Matemticas generales para maestros

Carlos Maza Gmez

2

Carlos Maza Gmez, 2010 Todos los derechos reservados

3

ndice

1 Sistemas de numeracin 5 Problemas .. 172 Fracciones y decimales .. 23 Problemas .. 333 Divisibilidad .. 41 Problemas .. 494 Proporcionalidad directa ........... 59 Problemas .. 675 Funciones .. 77 Problemas .. 856 Proporcionalidad geomtrica . 93 Problemas .. 1037 Construccin de polgonos 113 Problemas .. 1258 Cuerpos en el espacio .... 137 Problemas .. 1459 Estadstica descriptiva ........... 151

4

Tema 1 Sistemas de Numeracin

Distintas formas de contar Los hombres han tenido necesidad de contar desde los primeros tiempos, sea el nmero de cabezas de ganado, el de guerreros de una tribu, jarras de lquidos, cestos de grano, etc. Sin embargo, lo han hecho de forma diferente no slo en lo que a los signos se refiere, sino en los criterios utilizados para contar. Inicialmente bastaba establecer una correspondencia uno a uno entre dos conjuntos. Los miembros de una tribu que marchaban al combate iban dejando, cada uno de ellos, una piedra en un cesto a la salida del poblado. Cuando volvan cada cual recoga una piedra. Contando las piedras sobrantes se poda averiguar el nmero de guerreros cados. De esta forma la cuantificacin serva para la comparacin (dnde o cundo hay ms o menos, cuntos ms y cuntos menos). Esta correspondencia finalmente se extendi a la comparacin entre un conjunto abstracto de nmeros (y sus palabras asociadas: uno, dos, tres...) y otro conjunto de cosas que cuantificar. Es el caso de los egipcios, que contaban el nmero de cabezas de ganado hacindolo pasar por un desfiladero estrecho y disponiendo un hombre para contar unidades (de uno a diez), otro para contar decenas (de diez a cien), otro contando centenas (de cien a mil). Contaban de diez en diez pero su forma escrita de hacerlo era aditiva, es decir, iban aadiendo el mismo signo hasta llegar a la unidad superior. De este modo utilizaban una serie de smbolos que repetan tantas veces como fuera necesario a la hora de representar grandes cantidades, como es el caso de 47.209 (figura 1.1). El inconveniente de este procedimiento es que la representacin simblica de grandes cantidades supona el empleo de gran nmero de signos.

Figura 1.1

e Mesopotamia empleaban arcilla que era abundante a la orilla de sus s. L

Hasta ah no hay mayor varia a la numeracin egipcia pero los

ismo modo que nosotros contamos de 10 en 10. La razn es algo incierta pero deba tener relacin con la divisin de la trayectoria circular solar en 360 das correspondientes al ao, al tiempo que observaban la perfecta divisin de una circunferencia en seis partes iguales mediante la superposicin del radio. De manera que

Este inconveniente haba sido resuelto por los mesopotmicos de otro modo. Mientras los egipcios usaban papiros que obtenan trabajando el tallo de una planta o bien trozos de cermica desechada, sus vecinos dro a extendan en tabletas y dibujaban signos sobre ellas para dejarlas luego secar y endurecerse. Las unidades eran un simple trazo obtenido con un estilo o punzn que dejaba una marca en forma de cua, de donde la escritura se ha denominado cuneiforme. Repetan como los egipcios las unidades y, al llegar a diez, utilizaban el mismo signo pero girndolo hasta quedar horizontal (figura 1.2).

cin respectomesopotmicos tenan la particularidad de contar de 60 en 60 (numeracin sexagesimal) delm

5

6

360 : 6 = 60 daba lugar a un nmero (60) que probablemente se entendiese como de origen divino o mgico.

Figura 1.2

Pues bien, cuando llegaban a superar las 60 unidades a contar, los mesopotmicos

empezaban de nuevo por el uno pero en una po cin diferente de otras unidades ms simples (figura 1.3).

si

Figura 1.3

Esto ltimo constituye el principio posicional de la numeracin por el cual una cifra o signo numrico tiene valor por la cantidad que representa en s misma y por la posicin relativa respecto de las dems cifras. Una de las dificultades de esta forma de numeracin posicional, sin embargo, es la

contexto en que se encuentran estos nmeros (bsicamente tareas escolares y dministracin de templos y palacios) es muy posible que la distincin se realizara slo por un

mos de un sueldo de 2 daremos por upuesto que esta cifra se refiere a miles de euros y no nos ser necesario presentar todos los

se usa en la actualidad tiene algunas de estas aractersticas:

2) Cuenta en base diez, es decir, que cada diez unidades de un mismo orden equivalen a na unidad del orden superior, y viceversa.

3) Es posicional, por cuanto una cifra como 3 tiene un valor en s misma (representa tres osicin que ocupa (as, no es lo mismo 3, que 30 300). La

resencia del cero garantiza una completa claridad respecto al orden de la cifra considerada.

ausencia de cero, por lo que a veces resulta confuso saber cuntas unidades se estn contando. Dado el agrupo selecto de la poblacin (los escribas) que daran por supuesta la ordenacin de los signos segn el contexto del conteo. Del mismo modo, si hablasceros posteriores. La numeracin indo-arbiga que c 1) No es aditiva, de manera que hay un signo diferente para las primeras diez cifras, entre las que se incluye el cero (0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9). u unidades) y otro en relacin a la pp

Cambio de base De base decimal a cualquier base Contamos de diez en diez, tambin expresado como en base decimal, qu significa eso? Que agrupamos diez unidades e a centena y as sucesivamente.

Hay constancia tambin de otras f en dos (sistema binario) en

nstancia de conteos de cinco en cinco, por docenas (quedan restos de esta forma hoy en da),...

e 8 podemos formar? Para sabe

pero si agrupamos de 8 en 8, e los 9 octetos formados: 1 sobrante

de manera que la cantidad total se puede expresar como

Si en vez de agrupar de diez en diez lo hicisemos ahora de 3 en 3, el resultado sera: : 3 es de 25 grupos de 3 y 0 sobrantes 25 : 3 = 8 grupos de 3 y 1 sobrante

Todas stas son expresiones diferentes para la misma cantidad que deseamos cuantificar. De cualquier base a base diez

n una decena, diez decenas en unLos mesopotmicos, como hemos visto, contaban sin embargo de sesenta en sesenta.

ormas de conteo: se hace de dosinformtica, pero yendo a tiempos ms antiguos hay co

Si en una clase universitaria hay, por ejemplo, 75 personas cuntos grupos drlo, bastar dividir

75 : 8 da 9 grupos y 3 sobrantes l sistema puede aplicarse de nuevo a 9 : 8 da 1 grupo de 8 y

113 8)

75

8 : 3 = 2 grupos de 3 y 2 sobrantes quedando la cantidad de 75 personas expresada como:

2210 3)

Supongamos, por el contrario, que tenemos el nmero 121 4) es decir, en base 4, de manera que 4 unidades de un orden sean equivalentes a una unidad del orden superior. Puede representarse esta cantidad en un baco plano (figura 1.4).

Figura 1.4

Pues bien, queremos saber cmo expresar esta cantidad en base decimal. Tomamos entonces la unidad de tercer orden (la de la izquierda) a cuntas unidades de primer orden equivalen?

7

8

1 x 4 transformar esa unidad de tercer orden en 4 unidades de segundo orden y, primer orden. En total sern

Del mismo modo, las dos unidades de segundo orden se transforman en otras de primero

a lo que habr que sumar la un

1 x 4 + 2 x 4 + 1 = 16 + 8 + 1 = 25

Se llama expresin polinmica de un nmero a su desarrollo en funcin de la base en que est expresado. Por ejemplo, sern expresiones polinmicas las siguientes:

2104 5) = 4 + 0 x 5 + 1 x 52 + 2 x 53

stas expresiones polinmicas tienen la capacidad de ayudarnos a transformar un nmero

lgoritmos de la suma y resta

oritmo mediante dos reglas

) Sum r unidades del mismo orden, empezando por las inferiores. es da lugar a una unidad de orden superior, sta pasa a

inmediatamente superior.

meros en bases diferentes sigue las mismas pautas, con salvedad de que el paso de una unidad a la siguiente se realiza conforme a la base de mera

1 1

2 3 5) + 1 3 4 1 5)

volviendo a multiplicar por 4, las transformaremos en unidades de

1 x 42 = 16

multiplicando por 4,

2 x 4 = 8

idad de primer orden que se tena:

2

121 4) = 25 10) la

1320 4) = 0 + 2 x 4 + 3 x 42 + 1 x 43

Een cualquier base en su expresin en base decimal. A En base decimal la suma es una operacin por la que se unen o combinan dos cantidades. En lo que se refiere a la suma de cantidades grandes se realiza el algbsicas: 1 a 2) Si la suma de estas cantidadregistrarse entre las unidades de orden Pues bien, la suma de grandes nlanu cin. En una operacin realizada en base 5, el resultado ser: 2 4 -------------------- 4 3 1 4 5) La resta es una operacin ms compleja en la que cabe abordar el algoritmo de dos maneras distintas: Mtodo de tomar prestado E m u comienzo de ls el s us al al a enseanza y, por ser distinto del habitual, lo

a decimal. El procedimiento consiste de nuevo en uando sea posible realizar la resta (la cifra del

traendo) se har as pero, en caso contrario (por jemplo, 1-3), se tomar prestada una unidad del orden superior transformndose en las nidades de orden inmediatamente inferior que correspondan a la base. De este modo ser

realizaremos primero en una base distinta de loperar entre s unidades del mismo orden. Cminuendo es mayor o igual que la del suseu

9

n.

llevadas

posible hacer la operaci 2 5 3 6 3 0 4 1 5) - 1 2 2 3 5) ------------------ 1 3 1 3 5) Mtodo de las El mtodo usual en base decimal, tal como se automatiza tras la enseanza primaria,

el mismo modo que antes pero actuar de modo diferente respondiente entre las unidades de que se trate. En ese

fra del minuendo, se realiza la resta entre esas nidad y l go s llev adindose a la cifra del sustraendo en la unidad mediatamente superior

han aadido diez unidades al minuendo y otras diez unidades (en forma e una decena) al sustraendo, realizndose esta accin tantas veces como sea necesario.

l proc dimie convenientes didcticos asociados a su aplicacin cuando la ce explcita ni se conoce por parte del alumno. Adems alizar una resta a travs de una suma. Todo ello aconseja de resta antes de pasar a sta que es ms eficiente y ntal pero resulta ms compleja de aprender, como se

mprueba en el siguiente ejemplo en base 4, primero resuelto al primer modo y luego segn el goritm

1 2 4) 1 2 3 1 4)

----

esto las dificultades que presenta el mtodo de tomar s, puesto que es necesario transformar unas unidades en o siempre fciles de comprender.

