MATEMÁTICA FINANCEIRA - FCC/AJGP · Web viewSe resolvesse liquidar a dívida com um único...

MATEMÁTICA FINANCEIRA

ENALDO VERGASTA, GLORIA MÁRCIA, JODÁLIA ARLEGO

SUMÁRIO

1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS ........................................................................... 03

2. CAPITALIZAÇÃO ................................................................................................... 05

2.1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ................ 05

2.2 UTILIZAÇÃO DA HP 12C NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA.................... 07

2.3 UTILIZAÇÃO DO EXCEL NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA.................... 07

2.4 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS.................................................................... 11

3. SÉRIES DE CAPITAIS............................................................................................ 13

3.1 SÉRIES UNIFORMES FINITAS POSTECIPADAS....................................... 13

3.2 UTILIZAÇÃO DA HP 12C PARA SÉRIES UNIFORMES................................ 14

3.3 UTILIZAÇÃO DO EXCEL PARA SÉRIES UNIFORMES................................ 15

4. MÉTODOS DE ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS ................... 20

4.1 CÁLCULO DO VPL E DA TIR NA HP 12C...................................................... 20

4.2 CÁLCULO DO VPL E DA TIR NO EXCEL...................................................... 21

5. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ............................................................................ 26

5.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE................................................. 26

5.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE)....................................... 28

5.3 UTILIZAÇÃO DA HP 12C NO SAF.................................................................. 29

5.4 SAF com correção ......................................................................................... 31

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 32

1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego 2

1.1. CAPITALCapital é o valor monetário atribuído a um bem numa data específica. Envolve, portanto, uma

unidade monetária e uma data.

- O capital inicialmente empregado numa operação será denotado por PV (Valor Presente

ou Principal).

- O juro é a remuneração do capital emprestado, num certo período de tempo e será

denotado por J.

- O montante é a soma do capital com os juros, relativos a um determinado período de

tempo e será denotado por FV (Valor Futuro), ou seja,

1.2. TAXA DE JUROSTaxa de juros é a razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período

de tempo, e o capital inicialmente emprestado. É composta por um valor numérico, dado pelo

quociente dos capitais, e o período de tempo considerado, que chamaremos de referência

temporal da taxa (dia, mês, ano,etc). Expressa dessa maneira, diremos que a taxa está na

forma unitária. Podemos também expressá-la na forma percentual; para tanto, basta multiplicar

o quociente por 100 e acrescentar o símbolo %.

A taxa de juros será denotada por i.

A taxa de juros do tempo total da operação é dada por:

Na resolução de problemas com o uso das fórmulas, a taxa deve estar na forma unitária.

Quando utilizamos a máquina financeira HP 12C, a taxa deve ser inserida na forma percentual.

No Excel são aceitas as duas formas.

Taxa bruta: é obtida considerando os valores presente e futuro do capital, sem levar em conta o

desconto do imposto devido.

Taxa líquida: é obtida considerando os valores presente e futuro do capital, levando em conta o

desconto do imposto devido.

1.3.PRAZOO tempo de duração de uma operação financeira é chamado de prazo. Na resolução dos

problemas, a taxa de juros e o prazo deverão ser expressos na mesma unidade de tempo.

O número que representa o prazo de uma operação financeira em termos da referência

temporal da taxa será denotado por n e, por abuso de linguagem, será chamado também de

prazo.

Utilizaremos as seguintes convenções para a contagem do tempo:


Calendário comercial ou ordinário: considera o ano com 360 dias; desse modo qualquer mês

terá 30 dias.

Calendário exato, civil ou oficial: considera o número de dias corridos. Neste caso o ano terá

365 dias (ou 366 dias no caso de ano bissexto) e cada mês o seu número exato de dias. É

comum no Brasil a prática de operações com prazos considerados em dias úteis. No processo

de contagem de dias úteis existentes entre duas datas é utilizado o calendário exato, excluindo

sábados, domingos e feriados nacionais.

1.4.FLUXO DE CAIXA

Denomina-se Fluxo de Caixa a representação do conjunto de entrada e saídas de capital ao

longo do tempo. A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidade e

custos de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de projetos e

investimentos. Tal representação será feita por meio de uma escala horizontal representando o

tempo, com início no zero (inicio da operação), e setas localizadas na escala do tempo,

apontando para cima ou para baixo, conforme representem entradas ou saídas de capital,

respectivamente. O valor do capital será inserido na extremidade de cada seta. Veja exemplo a

seguir: 1.000,00 1.200,00

1 2 3 5 (mês) 0 4

260,00 560,00

Exercícios

1) Uma pessoa investiu num fundo $8.000,00 e resgatou 60 dias depois a quantia de $8.400,00.

Represente num fluxo de caixa esta operação do ponto de vista do investidor.

2) Represente num fluxo de caixa uma compra a prazo de um eletrodoméstico cujo valor a vista é

$1.000,00 e será adquirido com uma entrada de $500,00 mais uma prestação ao final de 30

dias no valor de $600,00.


2. CAPITALIZAÇÃO

2.1. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES e CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

O regime de capitalização determina o modo pelo qual obtemos os juros referentes à aplicação de

um capital, durante um determinado prazo, fixada uma taxa de juros. No regime de Capitalização

Simples o juro tem o mesmo valor em todos os períodos da taxa de juros, pois é calculado pela

aplicação da taxa sobre o capital inicial. No regime de Capitalização Composta o juro de cada

período deve ser somado ao capital para o cálculo do juro do período seguinte. Neste caso, o juro

de cada período é calculado sobre o montante do período anterior e não apenas sobre o capital

inicial, como ocorre na capitalização simples.

Veremos agora um exemplo que será resolvido utilizando os dois regimes para que possamos

compará-los.

