Mat z Derivacije
Transcript of Mat z Derivacije
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
1/56
RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKE
Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradivaza kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputamapredmetnog nastavnika dr. Josipa Matejas.
Zadatke je izabrala, pripremila i rijesila Ksenija Puksec
(demonstratorica iz matematike na EF).
Materijale je pregledala i recenzirala Martina Nakic(demonstratorica iz matematike na EF).
Tehnicku realizaciju materijala u programskom paketu LATEX napravio jeKresimir Bokulic (demonstrator iz racunarstva na PMF-MO).
1
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
2/56
DERIVACIJE
1. Ovisnost cijene p o vremenu t dana je sljedecom funkcijomp(t) = 2.45 120.06t + 2.86. Ispitajte dugorocno ponasanje cijene. (Uputa:treba racunati limes funkcije kada t ide u beskonacnost.)
Rjesenje:Napomena:
limx
ax = 0, a < 1
1, a = 1
, a > 1
limt+
2.45 (1
2)0.06t + 2.86
=
1
2
0.06+ 2.86 =
= 2.45
1
2
+ 2.86 = 2.45 0 + 2, 86 = 2.86
2. Ovisnost inflacije i o vremenu t dana je sljedecom funkcijomi(t) = 2.4e0.02t + 3.56. Ispitajte dugorocno ponasanje inflacije. (Uputa:treba racunati limes funkcije kada t ide u beskonacnost).
Rjesenje:
limt
(2.4e0.002t + 3.56) = 2.4e0.02 + 3.56 =
= 2.4e + 3.56 = 3.56
2
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
3/56
3. Nadite asimptote funkcije f(x) = 3x
+ x.
Rjesenje:
x = 0D = R\{0}
Pravac x=a je okomita asimptota ako vrijedi:
limxa f(x) = limx0
3x
+ x
= 3
0+ 0 =
x = 0 okomita asimptota.
Pravac y = b je vodoravna asimptota ako vrijedi:
limx
f(x) = b
limx
3x
+ x
=
3 + =
nema vodoravne asimptote.
Pravac y = kx + l je kosa asimptota ako vrijedi:
1. limx
f(x)
x= k
2. limx[f(x) kx]
limx
3x
+ x
x= lim
x
3+x2x
x= lim
x3 + x2
x2= LH = lim
x2x
2x= 1 = k
limx
3x
+ x 1x
= limx
3x
= 3 = 0 = l
3
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
4/56
y = kx + l
y = 1 x + 0y = x kosa asimptota
4
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
5/56
4. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = x3 + x + 215
Rjesenje:
f(x) = (x3) + (x) + (215)
f(x) = 3x31 + 1 + 0f(x) = 3x2 + 1
5. Nadi prvu derivaciju funkcije y = x2
x+1.
Rjesenje:
y =(x2)(x + 1) x2(x + 1)
(x + 1)2
y = 2x21 (x + 1) x2((x) + (1))(x + 1)2
y =2x (x + 1) x2 (1 + 0)
(x + 1)2
y =2x2 + 2x x2
(x + 1)2
y =x2 + 2x
(x + 1)2
5
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
6/56
6. Nadite prvu derivaciju funkcije y = (x + 1)ex
Rjesenje:
y = (x + 1)ex + (x + 1)(ex)
y = ((x) + (1))ex + (x + 1)ex
y = (1 + 0)ex + (x + 1)ex
y = ex + (x + 1)ex
y = ex(x + 2)
6
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
7/56
7. Nadi prvu derivaciju funkcije y =
x3
2
3
x2 + 3 3
x
2x
Rjesenje:
y = x3
2 2x23 + 3x13 2x1y = (x
3
2) (2x 23) + (3x 13) (2x1)
y =3
2x
3
21 2 (x 23) + 3 (x13) 2 (x1)
y =3
2
x1
2
2
2
3
x2
31 + 3
1
3
x1
31
2
(
1)x11
y =3
2x
1
2 43
x1
3 + x2
3 + 2x2
7
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
8/56
8. Nadi prvu derivaciju funkcije y = 3x
x
Rjesenje:
y =(3x) x 3x(x)
x2
y =3xln3 x 3x 1
x2
y =3x(xln3 1)
x2
8
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
9/56
9. Nadi prvu derivaciju funkcije y = b
1xa
, b
= 0, a > 0
Rjesenje:
y = bxa
y = (bxa)
y = b(xa)
y = b(a)xa1y =
abxa1
y = ab 1xa+1
y =abxa+1
9
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
10/56
10. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = (1 + x2)100.
