Mate Ma Plic
-
Upload
nico-olteanu -
Category
Documents
-
view
278 -
download
0
Transcript of Mate Ma Plic
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
1/222
3
Cuprins
Prefa....................................................................................................................5
I. ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR ........................................................... 7Matrici.........................................................................................................8Matrici particulare ......................................................................................9Inversa unei matrici ..................................................................................13Sisteme de ecuaii liniare..........................................................................15Problema compatibilitii sistemelor ........................................................17Problema determinrii sistemelor............................................................. 18ntrebri de controli exerciii .................................................................19Metode de rezolvare a sistemelor liniare..................................................20
Algoritmul lui Gauss pentru sisteme liniare.............................................21Metoda eliminrii complete (Gauss-Jordan) ............................................23Spaii vectoriale (liniare) ..........................................................................25
II. PROGRAMAREA LINIAR ........................................................................30Rezolvarea problemei de programare liniar ...........................................32Clasificarea soluiilor................................................................................33Algoritmul Simplex ..................................................................................34Determinarea soluiei optime a problemei de programare liniar ............43Cazul soluiei infinite................................................................................48
Degenerarea n problemele de programare liniar ...................................49Soluii multiple. Soluia general .............................................................50Exerciii i probleme. ntrebri de control................................................50
III. ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC ............................................54Formula lui Taylor....................................................................................55Funcii reale de mai multe variabile reale ................................................57Derivate par iale .......................................................................................60Interpretri economice ale derivatelor par iale.........................................63Derivatele funciilor compuse ..................................................................64Formula lui Taylor pentru funcii de dou variabile ................................ 65Extremele funciilor de dou variabile .....................................................67Extreme pentru funcii de mai multe variabile.........................................71Ajustarea datelor numerice.......................................................................73Extensii ale noiunii de integral ..............................................................78Funciile lui Euler de spea ntia (Funcia Beta)i de spea a doua
(Funcia Gamma) ..........................................................................80Exerciii i probleme.................................................................................83
IV. ELEMENTE DE TEORIA GRAFELOR .....................................................90Matrici asociate unui graf .........................................................................94
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
2/222
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
3/222
5
PREFA
Matematica a furnizat ntotdeauna modelei metode de calculutile, uneori chiar eseniale, celor mai diverse domenii ale activitiiumane. Unele din aceste modele i ateapt nc utilizarea, aprnddiferene i de 200 de ani de la crearea conceptului matematiciutilizarea acestuia.
Pe bun dreptate s-a afirmat c matematica este locomotiva caretrage dup sine altetiine.
tiinele economice au luat n ultimul timp o mare amploare,datorit intensificrii legturilor internaionale dintre ageniieconomicii datorit globalizrii. Dezvoltarea rapid a cunotinelordin domeniul economic a fost posibil prin utilizarea din plin amodelelor matematice, mai vechi sau mai noi, precumi dezvoltrii puternice a informaticii.
Noiunile din capitolele Algebr liniar i Elemente de analiz matematic din acest volum au aplicaii directe n economie dup cumse vede din unele exemple, n plus pregtesc cititorul pentru
nelegerea altor noiuni.Din portofoliul problemelor de optimizare cunoscuti sub
denumirea de "Cercetri operaionale" aprute n ultimii 70 de ani amdezvoltat doar "Programarea liniar " i "Elemente de teoria grafurilor"care sunt mai uor de neles i totui foarte importante. Alte modeleca Teoria jocurilor, Programarea stohastic, Teoria stocurilori Teoria
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
4/222
6
ateptrii pot fi nelese cu ajutorul noiunilor de baz culese din acestvolum.
n multe cazuri hazardul, ntmplarea i pun amprenta pe
desf urarea n timp a proceselori fenomenelor economice. Noiunilede eveniment, probabilitate, variabile aleatoarei caracteristicinumerice ale acestora, fac obiectul de studiu al capitolului V"Elemente de teoria probabilitilor". Acest capitol pregtete cititoruli pentru studiul statisticii care la rndul ei e prezent n toate ramurileeconomice.
Materialul coninut n acest volum reprezint un minim necesar pentru abordareatiinific a problemelor economice. Recomandmstudenilor, viitori economiti, s aprofundeze aceste noiuni studiindi bibliografia indicat.
Noiunile prezentate n fiecare capitol sunt ilustrate prin
exemple, majoritatea fiind rezolvatei amnunit explicate.Au fost eliminate demonstraiile prea lungii greoaie, astfel c,
materialul este uor de abordat chiar de cei care studiaz individualaceast disciplin.
Prezentul volum este util studenilor de latiinele economice, n
special pentru cei de la nvmntul la distan, dar poate fi cercetatcu folosi de ali specialiti care utilizeaz matematica.
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
5/222
I. ELEMENTE DE ALGEBR LINIAR
Prin form liniar se nelege o expresie de mai multe variabiletoate la puterea ntia.
n
7
E = a x x x+ a + + a =1 1 2 2 n n=1i
ii
unde a
xa
mai multe produse dar s ne ncadr m ntr-o anumit sum vom avea
are liniar " pe care o vom studia n unul din pito
i liniare l constituie
oiunile de matricei determinant precu rietile acestora.
i sunt coeficieni, de obicei numere reale, iar xi sunt variabile.
Aceste expresii liniare sunt frecvent utilizate n modelele economice,deoarece n economie apar formule cum ar fiS = q p, unde S este
suma obinut, q cantitatea de marf i p preul unitar. Dac dorims achiziionm
q1 p1 + q2 p2 + + qn pn S .
Astfel de expresii apari n modelele matematice cuprinse subdenumirea"Programca lele urmtoare.
Unul din principalele subiecte al algebresistemele liniare care au fost studiatei n liceu.
n continuare dorim s evideniem cteva proprieti noi precumi a unor metode noi de rezolvare a acestora. Legat de sistemele liniareau fost studiatei sunt utile n
m i prop
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
6/222
8
oar coeficienii aij. Dac n acestrmenii liberi atunci vom obine aa numita matrice
extins a sistemului liniar. Reamintim pe scurt cteva operaii i proprieti de baz ale matricilor.
Fie
Matrici
O matrice este un tablou dreptunghiular de numere. Ele auaprut prin eliminarea dintr-un sistem liniar a variabilelori a
semnelor de operare r mnnd dtablou lum te
n ,1 jm ,1iij
22221 na...aaa A =
mn2m1m a...aa Egalitatea matricilor . Fie A = || a
n11211
ij a............
a...aa
===
=
A = B aij
p, adic au acelai numr de liniii acelai numr de coloane.
C = A + B
ij ||, B = || bij ||, i = 1,m, j = 1,n,= bij.
Adunarea matricilor . Se poate face doar dac A i B sunt deacelai ti
n ,1 jm ,1iijcC
=== cij = aij + bij
nmul irea cu un scalar . Fie K un numr real sau complex.
Atunci
n ,1 jm ,1iij Ka A K
===
nmul irea a dou matrici se poate face doar dac numrul dea matrice este gal cu cel de linii de la a doua. Fie
deci:
coloane de la prim e
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
7/222
9
ik a A= p ,1 j=m ,1i=
n j ,1=
avem c
pk kjb B
,1==
n ,1 j m ,1iij
=cC AB == unde
=
==
p
1k kjik ij
M
ba .
atrici particulare
Matricea zero este matricea care are toate elementele egale cuzero. Se noteaz de o m,n
de cele de pe diagonala principal care sunt egale cu 1,dic
c
bicei cu0 . Matrice unitate.Este o matrice ptrat avnd toate elementele
zero n afar a
ij I = unde ==
idac jidac
01
ij j
Are proprietatea c A I = I A, matrice A cu care se poate face
nmulirea. Matrice diagonal este matricea care are elemente diferi e de
zero numai pe diagonala principal, n rest toatet
fiind egale cu zero.ie dia
elementele de
iular inferior".trice care are o singur linie respectiv
c re o singur coloan.
p gonala principal unele elementele pot fi zero. Matrice triunghiular . O matrice care are toate
sub diagonala principal egale cu zero, se numete "triunghiular superior" A = || aij ||, undeaij = 0 pentrui > j. Dac e inversaij = 0 pentrui < j se numete "triungh Matrice linie este o mamatricea oloan este aceea care a
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
8/222
10
dat de ordinul celui maiexma
Propriet i ale rangului
1.
Rangul unei matrici A, este numrultins determinant diferit de zero care se poate extrage din aceatrice. Se noteaz cu rang A.
Dac n ,1 j=
ng A B min{ rang A, rang B}.
m ,1iija A =
2. Ra
ntele unei alteumr oarecare.
inanilor (a
le;
de mai sus rezult c ou
= rang A min{ m,n}
3. Rangul unei matrice nu se schimb dac:
a) se transpune matricea (se schimb liniilei coloanele ntre ele);
b) se nmulesc elementele unei linii sau coloane cu un numrnenul;
c) se permut ntre ele dou linii (coloane);d) se adaug la elementele unei linii (coloane) eleme
linii (coloane) eventual nmulit cu un n Aceste afirmaii rezult din proprietile determminorilor de un anumit ordinr extrai din matrice). Prin aplicareaoperaiilor de mai sus situaia unui minor de a fi zero sau diferit dezero nu se schimb.
Prin "Transform ri elementare " aplicate unei matrici nelegem:
1) nmulirea unei linii sau coloane cu un numr nenul;2) permutarea a dou linii (coloane) ntre e3) adunarea unei linii (coloane) cu o alt linie (coloan).
Dou matrici ce rezult una din alta prin transformri elementarese numescechivalente. n baza observaiilord matrici echivalente au acelai rang.
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
9/222
11
elementare sunt
ct
nilor i care
ma aflare a rangului unei matrici:
2.
supra celorlalte linii (coloane) pn ce pe coloana (linia)
cel mult un element diferitde
aceste elemente diferite
tricea ar fi diagonal.Acest lucru nu este ns util dup cum se va vedea.5. Rangul matricii este egal cu numrul de elemente diferite de zero
din matricea quasidiagonal obinut.
Se va dovedi n continuare c transformrilefoarte utile pentru aflarea rangului, pentru obinerea matricii inverse,
i pentru rezolvarea sistemelor liniare.
Aceste operaii efectuate doar cu ajutorul determinaau fost studiate la liceu sunt extrem de dificile mai ales dac ordinul
tricei respectiv al sistemului este mai mare.Procedeul practic de
1. Se alege un element pivot (de lucru) din matrice.Se efectueaz transformri elementare cu linia (coloana) pe care st pivotul a pe care st se obin numai zerouri (exceptnd pivotul).
3. Dac pe toat coloana pivotului s-au obinut zerouri atunci automat pe linia lui putem nlocui toate elementele cu zerouri (exceptnd pivotul) sau reciproc.
