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Matematica - Sexto Medicina 2013
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2013
Tercer Año Bachillerato
Opción Ciencias Biológicas
Prof. Teresita Fuster LICEO N° 2 HÉCTOR MIRANDA
MATEMATICA 3° CIENCIAS BIOLOGICAS 2013
Prof. Teresita Fuster Liceo N° 2 Héctor Miranda
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“La Matemática tiene virtudes de formación
moral y produce independencia de
pensamiento, porque en ella, el manejo
individual y social de la verdad no admite el
argumento de la autoridad.”
James Marshall (1967)
MATEMATICA 3° CIENCIAS BIOLOGICAS 2013
Prof. Teresita Fuster Liceo N° 2 Héctor Miranda
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Contenido Contenido del documento................................................................................................. 3
Objetivos ....................................................................................................................... 3
Promoción ..................................................................................................................... 3
Unidad temática 1: Límite y continuidad de funciones .................................................... 4
Gráficas de funciones ................................................................................................... 4
Límite de funciones ....................................................................................................... 8
Límites de una función a partir de su gráfica ............................................................ 8
Límite de una función a partir de su expresión analítica ........................................ 11
Operaciones con límites .......................................................................................... 11
Continuidad de funciones ........................................................................................... 16
Unidad temática 2: Derivadas ........................................................................................ 18
Interpretación geométrica de la derivada a una función en un punto .................... 18
Interpretación cinemática de la derivada ................................................................ 19
Cálculo de derivadas ............................................................................................... 19
Propiedades de las funciones derivables. .............................................................. 22
Crecimiento y decrecimiento de funciones. ............................................................ 23
Concavidad de una función..................................................................................... 23
Unidad temática 3: Integrales......................................................................................... 25
Unidad temática 4: Estadística ....................................................................................... 28
Introducción a la Estadística....................................................................................... 28
Elementos de una investigación estadística ........................................................... 28
Muestreo .................................................................................................................. 29
Estadística Descriptiva ............................................................................................ 30
Variables aleatorias cualitativas ................................................................................. 34
Medidas de resumen ............................................................................................... 34
Variables cuantitativas ................................................................................................ 35
Medidas de posición................................................................................................ 35
Medidas de dispersión ............................................................................................ 36
Distribuciones de variables aleatorias ........................................................................ 37
Variables discretas .................................................................................................. 37
Variables continuas ................................................................................................. 39
Intervalos de confianza ........................................................................................... 40
Análisis multivariado ................................................................................................... 41
Relaciones entre dos variables ............................................................................... 41
Test de independencia para dos variables ............................................................. 42
Artículos del Reglamento de Evaluación y Pasaje de grado para el Bachillerato ........ 44
MATEMATICA 3° CIENCIAS BIOLOGICAS 2013
Prof. Teresita Fuster Liceo N° 2 Héctor Miranda
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Contenido del documento En este documento encontrarás el material que se usará durante el curso de Matemática. El mismo está orientado a los alumnos que cursan el tercer año de Bachillerato, opción Ciencias Biológicas, del Liceo N° 2 Héctor Miranda.
Se corresponde con el programa de Matemática indicado por la Inspección de la asignatura a partir del año 2010.
Objetivos El objetivo de este documento es facilitar la tarea de clase y las actividades domiciliarias, ya que contiene material teórico (definiciones, propiedades, algunas demostraciones) y la mayor parte de los ejercicios con los que se trabajará durante el año.
Los objetivos principales del curso de matemática son:
Estimular el razonamiento matemático Estimular el desarrollo de las capacidades matemáticas y aplicarlas a la
resolución de los más diversos problemas Estimular la conexión entre los diferentes conceptos matemáticos adquiridos y
relacionarlos con los aprendizajes de otras asignaturas. Profundizar los conocimientos ya adquiridos en años anteriores y, a la vez, que
sirvan como base para los temas que se desarrollarán en cursos superiores.
Promoción Según el reglamento de evaluación y pasaje de grado del Consejo de Educación Secundaria, “La calificación final en cada asignatura será el resultado de todo el proceso de aprendizaje desarrollado por el estudiante durante el curso.”1 En este curso, el proceso de aprendizaje se basará en tres pilares principales:
Actuación en clase (incluye participación, interés por la asignatura, relacionamiento con los compañeros, etc.)
Trabajos domiciliarios, ya que con estas tareas se practica lo estudiado en clase y se puede rever en la siguiente clase aquello que no ha sido totalmente comprendido o sobre lo que se tiene dudas.
Trabajos de evaluación escritos o trabajos especiales que se soliciten durante el curso. Se incluyen aquí las dos pruebas especiales de evaluación a realizarse en los meses de junio y noviembre.
1 Al final de este documento encontrarás los artículos del Reglamento de evaluación y pasaje
de grado para Bachillerato que se refieren al tema.
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Unidad temática 1: Límite y continuidad de funciones
Gráficas de funciones Los ejercicios que siguen están planificados para ser realizados con la ayuda del programa Geogebra, por lo cual se trabajará en la sala de informática.
Ejercicio 1
Grafica las siguientes funciones entre números reales. (Indica en cada caso el dominio de la función)
a) f(x) = x+5 b) f(x) = x2 +2 c) f(x) = x2 +2x +1
d) f(x) = x3 e) f(x) = x3+2x2 f) f(x) = 1/x
g) f(x) = ex h) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥2 i) f(x) = Lx
Ejercicio 2
Para cada una de las funciones del ejercicio anterior, grafica también:
g(x) = f(x) +2 h(x) = f(x) – 3 i(x) = - f(x) j(x) = f(x+1)
k(x) = f(x-1) l(x) = f(-x) m(x) = | f(x) |
Ejercicio 3
A partir de los casos observados, redacta con tus compañeros una conclusión general
sobre la forma de las gráficas de una función f(x) y las gráficas de las funciones relacionadas: f(x) + k ; f(x+k) ; f(-x) y |f(x)|
Definición 1 Función par
Definición 2 Función impar
Ejercicio 4
Investiga si alguna de las funciones del Ejercicio 1 es par o impar.
Ejercicio 5
Investiga a partir de las funciones vistas hasta ahora, que sucede con las gráficas de las funciones pares e impares y redacta una conclusión.
Se llama función par a cualquier función entre números reales que cumpla:
f(x) = f(-x) x, x D(f)
Se llama función impar a cualquier función entre números reales que cumpla:
f(x) = - f(-x) x, x D(f)
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Ejercicio 6
La siguiente es la gráfica de la función f: / f(x) = x3- x2. A partir de ella, grafica en
el mismo par de ejes, las funciones: g(x) = f(x)+2 ; j(x) = f(x-1) ; t(x) = f(-x) y r(x) = -f(x). (Puede ser de ayuda el uso de papel de calco).
Ejercicio 7
Dada la gráfica de la función f entre números reales, identifica entre las otras gráficas
dadas, cuál de ellas se corresponde con f(-x) ; f(x+k) ; f(x)+k; -f(x) o |f(x)|. Escribe la expresión analítica de cada función.
𝑓(𝑥) =𝑥 + 2
𝑥
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Definición 3 Función creciente
g (x) =
j (x) =
h (x) =
Se dice que una función f es creciente en un intervalo I si a mayores valores de
x le correspondes mayores valores de f(x)
Con símbolos:
f es creciente en I x1, x2 I x1>x2 f(x1) > f(x2)
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Definición 4 Función decreciente
Definición 5 Función inversa
Ejercicio 8
a) Investiga, a partir de sus gráficas, el crecimiento y decrecimiento de las
funciones f del Ejercicio 1.
b) Para esas mismas funciones, investiga cuál de ellas tiene inversa.
c) ¿Puedes establecer una relación entre estos dos conceptos? Revisa si tu
hipótesis se confirma en las gráficas de las otras funciones ya trabajadas. Establece una explicación con tus propias palabras.
Se dice que una función f es decreciente en un intervalo I si a mayores valores de
x le corresponden menores valores de f(x)
Con símbolos:
f es decreciente en I x1, x2 I x1>x2 f(x1) < f(x2)
Sea la función f entre números reales:
f: D(f) C(f) / f(x) = z , x D(f)
Si existe una función g: C(f) D(f) / g(z) = x, z C(f), se dice que f tiene
inversa (o es invertible). La función g se anota generalmente como f-1
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Límite de funciones
Límites de una función a partir de su gráfica
Ejercicio 9
Estudiaremos las gráficas de las siguientes funciones y algunas de sus características.
