MATEMATIKA 1(07.07.2014 pismeni ispit)

1.a) Neka tocka A ne leži na pravcu koji prolazi tockama B i C (vidi sliku).Pokažite da je udaljenost tocke A od pravca jednaka:

h =|~a × ~b||~a|

, gdje je ~a =−−→BC, ~b =

−−→BA

b) Koristeci formulu a) odrediti udaljenost tocke A(1, 1, 1) od pravca kroz B(0, 6, 9) i C(−1, 4, 7).(10 bodova)

2. a) Napišite parametarsku jednadžbu pravca p koji je presjek ravnina π1 : x − y + 2z − 9 = 0 i π2 : x − y + z = 0.b) Odredite implicitnu jednadžbu ravnine koja sadrži pravac q : {x = −7− 2t, y = 6+ 3t, z = t} i koja zatvara kut od 30◦

s pravcem p (tj. vektor normale ravnine zaklapa kut od 60◦ s vektorom smjera pravca p).(15 bodova)

3. Zadan je sustav linearnih jednadžbi2x + 6y − z = 2

x + 2y − 4z = 0x + y + λz = −1

a) Svedite sustav na ešalonsku formu.b) Ima li sustav rješenje za λ = 2, te za λ = −15/2? Ako ima rješenje, napišite kako glasi.

(10 bodova)

4. a) U kojoj tocki krivulje y − 1 + 3x = 2ex tangenta je paralelna pravcu 3x − y = 5?b) Skicirajte krivulju i oba pravca.

(10 bodova)

5. Za funkciju y =

√x2 + 1x + 2

odredite:a) domenu i ponašanje funkcije na rubovima podrucja definicije,b) intervale rasta i pada i ekstreme.c) Skicirajte kvalitativan graf funkcije na osnovu a) i b) dijela zadatka.

(15 bodova)

6. a) Koristeci logaritamsko deriviranje odreditedydx

, ako je y =x3/4√

x2 + 1sin5(3x + 2)

.

b) Koristeci pravilo za deriviranje inverzne funkcije odrediteddx

(y−1), ako je y =sin x

3.

(10 bodova)

7. Zidni sat ima 12 cm dugu kazaljku koja pokazuje sekunde.a) Kolika je brzina u vrhu te kazaljke?b) Usporedite brzinu (intenzitete i smjer) vrha kazaljke dok prolazi preko 12 s onom u 9.c) Prikažite kako koordinate položaja vrha kazaljke ovise o vremenu i skicirajte putanju gibanja.

(10 bodova)

8. Spremnik za vodu ima oblik naopako okrenutog kružnog stošca radijusa baze 2 m i visine 4 m. Ako vodu pumpamo uspremnik brzinom 2 m3/min., odredite brzinu rasta razine vode (u m/min.) u trenutku kad je dubina vode 3 m.

(10 bodova)

9. Boca piva na sobnoj temperaturi 22◦C je stavljena u hladnjak gdje je temperatura 6◦C. Nakon pola sata boca piva ohladise na 16◦C.a) Kolika je temperatura boce piva nakon još pola sata?b) Koliko je vremena potrebno da se boca piva ohladi na 10◦C?

(10 bodova)