4. Se continu acest procedeu producnd ct mai multe zerouri pn cnd pe fiecare linie sau coloan exist
zero.Aceast form a matricei o numim formaquasidiagonal . Dac
s-ar mai face permutri de liniii de coloane
de zero ar ajunge pe diagonala principal i ma
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
10/222
12
Observa ie . Pozi ia elementelor diferite de zero este util nalegerea deter inantului principal, e sar pentru stab irea naturiiunui sistem liniar (compatibil, incompatibil).
lu. S se determine rangul matricii 2211
12211
000022
00000001
00200000
L1 (-1) + 21 (-1 3
m n ce il
Exemp
=
23112211 A
2211 11
231 4520 4520
0001
L
L ) + L n forma qvasidiagonal sunt dou elemente diferite de zero decirang =2. Un determinant diferit de zero de ordin maxim ce s-ar puteaextrage din aceast matrice ar fi
211
11 p =
=
El a fost gsit da i iial alegem liniileic d n matricea incoloanele corespunztoare elementelor diferite de zero din formaqvasidiagonal.
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
11/222
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
12/222
14
op
I = L A pe de alt parte I= A-1 A
luc em pe A la forma unitate vom
matrici.
este posibil nseamn c matriceaA nu admite invers lucru ce se poate verifica i calculnddeterminantul ata at matricii care ar fi f st egal cu zero (matrice singular ). 2. Aplicm aceleai transformri elementare matricii unitate care se
transform n matricea L adic A .
ntru r m aceste transformriconc atricii turi.
cr m numai cu coloanele aezm matricea A i I una s rile crie pe marg fle inv
I = L A C
Demonstra ie. Acest lucru rezult prin aplicarea repetat aeraiunilor din observaia 1.
S presupunem acum c am putut aduce matricea A la formaunitate cu transformri elementare numai pe linii. Atunci relaia dinteorem devine
Comparnd cele dou relaii rezult c L = A-1. Analog dac
r m numai pe coloane ca s aducavea c A-1 = C .
Procedeu practic de ob inere a inversei unei
1. Aplicm transformri elementare numai pe linii asupra matricii A pn ce o aducem la forma unitate.
Observa ie. Dac acest lucru nu
o
-1
Observa ie. Pe apiditate efectuomitent asupra m A i I a ezate al Dac dorim s luub alta. Transform efectuate le vom s ine. Exemplu. S se a ersa matricii
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
13/222
15
A
Transformrielementare pe linii
= 211 111
021
A I
1 1 1
1 -1 21
0 1 0L1(-1) + L2L1(-1) + L3
1 0 0
-2 0 0 0 1
1 1 10 -2 1
0 -3 -1
0
-1 0 1
L2 21 + L1
L2
23
1 0-1 1 0
+ L3
1 0 3/20 1 -1/20 0 -5/2
1/2 1/2 01/2 -1/2 01/2 -3/2 1
L3
53 + L1
L3
51 + L2
1 0 00 1 00 0 1
4/5 -2/5 3/52/5 -1/5 -1/5-1/5 3/5 -2/5
I A-1
Se poate verifica reuita calculelor prin produsul A-1 A = I .
Sisteme de ecu
Dup num o e ora oS inia
a) compatibile:
a ii liniare
rul s luiilor ac st sistemele p t fi:isteme l re:
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
14/222
16
determinate o singur sol- ne ateincompatibile nici o soluie.
Prin solu n necunoscute se nelege evidentde numere
- uie;determinate o infinit de soluii.
b)
un n-upluie a unui sistem cu
00 0n21 x ,..., x , x care verific toate ecuaiile
secundare am1 x1+am2 x2+ +amr xr
+ +amn xn =bm
Fr a micora generalitatea problemei putem presupune c determinantul de ordinr diferit de zero care a stabilit rangul matricii
sistemului este aezat n colul din stnga sus. Acest determinant se
ndare. Ecuaiile sistemului care
au lin umr de r , celelalte
sistemului. Vom aminti pe scurt condiiile ca sistemul liniar s fie nuna din cele trei situaii.
Fie un sistem liniar dem ecuaii cu n necunoscutei rang r ,
r
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
15/222
Determinant caracteristic car,h se formeaz din p la care se
adun o linie secundar ., precumi coloana termenilor liberi (doar ctncape din fiecare).
17
hhr 1h ba...a
Evident se pot formam-r determinani caracteristici, adic cteunul pentru fiecare
r b
ecuaie secundar .
Vom reaminti mai jos dou teoreme principale care dau
Teorema lui Rouch. Condi ia necesar i suficient pentru ca
Scaracteristici s fie nuli.
Aceast teorem spune de fapt c orice soluie a sistemului princ totalitate. Acest lucru
S' f term
sufi fie
1
ph ,car
bM
=
Problema compatibilit ii sistemelor
condiiile necesarei suficiente pentru compatibilitate.
sistemul liniar s fie compatibil este ca to i determinan ii
ipal verific i ecuaiile secundare nrezult din proprietile determinanilor.
Se numete matricecomplet sauextins a sistemuluiS matriceaormat din coeficienii necunoscutelor la care se adaug i coloanaenilor liberi.Teorema lui Kronecker-Capelli. Condi ia necesar i
cient ca sistemul liniarS s fie compatibil este ca rangul luiS s egal cu rangul matricei completeS'.
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
16/222
Se observ rolul important jucat de rang n studiul sistemelor.Dup verificarea compatibilitii sistemului, ecuaiile secundare pot finlturate, reinndu-le doar pe cele principale care formeaz sistemul
principal.
18
Problema determin rii sistemelor
Se compar rangul r cu numrul necunoscutelorn.n nu avem necunoscute secundarei sistemul este
det ie care se poate determina de
exemplu prin regula lui Cramer.
trecute n membrul doi, avnd rol de parametri. Sistemul estenedeterminat, adic are o infinititate de solu
Observa ie. n problemele economice cele mai ntlnite i mai
b
indic specialistului c restriciile impuse sunt prea tarii n consecin problema studiat nu are soluii. Eventual trebuie modificate o partedin condiii.
a) Dac r=erminat. El are o singur solu
b) Dac r
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
17/222
19
111
= 7 311 A 91433
4
es 13141 p =
=Se obine uor rangS=2 unde am al . Rezult
utele secundare x i u,
singur determinant caracteristic
c necunoscutele principale sunt y i z, necunoscecuaiile principale primele dou, ecuaie secundar a treia. Exist un
0143231141
3 , =car =
este compatibili anume nedeterminat. El sema
=
Rezult c sistemuli poate scrie:
=u7 x2 z3 y
S
y = 5 x 25 u, z = 1 6u
, u} unde x, u R.
trol i exerci ii
1. Ce este determinantul principali ci pot fi?2. Ce legtur exist ntre rangul sistemului rul ecuaiilor i cel
al necunoscutelor.3. n ce situaie se afl sistemele pentru care avem:
u x1 z4 y
Prin rezolvare cu o metod elementar se obine:
Mulimea soluiilor sistemului depinde de doi parametriin i u
{ x, 5 x 25u, 1 6u
ntrebri de con
, num
a) m = 7, n = 6, r = 5
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
18/222
20
b) m = 5, n = 7, r = 5c) m = 6, n = 6, r = 5d) m = 4, n = 6, r = 5
unde m = numrul ecuaiilor, n = numrul necunoscutelori r =rangul.
4. Ce le n rezolvareasis
transformri elementare s se determine inverseleurm
sunt necunoscutele secundarei ce rol au etemului.
5. Cum pot fi scrise toate soluiile n cazul sistemelor nedeterminatetiind c acestea sunt o infinitate.
6. Folosindtoarelor matrici
1210
1023
121
1220112 i
2321
348
7. S se determine r
angul urmtoarelor matrici
16 531312312
431221543121
Metoda lui Cramer, cu ajuto determinanilor, devine foarteeoa
calculatorului nu este de
are
542
1312
312100121
1216
Metode de rezolvare a sistemelor liniare
rulgr ie dac sistemele sunt mai mari adic tocmai cazul problemelorce provin din economie. Nici chiar utilizarea
m ajutor.
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
19/222
21
Vom da n continuare dou metode simplei utile pentru astfelde sisteme de mrime mijlocie10 30 ecuaii.
Algoritmul lui Gauss pentru sisteme liniare
12 x2 + + a1n xn = b1
uaie cu a11 0. nmulim noua ecuaie
do
b xa....................................
=+
Fie sistemul
a11 x1 + aa21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2
am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm
mpr im prima ecrespectiv cu-a21 , -a31 , , -am1 i o adunm respectiv la ecuaiile a
ua, a treiai aa mai departe. Obinem astfel sistemul
2nn2222
1nn12121b xa... xab xa... xa x=++=+++
22m ... xa + mnmn Vom face un lucru analog cu ecuaia a doua apoi a treia
iilor de mai jos.n final vom avea forma
x
d xc xc xc x
=
=++ =+++
=++++
...........................................
...
333
222
11132121
Sistemul de mai sus se rezolv extrem de uor nlocuindvariabilele de jos n sus.
Pe parcursul algoritmului pot aprea urmtoarele situaii:
acionnd doar asupra ecua
nn
nn
nn
nn
d x
d xc x d xc xc323
3
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
20/222
22
or unei ecuaii devin toi nuli iar termenulliber este diferit de zero. n acest caz sistemul este incompatibili
b) coeficorespunztor sunt toi nuli. n acest caz aceast ecuaie dispare.
a) coeficienii necunoscutel
rezolvarea se sisteaz.
cienii necunoscutelor unei ecuaii, inclusiv termenul liber
Mai simplu aceste operaii se pot face direct pe matricea complet asistemului, ne mai trebuind s scriem variabilele xi i semnele deoperare.
Exemplu: S se rezolve sistemul
=++=++
=++
=+5 x x3 x2 x x x27 x5 x x
321
321
321
14 x3 x3 x2 321 Avem matricea
527
131112511
~
14332
7 511
12420~
16 910
281310
1
4416
7
22091
51
~00
442200
7 5114416
0220910
~000
0
7 511
210016
00
910
Sistemul devine
00
==+=++
2 x16 x97 x5 x x
3
3
321 x2
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
21/222
23
c ad ite lu x 1, x -2.