Rjesenje:
f(x) = [(1 + x2)100]
f(x) = 100(1 + x2)99(1 + x2)
f(x) = 100(1 + x2)99 2xf(x) = 200x(1 + x2)99
11. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) =
1 3x4.Rjesenje:
f(x) =1
2
1 3x4 (1 3x4)
f(x) =1
21 3x4 (
12x3)
f(x) =6x31 3x4
10
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
11/56
12. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 3x2
.
Rjesenje:
f(x) = 3x2
ln3 (x2)f(x) = 3x
2
ln3 2x
13. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 41x3.
Rjesenje:
f(x) = 41x3ln4 (
1 x3)
f(x) = 41x3ln4 1
2
1
x3
(1 x3)
f(x) = 41x3ln4 1
2
1 x3 (3x2)
11
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
12/56
14. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = e
1xx+1 .
Rjesenje:
f(x) = e
1xx+1 (
1 xx + 1
)
f(x) = e
1xx+1 1
2
1xx+1
(1 xx + 1
)
f(x) = e1x
x+1
1
2
1xx+1
(1
x)
(x + 1)
(1
x)
(x + 1)
(x + 1)2
f(x) = e
1xx+1 1
2
1xx+1
2(x + 1)2
f(x) =e
1xx+1
1xx+1
(x + 1)2
f(x) = e
1xx+1
1 x (x + 1) 32
f(x) =e
1xx+1
1 x
(x + 1)3
f(x) =e
1xx+1
1 x (x + 1) x + 1
f(x) = e
1xx+1
(x + 1) (1 x)(x + 1)f(x) =
e
1xx+1
(x + 1) 1 x2
12
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
13/56
15. Koristeci definiciju derivacije, nadite derivaciju funkcije f(x) =
2x + 1 u
tocki x0 = 4.
Rjesenje:
f(x) = limh0
f(x + h) f(x)h
limh0
2(x + h) + 1 2x + 1
h
2(x + h) + 1 +
2x + 1
2(x + h) + 1 +
2x + 1
=
= limh0 2(x + h) + 1 (2x + 1)h(2x + 2h + 1 + 2x + 1) =
= limh0
2x + 2h + 1 2x 1h(
2x + 2h + 1 +
2x + 1)
=
= limh0
22x + 2h + 1 +
2x + 1
=
=2
2x + 2 0 + 1 + 2x + 1 =2
2
2x + 1=
12x + 1
f(4) =1
2 4 + 1 =1
9=
1
3
13
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
14/56
16. Odredite stotu derivaciju funkcije y = e2x.
Uputa: odredite prvih nekoliko derivacija te uocite pravilo za racunanjeslijedecih!
Rjesenje:
y = e2x (2x) = e2x 2 = 2e2xy = (2e2x) = 2 e2x (2) = (2)2e2x = 22 e2xy = ((2)2 e2x) = (2)2 e2x (2) = (2)3 e2x
y = (2)3
e2x
(2) = (2)4
e2x
= 24
e2x
...
y(100) = 2100 e2x
14
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
15/56
17. Za funkciju ukupnih troskova T(Q) = ln(3Q2) odredite pripadnu funkcijugranicnih troskova.
Rjesenje:
T(Q) =1
2
ln(3Q2) (ln(3Q2)) =
=1
2ln(3Q2) 1
3Q2 (3Q2) =
=1
2
ln(3Q2) 1
3Q2 6Q =
=1
Q
ln(3Q2)
15
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
16/56
18. Primjenom diferencijala priblizno izracunajte 1.00110.
Rjesenje:
Trazimo ono sto lako izracunamo, a da priblizno bude jednako.
