MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 1º Ano Inequação logarítmica.
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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 1º Ano
Inequação logarítmica
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
Uma colônia de bactérias, que já possui 100000 bactérias, aumenta a
quantidade das mesmas a uma taxa de 20% ao dia.
Com base nessas informações, podemos estabelecer uma equação que
expresse a quantidade de bactérias em função do tempo, em dias:
y = 100 000 (1 + 0,2)∙ t
y = 100 000 (1,2)∙ t
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
Podemos, assim, obter t em função de y, aplicando logaritmo aos dois
membros da equação anterior:
log1,2 y = log1,2 [100 000 (1,2)∙ t]
Aplicando, então, as propriedades dos logaritmos, teremos:
log1,2 y = log1,2 100 000 + log1,2 (1,2)t
log1,2 (1,2)t = log1,2 y − log1,2 100 000
t log∙ 1,2 1,2 = log1,2 y .
100 000
t = log1,2 y .
100 000
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
Com essa expressão matemática, é possível prever o que acontecerá
em relação à quantidade de bactérias da colônia em determinada
quantidade de dias, se as condições não forem modificadas.
Por exemplo:
Se não for aplicado nenhum antibiótico em 10 dias, a quantidade de
bactérias y será tal que:
log1,2 y > 10
100 000
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
Inequações como essa, que têm a variável no logaritmando ou na base
de um logaritmo, são chamadas de inequações logarítmicas.
Assim:
Inequação logarítmica é toda inequação que apresenta a variável no
logaritmando ou na base de um logaritmo.
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
Exemplos:
log2 (3x + 4) > 5
log3 (2x − 5) ≤ log3 (5x + 1)
log4 x + log4 (x + 2) < 8
log5 (x² − 4) − log5 (x + 2) ≥ log5 (2x + 1)
log (x + 3) + log (4x − 5) > log (2x − 7) + log (3x + 2)
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
A resolução de uma inequação logarítmica baseia-se nas seguintes
propriedades das funções logarítmicas:
• loga b > loga c se, e somente se, b > c, com a > 1;
• loga b > loga c se, e somente se, b < c, com 0 < a < 1.
Vamos, então, resolver algumas inequações logarítmicas como
exemplo.
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
• log3 (2x − 6) < log3 4
Primeiro, vejamos a condição de existência:
2x − 6 > 0
2x > 6
x > 3
Agora, aplicando a primeira propriedade, vista no slide anterior (pois a
base do logaritmo é maior que 1), teremos que:
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
2x − 6 < 4
2x < 4 + 6
2x < 10
x < 5
Temos, então que:
x > 3 (condição de existência) e x < 5
Logo:
S = {x R | 3 < x < 5}
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
• log0,5 (2x − 8) > log0,5 6
A condição de existência será:
2x − 8 > 0
2x > 8
x > 4
Aplicando, agora, a segunda propriedade das funções logarítmicas (pois
a base é maior que 0 e menor que 1), teremos que:
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
2x − 8 < 6
2x < 6 + 8
2x < 14
x < 7
Temos, então que:
x > 4 (condição de existência) e x < 7.
Logo:
S = {x R | 4 < x < 7}
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
• log2 (x² − 1) ≥ log2 3
Observando a condição de existência:
x² − 1 > 0
D = 0² − 4 1 (− 1)∙ ∙
D = 4
x = − 0 2 2 1∙
x’ = − 2 = − 1 e x” = 2 = 1 2 2
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
Portanto:
x < − 1 ou x > 1
Aplicando, agora, a primeira propriedade das funções logarítmicas
(pois a base é maior que 1), teremos:
x² − 1 ≥ 3
x² − 1 − 3 ≥ 0
x² − 4 ≥ 0
D = 0² − 4 1 (− 4)∙ ∙D = 16
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
x = − 0 4 2 1∙
x’ = − 4 = − 2 2
x” = 4 = 2 2
Assim:
x ≤ − 2 ou x ≥ 2
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
Temos, então que:
x < − 1 ou x > 1 (condição de existência) e x ≤ − 2 ou x ≥ 2.
A solução da inequação será dada então pela interseção entre essas
duas soluções. Ou seja:
Assim:
S = {x R | x ≤ − 2 ou x ≥ 2}
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
• log3 (4x − 1) > − 2
Primeiro a condição de existência:
4x − 1 > 0
4x > 1
x > 1 . 4
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
Agora, vamos transformar − 2 em logaritmo de base 3, assim:
log3 a = − 2
a = 3− 2
a = 1 . 32
a = 1 . 9
Portanto:
− 2 = log3 1 . 9
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
Desta forma, teremos:
log3 (4x − 1) > log3 1 . 9
Aplicando a primeira propriedade das funções logarítmicas (pois a base
do logaritmo é maior que 1), teremos:
4x − 1 > 1 . 9
O que resulta em:
9 (4x − 1) > 1∙
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
Daí, vem:
36x − 9 > 1
36x > 1 + 9
36x > 10
x > 10 . 36
x > 5 . 18
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
Temos, então:
x > 1 (condição de existência) e x > 5 . 4 18
Logo:
S = {x R | x > 5/18}
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
O conhecimento da resolução de inequações logarítmicas pode servir
para determinar o domínio de algumas funções. Veja um exemplo:
• Determine o domínio da função:
f(x) = log0,5 (x − 2)
Como se trata de uma raiz quadrada, então:
log0,5 (x − 2) ≥ 0
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
Verificando a condição de existência:
x − 2 > 0
x > 2
Transformando o 0 em um logaritmo de base 0,5, teremos que:
log0,5 a = 0
a = (0,5)0
a = 1
Portanto:
log0,5 (x − 2) ≥ log0,5 1
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
Aplicando, agora, a segunda propriedade das funções logarítmicas
(0 < 0,5 < 1), teremos:
x − 2 ≤ 1
x ≤ 1 + 2
x ≤ 3
Temos, então:
x > 2 (condição de existência) e x ≤ 3
Logo:
D(f) = {x R | 2 < x ≤ 3}
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
ATIVIDADES PROPOSTAS
1) Resolva as inequações:
a) log12 (x + 9) > log12 144
b) Log8 x ≥ 2
c) Log3 (log3 x) < log3 81
d) Log2 (x + 1) + log2 3 > log2 4
e) Log0,2 (x + 3) ≤ 1
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
2) Determine o domínio das seguintes funções:
a) f(x) = log (x + 3)
b) g(x) = 1 . log2 x
c) h(x) = log4 x − 2
d) i(x) = log (1 − 2x)
Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica
LINKS
http://www.fund198.ufba.br/expo/eq-ine.pdf
http://www.infoescola.com/matematica/inequacao-logaritmica/
https://www.youtube.com/watch?v=eGDHbkrX2b8
https://www.youtube.com/watch?v=tr5pucDmuRI