Mat Analiza 4 Zadaci - PMF NISH

7/25/2019 Mat Analiza 4 Zadaci - PMF NISH

1/32

Matematicka analiza 4zadaci za vezbu

Dragan S. Dordevic

21.3.2013.


2/32

2


3/32

Sadrzaj

1 Integrali 5

1.1 Dvostruki integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Trostruki integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Nesvojstveni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 n-tostruki integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Krivolinijski integrali 15

2.1 Krivolinijski integrali prvog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Krivolinijski integrali drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Grinova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Povrsinski integrali 21

3.1 Povrsinski integrali prvog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Povrsinski integrali drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Formule Gausa-Ostrogrdskog i Stoksa . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Parametarski integrali 25

4.1 Svojstveni parametarski integrali . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.1 Definicije i teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.2 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Nesvojstveni parametarski integrali . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Beta i Gama funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3


4/32

4 SADRZAJ


5/32

Glava 1

Integrali

1.1 Dvostruki integrali

Izracunati sledece dvostruke integrale:

1.1.1. I(a) =G

(x+y)adxdy, gde je skup G odreden nejednacinama:x >0, y >0, 0< a x+y 1. Zatim izracunati lim

a0I(a).

1.1.2. I(a) =G

dxdyx+y

, G je trougao ogranicen pravama x = 1, x = y,

x= y +a, 0< a


6/32

6 GLAVA 1. INTEGRALI

1.1.9. G

x+

ydxdy, G je ogranicen koordinatnim osama i krivom

x+ y= 1.1.1.10.

01,0y1

|x y|dxdy.

1.1.11.

x2+y2a2|xy|dxdy.

1.1.12.

|x|+|y|1(|x| + |y|)dxdy.

1.1.13. |x|1,0y2|y x2|dxdy.

1.1.14.

x2+y21

x+y2 x2 y2

dxdy.

1.1.15.

0x,0yx| cos(x+y)|dxdy.

1.1.16.

0x1,1y1x|y|dxdy.

1.1.17.

x2+y4

1,x

0,y

0

y3

1 x2 y4dxdy.

1.1.18.

x4+y41(x2 +y2)dxdy.

1.1.19.

x3+y31,y0x2y2

1 (x3 +y3)dxdy.

1.1.20. Ako je (x, y) f(x, y) neprekidna funkcija u nekom krugu oko tacke(0, 0), izracunati lim

012

x2+y22

f(x, y)dxdy.

Naci povrsine skupova u ravni, ogranicenih sledecim krivama koriscenjem

dvostrukih integrala:

1.1.21. xy= a2, x+y = 52

a, a >0.

1.1.22. y = x2, x= y2.

1.1.23. y = 3x

, x2 +y2 = 10.


7/32

1.1. DVOSTRUKI INTEGRALI 7

1.1.24. y= 2x x2, y = x2.1.1.25. (x2 +y2)2 = 2ax3.

1.1.26. (x2 +y2)3 =x4 +y4.

1.1.27. (x2 +y2)3 = 4x2y2.

1.1.28. (x2 +y2)2 = 2a2(x2 y2), x2 +y2 a2.1.1.29. (x2 +y2)5 =x2y2.

1.1.30. (x3 +y3)2 =x2 +y2, x 0, y 0.

1.1.31. (x2 +y2)2 = 8a2xy, (x a)2 + (y a)2 a2.1.1.32. x

2

a2+ y

2

b2 = x

h+ y

k.

1.1.33. x3

a3+ y

3

b3 = x

2

h2+ y

2

k2, x= 0, y = 0.

1.1.34.xa

+ yb

2= x

a y

a, y >0.

1.1.35.xa

+ yb

3= xy

c3 (povrsinu petlje).

1.1.36. x2

a2+ y

2

b2= xyc2.1.1.37.

x+

y =

a, x+y =a, a >0.

Naci zapreminu tela ogranicenog sledecim povrsima u prostoru, koriscenjemdvostrukih integrala:

1.1.38. Paraboloidomz=x2 + y2, koordinatnim ravnima i ravni x + y = 1.

1.1.39. Paraboloidomz=x2 + y2 i ravnimaz= 0,y = 1,y = 2x,y = 6x.Ravnimaz= 0, y+z= 2 i cilindrom y= x2.

1.1.40. Cilindrima y = x, y= 2x i ravnima z= 0, x+z= 6.1.1.41. Koordinatnim ravnima, ravni 2x 3y 12 = 0 i cilindromz= 1

2y2.

1.1.42. Povrsi z= cos x cos y i ravnima z= 0,|x+y| 2

,|x y| 2

.

1.1.43. Povrsima x2 +y2 = 2x, xy= z, z >0.


8/32


1.1.44. Paraboloidomz= 3 x2 y2 i ravni z= 0.1.1.45. Sferom x2 +y2 +z2 =R2 i cilindrom x2 +y2 =Rx, x2 +y2 Rx.1.1.46. Paraboloidom z= x2 +y2, cilindrima x2 +y2 = x, x2 +y2 = 2x iravniz= 0.

