Matemática Elementar
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MATEMÁTICA ELEMENTAR PROFESSOR TENANI www.compassocursos.com.br
FRAÇÕES
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES.
Em uma fração o número de cima é chamado numerador e o
de baixo chamado denominador.
ab
Numerador
Denominador
Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador.
5
9,
9
10,
2
3.
Frações Impróprias: O numerador é maior ou igual ao
denominador.
13
10 ou
5
5.
Fração aparente. O numerador é múltiplo do denominador.
5 10 61, 5, 2
5 2 3
NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO
Qualquer número natural pode ser escrito como um produto
de outros dois ou mais números menores ou iguais a ele
chamado de fatores do número.
Número Fatores 18=2.9 2 e 9 18=1.18 1 e 18 18=3.6 3 e 6 18=2.3.3 2 , 2 e 3
Fatorar um número é escrevê-lo como um produto de
fatores. Adiante, será necessário fatorar um número em
fatores primos.
Número primo é um número natural maior que 1 cujos únicos fatores são ele mesmo e o 1.
Os primeiros números primos são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29.
Então quando nós fatoramos
18 = 2.3.3 nós estamos fatorando 18 em fatores primos.
EXERCÍCIO PROPOSTO
01) Escreva cada um dos números abaixo com um produto
de fatores primos:
a) 36
36 2
18 2 9 3
3 3
1
Assim 2 236 2.2.3.3 2 .3
b) 54
c) 96
d) 345
FRAÇÕES IRREDUTÍVEIS
Uma fração é irredutível quando o único fator comum entre o
numerador e o denominador é o 1.
Para escrever uma fração em sua forma irredutível
escrevemos o numerador e o denominador com o produto de
números primos e dividimos ambos por todos os fatores
primos comuns.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02) Reduza cada uma das seguintes frações a uma fração
irredutível.
a) 42
18
b) 45
60
EXERCÍCIO PROPOSTO
03) Reduza cada uma das seguintes frações a uma fração
irredutível.
a) 4 2
8
. 2
2. 2 . 2
1¨
2
b) 3
9
c) 10
12
d) 8
14
e) 16
18
f) 14
21
g) 50
75
h) 64
32
i) 96
48
j) 100
85
k) 120
84
l) 25
45
PRODUTO DE FRAÇÕES
Para multiplicar duas frações:
Escrever o numerador e o denominador como um
produto ( sem multiplicar).
Reduzir a fração resultante a uma fração irredutível.
Multiplicar
1
MATEMÁTICA [email protected] COMPASSO CURSOS
EXERCÍCIO RESOLVIDO
04) Multiplique as frações a seguir obtendo uma fração
irredutível.
a) 2 5
3 7
b) 5 3
6 4
c) 5 6
6 5
Quando o produto entre dois números é 1, dizemos que eles
são números inversos.
5
6 e
6
5 são inversos.
2
7 e
7
2 são inversos.
Usamos o inverso de uma fração para dividir frações.
Para encontrar o quociente entre 2 frações
Para dividir duas frações multiplique a primeira pelo inverso
da segunda e reduza o produto resultante em uma fração
irredutível.
Obs.: A fração imprópria 49
48 pode ser escrita como o
número misto 1
148
, o qual é a soma de um número inteiro
com uma fração própria. Ele é obtido dividindo-se o
numerador pelo denominador.
49 48 49 11
1 1 48 48
EXERCÍCIO RESOLVIDO
05) Divida as frações a seguir obtendo uma fração
irredutível.
a) 7 6
8 7
b) 15 3
17 5
c)
4
53
7
d) 1 2
3 54 3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
06) A área de um retângulo é dada pelo produto da largura
pela altura. Calcule a área de um retângulo de 5
2 cm de
largura por 11
6 cm de altura.
07) Multiplique ou divida as frações a seguir obtendo uma
fração irredutível.
a) 5 3 5.3 5
6 5 6.5
. 3
2. 3. 5
1¨
2
b) 2 5
3 6
c) 7 7
8 12
d) 7 3
5 2
e) 7 3
9 4
f) 3
64
g) 3 4
7 5
h) 12 8
25 15
i) 6
37
j) 3
48
k) 7
42
l) 1
17 23
m) 5
12 16
n) 17
3
4
o)
1
2
4
08) Qual é o volume de um paralelepípedo com 46
3cm de
comprimento, 17
4cm de largura e de altura?
09) Um pedaço de madeira de 123
2cm foi dividido em 14
partes. Qual é o comprimento de cada parte?
2
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ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES.
Para somar ou subtrair duas frações, elas devem possuir o
mesmo denominador.
Para adicionar ou subtrair duas frações com mesmo
denominador:
Adicionar ou subtrair os numeradores.
Colocar a soma ou diferença sobre o denominador
comum.
Reduzir a fração resultante a uma fração irredutível.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
10) Execute as operações a seguir.
a) 3 1
8 8
b) 7 5
16 16
Quando as frações têm denominadores diferentes, nós
devemos reescrever todas as frações com um novo
denominador comum. Muitos números podem satisfazer a
essa condição, mas nós queremos o menor desses números,
chamado de mínimo múltiplo comum (mmc).
24 é o mínimo múltiplo comum entre os denominadores
das frações 7
8 e
5
6, desde que ele o menor número que
pode ser dividido por 8 e 6 exatamente.
Para encontrar o mínimo múltiplo comum (mmc) entre dois
ou mais números decompomos todos os números ao mesmo
tempo, num dispositivo como mostrado a seguir. O produto
dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o
mmc desses números. (Processo chamado de decomposição
simultânea):
24 18 2
12 9 2
6 9 2
3 9 3
1 3 3
1 1
Logo, 3 2(18,24) 2.2.2.3.3 2 .3 8.9 72MMC
Esse procedimento pode ser generalizado para mais
números.
12 18 24 2
6 9 12 2
3 9 6 2
3 9 3 3
1 3 1 3
1 1 1
Logo, (12,18,24)MMC = 3 22 .3 8.9 72
Para escrever a fração 5
6 como uma fração equivalente com
novo denominador 24, nós encontramos o número que
multiplicado por é igual a 24. Desde que
6.4 24
Nós usamos o 4 como fator. Agora multiplicamos a fração 5
6
pela fração 4
4. Então:
5 5 4 5.4 20
6 6 4 6.4 24 .
Para encontrar frações equivalentes
Dividimos o novo denominador pelo denominador
original.
Multiplique o numerador e denominador da fração pelo
número obtido no passo anterior.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
11) Encontre o mmc entre os números indicados
a) 6, 9 e 12
b) 3, 8 e 10
c) 9, 15 e 21
d) 6, 14 e 18
e) 5, 10 e 12
f) 16, 24 e 36
g) 12, 16 e 24
h) 5, 7 e 11
i) 10, 20 e 30
j) 68, 9 e 12
k) 10, 14 e 18
l) 10, 15 e 20
12) Escreva frações equivalentes tendo o novo denominador
indicado:
a) 3 ?
5 30
3 3 6 18
30 5 65 5 6 30
b) 7 ?
9 72
c) 5 ?
7 77
d) 1 ?
4 20
3
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MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por
exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1, 2, 3 e 6.
Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo
divisor . Para calcular o mdc de dois ou mais números é
utilizar a decomposição desses números em fatores primos.
Assim:
I) Decompomos os números em fatores primos;
II) O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.
Calcular o mdc entre 36 e 90.
36 2
18 2
9 3
3 3
1
90 2
45 3
15 3
5 5
1
36 2.2.3.3
90 2.3.3.5
Logo 36,90 2.3.3 18mdc .
13) Uma piscina com 18 m de comprimento, 8,7 m de largura
e 1,2 m de profundidade foi azulejada de modo que seu
fundo foi revestido com o menor número possível de
azulejos quadrados. Supondo ser desprezível o
espaçamento dos rejuntes entre os azulejos, qual é o
menor número de azulejos quadrados utilizados para o
revestimento?
Para adicionar ou subtrair frações com denominadores
diferentes
Encontramos o mmc entre os denominadores.
Escrevemos cada fração com uma fração equivalente
com o mmc como novo denominador.
Executamos a adição ou subtração.
Reduzimos a fração resultante.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
14) Execute as operações a seguir.
a) 7 5
8 6
b) 7 1
8 3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
15) Some ou subtraia as seguintes frações.
a) 1 1
3 3
b) 2 3
5 10
c) 1 1
3 4
d) 5 1
6 6
e) 4 2
5 10
f) 5 3
6 8
g) 5
36
h) 3
45
i) 2 3
3 4
j) 3 7
5 15
k) 5 1
6 3
l) 5 1
6 3
m) 3 1
8 12
n) 7 3
24 16
o) 7 19
54 45
p) 1 1 1
2 5 10
q) 7 5 3
15 6 4
r) 9 5 2
16 18 15
s) 2 2 5
7 3 7
t) 1 3
7 22 4
16) O perímetro de um retângulo é encontrado adicionando-
se os comprimentos de seus 4 lados. Encontre o
perímetro de um retângulo de dimensões 5
4cm e
5
6cm .
17) Luísa deve algum dinheiro para Renan. Se ela pagar 1
4
do que deve em junho, 1
3 da dívida original em julho e
3
8 da dívida original em Agosto, quanto de sua dívida
ainda restará? 4
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18) Certo dia, Júlia compra 5
6m de certo tecido,
3
4m de
outro e 2
3m de um terceiro. Quantos metros de tecido
Júlia comprou?
VOCÊ SABE?
Reduzir uma fração?
Multiplicar e dividir frações?
Encontrar o mínimo múltiplo comum de 2 ou mais
números?
Somar e subtrair frações
RESOLVENDO PROBLEMAS
Leia atentamente o seguinte problema:
Você entra em um ônibus vazio juntamente com sete outros
passageiros e na primeira parada de sua rota quatro pessoas
descem e duas sobem para o ônibus. Na segunda parada, seis
pessoas descem e 4 sobem no mesmo. Na terceira parada,
oito pessoas descem do ônibus e três sobem. Na quarta
parada, 30 pessoas entram e oitos saem do ônibus.
Pergunta:
Qual a idade do motorista?
Você começou a contar os passageiros no ônibus? Aqui está a
primeira lição:
Não comece a resolver um problema antes de ter lido seu enunciado inteiro.
5
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DECIMAIS.
INTRODUÇÃO
Um número decimal é uma fração cujo denominador é 10,
100, 1000, etc.
Em um número como 235, os algarismos 2, 3 e 5 tem os
valores posicionais a seguir:
235 (2.100) (3.10) (5.1)
Em um número como 0,235 os algarismos 2,3 e 5 tem os
valores posicionais a seguir:
1 1 1
0,235 (2 ) (3 ) (5 )10 100 1000
Nós chamamos esse número de Fração decimal ou
simplesmente decimal.
Observe que:
2 3 5 200 30 5 235
0,23510 100 1000 1000 1000 1000 1000
Lido como 235 milésimos.
Da mesma forma:
27
0,27100
(27 centésimos)
3
0,310
(3 décimos)
EXERCÍCIO PROPOSTO
01) Escreva os seguintes números decimais como frações
irredutíveis.
a) 8 2
0,810
.2.2
2
4
5.5
b) 0,57
c) 0,1234
d) 0,42
e) 0,4
f) 0,83
g) 0,15
h) 0,36
i) 0,125
j) 0,248
k) 0,875
l) 0,625
Obs.: Um número decimal escrito com fração será redutível
somente se o numerador for divisível por 2 ou por 5.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
PARA ADICIONAR OU SUBTRAIR NÚMEROS DECIMAIS:
Colocamos os números um sobre o outro de tal forma
que as vírgulas fiquem alinhadas verticalmente
Procedemos como se estivéssemos adicionando ou
subtraindo números inteiros.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02) Execute as operações a seguir.
a) 5,67 32,046 251,7367 0,92
b) 39,62 18,7
EXERCÍCIO PROPOSTO
03) Efetue:
a) 3,97 7,39 3,17 8,45
b) 6,8 0,354 2,78 7,083 2,002
c) 4,76 0,573 3,57 40,09 13
d) 8,0007 360,01 25,72 6,362 0,0005
e) 7,0001 8 7,067 803,1 5,25
f) 10,03 3,113 0,3342 0,0763 0,005
g) 19,2 4,38
h) 83,42 14,9
i) 27,376 14,0007
j) 367,0076 210,02
k) 836 0,367
l) 4,5632 274,063
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
PARA MULTIPLICAR NÚMEROS DECIMAIS:
Multiplique os números como se fossem inteiros.
Conte o número de casas decimais nos 2 fatores.
Esse número é o número total de casas do produto.
Começando à direita do resultado, conte para a esquerda
o número de casas decimais obtidas anteriormente. Se
necessário complete com zeros e então insira a vírgula.
6
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
04) Execute as operações a seguir.
a) 2,36 0,403
b) 18,14 106,4
EXERCÍCIO PROPOSTO
05) Efetue:
a) 206,1 9,36
b) 7,006 1,36
c) 42,6 73
d) 56,37 0,0076
e) 703,6 1,7
f) 30,0303 0,030303
g) 2,456 0,00012
DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
Dividendo Divisor
Quociente
PARA DIVIDIR NÚMEROS DECIMAIS:
Identifique o divisor, o dividendo e o quociente como
indicado acima.
Mude o divisor para um número inteiro movendo a
vírgula para a direita quantas casas forem necessárias.
Mova a vírgula no dividendo para a direita o mesmo
número de casas do passo anterior. Se necessário use
zeros para completar.
Divida como números inteiros.
Esse processo é o conhecido “igualar as casas”.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
06) Execute as operações a seguir.
a) 360,5 1,03
b) 4950,3 5,69
c) 1
3
No item (c) podemos observar que, independente da
quantidade de zeros que colocamos, continuará a aparecer o
algarismo 3 no quociente. Assim:
10,3333... 0,3
3
EXERCÍCIO PROPOSTO
07) Efetue:
a) 4950,3 5,69
b) 0,84 0,7
c) 0,525 0,5
d) 10,4 0,26
e) 21,681 8,03
f) 6,1251 60,05
g) 166,279 64,7
h) 31,50 0,0126
i) 2,9868 0,057
08) Converta as seguintes frações em números decimais.
a) 3
8
b) 3
20
c) 5
8
d) 13
20
e) 17
50
f) 2
9
g) 5
9
7
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09) 1 litro de gasolina custa $2,599R . Qual é o custo de
14,36 litros?
10) Um estudante comprou um livro por $21,68R . Se ele
pagou com $25,00R qual é o seu troco?
11) Encontre a área de um retângulo de dimensões 15,75 cm
por 21,3 cm.
VOCÊ SABE?
Escrever decimais finitas como frações?
Adicionar e subtrair números decimais?
Multiplicar e dividir números decimais?
Escrever frações como números decimais?
8
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PORCENTAGENS.
A palavra “por cento” significa um a cada cem. Utilizamos o
símbolo “%” para representar porcentagens. Assim 4%
significa “quatro partes em cada cem”.
Nós podemos escrever porcentagens como:
Um número decimal ou
Como uma fração com denominador igual a 100.
Exemplos:
2727% 0,27
100
139139% 1,39
100
PARA ESCREVER UMA PORCENTAGEM COMO NÚMERO
DECIMAL:
Mova a vírgula decimal duas casas para a esquerda e
acrescente o símbolo “%”.
PARA ESCREVER UMA PORCENTAGEM COMO UMA
FRAÇÃO:
Elimine o símbolo “%” e escreva o número sobre o
denominador 100.
PARA ESCREVER UM NÚMERO DECIMAL PORCENTAGEM:
Mova a vírgula decimal duas casas para a direita e
coloque o símbolo “%”.
PARA ESCREVER UMA FRAÇÃO COMO UMA
PORCENTAGEM:
Encontre o número decimal equivalente a essa fração e
mude o número decimal para porcentagem.
EXERCÍCIO PROPOSTO
01) Escreva os números seguintes como números decimais,
frações e porcentagens:
a) 0,9
b) 1,25
c) 7
8
d) 5%
e) 1%
f) 325%
g) 1,75
h) 3
4
Quando calculamos 40% de 300, nós encontramos a
percentagem. Em linguagem matemática, a palavra “de”
usualmente significa a operação de multiplicação. Assim 40%
de 300 significa 40% 300 .
Entretanto, nós não podemos multiplicar 40% por 300. Nó
devemos primeiro converter 40% para um número decimal (
ou para fração) antes de efetuar a operação.
40% 300 0,40 300 120
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
02) Encontre as porcentagens abaixo:
a) 8% de 35
b) 224% de 50
c) 7
%2
de 270
d) 226% de 20
e) 5% de 40
f) 240% de 60
g) 110% de 500
03) Lúcio economiza 5% de seu salário todo mês. Quanto ele
terá economizado em 1 ano?
04) Em promoção relâmpago uma loja oferece um desconto
de 35% sobre o preço de uma mercadoria cujo preço
original era R$ 460,00. Qual o novo valor da mercadoria?
05) Os automóveis atuais chamados “Flex” podem utilizar
álcool ou gasolina como combustível. A utilização do
álcool como combustível vale a pena se o preço do álcool
for menos ou igual a 60% do preço da gasolina. Se o
preço atual da gasolina é R$ 2,50 qual deve ser o preço
do álcool para que compense a sua utilização?
06) Uma loja ofereceu um desconto de 9% sobre o preço de
uma mercadoria. Qual é o preço original da mercadoria
se o preço pago foi de R$ 70,00.
07) O salário de um trabalhador que era de R$ 3000,00
sofreu um reajuste de 6,2%. Quanto passou a ser seu
novo salário?
08) Ao aumentar o preço de uma mercadoria de R$ 2850,00
para R$ 3277,50 qual foi o aumento percentual?
09) Comprei um terreno por R$ 5400, 00, depois de dois anos, resolvi vendê-lo com 30% de lucro. Qual deveria ser o novo preço do terreno?
10) Uma salina produz 18% de sal, em um determinado
volume de água que é levada a evaporar. Para produzir 125 m3 de sal, quanta água precisa ser represada.
