Ma t em t ica sp a r a Ma es t r osProyecto Edumat-MaestrosDirector: Juan D. Godinohttp://www.ugr.es/local/jgodino/fprofesores.htm/ Proyecto Edumat-MaestrosDirector: Juan D. Godinohttp://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ MATEMTICAS PARA MAESTROS Direccin: Juan D. Godino Matemticaspara maestros MATEMTICAS PARA MAESTROS Los autores Departamento de Didctica de la Matemtica Facultad de Ciencias de la Educacin Universidad de Granada 18071 Granada ISBN: 84-933517-2-5 Depsito Legal: GR-1163-2004 Impresin: GAMI, S. L. Fotocopias Avda. de la Constitucin, 24. Granada Distribucin en Internet: http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ Publicacin realizada en el marco del Proyecto de Investigacin y Desarrollo del Ministerio de Ciencia y Tecnologa, y Fondos FEDER, BSO2002-02452. 2ndice general ndice general Contenido:Autores: I. SISTEMAS NUMRICOS ndice ...................................................... 1.Nmeros naturales. Sistemas de numeracin ............................................. 2.Adicin y sustraccin............................ 3.Multiplicacin y divisin ........................4.Fracciones y nmeros racionales...........5.Nmeros y expresiones decimales ..........6.Nmeros positivos y negativos ............... Pgina 5 11 45 69 101 123 143 Eva Cid Juan D. Godino Carmen Batanero II. PROPORCIONALIDAD ......................163 Juan D. Godino Carmen Batanero III. GEOMETRA ndice..................................................... 1.Figuras geomtricas ............................... 2.Transformaciones geomtricas. Simetra y semejanza ............................................ 3.Orientacin espacial. Sistemas de referencia ................................................ 181 187 231 257 Juan D. Godino Francisco Ruiz IV. MAGNITUDES ndice ...................................................... 1.Magnitudes y medida ..............................2.Magnitudes geomtricas ......................... 287 291 315 Juan D. Godino Carmen Batanero Rafael Roa V. ESTOCSTICA ndice ...................................................... 1.Estadstica ...............................................2.Probabilidad........................................... 333 337 359 Carmen Batanero Juan D. Godino VI. RAZONAMIENTO ALGEBRAICO 379 Juan D. Godino Vicen Font 3Matemticaspara maestros 4 Proyecto Edumat-MaestrosDirector: Juan D. Godinohttp://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ I. SISTEMAS NUMRICOS PARA MAESTROS Eva Cid Juan D. GodinoCarmen Batanero Sistemas numricos 6 ndice ndice CAPTULO 1: NMEROS NATURALES. SISTEMAS DE NUMERACIN Pgina A: Contextualizacin profesional Anlisis de problemas escolares sobre numeracin en primaria ................ B: Conocimientos matemticos1.Tcnicas de recuento1.1. Situacin introductoria: Instrumentos para contar ............................... 1.2. Necesidades sociales que resuelven las tcnicas de contar ................. 1.3. Tcnica de recuento para obtener cardinales ...................................... 1.4. Tcnicas de recuento para obtener ordinales ...................................... 1.5. Orden de ordinales y cardinales .......................................................... 1.6. Principios que subyacen en las tcnicas de contar .............................. 1.7. Otras tcnicas de recuento: ejemplos histricos .................................. 1.8. El paso del recuento sin palabras al recuento con palabras ................. 1.9. Tcnicas abreviadas de contar ............................................................. 2. Los nmeros naturales. Diferentes usos y formalizaciones 2.1. La nocin de nmero natural y sus usos .............................................. 2.2. Formalizaciones matemticas de los nmeros naturales ..................... 3. Tipos de sistemas de numeracin y aspectos histricos 3.1. situaciones introductorias .................................................................... 3.2.Necesidaddeaumentareltamaodelascoleccionesdeobjetos numricos ................................................................................................... 3.3. Algunos ejemplos de sistemas de numeracin escritos ...................... 3.4. Tipos de sistemas de numeracin....................................................... 3.5. Cambios de base en los sistemas de numeracin ................................ 3.6. Caractersticas de nuestros actuales sistemas de numeracin escrito y oral ............................................................................................................. 3.7. Sistemas de numeracin orales: ejemplos.......................................... 3.8. Sistemas de numeracin basados en colecciones de objetos: ejemplos 3.9.Sistemasdenumeracinbasadosenpartesdelcuerpohumano:el origen de algunas bases .............................................................................. 3.10. Otros ejemplos histricos de sistemas de numeracin escritos ......... 4. Taller de matemticas .................................................................................... Bibliografa ....... ............................................................................................... 13 17 18 18 20 20 21 21 22 23 24 25 27 29 29 32 33 34 36 37 39 40 42 43 CAPTULO 2:ADICIN Y SUSTRACCIN A: Contextualizacin profesional Anlisis de problemas escolares sobre adicin y substraccin en primaria ...... B: Conocimientos matemticos 47 7Sistemas numricos 1. Estructura lgica de las situaciones aditivas de una etapa 1.1. Situacin introductoria ........................................................................ 1.2. Situaciones que dan sentido a las operaciones de suma y resta de nmeros naturales ...................................................................................... 2. Formalizacin de la operacin de adicin y sustraccin de nmeros naturales2.1. La adicin de nmeros naturales ........................................................ 2.2. La sustraccin de los nmeros naturales ............................................ 3. Tcnicas de clculo de sumas y restas 3.1. Estrategias de obtencin de sumas y restas bsicas ............................ 3.2. Tcnicas orales (o mentales) de suma y resta.................................... 3.3. Tcnicas escritas de suma y resta ........................................................ 3.4. Justificacin de las tcnicas escritas de suma y resta .......................... 3.5. Otras tcnicas escritas de suma y resta: ejemplos ............................... 3.6. Uso de la calculadora en la solucin de problemas aditivos ............... 4. Taller de matemticas ................................................................................... Bibliografa ....................................................................................................... 49 49 53 54 57 57 59 60 61 62 64 66 CAPTULO 3:MULTIPLICACIN Y DIVISIN A: Contextualizacin profesional Anlisis de problemas escolares sobre multiplicacin y divisin en primaria .... B: Conocimientos matemticos 1. Estructura de los problemas multiplicativos de una operacin1.1. Situacin introductoria .......................................................................... 1.2. Clasificacin de los problemas multiplicativos .................................... 1.3. Construccin de las operaciones de multiplicacin y divisin entera de nmeros naturales ................................................................................. 2. Formalizacin de la multiplicacin y divisin de nmeros naturales .............. 3.Tcnicas de clculo de la multiplicacin y divisin entera 3.1. Estrategias de obtencin multiplicaciones y divisiones enteras bsicas3.2. Tcnicas orales y de clculo mental de multiplicacin y divisin entera ............................................................................................................ 3.3. Tcnica escrita de multiplicacin .......................................................... 3.4. Tcnica escrita de divisin entera .......................................................... 3.5. Tcnica auxiliar de estimacin .............................................................. 3.6. Otras tcnicas escritas de multiplicacin y divisin entera ................... 3.7. Diferencias entre las tcnicas orales y escritas ...................................... 3.8. Operaciones con calculadora ................................................................. 3.9. Potencias, races y logaritmos .............................................................. 4. Modelizacin aritmtica de situaciones fsicas o sociales ............................... 5. La estimacin en el clculo aritmtico ............................................................. 6. Divisibilidad en el conjunto de los nmeros naturales 6.1. Definicin de divisor y mltiplo. Notaciones y propiedades ................ 6.2. Criterios de divisibilidad ....................................................................... 6.3. Nmeros primos y compuestos ............................................................. 6.4. Tcnicas para descomponer un nmero compuesto en factores primos 71 73 73 75 76 78 79 80 81 83 84 86 86 87 88 89 91 92 94 94 8 ndice 6.5 Tcnica para obtener la sucesin de nmeros primos menores que uno dado .............................................................................................................. 6.6. Tcnica para comprobar si un nmero es primo ................................... 6.7. Tcnica para obtener los divisores y mltiplos de un nmero .............. 6.8. Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo de varios nmeros7. Taller de matemticas ...................................................................................... Bibliografa .......................................................................................................... 95 95 96 96 98 100 CAPTULO 4: FRACCIONES Y NMEROS RACIONALES POSITIVOS A: Contextualizacin profesional Anlisis de problemas escolares sobre fracciones y nmeros racionales en primaria .............................................................................................................. B: Conocimientos matemticos 1. Fracciones y razones1.1. Situaciones de uso de fracciones y razones ......................................... 1.2. Distincin entre fracciones y razones .................................................. 2. Equivalencia de fracciones.Nmeros racionales ......................................... 3. Primeras propiedades del nmero racional positivo ...................................... 4. Operaciones con fracciones y nmeros racionales4.1. Suma y diferencia de fracciones y nmeros racionales ....................... 4.2. Producto y cociente de fracciones y nmeros racionales .................... 4.3. Orden defracciones y racionales....................................................... 5. Tcnicas para resolver problemas de fracciones........................................... 6. Taller de matemticas ..................................................................................... Bibliografa ......................................................................................................... 103 105 108 108 111 113 115 116 117 120 122 CAPTULO 5: NMEROS Y EXPRESIONES DECIMALES A: Contextualizacin profesional Anlisis de problemas sobre decimales en primaria .......................................... B: Conocimientos matemticos 1.Fracciones decimales. Nmeros decimales ................................................... 2. Los nmeros decimales como subconjunto de Q. Expresiones decimales 2.1. Distincin entre expresin decimal y nmero decimal ........................ 2.2. Caracterizacin de los nmeros decimales .......................................... 3. Tcnica de obtencin de expresiones decimales 3.1. Caso de los nmeros racionales decimales ........................................... 3.2. Expresin decimal de nmeros racionales no decimales. Expresiones decimales peridicas ............................................................................ 3.3. Expresiones decimales peridicas puras y mixtas. Fraccin generatriz de los racionales representados por estas expresiones ......................... 4.La introduccin de los decimales a partir de la medida .............................. 5. Operaciones con nmeros decimales 125 127 128 129 130 131 132 134 9Sistemas numricos 10 5.1. Adicin y sustraccin ........................................................................... 5.2. Multiplicacin ..................................................................................... 5.3. Divisin ................................................................................................ 6. La aproximacin decimal de racionales. Nmeros reales .............................. 7. Notacin cientfica. Representacin decimal en las calculadoras ................. 8. Taller matemtico ........................................................................................ Bibliografa ........................................................................................................ 136 136 137 137 139 140 141 CAPTULO 6: NMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS A: Contextualizacin profesional Anlisis de problemas escolares sobre nmeros positivos y negativos enprimaria ........................................................................................................ B: Conocimientos matemticos 1. Introduccin .................................................................................................. 