1.1.47. Paraboloidomx2 + y2 az= 0, cilindrom (x2 + y2)2 =a2(x2 y2) iravniz= 0, a >0.

1.1.48. Ravnima z= ax, z= 0 i cilindrom x2 +y2 = 2ax.

1.1.49. Cilindromx2 +y2 2x= 0 i povrsi z= x2y, z 0.1.1.50. Povrsima x2 +y2 +z2 = 3a2, x2 +y2 = 2az.

1.1.51. Povrsix2

a2+ y

2

b2

2+ z

2

c2 = 1.

1.1.52. Izracunati povrsinu dela cilindra z2 = 4x koji pripada prvom ok-tantu, a koji isecaju cilindar y2 = 4x i ravan x = 1, koriscenjem dvojnihintegrala.

1.1.53. Izracunati povrsinu dela paraboloida 2z=x2 + y2 koji iseca cilindarx2 +y2 = 1.

1.1.54. Izracunati povrsinu dela sfere x2 +y2 +z2 = a2 koji iseca cilindarx2 +y2 =b2, (b a).1.1.55. Naci povrsinu onog dela sfere x2 +y2 +z2 = R2 koji se projektujena ravan z= 0 van kruga x2 +y2 Rx= 0, x 0, y 0.1.1.56. Naci povrsinu dela paraboloida z2 = 2xy, z > 0, koji je ogranicenravnimax= 0, x= a, y= 0, y=b.

1.1.57. Izracunati povrsinu dela konusa z2 = x2 +y2, isecenog cilindrom

x2

+y2

= 2x.1.1.58. Naci povrsinu dela sfere x2 +y2 +z2 =a2 isecenog cilindrom (x2 +y2)2 =a2(x2 y2).1.1.59. Izracunati povrsinu onog dela povrsi z2 =x2 + 2y2 koji iseca cilindar(x2 +y2)2 = 2c2xy za x 0 i z 0.


9/32

1.2. TROSTRUKI INTEGRALI 9

1.2 Trostruki integrali

Izracunati sledece trostruke integrale

1.2.1.

G(1 x)yzdxdydz, G je ogranicen koordinatnim ravnima i ravni

z= 1 x y.1.2.2.

G

(x+y+z)dxdydz,Gje ogranicen koordinatnim ravnima i ravnimax= 1, y= 1, z= 1.

1.2.3.

G(x2 + y2 + z2)dxdydz,G je ogranicen povrsi 3(x2 + y2) + z2 = 3a2.

1.2.4. Gydxdydz, G je ogranicen povrsima y=

x2 +z2, y=h, h >0.

1.2.5.

Gy cos(z+x)dxdydz, Gje ogranicen cilindrom y=

x i ravnima

y = 0, z= 0, x+z= 2

.

1.2.6.

G

(x+y+z)2 9

5a2

dxdydz, Gje odreden nejednakostima x2 +y2 2az 0, x2 +y2 +z2 3a2, a >0.1.2.7. J(b) =

G

dxdydz(z+a)2x2y2 , G je ogranicen povrsima z =

12a

(x2 +y2),

z=b, a,b >0. naci limb

J(b).

1.2.8. Gdxdydz

(1+x+y+z)3,G je ogranicen koordinatnim ravnima i povrsix + y +

z= 1.

1.2.9.

G

x2 +y2dxdydz,Gje ogranicen ravniz= 1 i povrsi x2+y2 =z2.

1.2.10.

Gz ln(x2+y2+z2+1)dxdydz

x2+y2+z2+1 , Gje lopta x2 +y2 +z2 1.

1.2.11.

G(x2 +y2 +z2)dxdydz, G je ogranicen povrsima y2 +x2 = x2,

x2 +y2 +z2 =R2, x 0 (zajednicki deo).1.2.12.

G

xzdxdydzx2+y2R2 , G je ogranicen povrsima z

2 = h2

R2, z= h, x, y 0.

1.2.13.

G

dxdydz

x2+y2+(z2)2 , G je ogranicen sferom x2

+y2

+z2

= 1.

1.2.14.

Gdxdydz

x2+y2+(z2)2, G je ogranicen cilindrom x2 + y2 1, 1 z

1.

1.2.15.

G

x2 +y2 +z2dxdydz, G je ogranicen sferom x2 + y2 + z2 =z.


10/32


1.2.16. G(x2 +y2)dxdydz, G je ogranicen povrsima x2 +y2 = 2z, z= 2.

1.2.17.

x0,y1,z1,xyz1exyzx2ydxdydz, uvodeci smenu x = u, y = u+v

u , z =

u+v+wu+v

.

1.2.18.10

dx

1x2

1x2dy

a0

dz.

1.2.19.20

dx

2xx20

dya0

z

x2 +y2dz.

1.2.20.10

dx1x2

0

dy 1x2

y2

0

x2 +y2 +z2dz.

1.2.21.

a2x2+y2+z2R2,z0(x2 +y2)dxdy.

Izracunati zapreminu tela ogranicenog povrsima:

1.2.22. z=x2 +y2, z= 2x2 + 2y2, y = x, y= x2.

1.2.23. x2 +z2 =a2, x+y = a, x y= a.

