Masa protona in kvantna kromodinamika na...
Transcript of Masa protona in kvantna kromodinamika na...
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko
Oddelek za fiziko
Seminar – 1. Letnik 2. bolonjske stopnje
Masa protona in kvantna
kromodinamika na mreži
Avtor: Miha Muškinja
Mentor: doc. dr. Saša Prelovšek Komelj
Ljubljana, maj 2013
Povzetek
Z nedavnim odkritjem Higgsovega bozona [6] znamo pojasniti maso elementarnih delcev.
Masa kvarkov in je in , masa protona, ki pa je sestavljen iz
dveh kvarkov in kvarka , pa [5]. Kako bi pojasnili tako veliko maso? Skoraj vsa
masa protona je posledica vezavne energije močne interakcije. Sprejeta teorija, ki opisuje
močno interakcijo, je kvantna kromodinamika. Interakcijo opisuje kot izmenjavo brezmasnih
gluonov. Za razliko od fotonov, ki so prenašalci elektromagnetne sile, gluoni interagirajo med
sabo. Posledica je, da je močna sila na tipičnih dimenzijah hadronov ( ) res močna [slika
3] in mase hadronov ne moremo izračunati s perturbacijskim približkom. V seminarju bom
predstavil kvantno kromodinamiko na mreži, ki je neperturbativen pristop k kvantni
kromodinamiki. Ta z uporabo diskretne mreže prostora-časa pretvori ustrezne analitično
neizvedljive popotne integrale v zelo zahtevne numerične račune [3]. Spoznali bomo osnove
kvantne teorije polja, Lagrangeov formalizem in dejanske rezultate znanih raziskovalnih
skupin (BMW Collaboration [5]). Videli bomo, da se numerični izračuni mas nekaterih
hadronov zelo dobro skladajo z eksperimentalno izmerjenimi masami.
Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži
1
Kazalo
1 Osnove kvantne teorije polja 1
1.1 Kvantna teorija polja 1
1.2 Lagrangeov formalizem 2
1.3 Kvantna elektrodinamika 3
1.4 Kvantna kromodinamika 4
2 Perturbativna teorija in popotni integral 5
2.1 Propagator v kvantni teoriji polja 6
3 Korelacijske funkcije v kvantni teoriji polja 7
3.1 Energija osnovnega stanja 7
4 Numerična plat kvantne teorije polja 8
4.1 Diskretizacija 8
4.2 Numeričen izračun korelacijske funkcije 9
5 Rezultati kvantne kromodinamike na mreži 10
5.1 Rezultati raziskovalne skupine BMW 11
6 Zaključek 14
Literatura 14
1.1 Kvantna teorija polja
Kvantna teorija polja je ogrodje, ki nam omogoča konstrukcijo kvantno-mehanskih modelov
za podatomske delce ter interakcije med njimi. Nekaj znanih modelov, ki so teorije polja, so:
Standardni model, kvantna elektrodinamika (QED) in
kvantna kromodinamika (QCD), kateri bomo posvetili več
pozornosti v nadaljevanju. Standardni model opisuje
elektromagnetno, šibko in močno interakcijo med
osnovnimi delci. Njegove napovedi se dobro ujemajo z
rezultati raznih eksperimentov na področju fizike delcev.
V teoriji polja lahko opisujemo delce kot vzbujena stanja
polja, pri čemer vsakemu elementarnemu delcu ustreza
svoje polje. Kvantna teorija polja lahko predstavlja
poljubno število delcev, kar je prikladno za opis sistemov,
kjer se število delcev spreminja skozi čas. Ob kvantizaciji
klasičnega polja postane polje operator, ki opisuje kreacijo
ali anihilacijo delcev. Polje je definirano v vsaki točki
prostora in časa , označimo pa ga , kjer je
SLIKA 1: STANDARDNI MODEL OSNOVNIH
DELCEV. V IR:
http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_
Model, junij 2013
Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži
2
dodatna prostorska stopnja, ki bi na primer ločevala med tipom polja. Kvantna
elektrodinamika ima dve polji; polje za foton in fermionsko polje (elektron).