De forma tradicional:

4 5

consiste en plantear la operacin dcuando no se puede realizar la resta corcaso, se aaden 10 unidades auxiliares a la ciu es ue e a una ain 12 15 3 2 5 2 8 - 1 7 8 ------------- 1 4 7 Esta accin auxiliar est basada en una propiedad de la resta: Si al minuendo y sustraendo de una resta le sumamos o restamos la misma cantidad, el resultado de la resta no vara. En este caso, sed E e nto tiene inpropiedad que lo fundamenta no se hatiene el inconveniente semntico de reensear inicialmente el primer tipo proporciona una mayor economa mecoal o tradicional: 2 3 5 3 0 -------------- 1 1 2 1 4) Este ejemplo pone de manifiprestado cuando hay ceros intermediootras inferiores mediante varios pasos, n 3 0 1 2 4) 2 3 1 2 3 1 4) ------------------ 1 1 2 1 4)

Algoritmos de la multiplicacin

10

se reduzca a ella) como una suma reiterada. responde a esa idea presentando la ventaja de que la operacin. Esta ventaja y la sencillez de su uso nseanza. x 13

total de 13 veces, pero ello se puede acer duplicando sucesivamente el nmero de veces de la repeticin:

2 veces

--------------------------- 4 + 1 = 13 veces

que repetirlo 8 veces + 4 veces + 1 vez, de

manera que slo tenemos ntes en la columna de la quierda, fruto de esas repeticiones.

del mismo orden dentro de los resultados arciales. Este hecho se hace evidente cuando la operacin se hace en horizontal.

Un algoritmo que resuelve est semejante al actual, es el algoritmo en celosa. Los dos factores de la multiplicacin locan en la parte superior y derecha de un casillero, de forma que el resultado de cada casilla se obtenga multiplicando las cantidades correspondientes a la fila y columna de q La disposicin de las diagonales permite

iferenciar, dentro de cada casilla, el orden de unidad de cada cifra y, de manera oblicua, alinear

326 x 38 = 12.288

La multiplicacin suele definirse (aunque no Pues bien, el algoritmo egipcio de duplicacinno es necesario recordar las llevadas al realizares la causa de su introduccin temprana en la e Sea, por ejemplo, la multiplicacin 27 La interpretaremos como la accin de repetir 27 un h 27 ............... 1 vez 54 ............... 108 ............... 4 veces 216 ............... 8 veces 216 + 108 + 27 = 351 .............. 8 +

As, repetir 27 trece veces es lo mismo que sumar las cantidades correspondie

iz Sin embargo, cuando las cantidades son ms crecidas el procedimiento se hace muy engorroso y es necesario utilizar las propiedades de la multiplicacin. Bsicamente son dos: 1) La distributiva, por la cual

8 x 342 = (8 x 300) + (8 x 40) + (8 x 2) 2) La asociativa, que permite considerar

8 x 300 = 8 x (3 x 100) = (8 x 3) x 100 Una de las dificultades mayores en la multiplicacin, cuando se aplican estas propiedades, consiste en agrupar las unidadesp

e problema y es muy se co

ue se trate. dlas unidades del mismo orden. Por ejemplo, si se plantea la multiplicacin 326 x 38 el casillero a obtener sera el mostrado (figura 1.5)

Figura 1.5

11

Este procedimiento puede utilizarse para realizar multiplicaciones en bases distintas de la ecima

d l. As, en el caso de 243 5) x 32 5) se dispondra un casillero similar que dara lugar al resultado deseado (figura 1.6):

243 5) x 32 5) = 144315)

Figura 1.6

llo pe goritmo actual en base decimal, muy parecido al que n de los nmeros (uno bajo el otro) y de los resultados

ando en vertical las unidades del mismo orden, en vez de forma oblicua). Ello tiva de un modo ms sistemtico empezando por las

nidades del multiplicador, siguiendo por sus decenas, millares, etc. levadas en cada producto parcial (algo que no es

ecesa en el algoritmo en celos recurrir al algoritmo expandido que presenta

3 5

8 0 0 0 0

----------------------

3 x 2 5

5

de manera que el producto de las decenas resulta 20 x 347 = (2 x 10) x 347 = (2 x 3

or lo que se aade un cero al resultado de multiplicar las decenas del multiplicador por las

E rmite interpretar mejor el alaqu se ha expuesto. Cambia la disposiciparciales (alineobliga, a aplicar la propiedad distribuu Para evitar la dificultad de recordar las ln rio a), se puedetodos los resultados intermedios: 3 4 7 x 2 5 --------------------- 2 0 0 1 5 0 0 1 4 0 6 0 8 6 7 5 Que, en forma abreviada, sera:

4 7

------------- 1 7 3 5 6 9 4 0 ------------------ 8 6 7

47) x 10 pcifras del multiplicando.

Algoritmo de la divisin

12

d. Ese nmero de grupos es el cociente c pudiendo que caracteriza la divisin:

cedimiento que resuelve una divisin, dados su dividendo y divisor, onsiste en encontrar un nmero c cuyo producto por d se acerque lo ms posible al valor del

dividendo D. Este procedimiento sustractivo permite resolver 38 : 5, por ejemplo, sin ms que encontrar el nmero 7 tal que 5 x 7 = 35. As, 38 = 5 x 7 + 3 que suele escribirse a travs del diagrama correspondiente (figura 1.7).

La divisin responde bsicamente a la accin de repartir, dividir la cantidad llamada dividendo D en un nmero de grupos del tamao indicado por el divisor

quedar un resto r en la igualdad

D = d x c + r

El primer proc

Figura 1.7

Pues bien, el mtodo sustractivo resulta ineficaz para nmeros grandes. Basta imaginar el esfuerzo para encontrar la solucin a la divisin 659 : 7. Habra de multiplicarse el divisor 7 por nmeros muy grandes para encontrar la mejor aproximacin al dividendo 652. Es por ello que se recurre al mtodo distributivo por el cual se distribuyen las divisiones realizadas sobre el dividendo aprovechando su descomposicin polinmica:

659 : 7 = (650 : 7) + (9 : 7) dopta o el e quem onocido por el cual se separa el dividendo, empezando por sus valores uperio s, de orma ue se rtes entre el divisor. Los resultados parciales se van umand a la sigui tes u diatamente inferiores para seguir procediendo a la

a nd s a cs re f q divida por pas o s en nidades inmedivisin (figura 1.8).

Figura 1.8

De este modo:

659 = 94 x 7 + 1 Obsrvese que esta divisin parte de un adecuado conocimiento de la tabla de multiplicar por 7, hecho que hay que tener en cuenta si se desea extender el procedimiento a la divisin en otras bases. Si se plantea una divisin en otra base, por ejemplo 323 5) : 4 partiremos de la tabla de multiplicar del 4 en base 5:

13

4 x 3 = 22 4 x 4 = 3para llegar a (figura 1.9):

4 x 1 = 4 4 x 2 = 13

1

Figura 1.9

llegando a que 32

mental

o al aprendizaje del algoritmo scrito, habida cuenta de que el estudiante dispone de una calculadora para la realizacin de

algoritmos complejos. No hay que olvida ultiplicaciones y divisiones forman parte de una tradicin escolar que probablemente haya quedado obsoleta. Sin embargo, el clculo estimat forma mental, es una actividad donde se han de combinar propiedades numricas relacionadas con el sistema de numeracin decimal

d a la vida cotidiana, donde no empr

? Para responder a sta pregunta podemos usar el mtodo del redondeo considerando que los cuadernos valen algo

menos de 2 euros cada uno, lo qu a

ueremos saber con exactitud el gasto efectuado, en vez del algoritmo tradicional podemos con ms cada cuaderno, de manera que supone considerar un exceso de:

5 x 15 = 75 cts

Cmo se ha realizado la ltima multiplicacin? Caben varias posibilidades no tradicionales:

5 x 15 = 2 x (2 x 15) + 15 = 75 cts

doble e 15.

Tambin e

3 4) : 4 = 42 4)

Estimacin y clculo En algn caso se puede cuestionar el tiempo dedicade

r que largas m

ivo y otro exacto de

as como una importante flexibilidad en la consideracin de los nmeros. A esta capacidad para el desarrollo del sentido numrico ha de unirse su aplicabilidasi e se dispone de calculadoras para hallar un resultado exacto o aproximado. As, por ejemplo, supongamos que vas a una papelera con 10 euros en el bolsillo. Tienes que comprar 5 cuadernos que cuestan 1,85 euros. Tienes dinero suficientee

e hace que el gasto sea inferior

5 x 2 = 10 euros

Ahora bien, si qsiderar que este redondeo ha estimado en 15 cts

que deducir a los 10 euros, dndonos la cantidad exacta de coste de los cuadernos: 10 0,75 = 9,25 euros

de manera que cinco veces 15 sean cuatro veces ms una, pero cuatro veces es el doble deld

s posible hacerlo por un mtodo de compensacin:

14

5 x 15 = (10 x 15) : 2 = 75 cts

r una tcnica de

x 40 = 800 cts = 8 euros

ms aplicable cuando los nmeros sean mayores, de manera que si en una ciudad hay 32 colegios, cada uno con una media de 256 alumnos, un

30 x 250 = 30 x (1.000 : 4) = 7.500 alumnos

Pero si en el problema anterior de las latas queremos mayor exactitud que la dada por el truncamiento, podemos co la cual se trunca uno de los factores y se redondea al alza el otro:

= 10 euros

o mental por el que istribuyamos el producto necesario, procedimiento que se conoce como recomposicin:

24 x 45 = (20 x 45) + (4 x 45) = 900 + 180 = 10,80 euros

cuyos productos parciales se puede haber aplicado alguna de las tcnicas de clculo mental. Por e ) x 10 siguiendo la propiedad asociativa, y 4 x 45 es el doble del doble de 45.

erar por las cifras ms ignificativas arrastrando los resultados parciales para sumarle los obtenidos sobre cifras menos

significativas. Ello se co erada en este problema: ompras en unos almacenes un abrigo por 240 euros, dos pantalones por 170 euros y unos apatos por valor de 60 euros. Cunto te has gastado en total?

Cuando se realiza la suma mental de 240 y 170 lo primero que se hace no es sumar las nidades ni las decenas, sino las centenas (son trescientas y ...) para fijar ese resultado y prestar tencin a las cifras de las decenas (cuarenta y setenta son 110) para llegar a 410 a las que nalmente se aaden 60 euros. As pues se empieza por la izquierda y no se realiza la suma de das las unidades del mismo orden sino que se procede por sumas parciales.

En todo estos procesos hay que prestar especial atencin a varias propiedades numricas las que hemos hecho referencia pero donde hay que aadir el uso de complementarios en el aso de la suma. As, en el caso de:

120 + 360 + 280

es decir, multiplicar por 5 es lo mismo que multiplicar por 10 y dividir por 2, ambas operaciones especialmente sencillas. Se puede observar as la importancia de conocer los productos por las sucesivas potencias de diez como resultados inmediatamente aplicables:

5 x 10 = 50 5 x 100 = 500

5 x 1.000 = 5.000

A ello hay que unir la necesidad de un buen conocimiento de la propiedad distributiva del producto cuando se trata de nmeros grandes. As, consideremos que es necesario comprar 24 latas de refresco, cada una costando 45 cts. Si uno desea hacer un clculo aproximativo bien puede empleatruncamiento, es decir, transformar en ceros las cifras menos significativas:

20

Este procedimiento ser tanto

truncamiento como

puede considerarse adecuado.

nsiderar una estrategia de compensacin, por

24 x 45 20 x 50 = 1000 cts

En todo caso, una respuesta exacta requerir un mecanismd

en cada uno de

jemplo, 20 x 45 ser interpretado como (2 x 45

El clculo mental tiene sus peculiaridades, como es el hecho de que suele desarrollarse en sentido contrario del algoritmo tradicional, ya se empieza a ops

mprueba fcilmente en una suma como la genCz uafito ac

15

entalmente se ordena de otra manera: (120 + 280) + 360

e modo que las cifras de las decenas se complementan para formar una centena con facilidad: 400 + 360

ue resulta ms fcil de obtener. Algo parecido sucede tambin en las multiplicaciones cuando el factor es el 9:

15 x 9 = (15 x 10) 15 = 150 15 = 135

En el caso de las divisiones las operaciones suelen ser ms complejas pero cabe tambin acer algunos atajos que faciliten su resolucin mental.