11) Uma determinada empresa oferece 25% de desconto no pagamento á vista. Comprei um eletrodoméstico por R$ 375,00 a vista. Qual é o preço do eletrodoméstico sem desconto?
12) Uma loja aumenta 20% o preço de um par de sapatos que custa R$ 40,00. Ao entrar em liquidação, essa loja passa a oferecer o mesmo pra de sapatos com um desconto de 20% para pagamento à vista. Quanto você irá pagar pelo par de sapatos se comprá-lo à vista?
9
MATEMÁTICA [email protected] COMPASSO CURSOS
13) Um automóvel adquirido por R$ 20.000,00, foi vendido
com 20% de lucro sobre o preço de venda. Qual foi o lucro em reais?
14) Das peças produzidas num torno, sabe-se que 60% são perfeitas, 30% possuem pequenos defeitos e as restantes não são aproveitadas. O custo de produção de cada peça, em qualquer caso, é de R$10,00. O preço de venda de cada peça perfeita é de R$15,00 e de cada peça com pequeno defeito é de R$ 12,00. Qual o valor do lucro esperado pelo fabricante ao programar a produção de 400 peças?
15) Um tanque de combustível contém 240 litros de gasolina com 3% de álcool. Quantos litros de álcool puro devem ser adicionados à mistura para que ela tenha 4% de álcool?
16) Do preço de venda de um produto, um comerciante paga 20% de imposto. Do restante, 70% correspondem ao custo do produto. Se o custo do produto é de R$ 336,00, qual é o preço de venda desse produto?
17) Vendeu-se uma bicicleta por R$ 270,00 devido a 10% de desvalorização sobre seu preço de compra. Portanto, o valor de compra, imediatamente anterior a essa venda, foi, em reais?
18) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista, com 30% de desconto sobre o preço da tabela, ou no cartão de crédito, com 10% de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que, à vista, sai por R$ 700,00, no cartão, saíra por
19) O preço de uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos, de 10% e de 20%. De quantos por cento foi o aumento total dessa mercadoria?
VOCÊ SABE?
Escrever uma porcentagem com número decimal?
Escrever um número decimal como porcentagem?
Escrever uma fração como porcentagem?
Escrever uma porcentagem como fração?
Encontrar a porcentagem?
10
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NÚMEROS REAIS.
O conjunto é o conjunto dos números naturais
{0,1,2,3,4,...}
Geometricamente, o conjunto pode ser representado por
meio de uma reta numerada. Escolhemos sobre essa reta um
ponto de origem (correspondente ao número zero), uma
medida unitária e uma orientação (geralmente para a direita)
Subconjunto importante:
* {1,2,3,4,...} {0}
O conjunto é o conjunto dos números inteiros
{..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}
Todos os elementos de pertencem também ao , isto é,
.
A representação geométrica do conjunto pode é feita a
partir da representação de na reta numerada; basta
acrescentar os pontos correspondentes aos números
negativos.
Subconjuntos importantes:
* {..., 3, 2, 1,,1,2,3,...} {0}
{0,1,2,3,...}
* *{1,2,3,...}
{..., 3, 2, 1,0}
* {..., 3, 2, 1}
MÓDULO.
Módulo, ou valor absoluto, de x é a distância da origem ao
ponto que representa x .
| 2 | | 2 | 2
| 4 | | 4 | 4
NÚMEROS RACIONAIS.
O conjunto dos números inteiros é suficiente para
representar muitas situações físicas, mas em muitas
situações precisaremos de um novo conjunto de números
chamado de conjuntos dos números racionais ( representado
por ).
Um número racional é qualquer número que pode ser escrito como um quociente de dois inteiros de forma que o divisor seja diferente de zero.
Exemplos:
2
3,
1
2 ,
6
1,
21
5,
23
7 ,
0
8,
5
1
A representação decimal de um número racional é ou uma
decimal finita ou uma decimal infinita periódica.
Exemplos:
1
0,52
1
0,3333.... 0,33
10,1666... 0,16
6
51,25
4
4
0,121212... 0,1233
10,037037037... 0,037
27
Obs. A barra colocada sobre um algarismo ou grupo de
algarismo indica que o algarismo ou o grupo repete
indefinidamente.
NÚMEROS IRRACIONAIS.
Nesse momento, poderíamos pensar que nós temos números
suficientes para resolver todas possíveis situações.
Infelizmente esse não é o caso. Consideremos o seguinte
problema:
Qual é exatamente o lado de um quadrado cuja área é 25m ?
Para responder a essa questão nós precisamos de um
número que ao ser multiplicado por ele mesmo, tenha 5
como resultado.
Será 2,236 o número procurado?
2,236 2,236 4,999696
Esse número é próximo de 5 mas não é 5.
Pode-se mostrar que não existe um número racional cujo
produto por ele mesmo seja igual a 5.
A resposta para esse problema e para muitos outros não
pode ser encontrada no conjunto dos números racionais. A
reposta para essa questão é 5 ( raiz quadrada de 5).
Outros exemplos:
3 , , 2 , 0,1011011101111...
Números que não podem ser escritos como quociente de
dois números inteiros pertencem ao conjunto chamado de
irracionais.
11
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NÚMEROS REAIS.
Números podem ser racionais (aqueles que podem ser
escritos como quociente de dois inteiros) e irracionais (
aqueles que não podem). Assim, um número pode ser
racional ou irracional, mas não ambos.
O conjunto que contém todos os números racionais e todos
os números irracionais é chamado conjunto dos números
reais (representado por ). Quando nós encontrarmos um
problema em que um conjunto específico de números não foi
indicado nós assumiremos que esse conjunto é .
RETA REAL
Para representar os números reais, nós usamos a reta de
números reais.
O número que é associado com cada ponto da linha é
chamado a coordenada do ponto.
Números como 3 e representam números irracionais.
Para representar esses números, nós precisamos de uma
aproximação.
3 1,732
3,142
Movendo-se da esquerda para a direita na reta real, nós
estamos nos movendo no sentido positivo e os números
estarão crescendo. Se nos movermos para esquerda, nós
estaremos nos movendo no sentido negativo e os números
estarão decrescendo.
ORDEM NA RETA REAL.
Se nós escolhermos quaisquer dois números da reta real e
representarmos eles por a e b , onde a e b representam
números não especificados, nós observamos que existe uma
relação de ordem entre a e b .
a b ( a está à esquerda de b )
ou
b a ( b está à direita de a )
Exemplos:
0 4 ou 4 0
0 3 ou 3 0
3 6 ou 6 3
2 4 ou 4 2
Obs. Não importa qual símbolo de desigualdade nós usemos
a seta sempre aponta para o menor.
Existem 2 outros símbolos para desigualdades ( chamados de
desigualdades fracas) . Eles são menor ou igual ( ) e maior
ou igual ( ).
Assim 3x significa que x é no mínimo 3 . Isto é, que x
representa um número que é igual a 3 ou maior que 3 .
VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO
O valor absoluto (ou módulo) de um número real é a
distância deste número até a origem.
O símbolo para o valor absoluto é | |
Assim
| 7 | 7 2 2
5 5 | 3 | 3
| 6 | 6 | 0 | 0
ADIÇÃO DE NÚMEROS REAIS
PARA ADICIONAR DOIS NÚMEROS REAIS
Para somar a e b , isto é a b , nós localizamos a sobre
a reta real e o movimentamos de acordo com o valor de
b .
Se b é positivo, nós movemos a para a direita b
unidades.
Se b é negativo, nós movemos a para a esquerda b
unidades.
Se b é zero, nós não movimentamos a .
Nós utilizaremos o sinal ( ) na frente de um número para
enfatizar o fato de o número ser positivo. Nos futuros
exemplos isso será omitido.
Exemplos
( 4) ( 5) 9 ( 3) ( 8) 11
( 6) (0) 6 ( 5) ( 2) 3
( 3) ( 8) 5 ( 2) ( 7) 9
( 20) ( 30) 50 ( 9) ( 9) 0
Quando nós somamos dois números com sinais diferentes a
resposta é a diferença entre os valores absolutos prefixados
com o sinal do número com maior valor absoluto.
PROPRIEDADES
0 0 0a a ( 0 é o elemento neutro da adição)
a b b a (Propriedade comutativa da adição)
( ) ( ) 0a a a a (A soma de um número com seu
oposto ou simétrico é zero)
( ) ( )a b c a b c ( Propriedade associativa)
12
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SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS REAIS.
Para subtrair o número real b do número real a , isto é
a b , nós
Mudamos a operação de subtração para adição.
Mudamos o sinal do número que segue o símbolo de
subtração.
Efetuamos a operação seguindo as regras de adição.
Assim a b significa a somado com o oposto de b .
( )a b a b
Exemplos
(4) (5) 4 ( 5) 1
(6) (0) 6 ( 0) 6
3 ( 8) 3 ( 8) 11
20 ( 30) 20 ( 30) 10
3 ( 8) 3 ( 8) 5
9 (5) 9 ( 5) 4 5 (9) 5 ( 9) 4 Percebemos pelos dois últimos exemplos que a operação de
subtração não é comutativa, isto é:
9 (5) 5 (9)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE VÁRIOS NÚMEROS REAIS.
Quando vários números estão sendo adicionados e
subtraídos em uma mesma linha, resolvemos o problema da
esquerda para a direita.
9 3 4 3 6 1 4
6
9 3 4 3 6 1 4
10
6 4 3 6 1 4
13
10 3 6 1 4
7
13 6 1 4
6
7 1 4
6 4
10 Muitas vezes, parte do problema terá um grupo de números
dentro um símbolo de agrupamento como parênteses ( ),
colchetes [ ] ou chaves { }. Independente da quantidade de
números dentro de um desses símbolos de agrupamento, nós
trataremos eles como sendo um único número. Então em:
9 (3 2) (6 2) (5 4)
Nós realizaremos as operações dentro dos parênteses
primeiro para obter:
9 5 4 1
O qual resulta em
= 4 4 1
= 8 1
=7
EXERCÍCIO PROPOSTO
01) Efetue as operações:
a) 8 3 2 5 1
b) [6 1] [2 5] 7 [9 6]
c) (14 7) 2
d) 14 (7 2)
e) 1 1
2 4
f) 2 1
3 4
g) 18,7 ( 9,3)
h) 107,4 ( 12,6)
i) 215,8 96,2
j) ( 30) (14) (8)
k) ( 12) ( 10) (8)
l) ( 25) (4) (32) (28)
m) (24) ( 12) (12) ( 13)
n) ( 2) (3) ( 4) ( 5) ( 6)
o) ( 15) (13) ( 7) (32)
p) 14 4 (7 2)
q) (25 2) (12 3)
r) ( 6) 4 8 (8 7)
s) 32 5 7 4 (11 8)
t) 10 10 (10 10) 10
u) 12 3 16 10 (12 5)
v) (18 14) (12 17) 16
w) 8 4 7 (5 2) 3
Observe pelos exemplos (c) e (d) que a operação de
subtração não é associativa. Isto é, a ordem faz diferença na
subtração.
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS REAIS
Nós já conhecemos o fato de que o produto de dois números
positivos é positivo. Nós podemos observar isso considerando
a multiplicação como repetidas adições.
4.3 3 3 3 3 12
Nós também sabemos que
3.4 4 4 4 12
Assim podemos observar também a propriedade conhecida
como propriedade comutativa da multiplicação.
Para quaisquer números reais a e b ,
. .a b b a
13
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Em nosso exemplo, nós usamos o símbolo "." para indicar
multiplicação. O símbolo " " será evitado em álgebra para
evitar confusão com a letra “x”.
5 7. é lido com 5 vezes 7.
(4)(6) é lido com 4 vezes 6.
3a é lido como 3 vezes a .
6(8) é lido como 6 vezes 8.
1
32
não significa 1
32
.
Multiplicação de dois números com sinais diferentes.
Como uma ilustração de uma multiplicação de um número
positivo por um número negativo, observe o seguinte padrão.
3.3 9
De
cresce
de
3 em 3
2.3 6
1.3 3
0.3 0
( 1).3
( 2).3
( 3).3
Assim, faz sentido que o produto de um número negativo por
um número positivo tenha como resultado um número
negativo.
Propriedade de zero
Multiplicando qualquer número por zero sempre resultará
zero como resposta
.0 0. 0a a
Elemento neutro da multiplicação
Multiplicando qualquer número por 1 sempre resultará no
próprio número.
.1 1.a a a
Multiplicação de dois números negativos.
3.( 3) 9
Cre
sce de 3
em
3
2.( 3) 6
1.( 3) 3
0.( 3) 0
( 1).( 3)
( 2).( 3)
( 3).( 3)
Assim, faz sentido que o produto entre dois números
negativos tenha com resultado um número positivo.
Exemplos:
( 2).3 6
( 2).( 4) 8
4.( 4) 16
( 5)( 5) 25
Nós podemos determinar o sinal de nossa resposta ao
multiplicarmos 3 ou mais números reais.
Se em uma multiplicação existir uma quantidade ímpar de fatores negativo, o resultado será negativo.
Se em uma multiplicação existir uma quantidade par de fatores negativo, o resultado será positivo.
Exemplos:
( 1).(2)(3)(4) 24 (Número ímpar de fatores negativos)
( 1)(2)( 3)(4) 24 (Número par de fatores negativos)
Propriedade associativa da multiplicação.
Mudando a ordem de multiplicação dos números em uma
multiplicação não mudará o resultado.
( . ) ( . )a b c a b c
02) Efetue as operações indicadas.
a) ( 3)( 5)
b) 0.( 6)
c) 4.( 7)
d) ( 8).3
e) 4.( 3).5
f) ( 2)(2)( 2)
g) 4.( 9)
h) ( 3)( 2)( 8)
i) ( 5)(2)(4)(3)
j) 7.( 1)( 3)( 5)
k) 2.( 3)( 1)(2)( 2)(3)
l) ( 1,8)(2,4)
m) ( 5,7)( 6,12)
n) ( 8,9).( 8,9)
o) ( 27)(0,08)
p) 1 3
3 5
q) 3 3
4 4
r) 3 8
4 9
s) 5 2
8 5
t) ( 3)(3)( 4)(4)
u) ( 1)( 1)( 1)( 1)
v) ( 2)(0)(3)( 4)
w) ( 3)( 2)(4)(0)
x) ( 5)(0)( 4)
y) ( 2)(0)(3)( 4) 14
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03) Nos itens abaixo, são dados dois números, encontre dois
inteiros tais que seu produto é o primeiro número e sua
soma é o segundo.
a) 4, 4 Resposta: 2 e 2 pois ( 2)( 2) 4 e 2 ( 2) 4
b) 27, 6 Resposta: 9 e 3 pois ( 9)(3) 27 e 9 (3) 6
c) 16,0
d) 30,1
e) 25,10
f) 20, 9
g) 11,10
h) 0, 7
i) 72, 21
j) 12, 1
k) 48,16
l) 35,12
m) 8,7
n) 9,0
o) 12,1
p) 15,2
q) 18,3
r) 30, 1
DIVISÃO DE NÚMEROS REAIS
Lembramos que quando nós dividimos um número
(dividendo) por outro número (divisor), nós calculamos um
valor (quociente). Assim nós definimos a divisão a seguir
Se 0b , dizemos que a
qb se .a b q , onde a é o
dividendo, b é o divisor e q é o quociente.
Podemos checar nossa resposta multiplicando o divisor pelo
quociente e o resultado deve ser igual ao dividendo.
O quociente 20
5
é um número q tal que 20 ( 5).q , Esse
número é o 4, o que mostra que a divisão de dois números
negativos resulta sempre em um número positivo.
Para dividir um número positivo por um número negativo, ou
um negativo por um positivo, considere os seguintes
exemplos:
( 14) (2) 7 desde que (2)( 7) 14 .
(24) 6 4 desde que ( 6)( 4) 24 .
Assim, temos que o quociente de um número positivo e um
número negativo é sempre negativo.
EXERCÍCIO PROPOSTO
04) Efetue as divisões
a) 14
7
b) 36
6
c) 24
3
d) 15
5
e) 18
9
f) 15
3
O sinal de nossa resposta pode ser obtido pelo mesmo
método utilizado na multiplicação
Exemplos:
( 1)(12)1
(2)(3)
(Quantidade ímpar de fatores negativos)
( 1)(12)2
(2)( 3)
(Quantidade par de fatores negativos)
( 1)(12)2
(2)( 3)
(Quantidade par de fatores negativos)
( 1)(12)2
( 2)( 3)
(Quantidade ímpar de fatores negativos)
( 1)( 12)2
( 2)( 3)
(Quantidade par de fatores negativos)
Quando nós multiplicamos ou dividimos, se nós tivermos uma quantidade para de números negativos, nossa resposta será positiva, caso contrário, será negativa.
Obs. O procedimento para a escolha do sinal envolvendo
divisão ou multiplicação de três ou mais números aplica-se
somente quando as operações envolvidas são apenas
multiplicação e divisão.
( 8) ( 4) 126
2 2
Divisão envolvendo o zero.
O número zero é o único número que não pode ser usado
como divisor, para perceber esse fato, lembre-se que a
qb
se .a b q . Se nós aplicarmos essa definição usando o zero
como divisor nós temos as seguintes situações:
3
0q . Então .0q deve ser igual a 3 e nós não podemos
encontrar resposta para esse problema. Nós dizemos que
esta divisão não está definida. 15
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0
0q . Então .0q deve ser igual a 0 e nós temos que
qualquer valor de q serve como resposta para esse problema.
Nós dizemos que esta divisão não é indeterminada.
É importante lembrar que o quociente de zero dividido por
qualquer número diferente de zero é sempre zero.
00
4
pois ( 4).0 0
EXERCÍCIO PROPOSTO
05) Efetue as divisões, se possível.
a) 0
5
b) 2
0
c) 7
0
d) 0
7
e) 0
0
f) ( 6)(0)
( 3)(0)
g) 6 6
6 6
VOCÊ SABE?
Realizar divisões com números reais?
Lembrar os resultados das divisões envolvendo o zero?
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS REAIS.
