Matematica computacional
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Métodos NuméricosMétodos Numéricos(Matemática Computacional)(Matemática Computacional)
Dr. M.Sc. Alonso Álvarez ODr. M.Sc. Alonso Álvarez O
Escuela de Ingeniería en SistemasEscuela de Ingeniería en Sistemas
POLITECNICA DE CHIMBORAZOPOLITECNICA DE CHIMBORAZO
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PresentaciónLa matemática interviene de diferentes formas, en muchos sectores de la ciencia y de la técnica. Resultados matemáticos, aún si son abstractos, pueden ser utilizados para la resolución de problemas que se encuentran en la naturaleza. Por otro lado, problemas complejos de la naturaleza estimulan la invención de nuevas ideas matemáticas. En esta relación entre matemática y naturaleza se inserta de manera determinante el computador.
(Darío Bini, PISA, 1995).
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Presentación.
abstracción
aplicación
NATURALEZA MATEMATICA
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PresentaciónLa introducción del computador con el cual es posible efectuar muchas operaciones en poco tiempo, ha impuesto y acentuado el desarrollo del análisis y síntesis de métodos computacionales para el estudio y resolución de problemas matemáticos.
Es oportuno subrayar que, sin un profundo conocimiento de metodologías matemáticas, el uso del computador para resolver problemas técnico-científicos puede presentar grandes dificultades.
Además es necesario recordar que si hoy contamos con computadores tan poderosos no es sólo por el desarrollo del Hardware si no también por el desarrollo del Software, lo que permite tratar problemas de alta dimensión. (Darío Bini, PISA, 1995).
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Matemática ComputacionalMatemática Computacional
La Matemática Computacional es una herramienta básica para un ingeniero o un científico, porque le permite solucionar de forma aproximada, problemas prácticos que no podrían resolverse de manera analítica. Puede decirse que la matemática computacional (Métodos Numéricos) es la matemática más elemental que existe, ya que para solucionar problemas, solo hacen uso de operaciones aritméticas. Sin embargo es ahí donde radica su fuerza, porque es a través de ella que se modelan y resuelven muchos problemas de la realidad, que es cambiante, compleja y variada
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Modelo Matemático
Problema Real
Resolución
Matemática Tradicional (Métodos Analíticos)
(Solución Exacta)
Matemática Computacional (Métodos Numéricos)
(Solución Aproximada)
RESULTADOS
EsquemaEsquema
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EjemploEjemplo
Resolución
Variación de la corriente en un circuito eléctrico
Ecuación Diferencial
Variables SeparadasTransformada de Laplace
Etc...
Método de Euler.Método de Runge-Kuta
Etc..
RESULTADOS
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Condicionamiento de un Condicionamiento de un ProblemaProblema
Un problema matemático, se dice bien condicionado, si cumple las siguientes condiciones:
1) Existencia de la solución.
2) Unicidad de la solución.
3) Dependencia continua de los datos (Estabilidad)
Pequeñas variaciones en los datos de entrada, implican pequeñas variaciones en los datos de salida
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EstabilidadEstabilidad
La palabra estabilidad es muy común escucharla en nuestro diario vivir, por ejemplo, podemos escuchar el franco Suizo es estable, que el peso mexicano es inestable. A un ingeniero decir, esta estructura es estable o no, a un químico, cierta reacción se ha estabilizado.
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Veamos los siguientes ejemplos físicos que nos ayudan a entender la estabilidad y tipos de estabilidad.
Si efectuamos una pequeña perturbación a la canica, podemos tener diferentes resultados:
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En el primer caso la canica luego de un corto tiempo regresará a su posición de equilibrio, en ese caso hablamos de una fuerte estabilidad. (Azintoticamente estable).
En el segundo caso podemos notar que la canica perderá totalmente su posición de equilibrio, en ese caso diremos que es un Equilibrio Inestable.
En el tercer caso, podemos notar que si bien la caníca no se aleja fuertemente de su posición de equlibrio, pero tampoco retorna a su posición inicial, en ese caso diremos Estabilidad no azintótica.