110, bazu smo promijenili, ono sto smo promijenili oznacimo s x.
x = 1
x = 0.001 = dx
x + x = 1 + 0.001 = 1.001
y = x10
y = 10x9
y(x + x) y(x) + y(x) dxy(1 + 0.001) y(1) + y(1) dxy(1.001) 110 + 10 19 0.001
y(1.001) 1.01
16
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
17/56
19. Izracunajte prirast i diferencijal funkcije Q(L) =
L, te relativnu pogresku,
ako je L = 0, L = 0.001.
Rjesenje:
Prirast funkcije:
y = y(x + x) y(x)Q = Q(L + L) Q(L)
Q = Q(9.001) Q(9)Q =
9.001
9
Q = 0.000166662
Diferencijal funkcije:
dy = y(x) dxdL = L = 0.001
dQ = Q(L) dL = 12
L dL = 1
2
9 0.001
dQ = 0.000166667
Relativna pogreska:
y dyy
100
Q dQQ
100 = 0.000166662 0.0001666670.000166662
100 = 0.003000084%
17
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
18/56
20. Odredite jednadzbe tangente i normale na graf funkcije f(x) = 84+x2 u tocki
s apscisom 2.
Rjesenje:
t . . . y f(x0) = f(x0)(x x0), T(x0, f(x0))n . . . y f(x0) = 1
f(x0)(x x0), T(x0, f(x0))
T(x0, f(x0))
T(2, f(2)) = T(2, 1)
f(2) =8
4 + x2=
8
4 + 4= 1
f = (8
4 + x2) =
16x(4 + x2)2
f(2) =16 2(4 + 4)
2=
12
t . . . y 1 = 12
(x 2)
y 1 = 12
x + 1
y =12
x + 2
n . . . y = 2x + 2
18
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
19/56
21. Izracunaj:
limx1
x 2 xx 1
Rjesenje:
limx1
x 2 xx 1
=1 2 1
1 1=
0
0
= LH =
= limx1
(x 2 x)(x 1) =
= limx1
1 122x (2 x)
1=
= limx1
1 +
1
2
2 x
=
= 1 +1
22 1= 1 +
1
2=
3
2
19
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
20/56
22. Odredite podrucje rasta i pada funkcije f(x) =
3x4 + 6x2
15.
Rjesenje:
D = R
f(x) = 12x3 + 12x
12x3 + 12x = 0
12x(x2
1) = 0
12x = 0 x = 0x2 1 = 0
x = 1
x = 1
, 1 -1, 0 0, 1 1, +f(x) + - + -
Npr: ako za interval < , 1 > uzmemo tocku -2, tada jef(2) = 12 (2)3 + 12 (2) = 24.
Funkcija pada na < 1, 0 >i < 1, + >, a raste na < , 1 > i < 0, 1 >.
20
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
21/56
23. Odredite podrucja konveksnosti i konkavnosti funkcije y = xex.
Rjesenje:
D = R
y = ex + xex = ex(1 + x)y = ex(1 + x) + ex = ex(2 + x)
ex(2 + x) = 0x = 2
, 2 2, +y +
Funkcija je konkavna na , a konveksna na .
21
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
22/56
24. Odredite ekstreme funkcije f(x) = 6x4
8x3
10.
Rjesenje:
D = R
f(x) = 24x3 24x224x3 24x2 = 024x2(x 1) = 0
24x2 = 0 x = 0
x 1 = 0 x = 1
f(x) = 72x2 48xf(0) = 0
f(x) = 144x 48f(0) = 48
U x = 0 nema ekstrema.
f(1) = 72
12
48
1
f(1) = 24 > 0min(1, f(1))
f(1) = 6 14 8 13 10 = 12min(1, 12)
22
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
23/56
25. Izracunajte maksimum funkije dobiti ako je zadana funkcija ukupnih troskova
C(Q) = Q3 6Q2 + 140Q + 750 i funkcija ukupnih prihodaR(Q) = 7.5Q2 + 1400Q, gdje je Q kolicina proizvodnje.
