Matematica M2 pentru examenul de Bacalaureat -...
Transcript of Matematica M2 pentru examenul de Bacalaureat -...
Marian ANDRONACHE' Dinu $ERBANESCUMarius PERIANU . C[t6lin CIUPALA'Florian DUMITREL
Matematicenentru examenul' de bacalaurefitFiliera teoretic[, profilul real,specializarea gtiinle ale naturii
Filiera tehnologicl - toate profilurile
@1/ cr-usur- \/urreumctEt.ltron\
Tema 1.1.
Tema 1.2.
Tema 1.3.
Tema 1.4.
Tema 1.5.
Tema 1.6.
Tema 1.7.
Tema 1.8.
Tema 1.9.
Tema 1.1O.
Algebfi/GeometrieClasele IX-X
Mullimi de numere. Mullimi gielemente de logica matematica
(clasa a lX-a)
Funcfiidefinite pe multimea numerelor naturale ($iruri)
(clasa a lX-a)
Funclii. ProprietSli generale. Lecturi grafice
(clasele lX-X)
Funclia de gradul l. Funclia de gradul al ll-lea
(clasa a lX-a)
Puteri ti radicali. Ecualii iralionale(clasa a X-a)
Exponenliale gi logaritmi(clasa a X-a)
Numere complexe(clasa a X-a)
Metode de numdrare. Elemente de combinatorica(clasa a X-a)
Vectori in plan. Geometrie vectoriald. Geometrie analitice
(clasele lX-X)
Elemente de trigonometrie. Funclii 5i ecualii trigonometrice(clasa a X-a)
ParteaAlgebrd 1.turele )c-><tl)
Tema 1.1. Matrice. Determinanfi(clasa a Xl-a)
Tema 1.2. Sisteme de ecualii liniare(clasa a Xl-a)
Tema 1.3. Structuri algebrice(clasa a Xll-a)
Tema 1.4. Polinoame cu coeficienliintr-un corp comutativ(clasa a Xll-a)
Analiz6,matematiclClasele )O-)CI
Tema 3.{ Limite de func-tii. Functii continue. Func[ii derivabile
Tema 3.2 Primitive
Tema 3,3 Fun4ii integrabile
Variante de subiecte
4.1. Subiecte date la examenul de bacalaureat in anul 2013
4.1.1. Filiera teoreticd, profil real, specializarea $tiinle ale naturii
4.1.2. Filiera tehnologicS, toate profilurile 9i specializarile
4.2. Subiecte date la examenul de bacalaureat in anii 2010-2012 .
4.3. Variante de subiecte propuse spre rezolvare
. ln anii 2010, 2Ol 1 5i 2112,clasele de profil real, specializarea gtiinle ale naturii, 5i clasele
de la filiera tehnologici, toate profilurile gi specializirile, au avut, la matematicS, aceea5i
programd 5i acelea;i subiecte de examen.
Tema 1,1Multimi de numere.
Mulgimi gi elemente de logici matematici
1. Partea intreagi gi partea fraclionari a unui numir real
Definifie. Fie r e lR . Cel mai mare num[r intreg mai mic sau egal decdt x se numegte
parteaintreagda luir. Se noteaz6: [r]= -rr{p eZl p< x}.
Num[ru] real {r} = x-lxf se nume$teparteafraclionard ahrix'
Proprietili1. [r]<x<[x]+1, VxeIR;2. x-l<[x]Sx,VxelR.;3. [x]=xexeZ;4. lx+n)=lxf+neneZ;ldentitatea lui Hermite.
1. {x} e [0,1), Vx e JR ;
2. {*l =0<> xeZ;3. {x} = {y} e x-y eZ,4. {x+n} ={x}e neZ.
Probleme propuse
1. Si se determine a2}L2-azecimalda numdrului a:t,(tZZ+) .
2. Sd se determine a2}}8-azecimald a num[rului 0,(285714) .
3. Sd se calcvlezeprodusul primelor 4 zecimaleale numdrului J2gO .
4. Determinati suma primelor 5 zecimale ale numirului 2,1G2).
5. Ardtali cd numdrul q = -J, +3 -1..n - Ol- (t -..6) "rt. natural.
6. Sd se demonstreze cd E = @-f . Fq este un num6r natural.
7. Careeste sumaprimelor dou6 zecimale ale numirului G ?
8. Care este partea intreagi a numdrului (* Jz)'
9. Comparafl numerele a =logr4 si b = 1'lT7 .
10. Ordonali crescdtor numerele.
o Jr, {1, ra.
,1 lr-b),' ,rrJr"tt'
1-c1 l, log,2. lrr-2, J3,1.2-0 Jr, {r, J6 .
