Matemática financeira. Programa:. Conceito e aplicações de Juros simples e Juros Compostos....
-
Upload
manoel-jardim-filipe -
Category
Documents
-
view
232 -
download
5
Transcript of Matemática financeira. Programa:. Conceito e aplicações de Juros simples e Juros Compostos....
Matemática financeira
Programa:. Conceito e aplicações de Juros simples e Juros Compostos.• Desconto de títulos. • Valor de face e valor de mercado.• Valor do dinheiro no tempo. • Valor presente e valor futuro.• Equivalência de taxas de juros. • Equivalência de fluxos de caixa.• Perpetuidades e anuidades. • Sistemas de amortização. • Valor presente líquido e taxa interna de retorno. • Estrutura temporal da taxa de juros.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
• A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.
Razão e proporção
• Para entender as proporções, começaremos com razões.
• Uma razão é uma divisão de duas grandezas, que nos mostra quantas vezes uma é maior ou menor que a outra. São intimamente ligadas aos números Racionais, do conjunto
São exemplos de razão:
CONCEITOS BÁSICOS
• PROPORÇÃOQuatro números racionaisA, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção
quando
:
DC
BA
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
• Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.
GRANDEZAS INVERSAMENTES PROPORCIONAIS
• Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção.
Exemplo: Com o aumento da velocidade gastamos menos tempo para fazer o mesmo percurso, etc
REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA
• Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.
Exemplo:Com o consumo de água em 10 dias é de 500m³, qual será a quantidade de água consumida em 50 dias?
10 500
50 X
3250010000.25
000.25105005010
mX
X
XX
REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA
Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção.
Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 3480 x
Exemplo : Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
REGRA DE TRÊS COMPOSTA• Regra de três composta é um processo de relacionamento
de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.
Exemplo:– Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5
horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Horas Caminhões
Descarga
8 20 160
5 X 125
25800000.20
125160
5160
12516020
58
XX
X
X
Exercícios 1)Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em
40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos?
2) a empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias?
3) Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.
4) Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura ?
5) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha.Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria dea) 920 kg. b) 800 kg. c) 720 kg. d) 600 kg. e) 570 g.
PORCENTAGEM• Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100,
é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 210,00. Para que se tenha um lucro de 20% na venda dessa mercadoria, por quanto devo vendê-la? 20% = 20/100 = 0,2 20% de 210 0,2 x 210 = 42 LOGO : 210 + 42 = 252
Devemos vendê-la por R$ 252,00 para que se tenha um lucro de 20%.
Exercícios 1) s dados publicados na revista Veja de 12/4/2000 mostram que, de cada 100 pessoas com
o ensino médio, apenas 54 conseguem emprego. Se num determinado grupo de 3000 pessoas, 25% têm ensino médio, o número provável de pessoas do grupo, com ensino médio, que, de acordo com os dados da pesquisa, irão conseguir emprego, é A) 375. B) 405. C) 450. D) 750. E) 1620
2) Você compra um carro por R$ 20000 e vende-o com lucro de R$ 4000,00. Qual é a porcentagem de lucro, ou seja, quantos por cento eu lucrei em cima de 20000?
3) Um laboratório realiza exames em que é possível observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os resultados são analisados de acordo com o quadro a seguir.
Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratório e comprovou que estava com Hiperglicemia . Sua taxa de glicose era de 300 mg/dL. Seu médico prescreveu um tratamento em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa 30% e na segunda etapa em 10%. Ao calcular sua taxa de glicose após as duas reduções, o paciente verificou que estava na categoria de
A) hipoglicemia. B) normal. C) pré-diabetes. D) diabetes melito E) diperglimia.
CAPITAL O Capital é o valor aplicado através de
alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado
JUROS Juros representam a remuneração do
Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
JUROS SIMPLES
o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.
J = P . i . nJ = jurosP = principal (capital)i = taxa de jurosn = número de períodos
MONTANTE• Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO: M = P . ( 1 + (i.n) ) M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
JUROS COMPOSTOS
• o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
M = P . (1 + i)n
EX.: Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M =P.(1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula:
JUROS SIMPLESO regime de juros será simples quando o percentual
de juros incidir apenas sobre o valor principal
EX.:Uma pessoa aplicou, a juros simples, 3/5 do seu capital a 7% ao mês e o restante a 66% ao ano. Passados 2 anos e 8 meses, recebeu um total de R$ 12.697,60 de juros. O capital inicial dessa pessoa era de ?
