UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO

DEL PERÚ

Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

M Á Q U I N A S E L É C T R I C A S

I (061C)

Profesor de la Asignatura:

Ing. Pedro Ramiro Maraví

Gutarra

1

Huancayo, agosto de 2009

MÁQUINAS ELÉCTRICAS I

Introducción. - La Máquina Eléctrica, es un dispositivo que a través de la acción de un

campo magnético convierte energía mecánica en energía eléctrica (generador), o convierte

energía eléctrica en energía mecánica (motor), o convierte energía eléctrica de corriente

alterna de un nivel de voltaje en energía eléctrica de otro nivel de voltaje, a una misma

frecuencia y manteniendo la potencia prácticamente constante (transformador).

Son máquinas limpias, silenciosas, versátiles, compactas, de fácil mantenimiento.

Clasificación de las Máquinas Eléctricas:

a) Máquinas Eléctricas Estáticas; aquellas que para realizar conversión de energía no

requieren del movimiento de una de sus partes como los transformadores,

autotransformadores, conversores e inversores.

b) Máquinas Eléctricas Rotativas; aquellas que poseen rotor como los generadores de

corriente continua (dinamos), motores de corriente continua, generadores síncronos

(alternadores), motores síncronos (generadores de potencia reactiva), generadores

asíncronos, y motores asíncronos.

MATERIALES MAGNETICOS

1. Materiales Ferromagnéticos (Fe, Co, Ni), la imantación que adquieren en los

campos magnéticos es alta; y pueden convertirse en imanes permanentes, conservando

la imantación fuera de los campos donde la obtuvieron, generan líneas de flujo con

facilidad, tienen μr >>1. Por lo que se usan en circuitos magnéticos.

2. Materiales Paramagnéticos (Al, Pt, Mn, Aire) y Diamagnéticos (Ag, Cu, H2O),

la imantación que adquieren es proporcional al campo, siendo débil en el primero y

débil negativo en el segundo, son malos conductores del flujo magnético.

MATERIALES FERROMAGNETICOS: Los circuitos magnéticos tienen la función

de llevar el flujo magnético por un determinado camino, reduciendo así su dispersión;

por lo que se usa como núcleo magnético, tienen μr >>1 que permite la obtención de

altas densidades de flujo (B) con intensidades de campo (H), pequeños, así:

El más usado es el hierro y sus aleaciones con otros metales, así tenemos:

2

- Hierro Puro : Tiene propiedades magnéticas excelentes.

- Acero Silicio : Contiene de 0,25 a 5 % de silicio que al recibir tratamiento térmico,

aumenta su permeabilidad y aumenta su resistencia eléctrica que es importante

para disminuir las pérdidas por corrientes parásitas de Foucault, sus derivados son:

Silicio Grado electrical; Acero – Silicio Grado transformador - 72; Acero laminado

en frío; Acero Fundido; Hierro fundido.

PERMEABILIDAD MAGNETICA DEL MATERIAL ( ).- Es la facilidad

relativa que presenta un material para que en él se establezca un campo magnético.

PERMEABILIDAD DEL ESPACIO LIBRE (AIRE):

PERMEABILIDAD RELATIVA DE UN MATERIAL ( ); es la relación entre su

propia permeabilidad y la del espacio libre: μr = μ/μ0; ; sirve para comparar

la facilidad con que se magnetiza los materiales. Los aceros utilizados en máquinas

tienen μr de 2000 a 6000 y aun más; significa que para una corriente, en una pieza de

acero, se establece un flujo de 2000 a 6000 veces mayor que en una superficie igual a

la del espacio libre (aire). El núcleo de hierro al tener μr >>1 concentra la mayor parte

del flujo magnético, dentro del núcleo en vez de pasar a través del aire circundante.

Lamentablemente los materiales ferromagnéticos no tienen la permeabilidad relativa

constante sino que varía con la densidad de flujo con que trabaja el material, es decir,

luego de alcanzar un valor máximo baja notablemente cuando se llega a la zona de

saturación del núcleo magnético, ya que después de haber alcanzado el flujo de

saturación, el material ya no contribuye con su ferromagnetismo al aumento de

densidad de flujo magnético, en otras palabras el flujo adicional se dispersa en el aire .

Existen aleaciones antimagnéticas o aislantes magnéticos (μr=1.1- 1.4), como el

acero al Mn y el acero al Ni utilizadas como perno de amarre en los núcleos de trafos.

3

2. CARACTERISTICAS DE LOS MATERIALES MAGNETICOS

Curva de Saturación o de Magnetización; llamada también curva B – H.

El Lazo Histéresis; Muestra la relación instantánea entre la densidad de Flujo (B)

y la intensidad (H) en un ciclo completo de operación.