Exemplo1) Um investidor aplica um capital de $1.000,00 por um prazo de 4 meses, a uma taxa mensal de

10%. Determinar o valor do montante ao fim de cada período, utilizando a capitalização

simples e a capitalização composta.

n Montante Capitalização Simples Montante Capitalização Composta

1 1000 + 1000 x 0,1 = 1100,00 1000 + 1000 x 0,1 = 1100,00

2 1100 + 1000 x 0,1 = 1200,00 1100 + 1100 x 0,1 = 1210,00

3 1200 + 1000 x 0,1 = 1300,00 1210 + 1210 x 0,1 = 1331,00

4 1300 + 1000 x 0,1 = 1400,00 1331 + 1331 x 0,1 = 1464,10

Consideremos agora o caso geral de um capital PV aplicado durante n períodos a uma taxa de

juros i, resultando num montante FV, conforme o fluxo de caixa abaixo:

PV

n

0

FV

Na capitalização simples o juro de um período da taxa é dado por PV x i. Logo, para n

períodos, o juro é igual a

Como , obtemos


(I) Na capitalização composta temos:

Assim chegamos à fórmula

(II)

O fator é chamado fator de acumulação de capital, para pagamento único, na capitalização

composta.

Observando as fórmulas (I) e (II) esboçamos os gráficos dos valores futuros nas capitalizações

simples e composta, num mesmo sistema de coordenadas. O período "1" é a unidade de

referência da taxa de juros dada. capitalização composta

FV

capitalização simples

PV(1+i)

PV

0 1 n

Dos gráficos concluímos que:

- nos períodos n = 0 e n = 1, o montante é o mesmo nos dois regimes.

- quando o período variar entre 0 e 1, o montante na capitalização simples é maior do que na

composta. É por esse motivo que geralmente a capitalização simples só é utilizada para

operações de curto prazo.

- quando o período for maior do que 1, o montante na capitalização simples é menor do que na

composta.

Com base nessa comparação, quando o prazo da operação, escrito na referência temporal da

taxa, é um número não inteiro maior que 1 (um), podemos considerar a capitalização mista

(convenção linear) para calcular o montante:

Convenção Linear (Capitalização Mista): observando que o valor de n deve estar na mesma

referência temporal da taxa de juros, a convenção linear adota juros compostos nos períodos


correspondentes à parte inteira do valor de n e juros simples no período correspondente à parte

fracionária de n, sobre o montante calculado a juros compostos.

Exemplo1) Um capital no valor de $5.000,00 foi emprestado por 3 meses e 15 dias à taxa de juros de 8%

ao mês. Calcular o valor pago considerando a capitalização composta e a capitalização mista.

Resp.: $6.545,66; $6.550,50

2.2. UTILIZAÇÃO DA HP 12C NO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

A HP 12C resolve problemas em qualquer uma das convenções acima. Para isso, quando o

período n é um número fracionário, é indispensável verificar se no visor está aparecendo ou não a

letra C. A letra C pode ser colocada ou retirada do visor pressionando-se as teclas STO EEX .

Se a letra C estiver aparecendo no visor, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a

convenção exponencial. Caso contrário, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a

convenção linear.

Convém lembrar que para o uso da HP 12C, no regime de juros compostos, a unidade de

referência do período deve ser a mesma da taxa de juros.

No caso do cálculo de FV, deverão ser seguidos os seguintes passos:

1. pressione as teclas f FIN para zerar os registradores financeiros.

2. insira os valores de n, i e PV (em qualquer ordem).

3. pressione a tecla FV.

Obs.: para o cálculo de qualquer um dos outros parâmetros financeiros, devemos proceder de

modo análogo ao descrito acima; se em uma operação for necessário inserir os valores de PV e

FV, então estes devem estar com sinais contrários, conforme o fluxo de caixa.

2.3. UTILIZAÇÃO DO EXCEL NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Apresentamos abaixo as funções financeiras do Excel para operações apenas com a capitalização

composta.

Função Descrição

NPER Para o cálculo do número de períodos.

TAXA Para o cálculo da taxa de juros por período.

VF Para o cálculo do valor futuro.

VP Para o cálculo do valor atual.


Para utilizar uma função financeira do Excel devemos clicar na célula onde se deseja inserir a

função e, na barra de ferramentas, clicar no ícone (Colar Função) para escolher função a ser

inserida na célula ou na barra de fórmulas.

Caso o ícone não esteja na barra de ferramentas devemos, pelo menu Inserir Função, selecionar a

categoria da função financeira e a opção desejada.

Exercícios

1. Qual o montante de um empréstimo no valor de $10.000,00, à taxa de juros compostos de 3%

ao mês, pelo prazo de 10 meses?

Na HP 12C:

3 i

10 n

10000 PV

FV

No Excel: utilizando a função financeira VF.VF

Taxa3% = 0,03

Nper 10 = 10Pgto = númeroVp 10000 = 10000Tipo = número

= -13439,16379

2. Um loja financia a venda de uma mercadoria no valor de $2.600,00 da seguinte forma: uma

entrada de $1.000,00, mais uma prestação de $1.654,40, ao final de 30 dias. Qual a taxa

mensal exponencial cobrada pela loja?

Na HP 12C:

8 n

1600 CHS PV

2275,36 FV

i


No Excel: utilizando a função financeira TAXA.TAXA

Nper 1 = 1Pgto = númeroVp -1600 = -1600Vf 1654,40 = 1654,40Tipo = número

= 0,034

3. Em que prazo um empréstimo de $30.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de

$51.310,18, sabendo-se que a taxa de juros compostos contratada é de 5% ao mês?