Rjesenje:
D = Q [0, + >
D(Q) = R(Q) C(Q)D(Q) = 7.5Q
2
+ 1400Q (Q3
6Q2
+ 140Q + 750)D(Q) = Q3 1.5Q2 + 1260Q 750
D(Q) = 3Q2 3Q + 1260
Q1,2 =(3) (3)2 4 (3) 1260
2 (3)Q1 = 20
D(Q) = 6Q 3D(20) = 6 20 3 = 123 < 0
max(20, D(20))
D(20) = 15850
max(20, 15850)
23
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
24/56
26. Pronadite minimum funkcije prosjecnih troskova ako su ukupni troskovi
T(Q) = 4Q2 + 112Q + 100, gdje je Q kolicina proizvodnje.
Rjesenje:
D = Q [0, + >
A(Q) =T(Q)
Q=
4Q2 + 112Q + 100
Q
A(Q) = 4Q2
Q + 112QQ + 100Q
A(Q) = 4Q + 112 +100
Q
A(Q) = 4 100Q2
4 100Q2
= 0
Q = 5
A(Q) =200
Q3
A(5) =200
125> 0
min(5, A(5))
A(5) = 152
min(5, 152)
24
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
25/56
27. Zadana je funkcija prosjecnih prihoda AR(Q) =
Q+200, gdje je Q kolicina
proizvodnje.Izracunajte maksimum funkcije ukupnih prihoda.
Rjesenje:D = Q [0, + >
R(Q) = AR(Q) QR(Q) = (Q + 200) Q = Q2 + 200Q
R(Q) = 2Q + 2002Q + 200 = 0
Q = 100
R(Q) = 2 < 0R(100) = 10000
max(100, 10000)
25
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
26/56
28. Zadane su funkcije ukupnih prihoda i prosjecnih troskova
P(Q) = 460 3200Q , T(Q) = 2 + 100Q .Za koji opseg proizvodnje Q se ostvaruje najveca dobit i koliko ona iznosi?Koliki su tada ukupni prihodi i troskovi?
Rjesenje:
D(Q) = P(Q) T(Q)T(Q) = T(Q) Q
T(Q) = (2 + 100Q ) Q = 2Q + 100
D(Q) = 460 3200Q
(2Q + 100)
D(Q) = 360 3200Q
2Q
D(Q) =3200
Q2 2
3200
Q2 2 = 0 Q = 40
D(Q) =6400
Q3
D(40) = 0.1 < 0 max(40, D(40))D(40) = 200,max(40, 200)
P(40) = 380
T(40) = 180
26
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
27/56
29. Odredite domenu i tocke infleksije funkcije f(x) = 12x2 + lnx.
Rjesenje:
x > 0
D = x < 0, + >
f(x) = x +1
xf(x) = 1 1
x2
1 1x2
= 0 x1 = 1
f(x) = 2x3
f(1) = 2 13
= 2 = 0I(1, f(1))
f(1) =1
2 12 + ln1 = 1
2+ 0 =
1
2
I(1,1
2)
27
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
28/56
30. Zadana je funkcija troskova T(Q) = Q3
2Q, gdje je Q kolicina
proizvodnje. Izracunajte koeficijent elasticnosti troskova u odnosu na proizvod-nju na nivou proizvodnje Q=2. Interpretirajte rezultat.
Rjesenje:
ET,Q =Q
T T = Q
Q3 2Q (Q3 2Q) =
=
Q
Q3 2Q (3Q2
2) =Q
Q(Q2 2)(3Q2
2) ==
3Q2 2Q2 2
ET,Q(2) =3 22 2
22 2 = 5
Kada Q na nivou Q=2 povecamo za 1%, onda ce se T povecati za 5%.
28
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
29/56
31. Odredite podrucja elasticnosti i neelasticnosti funkcije potraznje
q(p) =9500
3p2 + 675
u odnosu na cijenu p.