Curva de Saturación o de Magnetización.- Es una característica principal de los

materiales magnéticos, resulta de graficar la ecuación: , donde µ es considerada

constante (o lineal) sólo en la zona “no saturada”. La curva se obtiene aplicando una

corriente continua (I) a la bobina arrollada en el núcleo, comenzando con 0 amperios y

luego aumentando lentamente hasta la corriente máxima permisible; observándose que a

medida que se aumenta la corriente en la bobina (NI), aumentará la intensidad de campo H

y a cada valor de H le corresponde un valor de B; graficando B – H, tenemos:

4

La pendiente de la curva , es por definición la permeabilidad (µ) del núcleo, pues:

, es decir, si a cada valor de H le corresponde un valor de B, entonces la

permeabilidad será: . La curva muestra que la permeabilidad es grande y

relativamente constante en la región no saturada y luego decrece gradualmente hasta un

valor muy pequeño (en a – b – c) cuando el núcleo está muy saturado.

Como y se observa que, para un núcleo dado, la intensidad

magnetizante H es proporcional a la fuerza magnetomotriz

(NI) y que la densidad de flujo (B) es proporcional al flujo

( ). Por lo tanto la relación de vs NI tiene la misma

forma que la curva .

Se observa que al comienzo, un pequeño incremento en la

f.m.m. produce un gran crecimiento del flujo resultante:

tramo o-a; después de un cierto punto, incrementos adicionales de f.m.m. producen

crecimientos relativamente pequeños en el flujo: tramo a-b; finalmente un aumento en la

f.m.m. no produce ningún cambio de flujo: tramo b-c; la región en la cual la curva se hace

horizontal se llama región de saturación y se dice que el hierro está saturado. Al contrario

la región o-a, donde el flujo cambia rápidamente se llama

región no saturada, se dice que el hierro no está saturado. La

zona de transición entre la zona saturada y la zona no

saturada es a-b, y se llama el codo de la curva.

Otra curva característica de los ferromagnéticos es la curva

, la que con las curvas y permiten

realizar cálculos y diseñar los núcleos de las máquinas eléctricas.

Estas curvas han sido obtenidas en base a un conjunto de pruebas experimentadas. Se

exponen en el siguiente orden:

Curva Nº 1: en escala semilogarítmica: y .

Curva Nº 2: en escala simétrica: y

aplicable en método gráfico.

Curva Nº 3: en escala simétrica: y aplicable en

método gráfico.

5

Curva Nº 4: en escala semilogarítmica para acero laminado M-19 y

Curva Nº 5: en escala simétrica: y

Curva Nº 6a: y en escala semilogarítmica para acero H23 – 0.35 mm

(0,014 pulg). Facilita cálculo de valores pequeños: y

Curva Nº 6b: y en escala simétrica para acero H23 – 0.35 mm (0,014

pulg). Facilita cálculo de problemas con valores iniciales: y

Curva Nº 7a: y en escala logarítmica para acero H23 – 0.50 mm (0,020

pulg). Facilita cálculo de valores pequeños: y

Curva Nº 7b: y en escala simétrica para acero H23 – 0.50 mm (0,020

pulg). Facilita el empleo del método gráfico, usando la recta de pendiente modificada:

y

Unidades Empleadas en electromagnetismo:

MAGNITUD SIMBOLO UNIDADcgs

UNIDADMKS

UNIDADSISTEMA INGLES

Intensidad de campo

H

Densidad de flujo B

Flujo Magnético

Fuerza Magnetomotriz

Fmm=NI

Inductancia L

Factores de conversión:

DADO MULTIPLIQUE POR PARA OBTENERKilolineas 1000 Líneas o MaxwellsKilolineas 1.0 x 10-5 Webers

6

1.0 x 105 Kilolíneas

1.0 x 108 Líneas o Maxwells

1.0 Tesla

64.52

1.0 x 104 Gauss o Líneas/cm2

155.0 Gauss

0.0155

2.54 x 10-2

39.37

El Ciclo de Histéresis: Al aplicar corriente alterna a los devanados del núcleo, mientras la

corriente crece, el flujo en el núcleo varía según la curva a-b, esta es básicamente la curva

de magnetización; cuando la corriente disminuye, el flujo decrece describiendo la curva b-

c-d, cuando la corriente vuelve a aumentar, varía según la curva d-e-b, generando menores

flujos para corrientes iguales: para un mismo valor de I1 según la trayectoria a-b produce

un flujo , mientras en la curva d-e-b produce ´, donde . La trayectoria cerrada

b-c-d-e-b se denomina ciclo de histéresis o lazo de histéresis.