Na HP 12C:

30000 CHS PV

51310,18 FV

5 i

n

No Excel: utilizando a função financeira NPER.NPER

Taxa 5% = 0,05Pgto = númeroVp -30000 = -30000Vf 51310,18 = 51310,18Tipo = número

= 10,9999997

Obs.: a HP 12C sempre aproxima o valor de n para o número inteiro seguinte ao valor fracionário

encontrado.

4. Determinar o número de meses necessários para fazer um capital triplicar de valor a uma taxa

de juros de 8% ao ano, no regime de juros compostos. Resp.: 14,27anos 172 meses

Na HP 12C:

1 CHS PV

3 FV

8 i

n


No Excel: utilizando a função financeira Nper.NPER

Taxa 8% = 0,08Pgto = númeroVp -1 = -1Vf 3 = 3Tipo = número

= 14,274914

B2 =NPER(8%;;-1;3)*12

A B

1

2 171,30

3

5. Uma pessoa tomou um empréstimo em 18 de fevereiro de 2002, a uma taxa diária de juros

compostos de 0.5%. Sabendo que liquidou sua dívida em 10 de maio de mesmo ano, pagando

uma quantia de $2.860,03, qual o valor do juro pago?

Na HP 12C:f 6

g D.MY

18 022002 ENTER

10 052002

g DYS n

0,5 i

2860,03 FV

PV

RCL FV +

No Excel: utilizando a função financeira VP. VP

Taxa 0,5% = 0,005Nper A2-A1 = 81Pgto = númeroVf 2860,03 = 2860,03Tipo = número

= -1909,499664

B2 =VP(0,5%;A2-A1;;2860,03)+2860,03

A B

1 18/02/2002

2 10/05/2002 R$950,53

3

6. Uma pessoa aplicou $10.000,00 a juros compostos de 15% ao ano, pelo prazo de 3 anos e 8

meses. Determinar o montante da aplicação ao final do prazo, admitindo-se:

a) a convenção linear; Resp.: $16.729,62

b) a convenção exponencial. Resp.: $16.693,94

Na HP 12C:15 i

8 ENTER 12 3 + n

10000 PV FV


STO EEX FV FV

2.4. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Dois capitais são equivalentes a uma taxa de juros quando levados a uma mesma data, a essa

taxa, resultarem valores iguais. A data de comparação dos capitais é chamada Data Focal.

Dois fluxos de caixa (conjuntos de capitais) são equivalentes a uma determinada taxa de juros se

seus valores presentes (soma de suas parcelas levadas à data focal zero a essa taxa) forem

iguais.

No regime de capitalização simples a equivalência de capitais depende da data focal escolhida, e

por esse motivo não é utilizada na prática.

No regime de capitalização composta a data focal pode ser qualquer uma, pois se dois ou mais

capitais são equivalentes em uma data, eles o serão em qualquer outra.

Exercícios

1. Dados dois títulos de valores nominais $15.208,18 e $17.107,13, vencíveis de hoje a 5 e 8

meses respectivamente, e considerando a taxa exponencial de 4% ao mês, verifique se são

equivalentes. Resp. Sim.

Na HP 12C:

15208,18 CHS PV

4 i

3 n

FV

2. Uma pessoa deve duas prestações de $2.000,00, a vencer daqui a 1 e 2 meses. Se resolvesse

liquidar a dívida com um único pagamento para 90 dias, qual seria o valor desse pagamento,

considerando uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês? Resp.: $4.151,25

Na HP 12C:

2000 CHS PV

2,5 i

2 n

FV STO 1

2000 CHS PV

2,5 i

1 n

FV RCL 1 +


f FIN

3. Uma dívida deve ser paga da seguinte forma: uma parcela no valor de $1.000,00 e outra de

$1.500,00 ao final de 2 e 6 meses respectivamente. Considerando uma taxa de juros

compostos mensal de 1,5%, calcular o valor do pagamento único em 4 meses que liquida essa

dívida. Resp.: $2.486,22

Na HP 12C:

1000 CHS PV

1,5 i

2 n

FV STO 1

f FIN

1500 CHS FV

1,5 i

2 n

PV RCL 1 +

4. Na compra de um eletrodoméstico cujo valor à vista é de $140,00, o comprador deve pagar

uma entrada mais uma prestação de $90,00 com 30 dias. Qual deverá ser o valor da entrada

se a loja cobra juros compostos de 2,8% ao mês? Resp.: $52,45

Na HP 12C:

90 CHS FV

2,8 i

1 n

PV 140


3.SÉRIES DE CAPITAIS

Nas operações financeiras o capital pode ser pago (ou recebido) de uma só vez ou através de uma

sucessão de pagamentos (ou recebimentos) que denominamos Série de Capitais.

Abordaremos as séries finitas cujos termos (pagamentos ou recebimentos) são iguais e

consecutivos (série uniforme) sob o regime de capitalização composta. Denotaremos os termos

(prestações) por PMT.

Trataremos de dois tipos de Séries Uniformes Finitas: Postecipadas (quando o intervalo de tempo

entre o início da operação e a data do primeiro termo é igual ao período da série) e Antecipadas

(quando o primeiro termo ocorre na data zero, ou seja, no início da operação).

3.1. SÉRIES UNIFORMES FINITAS POSTECIPADAS

Cosideremos uma série uniforme postecipada com n termos, representada no fluxo de

caixa abaixo:

PV FV

0 1 2 3 . . . n-1 n

PMT PMT PMT PMT PMT

O valor presente PV dessa série, calculado um período antes do primeiro termo, a uma taxa

de juros compostos i, é dado por:


O valor futuro FV dessa série, calculado na data do último termo, à mesma taxa de juros

compostos , é dado por:

3.2. UTILIZAÇÃO DA HP 12C PARA SÉRIES UNIFORMES

A utilização da HP 12C para série de capitais segue os mesmos passos da utilização da HP 12C

no regime de capitalização composta, além da tecla PMT para o calculo do valor da prestação.

