matematicas 1

w w w . i n a c a p . c l

UNIDAD I

ALGEBRA EN LOS NUMEROS REALES


Conjuntos Numéricos

0N

R

C

Q

Z

*QI

N

)(:

Im:

Re:

:

:

:

:

:

*

0

UniversoComplejosC

aginariosI

alesR

esIrracionalQ

RacionalesQ

EnterosZ

CardinalesN

NaturalesN


Conclusiones de los Conjuntos Numéricos

CI

IR

RQQ

QQ

CRQZNN

*

*

0


1. Conjuntos de los Números Naturales (N)

...,8,7,6,5,4,3,2,1N

Características:

- Todo número natural tiene un Antecesor y un Sucesor.

- El conjunto de los N infinito, no existe un último natural.

- Este conjunto se puede separar en dos grandes subconjuntos: los Pares y los Impares, y ningún número pertenece a ambos.


Consecutividad Numérica

nn-1 n+1Antecesor Sucesor

Naturales Consecutivos

Números Pares

2n2n-2 2n+2Antecesor Par Sucesor Par

Números Impares

2n-12n-3 2n+1Antecesor Impar Sucesor Impar


Números Primos

Pertenecen a los Números Naturales, son los que se pueden descomponer en exactamente dos factores distintos: el uno y el mismo número, es decir, dichos números se pueden dividir por uno y por sí mismo.Nota:

Los números primos tienen gran importancia porque cualquier número natural mayor que uno es primo o se puede expresar como producto de números primos. Por ejemplo: 150 (2·3·5·5). Esta descomposición se llama factorización prima y se pueden obtener por ejemplo el M.C.D (máximo común divisor) y el m.c.m. (mínimo común múltiplo.


1.1 Múltiplos y Divisores

Los múltiplos se obtienen al multiplicar un número por los números naturales.

Ejemplo: Múltiplos del 14 (14,28,42,56,70,…)

Nota:

Supongamos que queremos saber si 168 es múltiplo de 14, basta con dividir 168:14=12, por lo tanto, 168 es múltiplo de 14 y también podemos decir que 168 es divisible por 14. Los conceptos de múltiplo y divisor están fuertemente relacionados: “si a es divisor de b, entonces b es múltiplo de a”, y viceversa.


Reglas de Divisibilidad

1. Un número es divisible por dos si su última cifra es un número par o cero. Ej. 58

2. Un número es divisible por tres si la suma de sus cifras es múltiplo de tres. Ej. 42

3. Un número es divisible por cuatro si las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o ambos son cero. Ej. 708

4. Un número es divisible por cinco si su última cifra es cero o cinco. Ej. 85, 50

5. Un número es divisible por seis si es divisible por dos y tres a la vez. Ej. 42

6. Un número es divisible por nueve si la suma de sus cifras es un múltiplo de nueve. Ej. 3.699

7. Un número es divisible por diez si su última cifra es cero.


1.2 Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) se puede calcular desarrollando la descomposición prima de todos los números y multiplicando todos los factores distintos que aparezcan, elevados cada uno al mayor exponente que tengan en las descomposiciones.El máximo común divisor (M.C.D.) se puede calcular desarrollando la descomposición prima y multiplicando posteriormente los factores comunes elevados cada uno al menor exponente que tenga en las descomposiciones.


1.3 Operaciones en los Números Naturales (N)

1. Adición:

Sean a y b números naturales, la adición se define como a+b.

Propiedades:

(i) Clausura

(ii) Conmutativa

(iii)Asociativa

Nota: No existe elemento neutro para la suma

NbaNba ,,

Nbaabba ,,

Ncbacbacba ,,)()(



2. Sustracción:

Sean a y b números naturales, la sustracción o diferencia se define como a-b con:

NbabasisóloysiNba ,



3. Multiplicación:

Sean a y b números naturales, la multiplicación o producto se define como a·b.

