Matdas 5 - Relasi Dan Fungsi
-
Upload
ziauldaana -
Category
Documents
-
view
950 -
download
14
Transcript of Matdas 5 - Relasi Dan Fungsi
RELASI DAN FUNGSI
MATEMATIKA DASAR
2009/2010
RELASI
FUNGSI
RELASI PENGERTIAN
Relasi adalah suatu Hubungan determinatif yang mempunyai nilai benar atau salah.
Contoh:
relasi Kelipatan, relasi kurang dari, lebih dari, dll.
Jika terdapat suatu hubungan yang tidak dapat ditentukan kebenaranya berarti bukan suatu relasi.
Contoh:
“2 Mencintai 3” ( Kalimat yang tidak mempunyai kebenaran)
Relasi yang menyangkut dua anggota disebut RELASI BINER
Notasi:
aRb atau R(a,b) a dihubungkan dengan b oleh R atau a berelasi
dengan b
aRb atau a tidak dihubungkan dengan b oleh R
Contoh:
relasi Kelipatan R={(2,4),(3,6),(5,10),(2,10)}
RELASI
( , )a b R
Sehingga dalam relasi biner, terdapat istilah Domain (daerah asal), Codomain (Daerah
kawan), dan Range (Daerah Hasil).
RELASI
2
3
4
2
4
8
9
15
2
3
4
8
9
2
3
4
8
9
P Q A B
SIFAT RELASI BINER
RELASI
REFLEKSIF
SIMETRIS
TRANSITIF
EKUIVALEN
DEFINISIRelasi bersifat refleksif jika hanya jika setiap a dari
semesta S, berlaku a R a
Contoh:
Misalkan A={2,3,6,8},didefinisikan
Relasi “Habis membagi”, maka R={(2,2),(2,6),(2,8),(3,3),(3,6),(6,6),(8,8)}
RELASI REFLEKSIF
Suatu relasi disebut Non-Refleksif JHJ sekurang-kurangnya terdapat satu anggota a yang tidak dalam relasi R.Contoh:
Misalkan A={2,3,6,8},didefinisikan
Relasi “Habis membagi”, dengan didefinisikan R={(2,2),(2,6),(2,8),(3,3),(3,6),(6,6)}
RELASI REFLEKSIF
Suatu relasi disebut Irrefleksif JHJ setiap anggota a dalam semesta S tidak berelasi R.Contoh:
Misalkan A={2,3,6,8},didefinisikan
Relasi “>”, dengan didefinisikan R={(3,2),(6,2),(6,3),(8,2),(8,3),(8,6)}
RELASI REFLEKSIF
DEFINISI
Relasi bersifat simetris JHJ setiap a , b anggota semesta S berlaku a R b b R a
Contoh:
Relasi Kesejajaran garis. Jika garis a “sejajar” dengan garis b, maka garis b “sejajar”
dengan garis a.
RELASI SIMETRIS
Suatu relasi disebut Non-simetris JHJ sekurang-kurangnya terdapat satu pasang
(a,b) (a berbeda dengan b) dengan a R b dan b R a.
Contoh:
Misalkan A={2,3,6},didefinisikan
Relasi R={(2,2),(2,6),(3,3),(6,2),(6,6)}
RELASI SIMETRIS
Suatu relasi disebut A-simetris JHJ setiap a, b anggota semesta S berlaku a R b b R a.
Contoh:
Misalkan A={2,3,6},didefinisikan
Relasi “>” R={(3,2),(6,3),(6,2)}
RELASI SIMETRIS
Suatu relasi disebut Anti-simetris JHJ setiap a, b anggota semesta S berlaku a R b dan
b R a a=b.Contoh:
Relasi “himpunan bagian”
RELASI SIMETRIS
DEFINISIRelasi bersifat transitif JHJ setiap anggota
himpunan Semesta S berlaku a R b dan b R c, maka a R c.
Contoh:
Relasi “himpunan Bagian”, “habis membagi”
RELASI TRANSITIF
Relasi bersifat non-transitif JHJ terdapat sekurang-kurangnya terdapat anggota himpunan Semesta S
berlaku a R b dan b R c, tapi a R c.
