.

3. La expresión representa una variación proporcional inversa. ¿Cuál es la constante?

4. Si la constante estuviera representada por a, ¿cómo obtendrías su valor?

Actividad Extra

x 4 3 2 1 0 21 22 23 24 25

y

y

x

24x

182 MATEMÁTICAS 2

c) No todas las gráficas resultan ser una línea recta. Representa gráficamente la función: y 5 x 2 2 2, dados algunos valores de x.

¿Qué forma tiene la gráfica?

Cuando x 5 1.5, ¿cuál es el valor de y ?

Si y toma un valor de 10, ¿cuánto vale x ?

Investiga cuál es el nombre de esta gráfica.

En el plano cartesiano se ha representado la gráfica de una función. Como puedes observar, se trata de una recta.

Escribe las coordenadas de los puntos marcados y encuentra la expresión algebraica que le co-rresponda.

y 5

Actividad Extra

x y

y

x

x y

4

3 7

2

1

0

21

22

23

24

Ejemplo: y 5 (3)2 2 2 5 9 2 2 5 7

y

x

25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

23 22 21 1 2 3 4 5 6

5

4

3

2

1

21

22

23

24

25

BLOQUE 3 183

Actividad Extra

Determina las coordenadas de los puntos ya ubicados y después ubica los puntos cuyas coor-denadas se dan.

Ubicados Ubicar

A ( , ) A (4, 7)

B ( , ) B (1, 6)

C ( , ) C (9, 7)

D ( , ) D (2, 5)

E ( , ) E (8, 0)

F ( , ) F (23, 7)

G ( , ) G (28, 8)

Ubicados Ubicar

H ( , ) H (21, 5)

I ( , ) I (23, 2)

J ( , ) J (24, 0)

K ( , ) K (25, 23)

L ( , ) L (28, 24 )

M ( , ) M (21, 29)

N ( , ) N (24, 26)

Ubicados Ubicar

O ( , ) O (0, 25)

P ( , ) P (5, 29)

Q ( , ) Q (2, 25)

R ( , ) R (6, 28)

S ( , ) S (9, 26)

T ( , ) T (4, 23)

U ( , ) U (6, 26)

21

y

x0 2 3 4 5 6 7122232425262721

22

23

24

25

26

27

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10

8

9

10

2829210

28

29

210

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

LM

N

O

P

Q

R

S

T

U

184 MATEMÁTICAS 2

ConoCimientos y habilidadesEstablecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

ActividAd PreviADesde cada vértice, traza todas las diagonales posibles de los siguientes polígonos convexos y completa o contesta las cuestiones planteadas.

¿Cuántos lados tiene cada polígono?

En general, ¿qué nombre reciben?

¿Cuántas diagonales fue posible trazar en cada uno de ellos?

¿Qué relación hay entre el número de lados y el número de diagonales?

En estos cuadriláteros (cóncavo, convexo y estrella), ¿cuántas diagonales te fue posible

trazar? , y ¿Qué relación hay entre el número de lados y el número de diagonales?

A B

D C

H G

E F

A B

D C H G

F

E I

L J

K


Tema: Formas geoméTrICas

aParTaDo 4: JUsTIFICaCIÓN De FÓrmULas II

Ángulos de los

polígonos

Polígono

Convexo: el que tiene todos sus ángulos

interiores hacia afuera (menores de 180°)

Cóncavo: el que tiene por lo menos un ángu-lo entrante (mayor de

180° pero menor de 360°).

Estrella: el que tiene lados cruzados.

¿Qué diferencia hay en estos enunciados?1. Dos rectas que se cortan.2. Dos rectas que se cruzan.

cóncavoconvexo estrella

BLOQUE 3 185

Hagamos lo mismo con los siguientes pentágonos (cóncavo, convexo y estrella).

¿Cuántas diagonales te fue posible trazar en cada polígono? ,

y

¿Qué relación hay entre el número de lados y el número de diagonales?

Compara las relaciones, la de los cuadriláteros y la de los pentágonos, ¿son iguales?

Comenta con tus compañeros y con tu profesor esta última respuesta. Traten de obtener una conclusión. Anótala.

A B

CE

D

J

I

H

F G

N

O

M

L

K

Actividad 4.1

Consideremos ahora un triángulo. Traza sus diagonales y contesta los planteamientos que se te hacen.

¿Cuántas diagonales se pudieron trazar en el triángulo?

¿Por qué?

¿Pudiste trazar los triángulos cóncavo y estrella?

¿A qué atribuyes esta respuesta?

ÁngUloS DEl TRIÁngUlo

los ángulos interiores de un triángulo cualquiera suman 180°.

B

C

A

En tu libreta dibuja un triángulo cóncavo, uno convexo y uno estrellado. Comenta con tus compañeros la posibilidad del trazo. Justifica.

186 MATEMÁTICAS 2

Actividad 4.2

Consideremos ahora, en conjunto, los siguientes polígonos convexos. Traza todas las diagonales posibles en cada uno de ellos y registra tus resultados en las tablas de la siguiente página.

BLOQUE 3 187

Actividad 4.3

Seguramente observaste que, de inicio, las figuras predominantes al trazar las diagonales son los triángulos. Ya es de tu conocimiento que todos los polígonos se pueden descomponer en triángulos. Observa las siguientes figuras y contesta lo que se solicita.

¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo?

Si desde un vértice de un rectángulo o cualquier otro cuadrilátero convexo se traza la diagonal,

¿cuántos triángulos se forman?

¿Cuánto suman todos los ángulos de los triángulos formados?

¿Puedes asegurar que los 6 ángulos de los dos triángulos equivalen a los 4 ángulos del rectán-gulo? Justifica tu respuesta.

Polígono Número de lados

Número de diagonales

Decágono

Endecágono

Dodecágono

De 13 lados

De 14 lados

De n lados

Polígono Número de lados

Número de diagonales

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Eneágono

Se sabe que...

Todo polígono puede ser formado por triángulos. También, todo polígono puede ser descompuesto en triángulos.

Probablemente llegaste a la expresión: , misma que te permite saber el número de diagonales de todo polígono de n lados.

n (n23)2

188 MATEMÁTICAS 2

Actividad 4.4

Ahora considera los siguientes polígonos convexos. Desde el vértice, marcado con V, traza to-das las diagonales posibles y, de acuerdo con la información que obtengas, completa la tabla. Observa el ejemplo.

V

V

V

VVV

V

V

V

V

VV

BLOQUE 3 189

Polígono Número de lados Número de diagonales Número de triángulos

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono 6 3 4

Heptágono

Octágono

Eneágono

Decágono

Endecágono

Dodecágono

De 13 lados

De 14 lados

De n lados

190 MATEMÁTICAS 2

Actividad 4.5

Sin duda llegaste a la conclusión de que: “si desde uno de los vértices de un polígono convexo se trazan las diagonales, se forman tantos triángulos como lados tenga el polígono menos dos” (n 2 2 ).

¿Qué harías para determinar la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo? Explica.

Si la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo la identificamos con “S”, escribe una fórmula general que modele la situación.

Actividad 4.6

Completa la siguiente tabla, determinando la suma de los ángulos interiores de los polígonos que se señalan. Compara tus procedimientos y respuestas con las de tus compañeros. Observa el ejemplo.

Número de lados Nombre del polígono Procedimiento Suma de los ángulos interiores

3

4

5

6

7 Heptágono S 5 180° (7 2 2) 900°

8

9

10

12

Desarrollen la actividad “Suma de los ángulos interiores de un triángulo”, en Geometría dinámica. EMAT. México, SEP, 2000, pp. 46-47.


BLOQUE 3 191

ConoCimientos y habilidadesConocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.

ActividAd PreviAEn equipos, comenten qué tipo de figuras geométricas tienen las losetas o mo-saicos de los pisos de las casas donde viven, o del salón. En equipos, comenten las siguientes interrogantes: ¿Por qué creen que se utiliza esa forma geométrica? ¿Habrá otras formas que se puedan utilizar para recubrir un plano? En caso de que las haya, ¿cuáles figuras geométricas se pueden utilizar? ¿Qué figuras regulares puedes combinar para recubrir un plano?

Actividad 5.1

Supón que quieres recubrir el piso de tu casa con losetas que tienen forma de figura geométri-ca regular (la misma figura para todas las losetas); antes de comprarlas conviene que hagas algunas reflexiones:

Iniciemos con triángulos equiláteros.

a) ¿Cuánto miden los ángulos interiores de un triángulo equilátero?

b) ¿Cuántos triángulos equiláteros se necesitan para que no queden huecos en el piso?

c) ¿Al hacer coincidir los vértices de esos triángulos, ¿qué ángulo deben cubrir?

d) Completa con triángulos equiláteros el recubrimiento del siguiente plano.

Tema: Formas geoméTrICasaParTaDo 5: FIgUras PLaNas I

recubrimiento de un plano

192 MATEMÁTICAS 2

e) Cubre con cuadrados el siguiente plano.

f) Veamos con pentágonos regulares. ¿Cuánto miden sus ángulos interiores?

g) Si unimos los lados de dos o más pentágonos regulares, ¿se cubre el plano?

h) Veamos con hexágonos regulares. ¿Cuánto miden sus ángulos interiores?

i) ¿La suma de los ángulos de dos o más hexágonos regulares permite cubrir el piso?

j) Completa con hexágonos regulares el recubrimiento del siguiente plano:

BLOQUE 3 193

Actividad 5.2

a) Haz tu propio diseño y cubre el siguiente plano con figuras iguales al triángulo dibujado. Comenta si puedes o no recubrir el plano y justifica tu comentario.

Presenta tu diseño al grupo.

En alguna ocasión me dijeron que con cualquier cuadrilátero se puede cubrir un plano, ¿será cierto? ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero cualquiera?

194 MATEMÁTICAS 2

Actividad 5.3

Reproduce varias veces el siguiente cuadrilátero en una hoja, recórtalo y recubre el siguiente plano.

BLOQUE 3 195

Actividad 5.4

Ahora tú. Diseña un cuadrilátero, reprodúcelo varias veces, recórtalo y recubre el siguiente plano.

Si tienen oportunidad de trabajar en las computadoras, efectúen la actividad “Recubrimiento del plano con polígonos regulares”, que se encuentra en la páginas 106-109 del libro Geometría dinámica. EMAT. México, SEP, 2000.


a) Encuentra los 10 cuadrados que hay en esta figura.

b) Hay quien afirma que esta figura tiene más de 40 triángulos. ¿Cuántos le encuentras?

Actividad Extra

Resuelve lo siguiente.

196 MATEMÁTICAS 2

ConoCimientos y habilidadesConstruir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

ActividAd PreviAEn equipo, comenten si una gráfica lineal puede servir para conocer el costo de varios artículos, el cambio de moneda o el cálculo de un porcentaje. ¿Cómo han utilizado las gráficas lineales y qué otro uso le podrían dar? Expongan sus ideas ante el grupo.

Actividad 6.1

Otra forma de efectuar esas conversiones es por medio de las gráficas de relaciones lineales. Observa que en la primera fórmula, si tenemos cero grados centígrados, el equivalente es 32 grados Fahrenheit; en la segunda fórmula, si tenemos cero grados Fahrenheit, el equivalente es 217.7 grados centígrados. Si tienes dudas comenta con tu equipo de dónde salen esos valores. Al trazar la gráfica con ese par de puntos coordenados, obtenemos lo siguiente:

Observa la gráfica y contesta:

°C

°F

(0, 32)

(217.7, 0)

Se sabe que para convertir una medida de grados Celsius en grados Fahren-heit se puede utilizar la fórmula °F 5 °C 1 32, que significa multiplicar por nueve quintos los grados Celsius que queremos convertir y al resultado sumarle 32. Para convertir grados Fahrenheit en Celsius, podemos despejar esa fórmula o bien, utilizar °C 5 (°F 2 32) que significa restarle 32 a los grados Fahrenheit que deseamos convertir, al resultado multiplicarlo por 5 y finalmente dividir entre 9.

