Matemática I Guía de Seminarios y clases de Tallerferrero/files/guia-2010.pdf · Matemática I...

.

Matemática IGuía de Seminarios yclases de Taller

Lic. Ezequiel FerreroLic. Belén FranzoniLic. Jimena Olmos AsarLic. Ma. Belén OviedoLic. Alexis PazDr. Cristián G. Sánchez

Universidad Nacional de CórdobaFacultad de Ciencias QuímicasDepartamento de Matemática y Física

IntroducciónProlegómenos de la asignatura Matemática I

La asignatura Matemática I del Ciclo Básico Común de la Facultad de Ciencias Químicas de laUNC desarrolla los conceptos fundamentales del análisis diferencial de funciones de una variabley sus aplicaciones. Además de los objetivos relacionados con los contenidos específicos de laasignatura, se espera que los estudiantes logren durante el desarrollo de la misma una serie dehabilidades relacionadas con la resolución de problemas y la aplicación de razonamientos lógicosa la justificación de procedimientos.La asignatura se desarrolla en tres tipos de clases que se dictan semanalmente durante las docesemanas del primer cuatrimestre en un total de 68 horas divididas en las siguientes actividadessemanales:

Clases Teóricas: Las clases teóricas son no obligatorias y desarrollan los conceptos delprograma de clases teóricas detallado más adelante. Estas clases se dictan en dos módulossemanales de 1:20 hora de duración. Si bien las clases teóricas no son obligatorias se re-comienda fuertemente que los alumnos asistan a las mismas ya que allí se desarrollan losfundamentos de la asignatura.

Seminarios: Durante las clases de seminario el docente ejemplifica la aplicación de losconceptos teóricos a situaciones problemáticas típicas desarrollándolas para los estudiantesen la pizarra. Los ejercicios a ser desarrollados durante el seminario están indicados expre-samente en la guía de trabajos prácticos. Estas clases consisten en un módulo semanal de1:00 hora de duración.

Clases de taller: Las clases de taller son de 2:00 horas de duración y tienen la finalidad deque los alumnos trabajen en grupos o junto con el docente en la resolución de los ejerciciosde la guía de trabajos prácticos.

Contenidos Curriculares Básicos

Los siguientes temas corresponden a los contenidos curriculares básicos del área temática mate-mática exigidos por el Ministerio de Educación de la Nación para las carreras de Bioquímica yFarmacia:

1. Funciones lineales, cuadráticas, polinómicas, exponenciales y trigonométricas.

2. Vectores en el plano y en el espacio.

3. Límites, derivadas, diferenciales.

4. Integrales indefinidas y definidas.

5. Derivadas parciales.

6. Integrales curvilíneas y múltiples.

7. Ecuaciones diferenciales ordinarias.

8. Aplicaciones.

En el transcurso de la asignatura Matemática I se desarrollan los puntos destacados en negrita.

1

Introducción 2

Objetivos

Al terminar el curso de Matemática I, el alumno:

1. Definirá en lenguaje simbólico, gráfico y verbal los conceptos de función, límite, continuidady derivada.

2. Resolverá ecuaciones e inecuaciones en una variable conteniendo funciones trascendentes.

3. Calculará límites de funciones polinomiales, racionales y trascendentes en un punto dado.

4. Dada una función arbitraria, determinará dominio, imagen, asíntotas, límites laterales,puntos de discontinuidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento y recta tangente en unpunto.

5. Calculará derivadas de funciones arbitrarias de una variable.

6. Enunciará en lenguaje simbólico, gráfico y verbal los teoremas de Rolle y de Valor Medioy los aplicará a la resolución de situaciones problemáticas.

7. Graficará funciones arbitrarias de una variable.

8. Calculará puntos extremos relativos y absolutos de una función en un intervalo dado.

9. Aplicará los conceptos de derivada y funciones trascendentes a la resolución de situacionesproblemáticas.

Además adquirirá a lo largo del curso las siguientes habilidades.

1. Ante una situación problemática dada, diseñará una estrategia de solución, obtendrá unasolución apropiada y justificará en forma correcta la elección de la estrategia y la coherencialógica de su planteo.

2. Presentará los resultados correctamente en forma verbal, simbólica y gráfica.

3. Comunicará los resultados y procedimientos prolija y ordenadamente.

4. Calculará correctamente resultados algebráicos.

Programa de clases teóricas

1. Repaso: Números naturales, enteros, racionales e irracionales. Números reales. Represen-tación de los números en la recta real. Conjuntos: definición, pertenencia, intersección yunión. Desigualdades: Relación de mayor o menor en términos del orden del conjunto delos reales, reglas para las desigualdades, desigualdades continuas.

2. Intervalos: Finitos e infinitos, abiertos y cerrados, semiabiertos, expresión de soluciones deinecuaciones en términos de intervalos.

3. Valor absoluto: Definición, solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, pro-piedades del valor absoluto (producto y cociente), desigualdad triangular.

4. Coordenadas cartesianas, distancia en el plano, ecuación de la circunferencia, rectas, ecua-ción de la recta, rectas paralelas y perpendiculares.

Introducción 3

5. Funciones: Definición del concepto de función, dominio e imagen, gráficos de funciones,diferencia entre gráficos de funciones y relaciones, paridad, evaluación, composición y com-binación (suma, producto y cociente) de funciones, gráficos de composiciones simples (tras-lación, estiramiento, reflexión). Dominio de la función compuesta. Funciones elementales.Polinomios.

6. Funciones trigonométricas: definición en términos de la circunferencia trigonométrica. Fun-ciones periódicas, solución de ecuaciones que contienen funciones periódicas.

7. Funciones inversas, funciones uno a uno, cómo encontrar la inversa, gráfico de la funcióninversa.

8. Función Exponencial, extensión intuitiva de la exponenciación racional a exponentes irra-cionales, propiedades de la exponencial, definición de logaritmo como inversa de la funciónexponencial, propiedades del logaritmo.

9. Límites: Definición intuitiva, definición formal, cálculo del límite de una función lineal enun punto por medio de la definición formal, ejemplos de funciones que no poseen límite enun punto, límites laterales. Reglas para el cálculo de límites. Límites en el infinito. Asíntotasverticales y horizontales. Teorema del Sandwich.

10. Continuidad, discontinuidad evitable, discontinuidad infinita, continuidad lateral, continui-dad en un intervalo, continuidad de funciones combinadas.

11. Derivada: definición, relación con la recta tangente al gráfico, diferenciabilidad, relaciónentre diferenciabilidad y continuidad, notaciones para la derivada, reglas de derivacion,regla de la cadena.

12. Derivadas de funciones trigonométricas, limites notables, diferenciación implícita, derivadasde orden superior, derivadas de funciones trigonométricas inversas, derivadas de exponen-ciales y logaritmos, derivada de la función inversa.

13. Máximos y mínimos locales y absolutos, teorema del valor extremo, teorema de Fermat,puntos críticos, relación entre extremo local y punto crítico, recetas para encontrar extre-mos absolutos en un intervalo cerrado, teorema de Rolle, teorema del valor medio, regla dela derivada primera, funciones crecientes y decrecientes, concavidad, punto de inflexión, cri-terio de la derivada segunda. Utilización de la información obtenida para graficar funcionesarbitrarias.

14. Regla de L’Hôpital para el cálculo de límites de formas indeterminadas.

15. Aproximación de funciones por polinomios, polinomio de Taylor, polinomio de órden npara funciones trigonométricas y exponenciales, fórmula para el resto de una expansión deorden n, construcción de una expansión de error acotado.

Programa de clases prácticas

1. Manejo Algebraico.

2. Conjuntos: Unión, intersección, representaciones y nomenclatura.

3. Funciones I: Definición, composición, combinación y gráficas.

4. Funciones II: Desplazamiento, estiramiento y reflejo de gráficas. Funciones Trigonométricas.

Introducción 4

5. Funciones III: Funciones uno a uno, función inversa, exponenciales y logaritmos.

6. Límites.

7. Continuidad.

8. Derivadas I: Reglas de derivación, recta tangente, derivación implícita.

9. Derivadas II: Funciones Trigonométricas, Exponenciales y Logarítmicas.

10. Extremos en intervalos cerrados: Determinación de máximos y mínimos en intervalos ce-rrados.

11. Análisis completo de funciones: Valor medio, crecimiento, decrecimiento, dirección de laconcavidad.

12. Taylor y L’Hôpital.

1 - Manejo Algebraico

En este práctico se repasarán los conceptos básicos de la matemática, aplicando técnicas de ma-nejo algebraico y analizando cómo evitar los errores más comunes. Estas habilidades son de sumaimportancia para cualquier razonamiento lógico, tal como se muestra en la siguiente cita:

–“Contrariar las reglas de la lógica matemática sólo trae calamidades. Basta una premisa mate-mática falsa para poder probar cualquier disparate”.–“¿En serio? A ver, si 2+2=5, demuéstrame que yo soy el Papa”–“Si 2+2=5, entonces 5=4 restemoslé 3 y tendremos que 2=1, si usted y el Papa son dos el Papay usted son uno, por lo tanto, usted es el Papa”

Bertrand Rusell

Objetivos

Al finalizar este práctico, el alumno:

Se expresará correctamente en lenguaje matemático y evitará cometer errores comunes(pérdida de soluciones, división por cero, . . . ) en el manejo algebraico.

Realizará demostraciones matemáticas simples

Resolverá correctamente inecuaciones, ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Aplicará cuando sea necesario técnicas de manejo algebraico, tales como completar cua-drados, factorizar, simplificar, racionalizar, etc.

Temas Teóricos

Números naturales, enteros, racionales e irracionales. Números reales.

Propiedades de las operaciones.

Lenguaje matemático. Demostraciones.

Manejo Algebraico: Factorización, racionalización, completar cuadrados, etc.

Funciones cuadráticas: forma polinómica, canónica y factorizada.

Bibliografía

Michael Spivak. Calculus. Segunda Edición. Capítulo 1 “Propiedades básicas de los núme-ros” (pág. 3-26) y 2 “Distintas clases de números” (pág. 27-45).

Ciclo de Nivelación FCQ UNC. Introducción al estudio de las Ciencias Químicas (2010).“Números Reales” (pág. 45-90).

5

Manejo Algebraico 6

Adrián Paenza. Matemática. . . ¿Estás ahí? - Episodio 2. “Monedas en carretilla” (pág. 43-48).

http://www.acertijos.net

Ejercicios Seminario

S1. Discuta brevemente qué significa demostrar algo matemáticamente y demuestre las siguien-tes afirmaciones:(a) El cuadrado de un número par es par.

(b) El cuadrado de un número impar es impar.

(c)√

2 no es un número racional. (Ayuda: Defina qué es un número racional, escriba√

2 co-mo una fracción irreducible y utilice las dos demostraciones anteriores para llegar a unabsurdo). Con esta demostración, ¿Queda demostrada la existencia del número

√2?.

