Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico1 Matemtica para Vestibulinho Prof. Wlad Contedo programtico 1. Conjuntos ............................................................................................................................. 02 2.Nmeros naturais, inteiros, racionais e irracionais.................................................................... 08 3. Potenciao, radiciao........................................................................................................... 13 4. Expresses algbricas............................................................................................................. 14 5. Produtos notveis e fatoraes............................................................................................... 16 6. Razes e propores............................................................................................................... 17 7. Regra de Trs ......................................................................................................................... 20 8. Porcentagem. Problemas de aplicaes................................................................................... 23 9. Equaes de 1 e 2 graus. Problemas de aplicaes................................................................27 10. Sistemas de equaes de 1 grau........................................................................................... 30 11. Plano cartesiano ................................................................................................................... 32 12. Funo do 1 Grau ...............................................................................................................33 13. Funo exponencial ............................................................................................................. 35 14. Elementos fundamentais da geometria plana e semelhana de figuras planas........................ 37 15. Relaes mtricas no tringulo retngulo.............................................................................. 43 16. Razes trigonomtricas ........................................................................................................ 46 17. reas de figuras planas......................................................................................................... 50 18. Slidos Geomtricos.......................................................................................................... 53 19. Anlise combinatria e probabilidade.................................................................................... 56 20. Noes de estatstica............................................................................................................ 58 21. Lgica e seqncias ............................................................................................................. 63 Anexos.................................................................................................................................... 67 EDIO2010Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico2 1. CONJUNTOS 1.1. Introduo a) Conjunto Anoo de conjuntoem Matemtica praticamente amesmautilizadanalinguagemcotidiana:agrupamento, classe, coleo. Por exemplo: -Conjunto das letras maisculas do alfabeto;-Conjunto dos nmeros inteiros pares;-Conjunto dos dias da semana;b) Elemento Cada membro ou objeto que entra na formao do conjunto. Assim: -V, I, C, H, E so elementos do primeiro conjunto acima;-2, 4, 6 so elementos do segundo;-Sbado, Domingo do terceiro; c) Pertinncia entre elemento e conjunto Por exemplo, V um elementodo conjunto das letras maisculas do alfabeto,ou seja, V pertence quele conjunto. Enquanto que v no pertence. Como se v so conceitos intuitivos e que se supe sejam entendidos (evidentes) por todos. Notao Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiscula A, B, C, Elemento: Por uma letra minscula a, b, c, x, y, z, Pertinncia: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por: Caso contrrio, ou seja, se x no um elemento de A (ou x no pertence a A) escrevemos: 1.2. Representaes de Conjuntos a) Extenso ou Enumerao Quando o conjunto representado por uma listagem ou enumerao de seus elementos. Devem ser escritosentre chavese separados por vrgula ou ponto-e-vrgula. Exemplos: -Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Jnior, Thiago, Juliana, Fabiana};-Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};-Conjunto dos nmeros pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.Observaes: 1.Na representao por extenso cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;2. uma boa prtica adotar a separao dos elementos emconjuntos numricoscomo sendo o ponto-e-vrgula, para evitar confuses com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};3.Esta representao pode, tambm, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formao de seus elementos e colocando-se reticncias no final: {2, 4, 6, 8, 10, };4.Representao semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande nmero de elementos: {0, 1, 2, 3, , 100}.b) Propriedade dos Elementos Representao em que o conjunto descrito por uma propriedade caracterstica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente: A = {x | x tem a Propriedade P} e l-se: A o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P. Exemplos: -A = {x | x um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};-B = {x | x um nmero inteiro par e 8 < x < 22}. ltimo exemplo do item a) acima;-C = {x | x um deputado federal eleito em 2006}.c) Diagrama de Euler-Venn Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e no entrelaada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico3 Conjunto Unitrio e Conjunto Vazio Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta idia de pluralidade (coleo de objetos), devemos considerar a existncia de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitrios, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (). O conjunto vazio obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P logicamente falsa. Exemplos de Conjuntos Unitrios: -Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};-Conjunto dos nmeros inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};-Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.Exemplos de Conjuntos Vazios: -{ x | x > 0 e x < 0 } = ;-Conjunto dos meses com mais de 31 dias;-{ x | x2 = -1 e x um nmero real} = .Conjunto Universo o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e simbolizado pela letra U. Assim, se procuramos determinar as solues reais de uma equao do segundo grau, nosso conjunto Universo U R (conjunto dos nmeros reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalo, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura. Portanto, essencial, que ao descrever um conjunto atravs de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo: Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos A e B so iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A: Observaes: 1.A ttulo de ilustrao: O A invertido na expresso acima significa para todo;2.{a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noo de ordem no interfere na igualdade de conjuntos;3. evidente que para A ser diferente de B suficiente que um elemento de A no pertena a B ou vice-versa: A = {a, b, c} diferente de B = {a, b, c, d}. Subconjunto Um conjunto A um subconjunto de (est contido em) B se, e somente se, todo elemento x pertencente a A tambm pertence a B: onde a notaosignifica A subconjunto de B ou A est contido em B ou A parte de B.A leitura da notao no sentido inverso feita como B contm A. Observeque a abertura do sinal de incluso fica sempre direcionado para o conjunto maior. Na forma de diagrama representado como: Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico4 Exemplos: -{1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}- C {a, b};-{a, b} C {a, b};-{a, b, c} {a, c, d, e}, onde significa no est contido, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto no pertence ao segundo.Observe que na definio de igualdade de conjuntos est explcito que todo elemento de A elemento de B e vice-versa, ou seja, que A est contido em B e B est contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos so iguais devemos provar que: Propriedades da Incluso Sejam D, E e F trs conjuntos quaisquer. Ento valem as seguintes propriedades: 1. C D: O conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto;2.D C D: Todo conjunto subconjunto de si prprio (propriedade Reflexiva);3.D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simtrica);4.D C E e E C F => D C F: Se um conjunto subconjunto de um outro e este subconjunto de um terceiro, ento o primeiro subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).Com exceo da primeira propriedade, a demonstrao das demais bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira: Partimos da tese de que se o conjunto vazio no um subconjunto de D, ento necessrio que pelo menos um elemento desse conjunto no esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio no possui nenhum elemento, a sentena D sempre falsa. Logo, o conjunto vazio est contido em D sempre verdadeira. Conjunto das Partes Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E - P(E) - o conjunto formado por todos os subconjuntos de E: Exemplos: -Se A = {a, b, c}, ento P(A) = {, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}-Se B = {a, b}, ento P(B) = {, {a}, {b}, {a,b}};-Se C = {a}, ento P(C) = {, {a}}.Observaes: 1.Enfatizo, apesar de colocado na prpria definio, que os elementos de P(E) so conjuntos;2.Assim, deve-se ter ateno quanto ao emprego dos smbolos pertence (no pertence) e contido (no contido);3.No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} um subconjunto de P(A);4.Se definirmos n(E) como sendo o nmero de elementos do conjunto E, ento n(P(E)) = 2n(E). A propriedade vlida para conjuntos finitos;5.Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 23, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 22 e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 21. 1.3. Operaes entre conjuntos Unio : Conjunto unio sotodos os elementos dos conjuntos relacionados. AB = {x e Aou x e B } Exemplo 1:Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4,} e B = {0, 2, 4, 5}a unio desses dois conjuntos : AB = {0, 1, 2, 3, 4 ,5 }

AB Exemplo 2:Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a unio desses conjuntos :AB = {0, 1, 2, 3, 4 ,5 } nesse caso podemos dizer queAB = B Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico5 Interseco: Oselementosquefazempartedo conjunto interseco so os elementos comuns aos conjuntos relacionados. A B = {x e Ae x e B } Exemplo 1:Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 8}, se pedimos a interseco delesteremos: A B = {2, 3} , dizemosque A inter B igual a 2 e 3. A B Exemplo 2:Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a interseco deles teremos: B C = {}ouB C = C ento B e C so conjuntos distintos. Diferena entre dois conjuntos. Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferena ou diferena entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que no pertencem a B. O conjunto diferena representadopor A - B Exemplo 1: A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 8 } a diferena dos conjuntos :

A B A B = { 1, 2 } B A B A = { 8 }

Exemplo 2:A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {8, 9, 10} adiferena dos conjuntos : A B = { 1, 2, 3, 4, 5 } Exemplo 3:A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}a diferena dos conjuntos : A B =C Complementar Dadosdois conjuntos A e B em que A c B, chamamos de complementar de A em B ,o conjuntoformado pelos elementos de que pertencem a B que no pertencem a A A c B = B-A Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico6 Exemplo 1:A = { 1, 2 , 3} e B = { 1, 2, 3, 4, 5}ento =B A ={ 4, 5} Exerccios resolvidos 1.SeA = { 1, 2, 3, 4 , 5}e B = { 2, 3, 7} e C = { 2, 4, 6} , determine: a)ABAB = { 1, 2, 3, 4 , 5} { 2, 3, 7}={ 1, 2, 3, 4 , 5, 7} b)A BA B = { 1, 2, 3, 4 , 5} { 2, 3, 7}={ 2, 3} c) ( AB )( BC ) AB ={ 1, 2, 3, 4 , 5, 7} BC ={ 2, 3, 7 } ( AB )( BC ) { 1, 2, 3, 4 , 5, 7} { 2, 3, 7 }= { 2, 3, 4, 7 } 2.Se A = { 1, 2, 3, 4 , 5 },B = { 2, 3, 6} e C = { 1, 2, 4 }, encontre: a)B C B C= { 2, 3, 6 } { 1, 2, 4 }={ 3, 6 } b)

A - C = { 1, 2, 3, 4 , 5} - { 1, 2, 4 } = { 3, 5 } Nmerodeelementosdauniode conjuntos Sendon(A)onmerodeelementosdoconjuntoAe n(B)onmerodeelementosdoconjuntoB,temos: n ( AB ) = n (A) + n(B) n(A B ) Exemplo1: n(A) = 5 n (B) = 5 n(A B ) = 2 Sendon ( AB ) = n (A) + n(B) n(A B ), ento n ( AB ) =5 + 5 2. Logo n ( AB ) = 8 Exemplo2: n(A) = 3 n (B) = 4 n(A B ) = C Sendon ( AB ) = n (A) + n(B) n(A B ), ento Exerccios resolvidos 1.Determine n (DM ) sendo D = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}e M = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 } Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico7 n(D) = 8 n (M) = 8 n(A B ) = 4 Sendon ( AB ) = n (A) + n(B) n(A B ), ento n ( AB ) =8 + 8 4. Logo n ( AB ) = 12 2.Em uma universidade, 80% dos alunos lem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo que todo aluno l pelo menos um dosjornais,qualopercentualdealunosquelemambos os jornais? Soluo Como todos os alunos lem pelo menos um jornal, n ( AB )= 100%. Ento: n ( AB ) = n (A) + n(B) n(A B) 100%=80% + 60% n(A B) n(A B) = 140%-100% n(A B) =40% Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico8 2. NMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E IRRACIONAIS. 2.1.Conjunto dos Nmeros Naturais ( )

={ 0,1,2,3,4,.. } *={ 0,1,2,3,4,.. } Oconjuntodosnmerosfechadoemrelaoas operaesdeadioemultiplicao;istoaadiode doisnmerosnaturaisumoutronmeronaturalea multiplicaodedoisnmerosnaturaistercomo resultado tambm um nmero natural. Representao geomtrica dos nmeros naturais 2.2. Nmeros inteiros () = { ..., -3, -2, -1, 0,1, 2 , 3, ...} Subconjuntos de * = { ..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } + = {0, 1, 2, 3, ... } *+ = {0, 1, 2, 3, ... } - = { ..., -4, -3, -2, -1, 0 } *- = { ..., -4, -3, -2, -1 } Representao geomtrica dos nmeros inteiros 2.3.Conjunto dos Nmeros Racionais () Todo nmero que pode ser escrito na forma de frao =x| x= ab, a e ;b ee b 0