59

95

MANEJO DE LA INFORMACIÓN

Tema: rePreseNTaCIÓN De La INFormaCIÓN

aParTaDo 6: grÁFICas II

Funciones asociadas

218 217 216 215 214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6

90

80

70

60

50

40

30

20

10

210

BLOQUE 3 197

a) ¿A cuántos °C aproximadamente equivalen 40 °F?

b) ¿A cuántos °F aproximadamente equivalen 213 °C?

c) ¿A cuántos °F aproximadamente equivalen 29 °C?

Actividad 6.2

Para resolver las siguientes situaciones, te sugerimos que te auxilies de una gráfica lineal y marques en ella los puntos que dan respuesta a las interrogantes.

a) Con el propósito de controlar la masa corporal de los hombres, los nutriólogos manejan una tabla en la que: una altura de 165 cm y una de 170 cm corresponden a masas ideales de 68 kg y 72 kg, respectivamente. Traza la gráfica y determina en ella, ¿cuál es la masa de una persona que mide 175 cm?, y ¿cuál es la estatura de una persona que tiene una masa de 70 kg?

b) Un médico dispone de 1 hora diaria para dar consulta. El tiempo dedicado a cada paciente depende del número de pacientes que acuden a consulta:

1 paciente 60 minutos 2 pacientes 30 minutos 3 pacientes 20 minutos

Así hasta atender un máximo de 15 pacientes. Si x es el número de pacientes y y es el de minu-tos dedicados a cada uno de ellos, ¿cuál es la expresión que representa la situación? Dibuja la gráfica. ¿Tiene sentido unir los puntos de la gráfica con una línea? ¿Por qué?

198 MATEMÁTICAS 2

Actividad 6.3

Analiza la gráfica y contesta las interrogantes.

a) ¿Cuánto pesa la varilla de 20 cm?

b) ¿Cuánto mide la varilla de 500 g?

c) ¿Cuánto pesará una varilla de 1 m?

d) ¿Cuánto pesa el cm de varilla?

0 Longitud (cm)

Peso de una varilla de aluminiode 1 cm de diámetro

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Masa (gramos)

Si tienen oportunidad de trabajar en computadoras, efectúen la actividad “Lineales que caen”, que está en las páginas 84-86 del libro Hoja electrónica de cálculo. EMAT. México, SEP, 2000.


BLOQUE 3 199

ActividAd PreviA

Analicen en equipo la expresión y 5 mx 1 b

Sin hacer la gráfica, comenten: ¿Sabes por dónde va a pasar? ¿Sabes qué in-clinación tendrá? ¿Será necesario tabular para ver la tendencia de las parejas orde-nadas o se puede ver directamente en la expresión? Expongan sus conclusiones.

ConoCimientos y habilidadesAnticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y 5 mx 1 b,

cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante.

Actividad 7.1

Trabajen en parejas, tabulen y grafiquen las siguientes funciones:

x

y

abscisas

ordenadas

a) y 5 x 1 1 b) y 5 x 1 2

x y

0

1

2

3

4

5

x y

0

1

2

3

4

5

Tema: rePreseNTaCIÓN De La INFormaCIÓNaParTaDo 6: grÁFICas III

ordenada al origen

21 0 1 2 3 4 5 6 7

8

7

6

5

4

3

2

1

21

200 MATEMÁTICAS 2

¿Cuál es el menor número de puntos que se requieren para trazar una fun-ción lineal?

Observaciones (comenta con tu compañero de equipo):

1) ¿En qué punto corta la gráfica de la función y 5 x 1 1 el eje de las ordenadas?

2) La ordenada del punto (0 , 1) es 1 y tiene relación con la función y 5 x 1 1.

3) ¿En qué punto corta la gráfica de la función y 5 x 1 2 el eje de las ordenadas?

4) La ordenada del punto (0 , 2) es y tiene relación con la función y 5 x 1 2.

5) En este tipo de funciones y 5 mx 1 b, donde m 51, sólo cambió el valor de b. ¿Cómo resultó ser la inclinación de ambas rectas?

Actividad 7.2

En parejas observen las siguientes funciones. ¿Ocurrirá lo mismo que con las funciones anterio-res? Tabulen y grafíquenlas:

Observaciones (comenta con tu compañero de equipo):

1) ¿Cómo son entre sí las rectas obtenidas?

x

y

abscisas

ordenadas

a) y 5 2x 1 1 b) y 5 2x 1 2

x y

0

1

2

3

4

5

x y

0

1

2

3

4

5

21 0 1 2 3 4 5 6 7

8

7

6

5

4

3

2

1

21

BLOQUE 3 201

2) De acuerdo con las funciones, ¿en qué punto corta cada recta el eje de las ordenadas?

¿Qué podrían concluir? Si grafican la función y 5 2x 2 1, ¿se mantendrá la inclinación de la recta y ahora pasará por el punto (0 , 21)? Compruébenlo.

Actividad 7.3

En parejas observen las siguientes funciones. Tra-cen las gráficas por donde suponen que van a pasar. Tabulen y verifiquen si tuvieron razón.

Propongan otras funciones y comprueben sus observaciones.

x

y

abscisas

ordenadas

a) y 5 2x 1 3

b) y 5 2x 2 2

c) y 5 2x 2 4

Si tienen oportunidad de trabajar en las computadoras, efectúen la actividad “Analizando gráficas de rectas”, que está en la página 123 del libro Hoja electrónica de cálculo. EMAT. México, SEP, 2000.


El tanque de agua de mi casa tiene capacidad para 1 000 litros y se llena a razón de 10 litros/minuto. Hoy en la mañana tenía un cuarto de tanque cuando le empezó a caer agua. Se llenó después de una hora. ¿Cuál de las siguientes gráficas presenta mejor dicha información?

Actividad Extra

a) b) c) d)

x

y

Cantidad de agua en el tanque (litros)

Tiempo(minutos)

x

y

Tiempo(minutos)


x

y

Tiempo(minutos)


x

y

Tiempo(minutos)


21 0 1 2 3 4 5 6 7

8

7

6

5

4

3

2

1

21

0 25 50 75

750

500

250

0 25 50 75

750

500

250

0 25 50 75

750

500

250

0 25 50 75

750

500

250

202 MATEMÁTICAS 2

ConoCimientos y habilidadesAnalizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y 5 mx 1 b,

cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante.

ActividAd PreviAEn equipos, después de haber aprendido a analizar el valor de b en funciones de la forma y 5 mx 1 b, comenten lo que podría significar el valor de m en este tipo de funciones. ¿Qué podría significar el hecho de que el valor de m sea positivo o negativo? ¿En qué afectaría que los valores de m fueran distintos? Expongan ante el grupo sus observaciones.

Actividad 8.1

Tabulen y grafiquen las siguientes funciones.

Además de observar que este tipo de gráficas pasan por el punto (0, 0) porque no se presenta valor de b en las funciones y son del tipo y 5 mx 1 b, ¿qué otra cosa observan con respecto a la inclinación de las rectas?

x

y

abscisas

ordenadas

a) y 5 x b) y 5 2x

x y

0

1

2

3

4

5

x y

0

1

2

3

4

5

Tema: rePreseNTaCIÓN De La INFormaCIÓNaParTaDo 6: grÁFICas IV

Inclinación o pendiente de

una recta

21 0 1 2 3 4 5 6 7

8

7

6

5

4

3

2

1

21

BLOQUE 3 203

Actividad 8.2

Tabula y grafica la función y 5 3x

¿Cuál es valor de m?

¿Qué significa ese valor en relación con la inclinación de la recta?

¿Ya te diste cuenta de que la inclinación de las rectas tiene que ver con las unidades en el eje de las ordenadas y en el de las abscisas?

x

y

abscisas

ordenadas

x y

0

1

2

3

4

5

x

y y 5 x

x

y y 5 2x

x

y y 5 3x

1 1 1

12 3

Actividad 8.3

Grafica las siguientes funciones. Observa el valor de m en cada una de ellas, deduce por dónde pasará cada recta, trázalas y posteriormente verifícalas por medio de la tabulación correspondiente.

x

y

x

y y 5 2 2x

x

y y 5 x12

y 5 x13

Una forma de analizar es observando que el numerador de m indica cuántas unidades se des-plaza la recta en el eje “ y ”; mientras que el denominador indica cuántas unidades se desplaza la recta en el eje “ x ”.

21 0 1 2 3 4 5 6 7

8

7

6

5

4

3

2

1

21

21 0 1 2 3

3

2

1

21

21 0 1 2 3

3

2

1

21

21 0 1 2 3

3

2

1

21

22 21 0 1 2

21

22

23

24

21 0 1 2 3

3

2

1

21

21 0 1 2 3

3

2

1

21

204 MATEMÁTICAS 2

Actividad 8.4

A partir de las observaciones anteriores, traza la recta que corresponde a las siguientes funcio-nes. Verifica tus trazos por medio de las tabulaciones.

y 5 x

x

y

23

x

y

y 5 x32

Actividad 8.5

Gráfica en tu cuaderno las funciones siguientes.

a) y 5 2x 1 5 d) y 5 x 2 5 g) y 5 3x 1 2 j) y 5 x 1 2

b) y 5 2x 1 4 e) y 5 x 2 6 h) y 5 4x 1 2 k) y 5 23x 1 3

c) y 5 2x 2 3 f) y 5 x 2 8 i) y 5 5x 1 2 l) y 5 23x 2 3

12

¿Cuáles son las pendientes de cada una de ellas? y

En tu cuaderno traza en un solo plano cartesiano las funciones.

y 5 x 1 2 y y 5 2 x 1 4

¿Qué ángulo forman las rectas?

¿Cuáles son sus pendientes? y

Obsérvalas y escribe otras dos funciones cuyas gráficas resulten perpendiculares.

Actividad Extra

23

32

Se sabe que...

La pendiente de una recta, en el plano

cartesiano es igual a la diferencia de los valo-res del eje y dividido

entre las diferencias de los valores del eje x, de dos puntos de una recta. Se representa, generalmente, por m.

21 0 1 2 3

3

2

1

21

21 0 1 2 3

3

2

1

21

Hasta el momento has trabajado la imaginación espacial sin requerir del uso de instrumentos de geometría. en esta ocasión tendrás oportunidad de utilizarlos, dado que también es importante desarrollar destrezas en el manejo de dichos instrumentos al trazar figuras de manera precisa.

1. Utilizando solamente compás, reproduce la siguiente figura y crea otra que tenga tu propio diseño.

APlicAción de APrendizAjesimaginación espacial

2. como seguramente te habrás dado cuenta, el diseño anterior tenía como base los vértices de un hexágono. Utilizando solamente el compás, realiza los trazos necesarios para ubicar en la circunferencia los vértices de un pentágono y los de un heptágono.

compara tus resultados con los de tus compañeros más cercanos y comenten el procedimiento empleado en cada caso.

