Matematica Basica Kimi

7/24/2019 Matematica Basica Kimi

1/32

UPLA

13

MATEMTICA BSICA 1Teora y ejerciciosBenjamn Santivez Meina

MATEMTICA BSICA 1

Teora y ejercicios

Kimberly Caja Len

P!ina 1


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"nice

ndice....................................................................................2

LOS NMEROS REALES............................................................3

Pro#iea$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%&

INECUACIONES......................................................................12

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:............................................17

LUGAR GEOMETRICO.............................................................21LNEA RECTA.........................................................................24

P!ina '


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L(S )*ME+(S +EALES

{0,1,2,..+}

X+2=0 x=2

, ..2,1,0,1,2,.+

8x=7 x=7/8

,

P!ina ,


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Problemas:

1. Hallar x en:

(2x+5)2 x(4x5)=100

4x 2+20x+254x 2+5x=100

25x=10025

25x=75

X=3

2. Hallar el valor de:

E= 2( 12+ 12+ 12+..+)

2

E2= 12 + 12+ 12+.+

E

E2- E 12=

E= !, E= -"

". Hallar el valor de #X2+(2k+5)x+k=0

X2+(2k+5)x+k=0

a

P!ina -


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b

b

2

4

ac2a b

b

2

4

ac2a =3

b b24ac

2a +

b b24ac2a

=3

2b24ac2a

=3b4ac=3a

b4ac=3

b24 ac=9

(2k+5)24k=9

4 k2+20k+254k=9

k2+4 k+4=0

k+2=0 k=2

Pro#iea$$a s%ma de las ra&'es de %na e'%a'n '%adr*'a, es %al al 'oe'ene 'on sno'ambado / el 0rod%'o de las ra&'es es %al el rmno 'onsane.

x2 Sx+P=0

!. Hallar la s%ma de las ra&'es sabendo %e son nversas:

(2x+2)x 2+(4x 4 k)x+(k2)=0

x1+x 2(44k)=4k4

x1 . x 2 k2=1 .(1)

P!ina &


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k=3

30a:

En (1): x1+x2=8

4. 3esolver:

x265x=4x x 26

x265=4x x 26

x

m 5

6=4 m25=4 .(1)

x 26

x= - 1 (2)

m24m 5=0 x26=xm -4 x2+x 6=0m +1 x +" x -2

m=5 , m=1x=3 , x=2

Reemplazamos en (2):x26=5xx25x 6=0(x 6)(x+1)=0x=6 ; x=1

5. 3esolver:

x2+2x2+6x=246xx2+6x+2x2+6x=24

P!ina .


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x2+6x=m x 2+6x=m2 , , , , (1)

Reemplazamos en(1):m2+2m 24=0m+6m4

(m+6)(m 4)=0m=6 ; m=4 (x2+6x )=4 x 2+6x=16

x2

+6

x 16

=ox+2x8

x=8 ; x=2

6. Hallar:

1

2x3+

3

2x23x

=5

x

7x15

2x23x

1

2x3+

3

x (2x3 )=

5

x

7x152 (x3)

CD=x (2x 3)

x+3=5(x 3)(7x15)x+3=5x+157x+153=2x3/2=x Rpta:

7.-

x - x22 = 6

x221 = -6 + x

P!ina /


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x2 21 = (-6 + x)2

x2 21= x2-1!x + !7 -6 = -1!x 681! = x 4 = x

9om0roba'n:

" 6

1.- ( 4x+x+9x2+5x+x2+7 )2= 1+2x

!x2+ x + 9x2+5x+x2+7 = 1+ !x2+!x

9x2+5x+x2+7

)2= (1+"x)2

7x2+ 4x + x2+7 = 1 + 7x2+ 5x

x2+7

)2= (1+ x)2

;2

+ 6 = 1+ x2

+2x

; = "

11.-

1

4xx+ 2+x+x = "

1+ ( 2+x+x )( 2+xx )= "( 2+x + x )