1.2.24. z= 4 y2, z=y2 + 2, x= 1, x= 2.1.2.25. z= 0, x2 +y2 = 4az, x2 +y2 = 2cx.

1.2.26. z= ln(x+ 2), z= ln(6 x), x= 0, x+y = 0, x y = 2.1.2.27. (x 1)2 +y2 =z, 2x+z= 2.1.2.28. z= 6 x2 y2, z2 =x2 +y2.1.2.29. x2 +y2 +z2 = 4, x2 +y2 = 3z.

1.2.30.x2a2 +

y2

b22

+ z2

c2 = 1.

1.2.31. x2 +y2 +z2 =R2, x2 +y2 =R(R 2z).1.2.32. z=x2 +y2, z2 =xy.

1.2.33. 0 x 1, 0 y 1, x2 +y2 1, 0 z (x2 +y2)3.


11/32

1.2. TROSTRUKI INTEGRALI 11

1.2.34. x2 + y2 + z2 = 4Rz 3R2, z2 = 4(x2 + y2) (deo sfere u unutrasnjostikonusa).

1.2.35. x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2 = 1, x

2

a2+ y

2

b2 = z

c.

1.2.36. x2 +y2 +z2 = 2az, x2 +y2 z2.

1.2.37. (x2 +y2 +z2)2 =a2(x2 +y2 z2).

1.2.38. (x2 +y2 +z2)3 = 3xyz.

1.2.39. (x2 +y2 +z2)2 =a3x.

1.2.40. (x2 +y2 z2)3 =a3z4.

1.2.41. (x2 +y2 +z2)3 =a2y2z2.

1.2.42.x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2

2= x

h, h >0.

1.2.43. x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c22

=x.

1.2.44.x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2

2=xyz.

1.2.45.x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2

2= x

2

a2+ y

2

b2.

1.2.46.xa

+ yb+ z

c

2= z

d, x, y,z >0.

1.2.47. xa

+ yb+ z

c2

= xh

+ yk

, x, y,z >0.

1.2.48.xa

+ yb+ z

c

3= ln

xa+

yb+

zc

xa+

yb

, x, y,z >0.

1.2.49. x+y+z=a, x +y+z= 2a, x+y =z, y = x, y= 3x.


12/32


1.3 Nesvojstveni integrali

Ispitati konvergenciju nesvojstvenih integrala:

1.3.1.

x2+y21dxdy

(x2+y2)m, m R.

1.3.2.

x2+y21dxdy

(1x2y2)m , m R.

1.3.3.

x2+y21,x0,y0dxdy

(x+y)m, , , m R.

1.3.4.

|x|+|y|1dxdy

|x|+|y| , , R

.

1.3.5.

x+y1sinx siny(x+y)p

dxdy, p R.

1.3.6.

x0,y0,z0ex+y+zdxdydz.

1.3.7.

x0,y0,z0ex+y+zdxdydz.

1.3.8. x2+y2+z21

dxdydz(xyz)a

, a

R.

Izracunati sledece nesvojstvene integrale:

1.3.9.

R2

dxdy1+x2+y2

.

1.3.10.

yx2+1dxdyx4+y2

.

1.3.11.

R2

dxdy(1+x2+y2)3

.

1.3.12.

x0,y0dxdy

(a2+x2+y2)2 .

1.3.13.R2

e|x||y|dxdy.

1.3.14.

0xye(x+y)dxdy.


13/32

1.3. NESVOJSTVENI INTEGRALI 13

1.3.15. 0xyey

2

dxdy.

1.3.16.

0x y2

x sinyy2

eydxdy.

1.3.17.

x+y1,x>0,y>0arctg(x+y)(x2+y2)2

dxdy.

1.3.18.

x2+y21dxdy

(1x2y2)a , a R.

1.3.19.

R2e(x

2+y2) cos(x2 +y2)dxdy.

1.3.20.

R2e(x2

+y2

) sin(x2 +y2)dxdy.

Ako jeGkrugx2+y2 a2, ispitati koji od sledecih integrala konvergiraju:1.3.21.

G

ln

x2 +y2dxdy.

1.3.22.Gex

2y2

x2+y2 dxdy.

1.3.23.G

sin(x2+y2)(x2+y2)3

dxdy.

1.3.24. G

cos(x2+y2)

x2

+y2 dxdy.

Izracunati integrale

1.3.25.

x0,y0,z0dxdydz

(1+x+y+z)2.

1.3.26.

x0,y0,z0xydxdydz

(1+x2+y2+z2)3.

1.3.27.

R3ex

2y2z2dxdydz.

1.3.28. x2

+y2

+z2R2

ln(x2 +y2 +z2)dxdydz.

1.3.29.

0x,y,z1dxdydzxpyqzr

, p, q,r R.

Ako je G kugla x2 +y2 +z2 R2, ispitati koji od sledecih integralakonvergiraju:


14/32


1.3.30. Gdxdydz

(x2+y2+z2) ln 3x2+y2+z2

.

1.3.31.

G

lnx2+y2+z2

x2+y2+z2 dxdydz.

1.3.32.

Gxyz

(x2+y2+z2)3dxdydz.

