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1 Profa. Msc. Érica Siqueira
Matemática FinanceiraAula 1
Profaª Msc. Érica Siqueira
Matemática Financeira
Objetivos de aprendizagem:Depois de ler e discutir este tópicovocê será capaz entender
• Fazer contas utilizando a regra de três eporcentagens
• Entender os princípios de Matemática Financeira• Calcular valores futuros e presente em juros simples• Entender operação de desconto de duplicata
3 Profa. Msc. Érica Siqueira
Agenda do Curso
Data Horário Grande Tema Detalhado
02/09/2017
8:30 até 10:15
Juros Simples HP12C
Apresentação da Disciplina
Revisão de Porcentagens
Exercícios
10:30 até 12:30Juros Simples
Desconto de Duplicata
12:45 Até 14:15Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Simples
Exercícios
16/09/2017
8:30 até 10:15
Juros Compostos e TaxasHP12C
Juros Compostos
10:30 até 12:30 Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Compostos
Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente
12:45 Até 14:15 Taxa Acumulada, Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Exercícios
23/09/2017
8:30 até 10:15
Fluxo de Caixa e Investimentos. HP12C e Excel
Pagamentos e Depósitos Constantes
Fluxo de Caixa
10:30 até 12:30Fórmulas Matemática Financeira Excel
Payback Simples e Descontado, VPL, TIR
12:45 Até 14:15Sistema de Amortização: SAC e PRICE
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Observações• Usar HP12C
• Para estudar: • Slides como grandes tópicos
• Livros indicados na bibliografia
• Lista de Exercícios
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Aplicações
• Gestão Financeira
• Planejamento Financeiro
• Investimentos
• Finanças Pessoais
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Revisão: Início
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• Resolução de problemas, usando igualdade de frações, sobre as quais conhece-se 3 valores dos 4 valores possíveis.
• A partir desses 3 valores é possível montar uma equação, de primeiro grau, com uma incógnita.
• Os valores conhecidos podem ser diretamente proporcionais, ou seja, a medida que um valor aumenta, espera-se que o outro também aumente, mantendo a proporção
• Ou, podem ser inversamente proporcionais: a medida que um aumenta o outro diminui.
Regra de Três Simples
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• Se um produto custa R$ 400,00 e teve um desconto de R$ 30,00 representa que percentual de desconto?
Porcentagens com Regra de Três
Reais (R$) Porcentagem
400,00 100%
30,00 X
400
30�
100
�� �
100 ∗ 30
400� � 7,5%
9 Profa. Msc. Érica Siqueira
• (SóMatemática) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Diretamente Proporcional
Área Energia
1,2 400
1,5 X
1,2
1,5�
400
�� �
1,5 ∗ 400
1,2� � 500
10 Profa. Msc. Érica Siqueira
• (Globo) Um atleta, com velocidade constante de 8km/h, leva 50 minutos para percorrer um quarteirão. Se sua velocidade passar a ser de 16km/h, de forma constante, quanto tempo ele levará para percorrer esse mesmo quarteirão?
Inversamente Proporcionais
Velocidade (km/h) Tempo (minutos)
8 50
16 X
8
16�
�
50� �
8 ∗ 50
16� � 25
11 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Enquanto a regra de três simples envolve até 2 grandezas, velocidade e tempo, por exemplo, a regra de três composta envolve 3 ou mais grandezas direta ou indiretamente.
• A forma de resolução é montar uma série de regra de três simples
Regra de Três Composta
12 Profa. Msc. Érica Siqueira
• (Globo) Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em 20 dias.
Exemplo Regra de Três Composta
��
���
��
�=
��
���
�
�
�
6�
12 ∗ 10 ∗ 30
18 ∗ 5 ∗ 20
1800� � 6 ∗ 3600
�
6�
3600
1800
� ���.���
����= 12
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• A porcentagem é uma maneira de expressar um número como parte de um todo.
• Para calculá-la, damos ao todo o valor de 100%.