Metoda elimin rii complete (Gauss-Jordan)
Se bazeaz ri elementare asupramatric e a sistemului pr lte zerouri pn cen locul matricii A stemului va obine matricea unitate. Selu ea ev n imultani asupra termenilor liberi. n final se poateciti direct solu si mului. Reamintim c aceast metod poate fiu za i n o nerea matricii inverse lui A, care la rndul ei
l a sistemelor liniare. Exemplu: Folosind metoda eliminrii complete a lui Gauss-
Jordan s se rezolve
1 2 3 + x4 = 1
1 2 3 4
1 = 5 Calculele se vor org l, ca mai jos. Pe marginea
tabelului se recomand s rile elementare ce au fostefectuate.x1 x2 3 4 b T
are m so ia 1 = 2 = 2, x3 =
pe efectuarea de transformii extins oducnd ct mai mu
a si secr z ide t s
ia stetili t pe tru bi
poate servi la rezolvarea matricia
sistemul x 2x + x x x + 3x 2x = 1
x + 2x + x + 5x2 3 4aniza ntr-un tabe scriem transform
x x ransformri elementare
1
11
-2-12
1-15
L1 )+L2L1 )+L3 nghi ca pivot
121
1-25
(-1(-1
Se alege elementul dindreptu
100
-21
4
1-24
L2 )+L1L2 )+L3
110
1-34
(2(-4
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
22/222
24
100
010
31-4
5316 1
L3 ) apoiL2
L )+L1
322
(-1/4L3(-1)+
3(-3
10
01
61-30 0 1 -4
00
71
Rezult soluia sistemului x1 = 6 7x4
x2 = 1 x4
x2 + x3 = 6
2x2 = 0 b T s
x3 = 3 + 4x4 x4 = necunoscut secundar (parametru)
Exemplul 2: S se rezolve sistemul x1 + x1 x2 + 2x3 = 5 x1
x1 x2 x3 ran formri elementare
1
1 -1 2
1 -2 0
65-3
-1 1L1(-1)+L2L1(-1)+L3
1 100
-2
-3
1-1
-1-9
L1 6 L2(-1/2) apoi
2(-1)+L1L2(3)+L3
1 0 3/2
0 1 -1/2
0 -5/20
11/2 L3(-2/5) apoi1/2 L
-15/2 L
3(-3/2)+L1
3(1/2)+L2
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
23/222
25
100
010
001
023
Soluia este
===
3 x2 x1 x
3
2
1
Exist i alte metode exacte de rezolvare pentru sistemelel st i eto
rte mari,
3 = 9
4x1 7x2 +
b) 2x1 + 2x2 x3 + x4 = 4
64 = 12
liniare: Metoda matricia , metoda radicalului etc. Exi m deaproximative care permit rezolvarea chiar a unor sisteme foade ordinul sutelor de ecuaii. Probleme propuse: S se rezolve urmtoarele sisteme prinmetoda eliminrii complete:a) 2x1 x2 + 3x
3x1 5x2 + x3 = -4 4x1 + 3x2 x3 + 2x4 =x3 = 5 8x1 + 5x2 3x3 + 4x
3x1 + 3x2 2x3 + 2x4 = 6
Spa ii vectoriale (liniare)
Vom ncerca s facem legtura dintre noiunea de vector subforma geometric cunoscut de la fizic i forma analitic care va fifolosit n capitolul urmtor.
Descompunerea unui vector dup trei direc ii n R 3
Vectorulvr se descompune folosind regula paralelogramului n
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
24/222
3vuv rrr +=
21 vvu rrr +=
26
1
M(a,b,c)vr 3 vr k j
rvr 2
vr ir
ur
r
adic apoi
321 vvvv rrr ++= .
Vom considera pefiecare ax cte unvector standard demodul 1 avnd acelaisens cu axa. Aceti
tai cu k , j ,i rrr
se numesc versori. Vectorii 1 , 2 ,vr vr vr 3 a, b, c.
vectori unitari nose pot exprima cu ajutorul versorilori a unor constante
Putem scrievr = vr 1+ vr
2+ vr
3 = k c jbia rrr
++ = (a, b, c . Cu alte
nte exist o coresponden biunivoc
)
cuvi ntre mulimea vectorilorir . Cele trei numere sunt de fapt coordonatele
vectorului.or se poate exprima ca unn-uplu de numere
(a11 , a12 , , a1n ),
a t ipletelor de numere
punctuluiM din vrfuln Rn un vect
vr 1 vr
2(a21 , a22 , , a2n )
ij
n capitolul u i matrici, liniile privite ca vectori. Vom folosi frecvent
rici.entr istemele liniarei
nc alte cteva expresii a ti comune este indicat
a se numesc componente ale vectorilor. Primul indice indic vectorul, al doilea, numrul componentei n vector.
rmtor vom lucra mult cu sistemei coloanele acestora pot fidenumirile de vector linie sau vector coloan. Operaiile cu vectorii proprietile acestora sunt utile n operaiile cu sistemei matP u c vectorii (linii sau coloane), matricile, s
lgebrice au proprie
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
25/222
27
al, ca
or po are (produs)x S astfelnct oricare ar fix, y, z S ie verificate urm toarele
ax1. x + (y + z) = (x + y) + z
2. x + y = y + x 3.
4.
0
. (
8. 1 x = x
tr-un
Dac exist scalarii a ca relaia de mai sus s
c, rezult c { x1 , x2 , , xn} este un sistem liniar dependent.Defini ie 2. Un sistem tori) bi
B=
o scurt privire asupra noiunii de spaiu liniar sau spaiu vectoristructur algebric.
Defini ie. O mul ime S se nume te spa iu liniar dac pentru
ice dou elementex, y din S i orice numr (scalar) dinK R seate defini o sum x + y S i o multiplic
i i K s f iome:
exist n S un element neutru (zero) aa ca x + 0 = x
fiecrui element x S i se ataeaz un alt element x S numitopusul lui x, aa ca x + (x) =
5. (x + z) = x + y
6. ( + )x = x + x
7 )x = ( x)
Defini ie 1. Un sistem finit de elemente{x1, x2, , xn} din spa iu liniarS se nume te liniar independent dac din faptul c
1 x1 + 2 x2 + + n xn =0 , ai K
rezult a1 = a2 = = an = 0.
a1 , a2 , , an K a
aib lo
de elemente (vec
{b , b , , b }1 2 n
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
26/222
28
a iului liniar, dac :
,
as
dintr-un spa iu liniarS se nume te baz a sp1. B este o mul ime liniar independent i
2. B este un sistem de generatori n sensul c orice elementx S se
poate reprezenta ca i o combina ie liniar a elementelor dinBdeci x S exist un sistem de scalari
c1 , c2 , , cn K
tfel nct
=
=n
1k k k bc x
Cu acest procedeu avnd dat o baz se poate construi tot spa iu . Reprezentarea oric dinS cuajuto este
Da mentelor (vectorilor) d n atunciorice sis lemente este liniar depe
o baz
B = {b1 , b2 , , bn} format dinn elemente atunci se spune c S are dimensiunean.
Se observ c dimensiunea unui spa iu finit dimensionalcoincide cu numrul maxim de elemente liniar independente care
exist n acel spa iu. De exemplu n spa iul R n sistemul de elemente E = {e1 , e2, , en}
undee1(1, 0, 0, , 0)e2(0, 1, 0, , 0)
en(0, 0, 0, , 1)
l vectorial S rui elementrul unei baze mic .c numrul ele intr-o baz estetem den + 1 e ndent.
Defini ie 3. Dac n spa iul liniarS exist
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
27/222
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
28/222
30
II. PROGRAMAREA LINIAR
Noiunea "program" sau plan se refer la stabilirea unor date,cantiti, necesare a fi produse, cumprate, sau vndute bineneles naa fel ca totul s se situeze n poziia optim (minim sau maxim).
it , heltuieli minime, timp de producie minim etc.a punerea problemei sunt
afar de acest model mai exist i altele ca programarea ptratic, programarea stohastic, programarea dinamic, programarea parametric, etc.
Exemple:
1. Organizarea optim iei
O ntreprindere urmeaz s oduc n tipuri de produse P j ,
Prof maxim c Dac funciile i expresiile ce servesc l
liniare atunci modelul matematic se numete programare liniar . n
a produc
pr
m ,1i =n ,1 j = prin utilizarea am tipuri de resurse Ri , . Se cunosc
coefic Ri necesar producerii unei uniti din produsul P ), cantitile disponibileb din
resursele R,
ienii tehnici aij (adic cantitatea din resursa
j i
i m ,1i = i beneficiile unitarec j pentru fiecare produs P , jn ,1 j = . S se ntocmeasc planul (programul) optim de producie al
societii, astfel nct beneficiul total s fie maxim.Restriciile ce vor aprea se datoreaz limit rselor, iarrii resu
funcia de optimizat (maximizat) este chiar funcia ce reprezint
beneficiul total. S notm cu x , j n ,1 j = cantitatea ce se va produce
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
29/222
din produsul P j. Vom constata c modelul matematic al problemei propuse este
31
(1)
+
+++
++
+++
mnmn
2222121
nn1212111
a xa....................
ba... xa xa
b xa... xa xa
(2) x j 0,
1
nn2 x
22mn1m b xa... x...............................
n ,1 j =
(3) f' = c1 x1 + c2 x2 + + cn x m
Dac notm cu A=
n maxi
n ,1m ,1 matricea coefic jiija == ienilor tehnologici
u B
b
0
c = (b1 , b2 , , bm ) vectorul cantitilor disponibile cuC(c1 , c2 , ,cn ) vectorul beneficiilor unitarei cu X=(x1 , x2 , , xn ) vectorulnecunoscutelor, atunci modelul matematic precedent se scrie subforma matriceal mai simpl
Ax
x
f = cx maxim
2. Problema ra iei optime
Se consider substanele nutritiveS i , m ,1i = necesare vieii din
care trebuie asigurate zilnic cantitile b ,i m ,1i = . Asigurarea acestor
substane se realizeaz prin consumarea alimentelor A j, n ,1 j = care
conin acele substane n propor ii date. Cunoscnd cantitile aij din
n ,1 j = precumisubstanele S i ce se gsesc n alimentele A j, m ,1i = ,
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
30/222
n ,1 j = ,
32
co r A j,sturile unitarec j ale alimentelo s se ntocmeasc o
raac notm cu x j cantitatea ce se va consuma din alimentul A j
modelul mate
ie optim adic costul raiei s fie minim.D
matic devine:
+++
++++++ 1nn1212 b xa... xa
mnmn22mn1m b xa... xa xa...................................................
2nn2222121 b xa... xa xa
111 xa
x j 0, n ,1 j = f' = c x + c x + + cn xn minim
Sau matriceal
Ax b
x 0
c la problemele de
matematic al acesteia este
liniar
1 1 2 2
f = cx minim .
Observa ie. Se va vedea n continuare programare liniar este util ca restric iile s fie sub forma unoregalit i, adic s avem a a numita problem canonic sau standard.
Modelul Ax = B
x 0
f = cx optim (maxim sau minim )
Rezolvarea problemei de programare
Metoda de rezolvare a vom dezvolta pe aa numita form canonic (standard) pe care o vom scrie mai jos dezvoltat. Vom vedea
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
31/222
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
32/222
34
z.
Este una din cele mai importantei uoare metode de rezolvare a problemelor de programare e la baz metoda eliminrii
complete de rezolvare a unui sistem de ecuaii liniare, care esteadaptat pentru gsirea numai a soluiilor cu componente nenegativei n final a so liniar f are valoare optim.
Metoda de rezolvare este descris pentru forma canonic aroblemei. n practic ns nu totdeauna transcrierea problemei
Pe al cuinegaliti la forma standard numai cu egaliti vom introducenecunoscute noi numite necunoscutede compensare sau artificiale sau alii le spunecart.