Rjesenje:
D . . . 3p2
+ 675 = 03p2 = 675 uvijek
p 0q 0
Eq,p =p
q q = p9500
3p2+675
9500
3p2 + 675
=
6p23p2 + 675
|Eg,p
|=
|
6p2
3p2
+ 675 |=
6p2
3p2
+ 675
6p2
3p2 + 675> 1/ 3p2 + 675
6p2 > 3p2 + 675
3p2 > 675/ : 3
p2 > 225
p > 15
Pel =< 15, + >Pneel =< 0, 15 >
29
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
30/56
32. Ispitajte homogenost funkcije
f(x1, x2, x3) = x1 x2 lnx1+x2x2+x3 .Rjesenje:
f(x1, x2, x3) = x1 x2
lnx1 + x2x2 + x3
=
= 2x1
x3
ln(x1 + x2)
(x2 + x3)
=
= 2 x1 x3
lnx1 + x2x2 + x3
=
= 2 f(x1, x2, x3)Funkcija je homogena stupnja = 2.
30
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
31/56
33. Ispitajte homogenost funkcije f(x, y) =
x
y2.
Rjesenje:
f(x, y) =
x (y)2 =
x 2 y2 ==
5
2 x y2 = 52 f(x, y)
Funkcija je homogena stupnja = 52 .
31
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
32/56
34. Ispitajte homogenost funkcije
f(x, y) = log3x2 + 2y2
xy
Rjesenje:
f(x, y) = log3(x)2 + 2(y)2
xy
=
= log32x2 + 22y2
2xy=
= log2(3x2 + 2y2)
2xy= log
3x2 + 2y2
xy= f(x, y) =
= 0 f(x, y)
Funkcija je homogena stupnja = 0.
32
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
33/56
35. Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 3.6L1
2Ct, gdje
je L kolicina rada, a C kolicina kapitala. Odredite parametar t R takavda su u pitanju rastuci prinosi u proizvodnji.
Rjesenje:
Q(L, C) = 3.6(L)1
2(C)t = 3.61
2L1
2tCt =
= 1
2+t3.6L
1
2Ct = 1
2+tQ(LC)
1
2+ t > 1
t > 1 12
t >1
2
t < 12
, + >
Napomena:
> 1 prinosi su rastuci. = 1 prinosi su konstantni. < 1 prinosi su opadajuci.
33
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
34/56
36. Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 2.5LtC1
4 , gdje
je L kolicina rada, a C kolicina kapitala. Odredite parametar t R takavda su u pitanju opadajuci prinosi u proizvodnji.
Rjesenje:
Q(L, C) = 2.5(L)t(C)1
4 = 2.5tLt1
4C1
4 =
= t+1
42.5LtC1
4 = t+1
4Q(LC)
t + 14
< 1
t < 1 14
t
34
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
35/56
37. Kako se promijeni vrijednost funkcije
f(x,y,z,v) =
x
y + z + y
z + v
x + 2y + 3z + 4v
ako sve varijable istovremeno:a) povecamo 256 puta?b) smanjimo za 34.39%?
Rjesenje:a)
f(x,y,z,v) = f(x,y,z,v)
f(256x, 256y, 256z, 256v) = 256f(x,y,z,v)
f(x,y,z,v) =
x
y + z + y
z + v
x + 2y + 3z + 4v=
=xy + z + yz + v
(x + 2y + 3z + 4v) =32(xy + z + yz + v)
(x + 2y + 3z + 4v) =
= 1
4 f(x,y,z,v)
f(256x, 256y, 256z, 256v) = 2561
4f(x,y,z,v)
f(256x, 256y, 256z, 256v) = 4f(x,y,z,v)
Kada sve varijable istovremeno povecamo 256 puta tada ce se vrijednostfunkcije povecati 4 puta.
35
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
36/56
b)
x x 34.39100
x = x(1 0.3439) = 0.6561xf(0.6561x, 0.6561y, 0.6561z, 0.6561v) = 0.6561
1
4f(x,y,z,v)
f(0.6561x, 0.6561y, 0.6561z, 0.6561v) = 0.9f(x,y,z,v)
Ako sve varijable istovremeno smanjimo za neki postotak p tada ce se vri-jednost funkcije smanjiti za 100(1
)%.
100(1 )% = 100(1 0.9)% = 10%
Kada sve varijable istovremeno smanjimo za 34,39% tada ce se funkcijasmanjiti za 10%.
36
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
37/56
38. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = 3x2 + xy +
y.