2. Otra manera de resolver los problemas aritmticos: el mtodo algebraico 2.1.Caractersticasdelmtodoalgebraicoderesolucindeproblemas aritmticos .................................................................................................. 2.2. Las reglas de prioridad en las operaciones combinadas ..................... 3. Situaciones que motivan el uso de los nmeros con signo ............................ 4. Las reglas de clculo de los nmeros con signo 4.1. Las equivalencias entre sumandos y sustraendos, diferencias y nmeros ...................................................................................................... 4.2. Adicin y sustraccin de nmeros con signo ...................................... 4.3. Valencias y usos de los signos + y ................................................... 4.4. Ordenacin de nmeros con signo ...................................................... 4.5. Multiplicacin y divisin de nmeros con signo ................................ 5. La condicin de nmeros de los nmeros con signo 5.1. Son nmeros los nmeros con signo? ................................................ 5.2. Definicin axiomtica de Q .................................................................6. Taller matemtico .......................................................................................... Bibliografa ........................................................................................................ 145 148 148 150 151 152 153 154 155 155 156 158 159 161 Proyecto Edumat-MaestrosDirector: Juan D. Godinohttp://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ I. SISTEMAS NUMRICOS PARA MAESTROS Captulo 1: NMEROS NATURALES.SISTEMAS DE NUMERACIN 11 E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 12Nmeros naturales. Sistemas de numeracin A: Contextualizacin Profesional ANLISIS DE PROBLEMAS SOBRE NUMERACIN EN PRIMARIA Consigna: Acontinuacinincluimosalgunosenunciadosdeproblemasyejerciciosquehansido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos: a)Resuelve los problemas propuestos. b)Indicalosconceptosyprocedimientosmatemticosqueseponenenjuegoenla solucin. c)Identifica diferencias y semejanzas entre los distintos problemas. d)Paracadaproblemaenunciaotrosdosdelmismotipo,cambiandolasvariablesdela tarea, de manera que uno te parezca ms fcil de resolver y otro ms difcil.e)Piensasquelosenunciadossonsuficientementeprecisosycomprensiblesparalos alumnos de primaria? Propn un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos. f)Consigueunacoleccindelibrosdetextodeprimaria.Buscaenellostiposde problemas no incluidos en esta relacin. Explica en qu se diferencian. Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria: 1. Qu nmeros faltan en cada serie? Escrbelos: 5 4 3 26 4 22 4 54 2 1 2. Marca estos nmeros en la recta numrica: 6, 12, 5, 3, 9, 7, 2 0 123 456 78 9101112 3. Continua la serie: 4.Completa con el signo adecuado: Mayor que >menor que 1 como base del sistema de numeracin, se utilizan b smbolos, llamadoscifrasoguarismos(0,1,2,...,b-1)querepresentanelceroylosprimeros nmeros naturales. 2.Cada b unidades simples (o de 1er orden) forman una unidad de 2 orden, y se escribe a la izquierda de las unidades de 1er orden.(Principio del valor relativo de las cifras) 3.Se contina el proceso como en 2) 4.Cuandonohayunidadesdeunorden(carencia de unidades) se expresa mediante un 0 en la posicin correspondiente. 5.La base b se representa por 10(b (es la unidad de 2 orden); la unidad de tercer orden, b2 se expresar como 100(b . Teoremafundamental:Existenciayunicidaddelaexpresindeunnmeronenbase cualquiera b Dado un nmero natural b (que se llama base del sistema de numeracin), todo nmero natural nN se puede expresar de manera nica mediante el siguiente polinomio: n= ckbk + rkbk-1 + rk-1bk-2 + .... + r3b2 + r2b + r1 donde r1, r2, ..., rk, ck, son nmeros naturales menores que b. 3.5. Cambios de base en los sistemas de numeracin Para comprender las reglas de los sistemas de numeracin posicionales ordenados, entre losqueseencuentraelsistemadecimaldenumeracinhabitualmenteusado,esconveniente realizar y analizar las tareas de paso del sistema de numeracin base 10 a otras bases distintas, tanto menores que 10, como mayores, y viceversa. Paso de la escritura en base 10 de un nmero n a la base b 33E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero En primer lugar habr que determinar la cifra de las unidades (o de primer orden), para lo cualhabrquedividirnentreb;elrestoserlacifradelaunidadesdelanuevaexpresin. Parahallarlacifraacolocarenlaposicindesegundoordensedivideelprimercociente obtenido por b y se toma el resto; y as sucesivamente. Ejemplo:Elnmero235(10,expresadoenbase5ser 1420(5235 5 35 47 502 95 4 1 Paso de la escritura de un nmero n en base b a base 10 Basta expresar la escritura de n en forma polinmica (en forma de potencias de la base b) y realizar las operaciones indicadas en base 10; el resultado ser la escritura en de n en base 10. Ejemplo: El nmero 2034(5 ser el 269(10 ya que, 2034(5 = 2.53 + 0.52 +3.5 + 4 = 269 (haciendo las operaciones en base 10) Elpasodelaescrituradeunnmerodebaseb1abaseb2sepuederealizarpasandoel nmero dado en base b1 a base 10 y despus dicho nmero en base 10 a base b2 por el mtodo explicado anteriormente. Ejercicios 5.Efectaloscambiosdebasesiguientes:3415(debase10abase3);999(debase10abase7); 25842 (de base 10 a base 12); 1001110 (de base 2 a base 10); ABC6 (de base 13 a base 10); 33421 (de base 5 a base 3); 34250 (de base 6 a base 4) y 102102 (debase 3 a base 7). 6.Escribe las cifras del nmero siguiente en base 3: 1 + 3 +32 + 34 + 36 Expresa el nmero anterior en base 9 7. Escribe en base 5 las cifras del siguiente nmero 5 x (5 x (5 x (5 + 4) + 3 ) + 2) + 1; x significa el signo de multiplicar. 8.En base 16 (hexadecimal) los dgitos usados son 0 hasta 9 y las letras A, B, C, D, E, F para los nmeros del diez hasta el quince.a) Convierte B6(16 a base 10; b) Convierte B6(16 a base 2; c) Explica cmo se puede pasar B6(16a base 2 directamente, esto es, sin pasarlo primero a base 10. 3.6. Caractersticas de nuestros actuales sistemas de numeracin escrito y oral a) Sistema de numeracin escrito Comoyahemosdichoantesesunsistemaposicionalregulardebase10.Lossmbolos que se definen son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. 34Nmeros naturales. Sistemas de numeracin b) Sistema de numeracin oral Esunsistemamultiplicativoydebase10peroconirregularidades.Esunsistema multiplicativoporquedefinesmbolosnosloparalosnmerosanterioresalabasesino tambinparalabaseysuspotencias.Elnmero3400nololeemoscomo"trescuatrocero cero"sinocomo"tresmilcuatrocientos",esdecir,hacemosreferenciaalaspotenciasdela base "mil" y "cien" o "ciento". Las irregularidades dependen del idioma y en castellano son las siguientes: Once,doce,trece,catorceyquince.Enunsistemaregularsedira:dieciuno,diecidos, diecitrs, diecicuatro y diecicinco.Veinte,treinta,cuarenta,cincuenta,sesenta,setenta,ochenta,noventa.Enunsistema regular se dira: dos dieces (o dos decenas), tres dieses, cuatro dieses, etc.Quinientos en lugar de cinco cientosAlgunasdelaspotenciasdedieznotienenunsmboloespecfico,sinounsmbolo compuesto por los correspondientes a otras potencias. As, por ejemplo, la potencia 104 no tieneunsmbolopropiocomolecorresponderaenunsistemaregular,sinounsmbolo compuesto:diezmil.Lomismosucedeconotraspotenciasdelabase(105sedicecien mil,107sedicediezmillones,108sedicecienmillones,etc.),loquehacequelas potencias mil (103) y milln (106) se conviertan en bases auxiliares.La palabra 'billn' tiene un significado ambiguo. En Espaa y otros pases de origen latino quieredecir'unmillndemillones'(1012),mientrasqueenlospasesdetradicin anglosajona la palabra equivalente significa 'mil millones' (109). c) Sistema de numeracin oral ordinal Seusaparanombraralosordinales,auncuandotambinpuedeusarseparaelloel sistema oral habitual. Es un sistema de numeracin de base 10 en el que se definen smbolos paralaunidadylosdemsnmerosanterioresalabase,paralabaseysuspotencias,y tambin para los nueve primeros mltiplos de la base y del cuadrado de la base. Un nmero viene dado por la suma de los valores de los signos que lo representan; es por tanto un sistema detipoaditivo,peroconunasobreabundanciadetrminos.Enmuchasdelaspalabrasque nombranalosdiferentesmltiplosdelabaseodelabasealcuadradosehacepatenteun criteriodetipomultiplicativo.Porejemplo,eltrmino'octingentsimo'serelacionaconlos trminos 'ocho' y 'centsimo'.Lossmbolosdeestesistemadenumeracinsonlossiguientes:primero,segundo, tercero,cuarto,quinto,sexto,sptimo,octavo,noveno,dcimo,undcimo(odcimo primero), duodcimo (o dcimo segundo), vigsimo (20), trigsimo (30), cuadragsimo (40), quincuagsimo (50), sexagsimo (60), septuagsimo (70), octogsimo (80), nonagsimo (90), centsimo(100),ducentsimo(200),tricentsimo(300),cuadringentsimo(400), quingentsimo(500),sexcentsimo(600),septingentsimo(700),octingentsimo(800), noningentsimo(900),milsimo(1000), millonsimo (1.000.000). Segn esto el ordinal 783 sediraseptingentsimooctogsimotercero.Hoyenda,bastantesdeestostrminoshan cado en desuso. Ejercicios 9.Utiliza nuestro sistema de numeracin oral para expresar el nmero: 754.120.004.002000.000.000 35E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 10.Utilizanuestrosistemaposicionaldenumeracinescritapararepresentarelnmerosiete trillones, setenta mil siete billones, siete millones, setenta y siete. 2. 11.Expresamediantenuestrosistemaoralordinallosnmeros11,14,27,53,99,135,366,584y 1336. 12. Cuntos nmeros capicas haycomprendidos entre 1 y 1000? A continuacin vamos a describir otros sistemas de numeracin, lo que nos permitir ver cmo diferentes culturas han resuelto el problema de representar los nmeros. 3.7. Sistemas de numeracin orales: ejemplos En la lengua Api de las Nuevas Hebridas representan los 24 primeros nmeros partiendo de 5 palabras: tai, lua, tolu, vari, luna (que significa literalmente "la mano") que equivalen a nuestraspalabras:uno,dos,tres,cuatroycinco.Apartirdeahlosnmerossiguienteslos nombran combinando esas palabras: para 6 se dice: otai (literalmente 'el nuevo uno')para 7 se dice: olua (literalmente 'el nuevo dos')para 8 se dice: otolu (literalmente 'el nuevo tres')para 9 se dice: ovari (literalmente 'el nuevo cuatro')para 10 se dice: lualuna (literalmente 'las dos manos')para11sedice:lualunaitai(literalmente'dosmanosyuno')para15sedice:toluluna (literalmente 'tres manos')para16sedice:tolulunaitai(literalmente'tresmanosyuno')para20sedice:variluna (literalmente 'cuatro manos')para 24 se dice: variluna i vari (literalmente 'cuatro manos y cuatro') Se trata de un sistema de base cinco, pues los nmeros se expresan indicando los grupos de cinco que los componen y el resto que queda. En euskera las palabras que se utilizan para nombrar los diez primeros nmeros son las siguientes:bat(uno),bi(dos),hiru(tres),lau(cuatro),bost(cinco),sei(seis),zazpi(siete), zortzi(ocho),bederatzi(nueve),hamar(diez).Apartirdeah,construyenlaspalabras numricas como sigue:once se dice: hamaikadoce se dice: hamabi (literalmente 'diez y dos')trece se dice: hamahiru (literalmente 'diez y tres') catorce se dice: hamalau (literalmente 'diez y cuatro')quince se dice: hamabost (literalmente 'diez y cinco') diecisis se dice: hamaseidiecisiete se dice: hamazazpidieciochosedice:hemezortzi(nosiguelaregla,peroactualmenteseadmitetambin 'hamazortzi ')diecinueve se dice: hemeretzi ( no sigue la regla )veinte se dice: hogeitreinta se dice: hogeitamar (literalmente 'veinte y diez')cuarenta se dice: berrogei (no sigue la regla )cincuenta se dice: berrogeitamar (literalmente 'cuarenta y diez')sesenta se dice: hirurogei (literalmente 'tres veintes')setenta se dice: hirurogeitamar (literalmente 'tres veintes y diez')36Nmeros naturales. Sistemas de numeracin ochenta se dice: larogei (literalmente 'cuatro veintes")noventa se dice: larogeitamar (literalmente 'cuatro veintes y diez')cien se dice: ehun. Se trata de un sistema de base 20 con una base auxiliar 10. En el sistema de numeracin oralfrancstambinseconservanvestigiosdeunabase20.Sedice,porejemplo:'quatre-vingts'(cuatroveintes)paraindicar'ochenta'y'quatre-vingts-dix'(cuatroveintesdiez)para indicar 'noventa' . 3.8. Sistemas de numeracin basados en colecciones de objetos: ejemplos a)Muescas:Lautilizacindemuescasparallevarunacuentaestdocumentadadesdela Prehistoria. Entreloshuesosprehistricosconmuescasexistenalgunos(comoelreflejadoenel dibujo siguiente) en los que las muescas han sido representadas en grupos de cinco. Es uno de los primeros ejemplos de agrupacin para facilitar la lectura del nmero. b) Objetos ensartados en hilos: collares Enalgunasregionesdefricaoccidentallospastorescontabansusrebaoshaciendo desfilaralosanimalesunodetrsdeotro.Cuandopasabaelprimeroensartabanunaconcha enunatirablanca,otracuandopasabaelsegundoyassucesivamente.Alllegaraldcimo animaldeshacanelcollaryensartabanunaconchaenunatiraazulqueasociabanalas decenas.Despusensartabandenuevoconchasenlatirablancahastallegaralvigsimo animalyentoncesensartabanunasegundaconchaenlatiraazul.Cuandohabayadiez conchas en la tira azul deshacan el collar de las decenas y ensartaban una concha en una tira roja reservada para las centenas. Y as sucesivamente hasta que se acababa el recuento de los animales.Alllegaralosdoscientoscincuentayochoanimales,porejemplo,habrados conchasenlatiraroja,cincoenlaazulyochoenlablanca.Labasedeestesistemaesla decena.