1+ (2 +x -x) = " ( 2+x - x )

P!ina 0


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" = "( 2+x - x )

1= ( 2+x - x )

(1+ x )2= 2+x

1+ x + 2 x = 2+x

2x

)2= 12< x=

12.- $os raba>adores de %na em0resa exendo me>ores rem%nera'ones, se de'lararon en ?%ela. $a '%ara

0are de ellos 'obra %n s%eldo daro de s8.12 la er'era 0are de s8.1 / el reso de s8.@. $a ?%ela d%r 14d&as / al renerarse al raba>o la eren'a solo abono la '%ara 0are de lo %e ?%beran anado en los 14 d&as,'on lo '%al los raba>adores 0erderon s8.4!@1. Aeermnar el nBmero de raba>adores %e en&a la em0resa.

;= raba>adores

x

4.12,

x

3.1

1d&a: 12( x4

) + 1( x

3) + @(

5x

12) =

190x

3

14 d&as: 4(190x

3) = 1!4x

Perderon:3

4(1!4x) = 4!@1

x= 548100(4)

3(1450)< x= 4! raba>adores

1".-C n de aDo los " so'os de %na em0resa se re0aren las %ldades de la s%ene orma el 0rmero oma la

mad del oal m*s medo mlln.El se%ndo la mad %e de>o el 0rmero m*s medo mlln. El er'ero la mad %e de>o el se%ndo m*s medomlln. 9al'%lar a '%ano ?a'enden las %ldades de la em0resa s al nal no %eda nada.

F9GF

EIJC AEKC

P!ina

X -x

4 x

3

5x


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1 X

2 +1

2 x(X

2 +1

2 )=2X

2 x

21

2=x

21

2

2

1

2(X2 12 )+

1

2=

x4

1

4+2

4=

x4+1

4 (X

21

2)(

X

4+1

4)=

2x

4

2

4

x

41

4=

x

4

" 1

2 (X

4

3

4 )+1

2=

x

8

1

8(

X

4

3

4)(

X

8+1

8)=

x

8

7

8=0

30a:

x

87

8=0 x=7millones

1!.- Ln obrero asa daramene los2

3de s% >ornal en almena'n, la %na 0are en 0aar s% vvenda, /

el reso lo %lMa en asos m0revsos. en %n mes de " d&as de los '%ales no raba>o 2 0or en'onrarseenermo el mono de los asos as'ende a s8.1@. Aeermnar '%al es el >ornal del obrero.

ea x el >ornal:

Clmena'n: 23

x

Nvenda:x

5

2

3x +

x

5= 13x

15

En " d&as: "(13x

15) = 25x

30a: 2@x 25x = 1@

;=7

P!ina 12


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14.- 9ero nBmero de revsas se ?an 'om0rado 0or s8.1. el 0re'o 0or e>em0lar ?%bera sdo %n sol menos,

se endr&an 4 e>em0lares m*s 0or el msmo 0re'o, O9%*nas revsas se 'om0r

ea x el 0re'o:

Q1=100

x

x-1= Q2=100

x

Q2- Q1= 4

100

x1-

100

x= 4(m.'.m) = x(x-1)

1x 1(x-1) = 4x(x-1)

1x 1x + 1 = 4x2 4x

4x2 4x -1 =

;= -! x= 4

15.- res ros veren a%a %e adem*s enen %n ro de salda. El ro abero solo, llenar&a en " ?oras, else%ndo en dos ?oras / meda el er'ero en 1 ?ora / meda / el ro de salda lo va'ar&a en 4 ?oras. Esando

va'&o el de0so. e abren los '%aro ros. OEn '%*no em0o %edar&a lleno

P!ina 11

2$ ! 2$ !

3$ ! 1


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Reemplazamos:

X( 1

3

2

5

2

3-

1

5)!1

x( 5+6+103

15)= 1

1@x = 14 < x=5h6

. 60minhoas

= 4 mn

I)ECUACI()ESGne'%a'n: Es %na des%aldad %e se '%m0le 0ara deermnarnos valores de lan'na.