Por ejemplo, queremos repartir 248 euros entre cuatro personas. Teniendo en cuenta que = 2 x 2 y la facilidad que supone hallar la mitad de una cantidad par:

248 : 4 = (248 : 2) : 2 = 124 : 2 = 62 euros

ue en determinados casos (no es muy frecuente) puede realizarse distribuyendo el dividendo, en ez del divisor:

248 : 4 = (240 : 4) + (8 : 4) = 60 + 2 = 62 euros

La estrategia de compensacin tambin es aplicable en algunos casos, segn los nmerosen juego: Si lo que se desea es repartir 290 euros entre cinco personas,

290 : 5 = (290 : 10) x 2 = 29 x 2 = 58 euros

m

d

q

h 4

qv

16

17

Problemas Distintas formas de contar

nmeros si cuentas en base 2, 3 y 5.

) Escribe en mesopotmico: 47, 76, 347, 4192.

b) 94 meses en aos y meses. das y horas.

6 kg, 64 kg, 256 kg. Hay que pesar una

iendo en cuenta las o de billetes y monedas que necesitaremos

para expresar esta cantidad?

) Escribe los nmeros 2032 4) y 3204 5) en forma polinomial.

) Qu ventajas presenta contar en base doce respecto al nmero de divisores? Cmo na mano? Podras contar hasta 60 con los

o del rimer dado por 2, smale 5 luego, multiplica despus por 5. Suma a lo que resulte el nmero

lido en cada dado. Por qu?

0) En qu sistema de numeracin se duplica 25 x) al invertir sus cifras?

hos dgitos es 12. Si los dgitos se presentan arle 18 para que sea igual al primero. Cul

x) x) x)

diferen 14)

n) n)

5) ; 101101 2) ; 346 7) ; 551 6) ; 1.04.36 60)

1) Escribe los primeros 10 2) Escribe los dos nmeros anteriores a los siguientes: 555 6) ; 100 7) ; 1000 5) 3 4) Convertir lo siguiente: a) 108 das en semanas y das. c) 86 horas en 5) Tenemos una coleccin de pesas de 1 kg, 4 kg, 1tonelada usando el menor nmero posible de pesas. 6) Un recibo se paga en el banco con 432 monedas de 20 cntimos. Ten

monedas actuales, cul es el nmero mnim

7 8

contaras hasta 12 utilizando los dedos de udedos de las dos manos?

9) Echa tres dados y anota los tres nmeros que salen en orden. Multiplica el resultadpdel segundo dado, multiplica por 10 y suma finalmente el resultado del tercer dado. Si restas 250se puede adivinar lo que ha sa 1 11) En un nmero de dos dgitos la suma de dic

que sumen orden cambiado, al nuevo nmero hay ra el nmero original? e

2) 1 En qu sistema de numeracin se cumple que

55 + 43 = 131 ? 13) Cul es la base n en el que los tres nmeros 123 n) ; 140 n) ; 156 n) cumplen que la

cia entre un nmero y el inmediatamente anterior es la misma?

En un sistema de numeracin en base n, el nmero abc n) tiene las cifras c = n-1, b = n-2, a = n-3 Demostrar que c 2 = b1 cb = a2

ambio de base C

5) Escribir los siguientes nmeros en base decimal: 1

432

18

nmeros de base diez a las bases indicadas: 432 a base 5 ; 1963 a base 12 ; 404 a base 4.

8) Cambia 1011011 2) a base 5. 19) 20) de 24 x)

1) En los sistemas de numeracin de bases n y n+1 un mismo nmero se representa por 435 n) y por 326 n+1) alla n y la expresin de dicho nmero en base decimal.

lgoritmos de la suma y resta

2) Sumar: 2234 5) + 1032 5) + 3333 5)

en lo siguiente: Para hacer la resta 619 ntario de 476 (lo que le falta para alcanzar 999), que es

142. A continuacin, se toma el nmero a la en una unidad que se suma a lo que queda del nmero (142 l resultado de la resta inicial. Por qu? Realiza otras restas

2) usando el algoritmo en celosa.

6)

gito, la nmero inco. El

iene s mando los nmeros extendidos, multiplicando por 10 y aadiendo producto de los nmeros flexionados. Es cierto siempre?

16) Convertir los siguientes 17) Cambiar 42 8) a base 2. 1

Qu bases hacen estas igualdades ciertas?: 32 = 44 x) ; 31 4) = 11 x) ; 15 x) = 30 y).

Halla la base del sistema en el que el nmero 554 x) representa el cuadrado 2 H A

2 23) Encontrar los nmeros ocultos en las siguientes operaciones: 2 _ _ + 22 = _03 ; 20010 - 2_2_ = 1_2_1 5) 5) 5) 3) 3) 3) . 24) La resta por suma del complementario consiste

- 476 se encuentra el compleme523. Se realiza la suma 619 + 523 = 1izquierda (1) y se transforma+ 1 = 143) y ste resulta ser epor el complementario comprobando el resultado.

Algoritmos de multiplicacin y divisin 25) Multiplicar 216 8) x 54 8) ; 11011 2) x 1101

En qu sistema de numeracin se verifica 2 54 x) x 3 x) = 250 x) 27) Sabiendo que en cierto sistema de numeracin 36 x) + 45 x) = 103 x) calcula el producto de 36 x) x 45 x)

28) Para multiplicar dos nmeros desde el 5 x 5 al 9 x 9, cada uno de un dmultiplicacin sarda procede as: Cada nmero se representa en una mano por un

ded didos igual a la cantidad en que el nmero sobrepase de cde os exten obt uresultado se

a lo obtenido el

19

Soluciones 1 se 2: 1 / 10 / 11 / 1) Ba 00 / 101 / 110 / 111 / 1000 / 1001 / 1010 / ... Base 3: 1 / 2 / 10 / 11 / 12 / 20 / 21 / 22 / 100 / ...

as / 14 / 20 / ...

7) 65 7) / 444 5) 443 5)

) 7 / 1.09.52

) 3 das / 7 aos 10 meses / 3 das 14 horas

) kg, 3 de 64 kg, 2 de 16 kg y 2 de 4 kg.

= 86 rtidos como 1 de 50, 1 de 20, 1 de 10, 1 de 5, 1 moneda de 1 euro, 2 de 20 cts.

5 3

2, 6, 3, 2) respecto a la base 10 (10, 5, 2) lo que a con ms subunidades.

e los dedos restantes. el modo anterior aadiendo que cada dedo de la otra mano corresponda a una docena.

eracin efectuada corresponde a

5 (2 a + 5) + b

10 [ 5 (2 a + 5) + b ] + c

10 [ 5 (2 a + 5) + b ] + c = 10 [ 10 a + 25 + b ] + c = 100 a + 250 + 10 b + c 50 resulta:

100 a + 10 b + c descomposicin cannica del nmero escrito a b c.

0) 5 2 x) = 2 x 2 5 x)

gitos a b a + b = 12 Adems,

9 (a - b) = 18

iones con dos incgnitas:

ue resulta en a = 7 b = 5

B e 5: 1 / 2 / 3 / 4 / 10 / 11 / 12 / 13 2) 554 6) 553 6) / 66 3 47 / 1.16 / 5.4 4 15 semanas 5 3 pesas de 256 6) 432 x 20 ,40 euros repa 7) 2 + 3 x 4 + 2 x 4 3 / 4 + 2 x 5 2 + 3 x 8) En base 12 habra ms divisores (1

permite el establecimiento de una relacin fraccionariSealando con el pulgar cada una de las falanges dD 9) Si las tiradas sealan, en este orden, a b c, la op 2 a 2 a + 5 5 (2 a + 5) 10 [ 5 (2 a + 5) + b ] Si se desarrolla queda En caso de restarle 2 1

2 + 5 x = 2 ( 5 + 2 x) 2 + 5 x = 10 + 4 x x = 10 - 2 = 8 11) Sea el nmero de dos d b a + 18 = a b (a + 10 b) + 18 = b + 10 a 9 a - 9 b = 18 a - b = 2 De donde se tiene un sistema de dos ecuac a + b = 12 a - b = 2 q

20

2) (5 + 5 x) + (3 + 4 x) = 1 + 3 x + x2 x = 7

3) 140 n) - 123 n) = 156 n) - 140 n)

n 2n + 1 = n (n-2) + 1 = bn + 1 = b1n)cb = a2 n) significa

+ 2 = an + 2 = a2 n)

7) 100010 2)

4 x = 28 x = 7 1 + 3 . 4 = 1 + x 13 = 1 + x x = 12

= 5 x2 + 5 x + 4

que da la solucin x = 12

1) 5 + 3 n + 4 n2 = 6 + 2 (n+1) + 3 (n+1)25 + 3 n + 4 n2 = 3 n2 + 8 n + 11 n2 - 5 n - 6 = 0 que da n = 6 5 + 3 . 6 + 4 . 62 = 167 en base decimal.

2) 12204 5)

3) 231 5) + 22 5) = 303 5)20010 3) - 2022 3) = 10211 3)

4) Sea la resta A - B. En la resta por el complementario se realizan las siguientes operaciones: A + (999 - B) = (A - B) + 999 Al quitar la unidad de los miles se est restando 1000 y al aadirla en las unidades se

ma 1, de manera que en realidad se resta 1000 - 1 = 999 llegndose al resultado de la resta riginal.

5) 14150 8) / 101011111 2)

6) 3 . (4 + 5 x) = 5 x + 2 x2 12 + 15 x = 5 x + 2 x22 x2 - 10 x - 12 = 0 x2 - 5 x - 6 = 0 x = 6

1 x2 - 6 x - 7 = 0 1( 4 n + n2 ) - ( 3 + 2 n + n2 ) = ( 6 + 5 n + n2 ) - ( 4 n + n2 )

2 n - 3 = n + 6 n = 9 14) c 2 = b1 n) significa (n-1)2 = 2 2 (n-1)(n-2) = n2 3n + 2 = n (n-3) 15) 117 / 45 / 181 / 211 / 3876 16) 3212 5) / 1177 12) / 12110 4) 1 18) 331 5) 19) 4 + 4 x = 32 5 + x = 3 y x = 4 ; y = 3 no es vlida porque y > 3 x = 7 ; y = 4 es vlida 20) (4 + 2x)2 = 4 x2 + 16 x + 16 de donde x2 11 x 12 = 0 2 2 2 2

suo 2 2

21

7) ( 6 + 3 x ) + ( 5 + 4 x ) = 3 + x22 - 7 x - 8 = 0 x = 8 6 8) x 45 8) = 2126 8)

8) Si los nmeros son a y b Extendidos: (a - 5) en una mano y (b-5) en la otra mano Flexionados: 5 - (a - 5) = 10 - a en una mano y 5 - (b - 5) = 10 - b en la otra La operacin realizada sera

10 [ (a - 5) + (b - 5) ] + (10 - a) (10 - b) = 10 (a + b - 10) + (100 - 10 a - 10 b + ab) = a b

2x3 2

22

23

Fracciones y Decimales

a fraccin es un reparto. Si queremos repartir 9 unidades entre 2 nios, podremos dar a cada uno 4 unidades

nteras. La que sobra se partira en dos mitades para poder hacer exhaustivo el reparto. De ese modo, cada uno recibira 4 En los repartos es frecuente esta situacin que origina todo tipo de fracciones. De hecho ste es el origen del uso de fracciones dentro de la economa egipcia en la Antigedad, cuando era necesario repartir panes entre varios trabajadores. As, si se dispone de 2 panes (el alimento bsico entonces) y se quiere distribuir equitativamente entre 3 personas, no se planteaban dar 2/3 a cada uno, como haramos actualmente, sino que realizaban esta tarea en dos pasos: 1) Dividan cada pan en dos partes iguales, de manera que a cada hombre le correspondiese Despus de ello sobraba precisamente la mitad de un pan. 2) La mitad sobrante se divida en tres partes iguales, dando a cada trabajador, por tanto, 1/3 de (es decir, 1/6).