Inteiro:- 10, 101 ,+ 6,+61 Decimal exato:0,1 ;110 ; 1,32=132100 Dzima peridica: a)0,777... =79 b)1,666 ...=1 +0,666... = 0,666... = 69=23 1 +23 = 3 + 23 =53 c)0, 366... =36 390 = 3390=1130 Cuidado! : Nem todo nmero racional inteiro. Ex.:

= 0,5 racionalmasno inteiro! 2.4.ConjuntodosNmerosIrracionais(I) Osnmerosirracionaisapresentaminfinitascasas decimais e no peridicas, so nmeros que no podem serescritos na forma de uma frao. Exs:t ,2 , 3 ,u, etc... Obs.:Asrazesquadradasdenmerosquenoso quadradosperfeitossotambmchamadasdenmeros irracionais. 2.5.Nmeros Reais( ) Auniodosconjuntosdosnmerosracionaise irracionaischama-seconjuntodosnmeros,queser indicado por = { nmeros racionais} { nmeros irracionais } Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico9 Exerccios 1.(SENAI2008)Numjantardecomemorao,nofinaldo anopassado,todososparticipantesresolverampediro mesmopratoeamesmasobremesa.Nofinaldojantar pagaramumtotaldeR$450,00pelopratoprincipaleR$ 250,00pelasobremesa.SecadasobremesacustouR$5,00 amenosdoqueopratoprincipal,entoogrupoera formado por a. 20 pessoas. b. 30 pessoas. c. 40 pessoas. d. 50 pessoas. e. 60 pessoas. 2.(Trajano 2007) A roda-gigante de um parque de diverses temdezoitocadeiras,igualmenteespaadasaolongodo seu permetro emove-se nosentido anti-horrio, isto , no sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio. Nafigura,asletrasA,B,C,...eRindicamasposiesem queascadeirasficamcadavezquearoda-gigantepra. Comaroda-giganteparada,Brunasenta-senacadeiraque estnaposioA,posiomaisbaixadaroda-gigante.A roda-gigantemove-sedeumavoltaepra.Nesse momento, a letra relativa posio da cadeira ocupada por Bruna (A) D. (B) I. (C) K. (D) P. (E) R. 3.(Trajano2007)Quandoestavalendoumareportagem sobreasuabandafavorita,Paulaobservouquehaviaum borro de tinta no texto, como mostrado a seguir: Curiosa,Pauladeterminouqueonmerodeingressos oferecidos para a rea vip foi (A) 260. (B) 400. (C) 540. (D) 760. (E) 910. 4.(Trajano2007)Umaequipedereportagemparteemum carroemdireoaSantos,paracobriroeventoMsica Boa S na Praia. Partindo da cidade de So Paulo, o veculo deslocou-secomumavelocidadeconstantede54km/h, durante 1 hora. Parou em um mirante, por 30 minutos, para gravar imagens da serrae do movimento de automveis.A seguir,continuaramaviagemparalocaldoevento,como veculodeslocando-seaumavelocidadeconstantede36 km/h durante mais 30 minutos. A velocidadeescalar mdia durantetodoopercursofoi,emm/s, de:................................ (A) 10 m/s.(D) 36 m/s. (B) 12 m/s.(E) 42 m/s. (C) 25 m/s. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico10 5.(Trajano 2007) Eduardo e Mnica estavam brincando de adivinhaes com nmeros inteiros positivos. Ao ouvir a resposta de Mnica, Eduardo imediatamente revelou o nmero original que Mnica havia pensado. O nmero que Mnica havia pensado era um (A) divisor de 12. (B) divisor de 15. (C) divisor de 24. (D) mltiplo de 5. (E) mltiplo de 12. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico11 6.(Cotil2002)Asinfraesdetransitosoclassificadasde acordocomoquadroaolado.Seumcondutorde automvel cometer as seguintes infraes: uma grave, duas mediase1leve,quantospontosseriamregistradosnasua carteira de motorista? E qual seria o valor total pago dessas multasemreais?1UFIR=R$1,0641fonte:Receita Federal InfraesPontosMulta Gravssima7180 UFIRs Grave5120 UFIRs Mdia480 UFIRs Leve350 UFIRs PROBLEMAS COM FRAES 6.(Cotil2005)Omedodeatentadoterroristaforoua idealizaodeumplanodeseguranaparaosjogosOlmpicos de 2004 de Atenas. A segurana reforada contou com milhares de homens e mulheres, sendo 59 policiais ,13 militares,seguranaparticularesevoluntrioseoutros5 milhomenseramdaguardacosteira.Ototaldehomens que participaram da segurana em Atenas 2004 foi de : a) 15 mil b) 25 mil c) 30 mil d) 45 mil e) 50 mil 7.(Cotil2005)Ojudolmpicoumdosesportesmais premiadosdoBrasil.Oprimeirojudocabrasileiroa conquistaroourofoiAurlioMiguel,em1998.Paraquem napraticaoesporte,entenderaqueleempurra-empurra, agarra-aguarraegolpesrpidosnomuitofcil.Para compreenderumpoucomaisdadinmicadesseesporte, umcaminhoaprenderamatemticaqueenvolveo sistemadepontuaodosgolpes,conformeatabela abaixo: GolpeValorPunioValor Ippon1 pontoShid1/8 ponto Waza-ari1/2 pontoChui1/4 ponto Yuko1/4 pontoKeikoku1/2 ponto Koka1/8 ponto Hansoku-make 1 ponto Acompanhe a descrio de uma luta entre um japons e um coreano. -Olutadorjaponsobteve:umkoka,umyoko,umwaza-ari e trs shid - O coreano teve o seguinte desempenho: um waza-ari, dois koka, um Chu,um shid e um yoko. Qualototaldepontosdolutadorjaponsedocoreano, respectivamente? a)12e98 b)108e58 c)48e78 d)28e58 e)48e58 8.(Cotil2006)NoCOTIL,aalunoscarentessooferecidas bolsa-trabalho,cujovalorvariaacadaano.Depoisdeuma rigorosaavaliao,algunsalunossobeneficiadose prestamservioescolaemhorrioopostoaoque estudam.Emumdeterminadoano,umestudanterecebeu uma bolsa. Descubra quanto recebeu, sabendo que no final domselegastou 45dototale,emseguida,envioumais 16,restando-lhe..apenas..R$.7,00. a) R$150,00 d) R$ 240,00 b) R$ 180,00e) R$ 270,00 c) R$ 210,00 9.(Cotil2006)Asepidemiasqueafetamosanimanis preocupamnosoBrasil,comotambmahumanidade. Um fazendeiro da regio Centro-Oeste do Brasil possua um rebanhodegadoparacortee,numcertomsdoano,viu seurebanhoserdizimadoporumadessasepidemias.Na primeirasemanaperdeu 13dorebanho;nasegunda semana,perdeu 16;naterceira 19;naquarta 112, sobrando apenas 792 cabeas de gado. Quantas cabeas do rebanho ele perdeu? 10.(Cotil2007)Osdesertosavanam.Ototaldereas atingidasporsecadobrouemtrintaanos.SnaChina,as reasdesrticasavanaram10.000quilmetrosquadrados por ano, o equivalente ao territrio do Lbano. A rea total da Terra de aproximadamente 510 milhes de km2.Sabe-se que34dasuperfcie da Terra so cobertos por gua e13 do restante coberto por desertos. A rea dos desertos, em milhesdequilmetrosquadradoscorrespondea aproximadamente: Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico12 a)127,5 b)170 c)42,5 d)420,5 e)425 11.(PSS-SEE/SP)Um professor de uma escola de msica vai comprarumlivroparacadaumdos270alunos. Pesquisando preos na internet, encontrou o seguinte: No site A, o preo de cada livro era R$ 16,75. No site B, o preo de cada livro era R$ 25,00, e na compra de dois livros o terceiro era cortesia. Qual a melhor opo para o professor? a)OsiteA,poiseconomizariaR$2.227,50emrelaoao que pagaria no site B. b)OsiteA,poiseconomizariaR$1.215,00emrelaoao que pagaria no site B. c) O site B, pois economizaria R$ 225,50 em relao ao que pagaria no site A. d)OsiteB,poiseconomizariaR$22,50emrelaoaoque pagaria no site A. e)OsiteB,poiseconomizariaR$2,25emrelaoaoque pagaria no site A. 3.(PSS-SEE/SP)Um professor de Matemtica apresentou o seguinte problema aos seus alunos: Robertocomprouquatrobarrasdechocolateedividiu igualmenteaosseuscincoamigos.Qualafraodabarra que cada um receber? Dois alunos responderam da seguinte maneira questo do professor: Aluno A: Cada um receber 34 + 120 Aluno B: Cada um receber a frao45 Considerandoasresoluesdosalunos,assinalea alternativa correta: a)OalunoAacertou,poisdividiuasquatrobarrasem4 partesiguaisedividiuoquesobrouaosseus5amigos.O aluno B tambm acertou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais, representando 45 b)OalunoAerrou,respondendocomumaadiode fraes cuja soma no corresponde resposta correta. O aluno B acertou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais, representando 45 c)OalunoAerrou,respondendocomumaadiode fraes cuja soma no corresponde resposta correta. OalunoBerrou,poisdividiuasbarrasem5partesiguais, logo sua resposta deveria ser 54. d)OalunoAacertou,respondendocomumaadiode fraes cuja soma corresponde resposta correta. OalunoBerrou,poisdividiuasbarrasem5partesiguais, logo a resposta deveria ser 54. e)OalunoAacertou,poisdividiuasquatrobarrasem4 partes iguais e dividiu o que sobrou aos seus 5 amigos. O aluno Berrou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais, logo sua resposta deveria ser 54. 12.(PSS-SEE/SP)Apartirdeumvalorinicialiguala16000, certa populao P1 de bactrias dobra a cada 30 minutos. Simultaneamente,partindodeumvalorinicial8vezes menor, outra populao P2 de bactrias cresce, dobrando de valor a cada 15 minutos. Em qual instante t as duas populaes tero o mesmo valor? a) 60 minutos. b) 90 minutos. c) 120 minutos. d) 150 minutos. e) 180 minutos. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico13 3. POTENCIAO E RADICIAO 3.1. Potenciao Para a e , b e, n e Assim; -a0 = 1

