Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 4 ... · Mat-1.2620 Sovellettu...

Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 4. harjoitukset

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/27

Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 4. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio, Negatiivinen binomijakauma, Odotusarvo, Otanta, Otanta palauttaen, Otanta palauttamatta, Otantasuhde, Pistetodennäköisyysfunktio, Poisson- jakauma, Standardipoikkeama, Varianssi

Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka mahdolliset arvot ovat

x1, x2, … , xn

Oletetaan, että satunnaismuuttujan X mahdollisiin arvoihin x1, x2, … , xn liittyvät todennäköisyydet ovat yhtä suuria:

1Pr( ) , 1, 2, ,iX x i nn

= = = …

Tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa, jonka pistetodennäköisyys-funktio on

1( ) Pr( ) , 1, 2, ,i i if x X x p i nn

= = = = = …

Diskreetin tasaisen jakauman tunnusluvut

Odotusarvo:

1

1E( )n

X ii

X x xn

µ=

= = = ∑

2. momentti:

2 2

1

1E( )n

ii

X xn =

= ∑

Varianssi:

2 2 2 2 2

1

1D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]n

X ii

X X x x X Xn

σ=

= = = − = −∑

Standardipoikkeama:

2

1

1D( ) ( )n

X ii

X x xn

σ=

= = −∑



Bernoulli-jakauma Olkoon A otosavaruuden S tapahtuma ja olkoon

Pr(A) = p

Tällöin tapahtuman A komplementtitapahtuman (= tapahtuma A ei satu) Ac todennäköisyys on

Pr(Ac) = 1 – p = q

Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X seuraavalla tavalla:

1, jos tapahtuma sattuu0, jos tapahtuma ei satu

AX

A

=

Tällöin satunnaismuuttujan X jakauma on

Pr( 1)Pr( 0) 1

X pX p q= == = − =

ja satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on

1( ) , 0 1 , 1 , 0,1x xf x p q p q p x−= < < = − =

Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaa Bernoulli-jakaumaa parametrilla p ja käytämme tästä merkintää:

Bernoulli( )X p∼

Bernoulli-kokeet ja diskreetit todennäköisyysjakaumat

Toistetaan toisistaan riippumatta samaa Bernoulli-koetta ja tarkastellaan tapahtuman A sattumista toistojen aikana.

(i) Binomijakauma saadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu x kertaa, kun koetta toistetaan n kertaa.

(ii) Geometrinen jakauma saadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu ensimmäisen kerran x:ssä koetoistossa.

(iii) Negatiivinen binomijakauma saadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu r. kerran x:ssä koetoistossa.

(iv) Poisson-jakauma voidaan johtaa binomijakauman raja-arvona, kun koetoistojen lukumäärän annetaan tiettyjen ehtojen vallitessa kasvaa rajatta. Siten Poisson-jakauma kuvaa harvinaisten tapahtumien todennäköisyyksiä pitkissä toistokoesarjoissa.

Binomijakauma Olkoon A otosavaruuden S tapahtuma ja olkoon

Pr(A) = p

Tällöin tapahtuman A komplementtitapahtuman (A ei tapahdu) Ac todennäköisyys on

Pr(Ac) = 1 – p = q

Toistetaan sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtoja otosavaruus S kuvaa n kertaa, jossa n on kiinteä (ei-satunnainen), ennen koetoistojen tekemistä päätetty luku. Oletetaan lisäksi, että koe-toistot ovat toisistaan riippumattomia.



Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa tapahtuman A esiintymiskertojen lukumäärää koetoistojen joukossa.

Tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p:

Bin( , )X n p∼

ja sen pistetodennäköisyysfunktio on

( ) Pr( ) , 0 1 , 1 , 0,1,2, ,x n xnf x X x p q p q p x n

x−

= = = < < = − =

…

Binomijakauman tunnusluvut

Odotusarvo:

E( ) XX npµ= =

Varianssi:

2 2D ( ) Var( ) XX X npqσ= = =

Standardipoikkeama:

D( ) XX npqσ= =

Binomijakauma ja Bernoulli-jakauma

Olkoot X1, X2, … , Xn ovat riippumattomia, samaa Bernoulli-jakaumaa Bernoulli(p) noudattavia diskreettejä satunnaismuuttujia:

1 2, , ,Bernoulli( ) , 1, 2, ,

n

i

X X XX p i n

⊥=

…∼ …

Tällöin diskreetti satunnaismuuttuja

1

n

ii

X X=

= ∑

noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p:

Bin( , )X n p∼

Binomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma

Olkoot X1, X2, … , Xn ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat binomijakaumia parametrein (n1, p), (n2, p), … , (nk, p):

1 2, , ,Bin( , ) , 1, 2, ,

k

i i

X X XX n p i k

⊥=

…∼ …




1

k

ii

X X=

= ∑

noudattaa binomijakaumaa parametrein n = n1 + n2 + ⋅⋅⋅ + nk ja p:

Bin( , )X n p∼

Geometrinen jakauma Olkoon A otosavaruuden S tapahtuma ja olkoon

Pr(A) = p


Pr(Ac) = 1 – p = q

Toistetaan sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtoja otosavaruus S kuvaa kunnes tapahtuma A havaitaan 1. kerran. Oletetaan lisäksi, että koetoistot ovat toisistaan riippumattomia.

Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa tehtyjen koetoistojen lukumäärää, kun tapahtuma A havaitaan 1. kerran. Tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa geometrista jakaumaa parametrilla p:

Geom( )X p∼


1( ) Pr( ) , 0 1, 1 , 1,2,3,xf x X x q p p q p x−= = = < < = − = …

Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on

[ ]( ) Pr( ) 1 (1 ) xF x X x p= ≤ = − −

jossa

[x] = suurin kokonaisluku, joka ≤ x

Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan mukaan

[ ]Pr( ) 1 Pr( ) 1 ( ) (1 ) xX x X x F x p> = − ≤ = − = −

Geometrisen jakauman tunnusluvut

Odotusarvo:

1E( ) XXp

µ= =

Varianssi:

2 22D ( ) Var( ) X

qX Xp

σ= = =



Standardipoikkeama:

D( ) Xq

Xp

σ= =

Negatiivinen binomijakauma Olkoon A otosavaruuden S tapahtuma ja olkoon

Pr(A) = p


Pr(Ac) = 1 – p = q

Toistetaan sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtoja otosavaruus S kuvaa kunnes tapahtuma A havaitaan r. kerran. Oletetaan lisäksi, että koetoistot ovat toisistaan riippumattomia.

Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa tehtyjen koetoistojen lukumäärää, kun tapahtuma A havaitaan r. kerran. Tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa negatiivista binomi-jakaumaa parametrein r ja p: NegBin( , )X r p∼


1

( ) Pr( ) , 0 1 , 11

1,2,3, ; , 1, 2,

x r rxf x X x q p p q p

rr x r r r

−− = = = < < = − −

= = + +… …

Negatiivisen binomijakauman tunnusluvut

Odotusarvo:

E( ) XrXp

µ= =

Varianssi:

2 22D ( ) Var( ) X

rqX Xp

σ= = =

Standardipoikkeama:

D( ) Xrq

Xp

σ= =

Hypergeometrinen jakauma Olkoon perusjoukon S alkioiden lukumäärä

n(S) = N



Tarkastellaan perusjoukon S ositusta joukkoon A ja sen komplementtiin Ac ja olkoon

n(A) = r

n(Ac) = N – r

Valitaan perusjoukosta S satunnaisesti osajoukko B ja olkoon

n(B) = n

Perusjoukon S ositus joukoiksi A ja Ac indusoi joukon B osituksen joukoiksi B∩A ja B∩Ac ; ks. kuvaa oikealla.

Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa joukossa B olevien joukon A (eli joukon B∩A) alkioiden lukumäärää. Tällöin satunnaismuuttuja X noudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrein N, r ja n: HyperGeom( , , )X N r n∼


( ) Pr( ) , max[0, ( )] min( , )

r N rx n x

f x X x n N r x n rNn

− − = = = − − ≤ ≤

Hypergeometrisen jakauman tunnusluvut

Odotusarvo:

E( ) XrX nN

µ= =

Varianssi:

2 2D ( ) Var( ) 11X

r r N nX X nN N N

σ − = = = − −

Standardipoikkeama:

D( ) 11X

r r N nX nN N N

σ − = = − −

Hypergeometrisen jakauman ja binomijakauman yhteys

Hypergeometrista jakaumaa voidaan approksimoida binomijakaumalla, jos otantasuhde

n/N

jossa

n = n(B) = otoskoko

N = n(S) = perusjoukon koko

on kyllin pieni. Näin on käytännössä, jos



n/N < 0.05

Huomaa, että jos perusjoukon S koko N lähestyy on ääretöntä, otantasuhde konvergoi nollaa kohden ja siten hypergeometrinen jakauma lähestyy binomijakaumaa.

Otanta takaisinpanolla ja ilman takaisinpanoa

Poimitaan perusjoukosta satunnaisesti otos (osajoukko) arpomalla alkiot perusjoukosta otokseen yksi kerrallaan. Otoksen poiminta voidaan toteuttaa joko palauttamalla (eli takaisinpanolla) tai palauttamatta (ilman takaisinpanoa):

(i) Otannassa palauttaen perusjoukon alkiot arvotaan otokseen yksi kerrallaan niin, että alkiot palautetaan välittömästi jokaisen arpomisen jälkeen takaisin perusjoukkoon, jolloin sama alkio voi tulla poimituksi otokseen useita kertoja.

(ii) Otannassa palauttamatta alkiot arvotaan otokseen yksi kerrallaan niin, että alkioita ei palauteta arpomisen jälkeen takaisin perusjoukkoon, jolloin sama alkio voi tulla poimituksi otokseen vain kerran.