De este modo, llegaban a la conclusin de que 2/3 = + 1/6

impropia, es decir, aquella donde el numerador es superior al enom

das de su origen (una accin) y tomadas exclusivamente mo s

en este contexto significara que de 2 partes

gura 2.1). Son 1/4 o 1/8? Eso depender de qu se considere la studiantes que comienzan por el tipo de

ejercicios de sombreado tan habitual arte/todo, sern 1/8, suponindoles ad en este dibujo.

De manera que la aparic s expresiones como en de una

accin de medida, como veremos a caso a partir de una consideracin esttica de la parte escogida dentro d

Tema 2

La fraccin Consideremos una expresin habitual en la que usemos fracciones: La cuarta parte de los estudiantes han sacado buena nota o el pantano ha perdido un tercio de sus reservas. En ambos casos las fracciones o 1/3 denotan la relacin entre un todo (dividido en tantas partes iguales como representa el denominador) y una parte de ese todo (una o varias de las partes en que se divide el todo). La fraccin es entendida, por tanto, como una relacin entre una parte y el todo. Esta relacin puede tener un origen esttico, en el que el todo y la parte se dan simultneamente, o bien dinmico, como fruto de una accin sobre el todo. En este ltimo caso, a accin que suele originar el nacimiento de unl

e

Con estos ejemplos, no obstante, llegamos a una situacin cuyo resultado puede diferir

de lo habitual. As, cada nio del primer caso reciba 4 que es lo que se conoce como nmero mixto, expresin combinada de un nmero entero con uno fraccionario y que es equivalente a una fraccind inador:

4 = 9/2

Las fracciones impropias, alejaco mbolos matemticos pueden confundir a aquel estudiante que considera a la fraccin como una relacin parte/todo. A fin de cuentas, 9/2escoges nueve, algo absurdo en principio. Esto conduce a malos entendidos como el siguiente: Qu parte de pizza aparece sombreada en este dibujo? (fiunidad (una pizza o las dos conjuntamente). Para los e

es en la interpretacin pun esfuerzo considerar a una pizza como la unid

in de las fracciones impropias y sufracciones nicas o nmeros mixtos, deben proceder de una accin de reparto o bi

continuacin. En ningne un todo.

Figura 2.1

es y 1/3 en la e la mesa. Es decir, 6 1/3.

Del mismo modo, cuando vamos a comprar carne de ternera, pollo o cerdo, decimos al dependiente que nos d kilo y cuarto (1 ) o cuarto y mitad (1/4 + 1/8) al modo egipcio. Estas situaciones son de medida y pueden originar, de modo inmediato, el empleo de nmeros mixtos y, por tanto, de fracciones impropias. Cabe una interpretacin ms de la fraccin cuando expresa la relacin entre dos cantidades. Tal es el caso del siguiente problema: En una excursin inicialmente la relacin de nios a nias es de 5 a 3. Luego vienen 3 nios ms y de este modo los nios son el doble que las nias. Cuntas personas haba inicialmente en la excursin? La relacin al principio puede expresarse como

Nios / Nias = 5 / 3 uego se aaden 3 nios y la relacin cambia:

Nios + 3 / Nias = 2 / 1 a da lugar a dos ecuaciones con dos incgnitas:

3 x Nios = 5 x Nias

mo: Nios + 3 / Nias = 6 / 3

3 x 5 = 15 nios rte de la extraeza que cau cciones en este problema se debe a

edida o parte/todo.

Fracciones equivalentes

ra ahora en 4 partes iguales o en 8 partes iguales, la parte inicialmente sombreada se prese

En la accin de medida, que es la segunda accin que conduce al empleo de fracciones junto al reparto, repetimos una unidad varias veces hasta completar aquella cantidad que deseamos medir con la primera. Por ejemplo, si medimos la longitud de una mesa con una hoja, el resultado puede conducir a decir que la longitud de la hoja est contenida 6 vecd

L

De una manera algebraica, el problem

Nios + 3 = 2 x Nias pero tambin cabe plantear la segunda relacin co

de donde se deduce la relacin: Nios + 3 / Nios = 6 / 5

de donde se deducira que cada parte de las 5 iniciales correspondera a 3 nios, con lo que habra inicialmente:

Pa sa el uso de fraencontrarlas dentro de una interpretacin muy distinta de la m

Consideremos la fraccin 1/2 que expresara la relacin entre una parte y el todo. Del mismo modo, resolvera el problema de dividir la unidad en 4 partes iguales. Su representacin ms habitual sera la que aparece a la izquierda en la figura 2.2. Ahora bien, si el todo se dividiere ntara mediante fracciones diferentes, como se puede apreciar a la derecha.

24

Figura 2.2

Por tanto, las tres fracci

entido, se puede afirmar ue las

to de determinar, ante dos acciones cual squiera, si son equiv

se h /b se pueden obtener tras f ccione equiv minador por el mismo mero:

umerador y denominador, accin conocida como simplificacin:

a/b = a : k / b : k de cero

As pues, consideremos dos fracciones como 3/5 y 81/135 son equivalentes? El mtodo s ac entre los

umeradores. Resulta que 3 x 27 = 81. A continuacin se comprueba que tambin 5 x 27 = 135.

Pero en ocasiones la situacin no es tan clara porque las relaciones no son enteras: qu

ualesquiera de forma general, r/s y h/t cundo odemos afirmar que son equivalentes?

Sean entoncodemos transformarlas en otras equivalentes multiplicando la primera por t y la segunda por s:

A partir de una fraccin podremos obtener la otra (y por tanto, sern equivalentes) cuando

se cumpla: r t = h s

s decir, ya que los denominadores son iguales, cuando lo sean tambin los numeradores. As pues

r / s = h / t cuando r t = h s

Esta relacin de equivalencia entre las fracciones permite agruparlas perteneciendo al ntes a una cualquiera de ellas:

ones 1/2 ; 2/4 ; 4/8

isma relacin entre la parte y el todo y, en ese svienen a representar la mq tres son equivalentes, expresado como

1/2 = 2/4 = 4/8 Definamos las condiciones de esta equivalencia al objefr e alentes o no. Tal como a realizado grficamente, a partir de una fraccin ao ra s alentes sin ms que multiplicar numerador y denon

a/b = a k / b k siendo k un nmero entero distinto de cero Cabe realizar la operacin contraria que consistira en dividir por el mismo nmero k eln

siendo k un nmero entero distinto m orde con lo dicho para comprobarlo ser examinar la relacin, por ejemplo, n

sucede con las fracciones 8/18 y 20/45? Cuando se tienen dos fracciones cp es las fracciones r / s ; h / t P

r t / s t ; h s / s t

e

En efecto, 8 / 18 = 20 / 45 ya que 8 x 45 = 18 x 20

mismo grupo las fracciones equivale

25

26

Cada uno de estos grupos se conoce como nmero racional y la fraccin ms sencilla numricamente de cada g ste nmero racional.

a suma y resta de fracciones con igual denominador:

a / b c / b = (a c) / b

1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12 Si en vez de estos representantes to os de los mismos nmeros racionales:

ntes escogidos de dichos nmeros.

Multiplicacin de fracciones

almente, la multiplicacin de un nmero entero por una fraccin es considerada una suma reiterada. As, si tenemos una tarta repartida en 8 pedazos iguales

ada una de 1/8) y vienen cinco nios a llevarse una de esas partes cada uno, qu parte de la rta se habrn comido en total?:

1/8 + 1/8 + 1/8 = 5/8

6 = 18 euros

1 / 2 = 2 / 4 = 3 / 6 = 4 / 8 = 5 / 10 = ... 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = 4 / 12 = 5 / 15 = ... 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = ...

rupo se denomina representante cannico de e

Suma y resta de fracciones En primer lugar, se define l

de manera que, si los denominadores son distintos, se transforma cada fraccin en la equivalente para que los denominadores sean iguales: a / b c / d = a d / b d c b / b d = (a d c b) / b d Y ahora es cuando cobra potencialidad el concepto de nmero racional, puesto que si sumamos, por ejemplo, los dos nmeros racionales 1/3 y 1/4, el resultado es, tomando las fracciones cannicas:

msemos otr

2/6 + 5/20 = 40/120 + 30/120 = 70/120 = 7/12 es decir, la suma (y tambin la resta) de dos nmeros racionales es siempre la misma, independientemente de los representa

Habitu

(cta

5 x 1/8 = 1/8 + 1/8 +

Aunque matemticamente se resuelve del mismo modo, no tiene el mismo significado la accin de hallar una fraccin de una parte entera. Tal sera el caso de disponer de 24 euros y escoger las 3/4 partes para el gasto de un fin de semana. No tiene sentido repetir 24 veces la fraccin sino que se procedera a:

3/4 x 24 = 3 x (24/4) = 3 x

La principal dificultad reside en definir adecuadamente la multiplicacin de dos fracciones. Si multiplicar una fraccin por algo es hallar una parte de ese algo y, en este caso, ese algo es tambin una fraccin, se debe interpretar la multiplicacin de fracciones como hallar una parte de una parte. Naturalmente, ste es un significado asociado a la fraccin

27

puede generalizar con facilidad. ultiplicacin 1/5 x 3/4. Sea la figura 2.3 donde aparece el lado

horizontal dividido en cinco partes igu a cinco partes de las que inicialmente ara representar la fraccin 1/5. A continuacin, el eje vertical se divide en cuatro,

lo que permite escoger tres de las pa ra representar 3/4. La conjuncin de tado de calcular 3/20 de la parte inicialmente sombreada.

como expresin de una relacin parte/todo y no se Consideremos la m

ales. Ello da lugar se escoge una p

rtes de la figura paambas divisiones da el resul

Figura 2.3

Se puede cinco partes del todo escogindose una de ellas. Multiplicar 3/4 por esto supone realizar una nueva divisin del

considerar, por tanto, que el 1/5 inicial implica la divisin en

todo en cuatro partes con lo que el todo queda finalmente dividido en 5 x 4 = 20 partes de las que se escogen 1 x 3 = 3 partes. As

203

4531

43

51 =

= y en general,

dbcaca

db =

afa de 30 tros?