Devemos também observar que:

ativando a função azul END (g END), o valor presente PV da série está localizado um período antes do primeiro termo e o valor futuro FV na data do último termo, como

mostra o fluxo de caixa abaixo:

PV FV

0 1 2 3 . . . n-1 n

PMT PMT PMT PMT PMT

ativando a função azul BEG (g BEG), o valor presente PV da série está localizado na data do primeiro termo e o valor futuro FV um período após o último termo, como

mostra o fluxo de caixa abaixo:

PV FV

0 1 2 3 . . . n-1 n

PMT PMT PMT PMT PMT


3.3. UTILIZAÇÃO DO EXCEL PARA SÉRIES UNIFORMES

Utilizaremos as mesmas funções financeiras do Excel que são utilizadas na capitalização

composta, além da função financeira PGTO, para o cálculo do valor da prestação.

Com qualquer das funções financeiras apresentadas devemos escolher o Tipo:

“0” (ou não especificado) para o valor presente PV da série um período antes do primeiro termo e o valor futuro FV na data do último termo;

“1” para o valor presente PV da série na data do primeiro termo e o valor futuro FV um período após o último termo.

QUADRO RESUMO

Quando trabalhamos na HP 12C no modo g END ou no Excel com o tipo “0”, o valor presente está

um período antes da primeira prestação e o valor futuro na data da última prestação. Por outro

lado, no modo g BEG na HP 12C ou com o tipo “1” no Excel, o valor presente está na data da

primeira prestação e o valor futuro um período depois da última prestação.

PV FV

0 1 2 3 . . . n-1 n

PMT PMT PMT PMT PMT

PV calculado um período antes da primeira prestaçãoFV na data da última prestação.

PV FV

0 1 2 3 . . . n-1 n

PMT PMT PMT PMT PMTPV calculado na data da primeira prestaçãoFV um período após a última prestação.

Exercícios1. Dado o fluxo de caixa abaixo e supondo uma taxa de juros exponencial mensal de 4%,

considerando cada situação indicada, calcule o que se pede:

a) Considerando que o fluxo refere-se ao pagamento a prazo de um bem que foi comprado

em fevereiro, calcular o seu valor a vista.

b) Considerando que o fluxo refere-se ao pagamento a prazo de um bem que foi comprado

em março, calcular o seu valor a vista.

c) Considerando que o fluxo refere-se a uma aplicação, calcular o valor de resgate em julho.

d) d) Considerando que o fluxo refere-se a uma aplicação, calcular o valor de resgate em

agosto.

Resp.: a) $445,18; b) $462,99; c) $541,63; d) $563,30.


Mar Abr Mai Jun Jul

100 100 100 100 100

Na HP 12C:g END

100 CHS PMT

4 i

5 n PV

g BEG PV

f FIN

g END

100 CHS PMT

4 i

5 n FV

G BEG FV

No Excel: utilizando as funções financeiras VP e VF. VP

Taxa 4% = 0,04Nper 5 = 5Pgto 100 = 100Vf = númeroTipo = número

= -445,1822

VP

Taxa 4% = 0,04Nper 5 = 5Pgto 100 = 100Vf = númeroTipo 1 = número

= -462,9895

VF

Taxa 4% = 0,04Nper 5 = 5Pgto 100 = 100Vp = númeroTipo = número

= -541,6322

VF

Taxa 4% = 0,04Nper 5 = 5Pgto 100 = 100Vp = númeroTipo 1 = número

= -563,2575

2. Um bem cujo preço a vista é de $2.000,00 será pago em 6 prestações mensais e iguais ao

final de cada mês. Considerando que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês, calcular o

valor das prestações.

Na HP 12C:g END

2000 CHS PV

3 i

6 n

PMT

No Excel: utilizando a função financeira PGTO.PGTO


Taxa 3% = 0,03Nper 6 = 6Vp -2000 = -2000Vf = númeroTipo = número

= 369,1950009

Observação:Às vezes a referência temporal da taxa de juros é maior do que o período de capitalização dos

juros. Nesse caso a taxa é chamada Taxa Nominal. A taxa que deve ser utilizada nos cálculos é a

taxa proporcional à taxa nominal, na mesma unidade de tempo do período da capitalização, e é

chamada Taxa Efetiva.

3. Quanto se deve aplicar hoje em um investimento para retirar $1.000,00 no final de cada mês,

durante os próximos 10 meses, se a taxa de juros nominal é de 36% ao ano.

Na HP 12C:g END

10 n

3 i

1000 PMT

PV

No Excel: utilizando a função financeira VP. VP

Taxa 3% = 0,03Nper 10 = 10Pgto 1000 = 1000Vf = númeroTipo = número

= -8530,202837

4. Quanto uma pessoa acumularia ao final de 1 ano se depositasse todo início de mês $150,00

em uma aplicação que paga juros efetivos de 2% ao mês?

Na HP 12C:g BEG

12 n

2 i

150 CHS PMT

FV

No Excel: utilizando a função financeira VF.VF


Taxa 2% = 0,02Nper 12 = 12Pgto -150 = -150Vp = número Tipo 1 = 1

= 2052,049728

5. Determine o tempo necessário para liquidar um financiamento de $1.004,35 com prestações

mensais, iguais e postecipadas de $210,00, considerando uma taxa nominal de juros

compostos de 18% ao ano, capitalizados mensalmente.

