Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
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29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
1/50ima.ucv.cl/librocalculo/
Ejercicios Propuestos
Límite de sucesionesLímite de funcionesDerivadaFunción InversaDerivada ImplícitaRegla de L'HopitalInterpretación geométricaInterpretación físicaProblema de Máximo y MínimoProblemas de Certamenes
Límite de sucesionesHallar los l\\mites de las sucesiones
1.
2.
3.
Demostrar el siguiente límite
Demostraci\on: Para ello primero veremos la desigualdad siguiente
Sea y siguiente n\umeros naturales tal que .
Así y
luego y Por lo tanto
lo anterior es valido para .
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2/50ima.ucv.cl/librocalculo/
Así hemos demostrado
y por teorma de acotamiento tenemos
Dada la sucesi\on
Calcular el límite de la sucesi\onSoluci\on: Podemos notar que est\a sucesi\on esta definida por recurrencia por la siguiente
formula:
Usando esta informaci\on podemos demostrar que esta sucesi\on es creciente y acotada.
Primero veamos que es acotada, claramente , adem\as podemos demostrar por
inducci\on que , para ello vemos los siguientes:
i)
ii) es decir , Segundo veamos que la sucesi\on es estrctamente creciente
pero por la primera parte vimos que , es decir, , luego
y con ello entonces tenemos que .
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Usando los dos resultados anteriores tenemos que la sucesi\on es convergente, así, sea
Por lo tanto .
Dada la sucesi\on
Calcular el límite de la sucesi\onDemostrar los siguientes l\\mites
1. .
2. .
3. , con .
4. .
5. .
6. , con .
Demostrar que los siguientes l\\mites no existe.
1. .
2. .
3. .
4. .
Calcular
Soluci\on:
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Veamos primero para ello recordemos que , luego
y por lo tanto
adem\as por la propiedad del cero aniquila tenemos
por otro lado tenemos que
así
Calcular .Soluci\on: Para poder calcular este límite, necesitamos usar la propiedad de potencia.
Notemos que la propiedad fue usada para una exponencial de base constante.Calcular
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Soluci\on: Sea
Recordemos las siguientes identidades trigonometricas
así entonces tenemos
por lo tanto
Por inducci\on podemos demostrar que:
Volvamos al ejercicio original
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Calcular los siguientes l\\mites
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. con .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15.
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16.
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33. con
34.
35.
36.
37.
38.
39. .
Sea .
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Resolver .
Sea una sucesi\on acotada.
Calcular .
Sea una sucesi\on convergente.
Calcular .
Gr\aficar las funciones
1.
2.
3.
4.
El t\ermino general de la sucesi\on , , , , tiene la forma , si n
es un n\umero impar, y , si n es un n\umero par.
Hallar
La sucesi\on tiene por límite .
Demostrar que . ?` Qu\e se puede decir sobre este límite si ? (Mostrar
ejemplos).
Soluci\on: Como tenemos y luego toda subsucesi\on es convergente al mismo
límite, es decir, y por lo tanto tenemos que
Si la sucesi\on converge a cero tenemos varias alternativas.
Ejemplo 1
Ejemplo 2 y en este caso tenemos
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Ejemplo 3 con ,
Ejemplo 4 En este caso nos queda el siguiente límite
el primero de los cuales es convergente a 1 y el segundo no es convergente, por lo tanto ellímite total no existe.
Un segmento de longitud `` " esta dividido en `` '' partes iguales. Sobre cada una de ellastom\andola como base, se ha construido un tri\angulo is\osceles, cuyos \angulos en la base son
de . Demostrar, que el l\\mite del per\\metro de la l\\nea quebrada as\\ formada es diferente dela longitud original, a pesar que pasando al l\\mites la l\\nea se confunde geom\etricamente con elsegmento original.
El punto divide al segmento en dos partes iguales, el punto divide a su vez al
segmento en dos partes iguales; el hace lo propio con el segmento y as\\
sucesivamente. Determinar la posici\on l\\mite del punto .
Límite de funcionesCalcular
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
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36.
37.
38.
Sea
Calcular el valor de de modo que exista
Sea
Calcular
Sea
Determinar el valor de de modo que exista %%%%%%% \section*{Continuidad}
Sea
Determinar de modo que sea continua en .Sea
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Determinar de modo que sea continua en .Sea
Determinar de modo que sea continua en .
Determinar, si existe, las constantes y de modo que la siguiente funci\on sea continua en todolos reales.
Considere la funci\on con dominio definida por.
Determine los valores de , en los reales de modo que la funci\on sea continua en los puntos
y .
Sean y una funci\on definida por
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Determinar si las siguientes proposiciones son vertdaderas o falsas.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
Sean y una funci\on definida por
Determinar si las siguientes proposiciones son vertdaderas o falsas.
1. Si entonces es continua en .
2. .