1.4 n-tostruki integrali

Izracunati integrale:

1.4.1. Gdx1 dxn,G = {(x1, . . . , xn) :x1, . . . , xn> 0, x1 + + xn

1}.1.4.2.

G

x1dx1 dxn, G je kao u prethodnom primeru.1.4.3.

G

dx1 dxn, G= {(x1, . . . , xn) : |x1| + + |xn| a}.1.4.4.

G

(x21 + +x2n)dx1 dxn,G = {(x1, . . . , xn) : 0 x1, . . . , xn1}.1.4.5.

G

(x1x2+ x1x3+ xn1xn)dx1 dxn, G je kao u prethodnomprimeru.


15/32

Glava 2

Krivolinijski integrali

2.1 Krivolinijski integrali prvog reda

Izracunati krivolinijske integrale prvog reda:

2.1.1.

2yds, je luk parabole y2 = 2xod tacke (0, 0) do tacke (4,

8).

2.1.2.xyds, je prvi svod cikloide x= a(t sin t), y = a(1 cos t).

2.1.3. yexds, je deo krive x= ln(1 +t2), y = 2 arctg t t+ 3 izmedu

tacaka t= 0 i t= 1.

2.1.4.

x2 +y2ds, je kruznica x2 +y2 =ax.

2.1.5.

ds(x2+y2)3/2

, je deo hiperbolicke spirale; jednacina hiperbolicke spi-

rale u polarnom obliku je r = 1, od =

3 do = 2

2.

2.1.6.

(x2 +y2)ds, je kriva x = a(cos t+t sin t), y = a(1 cos t), 0t 2.

2.1.7.

x

yds, je deo logaritamske spirale; jednacina logaritamske spiraleu polarnom obliku je r = aek, k >0, koji se nalazi u krugu r= a.

2.1.8.

(x2 +y2 +z2)ds, je deo zavojnice x= a cos t, y =a sin t, z=bt,0 t 2.x2y2ds, je kruznica x2 +y2 +z2 =a2, x+y+z= 0.

15


16/32

16 GLAVA 2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI

2.1.9. (x+y+z)ds, je presek povrsi x2 +z2 =a2, y2 +z2 =a2.

Naci duzinu luka krive:

2.1.10. x= 3t, y= 3t2, z= 2t2, t >0, od tacke (0, 0, 0) do tacke (3, 3, 2).

2.1.11. x= et cos t, y = et sin t, z=et, 0< t < .

2.2 Krivolinijski integrali drugog reda

Izracunati krivolinijske integrale drugog reda (pozitivnu orijentaciju krive u

prostoru videti u predavanjima):

2.2.1.

(x2 +y2)dx+ (x2 2y2)dy, y je deo krive y = 1 |2 x| od tackex= 1 do x= 3.2.2.2.

x2ydx xy2dy, je pozitivno orijentisana kruznica x2 +y2 =R2.

2.2.3.

x1+y

dx+ y1+x

dy,je pozitivno orijentisana kriva |x1|+ |y1| = 1.

2.2.4.xy

x2

+y

dy x y2

dx

, je pozitivno orijentisana kruznica

x2 +y2 = 1.

2.2.5.ydx xdy, je deo cikloide x = a(t sin t), y = a(1 cos t) od

tacke (0, 0) do tacke (6, 0).

2.2.6.ydx+xdy, je petlja Dekartovog lista x = 3at

1+t3, y= 3at

2

1+t3.

2.2.7.x2dyy2dxx5/3+y5/3

, je deo asteroide x = a cos3 t,y =a sin3 tod tacke (a, 0)

do tacke (0, a).

2.2.8.zdx+xdy+ydz, je deo zavojnice x = a cos t, y= a sin t, z= at,

t

[0, 2].

2.2.9.

(y z)dx+ (z x)dy+ (x y)dz, je presek koordinatnih ravnisa ravni x+y+z= 1; je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo.

2.2.10.y2dx+ z2dy+ x2dz, je Vivijanijeva kriva: x2 +y2 +z2 = a2,

x2 +y2 =ax, a >0, z >0; je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo.


17/32

2.2. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI DRUGOG REDA 17

2.2.11. ydx +zdy+xdz, je kriva data kao presek povrsi x2 +y2 =r2 i

x2 =rz; je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo.

2.2.12.

(y2 + z2)dx + (z2 + x2)dy+ (x2 + y2)dz, je kriva data kao presek

povrsi x2 +y2 +z2 = R2 i x2 +y2 = 2ax, 0 < a < R; je orijentisanapozitivno posmatrana odozgo.

2.2.13.

(y z)dx + (z x)dy+ (x y)dz, je presek povrsi x2 + y2 =a2i xa

+ yb

= 1, a,h >0; je pozitivno orijentisana posmatrana odozgo.

2.2.14.

(4y2 + 2x2)dx + (z+ x)dy + ydz,je presek povrsi z= 4x2 y2,z= y2; je orijentisana pozitivno posmatrana odozgo. Naci funkciju kada

je dat njen diferencijal:

2.2.15. (ey +x)dx+ (xey 2y)dy.2.2.16. x+ay

x2+y2dx+ yax

x2+y2dy.