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Ejercicio 10
Estudia los límites de las funciones del Ejercicio 1 a partir de sus gráficas, en los casos que se detallan a continuación:
Función Resolver lim f(x) si: a) x 0 x + x -
b) x -2 x - x +
c) x -1 x + x -
d) x 1 x + x -
e) x 0 x -2 x +
f) x 0 x 1 x -
g) x 1 x + x -
h) x 0 x + x -
i) x 1 x 0 x +
NOTACIÓN
En el caso de la primera función:
lim𝑥→−1
𝑓(𝑥) = 0
lim𝑥→1
𝑓(𝑥) = 8
lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −∞
NOTACIÓN
En el caso de la segunda función:
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = +∞
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = −∞
lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 0
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 0
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Límite de una función a partir de su expresión analítica
A continuación se formaliza el concepto de límites vistos en los ejercicios anteriores:
Definición 6 Límite de funciones
Propiedad 1 Unicidad del límite
Ejercicio 11
Volveremos a calcular los límites de las funciones del Ejercicio 9 pero utilizando sus expresiones analíticas:
a) 𝑓: 𝑅 → 𝑅 , 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 + 3𝑥 b) 𝑓: 𝐷(𝑓) → 𝑅, 𝑓(𝑥) =𝑥2+5𝑥
3𝑥2−9
c) 𝑓: 𝐷(𝑓) → 𝑅, 𝑓(𝑥) =𝑥2+2
𝑥−1 d) ) 𝑓: 𝐷(𝑓) → 𝑅, 𝑓(𝑥) =
𝑒𝑥−1
𝑥2
e) 𝑓: 𝐷(𝑓) → 𝑅, 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 5 𝑥 ≤ 0
𝑥2 + 6𝑥 + 5 𝑥 > 0
f) 𝑓: 𝐷(𝑓) → 𝑅, 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 𝑥 𝑥 ≥ 0
𝑥+1
𝑥2 𝑥 < 0
Operaciones con límites
A partir de ejemplos, completaremos en la clase los siguientes cuadros:
+ f
g k * 0 + -
k *
0
+
-
𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝒍 ↔ ∀𝜺 ∈ + , ∃ 𝜹 ∈ + / 𝒔𝒊 |𝒙 − 𝒂| < 𝜹 → |𝒇(𝒙) − 𝒍| < 𝜺
𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = +∞ ↔ ∀𝑲 ∈ + , ∃ 𝜹 ∈ + / 𝒔𝒊 |𝒙 − 𝒂| < 𝜹 → 𝒇(𝒙) > 𝑲
𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = −∞ ↔ ∀𝑲 ∈ + , ∃ 𝜹 ∈ +/ 𝒔𝒊 |𝒙 − 𝒂| < 𝜹 → 𝒇(𝒙) < 𝑲
𝒍𝒊𝒎𝒙→+∞
𝒇(𝒙) = 𝒍 ↔ ∀𝜺 ∈ + , ∃ 𝑯 ∈ + / 𝒔𝒊 𝒙 > 𝑯 → |𝒇(𝒙) − 𝒍| < 𝜺
𝒍𝒊𝒎𝒙→−∞
𝒇(𝒙) = 𝒍 ↔ ∀𝜺 ∈ + , ∃ 𝑯 ∈ + / 𝒔𝒊 𝒙 > −𝑯 → |𝒇(𝒙) − 𝒍| < 𝜺
𝒍𝒊𝒎𝒙→+∞
𝒇(𝒙) = +∞ ↔ ∀𝑲 ∈ + , ∃ 𝑯 ∈ + / 𝒔𝒊 𝒙 > 𝑯 → 𝒇(𝒙) > 𝑲
(De manera similar se definen los casos con x - o f(x) -)
Si una función tiene límite para x A, el límite es único
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x f
g k * 0 + -
k *
0
+
-
÷ f
g k * 0 + -
k *
0
+
-
Definición 7 Límites laterales
Ejercicio 12
Para las funciones entre números reales f, g, h dadas a continuación, calcula los límites indicados:
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 + 8𝑥 ℎ(𝑥) = 𝑥2−1
𝑥−3
lim𝑥→2
𝑓(𝑥) = lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥)= lim𝑥→2
𝑓(𝑥)=
lim𝑥→4
𝑔(𝑥) = lim𝑥→+∞
𝑔(𝑥)=
lim𝑥→−1
ℎ(𝑥)= lim𝑥→+∞
ℎ(𝑥)= lim𝑥→3
ℎ(𝑥) = lim𝑥→−∞
ℎ(𝑥)=
Ejercicio 13
Calcula los siguientes límites:
𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
2 − 𝑥 − 3𝑥 2 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
𝑥2 +𝑥+2
4 − 𝑥3 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑥3 −2𝑥
3𝑥2 +7𝑥
𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
−2𝑥2
𝑥3 +2𝑥 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑥4 −3𝑥2 +2
2𝑥4 −6𝑥+3 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
7𝑥+1
𝑥2 +2𝑥+1
Límites laterales:
lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑘 ↔ ∀𝜖𝑅+ , ∃𝛿𝜖𝑅+ ,(𝑥 − 𝑎) < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝑘| < 휀
(o sea, se consideran los valores de x que están en un intervalo derecho de a, de
radio ) Definiciones similares se obtienen para f(x) y para límite lateral
izquierdo.
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𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞
5
2𝑥2 −𝑥−1 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥−2
𝑥2 −4𝑥+4 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞ −𝑥2 +2𝑥
𝑥−1+
2𝑥2 −1
2𝑥+1
lim𝑥→0
sin 𝑥 lim𝑥→+∞
√2𝑥 + 33 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞𝑐𝑜𝑠 𝑥
lim𝑥→0
𝑒𝑥
𝑥+5 lim
𝑥→5
𝑒𝑥−5
𝑥2 −25
Definición 8 Órdenes infinitos
Definición 9 Órdenes infinitésimos
Órdenes
Si las funciones f y g tienen límite infinito para x A, entonces:
Si lim𝑥→𝐴
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= 0 entonces orden (f) < orden (g)
Si lim𝑥→𝐴
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= ∞ entonces orden (f) > orden (g)
Si lim𝑥→𝐴
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= 𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑅∗ entonces orden (f) = orden (g)
Si k = 1, entonces f y g son funciones equivalentes
Órdenes
Si las funciones f y g tienen límite 0 para x A, entonces:
Si lim𝑥→𝐴
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= 0 entonces orden (f) > orden (g)
Si lim𝑥→𝐴
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= ∞ entonces orden (f) < orden (g)
Si lim𝑥→𝐴
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= 𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑅∗ entonces orden (f) = orden (g)
Si k = 1, entonces f y g son funciones equivalentes (notación: f(x) ~ g(x))
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Límites tipos
La siguiente tabla muestra algunos casos de funciones equivalentes, que usaremos apropiadamente para cálculo de límites. En todos los casos: f(x) ~ g(x)
x0 x1 x f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(x)
sen x x ln(x) x - 1 (1 +
1
𝑥)
𝑥
e
tg x x sen(x-1) x - 1 1 –cos(x) x2 / 2 xn - 1 n(x – 1)
ex - 1 x √𝑥𝑛 − 1 1
𝑛(𝑥 − 1)
ax -1 ln(a) ln(x+1) x
(1+x)m -1 mx
Ejercicio 14
Dadas las funciones:
𝑓(𝑥) =(3−2𝑥)(𝑥2 +1)+𝑥2
𝑥2 −𝑥 𝑔(𝑥) =
√𝑥5 +𝑥4 +1
𝑥2 −4
ℎ(𝑥) = √𝑥 2 + 𝑥 − √𝑥2 + 1 𝑗(𝑥) = 2𝑥 − √4𝑥 2 + 𝑥 + 1
𝑘(𝑥) = √3𝑥2+2
2𝑥 −1
3 𝑙(𝑥) =
𝑥3+2𝑥2+𝑥
𝑥2+3𝑥+2 𝑚(𝑥) =
𝑒3𝑥−6 −1
9𝑥−18
Halla los siguientes límites:
lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥) lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) lim𝑥→1
𝑓(𝑥) lim𝑥→0
𝑓(𝑥)
lim𝑥→+∞
𝑔(𝑥) lim𝑥→2
𝑔(𝑥) lim𝑥→+∞
ℎ(𝑥) lim𝑥→−∞
ℎ(𝑥)
lim𝑥→+∞
𝑗(𝑥) lim𝑥→−∞
𝑗(𝑥) lim𝑥→2
𝑗(𝑥)
lim𝑥→+∞
𝑘(𝑥) lim𝑥→1
2⁄𝑘(𝑥) lim
𝑥→0 𝑘(𝑥)
lim𝑥→+∞
𝑙(𝑥) lim𝑥→−1
𝑙(𝑥)
lim𝑥→+∞
𝑚(𝑥) lim𝑥→−∞
𝑚(𝑥) lim𝑥→−1
𝑚(𝑥)
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Ejercicio 15
Calcula los límites indicados:
lim𝑥→+∞
7𝑥−1
√5𝑥3+4𝑥−23 lim
𝑥→+∞
√4𝑥4 +𝑥2 +1
𝑥2 +1 lim
𝑥→+∞
ln (𝑥8 −5)
𝑥2
lim𝑥→+∞
(𝑥2
𝑥−1−
𝑥2 +1
𝑥−2) lim
𝑥→+∞
(𝑥2 +1)2 −3𝑥2 +3
𝑥3 −5 lim
𝑥→3
𝑥2 −9
𝑥2 −5𝑥+6
lim𝑥→−∞
(√𝑥 2 + 3𝑥 − √𝑥 2 + 𝑥) lim𝑥→3
√𝑥+1−2
𝑥−3 lim
𝑥→+∞
3𝑥−1
√𝑥7 +𝑥5
lim𝑥→+∞
𝑥7 +𝑥5 +𝑥3
(1
2)𝑥
lim𝑥→0+
2
3+41𝑥
lim𝑥→0−
2
3+41𝑥
lim𝑥→+∞
(1 −2
3𝑥)
𝑥
lim𝑥→+∞
(1 +1
𝑥+2)
𝑥−1
lim𝑥→0+
(1+𝑥)2 −1
𝑥
Ejercicio 16
Grafica las siguientes funciones utilizando el programa Geogebra e investiga si existe
alguna recta (puede ser paralela a alguno de los ejes coordenados o cortar a ambos) y
que se “acerque” a la gráfica de la función. Mediante el mismo programa puedes obtener la ecuación aproximada de estas rectas.