Sean y una funci\on definida por
1. Calcular
2. Definir en de modo que es continua en .
3. Existe .
Sean y una funci\on definida por
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1. Determine y indique su .
2. ?`Es continua en y .
DerivadaUsando la definici\on, determine la derivada de:
se\nalando su dominio.Usando \algebra de derivada calcular la derivada de las siguientes funciones.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
Las funciones de la columna A tienen su derivada en la columna B, de tal manera que puedeformar los pares
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En qu\e puntos, existe la derivada de las siguientes funciones:
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Demuestre que con satisface la ecuaci\on diferencial.
Sea donde y son derivables
a) Calcule
b) Calcule si Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. (Justifique)
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1. Si entonces
2. La funci\on no es derivable en .
3. La funci\on no es derivable en .
4. Si entonces .
5. Si , entonces
6. Si no es derivable en entonces no es continua en .
7. La ecuaci\on de la recta tangente a en el punto cuya abscisa es es
.
8. Sea .
Si entonces es derivable en .
9. La funci\on no es derivable en
10. La derivada de en es .
11. La funci\on es derivable en
12. La funci\on no es derivable en .
Considere la funci\on donde . Determine si las siguientes
afirmaciones son verdaderas o falsas
1.
2.
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3.
4.
5. Existen tal que es derivable em .
Sea .
?` Es continua en ? Calcule .
Sea .
?` Existe ? Calcule .
Dado . Encuentre .
Sea .
a) Es derivable en ?
b) Determine se\nalando su dominio.
c) ?` Existe ? Determine .
d) Determine si existe la ecuaci\on de la recta tangente a la curva en y en
. En caso de existir determinel(as).
Sea , .
a) Determine (si existe) .
b) Encuentre si existe la ecuaci\on de la recta tangente a en el punto .
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Sea .
?` Es continua en ?
?` Es derivable en ?
Determine se\nalando su dominio
?` Existen las rectas tangente a la curva en los punto y en el punto ?
Sea .
Determine y de modo que sea derivable en .
Encuentre y de modo que exista
.
Función Inversa
Dada la funci\on .
Determinar , justifique.
Calcular si existe , donde ,justifique su respuesta.
Considere una funci\on continua tal que y .
Determinar en los reales tal que .
Derivada Implícita
Calcular la derivada de la funci\on definida implícitamente por
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Soluci\on: Para ellos consideremos que es una funci\on derivable de .
notemos que la derivada obtenida en forma implícita, s\olo es v\alida para los punto en que laordenada es distinta de cero.
Calcular la derivada de la funci\on definida implícitamente por
Soluci\on: Para ellos consideremos que es una funci\on derivable de .
notemos que la derivada obtenida en forma implícita, s\olo es v\alida para los punto en
.
Calcular la derivada de la funci\on definida implícitamente por
Soluci\on: Para ellos consideremos que es una funci\on derivable de .
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notemos que la derivada obtenida en forma implícita, s\olo es v\alida para los punto en
.
Determinar la derivada de la funci\on definida en forma implí cita por
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Dada la funci\on definida implícita por
Calcular
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Dada la funci\on definida en forma implícita es derivable en el punto .
Mostrar que la funci\on definida implicítamente por la ecuaci\on , satisface tambi\enla relaci\on.
Calcular los \angulos de la recta normal a la par\abola en cualquier punto que pertenezca a \estacon la recta del radio focal al punto y la recta del eje de la par\abola.
Soluci\on: Consideremos la par\abola (ya que una traslaci\on no cambia los
\angulos) y el punto , luego la ecuaci\on de la recta tangente es
y la ecuaci\on de la normal con es
La ecuaci\on del eje de la par\abola es , adem\as la ecuaci\on de la recta que
describe el radio focal, tiene que pasar por los puntos y , por lo tanto tenemos
Ahora calculemos los \angulos, para ellos recordemos
Determine tal que la funci\on satisfaga la ecuaci\on:
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Regla de L'Hopital
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18. con
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
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Interpretación geométrica
Para qu\e valores de las gr\aficas de las curvas cuyas ecuaciones son y
tiene una recta com\un en el punto .
Determinar la ecuaci\on de la recta tangente a la curva en el punto .
En la par\abola se han marcado dos puntos cuyas abscisas son , . Por estospuntos pasa la secante . ?` En qu\e punto de la par\abola la tangente a \esta es paralela a lasecante trazada?
Escribir la ecuaci\on de la recta tangente y de la normal a la hip\erbola en el punto cuya
abscisa es .
Hallar el punto de la curva cuya ecuaci\on de la recta tangente es paralela al eje de la
abscisas.
Hallar la ecuaci\on de la recta normal a la curva que es paralela a la recta
.Mostrar que cualquier tangente a la curva
se cortan con el eje de ordenadas en un punto equisdistante entre el punto de contacto y el origende coordenadas.
Formar la ecuaci\on de la normal a la curva en el punto cuya abscisas es .