Rjesenje:
fx = (3x2) + (xy) + (
y) =
= 3 (x2) + y (x) + 0 == 3 2x21 + y 1 = 6x + y
fy = (3x2) + (xy) + (
y) =
= 0 + x (y) + 12
y=
= x 1 + 12
y= x +
1
2
y
37
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
38/56
39. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x,y,z) = e2xz
ln(yz) + 1.
Rjesenje:
fx = e2xz (2xz) 0 + 0 =
= e2xz 2z (x) = e2xz 2z 1 = 2ze2xz
fy = 0 1yz
(yz) + 0 = 1yz
z (y) =
= 1yz
z = 1y
fz = e2xz (2xz) 1
yz (yz) + 0 =
= e2xz 2x (z) 1yz
y (z) =
= e2xz 2x 1 1yz
y 1 =
= 2xe2xz 1z
38
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
39/56
40. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije u(x, y) = 2xyx+y
.
Rjesenje:
ux =(2x y) (x + y) (2x y) (x + y)
(x + y)2=
=2(x + y) (2x y)
(x + y)2=
3y
(x + y)2
uy =(2x y) (x + y) (2x y) (x + y)
(x + y)2=
=1 (x + y) (2x y) 1
(x + y)2=
3x
(x + y)2
39
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
40/56
41. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = xy.
Rjesenje:
fx = yxy1
fy = xylnx
42. Nadi sve prve i druge parcijalne derivacije funkcije z(x, y) = y22x.
Rjesenje:
zx = y2 2x
ln2zy = 2
x 2y = y 2x+1
zxx = y2 ln2 2xln2 = y2(ln2)2 2x
zxy = 2xln2 2y = y 2x+1ln2
zyx = y 2x+1ln2 1 = y 2x+1ln2zyy = 2
x+1
1 = 2x+1
40
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
41/56
43. Za funkciju f(x,y,z) = z
yx izracunajte d
3fdxdydz
.
Rjesenje:
fz = yx 1 = yx
fzy = xyx1
fzyx = 1 yx1 + x yx1lny 1 == yx1 + x
yx1lny = yx1(1 + xlny) = fxyz
41
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
42/56
44. Izracunajte koeficijente parcijalne elasticnosti funkcije f(x, y) = x y2 u
odnosu na varijable x i y te interpretirajte rezultat na nivou x = 25, y = 3.
Rjesenje:
Ef,x =x
f fx = x
x y2 1
2
x y2 (1 0) =x
2(x y2)Ef,x(25, 3) =
25
2
(25
9)=
25
32
Kada x na nivou 25 (y ostaje konstantno) povecamo za 1% onda cefunkcijska vrijednost porasti za 2532%.
Ef,y =y
f fy = y
x y2
1
2
x y2 (0 2y) =
y2x y2
Ef,y(25, 3) = 9
25 9 = 9
16
Kada y na nivou 3 (x ostaje konstantno) povecamo za 1% onda ce funkcijskavrijednost pasti za 916%.
42
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
43/56
45. Zadana je funkcija potraznje robe A, q1(p1, p2) = 3p11 lnp2, gdje su p1
cijena robe A i p2 cijena robe B. Odredite koeficijente parcijalne i ukrsteneelasticnosti te interpretirajte dobivene rezultate.
Rjesenje:
Eg1,p1 =p1q1
q1p1 =p1
3p11 lnp2 3lnp2
p21= 1
Kada p1 povecamo za 1% (p2 ostaje konstantno) tada ce se q1 smanjiti za1%.
Eg1,p2 =p2q1
q1p2 =p2
3p11 lnp2 3p11
1
p2=
1
lnp2
Kada p2 povecamo za 1% (p1 ostaje konstantno) tada ce se q1 povecati za
1lnp2% jer je lnp2 > 0 zbog q1 > 0 pa su A i B supstituti.
43
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
44/56
46. Za funkciju
f(x,y,z) = 3
x4y5z2 , izracunajte xfx + yfy + zfz.
Rjesenje:
xfx + yfy + zfz = ff(x,y,z) = f(x,y,z)
f(x,y,z) =3(x)4(y)5
(z)2 =
34x45y52z2 =
39x4y52z2 =
=3
73
x4y5
z2=
7
3 f(x,y,z)
=7
3
xfx + yfy + zfz =7
3 3
x4y5
z2
44
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
45/56
47. Dana je funkcija proizvodnje Q(L, C) = 3.4L1
4C1
2 , gdje je L kolicina rada, a
C kolicina kapitala.Izracunajte zbroj parcijalnih elasticnosti funkcije proizvodnje u odnosu narad i kapital.