𝑓(𝑥) =𝑥+1
−𝑥−3 𝑔(𝑥) =
𝑥2−4
2𝑥 ℎ(𝑥) =
𝑥2−9
𝑥2+4 𝑗(𝑥) =
𝑥3
𝑥+1
Cuando estas rectas existen, se denominan asíntotas. Entre todos redactaremos una definición formal de asíntota.
Ejercicio 17
Para las siguientes funciones estudia: dominio, raíces, límites en los puntos de no existencia, límites infinitos y ecuaciones de las asíntotas (si las tiene).
𝑓(𝑥) =𝑥+2
𝑥2 𝑔(𝑥) =
𝑥2−3𝑥+2
𝑥2−1 𝑗(𝑥) =
2𝑥2+4𝑥
𝑥−1
ℎ(𝑥) =𝑥+5
𝑥2+1 𝑘(𝑥) =
𝑒𝑥−1
𝑥 𝑙(𝑥) = √𝑥2 − 4
𝑚(𝑥) = {
𝑥 − 2
𝑥 + 1 𝑥 ≤ 1
𝑥2 + 2
𝑥 − 1 𝑥 > 1
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Continuidad de funciones Definición 10 Función continua en un punto
Ejercicio 18
Investiga si las funciones del Ejercicio 17 son continuas a, aD(f)
Definición 11 Función continua en un intervalo
A continuación estudiaremos algunas funciones (en principio usando Geogebra) y luego extraeremos algunas conclusiones que generalizaremos.
Ejercicio 19
Dadas las funciones:
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 7𝑥2 − 8 ℎ(𝑥) =𝑥+2
𝑥2+1
𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥 + 1
𝑥2 − 4
a) Hallar: f(0), f(4), g(0), g(4), h(0), h(4)
b) ¿Puedes indicar si f, g o h tienen alguna raíz en el intervalo [0,4]?
c) ¿Hay algún valor de x en el intervalo [0,4] que cumpla f(x) = 1? ¿Y que cumpla
h(x) = 1?
d) Investiga si f y h tienen máximo o mínimo en el intervalo [0,4]
e) Investiga si g tiene máximo o mínimo en el intervalo [2,4]. ¿Y en el intervalo
[2.5,4]?
Una función f: D(f) es continua en a (a D(f)) sí y sólo sí:
lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Una función f: D(f) es continua
en I (I D(f)) sí y sólo sí f es
continua a, aI
Una función f: D(f) es continua
en a,b (a,b D(f)) sí y sólo sí: f es continua c, c(a,b) y f es
continua en a+ y en b-
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Propiedad 2 Teorema de Bolzano
Propiedad 3 Teorema de Darboux
Propiedad 4 Teorema de Weierstrass para funciones continuas
Ejercicio 20
Utilizando el teorema de Bolzano, indica si las siguientes funciones tienen alguna raíz
en el intervalo considerado para cada una. En caso afirmativo, encuentra un valor aproximado a esa raíz con un error menor a 0.1.
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 7𝑥2 − 8 en [0,4]
𝑔(𝑥) =𝑥2−5
𝑥−1 en [-3,-1]
ℎ(𝑥) = ln(𝑥 + 1) + 3𝑥 − 2 en [0,1]
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] y se cumple que
f(a)*f(b) < 0, entonces existe al menos una raíz real de f en el intervalo (a,b)
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] siendo
f(a)=A y f(b) =B (con A≠B) y C un número real cualquiera entre A y B, entonces existe al menos un número real c en el intervalo (a,b) que cumple f(c) = C
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] existe al menos un punto c
del intervalo que cumple: f(x)≤ f(c) x, x [a,b] y existe al menos un punto d del
intervalo que cumple: f(x) f(d) x, x [a,b]
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Unidad temática 2: Derivadas
Veamos los siguientes problemas, que resolveremos, en primera instancia, utilizando
las gráficas de las funciones involucradas.
Ejercicio 21
Determina la ecuación de la tangente a la gráfica de la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4
en el punto de abscisa 3.
Ejercicio 22
Por el teorema _________________ visto anteriormente, podemos asegurar que la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 − 2 tiene máximo y mínimo en el intervalo [-4,1].
Encuentra los valores de las abscisas de esos puntos.
En estos ejercicios está involucrado el concepto de derivada de una función de un
punto.
Definición 12 Derivada de una función en un punto
Interpretación geométrica de la derivada a una función en un punto
Dada la función f:D(f), si existe y es finito el límite limℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ, para
a D(f), se dice que f es derivable en a. El valor del límite se designa por f’(a).
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Interpretación cinemática de la derivada2
Supongamos que la función s= f(t) representa la ley de movimiento de un punto en
una recta (la cual se considera como el eje de coordenadas s). O sea, s es la
coordenada del punto móvil en cierto instante t. El camino recorrido por el punto
durante el intervalo de tiempo [t, t+t], es:
∆𝑠 = 𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)
La velocidad media del punto en dicho intervalo de tiempo es:
𝑣𝑚 =∆𝑠
∆𝑡
La velocidad verdadera (instantánea) en el instante t se define como un límite:
𝑣 = lim∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡= 𝑓′(𝑡)
Cálculo de derivadas
Veremos algunos ejemplos de cálculo de derivadas:
Ejemplo 1:
Calcular la derivada a la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 para 𝑥 = 𝑎
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ= lim
ℎ→0
(𝑎 + ℎ)2 − 𝑎2
ℎ= lim
ℎ→0
𝑎2 + 2𝑎ℎ + ℎ2 − 𝑎2
ℎ
= limℎ→0
2𝑎ℎ + ℎ
ℎ= lim
ℎ→0
(2𝑎 + ℎ)ℎ
ℎ= lim
ℎ→0(2𝑎 + ℎ) = 2𝑎
Entonces:
Si f(x)= x2 , f’(a)= 2.a
2 Extraído de: Cálculo diferencial e Integral – Ya.S.Burgrov , S.M.Nikolsky – Editorial Mir - 1984
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Ejemplo 2
Calcular la derivada a la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 para 𝑥 = 𝑎
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑒𝑎+ℎ − 𝑒𝑎
ℎ= lim
ℎ→0
𝑒𝑎𝑒ℎ − 𝑒𝑎
ℎ= . . .
(completa el razonamiento)
Ejemplo 3
Calcular la derivada a la función 𝑓: 𝑅+ → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑥 para 𝑥 = 𝑎
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝐿(𝑎 + ℎ) − 𝐿𝑎
ℎ= lim
ℎ→0
𝐿 (𝑎 + ℎ
𝑎)
ℎ= . . .
(completa el razonamiento)
Definición 13 Función derivada
Definición 14 Función compuesta
Tabla de derivadas
A continuación se brinda una tabla que indica, para distintas funciones elementales,
cuál es su función derivada. La construcción de la misma se realiza por razonamientos semejantes a los vistos anteriormente.
Dada la función f:D(f), se llama función derivada de f , 𝑓′: 𝐷(𝑓′) → 𝑅, en la
cual a cada x D(f) / f es derivable en x, le corresponde su derivada.
Dadas las funciones f:AB / f(x)=t y g:BC/g(t)=z , se llama función compuesta
g(f):AC / g(f(x))=z
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Utilizando la tabla anterior, resolveremos los siguientes ejercicios.
Ejercicio 23
Determina las derivadas de las funciones del Ejercicio 1. Para cada una de ellas,
indica el dominio de la nueva función.
Ejercicio 24
Determina las derivadas de las siguientes funciones, indicando el dominio de cada una de ellas.
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 3𝑥 2 − 6 𝑓(𝑥) = 6𝑥 3 − 𝑥 2 𝑓(𝑥) = (2𝑥 2 − 3)2
𝑓(𝑥) =𝑥 +1
𝑥2 −3 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 5𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑒4𝑥+5
𝑓(𝑥) = 𝑒√𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 + 1) 𝑓(𝑥) =3𝑒𝑥
𝑥
Ejercicio 25
Determina las derivadas de las funciones del Ejercicio 17. Para cada una de ellas, indica el dominio de la nueva función.
Ejercicio 26
Para las funciones del Ejercicio 17, determina la ecuación de la tangente a la gráfica
de la misma en los puntos cuya abscisa se indica y verifica tus resultados utilizando
Geogebra.
f x = 1 g x = 0 h x = -1 j x = 2 k x = 1
Propiedades de las funciones derivables. Propiedad 5 Relación entre derivada y continuidad
A partir de las definiciones de derivada y de continuidad, ensaya una demostración para esta propiedad. Investiga si el recíproco también se cumple.