Sean y puntos de la par\abola . Si es la recta a la
par\abola en el punto y son las rectas normales en los puntos y . Calcular el \area del
tri\angulo determinado por las rectas y .
Calcule si la rectas es normal a la curva en Considere la ecuaci\on
Demuestre que la recta normal a la circunferencia en cualquier puntos de pasa por el origen.Considere la ecuaci\on
que define implícitamente a como funci\on de .
Determine (si existe) la ecuaci\on de la recta tangente a la curva en el punto .
Determine el (los) punto(s) donde la gr\afica de la relaci\on dada en forma implícita por;
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tiene tangente(s) paralela de la recta
determine la ecuaci\on de la(s) recta(s) tangente(s) a la curva en
con .
Determine (si existe) de modo que la ecuaciones de la recta tangente a la curva en
pasa por el origen
Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse las cuales pasan por el
puntos .
Dado verificar que
Dada la relaci\on
Hallar la ecuaci'on de la recta tangente a la curva en el punto
interpretación físicaEl radio de una esfera crece uniformemente con velocidad de 5cm/seg ?` A que velocidadcrecera el \area de la superficie de la esfera? y el volumen de la misma cuando el radio sea iguala 50cm.
Si el volumen de un cilindro aumenta a raz\on de 3 . Calcular la raz\on de cambio de la
superficie del cilindro en el instante cuando y sabiendo que .
El volumen de un cubo crece a la velocidad de en el instante en que la arista mide 20m.Calcule la velocidad con que varía la arista.
La tierra que vierte una escavadora al ritmo forma un cono cuyo radio es constantementeigual al doble de la altura. Hallase la velocidad a que varía esta \ultima en el instante en que laaltura es 18m.Un barco navega paralelamente a una costa recta a una velocidad de 12millas/hrs. y a unadistancia de 4 millas.?`Cu\al es la velocidad de aproximaci\on a un faro de la costa en el instante en que disten 5 millasal faro?
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
26/50ima.ucv.cl/librocalculo/
Un bote se acerca a un muelle mediante una cuerda de largo 6mts atada a su proa. La cuerdapasa por un anillo fijo al muelle, que esta 1/2 metros m\as alto que el extremo de la cuerda convelocidada de 2cm/seg.Hallar la velocidad con que el bote se acerca al muelle cuando se ha recogido 1 metros decuerda.La altura de un tri\angulo equilatero a raz\on de 3cm/seg.?`Cu\al es la velocidad de aumento del \area?El diametro y la altura de un cilindro circular recto son, en un cierto instante 10cm, 20cm,respectivamente.Si el diametro aumenta 1 m/min. Determine como varía la altura de modo que el volumen seaconstante.
Una vía de ferrocaril cruza una carretera bajo un \angulo de . Una locomotora distan 160metros del crucen y se alejan de \el a una velocidad de 100 Km/hrs. Un automovil distan del cruce160 metros y acerca a \el con una velocidad de 50Km/hrs.?` A que raz\on se altera la distancia entre los dos despues de media hora?Un bus se desplaza en linea recta paralela a la vereda con una rapides de 12 metros/ seg a 4metros de ella?` con que rapidez se aproxima a un disco pare ubicado al borde de la vereda en el instante enque disten 5 metros del disco PARE?Una escalera de 50 metros de largos se deslizan por una pared vertical de 15 metros de alto. Sila velocidad con que se desplaza el extremo superior es constante e igual a 2 mts/seg.?` Con que velocidad s desplaza el extremo inferior en el instante en que extremo superior esta en3 metros del suelo.
La altura de un tri\angulo equilatero aumenta a raz\on de 3 .Determinar la rapidez de crecimiento del \area.Un globo se halla a 60 mts de altura sobre una carretera recta y se esta elevando verticalmente
con un rapidez de . En ese instante pasa un auto que viaja a .?`Con qu\e rapidez aumenta la distancia entre el globo y el auto 5 segundos despues?Un farol se encuentra en lo alto de un poste de 16 pie de altura. Un ni\no de 5 pies de altura se
aleja del postea una velocidad de ?`Con qu\e rapidez se mueve el extremo de su sombra cuando \el se encuentra a 18 pie delposte?
Problema de Máximo y MínimoEn una parcela, se desea encerrar dos porciones de terreno de igual \area (como en la figura)con una malla de longitud L. Determinar las longitudes de modo que el \area encerrada sem\axima.