Contoh:
Relasi R={(2,4),(4,8),(2,8),(2,6),(6,12),(2,12),(8,12)}
RELASI TRANSITIF
Relasi bersifat in-transitif JHJ untuk setiap anggota himpunan Semesta S berlaku a R b dan b R c, maka
a R c.
Contoh:
Relasi “ketegaklurusan garis”
RELASI TRANSITIF
DEFINISI
Relasi bersifat ekuivalen JHJ bersifat refleksif, simetris, dan transitif.
Contoh:
Relasi kekongruenan bilangan bulat, a kongruen b modulo m.
didefinisikan
RELASI EKUIVALEN
(mod ) ( 0, 1, 2,...)a b m jhj a b km k
FUNGSI PENGERTIAN
Fungsi merupakan kejadian khusus dari relasi.
Suatu fungsi f dari X ke Y ialah suatu aturan yang memasangkan setiap anggota dari X dengan
tunggal satu anggota dari Y
f: X Y
f memetakan X ke Y.
X disebut Domain (daerah asal)
Y disebut Codomain (daerah Kawan)
FUNGSI SURJEKTIF, INJEKTIF, DAN BIJEKTIF
Surjektif Fungsi f dikatakan dipetakan pada ( onto) atau surjektif
(surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.
Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f.
Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.
a 1
A B
2
3
b
c
d
Injektif Fungsi f dikatakan satu-ke-satu ( one-to-one) atau injektif
(injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama.
a 1
A B
2
3
4
5
b
c
d
Bijektif
Fungsi f dikatakan berkoresponden satu - -satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu - satu dan juga fungsi pada.
Contoh
Fungsi f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu -ke-satu, karena f adalah bijektif karena fungsi satu- -
satu maupun fungsi pada.
MENENTUKAN DOMAIN DAN RANGE
Daerah Asal (Domain) dan Daerah Hasil (Range)
Contoh:
Tentukan Domain dari fungsi berikut:
Domain
Range
f
f
D
R
21. ( ) 9
32. ( )
5
f x x
xf x
x
Penyelesaian
1.
2.Karena Fungsi tidak terdefinisi oleh penyebut 0, maka
29 0
(3 )(3 ) 0
3 3
{ | 3 3, }f
x
x x
x
D x x x R
{ | 5, }fD x x x R
Contoh
Tentukan Range fungsi berikut:
21. ( ) 2
22. ( )
1
f x x
f xx
Penyelesaian
1.Carilah Invers dari fungsi tersebut terlebih dahulu
2 2 inversnya adalah 2y x x y
2 0
2
{ | 2, }f
y
y
R y y y R
Penyelesaian
2.Carilah Invers dari fungsi tersebut terlebih dahulu
Karena Penyebutnya tidak boleh 0, maka
2 2inversnya adalah
1
yy x
x y
{ | 0, }fR y y y R
Latihan
Carilah Domain Fungsi berikut:
2
1. ( ) 2 5
62. ( )
9
53. ( )
13
4. ( )2
f x x
xf x
x
xf x
xx
f x x
Latihan
Carilah Range Fungsi berikut:
2
2
1. ( ) 2 5
1 22. ( )
1
53. ( )
1
f x x
xf x
x
xf x
x
FUNGSI KHUSUS
Fungsi Genap Fungsi Ganjil Fungsi Harga mutlak Fungsi Floor dan Ceiling
FUNGSI GENAP
DEFINISI
f(x) disebut fungsi genap jika f(-x)=f(x)
Ciri : Grafik Simetris terhadap sumbu y
Contoh:21. ( )
2. ( ) cos
3. ( ) , n genap
4. ( )
n
f x x
f x x
f x x
f x k
FUNGSI GANJIL
DEFINISI
f(x) disebut fungsi genap jika f(-x) = - f(x)
Ciri : Grafik simetris terhadap titik asal.