Ejercicio 27
a) Grafica la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 3. Encuentra la ecuación de la
recta que pasa por los puntos A y B de la gráfica cuyas abscisas respectivas
son xA= -1 y xB=2. ¿Puedes encontrar algún punto Z de la gráfica de abscisa
xA<xZ<xB, en el cual la tangente a la gráfica sea paralela a la recta AB?
b) Grafica ahora la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = √|𝑥 + 2|. Determina la ecuación de la
recta que pasa por los puntos C y D de la gráfica con xC=-3 y xD=0. ¿Hay un
valor de x (-3,0)
c) ¿Qué conclusiones puedes extraer?
Si una función es derivable en x = a, entonces es continua en x = a.
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Propiedad 6 Teorema del valor medio de Lagrange
Crecimiento y decrecimiento de funciones.
Ejercicio 28
a) A partir de las gráficas ya analizadas en el Ejercicio 9, investiga la relación
entre la derivada de una función y el crecimiento o decrecimiento de la misma.
b) ¿Qué condiciones deben cumplirse para que una función tenga máximo o mínimo relativo en x=a?
Ejercicio 29
Estudia crecimiento y decrecimiento de las funciones del Ejercicio 24. Si alguna de ellas tiene máximos o mínimos relativos, encuentra sus coordenadas.
Concavidad de una función Definición 15 Concavidad
Definición 16 Derivada segunda
Propiedad 7
Definición 17 Punto de inflexión
Si una función f: D(f) es continua en [a,b] (con [a,b] D(f)) y derivable en
(a,b), entonces existe c (a,b) que cumple: 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏 −𝑎= 𝑓′(𝑐)
Una función f: D(f) tiene concavidad positiva (negativa) en x=a si existe un
entorno de a tal que la tangente a la curva en el punto (a, f(a)) está por arriba (por
debajo) de la curva en ese entorno.
Se llama derivada segunda de una función a la derivada de su función derivada:
𝑓′′(𝑥) = (𝑓′(𝑥))′
Una función tiene concavidad positiva en x=a sí y sólo sí f’’(a)>0
Una función tiene concavidad negativa en x=a sí y sólo sí f’’(a)<0
Una función tiene punto de inflexión en x=a si en ese punto existe un cambio de
concavidad.
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Ejercicio 30
Realiza el estudio analítico completo y un bosquejo de la gráfica de cada una de las siguientes funciones.
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 6𝑥 𝑓(𝑥) =𝑥2−4
𝑥+1 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥2
𝑓(𝑥) =𝑥−1
𝑥2−9 𝑓(𝑥) =
2𝑥
𝑥2+1 𝑓(𝑥) =
𝑒𝑥
𝑥+2
𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4 𝑓(𝑥) = √|𝑥2 − 4| 𝑓(𝑥) = 𝑥 + ln (𝑥 + 1)
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒−𝑥 𝑓(𝑥) = ln (𝑥2 + 1) 𝑓(𝑥) =ln (𝑥)
𝑥
𝑓(𝑥) = √(2𝑥2 − 𝑥33 𝑓(𝑥) =
1
2(3𝑥 + |𝑥|) + 1
Ejercicio 31
Realiza el estudio analítico completo de las funciones cuyas gráficas se brindan en el
Ejercicio 9
Ejercicio 32
Para las funciones cuyas gráficas se presentan a continuación, determina: Dominio;
ecuación de las asíntotas (si las tiene); esquema del signo de f; esquema del signo de f’.
Problemas de optimización
Ejercicio 33
Con una chapa cuadrada de lado 12 es necesario hacer una caja abierta por arriba
que tenga volumen máximo. Se recortan cuadrados en los ángulos de la chapa y se
dobla ésta para formar la caja. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados?
Ejercicio 34
Una fábrica necesita construir con envase cilíndrico de capacidad 4dm2. ¿Qué
dimensiones debe tener el cilindro para que el material utilizado (incluyendo la tapa)
sea mínimo?
Ejercicio 35
Se lanza un cuerpo hacia arriba con velocidad inicial de 40 m/s. Calcula cuál es la
máxima altura que alcanzará si la aceleración gravitacional es de 10m/s2. Dato: la
ecuación que describe la altura en función del tiempo es ℎ(𝑡) = 𝑣𝑡 −𝑔
2𝑡2
Ejercicio 36
Una hoja de papel debe tener 18cm2 de texto impreso. Además, los márgenes superior
e inferior deben ser de 2cm cada uno y los márgenes laterales deben ser de 1cm cada uno. Calcula las dimensiones de la hoja para que su superficie sea mínima.
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Unidad temática 3: Integrales
Ejercicio 37
Grafica las siguientes funciones y calcula el área determinada por la gráfica de la
función, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones x = a y x = b, para los valores de
a y b determinados en cada caso.
𝑖)𝑓(𝑥) = 5 a = 1 b = 4
𝑖𝑖)𝑓(𝑥) = {4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 21 𝑠𝑖 𝑥 < 2
a = -1 b = 3
𝑖𝑖𝑖) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 a = 0 b = 2
𝑖𝑣) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 a = -5 b = -1
𝑣) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 a = 1 b = 4
𝑣𝑖) 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 2 𝑥 < 1−2𝑥 + 5 𝑥 ≥ 1
a = -1 b = 2
𝑣𝑖) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 a = 0 b = 1
Definición 18 Integral definida
Propiedad 8
Definición 19 Primitiva de una función
Dada una función f: D(f), siendo f(x) 0 x [a,b], se llama integral de f
entre a y b (notación: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎 ) al área comprendida entre la gráfica de la
función, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏
1. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0𝑎
𝑎
2. Si f(x) ≤ 0 en [a,b], se define ∫ 𝑓 = − ∫ (−𝑓𝑏
𝑎
𝑏
𝑎 )
3. ∫ 𝑓 = − ∫ 𝑓𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
4. ∫ (𝑓 + 𝑔) = ∫ 𝑓 + ∫ 𝑔𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
5. ∫ 𝑘. 𝑓 = 𝑘 ∫ 𝑓 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑅∗𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
6. Si a < b < c: ∫ 𝑓 = ∫ 𝑓 + ∫ 𝑓𝑐
𝑏
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
Dada una función f: D(f), se denomina primitiva de f en el intervalo [a,b] a la
función F: D(F), si se cumple: F’(x) = f(x) x [a,b]
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Propiedad 9
Propiedad 10 Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Propiedad 11 Regla de Barrow
Ejercicio 38
Utilizando las propiedades vistas anteriormente, calcula las siguientes integrales:
∫ 3𝑑𝑥3
−2 ∫ 𝑥𝑑𝑥
6
4 ∫ 2𝑥𝑑𝑥
3
0
∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥−1
−3 ∫ 9𝑥2𝑑𝑥
−4
0 ∫ 3𝑥2𝑑𝑥
10
−10
∫ (𝑥2 + 3𝑥3 − 5)𝑑𝑥2
−1 ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥
2
0 ∫ (𝑒𝑥 + 2𝑥3)𝑑𝑥
3
−1
∫1
𝑥𝑑𝑥
𝑒
1 ∫ (
1
𝑥+ 2𝑥)𝑑𝑥
10
4 ∫
1
2√𝑥𝑑𝑥
9
1
∫ (2𝑒𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥2
−3 ∫
−1
𝑥2𝑑𝑥
6
2 ∫
5
𝑥6𝑑𝑥
100
1 ∫ 2𝑡2𝑑𝑡
𝑥
0
Ejercicio 39
Calcula las áreas señaladas en cada gráfica
𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 4𝑥 + 3 𝑥 ≥ 1−2𝑥 + 2 𝑥 < 1
1
Si F y G son dos primitivas de la función f en [a,b], entonces F y G difieren en una
constante.
Si f es una función continua en [a,b] y F: D(F), la función definida por
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥
𝑎 x [a,b], entonces se cumple que F(x) es derivable en [a,b] y
que F’(x) = f(x), x [a,b]
Si f es una función continua en [a,b] y F es una primitiva cualquiera de f en [a,b],
se cumple que: ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)𝑏
𝑎
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2
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥
𝑔(𝑥) = 𝑥/2
3
𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑔(𝑥) =𝑥3
4
Ejercicio 40
Para cada una de las siguientes gráficas de funciones, se ofrecen cuatro afirmaciones. Indica cuál es verdadera y justifica
𝑎) ∫ 𝑓2
0 = 1
𝑏) ∫ 𝑓2
0 = 2
𝑐) ∫ 𝑓 = 1/22
0
d) Ninguna de las opciones anteriores
𝑎) ∫ 𝑓 = 22
0
𝑏) ∫ 𝑓 = 12
0
𝑐) ∫ 𝑓 = 02
0
d) Ninguna de las opciones anteriores
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Unidad temática 4: Estadística
Introducción a la Estadística
Definición 20 Concepto de Estadística
Elementos de una investigación estadística 1. Objetivos de la investigación 2. Universo, unidad a investigar y unidad de observación 3. Experiencias en investigaciones similares
4. Marco legal aplicable 5. Procedimientos de recolección
Censo
Muestreo (aleatorio o no aleatorio)
Explotación estadística de registro administrativo
Experimentación 6. Métodos de recolección
Entrevista personal
Correo
Entrega personal
Teléfono
Correo electrónico
Internet 7. Instrumentos de captura
Cuestionario impreso
o Estructurado o guía o Para el encuestador o de autollenado
Cuestionario electrónico
Grabadora de audio o video 8. Variables de relevamiento 9. Categorías de respuesta para las variables de relevamiento 10. Plan de tabulados
11. El cuestionario 12. Recolección de los datos 13. Validación y análisis de los datos
14. Publicación
Es la ciencia que tiene por objeto la recolección, la organización, el análisis y la presentación
de datos, con el fin de brindar información que facilite la toma de decisiones. La Estadística es una rama del conocimiento particularmente nueva y de gran aplicabilidad. Aunque sus orígenes se remontan al siglo XIX, con los estudios sobre antropometría del
belga Adolphe Quetelet y sobre herencia del inglés Francis Galton, muchos de sus avances se han dado a partir de mitad de siglo XX, en parte gracias al progreso de la informática. La utilización de los métodos estadísticos va desde la Medicina a la Economía, pasando por
la Demografía, la Agronomía, las Ciencias Sociales, las Ciencias Políticas y el Marketing.