-a1 = a -an = a a ... a, se n > 2 nfatores -a-n = = a 0 3.1.1. Propriedades da Potenciao 1)aman= a m + n 2)am:an= a m - n 3)(am)n= a m n 4)(ab)m = a m

b m 5)(a:b)m = a m:

b m ,b 0 3.2. Radiciao Para a e , b e, ne * ,temos: Assim, bn=a b = an 3.2.1. Propriedades da Radiciao Para a e , b e, ne * ,me *, temos: 1)an bn =abn 2) anbn= abn , b 0 3)

amn= am.n 4) ( a n )p = , p e* 5) Obs.:Para radicais de ndice par, devemos ter b > 0 ea> 0 3.2.2.Potenciao com expoente racional Sendo p e , n e*, temos: a e+a= 0=0 , parapn >0 a =0 0 no definido parapn 0 anem sempre real se n for par a e- a=se n for mpar Todas as propriedades da potenciao com expoente inteiro so vlidas tambm para a potenciao com expoente racional. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico14 4. EXPRESSES ALGBRICAS So expresses matemticas que apresentam letras ou apenasletras,asquaissochamadasdevariveisou incgnitas. Ex.: 2a2b+3xy3 7a2x3 7a2x2b2 y2 No exemplo acima: -2;3;-7e-1 so chamados de coeficientes numricos -a2b ;xy3;a2x3 ; a2x2eb2 y2 so chamadas de parte literal 2a2b +3xy3 7a2x3 7a2x2b2 y2 1 termo 2 termo3 termo4termo5 termo Os termos so separados apenas por adio ou subtrao. 4.1. Classificao das expresses algbricas

a) Racional : Quando no existe varivel dentro de uma raiz, esses tipos de expresses se subdividem em: - Inteiras: quando no aparecem variveis no denominador Exs.: 3x + 1 ;7xy2 by4 - Fracionrias: quando aparecem variveis no denominador Exs.:2x + 5x3 -2;5ab + 2c b) Irracional : Quando existe varivel dentro de uma raiz. Exs.: 33x+5a2b3 ;2abc y 4.2. Termos semelhantes Termos que apresentam a mesma parte literal, inclusive os expoentes das variveis. Ex.:3 xy2-2 abc + 6 xy2 + 10 abc Termos semelhantes Esses termos semelhantes podem ser reduzidos, basta conservar a parte literal e fazer as respectivas operaes com os coeficientes numricos. Voltando ao exemplo anterior temos: ( 3 xy2+ 6 xy2 )e( - 2 abc + 10 abc ), reduzindo esses termos temos:9xy2 + 8abc 4.3. Polinmio Toda expresso racional e inteira determinada pelo nmero de termos da expresso algbrica. a) Monmio: polinmio que possui apenas um termo Ex.:2 x2y4z b) Binmio: polinmio que possui dois termos Ex.:3 x2y4 + 2ab2 c) Trinmio: polinmio que possui trs termos Ex.: 5 a2y4 + 7xb2 7xy3z -Acima de trs termos, todos os demais so chamados de Polinmio. Cuidado!:Spodemosclassificarumpolinmioaps reduzirmos todos os termos semelhantes. Por exemplo: 4x2 + 3ab + 4x2y 5x2aparentemente um polinmio porm o primeiro e o quarto termo ( 4x2 e 5x2 ) so semelhantes, podendo ser reduzidos. Aps a reduo observamos que o polinmio um trinmio com esse aspecto: -x2 + 3ab + 4x2y 4.4. Grau do Polinmio Ograude termos a soma dosexpoentes desuas variveis,o termoquepossuirmaiorsomadeexpoentes determinar o grau do polinmio. Ex.:3a2b4 7b2+3 x3y2z 1 Termo :3 a2b3 = 2 + 3 = 5 ( Quinto grau) 2 Termo :-7 b 2 = 2 ( Segundo grau) 3 Termo :3 x3y2z= 3 + 2 + 1= 6 ( Sexto grau) Podemos observar que esse trinmio do sexto grau Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico15 4.5. Valor numrico de uma expresso Toda expresso algbrica tem o seu valor numrico, esse valor encontrado a partir do momento em que temos ou atribumos valores para as letras. Se em um exerccio pedido para que calcule o valor numrico da expresso algbrica 2x2y preciso que saibamos ou atribumos valores para as letras x e y. Ento vamos supor que na equao 2x2y, os valores das letras seja x = -2 e y = 1, agora substituindo esses valores, chegaremos em um valor numrico. 2x2y 2 (-2)2 1 2 4 1= 8Valor numrico da expresso2x2y Veja mais um exemplo de como achar o valor numrico da expresso a + ab + 5. O valor numrico desse e de todas as expresses algbricas iro variar dependendo do valor que iremos atribuir para as letras.Nesse exemplo vamos supor que as letras a = 5 e b = -5. 5 + 5 (-5) + 55 25 + 5 -20 + 5= - 15 Valor numrico da expressoa + ab + 5 Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico16 5. PRODUTOS NOTVEIS E FATORAO 5.1. Produtos notveis So produtos que aparecem com muita freqncia na resoluo de equaes ou no desenvolvimento de expresses. Vejamos alguns casos: a) (a + b)2 = ( a+ b)( a+b ) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 b) (a - b)2 = ( a - b)( a b ) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2 c) ( a +b )( a b ) = a2 ab + ba b2 =a2 - b2 Resumindo: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ( a +b )( a b ) =a2 - b2 5.2. Fatorao Fatorar uma expresso algbrica transform-la em produto. Vejamos alguns casos. 1 Caso: Fator comum em evidncia Ex.:6x2 + 12x3z 8 x4b = 2x2 (3 + 6xz 4x2b ) 2 Caso: Agrupamento Ex.:xy + xz + ay + az = x( y + z ) + a (y + z ) =(y + z) ( x + a ) 3 Caso: Diferena de dois quadrados Ex.: x2 y2 = ( x + y ) ( x y ) 4 Caso: Trinmio quadrado perfeito Exs.: a)x2+2xy + y2 = ( x + y )2 x 2y= 2xy b)x2 -2xy + y2 = ( x - y )2 x -2 y= -2xy 5 Caso: Trinmio do 2 grau So expresses da forma x2 - Sx + P, em que S e P repre-sentam, respectivamente, a soma e o produtode dois nme-ros a e b tal que se pode escrever:

x2 - Sx + P =( x (x1 ))( x + (x2)) Exs.: a) x2 + 7x + 12 = ( x+3) (x+4) S P b)x2 -6x +8 = ( x - 2 ) (x - 4) S P c)x2 +2x -8 = ( x - 2 ) (x + 4) S P Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico17 6. RAZES E PROPORES 6.1. Razo

Razo a comparao entre grandezas de mesma espcie. Essa comparao representada poruma frao, onde o numerador chamado de antecedentee o denominador de conseqente. Exs.: a)A razoentre 3e 7 = 37 , (onde 3 antecedente e 7 conseqente) Se invertermos , a razo entre 7e 3 ser73 , (agora7 antecedente e 3 conseqente) b)A razoentre 4e 2 = 2, a razoentre 2e 4=24 =12 c)A razoentre 32e89 = 23:89 =2716 6.2. Proporo

uma igualdade entre duas razes. Exs.:Aproporoa seguir pode ser representada da seguinte maneira: L-se: 3 est para 2 assim como 9 est para 6 Nesta proporo, o 3 e 6 so extremos e o 2 e o 9 so meios. 5.2.1. Propriedade fundamental das propores O produto dos meios igual ao produto dos extremos Ex.:32=64 2 6 =3 4 =12 Generalizando: Obs. A recproca tambm verdadeira a d =b c ab=cd Exs.: a) Calcule o valor de x. x2=104= x 4 = 2 10 4x= 20 x = 5 b) Calcule o valor de y. 92=y0,2= 2 y = 9 0,2 2y= 1,8 y = 0,9 6.3. Nmeros proporcionais Duasseqnciasdenmerossoproporcionais quandoarazoentredoisnmeroscorrespondentesde cada uma das seqncias for sempre a mesma. Osnmerosproporcionaissodivididosem2grupos: osdiretamenteproporcionaiseosinversamente proporcionais.Htambmumoutrogrupoqueno pertence a esses chamados nmeros no proporcionais. 6.3.1. Nmeros diretamente proporcionais Dada uma seqncia a; b; c;d; ... e a; b ; c ;d; ... ento: aa=bb =cc=dd = .... =k onde

k= constante de proporcionalidade Ex:Considere as seqncias

2; 4; 8; 16; 32e3; 6; 12; 24; 48

23 = 46= 812 = 1624= 3248 =

23 a constante de proporcionalidade.

=

a xd =b x c Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico18 Portanto, podemos afirmar que as duas seqncias so diretamente proporcionais devido apresentarem sempre como resultado a razo entre as grandezas relacionadas

6.3.2. Nmeros inversamente proporcionais Dada uma seqncia a; b; c;d; ... e a; b ; c ;d; ... ento: a1a = b1b=c1c =d1d = .... =k onde a a = b b = c c = d d=.... =k Ex.: Considere as seqncias 2; 4; 8; 16; 32e48; 24; 12; 6; 3 2148 = 4124=8112 =1616 = 3213 = .... =k onde 2 48 = 4 24 = 8 12= 16 6= 32 3= 96 96 a constante de proporcionalidade. Portanto, podemos afirmar que as duas seqncias so inversamente proporcionais. Exerccios 1.(SENAI) Dos 1.200 funcionrios de uma empresa, 60% tm idade superior a 30 anos. Se entre o nmero de homens e o demulherescomidadesuperiora30anosarazode3 homens para 2 mulheres, pode-se afirmar que a quantidade de mulheres com idade superior a 30 anos nessa empresa a. 288. b. 296. c. 312. d. 360. e. 374. 2.(Trajano2008)possvelcombaterovibriocolrico comousodeumasoluoaquosadehipocloritodesdio (NaClO) a uma concentrao mnima de 0,11g/L. A massa de hipocloritodesdionecessriaparasepreparar10litros dessa soluo, expressa em miligramas, (A) 0,11. (B) 1,10. (C) 110. (D) 1 100. (E) 11 000. 3.(Trajano 2008) SeotemordeEva,apersonagemdacenaapresentada,se confirmar, e os trs dias de espera forem venusianos, ento na Terra tero se passado(Obs. Desconsidere o ano bissexto) (A) 1 ano, 10 meses e 19 dias. (B) 1 ano, 11 meses e 29 dias. (C) 2 anos e 2 dias. (D) 2 anos e 5 dias.(E) 2 anos e 9 dias. 4.(PSS-SEE/SP)Ogrficoabaixoindicaopreoemreaisde cadabolsaqueumafbricaproduz,deacordocomo nmero de bolsas compradas pelas lojas. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico19 Considere as afirmaes abaixo: I. As grandezas envolvidas so diretamente proporcionais. II. As grandezas envolvidas so inversamente proporcionais. III.Asgrandezasnosonemdiretamenteenem inversamente proporcionais. IV.Analisandoarelaoexistenteentreasgrandezas envolvidas, percebemos que, quando h aumento de uma, ocorre uma diminuio da outra. Dentre essas afirmaes: a) Apenas a I est correta. b) Apenas a II est correta. c) Apenas a III est correta. d) I e IV esto corretas. e) III e o IV esto corretas. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico20 7. REGRA DE TRS 7.1. REGRA DE TRS SIMPLES Regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos. Passos utilizados numa regra de trs simples: 1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia. 2) Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais. 3) Montar a proporo e resolver a equao. Exemplos: 1) Com uma reade absoro de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa rea para 1,5m2, qual ser a energia produzida? Soluo: montando a tabela: rea (m2)Energia (Wh) 1,2400 1,5x Identificao do tipo de relao: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (2 coluna). Observe que: Aumentando a rea de absoro, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas so diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1 coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao temos: Logo, a energia produzida ser de 500 watts por hora. 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Soluo: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 4003 480x Identificao do tipo de relao: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (2 coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras so contrrias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas so inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrrio (para cima) na 1 coluna. Montando a proporo e resolvendo a equao temos: Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preo? Soluo: montando a tabela: CamisetasPreo (R$) 3120 5x Observe que: Aumentando o nmero de camisetas, o preo aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas so diretamente proporcionais. Montando a proporo e resolvendo a equao temos: Logo, a Bianca pagaria R$ 200,00 pelas 5 camisetas. 4) Uma equipe de operrios, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o nmero de horas de servio for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe far o mesmo trabalho? Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico21 Soluo: montando a tabela: Horas por dia Prazo para trmino (dias) 820 5x Observe que: Diminuindo o nmero de horas trabalhadas por dia, o prazo para trmino aumenta. Como as palavras so contrrias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas so inversamente proporcionais. Montando a proporo e resolvendo a equao temos: 7.2. REGRA DE TRS COMPOSTA A regra de trs composta utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhes sero necessrios para descarregar 125m3? Soluo: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espcie e, em cada linha, as grandezas de espcies diferentes que se correspondem: HorasCaminhesVolume 820160 5x125 Identificao dos tipos de relao: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x (2 coluna). A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde est o x. Observe que: Aumentando o nmero de horas de trabalho, podemos diminuir o nmero de caminhes. Portanto a relao inversamente proporcional (seta para cima na 1 coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o nmero de caminhes. Portanto a relao diretamente proporcional (seta para baixo na 3 coluna). Devemos igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes de acordo com o sentido das setas. Montando a proporo e resolvendo a equao temos: Logo, sero necessrios 25 caminhes. 2) Numa fbrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos sero montados por 4 homens em 16 dias? Soluo: montando a tabela: HomensCarrinhosDias 8205 4x16 Observe que: Aumentando o nmero de homens, a produo de carrinhos aumenta. Portanto a relao diretamente proporcional (no precisamos inverter a razo). Aumentando o nmero de dias, a produo de carrinhos aumenta. Portanto a relao tambm diretamente proporcional (no precisamos inverter a razo). Devemos igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes. Montando a proporo e resolvendo a equao temos: Logo, sero montados 32 carrinhos. 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual ser o tempo necessrio para completar esse muro? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contm o x. Depois colocam-se flechas concordantes Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico22 para as grandezas diretamente proporcionais com a incgnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo: Montando a proporo e resolvendo a equao temos: Logo, para completar o muro sero necessrios 12 dias. Exerccios complementares Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exerccios: 1) Trs torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levaro 10 torneiras para encher 2 piscinas?Resposta: 6 horas. 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvo. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguiro extrair 5,6 toneladas de carvo? Resposta: 35 dias. 3) Vinte operrios, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levar uma turma de 16 operrios, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?Resposta: 15 dias. 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um ms, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade mdia de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade mdia de 60 km/h?Resposta: 10 horas por dia. 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fbrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centmetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?Resposta: 2025 metros. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico23 8. PORCENTAGEM E PROBLEMAS DE ...APLICAO.Porcentagem uma razo centesimal, ou seja, o denominador igual a 100. Ex.:25100 que se indica por 25% Existemdois mtodos para se calcular porcentagem: a)Frao de um valor: Multiplica-se a frao pelo valor. Ex: Calcule 20% de 45