Propiedades:

(i) Clausura

(ii) Conmutativa

(iii)Asociativa

Nota: El “elemento neutro” en la multiplicación es el “1”

NbaNba ,,

Nbaabba ,,

Ncbacbacba ,,)()(



4. División:

Sean a y b números naturales, la división se define como a:b con:

Nota: Ser divisible significa que el resto es cero y el cuociente no tiene decimales

La multiplicación es distributiva con respecto a la suma:

Ncbacabacba ,,,)(

bpordivisibleesasisóloysiNba :


2. Conjuntos de los Números Cardinales (N0)

NN

deciresN

0

...,8,7,6,5,4,3,2,1,0

0

0


2.1 Operaciones en los Números Cardinales (N0)1. Adición:

Sean a y b números cardinales, la adición se define como a+b.

Propiedades:

(i) Clausura

(ii) Conmutativa

(iii)Asociativa

(iv)Elemento Neutro Aditivo, el cero (0)

00 ,, NbaNba

0,, Nbaabba

0,,)()( Ncbacbacba

000 Naaaa


2.1 Operaciones en los Números Cardinales (N0)

2. Sustracción:

Sean a y b números cardinales, la sustracción o diferencia se define como a-b con:

00 , NbabasisóloysiNba


2.1 Operaciones en los Números Cardinales (N0)3. Multiplicación:

Sean a y b números cardinales, la multiplicación o producto se define como a·b. Propiedades:

(i) Clausura

(ii) Conmutativa

(iii)Asociativa

(iv)Elemento Neutro Multiplicativo

(v) El 0 es absorbente

(vi)Distributividad respecto a la suma

00 ,, NbaNba

0,, Nbaabba

0,,)()( Ncbacbacba

0,1 Naaa

0,00 Naa

0,,)( Ncbacabacba


2.1 Operaciones en los Números Cardinales (N0)

4. División:

Sean a y b números cardinales, la división se define como a:b con. La división por cero no está definida en este conjunto, luego:

0,: 0 bybpordivisibleesasiNba


3. Conjuntos de los Números Enteros (Z)

,3,2,1,0,1,2,3, ZNota:

En los números enteros (Z), los números naturales corresponden a los números enteros positivos. Al sumar, restar o multiplicar números enteros, el resultado es siempre un número entero, en cambio, en la división no siempre es así.

..................,2,1,0,1,2................Z NZ


3.1 Operaciones en los Números Enteros (Z)

1. Adición:

Sean a y b números enteros, la adición se define como a+b.

Propiedades:

(i) Clausura

(ii) Conmutativa

(iii)Asociativa

(iv)Elemento Neutro Aditivo, el cero (0)

(v) Elemento Inverso Aditivo

ZbaZba ,,

Zbaabba ,,

Zcbacbacba ,,)()(

Zaaaa 00

Zaaaaa 0)()(


Valor Absoluto de un Número

El Valor Absoluto de un número se puede interpretar en la recta numérica como la distancia del número al cero. Por lo tanto siempre es positivo o cero. La representación del valor absoluto de un número entero se puede establecer a través de la siguiente regla.

0,

0,

xsix

x

xsix



2. Sustracción:

Sean a y b números enteros, la sustracción o diferencia se define como a-b con:

ZbasiZba ,

Nota:

En este conjunto siempre existe un elemento que representa la diferencia entre dos elementos cualesquiera.


3. Multiplicación:

Sean a y b números enteros, la multiplicación o producto de números enteros se define como a·b. Las propiedades son las mismas que en los cardinales.


Regla de los signos


Prioridad de las Operaciones

1º Las operaciones que están entre parentésis, partiendo de los interiores a los exteriores.

2º Potencias.

3º Multiplicaciones, y divisiones, de izquierda a derecha.

4º Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.

Ejemplo: (-32+(-28+13))-(-12):(-3)=


Son aquellos que se pueden escribir de la forma y pertenecen al conjunto

Ejemplos:

4. Conjuntos de los Números Racionales (Q)

0/ bZba

b

aQ

b

a

6666,0;9;7

28;5,11;

4

3;25,0


4.1 Propiedades de las Fracciones

• Amplificar y Simplificar fracciones son procedimientos que no cambian el valor de una fracción.