La operacin que resolver este prob

donde lo primero que hay que percibir es n de la respuesta, algo que no es fcil: la

puede la accin de multiplicar fracciones cuando uno de los factores es

desconocido. Algo as como Si fuera el caso de:

6/35 : 2/5 = a/b

2/5 x a/b = 6/35 se puede interpretar como:

6/35 : 2/5 = 6/35 : 2 x 7/5 x 7 = 6/35 : 14/35 = 6/14 = 3/7

Divisin de fracciones La operacin de dividir fracciones no surge con facilidad a partir de un contexto determinado aunque es posible entenderla como fruto de un reparto cuando el divisor es una fraccin. Por ejemplo: Cuntas botellas de de litro se pueden llenar con una garrli

lema es 30 : = ?

la direccisolucin ser un nmero mayor que el dividendo. Ahora bien, desde el punto de vista operativo cmo obtener dicha solucin? La divisin entre una fraccin, incluso cuando el dividendo es otra fraccin, interpretarse como

? x = 30 litros

escrito como:

28

El procedimiento no orque la relacin entre los denominadores puede no ser entera. Por ejemplo,

2/7 x a/b = 3/5

o bien 3/5 : 2/7 = a/b

borioso, asado en hallar un denominador comn en ambas fracciones:

3/5 : 2/7 = 1 x 7/5 x 7 : 2 x 5/7 x 5 = 21/35 : 10/35 = 21/10

o tambin es posible, de forma ms sencilla, multiplicar ambas fracciones por la fraccin inversa de la que acta como divisor, de manera qu la unidad dentro de divisor:

es fcilmente generalizable p

Caben entonces dos procedimientos que solucionen el problema. Uno, ms lab

e se consiga l

1021

27

53

27

72

27

53

72:

53 ==

=

mtodo con el que se puede determinar, d al, que: e manera gener

cbda

cd

ba

dc

ba

==:

Hemos visto que lo ue se pueden operar pero falta definir entre ellos un orden, poder determi ar cul es la fraccin menor y la mayor de dos

acionales correspondientes. Naturalmente, el mayor denominador indica una fraccin menor, como es el caso de

s como un mayor numerador seala que dicha fraccin es mayor tambin:

pero el problema se presenta cua res son distintos. La cuestin se resuelve, gracias a las frac fracciones dadas en otras quivalentes de igual denominador, de manera que se puedan comparar los numeradores.

3) = 15 / 24 2/3 = (2 x 8) / (3 x 8) = 16 / 24

que viene a indEn general, a/b < c/d significa que

, s decir, que

a/b < c/d cuando a d < b c

Orden de nmeros racionales

s nmeros racionales son tales nmeros porqn

dadas, consideradas como representantes de los nmeros r

3/8 < 3/5 a

3/8 < 5/8 ndo numeradores y denominado

ciones equivalentes, transformando laseAs, para 5/8 y 2/3:

5/8 = (5 x 3) / (8 x

icar que 5/8 < 2/3

a d / b d < b c / b de

29

Los nmeros racionales pueden representarse en una lnea numrica (figura 2.4)

Figura 2.4

Siendo infinito el nmero de puntos de la recta, puede suponerse que entre dos fracciones

de mod

45/72 < 46/72 < 47/72 < 48/72 60/96 < 61/96 < 62/96 < 63/96 < 64/96

x (5/8 + 2/3) = x 31/24 = 31/48

n formar la accin con la suma de numeradores y denominadores.

a/b < (a + c) / (b + d) < c/d

cualesquiera, tambin hay un nmero infinito de fracciones. As pues, dadas dos fracciones, qu formas hay de determinar algunas de ellas? Vamos a examinar varios procedimientos para obtener la fraccin r/s siendo

a/b < r/s < c/d 1) Se transforman las fracciones dadas en otras equivalentes de igual denominador, buscndose a continuacin un numerador intermedio a los que resulten. En el caso, por ejemplo, de 5/8 y 2/3 donde

5/8 < 2/3 de donde 15/24 < 16/24

lo que se hace es buscar otras fracciones equivalentes de denominador superior:

15/24 < 16/24 de donde 30/48 < 32/48

o que la fraccin 31/48 resulta estar entre ambas. 2) El procedimiento se puede generalizar para hallar otras fracciones:

30/48 < 31/48 < 32/48

3) Se puede obtener la fraccin intermedia sin ms que utilizar la media aritmtica. As, en el caso de las fracciones 5/8 y 2/3 de nuevo

x (15 + 16 / 24) =

4) Otra curiosa forma de encontrar una fraccin entre otras dos consiste efr

Probemos la desigualdad de la izquierda, es decir, demostrar que

a/b < c/d de donde a/b < (a + c) / (b + d)

Aplicando la definicin dada antes:

a d < b c de donde a (b + d) < b (a + c)

Consideremos lo que hay que demostrar: a b + a d < b a + b c

Eliminando ab: a d < b c que resulta ser la hiptesis considerada cierta.

30

un chico decimos que mide, por ejemplo, 1,73 metros. Pero

tambin podemos afir ros. Todas ellas son

a, previamente medir. Si la reiteracin no se efecta un nmero

xacto de veces hay una parte sobrante, como sucede en el caso de la altura, donde afirmar

mal, consiste en dividir la unidad l metro en este caso) en diez partes iguales, cada una 1/10 de metro (decmetro). As, se puede

afirmar que el chico tiene una altura e 1 8/10. Si se desea ms exactitud, el decmetro se divide en diez partes iguales (equivalentes por tanto a 1/100 de metro o centmetro) para afirmar, finalmente, que la altura del chico es de 1 + 7/10 + 3/100 metros, escrito como

73. medida de una cantidad

edianonsid acin , en este caso la longitud L. Definimos una

m : L Q En el caso de la longitud, las orrespondencia, es decir, las medidas numricas de una longitud determinad e dentro de las fracciones decimales, aquellas cuyo denominador sea una uede afirmar que

Ahora bien, esta fraccin decimal presenta una expresin como la siguiente:

+ 7/10 + 3/100

decimal 173/100 correspondiente. Adems, ste res ltado se ajust er efectuada.

iencia de emplear fracciones decimales y isin asociada a un reparto. Sin embargo,

ay ocasiones en que la divisin no es exacta y queda un resto que no se puede repartir de forma

10 dcimas = 4 x 2 dcimas + 2 dcimas

1 : 4 = 2 dcimas + 5 centsimas = 2/10 + 5/100 0,25 llegando a la expresin

decimal por excelencia alcanzada como os nmeros naturales.

Fraccin decimal

Si medimos la altura de mar que mide 17,3 decmetros o 173 centmet

expresiones de la misma cantidad, sea utilizando decimales o cantidades enteras en el ltimo caso. En todo caso, la accin de medir consiste en reiterar una unidad de medidescogida, sobre la cantidad que deseamos eque el chico mide entre uno y dos metros es mostrar muy poca precisin. Es por ello que se puede tomar una fraccin de la unidad de medida (uno y tres cuartos, por ejemplo) que tradicionalmente y siguiendo el sistema deci(e

ntre 1 7/10 y

1,Conviene aclarar, siquiera brevemente, qu queremos decir con

m te expresiones decimales. Partimos de la c er de una magnitudcorrespondencia entre esta magnitud y el conjunto de nmeros racionales de manera que a cada elemento de esta magnitud (una cantidad) le corresponda un nmero racional que llamaremos medida de dicha cantidad.

imgenes de esta ca pueden escogers

potencia de diez. As se p

m (l) = 173/100

173/100 = 1

que constituye una expresin decimal del nmeroe u a a la accin de medida tal como suele s El segundo problema de donde surge la convensus expresiones correspondientes consisten en la divhentera. Supongamos, por ejemplo, que deseamos repartir de forma equitativa cuatro caramelos entre cuatro chicos. Del mismo modo en que la unidad de medida se subdivide en subunidades que son la dcima parte de la misma, el procedimiento puede repetirse con cualquier unidad que se trate sin ms que tomar sus fracciones decimales en el orden correspondiente. As, la unidad equivaldra a diez subunidades de tamao 1/10 de la unidad (dcimas), cada dcima a diez subunidades de tamao 1/10 dcima (o bien 1/100 de la unidad), llamada centsima, y as sucesivamente. De este modo sera factible la divisin 1:4 interpretada como la divisin de diez dcimas entre 4:

Estas 2 dcimas = 20 centsimas de manera que 20 centsimas = 4 x 5 centsimas,

y as el resultado final sera de:

Esta expresin decimal puede escribirse tambin como una extensin de l

31

Se acaba de definir una correspondencia entre una parte de los nmeros racionales (las fracciones decimales) y las expres mbargo, cabe hacer corresponder

odo tipo de fracciones. Por ejemplo,

3/5 = 0,6

Tendrn una expresin decimal finita aquellas fracciones cannicas cuyo denominador tenga como factores al 10, el 2, el 5 ex por qu. Sea la fraccin 37/5. Mediante la divisin como ampliacin de los nmeros naturales, se

ndraas al objeto de continuar la divisin. Si

l divisor, por tanto, tiene como factor al 10, al 2 o al 5 exclusivamente siempre ser posible llegar a un resultado exacto. En caso dara lugar a una expresin decimal infinita:

1/6 = 0,1666...

Resulta inmediato comp meros enteros da lugar a una xpresin decimal donde una de las cifras se repite. Por ejemplo, en el ltimo caso planteado:

5 = 7 x 0 + 5 unidades

50 = 7 x 10 = 7 x 1 + 3 centsimas 30 = 7 x 4 + 2 milsimas 20 = 7 x 2 + 6 diezmilsimas 60 = 7 x 8 + 4 cienmilsimas 40 = 7 x 5 + 5 milmilsimas

Obsrvese que, al dividir sucesivamente por 7, los restos no pueden sobrepasar a este ivisor por lo que oscilarn entre 0 y 6. Si la divisin fuera exacta en algn momento, los iguientes restos seran todos ceros pero, en caso de que la expresin decimal sea infinita, alguno e estos nmeros ha de repetirse, y a partir de ste los siguientes adoptarn la misma secuencia.

Por tanto, toda fraccin tiene una expresin decimal peridica por cuanto existe una ecuencia de nmeros en la parte decimal que se repite. Se distingue a este respecto, las xpresiones decimales peridicas puras (0,3333... ; 0,714285714285...) y las mixtas, en las ue, tras una serie finita de nmeros, hay una repeticin del perodo correspondiente (0,16666...; ,250000....).

La ltima pregunta que trataremos de responder es si esta correspondencia entre acciones y expresiones decimales peridicas funciona en ambos sentidos. Se ha visto que toda accin admite una expresin decimal de este tipo, pero sucede igualmente al contrario?

1) Considrese una expresin decimal peridica pura: N = a,bcdbcd...

Pues bien, multiplicando este nmero por una potencia de diez al objeto de dejar la isma expresin peridica a la derecha de la coma:

10 3 N = abcd,bcd... e resta: N = a,bcd... btenindose, 999 N = abcd - a e modo que N = (abcd - a) / 999

Fracciones y expresiones decimales

iones decimales. Sin eexpresiones decimales a t

1/4 = 0,25

clusivamente. Veamos

te inicialmente: 37 = 5 x 7 + 2 Las dos dcimas se transformaran en 20 centsime

contrario, la divisin

1/3 = 0,3333....

5/7 = 0,714285714...

robar que toda divisin entre dos ne

7 + 1 dcima

dsd seq0 frfr

m

SOd

32

2) Se toma, por ltimo, una expresin decimal peridica mixta, en concreto

N = a,bcdefdef...

En primer lugar, se multiplica por la potencia de diez necesaria para transformar esta xpresin en otra que muestra una parte peridica pura:

10 2 N = abc,def...