P!ina 1'

%n 1 &ora:1er 'rio! 3 &oras ! 13 &2*o 'rio! 2 &oras yme*ia! +2 &3er 'rio! 1 &ora y

,$ !

R, S, T, U


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1.-

2x1

5+ 3x2

6R 15 (2x+1)

2+ 2

5(2x - 1) + 4("x 2) R 14(2x + 1) + 2

12x 5 + 14x 1 R "x + 14 + 2

- 41 R "x- 16 R x

x R -16

- -16 -2 -1 +1 +2 +

x V S -, -16R

2.-x2 "x + 12 R ; -5 ; -2

xR 5 , x R 2

- 2 5 +

S 5, + R

e '%m0le '%ando son + los dos

P!ina 1,


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xS 5 , x S 2

- 2 5 +

S -, 2R

x2+ 2x "4 S x 6x-4

x + 6 S < x S -6

x 4 S < x S 4 - -6 4 +

x V S -6, 4 R

x + 6 S < x S -6

x 4 S < x S 4 - -6 4 +

30a: sol%'n

".- 3esolver:

x2+x+182x

x 1R

x2+x+18+(2x )(2x )

2xR

x2+x+18+2 x22+x

2xR

4x+162x

R

P!ina 1-

Resriccin:

2 - . ! #


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4(x4)2x R

a) x + ! R < x R - !

2 xR


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a) x 1S


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x W - , "X L W 2, !X

5.- 3esolver:

x25x+6

x2+x42

(x3)(x2)

(x+7)(x6)T

- - - - - + +

- - - + + +

- + + + + +

- - - - +

+ +

6.- 3esolver:

x+1

x3+8x2+14x+12

S , x 5

1 1 " 1# 12 - - -12 -12 -2 2

1 -2 -2P!ina 1/

x "T < x T "

x 2 T < x T 2

x + 6 T


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x+1

(x+6)(x2+2x+2) S

1

x+

(x+6) x+1

S

- - - + +

- + + + +

30a:xV W -5, -1X

3ISTA)CIA E)T+E 3(S PU)T(S$

P!ina 10

- 1 #

4 52 (.26 y2)

(y20 y1)

(.20 .1)51(.1 0y1)


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P1P2

Avsn de %n semeno en %na raMn:

d (P1,Q)

d (Q,P2)

xx1x 2x

=!!1! 2!

=

x1 x2= rx2 rx

x + rx = rx2+ x1

x(1+r) = x1+ xr2

x = x1+ rx2 1 + r

P!ina 1

.

* (51652) !

(x2x1)2+(! 2! 1)2

y51(.2 0y2)

!

7

.

51(.16 y1)

/1 /2= r/2 r/

/ + r/ = r/2 + /1

/(1+r) = /1+ /r2

/ = /1+ r/2 1 + r


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8i r ! 1 7 es el p9no me*io *e 516 52

x=x+x 1

2

!=!+!1

2

E>er''os:

1.- Lno de los exremos de %n semeno / el 0%no (6,@) / s% 0%no medo (!,"). Hallar el oroexremo.

8+!2

=3 < / = -2

7+x2

= ! x = 1

P!ina '2

(6 ")

(,6 3)

(.6 y) ! (16 2)


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2.- $os 0%nos medos de %n r*n%loC(2,4) Y(!,4) 9(1, 1). Hallar las 'ara'er&s'as de losvr'es.

x 1+x22

= 2 x1+ x2= !

x 2+x32

= ! x"+ x"= @

x 1+x32

= 1 x1+ x"= 2

! 1+! 22

= 4 /1+ /2= 1

! 2+! 32

= 2 /2 + /" = !