Exercícios 01) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 600,00 pelo prazo de 15
meses, com uma taxa de 3% ao mês?
02) A que taxa o capital de R$ 8000,00 rende R$ 2.400,00 em 6 meses?
03) Em quantos meses um capital de R$ 3.000,00 rendeu de juros R$ 900,00 à taxa de 24% ao ano?
04) Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 10 meses.
05) Um capital de R$ 16.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu de juros R$ 1920,00. Determine ataxa anual.
06) (SEAP1102/001-AgSegPenClasseI-V1 - 2012) – Renato pediu R$ 3.000,00 emprestados para pagar depois de 5 meses, à taxa de 3% ao mês, no regime de juro simples. Ao fim desse período, Renato deverá pagar, de juro,
(A) R$ 45,00. (B) R$ 90,00. (C) R$ 180,00. (D) R$ 450,00. (E) R$ 900,00.•
DESCONTOS SIMPLESQuando um titulo de credito (duplicata, nota promissória, letra de cambio) é resgatada antes do seu vencimento, ela sofre um abatimento, que é denominado desconto.
DESCONTO COMERCIAL OU POR FORA
O desconto comercial equivale aos juros simples, onde o capital corresponde ao valor nominal do título.
DESCONTO RACIONAL OU POR DENTROO desconto racional equivale ao juro simples calculado sobre o valor atual do titulo
JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos é o mais comum
no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
A fórmula de juros compostos pode ser escrita da seguinte maneira: , ondeVf - Valor Futuro VVp - Valor Presentei - Taxa de jurosn - Número de períodos
Exercícios1)Uma aplicação de $ 22000,00 efetuada
em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $ 26596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação.
2) Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mes?
Exercícios3)Qual o valor de resgate de uma aplicação
de $ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?
4) Determinar a taxa mensal composta de juros da aplicação de 40.000,00 que produz um montante de $ 43.894,63 ao final de um quadrimestre.
5) Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês.
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.
Taxa de equivalência para Juros Compostos é:
(1 + i1)n2 = (1 + i2)n1
Exemplos1 - Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre?Solução:Teremos: 1 + ia = (1 + is)2
Como 5% = 0.05, vem: 1 + ia = 1,052 \ ia = 0,1025 = 10,25%
2 - Qual a taxa mensal equivalente a 20% ao ano?Solução:Teremos: 1 + ia = (1 + im)12
Como 20% = 20/100 = 0,20, vem:1 + 0,20 = (1 + im)12
1,20 = (1 + im)12
Dividindo ambos os expoentes por 12, fica:1,201/12 = 1 + imUsando uma calculadora científica – a do Windows também serve – obteremos o valor deim = 0,0153 = 1,53% a.m.
TAXAS NOMINAIS• A taxa nominal é quando o período de
formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.
EX.:Taxa nominal é aquela dada , anunciada, geralmente expressa, 10% ao ano com capitalização mensal ou capitalizada mensalmente. Se esse capital é capitalizado mensalmente, ele será remunerado os 30 dias do mês. Portanto, se tivermos uma taxa de 10% ao ano com capitalização mensal, para determinar a efetiva deve se observar primeiramente a capitalização. Observa que temos dois tempos expressos na taxa, ANO e MÊS ( 10% ao ano com capitalização mensal). A taxa efetiva ao mês basta dividir (10% ao ano / 12 meses = 0,83333...% ao mês) , pois o ano tem 12 meses. Se for uma taxa de 12% ao semestre com capitalização mensal ( Semestre e Mês ; 1 semestre=6 meses) , a efetiva mensal será de (12% / 6
meses = 2% ao mês) .
TAXAS EFETIVAS
• A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.
Taxa Efetiva A taxa efetiva é aquela que o período de formação e incorporação dos juros ao capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos: a) Uma taxa de 5% ao mês com capitalização mensal. b) Uma taxa de 75% ao ano com capitalização anual. c) Uma taxa de 11% ao trimestre com capitalização trimestral.
If = ( 1 + i/q ) - 1