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Muestreo
Teóricamente una muestra es un subconjunto
de la población.
La esencia de una encuesta por muestreo
consiste en la selección de una muestra con el
objetivo de establecer conclusiones sobre toda
la población basándose en la información de la
parte observada. Si la muestra coincide con
toda la población objetivo, se denomina censo.
Existen diferentes razones para usar una
encuesta por muestreo y no un censo, entre las
que podemos mencionar:
Naturaleza destructiva de ciertas pruebas (por ejemplo en los casos de control de calidad o exámenes de laboratorio de un paciente).
Imposibilidad física de revisar todos los elementos de la población.
Costos prohibitivos de estudiar a todos los integrantes de una población. Tiempo necesario para entrevistar a todos los elementos de la población. Lo adecuado de los resultados de la muestra: se puede inferir los valores poblacionales
de interés de acuerdo a los resultados obtenidos con la muestra.
Marco muestral
Se define como el conjunto de conjunto de unidades, procedimientos y mecanismos que
identifican, distinguen y permiten acceder a la población objetivo.
Físicamente, la muestra se extrae de este listado.
Muestreo probabilístico o aleatorio
Definimos muestro probabilístico como una selección de muestra que cumpla:
i) El conjunto de todas las muestras posibles es conocido.
ii) Cada muestra tiene una probabilidad conocida de selección. El procedimiento de selección asigna a cada elemento de la población una probabilidad no nula de ser incluido en la muestra.
iii) Se selecciona una muestra por un mecanismo aleatorio bajo el cual cada muestra posible tiene exactamente la probabilidad p(s) de ser extraída.
A una muestra obtenida bajo las condiciones anteriores se le denomina muestra aleatoria o
muestra probabilística.
Diferentes diseños de muestreo
Muestreo Aleatorio Simple
De una población U de N elementos, se extraen n de manera independiente y sin reponer (o sea,
el elemento que ya ha sido extraído no influye en la extracción de los siguientes y tampoco puede
volverse a elegir) Para efectuar esta elección se pueden utilizar tablas de números aleatorios,
aunque los distintos software estadísticos disponen de rutinas que permiten este tipo de
muestreo. La extracción debe realizarse a partir de un marco muestral de lista: cada una de las
unidades están identificadas con un número (del 1 al N) y se sortean n elementos.
Muestreo sistemático
En algunas ocasiones, los elementos de la población están ordenados según un criterio
determinado (alfabético, por fecha, por monto, etc.) En estos casos, no siempre es recomendable
efectuar un muestreo aleatorio simple.
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Un diseño de muestreo aplicable en esta situación es el siguiente: se quiere seleccionar alumnos
de un grupo y para ello se eligen todos aquellos que su número de lista sea múltiplo de 5. Otro
ejemplo: dentro de una manzana, se elije una esquina y se selecciona la tercera casa y luego
una casa dejando 4 entre medio hasta completar la manzana.
Muestreo estratificado
El muestreo estratificado consiste en dividir la población en H grupos o subpoblaciones llamados
estratos o unidades primarias y tomar una muestra independiente de manera aleatoria en cada
una de ellas. La estratificación puede realizarse utilizando diferentes variables, dependiendo del
objetivo planteado al realizar la muestra, como por ejemplo: por departamento o región
geográfica, por edad, por género, por nivel socio económico, por tipo de curso que realice el
estudiante, etc. Es una herramienta poderosa y flexible, muy comúnmente usada en la práctica.
Muestreo por conglomerados y en varias etapas
Hasta ahora hemos visto diseños de muestreo que asumen que se puede realizar un muestreo
directo de elementos. Sin embargo, en las encuestas de mediana y gran escala esto no siempre
es posible ya sea porque no se dispone de un marco que identifique a todos los elementos y el
costo de crear uno es demasiado elevado o los elementos de la población están muy dispersos
en un área geográfica muy extensa por lo que el muestro directo de elementos lleva a costos de
relevamiento excesivamente altos.
Los diseños de muestreo en dos etapas y multietapa no requieren realizar muestreo directo de
elementos, ya que una primera etapa se muestrean grupos de elementos, o sea, son aplicables
cuando se poseen marcos agrupados. Por ejemplo, se conocen los grupos con los que cuenta
un establecimiento de enseñanza, pero no los nombres de los alumnos inscriptos en cada uno
de ellos.
Estadística Descriptiva
Es el primer paso en cualquier análisis estadístico. Resume los datos en porcentajes o
números que son fácilmente interpretables y comparables con otros datos similares. Así mismo
pueden proporcionarse gráficas que resuman estos datos.
Variables Aleatorias
Concepto y ejemplos Una variable es cualquier dato sujeto a medida o cuenta. Es aleatoria si no se puede predecir su
valor.
Ejemplos
La hora de salida del sol cada día no es una variable aleatoria, ya que los astrónomos
saben de antemano la hora exacta de la misma para cada día del año.
La cantidad de lluvia caída durante un período específico sí es una variable aleatoria, ya
que no puede predecirse.
La cantidad de alumnos inscriptos en determinado curso en el año próximo es otro
ejemplo de variable aleatoria.
El número de autos que pasan por un peaje cada día también es una variable aleatoria.
Clasificación
Las variables aleatorias suelen clasificarse según la naturaleza de los datos a los que se refieran:
Cualitativas: También se llaman categóricas. Los datos están divididos en clases o
categorías. Por ejemplo, si se tienen datos de un grupo de alumnos, serían variables
categóricas el sexo, el grupo al que pertenece, el tipo de cobertura de salud, el nivel
educativo de la madre, etc. Si tienen dos categorías suelen llamarse dicotómicas.
Cuantitativas: Son datos numéricos. Se diferencian en:
o Discretas: son aquellos datos que se pueden contar o numerar. En el ejemplo
que estábamos viendo, serían variables discretas la edad del alumno, cantidad
de hermanos, número de materias que está cursando, etc.
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o Continuas: datos numéricos que pueden tomar cualquier valor (en general, entre
ciertos límites). Por ejemplo: altura del alumno, peso, etc.
Otra clasificación habitual para las variables estadísticas es:
De corte longitudinal: la medición de la variable refiere al mismo momento del tiempo.
De corte transversal: la medición de la variable se realiza en distintos momentos del
tiempo (en general, a intervalos regulares). También se denominan, en este caso, series
temporales.
Estadística descriptiva univariada
Distribución de frecuencias y frecuencias acumuladas
La frecuencia de una variable (tanto discreta como cualitativa) es la cantidad de veces que el
dato se repite. Normalmente los datos se presentan agrupados según una tabla de frecuencias,
que puede contener frecuencias absolutas (número de casos) o frecuencias relativas
(porcentajes)
Ejemplo
En el año 2012, los alumnos matriculados en el Primer año de Bachillerato en el Liceo Miranda
eran 297. En la reunión final de profesores se obtuvo la promoción primaria de cada uno de ellos.
Estos datos pueden presentarse en una tabla de frecuencias de la siguiente manera:
Fallo Reunión Final Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Promovido 159 53,54
Fallo en suspenso 62 20,87
Repite 76 25,59
Total 297 100,00
Ejercicio 41
Realiza una tabla de frecuencias utilizando como variable la edad en años cumplidos
de los alumnos de la clase. Debe contener: frecuencias absolutas, frecuencias relativas y frecuencias acumuladas.
Propiedad 12 Ley de los grandes números
La frase "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para referirse al
principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie, incrementa con el número de eventos en la serie. Por ejemplo,
la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletos de lotería.
Ejercicio 42
Cada uno de los alumnos de la clase tira una moneda al aire y observa si la cara de la
moneda que queda hacia arriba es “cara” o “número”. Observa los resultados a medida que aumenta el número de alumnos que realiza la operación.
La frecuencia relativa de los resultados de un cierto experimento aleatorio, tienden
a estabilizarse en cierto número, que es precisamente la probabilidad, cuando el experimento se realiza muchas veces.
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Representaciones Gráficas3
Los datos pueden ser también presentados mediante gráficas, cuya confección depende del tipo
de variable con la que se esté trabajando.
Gráfica de barras
Se utilizan para variables cualitativas.
Consisten en tantos rectángulos como categorías tiene la variable en cuestión. Las bases de
estos rectángulos deben ser iguales. La altura es proporcional a la frecuencia de la categoría (o
sea, a la cantidad de veces que se encuentra el dato)
Gráfica circular
También se utilizan para variables cualitativas. En este caso, el total de datos se representan en
un círculo. Éste se divide en tantos sectores como categorías tiene la variable.