205

exPlorAción de recUrsos tecnológicos

Para la presentación correspondiente a este bloque, ahora el equipo desarrollará un juego, parecido a un rompecabezas.

tomen, por ejemplo, el apartado 5, que se refiere a recubrimiento de un plano. ¿recuerdas que al final de la actividad 5.2 se menciona que un cuadrilátero puede cubrir un plano? Hagamos la prueba: defi-nan una figura (medidas de los 4 lados) de color. establezcan una especie de concurso, compitiendo a ver quién hace menos tiempo en cubrir un plano con el cuadrilátero que se definió; solamente habría que copiarlo y aplicarle movimientos de traslación, rotación o simetría para buscar que al acoplar las piezas el plano se vaya cubriendo. Queda descalifica-do aquel que modifique el tamaño de las figuras.

es importante cuidar que la figura tenga un color sólido y sus orillas sean de un color contrastante, para que al ir cubriendo el plano se note cómo se ensamblaron los cuadriláteros.

inténtenlo primero como equipo, para asegurarse de que funciona, midan el tiempo que se tardan y después lleven a cabo el concurso. Agréguenle so-nido cuando alguien complete el recubrimiento del plano.

Finalmente, hagan un concurso más, buscando cuál diseño tiene mayor atractivo. Ánimo y suerte con su diseño.

206

207BLOQUE 3

¿CUÁnTO APREnDÍ?

Instrucciones: Resuelve cada una de las siguientes situaciones. Ocupa los espacios para anotar tus procedimientos, operaciones y resultados.

1. A partir de 7, determina los ocho primeros términos de la serie cuya diferencia es 22.5.

2. ¿Cuál es el 20o término de la serie: 4, 1, 22, 25,…

3. Resuelve y comprueba la ecuación 2(x 1 3) 1 7 5 2x 2 3(x 2 4)

4. A una fiesta asistieron 40 personas. Si son 5 mujeres menos que el doble de hombres, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres asistieron al festejo?

5. Calcula la suma de los ángulos interiores de un polígono de 20 lados.

6. La gráfica representa la relación entre la longitud de un cable y su costo. Analiza la gráfica y con-testa en relación con lo que en ella observes.

a) ¿Cuál es el costo por 3 m de cable?

b) ¿Cuántos metros podré comprar con $20?

m

$

6

70

costo

cable0

208 MATEMÁTICAS 2

7. Traza la gráfica de las siguientes funciones.

a) y 5 2x 1 5

x

y

b) y 5 22x 1 4

x

y

8. Analiza las siguientes funciones e identifica su gráfica, colocando en el paréntesis de la función la letra que le corresponda.

( ) y 5 2x 1 2 ( ) y 5 x 1 212

x

y

x

y

x

y

A B C

22 0 2 4 6

6

4

2

22

21 0 1 2 3 4 5 6 7

8

7

6

5

4

3

2

1

21

21 0 1 2 3 4 5 6 7

8

7

6

5

4

3

2

1

21

22 0 2 4 6

6

4

2

22

22 0 2 4 6

6

4

2

22

1591 Francisco Viéte presenta en su libro Introducción al arte analítico el primer trabajo matemático que usa letras

para variables y constantes.

1559 Sube al trono Isabel

I de Inglaterra.

1582 Bajo la recomendación de una

comisión de matemáticos, el Papa Gregorio XIII crea un

nuevo calendario que fue adoptado en todo el

mundo hasta 1918.

1609 Se dan a conocer

las Leyes de Kepler.

1629 En la obra La nueva ciencia

del Álgebra, de Albert Girard, aparece el teorema fundamental del Álgebra.

1642 El matemático Blaise Pascal construye

la primera máquina de calcular, conocida como la Pascalina, la cual

podía efectuar sumas y restas de hasta 6 cifras.

BLOQUE 4

1540 1560 1610 1640 16701700


1. Resuelvan problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica.

2. Resuelvan problemas geométricos que implican el uso de las propiedades de las alturas, media-nas, mediatrices y bisectrices en triángulos.

3. Interpreten y relacionen la información proporcionada por dos o más gráficas de línea que repre-sentan diferentes características de un fenómeno o situación.

4. Resuelvan problemas que implican calcular la probabilidad de dos eventos independientes.

5. Relacionen adecuadamente el desarrollo de un fenómeno con su representación gráfica formada por segmentos de recta.

1614 Galileo observa por primera

vez las manchas solares.

1646 Se construye el Taj Mahal.

1688 Revolución Gloriosa

en Inglaterra.

1662 John of Gaunt publica

el primer libro de estadística.

Hechos matemáticos

Contexto histórico

209

210 MATEMÁTICAS 2

ConoCimientos y habilidadesElaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilizar la notación científica

para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

ActividAd PreviAEn parejas, resuelvan los siguientes ejercicios para recordar el uso de los exponen-tes. Comparen los resultados, y si no coinciden, argumenten sus procedimientos hasta estar de acuerdo con las respuestas.

1. Convierte las siguientes expresiones, en factores o en potencia, según sea el caso.

a) m 3 5 m m m k) x 2 5

b) a 4 5 l) x 6 5

c) c 5 5 m) m m m m 5 m 4

d) g g g 5 n) b b b b 5

e) a a 5 o) x x x x x x x 5

f) d 8 5 p) y y y y y 5

g) e 3 5 q) a a b b 5

h) x 2 y 3 5 r) m m m q q 5

i) c 4 d 3 5 s) r s s t t t 5

j) a 2 a 3 5 t) a 2 a 3 5


Tema: Significado y uSo de operacioneS

aparTado 1: poTenciaciÓn y radicaciÓn

productosy cocientes

de potencias

BLOQUE 4 211

Actividad 1.1

Desarrolla los siguientes productos de potencias y posteriormente expresa el resultado como potencia.

a) x 2 x 3 5 x x x x x 5 x 5 d) c c 4 5 g) g 2 g 4 5

b) m 2 m 3 5 e) d 2 d 4 5 h) h 4 h 3 5

c) a 3 a 2 5 f) f 2 f 2 5 i) y 3 y 3 5

Al multiplicar potencias de una misma base los exponentes se

Actividad 1.2

Resuelve de manera directa los siguientes productos de potencias.

a) a 6 a 3 5 d) b 5 b 2 5 g) c 3 c 4 5

b) d 5 d 5 5 e) e e 6 5 h) f 4 f 2 5

c) g 8 g 5 f) h h 2 h 3 5 i) i 3 i 8 5

Observa la relación que guardan los exponentes de los factores y el exponente del resultado final.

¿Cómo podríamos resolver de manera directa el producto de potencias de la misma base? Completa el siguiente enunciado y coméntalo con el grupo.

¿Cómo se resuelven los cocientes de potencias de la misma base?

Actividad 1.3

Con el procedimiento de descomposición en factores, completa la resolución de los siguientes cocientes:

a) 5 g) 5

b) 5 h) 5

c) 5 i) 5

d) 5 j) 5

e) 5 k) 5

f) 5 l) 5

34

32

23

2

54

53

44

4

43

4442

42

42

442

3 3 3 3 3 3 33 3 3

5 32

32

33

224

52

55

23

25

2 3 2 3 22 3 2 3 2 3 2 3 2

1225

¿Por qué en los últimos cinco incisos queda el número 1 en el numerador?

212 MATEMÁTICAS 2

Actividad 1.4

Desarrolla las siguientes divisiones; expresa el resultado como potencia. Compara tus resulta-dos con los de tus compañeros más cercanos.

a) 5 d) 5 g) 5

b) 5 e) 5 h) 5

c) 5 f) 5 i) 5

Observa. ¿Qué relación guardan los exponentes de los cocientes y el exponente del resultado final? ¿Cómo se podría resolver de manera directa el cociente de potencias de la misma base? Completa el siguiente enunciado y coméntalo con el grupo.

a 4

a 2b 5

b 4

c 6

c 2d 8

d 5

e 3

e 7f 4

f 6

g 2

g 3

h 5

h 5

Al dividir potencias de una misma base, los exponentes se

Actividad 1.5

Resuelve de manera directa los siguientes cocientes.

a) 5 x 5 2 3 5 x 2 c) 5 e) 5

b) 5 d) 5 f) 5

x 5

x 3x 6

x 2y 5

y

z

z 3z 2

z 4y 4

y 4

Actividad 1.7

Convierte los siguientes cocientes en potencias negativas.

a) 5 2a 23 d) 5 g) 5

b) 5 e) 5 h) 5

c) 5 f) 5 i) 5

2

a 31

b 22

c 3

3

d 41

e 32

f 4

4

g 82

h 61

x 5

Actividad 1.6

En equipo, analicen la siguiente situación y argumenten su respuesta ante el grupo.

Al desarrollar expresiones como un grupo de alumnos mostró que el resultado es:

5 5 ; otro equipo dijo que 5 m 225 5 m23 , ¿cuál de los dos tiene la razón?m 2

m 5m m

mmmmm1

m 3

m 2

m 5

m 2

m 5

i i 2

BLOQUE 4 213

Actividad 1.8

Convierte las siguientes potencias negativas en expresiones con exponentes positivos.

a) y¯ 3 5 e) 3y¯ 2 5

b) a¯ 4 5 f) c¯ 3 5

c) m¯ 2 5 g) 2m¯ 2 5

d) 5x¯ 3 5 h) 4h¯ 2 5

Actividad 1.9

Efectúa las siguientes operaciones.

a) a 4 a 5 5 f) 5

b) c 3 c 2 c 5 g) 5

c) e 5 e 3 e 2 5 h) 5

d) 5 i) 5

e) 5 j) 5

d

d 4

b 6

b 2

f 3 f 2 f

g 4 g 2

g 3h 3 h 2

h 5

x 2 x 6

x 3

y y 2 y 3

y 8

Actividad 1.10

En equipos, propongan cómo se puede resolver la potencia de una potencia. Argumenten ante el grupo su respuesta.

a) (23)2 5 b) (m 4)3 5

Un grupo de alumnos destacados encontró que el resultado de cada inciso es: 26 y m12. ¿Los resultados de tu equipo coinciden con los de ellos?

214 MATEMÁTICAS 2

¿Cómo se resuelve de manera directa la potencia de una potencia?

Actividad 1.11

Efectúa las siguientes potencias de potencias.

a) (x 2)4 = e) (y 3)2 =

b) (m 3)3 = f) (r 7)2 =

c) (a 2)5 = g) (c 4)4 =

d) (u 3)3 = h) (z 3)5 =

Completa el siguiente enunciado y coméntalo con el grupo.

Para calcular la potencia de una potencia, sus exponentes se

Veamos cómo se pueden usar este tipo de expresiones. Las potencias se utilizan como auxiliares en la notación científica para expresar magnitudes muy grandes (astronómi-cas) o muy pequeñas (microscópicas). Este tipo de notación se escribe con un número entre 1 y 10, multiplicado por una potencia de 10.

Por ejemplo:

a) Se estima que la edad aproximada de nuestro planeta es 460 000 000 años; otra forma de escribir esa cantidad es 4.6 3 108 años.

b) La masa de un electrón se puede expresar como 9.1 3 10–28 gramos, en lugar de 0.000000000000000000000000000910 gramos.

Actividad 1.12

Escribe la cantidad que corresponde a cada una de las siguientes expresiones dadas en nota-ción científica.

a) 3.6 3 103 5 e) 5.9 3 102 5

b) 2 3 103 5 f) 9.4 3 104 5

c) 6.1 3 102 5 g) 1.5 3 105 5

d) 8.2 3 104 5 h) 7 3 106 5

BLOQUE 4 215

Actividad 1.13

Escribe en notación científica las siguientes magnitudes.