De exemplu la inegalitatea
Reamintim c m este numrul ecuaiilor principale (egal curangul). Soluia de baz se obine cnd necunoscutele secundare se iauegale cu zero.
3. O soluie de baz se zice degenerat dac numrul componentelorstrict pozitive este mai mic dectm.
Soluiile de baz sunt importante deoarece se arat c solu iaoptim cutat este una dintre soluiile de ba Pentru soluia optim funcia de scop i atinge valoarea maxim n cadrul problemelor de maximi respectiv minimul n cadrul problemelor de minim.
Algoritmul Simplex
liniar . Ar
luiei pentru care funcia
peconomice conduce la sistemul standard. n forma general un sistem poate s conin inegaliti de ambele sensurii egaliti.
ntru transformarea problemei de la forma gener
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
33/222
35
ai1n1 + + ain n bi
de nenegativitate. n acest cazcua
inus se obine micorareade
ine ri se introduc variabile de compensare, sau artificiale
ob ie de baz, care n acest caz estefor nsare se introduccu la n cadrulalgori
4x3 ilele xi verific urmtoarele restricii:
x2 3x3 + 2x4 8
x
Se adaug n membrul nti xn+1 0 i inecuaia devineai1 x1+
+ a in xn + xn+1 = bi.
Pentru o restricie de formaak1n1 + + akn xn bk
Se va considera necunoscuta de compensare xn+2 0. Toatevariabilele trebuie s respecte condiiilee ia devine
ak1n1 + ak2 x2+ + akn xn xn+2 = bk Prin introducerea ei cu semnul mcorespunztoare a membrului nti. Numrul de variabilecompensare ce trebuiesc introduse este evident egal cu numrul de
galiti. Uneochiar i n egaliti cte una distinct pentru fiecare ecuaie pentru a
ine de la bun nceput o solumat numai din variabile de compensare.
n funcia de eficien necunoscutele de compe coeficieni egali cu zero. Variabilele artificiale se vor ru
tmului de rezolvarei n general vor fi eliminate treptat.
Exemplu: S se gseasc maximul formei liniare f = 3x1 + 7x2 x4 dac variab
2x1 + 5x2 x3 + x4 = 11
4x1 6x2 5x3 + 2x4 6
x1 +
x j 0, 4 ,1 j =
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
34/222
5x1 + 2x2 + x3 x4 9
36
mai
8 x8
7 =+=+
Dm mai jos forma standard n care se transform problema de
sus dup introducerea variabilelor de compensare toate nenegativemax f = 3x1 + 7x2 4x3 x4 + 0 x5 + 0 x6 + 0 x7 + 0 x8
9 x x x y12 x5 4321 ++ x2 x3 x x
6 x x2 x5 x6 x411 x x x x5 x2
4321
6 4321
54321
++=+
=++
8 ,1 j = x j 0,
Algoritmul simplex este o metod general i foarte practic pentru rezolvarea problemelor de programare liniar . Ea a fostdescris pentru prima dat de G.B.Dantzig n 1947. Ea are la baz metliniare dar orientat n permanen dup scopul urmrit adic opti Una din teoremele imp ale programrii liniare afirm c soluia optim dac exist trebuie s fie una de baz.
1. A2. G
r 3. T
o
oda eliminrii complete de rezolvare a unui sistem de ecuaii
mizarea funciei de scop (eficient).ortante
Etapele algoritmului Simplex sunt:
ducerea sistemului la forma canonic (standard, cu egaliti);sirea unei soluii de baz (cu numere, componente pozitivei
estul zero);recerea de la o soluie de baz, la alta mai bun dect ea, n sensul
ptimului enunat. Mai precis:
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
35/222
37
a trebuie s re o o m m d t v he
Pentru nc de cop ca e se ere a in ers
Soluia pti nu se caut la ntmplare printre cele de bazeriu de bunt unc i
de efic 4. G i aflar valorii optime a funciei e
n. Evident se folosete un criteriu care stabilete dacajuns la valoarea optim i funcia de scop nu mai poate fimbuntit.
rimelem coloane (m n) adic n baz se afl primelevariabile x1 , x ctorii P 1 , P 2 , ,
loan P i.
) Dac pentru funcia de scop se cere minim, atuncigene ze val area ai ic ec cea ec .
b) fu ia s la r c m xim v .
o m cidirijat verificnd permanent un crit m ire a f ie
ien .sirea solu iei optime ea d
eficie s-a
Vom lua pe rnd aceste etape indicndi operaiile dedesf urare a acestora.A. Pentru determinarea unei soluii de baz vom utiliza metoda
eliminrii complete (Gaus-Jordan). Presupunem c am produs
zerouri pe p
2, , xm (sau n alt exprimare ve P m). Reamintim c unei coloanei corespunztoare unei variabile xi i se mai spune vectorul co Matricea sistemului devine
+
+
m
1
mn1m ,
n11m ,1
b...
b
a..................
a...a0
Dac toi b' i 0,
...01+ 2n21m ,2 b
............a...a0...10
ma1...00
m ,1i = soluia de baz este B = (b' 1 , b' 2 , ,b' m , 0 0).
1
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
36/222
38
1 j j j
B. Schimbarea bazei olu i de baz mai bune.
ctor P i n locul lui punem altul P .
Pentru uurina calculelor acest lucr se face ntr-un tabeli se
lucreaz cu transformri elementare. O astfel de operaie se
ex construit pe baza iniial
P Pm Pk P Pn
Pentru aceast soluie B1 funcia de scop devine
f(B1 ) = m
bc =
= gsirea altei s i Obinerea unei noi soluii de baz se va face prin schimbareadoar a unei singure variabile. n limbaj vectorial, spunem c din
baza veche scoatem un ve
u
numete pas simplex i comport mai multe operaiuni. Fie urmtorul tabel simpl
Baza P0 P1 P2
P1P2
M
b
P
M
b
Pm bm 0 0
M
0
M
M
1
M
M
amk
M
M
am
M
M
amn
1
b2M
10
M
01
M
00
00
a a1
a2
a1na2n
1k
a2k
M
0
M
0
M
1
M
0 a anak
Ne propunem s scoatem din baz vectorul P (variabila x) i s
ik torului
k
introducem n locul lui vectorul P (variabila x ).
Observa ie. Exprimarea vectorilor din afara bazei n func ie devectorii bazei se face chiar cu coeficien ii a de pe coloana vecP de exemplu:
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
37/222
39
element privot sau de lucru.
P k = a1k P 1 + a2k P 2 + + amk P m Elementula de la intersec ia liniei i coloanei se nume te
1. Prima operaie este mpr irea liniei cu elementul privot obinnd
valorile
a k = , k = 1, 2, , n. ak
2. Apoi producem zerouri pe toat coloana privotului mai puin nlocul acestuia unde r mne 1.
Elementele noii matrici vor fi:{ } == jk jk jk
am ,1 j ,aaa
= k k
Urmrind acum ca soluia nou s fie de asemenea o soluie de baz, adic cele m componente diferite de zero s fie pozitive trebuie
s avem satisf cute inegalitile:b j - a j > 0, { } = m ,1 j .
Pentru c numereleb sunt pozitive (ele apar ineau vechii baze)
ficient ca pentru
pozitiv s avema j pozitivi
j
pentru a fi satisf cute inegalitile de mai sus este su
j jab0
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
38/222
40
Un
e combinaii de semne arngreuna metoda inutil.
Pentru fixarea vectorului P (variabilei x ) care se scoate din baz se determin numrul pozitiv
vector P (variabil x ) din afara bazei poate fi introdus n baza
nou dac are componente pozitive. Alt
aamin
j j=
=
+
considernd c j ia doar valorile care corespund coefi
bb j
cienilor pozitivi
a .Rezolvarea practic a trecerii de la o soluie de baz la alta, adic
de la un tabel simplex la urmtorul se realizeaz prin aa numitaod
1. Fixarea vectorului P (variabilei x ) care se introduce n baz.
l are rap rte p iv b j / a j pentr e cu ajutorul cru af ul P (variabila x ) care
se scoate din baz.3 et inarea n noul tabel sim lex a elementelo de
re nz are vecto lui introdus n baz adic a numerelor k u rel iile
j
met simplex. Calculele se efectueaz n urmtoarele etape:
2. Ca cul a oa lor ozit e u det rminareanumrului ia lm vector
. D erm p r pe linia
co spu to ru P c a
a
a ,ab k =
adic mpr irea liniei cu elementul pivot.eterm na a oul t el mp x a lementelor de pe celelalte
linii cu relaiile
k =
4. D i re n n ab si le e
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
39/222
{ } = = j= m ,1 j ,aaa s Abb j jk jk j j
Aceast ultim etap se poate rezolva uor i rapid prin ap aa numi i u tri gh lu d ptun ic: Un lement l
ine scznd din elementul situat n vrfulunghiului drept produsul elementelor de la extremitatea ipotenuzei.
ultatul se pune n noul tabe n l ul o spunz r celui ocupat decel din vrful drept din vechiul tabel, dup schema.
i k
licarea te reg li a un iu i re gh e din nou
tabel simplex se ob
Rez l, oc c re to
b j a j a jk a j
41
Exemplu: S se ntocmeasc tabelele simplex corespunztoare
soluiilor de baz, pentru urmtorul sistem:
6 ,1 j ,0 x10 x x8 x3 x4 6 321 =++12 x5 =+ x4 x27 x x2 x
j
21
432
=
= x3 1 ++
int
s uare i cu o coloan pentru
sus vom avea urmtoarele calcule:
j a' jk
k
b'
Se observ c o soluie de baz este (0,0,0,7,12,10) deci n baz r variabilele x4 , x5 , x6 (vectorii P 4 , P 5 , P 6 ).
Observa ie. Pentru sistematizarea calculelor se recomand ca se a eze tabelele simplex n contin
rapoartele b j / a j.Pentru exemplul de mai
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
40/222
42
Exemplu: 3
10214a;2227 12b5 = ===
333 52
Baza P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 j
j
a
b TabeleS
P 4 7 3 -1 2 1 0 0 =7 3
P 5 12 2 -4 0 0 1 0 6 2 = 12
S I1 P = P
P 6 10 -4 -3 8 0 0 1 -
-31 32 31 0 0 27 32:37 = P 1 37 1
P 5 322 0 -
310 -
34 -
32 1 0 -
P 332
34 0 16 3
58 0 -313
==
=
16
29332:
358
S II P = P 3
-16 1 0 P 1 8
9 141 0 - 1 ==
29
41:
89
16
P 5 439 0 -
8 0 -31
21 1
81 -
P 316
29 0 -
32
13 1
8
1 0
32
3
2
29
8
1
1
:
6
29
P
=
S III = P 4
P 4 29 -4
41 0 1 0 -
41
P 5 12 2 -4 - - -1 32 27
P 3 45 -
21 -
83 1 0 0 -
1281
S IV
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
41/222
Determinarea solu iei optime a problemei de programare liniar
43
op (sau de scop) care
Problema programrii liniare const, n determinarea valorii
time (minime sau maxime) a funciei de eficienestei ea liniar
=n
= j j xc f (1)
as G
ice c optimul a fost atinsi numai este necesar schimbarea bazei.
ntru aceasta vom studia varia ei de icien laea soluiei de baz.