La amplitud (medida en grados) de cada uno de estos sectores es proporcional a la frecuencia
de la categoría que representa.
3 Los ejercicios correspondientes a los temas siguientes serán entregados en formato digital, ya
que se verá la forma de resolverlo usando algunos programas tales como planillas de cálculo.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Promovido Fallo en suspenso Repite
Fallos Reunión Final de Profesores 2012
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Histograma
El histograma es una gráfica de barras usada para variables cuantitativas discretas. La diferencia
es que las barras son consecutivas (o sea, no hay espacios entre ellas).
Otros tipos de gráficas
Según el tipo de datos que se quieren representar, existen otros tipos de gráficas: gráficas
lineales, gráficas de áreas, gráficas de puntos, diagramas de cajas, diagramas de árbol, etc.
Ejercicio 43
Realiza tablas de frecuencias y las gráficas que creas convenientes de las siguientes
variables, considerando los alumnos de la clase: edad, sexo, número de hermanos, cantidad de personas en su vivienda, deporte preferido, tipo de música preferido.
Promovido; 159
Fal lo en suspenso; 62
Repite; 76
Fallos Reunión Final de Profesores 2012
0
20
40
60
80
100
120
140
15 16 17 18 19 20 21 23
Número de alumnos según edad.
Primero Bachillerato 2012
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Variables aleatorias cualitativas
Las variables cualitativas se subclasifican en:
Ordinales: variables cualitativas ordinales en las cuales sus categorías pueden
ordenarse siguiendo determinada lógica. Ejemplo: edad en categorías como: menor de
15 años, de 15 a 25 años, mayor de 25 años.
Nominales: cualquier orden de sus categorías es arbitrario. Ejemplos: sexo,
departamento de nacimiento.
Un tipo de variable cualitativa muy usada es la llamada variable dicotómica. Tienen solamente
dos categorías. Ejemplos: sexo, persona que tiene o no cierta enfermedad investigada. Si las
categorías consideradas pueden considerarse como “éxito” y “fracaso”, también se denominan
variables indicatrices.
Ejercicio 44
De acuerdo a la clasificación dada anteriormente, propone ejemplos de variables
cualitativas e indica las categorías de cada una de ellas. Para cada una, determina si es ordinal o nominal.
Medidas de resumen Las variables cualitativas pueden representarse resumidas en tablas de frecuencias abs olutas o
relativas. Solo si son ordinales tiene sentido presentar frecuencias acumuladas .
Las gráficas habituales para las variables cualitativas son la gráfica de barras y las circulares.
Ejemplo: La variable responde a la pregunta ¿qué navegador de internet utiliza? Población
objetivo: internautas a nivel global.
Las variables de resumen utilizadas en el caso de las variables cualitativas son:
La cantidad de clases o categorías de la variable
El Modo (o moda). Se define como la categoría de la variable con mayor frecuencia.
La frecuencia modal: es la frecuencia relativa de la clase más frecuente.
Ejemplo:
En el ejemplo visto anteriormente:
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El número de clases es 6 (cada uno de los navegadores más la categoría otros)
El Modo es Chrome
La frecuencia modal es 36.4
Variables cuantitativas Se subclasifican en:
Discretas: sus valores son números enteros (aunque lo más habitual es que se traten
de números naturales). Ejemplo: edad en años cumplidos.
Continuas: sus valores son números reales. Ejemplo: ingresos de un hogar en un mes.
Las gráficas más utilizadas son: histogramas, gráficas lineales, gráficas de puntos, diagramas de
cajas.
Para las variables cuantitativas existen varios indicadores (o medidas de resumen) con los que
se pretende tener una idea del comportamiento de los datos con la menor pérdida posible de
información. Estos indicadores sirven también para la comparación de la variable en distintas
instancias, ya sea temporales o geográficas.
Medidas de posición
Medidas de tendencia central Las más importantes son:
Modo (o moda) Es el valor de la variable con mayor frecuencia. Se usa únicamente en
variables cuantitativas discretas.
Media (o promedio). Es el valor que tomaría la variable si los datos fueran todos
iguales, manteniendo el total. Se calcula sumando todos los datos y dividiendo entre el
número de datos. La fórmula para el cálculo de la media es:
𝑋 = ∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1
𝑛
Mediana: Es el valor de la variable que se encuentra en el lugar central una vez
ordenados los datos en forma creciente. O sea, la mitad de los datos son menores que
la mediana y la otra mitad, mayores.
Ejemplo
Un grupo de personas está esperando atención médica. Al consultarlos sobre su edad (en años
cumplidos) las respuestas son las siguientes:
18 – 25 – 69 – 25 – 50 – 38 – 41 – 23 – 24 – 58 – 25 – 47 – 19 – 51 – 58 – 28 – 32 – 48 – 20 –
28 – 35
Los indicadores vistos anteriormente son:
Modo: 25 (su frecuencia es 3)
Media:
𝑋 = ∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1
𝑛=
∑ 𝑒𝑑𝑎𝑑211
21=
762
21= 36.3
Mediana Se deben ordenar las edades de las personas en forma ascendente
18 – 19 – 20 – 23 – 24 – 25 – 25 – 25 – 28 – 28 – 32 – 35 – 38 – 41 – 47 – 48 – 50 – 51
– 58 – 58 – 69
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Al tener 21 personas, el lugar central está ocupado por la 11° persona (quedan 10
personas de menor edad y 10 de mayor edad). La edad de la 11° persona (32) es la
mediana de la distribución.
Medidas de tendencia no central De manera similar a como se calcula la mediana de una variable aleatoria cuantitativa, se
pueden también calcular otros indicadores, que también necesitan un ordenamiento de la
variable de menor a mayor.
Entre estos indicadores se destacan: cuartiles (se divide la población en cuatro grupos
aproximadamente iguales); quintiles (cinco grupos); deciles (10 grupos) y centiles o percentiles
(100 grupos).
Por ejemplo, en Economía y en Sociología, es común considerar los quintiles o deciles de una
población ordenada por los ingresos.
Los pediatras utilizan los centiles para estudiar si un niño pequeño está en la “curva de salud”,
tanto en peso como en altura.
Medidas de dispersión
Cuando se comparan dos distribuciones de la misma variable, se utilizan en general las medidas
de resumen, siendo la más frecuente, la media. Pero, en ciertas ocasiones, no alcanza con dar
un solo valor.
Por ejemplo:
Se tienen los ingresos de 10 trabajadores de 3 empresas distintas. Ellos son:
Empresa 1: el ingreso es de $11.000 en todos los casos.
Empresa 2: 9.000,9.000, 10.000, 10.000, 11.000, 11.000,12.000, 12.000, 13.000, 13.000
Empresa 3: 7.000, 7.000, 7.800, 8.000, 9.000, 10.000, 11.600, 12.500, 16.100, 21.000
Si se calcula la media de las tres distribuciones se tiene que es la misma: 11.000, pero sin
embargo, a simple vista se nota que las características de los trabajadores en cuanto al ingreso,
son distintas. Si se grafican los datos, se tiene:
Por eso, suelen utilizarse otras medidas de resumen tales como:
Rango: es la amplitud de la distribución. Se calcula como la diferencia entre el valor
mayor de la variable y el valor menor.
Varianza (o variancia): Es una especie de promedio de las diferencias entre los valores
observados y la media, elevados al cuadrado (porque de lo contrario, estas diferencias
se compensan y el total da cero). La fórmula de cálculo es la siguiente: se hallan la
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Empresa 1
Sueldo ($)
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Empresa 2
Sueldo ($)
0
5000
10000
15000
20000
25000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Empresa 3
Sueldo ($)
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diferencia de cada dato y la media y se eleva al cuadrado. Posteriormente se suman los
valores obtenidos y este resultado se divide entre el número de datos menos 1.
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∑ (𝑥𝑖 − 𝑋)̅̅ ̅2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
Desvío estándar o desviación estándar Debido a que para obtener la variancia es
necesario elevar al cuadrado, la unidad de medida de la misma es el cuadrado de la
original. Por este motivo, suele usarse la raíz cuadrada de la variancia, que se llama
desvío o desviación estándar. En este caso, la unidad de medida de los datos se
mantiene. Por ejemplo, si la variable es la altura de un grupo de estudiantes, la unidad
de medida es el metro. Por los cálculos realizados, la unidad de medida de la variancia
es el metro cuadrado, por lo que es más fácil de interpretar el número que determina el
desvío estándar, ya que nuevamente la unidad de medida es el metro.
Distribuciones de variables aleatorias
Los elementos del espacio muestral son elementos abstractos y, en consecuencia, también lo
son los sucesos definidos a partir de ellos. La probabilidad es una función cuyo dominio es el
conjunto de los sucesos y cuyo codominio es el intervalo [0,1] de los números reales. Para poder
aplicar el cálculo matemático es conveniente que el dominio pertenezca también a un conjunto
numérico. Para solucionar este problema suele asignarse una función del conjunto de los
sucesos en el conjunto de los números (reales en general) y a estos números asignarle una
probabilidad. A estas funciones se les llama variables aleatorias. La función que le asigna a cada
valor de la variable una probabilidad, se llama función de probabilidad o distribución de
probabilidad de la variable aleatoria.