Distancia media aproximada del Sol a: Notación científica

a) Mercurio: 57 890 000 km

b) Venus: 108 200 000 km

c) Tierra: 149 600 000 km

d) Saturno: 1 433 000 000 km

e) Urano: 2 863 000 000 km

Con la notación científica se pueden realizar, de manera más sencilla, cálculos con cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Ejemplos:

a) 315 000 3 250 000 5 (3.15 3 105) (2.5 3 105) b) 5

5 (3.15 3 2.5) (105 3 105) 5 4.2 3 102

5 (3.15 3 2.5) 1010

5 7.875 3 1010

8 400 00020 000

8.4 3 106

2 3 104

Actividad 1.14

Efectúa las siguientes operaciones.

a) (2.8 3 104) (3 3 103) 5 f) (1.5 3 106) (4 3 102) 5

b) 225 000 000 3 300 000 5 g) 120 000 000 3 25 000 5

c) 800 000 3 1.5 5 h) 5

d) 5 i) 5

e) 5 j) 5

4.5 3 107

3 3 105

400 000800

225 000 000300 000

150 00025 000

8 3 105

3 3 107

216 MATEMÁTICAS 2

¿Cómo podrá resolverse la raíz de una potencia?

Actividad 1.15

Resuelve las siguientes raíces de potencias. Comprueba tus resultados.

a) 34 5 c) 26 5 e) x 8 5 g) 52 5

b) y 9 5 d) a 12 5 f) 16 5 h) x 10 53 4 5

3

3

En equipos, propongan alguna forma de encontrar la solución de x 6 5

Reflexionemos:

La raíz y la potencia son operaciones inversas; si la potencia de una potencia se efectúa multiplicando los exponentes, ¿qué operación se utilizará para encontrar la raíz de una potencia?

Si contestaron que la operación de la raíz de una potencia es la división, tienen razón; si ésa no fue su respuesta, repasen cuáles son las operaciones inversas.

En equipo, expliquen cómo se resolvieron las siguientes raíces:

a) 81 5 34

5 3

5 32

b) 8 5 23

5 2

5 2

3

42

33

Juan es hijo único y piensa que para su existencia sólo tuvieron que ver su papá y su mamá. No se ha dado cuenta de la cantidad de antepasados que tienen que ver con su vida. Recor-démosle que además de ser hijo de dos personas (mamá y papá), es nieto de cuatro personas (sus abuelos), bisnieto de otras ocho, tataranieto de dieciséis, chozno de treinta y dos, y así sucesivamente. Tomando en cuenta diez generaciones, ¿cuántas personas han tenido que ver con la existencia de Juan?

Actividad Extra

Chozno: Nombre que se da al hijo del tataranieto.

BLOQUE 4 217

ConoCimientos y habilidadesDeterminar los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

ActividAd PreviAEn parejas, reproduzcan el siguiente triángulo. Asegúrense de que la figura sea la misma y de que las medidas coincidan totalmente; encuentren una forma de com-probar que dichos triángulos son congruentes.

C

B

A

Actividad 2.1

Utiliza tu compás para encontrar cuántos segmentos son congruentes al segmento FG y colóca-les una marca en el paréntesis correspondiente.

F G

H

I

J K

L

M

P Q

N

O

T

U

R

S

V W( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )


Tema: formaS geoméTricaS

aparTado 2: figuraS pLanaS ii

criterios de congruencia de triángulos

218 MATEMÁTICAS 2

Actividad 2.2

Con los siguientes tres segmentos construye un triángulo ABC. Recuerda tomar como base el segmento más largo. Compara con tus compañeros cercanos el triángulo que cada quien cons-truyó. ¿Resultaron congruentes los triángulos?

A B

C B

C A

Si los trazos están bien hechos, seguramente observarás que los triángulos son con-gruentes.

Sabemos que como estos triángulos tienen la misma medida en sus lados correspon-dientes, dichos triángulos son congruentes. A partir de la afirmación anterior, completa la siguiente expresión:

Este caso de congruencia de triángulos consideró como referencia la medida de sus tres lados.

Dos triángulos son congruentes si sus correspondientes tienen la misma medida.

BLOQUE 4 219

Actividad 2.3

C

E

F

D

BA

Construye un triángulo congruente a cada uno de los siguientes.

Actividad 2.4

A partir de los datos que se dan, construye los triángulos y compáralos con los que construye-ron tus compañeros más cercanos.

a) Lados: 4 cm y 3 cm b) Dos lados de 6 cm cada uno.

ángulo entre los lados: 90° ángulo entre los lados: 45°

¿Para saber si dos triángulos son congruentes será suficiente con saber si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son congruentes?

a)

b)

220 MATEMÁTICAS 2

Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes dos

Hasta este punto hemos encontrado los siguientes casos de congruencia:

Caso 1: Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes sus tres lados correspon-dientes.

Caso 2: Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

¿Habrá otro caso? ¿Habrá otros tres elementos, diferentes a los tratados, con los que se pueda afirmar que dos triángulos son congruentes?

Probemos, como caso 3 de congruencia de triángulos, si se conocen dos ángulos y el lado comprendido entre ellos.

Actividad 2.5

A partir de los datos que se dan en cada inciso, construye los triángulos y compáralos con los que construyeron tus compañeros más cercanos.

a) Lado AB: 5 cm b) Lado GH: 6 cm

ángulos adyacentes al lado AB: 60° y 45° ángulos adyacentes al lado GH: 45° y 45°

¿Qué elementos utilizaste?

BLOQUE 4 221

Si con esos datos resultaron congruentes, completa la expresión del recuadro; en caso de que no hayan resultado congruentes verifiquen si los trazos cumplen con las medidas dadas.

Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes un y sus ángulos adyacentes.

¿Habrá otro caso, diferente a los tratados, con el que se pueda afirmar que dos triángu-los son congruentes?

Ya encontramos que se cumple al tener tres lados congruentes (LLL); que se cumple al tener dos lados congruentes y el ángulo comprendido entre ellos (LAL) y que también se cumple cuando tenemos congruentes un lado y sus ángulos adyacentes (ALA).

¿Si sólo tenemos como información los tres ángulos, será suficiente para saber si dos triángulos son congruentes?

Actividad 2.6

A partir de los datos que se dan, construye los triángulos y compáralos con los que construye-ron tus compañeros más cercanos para verificar si son congruentes.

a) ángulos: 45°, 45° y 90° b) ángulos: 30°, 60° y 90°

Si el grupo tiene opor-tunidad de trabajar en computadora, desarrollen la lección “Figuras directas o inversamente compuestas”, que está en las páginas 124 y

125 del libro Geometría dinámica. EMAT. México,

SEP, 2000.

ActividadComplementaria

222 MATEMÁTICAS 2

Completa las secuencias, anotando en los cuadros de la derecha la posición en que queda la letra después de realizar los giros de 90°, en sentido contrario a las manecillas del reloj, que se indican en la figura que está a su izquierda.

Actividad 2.7

Construye un triángulo congruente a cada uno de los siguientes; toma como referencia el caso de congruencia que se indica.

a) Congruencia: Lado, Lado, Lado.

A

C

3 cm

B

3 cm

3 cm

b) Congruencia: Lado, Ángulo, Lado.

E

F

45°D

5 cm

3.5 cm

c) Congruencia: Ángulo, Lado, Ángulo

5 cm

30°G H

M M

M

F

Actividad Extra

BLOQUE 4 223

ConoCimientos y habilidadesExplorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

ActividAd PreviAEn parejas, tracen un triángulo en una hoja de cartulina o de cualquier otro tipo de papel suficientemente rígido, recórten-lo y busquen en él un punto tal que al colocarlo en la punta de un lápiz que sostengan de forma vertical, el triángulo se mantenga en equilibrio. Propongan un método que permita encontrar de manera segura ese punto de equilibrio y comén-tenlo con el grupo.

Vamos a identificar algunas líneas de los triángulos.

Actividad 3.1

Mide la altura de los siguientes triángulos.

a) c)

b) d)

Tema: formaS geomeTricaS iii

aparTado 3: recTaS y ÁnguLoS iii

alturas, medianas, mediatrices y bisectrices

en un triángulo

Altura: Altura:

Altura: Altura:

224 MATEMÁTICAS 2

Observa que la altura se mide como un segmento perpendicular a la base, ¿qué otra

característica tiene ese segmento?

Actividad 3.2

Mide la altura de cada uno de los siguientes triángulos.

Altura:Altura:Altura:

A B

C

A

B

C

A

B C

Actividad 3.3

Mide la altura de los siguientes triángulos.

Altura:

Altura:

Altura:

a) b) c)

a) b)

c)

BLOQUE 4 225

Actividad 3.4

Si ya encontramos que la altura de un triángulo es el segmento perpendicular que va de un vértice a un punto situado en el lado opuesto (o en su prolongación), traza las tres alturas de cada uno de los siguientes triángulos.

a) b)

Si tus trazos fueron correctos, los segmentos de las tres alturas se cruzaron en un mismo punto. Llama O a ese punto de coincidencia. Por cierto, a dicho punto se le conoce como ortocentro.

Actividad 3.5

Organizados en parejas, tracen dos triángulos distintos e intercámbienlos con otro equipo. Encuentren el ortocentro de los triángulos que recibieron.

226 MATEMÁTICAS 2

Actividad 3.6

Organizados en equipos, recuerden qué es la mediatriz de un segmento y cómo se traza. Ha-gan los comentarios con el grupo para verificar que están todos de acuerdo y tracen la media-triz a cada uno de los lados del siguiente triángulo ABC.

C

BA

¿Es cierto que también se cortan las tres mediatrices en un mismo punto? .

Escribe la letra C al punto de coincidencia.

Mide con el compás la distancia que hay de cada vértice al punto C. ¿Es la misma dis-tancia? . Traza desde C una circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo ABC.

Al punto donde se cruzan las tres mediatrices de un triángulo se le conoce como cir-cuncentro.

Actividad 3.7

Traza en tu cuaderno un triángulo cuyos lados midan, respectivamente, 7 cm, 6 cm y 5 cm. En-cuentra su circuncentro.

BLOQUE 4 227

Actividad 3.8

Encuentra el circuncentro de cada uno de los siguientes triángulos.

U

S T

Q

D

R

Actividad 3.9

Resuelve el siguiente problema. Compara tu resultado con el de tus compañeros más cercanos.

Mi primo tiene 3 perros en su patio trasero.

A dos de ellos les puso su casa en las esquinas de la pared del fondo, a una distancia de 5 m entre ellas. La casa del otro perro está en el lado opuesto, justo a 4 m de las otras dos.

En el siguiente espacio haz un croquis de ubicación de las casas de los perros y del lugar donde mi primo debe colocar el recipiente de comida, para que les quede a la misma distancia.

a)

b)

228 MATEMÁTICAS 2

Organizados en equipos, recuerden cómo se traza una bisectriz y tracen la correspondiente a cada uno de los siguientes ángulos.

Actividad 3.10

Traza la bisectriz de cada ángulo del triángulo ABC.

C

BA

¿Observaste que también coinciden en un punto las tres bisectrices? Llama I a ese pun-to de coincidencia. Por cierto, dicho punto se conoce como incentro y desde él se puede trazar una circunferencia inscrita que toca los tres lados del triángulo. Compruébalo.

a)

b)

c)

BLOQUE 4 229

Actividad 3.11

Encuentra el incentro de los siguientes triángulos.

J K

L R Q

P

U

S T

V W

X

Hay otras tres líneas en el triángulo que también coinciden en un punto. Estas líneas van del punto medio de cada lado del triángulo hacia el vértice opuesto, a cada una de estas líneas se les conoce como mediana. Localiza el punto donde coinciden las tres medianas en los siguien-tes triángulos.