Olkoon perusjoukon S koko

N = n(S)

Tarkastellaan perusjoukon S osajoukkoa A, jonka koko on

r = n(A)

Poimitaan perusjoukosta S satunnaisesti osajoukko B, jonka koko on

n = n(B)

Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja

X = ”A-tyyppisten alkioiden lukumäärä otoksessa B”

Jos otos poimitaan perusjoukosta palauttaen eli takaisinpanolla, satunnaismuuttuja X noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p:

Bin( , )X n p∼

Jos otos poimitaan perusjoukosta palauttamatta eli ilman takaisinpanoa, satunnaismuuttuja X noudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrein N, r ja n:

HyperGeom( , , )X N r n∼

Poisson-jakauma Toistetaan samaa satunnaiskoetta ja oletetaan, että toistot ovat toisistaan riippumattomia. Tarkastellaan jonkin tapahtuman A sattumista toistojen aikana. Oletetaan, että tapahtuman A tapahtumaintensiteetti eli keskimääräinen lukumäärä aika- (tai tilavuus-) yksikköä kohden on λ.

Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X:

X = Tapahtuman A esiintymisten lukumäärä aika- (tai tilavuus-) yksikköä kohden

Tietyin oletuksin satunnaismuuttuja X noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla λs:

X ∼ Poisson(λs)

jossa



s = ajanjakson pituus aikayksiköissä (tilavuusyksiköiden lukumäärä)

λ = tapahtuman A esiintymisten keskimääräinen lukumäärä aika- (tai tilavuus-) yksikköä kohden


( )( ) Pr( ) , 0,1,2,!

s xe sf x X x xx

λ λ−

= = = = …

Poisson-jakauman tunnusluvut

Odotusarvo:

E( ) XX sµ λ= =

Varianssi:

2 2D ( ) Var( ) XX X sσ λ= = =

Standardipoikkeama:

D( ) XX sσ λ= =

Poisson-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma

Olkoot X1, X2, … , Xn ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat Poisson-jakaumia parametrein λ1, λ2, …, λk :

1 2, , ,Poisson( ) , 1, 2, ,

k

i i

X X XX i kλ

⊥=

…∼ …


1

k

ii

X X=

= ∑

noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla λ = λ1 + λ2 + ⋅⋅⋅ + λk :

Poisson( )X λ∼

Poisson-jakauma ja eksponenttijakauma

Olkoon

X = tapahtumien lukumäärä aikayksikköä kohden

Oletetaan, että

X ∼ Poisson(λ)

ja olkoon

Y = odotusaika 1. tapahtumalle (tai tapahtumien väliaika)

Tällöin Y on jatkuva satunnaismuuttuja, joka noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla λ (ks. 5. harjoitukset):

Y ∼ Exp(λ)

jolloin



E(Y) = 1/λ

Voidaan osoittaa, että jakaumien välinen yhteys toimii molempiin suuntiin: ts. jos satunnais-muuttuja

X = odotusaika 1. tapahtumalle (tai tapahtumien väliaika)

noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla λ:

X ∼ Exp(λ)

niin satunnaismuuttuja

Z = tapahtumien lukumäärä aikayksikköä kohden

noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla λ:

Z ∼ Poisson(λ)



Tehtävä 4.1. Pelaaja heittää virheetöntä noppaa kymmenen kertaa. (Virheettömässä nopassa jokaisella silmäluvulla i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 on sama todennäköisyys tulla tulokseksi.)

(a) Laske silmälukujen summan odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama.

(b) Pelaaja saa voittona silmälukujen summan euroina kymmenkertaisena.

Mikä on voiton odotusarvo ja standardipoikkeama?

Kannattaako peliin osallistua, jos osallistuminen maksaa 400 euroa?

Tehtävä 4.1. – Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan diskreettiä tasaista jakaumaa.

Yleistietoja diskreeteistä satunnaismuuttujista ja jakaumista sekä jakaumien tunnusluvuista: ks. 3. harjoitukset.

Tehtävä 4.1. – Ratkaisu: Pelaaja heittää virheetöntä noppaa. Koska noppa oletettiin virheettömäksi, voidaan olettaa, että nopanheiton tulos X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa.

Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio:

f(x) = Pr(X = x) = 1/6 , x = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Satunnaismuuttujan X odotusarvo:

6

1

1 2 3 4 5 6 21E( ) Pr( ) 3.56 6x

X x X x=

+ + + + += = = = =∑

Satunnaismuuttujan X 2. momentti:

2 2 2 2 2 26

2 2

1

1 2 3 4 5 6 91E( ) Pr( ) 15.176 6x

X x X x=

+ + + + += = = = ≈∑

Satunnaismuuttujan X varianssi:

[ ]2

22 2 91 21 105D ( ) E( ) E( ) 2.9176 6 36

X X X = − = − = ≈

Satunnaismuuttujan X standardipoikkeama:

D( ) 2.917 1.708X = ≈

Kun noppaa heitetään n kertaa, jokaisen heiton tulos Xi , i = 1, 2, … , n on satunnaismuuttuja, joka noudattaa edellä määriteltyä diskreettiä tasaista jakaumaa. Lisäksi voimme olettaa, että heittojen tulokset ovat toisistaan riippumattomia.