! 1+! 22

= 1 /1+ /"= 2

P!ina '1

52 (.26 y2) ! (16

(.26 y2)

(-,6 2)(-26 3)

(16 1) (.36 y3)(.6 y)

.1 .2.2.3 .1 .3! 1,

2.1 2.2 2.3! 1,

X1 .2 .3 !

x1+ x2= 6 ! = " x"

x2+ x"= 6 @ = -1 < x1

x1+ x"= 6 - 2 = 4 < x22y1 2y2 2y3! 1

y1 y2 y3 ! "

/1+ /2= @ 1= -2 < /"

/2+ /"= @ != ! < /1

/1+ /"= @ - 2 = 5 < /2


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30a: 9oordenadas:

P(-1, !) Q(4, 5) 3(2 -")

LU4A+ 4E(MET+IC(

e llama l%ar eomr'o al 'on>%no de odos los 0%nos %e enen al%na 'ara'er&s'a en'omBn.

P!ina ''


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Problema 1:

Fbener el l%ar eomr'o de odos los 0%nos %e e%dsan de odos los 0%nos

d (PC) = d (PY)

(x+3)2+(!2)2 = (x2)

2+(!5)2

;2+ 5x + 7 + /2- !/ + ! = x2+ !/ + ! + /2+ 1/ + 24

1x !/ 15 =

4x 6/ @ =

2.- Ln 0%no se m%eve de al manera %e s% dsan'a al 0%no C es sem0re %al del e>e /a%menado en 2. Hallar la e'%a'n del l%ar eomr'o.

d(P,C) = x+2

(x2)2+(!+3)2 = x + 2

(x 2)2+ (/-")2 = x2+ !x + !

P!ina ',

y

- .

-y

y

5(.6 y).

(26 3)


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x2 !x + ! + /2 5/ + 7 = x2+ !x + !

/2 @x 5/ + 7 = "c#aci$n

".- Aos vr'es de %n r*n%lo son los 0%nos C / Y de C(1, ) / Y(4, ). Hallar la e'%a'ndel l%ar eomr'o del er'er vr'e 9, s se m%even de al manera %e la deren'a enrelas lon%des de los lados.

Z C9 / Y9 es sem0re %al de lon%d del lado CY.

d ( % C ) d (Y9) = & (%')2

(x1)2+(!0)2 - (x5)

2+(!0)2 = 2

(x1)2+!2 = 2 + (x5)

2+!2

(x 1)2+ /2= ! + ! (x5)2+!2 + (x 4)2+ /2

;2 2x + 1 = ! + ! (x5)2+!2 + x2 1x + 24

@x 2@ = ! (x5)2+!2

2x 6 = (x5)2+!2

!x2 2@x + !7 = x2 1x + 24 + /2

"x2 /2 1@x + 2! =

Hallar:

$a e'%a'n del l%ar eomr'o de los 0%nos C %e dvde al semeno 3(2,") '%andoC(1,1) / Y se m%eve sobre la '%rva x/ = -1

& (%P)& (%')

= 13

& (%P)& (%')

= 23

P!ina '-

.


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x1x 1x =

2

3

"x " = 2x 2x

x1=5x3

2 (1)

!1! 13

=2

3 "/ " = 2/1 2/ . (2)

/1 =5!3

2 . (")(2) / (") en (1)

( 5x3

2) (

5!32

) = -1

(4x ") (4/ ") = -!

L")EA +ECTA

P!ina '&


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e llama l&nea re'a al l%ar eomr'o de los 0%nos ales %e omado de dos en dos,enen sem0re la msma 0endene.