Llama B a ese punto de coincidencia. A dicho punto se le conoce como baricentro y se dice que tiene la propiedad de ser el punto que permite sostener al triángulo en equilibrio. Compruébalo.

F

ED

a) b) c)

d) e)

a) b)

230 MATEMÁTICAS 2

Actividad Extra

¿Recuerdas la actividad previa realizada al inicio de este apartado? En una hoja de cartulina o de cualquier otro tipo de papel suficientemente rígido, traza un triángulo cuyas medidas sean 9, 12 y 15 centímetros, respectivamente, recórtalo y ubica su baricentro. Verifica que en realidad es el punto de equilibrio de la figura.

Si el grupo puede tra-bajar en computadoras, resuelvan la actividad “Bisectriz, altura, me-

diana y mediatriz de un triángulo cualquiera”, que se encuentra en Geometría dinámica.

EMAT. SEP, 2000, pp. 82 y 83.

ActividadComplementaria

Actividad 3.12

En el siguiente espacio, traza un triángulo isósceles cuyos lados midan 7, 7 y 5 cm; encuentra su incentro y su circuncentro.

Contesta:

a) ¿Qué nombre reciben las líneas con las que se localiza el incentro?

b) ¿Qué nombre reciben las líneas con las que se localiza el circuncentro?

c) ¿En un triángulo equilátero coincidirán el incentro y el circuncentro? Com-pruébalo.

d) ¿Coincidirán en un triángulo equilátero su ortocentro y su baricentro? Argu-menta tu respuesta.

BLOQUE 4 231

ConoCimientos y habilidadesDistinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.

ActividAd PreviAEn equipo, lean el drama que me sucedió el fin de semana. El domingo lancé en varias ocasiones una moneda. En el primer lanzamiento el resultado fue sol, pensé que si la volvía a lanzar ahora saldría águila; la lancé y para mi sorpresa volvió a salir sol. Supuse entonces que en el siguiente lanzamiento ya saldría águila, lancé y… no, no podía ser cierto; ¡volvió a salir sol! De inmediato me imaginé que esa moneda estaba cargada y que entonces en el siguiente lanzamiento saldría sol otra vez. Lancé la moneda y me llevé una gran sorpresa: ahora salió águila. Inquieto por los resultados, primero pensé que ése no era mi día de suerte, pero también me quedé pensando, ¿el resultado del lanzamiento de una moneda de-pende del resultado del lanzamiento anterior? ¿Será que cada evento es indepen-diente? Argumenten su respuesta y expónganla al grupo.

Actividad 4.1

En parejas, registren en la tabla 1 el lanzamiento de una moneda en cinco ocasiones.

Tabla 1.

¿Cuántas veces cayó sol? ¿Cuántas veces cayó águila?

¿Resultaron primero los soles y después las águilas?

A partir de la información anterior, si lanzas la moneda, ¿tienes seguridad de la cara que resultará?

Lanza nuevamente en cinco ocasiones la moneda y registra los resultados en la tabla 2.

Tabla 2.


Tema: análisis de la información

aParTado 4: noción de ProBaBilidad i

Probabilidad de eventos

independientes

Lanzamiento 1 2 3 4 5

Resultado

Lanzamiento 6 7 8 9 10

Resultado

232 MATEMÁTICAS 2

Actividad 4.2

Contesta las siguientes preguntas.

a) La probabilidad de que al lanzar una moneda caiga águila es , ¿qué significa ese número?

b) La probabilidad de que al lanzar un dado resulte el número 4 es , ¿qué significa ese número?

c) Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado resulte un número mayor que 4.

d) Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado resulte un número par.

e) ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener del lanzamiento de una moneda y un dado? Escríbelos:

f) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda y un dado el resultado sea (sol, 2)?

g) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda y un dado el resultado sea (sol, 6)?

h) Calcula la probabilidad de que al lanzar una moneda y un dado el resultado sea (águila, par).

i) Escribe los cuatro posibles resultados del lanzamiento de dos monedas.

j) Calcula la probabilidad de que al lanzar dos monedas el resultado sea (sol, sol).

k) Calcula la probabilidad de que al lanzar tres monedas el resultado sea (águila, águila, águila). Argumenta tu respuesta.

12

16

¿Cuántas veces cayó sol? ¿Cuántas veces cayó águila?

¿Obtuvieron los mismos resultados que en la tabla anterior?

¿El orden en el que se presentaron los resultados de la tabla 1 coincide con el de la tabla 2?

¿Los eventos son dependientes o independientes? Argumenten su respuesta.

En el lanzamiento de una moneda normal, cada evento es independiente, es decir, la probabilidad de que en cada lanzamiento caiga sol es de . Comenten la razón de este resultado.1

2

BLOQUE 4 233

Actividad 4.3

Resuelve las siguientes situaciones problemáticas.

a) Organicé una rifa con 100 números. Jorge me compró los boletos 25, 26 27 y 28; Felipe, los boletos 20, 40, 60 y 80. ¿Quién tiene mayor probabilidad de ganar?

b) En una bolsa de tela tengo seis canicas ver-des y cuatro negras. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar en dos ocasiones una canica y regresarla a la bolsa las dos canicas sean de color verde?

Si el grupo tiene oportunidad de trabajar en computadora, desarrollen las lecciones “Jugando con dados y apuestas” y “Apuestas”, que están en las páginas 136-138 y 144-146, respectivamente, del libro Hoja electrónica de cálculo. EMAT. México, SEP, 2000.


La siguiente tabla muestra las frecuencias de los promedios obtenidos por los alumnos de una escuela secundaria al finalizar el segundo bimestre.

PROMEDIOS Menor que 7 Entre 7 y 8.5 Mayor que 8.5

Primer grado 14 19 12

Segundo grado 9 13 22

Tercer grado 12 10 19

Si se toma al azar un alumno, ¿qué es más probable?:

a) ¿Que sea de primer grado o de tercero?

b) ¿Que sea de segundo grado con promedio mayor que 8.5, o que sea de tercero con promedio menor que 7?

Actividad Extra

234 MATEMÁTICAS 2

ConoCimientos y habilidadesInterpretar y utilizar dos o más gráficas de línea que representan características distintas de

un fenómeno o situación para tener información más completa y, en su caso, tomar decisiones.

ActividAd PreviAPara entender lo que sucede a nuestro alrededor se van tomando lecturas de di-versos acontecimientos. Por ejemplo, la venta de ropa tiene su variación de precios conforme las estaciones del año se van aproximando. Veamos en la siguiente tabla los registros de temperatura que se hicieron en Ciudad Juárez, en 1998, y en equipo den respuesta a las preguntas.

Geografía: Haz un registro de la tempera-tura de tu localidad durante una semana y representa gráfica-mente tus resultados. ¿Qué clima corresponde al espacio geográfico donde vives?

a) ¿En qué mes se registra el promedio de temperatura más baja?

b) ¿En qué mes se registra el promedio de temperatura más alta?

c) ¿En qué mes conviene usar ropa más fresca?

Mes Temperatura promedio, °C

Enero 11.1

Febrero 10.5

Marzo 13.7

Abril 16.2

Mayo 24.2

Junio 28.4

Julio 30.0

Agosto 28.8

Septiembre 28.1

Octubre 20.9

Noviembre 15.3

Diciembre 9.5

Tema: rePresenTación de la información

aParTado 5: Gráficas V

interpretación y utilización de gráficas

BLOQUE 4 235

Actividad 5.2

d) ¿En qué mes hay que usar ropa más abrigadora?

e) ¿Qué promedio de temperatura se espera para el mes entrante?

Seguramente tuvieron que revisar en más de una ocasión la tabla para dar respuesta a cada pregunta. Una forma de simplificar este análisis es por medio de gráficas.

Actividad 5.1

En el siguiente espacio, traza la gráfica que corresponde a la tabla anterior.

En 1998, además de la temperatura, también se obtuvieron los siguientes registros del promedio mensual de precipitación pluvial en Ciudad Juárez, Chihuahua.

Mes Precipitación pluvial (mm)

Enero 2.0

Febrero 7.0

Marzo 6.0

Abril 1.0

Mayo 0.0

Junio 10.0

Mes Precipitación pluvial (mm)

Julio 16.5

Agosto 32.5

Septiembre 22.0

Octubre 59.8

Noviembre 11.0

Diciembre 8.5

E F M A M J J A0

10

20

30

40

Meses del año

Tem

per

atu

ra (°c

)

S O N D

Para saber más acerca de las cifras de temperatura y precipitación pluvial en tu entidad, puedes consultar http://www.inegi.gob.mx

236 MATEMÁTICAS 2

En el siguiente espacio, traza la gráfica que corresponde a la tabla anterior y contesta las preguntas.

a) ¿En qué mes se registra el promedio más bajo de precipitación pluvial?

b) ¿En qué mes se registra el promedio más alto de precipitación pluvial?

c) ¿Es cierto que cuando hace más frío, llueve menos?

d) ¿Es cierto que cuando llueve más, hace más frío?

e) Supón que te gusta la lluvia pero no el frío, ¿en qué mes visitarías esa ciudad?

f) Supón que te gusta el clima templado y un poco de lluvia, ¿en qué mes visitarías esa ciudad?

E F M A M J J A0

20

40

60

80

Meses del año

Prec

ipita

ción

(m

m)

S O N D

Actividad 5.3

Investiga cuál es la temperatura promedio mensual y cuánta lluvia cae en tu localidad. Con los dos tipos de información, elabora en el siguiente espacio las gráficas correspondientes. Traza con color rojo la gráfica de la temperatura y con color negro la gráfica de la precipitación pluvial.

E F M A M J J A0

10

20

30

40

Meses del año

Prec

ipita

ción

(m

m)

S O N D

Tem

per

atu

ra (

ºC)

20

40

60

80

0

BLOQUE 4 237

ConoCimientos y habilidadesInterpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan

situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

ActividAd PreviAEl registro de datos nos permite conocer con más detalle lo que sucede a nuestro alrededor. Aun cuando en ocasiones alcanzamos a percibir cuáles son las condi-ciones en que se dan ciertos acontecimientos, conviene no confiar esa información sólo a la memoria. Por ejemplo: ¿cuánto tiempo ocupas en promedio para dirigirte de tu casa a la escuela?, ¿cuánto tiempo ocupas para llegar desde la escuela a tu casa? Aun cuando la distancia es la misma, ¿ocupas el mismo tiempo en el des-plazamiento de tu casa a la escuela y viceversa?

ciencias ii: ¿Cuál es la utilidad de representar por medio de gráficas lineales de posición- tiempo diversos resultados?

Actividad 6.1

La siguiente gráfica corresponde al llenado de un depósito de agua que se utiliza en una lavandería. Una vez lleno se cierra la llave de alimentación y se vuelve a abrir cuando el depósito queda vacío. Analiza la gráfica y responde las preguntas.

a) ¿En cuánto tiempo se llena?

40 80 1200

200

400

600

800

1000

Tiempo (min)

Litros (l )

160 200 280 320 360 400

Llenado de un depósito de agua.

Tema: rePresenTación de la información

aParTado 6: Gráficas Vi

modelación por medio

de funciones lineales

240 440

238 MATEMÁTICAS 2

b) ¿En cuánto tiempo se vacía?

c) ¿Cuánto tiempo permanece cerrada la llave?

d) ¿Ocupa el mismo tiempo para llenarse que para vaciarse?

e) ¿Cuánto tiempo permanece lleno el depósito?

f) Al abrirse la llave, ¿cuántos litros de agua entran al depósito cada minuto?

g) Al vaciarse, ¿cuántos litros de agua salen por minuto?