Se a , b e c são números reais, então:
a b b a . .a b b a ( ) ( )a b c a b c
( . ). ( . )a b c a b c
.1 1.a a 0 0a a ( ) 0a a
.0 0.a a
EXPOENTES
Considere os produtos indicados
4.4.4 64
e
3.3.3.3 81
Uma forma mais conveniente e escrever 4.4.4 é 34 , lido
como “4 a terceira potência” ou “4 ao cubo”. Nós chamamos
o número 4 de base e o número 3 de expoente.
Da mesma forma 3.3.3.3 pode ser escrito como 43 , lido
como “3 a quarta potência”.
Nós chamamos esses produtos de forma exponencial.
Obs. Entende-se que o expoente é 1 quando um número não
tem expoente. Isto é, 15 5 .
Exemplos 3( 3) ( 3)( 3)( 3) 27
33 (3.3.3) 27
4( 3) ( 3)( 3)( 3)( 3) 81
43 (3.3.3.3) 81
ORDEM DAS OPERAÇÕES
Quando nós realizamos vários tipos de operações aritméticas,
nós devemos respeitar uma ordem na qual as operações
deverão ser realizadas. Considere a seguinte expressão
numérica.
3 4.5 3
Dependendo da ordem a qual utilizamos para realizar a
operação, o resultado pode ser diferente. Para ilustrar
3 4.5 3 7.2 14
Ou
3 4.5 3 3 20 3 20 *
Ou ainda
3 4.5 3 3 4.2 3 8 11
Ordem das operações
Grupos: Realize qualquer operação agrupada com um dos símbolos ( ) , [ ] ou { } e em cima ou abaixo de uma barra de fração.
Expoentes: Realize as operações indicadas por expoentes. Multiplique e divida: Realize as multiplicações e divisões
da esquerda para a direita. Adição e subtração: Realize as adições e subtrações da
esquerda para a direita. Dentro um símbolo de agrupamento, a ordem das
operações deverá ser aplicada. Se existem vários símbolos de agrupamento, inicie
eliminando o mais interno.
Exemplos 26 5(7 3) 2
26 5.(4) 2
6 5(4) 4
6 20 4
26 4
22
EXERCÍCIO PROPOSTO
06) Efetue as operações
a) 7 8.3 2
b) (7 1) 3.4
c) 1 3 5
2 4 8
d) 22 .3 3.4
16
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e) 3 1 2
.4 2 3
f) (7,28 1,6) 2,4 (6,1)(3,8)
g) 2 7 5
3 8 6
h) 2(5,4) 4.(3,1)(2,8)
i) 3(2 4) 4 6
4 2 5
j) 5[7 3(10 4)]
k) 18 6.3 10 (4 5)
07) Alex comprou 6 caixas de bombom por R$ 1,25 por caixa
e 7 chocolates por R$ 0,70 cada. Qual foi o gasto total?
08) Um homem trabalha 40 horas por semana a R$ 4,00 a
hora. Se ele trabalha 11 horas a mais na semana a um
valor de R$ 6,00 qual será o valor semanal a ser
recebido?
09) Efetue as operações
a) 0(5 2) 3
b) 24.3
69
c) (24 6) 3
d) (37 4) 11
e) 3(6 2)(7 1)
f) 212 3.16 4 2
g) 9 3(12 3) 4.3
h) 15 2(8 1) 6.4
i) 5[10 2(4 3) 1]
j) 18 [14 5(6 4) 7]
k) (8 2)[16 4(5 7)]
l) (9 6)[21 5(4 6)]
m) 6 3 14 2.3
7 4 5
10) Verifique se as afirmações abaixo estão corretas, em
caso negativo identifique o erro e corrija.
a) 3 5
b) | 3 | 3
c) ( 3) 4 1
d) ( 9) ( 4) 13
e) 4 (5 2) 3
f) 23 9
VOCÊ SABE?
Realizar múltiplas operações na ordem correta?
Usar expoentes?
17
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EXPRESSÕES ALGÉBRICAS.
TERMINOLOGIA
Uma variável é um símbolo que representa um valor não
especificado. Uma variável pode tomar qualquer um dos
diferentes valores que ela pode representar.
2y x
Nesta relação, y e x são variáveis e 2 é constante.
Qualquer expressão envolvendo variáveis, constantes,
símbolos de agrupamentos e sinais de operações é chamada
de expressão algébrica.
5xy , 2
xy, 2 2k w ,
2
2
1
1
x
x
, 5( 2 )a b
Em uma expressão algébrica, termos são separados por um
sinal de mais ou um sinal de menos.
25 2 1x x ( 3 termos).
2 2x y (2 termos).
5 2 44x y z (1 termo).
2
2 b ca
d
(2 termos).
Nesta última expressão temos 2 termos desde que a barra de
fração forma um agrupamento. Observe que o segundo
termo tem dois termos no numerador.
Na expressão 5xy o 5 é chamado de coeficiente numérico
ou simplesmente coeficiente do termo.
Se não aparecer nenhum coeficiente numérico em um termo,
o coeficiente é 1.
6 3x y z
6 é o coeficiente de x ,
3 é o coeficiente de y e
1 é o coeficiente de z .
Um tipo especial de expressão algébrica é um polinômio. Um
polinômio possui as seguintes características.
Seus coeficientes são números reais. Todas as variáveis admitem apenas expoentes naturais. As operações realizadas sobre as variáveis são somente
adição, subtração e multiplicação.
Um polinômio que possui apenas um termo é chamado de
monômio; um polinômio que possui 2 termos é chamado de
binômio; e um polinômio que contém 3 termos é chamado
de trinômio.
Exemplos
,4 ,3x x e 25x y são monômios
3 1x , x y e 2 281 9W T são binômios.
35 2 1x y e 2 9 10z z são trinômios
3 26 2 4 1x x x é um polinômio de 4 termos.
4
2x não é um polinômio
Nós devemos simplificar qualquer polinômio, antes de
identifica-lo.
Exemplo
3 4x é um binômio pois 3 4 7x x
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) Determine os coeficientes numéricos das seguintes
expressões algébricas
a) 2 2 4a a
b) 25 4x x z
c) 2 24a b ab ab
d) 3x y z
e) 4 2 23x x x
02) Determine se cada uma das seguintes expressões
algébricas é um polinômio. Se for um polinômio, que
nome o descreve? Se não for um polinômio escreva o
porquê.
a) 25 2x y z
b) 2 25x y
z
c) 2ax bx c
d) mx b
e) 25 2x x
f) 1
yx
g) 5
a bc
h) a b
dc
i) 5 34 7 3 2x x x
j) 6 29 2 4x x
Outro caminho para diferenciar polinômios é o grau do
polinômio. O grau de um polinômio em uma variável é o
maior expoente da variável em qualquer termo.
Exemplos
35x é um polinômio de grau 3.
4 32 3 5x x x é um polinômio de grau 2.
2 57 4 3y y é um polinômio de grau 5.
NOTAÇÃO ALGÉBRICA
Muitos problemas são colocados de forma verbal. Então será
necessário traduzi-los para uma expressão algébrica. Não
existe um padrão para fazer isso, mas as seguintes
informações podem ajudar. 18
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Leia o problema cuidadosamente. Observe qual informação é fornecida e qual nós devemos encontrar.
Escolha alguma letra pra representar uma dos valores desconhecidos. Expresse os outros valores desconhecidos em termos desse.
Use as condições dadas no problema e os valores desconhecidos para escrever o problema.
Ao traduzir frases verbais para expressões algébricas, nós
devemos observar para frases que envolvem as operações
básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Exemplos
Vamos representar por x o número desconhecido.
Adição
6x
6 unidades maior que um número.
A soma de um número com 6. 6 mais um número. Um número acrescido de 6. 6 adicionado a um número.
Subtração
6x
6 unidades menor que um número.
Um número diminuído de 6. A diferença de um número e 6. Um número menos 6. 6 subtraído de um número
Multiplicação
3x
Um número multiplicado por 3. 3 vezes um número. O triplo de um número. O produto de um número por 6.
Divisão
2
x
Um número dividido por 2. O quociente de um número e 2. A metade de um número.
EXERCÍCIO PROPOSTO
03) Escreva uma expressão algébrica para cada uma das
seguintes frases.
a) A soma de a e b .
b) 3 vezes a , subtraído de b.
c) 7 a menos que x .
d) 5 a mais que x .
e) A soma de x com y dividido por z
f) x vezes a soma de y e z
g) a diminuído de 5.
h) a diminuído de .b
i) Metade de x , acrescido de 2 vezes x .
j) Um número acrescido de 12.
k) Um número dividido por 5.
l) 3 vezes um número acrescido de 1.
m) 2 vezes a soma de um número com 4.
VALOR DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Propriedade da substituição.
Se duas coisas são iguais, então elas podem ser trocadas uma
pela outra a qualquer momento.
Se a b , então a pode ser torçado por b ou b pode ser
trocado por a em uma expressão sem alterar o valor da
expressão.
Exemplo
Avalie a expressão algébrica 2 2 7x x quando 4x .
2
4 2 4 7 17
Avalie a expressão algébrica 5 2( )a b c d quando
2a , 3b , 2c e 3d .
5(2) (3) 2(( 2) ( 3)) 3
EXERCÍCIO PROPOSTO
04) Avalie as seguintes expressões algébricas para 2a ,
3b , 2c e 3d .
a) 2a b c
b) 3 2 ( )a b c d
c) (3 2 )( )a b a c
d) ac db
e) 7 (6 )a d b c
f) (5 3 )(4 2 )c a d b
g) 2 2 2 2a b c d
h) 2 2( ) ( )ab ac
i) 2( ) ( )c d a b
j) 2 3c d
k) 2 33 2d c
l) 3(3 5 )d c
m) 2 23 2ac a c
FÓRMULAS
Uma fórmula expressa uma relação entre quantidades no
mundo físico, por exemplo, .s v t , que nos fornece o
espaço percorrido s em uma velocidade v durante um
determinado tempo t .
O volume V de um paralelepípedo é calculado pelo
produto do seu comprimento a vezes a sua largura b
vezes sua altura c . A fórmula tem a forma
. .V a b c
Encontre o volume de um paralelepípedo cujas dimensões
são respectivamente 12m , 4m e 5m .
3. . 12.4.5 240V a b c m
19
MATEMÁTICA [email protected] COMPASSO CURSOS
A relação entre temperaturas em Fahrenheit F e graus
Celsius C é dada pela fórmula
5
329
C F
Encontre a temperatura em graus Celsius se a temperatura
em Fahrenheit é 86
5 5
32 86 32 309 9
C F
O perímetro de um retângulo de comprimento x e largura
y é dado pela fórmula
2 2P x y
Encontre o perímetro de um retângulo com 8 metros de
comprimento e 4 de largura.
2 2 2.8 2.4 24P x y m
EXERCÍCIO PROPOSTO
05) Avalie cada fórmula abaixo.
a) A área de um trapézio é dada por ( ).
2
b B hA
,
calcule a área de um trapézio em que 2b cm ,
5B cm , 6h cm .
b) A força resultante, em Newtons N , aplicada sobre
um objeto é dada pela fórmula .F m a . Calcule a
força aplicada sobre um objeto de massa 3m kg
com uma aceleração 25 /a m s .
c) Corrente elétrica I dada em ampères é a quantidade
de carga Q dada em Coulomb C que flui por
unidade de tempo t dado em segundos s em um
sistema elétrico, sendo dada pela fórmula Q
It
.Numa secção reta de um condutor de eletricidade,
passam 12C a cada minuto. Calcule, nesse condutor, a
intensidade da corrente elétrica, em ampères.
Resolução de Problemas
Para resolver problemas nós devemos interpretar frases e
escrever expressões em termos de símbolos algébricos.
EXERCÍCIO PROPOSTO
06) Escreva uma expressão algébrica para cada uma das
seguintes frases.
a) Helena tecla 90 palavras por minuto. Quantas palavras
P ela pode teclar em n minutos?
Resolução:
90.n ou 90n
b) João tem n Reais em sua conta bancária e saca R$
34,00 para realizar uma compra. Qual seu saldo S ?
c) Uma mulher paga r Reais por 300g de mussarela. Qual
o preço P de cada grama?
d) Uma caixa de bombons com y bombons custa R$4,00.
Qual é o custo P de cada bombom?
e) Pedro tem x notas de R$ 10,00, y notas de R$ 5,00 e
z notas de R$ 1,00. Qual é a quantia Q de dinheiro
que Pedro possui?
f) Suse tem p anos. Qual será sua idade I daqui a x
anos?
g) Rose possui R$ 258,00 na sua conta bancária. Ela faz 2
saques de x Reais e n saques de R$ 10,00. Qual será
seu saldo final?
h) Se x representa um número inteiro, escreva uma
expressão para o seu sucessor ( )s .
i) Paula resolve x exercícios de matemática por minuto e
Lucimar resolve 7 exercícios a menos que Paula por
minuto. Escreva uma expressão que associa o número
de exercícios y que Lucimar realiza em 35 minutos.
VOCÊ PODE
Identificar termos em uma expressão algébrica. Identificar um polinômio. Escrever uma expressão algébrica.
SUBTRAÇÃO E ADIÇÃO ALGÉBRICA.
Expressões algébricas (incluindo polinômios) representam
números reais quando as variáveis são trocadas por números
reais. Assim, as propriedades que se aplicam as operações
com números reais também podem ser aplicadas a
expressões algébricas.
Propriedade distributiva
Para quaisquer reais a , b e c temos:
( )a b c ab ac e ( )a b c ab ac
Exemplos
3 4 5 3.4 3.5 12 15 27
2 3 2.3 2. 6a a a
EXERCÍCIO PROPOSTO
07) Aplique a propriedade distributiva
a) 1. 2 3a b
b) 1 2 3a b
c) 2 3a b
d) 2 3a b
20
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Termos semelhantes
Dois termos são iguais quando possuem as mesmas variáveis
com os respectivos expoentes iguais.
Exemplos
2 43a b e 2 4a b são termos semelhantes .
2 34a b e 2 34a b são termos semelhantes .
22x y e 5xy não são termos semelhantes.
Adição e subtração
Usando a propriedade distributiva e a definição de termos
iguais, estamos prontos para soma ou subtrair expressões
algébricas.
Exemplos
3 4 7a a a
5 7 12x x x
4 3 7ab ab ab
3 2y y y y
2 6 5 3 7 3x y x y x y
2 2 26 4 3 2 4x x x x x x
2 2 2 2 2 2 2 2 25 2 3 5 8 3x y xy x y xy x y xy
EXERCÍCIO PROPOSTO
08) Realize as operações possíveis
a) 2 2 2 25 4 3a b ab a b ab
b) 3 2 5a b a b
c) 2 23 2 5 4 3 6x x x x
d) 2 23 4 2 5 7x x x x
e) 2 2 2 22 3 4a ab b a ab b
f) 2 2(8 2 3) 6 6 1R R R R
g) 2 2(5 2 1) (3 4 3)x x x x
h) 2x y x z
i) 2 3 2a b a b
j) 3 2 5R S R R S
k) 5 2 5 3a a b a
l) 2 3 5 3x x x
m) 3 2 ( )a a a b
n) 2 3 2a a b a b
o) 6 5 4 7x a y x y
p) 3 6 4 3 4 3x x x y y x
VOCÊ SABE?
Identificar termos semelhantes?
Adicionar ou subtrair expressões algébricas?
Remover símbolos de agrupamento?
21
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EQUAÇÕES.
EQUAÇÕES
Uma equação é uma sentença matemática aberta expressa
por uma igualdade. Uma sentença matemática é uma
proposição que pode ser classificada em verdadeira ou falsa.
2 1 3 é uma sentença matemática verdadeira.
3 2 6 é uma sentença matemática falsa.
Sentença matemática aberta é aquela que não pode
classificada como verdadeira ou falsa.
2 8x é uma sentença aberta
A veracidade ou falsidade da sentença é “aberta” porque não
conhecemos o valor que a variável representa.
Conjunto solução
Um valor para a variável que faz com que a sentença seja
verdadeira é uma raiz ou uma solução da equação. Dizemos
que a raiz satisfaz a equação. O conjunto solução ou
conjunto verdade de uma equação é o conjunto formado por
todos os valores da variável que satisfazem a equação.
Para checar se um dado valor é solução de uma equação
basta trocar a variável pelo valor a ser checado.
Exemplo
Verifique se 2x é solução da equação 2 4x
2 2 4
4 4
A sentença é verdadeira. Portanto, 2 é solução da
equação. A única solução para essa equação é 2, então o
conjunto solução é {6} .
Se uma equação é verdadeira para qualquer valor da variável,
ela é chamada de identidade.
2 3 2 6x x é uma identidade
EQUAÇÕES LINEARES
Uma equação linear é uma equação com uma incógnita cujo
expoente é 1.
2 8x é uma equação linear.
2 3 4 2 4x x x x é uma equação linear.
Duas equações são equivalentes se possuem o mesmo
conjunto solução.
As equações abaixo são todas equivalentes.
2 4x
6x
4 2 3 4x x
2 3 2 4x x x x
Propriedade da adição e subtração da igualdade
Se adicionarmos ou subtrairmos a mesma quantidade em
cada membro de uma equação o resultado será uma equação
equivalente.
a b a c b c
a b a c b c
Exemplos
2 4x
2 22 4x
6x
Propriedade de simetria da igualdade
Esta propriedade permite trocar de lugar os membros do lado
esquerdo e do lado direto da equação.
a b b a
Exemplo
3 3x x
EXERCÍCIO PROPOSTO
01) Resolva as equações abaixo usando as propriedades da
adição e subtração na igualdade e da simetria
a) 5 7x
b) 4 12x
c) 8 11x
d) 2 7x
e) 5 4 4 3x x
f) 6 4 7 2x x
g) 2 5 3 4x x
h) 3(3 1) 4 2(4 3)x x
i) 12 6 3 4x x x
j) 5(3 2) 7(2 3)x x
k) (9 7) (8 2) 4b b
l) 2 3 ( 2) 8a a
m) 2 1 3( 4) 5b b
Propriedade da multiplicação e da divisão em uma
igualdade
Se multiplicarmos ou dividirmos cada membro de uma
equação por um número diferente de zero o resultado será
uma equação equivalente.
a b a c b c
a ba b
c c
Exemplo
3 21
3 21 73 3
xx x
1. 10
10 1. 10 101 1
xx x x
22
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6 10 5
6 106 6 3
xx x
1
6 4. . 4.6 244 4
xx x
Para equações como 2
123
x , lembre-se que para dividir por
uma fração nós multiplicamos pelo inverso.