20100 45= 900100= 9 Portanto20% de 45 igual a 9 b) Regra de Trs Simples e direta:Comparao entre duas grandezas diretamente proporcionais Ex: Calcule 30% de 70 Estamos comparando porcentagem e valor. 70 o valor total portanto equivale a 100%. 100 %............ 70 20% ................x100 x = 20 70 100 x= 1400 x=1400100

x = 14 Obs.: mais conveniente resolver por regra de trs, pois serve para todos os casos. 8.1. PROBLEMAS DE APLICAO LUCROS E ......PREJUZOS Todo comerciante compra uma certa mercadoria por um determinado preo, que chamado de preo de custo, e em seguida, efetua a revenda do mesmo com lucro ou prejuzo, dependendo do preo que a mercadoria foi passada ao mercado consumidor. Em problemas envolvendo porcentagem sobre compra e venda de mercadorias, temos os seguintes casos distintos: porcentagem (%) sobre venda porcentagem (%) sobre custoE porque ter noo desta distino?? Ela se torna muito importante na resoluo de problemas envolvendo dinheiro. 8.1.1. Porcentagem sobre o preo de custoQuando o clculo sobre o preo de lucro (ou prejuzo) calculado,embasespercentuais,emcimadopreode custodoprodutoadquirido,temosoquechamadode porcentagem sobre o custo. Este o processo normal, e que usadoeadotadonomercadocomercial.....................

Destaforma,seumcomercianteoupessoafsica, compraumdeterminadoprodutoporumvalordeR$ 200,00(preodecusto)eesteforserrevendidocomum lucro de 30%, isto quer dizer que nesta operao o lucro em espciedaoperaodeR$30,00(lucro)paracadavalor de R$ 100,00 do preo do custo. Acompanhe o raciocnio:CustoLucro R$ 100,00R$ 30,00 R$ 100,00R$ 30,00 Custo total = R$ 200,00Lucro total = R$ 60,00

Atravs de um clculo da regra de trs , temos:R$ 200,00..............100% X.................... 30%X = 200 x 30100

X= 6000100

X =R$ 60,00 (valor do lucro total na operao)Em toda operao, envolvendo problemas relacionados com porcentagem sobre o custo do produto, as partes obrigatrios de clculos na operao so: Venda Custo Lucro (ou prejuzo, conforme operao)Para que haja uma memorizao melhor sobre estes elementos fundamentais de clculo sobre porcentagem de custo, observe:Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico24 C= CUSTOV= VENDA L = LUCROP = PREJUZO Dicas importantes! 1.O preo de custo (ou preo de compra) sempre igual a 100% (cem por cento) 2.A venda do produto (com prejuzo na operao) sempre igual ao preo de custo menos o prejuzo, da seguinte forma: C P = V ouV = C P 100% - 30% = 70%70% = 100% - 30%3. a venda do produto (com lucro na operao) sempre igual soma do custo mais o lucro, da seguinte forma:C + L = V ouV = C + L 100% + 30% = 130%130% = 100% + 30% Exs.:a)Qual o preo que possvel vender um produto que teve seu custo de R$ 700,00, para se ter um lucro final de 15%?Soluo:C * L = V 100% + 15%= 115% R$ 700,00 ................ 100% (custo da operao) ....................X........................ 115% (venda da operao) X =115 x 700100 X =80500100=R$ 805,00O valor do produto ser de R$ 805,00 b) Qual o preo que possvel vender um produto que teve seu custo de R$ 300,00, para se ter um lucro final de 50%?Soluo: C * L = V 100% + 50%= 150% R$ 300,00 .............. 100% (custo da operao) X...................... 150% (venda da operao) X = 150 x 300100

X =45000100= R$ 450,00Resposta:O valor do produto ser de R$ 450,00 c)UmapessoavendeuumautomvelpelovalordeR$25.000,00,ganhandoovalorde20%(vinteporcento) sobreocusto.Qualfoiolucrodestapessoanesta operao? Soluo: C + L = V 100% + 20% = 120% 25.000................. 120% (venda da operao) X.................... 20% (lucro da operao) X =25000 x 20120 X = 500.000120=R$ 4.166,67 (valor arredondado)

Resposta:O lucro da operao foi de R$ 4.166,67

d) Uma geladeira foi vendida com um lucro final de 35%. Calcule o valor da venda, sabendo que o lucro na operao foi de R$ 250,00.

Soluo:C + L = V - 100% + 35% = 135%250................ 35% (lucro da operao) X....................135% (venda da operao)X =135 x 25035 X =3375035 =R$ 964,29 (valor arredondado)Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico25 Resposta:O valor da venda foi de R$ 964,29

e)UmacasafoicompradaporR$20.000,00,erevendida emsucessivos negcios com lucros seqentes de15%,25% e 30%. Nesta operao, qual foi o ltimo preo de venda da casa? Soluo: 1 operao de venda (15% de lucro) ### C + L = V100% + 15% = 115% 20.000 ..............100% (custo da operao) X................. 110% (venda da operao) X = 20.000 . 110 / 100 = R$ 22.000,00 .... 2 operao de venda (25% de lucro) C + L = V100% + 25% = 125% (valor da casa R$ 22.000,00)22.000 ...............100% (custo da operao) X...................125% (venda da operao) X = 22.000 . 125 / 100 = R$ 27.500,00 .... 3 operao de venda (30% de lucro) C + L = V100% + 30% = 130% (valor da casa R$ 27.500,00)

27.500 ............ 100% (custo da operao) ......................X ................130% (venda da operao) X =27500 x 130100 = R$ 35.750,00 Resposta:O valor final da casa foi de R$ 35.750,00 f)Umapessoavendeuumaparelhodesomquecustou R$1.200,00com40%deprejuzosobreocusto.Qualfoio prejuzo desta operao? Soluo: 1.200 ........... 100% (custo da operao).......................X............40% (prejuzo da operao) X =1200 x40100 X = 48000100 = R$ 480,00Resposta:O prejuzo desta operao foi de R$ 480,00. Exerccios 1.(SENAI)Umvendedorambulantevende,diariamente,50 unidadesdechurrascogregoacompanhadodeumcopode suco.OchurrascomaisocopodesucosovendidosporR$ 1,50.Ocustodoreferidoproduto(churrascomaissuco)de R$ 0,90. Se o vendedor trabalhar dez dias consecutivos nessas condies, o lucro obtido corresponder a a. R$ 1.200,00. b. R$ 900,00. c. R$ 750,00. d. R$ 550,00. e. R$ 300,00. 2. (SENAI 2008) Um comerciante descontou em um banco um cheque pr-datado para trinta dias no valor de R$ 12.000,00. Se o banco utiliza uma taxa de desconto de 5,2% ao ms, o valor lquido recebido pelo comerciante foi de a. R$ 11.994,80. b. R$ 11.376,00. c. R$ 9.692,30. d. R$ 6.952,80. e. R$ 5.760,00. 3.(SENAI2008)Paraparticipardeumanovela,umaatriz que pesava 100 kg em 1 de maro de 2006, submeteu-se a umregimealimentar.Oresultadoobtidofoitalqueoseu peso, a cadams,sofreu uma perda de 10% em relao ao seupesodomsanterior.Nessascondies,em1de junho de 2006, a atriz passou a pesar. Nota: o termo peso corresponde a massa. a. 58,6 kg. b. 60,0 kg. c. 65,4 kg. d. 70,0 kg. e. 72,9 kg. 4.(Trajano2008)Nasuaediode27dejulhode2008,o jornalFolhadeS.Paulodivulgouumapesquisasobreo perfil do jovem brasileiro, a qual apresenta indicadores que contribuemcomosestudossobreaexclusosocialno Brasil. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico26 Para a pergunta Voc estuda?, os dados obtidos foram: ParaosjovensqueestudamfoifeitaaperguntaEmque ano voc est?, e os dados obtidos foram: Deacordocomosdadosfornecidoseadmitindoqueh cercade35milhesdejovensbrasileiros,entoonmero de jovens brasileiros que esto no Ensino Superior (A) 3 430 000. (B) 3 570 000. (C) 4 000 000. (D) 7 000 000. (E) 8 918 000. 5.(Trajano 2007)Analise o texto e a tabela a seguir. A possibilidade de ser mais ou menos cidado depende, emlargamedida,dopontodoterritrioondesevive. Muitosmoradoresdaperiferiatornam-secidados incompletosporteremmenosacessoaosserviosurbanos edireitocidadecomoumtodo.Morarnaperiferiase condenar duas vezes pobreza: alm das desigualdades socioeconmicas, o pobre sofre com a m distribuio territorial dos servios pblicos como sade, educao, segurana e lazer. (Adaptadode:SANTOS,Milton.Oespaodocidado.SoPaulo,Nobel, 1987, pp. 81 e 115.) OmunicpiodoRiodeJaneiropodeserdivididoem trsgrandeszonas.NasZonas1e2(formadas respectivamentepelocentrohistricoeseisbairrosnobres com melhor poder aquisitivo) o territrio e a quantidade de moradoressomuitomenoresdoqueosdaZona3 (formadaporcercadetrintabairros,emgeralperifricose com pior poder aquisitivo). Deacordocomasidiasdotextoeasinformaes auxiliares, correto afirmar que (A)adistribuioterritorialdessesequipamentosdelazer atende com justia e igualdade s necessidades de todos os moradores do municpio. (B) os moradores das Zonas 1 e 2 so cidados privilegiados entre os moradores restantes do municpio, pois estesltimosficammalservidosterritorialmentede diversas oportunidades de lazer. (C)osmoradoresdaZona3podemserconsideradosmais cidados por terem mais facilidade de acesso s mltiplas oportunidades de lazer do municpio. (D)osmoradoresdaZona2somenoscidadosesofrem duas vezes com a pobreza, pois so contemplados territorialmentecommenosoportunidadesdelazerqueos outros moradores do municpio. (E)adistribuioterritorialdesigualdosequipamentosde lazer no agrava a pobreza e no interfere nos direitos de exerccio de cidadania dos moradores do municpio. 6.(PSS-SEE/SP)Emumdeterminadocondomnio,paga-se atualmenteumsalriomensaldeR$1418,00paraum zelador.Comtodososencargos,essefuncionriocustaao condomnioR$2392,00.Apsumaanlisedemercadoe algumasreflexesjuntoassociaodetrabalhadoresque representaessaclasse,aempresaadministradoraconcluiu quedeveriaatualizaressesalrioem4,5%referentesao ano de 2007, e mais 4% referentes ao ano de 2008. Ataxadereajustedosalriodozelador,apsessas atualizaes, ser: a) 8,5%. b) Maior que 8,5%. c) 16,5%. d) 18%. e) Maior que 18%. Nvel de EnsinoPorcentagem Ensino Mdio52% Ensino Superior20% Ensino Fundamental16% Cursinho4% Ps-graduao2% Supletivo2% Outras4% Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico27 9.EQUAES DO 1 E 2 GRAUS ....PROBLEMAS DE APLICAO 9.1. Equao do 1 grau toda equao do tipo ax + b = 0, com ae*, eb e. Paradeterminarasoluodeumaequaodo1grau, procedemos assim: ax + b = 0 ax = - b Logo, S= -ba 9.1.1. Problemas de aplicao 9.2. Equao do 2 grau Toda equao na varivelx do tipoax2 + b + c= 0,coma e*,b e ec e Discriminante: A = b2 - 4ac Se A > 0ou A = 0 ,Entox1 e x2 so as razes daequao. Para calcularmos as razes fazemos: x1 e x2 =A2 , sabendo que