Rjesenje:
EQ,L + EQ,C =
Q(L,C) = 3.4(L)
1
4
(C)
1
2
= 3.4
1
4
L
1
4
1
2
C
1
2
=
1
4+1
23.4L1
4C1
2 = 3
4Q(L, C)
EQ,L + EQ,C =3
4
45
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
46/56
48. Dana je funkcija
f(x,y,z) = t+1
zx
y
1
z
1t+1
Odredite parametar t R, t = 1, tako da zbroj svih parcijalnih elasticnostidane funkcije bude jednak nuli.
Rjesenje:
Ef,y + Ef,y + Ef,z = = 0t R t.d. E f,y + Ef,y + Ef,z = 0
f(x,y,z) = f(x,y,z)
f(x,y,z) = t+1
zx
y
1
z
1t+1
=
=t+1
t+1zxy
(1)1
t+1
1
z
1
t+1
==
1
t+1 t+1
zx
y
1
t+1
1
z
1t+1
=
= 1
t+1
t+1
zx
y
1
z
1t+1
=
1
t+1f(x,y,z)
1
t + 1= 0
1 = 0
t R t.d. = 0(Ne postoji t R takav da je = 0)
46
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
47/56
49. Funkcija potraznje za proizvodom A homogena je stupnja 1.1, te ovisi o
cijeni proizvoda A i cijeni porizvoda B. Ako je koeficijent elasticnosti tefunkcije potraznje u odnosu na cijenu proizvoda A jednak -0.4, izracunajtevrijednost koeficijenta elasticnosti te iste funkcije potraznje u odnosu na ci-
jenu proizvoda B, te ga interpretirajte.
Rjesenje:
= 1.1
EfA,pA = 0.4EfA,pB =?
EfA,pA + EfA,pB =
0.4 + EfA,pB = 1.1EfA,pB = 1.1 + 0.4
EfA,pB = 1.5
Kada pB povecamo za 1% (pA ostaje konstantno) tada ce se fA povecati za1.5%.
47
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
48/56
50. Izracunajte ekstreme funkcije
f(x, y) = x2 4x + 2y2 8y
Rjesenje:
fx = 2x 4
2x 4 = 0x = 2
fy = 4y 84y 8 = 0
y = 2
D1 = fxxfxx = 2
D1 = 2 > 0
D2 = fxxfyy f xy2fyy = 4
fxy = 0
D2
= 2
4
02
D2 = 8 > 0
D1 > 0
D2 > 0
min(2, 2, f(2, 2))
f(2, 2) = 22 4 2 + 2 22 8 2 = 12min(2, 2, 12)
48
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
49/56
51. Izracunajte ekstreme funkcije
f(x, y) = ex2+y24x
Rjesenje:
fx = ex2+y24x (2x 4)
ex2+y2
4x
(2x 4) = 02x 4 = 0
x = 2
fy = ex2+y24x 2y
ex2+y24x 2y = 0
2y = 0
y = 0
D1 = fxx
fxx = ex2+y24x (2x 4)2 + ex2+y24x 2
fxx = ex2+y24x (2x 4)2 + 2
fxx = 2e4
D1 = 2e4 > 0
D2 = fxxfyy f2xyfyy = e
x2+y24x 4y2 + ex2+y24x 2fyy = e
x2+y24x(4y2 + 2)fyy = 2e
4
49
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
50/56
fxy = (2x
4)
ex
2+y24x
2y
fxy = 0
D2 = 2e4 2e4 02 = 4e8 > 0
D1 > 0
D2 > 0
min(2, 0, e4)
50
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
51/56
52. Zadana je funkcija ukupnih prihoda
P(Q1, Q2) = Q21 Q22 + 18Q1 + 14Q2 5 i ukupnih troskovaT(Q1, Q2) = 8Q1 + 8Q2 za dva proizvoda. Izracunajte maksimum funkcijedobiti.