c) Objetos ensartados en varillas: bacos Elejemploqueproponemoseseldeunbacoqueseha utilizado para contar y calcular incluso despus de la segunda guerra mundial (baco japons). Lavarillasituadaaladerechaindicacentsimas,lasegunda varilladcimas,laterceraunidades,lacuartadecenas,laquinta 37E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero centenas,etc.Enlavarilladelasunidadescadaunadelascuatrobolasdelapartede abajo indica una unidad, pero la bola situada en la parte de arriba indica cinco unidades. De esamaneraelnmerosieteserepresentarmoviendolabolasuperiorydosbolasinferiores hacia el eje central. En la varilla de las decenas la bola superior indica cincuenta y cada una de las bolas inferiores diez y as sucesivamente. Se trata pues de un sistema de base diez con una base auxiliar cinco. Ejercicios 13. Expresa los nmeros 457 y 17089 mediante: - un baco japons - el sistema de numeracin romano - sistema de numeracin egipcio - sistema de numeracin chino 14. Supongamos que cuentas usando manos y dedos. Cmo representaras el nmero 12? d) Nudos Losincasrepresentabannmerosycontabanhaciendonudosenunacuerda.Segnla posicinenqueestabansituadoslosnudosindicabanunidades,decenas,centenas,millares, etc. A estas cuerdas se les llamaba quipus. El dibujo de la derecha representa una contabilidad de ganado bovino (cuerdas blancas y ganadoovino(cuerdasverdes).Lascuerdasblancasdederechaaizquierdarepresentanel nmerodetoros,vacaslecherasyvacasestriles.Lascuerdasverdesindicannmerode borregos,corderos,cabras,etc.Lascuerdasqueenlazanalasotrasindicanlassumasdelas cantidades representadas en las cuerdas enlazadas. e) Objetos sueltos: valor definido por la posicin Existensistemasdenumeracinbasadosenguijarrosofichasenlosqueelvalor numricodelosobjetosvienedadoporlaposicinqueocupanenuntablerodistribuidoen casillas.As,segnqueelguijarroofichaestsituadoenunauotracasillasignificaruna unidad,unadecena,unacentena,etc.EstastablasdefichasseutilizaronenEuropapara efectuar clculos hasta el siglo XVIII. f) Objetos sueltos: valor definido por alguna caracterstica del objeto 38Nmeros naturales. Sistemas de numeracin Lossumeriosutilizabanpequeosobjetosdearcillaparacontaryrepresentarlos nmeros. El valor numrico de cada objeto vena dado por su forma de la siguiente manera: 1 = cono pequeo; 10 = bola pequea; 60 = cono grande; 600 = cono grande perforado; 3600 = bola grande; 36000 bola grande perforada. Se trataba de un sistema de numeracin de base 60 (3600 = 602) con una base auxiliar 10 (600 = 10 x 60, 36000 = 10 x 602). Paragarantizarelpagodeunadeuda,porejemplo,elconjuntodeobjetosque representaba el valor numrico de la deuda se encerraba en una esfera hueca sobre la que se imprimanlossellosdelacreedor,eldeudoryelnotario.Esteltimoguardabalaesferay, posteriormente,enelmomentodesaldarladeuda,laabraylaspartesimplicadasse aseguraban de que el pago estaba conforme. 3.9. Sistemas de numeracin basados en partes del cuerpo humano: el origen de algunas bases Se cree que la mayor parte de los sistemas de numeracin tienen su origen en otros ms primitivosbasadosenlautilizacindedistintaspartesdelcuerpohumanocomoobjetos numricos. Las bases ms utilizadas: 5, 10, 12, 20, 60 pueden explicarse como un intento de aumentar la capacidad contable de los dedos. a) Base cincoSi utilizamos los dedos de la mano derecha para contar unidades hasta cinco y por cada cincounidadeslevantamosundedodelamanoizquierdaestaremosenunsistemade numeracin de base cinco. Cada cinco unidades dan lugar a una unidad de orden superior, los dedosdelamanoizquierda,ytodalamanoizquierdarepresentarunaunidaddesegundo orden compuesta de 25 unidades. b) Base diezAparecealutilizarlosdedosdelasdosmanosparacontarunidades.Unhombre representara una unidad de orden superior, la decena. c) Base veinteAparece al utilizar los dedos de las dos manos y de los dos pies para contar unidades. Un hombre representara la unidad de orden superior que en este caso sera una veintena. d) Base doceSe explica si se utiliza el dedo pulgar de la mano derecha para contar las falanges de los otros dedos de la misma mano. Tenemos as doce falanges en la mano derecha. Si adems por cadadoceunidadessealamosunafalangedelamanoizquierdatendremosunaunidadde primer orden, la docena, y las dos manos representaran una unidad de segundo orden (144 = 122). e) Base sesentaAparececomounacombinacindecincoydocesicontamosfalangesconlamano derecha y por cada docena levantamos un dedo de la mano izquierda. Las dos manosrepresentan entonces una sesentena. 39E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero Ejercicios 15. El uso de la base 10 en el sistema de numeracin indoarbigo se puede suponer que se debe a que tenemos 10 dedos entre ambas manos. Supongamos que entre los marcianos ocurri lo mismo, esto es, usaron un sistema de numeracin basado en el nmero de dedos de sus manos. Cuntos dedos tenan los marcianos en sus manos si sabemos que en dicho planeta el nmero diecisiete se escriba 21?. 16. Construye un sistema aditivo de base 12 y utilzalo para expresar los nmeros 1245674, 23478 y 100. 17.Construyeunsistemaaditivodebase20yutilzalopararepresentarlosnmerosdelejercicio anterior. 18.Enlasiguientetablaescribimoslosnmerosdel0al35enbase6.Describetodoslospatrones numricos que puedes encontrar: 0 1 2 3 4 5 101112141415 202122242425 303132333435 404142434445 505152535455 3.10. Otros ejemplos histricos de sistemas de numeracin escritos Lanecesidaddealmacenarinformacinnumricapropiadelassociedadesestatales propicialaaparicindelossistemasescritosdenumeracin.Estosnmerosescritosse conservan bien, ocupan poco lugar y su almacenamiento se organiza con facilidad; tienen, por tanto,ventajasfrentealasrepresentacionesnumricasoralesomedianteobjetos.A continuacin vamos a ver algn ejemplo ms : a)Lossumeriosempezaronadesarrollarunacontabilidadescritaapartirdel3200a.C. consistente en dibujar en tablillas de arcilla las figuritas de barro que utilizaban para indicar los nmeros. En la figura de una factura sumeria descubierta en Uruk (hacia el 2850 antes de J.C.) se observa el dibujo de las esferas y conos de barro que se utilizaban para representar losnmeros.Aparecentambinunosdibujosquerepresentansacos,dibujosdeespigasque indican distintos tipos de cereal y unos dibujos de patos que representan aves en general. b) Los matemticos y astrnomos de Babilonia fueron los primeros en construir un sistema de numeracinescritoenelqueseutilizabaenparteuncriterioposicional.Paraescribirlos nmeros utilizaban slo dos signos: un 'clavo' vertical que indicaba la unidad y una 'espiga'gqueindicabaladecena.Losnmerosde1a59serepresentabandemaneraaditiva repitiendo esos signos las veces que hiciera falta. As, por ejemplo, 19 y 58 se escriban: g (1 espiga + 9 clavos) ggg gg (5 espigas + 8 clavos) Peroapartirde59laescrituraeraposicional,esdecir,elnmero69,porejemplo,nose escriba 40Nmeros naturales. Sistemas de numeracin ggg ggg sino 60 9 1 ;9 As pues, una escritura como: ggg g 4 8 gg

20 g

12 corresponda al nmero 48 x 602 + 20 x 60 + 12 = 174.012. Nos encontramos ante un sistema posicional de base 60 donde los signos que indican cuntas unidades o diferentes potencias de la base tiene el nmero constituyen un sistema aditivo de base 10. Este sistema tena muchos inconvenientes porque la falta de un cero y la mezcla de sistema posicional con aditivo creaba muchasambigedadesenlaescrituradelosnmeros.Porejemplo,clavonuncasesaba biensiindicabaunaunidad,60unidadesocualquierotrapotenciadelabase;dos'clavos' tanto podan representar dos unidades como el nmero 61, etc.LaastronomaBabilonianoshatransmitidosumaneraderepresentarlosnmerosen algunosmbitosmuyrelacionadosconlaastronoma,comolamedidadeltiempoenhoras, minutosysegundosyladelaamplituddengulosengrados,minutosysegundos.Cuando decimosqueunintervalodetiempoesde3h23m55sestamosutilizandounsistemade numeracinposicionaldebase60(sexagesimal)yaquecadahoraequivalea60minutosy cadaminutoa60segundos.Ladiferenciaconelsistemababilonioconsisteenqueno representamoslashoras,minutosysegundosutilizandounsistemaaditivodebase10,sino utilizando nuestro sistema posicional de base 10. c) En Italia, antes del Imperio Romano existan pueblos de pastores que haban desarrollado una cultura de muescas. Por cada cabeza de ganado que contaban grababan una muesca en un palo o hueso. Para facilitar la lectura de las muescas empezaron a agruparlas de cinco en cinco haciendomarcasseparadorasquesintetizasenlainformacinnumricacontenidaenlas muesca. Al llegar a la quinta muesca grababan un trazo oblcuo y en la dcima dos trazos oblcuos cruzados.Volvanagrabareltrazooblcuoenlamuescanmero15yelaspaenlanmero 20.Parafacilitarlalecturadenmerosmsgrandesinventaronsignosespecficospara50, 100, 500 y 1000. El siguiente avance se produce cuando esos pastores se dan cuenta de que no es necesario grabar todas las muescas puesto que algunas de ellas ya recogen toda la informacin anterior. Es decir, cuando descubren que para expresar el nmero IIIIV IIIIV IIIIX IIIV II es suficiente con escribir XXVII Los romanos heredaron estas marcas y acabaron por identificarlas con algunas letras. 41E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero As,eltrazooblicuoseidentificconlaletraV,elaspaconlaX,lamarcapara50se transformenunaL,lade100enunaC,ylade500y1000enunaDyunaM, respectivamente.Ademsaadieronunaltimamodificacinalsistemaconsistenteen introducirunprincipiosustractivoparaacortarlaescrituradeciertosnmeros.Deacuerdo conesteprincipioescribanIVenvezdeIIII,IXenvezdeVIIII,XLenvedeXXXX,etc. Estamospuesanteunsistemadetipoaditivo,aunqueconirregularidades,debase10ycon una base auxiliar 5. Este sistema todava lo usamos nosotros para indicar ordinales y fechas. Actualmenteparaescribirennmerosromanosseguimoslassiguientesreglasde escritura:i)Los smbolos I (uno), X (diez) , C (cien) y M (mil)son losprincipales' y los smbolos V (cinco), L (cincuenta) y D (quinientos) los 'secundarios'.ii) Lossmbolosprincipalesnosepuedenrepetirmsdetresvecesylossecundariosno pueden repetirse ninguna vez.iii) Todo smbolo situado a la derecha de uno de igual o mayor valor se suma. Si un smbolo principal est situado a la izquierda de un smbolo de mayor valor se resta.iv) A la izquierda de un smbolo solo se puede poner como smbolo de menor valor el smbolo principal inmediatamente anterior.v)Losmillares,diezmillares,cienmillares,etc.delosnmerosmayoresoigualesque4.000 seescribencomosifueranunidades,decenas,centenas,etc.,colocndolesunaraya horizontal por encima. Por ejemplo, 583.459 seescribe,DLXXXIII CDLIX. 