• Simplificar una fracción es el proceso inverso de amplificar, o sea, se dividen el numerador y el denominador por un mismo número.

• El inverso multiplicativo del número es siempre que a y b sean distintos de cero.

• La prioridad de operaciones también se aplica a la operatoria con fracciones.

b

a

a

b


4.2 Operaciones en los Números Racionales (Q)

Sean a, b, c, d diferentes de cero

Suma Y Resta

Producto

División

Número Mixto

db

cbda

d

c

b

a

db

ca

d

c

b

a

cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

:

q

pqE

q

pE


4.3 Transformaciones de Números Racionales

De Fracción a Decimal: Para esto basta dividir el numerador por el denominador.

De Decimal Finito a Fracción Común: La fracción que resulta tiene por numerador un número sin la coma y como denominador una potencia de 10, cuyo exponente será el número total de decimales.

De Decimal Periódico a Fracción Común: La fracción resultante tiene como numerador el período y como denominador tantos nueves como cifras tenga el período.

De Decimal Semiperiódico a Fracción Común: La fracción tiene como numerador un número formado por el número sin la coma menos el anteperíodo, y como denominador un número con tantos nueves como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo decimal.


4.4 Comparación de Fracciones

Al comparar fracciones se refiere a ordenar en forma creciente o decreciente dos ó más fracciones. Los métodos más comunes son:

Multiplicación Cruzada: este método es conveniente si son pocas fracciones a comparar.

Igualar Denominadores: este método es conveniente utilizar cuando son varias fracciones a comparar. Se calcula el m.c.m. de los denominadores y cada fracción es amplificada para que tenga el mismo denominador, luego se comparan los denominadores.

Transformar a Decimal: se transforma la fracción a decimal y después se compara decimal a decimal.

17

3

11

2: yEj

100

77

90

71,

9

7: yEj

100

77

90

71,

9

7: yEj


Los números racionales se clasifican en números decimales finitos, infinitos periódicos y semiperiódicos, los cuales se pueden representar a través de una fracción.

Además de los números mencionados anteriormente, existen números decimales que tienen infinitas cifras decimales, sin período, los cuales no se pueden escribir como una fracción. Estos elementos se llaman Números Irracionales.

5. Conjuntos de los Números Irracionales (Q*)

,,2,3Q


La recta numérica nos permite representar este conjunto, ésta está formada por infinitos puntos. A cada punto sobre la recta le corresponde un número real único, que se denomina coordenada de ese punto

5. Conjuntos de los Números Reales (R)

3210123

22

1

2

312


POTENCIACION


1. Potenciación

1.1 Definición: Potenciación

Una potencia corresponde a una multiplicación reiterada de términos o números iguales. El término o número que se va multiplicando se llama base y la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente.

onenten

basebCon

bbbbbbbvecesn

n

exp:

:


1.2 Propiedades

1. Multiplicación de Potencias

a) De igual base:

b) De igual exponente:

2. División de Potencias

a) De igual base:

b) De igual exponente:

qpqp aaa

ppp baba

mnm

nmnmn a

a

aaaaa 0;:

p

p

pppp

b

a

b

abbaba

0;::


1.2 Propiedades

3. Potencia de una Potencia

4. Potencias de Exponente Negativo

a) Con base entero

b) Con base fraccionaria

642 28. Ejaa qpqp

0;11

a

aaa

p

pp

00;

baa

b

a

b

b

ap

ppp


1.2 Propiedades

5. Potencias de exponente cero

0,10 aa


1.3 Potencias de 10 con Exponente Positivo

Nncerosn

n

;010010

100000010

100010

10010

1010

110

6

3

2

1

0


1.4 Potencias de 10 con Exponente Negativo

Nncerosn

n

;0100,010

000001,010

1000

1001,010

100

101,010

10

11,010

110

6

3

2

1

0


Uso de las Potencias de Diez

1. De exponente positivo:

Se toma la cantidad significativa del número y se multiplica por 10n siendo n el número de ceros que se dejan de anotar.