N = abcdef - abc

e

de modo que a este nuevo nmero se le aplica el procedimiento anterior:

10 3 10 2 N = 10 5 N = abcdef,def... procedindose a la resta:

10 5 N - 10 2

999.900 N = abcdef - abc

N = (abcdef - abc) / 999.900

33

Problemas 1) Qu variacin experimenta una fraccin si se multiplica por 5 el numerador y se divide por 5

enominador de la fraccin?

la mitad de los que han quedado.

iene.

comerciante tiene tres tipos de caf: brasileo, colombiano y cubano. El peso total es de

uiente teje los 2/7 de lo

ipiente de aceite. Sacamos 1/3 del mismo. Ms tarde sacamos de lo ue quedaba y finalmente de lo que queda tras la ltima extraccin. Si quedan 60 litros, hallar

lista ha metido los 2/5 del nmero de goles del equipo y otro la cuarta parte del ms jugadores han conseguido 45 goles cuntos goles meti el equipo en toda la

el denominador? 2) Si al numerador de una fraccin le aumentamos en 21, la fraccin queda aumentada en 3. Cul es el d 3) Un frasco de perfume tiene una capacidad de 1/20 litro. Cuntos frascos de perfume se pueden llenar con el contenido de una botella de de litro? 4) El paso de rosca de un tornillo es de de milmetro. Cuntas vueltas hemos de darle con una llave para que penetre 1,8 cm? 5) En un quiosco se han vendido a lo largo de la maana los 2/3 de un lote de peridicos. Por la tarde se han vendidoa) Qu fraccin del total de peridicos representan los vendidos por la tarde?; b) Si no se han vendido 20 peridicos, cuntos haba al empezar la venta? 6) Un recipiente est lleno de agua hasta los 4/5 de su capacidad. Se saca la mitad del agua que conta) Qu fraccin de la capacidad del recipiente se ha sacado? b) Si la capacidad del recipiente es de 80 litros, cuntos litros quedan en el mismo? 7) De una cesta de manzanas se pudren las 2/3 partes. Comemos los 4/5 del resto y las 25 restantes las utilizamos para hacer mermelada. Cuntas manzanas haba en la cesta al principio? 8) Un885 kg. Si el peso del caf brasileo es los 2/5 del total y el del colombiano los 2/3 de lo que queda, cuntos kgs de caf hay de cada clase? 9) Un profesor ha aprobado los 2/5 de los exmenes hechos aquel da y ha suspendido a . Si todava le quedan por corregir 42 exmenes cuntos tendr que corregir en total? 10) Una mquina teje en un da 1/8 de una pieza de 96 metros. Al da sigque qued por tejer el da anterior. a) Cuntos metros ha tejido en los dos das? b) Qu parte de la pieza queda por tejer? 11) Una persona sale de compras. Gasta los 3/7 de su dinero en el supermercado; despus de lo que le queda en una tienda de regalos y, finalmente, de lo restante en una librera. Si le quedan 12 euros cunto dinero tena al salir de casa? 12) Se han consumido los 7/8 de un bidn de aceite. Reponiendo 38 litros, el bidn queda lleno en sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidn. 13) Tenemos lleno un recqla capacidad del recipiente. 14) Un futboresto. Si los detemporada?

34

gastas 1/5 en el cine y 2,30 euros en un refresco. Luego te compras un quedaba y te gastas 8,15 euros jugando a los bolos. Al final te

ueda de tu paga inicial. Cuntos euros era dicha paga?

contenido. Ms tarde nos evamos 1/3 de lo que quedaba, repartiendo esta ltima cantidad equitativamente entre 6 ersonas. Una de ellas devuelve el contenido de su vaso en el recipiente. Qu parte del mismo

lleno e agua en sus 4/5 partes. Sacas 1/3 del agua que hay, empleas la cado regar y el resto lo vuelves a echar en el recipiente. Si despus

s de agua para llenar el recipiente cuntos litros de agua haba inicialmente en

uel una pelota rebota los 3/5 de la altura desde la que ha cado. Si se a altura de 125 metros, a qu altura llegar despus del tercer bote?

l desage a la ez?

luyen a un estanque uno puede llenarlo en 36 horas, otro en 30 horas lenarlo juntos.

ue y cerrado el desage se abren 3 grifos y el estanque se llena en ubieran abierto dos grifos el estanque hubiera tardado dos horas en

arda en llenar el estanque el tercer grifo solo?

ismo contenido que en 8 vasos pequeos, y el mismo que en 5 vasos jarra estaba llena, qu fraccin de su contenido quedar en la misma

espus de haber llenado un vaso pequeo y uno grande?

a cmo stado ara ganar 1/10 del precio de compra?.

rer el trayecto AB, y otro tres horas en el BA. Saliendo al cunto tiempo tardarn en encontrarse?

5) Haz las operaciones siguientes:

25'25 - 15'15

3'5 - [28'7 - (6'81 + 4'67)] 3'5 - (28'7 - 6'81) + 4'67

6) A primeros de diciembre, un ciclista pesaba 72'5 Kg y en ese mes engord 1'375 Kg eros de febrero si en enero adelgaz 2'26 Kg ?

15) De tu paga semanal te

itad de lo que telibro con la mq 16) Tenemos un recipiente lleno de vino. Sacamos de l de su llpquedar lleno finalmente? 17) Un recipiente est dmitad de lo que has sa ennecesitas 30 litrol? 18) Cada vez que cae al s ola deja caer de un 19) Un grifo puede llenar una piscina en 16 horas. Si el desage del depsito lo puede vaciar en 24 horas Cunto tiempo se tardar en llenar la piscina si estn abiertos el grifo y ev 20) De los tres caos que fy el tercero en 20 horas. Halla el tiempo que tardarn en l 21) Estando vaco un estanquna hora. Si nicamente se hllenarse. Cunto tiempo t 22) En una jarra cabe el mgrandes. Si al principio lad

caf verde a 7,20 euros/kg, 23) El caf pierde 1/5 de su peso al tostarlo. Comprando deber venderse el kg de caf to p 24) Un coche tarda dos horas en recormismo tiempo, uno de A y otro de B, Nmeros decimales 22'37 + 35'24

23'5 - 28'7 - 6'81 + 4'67 22 2Cunto pesaba a prim

35

7) Efecta mentalmente: ) 0'035 x 1.000 = ) 987'34 x 100 = ) 0'981 x 10 =

d) 0'004 x 1.000 = e) 3'5824 x 100.000 = f) 52'38 x 10 = 28) La masa de una caja es 28'3 Kg. Cul ser la masa de 18 cajas iguales a sta? 29) Calcula mentalmente: a) 0'3 x 0'2 b) 0'3 x 0'31 c) 0'6 x 0'5 d) 0'8 x 0'5 30) Halla el factor que falta a) 4'2 x ___ = 13'8 b) 30'56 x ___ x 2 = 81'249 c) ___ x 32' 7 = 189'65 31) Sita correctamente la coma en los siguientes decimales: a) 423'5 + 327'6 = 7511 b) 314'56 + 71'2 = 38576 c) 4762'5 + 12'879 = 4775379 d) 28' 715 - 9'03 = 19685 e) 215'2 - 17'453 = 197747 f) 765'83 - 37'691 = 728139 32) Halla la fraccin generatriz de los siguientes decimales peridicos mixtos:

0,13

2abc

; 0,123 ; 1,318 ; 2,118

36

37

Soluciones 1) Sea la fraccin a/b. La nue va fraccin es

5 a / (b/5) = 5 . 5 a / b = 25 a / b cada por 25. n impuesta viene a decir

4) 18 : = 18 x 4/3 = 24 vuelt5) a) Si por la maana se ha vendid la tarde quedarn 1 - 2/3 = 1/3 Por la tarde se vend

os, 1/6 x = 20 x = 120 peridicos

total, quedar 4/5 - 2/5 = 32 litros

total. Comemos 4/5 x 1/3 = 4/15 del total.

= 375 manzanas

85 = 354 kgs

total.

2/3 . 3/5 = to, 354 kgs s

es 10) a) El primer da teje 1/8 r 1 - 1/8 = 7/8 de la pieza

b) Quedan 1 - 1/8 - 2/8 = 5/8 d 60 m.

Supermercado: Gasta 3/7 x

x

La fraccin queda multipli2) Sea la fraccin a/b. La condicique (a + 21) / b = a/b + 3 a/b + 21/b = a/b + 3 21/b = 3 b = 73) : 1/20 = x 20 = 15 frascos

as o los 2/3 del total, por

e de lo que queda, o sea, . 1/3 = 1/6 del total.

b) Queda sin vender la otra mitad de los de la tarde, es decir, de 1/3 = 1/6 Por tanto, si al empezar la venta eran x peridic6) a) Se saca la mitad de 4/5 del total, es decir,

. 4/5 = 4/10 = 2/5 del total b) Si la capacidad es de 80 litros, al quitar 2/5 del

2/5 2/5 . 80 =7) Se pudren 2/3 del total, luego quedan intactas 1/3 del

total, de manera que quedan 1/3 4/15 = 1/15 delComo 1/15 T = 25 T = 25 x 158) Caf brasileo:

2/5 de 885 kgs = 2/5 . 8 Queda para los otros dos cafs,

1 - 2/5 = 3/5 del Caf colombiano: 2/3 de 3/5 son

2/5 del total, por tan Caf cubano: 885 - 354 - 354 = 177 kg9) Corregidos son 2/5 T + T = 13/20 T Le quedan por corregir 7/20 T = 42 T = 120 exmen

. 96 = 12 m. Queda por tejeEl segundo da teje 2/7 . 7/8 = 2/8 = 1/4 de la pieza, que son 1/4 . 96 = 24 m. Los dos primeros das teje 12 + 24 = 36 m.

e la pieza, o sea, 5/8 . 96 =11) Empieza con x euros

Le quedan x - 3/7 x = 4/7 x Tienda: Gasta . 4/7 x = 2/7

38

nte, es2) Si el bidn es de x litros, tras el consumo quedan

/5 x x = 19/40 x

os 3) Si

que queda 2/3 T 1/6

pondiendo a cada uno dando en total:

4 T mitad (2/15 T) en regar y la otra mitad

T

T = 90 litros

: 3/5 . 125 = 75 m.

Le quedan 4/7 x - 2/7 x = 2/7 x Librera: Gasta . 2/7 x = 1/7 x Le quedan 2/7 x - 1/7 x = 1/7 x Finalme 1/7 x = 12 euros, x = 84 euros 1

x - 7/8 x = 1/8 x litros 1/8 x + 38 = 3

38 = 3/5 x - 1/8 x = 24/40 x - 5/40 x = 38 . 40 / 19 = 80 litr

1 sacamos 1/3 T entonces quedan 2/3 T. Luego sacamos x 2/3 T = 1/6 T de modo T = T

Si volvemos a sacar la mitad, queda la otra mitad, es decir x T = T = 60 T = 240 litros

14) El primero ha marcado 2/5 T y el segundo x 3/5 T = 3/20 T

de modo que entre los dos: 2/5 T + 3/20 T = 11/20 T T = 45 T = 100 goles Lo que queda ser 9/20

15) Te gastas en el cine: 1/5 T + 2,30 Queda de la paga: T (1/5 T + 2,30) = 4/5 T - 2,30 Gastas en el libro: 2/5 T - 1,15 + 8,15 = 2/5 T + 7 quedando: (4/5 T 2,30) (2/5 T + 7) = 2/5 T - 9,30 pero eso es 2/5 T - 9,30 = T T = 62 euros 16) Sacamos T por lo que quedan T. Nos llevamos

1/3 x T = T quedando en el recipiente T - T = T Pero T lo repartimos entre 6, corres1/24 T que se devuelve al recipiente, que

T + 1/24 T = 13/217) Sacas 1/3 x 4/5 T = 4/15 T de lo que empleas lala echas al recipiente. De modo que en el recipiente quedarn:

4/5 T - 2/15 T = 10/15as que los 30 litros corresponden a 5/15 T = 1/3 T

1/3 T = 30 Inicialmente haba 4/5 x 90 = 72 litros 18) Altura inicial: 125 m. Tras primer bote Tras el segundo bote: 3/5 . 75 = 45 m.