S2. Grafique y resuelva las siguientes ecuaciones:(a) x2 < 2 + x

(b) x2 = 2 + x

(c){x− 1 = 2yy = x2

S3. Resuelva las siguientes ecuaciones (Ayuda: realice un análisis cuidadoso de los signos decada miembro o factor):

(a){x2 + 2 = −y

y = 2 + 3x2

(b){θ(ρ2 + 2ρ+ 1) = 0

θ(ρ+ 1)2 = 0

(c)x2

(x2 − 4x+ 4)(√

7 +√

13x4)≤ 0

S4. Convierta la expresión polinómica x2−x−2 en su forma canónica (completando cuadrados)y factorizada (encontrando las raíces) y grafique. ¿Es siempre posible encontrar la formafactorizada de un polinomio cuadrático?

Ejercicios Taller

T1. Al igual que el producto, la suma es una operación entre dos elementos de un conjuntoque resulta en otro elemento del mismo conjunto. Estas operaciones quedan completamentedefinidas por sus propiedades. Responda:(a) ¿Qué propiedades son necesarias para extender el producto y la suma para más de dos

elementos?

(b) ¿Qué propiedades son necesarias para definir las operaciones de resta y división?

T2. Tome una calculadora y realice las siguientes operaciones:

Manejo Algebraico 7

(a) Piense un número entero (llámese β), sume 10−30, luego reste β y por último divida por10−30. ¿Qué resultado obtiene? Escriba las operaciones realizadas en una expresión alge-braica y resuélvala. ¿Puede explicar lo ocurrido, y en qué momento se introdujo el error?¿Considera que puede confiar en la calculadora para realizar cualquier operación?

(b) Divida 1 en√

2. Luego al resultado multiplíquelo por√

2. ¿El resultado es un número exacto?¿Y si lo resuelve sin calculadora?¿Puede expresar cualquier número de forma exacta en lacalculadora?

T3. Dado el siguiente razonamiento matemático:Sean a y b números distintos de cero, además a = b, entonces:

a = b multiplicando por a:a2 = ab sumando (a2 − 2ab) :

a2 + (a2 − 2ab) = ab+ (a2 − 2ab)2a2 − 2ab = a2 − ab sacando factor común:2a(a− b) = a(a− b) simplificando (a-b):

2a = a simplificando a:2 = 1

(a) ¿Dónde se encuentra el error?

(b) ¿Qué operación involucra “simplificar” en ambos miembros?

T4. ¿Qué error encuentra en el siguiente razonamiento matemático?

12 = (−1)2 tomando raíz√

12 =√

(−1)2 simplificando1 = −1

Exprese con generalidad la forma correcta de tomar la raíz a un cuadrado y viceversa.

T5. Exprese con palabras o con notación matemática (según corresponda) las siguientes defini-ciones:(a) ∀a, b ∈ R : a ≤ b⇔ (b− a) ∈ R−

(b) Para todo número entero par, existe un número entero impar, tal que el cociente entre elprimero y dos veces el segundo sea igual a uno.

T6. Partiendo de que (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2:

Deduzca una expresión equivalente para (a− b)2 y (a+ b)3

Reduzca a expresiones del tipo (a+b)2 +c (completar cuadrados) indicando los valoresde a, b y c en las siguientes expresiones:

(a) 4 + 4y + y2

(b) 3 + 2√

3d+ d2

(c) 2√

3d+ d2

(d) 9 + 6t+ 3t2

(e) 4 + 2t+ t2/2

T7. Simplifique las siguientes expresiones:

Manejo Algebraico 8

(a)ζ2 − ζζ − 1

− 11− ζ

(b)[

g3g9

g9/2g−1/2g10 + (g2)4 g5

]−1

− 2g(g−8/4g)g2g−3

(c) x2 +x4 +5x2 +√

6x+3x4 +√

2x+3x−√

5x+2x2−2x4−8x2 +2x3 +√

3x4 +7+√

2x2 +x2

T8. Lleve los siguientes números a su mínima expresión:

(a)105√

23

(b)12

2 +√

8

(c)6√

3 + 3

(d)

58

+83

3/5

/ 86

T9. Grafique y resuelva (obtenga todas las soluciones) las siguientes ecuaciones:

(a) x2 = x

(b) (r − 2)r = (r − 2)

(c) φ2 − 2 = 2φ2 + 3

(d){

2y + x = 4yxy + 5x+ 3 = 6

T10. Resuelva las siguientes inecuaciones:

(a) 5− x2 < 8

(b) (x− 1)(x− 3) > 0

(c) x2 − 2x+ 2 > 0

(d) 2 < x2 + x+ 1

(e)1x

+1

1− x> 0

(f)x− 1x+ 1

> 0

(g)√

(x2 − 4x+ 4)2

x2 + 7≤ 0

T11. Demuestre las siguientes afirmaciones:(a) El factorial de un número natural mayor a 1 es par. (Nota: el factorial de un número natural

es el producto de él mismo con todos los números naturales menores)

(b) Si a < b y c > 0 entonces ac < bc. ¿Qué pasaría si c < 0?

(c) La “media geométrica” entre dos números (√ab) tiene un valor intermedio a ellos.

(d) El promedio entre dos números tiene un valor intermedio a ellos.

(e) La media geométrica es siempre menor al promedio.

(f) Si a > 1 entonces a2 > a y si 0 < a < 1 entonces a2 < a. Grafique las funciones x y x2,superpuestas en un mismo gráfico, para comprender este item.

Manejo Algebraico 9

T12. Considere los siguientes problemas:(a) Un vendedor de ropa recibe una cantidad fija al mes de $ 48000 además de un 3% de las

ventas que realice. ¿Qué cantidad debe vender para tener un sueldo mensual superior a $135000? (Ayuda: utilice las unidades adecuadas que simplifiquen las operaciones).

(b) ¿Qué altura tiene un árbol que es dos metros más corto que un palo que triplica la alturadel árbol?

(c) En el juego de estirar la cuerda, 4 atletas tiran tan fuerte como 5 personas no deportistas.Dos no deportistas y un atleta tiran tan fuerte como un león. El león y tres no deportistasse enfrentan ahora con 4 atletas. ¿Quién ganará en este último caso?

(d) En una balanza, una jarra puesta en el plato de la izquierda se equilibra con una botellapuesta en el plato de la derecha. Una jarra se equilibra con un plato y una taza. Tres platosse equilibran con dos botellas. ¿Cuántas tazas se necesitan para equilibrar la jarra?

(e) En un escuadrón de 70 soldados se reparte de postre en el almuerzo una porción de dulce debatata. Todos los días, el soldado designado recibe la barra de dulce de 2 kilogramos, y alvolver hacia los cuarteles es detenido por el comandante en jefe quien se apodera de la mitadmás 1/4 de lo que lleva el soldado. Además, en lo que queda del camino, el soldado debeser supervisado por un capitán y un suboficial quienes repiten la operación del comandante.¿Qué porción de la barra come cada soldado al final de este proceso? ¿Cuánto pesa estaporción?

(f) Suponga que está parado en la vereda cerca de un edificio muy alto, digamos de 100 pisos.Supongamos también que camiones blindados, de esos que transportan caudales, depositaronen la vereda suficientes monedas de un peso como para que las empiece a apilar en la basedel edificio con la idea de llegar hasta la terraza. Además en la vereda dejaron una carretillaque mide un metro de ancho por un metro de largo por un metro de alto. ¿Cuántos viajesestima que tendrá que hacer con la carretilla llena de monedas para levantar una pila demonedas de un peso y llegar hasta la terraza del edificio?

2 - ConjuntosUnión, intersección, representaciones y nomenclatura

“La matemática correctamente vista no sólo posee verdad, sino también suprema belleza, unabelleza fría y austera, como esa de la escultura.”

Bertrand Rusell. Mysticism and logic. 1918

Si bien la teoría de conjuntos parece tener poca importancia en la práctica, es uno de los pilaresmás fuertes de la matemática. Las ideas iniciales sobre funciones se basan en esta teoría y esfundamental para comenzar cualquier estudio de estadística o lógica. La razón de su importanciaestá relacionada con el hecho de formalizar algo tan intuitivo y natural como puede resultar unconjunto:

“Un conjunto es un saco lleno de elementos. Dentro del saco puede haber números, letras, plantas,personas, mastodontes, . . . , prácticamente cualquier cosa.”

Julius Wilhelm Richard Dedekind

Objetivos


Representará conjuntos y sus combinaciones en la recta real o en diagramas de Venn.

Escribirá matemáticamente cualquier conjunto y sus combinaciones tanto en nomenclaturapor extensión como por comprensión.

Expresará las soluciones de ecuaciones e inecuaciones con sus conjuntos correspondientes.

Definirá valor absoluto y resolverá adecuadamente cualquier situación matemática que loinvolucre.

Temas Teóricos

Conjuntos: definición, pertenencia, resta, intersección y unión. Notación y representacióngráfica.

Desigualdades: Relación de mayor o menor en términos del orden del conjunto de los reales,reglas para las desigualdades, desigualdades continuas.

Intervalos: Finitos e infinitos, abiertos y cerrados, semiabiertos, expresión de soluciones deinecuaciones en términos de intervalos.

Valor absoluto: Definición, solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, pro-piedades del valor absoluto (producto y cocientes), desigualdad triangular.

10

Conjuntos 11

Bibliografía

Michael Spivak. Calculus. Segunda Edición. Capítulos 1 “Propiedades básicas de los núme-ros” (pág. 3-26) y 2 “Distintas clases de números” (pág. 27-45)

Ciclo de Nivelación FCQ UNC. Introducción al estudio de las Ciencias Químicas. Año 2010.“Números Reales” (pag. 45-90)

Patricia Kisbye y Alejandro Tiraboschi. Curso de Nivelación FAMAF-UNC. Elementos deLógica y Teoría de conjuntos. Año 2010.


S1. Represente en la recta real los siguientes conjuntos:(a) U = {x ∈ Z| − 3 ≤ x < 2}

(b) K = {x ∈ R|1 < x ≤ 9 ∧ x ≤ −2}

(c) U ∪K

(c) U ∩K

(d) U −K

(e) (U ∪K)−K

S2. Considerando los conjuntos del inciso anterior, responda:(a) ¿Qué notación se utilizó para describir los conjuntos U y K?

(b) Exprese U en notación por compresión (o constructiva). ¿Puede expresar K en notación porextensión?

(c) Represente en un diagrama de Venn (o diagrama de conjuntos) las operaciones realizadasen los últimos 4 apartados.

S3. Represente esquemáticamente en el intervalo [−2, 2] de la recta real los conjuntos N0, Z, Qy R. Compare los conjuntos en un diagrama de Venn. ¿Cuáles de estos conjuntos son densosy cuales discretos?