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Ejemplo 2.Ejemplo 2.
Azintoticamente Estable
Inestable
Estabilidad no azintótica
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Ejemplo 3.Ejemplo 3.
ESTABLE INESTABLE
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Teoría de la Estabilidad.Teoría de la Estabilidad.
El primero en hablar sobre la Estabilidad fue el matemático Ruso M. Lyapunov (1857-1918), el cual consideró como punto relevante en su tesis doctoral (1892) el hablar sobre la estabilidad de problemas de ecuaciones diferenciales.
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ComparaciónComparaciónMétodos Analíticos Métodos Numéricos
Solución Exacta Solución Aproximada
Complejidad Elevada Complejidad Baja
Muy Lento Bien Rápido (PC)
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Números de MáquinaNúmeros de Máquina
Al utilizar un computador como apoyo para la Al utilizar un computador como apoyo para la matemática computacional, es fundamental matemática computacional, es fundamental considerar las particularidades del sistema considerar las particularidades del sistema numérico del computador, es decir los llamadosnumérico del computador, es decir los llamados números de máquinanúmeros de máquina ( (representación finita).representación finita).
Número Aritmético Número de Máquina (1/3) = 0,333333..... (1/3)’ = 0,33...3
(1/3) =/= (1/3)’
)'()( ππ ≠
(4) = (4)’
(3/2) = (3/2)’
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Números Aritméticos Números de MáquinaNúmeros Aritméticos Números de Máquina
-3 0 2 2.6 m 0 2.6 M
(0)’ (2,6)’
No tienen principio ni fin Tienen principio y fin
Cada número está representado Cada número representa un
Por un punto subintervalo.
Son infinitos Son finitos.
QMáquinadeNúmeros ⊂}__{
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Operación de MáquinaOperación de Máquina
El uso de números de máquina por el computador implica que los resultados en las operaciones sean diferentes, por lo que es necesario diferenciar entre operacion aritmética y operación de máquina.
13*3
1 =
9...9999.0)'3(*)(3
1¡
=
( x (op) y ) = ( x op y )(1+e)
e Precisión de máquina (cero maq.)
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Cualquier operación matemática puede ser vista como una función de varias variables.
),...,(),...,( 2121 nf
n xxxfxxx →Ejemplos:
zyxzyx f −→ )*(),,(
zuyxuzyx f *2)/(),,,( −+→
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Observacion:Observacion:
zyxzyx f ++→ )(),,( 1
)(),,( 2 zyxzyx f ++→
Las siguientes operaciones son iguales o son distintas?
Con Operación Aritmética son iguales, con operación de Máquina son distintas
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Análisis Diferencial del ErrorAnálisis Diferencial del Error
∑= ∂
∂=n
jx
j
i
i
jy ji x
f
Xf
x
1 )(εε
j
i
i
j
x
f
Xf
x
∂∂
;)(
Factores de Amplificación del error
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Representación Numérica en el Representación Numérica en el ComputadorComputador
Bit : (Binary Digit) Es un dígito Binario 0 , 1
Como reconoce el computador a un “0” o a un “1” :
Señales de Voltaje: “0” 0-2 voltios
“1” 4-6 voltios
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Representación en la memoriaRepresentación en la memoria
Números enteros: Utilizan un espacio de memoria de 16 bits (32 bits).
SIGNO
1: N- ; 0: P+
Ejemplo: -429 -(110101101)2
1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0
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Representación en la memoriaRepresentación en la memoria
Números Reales: Utilizan un espacio de memoria de 48 bits (61 bits). Utiliza el esquema flp (Floating Point) Punto Flotante.
0
10*...,0
1
321
≠±a
aaaa en
enaaaa 10*...,0 321±
Mantiza
Exponente
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Números RealesNúmeros Reales
Ejemplos de Punto Flotante:
2
0
3
2
10*91.0
10*578.0
10*712.0
10*31456.0
−
−
0091.0
578.0
712
456.31
−
flp
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Esquema de RepresentaciónEsquema de Representación
SIGNO
1: N- ; 0: P+
40 48
MANTIZAEXPONENTE
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Ejemplo:Ejemplo:
1012 2*110110111.0)0111,11011(4375.27 ⇔⇔
100001011011011100000000000000000000000000000000
40 48
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Raices de EcuacionesRaices de EcuacionesEntendemos por ecuación una expresión de la forma f(x)=0, donde f es una función definida en un intervalo [a,b].