(a) Heittotulosten summa

10

1i

iZ X

=

= ∑



on diskreetti satunnaismuuuttuja, joka on riipputtomien, samaa (edellä määriteltyä) diskreettiä tasaista jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien Xi , i = 1, 2, … , 10 summa.

Summan Z odotusarvo on

( )10 10

1 1E( ) E E( ) 10 3.5 35i ii i

Z X X= =

= = = × =∑ ∑

Huomaa, että satunnaismuuttujien summan odotusarvo on satunnaismuuttujien odotusarvojen summa, vaikka ko. satunnaismuuttujat eivät olisi riippumattomia.

Summan Z varianssi on

( )10 102 2 21 1

D ( ) D D ( ) 10 2.917 29.17i ii iZ X X

= == = ≈ × =∑ ∑

Huomaa, että satunnaismuuttujien summan varianssi on satunnaismuuttujien varianssien summa vain, kun ko. satunnaismuuttujat ovat riippumattomia.

Summan Z standardipoikkeama on

D( ) 29.17 5.401Z = ≈

Huomaa, että

D(Z) ≠10×D(Xk)

ts. satunnaismuuttujien summan standardipoikkeama ei ole satunnaismuuttujien standardipoikkeamien summa. Tämä johtuu siitä, että (positiivisten lukujen) summan neliöjuuri ei ole ko. lukujen neliöjuurien summa.

(b) Pelaajan saama voitto

Y = 10×Z

on diskreetti satunnaismuuttuja.

Voiton odotusarvo:

E(Y) = 10×E(Z) = 350 €

Voiton varianssi:

D2(Y) = 102×D2(Z) ≈ 2917 €2 Voiton standardipoikkeama:

D(Y) ≈ 54.01 €

Koska peliin osallistuminen maksaa 400 €, pelaajat kärsivät jokaisessa pelissä tappion, jonka suuruus on keskimäärin

400 − E(Y) = 400 − 350 = 50 €



Tehtävä 4.2. Kone tekee viallisia tuotteita todennäköisyydellä 0.2. Eräänä päivänä kone tekee 10 tuotetta.

(a) Mikä on todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy täsmälleen 2 kpl?

(b) Mikä on todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy vähintään 1 kpl?

(c) Mikä on odotusarvo viallisten tuotteiden lukumäärälle?

Tehtävä 4.2. – Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan binomijakaumaa.


Tehtävä 4.2. – Ratkaisu: Tuotteita valmistava kone tekee viallisia tuotteita todennäköisyydellä 0.2.

Päivän aikana tehtyjen viallisten tuotteiden lukumäärä X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa binomijakaumaa:

X ∼ Bin(n, p)

jossa

n = 10

p = 0.2

Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on

1010( ) Pr( ) (1 ) , 0.2 , 0,1,2, ,10x xf x X x p p p x

x−

= = = − = =

…

(a) Todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy täsmälleen 2 kpl on

2 810Pr( 2) 0.2 0.8 0.302

2X = = × × =

(b) Tapahtumana se, että viallisia tuotteita löytyy vähintään 1 kpl voidaan esittää tapahtumana seuraavassa muodossa:

{ 0} { 1} { 2} { 10}X X X X> = = ∪ = ∪ ∪ =

Määrätään todennäköisyys tälle tapahtumalle soveltamalla komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavaa:

0 1010Pr( 0) 1 Pr( 0) 1 0.2 0.8 1 0.107 0.893

0X X > = − = = − × × = − =

(c) Odotusarvo viallisten ruuvien lukumäärälle on

E(X) = np = 10×0.2 = 2



Tehtävä 4.3. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tietyllä välillä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen. Kuulien laadunvalvonta on toteutettu niin, että joka sadas valmistettu kuula mitataan. Jos mitatun kuulan halkaisija ei ole ko. välillä, koneen toiminta keskeytetään tarkistusta varten.

Oletetaan, että koneen valmistamista kuulista keskimäärin 1/10 on käyttökelvottomia.

(a) Mikä on todennäköisyys, että joudumme tutkimaan vähintään 10 kuulaa ensimmäisen käyttökelvottoman löytämiseksi?

(b) Oletetaan, että olemme tutkineet 9 kuulaa löytämättä yhtään käyttökelvotonta kuulaa. Mikä on todennäköisyys, että joudumme tutkimaan vähintään 4 kuulaa lisää ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan löytämiseksi?

(c) Mikä on odotettavissa oleva lukumäärä kuulille, jotka joudumme tutkimaan ennen ensimmäisen käyttökelvottoman löytymistä?

Tehtävä 4.3. – Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan geometrista jakaumaa.


Tehtävä 4.3. – Ratkaisu: Poimitaan kuulia tutkittaviksi yksi kerrallaan. Ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan järjestysnumero X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa geometrista jakaumaa:

X ∼ Geom(p)

jossa

p = 0.1

on todennäköisyys löytää käyttökelvoton kuula.