Dependiendo del conjunto numérico considerado, las variables aleatorias pueden ser discretas
(en general, son números naturales y pueden ser de recorrido finito o infinito) o continuas (son
números reales).
Variables discretas
Distribución de Bernoulli Una variable aleatoria tiene distribución de Bernoulli si puede tomar únicamente dos valores (en
general representados por 0 y 1) y que son considerados tradicionalmente como “fracaso” y
“éxito” respectivamente. Se caracteriza a estas variables por la probabilidad de éxito.
Por ejemplo: el caso del género de una persona es de una variable aleatoria con distribución
Bernoulli.
En símbolos: una variable X tiene distribución Bernoulli si:
𝑋~ 𝐵𝑒(𝑝) ↔ {1 𝑝0 1 − 𝑝
O sea, la probabilidad de éxito (P{X=1} = p) es lo que define la distribución (por lo tanto, 0≤p≤1).
Se denomina “parámetro” de la distribución.
Se puede demostrar que si una variable se distribuye Bernoulli, entonces
𝑋 = 𝑝 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)
Distribución binomial Si un experimento consta de varias pruebas independientes repetidas, teniendo cada una de
ellas distribución Bernoulli, y se requiere el número de “éxitos”, la variable aleatoria asociada al
experimento tiene una distribución binomial. Son necesarios dos datos: el total de pruebas y la
probabilidad de éxito en cada una de ellas.
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Un ejemplo de variable con distribución binomial, es el caso s iguiente:
En una prueba de 10 ítems, cada uno tiene 4 opciones como respuesta, de las cuales solo una
es la correcta. Si un alumno no estudió y contesta al azar, la probabilidad de “acierto” es de 0.25.
Con estos datos puede calcularse la probabilidad de que un alumno que conteste al azar tenga
determinado número de respuestas correctas. Estas probabilidades se muestran en el siguiente
gráfico:
La distribución Binomial tiene dos parámetros: el número de “tiradas” (veces que se repite el
experimento) y la probabilidad de éxito de cada una de las pruebas Bernoulli.
Si se tiene que calcular la probabilidad de que, al repetir n veces un experimento Bernoulli, la
cantidad de éxitos sea j, se usa la siguiente fórmula:
𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝), 𝑃{𝑋 = 𝑗} = 𝐶𝑗𝑛𝑝𝑗(1 − 𝑝)𝑛 −𝑗
Puede demostrase que:
𝑋 = 𝑛𝑝 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
Ejercicio 45
Una prueba contiene 5 preguntas de opción múltiple. Cada pregunta tiene 4 respuestas. Sólo
una de ellas es correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante conteste todas las
preguntas bien, sin haber estudiado y sólo adivinando las respuestas?
Ejercicio 46
Durante una epidemia de gripe, la probabilidad de que una persona esté enferma es de 0.12.
Suponiendo que cada persona que llega a un consultorio no tiene relación con las demás, ¿cuál
es la probabilidad de que exactamente 6 personas estén enferma si al consultorio concurren 25
personas? Calcula la media y la variancia de la distribución para este caso.
Ejercicio 47
Un estudio de una asociación de vigilantes de caminos, reveló que 60% de los conductores de
Estados Unidos usa el cinturón de seguridad. Se seleccionó una muestra de 10 conductores en
una carretera.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 7 conductores lleven puesto el cinturón?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que 4 o menos de los conductores lleven puesto el cinturón?
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Distribución de Poisson Una variable con distribución de Poisson cuenta la cantidad de sucesos ocurridos durante un
período determinado de tiempo. El recorrido de esta variable es el conjunto de los números
naturales.
Si, por ejemplo se considera un período fijo de un día, una variable que cuente la cantidad de
alumnos que faltaron a clase tiene distribución de Poisson. Otros ejemplos son: cantidad de autos
que pasaron por un peaje en un fin de semana, cantidad de personas que concurren a un banco
en el horario de atención, etc. Existe una rama de la estadística, denominada Teoría de Colas,
que tiene su fundamento en este tipo de problemas.
El parámetro de la distribución de Poisson se identifica generalmente con la letra griega
minúscula lamda (). Representa el número de ocurrencias del evento durante un intervalo de
tiempo prefijado. Se denomina también parámetro de intensidad.
Variables continuas
Distribución Normal La distribución de una variable normal se caracteriza por dos valores: la media y la variancia
(ambos conceptos ya vistos). Tiene muchas aplicaciones en Estadística y la gráfica de su función
de probabilidad tiene una forma conocida por “Campana de Gauss”. En una distribución normal,
el 68% de los valores se encuentran en el intervalo determinado por la media más y menos el
desvío estándar y el 99% de los valores están en el intervalo determinado por la media más y
menos tres veces el desvío.
La distribución Normal se caracteriza por dos parámetros representados con letras griegas:
(que representa la media de la distribución) y 2 (que representa la variancia de la distribución).
Se llama Normal típica o Normal estándar a una distribución Normal en la cual = 0 y 0 1
(como en la gráfica anterior).
Si se quiere calcular la probabilidad de que un valor de la distribución Normal sea menor que
cierto valor x, la forma es:
𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 2),𝑃{𝑋 ≤ 𝑥} = ∫1
√2𝜋𝜎𝑒−(𝑥−𝜇)2/(2𝜎2 )
𝑥
−∞
No existe un método analítico para resolver esa integral, por lo que hay tablas que dan el
resultado para distintos casos. También pueden usarse distintos programas informáticos.
Dado que no pueden plantarse todas las posibles variables normales, se utiliza una
transformación de manera de usarse únicamente la variable normal típica. Esa transformación
es la siguiente.
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
z
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𝑍~𝑁(0,1); 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜌2) 𝑧 =𝑥 − 𝜇
𝜎
De esta manera, el uso de la tabla de la normal estándar se extiende a cualquier otra distribución
nomal.
Existe una propiedad muy importante, llamada “Teorema Central del Límite” que dice que si se
tiene la media de un número muy importante de variables aleatorias independientes e
idénticamente distribuidas, entonces, la distribución de estas medias tiende a ser normal.
(Cuidado: las variables originales siguen teniendo la distribución original, lo que tiende a ser
normal es la nueva variable aleatoria determinada por las medias).
Ejercicio 48
La calificación media en una prueba de admisión a un instituto de estudios superiores es de 500,
la desviación estándar es 75. Las calificaciones se distribuyen normalmente.
a) ¿Qué porcentaje de los estudiantes obtuvo 320 o menos?
b) ¿20% de los estudiantes tuvo una calificación igual o por encima de que valor? c) ¿10% de los estudiantes obtuvo una calificación igual o inferior a que valor?
Ejercicio 49
Una estación de radio FM, halla que el tiempo medio en que una persona sintoniza la estación
es de 15,0 minutos, con una desviación estándar de 3,5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de
que un oyente en particular sintonice la emisora
a) Durante 20 minutos o más? b) Durante 20 minutos o menos?
c) Entre 10 y 12 minutos?
Distribución Exponencial La distribución exponencial se utiliza básicamente para medir tiempos o distancias entre dos
sucesos del mismo tipo.
Existe una relación muy importante entre la distribución Exponencial y la Poisson: si una variable
tiene distribución de Poisson, el tiempo que separa la ocurrencia de dos eventos es una variable
con distribución Exponencial.
Otras distribuciones Algunas de las distribuciones continuas más usadas en Estadística se refieren a variables que
son necesarias para la solución de problemas, tales como la independencia de variables o
verificación de hipótesis de trabajo. Entre ellas se destacan la distribución 2 (chi cuadrado), la
distribución t de Student y la distribución f de Fisher-Snedecor.
En general, para comprobar que una variable tiene determinada distribución, deben realizarse
una serie de pruebas, llamadas pruebas de bondad de ajuste.
Intervalos de confianza La media y la mediana de la distribución de una variable aleatoria son valores puntuales.
Si estos valores provienen de una muestra aleatoria, pueden existir diferencias entre las
diferentes muestras tomadas.
En Estadística, muchas veces es conveniente trabajar con Intervalos de Confianza. Para ello, se
determinan dos números (utilizando ciertas reglas), llamados extremos del intervalo. De acuerdo
a las reglas utilizadas, se puede determinar que el valor real de la población que estamos
buscando, se encuentra en ese intervalo con una probabilidad conocida (denominada nivel de
confianza) que se anota en general como 1 - . La probabilidad de que el verdadero valor del
parámetro buscado no esté en el intervalo hallado es , que se denomina nivel de significación.
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Si Z es una variable con distribución Normal típica ( = 0 y 2 =1), se cumple que:
P{-1.96 < z < 1.96} = 0.95
Si se está trabajando con una variable aleatoria X que tiene distribución Normal con media = y
varianza =2, se puede transformar en una Normal típica, como ya se vio anteriormente.
Si se quiere hallar el valor de la media poblacional, se puede asegurar con una probabilidad del
95%, que ese valor se encontrará en el intervalo:
nX
nX
*96.1*96.1
Siendo: X el valor de la media de la muestra, n el tamaño de muestra, el desvío estándar de
la población y la media poblacional buscada.
Análisis multivariado
Relaciones entre dos variables En ocasiones, es necesario realizar el análisis de los datos vinculando dos o más variables. Si
estas variables son cualitativas o, siendo numéricas se pueden modificar creando modalidades,
la forma tradicional de tratarlas es mediante tabla de datos cruzados o Tablas de Contingencia.
