MatemáTica
36
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DEDICATORIA
A él por permitir que este trabajo tan es forzoso se halla podido realizar y por brindarme la inteligencia y sabiduría necesaria para poder realizarlo.
A ellos, por brindarme los medios necesarios para poder realizar este trabajo y por su cariño que es fundamental para mí.
Por el aprecio que me tiene y el apoyo que me brinda cada momento que lo necesito.
AGRADECIMIENTO
Por brindarme la luz bendita de la sabiduría e inteligencia y de esa manera dando como resultado este sacrificado trabajo.
Por brindarme su afecto necesario que es fundamental para mi, como lo sería para todo hijo de sus padres.
Por brindarme todo su cariño y su amor incondicional que es esencial para mí.
PRESENTACIÓN Para mi es un agrado presentarles este tan costoso trabajo que es reflejo de una buena educación y una buena formación brindada por mi Institución Educativa, que con tanto esmero y dedicación fue elaborado para mostrar al mundo la enseñanza de esta prestigiosa Institución.Esperando que esta monografía sea debidamente de su agrado…
Atte JORDY
INDICE
Justificación………………………………………1Definición………………………………………….2Ejercicios…………………………….…………….4Propiedades…………………………….………….10Transformaciones…………………………….….11Igualando a la base………………………….…….20Grafico……………………………………...............26Bibliografía………………………………………....31Anexos……………………………………….……...31
JuSTIfICACIÓN
Las funciones exponenciales son una de las familias de funciones más importantes en las matemáticas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen. En la Administración de Empresas se usan para interés compuesto, anualidades y planes de ahorro entreotras. En las ciencias naturales las aplicaciones son innumerables incluyendo modelos de crecimientoen biología, reacciones de primer orden en químicaorbitales moleculares en química física, etc.. En este módulo veremos los conceptos básicos de construcción de gráficas, solución de ecuaciones exponenciales y algunas aplicaciones de las funciones exponenciales.
1
Definición de una función exponencial
La x puede asumir cualquier valor real por lo que el dominio de las funciones exponenciales es elconjunto de los números reales, ( ), .R = −∞ ∞
Como la los resultados al evaluarlas funciones exponenciales son números positivospor lo tanto el alcance será,
0 y 1b b> ≠
( )0, .A = ∞
Sea un número real. A una función de la forma se le llamafunción exponencial con base
( ) xf x b=.b
0 1b y b> ≠
Si la función será una funciónconstante, que no es exponencial.
2
( ) 1f x =1b =
“Estas funciones se conocen como funciones exponenciales porque el exponente es variable.”
Ejemplos de funciones exponenciales
1. ( ) 32. ( ) 4
23. ( )
34. ( ) 55. ( ) 10
x
x
x
x
x
f xf x
f x
f xf x −
==
= ==
3
Ejemplos:
Traza la gráfica de las siguientes funcionesexponenciales.
1. ( ) 32. ( ) 2
13. ( )
2
24. ( )
35. ( ) 10
x
x
x
x
x
f xf x
f x
f x
f x −
==
= =
=
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Ejercicios de funciones exponenciales
4
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
1. ( ) 3xf x =
x f(x)
0
1
2
1
2
−−
1
3
9
1
31
9
Observe el dominio y el alcance en la gráfica. Observe también que si los valores de x tienden a menos infinito, los valores de la función tienden a 0.
,x→−∞5
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
2. ( ) 2xf x =
x f(x)
0
1
2
3
1
2
−−
1
2
4
1
21
4
8
Ejercicios
6
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
13. ( )
2
x
f x = x f(x)
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
0
1
2
1
2
−−
1
2
4
1
21
4
Ejercicios
7
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x f(x)
0
1
2
1
2
−−
1
3
29
4
2
34
9
24. ( )
3
x
f x =
Ejercicios
8
5. ( ) 10 xf x −=
x f(x)
0 1
10
100
1
101
100
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ejercicios
1
2
1−2−
9
Resumen de las propiedades de las funciones exponenciales
3.Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1).
2. Si b > 0 la función es creciente.3. Si b < 0 la función es decreciente.4. El eje de x es una asíntota horizontal.5. El dominio es el conjunto de los números reales.6. El alcance es el conjunto de números reales
positivos.7. Las funciones exponenciales son uno a uno.
10
Transformaciones de las funciones exponenciales
Al igual que las funciones estudiadas anteriormentepodemos transformar las funciones exponencialesvariando sus parámetros (números) para producir traslaciones, reflexiones, estiramientos y contracciones. Las funciones que resultan de estas transformaciones se conocen como funciones de forma exponencial. Veremos algunos ejemplos a continuación.