Tras el tercer bote: 3/5 . 45 = 27 mo bien (3/5 . 3/5 . 3/5) . 125 = 27/125 . 125 = 27 m.

39

de la misma. Cada

de donde, con ambos elementos, tardar 80 horas en llenarse. 20) Qu parte del estanque llena cada cao en una hora? 1/36 el primero, 1/30 el segundo y 1/ 20 el tercero. Los tres juntos, en una hora, llenarn

1/36 + 1/30 + 1 / 20 = 20/180 = 1/9 en una hora lo que significa que tardarn 9 horas en total en llenar todo el estanque. 21) Los 2 grifos llenan estanque en una hora, mientras que los tres grifos llenan la piscina completa en ese tiempo. Entonces, el tercer grif solo llenar estanque en una hora, de modo que l solo tardara 2 h en llenarlo. 22) Cada vaso pequeo ser 1/8 de la jarra y el vaso grande 1/5 de la jarra. Si se saca de la jarra un vaso grande y otro pequeo se habr sacado:

1/8 + 1/5 = 13/40 de la jarra, de donde quedar 1 - 13/40 = 27/40 de la jarra 23) Se ha comprado x kgs de caf verde a 7,20 euros/kg, luego el coste de la compra ha sido 7,20 x euros. Como se pretende ganar 1/10 respecto a este precio, se deber cobrar

7,20 x + 1/10 (7,20 x) = 11/10 7,20 x = 7,92 x euros Ahora bien, si hay x kgs de caf verde y se pierde 1/5 de su peso al tostarlo, se dispondr finalmente de 4/5 x kgs de caf tostado, por el que habra de cobrarse en total 7,92 x euros 4/5 x ---------- 7,92 x 1 kg ---------- ? Euros de donde ? = 7,92 . 5 / 4 = 9,90 euros/kg 24) En una hora, el primer coche habr recorrido del camino mientras que el segundo habr llegado a 1/3 del camino en sentido contrario. Por tanto, en una hora habrn recorrido + 1/3 = 5/6 del camino. 1 h --------- 5/6 camino x h -------- 1 camino x = 6/5 h = 1 h 12 min 25) 37,61 / 10,1 / - 7,34 / 6,28 / 6,28 26) 71,615 kgs. 27) 35 / 98734 / 9,81 / 4 / 358240 / 523,8 28) 509,4 kgs 29) 0,06 / 0,093 / 0,3 / 0,4 30) 3,285... / 1,329... / 5,799... 31) 751,1 / 385,76 / 4775,379 / 19,685 / 197,747 / 728,139 32) 0,13

19) Cada hora el grifo llena 1/16 de la piscina y el desage evaca 1/20hora, pues, quedar 1/16 - 1/20 = 1/80

o

= 13/99 / 1,23 = 122/99 / 1,318 = 1305/990 / 2,118 = 1907/900

40

41

Divisibilidad

partir del 2, se obtienen [ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...] A partir del 3, se obtienen [ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...] Entr 2 y el entre y el 2 iste u elaci segundo se obtiene a partir del pr o mu icand r un ero entero y, proca te, e mero se obtiene del

ndo por ese mi nme ntero remos que 8 es lo o qu

. or un nmero entero K, entonces

ero ta bin c se ha generado desde ndo por un nmero entero H, c

(K H) = c divisor de c.

e don se de uce q a ser diviso la suma o resta de dos de sus mltiplos.

) Suced lo mi mltiplos o su divisin? omo H = c

2

, se puede afirmar que a es divisor del roducto de dos de sus mltiplos.

cual bastar dar un contraejemplo, es decir, eral no se cumpla.

s, 2 es divisor de 8 y tambin es divisor de 6, pero si fuera divisor de su cociente tendra que

Tema 3

Mltiplo y divisor Entre los nmeros enteros se pueden establecer distintas relaciones pero una de las ms bsicas consiste en que uno de ellos se obtenga a partir del otro multiplicando este ltimo por un nmero entero cualquiera. Se pueden obtener as una secuencia de relaciones. A

e el 8 o o o

el 3 4 ex na r n, elimer ltipl

idie p nm

smo rec. Di

men l pri mltipsegundo div

dro e de 2 e 2 es

ivisor de 8, definiendo de manera general estos conceptos.

Siendo a,b de Z, b es mltiplo de a cuando exista un K de Z, tal que a K = b. La misma condicin viene a indicar que a es divisor de b.

Veamos algunas propiedades de esta relacin mltiplo/divisor cuando se refiere aoperaciones entre nmeros. 1) Si a es divisor de b, y b es divisor de c, qu relacin hay entre a y c? Como b se ha generado a partir de a multiplicando p a K = b P m b multiplica b H =S ye l de b en la segunda: ustitu ndo e valor a K H = c de donde a Como K, H de Z tambin K H de Z, de donde a es 2) Si a es divisor de b y c, qu relacin hay entre a y b + c? Existirn K, H de Z, tales que a K = b, a H = c Si sumamos o restamos ambas igualdades, resultar que a (K + H) = b + c d de d ue r tambin de 3 e smo con el producto de dos C a K = b, as u r au prod cto se K H = b c de donde a (a K H) = b c y como el producto de tres nmeros enteros es enterop No sucede lo mismo con su divisin, para lo un ejemplo donde la afirmacin genAexistir un nmero K de Z, tal que 2 K = 8/6 = 4/3 y no existe tal nmero K.

42

l uno). sta es la llamada criba de Eratstenes.

10 11 12 13 14 15 16 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 39 40

Pues bien, estos nmeros e re no tienen ms divisores que a ellos mismos y d. eros primos.

isores distintos de s ismo y la u idad.

Se ha pretendido encontrar una frmula que diera slo nmeros primos, como puede ser

n 2 - n + 41 para n de N*

3 - 47

ero no para 41 - 41 x 41

Sin embargo, uno de los resultados ms interesantes en referencia a los nmeros primos

puede expresar como suma de dos meros primos:

6 = 3 + 3

10 = 5 + 5 12 = 7 + 5

..................

acto

ero compuesto N es aquel que tiene un divisor d1 distinto de N, de forma que

Este divisor d1 ue fuera compuesto, eso

o, este divisor d 2 puede ser primo o compuesto. Obsrvese que el proceso puede veces com pre obtendremos divisores

enores que el anterio ismo razonamiento concluir que todo

imos, es decir, se puede

Nmeros primos y compuestos Consideremos todos los nmeros y procedamos del siguiente modo. Comenzando por el 2, se van tachando todos sus mltiplos. Luego seguimos con el 3 y as sucesivamente. Finalmente, quedarn resaltados los nmeros que no son mltiplos de otros anteriores (si no contamos e

1 2 3 4 5 6 7 8 9 17

35 26 37 38

n negrita p sentan la propiedad de que s nma la unida Esto caracteriza a lo

llos que presentan divNmeros compuestos son todos los dems, aquem s n que s se verifica para los primeros 40 nmeros naturales: 1 - 41 2 - 43 .................. P es la llamada conjetura de Goldbach (s. XVIII), an no demostrada, por la que se afirma que todo nmero par (excepto el 2, que es primo) se n 4 = 2 + 2 8 = 5 + 3 F un nmero rizacin de Un nm N = d1 K siendo K de Z y d1 < N de ser primo o compuesto. En caso dpue e qsignificara que existe un divisor d suyo, tal que d < d2 2 1

d = d L con L de Z 1 2de forma que N = d 2 L K De nuevrepetirse tantas o sea necesario de manera que siemm ra, finalmente, encontrar un divisor prr pa imo. El mpuede hacerse para los nmeros enteros K, L, ..., de manera que se puedenmero compuesto se puede expresar como producto de nmeros pr

43

ivisin por los primeros nmeros rimos con un formato vertical bastante conocido que vemos aplicado al nmero 840.

840 2 840 = 2 x 420 420 2 840 = 2 x 2 x 210 210 2 840 = 2 x 2 x 2 x 105

riterios de divisibilidad

ms encillos. Un mtodo fcil de construir dichos criterios se basa en la expresin polinomial del

tomamo

N = d x 1000 + c x 100 + b x 10 + a

factorizar. Esto se suele realizar de forma sistemtica mediante la dp

105 3 840 = 2 x 2 x 2 x 3 x 35 35 5 840 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7 7 7 840 = 2 3 x 3 x 5 x 7

1 C

Para hallar la descomposicin en factores de un nmero es interesante contar con algn criterio para saber si dicho nmero es divisible por cualquiera de los nmeros primossnmero N, escrito dcba, si es que lo s de cuatro cifras:

Criterio del 2 2 ser divisor de N cuando divida a cada uno de los sumandos en que se ha escompuesto. Pero ello es obvio para los tres primeros:

N = d x 500 x 2 + c x 50 x 2 + b x 5 x 2 + a = 2 x (500 x d + 50 x c + 5 x b) + a de modo que N ser divisible entre 2 cuando a sea mcuando a sea 0, 2 o cifra par.

d

ltiplo de 2 y ello slo puede suceder

Criterio del 3 N = d x 1000 + c x 100 + b x 10 + a

N = (d x 333 x 3 + d) + (c x 33 x 3 + c) + (b x 3 x 3 + b) + a N = 3 x (d x 333 + c x 33 + b x 3) + (d + c + b + a)

El nmero N ser divisible por 3 cuando lo sea la suma de sus cifras. C del 5riterio N = d x 1000 + c x 100 + b x 10 + a N = d x 200 x 5 + c x 20 x 5 + b x 2 x 5 + a

N = 5 x (d x 200 + c x 20 + b x 2) + a de manera que N ser divisible por 5 cuando a ine en 0 o 5. Criterio del 11

lo sea, es decir, cuando term

d x 1 b N = (d x 91 x 11 - d) + (c x 9 x 11 + c) + (b x 11 - b) + a

N = 11 x (d x 91 + c x 9 + b) + (-d + c - b + a) impar

N = 000 + c x 100 + x 10 + a

As se puede concluir que N ser divisible entre 11 cuando la suma de sus cifras en lugar

enos la suma de las cifras en lugar par sea divisible entre 11. m

44

onjunto de divisores

dos nmeros como 180 y 1050, se puede plantear el problema de determinar qu divisores tienede los divisor ediatamente averiguar cuntos tendr.

ero 180 inicialmente. Su descomposicin factorial nos dice que:

Divisor e lugar a 180. Pero stamente tenemos a este nmero expresado como producto de enteros, luego divisor ser todo

4 x (3 x 5) l 6, 180 = 6 x (2 x 3 x 5). El 20, 180 = 20 x 32

En resumen, los divisores do de todas las formas posibles los ctores que aparecen en la factorizacin del nmero 180. Esto se puede plantear de manera stem