1( ) Pr( ) , 0.1 , 1 , 1,2,3,xf x X x q p p q p x−= = = = = − = …

(a) Todennäköisyys, että joudutaan tutkimaan vähintään 10 kuulaa ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan löytämiseksi on

( )( )

9

9

9

Pr( 10) Pr 9

1 Pr 91 (9)

1 1 (1 )

(1 )0.9 0.387

X X

XF

p

p

≥ = >

= − ≤

= −

= − − − = −

= =



(b) Oletetaan, että olemme tutkineet 9 kuulaa löytämättä yhtään käyttökelvotonta tuotetta. Tällöin ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan järjestysnumeron on oltava 10 tai suurempi. Se, että joudumme tutkimaan vähintään 4 kuulaa lisää ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan löytämiseksi merkitsee sitä, että joudumme kaikkiaan tutkimaan vähintään 13 kuulaa.

Siten kysytty todennäköisyys on ehdollinen todennäköisyys

( )

123

9

Pr( 13 10)Pr 13 10Pr( 10)

Pr( 13)Pr( 10)1 (12)1 (9)0.9 0.9 0.7290.9

X ja XX XX

X A B BXFF

≥ ≥≥ ≥ =

≥≥

= ∩ ⊂≥

−=

−

= = =

Toisaalta todennäköisyys, että joudutaan tutkimaan vähintään 4 kuulaa ensimmäisen käyttökelvottoman löytämiseksi on

3Pr( 4) Pr( 3) 1 Pr( 3) 1 (3) 0.9 0.729X X X F≥ = > = − ≤ = − = =

Se, että

Pr( X ≥ 13 | X ≥ 10) = Pr(X ≥ 4)

ei ole sattumaa, vaan tulos voidaan yleistää seuraavaan muotoon:

Jos satunnaismuuttuja X noudattaa geometrista jakaumaa, niin

Pr( | ) Pr( 1 )X a b X a X b≥ + ≥ = ≥ +

Tulos merkitsee sitä, että geometrisella jakaumalla on ns. unohtamisominaisuus:

Todennäköisyys joutua tutkimaan vähintään b kuulaa lisää ensimmäisen käyttö- kelvottoman kuulan löytämiseksi ei riipu siitä, kuinka monta kuulaa on jouduttu tutkimaan löytämättä yhtään käyttökelvotonta. Voimme ilmaista tämän sanomalla, että prosessi on unohtanut oman ”historiansa”.

(c) Odotettavissa oleva lukumäärä kuulille, jotka joudutaan tutkimaan ennen ensimmäisen käyttökelvottoman löytymistä, on

E(X) = 1/p = 1/0.1 = 10

Tehtävä 4.4. Tehdas valmistaa tuotetta, jolla on erittäin korkeat laatukriteerit. Keskimäärin vain 60 % tuotteista täyttää kriteerit. Valitaan tuotteita satunnaisesti yksi kerrallaan tarkastettavaksi, kunnes on löydetty 3 kelvollista tuotetta.

(a) Mikä on todennäköisyys, että joudutaan tarkastamaan enemmän kuin 4 tuotetta?

(b) Kuinka monta tuotetta joudutaan keskimäärin tarkastamaan?



Tehtävä 4.4. – Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan negatiivista binomijakaumaa.


Tehtävä 4.4. – Ratkaisu: Poimitaan tuotteita tarkastettavaksi satunnaisesti yksi kerrallaan. Kolmannen kelvollisen tuotteen järjestysnumero X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa negatiivista binomijakaumaa:

X ∼ NegBin(r, p)

jossa

r = 3

p = 0.6


3 31( ) Pr( ) , 0.6 , 1 , 3,4,5,

2xx

f x X x q p p q p x−− = = = = = − =

…

(a) Todennäköisyys joutua tarkastamaan enemmän kuin 4 tuotetta on

( )

3 3

Pr 4 1 Pr( 4)1 Pr( 3) Pr( 4)

31 0.6 0.4 0.6

21 0.216 0.25920.5248

X XX X

> = − ≤

= − = − =

= − − × ×

= − −=

(b) Odotettavissa oleva tuotteiden lukumäärä, jotka joudutaan tarkastamaan ennen kolmannen kelvollisen tuotteen löytämistä on

3E( ) 50.6

rXp

= = =

Tehtävä 4.5. Pakkauksessa on 100 tuotetta, joista 30 on viallista.

(a) Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on 1 viallinen tuote?

(b) Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on 1 viallinen tuote?



Tehtävä 4.5. – Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan binomijakaumaa ja hypergeometrista jakaumaa otantaan

takaisinpanolla (palauttaen) ja ilman takaisinpanoa (palauttamatta).


Tehtävä 4.5. – Ratkaisu: Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja

X = ”Viallisten lukumäärä tarkastettujen 5:n tuotteen joukossa”.

Satunnaismuuttujan X jakauma riippuu siitä poimitaanko otos ilman takaisinpanoa (palauttamatta) tai takaisinpanolla (palauttaen): Jos otos poimitaan ilman takaisinpanoa, X noudattaa hypergeometrista jakaumaa. Jos otos poimitaan takaisinpanolla, X noudattaa binomijakaumaa.