Resolver la ecuación o hallar una raiz, quiere decir encontrar un z en [a,b] tq. f(z)=0 .
2_;3___;06
.3/12____;01232 =−==−+
==−xxxx
xx
?__;05.0)()ln(
?__;032
==+−==−+
xxsenx
xxx
![Page 29: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/29.jpg)
Métodos de ResoluciónMétodos de Resolución
Existen varios métodos numéricos para resolver Existen varios métodos numéricos para resolver una ecuación. Uno de los más utilizados y uno una ecuación. Uno de los más utilizados y uno de los mejores es el de los mejores es el Método de Bisección.Método de Bisección.
Sea f(x)=0 una ecuación. Hallar una solución en el intervalo [a,b], con un error máximo de e.
z
a b
f(x)
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Método de BisecciónMétodo de Bisección
El método de Bisección se basa en comparar el signo de la imagen del punto medio del intervalo con la imagen de uno de los extremos.
c1=(a+b)/2.
Si f(c1) y f(a) tienen signos opuestos, c2=(a+c1)/2.
Caso contrario, c2=(c1+b)/2.
Se repite este proceso hasta que la diferencia entre los extremos que resulten sea menor o igual a e.
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a bo
c1
c4
o o
c3
o
c2
BisecciónBisección
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BisecciónBisecciónPara realizar todo este proceso, tenemos dos alternativas. Hacerlo a mano o en un computador.
MANO.- Entendemos con papel y lápiz (calculadora)
COMPUTADORA.- Tenemos dos alternativas: software existente en el mercado como Derive, ToolKit, MatLab, etc. o construir un propio software en cualquier lenguaje de programación.
Lenguajes Tradicionales: Pascal, C, C++, etc.
Entornos de Desarrollo: Visual C, Delphi, Java, etc
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EjemploEjemplo
h
r
Un famoso problema de la antigüedad, conocido como problema de Arquimides, plantea lo siguiente: tenemos un recipiente semiesferico de radio r. Se desea saber cual es la altura h del segmento esférico, cuyo volumen sea la mitad del recipiente.
![Page 34: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/34.jpg)
Por geometría sabemos que el volumen del recipiente es
)3(.3
1 21 hrhV −= π
3.3
2rV π=
Mientras que el volumen del segmento esférico es :
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El valor h buscado, que necesariamente estará comprendido entre 0 y r, satisface la ecuación:
2
1
2
)3(3
21 =−=
r
hrh
V
V
Sustituyendo x = h/r, se obtiene la ecuación:
013 23 =+− xx
![Page 36: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/36.jpg)
La ecuación encontrada es de 3er grado y Arquimides no conocía la fórmula resolutiva, descubierta 1700 años después (Fórmula de Cardano). De todas formas esta fórmula es tan complicada, que es preferible utilizar otro método como el de Bisección.
a b c 0.0000 1.0000 0.5000 0.5000 1.0000 0.7500 0.5000 0.7500 0.6250 0.6250 0.7500 0.6875 0.6250 0.6875 0.6562 0.6250 0.6562 0.6406
Solución Aproximada 0.6406
![Page 37: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/37.jpg)
Interpolación y AproximaciónInterpolación y Aproximación
La Interpolación y la Aproximación son técnicas que se utilizan para proyectar Información (desconocida) o para hacer diseños.
![Page 38: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/38.jpg)
Interpolación y AproximaciónInterpolación y Aproximación
![Page 39: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/39.jpg)
Interpolación y AproximaciónInterpolación y AproximaciónSi la curva pasa por todos los puntos base (puntos soporte), se llamará Curva Interpolante (Interpolación).
