Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine1 I vettori - 1.
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine1 Il prodotto scalare.
-
Upload
niccolo-leo -
Category
Documents
-
view
213 -
download
0
Transcript of Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine1 Il prodotto scalare.
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
1
Il prodotto scalare
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
2
Vettoriil prodotto scalare
Attenzione: il nome di “prodotto” può trarre in inganno
Si tratta di sempre operazioni nuove, su enti nuovi, le cui proprietà vengono definite caso per caso
Ci sono solo analogie superficiali col prodotto fra numeri reali!
Definizione
x x y y z zv w v w v w v w
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
3
Vettoriil prodotto scalare
Il risultato è uno scalare Numero indipendente dal sistema di
riferimento! La dimostrazione è un po’ lunga e non la
facciamo
Comunque il prodotto scalare fornisce un
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
4
Vettoriil prodotto scalare
numero indipendente dal sistema di
riferimento È detto prodotto scalare o interno
Inner product, dot product
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
5
Vettoriil prodotto scalare
Si dà significato al prodotto scalare di un vettore per sé stesso
Questo è detto il quadrato del vettore
2 2 2 2x y zv v v v v v
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
6
Vettoriil prodotto scalare
Si definisce come modulo del vettore il numero
Attenzione: non confondete un vettore col suo modulo!
Questa è una ragione per cui i vettori vengono segnalati in modo tipograficamente diverso dacli scalari o dai numeri in generale
2 2 2x y zv v v v v v
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
7
Vettoriil prodotto scalare
Un vettore con modulo unitario viene detto versore
unit vector
Viene indicato con un simbolo che lo distingue Di solito
Prendiamo ora un vettore generico...
V̂
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
8
Vettoriil prodotto scalare
Dato un vettore potremo Calcolare il suo modulo
Definire il vettore
Per definizione questo ha modulo unitario
x y zv v vv
2 2 2x y zv v v v v
ˆ yx zvv v
v v v v
vv
ˆ 1v
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
9
Vettoriil prodotto scalare
Chiameremo questo vettore un versore, e precisamente il versore del vettore
Unit vector in inglese Quindi il vettore potrà essere scritto
sempre come ˆ ˆv v v v v
v
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
10
Vettoriil prodotto scalare
Sono importanti i versori degli assi coordinati
Ogni vettore può sempre essere scritto come
ˆˆ 1 0 0
ˆˆ 0 1 0
ˆˆ 0 0 1
x i
y j
z k
ˆ ˆ ˆx y zV V V V x y z
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
11
Ecco i versori coordinati
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
12
Vettoriil prodotto scalare
Vediamo ora il significato geometrico del prodotto scalare Mettiamoci in 2D Scegliamo un sistema di riferimento
speciale Dato che si tratta di vettori…
ˆ ˆ0 0
ˆ ˆx y x y
V V
W W W W
V x y
W x y
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
13
V
W
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
14
Vettoriil prodotto scalare
Calcoliamo il prodotto scalare
E quindi x x y y xVW V W VW V W
2 2
2 2 2 2
cos
x y xx
x y x y
VW
W W WV W VWW W W W
VW
V W
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
15
Vettoriil prodotto scalare
Attenzione: è il prodotto dei moduli per il coseno dell’angolo compreso...
Se usiamo l’interpretazione tramite “freccette” Utile, però da prendere con le molle…
…non il modulo del primo per la componente del secondo nella direzione del primo
E perché non viceversa?
Questione NON banale La ritroveremo!
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
16
Vettoriil prodotto scalare
Proprietà del prodotto scalare Commutativa Distributiva rispetto alla somma di vettori NON associativa!
Attenzione: il prodotto scalare viene definito solo fra DUE operandi! Ecco una differenza dal prodotto
numerico!
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
17
Vettoriil prodotto scalare
Ogni vettore si può sempre scrivere come
Notate che
Etc...
ˆ ˆ ˆx y zV V V V x y z
ˆxVV x
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
18
Vettoriil prodotto scalare
Dato il significato geometricoapplichiamolo ad un versore generico e
ad un versore fondamentale
LE COMPONENTI DI UN VERSORE SONO I COSENI DEGLI ANGOLI
FRA IL VERSORE E L’ASSE CORRISPONDENTE
cosVW V W
ˆ ˆˆ ˆ cos cos x V x V x
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
19
Ecco gli angoli in questione
Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
20
Vettoriil prodotto scalare
Si chiamano
COSENI DIRETTORI