Fie z0 valoarea funciei de eficien f corespunztoare primeis de d
1 j
n vederea obinerii scopului fixat va trebui s urmrim dou
pecte:1. sirea unui criteriu, care s indice c o soluie de baz nou este
mai bun dect cea veche, n sensul optimului funciei de eficien.2. Stabilirea unui criteriu, care s ind
Peschimbar
oluii
ia funci ef
baz a ic
m ,1 j ,b xciccb xc z j jm
1 j j j
n
1 j j j0 ====
== (2)
Fie z' 0 valoarea funciei f corespunztoare soluiei de baz dintab ul urmel tor, SII adic
= j
jc j0 b z ( )
Dar cum soluia de baz II se obine din I prin formulele derecuren
3
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
42/222
=
j
jab j
avem
+=+= 4342143421
z j
j j
z j
j j j
j j j0 caccbccab z
0
notm cu
j , j (4)
( )
=
j
j j ca z (5)Dac
vom avea
+=+= 000 z zc z z (6)
Observa ie. este totdeauna pozitiv (acest lucru s-a fixat n prealabil prin conven ie pentru simplificarea regulilor ce trebuiesc
rite, n cazul c iei de
eficien ). a) Det ui func iei de eficien
Dac = c - z > 0 > 0 z' 0 > z0 adic prinoarea funciei de eficien devine mai
mare. Cu alte cuvinte pentru maxi izarea funciei de eficien sunt
necesare urmtoarele dou condiii:1. S existe n afara bazei cel puin un vector P (variabil x ) care s
2. Vectorului ales P trebuie s-i corespund o diferen pozitiv =
urm se cauz maximul, respectiv minimul func
erminarea maximul
cum rezulttrecerea de la o baz la alta val
m
aib cel puin o component pozitiv (a j > 0).
c - z > 0.
44
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
43/222
45
o diferen negativ
= c - z < 0 care conduce la z' 0 < z0.
Pentru o mai bun organizare a calculelor, tabelul precedentce t tre re e b la alta, se va completa cu trei linii
co an, n o a osSI
c1 c c ck
b) n cazul cutrii minimului funciei de eficien, singurul lucru care
se modific, este c lui P trebuie s-i corespund
ne sar pen ru ce a d la o azi o lo av d f rm de mai j .
Tabelul
2 m c cnCoefi-
nci
co punz-
or bazei
Baz1 2 Pm Pk
cie ii
res-
t i
a P0P P P Pn
c1c2M
c
cm
P1P2M
P
M
Pm
M
Bm
M
0
0
M
0
M
0
00
M
1
1k
2k
M
ak
M
amk
a1a2vM
a
1n
2n
an
amn
M
B1B2
B
M
10
0
M
1
0
M
aa
M M
am
aa
M
zk z0 z1 z2 zm zk z z n
k k ck z= - -z c2-z2 c -c1 1 m zm ck -zk c-z cn-zn
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
44/222
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
45/222
47
0 1 -3 0 2 0c Baza P P P P P P5 P6 j
j Explicareaab
lelorcalcu j 0 1 2 3 40 7 1 3 -1 0 2 0 -P1
0 12 0 -2 4P4 1 0 0 3412
=
0 P6 10 0 -4 3 0 8 1 3 ,3310 =
zk 0 0 0 0 0 0 0
k = k - 0 1 -3 0 2 0
S Iiferene
;este3=-3
evectorului P 3
=3 m nt de
soluie (pivot) 4ck -z
Dk =ck -zk
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
46/222
48
ac ar mai exista, vectorul
la
calcula
ndiii:
Obinerea soluiei care realizeaz optimul (n acest caz minimul)
este marcat de urmtoarele condiii:- Nu mai exist diferene k =ck -zk
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
47/222
49
0 1 -3 0c j Baza P0
P1 P2 P3 P4 j j
ab
Explicarea calculelorTabelaS
1 P1 1 1 0 -12
1 2
2 P2 1 0 1 1 -1 -
zk 3 1 2 1-
23
- 0
S I
Maximk > 0
4= 25 ; P = P 4; =2;
P =P ; Element de
soluie
1
21
k 0 1 25
1 P4 22 0 -2 12 P2 2 -1 03 1
zk 68 2 -4 1
k -5 6 0
II
Maxim > 0; 3 =
; cci P ecomponentele negative- 0
S
k 6
Nu exist P 3 ar
m opr carea algoritm simp S II; funcia f(x ste
nemrginit. Pr ema d rogram ar admite luie.
Degenerarea n problemele de programare liniar
Reamintim c so ia de baz se n ete degenerat dac
num zitive e mai mi ect m (undem este numrul de ecua , deci ce uin o necunoscut rincipal revaloarea zero. Aceast situaie, ap e cnd ntrodu ea n bunui vector, e mai multe elem te poz are fu zeaz iraport minim
A it apli ului lex la ) eobl e p are lini nu so
lu um
rul componentelor sale strict po ste c dii) l p p a
ar la i cer az axist en itive c rni acela.
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
48/222
50
Solu ii multiple. Solu ia general
Exist ii n care problema de programare liniar ar cel pu so ii disti care conduc la aceiai val e optim n
acest caz solu optim ral s oate sc ca o co inaie r convex a sol ilor inde ndente inute.
Fie de e mplu X 2 dou luii op e distin atunc
X G X 1 + unde 1 , 2 , 1 + 1.
Rezult c avnd dou soluii optime prin variaia lui 1 i 2
ceast situaie, n practic,economistul trebuie s se hotrasc asupra unui singur rezultat, n
a fixasoluia f r ca optimul s se modifice.
Exerci ii i probleme. ntreb ri de control1. Ce este o so
e e baz este degenerat?3. Care sunt elementele unei probleme de programare liniar
4. Cum se poate transforma o problem de programare liniar general n una standard?
5. Poate avea o pr g ar mai multe soluiioptime diferite. Cum se procedeaz n cest caz?
S se rezolve, cu algoritmul simplex, urmtoarea de programare liniar
situa ein dou lu ncte oar .
ia gene e p rie mb liniaui pe obxe 1 i X so tim cte i
= 1 2 X 2 0 2 =
obinem, de fapt, n final o infinitate de soluii optime. Evident prinsoluie se nelege un n-uplu. n a
consecin, va mai impune o condiie convenabil aleas care v
luie de baz?2. Cnd o solui d
standard?
oblem de pro ram e liniar
Exemplu.
problem
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
49/222
51
=++ 5 x2 x x 321
+++==
=+++
=++
immax x5 x3 x2 x f 4 ,1 j ,0 x
8 x x x2 x
6 x2 x x2
4321
j
4321
31
Etapele algoritmului simplex vor fi parcurse prin ntocmireaurmtorului tabel
1 2 3 5 c
x 42
cB Baza P1 P2 P3 P4 be1e2
e3
2
1
-1
11
2
-12
1
20
1
65
81 P1
e2e3
100
1/21/2
5/2
-1/25/21/2
1-12
3211
1
2
P1
P2e3
1
00
0
10
-3
5-12
2
-27
1
41
125
P1P2P4
100
010
3/7
11/7-12/7
001
5/730/71/7
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
50/222
52
z j 1 2 -5 5 10-c j - z j 0 0 8 0
3
25
P3
P2P4
7/3
-11/34
0
10
1
00
0
01
5/3
5/33
z j 59/3 2 3 5 70/3c j - z j -56/3 0 0 0 -
n consecin, am obinut soluia optim, deoarece toatediferene c j z j sunt nepozitive,i astfel
370 f cu3 ,
35 ,
35 ,0 xt opt =
= .max
S se rezolve urmtoarele probleme de programare liniar
1. ==+=++
+ x x2 x 321 =+ 0 x4
maxim
4 ,1 j ,0 x6 x x2 x x9 x3 x3 x2 x2 j
4321
4321
f = 3x1 + x2 + 3x3 x4
= 57 ,27 ,0 x ,195 f opt max R spuns: 14
3 ,1414
2.
14
=++=++
=++ x x3 x 5 x x4 x2 421321
2 x x x 521
x
6
j 0, 5 ,1 j =
f = 2x1 + 2x2 maxim
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
51/222
R spuns: ( ) == 0 ,3 ,0 ,1 ,3 x;0 ,4 ,1 ,0 ,2 x;4 f 2opt max 22opt
=+3.
++ =+++
+++
x2 x x10 x x x2 x
15 x2 x x3 x2
3214321
4321
11 x2 4
x j 0, 4 ,1 j =
f = 3x1 + 2x2+ 4x3 + 2x4 minim
( )0 ,2 ,2 ,3 ,0 R spuns: x;18 f min = opt
53
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
52/222
54
re poate fi de o variabil independent, sau de mai multeai
uliosturile de producie,
Funciile de o variabil au fost n general bine studiate n liceustudiul culminnd, n mare, cu obinerea reprezentrii grafice pe carese pot citii, de altfel, toate proprietile funcie i de unde se pot
amintim principalele etape pentru obinerea unui grafic lafunciile de o variabil:
2. limitele la capetele domeniului de lucru;3. asimptote (verticale, oblice sau orizontale);4. puncte principale pe axe;
erivatei ntiai a semnului acesteia pentru obinereamonotonieii a punctelor de extre
. calcularea derivatei a doua (numai dac este necesar pentru precizarea studiului) care ne d intervalele de concavitate,conexitatei punctele de inflexiune;
III. ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC Majoritatea proceselor economice au ca model matematic o
funcie cavariabile. De exemplu beneficiul unei ntreprinderi depinde de mm factori care pot fi considerai variabile independente: productivitatea muncii, preurile de achiziie, c pierderi, consum de energie, etc.
iobine diferite interpretri economice.
Re
1. fixarea domeniului maxim de definiie al funciei care apoi putea firestrns doar la o zon de interes;
5. calcularea dm;
6
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
53/222
55
7. centra lei n
Pentru eco onotonie care
indic trendul fenom xtrem care sunt n
n prezent utiliznd calculatorul graficul unei funcii se obine pid
zare a formulei lui Lagrange. Este util n analizamatem mai mare cti pentru calcularea valorilor unei uncii mai complicate, cu ajutorulunor polinoame.
atunci exist un numr c cuprins ntrea i x I astfel nct s aib lor rela ia
lizarea tuturor informaiilor ntr-un tablou de variabisfr it trasarea graficului.
nomiti sunt importante intervalele de m
enului precumi punctele de egeneral puncte de optim.
ra i cu mare precizie. Mai r mne doar s se fac interpretrile.