C Dados

cada uno y cules son comunes. Para ello es necesario saber formar el conjunto es de un nmero, lo que implicar inm

Consideremos entonces el nm 180 = 2 2 x 3 2 x 5

s aquel nmero que, multiplicado por un nmero entero, dajuaquel nmero que se pueda extraer de su descomposicin factorial. Veamos unos cuantos: El 2, 180 = 2 x (2 x 32 x 5). El 4, 180 = 2E

se obtendrn combinanfasi tica. Si queremos todos los factores que presenten al 2, al 3 o a ambos de forma combinada, habra que trazar el siguiente cuadro:

1 2 2 2

3 3 x 2 = 6 3 x 2 2 = 12

3 2 3 2 x 2 = 18 3 2 x 2 2 = 36 Como vemos, todos ellos son divisores y habr un total de 3 x 3 = 9, es decir, el producto del

el exponente del 3 ms uno. De esta forma, para el producto

abra un total de (A + 1) x (B + 1) divisores. os ellos habra que considerarlos tal como estn y tambin multiplicados

or 5, que es el ltimo factor. Por ello, habra que tomar los divisores obtenidos a partir del 2 y 3 mu

exponente del 2 ms uno por 2 A x 3 B h Ahora bien, todpel ltiplicados por 1 (como en la tabla anterior) y multiplicados por 5:

1 x 5 = 5 2 x 5 = 10 2 2 x 5 = 20

3 x 5 = 15 2 x 3 x 5 = 30 3 x 2 2 x 5 = 60

3 2 x 5 = 45 32 x 2 x 5 = 90 32 x 22 x 5 = 180 As que

e la mism

tendr

Divisores (1050) = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 25, 30, 35, 42, 50, 70, 75, 105,

los divisores de 180 seran (2 + 1) x (2 + 1) x (1 + 1) = 18 en total, y en concreto Divisores (180) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 } D a forma 1050 = 2 x 3 x 5 2 x 7 y (1 + 1) x (1 + 1) x (2 + 1) x (1 + 1) = 24 divisores En concreto,

150, 175, 210, 350, 525, 1050 }

45

Entre los divisores comunes de ambos nmeros se encontraran

10, 15, 30 }

s los divisores comunes de ambos nmeros se le llama mximo omn divisor. Hemos encontrado una forma de calcularlo pero resulta demasiado laboriosa.

180 = 2 2 x 3 2 x 5 105 7

unes (al objeto de asegurar que sea divisor de ambos nmeros) con el enor exponente (si fuera el mayor como en 3 2 se dividira a 180, pero no a 1050). En resumen,

x ltiplicar los ctores comunes con el menor exponente. En este caso,

m.c.d. (180, 1050) = 2 x 3 x 5 = 30

ros cuando estos on gra

Mximo comn divisor

Divisores comunes (180, 1050) = { 1, 2, 3, 5, 6,

Al mayor de todocPor ello hemos de fijarnos en la factorizacin de ambos nmeros: 0 = 2 x 3 x 5 2 x

Comparando sus factores, podremos observar que el 2 ha de ser un divisor comn, as como el 5, tambin el 2 x 3 e incluso el 2 x 3 x 5. En general, el mayor de ellos se puede escoger tomando los factores commel m imo comn divisor de varios nmeros es igual al nmero formado al mufa Algoritmo de Euclides Existen procedimientos alternativos para hallar el m.c.d. de dos nmes ndes y presentan una factorizacin compleja. Procedimiento de resta El primero se basa en la resta de los dos nmeros. Ya habamos demdivisor de a y b, entonces era divisor de su diferencia a - b (si a b). Es decir d divisor comn (a,b) de donde d divisor de a - b Si se consigue demostrar lo contrario, tendramos que d divisor comn (a-b, b) de donde d divisor de a de modo que los divisores comunes de (a, b) seran los mismos que los de que, en particular, su m.c.d. sera el mismo. Primero vamos a pr

Si d es divisor de b, existe un L de Z, tal que d L = b Si d es divisor de a-b, existe un M de Z, tal que d M = a - b

ustituyendo el valor de b es la segunda igualdad: d M = a - d L de donde d M + d L = a de donde d (M + L) = a

ue indica que d es tambin divisor de a.

Por tanto, para hallar el mcd (676, 221), por ejemplo, basta aplicar sistemticamente este sultado:

mcd (676, 221) = mcd (676 - 221, 221) = mcd (455, 221) mcd (455, 221) = mcd (455 - 221, 221) = mcd (234, 221)

cd (234 - 221, 221) = mcd (221, 13)

Dado que 13 es un nmero primo que no tiene otro divisor que l mismo y la unidad, al

ostrado que si d era ,

(a-b, b) de manera obar esta segunda

implicacin. S q re mcd (234, 221) = m

ser 221 = 17 x 13 se deduce de ello que el mcd (221, 13) = 13

Procedimiento de divisin El procedimiento anterior, conocido como algoritmo de Euclides, puede aplicarse a partir e la divisin. As, si dividimos un nmero D entre un nmero n, resulta un cociente c y un resto

n x c + r

Pues bien, a partir de esta relacin se puede demostrar que el conjunto de divisores comunes de (D, n) es el mismo que el de divisores de (n, r). Para demostrarlo se darn dos pasos complementarios. 1) Demostracin de que si d es divisor comn de (D, n), lo es tambin de (n, r). Si d es divisor de (D, n), existirn L, M de Z, tales que d L = D, d M = n Si despejamos el resto r: r = D - n c Sustituyendo, r = d L - d M c = d (L - M c) lo que demuestra que d es divisor de r. 2) Demostracin de que d es divisor de (n, r) es tambin divisor de (D, n). Si d es divisor de (n, r) entonces existen M, T de Z, tales que d M = n, d T = r que se sustituyen en la expresin de la divisin: D = n c + r = d M c + d T = d (M c + T) que demuestra que d tambin es divisor de D. A partir de este hecho, basta realizar divisiones sucesivas entre los dos nmeros:

Mnimo comn mltiplo Supongamos que tenemos piezas rectangulares de 45 x 12 cms. Queremos colocarlas una al lado de otra hasta conseguir formar un cuadrado. As, colocando dos coincidentes por su lado ms largo, tendramos una superficie de 45 x 24, con una ms, 45 x 36 y con la cuarta, 45 x 48 cms. Si disponemos una ms a lo largo ya tendramos 90 x 48 y se volvera a continuar el procedimiento. Todo ello supone hallar mltiplos por separado de estos dos nmeros originales hasta conseguir que haya una coincidencia. Mltiplos de 12 = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, ... } Mltiplos de 45 = { 45, 90, 135, 180, ... }

dr, expresada su relacin como D =

676 221

313mcd (676, 221) = mcd (221, 13)

221 13

170mcd (221, 13) = mcd (13, 0) = 1

46

47

Como se puede observar, la primera coincidencia sucede en 180 cms, que constituye el primer y ms pequeo mltiplo comn de ambos nmeros. Habr nuevas coincidencias pero sern mayores, en 360, 540 cms, etc. Se llama mnimo comn mltiplo al mltiplo comn ms pequeo de los nmeros dados. El que se ha visto es un procedimiento de clculo del mcm bastante laborioso y por ello se opta por otros, empezando por el basado en la factorizacin de los nmeros. 45 = 3 2 x 5 12 = 2 2 x 3 Si se busca un mltiplo comn de ambos nmeros, habr de ser mltiplo de cada uno. Para ello debe presentar todos los factores presentes en cada nmero, es decir, 22 , 3, 32 y 5. Pero si presenta 32 no es necesario especificar que deba presentar 3, por lo que se puede llegar a que mcm (45, 12) = 2 2 x 3 2 x 5 = 180 En resumen, a partir de la factorizacin de los nmeros, el mnimo comn mltiplo se halla considerando como factores los factores comunes y no comunes de ambos nmeros, con el mayor exponente cada uno. Relacin con el mximo comn divisor Consideremos el ltimo ejemplo. 45 = 3 2 x 5 12 = 2 2 x 3 El mximo comn divisor se obtendra escogiendo los factores comunes con el menor exponente, mcd (45, 12) = 3 mientras que para el mnimo comn mltiplo seran los factores comunes y no comunes con el mayor exponente, mcm (45, 12) = 2 2 x 3 2 x 5 = 180 La complementariedad entre ambas definiciones hace sospechar que su producto sera igual a la multiplicacin de los dos nmeros: mcd (45, 12) x mcm (45, 12) = 3 x (2 2 x 3 2 x 5) = (2 2 x 3) x (3 2 x 5) = 45 x 12 Esto es cierto en general, es decir mcd (a, b) x mcm (a, b) = a x b lo que permite un clculo ms rpido del mnimo comn mltiplo de dos nmeros.

48

49

Problemas 1) El nmero aba es mltiplo de 3 y de 5 cunto valdrn entonces a y b si a,b distintos de 0? 2) El nmero aba es mltiplo de 5 y de 9 cunto valdrn a y b si a,b distintos de 0? 3) Si 4n es mltiplo de 2 y 2n es mltiplo de 2, ser su suma mltiplo de 2? Y su diferencia? 4) Si un nmero a es divisible por otro b, lo es tambin por todos los divisores de b?

Comprubalo para 180 y 30. 5) Escribe un nmero de tres cifras (abc). Vuelve a escribirlo a continuacin (abcabc). Divide el

nmero resultante por 13, luego el cociente obtenido por 11. Finalmente, el nuevo cociente lo divides por 7. Por qu todas las divisiones son exactas? A qu se debe que el cociente final sea el que es?

6) Probar que, dados dos nmeros que no son mltiplos de tres, se puede afirmar que su suma o

diferencia s es mltiplo de 3. 7) Demostrar o poner un contraejemplo para las siguientes afirmaciones: a) Si d es divisor de a + b, entonces d divide a a y d divide a b. b) Si d es divisor de a + b, entonces d divide a a o bien d divide a b. c) d es divisor de 0. d) Si a es divisor de b y b es divisor de a, entonces a = b. e) Si d es divisor de a2, entonces d es divisor de a. 8) Cuntos divisores tienen los nmeros 36, 50, 100, 360, 540? Qu nmeros de los anteriores ser divisible por otro observando slo su descomposicin en nmeros primos? 9) De cuntas maneras se pueden colocar 24 rboles en rectngulos de varias filas? Y 30

rboles? y 42 rboles? 10) Deduce el criterio de divisibilidad por 4 y por 8. 11) Un nmero de tres cifras y las tres iguales puede ser mltiplo de 11? Explcalo. 12) El nmero 247.742 es capica. Es divisible por 11? Todos los nmeros capicas son

divisibles entre 11? 13) Consideramos el nmero 528. Se separan tantos grupos de dos cifras como se pueda

empezando por la derecha, lo que da lugar a dos grupos (5 y 28). Se suman (5 + 28 = 33). Como el resultado de la suma es divisible entre 11, el nmero 528 tambin lo es. Es cierto el procedimiento en general? Por qu?

14) Dos nmeros son amigos si la suma de los divisores de cada uno, excluyendo el propio nmero, nos da el otro. Comprobar que la pareja (220, 284) son amigos. 15) Un nmero es perfecto si es igual a la suma de sus divisores excluyendo al propio nmero.

Comprobar que los nmeros 6, 28 y 496 son perfectos. 16) Para averiguar si 499 es primo hemos hecho una serie de divisiones y al dividir por 23

hemos encontrado de cociente 21 y 16 de resto. Debemos seguir dividien