1.2 Lagrangeov formalizem
V kvantni teoriji polja pogosto uporabimo Lagrangeov formalizem. To je analogen
formalizem Lagrangeovemu formalizmu v klasični mehaniki, kjer imamo generalizirane
koordinate pozicije in hitrosti , enačbe gibanja pa nam podajo Euler-Lagrangeove
enačbe:
0.i i
d L L
dt q q
(1)
V kvantni teoriji polja sta generalizirani koordinati polje in njegovi prvi odvodi
, Euler-Lagrangeove enačbe pa podajo enačbe gibanja polj:
0.( )a a
(2)
poudarja, da imamo lahko več neodvisnih polj, pa je četverec gradienta.
Koordinati in sta tako postala le parametra polja. Za boljše razumevanje si oglejmo primer
prostega realnega skalarnega polja. Takšno polje ustreza delcem brez spina in mora ubogati
Klein-Gordonovo enačbo [1]:
2
2 2
2m
t
(3)
Hitro lahko preverimo, da je ustrezen Lagrangian , ki reproducira Klein-Gordonovo enačbo
oblike:
2 21 1,
2 2m
(4)
namreč . V tem primeru smo imeli samo eno polje . Vsak model
zgrajen s kvantno teorijo polja ima svoj Lagrangian, s pomočjo katerega lahko določimo
interakcije med delci, ki jih ta model opisuje. Pomemben koncept, s katerim se pravzaprav
izpelje Euler-Lagrangeove enačbe, je akcija polja
(5)
Do Euler-Lagrangeovih enačb se pride z variacijskim računom, kjer uporabimo princip
ekstrema akcije, ki pravi, da se akcija ob majhni spremembi polja ne
spremeni
Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži
3
( ( ') 0.S S (6)
1.3 Kvantna elektrodinamika
Kvantna elektrodinamika je relativistična teorija polja, ki opisuje interakcijo med električno
nabitimi delci. Interakcija poteka preko izmenjave fotona. Prosti elementarni fermioni s
spinom so opisani z rešitvijo Diracove enačbe [2]:
0
0 0( )
0 0
i
i
i
Ii m
I
(7)
so tri Paulijeve matrike, pa je identiteta. Lagrangian, ki preko Euler-Lagrangeovh enačb
reproducira Diracovo enačbo je
( )i m
(8)
kjer sta in neodvisni fermionski polji. Lagrangian prostega fermionskega polja
je invarianten na globalno umeritveno transformacijo, ki spremeni fazo polja
) ) ) ).i ix e x x e x (9)
je v tem primeru realna konstanta. Umeritvena invarianca pomeni, da faza polja ni
absolutno merljiva količina. A zahtevamo lahko še več. Zahtevajmo, da je Lagrangian
invarianten na lokalno umeritveno transformacijo
) )) ) ) ).i x i xx e x x e x (10)
je tokrat odvisen od , kar pomeni, da je sprememba faze drugačna v vsaki točki
prostora-časa. Lagrangian ni invarianten na takšno spremembo, saj je
) ) )) ) ) ).i x i x i xe x e x ie x x
(11)
Če hočemo, da je Lagrangian invarianten na lokalno umeritveno transformacijo, ga moramo
spremeniti. Uvedemo kovarianten odvod in vektorsko polje , ki se transformira tako, da
se člen odšteje
,D ieA (12)
1
A Ae
(13)
Lagrangian
0 int) )i D m i m e A
(14)
Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži
4
je tako invarianten na lokalno umeritveno transformacijo. Transformacija nas spominja
na klasično elektrodinamiko, kjer se fizikalni količini
, ( ) A
E B A At
A
(15)
ne spremenita pri transformaciji
. Lahko rečemo, da polje v Lagrangianu
predstavlja elektromagnetno polje, torej fotone. Nov člen torej
predstavlja interakcijo med fermioni in protoni, konstanta pa je električni naboj. Dodati
moramo še člen, ki opisuje prosto fotonsko polje
0
1, .