• Por exemplo, digamos que você tenha 10 reais (=100%).
• Se você gastar 2, então você gastou 2/10 × 100% = 20% dos seus 10 reais, e ficou com apenas 80%
Revisão de Porcentagem
14 Profa. Msc. Érica Siqueira
Taxa Unitária Corresponde à Taxa Percentual
0,05 = 5%
0,5 = 50%
0,8 = 80%
1 = 100%
Taxas Unitárias e Percentuais
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• Dessa forma, 20% = 0,20 ou 30% = 0,3 e 5%=0,05
• Para achar o valor correspondente, basta multiplicar pela porcentagem, sem necessidade de usar a regra de 3
• Por exemplo: 10% de R$ 1.000
• 0,10 * 1000 = R$ 100,00
O percentual de um valor
16 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Por outro lado, para achar o percentual, basta dividir a parte pelo todo, também sem necessidade de usar regra de três.
• Exemplo: Se há um grupo de 1000 pessoas, das quais 485 são universitárias, qual o percentual de universitários?
• Parte = 485
• Todo = 1000
• O primeiro passo é dividir a parte pelo todo
• 485 / 1000 = 0,485
• Depois multiplicar por 100 para achar o valor em percentual
• 0,485 x 100 = 48,5%
• 48,5% das pessoas desse grupo são universitárias
Para calcular o percentual
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• Para somar uma porcentagem ao número original, por exemplo “200 + 40%”, basta utilizar a fórmula 200 x (1 + 0.40) = 280
• Exemplos: acrescentar ao preço original um valor de lucro, comissão ou taxas
Acrescentar um Percentual
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• Ex: Achar valor final após conceder descontos
• Para retirar um porcentagem basta multiplicar pela porcentagem restante, por exemplo:
• Se temos 100 caixas, sendo que 40 delas estão cheias de areia, dizemos que 40% estão cheias, e que as restantes estão vazias (60 caixas, ou 60% nesse caso).
• Fórmula = 100 * 0,6 = 60 caixas vazias
Subtrair um Percentual
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Calcule as porcentagens correspondentes:• 2% de R$ 700 • 40% de 48 m• 38% de 200 Kg• 6% de R$ 50• 37,6% de R$200• 22,5% de R$60
Exercícios de Porcentagem
20 Profa. Msc. Érica Siqueira
a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00?
b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância xxxx?
c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?
d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?
e) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?
Exercício de Porcentagem
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Matemática Financeira
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• Estudar o valor do dinheiro no tempo
• Conceitos de juro, capital e tempo
• Habilidades matemáticas prévias:• Porcentagem
• Frações, Potências, Raiz, Log
Observações
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• Receber uma quantia hoje, equivale a receber uma quantia maior amanhã (Valor Futuro);
• Receber uma quantia amanhã, equivale a receber uma quantia menor hoje (Valor Presente).
• E assim surge o estudo do "dinheiro no tempo", cuja "taxa de juros" representa o fator de correção no tempo.
Dinheiro no Tempo
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• O Capital é o valor, na data ZERO, aplicado ou emprestado através de alguma operação financeira.
• Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.
• Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
• Excel: Valor Presente
Capital
25 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Remuneração do Capital• O jurojurojurojuro existe porque a maioria das pessoas prefere o
consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempotempotempotempo e riscoriscoriscorisco, que a operação envolver.
• O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa taxa taxa taxa de jurosde jurosde jurosde juros.
• Representação nas calculadoras financeiras: i
Juro
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• Tempo decorrido entre a aplicação inicial e o resgate, também chamado de prazo ou período de capitalização
• Utiliza-se calendário comercial, na marioria das vezes, sendo os meses de 30 dias, e anos de 360 dias (12 meses de 30 dias).
• Notação nas calculadoras financeiras: n
• a. a . = ao ano a. b. = ao bimestre a. q. = ao quadrimestre a. p. = ao período a. m. = ao mês a. t. = ao trimestre a. s. = ao semestre
• Conversão? Pode?