También pueden usarse gráficos que vinculen dos variables.
Estadística descriptiva
Tablas de contingencia
Como regla general, es conveniente que la tabla sea “más larga que ancha”. O sea, la variable que tiene más categorías debe presentarse en las filas y la de menos categorías en las columnas. Es simplemente un aspecto visual: ayuda en la interpretación de los datos. No es aconsejable
que las tablas sean muy extensas ni incluir más de tres variables (siempre que dos de ellas tengan muy pocas categorías). Con estas tablas no se pretende, en general, que una variable explique a la otra, sino que la intención es ver cómo se corresponden las distintas modalidades
de cada una de las variables (por ejemplo, si los datos que corresponden a una de las modalidades de una de las variables están concentrados o distribuidos en las modalidades de la otra variable).
Ejercicio 50
Crear una tabla de contingencia utilizando los datos de edad y género de los alumnos del grupo.
En estas tablas hay varias opciones: los totales pueden aparecer tanto al inicio de la tabla (más
usados en las presentaciones internacionales) como al final. Se acostumbra a usar totales de filas y de columnas. En este caso, la tabla se debe titular “Número de alumnos por sexo, según edad”.
En cuanto a la presentación de los datos de la tabla mediante porcentajes, depende del objetivo de la misma:
porcentajes correspondientes a cada fila, o sea, el 100% es el número de observaciones de
cada categoría de la variable que ocupa las filas.
porcentajes correspondientes a columnas, o sea, el 100% es el total de observaciones de cada modalidad de la variable que ocupa las columnas.
porcentaje de tabla, o sea, el 100% es el total de observaciones. Cuando la tabla se presenta con los totales de observaciones, la persona que esté leyendo el informe puede calcular las otras tablas según sus necesidades. Si solo se presentan los
porcentajes, esto no es posible, salvo que se brinden los valores totales de las filas, las columnas o de tabla según corresponda.
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Gráficos
Cuando se necesita mostrar la información correspondiente a dos variables, se pueden usar
gráficos de barras acumuladas: o sea, la barra correspondiente a cada modalidad de una de las variables se divide (en diferentes colores generalmente) para indicar las proporciones correspondientes a cada una de las modalidades de la otra variable.
Estos gráficos pueden confeccionarse tanto con valores absolutos (número de observaciones, cada gráfica tiene la altura proporcional al número de observaciones de la modalidad que representa) como con valores relativos (cada barra representa el 100%, por lo que todas tienen
la misma altura) Ejercicio 51
Realiza un gráfico de barras acumuladas que muestre la distribución de los alumnos del grupo por edad y sexo.
Cuidado: el gráfico debe respetar lo más fielmente posible la descripción de los datos obtenidos en la investigación, por lo cual su elección debe ser cuidadosa.
Test de independencia para dos variables
Variables cualitativas En algunas ocasiones interesa saber si dos variables son o no independientes.4
Se trabaja en estos casos con una prueba de hipótesis especial, en la cual la H0 es que las
variables son independientes y la H1 que no lo son. Se denominan test de independencias de
Pearson.
En este test se trabaja con tablas de doble entrada, en las cuales se coloca las distintas
modalidades de una variable como filas y las modalidades de la otra variable como columnas.
La condición principal es que no haya datos faltantes, ya que se necesitan los diferentes
cruzamientos de las mismas (o sea, cuantos elementos de la muestra comparten cada
combinación de las diferentes modalidades de ambas variables). También debe elegirse un valor
de significación del test (o sea, cual es el mayor error que se permite).
Ejemplo:
La pregunta es si las diferencias se deben a la muestra o si es que las variables no son
efectivamente independientes. El matemático Karl Pearson demostró en 1901 que si se efectúan
las siguientes operaciones:
esperadovalor
observadovaloresperadovalor
.
..2
la variable aleatoria obtenida se distribuye 2
cuyos grados de libertad se obtienen como (N° filas –1)(N° columnas –1)
Variables cuantitativas Si dos variables aleatorias referidas a datos sobre los mismos elementos de la población son
cuantitativas, puede establecerse que grado de relación tienen mediante el llamado coeficiente
de correlación. Es un número entre –1 y 1 y sus valores se pueden interpretar de la siguiente
forma:
Si el coeficiente de correlación es 0, las variables son independientes.
Si el coeficiente de correlación es 1, las variables están correlacionadas positivamente (o sea, a mayores valores de una de ellas corresponden mayores valores de la otra).
4 Dos variables son independientes si la información que se posee sobre una de ellas no influye
en el resultado de la otra.
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Si el coeficiente de correlación es –1, las variables están correlacionadas negativamente
(o sea, a mayores valores de una de ellas corresponden menores valores de la otra) Para los valores intermedios, no hay correlación o independencia perfecta, pero en
general, si el valor es cercano a 1 o a –1, se acostumbra a decir que las variables tienen
correlaciones altas. No existe un valor límite para separar estos conceptos, pero puede considerarse que valores mayores a 0,7 ya indican altas correlaciones y valores menores a 0,3 indicarían la ausencia de correlación (o cuasi independencia).
Gráficamente, puede usarse el llamado diagrama de dispersión o dispersograma, en el cual
cada variable se representa en uno de los ejes y cada punto queda determinado por los valores
de cada variable para una observación.
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00
Correlación negativa
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
45,00
50,00
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00
Correlación positiva
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00
Variables independientes
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Artículos del Reglamento de Evaluación y Pasaje de grado para el
Bachillerato
Artículo 28 … En todos los casos de inscripción por asignatura, para lograr la promoción no se podrá superar
1/6 de las inasistencias fictas. Esa fracción se determinará en base al total de clases teóricas y prácticas que debieron dictarse en cada asignatura.
Artículo 29 En 2º y 3º de Bachillerato, la inasistencia a una hora de clase determinará únicamente, el cómputo de una falta en esa asignatura. El estudiante que supere el límite de inasistencias
establecido en los Artículos 28 y 51 deberá rendir los exámenes en carácter libre. En este caso, perderá la categoría que le hubiere correspondido.
Artículo 30 Previa presentación del correspondiente justificativo, en un plazo prudencial que no exceda una semana, la Dirección del Liceo podrá justificar las inasistencias originadas en problemas de salud. Asimismo podrá justificar aquellas que se originen en situaciones graves o excepcionales
debidamente probadas. Con el fin de aprobar los cursos se computará el total de faltas fictas, sumando a las no justificadas el cincuenta por ciento de las justificadas, desechándose las fracciones que resulten de la operación.
Artículo 48 La actuación del estudiante durante el curso se calificará según la escala de 1 a 12, en la cual
los niveles 1, 2, 3, 4 y 5 denotan diversos grados de insuficiencia.
Según el criterio de gradualidad en la exigencia académica, los valores mínimos de la
promoción serán:
6 o superior para 1er. año y para asignaturas del Núcleo Común de 2° y 3°
7 o superior para asignaturas específicas de 2° año, y
8 o superior para asignaturas específicas de 3° año.
Para las instancias de exámenes, en los tres cursos de Bachillerato, la calificación 5 marcará
la suficiencia mínima para la aprobación. No serán aprobados los exámenes que consten de dos
pruebas cuando una de ellas tenga calificación 1 o 2.
Artículo 49
La calificación final en cada asignatura será el resultado de todo el proceso de aprendizaje
desarrollado por el estudiante durante el curso.
Las calificaciones de las Evaluaciones Especiales se integrarán a la evaluación del proceso.
Artículo 50
A los efectos de la evaluación final de un curso de Bachillerato no se tendrán en cuenta las
asignaturas pendientes de cursos anteriores.
Al finalizar los cursos y evaluada la actuación de los alumnos en cada asignatura, se determinarán
las siguientes categorías: ASIGNATURAS de 1º de BACHILLERATO y ASIGNATURAS de NÚCLEO COMÚN DE 2º y 3º
A- Calificación final 6 o superior, promoción B- Calificación final 5. C- Calificación final 3 o 4. D- Calificación final 1 o 2.
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ASIGNATURAS ESPECÍFICAS de 2º de BACHILLERATO
A- Calificación final de promoción: 7 o superior, B- Calificación final 6. C- Calificación final 3, 4 y 5. D- Calificación final 1 o 2. ASIGNATURAS ESPECÍFICAS de 3º de BACHILLERATO
A- Calificación final de promoción: 8 o superior, B- Calificación final 7. C- Calificación final 4, 5 y 6. D- Calificación final 1, 2 o 3. La categoría A habilita a la promoción.
La categoría B habilita a examen de una prueba complementaria a partir del período noviembre-diciembre. (Artículo 58). La categoría C habilita a examen de dos pruebas a partir del período noviembre
diciembre.
La categoría D habilita a examen de dos pruebas a partir del período de febrero. La reglamentación se mantiene hasta el fin del año lectivo siguiente - período febrero
(Circular 2845). Posteriormente el examen pasará a carácter libre. Artículo 51
…
En 2º y 3º serán promovidos en cada asignatura en la Segunda Reunión de Profesores los
estudiantes cuyas inasistencias fictas no superen 1/6 de las clases teóricas ni de las clases
prácticas y hayan obtenido Categoría A - calificación final de aprobación.