4
boz F F F A A
(16)
Člen preko Euler-Lagrangeovih enačb reproducira Maxwellove enačbe gibanja in je že
invarianten na lokalno umeritveno transformacijo [1]. Tako nam je uspelo izpeljati
Lagrangian za kvantno elektrodinamiko
0 int 0
1) ) .
4
bozi D m i m e A F F
(17)
Prvi člen predstavlja propagacijo fermionov, drugi interakcijo med fermioni in fotoni, tretji pa
propagacijo fotonov.
1.4 Kvantna kromodinamika
Kvantna kromodinamika je teorija, ki preučuje močno interakcijo med kvarki. Močno
interakcijo opiše kot izmenjavo brezmasnih gluonov, ki jim pravimo prenašalci močne
interakcije. Kvarki so tako kot leptoni (elektron, mion, tau lepton) fermioni, zato tudi polje
prostih kvarkov opišemo s prostim fermionskim poljem
( ) .qi m
(18)
Upoštevati moramo še dejstvo, da imajo kvarki dodatno kvantno število – barvo. Kvark ima
lahko rdečo, zeleno ali modro barvo, zato zapišemo polje kot vektor treh polj, kjer vsaka
komponenta predstavlja svojo barvo
.
R
G
B
(19)
Barva je nemerljiva količina, zato si želimo, da je teorija, ki opisuje kvarke, invariantna na
rotacije v barvnem prostoru. Rotacijo v barvnem prostoru naredimo tako, da vektor
pomnožimo z unitarno matriko :
Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži
5
† 1.
R R
G G
B B
M MM
(20)
Zahtevamo tudi, da je determinanta matrike enaka . S tem izvzamemo primere, kjer
kvarke različnih barv rotiramo z enako fazo [2]. Takšne matrike tvorijo transformacijsko
grupo in jih lahko splošno parametriziramo kot
( ) ),a ai x TM e x (21)
kjer so matrike linearno neodvisne, brezsledne, hermitske matrike in jih imenujemo
generatorji grupe . Skupaj jih je : . Lagrangian ni invarianten na
takšne rotacije, zato vpeljemo osem novih vektorskih polj . Lagrangian, ki je invarianten na
rotacije v barvnem prostoru je [3]:
1
( ) ( .4
a a
q a ai m g T G G G
(22)
je sklopitvena konstanta močne interakcije, so gluonska polja,
pa tenzor gluonskega
polja
.a a a b a
abcG G G gf G G (23)
je realna konstanta določena s komutatorji generatorjev
2 Perturbativna teorija in popotni integral
Klasično mehaniko in klasično mehaniko polj lahko kvantiziramo na več načinov. Ena izmed
možnih kvantizacij je kanonična kvantizacija, kjer pridemo do kvantne teorije tako, da
zamenjamo dinamične spremenljivke z ustreznimi operatorji, ki zadoščajo kanoničnim
komutacijskim zvezam. Na perturbativen način bi propagacije delcev in interakcije med njimi
računali tako, da bi narisali vse možne Feynmanove diagrame do nekega reda med začetnim
in končnim stanjem, nato pa bi sešteli prispevke vseh teh diagramov.
SLIKA 2: PRIMER FEYNMANOVIH
DIAGRAMOV MOČNE INTERAKCIJE.
PRIKAZANA JE INTERAKCIJA MED
DVEMA KVARKOMA Z IZMENJAVO
ENEGA ALI DVEH GLUONOV.