(Ayuda: Exprese el \area de las parcela en funci\on de .)\begin{picture}(10,5) \put(0,0){\line(0,1){3}} \put(0,0){\line(1,0){8} } \put(0,3){\line(1,0){8}} \put(2,3.1){$x$} \put(4,0){\line(0,1){3} } \put(6,3.1){$x$} \put(8,0){\line(0,1){3}} \put(8.1,1.5){$y$} \end{picture}
En la ribera de un r\\o de 3 km de ancho hay una planta el\ectrica, en la otra ribera 4 km corrientearriba hay una f\abrica. El costo de tender un cable por tierra (línea a\erea) es de $ 30 por metro yde $ 50 por metro, si se tiende bajo el agua (cable submarino). Determinar cuanto cable de sertendio en forma submarina de modo que el costo del tendido sea mínimo.(Ayuda: Determine la funci\on costo del tendido de cable de la planta el\ectrica a la f\abrica en
funci\on de , donde representa la longitud del cable tendido en forma submarina.)
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
27/50ima.ucv.cl/librocalculo/
Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja rectangular decart\on de 16 cm de ancho y de 21 cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina ydoblando los lados hacia arriba. Encuentre las dimensiones que minimice la cantidad de material
necesario. (Ayuda: Expresar (volumen de la caja) como una funci\on de la variable , donde es la longitud del lado del cuadrado). Ver figura.
\begin{picture}(19,6) \put(0,0){\line(0,1){5}} \put(1,0){\line(0,1){5} } \put(6,0){\line(0,1){5}} \put(7,0){\line(0,1){5}} \put(0,0){\line(1,0){7} } \put(0,1){\line(1,0){7}} \put(0,4){\line(1,0){7}} \put(0,5){\line(1,0)
{7} } \put(7.1,0.3){$x$} \put(10,0){\line(0,1){1}} \put(15,0){\line(0,1){1} } \put(13,3){\line(0,1){1}}\put(18,3){\line(0,1){1}} \put(10,0){\line(1,0){5}} \put(10,1){\line(1,0){5}} \put(13,3){\line(1,0){4}}\put(13,4){\line(1,0){5}} \put(11,1){\line(1,1){2}} \put(10,1){\line(1,1){3}} \put(15,0){\line(1,1){3}}
\put(15,1){\line(1,1){3}} \put(18.1,3.3){$x$} \end{picture}
Se desea construir un dep\osito abierto de base cuadrada y paredes verticales con dematerial. Determinar la longitud de una arista de modo que el volumen sea m\aximo
(Ayuda: Determine la funci\on vol\umen en t\erminos de , donde indica la longitud de un lado dela base).
Determinar las dimensiones de un cilindro circular recto de radio y altura est\a inscrito en uncono de altura 12 y radio de la base 4 de modo que su volumen sea m\aximo.
(Ayuda: Exprese el vol\umen del cilindro como una funci\on de .)
Se desea construir un recipiente cilindrico de metal sin tapa que tenga una capacidad de .Encuentre las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material sea mínima,suponiendo que no se desperdicia nada en la construcci\on.Una ventana tiene la forma de un rect\angulo coronado por un semicirculo. Halle las dimensionesde la ventana que permiten admitir m\as luz, suponiendo que el perimetro debe ser de 5m.
Se desea que la p\aginas de un libro tengan un \area de 900 con margenes de 2.5cm abajo ya los lados, y de 1.5cm arriba . Determinar las dimensiones de la p\agina que dar\an la mayor\area posible para el texto.Un hotel que cobra $80 (dolares) diarios por habitaci\on, da precios especiales a grupos quereserven entre 30 y 60 habitaciones. Si se ocupan m\as de 30 cuartos, el precio disminuye en $1por cada cuarto arriba de los 30. En estas condiciones ?`la ocupaci\on de cu\antas habitacionespor un grupo producen el ingreso neto m\aximo.?Calcule el volumen del cono circular recto m\as grande que se puede inscribir en una esfera de
radio .Dos postes verticales de 3 y 4 metros se hallan clavados en un suelo a nivel y sus bases distan 5metros. Calcule la longitud mínima de cable que se necesitan para tener dos tramos rectos desdela punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo y de ahíhasta la punta del otro poste.La suma que se gasta en el combustibles para la caldera de un barco es proporcional al cubo dela velocidad. Es sabido que si el barco marcha a 10km por hora, se gast\an 30 dolares por horade combustibles. Los dem\as gastos que no dependen de la velocidad son de 480 dolares porhora.?` A qu\e velocidad del barco es mínima el gasto total por un kilometro?
Se desea construir un silo para almacenar grano con una capacidad de . El silo ha de tener laforma de un cilindro rematado por una boveda semiesferica. Si el costo de construcci\on pormetro cuadrado es el triple en la parte semiesferica que en la parte cilindrica. Calcule lasdimensiones del silo que hace mínimo el costo de construcci\on.
Se desea construir una caja de base cuadrada de volumen 252 .
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
28/50ima.ucv.cl/librocalculo/
Determinar las dimensiones de la caja para que el costo de fabricaci\on sea mínimo, si se sabeque:
El costo de las tapa es $ 2 por
El costo de la base es $ 5 por
El costo de los lados es $ 3 por .
Problemas de Certamenes
Capítulo 1I.- Determine cual de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique
1.