11
Traza la gráfica de las siguientes funciones.
1
1
2
1. ( ) 3 22. ( ) 2
13. ( ) 2
22
4. ( ) .53
5. ( ) 2 26. ( ) 2
x
x
x
x
x
x
f xf x
f x
f x
f xf x
−
− −
−
= +=
= =
= − −=
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Transformaciones de las funciones exponenciales
Solución
12
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1. ( ) 3 2xf x = +
x f(x)
0
1
2
1
2
−−
3
5
11
12
31
29
( ) 3xf x =
( ) 3 2xf x = +
13
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
12. ( ) 2xf x −=
x f(x)
0
1
2
3
1
2
−−
1
2
4
1
2
1
41
8
Ejercicios
14
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8f(x)
x
13. ( ) 2
2
x
f x = x f(x)
0
1
2
3
1
2
−−
1
12
4
2
14
8
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8f(x)
x
Ejercicios
15
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8f(x)
x-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8f(x)
x
24. ( ) .5
3
x
f x = x f(x)
0
1
2
1
2
3
−−−
13
29
34
12
98
2716
16
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8f(x)
x
15. ( ) 2 2xf x − −= − −
x f(x)
0
1
2
1
2
3
−−−
94−
178−
3−
52−
4−
6−
17
x y-2
-1
0
1
2
1/8
1/2
1/4
1
1/16
26. ( ) 2xf x −=2 2. ( 2) 2a f − −− = =
1 2. ( 1) 2b f − −− = =
0 2. (0) 2c f −= =
1 2. (1) 2d f −= =
2 2. (2) 2e f −= =
42− = 4
1 1
162=
33
1 12
82− = =
22
1 12
42− = =
11
1 12
22− = =
02 1=3 2. (3) 2f f −= = 12 2=
3 2
18
2 ( ) 2xf x −=
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x y-2
-1
0
1
2
1/8
1/2
1/4
1
1/16
3
4
2
3
Ejercicios
19
Re s ol ve r e c uac i one s e xpone nc i al e s i gual ando l as.bas e s
Las f unc i one s e xpone nc i al e s s on f unc i one s uno a, uno por l o t ant o s i y s ol o s i x = y . Es t a pr opi e dad nos pe r mi t e r e s ol ve r e c uac i one s
. e xpone nc i al e s i gual ando l as bas e s O s e a s i l as bas e s s on i gual e s e nt onc e s l os e xpone nt e s s on
.i gual e s
x ya a=
Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones.
3 8 21. 2 2x x− −=
4 62. 3 3x x− −=
13. 27 3 x x+=
Solución
Solución
Solución 20
6 10 12 3
6.3 2
x x+ +
= 2
4 2 17.
xxe
e
−− =
2 22 58. 4 2x x x+ +=
4 221
4. 22
xx
−− =
2 25. 16
64
xx
− =
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución21
3 8 21. 2 2x x− −=
3 8 2x x− = −
3 2 8x x− = − +
2 6x =
3x =
{ }C.S 3=
Verificación
( ) 23833 22 −− =189 22 =−
22 =
22
4 62. 3 3x x− −=4 6x x− = −4 6x x+ =
5 6x =
6
5x =
6C.S
5 =
Verificación
5
665
64
33−−
=
5
6
5
30
5
24
33−−
=
5
6
5
6
33−−
=
23
13. 27 3 x x+=
( )3 13 3x x+=
3 1x x= +
2 1x =
1
2x =
1C.S
2 =
Verificación1 1
12 227 3
+=
3 3
2 23 3=
( )31
3 223 3=
24
24 2 1
7. x
xee
−− =
4 2 2x x− = −
4 2 2x x− = −( )4 2 2x x− − = −
4 2 2x x− = − +
3 0x =
0x =
4 2 2x x− + = −
4 2 2x x− − = − −
5 4x− = −4
5x =
4C.S.= 0,
5 25
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
1. ( ) 2xA f x− =x f(x)
0
1
2
3
1
2
−−
1
2
4
1
21
4
8
Respuestas de la pre y post- pruebaGRAFICOS
26
x f(x)
0
1
2
1
2
−−
1
1
51
25
5
25
2. ( ) 5xA f x− =
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
27
13. ( )
3
x
A f x − =
x f(x)
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
0
1
2
1
2
−−
1
3
9
1
31
9
28
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x f(x)
0
1
2
1
3
−
1
3
1
9
9
1
3
14. ( ) 3xA f x −− = 29
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9y
x
x f(x)
0
1
2
1
2
−−
1
1
e
2
1
e
e2e
5. ( ) , 2.71xA f x e e− = ≈ 30
BIBLIOGRAfÍA
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ANEXOS
31