Lasten vir
Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži
6
Interakcijo med dvema kvarkoma bi lahko perturbativno računali po gornji sliki. Matrični
element prvega diagrama je sorazmeren s sklopitveno konstanto, matrični element drugega
diagrama pa s sklopitveno konstanto na kvadrat. Skupen matrični element bi bil vsota obeh
. V kvantni elektrodinamiki bi bil takšen pristop popolnoma legitimen,
saj ima sklopitvena konstanta kvantne elektrodinamike vrednost
in lahko
člen z ter člene višjega reda brez skrbi zanemarimo. V kvantni kromodinamiki pa
sklopitvena konstanta
za energije, ki nas zanimajo ( ), nima male vrednosti
in tako členov višjega reda ne moremo zanemariti. Perturbativen pristop popolnoma odpove,
saj bi za vsak proces morali izračunati in sešteti
diagrame vseh redov. Zanimiva lastnost močne
sklopitvene konstante pa je, da njena vrednost
pada, ko se pomikamo k večjim energijam. Za
velike energije lahko tako kvantno
kromodinamiko obravnavamo perturbativno.
Perturbativnemu pristopu se bomo izognili s
formulacijo s popotnim integralom. S popotnim
integralom lahko npr. izračunamo propagacijo
delca tako, da seštejemo vse možne poti med
začetno in končno točko.
2.1 Propagator v kvantni teoriji polja
Propagator je verjetnostna amplituda, da se delec, ki je ob času v točki nahaja ob času
v točki . To pomeni, da se nahaja v lastnem stanju operatorja kraja , ki ga označimo z
in velja . Časovni razvoj takega stanja zapišemo kot . Propagator
se zapiše tako:
(24)
je Heavisideova funkcija, ki le zagotovi, da je . Propagator imenujemo tudi
Greenova funkcija Schrödingerjeve enačbe [3]. Propagator se da izpeljati še v okviru
formalizma popotnih integralov. Rezultat, ki ga dobimo je:
(25)
SLIKA 3: SKLOPITVENA KONSTANTA MOČNE INTERAKCIJE.
VIDIMO, DA IMA SKLOPITVENA KONSTANTA PRI NIZKIH ENERGIJAH
VELIKO VREDNOST. V IR:
http://pdg.lbl.gov/2011/reviews/rpp2011-rev-qcd.pdf,
JUNIJ 2013
Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži
7
Popotni integral je definiran na naslednji način:
(26)
je akcija:
. Popotni integral si lahko predstavljamo kot integral po
vseh možnih poteh delca iz točke v točko . Verjetnostno amplitudo za prehod delca iz
točke v točko dobimo tako, da seštejemo prispevke vseh poti, pri tem pa vsako pot
obtežimo s faznim faktorjem , kjer je akcija poti.
3 Korelacijske funkcije v kvantni teoriji polja
Korelacijske funkcije so v neperturbativni teoriji pomembne zato, ker s pomočji njih
določimo energije eksperimentalno opazljivih stanj. Osnovno energijsko stanje mirujočih
hadronskih sistemov, ki so vezana stanja večih elementarnih kvarkov, ustreza mirovni energiji
oziroma masi, kar je tudi glaven motiv našega seminarja. Korelacijska funkcija, ki jo bomo
potrebovali, je dvotočkovna korelacijska funkcija
(27)
je osnovno (vakuumsko) energijsko stanje, in pa sta anihilacijski ter
kreacijski operator, ki sta v formalizmu popotnega integrala zamenjana z ustreznima poljema.
Enačba pravzaprav opisuje propagacijo stanj, kreiranih z operatorjem v izhodišču in
anihiliranih z operatorjem v točki . Konkreten kreacijski operator, ki ga bomo
uporabljali je kreacijski operator za proton:
(28)
Indeks je dirakov indeks, indeksi pa so barvni indeksi. Oglat oklepaj nima
dirakovega indeksa, saj je glede na Lorentzovo transformacijo skalar. je bi-spinor, kar
seveda ustreza delcem s spinom , kot je proton. Izkaže se, da je tudi parnost izraza (31)
takšna kot jo ima proton, torej . Barvni indeksi so izbrani tako, da tvorijo barvni singlet, kar
je lastnost vseh hadronov.