Na HP 12C:g END

1004,35 PV

1,5 i

210 CHS PMT

n

No Excel: utilizando a função financeira NPER.NPER

Taxa 1,5% = 0,015Pgto -210 = -210Vp 1004,35 = 1004,35Vf = númeroTipo = número

= 4,999971862

6. Uma pessoa recebeu $7.000,00 pelo seu carro usado na compra de um novo, cujo valor a vista

é de $16.200,00. O saldo será pago em 18 prestações mensais postecipadas. Considerando

uma taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, determinar o valor das prestações.

Na HP 12C:g END

9200 PV

2,5 i

18 n

PMT

No Excel: utilizando a função financeira PGTO.PGTO

Taxa 2,5% = 0,025Nper 18 = 18Vp 9200 = 9200Vf = númeroTipo 0 = 0

= -640,964741


7. Calcular a taxa de juros mensal efetiva à qual foi tomado um empréstimo no valor de

$250.000,00, que será liquidado em 24 prestações mensais de $11.300,00, considerando 2

situações:

a) prestações postecipadas Resp.: 0,66% ao mês

b) prestações antecipadas Resp.: 0,72% ao mês

Na HP 12C:

g END

24 n

250000 PV

11300 CHS PMT

i

g BEG

i

No Excel: utilizando a função financeira TAXA para o item a.TAXA

Nper 24 = 24Pgto -11300 = -11300Vp 250000 = 250000Vf = número Tipo = número

= 0,006616792

8. Para compra a prazo numa loja, o cliente tem a opção de pagar em 8 prestações mensais, com

vencimento da primeira 3 meses após a compra. Nesse caso, cobra uma taxa mensal

exponencial de 6,9%. Se um cliente faz uma compra no valor de $950,00, calcule o valor das

prestações.

Na HP 12C:g END

950 CHS PV

2 n

6,9 i FV

f FIN PV

6,9 i

8 n

PMT

No Excel: utilizando a função financeira PGTO.


PGTO

Taxa 6,9% = 0,069Nper 8 = 8Vp -950*(1,069^2) = -1.085,62295Vf = númeroTipo = número

= 181,102921

4. MÉTODOS DE ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS

Os critérios de avaliação de investimentos de capital que estudaremos a seguir levam em

consideração fatores econômicos e o objetivo é a escolha das alternativas de maior rentabilidade,

embora a meta do investidor possa não ser somente esta. Às vezes as propostas de investimentos

mais rentáveis não podem ser realizadas por causa da limitação de recursos, ou porque

apresentam um risco muito grande.

Os métodos abaixo tem como base o princípio da equivalência de capitais já visto; isto supõe o uso

de uma taxa de juros. Qual seria essa taxa? Ao se considerar uma nova proposta de investimento,

para ser atrativa, esta precisa render, no mínimo, a taxa de juros equivalente à rentabilidade das

aplicações correntes e de pouco risco. Esta é, portanto, a taxa mínima de atratividade do mercado

e deverá ser usada para comparação com novas propostas de investimento. Como cada pessoa

ou empresa tem possibilidades de investimento diferentes, haverá taxa mínima de atratividade para

cada um.

Estudaremos os seguintes métodos de análise de fluxos de caixa:

Método do Valor Presente Líquido (VPL);

Método da Taxa Interna de Retorno (TIR).

O Valor Presente Líquido de um fluxo de caixa é igual ao valor presente de suas parcelas futuras,

descontadas à taxa de atratividade do mercado, somada algebricamente com a grandeza colocada

na data focal zero. O objetivo do método VPL é encontrar projetos ou alternativas de investimentos

que valham mais do que custam.

A Taxa Interna de Retorno de um fluxo de caixa é a taxa de juros que anula o VPL, isto é, a taxa

que torna equivalente o investimento inicial às parcelas futuras. A regra decisória a ser seguida

neste método é empreender o projeto de investimento de capital se a TIR exceder a taxa mínima

de atratividade do mercado.

4.1. CÁLCULO DO VPL E DA TIR NA HP 12C

A HP 12C dispõe das seguintes funções especiais para tratar fluxos de caixa variáveis:

As funções azuis CF0 , CFj e Nj :

CF0 - serve para registrar o valor do termo do fluxo de caixa do tempo zero (investimento

inicial). Esse valor é armazenado na memória fixa zero da HP 12C.


CFj - serve para registrar os valores dos outros termos do fluxo de caixa, colocados nos

diversos pontos j, em ordem seqüencial. Esses valores são armazenados nas memórias

fixas de 1 a 9 e 0 a .9, num total de 19 parcelas individuais. Se houver um vigésimo termo,

este será armazenado no registrador FV.

Nj - serve para registrar o número de termos CFj iguais e consecutivos.

É indispensável o registro de todos os termos do fluxo de caixa, inclusive os que tiverem

valor igual a zero.

As funções amarelas NPV e IRR são utilizadas para o cálculo do valor presente líquido e

da taxa interna de retorno, respectivamente.

Para o cálculo do valor presente líquido deverão ser seguidos os seguintes passos:

1. pressione as teclas f FIN;

2. introduza o termo do fluxo de caixa do tempo zero (pressionando a tecla CHS se o

termo for negativo) e em seguida pressione as teclas g CF0 ; se não houver investimento

inicial, introduza o valor zero;

3. introduza o próximo termo do fluxo de caixa (pressionando a tecla CHS se o termo for

negativo) e em seguida pressione as teclas g CF j; se não houver termo, introduza o valor

zero;

4. se existirem termos iguais e consecutivos, pressione o número de vezes que este termo se

repete seguido das teclas g Nj;

5. repita o passo 3 (e o 4, se necessário) para cada um dos termos, até que todos sejam

introduzidos;

6. introduza a taxa de juros e pressione a tecla i;

7. pressione as teclas f NPV.