Tempo
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• É a soma do Capital inicial com juro produzido em determinado tempo
• O montante é calculado apenas no fim da capitalização.
• Outras representações: S (de SSSSaldo); VF (de VVVValor FFFFuturo); FV (de FFFFuture VVVValue)
• VF = VP + J
Montante
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• Os juros podem ser capitalizados segundo doisregimes: simples ou compostos.
• JUROSJUROSJUROSJUROS SIMPLESSIMPLESSIMPLESSIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre écalculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.
• JUROSJUROSJUROSJUROS COMPOSTOSCOMPOSTOSCOMPOSTOSCOMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo écalculado a partir do saldo no início de correspondenteintervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo éincorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
• A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza jurosjurosjurosjuroscompostoscompostoscompostoscompostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo,compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, asaplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança eaplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramenteencontramos uso para o regime de juros simples: é o caso dasoperações de curtíssimo prazo, e do processo de descontosimples de duplicatas.
Juro Simples e Composto
29 Profa. Msc. Érica Siqueira
• J = C * i * n
• Quanto rende um capital inicial (principal) de $100,00 aplicado à taxa de 5% ao semestre e por um prazo de 2 anos?
• Qual o montante ao final de 2 anos?
Calculando Juros Simples
30 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Determinar o montante, ao fim de 5 meses, correspondente a uma aplicação no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples.
• Solução: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. n = 5 meses
• S = P(1 + in)
• S = 6.000 (1 + 0,04×5)
• S = R$ 7.200,00
Cálculo do Montante em Juros Simples
31 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de juros simples basta inverter a relação anterior, isto é:
• P = S/(1+ in)
Cálculo do Valor Atual Juros Simples
32 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Partindo da Fórmula inicial utilizada para calcular o valor do Juros (J = C * i * n) podemos deduzir que
• � � �
��∗��
• Na qual “i” é a Taxa a ser descoberta, “J” o valor de juros, “C” o capital e “n” a quantidade de períodos.
Cálculo da Taxa em Juros Simples
33 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Partindo da Fórmula inicial utilizada para calcular o valor do Juros (J = C * i * n) podemos deduzir que
• � � �
��∗ �
• Na qual “i” é a Taxa, “J” o valor de juros, “C” o capital e “n” a quantidade de períodos a ser descoberta.
Cálculo do Tempo em Juro Simples
34 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade
• No regime de juros simples, “Taxas Proporcionais” e “Taxas Equivalentes” são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente a classificação deduas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes. Este conceito diz mais a respeito ao regime de juros compostos.
Taxas Proporcionais e Equivalente em JS
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Exemplo 1
36 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exemplo 2
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Desconto de Duplicata
• Operação conhecida no Brasil como Desconto comercial ou bancário (por fora).
• Diferentemente do cálculo de juros, que incide sobre um Capital ou Valor Presente, a taxa de desconto incide sobre o valor futuro.
• O valor futuro, nesse caso, é conhecido como valor de face ou valor nominal
• Abate-se o desconto para conhecer o valor presente, ou, o quanto será pago pelo desconto da duplicata (antecipação de recebíveis)
38 Profa. Msc. Érica Siqueira
Desconto de Duplicata Juros Simples
• Fórmulas para cálculo:
• Valor do Desconto (D): D = VF.d.n
• Valor presente, abatendo o desconto
• VP = VF * (1 – d *n) onde d é a taxa de desconto
• Exemplo:
• Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 1.600,00, com vencimento para 120 dias, á taxa de 3% ao mês?
39 Profa. Msc. Érica Siqueira
Resolução
• Dados retirados do problema• VF = 1.600,00
• n = 120 dias = 4 meses (pois a taxa está em mês)• d = 2,5% ao mês
• Valor do Desconto (D) =?
• Solução:
• Fórmula D = VF . d . n
• D = 1.600,00 . 0,03 . 4 = 192,00