3.1 Energija osnovnega stanja
Če želimo s pomočjo numerično izračunane korelacijske funkcije dobiti energijo osnovnega
stanja, jo moramo najprej Fourierovo transformirati, saj nas zanima stanje z določeno gibalno
količino :
(29)
Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži
8
Operator lahko zapišemo kot in v izraz (29) vstavimo identiteto:
(30)
Sedaj naredimo transformacijo . Takšni transformaciji pravimo, da gremo iz prostora
Minkovskega v Evklidski prostor, ali da namesto časa opazujemo temperaturo. Upoštevamo
da je energija vakuuma , energija stanja pa . Izraz (30) dalje zapišemo kot:
(31)
Korelacijsko funkcijo lahko sedaj zapišemo v obliki
(32)
Vidimo, da ima korelacijska funkcija pri velikih časih obliko eksponentne funkcije, odvisne
le od , saj velja , kar pomeni, da lahko s prilagajanjem izluščimo energijo
osnovnega stanja. Recept za numerično računanje mase protona je torej takšen:
- Izberemo kreacijski in anihilacijski operator s kvantnimi števili protona
- Numerično izračunamo korelacijsko funkcijo, ki vsebuje prej izbrana operatorja
- Naredimo Fourierovo transformacijo korelacijske funkcije
- Pogledamo obnašanje korelacijske funkcije pri velikih časih in s prilagajanjem
eksponentne funkcije določimo energijo
- Vstavimo , saj je pri kar masa najlažjega stanja ,
ali v našem primeru masa protona .
4 Numerična plat kvantne teorije polja
Numerično računanje je ključnega pomeni v kvantni kromodinamiki na mreži. 'Mreža'
pomeni, da zvezen prostor aproksimiramo z mrežo točk, torej prostor-čas diskretiziramo.
Popotni integrali postanejo v diskretnem prostoru tako dobro definirani, saj imamo samo
končno mnogo možnih konfiguracij polj.
4.1 Diskretizacija
Vpeljimo diskretno -dimenzionalno mrežo točk z razmikom . Vsako točko na končni mreži
opisujejo štiri cela števila, ki jih označimo . Trije indeksi so prostorski,
eden pa označuje čas, ki ga prav tako diskretiziramo. Če je število točk mreže v vseh
dimenzijah enako , lahko zasede vrednosti . Prehod na diskreten
prostor se odraža v naslednjih substitucijah [3]:
Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži
9
4.2 Numeričen izračun korelacijske funkcije
Akcija polja, ki nastopa v izrazu (27), se v primeru kvantne kromodinamike zapiše kot:
(33)
Konkretna korelacijska funkcija, ki nas bo zanimala, je korelacijska funkcija, ki vsebuje vsa
polja kromodinamike in pravilno akcijo. Zapišemo jo tako:
(34)
V enačbi nastopajo polja. Gluonsko polje in kvarkovska polja ter . Vprimeru protona
bodo polje nadomestila polja , polje pa polja . Integriramo po vseh
konfiguracijah gluonskega polja, za vsako konfiguracijo gluonskega polja pa integriramo še
po vseh fermionskih konfiguracijah. Za numerično računanje moramo diskretizirati akcijo
polj. Fermionski del akcije (33) zapišemo v diskretizirani in brezdimenzijski obliki kot
(enačba 6.8 v [3]):
(35)
je matrika diskretiziranega Diracovega operatorja, in pa sta diskretni točki na -
dimenzionalni mreži. Ker je polje bispinor s tremi barvnimi komponentami ima matrika
štiri indekse. Spodnja dva sta spinorska, zgornja pa barvna. je odvisna tudi
od gluonske konfiguracije polja, ki vstopa vanjo skozi kovarianten odvod . Integral po
fermionskih poljih lahko sedaj izračunamo s pomočjo Gaussovih integralnih identitet [3]:
(36)
Vidimo, da nam je ostal le še integral po gluonskih poljih, integral po fermionskih poljih pa
smo izrazili z matrikami . označuje 3 diskretne krajevne točke, pa je točka na časovni
mreži. Integral po gluonskih konfiguracijah izvedemo s pomočjo Monte Carlo simulacije.
Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži
10
Generiramo končno število gluonskih konfiguracij, pri čemer upoštevamo, da je
verjetnost vsake konfiguracije enaka , korelacijsko funkcijo pa nato
izračunamo kot povprečje fermionskega dela, ki je odvisen od gluonske konfiguracije:
(37)
Če bi sedaj pogledali obnašanje izraza (37) pri
velikih bi s prilagajanjem eksponentne
funkcije dobili mirovno energijo ali maso
protona.
Numeričen izračun mase poteka torej nekako tako, da najprej diskretiziramo akcijo kvantne
kromodinamike in njen fermionski del zapišemo s pomočjo diskretiziranega Diracovega
operatorja, matrike , ki je odvisna od gluonske konfiguracije. Generiramo gluonskih
konfiguracij s porazdelitveno funkcijo . Vse to je računsko zelo zahtevno,
saj so tipične dimenzije matrike reda [5]. Izvrednotimo izraz (37) in s
prilagajanjem eksponentne funkcije dobimo energijo osnovnega stanja pri , maso.
5 Rezultati kvantne kromodinamike na mreži
Kvantna kromodinamika na mreži je teorija, ki lahko preko mas kvarkov napove mase
sklopljenih kvarkovskih sistemov ali obratno, a za to potrebuje nekaj vhodnih
eksperimentalnih podatkov; teorija brez vhodnih parametrov ne more napovedati absolutnih
mas hadronov. Numerično izračunane mase hadronov so odvisne od mase kvarkov, ki
sestavljajo ta hadron, mase kvarkov pa si lahko izberemo poljubno. Odvisnost mase piona je
močno odvisna od mase kvarkov, zato se pogosto uporabi za umeritev mas kvarkov in .
Maso piona izračunamo za več mas kvarkov in (ponavadi aproksimiramo ),
nato pa pogledamo, za katero maso kvarka je bila numerično izračunana masa piona enaka
eksperimentalno določeni masi.
SLIKA 5: PRIMER KORELACIJSKE F UNKCIJE. V IDIMO, DA
IMA KORELACIJSKA FUNKCIJA ZA VELIKE ČASE ( ) OBLIKO
EKSPONENTNE FUNKCIJE.
Vir: Lang et. al., 2012
Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži
11
SLIKA 6: KVADRAT MASE PIONA V ODVISNOSTI OD MASE KVARKA. SLIKA JE BILA IZVZETA IZ DIPLOMSKE NALOGE [3]. PRILAGAJANJE
MASE PIONA GLEDE NA MASO KVARKA JE BILO UPORABLJENO ZA UMERITEV MASE KVARKA. MASA KVARKA V TEM PRIMERU POMENI
MASO KVARKA IN KVARKA ( ). MASE SO ZAPISANE V BREZDIMENZIJSKI OBLIKI, KJER POMENI RAZDALJO MED
TOČKAMI MREŽE.
