Margita Vajsáblová

Margita VajsáblováVajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 35

Základné pojmy a oZákladné pojmy a obraz braz bodu v Mongeovej projekcii bodu v Mongeovej projekcii

A

Priemetne:

– pôdorysňa, 1s ,

– nárysňa, 2s ,

x12

11ssAA

22ss

A´1

A1

A2

A2

A1

x12

11ss

22ssAA

Priemety bodu A: 1sA = A´1 – pôdorys bodu A, 1sA: A1sA ,1sA ,

Združenie priemetní:

otočíme do okolo x, A´1 sa otočí do A1,

A1, A2 – združené priemety bodu A,

platí A1A2 x12,

A1A2 – ordinála bodu A.Definícia: Bijektívne zobrazenie, ktoré každému bodu A 3 priradí združené priemety [A1, A2 ],

A1A2 x12, voláme kolmé premietanie na dve navzájom kolmé priemetne – Mongeova projekcia.

2sA = A2 – nárys bodu A, 2sA: A2sA ,2sA .

, = x, označujeme ju x12 – základnica.

●

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 36

Obraz Obraz bodu v Mongeovej projekcii bodu v Mongeovej projekcii

A

Pravouhlá súradnicová sústava:

x, y , A1 [xA, yA], kde x je základnica,

x, z , A2 [xA, zA],

x12

A´1

A1

A2

A2

A1

x12

I.I.

+z -y

+y -z

zzAA

yyAA

xxAA

y

z

O

O

xxAA

yyAA

zzAA

Kvadranty: a rozdeľujú 3 na 4 kvadranty

I. kvadrant y 0, z 0, II. kvadrant y 0, z 0,

III. kvadrant y 0, z 0, IV. kvadrant y 0, z 0.

V združení priemetní: +z -y, +y -z

Body priemetní:

P P1 P, P2 x12 , zP = 0

II.II.

III.III.

IV.IV.

P1 P

P2

N2 N

N1

N N1 x12 , N2, N, yN = 0

2 1


Obraz Obraz priamky v Mongeovej projekcii priamky v Mongeovej projekcii

Stopníky priamky: a = Pa – pôdorysný stopník priamky a,

x12

a1

x12

a

Konštrukcia nárysného stopníka:

a1 x12 = Na1 , N2 a2 .

Pa1 Pa

Pa2

Na2 Na

Na1

a2

a1

a2

Pa2

Pa1 Pa

Na2 Na

Na1

Konštrukcia pôdorysného stopníka:

a2 x12 = Pa2 , P1 a1

a = Na – nárysný stopník priamky a.


Obraz Obraz priamok v Mongeovej projekcii priamok v Mongeovej projekcii

1) a a1 Pa1 , a2 x12.

x12 x12

a

a1 Pa1

Pa2

b2 Nb2

a2

Pa2

Na1

b

b1

a2

a1 Pa1

b2 Nb2

b1

●

●

2) b b2 Nb2 , b1 x1.

x12

a

a1

b2

a2

b

b1

Na2

Pa1

x12Pa

2 Na1

b2

b1

●

Pa1

a1 a2

Na2

3) a x a1 a2 x12. 4) b x b1 b2 x12.


5) a a2 x12

x12 x12

a

a1

a2

Na1

a2

a1

x12

b2b

b1

Pb1

x12

b2

b1Pa1

6) b b1 x12

Na1

Na2 Na

2

Pb2

Pa2

Obraz Obraz priamok v Mongeovej projekciipriamok v Mongeovej projekcii Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 40

x12

Obraz Obraz roviny v Mongeovej projekcii roviny v Mongeovej projekcii

Stopy roviny: = p – pôdorysná stopa roviny ,

x12X

Ak priamka leží v rovine a má stopníky, potom jej pôdorysný stopník leží na pôdorysnej a nárysný na nárysnej stope roviny:

P a1 p

1 , N a2 n

2

= n – nárysná stopa roviny . Ak existuje X = p n , potom X x.

p1 p

n2 n

X

p1

n2

a

a1

Pa1

Pa

Na

Pa2

Na2

Na1

a2


Roviny v Mongeovej projekcii Roviny v Mongeovej projekcii

1) 2 n2 x12

x12 x12

2 n

2

x12

x12

2) x p1 n

2 x12

2 n2

n2

p1

n2

p1


●

Roviny v Mongeovej projekcii Roviny v Mongeovej projekcii

3) 1 p1 , n

2 x12

x12

x12

x12

4) 2 n2 , p

1 x12

1 p1

2 n

2

p1 p

1

n2

●

1 p1

n2

●

●

2 n2

x12


Hlavné a spádové priamkyHlavné a spádové priamky roviny v Mongeovej projekcii roviny v Mongeovej projekcii

Hlavné priamky I. osnovy roviny : Ih , Ih

1 p

1 , Ih2

x12.