2 3 2 3
. 12 . .12 183 2 3 2
x x x
3 4 3 4
9 9 124 3 4 3
x x x
EXERCÍCIO PROPOSTO
02) Resolva as equações abaixo usando as propriedades da
multiplicação e divisão de uma igualdade e da simetria.
a) 2 8x
b) 3
124
x
c) 2
105
x
d) 1
95
x
e) 7
143
x
f) 8 2x
g) 30 6x
h) 4x
i) 5 0x
j) 0 7x
k) 3 0x
l) 13
x
m) 72
x
n) 3,1 21,7x
Resolução de Problemas
Leia o problema cuidadosamente.
Anote quais informações são fornecidas e quais são devem
ser encontradas.
Escolha uma letra para representar um dos valores
procurados e expresse os outros em função dessa.
Escreva uma equação algébrica.
Resolva a equação.
Cheque seus resultados.
Exemplos
Um número acrescido de 16 resulta em 24. Encontre esse
número.
Seja n o número procurado. A palavra chave é “acrescido
de” que significa adicionado, e “resulta”, o qual significa
igual. A equação é então:
16 24n
8n
João gastou R$ 15,00 a menos que Maria no mês passado.
Se João gastou R$ 342,00, quanto gastou Maria.
Seja d a quantidade gasta por Maria no mês passado.
15 342d
357d
03) Resolva os seguintes problemas.
a) Um número acrescido de 11 resulta em 37. Encontre o
número.
b) Se subtrairmos 16 unidades de um número, o
resultado será 52. Encontre esse número.
c) Quando um número é multiplicado por 6 , o resultado
é 54. Encontre esse número.
d) Quando um número é dividido por 9, o resultado é -7.
Encontre esse número.
e) Quando um número é multiplicado por -6, o resultado
é 48. Encontre o número.
f) Alice ganha R$ 4,50 por hora. Se ela recebeu R$
108,00, quantas horas ela trabalhou?
g) Nádia trabalhou 30 horas e recebeu R$ 135,00. Quanto
ela recebe por hora?
h) 4 amigos dividiram igualmente as despesas em um
restaurante. Se cada um pagou R$ 32,50, qual foi o
total da conta?
i) Se 3
4 de um número é igual a 48, encontre o número.
RESOLVENDO EQUAÇÕES LINEARES.
Lembrando que:
Se adicionarmos ou subtrairmos a mesma quantidade em
cada membro de uma equação o resultado será uma
equação equivalente.
Se multiplicarmos ou dividirmos cada membro de uma
equação por um número diferente de zero, o resultado
será uma equação equivalente.
Usando essas propriedades, existem 4 passos básicos para
resolver uma equação linear. Vamos aplicar essas
propriedades em um exemplo.
Exemplo
Resolver a equação 6( 1) 4 10x x .
Passo 01: Simplifique cada membro da equação realizando
todas as adições, subtrações, multiplicações e divisões
indicadas e removendo todos os símbolos de
agrupamentos.
6( 1) 4 10x x
6 6 4 10x x
Passo 02: Use as propriedades da adição e subtração em
uma igualdade para formar uma equação equivalente
onde todos os termos envolvendo a incógnita estejam em
um membro da equação.
6 6 4 10x x
6 4 6 4 4 10x x x x
2 6 10x 23
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Passo 02: Use as propriedades da adição e subtração em
uma igualdade para formar uma equação equivalente
onde todos os termos não envolvendo a incógnita estejam
no outro membro da equação.
2 6 10x
2 6 6 10 6x
2 4x
Passo 02: Use as propriedades da multiplicação e da
divisão em uma igualdade para formar uma equação
equivalente onde o coeficiente da a incógnita seja 1.
2 4x
2 4
2 2
x
2x
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
04) Resolva as equações abaixo.
a) 6 5 7 10 2 3y y y
b) 8 5 7 10 2 3y y y
c) 4(5 2) 7 5(3 1)x x
d) 5 2( 1) 4 3x x x
e) 1 1
24 2
x
f) 5 2 3
26 3 4
x x
g) 5 2 1 4 3x x x
h) 3
5 115
x
i) 5 2
106
x x
j) 2 (3 ) 0x x
k) 6 2(2 1)x
05) A relação entre temperaturas em Fahrenheit F e graus
Celsius C é dada pela fórmula 9
325
F C . Encontre
C quando
a) 18F
b) 27F
c) 2F
Equações literais
Equações que contém duas ou mais variáveis são chamadas
de equações literais. Nós geralmente resolvemos a equação
para uma das variáveis em termos das restantes. O
procedimento para resolução de equações literais é o mesmo
usado para resolver equações lineares.
Fórmulas
Uma fórmula é uma equação matemática que determina uma
relação entre duas ou mais condições físicas. Considere a
fórmula .s v t , que nos fornece o espaço percorrido s
em uma velocidade média v durante um determinado
tempo t .
Se nós conhecermos a distância s entre 2 cidades e o
tempo t gasto para realizar uma viagem entre elas, nós
podemos resolver a equação para encontrar a velocidade
média v .
.s v t s
vt
A equação está resolvida para v em função de s e t .
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
06) Resolva as equações abaixo para a variável especificada
a) Os juros simples J , resultantes da aplicação de um
capital C a uma taxa i , durante um período n
de tempo, podem ser calculados pela fórmula
J Cin . Resolva para i .
b) 5
329
C F para F .
c) 2 2P x y para x .
d) 2 2P x y para y .
e) A área de um círculo é 2A r em que A
representa a área di círculo e r representa o raio.
Resolva para r .
f) A área de um trapézio é dada por ( ).
2
b B hA
,
resolva para h .
g) 3 4 5x y x y para x .
h) ax by c para y .
i) À distância s que um corpo lançado para baixo com
velocidade inicial v irá percorrer em t segundos
por causa da gravidade g é dada por 21
2s vt gt .
Resolva para g.
Resolução de Problemas
Muitos problemas são colocados verbalmente. Será
necessário escrevê-lo na forma algébrica.
Exemplo
Escreva os seguintes problemas na forma algébrica: Um
número é 4 unidades a mais que um segundo número. Se a
soma de ambos é 38, encontre os dois números.
Resolução:
Seja x o menor número. Assim,
4 38SOMA É
MENORMAIORNÚMERONÚMERO
x x
Logo:
24
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( 4) 38x x
2 4 38x
2 34x
34
2x
17x
Assim, o menor número será 17 e o maior será 17 4 21 .
EXERCÍCIO PROPOSTO
07) Escreva os seguintes problemas na forma algébrica.
a) Um número é 18 unidades maior que um segundo
número. Se a somas de ambos é 62, encontre esses
números.
b) Um número é 9 unidades menor que outro. Se a Omã
de ambos é 47, encontre ambos.
c) A diferença entre 2 números é 17. Encontre ambos os
números sabendo a soma deles é 87.
d) Se ao triplo de um número é somado 11 o resultado
será 47. Que número é esse?
e) Um número é o triplo de um segundo número e a
soma dos dois é 24. Encontre esses números.
f) Se o primeiro de dois números consecutivos é
multiplicado por 3, esse produto será 4 vezes maior
eu a soma dos 2 inteiros. Encontre esses números.
25
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INEQUAÇÕES.
Já vimos o significado de cada um dos símbolos:
“é menor que”
”é menor ou igual a”
“é maior que”
“é maior ou igual a”
Estes símbolos definem a ordem de uma desigualdade.
Exemplos:
Se queremos escrever simbolicamente que 4 é menor que
7, escrevemos 4 7 .
Se nós queremos escrever simbolicamente que a variável
x representa um número que é no mínimo igual a 5, nós
escrevemos 5x .
Se nós queremos denotar que a variável T representa
qualquer número menor que 3 , mas não 3, nós
escrevemos 3T .
INEQUAÇÕES LINEARES.
Quando trocarmos o sinal de igualdade em uma equação
linear por um dos sinais de desigualdade acima, nós obtemos
uma inequação linear.
4 8x
A grande diferença entre uma equação linear e uma
inequação linear é a solução. Uma equação linear possui no
máximo uma solução, enquanto que o conjunto solução de
uma inequação linear pode consistir de um número ilimitado
de soluções.
Considere 4 8x .
Nós podemos observar, por substituição, que, por exemplo,
2, 9
2, 4 ou 5 são soluções desta inequação. De fato, nós
podemos perceber que qualquer número maior ou igual a 2 é
solução desta inequação. Assim, os valores de x que
satisfazem essa inequação devem ser tais que 2x .
Outro caminho para indicar as soluções da inequação é
graficamente
Expressando desigualdades graficamente.
Exemplos:
5x . Aqui, x representa um número real que é menor
que 5. Nós indicamos isso graficamente usando uma
circunferência que nós chamamos “bolinha aberta”.
3x .
3 4x . Esta expressão é chamada de desigualdade
simultânea. Ela é lida “ 3 é menor ou igual que x e x é
menor que 4”.
Quando nós representamos desigualdades, uma
desigualdade estrita ( ou ) é representada por uma
“bolinha vazia” enquanto uma desigualdade fraca ( ou ) é
representada por uma “bolinha fechada”.
01) Represente geometricamente as seguintes
desigualdades.
a) 3 2x
b) 2x
c) 2x
d) 0x
e) 0x
f) 2 0x
g) 1 2x
h) 3 4x
RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES LINEARES.
Propriedade da adição e subtração em uma desigualdade.
Podemos adicionar ou subtrair a mesma quantidade em cada
membro de uma inequação sem mudar o sentido da
desigualdade.
a b a c b c
a b a c b c
a b a c b c
a b a c b c
Propriedade da multiplicação e da divisão em uma
desigualdade.
Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma
inequação por um número positivo sem mudar o sentido da
desigualdade.
Se 0
. .
c
a b a c b c
a ba b
c c
Se 0
. .
c
a b a c b c
a ba b
c c
Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma
inequação por um número negativo mudando o sentido da
desigualdade.
Se 0
. .
c
a b a c b c
a ba b
c c
Se 0
. .
c
a b a c b c
a ba b
c c
As propriedades acima valem também para os símbolos
e .
26
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Para justificar essas propriedades observe desigualdade
8 12 .
Se nós adicionarmos ou subtrairmos 4 em cada membro, a
desigualdade continua verdadeira.
8 12
8 4 12 4
12 16
ou
8 12
8 4 12 4
4 8
Se nós multiplicarmos ou dividirmos por 4 cada membro, a
desigualdade permanece verdadeira.
8 12
8.4 12.4
32 48
ou
8 12
8 12
4 4
2 3
Mas se nós multiplicarmos ou dividirmos por 4 , nós
devemos trocar o sentido da desigualdade para obter uma
desigualdade verdadeira.
8 12
8. 4 12. 4
32 48
ou
8 12
8 12
4 4
2 3
Assim, para resolver inequações devemos:
Simplificar cada membro, onde necessário, realizando as
operações indicadas.
Adicionar, ou subtrair, para obtermos uma inequações em
que todos os termos contendo a incógnita estejam do
mesmo lado do sinal de desigualdade.
Adicionar, ou subtrair, para obtermos uma inequações em
que todos os termos que não contém a incógnita estejam
do outro lado do sinal de desigualdade.
Multiplicar, ou dividir, para obter o coeficiente 1 para a
incógnita. Lembrando que ao multiplicar ou dividir por um
número negativo o sentido da desigualdade deve mudar.
Exemplo:
Encontre a solução das seguintes inequações.
2 5 1 4 2x x x
7 1 4 2x x
4 47 1 4 2x x xx
3 1 2x
13 11 2x
3 3x
3 3
3 3
x
1x
O coeficiente negativo na incógnita pode ser evitado se nós
formarmos inequações equivalentes onde a incógnita
aparece somente do lado da desigualdade que possui a
incógnita com maior coeficiente.
2 4x
2
2 4
2
x
1x
5 2 1 7 4 3x x x
10 5 3 3x x
0 5 3 331 3x xx x
7 5 3x
57 55 3x
7 2x
7 2
7 7
x
2
7x
3 2 1 5x
Ao resolver inequações simultâneas, a solução deve ser tal
que a incógnita apareça apenas no termo do meio da
desigualdade. Podemos usar todas as propriedades
aplicando-as ao três termos. Se nós multiplicarmos ou
dividirmos por um número negativo, nós devemos mudar o
sentido de todos os símbolos de desigualdade.
3 21 1511x
4 2 4x
2
4
2 2
2 4x
2 2x
6 3 3 9x
3 3 36 3 3 9x
3 3 12x
3
3
3 3
3 12x
1 4x
Nós podemos escrever a solução na forma
4 1x
Esta forma é mais usual.
27
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
02) Resolva as seguintes inequações e represente
graficamente a solução.
a) 4 5 4 6 1x x x
b) 4 10x
c) 3 15x
d) 3
94
x
e) 4 12x
f) 6 18x
g) 4 3 2 7x x x
h) 3 2 6x x x
i) 4
123
x
j) 4 12x
k) 12 9x
l) 2 3 1 7x
m) 4 5 3 25 11x x
n) 9 4 11x x
o) 3 2 5 4 3x x
p) 3 2 2 5 7x x
q) 2 4 16 3 5 2x x
03) Resolva as seguintes inequações simultâneas e
represente graficamente a solução.
a) 3 3 4 6x
b) 0 7 1 7x
c) 2 3x
d) 4 2 3x
e) 1 3 4 6x
f) 4 3 2 0x
g) 1 4x
Resolução de Problemas
Estamos prontos para combinar habilidades de escrever
expressões e resolver inequações para resolver problemas.
04) Escreva uma desigualdade para cada uma das seguintes
sentenças.
a) A média escolar M de um estudante deve ser no
mínimo 7,0 para aprovação. Escreva essa sentença.
b) Quatro vezes um número menos 5 não é maior que
três vezes esse mesmo número acrescido de 6.
Encontre todos os números que satisfazem essa
condição.
c) Se 4 é subtraído do triplo de um número, o resultado é
maior que 2 mais o dobro do número. Encontre todos
os números que satisfazem essa condição.
d) Quando 7 é subtraído do dobro de um número, o
resultado é maior ou igual a 9. Encontre todos os
números que satisfazem esta condição.
e) O dobro de um número mais 7 é maior que o triplo
desse número menos 5. Encontre todos os números
que satisfazem essa condição.
f) O perímetro de um retângulo é menor que 100 cm. Se
a largura é 30 cm, encontre todos os possíveis valores
para a altura. ( Lembre-se que a largura de um
retângulo deve ser um número positivo) .
VOCÊ SABE?
Representar desigualdades graficamente?
Resolver inequações lineares e inequações lineares
simultâneas?
Resolver inequações expressas verbalmente?
28
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POLINÔMIOS E EXPOENTES.
EXPOENTES.
Anteriormente nós vimos uma introdução à ideia de
potências ao trabalharmos com números reais. Vamos aplicar
essas ideias para expoentes em polinômios.
A expressão 4x é chamada de forma exponencial do produto
x x x x
Nós chamamos x de base e 4 de expoente.
4
4
x x x xx
fatores
forma exponencial forma expandida
expoente
base
O expoente indica quantas vezes a base é usada como fator
no produto indicado.
Observe que um expoente atua somente sobre o símbolo
imediatamente a sua esquerda. Isto é, em 4ab o expoente 4
aplica-se somente ao b , enquanto que, em 4
ab o expoente
aplica-se a ambos, a e b .
Exemplos:
42.2.2.2 2
3
a b a b a b a b
4
3 3 3 3 3
43.3.3.3. 3
4 . . .b b b b b
32 2.2.2
4
. . .x y x y x y x y x y
2
2 2 2
22 2.2
Multiplicação com bases iguais
Exemplo:
2 3
2 3 5. . . . .x x
x x x x x x x x
Ao multiplicarmos potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes.
.m n m na a a
EXEMPLO
Encontre o produto. 3 5 8.x x x 2 4 2 4 63 .3 3 3
Obs. Um erro comum é multiplicar as bases 3.3 9 e somar
os expoentes, encontrando a resposta errada 69 . 2 3 4 2 3 4 9. .y y y y y
2 3 2 1 3 6. .a a a a a
3 4 3 4 7
a b a b a b a b
3 2 5
2 2 2
Potência de um agrupamento
Podemos obter algumas propriedades de potência usando a
definição de expoentes e a propriedades associativas e
distributivas da multiplicação.
Exemplos:
3 3 3. . . . . . . . .xy x y x y x y x x x y y y x y
3 fatores de xy 3 fatores de x 3 fatores de y
Quando um produto é elevado a mesma base, cada um dos fatores desse produto é elevado a esta base.
. .m m na b a a
Exemplos:
Encontre o produto.
4 4 4.ab a b
3 3 3 3 3 32 2 . . 8ab a b a b
3 3 33.4 3 .4 27.64 1.728
Obs. Temos que 3 3 3
a b a b , pois a e b são termos e não
fatores com a propriedade pede.
3
. .a b a b a b a b
Potência de uma potência
Exemplos:
4
34 4 4 4 4 4 4 3.4 12. . . .x x x x x x x x x
3 fatores de x adicionar os expoentes
Uma potência de uma potência é calculada multiplicando-se os expoentes.
Exemplos:
Simplifique
2
3 3.2 6y y y
5
2 2.5 104 4 4
4
5 5.4 20x x x
3
4 4.3 12a a a
29
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PRODUTO DE MONÔMIOS
Para multiplicar os monômios 35 .2x x nós aplicamos a Lei
associativa junto com as propriedades de potências.
