Matemática Financeira-Aula Omar
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” CÂMPUS DE ILHA SOLTEIRA
Departamento de Fitotecnia, Tecnologia de Alimentos e Sócio-
Economia - Curso de Agronomia
UNESP FEIS
Prof. Dr. Omar Jorge Sabbag
Matemática financeira é o ramo da
matemática aplicada que observa o princípio
econômico de que o dinheiro não possui o
mesmo valor no tempo, mesmo em condições
de inflação zero.
Na análise de investimento as decisões de
comprar ou vender e o custo de capital são
tópicos que não podem ser entendidos sem o
conhecimento de juros.
Juro (j) é a remuneração atribuída ao capital,
que nada mais é do que o preço ou custo do
dinheiro ao longo do tempo.
Ex.: empréstimo de R$1.000,00 (C0)
recebimento no final do período R$1.100,00 (C1)
podemos dizer que a diferença (C1 - C0), refere-se
ao juro (J) produzido pelo uso do capital.
J = C1 - Co
J = 1.100,00 – 1.000,00 = 100,00
Taxa de juros (i): constitui-se em um
importante instrumento de política macro-
econômica, tendo-se em vista, o controle dos
índices de preços desta economia.
A determinação da taxa de juros (i), por
unidade de tempo (t=1) é a razão entre os juros
pagos ou recebidos (j), e o capital inicialmente
emprestado ou aplicado (Co), ou seja:
i1 = (J1/Co) x 100
i1 = [(C1 – Co) / Co] x 100
i1 = [(C1/Co) – (Co/Co) x 100]
i1 = [(C1/Co) - 1] x 100
i1 = [(1.100,00 / 1.000,00) – 1] x 100 = 10%
Formas de apresentação da taxa de juros
% transformação unitária unidade de
tempo
15% a.m. 15/100 0,15 a.m. = ao mês
10% a.b. 10/100 0,10 a.b. = ao bimestre
30% a.s. 30/100 0,30 a.s. = ao semestre
40% a.a. 40/100 0,40 a.a. = ao ano
“Regimes de capitalização”
Pode ser definido como o processo
de formação dos juros
simples ou compostos
Juros simples incidem sobre um capital sem que
ocorra a capitalização, ou seja, os juros obtidos não são
incorporados ao capital anterior para efeito de novo
cálculo.
J = Co x (i/100) x n
n = período pelo qual este capital é aplicado Co = capital inicial i = taxa de juros J = juros
JUROS COMPOSTOS é considerado a mais
importante técnica usada em finanças, onde ao final
de cada período de capitalização, os juros são
incorporados ao capital (se capitalizam), passando a
render juros no período seguinte (juros sobre juros) e
assim sucessivamente.
“Fator de capitalização”
(1 + i/100)n
Valor Futuro (VF, CF, M):
É o valor montante que deverá ser recebido quando
se faz uma aplicação por um determinado número
de período a uma determinada taxa de juros.
VF = Co x ( 1 + i )n
São aquelas que, referindo-se a períodos de
tempo diferentes, fazem com que um capital produza
o mesmo montante num mesmo tempo.
“TAXAS EQUIVALENTES”
(1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + itrimestral)
4
“TAXAS EQUIVALENTES - exemplos”
1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?
Em um ano temos dois semestres, então teremos:
1 + ia = (1 + is)2
1 + ia = (1,08)2
ia = 0,1664 = 16,64% a.a.
2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
1 + ia = (1 + im)12
1 + ia = (1,005)12
ia = 0,0617 = 6,17% a.a.
3. A taxa mensal de juros equivalente a 40% ao ano é i, de tal forma que
1 + 0,40 = (1 + i)12 → i = (1,4)1/12 – 1 = 0,0283 = 2,83% a.m.
(1 + i) t/q - 1
Valor Presente (VP, VA, Co):
Para determinarmos quanto vale hoje um valor
qualquer, que será recebido daqui a um determinado
período a uma taxa de juros, basta aplicarmos na
fórmula abaixo:
VF = VP x ( 1 + i )n
VP = VF x Fator de desconto
n)i1(
1
+
Representa o aumento na quantidade de dinheiro,
sem levar em consideração a diferença do poder
aquisitivo deste dinheiro em pontos diferentes no
tempo.
Taxa de juros nominais: (juros reais + correção monetária)
Representa o aumento real de poder aquisitivo
do dinheiro.
TAXA DE JUROS REAL
A utilização de preços reais é absolutamente
necessária em situações em que a inflação é diferente
de zero, tornando-se mais importante na medida em
que a inflação aumenta.
( 1 + iN ) = ( 1 + ir ) x ( 1 + ii) ou
iN = ir + ii + (ir x ii )
iN = taxa nominal
ir = taxa real de juros
ii = inflação (correção monetária)
Um banco, ao realizar um empréstimo, oferece taxas pré-estabelecidas, emprestando R$ 10 000,00 receberá, no prazo máximo de um ano, o valor de R$ 13 000,00. Se a inflação do período foi de 3%. Determine a taxa real de juros do empréstimo? Calculando a taxa nominal de juros 13 000 – 10 000 = 3 000 3 000 / 10 000 = 0,3 → 30% Taxa nominal (in) = 30% Determinando a taxa real de juros utilizando a expressão (1 + in) = (1 + r) * (1 + j). in = 30% = 0,3 j = 3% = 0,03 r = ? (1 + 0,3) = (1 + r) * (1 + 0,03) 1,3 = (1 + r) * (1,03) 1,3 = 1,03 + 1,03r 1,3 – 1,03 = 1,03r 0,27 = 1,03r r = 0,27/1,03 r = 0,2621 r = 26,21%
Uma série uniforme é o recebimento (ou
pagamento) de uma importância fixa ao final de cada
período por um número n de período.
Numa série uniforme, cada pagamento ocorre
ao final do período. O valor dos pagamentos é fixo e é
feito num determinado número de períodos.
Valor presente de uma série uniforme
VP = Prestação . úú
û
ù
êê
ë
é -
+
+
)i1(
)i1(n
n
i
1
Valor futuro de uma série uniforme
VF = P [(1+i)n - 1] . [( 1+i)/i ]
(com entrada apresenta uma
capitalização a mais)
VF = P .
Sem entrada:
Com entrada:
úú
û
ù
êê
ë
é -+
i
1)i1(n
REVENDO A ENGENHARIA ECONÔMICA....
1. O que é VALOR PRESENTE? Qual a fórmula básica para obtê-lo?
2. Dado um determinado número de períodos e uma certa importância a ser
recebida ao final do período n, o valor futuro cresce ou decresce com o aumento
da taxa de juros? Por quê?
3. Quanto vale hoje R$ 12.900,00, que se espera receber daqui a 10 meses, se a
taxa de juros for de 3% a.m?
VP 9.598,81
4. Um bem é vendido por R$ 7.600,00 em até 12 prestações, cobrando-se 4,5% a.m.
Qual o valor das prestações (com entrada)? (sem entrada)?
com ent (797,57); sem ent (833,46)
5. Quanto devo economizar por mês para obter R$ 45.000,00 em 22 meses?
Considere os juros em torno de 14% a.a.
1819,10
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
NOGUEIRA, M.N. Gestão de custos e avaliação de resultados.
Bebedouro: Scot Consultoria, p. 29 – 53. 2004.
BATALHA, M.O. (Coord.). Gestão Agroindustrial. São Paulo:
Atlas, p.223-288. 2001.
PUCCINI, A.L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada.
São Paulo: Saraiva, 432p. 2004.