2.2.17. (2x cos y y2 sin x)dx+ (2y cos x x2 sin y)dy.

2.2.18. 2x(1ey)(1+x2)2

dx+ ey

1+x2+ 1

dy.

2.2.19. (2xyex2

y +y2exy2

+ 1)dx+ (x2ex2

y + 2xyexy2

2y)dy.2.2.20. (x2 2yz)dx+ (y2 2xz)dy+ (z2 2xy)dz.

2.2.21.

1 1y

+ yz

dx+

xz

+ xyz2

dy xy

z2dz.

2.2.22. (2xyz+ ln y)dx+

x2y+ xy

dy+ (x2y 2z)dz.

2.2.23. dx3dyz

+ 3yx+z3

z2 dz.

2.2.24. ey

xdx+e

yx

(x+1)z +zeyz

dy+ e

yx

(x+1)z2 +yeyz +ez

dz.

Integraliti sledece diferencijale:

2.2.25.xdy + ydx, je deo krivex6 + x17 2x12 = 0 izmedu tacaka (0, 0)

i (1, 1).


18/32


2.2.26. (x y)(dx dy), je proizvoljna kriva koja spaja tacke (1, 1) i

(1, 1).

2.2.27.cos ydx x sin ydy,je proizvoljna kriva koja spaja tacke (0, n/2)

i (n/2, 0).

2.2.28.ex(cos ydx sin ydy), je proizvoljna kriva koja spa ja tacke (0, 0)

i (a, b).

2.3 Grinova formula

Koristeci Grinovu formulu izracunati krivolinijske integrale drugog reda:

2.3.1.xy2dy x2ydx, je pozitivno orijentisana kruznica x2 +y2 =a2.

2.3.2.

(x + y)dx (x y)dy,je pozitivno orijentisana elipsa x2a2

+ y2

b2 = 1.

2.3.3.

(xy + x + y)dx + (xy + x y)dy,je pozitivno orijentisana kruznicax2 +y2 =ax.

2.3.4.xdyydxx2+y2

,je pozitivno orijentisana kruznica x2+y22x2y+1 = 0.2.3.5.

(e

x

sin y my)dx+ (ex

cos y m)dy, ako je gornji deo krunicex2 +y2 =ax od tacke (a, 0) do tacke (0, 0).Koristeci krivolinijske integrale, izracunati povrsine ogranicene krivama:

2.3.6. x= a cos3 t, y= a sin3 t, 0 t 2.2.3.7. (x2 +y2)2 = 2a2(x2 +y2).

2.3.8. x3 +y3 = 3axy (Dekartov list).

2.3.9. x= 2a cos t a cos2t, y= 2a sin t a sin2t, 0 t 2.

2.3.10. (x+y)2 =ax, y= 0, a >0.

2.3.11. (x+y)3 =xy.

2.3.12. x3 +y3 =x3 +y2, x= 0, y= 0.

Koristeci krivolinijske integrale izracunati povrsinu sledecih povrsi:


19/32

2.3. GRINOVA FORMULA 19

2.3.13. omotac cilindra x2 +y2 = 4 izmedu ravni z=y i z= 3y.

2.3.14. omotaca cilindra x2 +y2 =R2 izmedu ravni z= 1 i z= 2y.2.3.15. omotaca cilindra x2 +y2 ax = 0 koji se nalazi unutar sfere x2 +y2 +z2 =a2.


20/32



21/32

Glava 3

Povrsinski integrali

3.1 Povrsinski integrali prvog reda

Izracunati sledece povrsinske integrale prvog reda:

3.1.1.S

(3x+ 4y+ 2z)dS, S je deo ravni 2x+ 3y+ 4z= 5 koji pripadaprvom oktantu.

3.1.2.S

dS(1+x+y)2

,Sje deo ravnix +y +3z= 1 koji pripada prvom oktantu.

3.1.3. S(y2 +z2)dS, S je sfera x2 +y2 +z2 =R2.3.1.4.

S

dSx2+y2+z2

, S je deo cilindra x2 +y2 =R2 ogranicen koordinatnimravnima i ravni z= h.

3.1.5.S

(x + y+

a2 z2)dS, Sje deo cilindra y2 + z2 =a2 izmedu ravnix= 0 i x= h.

3.1.6.S

x(y2 +z2)dS, Sje povrs data jednacinom x=

4 y2 z2.3.1.7.

S

dS(1+z)2

, S je deo sfere x2 +y2 +z2 =a2, z 0.3.1.8. S

dS1+z

, S je deo sfere x2 +y2 +z2 =a2, z 0.3.1.9.

S

dSx2+y2+z2

,Sje deo cilindra x2 + y2 + z2 =R2 ogranicen ravnima

z= 0 i z= h.

3.1.10.S

dSx2+y2+z2

,Sje deo povrsi z= xy ogranicen cilindrom x2 + y2 =

R2.

21


22/32

22 GLAVA 3. POVRSINSKI INTEGRALI

3.1.11. SR2 x2 y2 z2dS, ako je Spovrs kruga, datog kao presek

povrsi x2

+y2

+z2

=R2

i ax+by+cz=d.