Huomaa, että tehtävän tapauksessa otantasuhde

n/N = 0.05

joten binomijakauman pitäisi melko hyvin approksimoida hypergeometrista jakaumaa.

(a) Jos otos poimitaan ilman takaisinpanoa,

X ∼ HyperGeom(N, r, n)

jossa

N = 100

r = 30

n = 5

Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on 1 viallinen on

30 100 301 5 1

(1) Pr( 1) 0.365100

5

f X

− − = = = =

Vertaa tulosta (b)-kohdan tulokseen.

(b) Jos otos poimitaan takaisinpanolla,

X ∼ Bin(n, p)

jossa

n = 5

p = r/N = 0.3



Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on 1 viallinen on

45(1) Pr( 1) 0.3 0.7 0.360

1f X

= = = × × =

Vertaa tulosta (a)-kohdan tulokseen.

Tehtävä 4.6. Tehdas väittää, että korkeintaan 1 % sen tuotteista on viallisia. Ostat 1000 tuotetta ja poimit satunnaisesti ilman takaisinpanoa ostamiesi tuotteiden joukosta 25 tuotetta tarkastettavaksi.

Mikä on todennäköisyys, että löydät tarkastettujen tuotteiden joukosta enemmän kuin 2 viallista, jos valmistajan väite on oikeutettu?

Tehtävä 4.6. – Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan hypergeometrisen jakauman todennäköisyyksien

approksimoimista binomitodennäköisyyksillä.


Tehtävä 4.6. – Ratkaisu: Poimitaan ostettujen tuotteiden joukosta 25 tuotetta tarkastettavaksi ilman takaisinpanoa. Viallisten lukumäärä X tarkastettujen tuotteiden joukossa on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa hypergeometrista jakaumaa:


jossa

N = 1000

r = 1000/100 = 10

n = 25

Koska otantasuhde

n/N = 25/1000 = 0.025 < 0.05

niin hypergeometrista jakaumaa voidaan approksimoida binomijakaumalla:

X ∼a Bin(n, p)

jossa

n = 25

p = 0.01



Siten todennäköisyys löytää enemmän kuin 2 viallista on (approksimatiivisesti)

( )

0 25 24 2 23

Pr 2 1 Pr( 2)1 Pr( 0) Pr( 1) Pr( 2)1 (0) (1) (2)

25 25 251 0.01 0.99 0.01 0.99 0.01 0.99

0 1 20.00195

X XX X X

f f f

> = − ≤

= − = − = − == − − −

= − × × − × × − × ×

=

Tehtävä 4.7. Puhelinkeskukseen tulee keskimäärin 3 puhelua minuutissa.

(a) Mikä on todennäköisyys, että 30 sekunnissa ei tule yhtään puhelua?

(b) Mikä on todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 4 puhelua?

(c) Mikä on todennäköisyys, että seuraavan minuutin aikana ei tule yhtään puhelua, jos edellisenä minuuttina puheluita oli 4?

(d) Mikä on odotettavissa olevien puheluiden lukumäärä yhden tunnin aikana?

Tehtävä 4.7. – Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan Poisson-jakaumaa.


Tehtävä 4.7. – Ratkaisu: Oletetaan, että ajanjaksona, jonka pituus on s minuuttia, puhelinkeskukseen tulevien puheluiden lukumäärä X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa Poisson-jakaumaa:

X ∼ Poisson(λs)

jossa

s = ajanjakson pituus minuutteina

λ = minuutissa keskukseen tulevien puheluiden keskimääräinen lukumäärä = 3


3 (3 )( ) Pr( ) , 0,1, 2,

!

s xe sf x X x xx

−

= = = = …

(a) Nyt

s = 0.5 min

joten

λs = 3×0.5 = 1.5



Siten todennäköisyys, että 1/2 minuutissa ei tule puheluita, on

1.5 0(1.5)Pr( 0) 0.223

0!eX−

= = =

(b) Nyt

s = 1 min

joten

λs = 3×1 = 3

Siten todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 4 puhelua, on

4

0

4

0

0 1 2 3 43

Pr( 4) Pr( )

( )!

3 3 3 3 30! 1! 2! 3! 4!

0.0498 (1 3 4.5 4.5 3.375)0.0498 16.3750.8153

x

s x

x

X X x

e sx

e

λ λ=

−

=

−

≤ = =

=

= + + + +

= × + + + += ×=

∑

∑

(c) Olkoon

Xi = minuutin i aikana tulleiden puheluiden lukumäärä, i = 1, 2.