Si la curva aproxima a los puntos base, se llamará Curva Aproximante (Aproximación).
Curvas Interpolantes: Polinomio de Lagrange, Polinomio de Hermite, Polinomio de Newton, Curvas Spline (Polinomios a trozos), etc..
Curvas Aproximantes: Curva Bezier, Regresión Lineal, Regresión cuadratica, etc..
![Page 40: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/40.jpg)
Interpolación:Interpolación:
Cuando los datos son absolutamente confiables.Cuando los datos son absolutamente confiables. Cuando los datos no son demasiados (menor a 10)Cuando los datos no son demasiados (menor a 10)
La Interpolación se puede utilizar en los siguientes casos:
![Page 41: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/41.jpg)
Aproximación:Aproximación:
Cuando los datos no son absolutamente Cuando los datos no son absolutamente confiables.confiables.
Cuando los datos son demasiados (mayor a 10)Cuando los datos son demasiados (mayor a 10)
La Aproximación se puede utilizar en los siguientes casos:
![Page 42: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/42.jpg)
EjemplosEjemplos
La proyección de datos de una empresa: Inversión – Ganancia.
La proyección de resultados en elecciones.
La proyeción de la humedad en un terreno.
![Page 43: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/43.jpg)
Polinomio de LagrangePolinomio de Lagrange
∑ ∏=
≠=
− −−
=n
i
n
ijj ji
jin xx
xxxfxL
0 1)1( )(
)()()(
![Page 44: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/44.jpg)
Integración NuméricaIntegración Numérica
∫=b
a
dxxfI )(
![Page 45: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/45.jpg)
Integración NuméricaIntegración Numérica
∫=b
a
dxxfI )(
![Page 46: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/46.jpg)
Método de SimpsonMétodo de Simpson
++
−≅6
)()(4)([)( 210 xfxfxf
abI
![Page 47: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/47.jpg)
Integración Múltiple de SimpsonIntegración Múltiple de Simpson
∫ ∫∫−
+++=2
0 2
4
2
)(...)()(x
x
x
x
x
x
n
n
dxxfdxxfdxxfI
+
+
++−= ∑ ∑−
=
−
=
+1
1
1
0
10 )(
24)(2)(
6
)( n
k
n
kn
kkk xf
xxfxfxf
n
abI
![Page 48: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/48.jpg)
Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales
=∈
=
α)(
],[
),()('
ay
bat
ytfty
Método de Euler:
{ } btttattttt nn =<<<<= ..._;,...,,, 210210
nabhhtt ii /)(_____;1 −=+=+
![Page 49: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/49.jpg)
ii yty =)(
+==
+ ),(1
0
iiii ythfyy
y α
Fórmula Recurrente
EJEMPLO: La población de una pequeña ciudad crece, en un insatnte cualquiera de tiempo, con una rapidez propor- cional al número de habitantes en dicho instante. Si su población inicial es de 500 habitantes y la constante de proporcionalidad k=0,014, obtener de forma aproximada la población de dicha ciudad dentro de 1, 2, 3,..., 9 años
![Page 50: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/50.jpg)
kNdt
dN =
SOLUCION: Sea N la población al tiempo t, la ecuación diferencial que se puede deducir es:
Como k=0,014, e inicialmente hay 500 habitantes, utilizando la fórmula recurrente de Euler obtenemos los siguientes resultados:
![Page 51: Matematica computacional](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052116/559f21741a28abad7b8b4764/html5/thumbnails/51.jpg)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
AÑO POBLAC.
500 507 514 521 528 535 542 550 558 566
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Debido al tipo de ecuación (sencilla), los resultados que arroja el método de Euler, son bastante aceptables. Se puede demostrar que los errores producidos son despreciables.
En problemas más complejos, los resultados se ven afectados con errores considerables. Para los cuales existen métodos más fuertes como el de Runge-Kutta.
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Método de Runge-KuttaMétodo de Runge-KuttaEste método tiene un principio similar al de Euler, la diferencia principal radica en la forma de generar los resultados a través de otra fo´rmula recurrente.
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