3.1.12.S

(xy+ yz+ zx)dS, S je deo povrsi z=

x2 +y2 ogranicen cilin-drom x2 +y2 = 2ax.

3.2 Povrsinski integrali drugog reda

Izracunati povrsinske integrale drugog reda:

3.2.1.S

z dxdy +xdxdz+ydydz, S je gornji deo ravni x y +z = 1ogranicen koordinatnim ravnima.

3.2.2.S

xyzdxdy, S je spoljna strana sfere x2 +y2 +z2 = 1, x, y 0.

3.2.3.S

4

x2 +y2dxdy, S je donja strana kruga x2 +y2 a2, z= 0.

3.2.4.S

dxdy+ ydxdz x2zdydz, Sje spoljna strana dela elipsoida 4x2 +y2 + 4z2 = 4 koji pripada drugom oktantu.

3.2.5.S

ydxdz, Sje unutrasnja strana tetraedra odredenog koordinatnimravnima i ravni x+y+z= 1.

3.2.6.S

x2dydz+y2dzdx+z2dxdy,Sje spoljna strana sferex2+y2+z2 =R2

koja pripada prvom oktantu.

3.2.7.S

(y z)dydz+ (zx)dxdz+ (xy)dxdy,Sje spoljna strana povrsix2 +y2 =z2, 0 z a.

3.2.8.S

1

xdydz+1

ydxdz+1

zdxdy,Sje spoljna strana elipsoida x2

a2+

y2

b2+z2

c2 =1.

3.2.9.S

yzdxdy+ xzdydz+xydxdz, S je spoljna strana povrsi odredenepovrsima x2 +y2 =R2, x= 0, y= 0, z= 0, z=a, R,a >0.


23/32

3.3. FORMULE GAUSA-OSTROGRDSKOG I STOKSA 23

3.3 Formule Gausa-Ostrogrdskog i Stoksa

Koristeci formulu Gaus-Ostrogradskog izracunati integrale:

3.3.1.S

(x3 cos + y3 cos +z3 cos )dS,Sje spoljna strana sferex2 +y2 +z2 =R2, a cos , cos , cos kosinusi pravca njene spoljne normale.

3.3.2.S

[(zn yn)cos + (xn zn)cos + (yn xn)cos ] dS,Sje kao uprethodnom primeru, z 0.3.3.3.

S

xdydz+ydzdx+ zdxdy, S je definisana jednacinama x = (a+b cos )cos , y = (a+b cos )sin , z= b sin , 0 , 2, a b 0.

3.3.4.Sx2dydz+ y2dzdx + z2dxdy,Sje spoljna strana omotaca tela, koje

je u zajednickom unutrasnjem delu povrsi x2 +y2 +y2 = 1 i z2 = x2

x2+y2.

3.3.5.S

(x2 cos + y2 cos +z2 cos )dS, S je deo povrsi x2 +y2 = z2

ogranicene sa 0 z h.

Koristeci Stoksovu formulu izracunati krivolinijske integrale:

3.3.6.y

(1 x2 z2)3dx+xy3dy +sin zdz,je kriva dobijena presekomelipsoida 4x2 +y2 + 4z2 = 4 i kordinatnim ravnima, a nalazi se u prvomoktantu.

3.3.7.ydx+ x2dy + zdz, je presecna kriva povrsi x

2

a2 + y

2

b2 + z

2

c2 = 1 i

x2

a2+ y

2

b2 = z

c, c >0.

3.3.8.ydx+zdy +xdz,je kruznica data presekom povrsix2+y2+z2 =a2

i x+y+z= 0.

3.3.9.

(y z)dx+ (z x)dy+ (x y)dz, je deo elipse koja je data kaopresek povrsi x2 +y2 = a2 i x

a+ z

b = 1, a,b > 0; je orijentisana pozitivno

posmatrano iz pozitivnog smera x-ose.

3.3.10.e

xdx+ z(x2 +y2)3/2dy + yz3dz, je odredena presekom povrsi

z=

x2 +y2 i ravni x= 0, x= 2, y= 0, y = 1.

3.3.11.

(y2 + z2)dx + (z2 + x2)dy+ (x2 + y2)dz, je kriva data kao presek

povrsi x2 +y2 +z2 = 2ax, x2 +y2 = 2bx, z 0.


24/32

24 GLAVA 3. POVRSINSKI INTEGRALI


25/32

Glava 4

Parametarski integrali

4.1 Svojstveni parametarski integrali

4.1.1 Definicije i teoreme

Neka je data funkcija f : [a, b] R. Funkcija gornje granice integraladefin-isana je na sledeci nacin:

F(x) =

x

a

f(t)dt,

za one vrednosti x [a, b] za koje postoji prethodni integral.Teorema 4.1.1. (1) Ako je funkcijaf integrabilna na[a, b], onda je funkcijaF neprekidna na [a, b].