Satunnaismuuttujia X1 ja X2 voidaan pitää riippumattomina ja lisäksi kumpikin noudattaa Poisson-jakaumaa:

Xi ∼ Poisson(λs)

jossa

s = 1 min

λ = 3

Riippumattomuuden nojalla

( )3 0

31 2 1

3Pr 0 | 4 Pr( 0) 0.04980!

eX X X e−

−= = = = = = =

(d) Nyt

s = 60 min

joten

λs = 3×60 = 180



Siten odotettavissa oleva puheluiden määrä tunnin aikana on

E(X) = λs = 180

Tehtävä 4.8. Pikkupullaan käytetään 1 dl taikinaa. Kuinka monta rusinaa 10 litraan taikinaa on vähintään sekoitettava, jotta satunnaisesti valitussa pullassa olisi vähintään 1 rusina suuremmalla todennäköisyydellä kuin 0.95?



Tehtävä 4.8. – Ratkaisu: Oletetaan, että hyvin sekoitetussa taikinaerässä, jonka koko on s dl, rusinoiden lukumäärä X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa Poisson-jakaumaa:

X ∼ Poisson(λs)

jossa

s = taikinaerän koko desilitroina

λ = rusinoiden keskimääräinen lukumäärä desilitrassa taikinaa

Todennäköisyys, että taikinassa on vähintään 1 rusina tilavuusyksikössä on

( )0

Pr 1 1 Pr( 1) 1 Pr( 0) 1 10!

X X X e eλ λλ − −≥ = − < = − = = − = −

Asetetaan tälle todennäköisyydelle ehto

( )Pr 1 1 0.95X e λ−≥ = − ≥

joka toteutuu, jos

log(0.05) 2.996log( )e

λ ≥ − =

10 litrassa taikinaa on 100 dl. Koska

100×2.996 = 299.6

taikinaan pitää sekoittaa vähintään 300 rusinaa, jotta satunnaisesti valitussa pullassa olisi vähintään 1 rusina suuremmalla todennäköisyydellä kuin 0.95.

Tehtävä 4.9. Korkeakoulun opiskelijoista 20 % on naisia. Poimitaan korkeakoulun opiskelijoiden joukosta satunnaisesti 20 opiskelijaa.

(a) Mikä on todennäköisyys, että poimituksi tulee vähintään 5 naisopiskelijaa?

(b) Mikä on odotettavissa oleva naisopiskelijoiden lukumäärä?



Tehtävä 4.9. – Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan hypergeometrisen jakauman todennäköisyyksien

approksimoimista binomitodennäköisyyksillä.


Tehtävä 4.9. – Ratkaisu: Oletetaan, että otokseen poimitut 20 opiskelijaa poimitaan kaikkien korkeakoulun opiskelijoiden joukosta satunnaisesti ilman takaisinpanoa. Tällöin naisopiskelijoiden lukumäärää X otoksessa on diskreetti satunnaismuuttuja, jonka noudattaa hypergeometrista jakaumaa.

Jos korkeakoulun opiskelijoiden lukumäärä on kyllin iso, satunnaismuuttujan X jakaumaa voidaan approksimoida binomijakaumalla:

X ∼a Bin(n, p)

jossa

n = 20

p = 0.2

(a) Todennäköisyydeksi, että valituiksi tulee vähintään 5 naisopiskelijaa, on komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan ja toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla (approksimatiivisesti):

4

0

420

0

Pr( 4) 1 Pr( 4)

1 Pr( )

201 0.2 0.8

1 0.011529 0.057646 0.136909 0.205364 0.2181991 0.6296480.370352

i

i i

i

X X

X i

i

=

−

=

> = − ≤

= − =

= − × ×

= − − − − −= −=

∑

∑

Esimerkiksi:

20 1 1920 20!Pr( 1) 0.2 0.8 0.2 0.8 0.0576461 1!19!

X − = = × × = × × =

(b) Odotettavissa oleva naisopiskelijoiden lukumäärä on

E(X) = np = 20×0.2 = 4



Tehtävä 4.10. Korkeakoulun opiskelijoista 20 % on naisia. Oletetaan, että opiskelijat tulevat koulun opiskelijaravintolaan täysin satunnaisesti.

(a) Mikä on todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 5 opiskelijaa ennen ensimmäistä naisopiskelijaa?

(b) Mikä on ensimmäisen ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo?

Tehtävä 4.10. – Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan geometrista jakaumaa.


Tehtävä 4.10. – Ratkaisu: Ravintolaan ensimmäisenä tulevan naisopiskelijan järjestysnumero X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa geometrista jakaumaa:

X ∼ Geom(p)

jossa

p = 0.2

(a) Todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 5 opiskelijaa ennen ensimmäistä naisopiskelijaa on

( ) ( )

5

5

5

Pr 5 1 Pr 51 (5)

1 1 (1 )

(1 )0.80.328

X XF

p

p

> = − ≤

= −

= − − − = −

=≈

(b) Ensimmäisen ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo on

E(X) = 1/p = 1/0.2 = 5

Tehtävä 4.11. Korkeakoulun opiskelijoista 20 % on naisia. Oletetaan, että opiskelijat tulevat koulun opiskelijaravintolaan täysin satunnaisesti.

(a) Mikä on todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 10 opiskelijaa ennen toista naisopiskelijaa?

(b) Mikä on toisena ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo?



Tehtävä 4.11. – Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan negatiivista binomijakaumaa.