2. De exponente negativo:

Se utiliza para números decimales. Se toma la cantidad significativa y se multiplica por 10-n siendo n el número de decimales que tiene la cifra


1.4 Signos de una Potencia

a) Si el exponente es par.

b) Si el exponente es impar.

c) Si el exponente es negativo.

RbZnbb nn ,,0)( 22

0,,0)( 1212 RbZnbb nn

0,)(

1)(

Rb

bb

nn


RADICACION


2. Radicación

1.1 Definición: Radicación

cdeenésimaraízlaesx

cxcx nn .


2.2 Propiedades

1. Relación de la raíz y la potencia

2. Multiplicación de raíces de igual índice

3. División de raíces de igual índice

p

qp q aa

nnn baba

nn

nnnn

b

a

b

abienobaba ::


2.2 Propiedades

4. Composición o descomposición de raíces

a. Composición

b. Descomposición

5. Raíz de una raíz

n nn baba

nn n baba

qpp q aa


7. Racionalización

cabacb

cb

cb

aCaso

b

ba

b

b

b

aCaso

b

ba

b

b

b

aCaso

n mn

n mn

n mn

n m

:3

:2

:1


RAZONES Y PROPORCIONES


1. Razones y Proporciones

1.1 Definición: Razón

Es el cuociente entre dos cantidades positivas. La razón entre dos cantidades a y b, distintas de cero, se anota , o bien , y se lee “a es a b”

Ejemplo: la razón entre 36 y 12 es?

b

a

ba :

b

a antecedenteconsecuente


1.2 Definición: Proporción

Es una igualdad entre dos razones.

También se escribe “ “ y se lee: “a es a b como c es a d”

d

c

b

a

extremos

medios

1. Razones y Proporciones

dcba ::


1.2 Teorema Fundamental de las Proporciones

La propiedad fundamental de las proporciones establece que “el producto de los medios es igual al producto de los extremos”; es decir:

Ejemplo: ¿Es la expresión una proporción?

cbdasisóloysid

c

b

aocbdasisóloysidcba ::

24:2018:15


1.3 Propiedades

Si entonces se cumple:

dc

dc

ba

baf

esproporciondeciónDescomposid

dc

b

bao

c

dc

a

bae

esproporciondenComposiciód

dc

b

bao

c

dc

a

bad

b

a

d

cc

c

d

a

bb

a

c

b

da

)

)

)

)

)

)

d

c

b

a


1.4 Clasificación

a) Proporción Discontinua: es aquella que tiene todos sus términos desiguales.

Cuarta Proporcional: es cada uno de los términos de una proporción discontinua.

Ejemplo:

d

c

b

a

7

49

3

21


1.4 Clasificación

b) Proporción Continua: es la que tiene los medios o los extremos iguales

i) Tercera Proporcional Geométrica: es cada término no repetido de una proporción continua.

Ejemplo:

ii) Media Proporcional Geométrica: es el término que se repite en una proporción continua

a

c

b

aó

d

b

b

a

9

6

6

4


1.5 Serie de Razones o Proporciones

Si tenemos

Podemos escribir

Esta igualdad de dos o mas razones se llama serie de razones o serie de proporciones, se puede escribir también como:

.,;; etckf

ek

d

ck

b

a

kf

e

d

c

b

a

fdbeca ::::


Teorema

En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es a su consecuente.

De esto se tiene:

Sumando Obtenemos

Entonces

kf

e

d

c

b

a

kfe

kdc

kba

)( fdbkeca

f

e

d

c

b

a

fdb

ecak


1.6 Proporcionalidad

a. Directa:

“X” es directamente proporcional a “Y” si al aumentar (disminuir) “Y”, “X” aumenta (disminuye) en la misma proporción.