4. TALLER DE MATEMTICAS 1.Enlossiguientesejercicios,escribetodaslasposibilidadesutilizandouncdigodeescritura adecuadoycuentadespuscuntasson.Sisalenmuchoscasosposiblesencuentraalgn procedimientoquepermitahallarelnmerototalsintenerquecontarydescribecmopodran escribirse todos los casos. a) Distribuye, de todas las maneras posible, 15 monedas de peseta en cuatro montones. b)Ana,Marisa,LuisyPedroquedanenunacafetera.Llegandeunoenuno.Escribelas posibilidades de orden de llegada de esas cuatro personas. c)Escribetodoslosnmerosdetrescifrasquesepuedenformarconlosdgitos3,4,7,y9. Cuntos son mayores de 700? 2.Averiguacuntoscuadradossepuedentrazarsobrelatramasiguienteconlacondicinde que los vrtices de cada cuadrado sean puntos de la trama: ***** ***** ***** ***** 42Nmeros naturales. Sistemas de numeracin ***** 3. Construye un sistema multiplicativo de base 8 y utilzalo para expresar los nmeros 32768, 5400 y 89. Haz las transformaciones necesarias para convertirlo en un sistema posicional de base 8. Vuelve a escribir los nmeros anteriores en el nuevo sistema. 4.Construyeunsistemamultiplicativodebase5yutilzaloparaexpresarlosnmerosdelejercicio anterior.Hazlastransformacionesnecesariasparaconvertirloenunsistemaposicionaldebase5. Vuelve a escribir los nmeros anteriores en el nuevo sistema. 5.En los siguientes ejercicios suponemos que todos los sistemas de numeracin son posicionales. Lo nico que puede variar es la base del sistema. a.En qu base debe escribirse el nmero 17 para que se convierta en el 21? b.En qu base debe escribirse el nmero 326 para que se convierta en el 2301? c.En qu sistema de numeracin se verifica que 55+43 = 131? d. En qu sistema de numeracin se verifica que 54 x 3 = 250? 6. Sabiendo que en un cierto sistema de numeracin se tiene que 36 + 45 = 103, calcula el producto 36 x 45 en dicho sistema. 7. Halla la base del sistema de numeracin en el que el nmero 554 representa el cuadrado de 24. 8.Enlossistemasdenumeracindebasesxyx+1,unnmeroserepresentapor435y326 respectivamente. Halla x y la expresin de dicho nmero en el sistema decimal. 9. Halla la base del sistema de numeracin en el que los nmeros 479, 698 y 907 estn en progresin aritmtica. 10. Un nmero de tres cifras en el sistema de base 7 tiene sus cifras invertidas en el sistema de base 9. Cul es ese nmero? Exprsalo en base decimal. BIBLIOGRAFA Brissiaud, R. (1993). El aprendizaje del clculo. Madrid: Visor. Brousseau, G., Duval, A. y Vinrich, G. (1995). Thmes mathmatiques pour la prparation du concours CRPE. Talence: Irem DAquitaine. Castro, Enr, y Castro, E. (2001). Primeros conceptos numricos. En Enr. Castro (Ed.), Didctica de la Matemtica en la Educacin Primaria (p. 123-150). Madrid: Sntesis. Castro, E., Rico, L. y Castro, Enr. (1987). Nmeros y operaciones. Madrid: Sntesis. Gmez, B. (1988). Numeracin y clculo. Madrid: Sntesis. Ifrah, G. (1985).Las cifras. Historia de una gran invencin. Madrid: Alianza Editorial, 1987. Llinares, S. (2001). El sentido numrico y la representacin de los nmeros naturales. En Enr. Castro (Ed.), Didctica de la Matemtica en la Educacin Primaria (p. 151-176). Madrid: Sntesis. Puig, L. y Cerdn, F. (1988). Problemas aritmticos. Madrid: Sntesis. Reys, R. E., Lindquist, M. M., Lambdin, D. V., Smith, N. L. y Suydam, M. N. (2001). Helping children learn mathematics (Sixth edit.). New York: John Wiley. Van de Walle, J. A. (2001). Elementary and middle school mathematics. Teaching developmentally (4 ed.). NewYork: Longman. Varela, A. y cols (2000). Matemticas (1 y 2 Primaria). Madrid: Anaya. 43E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 44 Proyecto Edumat-MaestrosDirector: Juan D. Godinohttp://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ I. SISTEMAS NUMRICOS PARA MAESTROS Captulo 2: ADICIN Y SUSTRACCIN 45 E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 46 Adicin y sustraccin A: Contextualizacin Profesional ANLISIS DE PROBLEMAS SOBRE ADICIN Y SUBSTRACCIN EN PRIMARIA Consigna: Acontinuacinincluimosalgunosenunciadosdeproblemasyejerciciosquehansido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos: 1)Resuelve los problemas propuestos. 2)Indica los conceptos y procedimientos matemticos que se ponen en juego en la solucin. 3)Identifica diferencias y semejanzas entre los distintos problemas. 4)Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la tarea, de manera que uno te parezca ms fcil de resolver y otro ms difcil.5)Piensasquelosenunciadossonsuficientementeprecisosycomprensiblesparalos alumnos de primaria? Propn un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos. 6)Consigue una coleccin de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos de problemas no incluidos en esta relacin. Explica en qu se diferencian. Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria: 1.Ahora suma tu: 17 +26 3 25+28 1 6+ 3 419 +13 2.Formaparejasquesumenlacantidad indicada en la casilla coloreada 91810 284 14916 3.Coloca en vertical y resta: 87-5286-1699-41 4.Calcula de cabeza:8+11 49+11725+11 77-11100-11340-11418-11 2+8+5+5+76+2+4+5+3 5.Escribe los sumandos y resultados que faltan: 76+48=48+.... 120+....= 80 +120 28+25+35=28+.....=...... 47E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 6.Juan tiene 11 caramelos. Cinco de ellos son de limn, los otros de fresa. Cuntos tiene de fresa? 7.Juan tiene caramelos y le regala 3 a su hermana. Si le quedan 10, cuntos caramelos tena al principio? 8.Enunacarrera,Lauralleglaoctava,3puestosantesqueBeatriz.Enqupuestolleg Beatriz? 9.Pedro gana 5 canicas por la maana. Pierde 9 por la tarde. Cuntas ha ganado o perdido en total? 10. Pedrotiene6caramelosmsqueJuan.AJuanledanalgunosmsyahoratieneun caramelo ms que Pedro. Cuntos caramelos le han dado a Juan ? 11. Patriciamide15cm.msquesuhermanoPedroy5cm.menosquesuhermanoJuan. Qu diferencia hay entre la altura de Pedro y Juan? 12. ParahaceruncollarMiriamemplea25perlasrojas, 30 perlas azules y 45 perlas verdes. Calcula el nmero de perlas que tiene el collar. 13. Escribeconnmerosysmbolosmatemticos:tresmildoscientosmascuatromil ochocientos es igual a cuatro mil ochocientos ms tres mil doscientos. 14.Un tren sale de Robledo con 480 pasajeros. En Castillejo bajan 35 y suben 46. Cuntos viajeros quedan ahora en el tren? 15. Calcula mentalmente estas sumas. Piensa primero en qu orden es ms fcil hacerlas: 75+25+4827+56+1384+91+9 275+18+2547+35+65350+50+68 48 Adicin y sustraccin B: Conocimientos Matemticos 1. ESTRUCTURA LGICA DE LAS SITUACIONES ADITIVAS DE UNA ETAPA 1.1. Situacin introductoria Resuelve los siguientes problemas poniendo al lado de cada uno de ellos una, dos o tres cruces segn su grado de dificultad. 1.Juantiene11caramelos.Cincodeellossondelimn,losotrosdefresa.Cuntos tiene de fresa? 2.Juan tiene caramelos y le regala 3 a su hermana. Si le quedan 10, cuntos caramelos tena al principio? 3.Enunacarrera,Lauralleglaoctava,3puestosantesqueBeatriz.Enqupuesto lleg Beatriz? 4.Pedrogana5canicasporlamaana.Pierde9porlatarde.Cuntashaganadoo perdido en total? 5.Pedro tiene 6 caramelos ms que Juan. A Juan le dan algunos ms y ahora tiene un caramelo ms que Pedro. Cuntos caramelos le han dado a Juan? 6.Patriciamide15cm.msquesuhermanoPedroy5cm.menosquesuhermano Juan. Qu diferencia hay entre la altura de Pedro y Juan?. 1.2. Situaciones que dan sentido a las operaciones de suma y resta de nmeros naturales Lasoperacionesaritmticasdesumayrestaseconstruyeninicialmentecomounmedio deevitarlosrecuentosoprocesosdemedidaensituacionesparcialmentecuantificadas.Si, por ejemplo, hemos contado 20 objetos por un lado y 35 por otro y nos preguntan que cuntos hayentotal,podemosdecirquehay55objetosentotal,sinnecesidaddeefectuarningn nuevo recuento, gracias a que "sabemos sumar"; y si nos preguntan qu diferencia hay entre las dos primeras colecciones de objetos, podemos decir que se diferencian en 15 objetos, sin necesidad de nuevos recuentos, gracias a que "sabemos restar" .Las situaciones que dan sentido a la suma y a la resta de nmeros naturales (situaciones aditivas de una sola operacin) se clasifican atendiendo al papel que juegan los nmeros que intervienen en ella, que es variable y puede ser: estado cuando los nmeros del problema son el cardinal de un conjunto, el ordinal de un elemento o la medida de una cantidad de magnitud; transformacin cuando un nmero expresa la variacin que ha sufrido un estado;comparacincuandoelnmeroindicaladiferenciaqueexisteentredosestadosquese comparan entre s. Dependiendodeculesdeestospapelesjueganlostresnmerosqueintervienenuna situaciones aditivas de una sola operacin, esto es, que se resuelven con una suma o una resta,obtenemos los siguientes tipos de situaciones: Tipo 1: Estado -Estado -Estado (EEE)49E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero En esta situacin, tenemos una cantidad et que se refiere a un todo y dos cantidades ep1 y ep2o partes en que descompone ese todo,es decir, tenemos laparticin de un todo en dos partes.Setratadeunasituacinparte-todo1enlaquetodoslosnmerossonestados.Se representa mediante el diagrama: 1 pe

te2 pe