La variación del flujo en el núcleo según la curva, será a-b-c, no regresa a cero, sino que

queda un campo magnético, cuyo flujo es el segmento a-c, este valor es el flujo residual,

la energía correspondiente es el área de la región “achurada”. Así se produce imanes

permanentes, para lograr que el flujo vuelva a ser cero es necesario aplicar, en sentido

contrario, una de fuerza magnetomotriz llamada fuerza magnetomotriz coercitiva: Fmmc.

7

Principio Del Fenómeno De Histéresis.- Dentro del material magnético hay regiones

pequeñas llamadas dominios magnéticos; en cada dominio todos los átomos están

alineados con sus campos magnéticos en la misma dirección, cada dominio actúa como un

pequeño imán permanente. La razón por la que el hierro aparezca sin flujo es que la gran

cantidad de minúsculos dominios están orientados al azar dentro del material.

Al aplicar un campo magnético exterior a esta barra de hierro, los dominios tienden a

orientarse en la dirección de dicho campo, creando el flujo magnético en el hierro, el cual a

su vez hace que nuevos átomos y dominios cambien su orientación incrementando la

intensidad del campo magnético. Este proceso de realimentación positiva hace que el

hierro alcance una permeabilidad mayor que la del aire.

Cuando casi todos los átomos y dominios se hayan alineado con el campo exterior, un

nuevo aumento de la fmm solo podrá causar un incremento en el flujo igual al que se

lograría en el espacio libre; el hierro está saturado con el flujo (región saturada de la curva

de magnetización). La causa de histéresis radica en que, cuando se suspende el campo

magnético exterior no todos los dominios se reorientan al azar nuevamente, sino que se

requiere cierta energía de un campo magnético exterior.

3. PERDIDAS EN EL NUCLEO

Si alimentamos con corriente continua a una bobina con núcleo de hierro, no se produce

calentamiento en el hierro, las únicas pérdidas serán las que se producen en la resistencia

interna de la bobina. Si la corriente de magnetización es alterna, el núcleo se calienta y se

producen unas nuevas pérdidas llamadas “pérdidas en el núcleo”, que son debido a la

variación del campo magnético y flujo magnético. Estas pérdidas son de dos tipos:

-Pérdidas por Histéresis.

-Pérdidas por corrientes Parásitas o de Foucault.

Pérdidas por Histéresis (Ph).- Es la energía necesaria para lograr la reorientación de los

dominios durante cada ciclo de corriente alterna aplicada al núcleo. Esto se cuantifica en el

8

flujo residual (o magnetismo remanente) que retiene todo material ferromagnético. El área

encerrada por la curva o lazo de histéresis es proporcional a la energía perdida en un ciclo.

Esta pérdida está dada por la fórmula experimental: …… (1)

Donde: = coeficiente de STEINMETZ

n = exponente de STEINMETZ

vol = volumen material del núcleo

f = frecuencia de la corriente alterna.

La demostración sería: Fem = e = Nd /dt = dλ/dt ....... (2)

λ = N es el flujo concatenado; es el valor instantáneo del flujo variable con el tiempo.

Si existe una relación lineal entre por ser constante la permeabilidad del material,

se define e por medio de la inductancia …… (3). La inductancia en

función del campo: e en (2): …… (4)

…. (5); La reluctancia R depende de la forma y tamaño del

material del núcleo. Como en (3): en (2): ………. (6)

En los circuitos magnéticos estáticos la inducción es fija, y la ec. (6) se reduce a:

………. (7)

En las máquinas, la inductancia puede ser variable con el tiempo, por lo que la ec. (6) será:

………. (8)

La potencia en las terminales de la fig. : watt, …. (9)

La variación de la energía en un circuito magnético en el intervalo de tiempo t1 a t2 es:

2 2

1 1

t

camp tW Pdt id

………. (10)

9

En función del campo:

En (10):

…….(11)

donde: = volumen del material del núcleo.

= densidad de la energía magnética en el núcleo.

………. (12)

Si es constante, entonces

en (12):

Si B1 = 0 y haciendo B2=B

………. (13)

Con constante (ideal), esta energía (ec.13) queda almacenada en el campo magnético y

es devuelta íntegramente cuando B vuelve a anularse. En

los materiales ferromagnéticos cuyas permeabilidades

varían, no devuelven toda la energía almacenada, una parte

se queda en el núcleo bajo forma de calor.

10

En la figura, la curva descendente representada por la línea ab. Cuando Hc se reduce a

cero, sólo una parte de la energía absorbida por el campo durante el periodo de crecimiento

es restituida al circuito, (representado por el área abc). El resto de la energía queda, en

parte almacenada en la energía cinética de los electrones productores del flujo residual, en

parte se disipan en pérdidas debidas al ordenamiento de sus “dominios” (histéresis) y a las

corrientes parásitas y se manifiestan en forma de calor. La energía total absorbida por el

núcleo en el proceso de ascenso y descenso oab está representada por el área oabo. Si la

variación es lenta, o sea con bajas frecuencias (0<f<200), el efecto de las corrientes

parásitas son despreciables y, en condiciones cíclicas, las pérdidas por histéresis pueden

determinarse por el área comprendida en la curva o lazo de histéresis.