3 3 45 .2 5.2 . 15x x x x x
Para encontrar o produto 2 .4a b nós aplicamos a mesma
regra para obter:
2 .4 2.4 . 8a b a b ab
Obs. É bom costume escrever os fatores literais de um termo
em ordem alfabética. Esse procedimento torna mais fácil a
identificação de termos semelhantes. Por exemplo, 2 32x zy e
3 24zy x são termos semelhantes, mas reconhecer esse fato é
mais fácil se eles forem escritos como 2 32x yz e 2 34x y z .
Exemplos:
Realize a operação indicada
24 .3 4.3 . . 12x xy x x y x y
3 3 3 3 78 .4 .3 8.4.3 . . . 96a a a a a a a
2 2 32 . 3 2.3 . . . 6a ab a a b a b
2 3 3 4 2 3 3 4 5 4 45 4 5.4 . 20x y z x yz x x y y z x y z
Resolução de problemas
Exemplos
Escreva uma expressão algébrica para cada uma das
sentenças:
O volume de um cubo de lado é encontrado
multiplicando-se o lado por ele mesmo 3 vezes. 3V
Escreva uma expressão para 5 menos o quadrado de um
número. 25 x
VOCÊ SABE?
Escrever um produto em sua forma exponencial?
Usar a propriedade da multiplicação com bases iguais?
Calcular a potência de um produto?
Calcular a potência de uma potência?
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) Escreva as expressões a seguir na forma exponencial
a) . . .y y y y
b) aaaa
c) 2 2 2 2
d) 2.2.2.2
e) xxxxxx
f) 2 2 2a a a
g) xy xy xy xy
h) a b a b
i) x y x y x y
j) 2 2 2a b a b a b
02) Escreva a produto indicado na forma expandida
a) 5c
b) 4x
c) 4
4y
d) 3
2
e) 42
f) 2
x y
g) 35
h) 3
2x y
03) Simplifique usando propriedades de expoentes.
a) 4 5.x x
b) 3
4a
c) 2 7.x x
d) 2.R R
e) 4.a a
f) 2 44.4 .4
g) 5 3. .x x x
h) 4 7
a b a b
i) 5
ab
j) 3
2abc
k) 4
2a
l) 2 32 3xy x y
m) 2 3 44 5x y xy
n) 3 26 5x x
o) 2 42 3a b ab
p) 2 5 25 2x y x y
04) A área A , de um quadrado é encontrada usando-se o
lado como fator 2 vezes. Escreva uma expressão para a
área do quadrado.
05) A distância s , que um objeto em queda livre percorre em
t segundos é encontrada pelo produto da metade do
valor da gravidade g , pelo quadrado do tempo. Escreva
uma expressão para s .
06) A área de um círculo é encontrada pelo produto da
constante pelo quadrado do raio. Escreva uma
expressão para a área A .
07) O volume de uma esfera é encontrado pelo produto do
número 4
3 pelo cubo do raio. Escreva uma expressão
para o volume V de uma esfera.
08) João tem n anos. Sua irmã diz que ela tem 6 anos a mais
que o cubo da idade de João. Escreva uma expressão
para a idade de usa irmã.
30
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PRODUTO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Para multiplicar um monômio por um polinômio, nós usamos
a propriedade distributiva.
Exemplo
2 2 23x y x xy y
2 22 2 23 3 3. . .x y x y x yx xy y
4 4 2 2 43 3 3x y x y x y
25 55 2 3 .2 .3 10 15y yy y y y y
3 2 2x x xy y
2 2 5 43 33 23 .. .x xx xy y xx x y x y
Para multiplicar dois polinômios nós usamos a propriedade
distributiva várias vezes.
Exemplo
2 .x y x y
. .2 2xx y yy x
2 2. 2 . . 2 . 3 2x x y yx y x y x xy y
Assim, cada termo do primeiro fator é multiplicado por cada
termo do segundo fator.
23 4 . .4 3 3.4 12a a a a a a a a .
PRODUTOS NOTÁVEIS
Três tipos especiais de produtos de polinômios podem ser
obtidos sem a realização de todos os cálculos.
Trinômio quadrado perfeito
Considere o produto
2 2 26 6 6 6 6 36 12 36x x x x x x x x
Os três termos do produto podem ser obtidos da seguinte
maneira:
O primeiro termo é o quadrado do primeiro termo do
binômio. 2x
O segundo termo do produto é igual a 2 vezes o produto
dos dois termos do binômio . 2. .6 12x x
O terceiro termo do produto é o quadrado do segundo
termo do binômio. 26 36 .
De uma forma geral temos:
2 2 22a b a ab b e
2 2 22a b a ab b
Exemplo
2 22 27 2. . 7 7 14 49x x x x x .
Um erro comum é 2 2 2a b a b . O quadrado de um
binômio é sempre um trinômio.
Exemplos
2 2 2 22 3 2 2. 2 .3 3 4 12 9x x x x x
2 2 2 2 25 4 5 2. 5 . 4 4 25 40 16a b a a b b a ab b
O terceiro tipo especial de produto é obtido quando
multiplicamos a soma e a diferença dos mesmos termos.
Considere o seguinte exemplo:
2 23 3 3 3 9 9x x x x x x
Características especiais são evidentes nesse produto.
De uma forma geral temos:
2 2a b a b a b
Exemplos
2 2 27 7 7 49x x x x
22 2 22 2 2 4a b a b a b a b
2 2 2 23 2 3 2 3 2 9 4x y x y x y x y
Apesar de existirem tipos especiais de produtos de
polinômios, nós devemos lembra que:
Para multiplicar dois polinômios, nós multiplicamos cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio e depois combinamos termos semelhantes.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
09) Realizes as multiplicações indicadas e simplifique.
a) 2 22ab a bc c
b) 6 4 7x y z
c) 2 23 5 7a b c
d) 4 2 2 4ab a a b b
e) 2 2 25 3 4ab a ab b
f) 2 5 5x x y y
g) 23 2 2a a b b
h) 9 4y y
i) 1 1b b
j) 2
3R
k) 2 2R R
l) 3 3a a
m) 3 2 4x x
n) 7 2 2 7x x
o) 3 2 3x y x y
p) 22 2 3 2a a a
q) 2 23x y x xy y
r) 6 2 1a a a
s) 2
6a b
t) 2 3 2 3a b a b
31
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u) 4 4x y x y
v) 2 24 2a b a ab b
w) 2 22 2 3x y x xy y
x) 2 22x y x xy y
y) 3
a b
z) 3
a b
10) A área de uma coroa circular (região entre dois círculos) é
dada por A R r R r . Realize a multiplicação
indicada.
11) Ao retirarmos quadrados de lados de medida x cm dos 4
cantos de um quadrado de lado e dobrarmos os lados
para cima, obtemos uma caixa cujo volume é dado por
2 . 2V x x . Realize a multiplicação indicada.
VOCÊ SABE?
Multiplicar um monômio por um polinômio?
Multiplicar 2 polinômios?
Calcular o quadrado de um binômio e o produto da soma pela diferença dos mesmos termos?
Potência de uma fração
Considere a expressão 3
a
b
, temos:
3 3
3
3
3
. .
. .
a a a a a a a a
b b b b b b b b
fatores
fatores
Então quando uma fração é elevada a uma potência, o
numerador e o denominador são ambos elevados a essa
potência. n n
n
a a
b b
, 0b
Exemplos
3 3
3
3 3 27
4 4 64
5 5
5
a a
b b
33 3
3 3
22 8aa a
b b b
.
Divisão de expressões na mesma base.
Considere a expressão 6
2
x
x. Nós podemos usar a definição de
expoentes para escrever a fração como: 6
2
. . . . . . . . .
.
x x x x x x x x x x x x
x x x
. x
x . x
4. . .x x x x x
Assim, para dividir potências com a mesma base, subtraia o
expoente da potência do denominador do expoente da
potência do numerador.
mm n
n
aa
a
, 0a
Exemplos
7
7 5 2
5
xx x
x
11
11 4 7
4
aa a
a
4
4 1 355 5
5
5 2 5 2 7
7 4 3
4 4 4
.a a a aa a
a a a
3 3
2 2
x x
y y ( Não podemos simplificar neste caso)
5 9 15
5 3 9 5 15 12 2 4 3 4 3
3 5 12
22 . . 2 . . 4
2
x yx y x y x y
x y
Expoentes negativos
Vamos considerar problemas em que o expoente no
numerador é menos que o expoente no denominador.
Considere o exemplo: 2
6
.
. . . . .
x x x x
x x x x x x x
. x
. . . .x x x x x . x4
1 1
. . .x x x x x
Nós subtraímos novamente os expoentes, deixando o
expoente 6 2 4 no denominador.
Entretanto, poderíamos ter usado a propriedade da divisão
de potências de mesma base para obter: 2
2 6 4
6
xx x
x
Como a resposta deve ser a mesma devemos concluir que
4
4
1x
x
, o que nos leva a definição de potências com
expoentes negativos.
1n
na
a
, 0a
32
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Uma potência com expoente negativo em qualquer base ( diferente de zero) pode ser escrito como 1 sobre a mesma potência com o expoente positivo.
Exemplos
3
3
1x
x
9
9
1a
a
Da definição de expoentes negativos, se um fator é movido
ou do numerador para o denominador ou do denominador
para o numerador, o sinal do expoente deve mudar. O sinal
da base não será afetado por essa mudança.
Exemplos
3
3
1x
x
4
4
1b
b
3
3
13
3
Expoente zero
Considere a situação 3
3
. . 11
. . 1
x x x x
x x x x , por outro lado
33 3 0
3
xx x
x
. O que nos leva a seguinte definição:
0 1a , 0a
Qualquer potência de um número diferente de zero elevado a zero é igual a 1.
Exemplos ( Considere que nenhuma base resulta em zero)
0 1b
05 1
0
1a b
0
3 1x
VOCÊ SABE?
Elevar uma fração a uma potência?
Realizar divisões com expressões com a mesma base?
Realizar operações envolvendo potências com expoentes negativos?
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
12) Escreva cada uma das expressões com expoentes
negativos. Assuma que nenhuma variável é igual a zero.
a) 0x
b) 0
2y
c) 05a
d) 0
3B
e) 2S
f) 5R
g) 3
2x
h) 2
3P
i) 24z
j) 49C
k) 4
5
x
l) 3
1
2 y
m) 2
1
3x
n) 4 22x y
o) 2 4x y
p) 0 2 5p r t
q) 3 2 4x y z
13) Realize as operações indicadas e deixe a resposta
somente com expoentes positivos.
a) 6
a
b
b)
4
x
y
c) 3
2
3
d) 4
1
2
e)
4
2x
y
f) 3
2ab
c
g) 3
3a
b
h) 12
6
x
x
i) 4
2
y
y
j) 6
9
c
c
k) 3
6
6
l) 4 3
2
x x
x
m) 4
2
y y
y
n) 7 5
4 2
a b
a bh
33
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o) 3 3 7
5
2
2
x y
xy
p) 3 4 5
4 4 5
3
3
a b
a b
q) 2 3
3 7 3
5
5
a b
a b
r) 4 7x x
s) 4
2
t) 5 0 2x x x
u) 0
3a
14) Simplifique, deixando a resposta somente com expoentes
positivos.
a) 3
22a
b) 3
22x y
c) 4
4 3x y z
d) 2
5 2 45a b c
e) 2
22a
f) 2
1 24 x
g) 3
43xy
h) 2
2 5 3x y z
i) 2 0 2 53 2x x y x y
j) 2 3 2 52 3x y x y x y
k)
3
2
2x
y
l)
22 0
3
3a c
b
m)
12
4
xy
z
n)
23
5
2a
b
o)
21 2
5
4 a
b
p)
32
1
ab
c
q)
32 3
2
2 x
y
34
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NOTAÇÃO CIENTÍFICA.
Um importante uso de potências com expoentes inteiros é
nas ciências, engenharias e outros campos técnicos que
trabalham com números muitos grandes ou muito pequenos.
Exemplos:
A massa de um átomo de hidrogênio é
0,00000000000000000000000167g
A massa de um elétron é
0,00000000000000000000000000000091g
A meia vida do chumbo-204 é
14,000,000,000,000,000,000 anos.
Para trabalhar com tais números, mesmo em calculadoras, é
muito útil escrevê-los em notação cientifica. Um número x
esta em notação cientifica se estiver escrito na forma do
produto
10nx a onde 1 10a e n .
Para obter a forma cientifica de um número decimal x ,
usamos os seguintes passos:
Mova a vírgula decimal para a posição imediatamente após o primeiro algarismo diferente de 0 em x .
Conte o número de casas que a vírgula decimal foi movida. Este número é o expoente n .
Se o decimal ponto: o Foi movido para a esquerda, então n é
positivo, o Foi movido para a direita, então n é negativo, o Não se moveu, então 0n .
Exemplos:
Escreva os seguintes números em notação científica:
a) 2
2250 2, 50 10 casas
b) 7 745000000 4,5000000 10 4,5 10
7 casas
c) 05 5 10
d) 4 40,000152 00001,52 10 1,52 10 4 casas
e) 2
2 20,0234 0 02 ,34 10 2,34 10 casas
Algumas vezes é necessário converter um número em
notação cientifica para a forma padrão. Para fazer isso,
vale as seguintes regras.
Se n for: o Positivo, a vírgula decimal é movida n casas para a
direita, o Negativo, a vírgula decimal é movida n casas para a
esquerda,
o Zero, a vírgula não é movida.
Exemplos:
Escreva os seguintes números em notação padrão:
a) 41,45 10 14.500
b) 35,23 10 0,00523
c) 24,07 10 0,0407
Cálculos com notação científica.
Notação científica pode ser usada para simplificar o cálculo
quando os números envolvidos são ou muito grandes, ou
muito pequenos.
Exemplos:
Realize os cálculos indicados:
a) 8 2349.000.00 0,0816 3,49 10 8,16 10
8 2 63,49 8,16 10 10 28,4784 10 28.478.400
b)
8 3
3 2
1,02 10 1,05 10102.000.000 0,00105
1.190 0,012 1,19 10 1,2 10
8 3
4 4
3 2
1,02 1,05 10 10 1,02 1,0510 0,75 10 7.500
1,19 1,21,19 1,2 10 10
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) Escreva cada um dos números a seguir em notação
científica.
a) 4.380
b) 255
c) 12.345
d) 14.800
e) 1.570,7
f) 6.000.736
g) 0,12079
h) 0,000000000000094
i) 456
j) 0,00087
k) 0,000000029
02) Escreva os seguintes números em notação padrão
a) 49,98 10
b) 32,07 10
c) 55,061 10
d) 41,073 10
e) 25,0 10
f) 47,89 10
g) 52,3 10
03) Um micrômetro 1 m é igual a 0,000001 de um metro.
Escreva esse número em notação cientifica.
35
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04) A velocidade da luz é de aproximadamente
30.000.000.000 centímetros por segundo cms . Escreva
esse número em notação cientifica.
05) Realize as operações indicadas usando notação científica.
Deixe sua resposta em notação científica.
a) 456.000.000 0,000.587
b) 0,0000183 0,00003
c) 128.000.000 0,000000032
d) 0,00625 5.000.000
VOCÊ SABE?
Expressar um número em notação científica? Converter um número em notação científica para notação
padrão? Realizar cálculos usando notação científica?
36
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FATORAÇÃO DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
Para encontrar o conjunto solução de certas equações que
não são lineares, nós precisamos estudar uma técnica
chamada “fatoração de polinômios”. Esta técnica também
será útil quando estudarmos frações algébricas.
FATORES COMUNS
Nosso primeiro tipo de fatoração consiste em encontrar
fatores comuns em cada termo de um polinômio. Para isto,
devemos relembrar a propriedade distributiva.
. .a b c a b a c
a b c é chamada de forma fatorada de . .a b a c .
Vamos usar a propriedade distributiva para escrever 3 6x
em sua forma fatorada.
3 33 6 . .2 . 23x x x
Assim 3. 2x é a forma fatorada de 3 6x .
Esse tipo de fatoração, como o próprio nome indica envolve
encontrar números ou símbolos que são fatores comuns em
todos os termos originais.
Quando um polinômio é fatorado, nós “extraímos” o maior
fator comum do polinômio.
O maior fator comum é formado
pelo maior inteiro que é um fator comum de todos os
coeficientes e,
pela variável ou variáveis comuns junto com a menor
potência que aparece em todos os termos.
Exemplos:
Fatore os seguintes polinômios.
33 6 . .3 2 23x x x
2 2 210 15 . 25 2 . 53 35x y x y x y
12 42 .26 6.7 6 2 7a b a b a b
18 12 .36 6 . 362 2x xxy xz y xz y zx
Nesses exemplos, nós encontramos o maior fator comum
através de uma simples observação. Em alguns casos, isto
pode não ser possível. Assim o seguinte procedimento
ajudará.
Exemplos:
Fatore o seguinte polinômios.
3 2 312 30x y x y
Fatore cada coeficiente em fatores primos.
3 2 3
2 32 3 2.3.5. .
12 30
2 .3. . x y
x y x y
x y
Observe todos os números e variáveis que são comuns a
todos os termos.
22.3. .x y
Este é o fator comum. Encontre cada termo entre parêntese
do polinômio dividindo cada termo do polinômio pelo fator
comum.
3
2
122
6
x yx
x y e
2 32
2
305
6
x yy
x y
Obtendo:
2 26 2 5x y x y
Agora, nós podemos escrever o polinômio em sua forma
fatorada.
3 2 3 2 22 2 212 30 .2 .56 6 56 2x y x y x yx y x y x yy x
No exemplo 3 2 3 2 212 30 6 2 5x y x y x y x y poderíamos
também ter fatorado a expressão 3 2 312 30x y x y como
2 23 4 10xy x xy ou 3 2 2512
2y x x y
.
Assim um polinômio com coeficientes inteiros será
considerado completamente fatorado quando satisfizer os
seguintes critérios.
O polinômio esta escrito com um produto de polinômios
com coeficientes inteiros.
Nenhum dos termos do polinômio pode ser novamente
fatorado.