Exs. (1 Tipo)A > 0 Resolva a equao:x2 7x + 12= 0 1 Passo : Determinar os coeficientes a, b, e c emx2 7x + 12= 0 a = 1b = -7 c = 12 2 Passo: Substituir esses coeficientes no discriminante: A = b2 - 4ac A = b2 - 4 a c A = ( -7 )2- 4 ( 1) (12) A = 49 48 A = 1 3 Passo : Observar o valor de A e verificar se tem raiz(es) reais Podemos observar queA = 1 , ento A >0, a equao ter duas razes diferentes 4 Passo : Calcular essa(s) razes... x1 e x2 =A2 x1 e x2 =7 12( 1) x1 e x2 =7 12 x1 = 7+12x1 =82x1 = 4 x2 = 712x2 =62x2 = 3 5 Passo : Representar a resposta: S = { -3, 4 } (2 Tipo)A = 0 Resolva a equao:x2 8x + 16= 0 1 Passo : Determinar os coeficientes a, b, e c emx2 8x + 16 = 0 a = 1b = -8 c = 16 2 Passo: Substituir esses coeficientes no discriminante: A = b2 - 4ac x= -

Obs. Quando no aparecer um nmero na frente do x2 , ou do x devemos lembrar que l est o 1. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico28 A = b2 - 4 a c A = ( -8 )2- 4 ( 1) (16) A = 64 64 A = 0 3 Passo : Observar o valor de A e verificar se tem raiz(es) reais Podemos observar queA = 0 , ento A = 0, a equao ter duas razes iguais 4 Passo : Calcular essa(s) razes caso existam... x1 e x2 =A2 x1 e x2 =8 02( 1) x1 e x2 =8 02 x1 = 8+02x1 =82x1 = 4 x2 = 802x2 =82x2 = 4 5 Passo : Representar a resposta: S = { 4 } (3 Tipo)A < 0 (Anegativo) Resolva a equao:3x2 4x + 2= 0 1 Passo : Determinar os coeficientes a, b, e c em 3x2 4x + 2= 0 a = 3b = -4 c = 2 2 Passo: Substituir esses coeficientes no discriminante: A = b2 - 4ac A = b2 - 4 a c A = ( -4 )2- 4 ( 3) (2) A = 16 24 A = -8 3 Passo : Observar o valor de A e verificar se tem raiz(es) reais Podemos observar queA = -8 , ento A < 0, a equao no admite razes reais Anegativo 4 Passo : Representar a resposta: S = {} Resumindo A > 0 duasrazes reais diferentes A = 0 razes reais e iguais A < 0 no possuirazes reais 9.2.1. Problemas de aplicao 1.(SENAI2008)Natemporadadoveropassado,um comerciantevendeupicols,cujarenda(p)emreais,no finaldecadadia,variadeacordocomaexpressop=x2- 11x - 10, em quex indica a quantidade de picolsvendidos nodia.Senumdeterminadodia,arendafinalfoideR$ 200,00, pode-se afirmar que o comerciante vendeu naquele dia a. 12 picols.d. 21 picols. b. 15 picols.e. 27 picols. c. 19 picols. 2.(Trajano2008)Considereumnmerointeiropositivotal que quatro quintos da soma desse nmero com 36 igual diferenaentreodobrodessenmeroe6.Asomados algarismos do nmero considerado (A) 11.(B) 12.(C) 13. (D) 14.(E) 15. 3.(PSS-SEE/SP)Deseja-seconstruirumacalada contornando-sedoisladosconsecutivosdeumjardimcuja forma retangular, conforme mostra a figura abaixo: Obs.: Podemos representar um nico nmero, pois as respostas so iguais Obs.: Podemos tambm representar o conjunto vazio desta forma: S = C Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico29 Deseja-se que a calada ocupe uma rea de 15m. A equao que permite calcular o valor de x : a) x 9x + 15 = 0. b) x 15x + 10 = 0. c) x 15x + 20 = 0. d) x 20x 15 = 0. e) x 9x 20 = 0. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico30 10. SISTEMAS DE EQUAES....DO 1 GRAU10.1.Mtodos de resoluo de sistemas de equaes do1 grau Alm de saber armar o sistema bom saber fazer a escolha pelo mtodo mais rpido de resoluo.Vou apresentar trsmtodos sendo que o mais utilizado o mtodo da adio. 10.1.1.Mtodo da adio Este mtodo consiste em deixar os coeficientes de uma incgnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equaes recai-se em um equao com uma nica incgnita. Ex: 1 passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar 2x com 2x 2 passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equaes acima e encontrar o valor de x. 3 passo: dar a soluo do sistema. S = { (4, -2) } 10.1.2. Mtodo da substituio Este mtodo consiste em isolar uma incgnita numa equao e substitu-la na outra equao do sistema dado, recaindo-se numa equao do 1 grau com uma nica incgnita. Ex: 1 passo: vamos isolar o y na primeira equao para podermos substituir na Segunda equao. 2 passo: Substituir y = 6 2x, na segunda equao para encontrar o valor de x. 3 passo: Substituir x = 4 em y = 6 2x, para encontrar o valor de y. y = 6 2xy = 6 2.4y = 6 8y = -2 4 passo: dar a soluo do sistema. S = { (4, -2) } 10.1.3.Mtodo da comparao Esse mtodo consiste em compararmos as duas equaes do sistema, aps termos isolado a mesma varivel ( x ou y) nas duas equaes: Ex.:Resolver o sistema pelo mtodo da comparao x + 2y = 2 x + y = 3 1 passo: vamos isolar as mesmasvariveis nas duas equaes Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico31 x + 2y = 2isolando x temosx= 2 - 2y x + y = 3isolando x temosx= 3 - y 2 passo: vamos igualar essas variveis e calcular o valor dex Exerccios 1.(Trajano 2008) Imagine que antes de posar para a foto de famlia,opai,noresistindotentaodiantedeum maravilhoso bolo recheado ede uma divina torta de limo, comeuumaemeiafatiadebolorecheadoeduasfatiasde torta de limo, consumindo 1 482 quilocalorias. Por sua vez, amecomeumeiafatiadomesmoboloetrsquartosde uma fatia da mesma torta, consumindo 606 quilocalorias. Preocupada com o abuso das iguarias consumidas, a me se perguntou:Quantasquilocaloriastemumafatiadebolo recheado? E quantas tem uma fatia de torta de limo? Pararesolveroproblema,amemontouumsistemade duasequaes,representandoporbaquantidadede quilocaloriasdeumafatiadobolorecheadoeporta quantidade de quilocalorias de uma fatia da torta de limo, levandoemconsideraoqueobolofoifatiado uniformemente e a torta tambm. Assimsendo,osistemaqueelamontouequivalenteao sistema (A)3b + 4t = 1 482 b + 2t = 1 212 (B)3b + 4t = 2 964 2b + 3t = 2 424 (C) 3b + 4t = 1 212 b + 3t = 2 964 (D)3b + 2t = 2 964 b + 2t = 1 212 3b + 2t= 1482 (E) b + 3t = 606

Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico32 11. PLANO CARTESIANO 11.1. INTRODUO Traando dois eixos Ox, ao qual chamaremos de eixos das abscissas, e Oy, que chamaremos eixos das ordenadas de forma que ambos se interceptem perpendicularmente em O, o plano sobre o qual construmos esses eixos fica dividido em quatro quadrantes. Observe: Todosospontosdoplanopoderoseridentificados por dois valores ordenados que chamamospar ordenado e representamospor(x,y).Assim,paratodopontono planocartesianotemosumparordenado,eparatodopar ordenado temos um ponto correspondente no plano. Essa correspondncia chamaremos de sistema cartesiano ortogonaleoplanoserchamadodeplanocartesiano(o termoortogonalrefere-seaoperpendicularismoentreos eixos).Vamosverospontosdoplanocorrespondentesaos pares ordenados A(3,1),B(-2,3), C(-4,-3), D(0,-2) e E(-5,0) EXERCCIOS 1. (COTIL 2002) Observando o plano cartesiano a seguir, d os pares ordenados de cada ponto representado no grfico. COTIL ( ,) Restaurante( ,) Cantina( ,) Grfica( ,) 2.(SENAI) Um mapa rodovirio foi desenhado sobre o sistema decoordenadascartesianas,paralocalizarumareserva florestal. O segmento AB indica um trecho da rodovia principal, osegmentoACaestradadeacessoreservaeMoponto mdio de AB. No mapa, a estrada AC mede, em quilmetros, a. 4.c. 6.e. 8. b. 5. d. 7. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico33 12. FUNO DO 1 GRAU 12.1.Definio Chama-sefunopolinomialdo1grau,oufuno afim,aqualquerfunofdeIRemIRdadaporumaleida formaf(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a 0. Nafunof(x)=ax+b,onmeroachamadode coeficiente de x e o nmero b chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funes polinomiais do 1 grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

12.2.Grfico O grfico de uma funo polinomial do 1 grau,y = ax + b, com a 0, uma reta oblqua aos eixos Ox e Oy. Exemplo: Vamos construir o grfico da funo y = 3x - 1: Como o grfico uma reta, basta obter dois de seus pontos e lig-los com o auxlio de uma rgua: a)Para x = 0, temos y = 3 0 - 1 = -1; portanto, um ponto (0, -1). b)Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto,x =13 e outro ponto (13 , 0 ) Marcamos os pontos (0, -1) e (13 , 0 ) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. xy 0-1 0 J vimos que o grfico da funo afim y = ax + b uma reta. O coeficiente de x, a, chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a est ligado inclinao da reta em relao ao eixo Ox. O termo constante, b, chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. EXERCCIOS 1.(SENAI2008)Afunohorriadeumpontomaterial dadaporS=15-3t,comtemsegundoseSemmetros. Podemosafirmarqueopontomaterialpassapelaorigem dos espaos no instante igual a a. 3 s. b. 4 s. c. 5 s. d. 6 s. e. 10 s. 2.(SENAI 2008) Duas foras horizontais, de sentidos opostos, com intensidades 10 e 15 N, atuam num corpo que est livre de atrito e que tem massa de 2,5 kg. A acelerao que a fora resultante imprime ao corpo , em m/s2, de a. 1,5. b. 2,0. c. 4,0. d. 5,0. e. 7,5. 3.(SENAI2008)Aenergiamecnicadeumsistema conservativo de 180 J. Se num dado instante a energia cinticade120J,aenergiapotencial,nessemesmo instante, de a. 180 J. b. 120 J. c. 100 J. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico34 d. 80 J. e. 60 J. 4.(TRAJANO2008)Imaginando-sequeobarcodeHagar desloque-seporummar,ondeadensidadedagua constanteemqualquerponto,pode-seafirmarqueafora de empuxo que age no navio (A) diminui com o aumento da carga transportada. (B) diminui com a diminuio da carga transportada. (C) aumenta com a diminuio de carga transportada. (D)aumentaoespaopercorridodevidoaoaumentode velocidade mdia. (E)diminuiavelocidademdia,provocandouma diminuio no espao percorrido.

Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico35 13. FUNO EXPONENCIAL 13.1.Definio Funo exponencial uma funo na qual a varivel (incgnita) se encontra no expoente. A funo exponencial pode ser escrita de forma geral, veja como: f : R R*+ tal que f(x) = ax, sendo que a R*+ e a 1. Essa representao significa: dadauma funo dos reais para os reais positivos,menoso zero, sendo que a funo exponencial ter base a onde a spoderassumir valores positivos diferentes de zero e diferentes de 1. Veja alguns exemplos de funes exponenciais: f(x) = 3x, funo exponencial de base 3 e expoente x (varivel). f(y) = 3 y, funo exponencial de base 3 e expoente y (varivel). 5 f(x) = 0,5x, funo exponencial de base 0,5 e expoente x (varivel). f(x) =, funo exponencial de base 5 e expoente x (varivel). 13.1.Grfico de funo exponencial A construo de grficos de funo exponencial segue dois modelos,quando o valor da base maior que 1 e quando o valor da base est entre 0 e 1. Veja esses modelos esboados: Dada afuno f(x) = ax,veja como ficaro os grficos dependendo do valorde a (base). Esse grfico representa uma funo exponencial crescente onde a > 1. Imagem e domnio: x1 e x2 so os valores do domnio dessa funo e os valores de y1 e y2 so os valores da imagem dessa funo, sendo que a imagem ser sempre (quando o valor da base maior que 1) um valor real positivo diferente de zero. Esse grfico representa uma funo exponencial decrescente onde0 < a < 1. Imagem e domnio: x1 e x2so os valores do domnio dessa funo e os valores de y1 e y2 soos valores da imagem dessa funo, sendo que a imagem ser sempre (quando o valor da base maior que 1) um valor real positivo diferente de zero. Os dois tipos de grficos possuem caractersticas semelhan-tes, essas so caractersticas para qualquer grfico de funo exponencial. O grfico (curva) nunca ir interceptar o eixo x, pois a funo exponencial no possui raiz.Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico36 O grfico (curva) ir cortar apenas o eixo y e sempre ser no ponto 1, sendo que os valores de y sempre sero positivos. EXERCCIOS 1.(SENAI2008)Ovolumedguaqueresta,apsabriro registro de uma caixa completamente cheia dgua, pode ser obtido por meio da expresso: V = 900 ( 23 )t - 2,em que V indica o volume em litros dgua que resta na caixa aps o registro ficar aberto t minutos. O tempo para que restem na caixa 600 L a. 2,0 minutos. b. 2,6 minutos. c. 2,8 minutos. d. 3,0 minutos. e. 3,5 minutos. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico37 14. ELEMENTOSFUNDAMENTAISDA ...GEOMETRIA PLANA E SEMELHANA ...DE FIGURAS PLANAS. 14.1. Introduo a geometria 14.1.1. Conceitos primitivos So conceitos que no tem definio, aceitamos como verdadeiro para a partir disso formar uma teoria. a)Ponto:Pontonotemdefinio,apenasumaidiaintuitiva.Opontoadimensional,isto,notem dimenso,epodemosrepresent-loporumaletra maiscula do nosso alfabeto. Exs.: - A ( Ponto A) - G b)Reta: Podemos ter uma idia de uma reta como infinitos pontosalinhados.Aretaunidimensional,uma dimenso,epodemosrepresent-laporumaletra minsculadonossoalfabeto,oupordoisdeseus pontos. Exs.: ou c) Plano: Podemos ter uma idia de plano como sendo uma superfcieplanadetamanhoinfinito.Oplano bidimensional, duas dimenses, e podemosrepresent-lo por uma letra minscula do alfabeto grego. Ex.

Plano Alfa Ponto, reta e plano relacionam-se entre si decertas proprie-dades nodemonstrveis,chamadaspostulados.Entre os postulados da geometria plana, importante que voc guarde os dois seguintes: - Toda reta formada por infinitos pontos. - Todo plano contm infinitas retas e tambm infinitos pontos

14.1.2. Elementos bsicos a)Semi-reta: Dada uma reta qualquer, um ponto dessa reta divide a mesma em duas semi-retas. Ex.

Indica-se AB b) Segmento de reta: Dada uma reta qualquer e dois pontos dessa reta, o segmento e a regio limitada entre esses dois po Ex. Indica-se AB c) Semiplano: Sabemos que um plano contm infinitas retas. Com uma reta r, dividimosoplanoemdoisconjuntos de pontos, situados cada um em um dos lados da retaChama-se semiplano (de origem r)cada um dos conjuntos depontosemqueumplanoficadivididoporumareta r, incluindo a prpria reta. Ex. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico38 14.2. ngulos 14.2.1. Definio ngulo a regio formada por duas semi-retas a partir da mesma origem. Cada semi-reta chamada de lado do ngulo e o ponto de origem denominado vrtice. = ngulo OA= semi-reta OB = semi-reta Podemos tambm representar o ngulo como: AB, BA ou . 14.2.2. Classificao dos ngulos a) ngulo agudo: ngulo menor que 90 Exs.: b) ngulo obtuso: ngulo que possui uma medida maior que 90 e menor que 180 Exs.: c) ngulo reto: ngulo que possui uma medida igual a 90 Exs.: Obs.: Quando duas retas formam entre si um ngulo de 90, denominamos retas perpendiculares. d) ngulo raso ou de meia volta: ngulo que possui uma medida igual a 180 Ex.: e)ngulos complementares: Dois ngulos so complemen-tares quando a soma de suas medidas igual a 90 Exs.: 70 + 20 = 90 + = 90 70 o complementar de o complementar ........... 20 e vice-versade e vice-versa f)ngulos suplementares: Dois ngulos so suplementares quando a soma de suas medidas igual a 180 Ex.: g)ngulos replementares: Dois ngulos so replementares quando a soma de suas medidas igual a 360 Ex.:

h)ngulos opostos pelo vrtice: Dois ngulos so opostos pelo vrtice quando os lados de um sosemi-retas opostas dos lados do outro Ex. e = so opostos pelo vrtice e = so opostos pelo vrtice Ateno: -Todos os ngulos opostos pelo vrtice (o.p.v.) so congruentes, isto , possuem a mesma medida: = e = Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico39 - Duas retas concorrentes que formam quatro ngulos retos so chamadas de retas perpendiculares. 14.2.3. Bissetriz de um ngulo a semi-reta de origem no vrtice do ngulo e que o divide em dois outros ngulos de mesma medida. 14.2.4 Medidas de ngulos A principal unidade usada para se medir ngulos (tanto na geometria quanto na vida prtica) o grau. A unidade grau subdividida em unidades menores ( submtiplos) que so o minuto e o segundo, de tal modo que: - Cada grau formado por 60 minutos: 1 = 60 - Cada minuto formado por 60 segundos 1 = 60 14.3. Paralelismo de Retas Duas retas so paralelas quando, estando contidas no mesmo plano, no possuem nenhum ponto em comum. 14.3.1. Postulado de Euclides Por um ponto fora de uma reta, existe uma nica reta paralela reta dada. Obs.: Duas retas coincidentes tambm so paralelas; neste caso eles tem todos os pontos em comum. 14.3.2. Paralelas com transversais Dadas duas retas paralelas, chama-se reta transversal qualquer reta que intercepte ambas as paralelas. Essa transversal determina, na interseco com uma das paralelas, quatro ngulos e, na interseco com outra paralela, mais quatro ngulos. Na figura certos pares de ngulos recebem nomes especiais - nguloscorrespondentes: e m,b e n,c e p,d eq - ngulos alternos internos:c e m, d e n - Alternos externos :a e p, b e q -ngulos colaterais internos:d e m,c e n - ngulos colaterais externos:a e q, b e p ^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^^ ^^^ ^ ^^^ ^^^^ ^^Teorema fundamental do paralelismo de retas Duas restas paralelas, cortadas por uma transversal, determinam ngulos correspondentes congruentes, isto de mesma medida. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico40 Na figura acima temos: b = n ,c = p ,d = q, ento: 14.4. Polgonos Observe as figuras abaixo: Nas figuras B, C e D, o contorno formado exclusiva-mente por segmentos; nas figuras A e E, o contorno tem partes curvas. Dessa forma, as figurasB, C e D so polgonos, enquanto que A e E no. Em todos os polgonos temos os seguintes elementos: ...........................Lados, vrtice e diagonais.Observe a figura que segue: Lados:So segmentos que cortam os contornos: AB,BC, CD, etc. Vrtices: So pontos comuns a dois lados consecutivos: A, B, C, D, etc. Diagonais: So os segmentos que unem dois vrtices no consecutivos: AE, AD, BF,CE, etc.

Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, determinam ngulos alternos congruentes ^^ ^^ ^ ^ Duas retas paralelas cortadas por uma transversal, determinam ngulos colaterais suplementares, isto , suas medidas somam 180 Chamaremos de polgonos as regies do plano cujos contornos so formados apenas por segmentos __ __________ __Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico41 14.4.1 Classificao A classificao dos polgonos pode ser feita de dois modos diferentes:ou em relao ao nmero de lados, ou em relao ao nmero de ngulos. Assim temos: Aon de ladosAon de lados 3TrilteroTringulo 4QuadrilteroQuadriltero 5PentalteroPentgono 6HexalteroHexgono 7HeptalteroHeptgono 8OctalteroOctgono 9EnealteroEnegono 10DecalteroDecgono 11UndecalteroUndecgono 12DodecalteroDodecgono ... ... ... 15PentadecalteroPentadecgono ... ... ... 20IcosalteroIcosgono Os polgonos ainda podem ser : REGULARES: quando possuem: - todos os ngulos internos congruentes - todos os lados tambm congruentes IRREGULARES:- quando pelo menos uma das duas condies acima no verificada 14.4.2. Diagonal Denomina-se diagonal de um polgono o segmento de retaque une dois vrtices no-consecutivos dele. Nmero de diagonais:d=

14.5. Semelhana de figuras planas 14.5.1. Semelhana de Tringulos Teorema(AAA) Dois tringulos so semelhantes quando possuem respectivamente congruentesas medidasdos ngulos, e as medidas dos lados correspondentes, respectivamente proporcionais. Lados correspondentes ou homlogos: lados que se opema ngulos congruentes A A B B C C AABC ~AABC ABAB = BCBC=CACA Nota: ~ ....l-se: semelhante Teorema(LAL) Dois tringulos sosemelhantesquando possuem congruente a medida de um ngulo compreendido entre lados proporcionais. ^^ ^^ ^^^^ ^^ ^^ Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico42 A A AABC ~AABC ABAB=ACAC Teorema (ALA) Dois tringulos so semelhantes quando possuem as mesmas medidas de dois ngulos congruentes. A A AABC ~AABC C C Teorema (LLL) Dois tringulos so semelhantes quando possuem as medidas dos trs lados respectivamente proporcionais. ABAB = BCBC = CACA AABC ~AABC 14.5.2. Semelhana de Polgonos Definio Dois polgonos so semelhantes quando possuem o mesmo nmero de lados, as medidas dos ngulos respectivamente congruentes e as medidas dos lados respectivamente proporcionais. Teorema Dois polgonos so semelhantes quando for possvel a sua decomposio em tringulos respectivamente semelhantes. Teorema As medidas dos permetros de dois polgonos semelhantes esto entre si assim como a razo de dos lados correspondentes. Obs.:Permetro a soma das medidas dos lados de um polgono. ^ ^ ^ ^ ^ ^ Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico43 15. RELAES MTRICAS NO .....TRINGULO RETNGULO 15.1. Introduo Tringulo retngulo aqueleque tem um ngulo reto (90 graus). 15.2. Teorema de Pitgoras Num tringulo retngulo, o quadrado da hipotenusa igual a soma dos quadrados dos catetos.