Rjesenje:
D(Q1, Q2) = P(Q1, Q2) T(Q1, Q2)D(Q1, Q2) =
Q2
1 Q2
2
+ 10Q1 + 6Q2
5
DQ1 = 2Q1 + 102Q1 + 10 = 0
Q1 = 5
DQ2 = 2Q2 + 62Q2 + 6 = 0
Q2 = 3
D1 = DQ1Q1DQ1Q1 = 2
D1 = 2 < 0
D2 = DQ1Q1DQ2Q2 D2Q1Q2DQ2Q2 = 2DQ1Q2 = 0
D2 = 2 (2) 02 = 4 > 0
D1 < 0
D2 > 0
max(5, 3, 29)
51
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
52/56
53. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = x2
xy + x2, uz uvjet x
2y = 0.
Rjesenje:
f(x, y) = x2 xy + y2x 2y = 0
x = 2y
f(y) = (2y)2 2y y + y2f(y) = 4y2 2y2 + y2
f(y) = 3y2
f(y) = 6y6y = 0
y = 0 x = 2yx = 2 0 x = 0
f(y) = 6 > 0 min(x,y,f (x, y))min(0, 0, f(0, 0))
min(0, 0, 0)
52
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
53/56
54. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = x2
xy + y2, uz uvje x + y = 1.
Rjesenje:
x + y = 1
y = 1 xf(x) = x2 x (1 x) + (1 x)2f(x) = x2 x + x2 + 1 2x + x2
f(x) = 3x2 3x + 1f(x) = 6x 3
6x 3 = 06x = 3
x =1
2 y = 1 x
y = 1 12
=1
2
f(x) = 6 > 0 min(x,y,f (x, y))min
1
2,
1
2, f
1
2,
1
2
f
1
2,
1
2
=
1
2
2 1
2 1
2+
1
2
2=
1
4
f12
,1
2 = 1
4min
1
2,
1
2,
1
4
53
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
54/56
55. Odredite ekstreme funkcije
f(x, y) = x4 + y4, x > 0, y > 0 uz uvjet x2 + y2 = 8.
Rjesenje:
y2 = 8 x2f(x, y) = (x2)2 + (y2)2
f(x) = (x2)2 + (8 x2)2
f(x) = x4
+ 64 16x2
+ x4
f(x) = 2x4 16x2 + 64f(x) = 8x3 32x
8x3 32x = 08x(x2 4) = 0
8x = 0
x =0
x
2
4 = 0x = 2
x = 2y =
8 x2 = 8 4 =
4 = 2
f(x) = 24x2 32f(2) = 64 > 0
min(2, 2, 32)
54
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
55/56
56. Dane su funkcija ukupnih troskova T(L, C) = L + C i proizvodnje
Q(L, C) = LC, gdje je L kolicina rada, a C kolicina kapitala. Izracunajteminimum funkcije ukupnih troskova na nivou proizvodnje Q=4.
Rjesenje:
LC = 4/2
LC = 16/ : L
C = 16L
T(L) = L +16
L= L + 16L1
T(L) = 1 16L2
1 16L2
= 0/ L2
L2
16 = 0
L2 = 16
L1 = 4
L2 = 4C =
16
4= 4
T(L) = 32L3
T(4) = 0.5 > 0
min(4, 4, 8)
55
-
8/14/2019 Mat z Derivacije
56/56
57. Dana je funkcija ukupnih troskova T(L, C) = L2
LC + C2 i funkcija
proizvodnje Q(L, C) = LC, gdje je L rad, a C kapital. Nadite kombinacijurada i kapitala uz koju se na nivou proizvodnje Q = 1 ostvaruju minimalnitroskovi. Odredite minimalne troskove.
Rjesenje:
Q(L, C) = LC
LC = 1/ : LC =
1
L
T(L) = L2 L 1L
+
1
L
2= L2 1 + L2
T(L) = 2L 2L3
2L 2L3
= 0/ L3
2L
4
2 = 02L4 = 2
L = 1L 0L = 1
T(L) = 2 + 6L4
T(1) = 2 + 6
14 = 8 > 0min(1, 1, 1)