S4. Resuelva las siguientes inecuaciones representando en la recta real su solución.(a) x2 < x+ 1

(b) (x− 1)(x+ 1) ≤ 0

(d) (x− 1)(x+ 1) < |x|Para los 3 apartados, represente gráficamente cada miembro (o factor) de la inecuación eindique la solución en el gráfico.

S5. Demuestre las siguientes afirmaciones

(a)∣∣∣∣1x∣∣∣∣ =

1|x|

con x 6= 0

(b) −b ≤ a ≤ b si y sólo si |a| ≤ |b|.

Conjuntos 12

Ejercicios Taller

T1. Dado el siguiente diagrama de Venn:

A

B

C

D

EF

Marque sobre el mismo (o represente en otro diagrama, si considera conveniente):(a) B ∪ C ∪D

(b) B ∩ C ∩D

(c) A ∪ C ∪ F

(c) C − E

(d) E − F

(e) (B ∪ C)−D

T2. Con el diagrama del inciso anterior indique si es veradero o falso:

(a) F es un subconjunto de E.

(b) C es un subconjunto de D.

(c) D y A tienen una intersección no vacía.

(d) La unión de A con C tiene interseccióncon E

T3. Dado los siguientes conjuntos A y B, encontrar en cada caso los conjuntos unión (C = A∪B)e intersección (D = A∩B). Graficar A, B, C y D en la recta real o con diagramas de conjuntoscuando sea posible.(a) A = {1, 5, π, {números pares}}

B = {2, 9, 8} ∪ {números primos}

(b) A = {x|x es un elemento de la tabla periódica con número atómico “Z” par ∧ Z < 20}B = {H,Fe, S,Na}

(c) A = {x|x es un día de primavera}B = {x|x es un día de septiembre}

(d) A = {x|x es el cuadrado de un número par}B = {x|x los números impares}

T4. Escriba las definiciones de los símbolos > y <.

T5. Represente en la recta real los siguientes conjuntos:

(a) A = {x ∈ R|3 < x ≤ 4}

(b) B = {x ∈ R| − 2 < x ≤ 0}

(c) C = {x ∈ R| − 1 < x ≤ 3}

(d) A ∪B

(e) A ∩B

(f) A ∪B ∪ C

(g) A ∩ C ∩B

Conjuntos 13

Para los últimos cuatro apartados indique la notación por comprensión y realice los diagra-mas de conjuntos.

T6. Escriba los conjuntos con notación por comprensión que definen los distintos tipos de inter-valo: [a, b], (a, b), [a, b) y (a, b]. ¿Siempre puede utilizarse la notación extendida?

T7. Represente en la recta real cada uno de los siguientes intervalos y descríbalos por compren-sión:

(a) [2, 6]

(b) (−1, 3)

(c) [−1,∞)

(c) [−3, 0)

(d) (−∞, 3]

(e) (1, 6]

T8. Represente gráficamente (en la recta real o en el plano) los siguientes conjuntos/intervalos:(a) El conjunto de números pares menores a 5

(b) {x ∈ Z|x = 2a+ 1 ∧ a ∈ Z}

(c) El intervalo [−3, 2) ∈ Z

(d) {2, 5, 3/2, π}

(e) {x ∈ R|3 < x ≤ 9 ∧ 10 < x ∧ x ≤ 3}

(f) {x ∈ R|3 < x ≤ 9 ∨ 10 < x}

(g) {x ∈ R|x es par}

T9. Para cada inciso del ejercicio T10 del práctico 1:(a) Represente en la recta real los conjuntos solución.

(b) Para cada una de las primeras cuatro inecuaciones realice un gráfico que contenga losmiembros (o factores) de las mismas e indique el conjunto solución.

T10. Escriba la definición de valor absoluto y realice un gráfico de f(x) = |x|

T11. Demuestre:(a) Si a < b y c < d entonces a+c < b+d.

(b) Si a < b y c > d entonces a−c < b−d.

(c) |xy| = |x||y|

(d)∣∣∣yx

∣∣∣ =|y||x|

con x 6= 0

(e) |x| − |y| ≤ |x− y| ≤ |x|+ |y|

T12. El valor máximo por comparación entre dos números x e y se denota por “max(x, y)”, mien-tras que el mínimo por “min(x, y)”. Indique el valor de max(5, 3) y min(3,−5) y demuestreque:

(a) max(x, y) =x+ y + |y − x|

2(b) min(x, y) =

x+ y − |y − x|2

T13. Indique los conjuntos de t para los cuales las siguientes expresiones tienen sentido en R:(a)√t+ 7

(b)√−t+ 2

(c)√t2 + 7t+ 12

3 - Funciones IDefinición, composición, combinación y gráficas

El concepto de función es considerado fundamental en la matemática, no sólo por su importanciadentro de las diferentes disciplinas de esta ciencia, sino por ser una de las formas más naturalesde describir la realidad; podría decirse que las funciones nos rodean y las encontramos en accióna nuestro alrededor. Si se observa con atención, se encontrarán múltiples ejemplos de funciones;por ejemplo, las facturas de luz son una función de la cantidad de electricidad utilizada; a cadaartículo de un supermercados le corresponde su precio y un código de barras; el costo de unviaje en auto está relacionado con la distancia recorrida, el precio por litro de la gasolina yla velocidad promedio a la cual se conduce; el crecimiento de una planta está relacionado conla cantidad de nutrientes del suelo y la cantidad de agua que reciba; la cantidad de dineroacumulada en una cuenta bancaria depende de la cantidad de dinero inicialmente depositada, latasa de interés anual, el número de veces al año que los intereses son capitalizados y el tiempo.Con toda seguridad, usted podrá encontrar muchos otros ejemplos.

extraído de “Cálculo”, J. Stewart

Limitaremos nuestra atención a funciones de una clase muy particular, las funciones de una únicavariable real. Sin embargo, veremos que incluso esta clase tan limitada de funciones presentarátal variedad como para entretenernos un buen rato. Repasaremos el concepto de función, lasideas básicas acerca de funciones, sus gráficas y las formas de combinarlas.

Objetivos

Al finalizar éste práctico, el alumno:

Definirá en lenguaje simbólico, gráfico y verbal los conceptos de función, dominio e imagen.

Compondrá, combinará y graficará correctamente funciones elementales.

Temas Teóricos

Funciones: Definición del concepto de función, dominio e imagen.

Gráficos de funciones. Diferencia entre gráficos de funciones y relaciones.

Paridad.

Evaluación.

Combinación (suma, producto y cociente) de funciones.

Composición. Dominio de la función compuesta.

Bibliografía

J. Stewart, “Cálculo diferencial e integral”, International Thompson Editores. Capítulo 1Funciones y Modelos, secciones: 1.1 (pág. 12-26) y 1.2 (pág. 26-41).

14

Funciones I 15

J. Stewart, “Introducción al Cálculo”, International Thompson Editores: Capítulo 4 Fun-ciones, secciones: 4.1 a 4.5 (pág. 204-240).

R.T. Smith & R.B. Minton, “Calculus”, Second Edition, Mc Graw Hill: Capítulo 0 Preli-minaries, secciones: 0.2 a 0.4 (pág. 11-40).


S1. Si f(x) =x+ 1x− 1

determine f(0), f(2), f(−2) y f(1/2).

S2. Establezca el dominio de cada función y represéntelo en la recta real:

(a) f(x) =x2 + 2x2 − 1

(b) g(x) = 4√x2 − 6x

S3. Determine dominio e imagen y trace la gráfica de cada función

(a) f(x) = x2 + 2x− 1

(b) h(x) = |2x|(c) f(t) =

{ 1t

si t < 0

3− t si t ≥ 0

S4. Dadas las funciones f(x) = 1x−1 y g(x) = x2 − 5x + 7, determine las composiciones f ◦ g,

g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g y sus dominios.

S5. Grafique la siguiente circunferencia (x− 1)2 + (y− 2)2 = 9 ¿Por qué no es ésta la gráfica deuna función?

Ejercicios Taller

T1. Defina función. ¿Toda relación es función? ¿Cuántas maneras conoce para representar unafunción?

T2. El dominio de f es A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 0, f(4) = 1, f(5) = 2,f(6) = 4. ¿Cuál es la ima gen de f? Dibuje un diagrama de flechas y una gráfica de f .

T3. Si f(x) = 2x2 +3x−4, determine f(0), f(2), f(√

(2)), f(1+√

(2)), f(−x), f(x+1), 2f(x)y f(2x).

T4. Establezca el dominio de cada función:

(a) f(x) =x4

x2 + x− 6(b) f(t) =

√t2 + 1

T5. Determine el dominio y trace la gráfica de cada función

Funciones I 16

(a) f(s) = 3− 2s

(b) f(x) =

−1 si x < −11 si −1 ≤ x ≤ 1−1 si x > 1

(c) g(x) =√−x

(d) g(u) ={

1− u2 si u ≤ 22u− 7 si u > 2

T6. Dada una curva en el plano cartesiano xy ¿Cómo es posible saber si ésta representa o no lagráfica de una función?

T7. Determine en cada caso si la curva es la gráfica de una función de x o no. En caso afirmativodefina dominio e imagen.

-2 0 2

-2

0

2

x

y

(a)

-2 0 2

-2

0

2

x

y

(b)

-2 0 2

-2

0

2

x

y

(c)

-2 0 2

-2

0

2

x

y

(d)

-2 0 2

-2

0

2

x

y

(e)

-2 0 2

-2

0

2

x

y

(f)

T8. ¿Cuándo se dice que una función es par?¿Cuándo impar?¿Qué sabemos en cada caso res-pecto a su simetría?

T9. (a) Si el punto (5, 3) está sobre la gráfica de una función par, ¿Cuál otro punto tambiéndebe estar sobre la gráfica?

(b) Si el punto (5, 3) está sobre la gráfica de una función impar, ¿Cuál otro punto tambiéndebe estar sobre la gráfica?

T10. Determine si f es par, impar o ninguno de los dos casos. Si es par o impar, trace su gráficahaciendo uso de la simetría.

(a) f(x) = x−2

(b) f(x) = x5

(c) f(x) = x2 + x

(d) f(x) = x3 − x

T11. Grafique las siguientes circunferencias

(a) (x)2 + (y − 1)2 = 4(b) x2 − x+ y2 + 2y − 31

4 = 0 Ayuda: completar cuadrados

Funciones I 17

T12. A partir del gráfico, deduzca una ecuación para la circunferencia

-2 0 20

2

4

x

y

(-1,3)

T13. Determine f + g, f − g, fg y f/g y defina sus dominios:

(a) f(x) = x3 + 2x2, g(x) = 3x2 − 1 (b) f(x) =√

2 + x, g(x) =√

2− x

T14. Dadas f(x) =1x

y g(x) = x3 + 2x, determine las siguientes funciones compuestas y susdominios. Evalúe la composición en x = 0, 1,−1, 2 cuando sea posible.