Actividad 6.2

El tanque de agua de mi casa tiene una capacidad para 1 000 litros y se llena a razón de 20 litros por minuto. Traza la gráfica que corresponda a la cantidad de agua que va subiendo y contesta las preguntas.

100

200

Tiempo (minutos)

Litros

de

agua

400

600

800

1 000

20 30 40 50

a) ¿En cuánto tiempo se llena el tanque de agua si se encuentra vacío?

b) Si el tanque tiene 100 litros, ¿cuánto tiempo tengo que esperar hasta que se llene?

c) Algunas personas se despreocupan al saber que el tanque de agua está lleno y dejan abierta la llave todo el tiempo mientras se bañan. Si a los 5 minutos salen 107 litros de agua y el tanque ya no recibe más agua, ¿en cuánto tiempo se vaciará el tanque?

BLOQUE 4 239

d) ¿Cuánta agua gasta una persona que tarda 25 minutos en bañarse, si por la llave salen 17 litros de agua cada minuto?

e) Una persona que al bañarse abre la llave, se moja, cierra la llave, se enjabona y abre la llave para enjuagarse consume sólo 37 litros de agua.

¿Cuántos litros ahorra una persona con las características anteriores, a diferencia de una que tarda 25 minutos en bañarse y deja todo el tiempo abierta la llave del agua?

Actividad 6.3

Dos familias viajan de la ciudad A, a la ciudad B que se encuentra a 240 kilómetros de distan-cia. La primera viaja a una velocidad de 80 kilómetros por hora; la segunda sale 30 minutos después que la primera y viaja a una velocidad de 90 kilómetros por hora. Traza, en el siguien-te espacio, la gráfica que representa la distancia que recorre cada familia al viajar a la velo-cidad indicada y contesta las preguntas.

Se sabe que...

En el siglo xix se extendieron las enfermedades contagiosas, propagadas por la falta de aseo y después de un brote de cólera, en Londres, se manifestó la necesidad de contar con instalaciones higiénicas para el aseo

personal.

ciencias ii: ¿Las gráficas de esta actividad corresponden a las gráficas lineales de posición contra tiempo de objetos en movimiento? Argumenta tu respuesta

240 MATEMÁTICAS 2

a) ¿A los cuántos minutos después de que salió la primera familia se encontrarán ambas familias?

b) ¿Llegan ambas familias al mismo tiempo a la Ciudad B?

Actividad 6.4

La siguiente gráfica corresponde al promedio mensual de ventas en una papelería. Analízala y contesta las preguntas.

Si por cada $60 000 de venta promedio mensual se requiere de un empleado, ¿en qué meses deben atender dos empleados?

¿En algún mes deberán atender más de dos empleados?

0

28 000

Pesos

84 000

140 000

Promedio mensual de ventas

Ago. Sept. Oct. Nov. Dic. Ene. Feb. Mzo. Abr. May. Jun. Meses


Una de las cuestiones más importantes en la geometría y en la habilidad matemática de imaginación espacial es poder identificar las diversas formas y líneas que puede contener una figura.

1. Observa las siguientes figuras y realiza los trazos necesarios para dividir cada una en el número de partes, exactamente iguales, de acuerdo con la cantidad señalada en cada caso.

Al terminar, recuerda comparar tus resultados con los de tus compañeros. Hagan comentarios al respecto.

2. con 12 clips o pasadores para el cabello (horquillas) puedes formar polígonos. Por ejemplo, puedes formar un cuadrado.

a) ¿cuántas unidades tendrá por lado el cuadrado?

b) calcula su área.

c) con la misma cantidad de clips o pasadores para el cabello, forma otros dos polígonos. Procura formar uno que tenga la mayor área posible y otro que ocupe la menor área. compara tus polígonos con los de tus compañeros más cercanos.

¿Quién obtuvo los mejores resultados?

3. resuelve. Un bloque de madera, en forma de cubo, pesa 16 kg. Para poder cubrir un hueco, es necesario

dividir a la mitad cada lado del cubo. ¿cuánto pesará cada parte?

241

2 3 4 6

2 3 6 8

exPlOrAción de recUrsOs tecnOlógicOs

Para este bloque seguramente el equipo ya adquirió suficiente experiencia para elaborar una presentación. Agréguenle ahora imágenes con movimiento; si están trabajando en computadora y ésta no tiene imágenes con movimiento, pueden buscarlas en internet, por ejemplo en la página www.gifs.net

consideren para su presentación el eje temático de “Manejo de la información” y utilicen todo lo que hasta ahora han aprendido a desarrollar en sus presentaciones.

si no se les ocurre algo en particular, desarrollen entonces la actividad 4.2, buscando que al hacer preguntas se muestren posibles respuestas. no olviden que resulta atractivo el agregar sonido a las respuestas, según sean bien o mal resueltas.

tengan presente que al colocar la respuesta equivocada, ésta debe ser lógicamente obtenida.

Manejo de lainformación

Presentaciónelaborada por:

Elige:

16

12

242

243BLOQUE 4

¿CUÁnTO APREnDÍ?

Instrucciones: El propósito de esta sección es que al resolver cada cuestión aprendas a reconocer cuánto aprendiste y qué aspectos necesitas reforzar para que seas más competente. Es importante que resuelvas de manera individual y posteriormente en grupo revisen los resultados de cada cuestión. Recuerda que cuanto más te conozcas, mejores logros podrás tener.

1. Cada segundo, el Sol pierde aproximadamente 4.3 3 109 kilogramos de masa solar. ¿Cuánta masa solar pierde en una semana?

2. Encuentra el circuncentro del siguiente triángulo.

3. Encuentra el incentro del triángulo de la derecha.

244 MATEMÁTICAS 2

4. Si en la carretera un automóvil se desplaza a una velocidad de 90 kilómetros por hora y diez minutos después trata de alcanzarlo otro automóvil que se desplaza a una velocidad de 110 kilómetros por hora, ¿en cuánto tiempo lo alcanzará? Traza las gráficas correspondientes en el siguiente espacio.

5. En una bolsa hay 25 canicas del mismo tamaño; 10 son de color blanco, 8 son de color negro y 7 son de color amarillo. Si en cada ocasión se saca una canica, se registra y se regresa a la bolsa, calcula las probabilidades que se piden.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en dos extracciones las canicas sean blancas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en tres extracciones las canicas sean amarillas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que en cuatro extracciones las canicas sean negras?

6. Si lanzo al aire tres monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las tres caigan sol?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que en tres extracciones las canicas sean todas de color diferente?

BLOQUE 5


1. Resuelvan problemas que impliquen el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incóg-nitas.

2. Determinen el tipo de transformación (traslación, rotación o simetría) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada.

3. Identifiquen y ejecuten simetrías axiales y centrales y caractericen sus efectos sobre las figuras.

4. Resuelvan problemas que implican calcular la probabilidad de dos eventos que son mutuamente excluyentes.

1750 1800 1850 19001950 2000

1767 Watt perfecciona la máquina de vapor.

1799 Henry Cavendish es el

primero en medir la fuerza de gravedad entre dos objetos.

1815 Ocurre la batalla de Waterloo.

1859 Charles Darwin publica

El origen de las especies.

1877 Thomas Alva Edison inventa el fonógrafo.

1903 María Skladovska Curie es la primera mujer que gana el premio Nobel en ciencia.

1980 Las compañías Philips y

Sony definen las especificaciones del CD.

1770 Johann Lambert. Demostró que el número Pi era irracional e hizo aportes al desarrollo de

la geometría hiperbólica.

1799 Gauss publica el Teorema

Fundamental del Álgebra. Su trabajo incluye teoría de números, geometría diferencial y geometría

no euclidiana.

1812 Laplace publica en París su Teoría Analítica

de las Probabilidades donde hace un desarrollo riguroso de la teoría de la

probabilidad con aplicaciones a problemas demográficos, jurídicos y explicando

diversos hechos astronómicos.

1882 Se prueba que la cuadratura del círculo es imposible.

1983 El metro es redefinido oficialmente como la

distancia que viaja la luz en de segundo.1

299 792 458

Hechos matemáticos

Contexto histórico

245

246 MATEMÁTICAS 2

¿Será cierto que en el proceso de solución de un sistema de ecuaciones se busca simplificarlo algebraicamente hasta dejar una sola ecuación con una incógnita, la cual ya resulta fácil de resolver?

ConoCimientos y habilidadesRepresentar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.

ActividAd PreviAEn equipo lean, y comenten cómo se puede resolver la siguiente situación: La se-mana pasada me di cuenta de que en la cooperativa escolar dos compañeros de primer grado compraron chocolates y jugo: el primero compró 3 chocolates y 2 jugos, por los que le cobraron $33; el segundo, compró 2 chocolates y 2 jugos, por los que le cobraron $26. ¿Cuánto pagaron por cada chocolate y por cada jugo?

Presenten al grupo la forma en que lo resolvieron.

Actividad 1.1

En parejas, resuelvan las siguientes situaciones. Comparen sus resultados y comenten los pro-cedimientos que emplearon.

a) La suma de dos números es 15 y su diferencia es 3, ¿cuáles son esos números?

b) Axel pagó $20.00 por dos lápices y dos mar-cadores; Israel pagó $27.00 por dos marca-dores y cuatro lápices, de la misma calidad y precio que los de Axel. ¿Cuánto les costó cada marcador?



aParTado 1: ecuacioneS ii

Sistemas de ecuaciones

con coeficientes enteros

BLOQUE 5 247

c) Un terreno de forma rectangular tiene un pe-rímetro de 56 m. Si se duplica su ancho, el perímetro resultaría de 72 m. ¿Cuánto mide de largo el terreno?

d) El domingo fui acompañado al cine. Pagué $171.00 por dos boletos de entrada y un pa-quete de palomitas y refrescos. Ahí encontré a mis tres primos, pagando $294.00 por sus entradas y dos paquetes de palomitas y re-frescos. ¿Cuánto cuesta la entrada al cine?

A un amigo del grupo de tercero le comenté que el sábado acompañé dos veces a mi tía al mercado. La primera vez compramos 2 kg de arroz y 2 kg de pollo, pagando entonces $90; la segunda vez, compramos 2 kg de arroz y 1 kg de pollo, por los que nos cobraron $50. Le dije que no supe cuánto había costado el kilogramo de pollo y me contestó que eso era fácil de resolver.

Mi amigo me mostró dos ecuaciones que representaban lo que le había comentado:

1. 2x 1 2y 5 90

2. 2x 1 y 5 50

con la letra x representó al arroz; con la y, al pollo.

Me dijo que eso era un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que si restaba las dos ecuaciones resultaba que y 5 40, lo que representaba el precio del kilogramo de pollo; ya con eso era fácil ver que al sustituir en la segunda ecuación me quedaba 2x 1 40 5 50, de donde resultaba que 2x 5 10 y, por tanto, x 5 5, lo que correspondía al precio del kilogramo de arroz.

¿Es correcto el procedimiento que siguió el estudiante de tercero? Hagan los comenta-rios al respecto en el grupo.