Normalmente, quando nós “extraímos” um fator de um
polinômio, nós “extraímos” de tal maneira que seu
coeficiente seja positivo. Observe que nós também podemos
fazer o oposto, ou seja, “extrair” um fator de tal forma que
seu coeficiente seja negativo. No exemplo anterior
poderíamos ter feito:
3 2 3 2 212 30 6 2 5x y x y x y x y
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
06) Escreva na forma fatorada.
a) 37 14a a
b) 5 3 29 6 18x x x
c) 2 3 4 4 272 84 48a b a b a b
d) 3 2 2 4 23 15 3x y x y xy
e) 3 12a
f) 2 28 10y x 37
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g) 25 10 20r rs s
h) 8 12 16x y z
i) 18 27 3ab a ac
j) 2 215 27 12a b ab
k) 2 3 4V V V V
l) 3 22 18 2L L L
m) 3 22x x x
07) Forneça o fator omitido
a) 3 6a b
b) 2 3 2 2 2 2a b a b a b
c) 6 8 12 2x z w
d) 3 2 34 36 16 24 4a ab ab b
e) 22x xy xy x
Já vimos que, quando uma expressão está envolvida por um
símbolo de agrupamento, nós a tratamos como um único
número.
Exemplos:
Fatore os seguintes polinômios
2 2x a b y a b
2 2 2x a b y a b a b x y
2x a b a b
2 2 1x a b a b x a b
23 2 9 2x a b x a b
23 2 9 2 3 2 3x a b x a b x a b x
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
08) Escreva na forma fatorada.
a) 5 5x y x y
b) x a b y a b
c) 15 2 10 2x a b y a b
d) 8 6 6a b b
e) 21 2 35 2R L N S L N
AGRUPAMENTOS
Consideremos o polinômio ax ay bx by . Observe que a
é um fator comum dos dois primeiros termos e b é um fator
comum dos dois últimos. Assim, podemos usar a
propriedade distributiva para fatorar os dois primeiros
termos e os dois últimos.
ax ay bx by ax ay bx by a x y b x y
Agora x y é comum aos dois termos, então nós usamos a
propriedade distributiva novamente. Assim:
ax ay bx by a b x y
Para fatorar um polinômio usando agrupamento nós:
Reordenamos o polinômio de tal forma que os dois
primeiros termos tenham um fator comum e os dois
últimos tenham um fator comum.
Determinamos o maior fator comum de cada para e o
fatoramos.
Se o passo anterior produzir um fator binomial comum em
cada termo, nós o “extraímos”.
Exemplos:
Fatore o seguinte polinômios.
2 2ax ay bx by
2 2a a b ybx y x
2 2a bx y x y
2x y a b
3 6 2 4ac ad bc bd
3 6 2 4ac ad bc bd
3 . 2 2 2a c d b c d
2 3 2c d a b
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
09) Escreva na forma fatorada.
a) 2 2ax ay bx by
b) 6 3 2ax by ay bx
c) rt ru st su
d) 5 3 15ax by bx ay
e) 2 22 6 3ax bx a b
f) 220 5 12 3x xz xy yz
g) 2 2ac ad bc bd
h) 2 3 8 12ac bc ay by
i) 2 4 2ax ad bx bd
j) 3 22 15 10 3a a a
10) Escreva na forma fatorada.
a) A área da superfície de um cilindro é calculada pela
fórmula 22 2A rh r .
b) A superfície total de um cone circular reto é dada por 2A rg r .
c) A equação da distância S percorrida por certo
foguete disparado verticalmente é dada por 2560 16S t t .
VOCÊ SABE?
Determinar o maior fator comum? Fator um polinômio usando agrupamento?
38
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FATORAÇÃO DE 2x bx c
Determinando se um trinômio é fatorável.
Lembre-se que para multiplicar 2 binômios nós usamos a
propriedade distributiva da multiplicação em relação à
adição.
2
Multiplicando
2 6 8 36x x x x
Agora, nós vamos fazer o processo inverso, ou seja, vamos
fatorar o trinômio.
2
Fatorando
8 36 2 6x x x x
Os seguintes exemplos nos ajudarão a entender o
procedimento:
Exemplos:
Em geral,
2 .x m x n x m n x m n
O trinômio 2x bx c poderá ser fatorado usando inteiros
somente se existir 2 inteiros m e n tais que
m n b e .m n c
2x bx c x m x n
Para obter o sinal ou para m e n
Se 0c , então m e n tem o mesmo sinal de b .
Se 0c , então m e n tem sinais opostos. Neste caso
aquele com o maior valor absoluto terá o mesmo sinal de
b .
Exemplos:
Fatore os seguintes trinômios:
2 11 28a a
Devemos ter 11m n e . 18m n ,
Desde que 11 0b e 18 0c , m e n são ambos
positivos.
Fatorações do 18 Soma dos fatores
1.18 1 18 19
2.9 2 9 11
3.6 3 6 9
Assim, temos 2m e 9n . A fatoração é:
2 11 18 2 9a a a a
2 2 15b b
Devemos ter 2m n e . 15m n ,
Desde que 2 0b e 15 0c , m e n tem sinais
opostos e aquele com maior valor absoluto será negativo.
Fatorações do 15 Soma dos fatores
1. 15 1 15 14
3. 5 3 5 2
Assim, temos 3m e 5n . A fatoração é:
2 2 15 3 5b b b b
2 5 24x x
Devemos ter 5m n e . 24m n ,
Desde que 5 0b e 24 0c , m e n tem sinais
opostos e aquele com maior valor absoluto será positivo.
Fatorações do 24 Soma dos fatores
1 .24 1 24 23
2 .12 2 12 10
3 .8 3 8 5
4 .6 4 6 2
Assim, temos 3m e 8n . A fatoração é:
2 5 24 3 8x x x x
39
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2 5 12x x
Devemos ter 5m n e . 12m n ,
Desde que 5 0b e 12 0c , m e n são positivos.
Fatorações do 12 Soma dos fatores 1.12 1 12 13
2.6 2 6 8
3.4 3 4 7
Nenhuma fatoração de 12 tem soma igual a 5, ou seja, não
existe um par de números inteiros nestas condições e o
trinômio não será fatorado usando inteiros. Nós chamaremos
este polinômio de primo.
4 3 2 2 24 12 4 21x x x x x x
Para efetuar a fatoração, nós verificamos que
2 4 21 3 7x x x x . Assim:
4 3 2 24 21 3 7x x x x x x
22 2 9 20 9. 20x y xy xy xy
Assim 9m n e . 20m n
2 2 9 20 4 5x y xy xy xy
2 25 6x ax a
5m n a e 2. 6m n a
Assim:
2 25 6 2 3x ax a x a x a
11) Escreva na forma fatorada.
a) 2 8 20z z
b) 2 9 18a a
c) 2 13 12x x
d) 2 14 24x x
e) 2 9 36y y
f) 2 2 24a a
g) 22 26 24a a
h) 2 5 7x x
i) 2 13 40b b
j) 25 15 50a a
k) 2 2 30x y xy
l) 2 23 3 36x y xy
m) 2 22a ab b
n) 2 26a ab b
o) 2 22 15x xy y
p) 25 5 30y y
q) 2 27 10a ab b
r) 2 23 2x xy y
VOCÊ SABE?
Determinar 2 inteiros cujo produto é um número e cuja a soma é outro?
Reconhece quando um trinômio 2x bx c poderá ser fatorado usando inteiros?
Fatora trinômios da forma 2x bx x
FATORAÇÃO DE 2ax bx c
A forma 2ax bx c é a forma padrão do trinômio.
Considere o produto
2 3 3x x
Utilizando a propriedade distributiva nós encontramos
2 22 3 3 2 6 3 9 2 9 9x x x x x x x
Se nós observamos o processo de multiplicação, nós veremos
que 6 e 3 aparecem como coeficientes dos termos
intermediários e que são combinados para a resposta final.
2 26 3 92 3 3 2 9 2 9x x x x x x x
Assim para reverter o processo nós podemos fazer 2 22 992 39 6x x x x x
Usando agrupamento e fatoração temos que:
22 6 3 9 2 3 3 3x x x x x x
Como 3x passa a ser um fator comum podemos
reescrever:
2 3 3 3 2 3 3x x x x x
O trinômio 2ax bx c poderá ser fatorado utilizando-se
coeficientes inteiros se nós pudermos encontrar dois inteiros
m e n cuja soma é igual a b e cujo produto é igual a .a c de
tal forma que:
No trinômio 22 9 9x x temos 9b e . 2.9 18a c .
Assim, nós procuramos:
9
. 18
m n
m n
Os valores para m e n são 3 e 6.
Para fatorar 2ax bx c
Determine se o trinômio 2ax bx c é fatorável
encontrando m e n tais que . .m n a c e m n b .
Troque o termo intermediário bx por mx nx .
Fatore os dois primeiros termos e os dois últimos.
Utilize fator comum para fatorar novamente.
O processo para determinar os sinais de m e n é similar ao
utilizado anteriormente.
Se . 0a c , então m e n tem o mesmo sinal de b .
Se . 0a c , então m e n tem sinais diferentes e o que
possui o maior valor absoluto possui sinal igual ao de b
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
12) Escreva na forma fatorada.
a) 26 13 6x x
b) 23 5 2x x
c) 24 11 6x x
d) 212 4 5x x
e) 26 9 4x x
f) 224 39 18x x
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
13) Escreva na forma fatorada.
a) 26 23 15x x
b) 212 12 9x x
c) 22 6x x
d) 22 3 1x x
e) 22 7 6R R
f) 25 7 6x x
g) 29 6 1x x
h) 25 4 6x x
i) 26 13 6x x
j) 24 20 21x x
k) 24 2 5x x
l) 22 14 12x x
m) 25 9 2R R
n) 26 17 12x x
o) 23 2 4x x
p) 29 27 8x x
q) 28 18 9x x
14) Quando uma pedra é atirada verticalmente, a altura h
dessa pedra em um instante t é dada pela fórmula 216 32 16h t t . Fatore o lado direito dessa
expressão.
VOCÊ SABE?
Determinar 2 inteiros cuja soma e produto são conhecidos?
Reconhecer quando o trinômio 2ax bx c pode ser fatorado e quando não?
Fatorar trinômios da forma 2ax bx c ?
Sempre relembrar de fatorar qualquer fator comum antes da aplicação de outras regras?
FATORAÇÃO DE DIFERENÇA DE QUADRADOS
Anteriormente vimos que 2 2a b a b a b . Neste
momento queremos inverter o processo, isto é, devemos
reverter a fórmula. Assim:
41
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2 2a b a b a b
Para utilizar esta técnica, devemos estar aptos a reconhecer
quadrados perfeitos.
2
9 3.3 3
2225 5 5 5a a a a
2
4 2 2 29 3 3 3a a a a
Para fatorar diferenças de quadrados
Verifique se temos uma diferença de dois quadrados
perfeitos.
Reescreva o problema.
Fatore.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
15) Escreva na forma fatorada.
a) 2 9x
b) 2 24a b
c) 2 24 25x y
d) 2 2 44x x y
e) 2 22 18a b
f) 23 48a
g) 4 16a
EXERCÍCIO PROPOSTO
16) Escreva na forma fatorada.
a) 2 64t
b) 2 2 24a b c
c) 2 2r s
d) 249 R
e) 24 9y
f) 2 216x z
g) 2 236b c
h) 2 28 32x y
i) 2 25 125r s
j) 250 2x
k) 2 2 225r s t
l) 416 1t
m) 2 449 64x y
n) 2 2 2 298 50x y p c
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
Nós já vimos que
2 2 22a b a ab b e
2 2 22a b a ab b .
Os membros do lado direito são os quadrados do binômio do
membro do lado esquerdo. Neste momento, nós desejamos
reverter esse procedimento. Trinômios quadrados perfeitos
podem ser fatorados pela técnica descrita no início desta
aula. Porém, se nós observamos que o primeiro e o último
termo são quadrados perfeitos nós devemos tentar fatorar o
trinômio como um quadrado perfeito.
Condição necessária para um trinômio quadrado perfeito
O primeiro termo deve ter coeficiente positivo e ser um
quadrado perfeito.
O último termo deve ter coeficiente positivo e ser um
quadrado perfeito.
O termo do meio deve ser 2 vezes o produto das bases do
primeiro e do último termo. 2ab ou 2ab
EXERCÍCIO RESOLVIDO
17) Escreva na forma fatorada.
a) 29 12 4x x
b) 24 20 25x x
c) 29 6 1x x
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d) 216 24 9x x
e) 29 30 25y y
EXERCÍCIO PROPOSTO
18) Escreva na forma fatorada.
a) 2 14 49c c
b) 2 8 16b b
c) 2 6 9a a
d) 2 12 36x x
e) 2 29 12 4c cd d
f) 2 29 30 25a ab b
g) 2 216 64x xy y
VOCÊ SABE?
Identificar e reescrever quadrados perfeitos? Fatorar a diferença de dois quadrados? Relembrar que a soma de dois quadrados não pode ser
fatorada? Fatorar quaisquer fatores comuns antes de aplicar as
outras regras?
OUTROS TIPOS DE FATORAÇÃO
A DIFERENÇA DE DOIS CUBOS.
Considere o produto 2 2a b a ab b . Se nós fizermos os
produtos indicados, nós obteremos:
2 2 3 3a b a ab b a b
EXERCÍCIO RESOLVIDO
19) Escreva na forma fatorada
a) 3 27x
b) 3 38x y
c) 3 32 54a b
d) 15 364a b
A SOMA DE DOIS CUBOS.
Considere o produto 2 2a b a ab b . Se nós fizermos os
produtos indicados, nós obteremos:
2 2 3 3a b a ab b a b
EXERCÍCIO RESOLVIDO
20) Escreva na forma fatorada
a) 3 8a
b) 3 125x
c) 3 218a b
d) 3 3 3x y z
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EXERCÍCIO PROPOSTO
21) Escreva na forma fatorada.
a) 3 3r s
b) 3 38x y
c) 3 3h k
d) 3 8a
e) 3 38x y
f) 3 364x y
g) 3 327 8x y
h) 3 38 37a b
i) 364 1s
j) 5 2 327x x y
k) 3 316 2a b
l) 12 27x
m) 18 9 327x y z
n) 15 6 98a b c
REVISÃO
Fator Comum e agrupamentos
Procure sempre fatorar os fatores comuns antes de
prosseguir.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
22) Escreva na forma fatorada
a) 3 25 25a a
b) 2 2 4ca cb da bd
Dois Termos
Cheque se é diferença de quadrados, diferença ou soma de
cubos.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
23) Escreva na forma fatorada
a) 2 216a b
b) 3 38a b
c) 3 364m n
Três termos
Verifique a possibilidade de obter trinômio quadrado
perfeito. Se não for o caso, use métodos gerais de fatoração
de trinômios.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
24) Escreva na forma fatorada
a) 2 6 9a a
b) 2 5 14a a
c) 26 7 20a a
Quatro termos
Verifique a possibilidade fatoração usando agrupamento.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
25) Escreva na forma fatorada
a) 3 2 6ac a bc b
b) 3 22 3 6a a a
Cheque se qualquer um dos fatores obtidos pode ser
novamente fatorado.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
26) Escreva na forma fatorada
a) 4 211 28c c
b) 2 24 36a b
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EXERCÍCIO PROPOSTO
27) Escreva na forma fatorada.
a) 2 49n
b) 27 36 5b b
c) 2 2 2 8x y xy
d) 225 3 5 3a b c a b c
e) 2 24 16a b
f) 25 18 60x x
g) 6 4 3 2am bm an bn
h) 23 13 4a a
i) 2 26 24 48x xy y
j) 2 24 20 25x xy y
k) 53 48a a
l) 23 8 91b b
m) 3 6 2 4ax bx ay by
n) 2 29 30 25a ab b
o) 26 17 3x x
p) 3 327y z
q) 3 3 64a b
r) 3 38b c
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS POR
FATORAÇÃO.
Anteriormente, estudamos equações lineares, que também
são conhecidas como equações do primeiro grau. Lembre-se
que o grau de uma equação em uma variável é o maior
expoente daquela variável em qualquer termo. Agora, nós
encontraremos soluções para equações do 2º grau, também
chamadas de equações quadráticas.
2 0ax bx c 0a
SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO QUADRÁTICA
Oberve a equação 2 6 0x x . Já sabemos obter a sua
forma fatorada:
2 6 0 3 2 0x x x x
Esta equação afirma que o produto dos fatores 3x e
2x é zero.
PROPRIEDADE DO PRODUTO IGUAL A ZERO
, . 0 0 0p q p q p q e ou
Se o produto de dois fatores é igual a zero, então no
mínimo um dos fatores é zero.
Generalizando:
Se 0 0 0x p x q x p x q ou .
Assim
3 2 0x x
3 0 2 0x x ou
3 2x x ou
{ 2, 3}V
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
28) Encontre o conjunto solução das seguintes equações:
a) 5 4 0x x
b) 3 3 1 0x x
c) 3 7x x
PARA RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU POR FATORAÇÃO
Escreva a equação em sua forma padrão 2 0ax bx c
com 0a .
Fatore completamente o membro esquerdo.
Iguale cada fator a zero e resolva as equações obtidas
Cheque suas soluções
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
29) Encontre o conjunto solução das seguintes equações:
a) 2 5 6x x
b) 2 2x x
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c) 2 16x
d) 24 20 25x x
e) 23 3 6x x
EXERCÍCIO PROPOSTO
30) Encontre o conjunto solução das seguintes equações:
a) 2 3 1 0x x
b) 6 0x x
c) 3 7 0a a
d) 3 9 2 3 0x x
e) 5 3 10 4 1 0x x x
f) 22 5a a
g) 24 9y
h) 2 4 0x x
i) 22 18 0y
j) 2 7 12 0x x
k) 2 3 4 0x x
l) 2 14 49 0a a
m) 2 32 4y y
n) 2 27 6x x
31) O produto de dois números pares consecutivos é 168.
Encontre esses números.
32) A área de um retângulo é dada pela fórmula .A b h em
que b é a medida da largura e h é a altura do retângulo.
A largura de certo retângulo é 2 cm maior que o triplo de
sua altura. Se a área desse retângulo é 233A cm .