Contoh:
1. ( )
2. ( ) sin
3. ( ) , n ganjiln
f x x
f x x
f x x
FUNGSI HARGA MUTLAK
Definisi
Ciri: Grafik selalu diatas sumbu-x
, 0( )
, 0
x xf x x
x x
FUNGSI FLOOR DAN CEILING
Fungsi floor dari x:
x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
Fungsi ceiling dari x
x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x
Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas.
LatihanApakah fungsi berikut genap, ganjil atau tidak keduanya.2
2
2
4
3
1. ( ) 3 2 1
2. ( )1
3. ( ) 4
cos4. ( )
1
5. ( ) 2 3
6. ( ) 2 1
f x x x
xf x
x
f x x
xf x
x
f x x x
f x x
OPERASI PADA FUNGSI
.
1. ( )( ) ( ) ( )
Domain
2. ( . )( ) ( ). ( )
Domain
( )3. ( )
( )
Domain ( ) 0
f g f g
f g f g
f f gg
f g x f x g x
D D D
f g x f x g x
D D D
f f xx
g g x
D D D dan g x
contoh
2 2Jika ( ) 1 dan ( ) , tentukan masing-masing
rumus berikut beserta daerah asalnya.
1.
2.
3. .
f x x g xx
f g
f g
f g
Penyelesaian2 2
.
( ) 1, terdefinisi jika 1 0
{ | 1 atau 1 , }
2( ) , terdefinisi jika 0
{ | 0, }
Maka,
fg
f
g
f g f g
f g
f g f g
f x x f x
D x x x x R
g x g xx
D x x x R
D D D
D D D
D D D
Fungsi Komposisi
))(())(( xgfxgf
Komposisi dari dua buah fungsi. Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh
Domain fungsi komposisi
Contoh Carilah Domain dari fog, dengan fungsi f dan g adalah
sebagai berikut
1
2)(
2)( 3
xxg
xxf
Penyelesaian Cari fog
3
3
( ) ( ( ))
2( )
1
22
1
82
( 1)
fog x f g x
fx
x
x
{ | 1, }fogD x x x R
Operasi Fungsi secara Grafis
( )y f x k
( )y f x k
( )y f x
No Fungsi Baru Perubahan
1 Fungsi bergeser ke atas atau ke bawah sejauh k
2 Fungsi Bergeser ke kiri atau ke kanan sejauh k
3Bagian grafik yang berada di bawah sumbu x dicerminkan terhadap sumbu x
Contoh
Gambarlah Grafik
xyc
xyb
xya
xy
.
4.
4.
Fungsi Trigonometri
P(x,y)
αα’
(1,0)
:
cos
sin
sintan
cos1
cosec =sin
1sec =
cos1
cotan =tan
Definisi
x
y
y
x
2 2
2 2
2 2
sin cos 1
1 tan sec
cos sin cos 2
Koordinat Polar
Dalam Setiap bidang datar titik P dapat dinyatakan dalam pasangan terurut (r,α)
P
α
r
Hubungan Koordinat kartesius dengan Polar
2 2 2cos
sin
tan
x rr x y
y r
y
x
Contoh
Ubahlah ke bentuk Polar
Ubahlah ke bentuk Cartesian
4
1 cosr
2 2 2 2 2( )a y x a x
Penyelesaian
Cartesian Polar2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 4
4 4 2 2 2 2 2 2
4 4 2 2 2 2
2 2 2 24
2 2 4
( )
sin cos cos
cos cos sin
cos (cos sin )
1(cos sin )
cos
cos 2 sec
a y x a x
a r a r r
r a r a r
r a r
r a
r a
Polar Cartesian
Penyelesaian
2 2
22 2
2
4
1 cos( cos ) 4
( ) 4
4
4
8 16
r
r r
xr r
r
x y x
x y x
y x
Latihan
Ubah Ke bentuk Polar
2 2
4 4
3 2 2
1. 16
2. 2
3. 9 0
x y
x y xy
x xy y
Latihan
Ubah Ke bentuk Cartesian
1. 9sin tan
2. cos 2
3. (1 2cos 2 )
r
r a
r a