Ln *n%lo enre re'as:

1.- Hallar la e'%a'n de la re'a %e 0asa 0or el 0%no / ene %n an%lo de nd'a'n de1"4[

P!ina '.

y

7(.26 y2)

(y2 -y1)

m ! ' ( !

y2 0 y1

(.2-.1)

(

5(.16 y1)

.

mm1

(

(

8i m1 0 m2 ! 1 L1 L2


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C (!, -1) ( = 1"4[

/ = /1 = m(x x1)

(x1, /1) 0%no de 0aso

Asan'a de %n 0%no a %na re'a:

2.- Hallar la e'%a'n de la medarM del semeno %e m%eve los 0%nos C(-", -!) Y(4, 2)

m =2+45+3

=6

8=

5

4

m . m1 = -1

m1 =1m

=

13

4

=43

/ + 1 = -!8" (x 1)

"/ + " = -!x + !

!x + "/ 1 =

P!ina '/

1++

(,6 -1

;L:

y 0 y1! m ( . 0

L1

= ( 16

(36 -,)

5 (.16 y1)


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".- Problema:

$ = "x !/ + 12 = P (!, -1)

d(P$) =3 (4 )4 (1 )+12

32+42

= 2@84

!.- Aos re'as se 'oran ormando %n an%lo de !4[. $a re'a n'al 0asa 0or el 0%no P(-2, 1)/ Q(7, 6), en la re'a nal 0asa 0or el 0%no Y(", 7) / 0or el 0%no C '%/a abs'sa es (-2, /).

Hallar la ordenada de C.

( ( =m2m11+m1.m2

=1

m2 m1= 16 m1.m2

m1 =719+2

= 5811

m2 =9!3

+2

m26

11= 1+

6

11m2

m26

11m2= 1+

6

11

P!ina '0

%x1+'!1+C2+ 2

,+$

7(?6

(-26

5(-26


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4m28! = 168!

m2 = 16

9!3

=17

5 /= -@

4) Aos re'as se 'oran ormando %n *n%lo de !4[: Lna re'a $10asa 0or los 0%nos (",2) / (-!, -5) Fra re'a $2 0asa 0or la re'a (-6, 1) / el 0%no C '%/a ordenada en el oren ( ,5).

Hallar la abs'sa de C sabendo %e $1es 0er0end'%lar a $2

(",2) m1 =2+63+4

=4

7

(-!, -5)

(-6,1) m1 =1+6

7X=

7

7X

(;, -5)

$1 0er0end'%lar a $2

m1.m2 = -1 4

7(

7

7x) =-1

! = 6 + x x = -"

P!ina '

L1

L2


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5) $eer las re'as $1

$1 = 2x -"x +5 = o

$2 = / +! = . $a re'a $1 nerse'a $1 en Y / a la $2 en 9, s el $1 0asa 0or el 0%no (7,5)YP es al semeno P'. Hallar la e'%a'n de la re'a $.

'P

PC

9E $2 /2 ! = o /2=!

Y E $1 2x1 "/1+ 5 = . (1)

6! 1! 26

= 28"

1@ - "/1= 2/2 12

1@ -"/1= 2(!) 12

P!ina ,2

@(.6y) !("6

(?6)


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" /1= 22

/1= 228"

En (1)

2x1- "(228") + 5

2x1 22 + 5

;1= @

\l = 228" x 5 8-1 = -!8"P(7,5) /-5 = -!8"(x 7)

"/ 1@= - !x + "5

$= !x + "/ + "5

6) Aado el ran%lo de los vr'es C, Y, 9. Hallar las e'%a'ones de la re'a %e 0asan 0or elvr'e Y / se rse'an s al lado o0%eso C9

x+102x =

1

2

!+15! = ] / = 1

m$1= 58" = 2

Y (-", 6)

P!ina ,1

C (.26 y2)

@(-36)

& (%P)& (PC)

! 1

(-1#6-1) (26+)

a 5 b 7


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MATEMTICA BSICA 1

Teora y ejercicios

Kimberly Caja Len

^ - 6 = 2(x + ")

/ 6 = 2x + 5

$1 = 2x / + 1" =

Para $2:

m$2= !8-1 = -!

/ - 6 = -! (x + ")

/ 6 =- !x+ 12$2: !x + / + 4 =

P!ina ,'

Matematica Basica Kimi

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