(a) f ◦ g(b) g ◦ f

(c) f ◦ f(d) g ◦ g

(e) f ◦ (fg)(f) f ◦ (f + g)

T15. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo rematado por un semicírculo. Si elperímetro de la ventana es de 900 cm, exprese su área como función de su ancho.

T16. Se infla un globo esférico. Si su radio r aumenta con la rapidez de 1 cm/s, exprese suvolumen en función del tiempo t en segundos.

Ayuda: Recuerde que el volumen de la esfera se calcula como V = 43πr

3

T17. El propietario de una casa corta el césped en verano cada miércoles por la tarde. Traceuna gráfica aproximada de la altura del césped como función del tiempo durante el mes deFebrero.

4 - Funciones IIDesplazamiento, estiramiento y reflejo de gráficas. Funciones Trigonométricas

Haremos una clasificación de los principales tipos de funciones con los que se encuentra uno en elcálculo. Aprenderemos los procedimientos de desplazamiento, estiramiento y reflejo de gráficas defunciones. Pondremos especial hincapié en las funciones trigonométricas y sus aplicaciones. Éstasúltimas aparecen en muchos aspectos de nuestra vida cotidiana: Por ejemplo, en todo tipo deproblemas que involucren geometría, como los problemas a los que se enfrentan los topógrafos,en la navegación, en la astronomía; también en todo tipo de fenómenos periódicos, como elmovimiento de un péndulo, el de un cuerpo unido a un resorte, en la descripción de las ondasacústicas, electromagnéticas, etc.

Objetivos


Graficará funciones arbitrarias de una variable, escalando y desplazando a partir de fun-ciones elementales conocidas.

Definirá en lenguaje simbólico, gráfico y verbal funciones periódicas y trigonométricas.Enunciará de modo correcto las soluciones de las ecuaciones que involucren dichas funciones.

Temas Teóricos

Funciones elementales. Polinomios.

Gráfico de composiciones simples (traslación, estiramiento, reflexión).

Funciones Trigonométricas:

• Definición en términos de la circunsferencia trigonométrica.

• Funciones periódicas.

• Solución de ecuaciones que contienen funciones periódicas.

Bibliografía

J. Stewart, “Cálculo diferencial e integral”, International Thompson Editores: Capítulo 1Funciones y Modelos, sección 1.2 (pág. 26-41); Apéndice C Trigonometría (pág. A19-A31).

J. Stewart, “Introducción al Cálculo”, International Thompson Editores: Capítulo 7 Fun-ciones Trigonométricas, secciones: 7.1 y 7.2 (pág. 378-392), 7.4 y 7.5 (pág. 402-417), 7.8 y7.9 (pág. 427-446).

Cristián U. Sánchez. Curso de Nivelación FAMAF-UNC. Funciones. Año 2010: sección:Funciones trigonométricas (pág. 20-37).

R.T. Smith & R.B. Minton, “Calculus”, Second Edition, Mc Graw Hill: Capítulo 0 Preli-minaries, sección: 0.5 (pág. 40-50).

18

Funciones II 19


S1. Dada la gráfica de y =√x use transformaciones para trazar la gráfica de y =

√x− 2,

y = −√x, y = 2

√x, y =

√2x e y =

√−x.

S2. Grafique tres copias de la circunferencia de radio unidad:

(a) en la primera: defina la medición de ángulos en base a la longitud de arco. Ubique losvalores más usuales. Exprese la relación entre grados (◦) y radianes.

(b) en la segunda: defina seno y coseno de un ángulo α (sen(α) y cos(α)). Exprese gráfi-camente la tangente del ángulo α, tan(α).

(c) en la tercera: indique los signos que toman las funciones sen(α), cos(α) y tan(α) en cadacuadrante.

S3. Trace las gráficas de las siguientes funciones. En cada caso describa con palabras en qué sediferencian de la gráfica de sen(x):

(a) y = sen(2x)(b) y = 1− sen(x)

(c) y = 2 sen(x)(d) y = sen(x+ π

3 )

S4. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:

(a) | sen(t)| = 1 (b) 2 cos(2x)− 1 = 0 (c) sen(2x)− cos(x) = 0

Ejercicios Taller

T1. ¿Qué tipos de funciones conoce? Dé ejemplos de cada una de ellas.

T2. Determine si cada una de las siguientes funciones es función de potencias, función raíz,función polinomial (definiendo su grado), función racional, función algebraica, función tri-gonométrica, función exponencial o función logarítmica:

(a) f(x) = 5√x

(b) g(x) =√

1− x2

(c) h(x) = x9 + x4 − π

(d) r(x) =x2 + 1x3 + 1

(e) s(x) = tan(2x)

(f) t(x) = log10(x)

T3. Dé las recetas para las siguientes transformaciones de funciones:

a) Desplazamientos verticales y horizontales.b) Estiramientos y compresiones verticales y horizontales.c) Reflexiones verticales y horizontales.

T4. Trace la gráfica de la función y = |x2 − 1|.

T5. Grafique cada función, no por medio de la ubicación de puntos, sino a partir de la gráficade alguna de las funciones estándares conocidas y aplicando transformaciones apropiadas.

Funciones II 20

a) y = 2− cos(x)b) y = (x− 1)3 + 2c) y = | cos(2x)|d) y = 1

2

√x+ 4− 3

e) y = sen(|x|)

f ) y = sen(x+ π2 )

¿A la gráfica de qué función conocida re-sulta idéntica?

T6. Enuncie la definición de funciones periódicas. Defina el período.

T7. Realice una tabla con los valores de sen(x) para x = 0,π

6,π

4,π

3,π

2,2π3,3π4,5π6, π,

3π2, 2π.

Sabiendo que 1 = sen2(x) + cos2(x) incorpore a la tabla los valores de cos(x) para los x’sdados. A partir de los datos anteriores, complete la tabla con los valores de tan(x).

T8. Encuentre amplitud, período, frecuencia y fase de:

(a) f(x) = 4 cos(3x) (b) g(x) = 2 sen(x/3) (c) h(x) = sen(x+ π4 )

T9. Derive las siguientes identidades a partir de las fórmulas de adición de senos y cosenos:

(a) sen(π2 + x

)= cos(x)

(b) sen(2θ) = 2 sen(θ) cos(θ)(c) cos(2θ) = cos2(θ)− sen2(θ)

T10. Verifique que las siguientes expresiones tienen valor 1 para cada número real t para el cualla expresión está definida :

(a) 12 [tg(t) cosec(t) cos(t) + cotg(t) sec(t) sen(t)]

(b)sec(t) cosec(t)tg(t) + cotg(t)

T11. Dadas las siguientes gráficas, deduzca a qué funciones pertenecen:

-π/4 π/4 3/4π

-5

5

y

x

(a)

-2π -π 0 π 2π

-2

0

2

4

y

x

(b)

Funciones II 21

T12. En un circuito de corriente alterna, el voltaje está dado por v(t) = vp sen(2πft), donde vpes el voltaje pico y f es la frecuencia en Hz. Un voltímetro mide un promedio del voltaje(llamado la raíz media cuadrada o RMS por sus siglas en inglés), igual a vp/

√2. Si el

voltaje tiene una amplitud de 170 y un período de π/30, encuentre la frecuencia y el voltajemedido.

T13. Suponga que las ventas de pasajes de una aerolínea están dadas (en miles de pesos) pors(t) = 330 + 6t + 45 sen(1

6πt), en donde t es el tiempo medido en meses. ¿Qué fenómenoreal podría causar la fluctuación en la venta de pasajes modelada por el término del seno?Basado en su respuesta, ¿Qué mes corresponde a t = 0? Despreciando las fluctuacionesestacionales, ¿En cuánto están creciendo anualmente las ventas de pasajes de la aerolínea?

5 - Funciones IIIFunciones uno a uno, función inversa, exponenciales y logaritmos.

Llegado este punto en el desarrollo de la asignatura tenemos un conocimiento acabado del con-cepto de función. Sabemos que una función es básicamente una regla que permite asignar, aun número en un conjunto denominado dominio, un único número en otro conjunto que hemosdenominado imagen. El concepto de función permite describir, utilizando lenguaje matamático,situaciones físicas en las que diversos factores determinan el comportamiento de un sistema. Elvolumen y la temperatura de un gas determinan su presión, la dosis de una medicación adminis-trada ocasionará una determinada respuesta terapéutica. Es una evolución natural del conceptoel preguntarse si es posible invertir el procedimiento, en el caso de los ejemplos mencionados:¿Qué dosis de fármaco debo administrar a un paciente para lograr una respuesta determinadade antemano? ¿Qué temperatura debe tener un gas a un determinado volumen para lograr unadada presión? La respuesta a estas preguntas viene dada por las funciones inversas, las cualesserá posible determinar bajo ciertas condiciones. En esta guía desarrollaremos el concepto defunción inversa y a su vez los conceptos de función exponencial y logaritmo. Estas dos funcionestrascendentes son ubicuas en la aplicación del lenguaje de la matemática a las ciencias naturales.

Objetivos

Al finalizar el desarrollo del presente práctico el alumno:

Determinará en forma gráfica o simbólica la existencia de la función inversa de una funcióndada y la calculará si ésta existe.

Graficará funciones logarítmicas y exponenciales simples.

Aplicará las propiedades de las funciones logaritmo y exponencial a la solución de ecuacionesy situaciones problemáticas.

Temas Teóricos

Funciones inversas, funciones uno a uno, cómo encontrar la inversa, gráfico de la funcióninversa.

Función exponencial, extensión intuitiva de la exponenciación racional a exponentes irra-cionales, propiedades de la exponencial, definición de logaritmo como inversa de la funciónexponencial, propiedades del logaritmo.

Bibliografía

J. Stewart, “Cálculo: Trascendentes Tempranas”, Thompson/Brooks/Cole, sexta edición.2007. Capítulo 1: Funciones y modelos, sección 1.5 (pág. 52), sección 1.6 (pág. 59).

22

Funciones III 23


S1. Dadas las función x2 determinar un dominio restringido en el que sea una función uno auno y encuentre gráfica y simbólicamente su inversa en ese dominio restringido.

S2. Grafique en un mismo sistema de ejes las funciones ln(x) y ex

S3. Grafique en un mismo sistema de ejes las funciones ax, bx y cx con c < a < b.

S4. Grafique en un mismo sistema de ejes las funciones loga(x), logb(x) y logc(x) con c < a < b.

S5. Demuestre que loga(x) =ln(x)ln a

S6. Encuentre las soluciones a las siguientes ecuaciones:

(a) log2(x) = 3(b) 2x−5 = 3

(c) ex = 16(d) ln(x) = −1

Ejercicios Taller

T1. Enuncie las definiciones de función uno a uno y función inversa de una dada.

T2. ¿Cómo es posible saber a partir del gráfico de una función si ésta es “uno a uno”?