Encontre sua largura e sua altura.
33) Um móvel com velocidade inicial v sofre uma aceleração
a durante um tempo t . O espaço percorrido por s esse
móvel é dado pela equação 21
2s vt at .Encontre t
quando 8s , 0v , 2a
VOCÊ SABE?
Encontrar o conjunto solução de uma equação em sua forma fatorada cujo produto é igual a zero?
Encontrar o conjunto solução de uma equação do 2º grau por fatoração?
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EXPRESSÕES RACIONAIS.
EXPRESSÕES RACIONAIS
Aprendemos que um número racional é um número que
pode ser escrito como quociente entre dois inteiros com
denominador diferente de zero.
5 , 2
7,
4
9 .
Vamos ampliar esta definição para o quociente de 2
polinômios.
Uma expressão racional é uma expressão com a forma: P
Q
Onde P e Q são polinômios e 0Q
Assim, uma expressão racional é uma expressão que pode ser
escrita como o quociente de 2 polinômios com o
denominador diferente de zero.
Exemplos:
2
1
x
x
2
2
2
6
x
x x
2
5
x x
Assim como nos números racionais o polinômio de cima é o
numerador e o de baixo é o denominador.
Para avaliar expressões racionais basta substituir a variável
pelo valor fornecido e realizar as operações indicadas.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01) Avalie as seguintes expressões racionais para o valor
fornecido.
a) 2
5
2 1
x
x x
para
1
2x
b) 5 2
4 3
x
x
para 2x
c) 2
2
3 10
x
x x
para 5x
Uma expressão racional não tem significado para aqueles
valores da variável que fazem com que o denominador seja
zero. Esses valores são restrições para a variável. Todos os
outros valores da variável para os quais a expressão está
definida formam o domínio da expressão racional.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02) Encontre o domínio das seguintes expressões racionais.
a) 3
4
x
x
b) 2
2
3
6
x
x x
c) 2
2
3
4
x
x
d) 2
3x
x x
EXERCÍCIO PROPOSTO
03) Encontre o domínio das seguintes expressões racionais.
a) 2
3
6
x
x x
b) 4
3x
c) 23
3
x
x
d) 9
4 3
a
a
e) 2
8
3 2 8
x
x x
f) 2
4
4h
VOCÊ SABE?
Avaliar uma expressão racional para um dado valor? Determinar as restrições sobre a variável? Determinar o domínio de uma expressão racional?
47
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PRINCÍPIO FUNDAMENTAL.
Um dos procedimentos mais importantes usados a
trabalharmos com expressões racionais é a simplificação.
Para fazer isso, utilizamos o seguinte princípio.
Se P é um polinômio e Q e R são polinômios diferentes
de zero, então:
PR P
QR Q e
P PR
Q QR
Para mudar a aparência de uma expressão racional sem mudar seu valor, nós podemos multiplicar ou dividir o numerador e o denominador por um mesmo polinômio diferente de zero.
Esta propriedade nos permite reduzir uma expressão racional
para termos irredutíveis. A expressão racional é irredutível se
o maior fator comum entre o numerador e o denominador é
igual a 1 ou -1.
PARA REDUZIR UMA EXPRESSÃO RACIONAL
Escrever numerador e denominador na forma fatorada. Dividir o numerador e o denominador por todos os fatores
comuns.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
04) Simplifique as expressões racionais.
a) 45
60
b) 2
3
14
10
x
x
c) 5 15
4 12
a
a
d) 2
7
49
y
y
e) 2
2
36
30
a
a a
NÃO FAÇA ISTO:
8 1 8
8 3
1
8
1
33
O princípio fundamental permite dividir numerador e
denominador por fatores comuns. O 8 acima não é fator
comum. O 8 é termo.
Observe que se b a , em geral temos:
1a b
b a
a b
EXERCÍCIO RESOLVIDO
05) Simplifique as expressões racionais.
a) 5
5
x
x
b) 2
4
16
x
x
c) 2
2
1
2 3
x
x x
EXERCÍCIO PROPOSTO
06) Simplifique as expressões racionais.
a) 75
145
b) 3
3
15
20
b
b
c) 2 2x y
x y
d) 2
6 6
8 8
y
y
e) 3
2
8
x
x
f) 2
2
9
6 9
x
x x
g) 2
2
10 25
25
a a
a
h) 2
2
16
3 11 4
y
y y
i) 2 2
2 2
p q
q p
j) 2
3
12
x
x x
48
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VOCÊ SABE?
Reduzir uma expressão racional para termos irredutíveis usando o princípio fundamental?
Reconhece fatores a b e b a ?
QUOCIENTE DE 2 POLINÔMIOS
Já vimos o processo de divisão entre dois monômios. Vamos
relembra-lo.
7
7 4 3
4
xx x
x
5
5 3 2
3
42 2
2
aa a
a
Divisão de Polinômio por monômio.
Considere então a divisão de um polinômio por um
monômio: 3 23 9 15
3
x x x
x
Para efetuar essa divisão basta lembrar-se de um princípio
usado na adição de frações com mesmo denominador:
0a b a b
cc c c
Assim, para dividir um polinômio por um monômio, nós
dividimos cada termo do polinômio pelo monômio. 3 2 3 2
23 9 15 3 9 153 5
3 3 3 3
x x x x x xx x
x x x x
EXERCÍCIO RESOLVIDO
07) Encontre o quociente
a) 4 28 4 12
4
x a a
a
b) 7 5
2
5 15 10
5
x x x
x
NÃO FAÇA ISTO:
3 2 3 2
2
x x x x
x
2x
331
11
xx
O procedimento correto é: 3 2 3 2
2 2 21
x x x xx
x x x
Pois somente fatores devem ser divididos por fatores. E 3x e 2x são termos do numerador.
EXERCÍCIO PROPOSTO
08) Encontre o quociente
a) 3
2
9
3
x
x
b)
23 a b
a b
c) 5 3 2
2
16 20 4
4
x x x
x
d) 6 9
3
x
e) 2bx bx
bx
f) 1 1
1
a b c b
b
g) a x y b x y
y x
Divisão de Polinômio por Polinômio.
Considere o seguinte quociente no qual o divisor não é um
monômio. 2 2
2
x x
x
Envolvendo a divisão de um trinômio por um binômio. Para
realizar a divisão nós usaremos o mesmo processo utilizado
para divisão de números. Começamos escrevendo-os em
ordem decrescente de potências com zeros utilizados no
termos de coeficientes iguais a zero.
Exemplos:
Dividendo Escrita 3 4 22 3 4 1x x x x 3 9x x 4 1x
4 3 23 4 2 1x x x x 3 20 9x x x 4 3 20 0 0 1x x x x
Assim, temos 2 2 2x x x
Divida 2x por x e coloque o resultado ( nesse caso, x ) no
lugar destinado ao quociente. 2 2 2x x x
x
Multiplique x por 2x e coloque o resultado (nesse caso) 2 2x x sobre o dividendo.
2
2
2 2
2
x x x
x x x
49
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Subtraia esse resultado do dividendo
2
2
2 2
2
2
x x x
x x x
x
Repita todo o procedimento anterior para o resto obtido
(nesse caso) 2x .
Ou seja, divida x por x , obtendo 1 e coloque o resultado no
lugar destinado ao quociente 2
2
2 2
2 1
2
x x x
x x x
x
Multiplique 1 por 2x obtendo 2x e coloque abaixo de
2x , realizando a subtração. 2
2
2 2
2 1
2
2
0
x x x
x x x
x
x
EXERCÍCIO RESOLVIDO
09) Encontre o quociente solicitado e cheque sua resposta.
a) 2 3 4
4
x x
x
b) 2 5 6
2
x x
x
EXERCÍCIO PROPOSTO
10) Encontre o quociente solicitado.
a) 26 7 3
2 3
x x
x
b) 2 7 10
2
a a
a
c) 2 5 10
3
x x
x
d) 2 6 10
3
x x
x
e) 3 22 3 13 12
5
x x x
x
f) 4 3 26 2 7 19
2 3
x x x x
x
g) 4 3 2
2
3 6 3 8
3 5
x x x x
x x
h) 4 3 22 4 2 4x x x x x
11) Qual polinômio que, ao ser dividido por 3 2x , resulta
um quociente 22 3 5x x .
VOCÊ SABE?
Dividir um monômio por outro monômio? Dividir um polinômio por um monômio? Dividir um polinômio por um polinômio? Checar a resposta?
50
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RAZÕES E PROPORÇÕES.
RAZÕES
Vimos que uma fração a
b representa o quociente indicado
pela divisão de a por b . Uma razão compara dois números
ou quantidades seguindo esse mesmo caminho.
A razão entre dois números a e b (nessa ordem) pode ser
escrita como:
a para b , a
b ou :a b
Lê-se: “a razão de a para b ”.
Se as quantidades puderem ser escritas na mesma unidade
de medida, a razão será escrita sem qualquer unidade de
medida.
45min 45 345 min :60 min
60 min 60 4
3535 7 : 8
centavoscentavos: 4 Reais =
400 centavos
50350 : 7 50 /
kmkm h km h
h
EXERCÍCIO PROPOSTO
12) Em uma sala de aula existem 32 meninos e 32 meninas.
Encontre a razão entre o número de meninos e de
meninas.
13) Um salão possui 24 metros de comprimento por 18
metros de largura. Qual a razão entre o comprimento e a
largura?
14) Um salão possui 24 metros de comprimento por 18
metros de largura. Qual a razão entre a largura e o
comprimento?
PROPORÇÕES
Uma proporção é uma relação de igualdade entre duas
razões. Assim, dadas as razões a
b e
c
d escrevemos:
Lê-se: “ a está para b como c está para d ”
Os números , ,a b c de são os termos da proporção.
Propriedade
Se . .a c
a d b cb d
EXERCÍCIO RESOLVIDO
15) Encontre o termo desconhecido nas proporções dadas.
a) 16
8 64
x
b) 49 35
5y
c) 72 30
6z
EXERCÍCIO PROPOSTO
16) Encontre o termo desconhecido nas proporções dadas.
a) 9 36
5x
b) 42
7 30
h
c) :12 15:100R
d) 5
9 20
p
Proporções são utilizadas na resolução de vários problemas.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
17) Duas engrenagens estão na razão 4 : 5 . Se a menor tem
32 dentes, quantos dentes têm a maior?
18) Em um mapa 1 cm representa 6 km. Quantos cm são
necessários para representas 28 km.
19) Cecília economiza R$ 20,00 por semana de sua mesada
quando esta é igual a R$ 220,00. Se a mesada de Cecícia
subir para R$ 250,00, quanto ela devera economizar por
semana para manter a proporção de economia?
a c
b d ou : :a b c d
51
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
20) Em um mapa. 1 cm representa 9 km. Quantos cm são
necessários para representas 42 km?
21) Uma pessoa ganha R$ 180,00 por semana. Quantas
semanas ela precisa trabalhar para ganhar R$ 1260,00?
22) Um carro percorre 126 km com 12 litros de gasolina.
Quantos litros serão necessários para uma viagem de 924
km?
23) 24 gramas de água contêm 4 gramas de hidrogênio. 276
gramas de água contêm quantos gramas de hidrogênio?
24) Uma máquina pode produzir 21 peças em 30 minutos.
Quanto tempo será necessário para produzir 224 peças?
25) Uma imagem de computador tem 10 cm de comprimento
por 8 cm de largura. Se nós aumentarmos a sua largura
para 20 cm, qual deverá ser proporcionalmente seu novo
comprimento?
VOCÊ SABE?
Escrever razões? Escrever proporções Encontrar termos desconhecidos em proporções? Resolver problemas que envolvem proporções?
52
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OPERAÇÕES COM EXPRESSÕES RACIONAIS
MULTIPLICAÇÃO DE EXPRESSÕES RACIONAIS
A multiplicação de expressões racionais é realizada da mesma
forma que a multiplicação de frações, ou seja, nós
multiplicamos os numeradores e multiplicamos os
denominadores e simplificamos os fatores comuns.
Multiplicação de expressões racionais
Dadas as expressões racionais P
Q e
R
S , então:
.
, 0.
P R P RQ S
Q S Q S
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01) Realize a multiplicação indicada e simplifique sua
resposta.
a) 5 3
4 2
x
y
b) 1 2
5 3
x
x x
c) 2
9 4
8 3
x
x
d)
231
3 2
xx
x x
e) 2 2
2 2
8 16 4
3 10 5 4
x x x
x x x x
DIVISÃO DE EXPRESSÕES RACIONAIS
A divisão de expressões racionais também é realizada
seguindo o mesmo da multiplicação de frações, ou seja, nós
multiplicamos o numerador pelo inverso do denominador e
simplificamos o resultado.
Divisão de expressões racionais
Dadas as expressões racionais P
Q e
R
S , então:
, , 0P R P S PS
Q R SQ S Q R QR
EXERCÍCIO RESOLVIDO
02) Realize a divisão indicada e simplifique sua resposta.
a) 3
5 15
xy xyz
b) 2 9 3
5 20
x x
c) 4 2 2 1
1 6 6
x x
x x
d) 2
2
4 2
2 1 2 7 3
x x
x x x
EXERCÍCIO PROPOSTO
03) Efetue a operação divisão indicada e simplifique sua
resposta.
a) 24 7
35 8
b) 4 5
5 2
x
c) 2
2 2
24 14
7 9
abc x yz
xyz a
d)
2
12
3 2
x y
x
e) 3 6 5 10
4 8 2
x x
x x
f)
5 12
8 10
x y
y x
g) 8 16 2 6
3 3 6
x x
x x
53
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h) 6 21
5 15
x x
y y
i) 3
2 2
20 4
9 3
xy xy
a ab
j) 4 99
7 21
xx
k) 4 2 1 2
15 27
x x
l) 2 6
35
xx
x
m) 9 3
6 22 8
xx
x
n) 29 4 4
3
x x y
x y x
o) 2
2
16 4
1 1
x x
x x
p) 2 2
2 2
5 6 5 4
9 20 3 2
x x x x
x x x x
q) 2 2
2 2
2 3 12
3 4 6
x x x x
x x x x
r) 2 2
2 2
2 15 7 49
9 8 2 1
x x x
x x x x
s) 2
2 43 2 8
2
xx x
x
t) 3 227 3 18
10 15
x x x
u) 2 2 2
2 2 2
6 7 2 2 12 5 3
6 5 1 4 1 12 17 6
x x x x x x
x x x x x
v) 2 3
2
5 14 5 40
4 12
A A A
A A A
VOCÊ SABE?
Multiplicar expressões racionais? Dividir expressões racionais?
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE EXPRESSÕES RACIONAIS I
Lembremos que para somarmos ou subtrairmos frações com
denominadores iguais, nós somamos os numeradores e
mantemos o denominador. O procedimento para soma e
subtração de expressões racionais com mesmo denominador
é o mesmo.
Adição e subtração de expressões racionais com mesmos
denominadores.
Dadas as expressões racionais P
Q e
R
Q , então:
P R P R
Q Q Q
e 0
P R P RQ
Q Q Q
EXERCÍCIO RESOLVIDO
04) Realize a operação indicada e simplifique sua resposta.
a) 5 2
3 3x x
b) 5 7
3 5 3 5
x x
x x
c) 2 2
2 3 4 2
5 6 5 6
x x
x x x x
d) 2 2
2 1 4
5 6 5 6
x x
x x x x
e) 5 2 2 3
3 3
x x
x x
EXERCÍCIO RESOLVIDO
05) Realize a operação indicada e simplifique sua resposta.
a) 5 2
x x
b) 5 3
2 2
x x
x x
c) 1 2
3 3
x x
x x
d) 2 2
3 2 4 1x x
x x
e) 5 6
7 7
f) 4 7
x x
g) 2 5 7
5 2 2 5
x x
x x
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (mmc)
Ao somarmos (ou subtrairmos) duas frações com
denominadores distintos, nós devemos encontrar frações
equivalentes às dadas com denominadores comuns. Existem
muitos números que satisfazem tal condição e que podem
ser utilizados nessa operação, entretanto, o denominador
mais conveniente a ser utilizado é o mmc entre os
denominadores fornecidos.
Exemplo:
5 2 5.6 2.4 30 8 38 19
6 9 6.6 9.4 36 36 36 18
ou
5 2 5.3 2.2 15 4 19
6 9 6.3 9.2 18 18 18
54
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O mesmo critério será utilizado para somarmos ou
subtrairmos expressões racionais com denominadores
distintos. Para isso, devemos saber calcular o mmc de um
conjunto de denominadores.
Para encontrar o mmc entre um conjunto de expressões
algébricas.
Fatore completamente cada uma das expressões. Utilize notação exponencial onde for possível. Escreva cada fator diferente que aparece em cada uma
das fatorações obtidas anteriormente. Coloque em cada fator obtido no passo anterior o maior
expoente visto nesse fator. Escreva o produto desses fatores.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
06) Encontre o mmc das expressões abaixo.
a) 12 e 18
b) 216x e 34x
c) 3 250x y e 420xy
d) 2 12x x e 2 2 8x x
e) 2 2 1x x , 2 11 12x x e 1 x
EXERCÍCIO PROPOSTO
07) Encontre o mmc das expressões abaixo.
a) 6x e 9x
b) 26x e 14x
c) 210x , 312x e 9x
d) 4 2x e 2 1x
e) 4x e 3 12x
f) 318x e 9 36y
g) 2
1z e 2 1z
h) 9 18x e 2 7 10x x
i) 2 9x , 2 6x x e 2 4 4x x
j) 5 x , 2 25x e 2 10 25x x
VOCÊ SABE?
Adicionar ou subtrair expressões racionais com denominadores iguais?
Encontrar o mmc de um conjunto de expressões algébricas?
EXPRESSÕES RACIONAIS EQUIVALENTES
Vamos utilizar a ideia de frações equivalentes nas expressões
racionais.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
08) Encontre a fração equivalente indicada.
a) 3 ?
15 90
b) 2
1 ?
4 2 8
x
x x x
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE EXPRESSÕES RACIONAIS II
Agora que sabemos encontrar o mmc de um conjunto de
expressões algébricas
Para adicionar ou subtrair expressões racionais com
denominadores diferentes.