Para o cálculo da taxa interna de retorno introduza os termos do fluxo de caixa usando os passos

acima (1 ao 6) e em seguida pressione as teclas f IRR.

4.2. CÁLCULO DO VPL E DA TIR NO EXCEL

No Excel calculamos o valor presente líquido e a taxa interna de retorno através das funções

financeiras VPL e TIR. Neste caso, os valores do fluxo de caixa deverão ser inseridos nessas

funções, informando-se o intervalo de células em que se situam (digitamos o número da primeira e

da última célula separados por :). A função financeira VPL calcula o valor presente líquido de um

fluxo de caixa considerando apenas os valores a partir da data 1, inseridos conforme o sinal do

fluxo de caixa; o resultado deverá ser somado algebricamente com o valor da data zero.


Exercícios1. Um bem é vendido a vista por $31.800,00 ou a prazo por $9.000,00 de entrada, mais três

prestações mensais e iguais de $8.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a

entrada. Qual a melhor alternativa para um comprador que pode aplicar seu dinheiro a taxa de

3% ao mês? Resp. VPL = 171,11 > 0 e TIR = 2,61% ao mês, logo é melhor comprar a prazo.

Na HP 12C:22800 g CF0

8000 CHS g CFj

3 g Nj

3 i f NPV

f IRR

2. Uma empresa estuda a possibilidade de reformar uma máquina. A reforma está orçada em

$260.000,00 e dará uma sobrevida de 5 anos ao equipamento, proporcionando uma

diminuição nos custos operacionais da ordem de $75.000,00 ao ano. Considerando um custo

de capital de 15% ao ano, analisar a viabilidade econômica da reforma do equipamento. Resp.

VPL = -8.588,37 > 0 e TIR = 13,60% ao ano, logo não é viável a reforma.

Na HP 12C:260000 CHS g CF0

75000 g CFj

5 g Nj

15 i f NPV

f IRR

3. Um investimento de $5.000,00 gerou o fluxo de caixa abaixo. Determinar a TIR e o VPL considerando uma taxa de atratividade de mercado de 10% ao ano. 1200 1500 1500 2000

(ano) 0 1 2 3 4 5

5000

Na HP 12C:5000 CHS g CF0

1200 g CFj

1500 g CFj

2 g Nj

0 g CFj


2000 g CFj

f IRR

10 i f NPV

No Excel: utilizando as funções financeiras VPL e TIR.VPL

Taxa 10% = 0,1Valor 1 1200 = 1200Valor 2 1500 = 1500Valor 3 1500 = 1500Valor 4 0 = 0Valor 5 2000 = 2000

= 4699,39336

A1 =VPL(10%;1200;1500;1500;0;2000)-5000

A B

1 -300,61

2

3

TIR

Valores B2:B7 = {-5000;1200;1Estimativa = número

= 0,076117

B8 =TIR(B2:B7)

A B C

1 n Valor2 0 -5.000,003 1 1.200,004 2 1.500,005 3 1.500,006 4 0,007 5 2.000,008 TIR 7,61%

4. Uma empresa apresenta as seguintes opções para um investimento inicial de $75.000,00:

Opção A: retorno em 10 parcelas mensais iguais postecipadas no valor de $9.000,00;

Opção B: retorno em 18 parcelas mensais iguais postecipadas no valor de $5.500,00.

Supondo um taxa de atratividade de mercado de 3% ao mês, determinar a melhor opção de

investimento. Resp.: opção A (VPLA=1.771,82 e VPLB= 644,32)

Na HP 12C:

VPLA :

75000 CHS g CF0

9000 g CFj

10 g Nj

3 i f NPV

VPLB:

75000 CHS g CF0

5500 g CFj

18 g Nj

3 i f NPV

5. Um bem é vendido a vista por $200.000,00. A prazo são oferecidas as seguintes opções:


Opção 1: uma entrada no valor de $50.000,00 mais 6 prestações mensais no valor de

$8.740,00 seguidas de 6 prestações mensais no valor de $20.100,00.

Opção 2: uma entrada no valor de $60.000,00 mais 10 prestações mensais no valor de

$16.400,00 sendo a primeira 3 meses após a compra.

Se a taxa de juro de mercado for de 2,3% ao mês, qual será a melhor opção para o

comprador? Resp. Opção 1 pois VPL1 = 4.292,79, TIR1 = 1,9% ao mês, VPL2 = 1.419,37 e

TIR2 = 2,16% ao mês.

Na HP 12C:

VPL1 e TIR1:

150000 g CF0

8740 CHS g CFj

6 g Nj

20100 CHS g CFj

6 g Nj

2,3 i f NPV

f IRR

VPL2 e TIR2:

140000 g CF0

0 g CFj

2 g Nj

16400 CHS g CFj

10 g Nj

2,3 i f NPV

f IRR

6. Para a venda de um imóvel são apresentadas duas propostas:

Proposta 1 - entrada de $80.000,00, 12 parcelas mensais de $4.000,00, seguidas de 12

parcelas mensais de $9.000,00.

Proposta 2 - entrada de $80.000,00, 36 prestações mensais de $3.000,00 e 3 parcelas anuais

intermediárias de $20.000,00.

Sabendo-se que a taxa de juros vigente é de 2,5% ao mês, qual é a melhor opção para o

vendedor? Resp. A proposta 1 pois PV1=189.676,05 e PV2=184.819,25.