Ejemplos:Juan tiene 4 caramelos en la mano izquierda y 7 en la derecha. Cuntos tiene en total?Juan tiene 11 caramelos. Cinco de ellos son de limn, los otros de fresa. Cuntos tiene de fresa ? Tipo 2: Estado -Transformacin -Estado (ETE) Enestasituacintenemosunacantidad ei que se refiere al estado inicial de un objeto o coleccin de objetos y una cantidad ef que indica el estado final del objeto o de la coleccin. Lacantidadtcuantificalatransformacinsufridaporelobjeto.Lasituacinserepresenta mediante el diagrama: iefet Ejemplos: Lauraestlaquintaenunacolaparacogerentradasparaelcirco.Dejaquetresamigos pasen delante de ella. Qu lugar ocupa ahora ?Juan tiene 7 caramelos. Regala 3 a su hermana. Cuntos le quedan? Tipo 3: Estado -Comparacin -Estado (ECE) Esunasituacinenlaquesecomparandosestadose1ye2.Lacantidadccuantificala relacin entre dichas cantidades. La situacin se representa mediante el diagrama 1e2e c Ejemplos: Juan tiene 8 caramelos. Tiene 5 ms que Pedro. Cuntos tiene Pedro?Juan tiene 8 caramelos. Pedro tiene dos ms. Cuntos tiene Pedro? 50 1 Situaciones parte-todo. Son aquellas en las que se tiene un todo o total descompuesto en dos partes. Se conocen dos de las cantidades y se quiere averiguar la tercera. Adicin y sustraccin Tipo 4: Transformacin -Transformacin -Transformacin (TTT ) Es una situacin parte-todo en la que el objeto sufre una primera y despus una segunda transformacin.Lascantidadestp1ytp2serefierenaestastransformacionesylacantidadtt indica la transformacin total. La situacin se representa mediante el diagrama: tp2tp1tt Ejemplos: Pedro gana 5 canicas por la maana. Pierde 9 por la tarde. Cuntas ha ganado o perdido en total?AMaraledan200ptas.porlamaana.Levuelvenadar500ptas.msporlatarde. Cunto dinero le han dado en total ? Tipo 5: Comparacin -Transformacin -Comparacin (CTC) Situacinenlaqueseestableceunacomparacininicialcientredoscantidades, posteriormente una de las cantidades sufre una transformacin t y, por ltimo, cf representa la comparacin entre las cantidades finales. La situacin se representa mediante el diagrama: tcf ci Ejemplos: Pedrotiene6caramelosmsqueJuan.AJuanledanalgunosmsyahoratieneun caramelo ms que Pedro. Cuntos caramelos le han dado a Juan?Pedrotiene5caramelosmenosqueJuan.AJuanledandos.Quintieneahoramenos caramelos? Cuntos menos? Tipo 6: Comparacin -Comparacin -Comparacin (CCC)Situacinparte-todoenlaquecp1expresalacomparacinentreunaprimerayuna segundacantidad,cp2indicalacomparacinentrelasegundayunaterceracantidadyct establecelacomparacinentrelaprimeraylaterceracantidad.Lasituacinserepresenta mediante el diagrama 51 cp1cp2 ct E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero Ejemplos: Pedrotiene8caramelosmsqueMara.Maratiene3msqueJuan.Quintienems, Pedro o Juan? Cuntos ms?Pedro tiene 8 caramelos ms que Mara. Mara tiene 5 menos que Juan. Quin tiene ms, Pedro o Juan? Cuntos ms? En los seis tipos de situaciones nos encontramos con dos datos (cantidades conocidas) y una incgnita (cantidad desconocida que hay que encontrar a partir de los datos). Ahora bien, un simple examen de los ejemplos propuestos nos hace ver que dentro de cada tipo existe un gran abanico de situaciones posibles con diferencias sustanciales. Esas diferencias se deben a losdistintosvaloresquepuedentomarlasvariablesdelasquehablamosacontinuacin. Adems, el que la incgnita se obtenga mediante una suma o una resta de los datos depende delaposicinqueocupadentrodelasituacinydelsentidodelastransformacioneso comparaciones que intervienen. Porejemplo,enlosproblemasdetipo2(estado-transformacin-estado)obtenemos seis subtipos de problemas al considerar como dato o incgnita cada una de las tres cantidades que intervienen y si la cantidad inicial crece o disminuye, como se indica en la tabla siguiente:eitefCrece Decrece Caso 1DatoDatoIncgnita* Caso 2DDI* Caso 3DID* Caso 4DID* Caso 5IDD* Caso 6IDD* Las variables que intervienen en las situaciones aditivas son las siguientes:Significado de los nmeros:que pueden ser cardinales, ordinales o medidas.Papeldelosnmerosenlasituacin:puedenserestados,transformacioneso comparaciones.Posicindelaincgnita:laincgnitapuedesereltotalounadesuspartes(enlas situaciones parte-todo) o bien, el trmino inicial, medio o final (en las dems situaciones).Sentidodeltrminomedio(situacionesII,IIIyV):puedeindicarunaumentoouna disminucindeltrminoinicial(sisetratadeunatransformacin)obien,puedeindicar queeltrminoinicialesmayorigualomenorqueeltrminofinal(siesuna comparacin). Ejercicios 1. Resolver oralmente e indicar el tipo de cada uno de los siguientes problemas segn la clasificacin de acuerdo con la estructura lgica y semntica de los problemas aditivos. a)Pedro tiene 37 bolas, juega una partida y pierde 18 bolas, cuntas bolas tiene despus de la partida?b)Bernardo juega una partida de bolas y pierde 17 bolas; despus de la partida tiene 21 bolas. Cuntas bolas tena antes de jugar la partida? c)Claudio tiene 19 bolas y juega una partida. Despus de la partida tiene 35 bolas. Qu ha pasado en la partida jugada? d)Pablo juega dos partidas; en la primera gana 37 bolas y en la segunda pierde 18. Cuntas bolas tiene al final? 52 Adicin y sustraccin e)Bruno juega dos partidas de bolas, una despus de otra. En la segunda pierde 17 bolas. Al final de las dos partidas ha ganado 21 bolas. Qu ocurri en la primera partida? f)Carlos juega dos partidas de bolas. En la primera partida gana 19 bolas. Juega una segunda partida. Despus de estas dos partidas,gan en total 35 bolas. Qu ha pasado en segunda partida? 2.FORMALIZACINDELAOPERACINDEADICINYSUSTRACCINDE NMEROS NATURALES 2.1. La adicin de nmeros naturales En las situaciones y problemas anteriores hemos introducido la adicin y substraccin en elconjuntodelosnmerosnaturales.Puestoquesiemprequesumamosdosnmeros naturalesobtenemosotronmeronatural,decimosquelasumaesunaoperacinenel conjuntodelosnmerosnaturales.Lasubstraccinnoesunaoperacinenelconjuntode nmeros naturales, pero si en el de los nmeros enteros (que incluye los nmeros negativos).Estasoperacionessepuedendotardediversossignificadosapartirdeloscualeslos nios pueden comprender sus propiedades bsicas, lo que los preparar para el aprendizaje y lacomprensindelos algoritmosdeclculo. Tambin se han formalizado desde el punto de vista matemtico. A continuacin introducimos diversas formalizaciones de estas operaciones conectndolas cuando sea posible con las situaciones concretas en que se apoyan. Definicin recursiva de adicin (basada en los axiomas de Peano) Estamaneradedefinirlasumacorrespondeaunodelosaspectosdelaprendizajedela nocindeadicinporlosnios:"elseguircontando".Enlaprcticasepuededecirque "Sumar es seguir contando", mientras que restar consiste en "contar hacia atrs" (descontar). Alestudiarlosnmerosnaturalesvimoscomosepodandefinirestosnmerosapartirdelos axiomas dados por Peano. A partir de ellos es posible definir la adicin en forma recursiva, partiendo de un nmero p cualquiera y de su siguiente sig(p). Esta es la definicin: p+ 0 = p para todo nmero natural p. p + sig(n) = sig(p+n),para todo n diferente de cero. En consecuencia, procedemos como sigue: -Para sumar 1 a un nmero p se toma el sucesor del nmero p: sig(p) = p+1 -Para sumar 2 se toma el sucesor del sucesor, etc. -Se supone que se sabe sumar n al nmero p y para sumar (n+1) se toma el sucesor de n+p, o sea, p + (n+1) = sig(p+n) = (p+n) +1. Podemos comprobar cmo con esta definicin encontramos la suma de dos nmeros cualquiera. Por ejemplo: 4+3 = 4+ sig(2) = sig(4+2) = sig (4+sig (1)) = sig(sig (4+1)) = sig (sig (4+sig (0)) == sig (sig (sig (4+0))) = sig(sig (sig (4))) = sig(sig(5)) = sig(6) = 7. Es decir, 4 + 3 es el nmero que obtienes al empezar a contar desde cuatro y hallar los tres nmeros siguientes. Definicin conjuntista: 53E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero Enelmodelodeconjuntospartimosdelaideadecardinal,querespondeala pregunta bsica: cuntos hay? La adicin se interpreta como el cardinal obtenido al unir dos conjuntos, como mostramos en el siguiente esquema: AB n(A) =3n(B)=5 A B n(AB)=n(A) +n(B)=3+5= 8 efgh i a b e fc g h abc Definicin:Dadosdosnmerosnaturalesa,b,sellamasumaa+balcardinaldelconjuntoAB, siendo A y B dos conjuntos disjuntos cuyo cardinal es a y b, respectivamente. Esta definicin pone en juego dos operaciones bien distintas: Porunapartelaoperacinquesehacesobrelosconjuntos(sereunendoscoleccionesqueno tienen ningn elemento en comn para formar una nueva coleccin con la totalidad de los elementos que pertenecen a cada uno de ellos.Porotrapartelaoperacinqueresultaalniveldelosnmerosdeelementos(cardinales)que contienen, operacin que es la adicin de dichos cardinales. Propiedades: -Clausura: La suma de dos nmeros naturales es otro nmero natural. -Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c) -Commutativa: a+b = b+a -Existencia de elemento neutro: el natural 0; a+0=0+a = a, a N Al tener la propiedad de clausura, la adicin es una ley de composicin interna en N. Esto quiere decirqueacadapardenmerosnaturalesselehacecorresponderotronmeronatural,quesuele llamarse la suma de ambos nmeros. Tambin se usa el trmino operacin, que se define de una manera menos estricta y ms general quelanocindeleydecomposicininterna.Designaacualquierprocedimientoquedalugara algoritmosdeclculo.SehablafrecuentementedelascuatrooperacionesenN:laadicin,la sustraccin, la multplicacin y la divisin entera. 2.2. La sustraccin de nmeros naturales TodaslasoperacionesdeNnosonleyesdecomposicininternaenN:porejemplo,la diferencia(3-5)noesunresultadoenN:sedicequesuclculoesimposible,porloquela sustraccin no es una operacin interna en N. Igual ocurre con la divisin entera, la cual a un par de nmeros naturales hace corresponder un par de nmeros bajo la forma de un cociente y un resto.A continuacin presentamos algunos modelos y formalizaciones de la substraccin. 54 Adicin y sustraccin Definicin conjuntista: Enelcasodelasubstraccinysielsubstraendoesmenorqueelminuendo,sepuede representar mediante la operacin conjuntista de complementacin. En este caso tenemos un conjunto A con a elementos, un subconjunto propio B con b elementos y la diferencia entre a y b ser el cardinal del complementario de A, es decir del conjunto A-B, como mostramos en el siguiente esquema: AB Card(A) =8 Card(B)=5 B=A -B

Card(A-B) = Card(A)-Card(B) = 8-5 = 3 a b e fc g h efgh i Dados b < a, de modo que hay un subconjunto propio B de b elementos en un conjunto A de a elementos, entonces a-b = Card (B'), donde B' es el conjunto complementario de B respecto del conjunto A. Ejemplo: Tengo 427 ovejas,vendo 123, Cuntas me quedan?