T3. Sea f(x) una función uno a uno tal que f(3) = 9, ¿Cuál es el valor de f−1(9)?

T4. Dadas los siguientes funciones, definidas en forma gráfica, simbólica o verbal, determinecuáles de ellas son uno a uno y en tal caso construya su inversa.

a)

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

b)

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Funciones III 24

c)

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

4

5

d)

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

e) f(x) = x2 − 2x

f) g(x) = 1/x

g) h(t) es la altura de un proyectil t segundos luego de ser disparado a un ángulo de 45grados respecto de la vertical.

h) p(d) es el cambio promedio en la presión arterial de un grupo de pacientes en respuestaa una dosis d de enalapril.

T5. Encuentre una fórmula para las inversas de las siguientes funciones

(a) f(x) = ex3

(b) f(x) =4x− 12x+ 3

(c) y =ex

1 + 2ex

(d) y = ln(x+ 3)

T6. Grafique las funciones ex y ln(x). ¿Cómo se comportan estas funciones cuando su argumentocrece indefinidamente? ¿Cuál es la ventaja de utilizar escalas logarítmicas para graficarcantidades grandes?

T7. Dadas las siguientes funciones, calcule su logaritmo y simplifiquelo al máximo:

a) f(x) = a5x5x

b) g(x) =34(x+ 5)6

exx−1

T8. Exprese las siguientes cantidades como un único logaritmo:

a) ln(5) + 5 ln(3)

b) ln(a+ b) + ln(a− b)− 2 ln(c)

c) ln(1 + x2) +12

lnx− ln(sin(x))

T9. Encuentre los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones:

Funciones III 25

(a) e3x−4 = 2(b) 3x+2 = m

(c) 5log5(2x) = 6

(d) ln(x2) = 2 ln 4− 4 ln(2)(e) ln(x) + ln(x+ 1) = 1(f) ln(e2x−1) = 5

T10. Dadas las funciones sen(x) y cos(x), encuentre un dominio restringido en el cual poseaninversa.

T11. Grafique las siguientes funciones:

a) y = log(x+ 5)b) y = − ln(x)c) y = ln(−x)

d) y = ln(|x|)

e) y = log(cos(x))

T12. Dadas las funciones f(x) =√

3− e2x y f(x) = ln(2+lnx) encuentre su dominio y el dominiode su función inversa.

T13. ¿Qué gráfico de escala logarítmica utilizaría para graficar la función y = Aex de forma talque se vea como una recta? ¿Y para la función y = axb?

T14. Encuentre el valor exacto de las siguientes expresiones:

a) arctan 1

b) sin−1(sin(7π/3))

c) arc cos(−1/2)

d) sin−1(√

3/2)

T15. Cuando el flash de una cámara se dispara, las baterías inmediatamente comienzan a recargarel capacitor del flash, el cual almacena carga eléctrica dada por

Q(t) = Q0(1− e−t/a) (1)

Donde q0 es la máxima capacidad de carga y t se mide en segundos.

a) Encuentre la inversa de esta función y explicar verbalmente su significado.

b) ¿Cuánto tiempo es necesario para recargar el capacitor al 90% de su capacidad sia = 2?

T16. La concentración de iones hidronio [H3O+] de una solución de ácido ascórbico (vitamina C)en función de su concentración analítica CA y su constante de disociación kaestá dada por:

[H3O+] =√kaCA (2)

a) Calcule el pH = − log[H3O+] de la solución en función de la concentración analíticaCA.

b) Encuentre la concentración analítica que hace que el pH de la solución sea igual a 5 sila ka = 1,75× 10−5.

6 - Límites

Los inicios del cálculo se encuentran en las determinaciones de áreas y volúmenes hechas porlos escolásticos de la Grecia antigua, como Eudoxio y Arquímedes. Aunque en sus “métodosde agotamiento” están implícitos los aspectos de la idea de límite, ni Eudoxio ni Arquímedesformularon este concepto en forma explícita. De igual modo, matemáticos como Calaveri, Fermaty Barrow, precursores inmediatos de Newton en el desarrollo del cálculo infinitesimal, en realidadno usaron límites. Fue Isaac Newton el primero en hablar claramente de los límites. Explicó quela idea principal con respecto a los límites es que “las cantidades se acercan más de lo que se puedeexpresar con cualquier diferencia dada”. Newton presentó en 1687 en sus Principia Mathematicasu versión del cálculo infinitesimal y la empleó para investigar en la mecánica, dinámica de fluidosy el movimiento ondulatorio, así como a fin de explicar el movimiento de los planetas y cometas.

extraído de “Cálculo”, J. Stewart

Objetivos


Determinará gráfica y analíticamente la existencia de límites y límites laterales.

Calculará límites por definición de manera analítica y los representará gráficamente.

Utilizará las propiedades algebraicas de los límites para cálculos generales.

Dada una función, determinará dominios y asíntotas verticales y horizontales, esbozará lagráfica aproximada.

Temas Teóricos

Límites: Definición intuitiva, definición formal.

Cálculo del límite de una función lineal en un punto por medio de la definición formal.

Ejemplos de funciones que no poseen límite en un punto. Límites laterales.

Reglas para el cálculo de límites.

Límites en el infinito. Asíntotas verticales y horizontales.

Teorema del Sandwich.

Bibliografía

J. Stewart, “Cálculo, Trascendentes Tempranas” 3°ed., International Thompson Editores.Capítulo 1 Límites y Razones de Cambio, secciones: 1.1-1.4 (pág. 46-79), sección: 1.6 (pág.90-101).

26

Límites 27


S1. Dada la siguiente función f(x), determine observando el gráfico las siguientes cantidades:

a) lımx→2+

f(x)

b) lımx→2−

f(x)

c) lımx→2

f(x)

d) lımx→4+

f(x)

e) lımx→4−

f(x)

f ) lımx→4

f(x)

g) lımx→3

f(x)

1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

x

y

S2. a) Guiándose con el siguiente gráfico de f(x) =1x, encuentre un valor de δ que cumpla:∣∣∣∣1x − 0,5

∣∣∣∣ < 0,2, siempre que |x− 2| < δ.

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Y

X

b) Encuentre de manera analítica la forma general que debe cumplir δ para que |x− 2| <

δ ⇒∣∣∣∣1x − 0,5

∣∣∣∣ < ε

c) Demuestre, haciendo uso de la definición de límite, que lımx→2

4x− 3 = 2

Límites 28

S3. Calcule los siguientes límites:

a) lımx→∞

x2 − 2x4x2 − 4 b) lım

x→2

√x2 + 5− 3x2 − 2x

S4. Sea f(x) =2

x− 3,

a) calcule su dominio.

b) calcule, si existen, asíntotas verticales y horizontales.

c) utilice la información obtenida para graficar f(x)

Ejercicios Taller

T1. Para la función f(x) que se muestra a continuación, exprese (si existen) los valores pedidos.

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

8

10

12

x

y

a) lımx→−9+

f(x)

b) lımx→−9−

f(x)

c) lımx→−9

f(x)

d) lımx→−4+

f(x)

e) lımx→−4−

f(x)

f ) lımx→−4

f(x)

g) lımx→3+

f(x)

h) lımx→3−

f(x)

i) lımx→3

f(x)

j ) Las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales.

Límites 29

T2. Calcule:

a) lımx→5+

6x− 5

b) lımx→5−

6x− 5

c) lımx→1+

1x2 − 1

d) lımx→1−

1x2 − 1

e) lımx→0

(x− 5)2 − 25x

f ) lımx→∞

3x+ 25x3 + x2 − 4x

g) lımx→1

x3 − 1x3 + 2x2 − 3x

h) lımx→∞

x2 − x4 + 1x2 − 1

i) lımx→∞

(3x+ 5)(5x+ 2)−(x− 3)2

j ) lımx→1+

1x2 − 1

− 1x3 − 1

k) lımx→2

x3 − 2x2 − 6x+ 12x3 + 3x− 10

l) lımx→0

|x|x

m) lımx→0

1− cos2(x)2(x2 + 1)

n) lımx→∞

x2e1/x

2(x+ 1)2

ñ) lımx→0

ln(x2 sen(x))

o) lımx→∞

sen(x)x

p) lımx→∞

x3 + x− 12x3 + 5

q) lımx→−∞

7x4 + x3 − 1x2 + 1

T3. Estime cuánto se debe acercar x a 3 para que la distancia entre 6x+ 1 y 19 sea menor que:

a) 0,1 b) 0,01

T4. Grafique la función y = x2 en el intervalo I = [0, 2]. Encuentre gráficamente un número δque satisfaga

∣∣x2 − 1∣∣ < 0,5 siempre que |x− 1| < δ.

T5. Empleando la definición de límite demuestre que las siguientes afirmaciones son correctas:

a) lımx→2

3x− 2 = 4

b) lımx→−1

5x+ 8 = 3

T6. Demuestre usando el teorema del sandwich la siguiente afirmación:

lımx→0

√x3 + x2

(sen

π

x

)= 0

T7. Determine el dominio y las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones.Con los datos obtenidos esboce un gráfico de la función:

a) y =x2 + 1x2 − 1

b) y =x3

x2 + 3x− 10

c) y =x

x+ 4

7 - Continuidad

Intuitivamente, es fácil asimilar la esencia del concepto de continuidad. En términos sencillos,puede decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puededibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz. La descripción matemáticade esta idea intuitiva recurre al uso de la noción de límite.

Objetivos


Definirá función continua de manera gráfica y analítica.

Determinará intervalos de continuidad de las funciones dadas de manera gráfica y analítica.

Aplicará los conocimientos adquiridos sobre continuidad y el teorema del valor intermediopara la resolución de problemas.

Temas Teóricos

Continuidad.

Discontinuidad evitable, discontinuidad infinita.

Continuidad lateral, continuidad en un intervalo, continuidad de funciones combinadas.

Teorema del valor Intermedio.

Bibliografía

J. Stewart, “Cálculo, Trascendentes Tempranas” 3°ed., International Thompson Editores.Capítulo 1 Límites y Razones de Cambio, sección: 1.5 (pág. 80-89).

30

Continuidad 31


S1. Observando la gráfica de la función f(x) defina sus discontinuidades. En los casos en que seaplique defina si la discontinuidad es por derecha o por izquierda. ¿Se puede definir algunade las discontinuidades como evitable? En tal caso, proponga una gráfica que la evite.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

y

x

S2. Utilice la definición de continuidad, los teoremas enunciados en clases y las propiedades delos límites para demostrar que las siguientes funciones son continuas en el intervalo dado.Piense y discuta por qué se han elegido estos intervalos.

a) f(x) = x√

16− x2 I = [−4, 4]

b) f(x) =x+ 1x− 3

I = [−∞, 3]

S3. Explique por qué cada una de las funciones tiene una discontinuidad en el punto dado. Tracela gráfica de f(x):

a) f(x) =−1

(x− 1)2a = 1

b) f(x) =

−1

(x− 1)2si x 6= 1

0 si x = 1a = 1

S4. ¿Cuál de las siguientes funciones f(x) tiene una discontinuidad evitable en a? Si la discon-tinuidad es evitable, defina una función g(x) que coincida con la f(x) cuando x 6= a y quesea continua en R:

a) f(x) =x− 7|x− 7|

a = 7

b) f(x) =x2 − 2x− 8

x+ 2a = −2

S5. Utilice el Teorema del Valor intermedio para demostrar que existe una raiz de la ecuaciónx3 − 3x+ 1 = 0 en el intervalo I = (0, 1).