Esto se escribe:

Ejemplo: Una motocicleta posee un rendimiento de 18,5 Km/L. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en 370 km?

teconskconYkXokY

Xtan,



b. Inversa:

“X” es inversamente proporcional a “Y” si al aumentar (disminuir) “Y”, “X” disminuye (aumenta) en la misma proporción.

Esto se escribe:

Ejemplo: 36 jóvenes scout tienen alimento para 15 días. Si faltan seis, ¿para cuántos días más alcanzará el alimento si consumen diariamente la misma ración?

teconskconY

kXokYX tan,



c. Compuesta:

En este tipo de proporcionalidad están los dos tipos antes mencionados, pero en vez de dos variables hay tres.

Para determinar la constante de proporcionalidad, se comparan las variables de dos en dos. De esta manera, la tercera queda como constante. Se hace variar una de ella y se observa que pasa con la otra (con respecto a la proporcionalidad). Si A y B son directamente proporcionales y A con C son inversamente proporcionales, entonces la constante de proporcionalidad es

KB

CA


PORCENTAJE

%


1. Porcentaje

1.1 Definición: Porcentajes

El porcentaje es un tipo de proporcionalidad directa, pues el a% significa dividir la cantidad en 100 partes y se toman “a” de ellas.

a% se lee “el a por ciento”, sacar un tanto por ciento de una cantidad se llama sacar porcentaje.

100%:

aaNotación


Observación

Los porcentajes están directamente relacionados con fracciones y decimales

AAdeAA

Ade

AA

AdeAA

Ade

AA

AdeAA

Ade

AA

AdeAA

Ade

AA

AdeAA

Ade

%1005,02

%50

9,010

9%903,0

3%3,33

75,04

3%7525,0

4%25

6,03

2%6,662,0

5%20

1,010

%101,010

%10


1.1 Relación Básica en Porcentajes

Con esta igualdad se pueden obtener:

a. Porcentaje de un número: ¿Cuál es el a% de N?

%%100 a

ltotaldeParteTotal

%100%%100

Nax

a

xN


b. Un número, conocido un porcentaje de él: ¿De qué número p es el q%?

c. Relación porcentual: ¿Qué porcentaje es a de b?


q

px

q

px 100

%%100

%100

%100 b

ax

x

ab


d. Porcentajes Sucesivos: Se calculan porcentajes de porcentajes. ¿Cuál es el a% del b% del c% del… de N?


Ncba

x 100100100


1.2 Variación Porcentual

FinalCantidadC

InicialCantidadCCon

C

CC

f

i

i

if

:

%100%


Sea Pc: Precio de compra y Pv: Precio de venta, donde Pv=Pc+G

Pv-Pc: Indicará ganancia si es mayor que cero y será pérdida si es menor que cero.

1.1 Porcentaje de Ganancia (%G) y Porcentaje de Pérdida (%P)

%%100 x

PPP cvc


ALGEBRA EN LOS NUMEROS REALES


Introducción

La rama de la matemática que permite modelar situaciones a través de generalidades literales, se conoce con el nombre de Álgebra. El lenguaje que ocupa el álgebra permite realizar presentaciones a través de factores literales, coeficientes numéricos y relaciones matemáticas de la aritmética.

El lenguaje algebraico es el lenguaje del álgebra, el cual permite representar cantidades por medio de letras y, de esta forma, generalizar variadas situaciones, como por ejemplo los problemas de enunciado matemático.


1. Definiciones

1.1 Término Algebraico.

Es una relación entre números y letras donde intervienen operaciones como multiplicación, división, potencias y/o raíces (no se incluyen sumas y restas). Consta de un factor numérico denominado coeficiente y un factor literal.

224 8,,3

:

a

bxyx

Ejemplos


1.2 Expresión Algebraica.

Combinación de números y letras relacionados entre sí mediante operaciones aritméticas como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, raíces, etc.