^.=
I
rJ
=lrtF
=I
utOE
ts
=oLa
42IJUa
=zsGuto
=,li,raulzEcurrr!cia!!I\,zoOEoz
=I
6
11. Se se determine valoare de adevdr a afrmaliei: ,,Suma oric[ror doul numere iralionaleeste un num6r irafional."
Yariante bac al aure at 2 0 09
12. Determinali valoarea de adevdr a urmdtoarelor propozilii.a) ,,Diferen\a oriciror doud numere naturale este un numdr natural"D,) ,,Existi doui numere iralionale cu produsul lor un numdr natural".
c,) ,,Pentru orice numlr natural a numlrul G "rt"
iralional".
13.Se consider6 tunc{ia /:tR +re,"f(r)=t4(t-{4), unde {a} rcprezrntd partea
frac{ionardanumrrului reat a.calculaf; ,(1) ,(i) ,(;)
t 4. Se consideri mu[imea I = {" + bJi I a,b e Z\ .
r:-----=;a) Ardta[ice ,t(t -Jz)- e e .
b) Ar5ta\i "e
Jz*Ji . ,q.
c,) Determinali un element al mullimii Zn(0, t).
15. Determinaf numlrut de elemente ale mu[imii lxezl (* -e)(z* -r-l)=0].,r- a) Calculali partea intreagd a numdrului a = $0 .
b) Calculalipartea intreagi a numirului a = Ji - Ji .
c/ Calculali partea fraclionari a numdrului o = I .
J
d) Caleulaf, [Ji].[Jt]. .[J*], unde [a] este partea intreagd a numsrului a.
17. Arataticdl Jn'+n., L l=z,pentruoricezeN.18. Determinafi cel mai mic element al mullimii {r e R l(x+2)(x' -4)= 0} .
19. Determinafi numerele naturale din mul]imea n ={*e m 1-=1--=. , < 2}.t Jz+Jt )
2O. Se considerdmullimile l={xeRllxl<2} ti B=[-:,0). Determinali AaBaZ.
21. Se consideri mullimile A={0,2,4,6,...,50} 9i B ={0,3,6,9,...,48} . Determinali
cardinalulfieclreimul{imi A, B , A^B qi AvB.
22. Se consideri frac(ia zecimaldinfiniti !:O,orrr.... Determinali numirul de elemente7
ale mullimii A= {a'a.r,a3,...\ .
23. Se consideri fraclia zecimald infinitl
mullimii A= {ao,a,ar,...} .
4
- = ao,qtq2... . Determinati suma elementelorll
24. Determinali m e lR pentru care {t;Z} . {, = R.lx2 +rux+4 = 0} .
25. Determinafiperechile (lz,n)e1R.xlR pentrucare {t;Z}:{xeR'l x2 +ta+n:0\.
26. Determin ali a e Z pentru"ut" {, e R I 12 - ax + 2= 0} n {0, t, 2,...,10\ + A .
27. SA se dea un exemplu de mu[ime I pentru care mullimea Aw{-1,0,1} are cel puf;n 4
elemente' variante bacalaureat 2007
28. Se se determine mullimile X care verificd egalitatea X u {:, S} = {3, 5, Z} '
Vari ant e b ac al aureat 2 0 0 7
29. Se se determine cdte numerele intregi sunt in mu[imea {JL,JL,JI,...,J00} .
30. Sa se determine numdrul elementelor mu[imii qn{i/i,V2,{6,...,Vl00} .
31. Dali un exemplu de doud numere x,y e Q\Z astfel incdt x-y e N .
32. Dali un exemplu de doud numere intregi a,b >l astfel incit Ji -{U =t .
33. Dali un exemplu de doui mrmere naturale a Si b care indeplinesc condilia
Ji +\og,b eZ.
34. Dali un exemplu de doui numere iralionale a Si b care indeplinesc condiliile q+b eZ
Sia.beZ.35. Determinaf, o pereche (a,b) e N x N care verificd condifia 2' =logtb .
le. Gdsili numerele intregi din intervalul [-r.n,ar, f).
gz. Fie 1={*+yJil x,y e Q, x2 -3y' =l\ . :
a) Ardtaf cd 2e A,dat -le A.
b) /rrdtati cd, 2-Jl e A.