Tehtävä 4.11. – Ratkaisu: Ravintolaan toisena tulevan naisopiskelijan järjestysnumero X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa negatiivista binomijakaumaa:

X ∼ NegBin(r, p)

jossa

r = 2

p = 0.2

(a) Todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 10 opiskelijaa ennen toista naisopiskelijaa on komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan ja toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla:

( )10

2

102 2

2

Pr 10 1 Pr( 10)

1 Pr( )

11 0.8 0.2

2 11 0.04 0.064 0.0768 0.08192 0.08192

0.78643 0.0734 0.067109 0.0603981 0.624190.37581

i

i

i

X X

X i

i=

−

=

> = − ≤

= − =

− = − − = − − − − −

− − − −= −=

∑

∑

Esimerkiksi:

4 2 2 2 24 1 3!Pr( 4) 0.8 0.2 0.8 0.2 0.07682 1 2!1!

X −− = = × × = × × = −

(b) Toisena ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo on

2E( ) 100.2

rXp

= = =




(a) Poimitaan pakkauksesta 6 tuotetta tarkastettavaksi käyttämällä poimintaa takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän kuin 2 viallista tuotetta?

(b) Mikä on odotettavissa oleva viallisten lukumäärä?

Tehtävä 4.12. – Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan binomijakaumaa.



X = ”Viallisten lukumäärä tarkastettujen 6:n tuotteen joukossa”


(a) Koska otos poimittiin takaisinpanolla,

X ∼ Bin(n, p)

jossa

n = 6

p = r/N = 30/100 = 0.3

Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän kuin 2 viallista on

0 6 1 5

Pr( 2) Pr( 0) Pr( 1)6 6

0.3 0.7 0.3 0.70 1

0.118 0.3030.421

X X X< = = + =

= × × + × ×

= +=

Vertaa tulosta tehtävän 4.13. tulokseen.

(b) Koska otos poimittiin takaisinpanolla,

E(X) = np = 6×0.3 = 1.8





(a) Poimitaan pakkauksesta 6 tuotetta tarkastettavaksi käyttämällä poimintaa ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän kuin 2 viallista tuotetta?

(b) Mikä on odotettavissa oleva viallisten lukumäärä?

Tehtävä 4.13. – Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan hypergeometrista jakaumaa.



X = ”Viallisten lukumäärä tarkastettujen 6:n tuotteen joukossa”


(a) Koska otos poimittiin ilman takaisinpanoa,


jossa

N = 100

r = 30

n = 6

Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän kuin 2 viallista on

Pr( 2) Pr( 0) Pr( 1)30 100 30 30 100 300 6 0 1 6 1

100 1006 6

0.110 0.3050.415

X X X< = = + =

− − − − = +

= +=


(b) Koska otos poimittiin ilman takaisinpanoa,

30E( ) 6 1.8100

rX nN

= = × =




Tehtävä 4.14. Palvelujonoon tulee keskimäärin 3 asiakasta minuutissa.

(a) Mikä on todennäköisyys, että 30 sekunnissa tulee täsmälleen yksi asiakas?

(b) Mikä on todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 2 asiakasta?

(c) Mikä on todennäköisyys, että seuraavan minuutin aikana tulee korkeintaan 2 asiakasta, jos edellisenä minuuttina asiakkaita oli 3?

(d) Mikä on odotettavissa olevien asiakkaiden lukumäärä 30 minuutin aikana?



Tehtävä 4.14. – Ratkaisu: Oletetaan, että ajanjaksona, jonka pituus on s minuuttia, palvelujonoon tulevien asiakkaiden lukumäärä X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa Poisson-jakaumaa:

X ∼ Poisson(λs)

jossa

s = ajanjakson pituus minuutteina

λ = minuutissa jonoon tulevien asiakkaiden lukumäärä keskimäärin = 3

(a) Nyt

s = 0.5 min

joten

λs = 3×0.5 = 1.5

Siten todennäköisyys, että minuutissa tulee 1 asiakas, on

1.5 1(1.5)Pr( 1) 0.335

1!eX−

= = =

(b) Nyt

s = 1 min

joten

λs = 3×1 = 3



Siten todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 2 asiakasta, on

2

0

2

0

0 1 23

Pr( 2) Pr( )

( )!

3 3 30! 1! 2!

0.0498 (1 3 4.5)0.0498 8.50.423

x

s x

x

X X x

e sx

e

λ λ=

−

=

−

≤ = =

=

= + +

= × + += ×=

∑

∑

(c) Olkoon Xi = minuutin i aikana tulleiden asiakkaiden lukumäärä, i = 1, 2.

Koska satunnaismuuttujat X1 ja X2 ovat riippumattomia, vastaus on sama kuin (b)- kohdassa.

(d) Nyt

s = 30 min

joten

λs = 3×30 = 90

Siten odotettavissa oleva puheluiden määrä 30 minuutin aikana on

E(X) = λs = 90

Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 4 ... · Mat-1.2620 Sovellettu...

Documents

Transcript of Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 4 ... · Mat-1.2620 Sovellettu...