2.
3.
4.
5. Sean . Si entonces
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. Sean . Si entonces
15.
16.
17.
18. Si tal que entonces
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
29/50ima.ucv.cl/librocalculo/
19.
20. El conjunto soluci\on de la inecuaci\on
es vacío
21.
22.
23. El infimo de es -5
24. El supremo del conjunto es .
25. El supremo del conjunto
26.
27. Si satisface la ecuaci\on entonces el valor de la
expresi\on es .
II Completaci\on:
1. El conjunto soluci\on de la inecuaci\on
2. El conjunto soluci\on de la inecuaci\on
3. La inecuaci\on
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
30/50ima.ucv.cl/librocalculo/
tiene como soluci\on el conjunto de los si .............
4. El conjunto soluci\on de la inecuaci\on
5. La inecuaci\on
tiene como soluci\on el conjunto de los si .......................
6. El conjunto soluci\on de la inecuaci\on
7. El conjunto soluci\on de la inecuaci\on
8. El conjunto soluci\on de la inecuaci\on
9. El conjunto soluci\on de la inecuaci\on
10. Sean el conjunto es el intervalo .................
11. Si ................., entonces se verifica
12. La proposici\on
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
31/50ima.ucv.cl/librocalculo/
es verdadera ssi ...............
13. Las soluciones del sistema
son ..........
14. Dos tuberias tardan 6 horas en llenar una piscina. Una s\ola la llenaría 5 horasm\as de prisa que la otra entonces cada tuberia tardaría individualmente en llenarla piscina ............... y ................ respectivamente
III.- Desarrollo
1. Si el radio del cilindro recto disminuye en un 10% mientras que su altura aumentaen un 12%.
en que tanto por ciento varía;
a) el volumen del cilindro
b) el \area lateral del cilindro.
2. Resolver
Capítulo 2I.- Determine cual de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique
1. Si entonces se tiene que .
2. El conjunto soluci\on de la inecuaci\on
3. , la ecuaci\on anterior no tiene soluci\on
positiva
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
32/50ima.ucv.cl/librocalculo/
4. Si y entonces y
5.
6. Para todo se tiene .
7.
8.
9. La inecuaci\on
tiene como conjunto soluci\on todos los reales ssi
10.
11. Si f es inyectiva entonces f es creciente o bien decreciente
12. Sea , entonces el
13.
14.
15. Si f es biyectiva entonces f es creciente o bien decreciente
16. Sea , entonces el
17. El valor mínimo de la funci\on es
18. Sea
entonces el dominio m\aximo de es
19. Sean funciones entonces el dominio m\aximo de
la funci\on es .
20. Si es una funci\on inyectiva entonces es estrictamente decreciente
21. La soluci\on de la inecuaci\on es vacio.
22. Si y son funciones entonces y su
dominio es
23. Si y son funciones biyectivas entonces el producto es biyectiva
24. Si , la funci\on tiene mínimo absoluto.
II Completaci\on:
1. La recta no intersecta a la par\abola si .............
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
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2. La par\abola , con centro en se abre hacia arriba
si y s\olo si .............
3. La ecuaci\on de la recta que pasa por el centro de la elipse
y es paralela a la recta es ..............
4. La relaci\on representa la c\onica ............. con v\ertice en..............
5. Sea ABCD el rect\angulo con lados paralelos a los ejes inscrito en la elipse
. Entonces la funci\on que representa el \area del rect\angulo enfunci\on de x es: .................
\begin{picture}(16,10)(-15,6) \bezier{350}(2,10)(10,20)(18,10) \bezier{350} (2,10)(10,0)(18,10) \put(1,10){\line(1,0){19}} \put(10,4){\line(0,1){12} } \put(5,13){\line(1,0){10}} \put(5,7){\line(1,0){10}} \put(5,7){\line(0,1){6}} \put(15,7){\line(0,1){6}}\put(10,11){--- x ---} \end{picture}
6. La relaci\on representa la c\onica ............... con centroen.............
7. Para ........y ............ la funci\on (par\abola) es decreciente
en
8. El dominio de la funci\on es .............
9. El dominio de la funci\on es ................
10. La soluci\on de la inecuaci\on
es ...............
11. Si la funci\on se define como
entonces el recorrido de la funci\on es .............
12. Sea entonces el dominio m\aximo de es ............
13. Sea y funciones, entonces el conjunto de todos los
tal que el dominio de es vacio es .................
14. Sea y , entonces el dominio m\aximo de es.........
15. El dominio de la funci\on
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
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es ....................
16. Considere la funci\on entonces es inyectiva si y s\olo si
.............. y ...............
17. La relaci\on define una funci\on biyectiva en .................
18. Sea y entonces es ....................
19. El conjunto de los puntos tal que tiene un valor mínimo es
................
20. Sea entonces el recorrido es ...............
21. Sea una funci\on biyectiva entonces es igual a
................