248 MATEMÁTICAS 2

Actividad 1.2

Encuentra el valor de las incógnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones. Si consideras que sumar o restar las dos ecuaciones te simplifica el trabajo, hazlo. Compara tus resultados con los que obtengan tus compañeros más cercanos.

a) 2x 1 y 5 31 e) x 1 y 5 47

x 1 y 5 25 x 2 y 5 13

b) 3x 1 2y 5 50 f) 4x 1 y 5 29

2x 2 2y 5 15 x 1 y 5 11

c) 4x 2 3y 5 10 g) x 1 y 5 10

2x 1 5y 5 11 x 2 y 5 22

d) x 1 3y 5 3 h) 4x 2 3y 5 22

2x 2 y 5 1 4x 1 3y 5 22

Actividad Extra

Considera el número que está al inicio de la figura como el valor de la variable, sustitúyelo en cada expresión y completa el valor que corresponda en los cuadrados.

x 1 34 2x 2 4 x 2 5

5x 3x 2 1 x 2 6 8

x 2 3

x 1

2x 1

4

2x 2 2

BLOQUE 5 249

Actividad 1.3


a) Al visitar un museo, una familia pagó $70 por dos boletos de adulto y cuatro de niño; otra familia pagó $60 por dos boletos de adulto y tres de niño. ¿Cuánto cuesta cada boleto de adulto?

e) Por 12 envases de plástico de un litro y 5 en-vases de medio litro me cobran $92, pero si me llevo sólo 4 de un litro y 5 de medio litro me cobran $44. ¿Cuánto cuestan los enva-ses de un litro?

b) Calcula las dimensiones de un terreno de for-ma rectangular que tiene un perímetro de 99 m. Se sabe que de largo mide el doble que de ancho.

f) Al salir de vacaciones me llevé una maleta grande y una mediana. Juntas, las maletas pe-san 51 kg. Si la maleta grande pesa 13 kg más que la mediana, ¿cuánto pesa cada una?

c) Por dos pares de calcetines y dos pares de calcetas del uniforme pagué $130. Un compa-ñero pagó $95 por dos pares de calcetines y un par de calcetas. ¿Cuánto cuesta el par de calcetines?

g) Si dos ángulos son suplementarios y el ángulo mayor mide 16° más que el otro, ¿cuánto mide cada ángulo?

d) La suma de dos ángulos consecutivos de un polígono es 136°; su diferencia es de 90°. ¿Cuánto mide cada ángulo?

h) La suma de dos ángulos de un triángulo es 130°; su diferencia es 30°. ¿Qué tipo de trián-gulo es?

250 MATEMÁTICAS 2

ConoCimientos y habilidadesDeterminar las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construir y reconocer

diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

ActividAd PreviAObserva los siguientes pares de figuras. Escriban en el paréntesis una S si una es reflejo de la otra (simétricas), o una T si sólo hubo desplazamiento (traslación) en el plano. Argumenten el porqué de cada respuesta y comparen sus resultados con los de los demás equipos.

A B

D C

A’ B’

D’ C’

D A

C B

A’ D’

B’ C’( )

( )

( )

( )

C A

B

C’ A’

B’

A

C B

C’ B’

A’


Tema: TranSformacioneS

aParTado 2: moVimienToS en el Plano

rotación y traslación de

figuras

E

D

E’

D’

a)

b)

c)

d)

BLOQUE 5 251

Con el propósito de reforzar la identificación de los movimientos de las figuras en el plano veamos por sepa-rado cada uno de éstos.

Traslación

Al trasladar por el plano una figura, ¿cambia su forma?

Observa:

Al trasladar la figura ABC, el lado AB se mantiene paralelo a los lados A’B’ y A’’B’’.¿También se mantienen paralelos los lados A’C’ y A’’C’’ con respecto al lado AC ?

¿Sucede lo mismo a BC con los lados B’C’ y B’’C’’?

¿Qué podrías concluir con respecto a la traslación?

A B

D C

Actividad 2.1

Traslada 5 cm el siguiente cuadrilátero en la dirección que se indica. Compara tus resultados con los que obtuvieron los compañeros más cercanos.

A B

C

C’

B’

C’’

A’’ B’’

A’

252 MATEMÁTICAS 2

Actividad 2.2

Identifica, escribiendo en el paréntesis la letra N, cuál de los siguientes triángulos no cumple con las condiciones de traslación de la figura PQR. ¿Cómo comprobarías tu apreciación?

D( )

R

P Q

E( )

C( )

B( )

A( )

Simetría axial

Recuerda que en la simetría axial la distancia entre cada vértice de la figura original y el eje de simetría (o eje axial) se mantiene también en la imagen correspondiente.

H

I

F

G

H’

I;

F’

G’

Eje de simetría (o eje axial)

BLOQUE 5 253

Actividad 2.3

Traza las figuras simétricas que se indican.

Actividad 2.4

Traza en tu cuaderno una figura y obtén la simétrica en dos ejes. Presenta tu diseño al grupo.

Actividad 2.5

Escribe en el paréntesis la letra S a las figuras que cumplan con la simetría. ¿Cómo comproba-rías tu apreciación?

R

Q

P

S

R’

S’

P’

Q’

( )

H K

J

I

I’

J’

K’H’

( )

254 MATEMÁTICAS 2

Simetría central

Como su nombre lo dice, este tipo de simetría no es con relación a un eje, sino a un punto al que se le considera centro de simetría.

Observa las siguientes figuras a las que se les aplicó simetría central.

D’

Centro de simetría

D

A

BC

B’

A’

C’

( )

O

P

N

M

O’

P’M’

N’

B

A

C

B’

C’

A’

( )

BLOQUE 5 255

Actividad 2.6

En equipo, comenten cómo se pueden trazar este tipo de simetrías y expongan sus observaciones.

U

U’

Centro de simetríaT

S

S’T’

Actividad 2.7

A partir del centro O de simetría que se da, traza la figura simétrica en cada caso.

a)

A B

C

O

256 MATEMÁTICAS 2

c)

E F

G

O1

¿Será cierto que la simetría central es semejante a dos movimientos de simetría axial a partir de ejes perpendiculares?

b)

I

J

H

O

Actividad 2.8

Considera S1 como eje de simetría y traza la figura A’B’C’ simétrica de ABC, traza después la

figura A’’B’’C’’ simétrica de A’B’C’, considerando a S2 como su eje de simetría.

Comprueba que entre las figuras ABC y A’’B’’C’’ hay un centro de simetría. Después, compara tus resultados con los de tus compañeros más cercanos.

B

A

C

S1

S2

BLOQUE 5 257

Actividad 2.9

En equipos, observen la rotación que se aplicó a la siguiente figura. Comenten qué condiciones se cumplen en cada rotación.

Rotación

Si observas las figuras ABC y A’’B’’C’’ del ejercicio anterior, pareciera como si la figura ABC hubiera girado 180º alrededor del centro de simetría.

C

O

A

B

C’

B’

A’

C’’

B’’A’’

C’’’

B’’’

A’’’

Actividad 2.10

De acuerdo con el ángulo, el sentido y el centro de giro que se indican, traza la rotación de las siguientes figuras. Compara tus trazos con los de los compañeros más cercanos.

a) 90°

J K

L

O

258 MATEMÁTICAS 2

b) 60°

OC

B

D

A

Considera la recta LM como eje de simetría y obtén la figura simétrica A’B’C’D’ que corresponda a la figura ABCD; traza después la figura A’’B’’C’’D’’ simétrica de A’B’C’D’ con respecto a la recta PQ. Observa que los ejes de simetría LM y PQ se cortan en el punto O, ¿podrá ser este punto el centro de rotación de ABCD y A’’B’’C’’D’’ ?

Actividad Extra

O

A

B

C

D

P

L

M

Q

Si el grupo tiene opor-tunidad de trabajar en las computadoras, desar-rollen la lección “Uso de la simetría central”, que está en las páginas 88-91 del libro Geometría dinámica. EMAT. México, SEP, 2000.


BLOQUE 5 259

ConoCimientos y habilidadesRepresentar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes

enteros e interpretar la intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

ActividAd PreviAEn parejas, completen la conversión de las siguientes ecuaciones en expresiones de la forma y 5 mx 1 b; grafíquenlas y encuentren las coordenadas del punto de inter-sección de las rectas.

1. x 1 y 5 11 y 5

2. x 2 y 5 23 –y 5 –3 –x y 5 x + 3

x y

2 1

0

1

2

3

4

5

Comprueben si los valores de las coordenadas son las soluciones de las ecuaciones planteadas.

¿Podrá ser ésta una forma de resolver un sistema de ecuaciones? Argumenten su respuesta.

y 5 y 5 x 1 3

x y

2 1

0

1

2

3

4

5x

y


Tema: rePreSenTación de la información

aParTado 3: grÁficaS Vii

representación gráfica

de sistemas deecuaciones

0

260 MATEMÁTICAS 2

Actividad 3.1

Resuelve, por medio de la gráfica, el siguiente sistema de ecuaciones. Compara tus resultados con los del compañero más cercano.

1. 4x 1 y 5 8

2. x 2 y 5 2

y

x

0

Solución: ( , )

BLOQUE 5 261

Actividad 3.2

Utiliza el método de graficación y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

a)

1. x 1 y 5 6

2. 2x 1 y 5 9

Solución: ( , )

b)

1. 4x 2 y 5 14

2. 2x 1 y 5 4

Solución: ( , )

0

0

262 MATEMÁTICAS 2

c)

1. 2x 1 y 5 4

2. 4x 1 y 5 5

Solución: ( , )

d)

1. x 1 y 5 10

2. x 1 y 5 4

Solución: ( , )

0

0

BLOQUE 5 263

e)

1. x 1 y 5 4

2. 2x 1 2y 5 8

Solución: ( , )

Contesta las siguientes preguntas.

a) ¿Los cinco sistemas de ecuaciones de esta actividad tuvieron solución?

b) ¿Qué pasó con el sistema de ecuaciones del inciso d ?

c) ¿Qué pasó con el sistema de ecuaciones del inciso e ?

d) Cuando las rectas del sistema de ecuaciones no coinciden en ningún punto, se dice que dicho sistema es INCOMPATIBLE. ¿En qué inciso sucedió este caso?

e) Cuando las rectas del sistema de ecuaciones tienen todos sus puntos comunes, se dice que el sistema es INDETERMINADO. ¿En cuál inciso sucedió este caso?

f) ¿Qué ventajas o desventajas le ves a este método de solución? Coméntalo con el grupo.

0

264 MATEMÁTICAS 2

Actividad 3.3

Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones y escribe si son compatibles, incompatibles o indeterminados.

a) 2x 1 y 5 22

3x 1 y 5 24

b) 2x 1 2y 5 8

x 1 y 5 2

d) x 2 y 5 5

2x 2 2y 5 10

c) 1 y 5 4

x 1 y 5 3

x2

ciencias ii: ¿Las gráficas de estos sistemas de ecuaciones son semejantes a las gráficas lineales de posición-tiempo? Argumenta tu respuesta.

BLOQUE 5 265

ConoCimientos y habilidadesDistinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes.

Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.

ActividAd PreviA

En este apartado vamos a jugar principalmente con dados y a obtener conclusiones sobre cómo aprovechar mejor los conocimientos matemáticos. Iniciemos con un recordatorio: en equipos de dos o tres personas, vamos a calcular las probabilidades que se piden. Si tienen dudas, apóyense como equipo para que todos recuerden cómo se obtienen los resultados.

Al lanzar un dado:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 3 o el 1?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 2 o el 4?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 5 o el 6?

Tema: anÁliSiS de la información

aParTado 4: noción de ProBaBilidad ii

Probabilidad de eventos

mutuamente excluyentes

Actividad 4.1

a) un número par?

b) en un número par o 3?

c) un número impar?

d) un número impar o 2?

e) un número par o impar?