Na HP 12C:

PV1:

80000 g CF0

4000 g CFj

12 g Nj

9000 g CFj

12 g Nj

2,5 i f NPV

PV1:

80000 g CF0

3000 g CFj

11 g Nj

23000 g CFj

3000 g CFj

11 g Nj

23000 g CFj


3000 g CFj

11 g Nj

23000 g CFj

2,5 i f NPV

No Excel: utilizando a função financeira VPL .A25 = VPL(2,5%;A1:A24)+80000

A B

1 40002 40003 4000

12 400013 900014 900015 9000

24 900025 189.676,05

A37 = VPL(2,5%;A1:A36)+80000

A B

1 30002 30003 3000

11 300012 2300013 300014 3000

23 300024 2300025 300026 3000

353000

36 2300037 184.819,25


5. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

No processo de reembolso de empréstimos de longo e médio prazo são utilizados diversos

sistemas de amortização. Nestes sistemas a dívida é liquidada através de pagamentos periódicos

(prestações), que consistem de amortização (devolução do principal emprestado) e encargos

(juros, taxas, seguros, impostos, etc). Com relação aos encargos, vamos considerar apenas os

juros, já que os demais variam conforme o contrato estabelecido entre as partes.

Denotaremos a k-ésima prestação por PMTk e podemos escrever:

sendo Ak a parcela da amortização e Jk o juro, referentes à k-ésima prestação. O juro Jk é calculado da seguinte forma:

onde SDk-1 é o saldo devedor do período k – 1.

Destacaremos os seguintes sistemas de amortização de empréstimos:

Sistema de Amortização Constante (SAC);

Sistema Francês de Amortização (SAF) - Tabela Price;

5.1. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTENesse sistema a amortização contida em cada prestação é constante e calculada dividindo-se o

valor do principal pelo número de prestações n.

Exemplo:

1. Um financiamento no valor de $90.000,00 será pago pelo SAC em 180 prestações mensais

postecipadas a uma taxa de juros nominal de 18% ao ano.

a) Construir a planilha de amortização do empréstimo.

Enaldo Vergasta, Glória Márcia e Jodália Arlego

kkk J+A=PMT

1kk SDiJ

26

b) Considerando uma carência total, com o pagamento da primeira prestação 3 meses após o

contrato, construir a planilha de amortização do empréstimo.

a) C3 =B$2/180

B3 =B2-C3

D3 =0,015*B2

E3 =C3+D3

A B C D E

1 k SDk Ak Jk PMTk2 0 90.000,00 - - -3 1 89.500,00 500,00 1.350,00 1.850,004 2 89.000,00 500,00 1.342,50 1.842,505 3 88.500,00 500,00 1.335,00 1.835,006 4 88.000,00 500,00 1.327,50 1.827,507 5 87.500,00 500,00 1.320,00 1.820,00

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.179 177 1.500,00 500,00 30,00 530,00180 178 1.000,00 500,00 22,50 522,50181 179 500,00 500,00 15,00 515,00182 180 0,00 500,00 7,50 507,50

b)D3 =0,015*B2

B3 =B2+D3

C5 =B$4/180

B5 =B4-C5

A B C D E

1 k SDk Ak Jk PMTk2 0 90.000,00 3 1 91.350,00 1.350,00 1.350,004 2 92.720,25 1.370,25 1.370,255 3 92.205,14 515,11 1.390,80 1.905,926 4 91.690,03 515,11 1.383,08 1.898,197 5 91.174,91 515,11 1.375,35 1.890,468 8 89.629,58 515,11 1.352,17 1.867,289

989.114,46 515,11 1.344,44 1.859,56

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


181 179 1.545,34 515,11 30,91 546,02182 180 1.030,22 515,11 23,18 538,29183 181 515,11 515,11 15,45 530,57184 182 0,00 515,11 7,73 522,84

5.2. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS

Nesse sistema, o principal mais os juros são devolvidos em prestações iguais e periódicas,

calculadas segundo uma série uniforme postecipada. Há programas específicos nas calculadoras

financeiras para os cálculos no SAF.

Um caso particular desse sistema é a Tabela Price, em que normalmente a taxa de juros é anual, e

as prestações são mensais (taxa nominal). Nesse caso utiliza-se a taxa mensal proporcional.

Utilizaremos o mesmo exemplo do sistema anterior.

Exemplos:

1. Faremos o mesmo exemplo anterior, ou seja, um capital no valor de $90.000,00, financiado em

180 prestações mensais postecipadas a uma taxa de juros nominal de 18% ao ano.

Apresentamos a seguir a planilha de amortização desse empréstimo pelo SAF.

E3 =PGTO(1,5%;180;-90000)

D3 =0,015*B2

C3 =E3-D3

B3 =B2-C3

A B C D E

1 k SDk Ak Jk PMTk2 0 90.000,00 3 1 89.900,62 99,38 1.350,00 1.449,384 2 89.799,75 100,87 1.348,51 1.449,385 3 89.697,37 102,38 1.347,00 1.449,386 4 89.593,45 103,92 1.345,46 1.449,387 5 89.487,97 105,48 1.343,90 1.449,38

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.179 177 4.220,88 1.365,58 83,80 1.449,38180 178 2.834,82 1.386,07 63,31 1.449,38181 179 1.427,96 1.406,86 42,52 1.449,38182 180 0,00 1.427,96 21,42 1.449,38


2. Um capital no valor de $90.000,00 foi financiado no prazo de 15 anos, com prestações mensais, sendo o pagamento da primeira prestação 3 meses após o contrato, a uma taxa de juros de 18% ao ano, pela Tabela Price. Apresentamos a seguir a planilha de amortização desse empréstimo.