22. la funci\on definida en tiene un m\aximo absoluto en ...........y un valor mínimo absoluto igual a ...........
23. La funci\on que representa el volumen (en funci\on de ) del cilindro circular recto
inscrito en un cono de de altura y de radio, es ............. y sudominio es .................
24. El dominio de la funci\on es el conjunto .............
y la gr\afica de este conjunto es ...........
25. Si .
a. es estrictamente creciente en ...............
b. es estrictamente decreciente en ...............
c. alcanza su valor m\aximo en ..............
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d. El valor mínimo de es ...............
III.- Desarrollo
1. La orilla de una piscina forma un rect\angulo de 40 pies de largo y 20 pies deancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 3 a 7 pies en un tramohorizontal de 24 pies y despu\es contin\ua al mismo nivel los restantes 15 pies,como se ilustra en la figura, la cual muestra una secci\on transversal. Si la piscina
se est\a vaciando, alcanzando un nivel en el lado m\as profundo. Determine el
volumen del agua en funci\on de la altura , especificando su dominio.
2. La compa\nia de arriendo de autos ``Jimenez", arrienda chevette a $ 10.500 pordía y 40 pesos por kil\ometro recorrido, mientras que la compa\nia ``Arancibia"arrienda el mismo tipo de auto a $ 8900 por día y a 60 pesos por kil\ometro.
a. Si x representa el n\umero de kilometros recorrido en un día, encuentre la
funci\on que representa el costo por arrendar un chevette en lacompa\nia ``Arancibia" en ese día.
b. Cuantos kilometros se debe recorrer en el día para que me convengaarrendar el auto de la compa\nia ``Jimenez".
3. Resolver la siguiente inecuaci\on
4. Determine el dominio de la funci\on
Capítulo 3I.- Determine cual de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique
1. Si entonces existe.
2. Si es una sucesi\on decreciente entonces existe
3. La sucesi\on es convergente donde
4. La sucesi\on converge a
II Completaci\on:
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
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1. El valor del límite
es .................
2. Sea entonces
ssi ...............
3. El valor del límite es
4. El límite
5. El valor del límite es ...................
6. El valor del límite es ...................
7. Sea , entonces el gr\afico de es ..........
8. El límite
9. El límite es ............
10. El límite es ............
11. Sea entonces
si y s\olo si .....................
12. El valor del límite siguiente
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
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es ...............
III.- Desarrollo
1. Sea
a. Determine si es biyectiva ( si no lo es restringir de modo que lo sea) y
encuentre (especificando su dominio)
b. Determine la funci\on (especificando su dominio)
c. Calcule los siguientes límites (si existen)
Capítulo 4I.- Determine cual de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique
1. Sea una funci\on continua en y , ade-m\as, sea
entonces se puede decir que
2. El valor de es .
3.
4. Sea y funciones. Si existe y no existe entonces
no existe.
5.
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
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6. El límite existe.
7. El límite es 1
8. El límite es 1
9. El límite es 1
10. Para demostrar que ; dado positivo, basta tomar , asi se
tiene .
11. Sea
Determine el valor de verdad de la siguiente afirmaciones
a.
b.
c. es continua en todo
12. El valor del límite es
13. El límite no existe.
14. Sean y funciones.
Si existe y no exis-te en-ton-ces no existe.
15.
16. no existe.
17. y no existen, entonces no existe .
18. El valor del límite es .
19. Si límite de cuando existe y límite de cuando no existe, entonces
no existe.
20. Todas las funciones siguientes son continuas en
a. ;
b. ; .
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
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c.
21. La funci\on es continua en .
II Completaci\on:
1. El valor del límite es ............
2. El límite es ............
3. El límite es ............
4. El valor del límite es .................
5. Los valores de y tal que la funci\on
resulta continua en todos los reales son ............. ........
6. Sea
Definida en un donimio apropiado, subconjunto de
a. El m\aximo dominio de continuidad de es .........
b. tiene discontinuidad reparables en los puntos .........
c. El conjunto de los puntos en que tiene discontinuidad irreparables es...............
7. Sea , con , entonces el valor del límite de cuando tiende a
es ............
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8. Sea Entonces los valores de y que permiten que
la funci\on sea continua en son ........... y ............
9. Los valores de A , B que permiten que
sea continua en son ..............
10. Sea tal que
la funci\on es continua en ssi
11. Sean tal que
ser\a continua en ssi
III.- Desarrollo
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1. donde son n\umeros reales fijos:
a. Calcule el límite lateral derecho de en 0.
b. Calcule el límite lateral izquierdo de en 0.
c. Calcule los límite laterales de en -1.
d. Encuentre los valores de y , para que sea continua en -1
e. Encuentre los valores de y , para que sea continua en 0
Capítulo 5I.- Determine cual de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique
1. Si no es derivable en pero continua en y f es derivable en entonces el
producto no es derivable en .