Babc A Definicin "sumando desconocido" En esta definicin se parte de la operacin de adicin. La adicin es la operacin inversa a la misma. Si a < b, de modo que a += b tiene como solucin un nmero natural, entonces b-a es el "sumando desconocido" en esa ecuacin: a += b. Ejemplo: Hoy es 17, mi cumpleaos es el el dia 25, cuntos das faltan? Definicin por comparacin: En esta definicin se nuevo se parte de la idea de conjunto, pero no se requiere que uno delosconjuntosconlosqueseoperaseasubconjuntopropiodelotro,bastaconquepueda establecerse una correspondencia del primero con un subconjunto del segundo: Dadosa 0, entonces, t.r < t.s: -Si r < s y t < 0, entonces, t.r > t.s Ejercicios:10. Aplicar las propiedades anteriores para resolver la siguiente desigualdad: -2.x 2/3 < 4/5. 20. Encontrar un nmero racional entre 6/7 y 8/9. 21. Si x e y son nmeros racionales y x > y, Cules de las siguientes condiciones son ciertas? 1/x > 1/y 1/x < 1/y 5. TCNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE FRACCIONES Elsiguienteejemplo,tomadodeKrause(1991),muestraelusodevarias tcnicaspararesolverproblemasqueponenenjuegolasoperacionesconnmeros 117E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero racionales.Lasdiversastcnicasponenenjuegorecursosdiferentes(aritmticos, algebraicos, geomtricos y combinatorios) Enunciado:La poblacin de un cierto estado es 5/8 urbana y 3/8 rural. Si de la urbana y 1/6 de la ruralesmenorde18aos,qufraccindelapoblacindelestadoesmenorde18 aos? Solucin 1 (Aritmtica): Comenzamossuponiendoquelapoblacintotaldelestadoesunnmero particulardepersonas.Dichonmerosedebeelegirteniendoencuentalos denominadores de las fracciones que intervienen en el enunciado, de manera que al ser aplicadasalacantidadsupuestaloscocientescorrespondientesseanexactos.Eneste caso, el producto de los denominadores 8, 6 y 4, esto es, 192 (millones, por ejemplo) es suficiente. Segnesto,lapoblacinurbanaser120millonesdepersonas,30deloscualesson menores de 18. La poblacin rural es de 72 millones de personas, y hay 12 menores de 18 aos. Por tanto, hay 30 + 12 = 42 millones menores de 18 aos.La fraccin pedida ser: 42/192, o bien, simplificando, 7/32. Solucin 2 (Algebraica): Sea n la poblacin total. Entonces, La poblacin urbana es:n .85 n .38La rural es:Lapoblacin urbana menor de 18 aos: . n .85 =n .325

n n . . .4838 6=3 1La rural menor de 18 es: ( ) n n n n327483325483325= + = + La poblacin totalmenor de 18 aos es: Solucin 3 (Geomtrica): Tomamos el cuadrado unidad para representar la poblacin. Dividmoslo, segn semuestraenlafigura,pararepresentaralapoblacinrural(R)yurbana(U).Ya continuacinalapoblacinmenorde18aos(Y)ymayor(O).Obtenemoscuatro regiones. La fraccin pedida es la suma de las reas que interesan: YU y YR: 5 3 5 3 1 14 8 6 8. . + =732 48 32+ =8583 4161 U R YUYR OUOR

8583 118Fracciones y nmeros racionales positivos Solucin 4 (Diagrama en rbol) Lacomparacindetamaosentrevariaspoblacionesysubpoblacioneseneste problema,sepuederepresentaresquemticamenteporundiagramaderbol,deltipo queapareceenlafigura.Lareglaprincipalparausarestediagramaconsisteen multiplicarhaciaabajoenlasramas.Porejemplo,paraencontrarqufraccindela poblacintotal(P)esmenorde18aosyrural(YR),multiplicarlosnmerosque aparecen en las ramas que llevan de P a YR: 3/8 . 1/6 = 1/16.Lareglasepuedejustificarsinosreferimosalafigurautilizadaenlasolucin geomtrica. P 5/83/8 U R 3/4 1/4 1/6 5/6 OU YUYR OR Ejercicios: Resuelvelossiguientesproblemasaplicandoloscuatromtodosquehemosdescritoenel ejemplo anterior. 22.Alexamendejuniodematemticassepresentan3decada5alumnosmatriculados,ypor cada5alumnosqueapruebanhay2quesuspenden.Qufraccindealosalumnos matriculados aprueban en junio? 23.Enunaplantadepuradoradeaguasresiduales,eltratamientodelaguaserealizaentres etapas. En una primera se quitan los 9/10 de los fosfatos. En la segunda se quitan los de los que quedan. Y en la tercera, se quita de los que an lleva el agua. Qu fraccin de fosfatos se quitan en total del agua? 24.Supongamosque2/5delaginebraesalcohol,que1/6delvermouthesalcohol,yqueun martini se hace con 5 partes de ginebra y 1 parte de vermouth. Qu fraccin de alcohol lleva un martini? 6. TALLER DE MATEMTICAS 1. En la prensa diaria busca algunas situaciones en que aparezcan fracciones y razones. Para cada una de ellas, identifica el tipo de situacin problemtica presentada, entre las descritas en la seccin 1. 2. Enlas siguientes situaciones identifica los distintos de usos de las fracciones que se ponenenjuego.Expresaestosenunciadosylasolucinutilizandoalgntipode representacin grfica. 119E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero a)En una clase hay dos tercios de chicas. Si hay catorce chicas en la clase? Cul es el nmero total de alumnos? b)SiJorgepedaleaaunaraznde8kmporhora,alcabode45minutosAqu distancia est de su casa? c)Un terreno mide 200 metros cuadrados. Cunto mide las 5/8 partes del terreno? d)Latasaesperadadecrecimientoanualdelndicedepreciosesdel3/100.Sihe comprado un piso de 120.000 euros y lo vendo dentro de un ao por 122.000 euros, he ganado o he perdido? 3.Una persona gasta cada mes la quinta parte de su salario mensual en alimentacin y lasextaparteenalquilerdelpiso.Despusderealizadosestospagoslequedan570 euros. Cul es su salario mensual? 4.Uncochecirculaa80km/hdurante18minutos.Porqunmeroesnecesario multiplicarlavelocidadparaencontrarladistanciaquerecorreexpresadaenkm? Cunto tiempo necesitar para recorrer 64 km a esa misma velocidad? 5. Se considera el nmero A = 45501/56.a)EncontrarlosdosenterosconsecutivosqueencuadranaA(osea,elmayor entero menor que A y el menor entero mayor que A) b)Calcular en forma de fraccin la diferencia entre A y cada uno de los enteros anteriores. c)Llamemos B al entero ms prximo a A. Encontrar tres nmeros racionales comprendidos entre A y B. 6.Demostrar que es posible pavimentar un rectngulo con baldosas cuadradas si y slo si la razn entre las longitudes de la base y la altura es un nmero racional. 7.Enunafamiliaelpadreobtiene3/5delosingresosyelrestoloobtienelamadre. Mientrasquestapaga2/10desusingresosenconceptodeimpuestosdirectosensu declaracin de la renta, el padre paga 2/11 de sus ingresos. La familia paga adems 1/20 de sus ingresos en impuestos autonmicos yestiman que aproximadamente 3/50 de sus ingresossepaganenimpuestosindirectos(tabaco,gasolina,artculosdelujo,etc.). Qu proporcin total de ingresos paga en impuestos esta familia? 8.Realiza las siguientes operaciones: a) 12+ 1 , b) 1112++1 ,c) 111112++1+,d) 11111112+++1+ Erescapazdedescubrirunpatrnenestaserie?Podras,sinnecesidaddehacerlos clculos, escribir los tres nmeros siguientes? 9. Usando clculo mental, decide si 1 120 22 2x x x : es menor que 22 120Fracciones y nmeros racionales positivos est comprendido entre 22 y 50 es mayor que 40 10. Encuentra dos fracciones positivas cuya suma sea 2 y cuyo producto sea 7/16. 11.Unadecada10.000personasaproximadamentecontraetuberculosisalolargode suvida.Laspruebasparadetectarlatuberculosisdanpositivasenel99/100delas personas enfermas y tambin en el 2/100 delas personas sanas (falsos positivos) Cul es la probabilidad de contraer tuberculosis? En una poblacin de 40.000 de personas, Cuntas contraern tuberculosis? Cuntos falsos positivos hay? Cuntos falsos negativos? (personas enfermas en las que el test es negativo) Qu proporcin de aquellos en los que el test da positivo est realmente enferma? BIBLIOGRAFA Castro, Enc. y Torralbo, M. (2001). Fracciones en el currculo de la educacin primaria. Enr. Castro (Ed.), Didctica de la Matemtica en la Educacin Primaria (p.285-314). Madrid: Sntesis. Centeno, J. (1988). Nmeros decimales. Por qu? Para qu?. Madrid: Sntesis. Ferrero, L. y cols (1999). Matemticas (5 y 6 Primaria). Madrid: Anaya. Llinares, S. y Snchez, M. V. (1988). Fracciones. Madrid: Sntesis Krause, E. (1991). Mathematics for elementary teachers (2nd ed.).Toronto: D.C.Heath. Maurin, C. y Johsua, A. (1993). Les outils numriques lcole primaire et au collgue, Vol 1. Pars: Editions Marketing (Ellipses). Post, Th. R. (Ed.) (1988). Teaching mathematics in grades K-8. Boston: Allyn and Bacon. 121E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 122 Proyecto Edumat-MaestrosDirector: Juan D. Godinohttp://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ I. SISTEMAS NUMRICOS PARA MAESTROS Captulo 5: NMEROS Y EXPRESIONES DECIMALES E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero 124Nmeros y expresionesdecimales A: Contextualizacin Profesional ANLISIS DE PROBLEMAS SOBRE DECIMALES EN PRIMARIA Acontinuacinincluimosalgunosenunciadosdeproblemasyejerciciosquehansido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos: a)Resuelve los problemas propuestos. b)Indicalosconceptosyprocedimientosmatemticosqueseponenenjuegoenla solucin. c)Identifica diferencias y semejanzas entre los distintos problemas. d)Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la tarea, de manera que uno te parezca ms fcil de resolver y otro ms difcil.e)Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los alumnos de primaria? Propn un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos. f)Consigueunacoleccindelibrosdetextodeprimaria.Buscaenellostiposde problemas no incluidos en esta relacin. Explica en qu se diferencian. Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria 1.Qu quiere decir 3'2 mm? Podras medir esa longitud con tu regla? Por qu? 2.Qusignificaelpuntoqueseparalascifras62.3y36.4enunabsculayun termmetro? 3.Expresa en forma de nmero decimal: 6/10, 23/10, 63/100. 4.Expresa las siguientes cantidades en centsimas: a) 8'43; b) 0'7; c) 20'5; d) 26'3 5.Qu nmero decimal est representado en cada caso: a)2 decenas 3 unidades 2 centsimas y 3 milsimas; b)0'02 + 0'5 + 70 + 400 c)1 unidad 1 dcima y 1 milsima. 6.Indica cules de estas fracciones son fracciones decimales: 24/105/826/100032/2513/1004/20 7/10 25/1000 7.Qu fraccin decimal representa cada nmero?: a) 0'25;b) 0'007; c) 0'45;d) 0'05; e) 0'06f) 0'004 8.Ordena de mayor a menor: 15,5610,25736,2 15,6510,573,62 9.Entre qu parejas de nmeros est comprendido 5,345 125E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero entre 5,33 y 5,34 entre 53,3 y 53,4 entre 5,34 y 5,35 entre 5,35 y 5,36 10. Aproxima estos nmeros a la unidad: 3,69 5,2731,1915,413,627,85 11. Escribe con cifras estas fracciones decimales: a)Cuatro milsimas; b) Seis dcimas; c) Veinte centsimas; d) Trece milsimas. 12. Conlasteclas de tu calculadora escribe: . 0369 a) el mayor nmero posible menor que 100 b) el nmero ms prximo a 1 c) el nmero mayor posible dI El nmero menor posible. 13. Realiza estas sumas: 2,36+1,34; 15,36+4,64 14. Calcula mentalmente, anota los resultados y comprueba con tu calculadora: 1,5+0,01 02,55-36,7 16,25-5,3 15. Calcula el cociente exacto: 23,64:4 16. EnEspaa,cadapersonaadultaconsumealao,portrminomedio,65'5kgde carne, 29'53 kg de pescado y 6'89 kg de legumbres. Cuntos kilos consume al ao, en total, de estos alimentos? 