38. Determinali perechile (*, y).lR x lR. pentru care (x' -Z)'(y' + 2y -3\ = 0 .
39. Determinali (x,y)elR.xlR. pentru care x'+2xy+2y2 =0.
40. a) Aritali ci x' + y' + z' -(xy + xz + yz)=Ilt.- r1' +@- z)' *(y - r)'f,Vx,y,z e JR.
b) /irdta\i cd dacd x' + y' + z' - xy + xz + yz, atttnci x = y = 2 .
c,) Determinali mu[imea {(o,O1.R' I o' +b2 + 4 = ab +2a +2b\
N
=I
L'
=gJ
=I
7
Funcliidefinite pe mullimea numerelor naturale (tiruri)
UJOE
ts
==oI
o.ltJUafzsollIA
=a=L,,vtUJ
=ocuJrr!.
cigl-\,=oco=
=I
8
Tema 4 -2
1. $iruri
Definilie. $irul de numere reale
xn a xn*r (x, < xn*r), yn> l,
$irul de mrmere reale (*,),.,x,2 x,rt (r, , r,*,), Yn>1.
(r, ),-, este monoton (strict) crescdtor dacd
este monoton (stric\ descrescdtor dacd
Definilie. $irul de numere reale (x, ),,, este mdrginit inferior dacd existd un numirreal (notat cu) n astfel incdt m I xn, Yn) l.
$irul de numere reale (r, ),-, este mdrginit superior dac[ existi un numdr real (notat
cu) M astfel incdt x, < M, Yn> l.Dacd girul (*^),, este mrrginit at6t inferior c6t qi superior, spunem cr qirul este
mdrginit.
2. Progresii aritmetice
Definilie. $irul de numere rrale (o,),., este o progresie aitmeticd de ralie r dacd
a,+t - Q, = r, Yn > 1 (adicd diferenfa oric5ror doi termeni consecutivi este constanti).
Propriet5li1. a,=ar+(n-l)'r, Yn>l
2. a-:a'-t*a'*L.Yn>2.'2
3. s, = n(ar+a,)
-nr,qr'('),yn) l,unde sn=or+a2+...+at."2',2
l. n - an-al +1, yn> l, r + o.r
3. Progresii geometrice
Definifie. $irul de numere reale nenule (b, ),r, este o progresie geometricd de rafie q dacd
bn*r = bn.q (adicd raportul oricEror doi termeni consecutivi este constant).
ProprietS!il. b,=br'qn-t,Vn>l2. F, =bn-1.b,*1, Yn> 2.
l- a^-l3. E = 1O;-'o*' ,unde s, =br+br+...+bn.
lr4, e =l
Probleme propuse
1. S[ se arate cd numerele logr2, C, qi 5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii
aritmetice.
2. S[ se determine al zeceleatermen al girului l, 7, 13, 19, ...
Yariante bacalaureat 2009
Variante b ac alaur eat 2 0 0 9
3. Se consideri funcfia /: R. -+ m, "f
(r) =3x-l .
a) Ardtalic[ numerele f (2), f (4) $i /(6) sunt in progresie aritrnetica.
D,) calculafl s = /(o)+ /(1)+ 1(z)+...+7(to).c) pg5ta!, ci dacd numerele reale a, b Si c sunt in progresie aritmeticd, atunci qi
f (o) , f (t) li / (") sunt in progresie aritmetica'
4. Determinali xeJR. gtiindc6 x, (x-l)'qi x+2 suntinprogresiearitmeticd.
5. Determinali xelR. pentru care numerele x-1,x+1 qi 3r-1 sunt in progresie
aritmeticd' Bacaraureat 2oI r
6. Sd se determine num[ru] real x gtiind cd numerele x+1, l-x gi 4 sunt in progresie
aritmeticS.
7. Fie progresia aritmetici (o,),,, astfel incdt as =7 ;i ar, = 43 .
a)Determina\i a,A Numerul 2015 este termen al progresiei?
c/ Calculafi suma I = a2 + as + as +...+ aB .
8. tntr-o progresie aritmetic[ (o,),r, se cunosc a, = 6 si at = 5 . Calculafl au .
Bacalaureat 201 Ig. Sd se calculeze sulna primilor 10 de termeni ai progresiei aritmetice (o,),rr, gtiind ci
at-az=2 gi ar+a3+cts*au=Jg '
10. Se considerd o progresie aritrnetici (o,),r, in care as = 5 9i qs =ll. Calculali suma
primil0rgapteterm aiprogresiei' Bacaraureat 2010
1 1. Calculali sumele.
a) l+3+5+...+19.Variante bqcalaureat 2009
b) 2+6+10+...+102.
c) l+3+5+...+ (Zn-t), n e N".
d) l+5+9+...+(+n-3), z e N..
12. Ardtatl cI suma primelor 100 numere naturale impare este un pdtrat perfect.
N
=I
t
=utF
=I
9