2. Sean , la funci\on tiene s\olo un m\aximo en los reales.
3. La ecuación de la recta tangente a la curva definida implícitamente por
en el punto es .
4. La funci\on no tiene mínimo
5. La funci\on no tiene m\aximo y no tiene mínimo.
6. Si y entonces
7. Si la velocidad de crecimiento de la base de un tri\angulo es de 3 m/seg y la altura4 m/seg, entonces la velocidad de crecimiento de su \area en el instante que
cuando su base es de 12 metros y su altura de 20 metros es de 54 /seg
8. Toda funci\on acotada tiene extremos
9. La funci\on no tiene extremo.
II Completaci\on:
1. Dada las funciones y definidas por
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
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a. El Recorrido de es ............
b. El Dominio de es ................
c.
d. La derivada de la funci\on en el punto 2 es ...........
2. Si
a. es continua en si y s\olo si .............. y ...............
b. es derivable en si y s\olo si .............. y ...............
3. El valor del límite
4.
5. Considere el valor del límite
6. Si , entonces ...............
7. Si
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entonces ...............
8. La derivada de es ....................
9. Si
entonces ...............
10. La derivada de
es ..............
11. La derivada de
es ................
12. La derivada de
13. Sea entonces el dominio de la derivada de es ...............
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
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14. Sea una funci\on con derivada y , entonces el
valor de es ....................
15. Sea , con una funci\on derivable en , entonces en
es ................
16. Sea , entonces es ...........
17. Sea entonces el valor que hace derivable la funci\on
en es ...............
18. Sea entonces
19. Sea para entonces es igual a...............
20. La derivada de con es ..........
21. Sea la funci\on definida por:
La funci\on es derivable en si los valores de y son .............
22. Sea
a. es continua en para los siguientes valores de ...............
b. es derivable en para los siguientes valores de ...............
23. Sea entonces la derivada de es .......................
24. Sea , entonces en un conjunto apropiado la derivada de con
respecto a es: .............
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25. Dada la relaci\on ella define cerca del cero una
funci\on derivable , entonces la derivada de es..........
26. Sea , con para todo entonces la derivada
de es .............
27. Los lados de un tri\angulo de perímetro mínimo con \area fija , así como tambi\en
fija su base son ................
28. La ecuaci\on de la recta tangente a la gr\afica de la funci\on dadaparametricamente por
en el punto es ................
29. La funci\on es creciente en el siguiente conjuntos ................
30. La ecuaci\on de la recta tangente a la curva en es.................
31. La pendiente de la recta tangente a la gr\afica de en el punto es.............
32. La derivada de una funci\on es y
entonces ...............
33. Sea , con , entonces la derivada de la
funci\on inversa en el punto , es decir, es ................
34. sea entonces la derivada de la funci\on
inversa en el punto ,( ) es ..................
35. El límite
es ..................
36. El valor del límite es ..........
37. El valor del límite es ..............
38. Dada la curva en forma implícita. Cuantos puntos de la funci\on
tiene recta tangente paralela a eje x ...............
39. Un jardin es dise\nado con la forma de un sector circular de \angulo y radio
como en la figura. El jardinero cuenta con semillas sembrar A . Para determinarlas dimensiones del jardín de tal forma que se gaste lo menos posible en cercalo
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
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entonces la funci\on a mínimizar en la variable es ...............
40. El rect\angulo ABCD de \area m\axima inscrito entre la gr\afica de , el eje
OX (un lado sobre este eje) y la recta tiene \area igual a ..............
41. El rect\angulo ABCD de \area m\axima inscrito entre la par\abola , el eje
OX (uno de los lados en este eje) y la recta tiene \area igual a ...............
42. Sea un polinomio con coeficientes y , entonces
tiene un m\aximo local en y un mínimo local en si sus coeficientes soniguales a ....................
43. Dos trenes se alejan de un cruce que forma un \angulo de a velocidades de
y . Cuando el primer tren esta a del cruce entonces lavelocidad con que se estan alejando los trenes es de ...............
44. Las asíntotas verticales de son (es) ................
45. Los puntos de inflexi\on de son .........
46. La gr\afica de tiene infinitas rectas tangentes (una por cada punto). Dos
de esta rectas tangente pasa por el punto , una de ella es la tangente a otropunto. El punto es ...........
47. La gr\afica de la funci\on tiene puntos de inflexi\on en .............
48. La gr\afica de es ....................
49. Sea entonces
a. es creciente en ...............
b. es concava (hacia arriba) en .............
c. tiene asíntota vertical en ............
d. tiene asíntota horizontal en .............
50. Las asíntotas de son ..........
51. La ecuaci\on de la recta tangente a la curva definida implicitamente por larelaci\on
en es ..........