Teoretično pričakujemo, da bo masa kvarka odvisna od kvadrata mase piona ( ) [3],
kar se lepo vidi na sliki. Dobljeno maso kvarka nato uporabimo za izračune ostalih hadronov,
npr. maso protona, ki vsebuje kvarke in . Na končen rezultat numeričnega izračuna
mase vpliva več stvari. Kot smo videli, je rezultat odvisen od izbrane (umerjene) mase
kvarkov, odvisen pa je tudi od Velikosti naše mreže , števila točk na mreži in razdalje med
točkami . Maso protona je prikladno računati z velikimi masami kvarkov (večjimi od
eksperimentalno določenimi mas), saj računanje z majhnimi masami povzroča nekatere
probleme [3]. Do numerične napake pride tudi zaradi diskretizacije sicer zveznega prostor-
časa. Napako lahko popravimo tako, da izračunamo maso za več različnih diskretizacij mreže
in nato končen rezultat dobimo z ekstrapolacijo ter (kontinuumska limita ter
neskončnost prostora).
5.1 Rezultati raziskovalne skupine BMW (Budapest-Marseille-Wuppertal)
Za zaključek bomo predstavili nedavne rezultate že omenjene 'BMW' skupine, saj imajo
njihovi računi zaradi ogromnega nabora konfiguracij male sistematične napake. Videli bomo,
s kakšnimi konfiguracijami mreže so računali, kako so implementirali limito fizikalne mase,
kontinuumsko limito, kakšen vpliv je imel končen volumen prostor-časa in končne rezultate.
SLIKA 7: RAČUNALNIŠKA OPREMA
SKUPINE BMW. MAKSIMALNA
ZMOGLJIVOST: 1 PETAFLOP
('FLOATING POINT OPERATIONS
PER SECOND'). V IR:
http://www.bmw.uni-
wuppertal.de/Computing.html
junij 2013
Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži
12
Oglejmo si set konfiguracij mreže, s katerim so računali mase hadronov:
SLIKA 8: KONFIGURACIJE MREŽE , S KATERIMI SO (BMW) RAČUNALI MASE HADRONOV. SLIKA JE IZVZETA IZ ČLANKA [4]. BARVNE
TOČKE SO KONFIGURACIJE PRI RAZLIČNIH VEL IKOSTIH MREŽE, RAZDALJAMI MED TOČKAMI IN ŠTEVILOM TOČK. PREDSTAVLJA
RAZLIČNE KONFIGURACIJE RAZDALJ MED TOČKAMI IN ŠTEVILOM TOČK.
S toliko konfiguracijami so računali tako, da so lahko dobro izpeljali kontinuumsko limito ter
limito fizikalne mase. Maso protona in ostalih hadronov so računali pri različnih velikostih
mreže ter pri različnih masah kvarkov umerjeni preko mase piona . Z odstotki je
podana pričakovana napaka pri izračunu mase piona zaradi končne dimenzije mreže.
Vidimo, da imajo vse konfiguracije napako mase piona ali manjšo, kar je zelo natančno.
SLIKA 9: EFEKT KONČNEGA VOLUMNA NA MASO PIONA TER MASO NUKLEONA . SLIKA IZVZETA IZ ČLANKA [5].
Na sliki 9 se lepo vidi, kako efekt končnega volumna pojema z večjim številom točk v vsaki
dimenziji ( ). Masa protona z večjim volumnom konvergira k neki končni masi. Vidimo,
da moramo za natančno simulacijo vzeti recimo točk v vsaki dimenziji, kar za celotno
mrežo pomeni samo krajevnih točk, nato pa še vsaj 32 časovnih točk (čas ni
nujno diskretiziran na enako točk kot prostor).
Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži
13
SLIKA 10: LIMITA FIZIKALNE MASE. SLIKA IZVZETA IZ ČLANKA [5]. NA SLIKI VIDIMO REZULTATE RAZLIČNIH KONFIGURACIJ MREŽE, KI
SO OZNAČENI GLEDE NA RAZDALJO MED TOČKAMI . GORNJA KRIVULJA PREDSTAVLJA MASO BARIONA , SPODNJA PA MASO
NUKLEONA ( ) V ODVISNOSTI OD MASE KVARKOV, KI USTREZAJO DOLOČEN I MASI PIONA .