17. Enunsaltounlenrecorre3,25metros.Qudistanciahabrrecorridoen30 saltos? Y en 2000 saltos? 18. Marianoestencamaconanginas.Ladoctoraleharecetadounadosisde5 centmetroscbicosdeunjarabe(aproximadamenteunacucharada)tresvecesal da.Enelprospectodicequecadacentmetrocbicodejarabetiene6'25mgde "amoxicilina". Cunta "amoxicilina" toma Mariano en una dosis? Y al da? 19. Uncocheconsume8,4litrosdegasolinacada100km.Cuntoskilmetrospuede recorrer con 25,2 litros? 126Nmeros y expresionesdecimales B: Conocimientos Matemticos 1.FRACCIONES DECIMALES. NMEROS DECIMALES Decimosqueunafraccinesdecimalsisudenominadoresunapotenciade10. Llamaremos nmeros decimales1 a los racionales para los cuales se puede encontrar una fraccin decimal representante. Ejemplos:Elracional7/4esdecimalporquelafraccin7/4esequivalentea 175/100.Sinembargo,7/3noesdecimalporquecualquieradesusfraccionesequivalentes tiene un denominador con el factor primo 3 y, por tanto, no puede ser una potencia de 10. La descomposicin en factores del denominador de una fraccin irreducible representante de un nmero decimal no puede contener factores primos distintos de 2 o de 5. En1585elmatemticobelgaSimnStevin,ensulibroLaDisme,propuso, fraccionarlaunidadendcimas,centsimas,milsimas,etc.paramedircantidadesde magnitudesmenoresquelaunidad.Conestesistema,elresultadodeunamedida vendrasiempreexpresadomedianteunnmeroenteroyfraccionesdecimales.Por ejemplo, 3 5710 100+ +metros, en el caso de una medida de longitud.Tambinsugirique,enlugardeusarlosdenominadoresparaexpresarlaspartes delaunidadenlapartefraccionariadelnmero,sepodraadoptaruncriteriode posicin.Estecriteriodesembocrpidamenteenelactual,queconsisteenponeruna coma(ounpunto)aladerechadelasunidadesyescribiracontinuacinlos numeradoresdelasfraccionesdecimalessiguiendoelordendedcimas,centsimas, milsimas, etc., poniendo ceros cuando falta alguna de esas fracciones.Ejemplo.Elnmero 3 5710 100seescribe735.Sabemosque3hacereferenciaa dcimas porque esa cifra ocupa el primer lugar a la derecha de la coma y que 5 se refiere a centsimas porque ocupa el segundo lugar a la derecha de la coma. Deestamaneraparalasfraccionesdecimalespodemosusarunsistemade representacindecimalposicionalequivalentealdefinidoparalosnmeros naturales. La parte situada a la izquierda de la coma es la parte entera del nmero decimal y la situada a la derecha de la coma la parte decimal.Los nmeros naturales admiten un representante decimal cuya parte decimal es cero. Un nmero decimal admite un representante cuya notacin decimal tiene un nmero 1 Algunos autores llaman nmeros decimales a cualquier nmero real expresado en forma decimal. Nosotros preferimos seguir el criterio de autores como Centeno (1988) o Socas (2001) y llamar nmeros decimales nicamente a los nmeros racionales que tienen como representante una fraccin decimal.De este modo, diferenciamos entre las expresiones decimales de un nmero (que tambin existen para los reales) y los nmeros decimales D que es un subconjunto de Q. 127E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero finito de cifras2. Elintersdelarepresentacindecimaldelasfraccionesdecimalessedebeala posibilidadqueproporcionandeutilizarlosalgoritmosdeclculodefinidosparalos nmeros naturales. Desde el momento en que la parte decimal de un nmero decimal se construyesiguiendolasmismasreglasqueseusanparalaparteenterapodemos trasladarlosalgoritmosdesuma,resta,multiplicacinydivisinenteraalcasodelos nmeros decimales sin ms que aadir algunas consideraciones acerca de la colocacin de las comas. Esto permite abreviar los clculos con fracciones decimales. Si adems el sistemadeunidadesdemedidaesdecimal,todaslasmedidaspuedenexpresarse mediantenmerosdecimalesylasoperacionesentreellassehacenmsfciles.Esto ltimosepusoenprcticaapartirdelainstauracindelSistemaMtricoDecimal, creado en Francia a finales del siglo XVIII. Ejercicios 1.Silafraccina/besirreducible,a 123. Apesardeestasdificultades,lacomparacinderacionalesexpresadosmediante notacin decimal es ms sencilla que usando la notacin con fracciones. 5. OPERACIONES CON NMEROS DECIMALESElgranintersdelanotacindecimalsederivadequetodoslosalgoritmos desarrollados para realizar las operaciones aritmticas se extienden casi sin problema al conjuntoDdelosdecimales.Estoesposiblegraciasalaspropiedadesdelsistemade numeracin decimal. 5.1. Adicin y sustraccin Elprocedimientoconsisteentransformarlosdosnmerosdecimalesparaque tengan el mismo nmero de cifras despus de la coma, aadiendo ceros a la derecha del nmeroquetengalapartedecimalmscorta.Deestamanera,sisedisponenlosdos nmerosencolumnas,lacomadebajodelacoma,sloquedaaplicarelalgoritmo habitual de la adiccin o de la sustraccin en N. De esta regla puede surgir el obstculo de considerar los decimales como dos enteros separados por la coma, Ejemplo: 2058 174402 = 205800 174402 ,y se aplica el algoritmo como para dos nmeros enteros de seis cifras. Se comienza por la ltima cifra de la derecha de la parte decimal, y se deja la coma en su lugar entre la tercera y la cuarta columna.La justificacin de esta manera de proceder se puede hacer pasando los decimales a las fracciones correspondientes. 5.2. Multiplicacin El procedimiento consiste en realizar la multiplicacin de los dos nmeros como si fueranenteros,prescindiendodelacoma,paracolocarfinalmentelacomaenel productocontando(apartirdeladerecha)elnmerodecifrasigualalasumadelas cifras de las partes decimales de los dos factores. Larealizacindeestosclculosmuestraalosniosquelamultiplicacinno siempre hace aumentar a los nmeros, por ejemplo: 53 . 02 = 106 Lajustificacindeestemododeoperarlaproporcionaelsistemadenumeracin decimal: 53 = 5 + 3.10-1

02 = 2.10-1

53 . 02 = [5 + 3.10-1]. [2.10-1] = 10. 10-1 + 6. 10-2 = 106 Se ha aplicado la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la adicin, la frmula del producto de dos potencias de igual base y la escritura polinmica de los decimales. 136Nmeros y expresionesdecimales Sepuedejustificarestealgoritmosinutilizarlasoperacionesconexponentes negativos.Enprimerlugar,esnecesarioaprenderamultiplicarydividirporpotencias de la base 10. Se observar especialmente las consecuencias de estas operaciones sobre el desplazamiento de la coma.Acontinuacinesnecesarioaprenderaescribirlosnmerosdecimalescomo fracciones o divisiones (si antes no se han introducido los racionales): 53 = 53/10; o bien,53 =53:10 =53.01 Estoequivaleaexplicitarlaideadequemultiplicarpor01escomodividirpor diez. Finalmente es necesario recordar la definicin del producto para mostrar que una dcimaporunadcimadacomoresultadounacentsimapropiedadquesehabr tratado antes, si ya se han abordado los racionales. Despus de esto se podr escribir: 53 x 02 = (53 x 01) x (2 x 01) = (53 x 2) x (01 x 01) = 106 x 001 5.3. Divisin La divisin de dos decimales se puede reducir siempre a la de un dividendo decimal y un divisor entero, ya que si el divisor tuviera decimales se puede transformar en entero multiplicando por la potencia de diez conveniente ambos nmeros. Elalgoritmoqueseaplicaeselmismoqueeldeladivisinentera.Setrasladala coma al cociente cuando se la encuentra en el dividendo. Cuando se agotan las cifras del dividendosecontinaladivisinbajandocerosCundosedebedetenereste proceso? Esto plantea el problema de la aproximacin decimal. Ejercicios: 6. Calcular la diferencia, 153- 0716. 6. Calcular los productos: a) 093 x 04b) 0495 x 0 8.Sumar06+03.Lasumadedosnmerosdecimalesperidicos,essiempreundecimal peridico? 9.Estimaelproducto7.123x105x 2.124x105 ycompruebalarespuestacontrescifras significativas usando una calculadora. 6. LA APROXIMACIN DECIMAL DE RACIONALES. NMEROS REALES Losracionalesdecimalesadmitenunaexpresindecimalfinita.Bastarealizarla divisin del numerador por el denominador de la fraccin irreducible que lo representa para obtenerla. Si el racional no es decimal admite una expresin decimal, pero tenemos queutilizarunaserieilimitadadenmeros(2/3=06666...)aladerechadelacoma, nmeros que se repiten a partir de un cierto momento.El hecho que hace a los nmeros decimales tiles es que permiten aproximar con el grado de precisin que deseemos a cualquier nmero racional. Para ello basta truncar la serie ilimitada de la expresin decimal peridica en un punto ms o menos alejado a 137E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero laderechadelacoma;deestemodoseobtieneundecimalfinitoqueaproximaal decimal infinito cuanto queramos. Desdeunpuntodevistaprctico,portanto,sepuedeevitarsiempreelusode expresionesdecimalesinfinitasrealizandolosclculosconaproximacionesdecimales finitas. Esta propiedad se expresa diciendo que D es denso en Q: Hayunnmerodecimaltanprximocomosequieraacualquiernmero racional Ejercicios: 10.Encontrarundecimalcondoscifrasdecimalesqueestamenosdeunacentsimadel nmero 1/3 11. Encontrar un decimal con tres cifras decimales que difiera de 15/7 menos de una milsima. Expresar el resultado en forma polinmica. Nmeros irracionales: Existennmeroscuyaexpresindecimalesinfinitaynoperidica.Porejemplo, imaginemos la siguiente expresin decimal potencialmente infinita: 0717117111711117 ... donde,despusdecadanmero7,sevaponiendosucesivamenteunnmero1 adicional. Por tanto, no ser posible encontrar aqu ninguna periodicidad.Esdecir,podramosimaginarlasiguientesucesindenmerosdecimalesfinitos, ordenados de menor a mayor: 07 < 071< 0717 < 07171 (b)' ' '... , 1OA OB OGk kOA OB OG= = = = < Cuandoelfactordeescalaesmayorque1,laimagendeunafiguraporla transformacin ser de mayo tamao que el original, y se dir que la transformacin es una expansin. Si k < 1 la transformacin de tamao es una contraccin. Si k = 1, todos lospuntospermanecenensumismaposicin, o sea, P = P' para todos los puntos, y la transformacin de tamao es la identidad. Teorema: Cambio de distancia bajo una homotecia La d istancia entre las imgenes de cualquier par de puntos es k veces la distancia entre sus respectivas preimgenes. Esto es, para cualquier par de puntos P y Q, P'Q' = k.PQ. Demostracin: Fig. 12Q Q O