Continuidad 32

Ejercicios Taller

T1. Enuncie las condiciones que debe cumplir una función f(x) para ser continua en un puntox = a.

T2. Enuncie las funciones continuas y los problemas que pueden llegar a causar dicontinuidadesque conozca.

T3. Demuestre que cada una de las siguientes funciones es continua en su dominio, para lo cualdeberá primero definir correctamente el dominio:

a) f(x) = (x+ 2)(x3 + 8x+ 9)

b) g(x) =x4 + 17

6x2 + x− 1

c) h(x) =√x− 25 + x

T4. Determine los puntos en los cuales f(x) es discontinua. En alguno de esos valores f(x), ¿escontinua sólo por derecha o sólo por izquierda? Trace la gráfica de f(x).

a) f(x) =

2x+ 1 si x < −1

3x si − 1 < x < 12x− 1 si x ≥ 1

b) f(x) =

√−x si x < 01 si 0 ≤ x ≤ 1√x si x > 1

T5. Determine los valores de las constantes c y d para que la función h(x) sea una funcióncontinua:

h(x) =

2x si x < 3

cx2 + d si 1 ≤ x ≤ 24x si x > 2

T6. Determine si las siguientes funciones tienen discontinuidades evitables en x = a. En casode que así sea, determine una función g(x) que coincida con f(x) para x 6= a y que seacontinua en R:

a) f(x) =x3 + 64x+ 4

a = −4

b) f(x) =3−√x

9− xa = 9

T7. Demuestre que existe un número c que cumple la siguiente condición:

f(x) = x3 − x2 + x ⇒ ∃ c / f(c) = 10

T8. ¿Existe algún número que sea exactamente una unidad mayor que su cubo?

T9. Un viajante sale de su casa a las 7:00 AM y llega a su destino a las 7:00 PM. A la mañanasiguiente regresa a su casa saliendo de nuevo a las 7:00 AM y siguiendo el mismo caminollega a su casa a las 7:00 PM. Utilizando el teorema del valor intermedio demostrar que porlo menos hay un punto del camino por el cual el viajante pasa exactamente a la misma horalos dos días.

8 - Derivadas IReglas de derivación, recta tangente, derivación implícita

El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con lanoción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función deforma instantánea, es decir, entre dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. Laidea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripciónde los fenómenos naturales y sociales.En esta guía aprenderemos el concepto de derivada de una función a partir de su definición.Calcularemos las derivadas de funciones a partir de las reglas de derivación y aplicaremos estenuevo concepto a la resolución de diferentes problemas.

Objetivos


Determinará la derivada de una función a partir de su definición. Aplicará las técnicas dederivación de funciones para la resolución de problemas.

Calculará rectas tangentes a una curva f(x). Aplicará los conceptos de derivada y suspropiedades en la solución de ejercicios y problemas.

Temas Teóricos

Definición de derivada y su relación con la recta tangente al gráfico.

Diferenciabilidad y continuidad. Diferenciación implícita.

Reglas de derivación. Regla de la cadena.

Bibliografía

J. Stewart, “Cálculo: Trascendentes Tempranas”, Thompson/Brooks/Cole, sexta edición.2007. Capítulo 2: Límites y Derivadas, sección 2.7 (pág. 143); sección 2.8 (pág. 154). Ca-pítulo 3: Reglas de Derivación, sección 3.1 (pág. 173), sección 3.2 (pág. 183), sección 3.4(pág. 197), sección 3.5 (pág. 207).

33

Derivadas I 34


S1. Dada f(x) =√x− 1:

(a) En un mismo gráfico represente f(2), f(2+h), f(2+h)−f(2) y h, donde h > 0. ¿Qué recta

tiene pendientef(2 + h)− f(2)

h?

(b) Encuentre la derivada, f ′(x), por definición. Analice el dominio de f ′(x).

(c) Calcule f ′(a) con a ∈ Dom(f) y f ′(5).

(d) Grafique f(x) y f ′(x).

S2. Calcule las derivadas de las funciones, utilizando las reglas de derivación:(a) f(x) = (x− 2)(2x+ 1)

(b) f(t) =at+ b

ct+ d

(c) h(s) = s5 + s−1 − s−2

(d) f(x) =(x2 +

√x2 + 1

)4(x+ 1)

S3. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = 3 − x2 en el punto(−1, 2). Grafique.

S4. Calculedy

dxsabiendo que x2 + y2 = 4x+ 4y.

Ejercicios Taller

T1. Enuncie la definición de derivada de una función.

T2. Si f(x) = 4− x2, usando la definición de derivada:(a) encuentre la derivada, f ′(x), por definición;

(b) analice el dominio de f ′(x);

(c) calcule f ′(a) con a ∈ Dom(f) y f ′(−2). Además; compruebe que f ′(1) = −2;

(d) grafique f(x) y f ′(x).

T3. Encuentre las derivadas de las siguientes funciones usando la definición de derivada. Deter-mine en todos los casos el dominio de la función y de su derivada.(a) f(x) = x3 − x2 + 2x

(b) h(x) =√

1 + 2x

(c) g(t) =4− 3t2 + t

T4. ¿Es diferenciable la función f(x) = |x+ 3| en x = −3? JSR.

T5. Dada la siguiente función:

Derivadas I 35

f(x) =

0 x ≤ 0

5− x 0 < x < 41

5− xx ≤ 4

(a) Determine el dominio de f(x).

(b) ¿Para qué valores de x la función es discontinua?

(c) ¿Para qué valores de x la función es diferenciable?

T6. Sea f(x) ={

x2 x ≤ 2mx+ b 2 < x

Calcule los valores de m y b que hacen que f sea diferenciables siempre.

T7. Dada la función f(x) =1

x− 2; calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f

en el punto (1, f(1)). Obtenga además la ecuación de dicha recta tangente.

T8. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y = 3 − x2 en el punto(−1, 2).

T9. Calcule las derivadas de las siguientes funciones usando las reglas de derivación:(a) f(x) = (x−3 + 1)2(x2 − 1)3

(b) x(t) =1 + t3

1− t3

(c) y(x) =(x− 1

x2

)(√x− 1√

x

)(d) v(w) =

1w2 −

√3w

+ 2

(e) z(x) = 4√x3 − 4x− 4x2

√x4 + 6x

(f) u(t) =(xt+ (xt)−1

)8(g) f(x) = x

√x+√x+ 1 +

2x3

(h) h(z) =√z +

1

(√z + 3)2

(i) g(w) =√w + 1 + 8

(w2 + 1)3

(j) h(x) =(a√abx− ab

)3 (a2x4 + c

)1/2T10. Sean u = g(x) y f(u) = ur con r ∈ Q.

(a) Obtenga (f ◦ g)(x).

(b) Calculed

dx(f ◦ g).

T11. Sea y = f(u), u = g(x) y x = h(t), donde f , g y h son funciones diferenciables. Calculedy

dt.

T12. Calculedy

dxen las siguientes ecuaciones:

(a) y2 + x2 = 1.

(b) x2 + y2 = 4x+ 4y.

T13. Suponga que se introduce gas en un globo esférico a razón de 50 cm3 por segundo. Suponga

Derivadas I 36

que la presión del gas permanece constante y que el globo tiene siempre forma esférica.¿Cuál es la rapidez con que aumenta el radio del globo cuando su longitud es 5 cm?

T14. La Ley de Boyle para los gases ideales establece que, a temperatura constante, PV = cdonde P es la presión del gas, V es el volumen y c es una constante. Si la presión está dadapor la expresión: P (t) = 30 + 2t con P en cm de Hg, t en s; y el volumen inicial es de 60cm3, determine la razón de cambio de volumen V con respecto al tiempo t a los 10 s.

9 - Derivadas IIFunciones Trigonométricas, Exponenciales y Logarítmicas

En este trabajo práctico aprenderemos a derivar funciones trigonométricas, logarítmicas y expo-nenciales. Estas funciones tienen una gran aplicación en Física, Química, Biología, Economía yCiencias Sociales. Se utilizan para la modelar diferentes fenómenos naturales como por ejemplo,la luz, la corriente o las mareas; todos éstos fenómenos se representan a partir funciones sinusoi-dales. Además, nos permiten analizar el decaimiento de alguna sustancia radiactiva o estudiar larapidez con que aumenta o se consume algún compuesto químico.

Objetivos


Aplicará el concepto de derivada y sus propiedades en la resolución de ejercicios y proble-mas.

Calculará derivadas de funciones trascendentes utilizando técnicas de derivación.

Temas Teóricos

Límites notables. Derivadas de funciones trigonométricas.

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.

Derivada de la función inversa.

Bibliografía

J. Stewart, “Cálculo: Trascendentes Tempranas”, Thompson/Brooks/Cole, sexta edición.Capítulo 3: Reglas de Derivación, sección 3.1 (pág. 173), sección 3.3 (pág. 189, sección 3.6(pág. 215).

37

Derivadas II 38


S1. Si f(x) = sen(x) demuestre utilizando la definición de derivada que f ′(x) = cos(x).

S2. Teniendo en cuenta que ax = e(x ln(a)), demuestre qued

dx(ax) es proporcional a ax y la

constante de proporcionalidad es ln(a).

S3. Calcule la derivada de la función f aplicando las reglas de derivación:(a) f(x) = 4 sen(x)− cos(4x2)

(b) f(x) = ln(√

1− x3)

(c) f(x) = sec(x) + tan(x)

(d) f(x) = 3e2x−1 + 3x

S4. Dada f(x) = sen(x):

(a) grafique en el mismo sistema de coordenadas las funciones f y f−1, en el intervalo[−π/2, π/2];

(b) encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica f en el punto (π/4, 1/√

2);

(c) halle la pendiente de la recta tangente a la gráfica f−1 en el punto (1/√

2, π/4).

S5. Derivando la identidad x = f(f−1) encuentre(f−1

)′ (x) para la función f(x) = arc sen(ln(x)).

Ejercicios Taller

T1. Calcule los siguientes límites notables:

(a) lımx→0

sen(2x)x

(b) lımx→0

sen2(2x)x2

(c) lımx→∞

3x sen(

1x

)(d) lım

x→0

x cos2(x)− xx3

T2. Si f(x) = cos(x) demuestre utilizando la definición de derivada que f ′(x) = − sen(x).