Na sliki 10 vidimo, kako so z ekstrapolacijo krivulje, ki predstavlja odvisnost mase protona
od mase kvarka (ali mase piona), dobili fizikalno maso. Za končen rezultat so vzeli maso
protona, kot bi jo dobili pri enakem računu, vendar s fizikalno maso kvarka.
SLIKA 11: KONTINUUMSKA LIMITA. SLIKA IZVZETA IZ ČLANKA [4]. NA SLIKI VIDIMO MASO NUKLEONA IN MASO BAR IONA DELTA
IZRAČUNANO PRI RAZLIČNIH RAZDALJAH MED T OČKAMI MREŽE . RDEČA ČRTA PREDSTAVLJA MASO DELTE, ZELENA PA MASO
NUKLEONA.1
Na podoben način kot prej, so naredili še kontinuumsko limito. Maso protona so izračunali pri
različnih razdaljah med točkami mreže, nato pa krivuljo, ki predstavlja maso v odvisnosti od
razdalje med točkami, ekstrapolirali proti razdalji med točkami . V tem primeru je bila
odvisnost mase sorazmerna s kvadratom razdalje ( . Po obeh limitah pridemo do
končnega rezultata. Oglejmo si maso protona in ostalih hadronov, ki jih je skupina MBW
izračunala numerično preko kvantne kromodinamike na mreži:
1 Rezultati slike 8 so izračunani za veliko maso kvarka ( .
Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži
14
SLIKA 12: KONČEN REZULTAT. SLIKA IZVZETA IZ ČLANKA [5]. VODORAVNE ČRNE ČRTE IN SIVA OBMOČJA SO EKSPERIMENTALO
IZMERJENE MASE IN NJ IHOVE RAZPADNE ŠIRINE. REZULTATI NUMERIČNEGA RAČUNA SO PRIKAZANI Z RDEČIMI KROGCI, Z MODRIMI
KROGCI PA SO OZNAČEN I VHODNI PARAMETRI, KI SO UPORABLJENI ZA IZRAČUN MASE KVARKOV. VHODNI PARAMETRI SO BILI MASA
PIONA , MASA KAONA TER MASA BARIONA KSI Ξ.
6 Zaključek
Več kot vidne mase v vesolju je sestavljene iz protonov in nevtronov [5]. Ugotovili smo,
da so neposredni prispevki mase kvarkov k masi protona zanemarljivi, torej je večina mase
protona vezavna energija med kvardi in . Za maso kvarkov in
poskrbi Higgsov bozon, za ostalo maso protona pa odgovarja interakcija med
kvarki. V seminarju smo pokazali, kako se opiše takšno interakcijo med kvarki in kako se s
kromodinamiko na mreži numerično reproducira maso protona.
Predstavili smo kvantno teorijo polja, ki je teoretično ozadje kvantne kromodinamike na
mreži, vpeljali smo formalizem s popotnim integralom in pokazali, kako se preko dvodelčnih
korelacijskih funkcij pride do mase protona. Na koncu smo si ogledali numerične rezultate
skupine Budapest-Marseille-Wuppertal, ki se dobro ujemajo z eksperimentalno določenimi
masami hadronov.
Literatura
[1] Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder, An introduction to quantum field theory, Library of
Congress Cataloging-m-Publication Data, 1995
[2] Saša Prelovšek, Quantum Cromodynamics on Lattice, seminar, 1997
[3] Luka Šantelj, Izračun mase najlažjih mezonov s kromodinamiko na mreži, diplomsko delo, 2009
[4] Stephan Durr et al., Lattice QCD at the physical point: Simulation and analysis details,
2010, [arXiv: 1011.2711]
[5] Stephan Durr et al., Ab-initio Determination of Light Hadron Masses, Science 322:1224-1227,
2008, [arXiv: 0906.3599]
[6] J. Beringer et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D86, 010001 (2012)
[7] Dean Carmi et al., Higgs After the Discovery: A Status Report, 2012, [arXiv:1207.1718]