1. Definiciones

xyxx

Ejemplos

),log(,1

:2


2.1 Monomio.

Expresión algebraica constituida por el producto de un número (coeficiente) y/o variables representadas por letras, que consta de un solo término. Ejemplos:

Si un monomio no tiene escrito su coeficiente numérico, entonces su valor es 1. Ejemplos:

2. Clasificación de Expresiones Algebraicas

xyx a 7,6,2

yxmyxmaa 232322 1,1


2.2 Polinomio.

Expresión algebraica construida por una suma de varios monomios. Cuando se dice “suma” de monomios, está incluido el caso de las diferencias entre ellos, que consta de dos o más términos.

i) Binomio:

Expresión algebraica obtenida por la suma de dos monomios.


422

3

8

7

4,3,1,23, myxyxazxyba


ii) Trinomio:

Expresión algebraica obtenida por la suma de tres monomios.


222 534,153,,2 babaxxcbaba


3.1 Grado de un Término Algebraico.

Este puede ser relativo o absoluto:

i) Relativo: está dado por el exponente de la variable considerada.

ii) Absoluto: está dado por la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo:

El exponente 1 no se escribe. Debe tenerlo presente cuando calcule el grado de un polinomio.

3. Grado de una Expresión Algebraica

325 yx

11221, myxymxyy


3.2 Grado de un Polinomio.

Este puede ser relativo o absoluto:

i) Relativo: está dado por el mayor exponente de una variable considerada.

ii) Absoluto: está dado por el mayor grado absoluto de sus términos o por la suma de los exponentes de las variables.

Ejemplo:


32432 25317 yxyxyx


3.3 Términos Semejantes.

Son aquellos términos o monomios, que tienen los mismos factores literales e igual exponente. Ejemplos:

Los términos semejantes siempre se pueden reducir a un sólo término y para ello se sumen o restan los coeficientes numéricos según corresponda, y se conserva la parte literal.


"",52min)

"",5,03,min)

"",58min)

32

222

2323

semejantessonnoxyxostérLosiii

semejantessonxyxxostérLosii

semejantessonbaybaostérLosi


4.1 Suma y Resta.

Sólo pueden ser sumados o restados los términos semejantes, o sea, aquellos que tienen igual parte literal. Ejemplo:

Sumar dos polinomios (sumandos) significa obtener un nuevo polinomio (suma), escribiendo un polinomio a continuación del otro, conectados con un signo más y reduciendo sus términos semejantes cuando existan. Ejemplos:

4. Operaciones Algebraicas

222 32 xyxyxy

xxxii

zyxyyxiSumar

23)

28532):


4.1 Suma y Resta.

El inverso aditivo de un polinomio se obtiene cambiando los signos de sus términos. Ejemplo:

De la misma forma se define la resta de polinomios, lo que significa que para restar se escribe el polinomio minuendo con sus propios signos y se suma el polinomio sustraendo con los signos cambiados, reduciendo los términos semejantes.


xxxdeaditivoinversoEl 25,07: 23

)254()4976(:Re 22222 baconbbaastar


4.2 Multiplicación.

i) Multiplicación de monomios:

Para multiplicar monomios por monomios se multiplican los coeficientes numéricos y las partes literales entre sí. Ejemplo:


yxyxiii

xxii

yxi

733

2

710)

8)6()

57)



ii) Multiplicación de monomios por polinomios:

La multiplicación de un monomio por un polinomio es una consecuencia directa de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, es decir, para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Ejemplo:


)(6)

)72(3)242

2

zyxxii

zzzi



iii) Multiplicación de polinomios por polinomios:

Para multiplicar un polinomio por otro polinomio se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio. Ejemplo:

Se sugiere para la rapidez en la resolución de problemas algebraicos, recordar los productos notables.


)32)(3( yxyx


4.3 Productos Notables.

Se llaman productos notables a aquellos cuyos factores cumplen ciertas características que permiten que su resultado pueda ser escrito sin realizar todos los pasos de la multiplicación. Los productos notables son:

i) Cuadrado de Binomio:


222

222

2

2

bababa

bababa


ii) Cubo de Binomio:

iii) Suma por su Diferencia:


32233

32233

33

33

babbaaba

babbaaba

22 bababa


iv) Producto de Binomios:

v) Cuadrado de Trinomio:

vi) Diferencia de Cubos:

vii) Suma de Cubos:


abbaxxbxax 2

acbcabcbacba 2222222

3322 babababa

3322 babababa


4.4 División.

Para la división, será necesario expresar los términos mediante productos, o sea, factorizar:

Factorización.

Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos) consiste en escribirla en forma de multiplicación. Las formas más comunes de factorización son:

i) Factor Común (monomio y polinomio)

Se factoriza por un factor común (que puede ser un monomio o un polinomio), es decir un término común entre los factores de la multiplicación.

Ejemplo: sacar factor común en la expresión


yxxyxy 22 643


ii) Factor Común Compuesto

No todos los términos de una expresión algebraica contienen factores comunes, pero realizando una adecuada agrupación de ellos, se puede encontrar factores comunes de cada grupo.

Ejemplo: factorizar la expresión


ywyzxwxz


iii) Resultado de Productos Notables

a. Diferencia de Cuadrados

El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos.

Ejemplo: factorizar la expresión


22 925 yx



b. Trinomios Ordenados

Un trinomio ordenado (según el grado) es una expresión de la forma , donde a, b y c representan números reales

Los trinomios ordenados más utilizados son de la forma exncccc cuya factorización será de la forma


cnmybnmquetalnxmxcbxx ))((2

cbxax 2

cbxx 2



c. Sumas o Diferencias de Cubos

Los factores de una diferencia de cubos son:

Los factores de una suma de cubos son:

Ejemplo: Factorizar la expresión


2233 yxyxyxyx

2233 yxyxyxyx

273 x


Observación

1.

Si n es par, es factorizable por (x-y) y por (x+y). Si n es impar, es factorizable por (x-y).

Ejemplo:

2.

Si n es impar, es factorizable por (x+y). Si n es par, no es factorizable.

Ejemplo:

nn yx

nn yx

164 x

55 yx


i) Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)

a. Entre Monomios

Se determina el m.c.m. entre los coeficientes numéricos y luego el de los literales. Para este caso será el literal con mayor exponente. Ejemplo

5. Relaciones Algebraicas

)15()9( 342 bcaycab


i) Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)

b. Entre Polinomios

Para este caso es conveniente factorizar previamente, como se hace a continuación. Deben estar presente en el m.c.m. cada una de las expresiones resultantes en la factorización y si están repetidas, la de exponente mayor. Ejemplo:


1222 xxyxx


ii) Máximo Común Divisor (M.C.D.)

a. Entre Monomios

Se determinan el M.C.D. entre los coeficientes numéricos y luego el de los literales. Para este caso, serán los literales con menor exponente. Si no aparece un literal, es porque el exponente es cero. Ejemplo:


)15()9( 2432 bcaycba


ii) Máximo Común Divisor (M.C.D.)

b. Entre Polinomios

Al igual que en el m.c.m. también es conveniente factorizar. Corresponde a la o las expresiones algebraicas repetidas en ambos polinomios, pero la de exponente menor. Ejemplo:


1222 xxyxx


i) Adición y Sustracción

a. Si los denominadores son iguales

Ejemplo

b. Si los denominadores son diferentes primero se determina el m.c.m.

Ejemplos:

6. Operatoria con Fracciones Algebraicas

bb

a 1

93

1

62

1

3

1

1

1

1 aaay

aa

a


ii) Multiplicación.

Antes de multiplicar las fracciones algebraicas, conviene factorizar sus numeradores y denominadores, pues generalmente se simplifican algunas expresiones. Una vez hechas las simplificaciones (si es que las hubo) se multiplican las expresiones en forma horizontal. Ejemplos:


1

4

7

9)2

12

32

9

2)1

2

2

2

2

x

x

x

xxx

xx

x

xx


iii) División.

La división de expresiones algebraicas fraccionarias se efectúa igual que con fracciones numéricas, ocupando además las factorizaciones anteriores. Ejemplo:


25

202

2

x

xx

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