(2) Ako je funkcijaf neprekidna na [a, b], onda je funkcijaF diferenci-jabilna na [a, b] iF(x) =f(x) za svako x [a, b].Definicija 4.1.1. Neka je X Rn merljiv skup, neka je Y Rm, i neka jef :X Y R Pretpostavimo da za svako y Y postoji integral

F(y) F(y1, . . . , ym) =

X

f(x, y)dx

X

f(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym)dx1 dxn.

(4.1)Tada (4.1) jeste svojsvteni parametarski integral, pri cemu je parametar y Y.

25


26/32

26 GLAVA 4. PARAMETARSKI INTEGRALI

Definicija 4.1.2. Funkcija f(x, y) ravnomerno konvergira ka funkciji(x)

na skupuX (ili pox X) kada y y0, ako:

( >0)( >0)(x X)(y Y)(y y0 < = |f(x, y) (x)| < .

Oznaka je f(x, y)xX (x), y y0.

Teorema 4.1.2. Neka jeX Rn merljiv skup, Y Rm, i neka je funkcijaf :X Y takva, da za svako y Y postoji integral

X

f(x, y)dx. Neka jey0

tacka nagomilavanja skupaY. Ako funkcijaf(x, y) ravnomerno konvergiraka funkciji(x) po x

X kada y

y

0, tada je(x) integrabilna funkcija

na skupuX i vazi

limyy0

X

f(x, y)dx=

X

limyy0

f(x, y)dx=

X

(x)dx.

Teorema 4.1.3. Neka jeX Rn kompaktan i merljiv, i neka jeY Rmkompaktan skup. Ako je funkcija (x, y) f(x, y) neprekidna na X Y,tada funkcijaFpostoji i ona je ravnomerno neprekidna naY.

Teorema 4.1.4. Ako je funkcijaf(x, y) neprekidna na skupuK=X Y,gde suX

Rn iY

Rm merljivi i kompaktni skupovi, onda je

Y

dy

X

f(x, y)dx=

X

dx

Y

f(x, y)dy.

Dokaz. Pod uslovima teoreme, skup K je merljiv i kompaktan u Rn+m.Prema Fubinijevoj teoremi, oba posmatrana integrala su jednaka integraluK

f(x, y)dxdy.

Teorema 4.1.5. Neka jeXmerljiv kompakt uRn, neka jeY = [c, d] R, ineka je data neprekidna funkcijaf :X

Y

R, tako da je parcijalni izvod

f(x,y)y neprekidan na skupuK=XY. Tada je funkcijaF(y) =

Xf(x, y)dx

neprekidno diferencijabilna po y [c, d], i pri tome je

F(y) = d

dy

X

f(x, y)dx=

X

f(x, y)

y dx, y [c, d].


27/32

4.1. SVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI 27

Teorema 4.1.6. Neka suf(x, y)i f(x,y)y

neprekidne funkcije na skupu[a, b][c, d]. Neka su(y) i(y) diferencijabine funkcije na[c, d]. Tada je funkcija

F(y) =

(y)

(y)

f(x, y)dx

diferencijabilna na [c, d] i pri tome vazi formula

F(y) =

(y)

(y)

f(x, y)

y dx+(y)f((y), y) (y)f((y), y).

Specijalno, ako su i neprekidno diferencijabilne, onda je iF neprekidnodiferencijabilna.

4.1.2 Zadaci

Naci sledece granicne vrednosti:

4.1.1. limm0

1+mm

dx1+x2+m2

.

Resenje. Neka je m (0, 1) i I(m) =1+mm

dx1+x2+m2 . Tada je

1+mm

dx

1 +x2 +m2 =

10

dx

1 +x2 +m2

m0

dx

1 +x2 +m2+

1+m1

dx

1 +x2 +m2.

Ako je x [0, 1], tada je

1

1 +x2 +m2 1

1 +x2

= m2

(1 +x2 +m2)(1 +x2) m2.

Stoga je 11+x2+m2

x[0,1]

11+x2

kada m 0+. Prema Teoremi 4.1.2 sledi

limm0+

10

dx

1 +x2 +m2 =

10

dx

1 +x2 =

4.


28/32


Ako je x [0, m], tada je 0 11+x2+m2

11+x2

, te je

0 m0

dx

1 +x2 +m2

m0

dx

1 +x2= arctg m 0, m 0 +.

Ako je x [1, 1 +m], tada je takode 0 11+x2+m2

11+x2

, i sledi

0 1+m1

dx

1 +x2 +m2

1+m1

dx

1 +x2= arctg(1 +m)

4 0, m 0 +.

Dakle, limm0+

I(m) = 4

. Analogno, limm0

I(m) = 4

.

4.1.2. limm0

20

x2 cos mxdx.

Resenje. Iskoristimo Tejlorovu formulu za funkciju t cos t. Postoji kon-stantaC >0, tako da za svakot vazi | cos t1| Ct2. Ako jex [0, 2], tadaza svakomvazi |x2 cos mxx2| Cm2x4 16Cm2. Stoga jex2 cos mx

x[0,2]

x2 kada m 0. Na osnovu Teoreme 4.1.2 sledi

limm0

2

0

x2 cos mxdx=

2

0

x2dx=8

3.

4.1.3. limm1

11

x2 +m2 dx.