x12

p1

n2

p1

n2

Nh1

Spádové priamky I. osnovy roviny : Is Ih ( p),

Is1

p1 , Is

2 = Ps

2 N s2.

Ih

Ih1

Ih2

Nh2

Ih2

Ih1

Is

●

●

Is1

Ps1

Ps2

Is2 Ns

1

Ns2

x12●

●


Hlavné a spádové priamkyHlavné a spádové priamky roviny v Mongeovej projekcii roviny v Mongeovej projekcii

Hlavné priamky II. osnovy roviny : IIh IIh

1 x12, IIh

2 n

2

x12

p

1

n2

p1

n2

Ph2

Spádové priamky II. osnovy roviny : IIs IIh (n)

IIs2

n2 , IIs

1 = Ps

1 N s1

IIh

IIh1

IIh2

Ph1

IIh2

IIh1

IIs

●

IIs1

Ps1

Ps2

IIs2

Ns1

Ns2

x12

●


Vzájomná poloha 2 priamok v Mongeovej projekcii Vzájomná poloha 2 priamok v Mongeovej projekcii

1)1) Rovnobežné priamky aRovnobežné priamky a, , bb,, ak nie sú kolmé na žiadnu z priemetní

a a b a1 b1, a2 b2.

x12

a1

a2 Na2

b2 Nb2

b1

●

a1

a2

b1

b2

x12

x12

a1 b1

b2 Nb2

●

a2 Na2

a2b2

x12

a1 b1

Ak sú rovnobežné priamky kolmé na niektorú z priemetní, ich priemetom v nej sú 2 body.


Vzájomná poloha 2 priamok v Mongeovej projekcii Vzájomná poloha 2 priamok v Mongeovej projekcii

2)2) Rôznobežné priamky aRôznobežné priamky a, , b:b: a b = R a1 b1 = R1 , a2 b2 = R2 , potom R1 R2 x12 .

x12

a1

a2 Na2

b2

b1

●

a1

a2

b1

b2

x12

a2b2

x12

a1 b1

3) Mimobežné priamky aMimobežné priamky a, , b:b: neplatia predchádzajúce pravidlá pre rovnobežné, ani rôznobežné priamky.

R1

R2

●

x12

a1

a2 Na2

b2

b1

●

a1

a2

b1

b2

x12 x12

a1

a2

b2

b1


VzVzájomná poloha 2 rovín v Mongeovej projekcii ájomná poloha 2 rovín v Mongeovej projekcii

1) 1) Rovnobežné roviny:Rovnobežné roviny:

, ak existujú ich stopy p1 p

1, n2 n

2

x12

x12

p1

n2

p1

p1

n2

p1

n2

n2

p1

n2

p1

n2

p1

n2

2)2) Rôznobežné roviny:Rôznobežné roviny:

= m Pm = p p, Nm = n

n2 .

n2

p1

mNm

2

Nm1

Pm1

Pm2

m2

m1

Nm

Pmx12

x12


Postup v Mongeovej projekcii, dané je a[a1, a1], (p , n ), určte a :

1. : a , a 1 p

1, n2 x12

VzVzájomná poloha priamky a roviny v Mongeovej projekcii ájomná poloha priamky a roviny v Mongeovej projekcii Všeobecný postup a :

1. Priamkou a preložíme ľubovoľnú rovinu : a .

x12

x12

n2

a 1

p1

n2

p1

Nm1

Pm1

Pm2

m2

Pm

m

Nm

a

R

a

R

m

n2

Nm2

n2 a2

R2

R1

2. Nech m je priesečnica rovín a : m.

3. Podľa vzájomnej polohy priamok a a m určíme vzájomnú polohu priamky a a roviny :

a, a m a b, a m a

c, a m =R R = a

2. m : a 1 p1 m 1 , m2 = Pm

2 Nm2

3. a, a2 m2 a

b, a2 m2 a

c, a2 m2 =R2 R = a

a 1 m 1 p1

p1 m

1


Viditeľnosť pôdorysu: Porovnávame bod na priamke a v rovine, ktorých pôdorysy sú totožné a viditeľný je ten, ktorý má väčšiu z-tovú súradnicu:

1. a 1 p 1=A1 P1, A a , P p

Viditeľnosť priamky vzhľadom na rovinu v Mongeovej projekcii Viditeľnosť priamky vzhľadom na rovinu v Mongeovej projekcii

x12

a 1

p1

p1

Pm1

Pm2

m2

Pm

m

Nma

R

n2

n2 a2

R2

R1

2. A2 a2 , P2

x12

3. zA zP bod A vidíme, teda

vidíme polpriamku

a 1 m 1 p1

p1 m

1

11AR

A1

A2

A

A´2 N2

A´1

N1

Viditeľnosť nárysu: Porovnávame bod na priamke a v rovine, ktorých nárysy sú totožné a viditeľný je ten, ktorý má väčšiu y-ovú súradnicu:

1. a 2 n 2=A´2 N2, A´ a, N n ,

2. A´1 a1 , N1 x12 ,

3. yA´ zN bod A vidíme, teda vidíme polpriamku .´22 AR

x12

n2

n2


Margita Vajsáblová

Documents

Transcript of Margita Vajsáblová