Encontre o mmc dos denominadores. Escreva cada expressão racional como uma expressão
racional equivalente com o mmc como denominador. Realize a operação indicada. Simplifique, se possível, o resultado obtido
EXERCÍCIO RESOLVIDO
09) Realize a operação indicada e simplifique a resposta.
a) 5 3
8 12
x x
b) 2
3 2
4 18x x
55
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c) 2
3 2 4
16 3 12
x x
x x
d) 5 1
2 1 2
x x
x x
e) 2 2
5 4 3
2 1 4 5
x x
x x x x
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
10) Realize a operação indicada e simplifique a resposta
a) 2
15 20
3 9x x
b) 4 5
3 2x x
c) 3 7
1 3x x
d) 8 11
4 5x x
e) 15 14
5 10 2 4x x
f) 2
12 7
9 3 9x x
g) 3
33
x
x
h) 2
2
1 1
x x
x x
i) 2 2
3 5
6 9x x x
j) 2 2
6 5
4 12 36x x x
k) 2 2
4
20 8 16
x x
x x x x
l) 2 2
1 3 2
12 9 20
x x
x x x x
m) 2
2 5 2
9 20 5
x x
x x x
n) 13 2 5
12 9 4x x x
o) 5 1 3 2 1
6 9 12
x x x
p) 2 2 2
5 4
4 1 2
x
x x x x
q)
4 3
5 7
x y
x y
r)
2 2
2
x y
y
x y
y
s) 2 2
x y x y
x y x y
x y
11) Em Física, a resistência total de um circuito paralelo pode
ser fornecida por:
31 2
1 2 3
1
T
II I
R E E E
Combine a expressão do membro direito.
12) A área de um triângulo é 221m . Se o triângulo tem base
b , qual é a altura do triângulo? 2
bhA
13) Em Física, a indutância em paralelo pode ser calculada
pela fórmula:
1 2
1
1 1TL
L M L M
Simplifique o lado direito.
VOCÊ SABE?
Adicionar ou subtrair expressões racionais com denominadores distintos
EQUAÇÕES RACIONAIS
Uma equação algébrica que possui no mínimo uma expressão
racional é uma equação racional.
Para resolvermos uma equação racional devemos eliminar os
denominadores usando a propriedade da multiplicação em
uma igualdade. O múltiplo é o mmc de todos os
denominadores na expressão racional da equação.
56
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Para resolver uma equação racional.
Encontre o mmc de todos denominadores. Elimine os denominares multiplicando cada termo em
ambos os membros pelo mmc obtido no passo anterior. Resolva a equação. Teste suas soluções.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
14) Resolva as equações.
a) 3
4 8
x x
b) 4 7
4 5 10
x x
c) 5 4 5
3 9 12x x
d) 2
3 4 2
2 2x x x x
Obs. Este item mostra o cuidado que devemos ter com as
soluções encontradas já que existem restrições aos valores de
x.
e) 2 5
3 03 2
x x
15) Resolva a equação racional 3
3 2
y xz para a variável .x
16) Resolva a equação racional 1 1 1
x y z para a variável .z
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
17) Encontre o conjunto solução de cada uma das equações
abaixo. (Considere os denominadores diferentes de
zero).
a) 6 7 9
4 8 16x x
b) 2
4 3
x
c) 7
6 9
x
d) 1
38 4
x
e) 2
16 5
x x
f) 2 1 2 3
17 14
x x
g) 4 7 2
3 5x x
h) 3 6 1
55 2x x x
i) 5 1 7
3 2 6x x
j) 5 2 5
8 6
x x
x x
k) 4 5
4 4x x
l) 3 1
2 3 7x
m) 2
1 6
4 2
x
x x
n) 2
6 4 1
2 4 2 4x x x
o) 2 2
8 1
6 8 16x x x
p) 2
5 7 9
2 1 3 2 6 2x x x x
57
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18) Resolva a equação racional 5 3
3x y para a variável x .
19) Resolva a equação racional 2 1
3x y para a variável x .
20) Resolva a equação racional 1 2 3
1 1 1 1
R R R R para a
variável R .
21) Resolva a equação racional 5 6
4 3x
yx y para a
variável y .
22) Resolva a equação racional 4 3 1
2 5 5
x y para a
variável y .
23) A relação entre a pressão P , o volume V e temperatura
absoluta T de um gás é dada por:
1 1 2 2
1 2
PV PV
T T
Resolva para 2 .T
24) A fórmula para resistores em paralelo é dada por
1 2
1 2
R RR
R R
Resolva para 1R .
25) 2 torneiras são utilizadas para encher uma caixa de água .
A primeira pode sozinha, encher a caixa em 12 horas e a
segunda pode sozinha, encher a caixa em 9 horas.
Quanto tempo as duas juntas levarão para encher a
caixa? ( Dica: Qual a fração do volume da caixa que cada
uma das torneiras preenche em 1 hora?)
26) Um motorista precisando percorrer a distância de 120
km, realiza uma parte do trajeto a uma velocidade
constante de 50 km/h e outra parte a uma velocidade
constante de 60 km/h. Se ele percorreu os 120 km em 9
4
de horas, quantos quilômetros ele percorreu a 50 km/h?
27) O denominador de uma fração é 3 unidades maior que o
numerador. Se somarmos 4 ao numerador e ao
denominador, a fração resultante é 3
4. Encontre a fração
original.
28) Em física, quando dois resistores são conectados em
paralelo, a resistência total do circuito em ohms é dada
por:
1 2
1 1 1
R R R
Onde 1R e 2R são as resistência dos 2 resistores em
ohms. Encontre a resistência total R de um circuito
tendo 2 resistores conectados em paralelo se suas
resistências são 4 ohms e 6 ohms respectivamente.
VOCÊ SABE?
Resolver equações racionais? Resolver equações racionais para uma variável em termos
de outras variáveis? Resolver problemas envolvendo expressões racionais?
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EQUAÇÕES LINEARES EM DUAS VARIÁVEIS.
Vimos anteriormente métodos para resolver equações
lineares ( equações do 1º grau) em uma variável. Todas estas
equações podem ser escritas na forma:
0 , ; 0ax b a b a
Agora, nós ampliaremos nosso trabalho para equações
lineares em 2 variáveis. As equações
4 3 8x y e 5 2 0y x
são exemplos de tais equações.
Uma equação linear em 2 variáveis x e y é qualquer
equação que pode ser escrita na forma:
0 , , ; , 0ax by c a b c a b
Em uma equação com 2 incógnitas, x e y , qualquer par de
valores x e y que satisfaça a equação é um solução desta
equação.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01) Dada a equação 3 2 6x y , verifique se os valore que
se seguem são representam soluções da equação.
a) 2x e 0y
b) 1x e 3
2y
c) 3x e 1y
PAR ORDENADO
Os valores para x e y usados no exercício acima podem ser
escrito como um par de números. Nós os separamos por
vírgula ou ponto e vírgula e os colocamos dentro de
parênteses. O valor de x é sempre dado primeiro. Isto é, o
par de números é escrito com ,x y . Um par de números
escrito em ordem especial é um par ordenado.
2,0 , 3
1,2
e 3,1
Para encontrar soluções de uma equação com 2 incógnitas.
Escolha um valor para uma das incógnitas. Resolva a equação resultante para a outra incógnita.
EXERCICIO RESOLVIDO
02) Usando o valor fornecido para uma das incógnitas,
encontre o valor da incógnita restante. Escreva a solução
na forma de par ordenado.
a) 2 1y x com 3x .
b) 2 1y x com 2x .
c) 2 1y x com 5y .
d) 3 2x y com 2x .
e) 6y com 3x .
f) 3 0x com 1y
g) 3 0x com 4y
PLANO DE COORDENADAS CARTESIANAS
Em uma secção anterior, nós associamos o conjunto dos
números reais com uma reta chamada reta numérica. Esta
reta numérica foi utilizada para “desenhar” soluções de
equações e inequações com uma incógnita. Nós utilizaremos
agora o plano cartesiano para “desenhar” soluções de
equações lineares com 2 incógnitas.
Tomaremos 2 retas numéricas perpendiculares, uma
horizontal e a outra vertical. Estas 2 retas são os eixos. Ao
eixo horizontal (eixo-x ou eixo das abscissas) nós
associaremos os valores de x e ao eixo vertical ( eixo-y ou
eixo das ordenadas) nós associaremos os valores de y.
59
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O ponto de intersecção das 2 retas é a origem do plano
cartesiano e corresponde ao par 0,0 . Os 2 eixos dividem o
plano cartesiano em 4 regiões chamadas quadrantes. Pontos
que pertencem a qualquer um dos eixos não pertencem a
nenhum dos quadrantes.
Cada par ordenado ,x y corresponde a exatamente um
ponto do plano. Para encontrar a localização de tal ponto nós
consideramos o par ordenado como 2 instruções para nos
dirigirmos, a partir da origem, a localização procurada.
Pontos são sempre nomeados utilizando-se letras maiúsculas.
A notação ,A x y indica que o nome do ponto é A .
EXERCICIO RESOLVIDO
03) Represente os pares ordenados abaixo no plano
cartesiano.
a) 2,4A
b) 1, 3B
c) 4,3C
d) 4,0D
e) 2, 3E
f) 0,4F
g) 3,0G
h) 3
2,2
H
Observe que:
No quadrante I temos 0x e 0y
No quadrante II temos 0x e 0y
No quadrante III temos 0x e 0y
No quadrante IV temos 0x e 0y
DESENHANDO AS SOLUÇÕES
Vamos agora mostrar graficamente alguns pares ordenados
que são soluções da equação em duas variáveis 2 1y x .
Para isso, vamos atribuir alguns valores para x .
Se 1x então 3y
Se 2x então 3y
Se 0x então 1y
Se 1x então 1y
Os pares ordenados 1, 3 , 2,3 , 0, 1 e 1,1 são
algumas soluções da equação 2 1y x .
VOCÊ SABE?
Determinar se um par ordenado é ou não solução de certa equação?
Encontrar o valor de uma incógnita, se fornecido o valor da outra?
Desenhar pares ordenados no plano cartesiano? Desenhar pares ordenados que são soluções de dadas
equações no plano cartesiano?
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EXERCICIOS PROPOSTOS
04) Determine se os pares ordenados dados são ou não
soluções da equação fornecida.
a) 3 2; 1, 1 , 2,0x y
b) 3 1; 1,2 , 1, 4 , 2,3y x
c) 2 4; 1,3 , 0,4 , 2,8y x
d) 1
3 4 2; 1,2 , 2,1 , ,12
y x
e) 3 2 ; 2,3 , 3,2 , 0,0x y
f) 4; 4,1 , 4,2 , 4, 4x
g) 5 0; 3, 5 , 5,3 , 5,8x
h) 3
3; 2,3 , 5,2 , ,34
y
i) 2
2 0; 2, 2 , , 2 , 5,23
y
05) Encontre o valor de y correspondente a cada valor de x
fornecido em cada equação. Expresse sua resposta como
um par ordenado.
a) 2 1; 1, 2, 3x y x x x
b) 3 2; 1, 2, 0y x x x x
c) 3 2 ; 3, 4, 0y x x x x
d) 3 4; 3, 2, 0x y x x x
e) 5 ; 2, 3, 0x y x x x
f) 5; 1, 6, 0y x x x
g) 3
1 0; 7, , 05
y x x x
06) O custo total C em reais para produzir x unidades de
certo produto é dada pela equação 2 20C x .
Encontre o custo para produzir:
a) 75 unidades.
b) 300 unidades.
c) 1000 unidades.
07) No exercício anterior, encontre quantas unidades são
produzidas quando o custo total é:
a) R$ 430,00
b) R$ 700,00
c) R$ 1400,00
08) Desenhe os pares ordenados fornecidos a seguir em um
plano de coordenadas cartesianas.
a) 2,4
b) 2, 3
c) 4,0
d) 4,1
e) 0,4
f) 0,0
g) 0,2
h) 1
,32
i) 4,0
09) Determine as coordenadas ,x y dos pontos dados no
plano cartesiano a seguir.
10) Desenhe cinco pontos cuja abscissa é igual a 2. Ligue os
pontos. Qual a figura resultante?
11) Desenhe cinco pontos cuja ordenada é igual a 4. Ligue os
pontos. Qual a figura resultante?
12) Desenhe cinco pares ordenados cuja abscissa e
ordenadas são iguais. Ligue os pontos.
13) Desenhe cinco pares ordenados cuja ordenada é oposta
da abscissa. Ligue os pontos.
GRÁFICO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR.
Vimos na seção anterior que existem infinitos pares
ordenados que satisfazem uma equação linear com 2
incógnitas e desenhamos algumas dessas soluções. Ligando
esses pontos, percebemos que todos eles pertencem a
mesma reta. Qualquer ponto cujas coordenadas satisfazem a
equação pertence a reta e as coordenadas de qualquer ponto
dessa reta serão soluções da equação.
EXERCICIO RESOLVIDO
14) Esboce o gráfico da equação 2 3x y
61
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RETA
Em geral, o gráfico de qualquer equação linear com 2
incógnitas é uma reta. Nós usaremos o fato geométrico de
que por quaisquer 2 pontos do plano nós podemos desenhar
uma e somente uma reta. Assim, desde que nós sabemos que
o gráfico de uma equação linear com 2 incógnitas é uma reta,
nós podemos esboçar o gráfico usando somente 2 pontos.
EXERCICIO RESOLVIDO
15) Esboce o gráfico da equação 2 4y x
A INTERSECÇÃO COM OS EIXOS
Observe que o gráfico de 2 4y x intercepta o eixo y em
0,4 e o eixo x em 2,0 . Os pontos 0,4 e 2,0 são
os pontos de intersecção do gráfico com os eixos e desde que
nós necessitamos de apenas 2 pontos para esboçar o gráfico,
em muitos casos, nós usamos esses pontos de interseção
com os eixos.
Observe que o gráfico intercepta o eixo das abscissas quando
0y e intercepta o eixo das ordenadas quando 0x .
Para encontrar os pontos de intersecção.
Faça 0x e encontre o valor de y correspondente. Esse
é o ponto 0, y .
Faça 0y e encontre o valor de x correspondente. Esse
é o ponto ,0x .
EXERCICIO RESOLVIDO
16) Esboce o gráfico das equações a seguir usando os pontos
de intersecção do gráfico com os eixos.
a) 2 3y x
b) 3 2 9y x .
Qualquer equação linear que pode ser escrita na forma
y kx ou x ky
em que k é um número real passará pela origem.
EXERCICIO RESOLVIDO
17) Esboce o gráfico da equação 2y x
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18) Esboce o gráfico da equação 2y
19) Esboce o gráfico da equação 1x
VOCÊ SABE?
Esboçar p Gráfico de equação linear? Encontrar a intersecção do gráfico de uma equação linear
com os eixos? Esboçar o gráfico de equações como x k ou y k
onde k é uma constante?
EXERCICIOS PROPOSTOS
20) Encontre a intersecção do gráfico com os eixos.
a) 5 3 15x y
b) 2 4y x
c) 3 1y x
d) 2 3 6x y
e) 2 5 11 0x y
f) 5y x
g) 3 2 0x y
h) 4 0y x
i) 0,3 0,4 0,7x y
j) 2 1
3 3y x
21) Esboce o gráfico das equações lineares dadas usando as
intersecções com os eixos.
a) 2 3 12y x
b) 3 6y x
c) 2y x
d) 2 8y x
e) y x
f) 3y x
g) 0x y
h) 2 0y x
i) 4 3 0x y
j) 2 5 10y x
k) 5 6 30x y
22) Resolva as equações para y em termos de x , ou seja,
escreva as equações na forma y mx n .
a) 3 2 4y x
b) 2 7 0y x
c) 3 4 9y x
d) 7 3 10x y
e) 5 7 0x y
f) 5 8 14 0y x
23) Esboce os gráficos das equações 2y x n no mesmo
plano cartesiano para:
a) 5n
b) 0n
c) 3n
24) Esboce os gráficos das equações 1y mx no mesmo
plano cartesiano para:
a) 1m
b) 1
2m
c) 2m
25) Escreva uma expressão matemática para cada uma das
afirmações abaixo:
a) O valor de y é 3 unidades menor que o dobro de x .
b) O dobro de x menos o triplo de y é igual a 6.
c) O valor de x é 4 vezes maior que o de y .
d) Cinco vezes x menos o produto de 2 por y resulta
em 20.
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A INCLINAÇÃO DE UMA RETA.
Consideremos duas rampas denotados 1R e
2R mostradas
abaixo:
Dizemos que
1R é mais inclinada que 2R , pois caminhando
do ponto A ao ponto B em cada rampa, o deslocamento
horizontal em cada rampa será igual a 100 m mas o
deslocamento vertical será de 15m na rampa 1R e 10m na
rampa 2R . Se nós medirmos o “grau de inclinação” pela
razão:
descolamento vertical
deslocamento horizontal
A rampa 1R terá “grau de inclinação”
15 3
100 20
m
m
E a rampa 2R terá “grau de inclinação”
10 1
100 10
m
m
Como 3
20 é maior que
1
10 temos que
1R é mais inclinada
que 2R .
Vamos aplicar este conceito à qualquer reta. Então o
coeficiente angular m de uma reta não vertical é:
descolamento verticalm =
deslocamento horizontal
Na figura
descolamento vertical 4 2m =
deslocamento horizontal 6 3
Definição:
O coeficiente angular m de uma reta não vertical que passa
pelos pontos 1 1,P x y e 2 2,Q x y é dado por:
2 1
2 1
y y ym
x x x
EXERCICIO RESOLVIDO
26) Encontre o coeficiente angular da reta que passa pelos
pontos:
a) 2,3P e 5,9Q .
b) 3,2P e 5, 4Q .
c) 3,4P e 2,4Q .
d) 4,1P e 4, 3Q .
O coeficiente angular de uma reta horizontal com
equação y k é 0m .
O coeficiente angular de uma reta vertical com equação x k é indefinido.
27)
m
m
64