Formula lui Taylor
Este o generaliatic att pentru studiul funciilor cu o finee
f
Teorem . Dac F : I R este de n +1 ori derivabil pe I
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) nnn2
Ra f !na x...a f
!2a xa f
!1a xa f x f +++++=
unde
( )( ) ( )( )c f !1n a x R 1n1n
n ++
+=
ula aproximeaz ori ct de bine dorim o funcie polinom. Cu ctn este mai mare restul
aia este mai bun. Din
R se nume te restul sub forma lui Lagrange. n n esen form f(x) n orice punct x cu undevine mai mici aproximaia este mai bun. De asemenea, cu ct
punctul x este mai aproape dea aproxim
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
54/222
56
estimaia restului se poate calcula ci termeni sunt necesari pentru aobine o eroare de calcul mai mic dect cea propus. Calculatoarele
buzunar prin arhitectura lor utilizeaz
lu r pe ii uzuale ca sin x, cos x e x ,
i MacLaurin. Exemple. Pentr la se poate aplica
electronice PCi cele de
formula i Taylo ntru a calcula funcln x,etc.
Observa ie. Dac a = 0 formula se nume te a luu funcii mai simple formu
direct prin derivarea de mai multe ori a funciei.( ) ( )
( ) xn
e x f = i ( )1) Dac f(x) = e x
i a = 0 vom obine 10 f n
= , n N . Deci
n!n!2!1
2) Fie f(x) = ln (1+x), a = 0, vom avea ( )
n2 x... x x + x R1e ++++=
( ) ( ) ( )
( )n
1nn
x1!1n1n f
+=
( )( ) deci( ) ( )!1n10 f 1nn = +
( ) ( ) nn
1n32
Rn
x1...3
x2
x1 x x1ln +++=+
3) f(x) = sin x, a = 0. Funcia sin x este indefinit derivabil, atuncicalcul
Fiend succesiv derivatele obinem
+=( ) ( )
( )
==
1k 2ndac ,10 f k
n k 2ndac ,0
Rezult
( )( ) n
1n2n
53 R
!1n21...
!5!3!1 x sin +
+= x x x x
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
55/222
57
cosinus avemAnalog pentru
( )( ) n!n2!6 !4!2
4) S
n2n
6 42 R x1... x x x1 xcos +++=
se dezvolte n serie MacLaurin funcia
r
f (n) (x) =
f (n)(0) = ( -1 ) ( - n + 1)
f : (-1, ) R, f(x) = (1 + x) , R, 0, 1, 2,
Funcia admite derivate de orice o din n punctul x = 0. Avem:
( -1) ( - n + 1)(1 +x) -n
Formula lui MacLaurin devine:
( ) ( ) ( ) ( ) n2
R!n
1n...1...!2
x1 x ++++
Formula de mai sus poart numele de binomul lui Newton
Func ii reale de mai multe variabile reale
Mul imi i puncte din R n . Vecin t i
Reamintim c Rn este mulimea sistemelor ordonate den numereale
1 , x2 , , xn ) / xi R} oate organiza ca un spaiu liniar (vectorial)
Rn i nmulirea cu
) se nume te distan
dac :
!11 x1 ++=
i
generalizat. Pentru diferite valori ale lui se obin dezvoltri pentru
tot felul de radicali.
re adic
Rn = { x = (xS-a vzut c Rn se p
fa de operaiile de adunare a dou elemente dinscalari din R.
Defini ie. Aplica ia d: R n R n [0,
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
56/222
58
) d(x n n 0 x
2) d(x, y) = d(y, x)
ie. Dac x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) suntou
1 , y) 0, (x, y) R R , d(x, y) = = y
3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z)
Observa
d elemente dinR n atunci se vede u or c
( ) ( )=
=n
1i
2ii y x y , xd
verific axiomele distan ei
entr p u n =1 d(x, y) =| x - y| i n = 2 d(x, y) = ( ) ( )222211 y x y x + .
Defini ie. Fie x0 R n i r > 0 atunci mul imea
S r (x0 ) = { x Rn / d(x, x0 ) < r } se nume te sfer deschis cu centrul n x0 i de raz r(sau hipersfer ).
Orice mul ime V R n este o vecin tate a punctului x0 dac exist o sfer deschis cu centrul n x0 inclus n V , adic
0 r 0
iz ca punct aderent, punct frontier , punct de acumulare, punct interior, punct izolat.
n continuare vom lucra frecvent cu funcii de dou variabile, pentru simplitatei numai uneori vom trata cazul cun variabile.
lgeneral.
x S (x ) V
Rezult c ns i aceste sfere formeaz un sistem de vecin t in R n. Cu ajutorul acestor vecin t i se pot defini no iuni importante
n anal
Rezultatele de la dou variabile se pot extinde uor la cazu
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
57/222
59
Fie A R2 x1 , x2) este
un numr real.
Defini ie 1 ita func iei f n punctul
(a, b) dac > are ar fi (x, y) (a, b) cu proprietatea|x - avem|f(x, y) - l| < .
i f A R. Valoarea funciei n punctul (
. Spunem c l R este lim
0, () > 0, astfel ca oric a| < () i |y - b| < () s
Defini ie 2. ( ) y , x f liml a xb y
c pentru orice ir de puncte
A(xn,yn) cu proprietatea (xn, yn)
= da
n (a,b) i (xn, yn) (a, b)
avemf(xn, yn) n l.
Defini ie 3. Fie A R 2, f : A R i (a, b) A. Spunem c f estecontinu n punctul (a, b) dac ( ) y , x f lim
b ya x
exist i este finit i
n plus ( )( ) ( )
( )b ,a f y , x f lim = . Dac n cele dou defini ii 1 i 2b ,a y. x
de mai sus nlocuiml cu f(a, b) ob inem dou defini ii echivalente pentru continuitate.
Exemplu. Fie funcia
( ) ( ) ( )
= 0 ,0 y , x y x
y , x f 22 ( ) ( )=
+0 ,0 y , x0
y x
22
irul ( x , y) aa ca y = x ,unde este un
parametru reali ( x , y) (0, 0). Dac x 0 yn 0. Avem
Aceast funcie nu este continu n origine, ba chiar f nici nu are
limit n origine. Fie n n n n
n n n
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
58/222
( ) 2nn0 x 1nn +
21
0 y
y , x f lim =
nu are limit n origine deci nu
e nici continu n origine.
e A R2 , f : A R i (a, b) A (interior).
Defini ia 4. Func ia f par ial n raport cu x n
punctul(a, b) dac
Valoarea limitei depinznd de
Derivate par iale
Fi
este derivabil
( ) ( )a x b ,a f b , x f lima x exist i este finit .
Vom nota aceast limit cu f' x(a, b) sau( ) x
b ,a f
i o vom numi
derivata par ial de ordinul nti a funciei f n raport cu variabila x n
y n punctul(a, b)interior luiA dac
punctul(a, b).
Defini ia 5. Func ia f este derivabil par ial n raport cu
( ) ( )b yb y
b ,a f y ,a f lim
exist i este finit .
Vom nota analog aceast limit cu ( ) ( )
yb ,a f
b ,a f y
= .
Observa ie. Din defini ie rezult c atunci cnd calcul m
constant i derivm ca i cum am avea o singur variabil x. Analogulte
derivata par ial n raport cu x , variabila y este considerat
cnd calcul m derivata n raport cuy. Dac func ia are mai m
60
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
59/222
61
variabile toate celelalte variabile n afara celei cu care lucreaz seconsider constante.
se
Observa ie. Dac derivatele par iale f'x i f'y sunt la rndul lor
derivatele par iale n raport cux i y atunci se pot defini derivatele par iale de ordinul doi. Vom avea n total 4 derivate de ordinul doi ianume
( )( ) ( ) y , x f x y y y
; y , x f x
22 y x2 == y , x f f f
x f
x
22 =
=
( ) ( ) y , x f y f
y f
y; y , x f y x f
y f
x y22
xy2
2
=
=
=
=
Exemple: 1. Fie f(x, y) = 2x
2
6x + 7y 113 3 2 2
f' = 6x y + 6x y 10xy +7
f" yx = 24x
2. Fie g(x, y) = ln (1 + x2 + y2 )
4 y3 + 3x2 y2 5xy2 + f' x = 8x y + 6xy 5 y + 6
4 2 2 y
f" x2 = 24x2 y3 + 6y2
f" xy = 24x3 y2 + 12xy 10y3 2 y + 12xy 10y4 2 f" y2 = 12x y + 6x 10x
2222 y x1 y2
y f
; y x1 x2
x f
++=
++=
( ) ( )22222
2
222
2 y x1
y x12 f ; z x1 x ++
+=+
222 y y x1 ++
2 2 f =
( ) ( )222
22 xy4 f 222
y x1
xy4 x y f ;
y x1 y x
++
=
++
=
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
60/222
62
Se observ c n ambele exemple derivatele par iale mixte derdin are loc n general.
Criteriul urmtor s re lo tatea acestora.
A R2 R are derivate par iale mixte de ordinul doi continue, ntr-o vecinta ului(a,b) atunci .
f : A R R e par iale ntr-o
vecin tate a lui (a, b) ele sunt continue atunci spunem c func ia f
este diferen iabil .Defini ie. Fie f : A R 2 R diferen iabil n (a, b)interior lui
A. Expresia liniar df(x, y, a, b) = (x - a)f' x(a, b) + (y - b)f' y(a, b)
se nume te diferen iala func iei f n punctul(a, b).
te scrie
o ul al doilea sunt egale. Aceast egalitate nutabilete n ce condiii a c egali
Criteriul lui Schwarz. Dac f :te a punct
( ) ( )b ,a f b ,a f xy yx =
Teorem . Dac 2 admite derivat i
Observa ie. Dac (x, y) = x i (x, y) = y, atuncid (x, y) = dx = x a ; d(x, y) = dy = y b
dx i dz se numesc diferen ialele variabilelor independente. inndcont de aceast observa ie diferen iala lui f ntr-un punct oarecare semai poa
dy y x f
dx f
df
+
= Diferen ialele de ordin superior se definesc n mod recurent prin
rela iad n f = d (d n-1 f)
de exemplu
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
61/222
22
222
2
22 dy
y f dxdy +
y x f 2dx
x f f d
+
=
n general, putem scrie simbolic c
( )n( ) y , x f
yd
x f d n dy x +
atele obinute pentru funcii reale de dou variabilesunt adevratei se extindi pentru funcii den variabile.
Interpret ri economice ale derivatelor par iale
Fie f Rn R care admite derivate per iale de ordinul nti.