D3 =0,015*B2

B3 =B2+D3

E5 =PGTO(1,5%;178;-B$4)

B5 =B4-C5

A B C D E

1 k SDk Ak Jk PMTk2 0 90.000,00 3 1 91.350,00 1.350,00 4 2 92.720,25 1.370,25 5 3 92.614,54 105,71 1.390,80 1.496,526 4 92.507,24 107,30 1.389,22 1.496,527 5 92.398,33 108,91 1.387,61 1.496,52

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..9999999999999999999

999179 177 4.358,15 1.409,99 86,52 1.496,52180 178 2.927,01 1.431,14 65,37 1.496,52181 179 1.474,40 1.452,61 43,91 1.496,52182 180 0,00 1.474,40 22,12 1.496,52

5.3. UTILIZAÇÃO DA HP 12C NO SAF

A função amarela AMORT permite o desdobramento das prestações do SAF em suas parcelas de

amortização e juros, e obtém o valor do saldo devedor após o pagamento de uma determinada

prestação. Veremos a utilização da tecla AMORT através dos exemplos abaixo.

Exemplos

1. Um capital no valor de $90.000,00 foi financiado em 180 prestações mensais a uma taxa de

juros nominal de 18% ao ano, pelo SAF. Utilizando a HP 12C temos:

Na HP 12C: 90000 CHS PV

180 n

1,5 i PMT (1.449,38)

1 f AMORT (juros do 1o período = 1.350,00)

(amortização do 1o período = 99,38)


RCL PV (saldo devedor após pagamento da 1a prestação = 89.900,62)

1 f AMORT (juros do 2o período = 1.348,51)

(amortização do 2o período =100,87)

RCL PV (saldo devedor após pagamento da 2a prestação = 89.799,75)

. . . 2. Um cliente solicita num banco um CDC de veículo no valor de $20.000,00 para ser pago em 10

prestações mensais. Sabendo que a taxa de juros cobrada é de 3% ao mês, faça o que se

pede:

a) determine o valor da prestação;

b) se na data do pagamento da 6a prestação o cliente desejar liquidar a dívida, qual o valor

que deverá ser pago?

Na HP 12C: 20000 CHS PV

3 i

10 n PMT (Resp. a) 2.344,61)

6 f AMORT (total de juros do 1o semestre = 2.782,81)

RCL PV (Resp. b) saldo devedor após pagamento das 6 prestações = 8.715,15)

Observações:

Ao digitar um número qualquer n e as teclas f AMORT, obteremos os juros acumulados

correspondentes aos n períodos; se, em seguida, digitamos outro número m seguido das

teclas f AMORT teremos os juros acumulados dos m períodos seguintes.

Após obtermos os juros acumulados de n períodos, obteremos a amortização acumulada

desse mesmo período pressionando-se a tecla . Pressionando-se RCL PV obteremos

o saldo devedor.

Exercícios

1. O financiamento de um equipamento no valor de $57.000,00 é feito pela Tabela Price, em 6

meses, a uma taxa de 15% a.a., com a primeira prestação vencendo daqui a 1 mês.

Determinar:

a) o principal amortizado nos 3 primeiros meses;

b) o juro, a amortização e o saldo devedor correspondentes à 4a prestação;

Resp.: a) $27.969,00; b) $362,89; $9.557,04; $19.473,96.


2. Suponhamos um financiamento de $180.000,00 em 100 meses, pelo SAF, à taxa de 1% ao

mês. Encontrar a prestação, juros, amortização e saldo devedor correspondentes ao 71o mês.

Resp.: a) $2.855,83; b) $737,03; c) $2.118,80; d) $71.583,72

5.4. SAF com correção monetáriaExemplo:

1. Um financiamento no valor de $60.000,00 será pago pelo SAF em 180 prestações mensais

postecipadas a uma taxa de juros nominal de 12% ao ano, com correção mensal da prestação e

anual do saldo devedor pela TR de 0,2% ao mês. Construir a planilha de amortização do

empréstimo.B3 =B2*(1,004)

E3 =PGTO(1%;180;-60000)

D3 =$B3*0,01

C3 =$E3-$D3

B4 =$B3-$C3

E27 =PGTO(1%;168;-61586,39)

A B C D E

1 k SDk Ak Jk PMTk2 0 60.000,00 3 1 60.240,00 117,70 602,40 720,104 60.122,30 5 2 60.362,79 116,47 603,63 720,106 60.246,32 7 3 60.487,30 115,23 604,87 720,108 60.372,07 9 4 60.613,56 113,97 606,14 720,1010 60.499,60 11 5 60.741,59 112,68 607,42 720,1012 60.628,91 13 6 60.871,43 111,39 608,71 720,1014 60.760,04 15 7 61.003,08 110,07 610,03 720,1016 60.893,01 17 8 61.136,58 108,74 611,37 720,1018 61.027,85 19 9 61.271,96 107,38 612,72 720,1020 61.164,58 21 10 61.409,23 106,01 614,09 720,1022 61.303,23 23 11 61.548,44 104,62 615,48 720,1024 61.443,82 25 12 61.689,60 103,20 616,90 720,1026 61.586,39


27 13 61.832,74 140,07 618,33 758,3928 61.692,67

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CAMPOS, ADEMAR FILHO, Matemática Financeira, São Paulo: Atlas.

FARIA, ROGÉRIO GOMES, Matemática Comercial e Financeira, São Paulo: Makron Books.

FRANCISCO, Walter de - Matemática Financeira, Ed. Atlas.

HAZZAN, SAMUEL; POMPEO, JOSÉ N., Matemática Financeira, São Paulo: Saraiva.

MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M., Matemática Financeira, São Paulo: Atlas.

SAMANEZ, CARLOS P., Matemática Financeira Aplicações á Análise de Investimentos, São Paulo:

Prentice Hall.

SHINODA, CARLOS, Matemática Financeira para usuários do Excel, São Paulo: Atlas.

VIEIRA, JOSÉ DUTRA S., Matemática Financeira, São Paulo: Atlas.


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