P PPor la definicin de homotecia se tiene que OQ =kOQ, y que OP = kOP. Los tringulos formados tienen doslados comunes y el mismo ngulo en O, luego sonsemejantes. De aqu se deduce que QP = kQP. 248Transformaciones geomtricas Ejercicio: 16. Demostrar las siguientes propiedades de invariancia de las homotecias: a) Los segmentos se transforman en segmentos paralelos.b) Las rectas y semirectas se transforman en rectas y semirectas paralelas c) La imagen de un ngulo es otro ngulo congruente. d) Se conserva la razn entre distancias. 4.2. Semejanzas Definicin: Diremosqueunatransformacinesdesemejanzasiyslosiesunasecuenciade homotecias (transformaciones de tamao) y movimientos rgidos. Lafigura13muestralatransformacindesemejanzadeltringuloABCobtenida como composicin sucesiva de la homotecia de centro O, seguida de la simetra de eje l, y seguida finalmente por otra homotecia de centro P. Fig. 13 Definicin: Figuras semejantes Dos figuras F y G se dice que son semejantes, lo que se escribe F G, si y slo si, existe una transformacin de semejanza que transforma una figura en la otra. Ejercicio: 17.MostrarquelaletraFpequeadelafiguraessemejantealaletraFgrande girada: 249J. D. Godino y F. Ruiz 5. MOVIMIENTOS Y GEOMETRA DE COORDENADAS. ESTUDIO DINMICO CON RECURSOS EN INTERNET En la pgina web del Proyecto Descartes, http://www.cnice.mecd.es/Descartes/ , encontramos recursos dinmicos que permiten explorar las propiedades de las traslaciones, giros y simetras. En el ndice del proyecto,http://www.cnice.mecd.es/Descartes/indice_ud.htm encontramos tres entradas para el estudio de la semejanza, movimientos en el plano y las teselaciones. En el apartado de Aplicaciones,http://www.cnice.mecd.es/Descartes/indice_aplicaciones.htm#movimientosencontramos los siguientes recursos: TTULOTeorema de Thales Semejanza de tringulos Vectores y traslaciones Movimientos en el plano Movimientos en el plano (sobre puntos, segmentos, rectas y ngulos) Movimientos en el plano (sobre un cuadrado). Coordenadas Movimientos en el plano (vectores) Semejanzas en el plano Semejanzas 250Transformaciones geomtricas 6. TALLER MATEMTICO 1. Dibujar polgonos con las siguientes simetras, si es posible. a) Un eje de simetra pero ninguna simetra rotacional. b) Simetra rotacional pero ninguna simetra axial. c) Un eje de simetra y una simetra rotacional. 2.Culeselmovimientorgidoequivalenteadosmediasvueltas(girosde180) realizadassucesivamentesobredospuntosO1yO2?.(Explicamedianteesquemasla solucin; puede ser til representar con una letra la distancia entre los centros de giro). 3. Para cada una de las figuras adjuntas determinar: a) los ejes de simetras; b) los ngulos de las simetras de rotacin que tengan 4.DibujalafiguraadjuntadetalmaneraqueeltringuloABCseacongruenteal ABC. A A B C CB a) Usar un espejo (u otra herramienta de dibujo) para trazar la recta m1 de manera que A sea el punto simtrico del A. Dibujar tambin las imgenes del B y C mediante m1 y nombrarlas como B1 y C1. b) Dibujar la recta m2 de manera que B1 sea el simtrico de B. Cul es la imagen de C1 sobre m2?. c)Usarlasrectasm1ym2paradescribirelmovimientorgidoquetransformael tringulo ABC en el ABC. 5.Describirlassimetrasenlossiguientespatronesplanosformadosrepiendoletras maysculas. Para las simetras de rotacin dar el centro de giro y la amplitud del ngulo de giro. Para las simetras y simetras con deslizamiento dar las direcciones de los ejes y los vectores correspondientes. a) A A A A A A A A A A A A A A A A B)EEEE EEEE EEEE EEEE C)NNNN NNNN NNNN NNNN 251J. D. Godino y F. Ruiz d)ZNZN NZNZ ZNZN NZNZ e) pqpq db db pqpq dbdb f) EEEE EEEE EEEE EEEE 6.Enlafiguraadjuntaserepresentaunfragmentodeunrecubrimientodelplano elaborado por M. C. Escher. Se han marcado tres peces grandes con las letras F, G. y H. a) Qu tipo de movimiento rgido hace coincidir F con G? b) Qu tipo de movimiento rgido hace coincidir F con H? B FG A' B' E H A x OC

L I D'K J C' D 7.En la figura adjunta, el cuadrado A'B'C'D' se ha obtenido girando el cuadrado ABCD 45 alrededor del punto O. (el segmento AB = A'B') Propiedades de la figura: a) Cmo son los tringulos FBG, GB'H, HCI, IC'J, JDK, ....? b) Desmostrar que los puntos A, A', B, B', C, C',D,D'estnsobreunamisma circunferencia. c)EsregulareloctgonoEFGHIJKL?. Justificar la respuesta. d) Cuntos ejes de simetra tiene esta figura? 252Transformaciones geomtricas 8. Una empresa ha diseado un juego para nios que permite armar figuras como la del dibujo a). Las piezas y sus medidas son las indicadas en b) a) b) Por diversas razones, la empresa decide agrandar estas piezas con el siguiente criterio: lo que mide 5 cm pasar a medir 8 cm; el resto de las medidas se deben ajustar a ese criterio para mantener la proporcin. Disear en cartulina las piezas del juego ya ampliado. Analizar y comentar los procedimientos utilizados. Cul fue la pieza que ofreci mayor (o menor) dificultad para rehacerla? 9. Distancias o alturas aplicando la semejanzaLos dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas habitualmente por los guas y scouts, para estimar alturas y distancias. Justificar los distintos procedimientos. En este caso, es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del rbol reflejado en el espejo. Mirando con un solo ojo, se cubre la altura del rbol con una varita o un lpiz que se sostiene en la mano. Girar la mano en 90 y que una persona se ubique en el punto que corresponde al extremo libre de la varita. 253J. D. Godino y F. Ruiz Colocar al pie de un poste una persona o vara de altura conocida. Ubicarse a una distancia adecuada, mirando con un solo ojo y recurriendo a un lpiz o varita que se sostiene con la mano, cubrir la persona y contar cuntas veces cabe en la altura de dicho poste. Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del rbol y el de la vara de longitud conocida. Con el brazo estirado, utilizar como mira el dedo pulgar para ubicar dos puntos sobre el edificio, mirando primero con un ojo y despus con el otro. Estimar la distancia entre ambos puntos, multiplicarla por 10 para obtener una estimacin de la distancia que los separa del edificio. El factor 10 deriva de la razn entre la medida aproximada de la distancia entre ambos ojos (6 cm) y la longitud de los brazos (60 cm) un promedio aproximado y cmodo para hacer los clculos.

254Transformaciones geomtricas 10.CopiarenpapelpautadoelcuadradoABCDdela figura adjunta. Dibujar las imgenes del cuadrado en las siguientestransformaciones.Hacerundibujoseparado para cada uno de los casos a), b) y c). a)HomoteciasconcentroOycadaunodelosfactores de escala, 1/3, 2/3, 4/3. b)HomoteciasconcentroAycadaunodelosfactores de escala, 1/3, 2/3 y 4/3. c)HomoteciasconcentroPycadaunodelosfactores de escala, 1/3, 2/3 y 4/3. 11.Describirunasemejanzaquetransformeel cuadrilteroABCDenelcuadrilteroABCD segnseindicaenlafiguraadjunta.Dibujarlas imgenesintermediasdelahomoteciayel movimiento rgido que compone la semejanza. 12.Unpantgrafoesundispositivomecnicoqueseusaparahacerampliacioneso reducciones de dibujos. Se puede construir una versin simple usando tiras de cartulina queseunendemaneraarticuladaconalgntipoderemacheformandoun paralelogramocondosladosprolongados,comoseindicaenlafigura.ElpuntoOse mantiene fijo en la superficie en la que se van a trazar los dibujos mientras que el P se mueve sobre la figura a copiar. El lpiz situado en P traza la ampliacin. (Si se invierte lafuncindelospuntosPyPseobtieneuna reduccin). a)Explicarporquelpantrgrafopermitehacer homotecias de manera mecnica. b)Culeselfactordeescaladelahomotecia? Considerarquetodoslospuntosadyacentesalo largo de una banda estn a la misma distancia. Bibliografa Alsina, C., Prez, R. y Ruiz, C. (1988). Simetra dinmica. Madrid: Sntesis. Carrillo,J.yContreras,L.C.(2001).Transformacionesgeomtricas.En,Enr.Castro (Ed.), Didctica de la matemtica en la educacin primaria (pp. 427-448). Madrid: Sntesis. Dickson,L.,Brown,M.yGibson,O.(1991).Elaprendizajedelasmatemticas. Madrid: MEC y Ed. Labor. Long,C.T.yDeTemple,D.W.(1996).Mathematicalreasoningforelementary teachers. New York: Harper Collins. Jaime, A. y Gutirez, A. (1996). El grupo de las isometras del plano. Madrid: Sntesis. Martnez, A. M. y Juan, F. R. (Coord.) (1989). Una metodologa activa y ldica para la enseanza de la geometra. Madrid: Sntesis. VandeWalle,J.A.(2001).Elementaryandmiddleschoolmathematics.Teaching developmentally. New York: Longman. 255J. D. Godino y F. Ruiz 256 Proyecto Edumat-MaestrosDirector: Juan D. Godinohttp://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ III. Geometra para Maestros Captulo 3: ORIENTACIN ESPACIAL.SISTEMAS DE REFERENCIA J. D. Godino y F. Ruiz 258Orientacin espacial. Sistemas de referencia A: Contextualizacin Profesional ANLISIS DE PROBLEMAS SOBRE ORIENTACIN ESPACIAL Y SISTEMAS DE REFERENCIA EN PRIMARIA Consigna: Los enunciados que se incluyen a continuacin han sido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos, a)Resuelve los problemas propuestos. b)Indica los conceptos y procedimientos matemticos que se ponen en juego en la solucin. c)Identifica diferencias y semejanzas entre los distintos problemas. d)Paracadaproblemaenunciaotrosdosdelmismotipo,cambiandolasvariables de la tarea, de manera que uno te parezca ms fcil de resolver y otro ms difcil.e)Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para losalumnosdeprimaria?Propnunenunciadoalternativoparaaquellos ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos. f)Consigueunacoleccindelibrosdetextodeprimaria.Buscaenellostiposde problemas no incluidos en esta relacin. Explica en qu se diferencian. Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria: 1. Copia y completa en tu cuaderno las frases siguientes: La iglesia est al ..... de la fuente. Elayuntamientoestal....delcastillo y al .... de la fbrica. Elcastilloestal....delaiglesiayal.... de la fbrica. 259J. D. Godino y F. Ruiz 2. Observa el plano de la vivienda de la familia de Pedro: Cuntos dormitorios tiene? Y camas? Qu te encuentras nada ms entrar a la derecha? Cuntas ventanas tiene el saln? 3.Abelhaidoalzoo.Alentrarlehandadouncroquisconladistribucindelos animales. El elefante est en la casilla (F, 3) En qu casilla est el canguro? Indicalaposicinqueocupanenelplanodelzoo:a)Elpavoreal;b)El cocodrilo; c) El len Qu animal ocupa la casilla (A, 1); Y la casilla (F, 5); Y la casilla (I, 2)? 260Orientacin espacial. Sistemas de referencia 4.Porqunoestbiendibujadoeste sistema de coordenadas? 5.Dibujalosejesdecoordenadasque correspondan al punto A. 6. Completa la ruta desde el punto A al punto B como en el ejemplo: Dos al este (2 E), dos al sur (2 S) ... Trazaentucuadernolasiguienteruta, desde el punto C al D: (3 S), (4 E), (6 S), (5 O), (2 S), (7 E), (3 N), (1 E), (4 N). 261J. D. Godino y F. Ruiz 7. Observa el mapa: Dibujaloscroquisdeitinerariosms cortosparairdesdeVallehermosoa Vistabella y desde Miramar a Zanu. Escribelascoordenadasdelas poblaciones:Vallehermoso,LasLomas, Estrada, Zanu. Contesta: Qu poblacin est en el punto (6, 5)? Y en el punto (2, 1)? 8.Victoria,Gabriel,CarmenyPilarestndibujandolacatedral,cadaunodesdela posicin en la que estn situados. Qu dibujo ha realizado cada uno? .Esteeseldibujodeunpuebloavistadepjaro.Culdeestostresplanosesel 0.Engeneral,enlosmapasdecarreteras,lasdistanciasentrepoblacionesseindican 9correcto? Justifica tu respuesta. 1con nmeros situados entre dos seales. 262Orientacin espacial. Sistemas de referencia Miraelmapaydiculesla a y Medida Quitinerariossepueden s largo? ne? distanciamscortaporcarretera entre: - Lazam- Cubillo y La Tejera realizarparairdesdeCubilloa La Tejera?Cul es el mCuntos kilmetros tie 11. Fjate en esta escala grfica y completa en tu cuaderno. 1 cm en el plano representa....mla r