. Se a acesteia n raport cu xi adic
=
Toate rezult
1 numete valoare marginal sau viteza de varia ie a lui f nraport cu variabila xi derivata par ial
( ) ( )i
n21i x
x ,..., x , x f x , f VM
=
2. Se numete ritm de varia ie a lui n raport cu variabila xi expresia f
( ) ( ) ( ) f
x , f VM x
x ,..., x , x f f 1 x , f R i
in21
i ==
3. Se numete elasticitate a lui f n raport cu variabila xi expresia
( ) ( ) ( )iii
n1ii x , f VM f
x x
x ,..., x f f x x , f E =
=
Dac se ia exemplul pieei de mrfuri unde funcioneaz legeacereriii a ofertei,i avem o funcie care depinde de preurile tuturormrfurilor, variaiilecereri ata este de exemplu
e cererea pentru marfa xi, cnd
preul ei crete.
atunci derivata par ial a acestei funcii arati cnd unul dintre preuri variaz. Dac deriv
negativ ea arat viteza cu care scad
63
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
62/222
Elasticitatea ne d o informaie mai complet a variaiei cereriin raport cu preul sau, ea reprezint viteza descreterii relative acererii pentru o cretere relativ a preului sau invers.
Derivatele func iilor compuse
Teorem . Dac func iile u i v : X R, X R au derivatecontinue peX , dac func ia f(u, v) definit pe Y R 2 are derivate
64
par iale continue pey atunci func ia compus F(x) = f(u(x), v(x))
e deriar vat continu pe X , dat de
( )dxdu
v f
dxdu
u f
dxdF x F
+
==
Teorem . Dac func iile u, v : E R, E R 2 are derivate par iale continue peE i dac f(u, v)are derivate par iale continue pe
G R 2
atunci func ia F (x, y) = f[u(x, y), v(x, y)]
are derivate par iale continue peE R 2 date de:
xv f u f
x F
v xu
+
=
y
v
v
f
y
u
u
f
y
F
+
=
Exemplul 1. S se calculeze derivata funciei
F(x) = f(1 + x2 , sin x) x R
Notm u = 1 + x2 , v = sin x. Avem
( )v
f xcos f x2 xv
v f
xu
u f x F
u +
=
+
=
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
63/222
Exemplul 2. S se calculeze derivatele funciei F(x, y) = f(x2 + y2 , x y)
Notm u = x2 + y2 , v = x y.
Avem
v f
u f x2
xv
v f
xu
u f
x F
+
=
+
=
vu yv yu y f f y2v f u f F
65
=
+
=
n + 1 pe A. Aplicnd funciei F(t) formula lui Taylor(MacLaurin) pentru funciile de o variabil avem
Formula lui Taylor pentru func ii de dou variabileFie f : A R2 R i (a, b) un punct interior lui A. Presupunem
c f este difereniabil de cel puin n + 1 ori n(a, b) i c ordinea ncare se deriveaz nu conteaz (derivatele mixte de acelai ordin suntegale).
Vom considera funcia
F(t) = f[a + t(x a), b + t(y b)], (a, b) A, (x, y) A, t [0, 1]
Petru t = 0, F(0) = f(a, b) i t =1, F(1) = f(x, y), F(t) estederivabil de n +1 ori pe[0, 1], deoarece f(x, y) are derivate pn laordinul
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 F !2
10 F !110 F 1 F ++= ( ) nn R0 F !n
...0 +++
Cu( )
( )( )c F !1n +
1 R 1nn += 0 < c < 1.
Pentru calculul derivatelor F (m)(0)folosim formula de derivare afunciilor compuse. Vom scrie F(t) = f(x(t), y(t)) unde
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
64/222
x(t) = a + t(x a) i y(t) = b + t(b a) Avem
( )( )
( ) ( )( )=
t y ,t x f dy y x
t F d m
m += dx
( ) ( )( )
( ) ( )( ) = mm
( )
+
= dt t y ,t x f
yb y
xa x
( )
( ) ( )( )
0 F m ( )b ,a f
yb y
xa xm
+
=
innd seama de acest rezultat obinem formula lui Taylor pentru funcia f(x, y) n punctul(a, b):
66
( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ = 1 f y , x f +
+ b ,a f
yb x
xa x
!1b ,a
( ) ( )( )21 ( )
( ) ( )( )n
xa x
!n1...
++
b ,a f
yb x
xa x
!2 +
+
+
( ) n Rb ,a f yb x +
+
unde
( ) ( ) ( )
( )
!1n
1n
n += ( ) ( )[ ]b yb ,a xa f
yb x
xa x1 R ++
+
+
n = 0 formula lui Lagrange (a cre terilor finite), adic
f(x, y) f(a, b) = (x a)f' x( , ) + (y b)f' y( , )
(0, 1).
Observa ii. Dac n formula lui Taylor punem ob inem
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
65/222
67
) este un punct de maxim local (respectiv
minim local) dac exist o vecin tate V a lui (a, b) , astfel nctoricare ar fi (x, y) V are loc inegalitateaf(x, y) f (a, b)(respectiv
Aceste puncte se numesc de extrem local.
Teorem . Dac func ia f: A R 2 R are un extrem local ni l p punctului , b),
atunci derivatele par iale n acest punct sunt nule, adic f'x(a, b) = 0 i
Demonstra ie. Consider m funcia (x) = f(x, b). Deoarece
p xtrem e
extrem pentr emei lui Fermat f' x(a, b) = 0. n
mod asemntor considernd funcia (f) = f( a, y) se va obine x(a,b
Observa ie. Rec e nu este n general
x(a,b)=0 i f'y(a,b)=0nu rezult neaprat c (a, b) este un punct de extrem pentruf .
0 i f'y(a, b) = 0 se nume te punct sta ion
. Cele care nu
care s putem
Extremele func iilor de dou variabile
Fie f : A R2 R i (a, b) A.
Defini ie. Puntul (a, b
f (x, y) f(a, b)).
(a,b) i admite derivate par a e e o vecin tate a (a
f'y(a, b) = 0.
(a,b) este un unct de e pentru f(x, y) atunci x = a ste punct de
u (x) deci conform teor
f' )=0.iproca teoremei precedent
adevrat adic dac ntr-un punct(a, b) avemf'
Defini ie. Un punct(a, b) pentru caref'x(a, b) =ar.
Nu toate punctele sta ionare sunt puncte de extrem sunt puncte de extrem se numesc "puncte a".
Va trebui n continuare s gsim criterii prinseleciona punctele de extrem dintre cele staionare.
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
66/222
68
roblemelePuntele de extrem sunt foarte importante n peconomice deoarece ele reprezint n general un optim al problemei,obiectiv urmrit permanent de economiti.
S observm c din definiia puntelor de extrem rezult c diferena f = f(x, y) f(a, b) trebuia s admit un semn constant ntr-o vecintate orict de mic a punctului(a, b). Vom considera ncontinuare formula lui Taylor sub forma
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ++== y x f b y f a x1b ,a f y , x f f b ,a!1
( ) )( ) ([ ]( ) 3b ,a y
2 xy x
2 R f b y f b ya x f a x!2
122 ++++ ( )2
)i (y b) pot fi luate orict de
oilea
depinde de fapt de primul termen din formula lui Taylor, restul fiind
foarte mici n comparaie cu acesta, nu conteaz. Termenul ce conine
om studia n continuare semnul termenului aldoilea ce conine parantezele(x a) i (x b) la puterea a douai estevide
innd cont c diferenele (x a
mici dorim, rezult c semnul lui f sau al membrului al d
parantezele(x a) i (y b) la puterea ntia nu pstreaz semnconstant deci suntem obligai s punem condiiile f' x(a, b) = 0 i f' y(a,b) = 0 sistem care genereaz punctele staionare dup cum amar tat i mai sus. V
e nt o form biliniar . Pentru simplitate vom scrie acest termen subforma
( ) + +
= t sa x2r
b ya xb y
!21T
22
2 b y
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
67/222
69
b)2 i am utilizat notaiile luiAm dat factor comun pe(yMonge pentru derivatele de ordinul II
( ) ( ) ( ) t b ,a f , sb ,a f ,r b ,a f 22 y xy x ===
not zb ya x Mai m =
avem
( ) ( )!21 22
2
trinom de gradul doi n z. Apelm la cunotinele de
t sz2rzb yT ++=
un la liceu n
2
da r < 0
referitoare la separarea
Teorem . R 2 R ct sta ionar al su.
= s2 rt < 0 atunci (a, b) este un punct deextrem i anume:
legtur cu acest subiect.Se tie c T 2 are semn constant dac = s rt < 0 i anume
c r > 0 T 2 > 0 i decii f = f(x, y) f(a, b) > 0 dac
T 2 < 0 i f = f(x, y) f(a, b) < 0.
innd cont de definiia extremelor locale pentru maximiminim putem enuna urmtoarea regul punctelor staionare.
Fie f(x, y) o func ie definit pe A
derivabil par ial cel pu in de 3 ori i (a, b) un pun
1. Dac n punctul(a, b),
a) dac ( ) 0b ,a f r 2 >= atunci(a, b) este un punct de minim;
de maxim.
2. Dac n (a, b), > 0 atunci(a, b) nu este punct de extrem. Punctul(a, b) se nume te punct a.
b) dac r < 0 atunci(a, b) este un punct
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
68/222
70
iu su
Exemple 1. Un bazin are forma unui paralelipiped drept f r
(aria total fixat) s se proiecteze dimensiunile bazinului astfel nctcapacitateav a recipientului s fie maxim.
Rezolvare: Notm cu x i y dimensiunile bazei, z nlimea i a
aria total. Avema = xy + 2xz + 2yz, i volumul v = xyz. Funcia alcrei maxim n cutm este
3. Dac n (a, b), = 0 nu putem trage nici o concluzie asupra punctului (a,b). Situa ia acestuia se va l muri cu un stud
plimentar.
capac. Presupunnd c avem la dispoziie o cantitate de tabl dat
2
2
( )( ) y x2
xya xy y , xv =
Avem
2
+
( ) ( )2222
2
222
y x2 y xy2a xv
, x xy2a y
xv
=
=
y y x2 +
Rezolvnd sistemul 0 xv =
, 0
yv =
obinem soluia
3a y x == .
Calculm34
a s ,32
ar == i32
a z = .
Avem 016 a
12a
48art s 2222
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
69/222
71
Punctele staionare sunt soluiile sistemului
)
Calculm derivatele de ordinul al doilea. Avemr = 6x, s = 3, t = 6y
M nu este de extremi anume este puncta.
Pentru M (-1, -1) obinem = s rt = -27 < 0.
Rezult c punctul M (-1, -1) este punctul de extrem pentrufuncia dat i anume un maxim deoarece
( ) ( 1 ,1 M i0 ,0 M 0 x y
0 y x0 f 0 f
212
2
y
x =+=+
==
Pentru punctul M(0, 0) avem = s2 rt = 9 > 0.