52. La ecuaci\on de la recta tangente a la curva en es .................
53. La funci\on es estrictamente creciente en .................
54. La funci\on definida en tiene un m\aximo en .....................
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
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55. La funci\on es estrictament decreciente s\olo en el intervalo .............
56. La velocidad de desvalorizaci\on de un equipo por el uso del mismo es
proporcional en cada momento a su costo real . La expresi\on que representa el
enunciado anterior donde es una constante positiva y t es el tiempo es .............
III.- Desarrollo
1. Derive
2. Calcular las derivada de
3. Utilice la ecuaci\on del Ovalo de Cassini.
a. Encuentre
b. ?` Se puede encontrar las ecuaciones de la recta tangente al ovalo de
Cassini en los puntos y ?
c. Encuentre la recta tangente an los puntos anteriores en los que se puedan.
4. Sean .
Determinar si la funci\on es soluci\on de la ecuaci\on diferencial
5. Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto ysemiesferas en los extremos (ver la figura) para almacenar gas propano. El costopor pie cuadrado de los extremos es el doble del de la parte cilíndrica, donde el
costo del metro cuadrado del cilindro es . ?`Qu\e dimensiones minimizan el
costo si la capacidad deseada es de ?
Ayuda:
6. Un campesino tiene dinero para comprar 1500 metros de alambre de puas, talcam-pe-sino desea cercar con 5 hebras de alambres un terreno rect\angular en supredio, en caso que x represente un lado del rect\angulo, determine la funci\on
\area del terreno cercado con este alambre en terminos de x. Mediante, la
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48/50ima.ucv.cl/librocalculo/
gr\afica de la funci\on encuentre las dimensiones del terreno con m\axima\area
7. Se desea construir un estanque en forma c\onica (recto) con capacidad para
litros. si 1 litros de impermeabilizante cubre de superficie. ?`Cuales
deben ser las dimensiones del cono para que se use una cantidad mínima deimpermeabilizante ? ?`Cu\antos litros se deben comprar para pintar tal cono?
Ayuda: Superficie de un cono de radio y altura es y su volumen es
. Cuidado con las unidades
8. Dos f\abricas A y B que se encuentran a 4 millas una de la otra, emiten humo conpartículas que contaminan el aire de la regi\on . Suponga que el n\umero departículas proveniente de cada f\abrica es directamente proporcional a la cantidadde humo e inversamente proporcional al cubo de la distancia desde la f\abrica. ?`Qu\e punto entre A y B tendr\a la menor contaminaci\on si la f\abrica A emite eldoble de humo que la f\abrica B ?
9. Calcular las dimensiones del cono invertido (de modo que los ejes coinciden) de
volumen m\aximo que se puede inscribir en un cono de altura cm y radio cm.Cu\al es el volumen m\aximo.
10. Una escalera de pies de largo est apoyada contra una muralla. El pie de la
escalera es arrastrado, alej\andola de la muralla a raz\on de pies por segundo ?`A qu\e velocidad se desliza hacia abajo el extremo superior de la escalera en el
instante que el pie de ella, est\a a pies de la muralla ?
11. Considere
a. Determine Dom
b. Calcule
c. Calcule
(Ayuda : Calcule
d. Calcule
e. ?` Qu\e puede decir de los límites (3) y (4) cuando ? (son iguales odistintos).
f. Grafique , considerando la informaci\on obtenida anteriormente y
sabiendo que las gr\aficas de y son
12. Sea f la funci\on continua ]-7,20] salvo en los puntos -3 y 10 y que satisface losiguiente
a.
b.
c.
d.
e.
29/02/12 Matematicas Para Ingenieria; Introduccion Al Calculo
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f. la tabla
x -7 -5 -3 -1 0 1 3 5 10 20
f'(x) + + 8 0 0 0 - 3 + 0 - + 0
f(x) - - 3 5 0 5 3 6 20
Grafique f
13. Considere, para el análisis y la gráfica de la función
y .
Indicar en la tabla siguiente:
a. Determine el
b. Los valores de donde la gr\afica cambia de comportamiento.
c. Los sectores de crecimiento y decrecimiento
d. los sectores donde la gr\afica es concava hacia arriba y donde es concavahacia abajo.
Puntos Importante
Signo de
Signo de
Crecimiento y
Decrecimiento
Concava y convexa
e. Las asíntotas verticales son
f. Las asíntotas oblicuas son
g. Grafique
14. Considere, para el an\alisis y la gr\afica de la funci\on ,
y .
Indicar en la tabla siguiente:
a. Determine el
b. Los valores de donde la gr\afica cambia de comportamiento.
c. Los sectores de crecimiento y decrecimiento
d. los sectores donde la gr\afica es concava hacia arriba y donde es concavahacia abajo.
Puntos Importante
Signo de
Signo de
Crecimiento y
Decrecimiento
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50/50ima.ucv.cl/librocalculo/
Concava y convexa
e. Las asíntotas verticales son
f. Las asíntotas oblicuas son
g. Grafique
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