T3. Demuestre qued

dx(loga(x)) =

1ln(a)x

.

T4. Calcule la derivada de la función f aplicando las reglas de derivación:

(a) f(x) = (1− cosec(2x+ 1))2/3

(b) f(x) =3 tan(x)

2− sen(x)

(c) f(x) =(1 + x) sen(x)

1− x2

(d) f(x) =(cos2(x) + sen2(x)

) (x2 + 1

)(e) f(x) = ln(3x) + 3 tan(x)− ex3

(f) f(x) = ln(x)ln(3x)

(g) f(x) = etan(x) (e−x + 1)

(h) f(x) = 4sen(2x)

(i) f(x) = cos(2 sen(cos(e2x)))

(j) f(x) =√

1− x1 + x

cos(1− x)

Derivadas II 39

T5. Hallar la derivada de la función exponencial compuesta:

y = uv

Donde u = φ(x) y v = ψ(x).

T6. Demuestre que si u es diferenciable en x entonces arc cos′(u) =−1√

1− u2u′(x) y arctan′(u) =

11 + u2

u′(x).

T7. Dadas las siguientes funciones f , encuentre f−1. Además, derivando la identidad x = f(f−1)deduzca

(f−1

)′ (x):

(a) f(x) = [arctan(x)]x

(b) f(x) = 2arc cos(3x) + [1− arctan(3x)]3(c) f(x) = arctan

(x− 33x+ 1

)(d) f(x) = cos(arctan(x)− arc sen(x))

T8. Encuentre una ecuación para la recta tangente a la curva f(x) = x cos(x) en el punto(−π, π). Grafique la curva f y su tangente en el mismo sistema de coordenadas.

T9. ¿Para qué valores de x el gráfico f(x) = x+ 2 sen(x) tiene una tangente horizontal?

T10. Dada f(x) = 3 cos(x− π

4

)+ 2:

(a) grafique en el mismo sistema de coordenadas las funciones f y f−1 en el intervalo [π/4, 5π/4];

(b) encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica f en el punto (3π/4, 2);

(c) halle la pendiente de la recta tangente a la gráfica f−1 en el punto (2, 3π/4).

T11. Una bebida se saca de la heladera a una temperatura de 10 ◦C y se deja en una habitacióndonde la temperatura es de 25◦C. Según la ley de enfriamiento de Newton (calentamientosería en este caso el término apropiado) la temperatura T de la bebida variará en el tiempode acuerdo a la expresión:

T (t) = 25−Ae−kt

con A y k constantes.(a) Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de 15◦C, calcule las

constantes A y k.

(b) Grafique la función T para t ≥ 0 y encuentre la expresión de la rapidez instantánea decalentamiento de la bebida.

(c) ¿Cuál será la temperatura de la bebida al cabo de una hora?

10 - Extremos en intervalos cerradosDeterminación de máximos y mínimos en intervalos cerrados

¿Cuáles son las aplicaciones de la derivada? ¿De qué nos sirve derivar funciones? En esta guíavamos a aprender cómo utilizar la derivada de una función para encontrar los máximos y mínimosde la misma. Muchos problemas de la vida cotidiana y de nuestro futuro trabajo van a requerirestas habilidades. Por ejemplo:

Si hacemos un cultivo de células y conocemos la función que describe su cantidad en funcióndel tiempo, sabremos cuándo tendremos el máximo número posible de células.

Si conocemos la función que describe la distribución de un fármaco en el organismo, sabre-mos cuándo alcanzará la concentración máxima en sangre, y sabremos cada cuántas horasadministrar el mismo.

Objetivos


Reconocerá gráficamente extremos absolutos y relativos de una función dentro de un in-tervalo definido

Enunciará el teorema del valor extremo

Enunciará y demostrará el teorema de Fermat

Definirá punto crítico, y hallará gráfica y analíticamente los mismos en una función deter-minada

Hallará los extremos absolutos de cualquier función continua en un intervalo cerrado

Temas Teóricos

Definición de extremos absolutos y relativos o locales

Teorema del valor extremo

Teorema de Fermat. Demostración

Puntos críticos

Bibliografía

J. Stewart, “Cálculo diferencial e integral”, International Thompson Editores. Capítulo 4Applications in differentiation, sección 4.1 (pág. 270-276)

40

Extremos 41


S1. Dada la siguiente función definida en el intervalo cerrado [−5, 6],

(a) Encuentre máximo y mínimo absoluto en el intervalo [−1, 2]

(b) Encuentre máximo y mínimo absoluto en el intervalo (−5, 2)

(c) Encuentre máximo y mínimo absoluto en el intervalo [2, 6]

(d) Encuentre extremos absolutos y relativos en el intervalo [−5, 6]

(e) ¿De qué depende que un extremo sea relativo o absoluto?

S2. Decida cuáles de estas funciones poseen extremos absolutos

(a) f(x) = x2

(b) h(k) = ln(k)

(c) f(g) = cos(g)

(d) f(x) = x(2n+1) , ∀n ∈ N

S3. ¿En cuáles de las siguientes situaciones puede aplicarse el teorema del valor extremo en elintervalo [a, b]? ¿Por qué?

(a) (b)

S4. Encuentre los puntos críticos de la función f(x) =3x+ a

x+ 2

Extremos 42

S5. Encuentre los extremos absolutos de las siguientes funciones, en los intervalos indicados:

(a) f(x) = x3 + 2x2 − 3 ; [-2,12 ]

(b) h(x) = |x− 1| ; [-2,3](c) h(x) = |x− 1| ; [-2,-1](d) f(s) = es + 3e−2s ; [-1,2]

Ejercicios Taller

T1. Defina máximo y mínimo absoluto y relativo de una función

T2. Dé dos ejemplos de funciones en un intervalo cerrado dado:

(a) cuyos extremos absolutos estén definidos

(b) que no posean extremos absolutos

T3. Decida si las siguientes premisas son verdaderas o falsas

(a) Una función siempre tiene extremos absolutos en un intervalo

(b) Una función siempre tiene extremos absolutos en un intervalo cerrado

(c) Una función continua siempre tiene extremos absolutos en un intervalo cerrado

(d) Una función discontinua en un intervalo cerrado no tiene extremos absolutos en eseintervalo

(e) Una función discontinua en un intervalo cerrado no necesariamente tiene extremosabsolutos en ese intervalo

(f) Una función discontinua en un intervalo abierto no necesariamente tiene extremosabsolutos en ese intervalo

T4. Defina punto crítico.

T5. Complete los espacios en blanco con las palabras “necesaria”, “suficiente” o “no necesaria”,según corresponda

(a) Es condición . . . . . . . . . . . . . . . para que una función tenga un extremo relativo en c quec sea un número crítico.

(b) Es condición . . . . . . . . . . . . . . . para que c sea un número crítico que la función tenga unextremo en ese punto.

(c) Es condición . . . . . . . . . . . . . . . para que una función tenga un extremo relativo en c quef ′(c) = 0 o no exista.

(d) Es condición . . . . . . . . . . . . . . . para que c sea un número crítico que f ′(c) no exista.

T6. ¿Todo punto crítico implica la existencia de un máximo o mínimo en la función? ¿Por qué?

T7. Encuentre los puntos críticos de las siguientes funciones:

Extremos 43

(a) f(y) = y4 − y2 + 3(b) g(z) = ln(3) + (z − 5)4

(c) h(x) =x+ 6

x2 − 5x+ 1(d) f(x) = |4x− 1|

(e) f(θ) = cos(θ) + 5θ

(f) g(x) = x−4 ln(x)

(g) f(k) =√

3− k3

(h) f(x) = x3/4 + x1/2

T8. En la siguiente figura se muestra la gráfica de la derivada de una función f(x). Marque losvalores de x donde se encuentran los puntos críticos de la función original

T9. Describa, paso a paso, el procedimiento a seguir para encontrar los extremos absolutos decualquier función continua en un intervalo cerrado

T10. ¿En cuáles de las siguientes situaciones puede aplicarse el teorema del valor extremo en elintervalo [a, b]? ¿Por qué?

y

ba

x

(a)

x

y

a b

(b)

T11. ¿Qué error encuentra en la siguiente afirmación?

Dada f(x) = x−1, su único punto crítico se encuentra en x = 0, porque f ′(x) = −x−2,entonces f ′(0) no existe

Extremos 44

T12. Encuentre los extremos absolutos de las siguientes funciones en el intervalo indicado:

(a) f(x) = x2 − 2x+ 1 ; [0,2]

(b) h(x) = 2x3 − x+ 3 ; [-2,0]

(c) f(y) = y4 − 2y2 + 3 ; [-2,2]

(d) g(x) =x4 − 1x+ 2

; [-2,12 ]

(e) f(x) = ln(x2 + x+ 1) ; [-1,1]

(f) f(z) = xe−x2 ; [0,1]

T13. Grafique una función f(x) en el intervalo [0, 8] que cumpla con todos los siguientes requisitos:

Posee un mínimo absoluto en x = 4

Posee un máximo absoluto en x = 1

Posee un mínimo relativo en x = 2

Posee un máximos relativos en x = 3 y x = 7

Posee 6 puntos críticos en total

T14. Si A y B son dos números enteros positivos, encuentre sus valores, sabiendo que A+B = 8y que la suma de sus cuadrados es la máxima posible

T15. Encuentre el punto de la recta y = 3x+ 1 cuya distancia al punto (1, 1) sea mínima

T16. Si f(x) posee un mínimo en c, pruebe que g(x) = −f(x) posee un máximo en c

T17. Decida si la siguiente función posee un máximo o mínimo absoluto. Para esto, proceda dedos maneras:

Derivando implícitamente

Completando cuadrados

y2 + 3y + 2 = 2x2 + x

11 - Análisis completo de funcionesValor medio, crecimiento, decrecimiento, dirección de la concavidad.

¿Qué hacemos con todo lo que aprendimos hasta ahora? Dado que f ′(x) representa la pendientede la curva y = f(x) en el punto (x, f(x)), nos dice cómo evoluciona la curva en cada punto. Porlo tanto, conociendo la derivada, tenemos mucha información sobre la función en sí misma.Ahora vamos a aplicar los conocimientos adquiridos al análisis completo de funciones. Conocien-do la fórmula de la misma, seremos capaces de encontrar su dominio, raíces, asíntotas, puntoscríticos, máximos y mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos de concavi-dad o curvatura. Con todos estos datos, seremos capaces de graficar casi cualquier función sinnecesidad de una tabla o graficadora.

Objetivos


Enunciará el Teorema de Rolle

Enunciará y demostrará el Teorema del valor medio

Analizará y graficará funciones arbitrarias de una variable

Temas Teóricos

Teorema de Rolle

Teorema del valor medio. Demostración

Crecimiento y decrecimiento

Análisis de la primera derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimientode funciones

Concavidad y convexidad

Punto de inflexión

Análisis de la segunda derivada para determinar intervalos de concavidad y convexidad defunciones

Integración de contenidos previos: funciones, dominio, límites, asíntotas, derivada, punto crítico,extremos.