Resenje.Za x [1, 1] vazix2 +m2 x2 + 1

= m2 1x2 +m2 +

x2 + 1

|m2 1|.

Stoga je x2 +m2 x[1,1] x2 + 1 kada m 1. Na osnovu Teoreme 4.1.2proizilazi

limm1

11

x2 +m2 dx=

11

x2 + 1 dx= 2

10

x2 + 1 dx.


29/32

4.2. NESVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI 29

Poslednja jednakost proizilazi iz cinjenice da jex x2 + 1 parna funkcija.Neka je I =

10

x2 + 1 dx. Posmatrajmo funkcije x = ch t = et+et2 ,z= sh t = e

tet2

. Jednostavno je proveriti ch t = sh t, sh t = ch t, ch2 t sh2 t = 1. Ako je t < 0, onda je et < et, te je t sh t = ch t < 0. Stogaje funkcijax = ch tstrogo opada juca funkcija, ondosno x = ch tje dopustivasmena u integralu I. Tada je dx= sh t. Tako dj e, x0+ ako i samo akot , kao i x 1 ako i samo ako t 0. Stoga je

I=

0

infty

sh2 t dt

4.1.4. limm+

10

dx1+(1+x/m)m

.

4.1.5. limm0

10

xm2

ex2/m2 dx.

4.2 Nesvojstveni parametarski integrali

Izracunati integrale:

4.2.1. I(m) =cosmsinm

em1x2dx.

4.2.2. I(m) =m

ln(1+mx)

x dx.

4.2.3. I(m) =b+m

a+m

sinmxx

dx.

4.2.4. I(m) =10

arctg xm

dx.

4.2.5. I(m) =m0

ln(1+mx)1+x2

dx.


30/32


4.2.6. I(m) =1

0

ln(x2 +m2)dx, m >0.

4.2.7. I(m) =0

ln(1 2m cos x+m2)dx, I(0) = 0.

4.2.8. I(m) =/20

arctg(m tgx)tg x

dx.

4.2.9. I(m) =/20

ln(1+m cosx)cosx

dx.

4.2.10. I(m) =

10

xm(ln x)kdx, m > 1.

4.2.11. I(m) =b0

dx(m2+x2)2

.

4.2.12. I(m) =/20

ln(sin2 x+m2 cos2 x)dx, m >0.

4.2.13.10

ln(1+x)1+x2

dx.

4.2.14./20

dx(a2 cos2 x+b2 sin2 x)2

.

4.2.15.10

arctgxdx

x1x2, koristeci formulu

arctgxx

=10

dy1+x2y2

.

4.2.16. I(a, b) =10

xbxalnx

dx, a,b >0.

4.2.17.1

0

sin ln 1x

xbxalnx

dx, a,b >0.

4.2.18.10

cos x

ln 1x

xbxa

lnx dx, a,b >0.

4.2.19.10

dxdc

xydy.


31/32

4.2. NESVOJSTVENI PARAMETARSKI INTEGRALI 31

4.2.20.1

0

dx 1

0y2x2

(x2+y2)2dy.

4.2.21.10

dy10

yx(x+y)2

dx.

4.2.22./20

ln a+b sinxab sinx

dxsinx

, a > b >0.

4.2.23. Dati su potpuni elipticki integrali

E(k) =

/20

1 k2 sin2 d i F(k) =

/20

d

1 k

2

sin2

.

(1) Odrediti prvi i drugi izvod ovih integrala i izraziti izvode preko E(k)i F(k).

(2) Pokazati da E(k) zadovoljava diferencijalnu jednacinu

E(k) +1

kE(k) +

1

1 k2E(k) = 0.

(3) Dokazati formulu t0

F(k)k dk= E(y) (1 t2)F(t).

(4) Dokazati formulu t0

E(k)k dk=1

3

(1 +t2)E(t) (1 t2)2F(t) .

4.2.24. Data je Beselova funkcija celobrojnog indeksa n:

In(x) = 1

0

cos(n x sin )d.

(1) Dokazati da vazi

x2In

(x) +xIn

(x) + (x2

n2)I

n(x) = 0.

(2) Proveriti formulu t0

xI0(x)dx= tI1(t).

Izracunati integrale


32/32


4.2.25.+

0

ln(a2+x2)1+x2

dx.

4.2.26.+0

xex2/2 sin axdx.

4.2.27.+0

x2ex2/2 cos axdx.

4.2.28.10

dy1+x2y2

.

4.2.29.1

0

arctg x

x1x2 dx.

4.3 Beta i Gama funkcija

Koristeci osobine beta i gama funkcije, izracunati integrale:

4.3.1.+0

dx1+xn

.

4.3.2.a0

dya4y4

.

4.3.3.+

e2xdxae3x+b

.

4.3.4.+

e2xdx(e3x+1)2

.

4.3.5.+0

xp1 lnx1+x

dx.

4.3.6.+

0

x lnx1+x3

dx.

4.3.7.+0

ln2 x1+x4

dx.

4.3.8.+0

xa1xb1(1+x) lnx

dx.

Mat Analiza 4 Zadaci - PMF NISH

Documents

Transcript of Mat Analiza 4 Zadaci - PMF NISH