Exs.: Aplicando o teorema de Pitgoras, calcule o valor de x; a) Soluo: a2 = b2 + c2 x2 = 32 + 42 x2 = 9 + 16 x2 = 25 x = 25 x = 5 b) Soluo: a2 = b2 + c2 62 = x2 + x2 2x2 = 36 x2 = 18 x = 18 x = 3 15.3. Elementos de um tringulo retngulo Seja o tringulo retngulo: a = medida da hipotenusa BC b = medida do cateto AC c = medida do cateto AB h = medida da altura AE m = medida da projeo AC sobre a hipotenusa n=medida da projeo AB sobre a hipotenusa No tringulo ABC, so vlidas as relaes mtricas: a2 = b2 + c2 Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico44

Exs: Calcule o valor de x, nos seguintes tringulos retngulos: a) Soluo:y2=2 8 y2=16 y = 16 y= 4 b) Soluo:y 3=2 3 3 y = 6y = 63 33

y = 633

y= 2 c) Soluo:y2=49 y2=36 y = 36 y = 6 15.3.1. Clculo da altura de um tringulo eqiltero Considerando o tringulo ABC abaixo, temos: L 2 =(L /2)2 + h2 e a altura ser dada pela .......frmula:

b2 = m ac2 = n a a h = b c h2 = m n h =L 32 Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico45 15.3.2. Clculo da diagonal de um quadrado Considerando o quadrado ABCD e uma diagonal BC. No tringulo BCD, temos:

d2 = L2 + L2 d2 = 2 L2 d = L2 Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico46 16. RAZES TRIGONOMTRICAS Definimos no tringulo retngulo: Seno (Sen)= catetoopostohipotenusa Cosseno(Cos) = catetoadjacentehipotenusa Tangente(Tg) = catetoopostocatetoadjacente Exs.:1) Calcular o seno, cosseno e a tangente do ngulo

Sen = catetoopostohipotenusa = ca Cos = catetoadjacentehipotenusa =ba Tg = catetoopostocatetoadjacente =cb 2) CalcularSen, Cos e Tg de Sen = catetoopostohipotenusa = 915 Sen = 35 Cos = catetoadjacentehipotenusa =1215 Cos = 45 Tg = catetoopostocatetoadjacente =912 Cos = 34 16.1. ngulos Notveis As razestrigonomtricas dos ngulos de 30, 45 e 60 aparecemfreqentemente nos problemas, tornando-se conveniente a memorizao desses valores. 304560 Sen 12 22 32 Cos 32 22 12 Tg 33 1 3 Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico47 Exs.:1) Calcule o valor de x no tringulos retngulo que segue:Soluo: ....................Cos 60 = x10

12 =x10 2x = 10 x= 5 2)No tringulo ABC da figura seguinte, determine as medidas a e c indicadas. SoluoSen 30 =10

12 =10a a=2 10a = 20 Aplicando o Teorema de Pitgoras a2 =b2+c2

.....................................................................202 = 102 + c2 c2= 300c = 300c= 10 Funestrigonomtricas Funo Seno Dado um ngulo cuja medida dada em radianos x, chama-mosde funo seno funo que associa a cada x R o nu-mero (senx) R. Indicamos essa funo por: f(x) = sen(x) O grfico da funo seno, no plano cartesiano, ser uma curva denominada senide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao grfico. Propriedades: - Domnio: R - Imagem: [-1;1] - Perodo: 2rad Funo Co-seno Dado um ngulo cuja medida dada em radianos x, chamamos de funo co-seno funo que associa a cada x R o nmero (cosx) R. Indicamos essa funo por: f(x) = cos(x) O grfico da funco co-seno, no cartesiano, ser uma curva denominada co- senide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao grfico. Propriedades: - Domnio: R - Imagem: [-1;1] - Perodo: 2rad Funo Tangente Dado um ngulo cuja medida dada em radianos x, chamamos de funo tangente funo que associa a cada x R/x /2+k o nmero (tgx) R. Indicamos essa funo por: f(x) = tg(x) Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico48 O grfico da funo tangente, no cartesiano, ser uma curva denominada tangentite. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao grfico. Propriedades: - Domnio: - Imagem: R - Perodo: rad Exerccios 1.(SENAI2008)Numadeterminadaregio,ondelobosso predadores e ovelhas so as presas, a populao de ovelhas P(emmilhares)varioudeacordocomafunodadapor P(t) = 4 + 1,5.sen (45t), sendo o tempo t medido em anos, a partirdejaneirode2004.Nessascondies,aps4anos dessa data, a populao de ovelhas nessa regio ser igual a a. 4.000. b. 4.500. c. 5.000. d. 5.500. e. 6.000. 2.(SENAI2008)Umacaixaarrastadaporumacordaque forma 60 com a direo do deslocamento. A fora de traonacordade20Neacaixasedeslocaem12m. Dado que cos 60=12 , o trabalho da fora de trao , em joules, de a. 120. b. 150. c. 160. d. 200. e. 240. 3.(Trajano2008)OquadrilteroABCDpodeser decomposto nos tringulos ABD e BCD, conforme a figura.(A) 0,4. (B) 0,5.(C) 0,6. (D) 0,7. (E) 0,8. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico49 Tabela Trigonomtrica de ngulos de 1a 90 Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico50 17. REAS DE FIGURAS PLANAS 17.1. rea dos principais polgonos Quadrado A = ladolado A = lado 2 Retngulo A = bh Losango A =

Trapzio A= +

Paralelogramo

A = bh Tringulo A =

Crculo A= t r2 Coroa Circular A=tR2 - tr2 A = t (R2 r2) Setor Circular Todo ngulo central determina no crculo uma regio chamada circular. Podemos calcular a rea A do setor circular pela regra de trs tr2360 A n Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico51 Exerccios 1.(SENAI 2008) Um hotel fazenda dispe de uma rea retangular, medindo 60 m de comprimento e 30 m de largura onde sero construdos trs depsitos para armazenamento de materiais e um jardim, conforme indica a figura: Se o jardim dever ocupar uma rea de 120 m2, cada armazm ter, em m2, uma rea igual a a) 740. b) 720. c) 680. d) 600. e) 560. 2.(SENAI 2008) Uma roda gigante, de raio 8 m, dista do solo 1,5m.Arodaestgirandocomtrsrapazes:Joo,Pauloe Francisco. distncia entre Joo e Francisco a mesma que entre Francisco e Paulo, que a mesma entre Joo e Paulo, como mostra a figura: Dados: sen 30 = 0,5. cos 30 = 0,87. tg 30 = 0,58. NomomentoemqueFranciscoestnopontomaisaltoda roda gigante, a altura de Joo em relao ao solo de a) 5,5 m. b) 5,0 m. c) 4,5 m. d) 4,0 m. e) 3,5 m. 3.(SENAI2008)Umacafeteiradeformacilndricareta, medindo4cmderaiodabasee20cmdealtura,armazena 80% de sua capacidade de caf. A quantidade de caf existente nacafeteiracorresponde.a: Considere: t = 3. a) 384 mL. b) 576 mL. c) 768 mL. d) 982 mL. e) 1.536 mL. PARA RESPONDER S QUESTES 4 E 5, CONSIDERE O TEXTO E A FIGURA A SEGUIR. Apipa,tambmconhecidacomopapagaioou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no sculo XVI. Paramontarapipa,representadanafigura,foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas varetasde32cmdecomprimento,tesoura,papelde seda, cola e linha. As varetas so fixadas conforme a fi gura, formando a estrutura da pipa. A linha passada em todas as pontas da estrutura, e o papel colado de modoqueaextremidademenordaestruturadapipa fique de fora. 4. (Trajano 2007)O comprimento da linha que passa pelos pontosA,BeCdocontornodaestruturadapipa,em centmetros, : a) 4 (4 + 17).d) 18 19. b) 2 (8 + 19).e) 20 17 . c) 16 + 17. 5.(Trajano2007)Nafigura,asuperfciesombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A readessasuperfciesombreada,emcentmetros quadrados, (A) 576. (B) 704. (C) 832. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico52 (D) 1 150. (E) 1 472. 6.(Cotil2004)Duranteanos,umaindstriadespejouseus detritosemumareadeterrademarcadaentreospontos representados na figura abaixo. Agora essa rea precisa ser despoludaparaaconstruodoparqueaquticoNeto Barreto. Sabendo que: AC = 3 Km AB=BC=CD=AD = 1,7 Km e AC perpendicular a BD A rea (em km2 ) a ser despoluda ser de: a)48 b) 4,8 c) 2,4 d) 24 e) 1,2 7.(Cotil2005)SegundoreprteresdarevistaMundo EstranhoEspecialOlimpadas2004,umapiscinaolmpica faz qualquer piscina de prdio parecer uma banheira metida a besta. E no s no tamanho que serve de documento: os blocosdelarguratmpisoantiderrapante,agua mantidaa27grauseadivisoentreasraiasevitaa formaodemarola.Almdisso,fazempartedoshow bandeirassensores,cordas,juzes.Sabendoqueapiscina olmpicapossui150mdepermetroe1.250m2derea, quais devem ser as suas dimenses? a)40m e 35m b)45m e 30m c)55m e 20m] d)50m e 25m e)39m e 36m 8.(PSS-SEE/SP) Observe as afirmaes abaixo: I.Sedobrarmosasdimensesdeumreservatriodegua quetemaformadeumcubo,dobramostambmoseu volume. II. Se dobrarmos as dimenses de um terreno quadrado, sua rea tambm dobrar. III.Sedobrarmosasdimensesdeumterrenoquadrado, seu permetro tambm dobrar. IV. Se dobrarmos as dimenses de um reservatrio de gua quetemaformadeumcubo,oseuvolumeser multiplicado por 8. So verdadeiras apenas: a) I e III. b) II e III. c) III e IV. d) II, III e IV. e) I, II e III. 5.(PSS-SEE/SP) O tangram um quebra cabeas chins muito utilizado pelos professores para desenvolver e/ou aplicar diversos conceitos. Ele composto de 7 peas e construdo a partir de um quadrado. Sabe-se que a rea da regio assinalada (paralelogramo, tringulo menor e tringulo maior ) de 28 cm. Assim, a rea do quadrado maior (composto pelas 7 peas) a) 8cm2 . d) 32cm2 . b) 16cm2 .e) 64cm2 . c) 24cm2 . Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico53 18. SLIDOS..GEOMTRICOS Volumes de Slidos Estetemacomplexoparaosalunos,umavezquetm grande dificuldade em reduzir mesma unidade de medida, os valores dados para o clculo de reas e volumes. Vaiser divididoemtrspartes,naprimeiraapresenta-seum esquema que os alunos podem ter sempre presente, quando necessitaremdereduzirasunidadesdemedida.Na segundae terceiraparteapresentam-seasfrmulasparao clculoderease volumesdefigurasgeomtricasmais utilizadas.