Rezult c punctul 1
2 2
2
( )2 6 1 ,1 f r == .
care admite derivate par iale de
cesar ca diferena f = f(x1 , x2 , , xn ) = f(a1 , a2 , , an ) s
aib semn constant este ca prima parantez care conine diferen le(x-a) la puterea ntia s fie nul. Se obine sistemul cu derivatele
1 2 n 1 2 n
Extreme pentru func ii de mai multe variabile
Fie avem F : A Rn Rordinul doi ntr-o vecintate a punctuluia = (a1 , a2 , , an ) interior lui A. Condiiile de gsire a punctelor de extrem sunt analoage cu cele dela dou variabile. Ele se bazeaz evident tot pe formula lui Taylor. O
condiie ne
e
i i
par iale de ordinul nti: f (x , x , , x ) = 0, f (x , x , , x ) = 0, , f
1 x 2 x n x (x1 , x2 , , xn ) = 0
biliniar i are formacare rezolvat ne d puncte staionare.
Paranteza de ordinul doi este o form
( )( ) ( )=
=n
1 j ,in1 x x ji a ,...,a f x x x x
2
1 ji
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
70/222
72
ordinul doiSemnul acestei expresii este hotrt de unir de determinani
extrai din matricea ce conine toate derivatele par iale decalculate ntr-un punct staionar, numit matricea lui Hesse sau
"matrice hessian".
( )
2n3n2n1n
n3232313
x x x x x x x
x x x x x x xn21...............
f ... f f f a ,...,a ,a H
n232
2212
n1312121
x x x x x x x
x x x x x x x
f ... f f f
f ... f f f f ... f f f
=
Vom considera minorii (determinani extrai din matrice) care audiagonala principal suprapus pe cea a matricei hessienei ncep dincolul stnga sus
n x x x
x x x2 x1 f f
f f 2212
21212
1 ..., , , f
==
Vom avea urmtorul rezultat:
a) Dac to
= determinantul matricii.
i determinanii extrai 1 , 2 , ,n calculai ntr-un punct
staionar sunt pozitivi atunci forma biliniar se numete pozitiv
de
Da
se numete negativ definit, adic
f < 0i punctul staionar este un punct de maxim local.
Dac , 2 , ,n nu respect
cele dou reguli de mai sus atunci forma biliniar (ptratic) nu
este definit i (a1 , a2 , , an) A nu este punct de extrem.
finit i f este pozitiv adic punctul staionar este un punct de
minim.b) c determinanii extrai au semnele alternate, ncepnd cu
negativ, atunci forma biliniar
c) semnele determinanilor din irul 1
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
71/222
73
Observa ie. Evident cazul func iei de dou variabile sereg se te n cazul general. Prezentarea lui separat a fost f cut doar
etodei.
Exemplu: S se determine punctele de extrem ale funciei f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2x + 4y 6z
Avem f' x = 3x + 2, f' y = 2y + 4, f' z = 2z 6Sistemul
pentru n elegerea mai u oar a m
==+=+
06 z204 y202 x2
Exist un singur punct staionar M (-1, -2, 3).Calculm derivatele de ordinul doi.
0 f f f ,2 f f f yz xz xy z y x 222 ======
0028 ,4= ,2
2000 20 H 321 ==
14.
Ajustarea datelor numerice
Am vzut c majoritatea fenomenelor economice pot fi descrise
nu este cunoscut,
=
Rezult c punctul M(-1, -2, 3) este un punct de minim pentrufuncia dat iar valoarea acestui minim a lui f este f(-1, -2, 3)= -
din punct de vedere matematic ca o funcie de o variabil sau maimulte variabile. n general aceast funcieeconomistul avnd la dispoziie doar valori observate culese dinactivitatea practic cum ar fi cele din tabelul de mai jos:
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
72/222
74
x x1 x2 xnf(x) y1 y2 yn
Se pune problema gsirii unei funcii (trend) care s verifice
perechil enomenulstudiat. Exist desigur mai multe metode matematice care rezolv aceast problem, unele mai simple dar nu aa de precise, altele foarteelaborate.
distingem dou etape. n prima etap determinm clasa din care faceui). Acest lucru se realizeaz n general prin
ecti
Exemple: funcia liniat y = ax + b dep de dea i b, funcia parabolic y = ax2 + bx + c de trei parametrii, funcia exponenial
ace
se justarea liniar ).
dreapt putem lansa ipoteza c funcia cutat esteliniar adic de forma y = ax + b.
e de puncte(xi , yi ) i s se apropie ct mai mult de f
n rezolvarea acestei probleme prin metode mai simple
parte funcia (tipul trendulexperiena pe care o are economistul resp v din cercetri anterioare.Ca exemple uzuale de clase de funcii, amintim pe cele liniare, parabolice, logaritmice, exponeniale, etc. O astfel de funcie depindens de mai muli parametrii.
in
y = b a x dea i b etc.Etapa a doua presupune determinarea cu precizie ct mai mare a
stor parametrii.
Pentru nceput vom aminti o metod extrem de simpl dar careaplic doar la funcia liniar (adic doar pentru a
Este vorba de "metoda centrelor de greutate". Dac punctele ce suntimagini ale perechilor de numere din tabelul de mai sus se aeaz aproximativ n linie
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
73/222
yB
A
x
75
i B care conin r
cu media
Se mpart punctele n dou clase A respectiv n r puncte, apoi se calculeaz coordonatele punctelor cesunt "centre de greutate" pentru clasa A respectiv Baritmetic
+=+===
====n
1 r ii B
n
1r ii B
r
1ii A
r
1ii A y
1 y , x1 x , y1 y , x1 x
Dup obinerea coordonatelor punctelor A(x
r nr nr r
B , y A , y A ) i B(x B ) vom scrie ecuaia dreptei ce trece prin dou puncte
( ) A B
A B A
x x x x
y y y y
=
Observa ie. Ecua ia dreptei difer destul de pu in n func ie de
ai mici
tra
)
mpr irea punctelor n cele dou clase.O metod mai des utilizat este ns "metoda celor m
p te" conceput de Gauss n 1794 la vrsta de 17 ani.
Aceast metod const n determinarea parametrilorai ai funciei y = f(x, a1 , a2 , , a p ) astfel nct urmtoarea sum s fie minim.
( ) ([ ]=
=n
1k k
2 p21k k p21 wa ,...,a ,a , x f ya ,...,a ,aS
unde xk i yk sunt valorile determinate experimentali sunt prezentaten tabelul de mai sus. Expresiilew(xk ) sunt nite ponderii acord o
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
74/222
76
impo ecriter ncrederea ntr-o anumit aloa
sunt valori numerice date rezult c S(a1 , a2 , ,a p ) este de fapt o funcie de p variabile a1 , a2 , , a p. Pentrueterm
rtan mai mare sau mai mic diferitelor paranteze n funcie dii stabilite: precizia msur torilor,
v re etc.
Pentru c xk i yk
d inarea punctelor de minim local ale funciei S se determin mainti punctele staionare prin rezolvarea sistemului de ecuaiialgebrice:
0aS
..., ,0aS
,0aS
p21 =
=
=
Se poate ar ta c funcia S(a1 , a2 , , a p ) are un singur puncttaio
r considera toate
ie. Vom considera c funcia f(x) este de formab
mizat expresia
s nari acesta este un punct de minim local.Pentru simplificare, n cele ce urmeaz se vo
ponderilewk = 1.Aplica
Y = ax +n acest caz trebuie mini
( ) [ ]=
+=1
n
k
2aS
e conduce l l algebric
k k ybaxb ,
car a sistemu( ) ( )
( ) ( )=+=
=+=
=n
k k
n
1k k k k
0 ybax2b
b ,aS
0 x ybax2a
b ,aS
=1k
sau
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
75/222
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
76/222
78
Extensii ale no iunii de integral
La definirea integralei Riemann se preciza c intervalul de
rare. Dac aceste condiii nu suntndeplinite vom reui totui s definim alte tipuri de integrale numiteintegrale improprii.
Defini ie 1. Fie func ia f : [a, ]R integrabil Riemann pe, ] [a, ] i pentru care exist
integrare trebuie s fie mrginit iar funcia care se integreaz s fie
mrginit pe intervalul de integ
orice interval mrginit [
( )
adx x f lim i este finit , atunci aceast limit se nume te integral
tia a func iei f pe intervalul [a, +) i senoteaz
Observa ii. a) Dac limita de mai sus este infinit vom spune c integrala
im interes.
e integ De asemeni pot exista integrale improprii convergente (auva
toa
improprie de spe a n
( ) ( )
+
B
a Ba
dx x f limdx x f
proprie este divergent i nu prezint b) O defini ie analoag cu cea de mai sus se poate da i dac
intervalul d rare este nemrginit la stnga.
loare finit ) cu ambele limite infinite adic integrarea se face pe
t axa real ( )+
dx x f .
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
77/222
79
Defini ie 2. Fie acum func ia f : [a, b] R nemrginit ntr-ovecin tate a lui b dar mrginit i integrabil Riemann pe orice
subinterval nchis[a, ] [a, b]. Dac exist i este finit limita
( )
li t limit se nume te integral improprie de
sp este finit integrala se sp gent altfel se nume te divergent .
Punctul n care funcia de sub integral este nemrginit poate fiextremitatea din dreapta, sau extremitatea din stnga sau ambele. De
asemenea funcia f : [a, b] R poate fi nemrginit ntr-un punctc
din ). n acest caz integrala se
descompune n dou
e dou integrale improprii din membrul doi suntconvergente atuncii cea dat este de asemenea convergent.
portante pentru a putea defini dou tipuride aumu ii mai ales la calculul probabilitilor ce va fi studiatnt
ab
e a a doua a func iei f pe intervalul [a, b).Observa ie. Dac limita de mai sus
dx x f m atunci aceas
une c este conver
( )b
adx x f interiorul intervalului (a, b
integrale impropriii anume
( ) ( ) ( ) += dx x f dx x f dx x f b
c
c
a
b
a
Dac cel
Aceste integrale sunt im integrale numitei funcii ale lui Euler care la rndul lorltiple aplicar-un alt capitol.
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
78/222
80
c ia Beta) i deamma)
te func ie Gamma, func ia definit pentru
or
Func iile lui Euler de spe a ntia (Funspe a a doua (Func ia G
Defini ie. Se nume
ice a > 0 de rela ia
( )
=0
x1a dxe xa
atu mma este definit doar
ca itate rval de
int laritatei la captuldin nt est
Teorem . Integrala improprie care (a) este
convergent (are valoare finit ) pentru oricea > 0. ii
2)
3) n N
4)
Observa ie. Dac a 1 nci func ia Ga o integral avnd sigular n partea dreapt adic inte
egrare infinit. Pentru0 < a < 1 integrala improprie are sigu
stnga n sensul c n veci atea lui zero funcia de sub integrale nemrginit.
define te func ia
Propriet i. Funcia Gamma satisface urmtoarele rela
1) (1) = 1
(a + 1) = a (a) pentru oricea > 0
(n+1) = n! pentru
a sin (a) (1-a) = formula complementelor
5) 2
a > 0.
Observa ie. Proprietatea a doua rezult prin integrarea prin pr i, a treia prin recuren a dat de a doua. Proprietatea a cincea
(a) = 2 t 1a2 dt t
e0
-
8/12/2019 Mate Ma Plic
79/222
81
rez l schimbare de va