Bibliografía

J. Stewart, “Cálculo diferencial e integral”, International Thompson Editores. Capítulo 4Applications in differentiation, secciones 4.2 y 4.3 (pág. 280-294)

45

Análisis de funciones 46


S1. Dada la siguiente gráfica

Encuentre y marque aproximadamente el punto c con pendiente paralela a la de la rectasecante que pasa por a y b (Punto c del Teorema del Valor Medio (TVM))Intente hacer lo mismo del ítem anterior en este gráfico:

¿Por qué no existe c? ¿Se contradice el TVM? ¿Por qué?

S2. Encuentre, cuando sea posible, todos los puntos c que satisfagan el TVM en el intervaloseñalado

(a) f(x) = 3 + 2x− x2 ; [1, 3]

(b) g(y) =√x− 4 ; [5, 8]

(c) h(x) =x

|x|; [−1, 1]

(d) h(x) =x

|x|; [−2,−1]


S3. Marque en el gráfico las zonas donde f(x) crece, decrece, es cóncava hacia arriba o cóncavahacia abajo

S4. ¿Puede aplicarse el TVM a las siguientes funciones? ¿Por qué?

(a) (b)

S5. Realice un análisis completo de la función f(x) = x3 − 3x2 + 3, determinando:

(a) Dominio

(b) Asíntotas verticales y horizontales si existen

(c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

(d) Máximos y mínimos

(e) Intervalos de concavidad y convexidad

Con estos datos, realice un gráfico de la función


Ejercicios Taller

T1. Enuncie el Teorema del Valor Medio (TVM)

T2. ¿Puede aplicarse el TVM a las siguientes funciones? ¿Por qué?

x

y

a b

(a)

x

y

a b

(b)

T3. La velocidad promedio de un objeto que se mueve en línea recta entre los tiempos t = a yt = b puede ser expresada como:

v =f(b)− f(a)

b− adonde f(t) es la posición de dicho objeto al tiempo t, y la velocidad instantánea al tiempot = c es f ′(c). Si un auto recorrió 950 km en 10 horas, ¿qué velocidad, sin lugar a dudas,ha marcado el velocímetro al menos una vez?

T4. ¿Existe alguna función continua y derivable en el intervalo [0,3] tal que f(3) = 8, f(1) = 2,y f ′(x) ≤ 2 para todo x?

T5. Utilizando el TVM, demuestre que si f ′(x) = 0 para todo x en un intervalo (a, b), entoncesf(x) es constante en el intervalo.

T6. Muestre que la función f(x) = 4x− cos(x) tiene una única raíz real

T7. Utilizando el TVM, demuestre que ex ≥ 1 + x para todo x ≥ 0

T8. Complete la siguiente tabla en la cual se evalúan los intervalos de crecimiento y decrecimientode la función f(x) = x3 − 1

2x2 − 2x+ 5 con el test de la primera derivada

Intervalo Signo de f ′(x) Comportamiento de f(x)(-∞,-23)( , ) -( ,∞) Creciente


T9. Utilizando el test de la primera derivada, defina los intervalos de crecimiento de la siguientefunción:

f(x) = x+ cos(x)

T10. Demuestre las siguientes afirmaciones:

(a) Si f(x) y g(x) son crecientes en I, entonces f + g es creciente en I

(b) Si f(x) y g(x) son positivas y crecientes en I, entonces f × g es creciente en I

(c) Si f(x) y g(x) son crecientes en R, entonces f ◦ g es creciente en R(d) Si f(x) y g(x) son cóncavas hacia arriba en I, entonces f + g es cóncava hacia arriba

en I

T11. Los empleados de una fábrica de producción de autopartes trabajan 8 horas al día. El procesode manufactura se lleva a cabo siempre de la misma manera. Sin embargo, la producciónno es homogénea, como muestra el siguiente gráfico de la cantidad de elementos producidosen función del tiempo:

2 3 4 5 6 7 8

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

ca

ntid

ad

de

pro

du

cto

s

tiempo [horas]

Viendo la gráfica, ¿en qué momento la velocidad de producción es la más alta? Estimeaproximadamente las coordenadas del punto de inflexión. ¿Cuál es el significado del puntode inflexión?

T12. Demuestre que la función f(x) = x|x| tiene un punto de inflexión en (0,0), aunque f ′′(0)no existe

T13. Para cada caso, grafique una función que cumpla con las condiciones requeridas:

(a) • f ′(x) < 0 en (-∞,a) y (b,∞), y f ′(x) > 0 en (a,b)• f ′′(x) > 0 en (-∞,c) y f ′′(x) < 0 en (c,∞) ; y a < c < b


(b) • f ′(x) nunca cambia de signo• f ′′(x) se hace cero una vez

(c) • f(x) crece en (-∞,a) y decrece en (a,∞)• lımx→−∞

f(x) = lımx→∞

f(x) = 0

• f(x) tiene dos puntos de inflexión

T14. Sabiendo que f(4) = 3, f ′(4) = 2, f ′(x) > 0 y f ′′(x) < 0 ∀x, ¿cuántas raíces tiene f(x)?¿es posible que f ′(0) = 1? ¿por qué?

T15. El gráfico siguiente corresponde a la derivada de la función continua f(x)

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

determine:

(a) puntos críticos de f(x)

(b) intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)

(c) puntos de inflexión de f(x)

(d) intervalos de concavidad y convexidad de f(x)

¿cuáles son los puntos críticos de f ′(x)?Con estos datos, esbozar un gráfico aproximado de f(x) y de f ′′(x)

T16. Para cada una de las siguientes funciones, determine: dominio, asíntotas, intervalos de cre-cimiento, máximos y mínimos, intervalos de concavidad y convexidad. Realice un gráficoaproximado de cada una.

f(x) =exp(x)

1 + exp(x)g(θ) = cos(2θ) + θ

h(y) =√x2 − 4

f(t) = t2 + 4t− 3

T17. ¿Cuántos puntos de inflexión tiene, como máximo, el polinomio de grado n f(x) = axn +bxn−1 + ...+ cx2 + dx, con a, b, ..., c y d distintos de cero? Demuestre

12 - Taylor y L’HôpitalFormas indeterminadas y desarrollos de potencias.

En la recta final del curso nos encontramos con dos aplicaciones más del concepto de derivada.Por un lado la regla de L’Hôpital para el cálculo de límites de formas indeterminadas y porotro el desarrollo de Taylor. La regla de L’Hôpital nos proporciona un método riguroso y defácil aplicación para el cálculo de límites que aparecen en muchos casos a la hora de graficarfunciones, en particular, para cuando el argumento de funciones tiende a infinito. El desarrollode Taylor es una poderosa herramienta para encontrar aproximaciones polinómicas de funciones,estas aproximaciones pueden utilizarse para estudiar funciones en el entorno de un punto dado yson la base de numerosas implementaciones de funciones trascendentes en circuitos electrónicosy de muchos métodos numéricos que se utilizan para la simulación computacional de sistemas.

Objetivos


Calculará límites de formas indeterminadas utilizando correctamente la regla de L’Hôpital.

Construirá el polinomio de Taylor de orden n de una función arbitraria de una variablealrededor de un punto dado.

Expresará el término genérico de orden n para expansiones de funciones trigonométricas yexponenciales.

Temas Teóricos

Regla de L’Hôpital para el cálculo de límites de formas indeterminadas

Aproximaciones de funciones por polinomios, polinomio de Taylor

Polinomio de orden n para funciones trigonométricas y exponenciales

Bibliografía

J. Stewart, “Cálculo: Trascendentes Tempranas”, Thompson/Brooks/Cole, sexta edición.2007. Capítulo 4: Aplicaciones de la derivación, sección 4.4 (pág. 298); Capítulo 11: Suce-siones y series infinitas, sección 11.10 (pág. 734) y sección 11.11 (pág. 749).

51

Taylor y L’Hôpital 52


S1. Determine los siguientes límites

a) lımx→1

x2 + 3x− 4x− 1

b) lımx→−1

x6 − 1x4 − 1

c) lımx→∞

ex

x3

d) lımx→3π/2

cos(x)x− (3π/2)

S2. Lleve las expresiones a la forma indeterminada 00 o ∞

∞ y calcule los límites utilizandoL’Hôpital

a) lımx→∞

e−x ln(x) b) lımx→1

(1

ln(x)− 1x− 1

)

S3. Encuentre un polinomio de grado 2 que aproxime a la función ex en un punto arbitrariox = a. Construya el polinomio de forma tal que reproduzca exactamente el valor de lafunción, su derivada primera y su derivada segunda en x = a.

S4. Utilizando el teorema de Taylor construya aproximaciones polinómicas para las siguientesfunciones en los puntos indicados:

a) f(x) = sin(x) alrededor de x = 0 hasta orden arbitrario.

b) g(x) =√x alrededor de x = 1 hasta orden 4.

Ejercicios Taller

T1. Enuncie la regla de L’Hôpital remarcando las condiciones que deben cumplirse para suaplicación.

T2. Determine los siguientes límites

a) lımx→2

x− 2x2 − 4

b) lımx→1

xa − 1xb − 1

c) lımx→0+

ln(x)√x

d) lımx→∞

ln(1 + ex)5x

T3. Encuentre el error en el siguiente procedimiento. ¿Cuál es el resultado correcto?

lımx→π−

sen(x)1− cos(x)

=−→L′Hopital lımx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞

T4. Lleve las expresiones a la forma indeterminada 00 o ∞

∞ y calcule los límites utilizandoL’Hôpital

a) lımx→0+

√x ln(x)

b) lımx→−∞

xex

c) lımx→∞

e−x ln(x)

d) lımx→0

(1x4− 1x2

)

Taylor y L’Hôpital 53

e) lımx→∞

(x−

√x2 − 1

)f ) lım

x→1

(1

ln(x)− 1x− 1

)

T5. Utilizando el teorema de Taylor construya aproximaciones polinómicas para las siguientesfunciones en los puntos indicados:

a) f(x) = cos(x) alrededor de x = 0 hasta orden arbitrario.

b) f(x) = ex alrededor de x = 1 hasta orden arbitrario.

c) f(x) = 11−x alrededor de x = 0 hasta orden 6.

d) g(x) = 1/x alrededor de x = 1 hasta orden 5.

T6. Construya aproximaciones numéricas para los números e y π utilizando desarrollos de Taylorde funciones adecuadas.

Matemática I Guía de Seminarios y clases de Tallerferrero/files/guia-2010.pdf · Matemática I...

Documents

Transcript of Matemática I Guía de Seminarios y clases de Tallerferrero/files/guia-2010.pdf · Matemática I...