1.Unidades de medida de reas e de volumes; 2.reas de Slidos; 3.Volumes de Slidos;

18.1Unidades de medida de volume; Oclculodevolumes,osvaloresdadostmqueestar sempre na mesma unidade de medida e que quando tal no acontecetemosdeefetuarareduomesmaunidade. Relembrar,comotalseefetuar,recorrendoaoseguinte esquema: Unidades de rea:

Unidades agrrias:

Unidades de Volume:

Unidades de Capacidade: Quando se calcula a rea de uma figura geomtrica a sua unidade de medida aparece sempre ao quadrado(por exemplo, em metros quadrados). Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico54 18.2 Volumes de Slidos; Oclculo do volume de figuras geomtricas,

a) Afigura representa tridimensionalmente um prisma reto; b) Ovolume de um prisma reto igual ao produto da rea da base pela altura do slido, isto c) O cubo e o paraleleppedo retngulo so prismas; d) Ovolume do cilindro tambm se pode calcular da mesma forma que o volume de um prisma reto. Formulrio das figuras geomtricas Figuras Geomtricas:

Exerccios 1.(SENAI 2008) Um designer foi contratado por um fabricante deperfumesparaprojetarumaembalagemdoseunovo perfumequeserlanadocomonomedeClepatra.A embalagemidealizadapelodesignerfoiumapirmide quadrangularcujareada basemede25cm2.Seovolumeda embalagem deve ser de 50 cm3, a altura dessa embalagem dever medir a. 2 cm. b. 4 cm. c. 5 cm. d. 6 cm. e. 8 cm. 2.(SENAI2008)Umacompanhiadetransporterodovirio transportaobjetosdetamanhotalqueasomadesuas dimenses (comprimento, largura e altura) no exceda a 15 m. Assim, uma caixa na forma de um cubo cujo volume 64 m3 a. poder ser transportada pois a soma de suas dimenses 16 m. b. no poder ser transportada, pois a soma de suas dimenses 18 m. c. poder ser transportada pois a soma de suas dimenses 6 m. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico55 d. no poder ser transportada, pois a soma de suas dimenses 20 m. e. poder ser transportada pois a soma de suas dimenses 12 m. 3. (TRAJANO 2008) ParaHagar,aTerratemaformadeumcubo,porm,na realidade,pode-seconsider-laumaesferaderaioR. Sabendo-sequeovolumedeumaesferaderaioRdado por

tr3eimaginando-sequeaTerracbicadeHagar tenhaomesmovolumedaTerrareal,entoaarestadesse cubo, escrita em funo de R, igual a: a.( 43 3t) . R b.4tR3 3

c. ( 4t33 )R d. 23 t R e. . 43 t R 4.(Trajano2008)ALeideGravitaoUniversal,proposta porIsaacNewton,permitedizerqueaforadeatrao entreduasmassasdiminuiconformeaumentaadistncia entre elas. Sendo mais preciso, quando aumenta a distncia entre seus centros de massa. Dependendo da geometria do corpo,ocentrodemassacoincidecomocentro geomtrico. ConsiderandoomundocbicodeHagar,inclinado exatamente como o mostrado na tirinha, a fora de atrao entreamassadessemundoeamassadonaviotermaior intensidade quando o navio estiver situado (A) na face inferior do cubo. (B) em qualquer aresta do cubo. (C) em qualquer vrtice do cubo. (D) no ponto mdio da face superior do cubo. (E) apenas nos pontos mdios das arestas do cubo. 5.(Trajano 2006) Em1898,aos25anos, SantosDumontconstruiuo baloBrasil,que apresentavaaformaesfrica esuacor,quase transparente,sedevia criatividadedeSantos Dumont,queadotouaseda japonesa,maisresistentee maisleveparasua construo.Obalodepois deprontoapresentava volumeiguala113metros cbicosdegshidrognioe rea da superfcie igual a 113 metros quadrados de seda japonesa Marcelo estava lendo o texto anterior sobre a vida e obra de Santos Dumont e questionou: Ser que possvelo nmero que expressao volume de um balo ser igual a nmero que expressa a rea da superfcie?. Para tirar a dvida,ele foi pesquisar edescobriu que numa esfera de raio R,R > 0 o volume dado por: E a rea da superfcie e dada por:A = 4 t R2 Logo concluiu que esses nmeros: a.Nunca podem ser iguais b.Seriam iguais para um nico valor de raio c.Seriam iguais para dois valores distintos de raio d.Seriam iguais para trs valores distintos de raio e.Seriam iguais para mais de trs valores distintos de raio Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico56 19. Anlise combinatria e probabilidade 19.2. Princpio fundamental da contagem Se uma tarefa tem k etapas, e cada etapa pode ser feitadenimaneirasdiferentes,entoonmerototalde alternativas n1n2 ... np 19.3. Permutao Considerenobjetosdiferentes.Dequantas maneiras podemos dispor (permutar) esses objetos? Exemplo: Objetos a, b, c.Permutaes: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Para n objetos, o nmero de permutaes :Pn = n(n-1)...1 19.4. Arranjo Considerenobjetosdiferentes.Dequantas maneiraspodemosescolherp(pn)dessesobjetos?Sea ordemdeescolhaimportante,temosumarranjoden objetos, tomados p a p. Exemplo: Arranjo de 3 objetos (a, b, c), tomados 2 a 2 (n = 3 e p = 2):ab, ac, ba, bc, ca, cb. Nmero de arranjos de n objetos, tomados p a p: A(n, p) = n(n-1)...(n-k+1)ou 19.5. Combinao Considere n objetos diferentes. De quantas maneiras podemos escolher p (p n) desses objetos? Se a ordem de escolha no importante, temos uma combinao de n objetos, tomados p a p. Exemplo: Combinao de 3 objetos (a, b, c), tomados 2 a 2 (n = 3 e p = 2):ab, ac, bc. Nmero de combinaes de n objetos, tomados k a k: Exerccios1. Com as letras a, b, c, d, e, f quantos cdigos de quatro letras podero ser construdos se: a) nenhuma letra puder ser repetida? R: 360 b) qualquer letra puder ser repetida qualquer nmero de vezes? R: 1.296 2. Uma urna contm as letras A, A, A, R, R, S. Retira-se letra por letra, sem reposio. Qual a probabilidade de sair a palavra ARARAS? R: 1/60 3. Ao retirar quatro cartas, ao acaso e sem reposio, de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de se obter uma quadra (quatro cartas de mesmo nmero, uma de cada naipe)? R: 0,000048 4. Qual a probabilidade de sair trs caras e duas coroas em cinco lanamentos de uma moeda?R: 5/16 5.Seja um lote com 20 peas, sendo 5 defeituosas. Escolha, aleatoriamente, 4 peas do lote (uma amostra aleatria de quatro peas). Qual a probabilidade de se obter, exatamente, duas defeituosas na amostra?R: 0,217 )! (!) , (p nnp n A=! )! (!p p nnpn=||.|

\|Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico57 6. (Difcil) Numa turma de n alunos, qual a probabilidade de haver alguma coincidncia de aniversrio? R: 7. Com auxlio de uma calculadora cientfica ou do computador, faa o exerccio 6 para n = 30.R: 0,7063 8.(SENAI 2008) Seis alunos fizeramumtrabalhopara a feira decinciasda escola, e dois deles devero fazer a apresenta-oem multimdia. O nmero deduplas quepoderser for-mado para a apresentao desse trabalho a. 15 b. 20 c. 25 d. 30 e. 35 9.(SENAI)Numapartidadefutebol,aprobabilidadede Francis, o manhoso, ser escalado de 14,enquanto queaprobabilidadedeJames,odestemido,serescalado de 15 .A probabilidade de apenas umdeles ser escalado a. 120 b. 29 c. 720 d. 1120 e.79 nn AP365) , 365 (1 o) aniversri de ia coincidnc ( =Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico58 20. NOES DE ESTATSTICA 20.1. Definio A Estatstica trata do conjunto de mtodos utilizados pa-ra obteno de dados, sua organizao em tabelas e grficos e a anlise dos dados. Atravs de anlises feitas, a partir dos dados organizados, podemos,em muitos casos, fazer previses, auxiliar na toma- da de desies e, assim,elaborarplanosmais precisos para chegar a objetivos pretendidos. 20.2. Conceitos Fundamentais Populao e Amostra Em Estatstica ao estudarmos um conjuntodeobjetos,deindivduosoudeocorrncias, podemosconsiderartodooconjunto,chamadode populao, ou parte deste conjunto, chamado de amostra. Imagine,porexemplo,umcampeonatoquadrangularentre Flamengo,Botafogo,AtlticoMineiroeGrmio,sendo realizadoemumnicodia,noMaracan.Sequisermos saberqualacomposiodatorcidaqueestnoestdio, podemosdesenvolveroestudo entrevistando:......................................... oconjuntodetodosostorcedoresqueestonoestdio (populao); ou parte desse conjunto de torcedores (amostra). Portanto: Populaosogrupos,geralmentenumerososdemesmas caractersticas que podem ser estudados estatisticamente. Exemplos: 48alunosqueestudamna5sriedeumaescola;Clubes campees paulistas de futebol, etc. Amostrassopartesdegruposdemesmascaractersticas, quegeralmentesomuitonumerososequeparaser verificado em sua totalidade seria muito dispendioso. Exemplos: 10 alunos de uma escola com 995 alunos; 2000brasileirosouvidosparaumapesquisadeopinio poltica, etc. 20.3.Representao Grfica Dadosestatsticospodemserrepresentadostantopor tabelas e por quadros de distribuio por freqncia quanto porgrficos.Ousogrficopararepresentarumasituao estatsticapodemuitasvezesexpormelhorvisualmentedo queumatabelaestatstica,pormoseuusodeveserfeito combastantecautela,utilizandoogrficoadequadoem cada situao, veja alguns casos: A)GrficodeColunas-umtipodegrficomuito utiliza-doemdiversassituaes,indicaquantidades, porcentagens e de fcil comparao entre suas variveis. Ogrficoacimamostraodesempenhode3alunos duranteoanonumdeterminadocurso,pode-se perfeitamenteverifi-carqueJooteveomelhor desempenho,seguidodeMariaeJosteveopior desempenho. B) Grfico de Barras tambm um tipo de grfico muito utilizado para comparar diversos tipos de dados e uma outra variante do grfico de colunas, sendo amplamente utilizado em jornais, revistas, empresas, etc. O grfico demonstra a mesma situao do grfico de colunas acima, ou seja, as notas de 3 alunos. Matemtica Pr-vestibulinho Resumo terico59 C)Histogramaumgrficoconstrudonoplano cartesianoporretngulosemnmeroigualaonmerode classes da distribuio. Cada classe representada por uma coluna de altura correspondente a sua freqncia. Trata-setambmdeumgrficoderea.utilizadopara variveiscontnuas,porisso,ogrficotambmcontnuo: ascolunassojustapostas.Areadecadacoluna proporcional freqncia da classe que representa. Logo, a readetodohistogramaproporcionalsomatotaldas freqncias. Para construir um histograma, representamos as classes no eixodasabscissasdeumsistemacartesiano,utilizando segmentosdemesmamedida.Paracadaumdeles, registramososlimitessuperioreinferior.Nopicedoeixo dasordenadas,registramosomaiorvalordafreqncia, dividindo o restante proporcionalmente aos outrosvalores. Levantamosentoascolunas,justapostas. ................................................... Quantidade de alunos D) Setores Dos grficos de Estatstica, mais importante que a contribuio de Descartes foi a doescocs William Playfair, que trabalhava com estatsticas comerciais. Em 1786 ele comeou a inventar maneiras de representar dados numricos por meio de figuras. Uma de suas criaes foram os grficos de barras ou colunas, como aqueles de Joo, Jos e Maria e suas notas bimestrais. Depois de 1801, ele inventou os grficos de setores, tambm chamados de tortas ou pizzas. Vejamos um exemplo: Ogrficoacimamostraadistribuiopopulacionalnas grandesmetrpolesbrasileirasepermiteumcomparativo entreasquantidadesdehabitantesexistentesemcada metrpole,sendoq