La condición para poder sumar la probabilidad de dos o más eventos es que éstos sean mutuamente excluyentes, es decir, que el resultado de uno no sea al mismo tiempo resultado del otro. Ejemplo: la probabilidad de que al lanzar un dado salga el 1 o el 6 es P(1) 1 P(6) 5 1

Los tres incisos de la actividad anterior se refieren a eventos mutuamente excluyentes. Analícenlos y justifiquen sus respuestas.

16

16

26

5

Calcula. ¿Cuál es la probabilidad de que salga...

Si hasta este punto no hay más dudas, resuelvan de manera individual las siguientes actividades y comparen sus resultados como equipo. Argumenten sus respuestas y cuiden que ningún elemento del equipo tenga dificultades al responder.

266 MATEMÁTICAS 2

Actividad 4.3

Identifiquen en cuál de los incisos de la actividad anterior la probabilidad es mayor, ¿podrían asegurar que en tres tiradas sale ese resultado?

Lancen el dado y verifiquen su respuesta.

Actividad 4.4

Resuelve la siguiente situación y compara tus respuestas con las de tus compañeros más cercanos.

En un bote hay 5 pinturas de color turquesa, 4 de color gris y 3 blancas. Calcula la probabilidad de que al sacar una pintura al azar sea del color que se indica en los siguientes incisos.

a) Turquesa d) Turquesa o gris

b) Gris o blanca e) Gris

c) Blanca f) Turquesa o blanca

Si el grupo tiene oportunidad de trabajar en las computadoras, desarrollen la lección “El problema del cumpleaños”, que está en las páginas 108-109 del libro Hoja electrónica de cálculo. EMAT. México, SEP, 2000.


Si en el ejercicio anterior sacas una pintura al azar, ¿cuál es el color que tiene mayor probabilidad de salir?, ¿y el de menor probabilidad?

Actividad 4.2

En equipo, calculen las siguientes probabilidades y argumenten sus respuestas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga número par y menor que 5?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga número impar o menor que 5?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga número impar o menor que 4?

Al calcular la probabilidad de que ocurra el evento A o el B (cualquiera de los dos), ¿su resultado es equivalente a la suma de la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad de que ocurra B?

BLOQUE 5 267

en el desarrollo de la habilidad matemática de imaginación espacial has trabajado con figuras planas. en esta sección trabajarás con representaciones de figuras en tres dimensiones.

imagina arreglos formados por cubos.


si lo estuvieras viendo desde la parte superior, ¿cómo lo representarías para que supiéramos cuántos cubos tiene en cada columna?

Y visto de lado, se representaría así:

seguramente se vería así:

visto de frente, este arreglo se representaría así:

1. dibuja las representaciones para los siguientes arreglos: vista superior, de frente y de lado.

2. A continuación se presenta la vista desde la parte superior de algunos arreglos con cubos. dibuja en tu cuaderno los arreglos correspondientes.

3. en tu cuaderno sugiere algunos arreglos vistos desde la parte superior y trázalos. de ser posible, preséntalos al grupo para que éste también los desarrolle.

a) vista superior b) vista superior

1

2 1

3 2 1

3 2 1

2 1

1

1

1 2

1 2 3

4 2 2

3 1

2 1

2 1 3

4

267

268 MATEMÁTICAS 2

exPlorAción de recursos tecnológicos

Finalmente, con esta presentación se cierra la práctica de elaboración de trabajos en computadora para mostrar algunas lecciones o para poner a prueba la forma en que aprendemos.

en esta ocasión el tema a desarrollar es totalmente libre, recuerda lo atractivo que resulta llevarlo a cabo de manera interactiva, preguntando y calificando las respuestas dadas, agregándole colores, entradas de texto más espectaculares, sonidos e imágenes con movimiento.

Al terminar de desarrollar la presentación no olviden mostrarla al grupo para que se hagan propuestas de mejora.

consideren también la posibilidad de hacer una pequeña exposición, con las presentaciones que fueron desarrollando a lo largo del curso. seguramente se sorprenderán ustedes mismos de los avances que alcanzó el grupo.

no olviden otorgar un reconocimiento al equipo cuya presentación resulte más atractiva y con mayor manejo del contenido.

Felicidades por este avance, a descansar y a prepararse para el curso siguiente, con el que cierras el ciclo de estudios de educación básica en México.

268

269BLOQUE 5

Instrucciones: El propósito de esta sección es que al resolver cada planteamiento aprendas a recono-cer cuánto aprendiste y qué aspectos necesitas reforzar para que seas más competente. Es importante que resuelvas de manera individual y, posteriormente, en grupo revisen los resultados de cada cues-tión. Recuerda que cuanto más conozcas, mejores logros podrás tener.

1. Delia y Nancy fueron de compras. Delia trajo 2 blusas y 3 faldas, por las que pagó $540; Nancy sólo compró una blusa y 2 faldas, de la misma calidad y precio que las de Delia, por las que pagó $330. ¿Cuánto costó cada blusa y cada falda?

2. Considera el triángulo ABC. Trasládalo 6 cm hacia arriba; traza su simétrico a la derecha, conside-rando la recta S como eje de simetría, y aplícale a la nueva figura una rotación de 135° en sentido inverso al movimiento de las manecillas de un reloj.

A

BC

O

¿CUÁnTO APREnDÍ?

S

270 MATEMÁTICAS 2

4. Por medio de la graficación, resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.

2x 1 y 5 4

x 2 y 5 5

5. Resuelve la siguiente situación.

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dardo caiga en un espacio de color negro o verde?

3. Observa las siguientes figuras e identifica mediante qué movimientos en el plano (traslación, sime-tría axial, simetría central o rotación) se obtuvo la de la derecha. Puedes considerar como máximo dos movimientos.

a)

b)

Movimiento(s):

Movimiento(s):

AEBLI, Hans. Doce formas básicas de enseñar. Una didáctica basada en la psicología. Narcea, Madrid. 1995.

ASIMOV, Isaac. Nueva guía de la ciencia. Plaza & Janés, Barcelona, 1997.

ÁVILA, A. (Directora), L. M. Aguayo, D. Eudave, J. L. Estrada, A. Hermosillo, J. Mendoza, Ma. E. Saucedo, E. Becerra. La reforma realizada. La resolución de problemas como vía del aprendizaje en nuestras escuelas. Financiado por la Dirección General de Investigación Educativa de la Secretaría de Educación Básica y Normal, SEP, México, 2004.

BROUSSEAU, Guy. Educación y Didáctica de las matemáticas. En: Educación Matemática, Vol. 12, Nº 1, pp. 5-38, Iberoamérica, México, 2000.

CARRAHER, Terezihna, et al. En la vida diez, en la escuela cero. Siglo XXI, México, 1991.

DE LA PEÑA, José Antonio. Algunos problemas de la educación en matemáticas en México. Siglo XXI, México, 2002.

HOFSTADTER, Douglas. Gödel, Escher, Bach: una eterna trenza dorada. CONACYT, México, 1979.

INEE. PISA para docentes: La evaluación como oportunidad de aprendizaje, México, 2005.

PEREDA, Luis. Didáctica de la resolución de problemas. Desclee de Brouwer, Bilbao, 1987.

PIAGET, Jean. et al. Psicología y pedagogía. Crítica, Barcelona, 2005.

SEP, Antología. Matemáticas. Crítica, Barcelona, 2005.

SKINNER, B. F. Sobre el conductismo. Fontanella, Barcelona, 1975.

STACEY, K y Groves, S. Resolver problemas: Estrategias. Narcea, Madrid, 1999.

VYGOTSKY, Levv S. El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Crítica, Barcelona, 2003.

Bibliografía para el docente

FUEnTES DE COnSULTA

ASIMOV, Isaac. El libro de los sucesos. Lasser Press, México, 1982.

GONICK, Larry y Smith, Woollcott. La estadística en cómic. Zendrera Zariquiey, Barcelona, 2002.

MAGNUS, Hans. El diablo de los números. Siruela, Madrid, 1998.

PERERO, Mariano. Historia e historias de matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1994.

SAGAN, Carl. Cosmos. Planeta, Barcelona, 1999.

TAHAN, Malba. El hombre que calculaba. Limusa, México, 1986.

REVISTAS

¿Cómo ves? Revista de divulgación de la ciencia, UNAM, México.

Conversus —donde la ciencia se convierte en cultura—. IPN, México.

Bibliografía para el alumno

271

272 MATEMÁTICAS 2

http://www.agua.org.mx (para tener más cultura acerca del uso óptimo del agua).

http://almez.pntic.mec.es/ (presenta un recorrido descriptivo a lo largo de los siglos y de las diferentes civi-lizaciones que hicieron aportaciones al campo de las Matemáticas).

http://descartes.cnice.mecd.es/ (página interactiva con los contenidos de matemáticas en la enseñanza secundaria, juegos, trucos, etcétera).

http://www.divulgamat.net (se encuentra el Centro virtual de la Divulgación de las Matemáticas. Historia, textos on-line, gacetas, etcétera).

http://fismat.umich.mx/omm/ (página oficial de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas).

http;//olimpiada.mat.uson.mx/ (página de las Olimpiadas Sonorenses de Matemáticas; incluye exámenes, y problemas).

http;//www.inegi.com.mx/ (página oficial del Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática; con-tiene información estadística de las diferentes regiones del país).

http://www.matematicas.net/ (página dedicada al fascinante universo de las Matemáticas. Encontrarás apuntes, ejercicios, exámenes, juegos, enlaces, historia, etcétera).

http://www.mlevitus.com/ (página de juegos, acertijos y recreaciones matemáticas).

http://sepiensa.org.mx/ (página de la Secretaría de Educación Pública, con diversas actividades e informa-ción de Matemáticas).

Sitios de Internet

Almanaque Universal Navarrete. Editorial Navarrete, Perú, 1998.

BALDOR, Aurelio. Álgebra. Séptima reimpresión. Publicaciones Cultural, México, 1990.

BALDOR, Aurelio. Geometría plana y del espacio. Cultural Centroamericana, España, 1979.

CLEMENS, Stanley, et al. Geometría. Addison-Wesley Iberoamericana, EUA, 1989.

COLLINS, William, et al. Álgebra 1. Glencoe/McGraw-Hill, EUA, 1998.

GOODSON y Miertschin. Álgebra con aplicaciones técnicas. Limusa, México, 1991.

JACOBS, Harold R. Geometry. Freeman, EUA, 1974.

MICROSOFT ENCARTA, 2006. Biblioteca de Consulta.

NEWMAN, James R. El mundo de las matemáticas. Colección Sigma, tomo 1. Grijalbo, Barcelona, 1976.

OTEYZA, Lam, Hernández, Carrillo. Álgebra. 2a. ed., Pearson Educación, México, 2003.

REAL ACADEMIA ESPAÑOLA. Diccionario de la lengua española. 22a. edición, España, 2001.

SEP. Geometría dinámica. EMAT, Educación secundaria, México, 2000.

SEP. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo. EMAT. Educación secundaria, México, 2000.

SEP. Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México, 2000.

SEP. Plan de estudios. Educación Básica. Secundaria, SEP, México, 2006.

SEP. Programa de estudio. Matemáticas. Educación Básica. Secundaria, SEP, México, 2006.

SWOKOWSKI, Earl, Jeffer; A. Cole, Aguilar S. Gerardo. Algebra y trigonometría con geometría analítica. Uni-versidad de Missouri Press, EUA, 2006.

Bibliografía consultada

Matematicas2°(Pearson)Induccion a las competencias

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