La ec.12 aplicado al ciclo de histéresis: joule ….. (14)

La integral cíclica representa el área del ciclo, si el ciclo se repite a una

frecuencia f, entonces se disipará f veces por segundo de energía:

Watt (Pérdidas por Histéresis.)…..(15)

La integral cíclica es complicada, pues dificulta la variación magnética del material; el

estudioso Steinmetz ha hecho experimentos y pruebas del cual se sacó un promedio y

determinó una ecuación empírica que involucra una buena aproximación:

Ergio/unidad de volumen (16)

Y las pérdidas para una frecuencia f y un volumen dado del núcleo Vol; será:

(17)

Para determinar los valores de y n se pueden proceder de la siguiente manera:

Dividimos a ambos miembros por la f y vol y tomamos logaritmos:

(ecuación de una recta).

11

En papel logarítmico se puede trazar la recta, una vez que se hayan determinado por

mediciones directas varios valores de Ph y Bmax. La pendiente de la recta nos proporcionará

“n” y su intersección con el eje “y” nos dará el valor de “ ”

Pérdidas por Corrientes Parásitas de Foucault (PF).- Cuando se magnetiza un núcleo

ferromagnético con una corriente alterna el flujo que se produce resulta ser también

variable, este flujo variable induce en el núcleo tensiones alternas, de la misma manera que

hace un devanado sobre él: ………(18)

Como el núcleo es conductor de la corriente eléctrica, esta tensión inducida produce

remolinos de corriente eléctrica (corrientes parásitas) que fluyen dentro del núcleo, cuyo

promedio representamos por I´, esta corriente produce pérdidas , que se disipa en

forma de calor en todo el volumen del núcleo, donde R es la resistencia promedio del

núcleo. Estas son las pérdidas (Eddy Loss) o de Foucault (PF).

La energía perdida a causa de las corrientes parásitas o de Foucault, es proporcional a la

longitud de la trayectoria seguida dentro del núcleo. Por esta razón, cuando el núcleo va a

estar expuesto a flujos alternos, se lamina con varias capas delgadas de espesor “t”. Entre

capa y capa se coloca una resina o barniz aislante para que las trayectorias de las corrientes

parásitas queden limitadas a áreas muy pequeñas, y no puedan circular libremente de una

lámina a otra. Las capas de aislantes deben ser delgadas para reducir las pérdidas por

corrientes parásitas sin disminuir las propiedades magnéticas del núcleo.

Las pérdidas por efecto de las corrientes parásitas de Foucault son cuantificadas en la

siguiente fórmula: (19)

= resistividad del núcleo de hierro.

f = frecuencia

t = espesor de las láminas

12

Bmax = densidad máxima del campo magnético

LAS PÉRDIDAS TOTALES EN EL NÚCLEO FERROMAGNÉTICO: En la práctica,

interesa las pérdidas totales en el núcleo para definir los rendimientos de las máquinas.

Estas pérdidas totales serán la suma de las pérdidas por histéresis y por Foucault, o sea:

………. (20)

(17) y (19) en (20): .………. (21)

Las pérdidas por corrientes parásitas se pueden limitar aumentando la resistividad del

núcleo y laminando el material y de esta manera nos representa un pequeño porcentaje de

pérdidas totales, mientras que las pérdidas por histéresis es más dificultoso limitarlo, es

casi inevitable, por eso generalmente alcanza el 75% de las pérdidas totales.

En la práctica las pérdidas se dan siempre por unidad de peso o sea W/kg y generalmente

se escoge para el valor de 10 000 Gauss y para frecuencias de 60 y 50 c/s.

SEPARACIÓN DE PÉRDIDAS: Conociendo dos valores de las pérdidas totales de un

núcleo magnético, medidas a diferentes frecuencias pero con la misma densidad de flujo

máximo, es posible deducir sus dos componentes (pérdida por histéresis y pérdidas por

corrientes parásitas Foucault), analítica o gráficamente. Antes deduciremos ;

De: , ;

;

Valor eficaz:

y como

a) Separación de Pérdidas Analíticamente

Ya que: ……….. (22)

Si en esta expresión hacemos variar solamente la frecuencia podemos escribir:

……….. (23)

Siendo

y ……….. (24)

13

Bastará determinar los valores de a y b para resolver el problema, lo cual se consigue

efectuando dos mediciones a las frecuencias f1 y f2.

b) Separación de Pérdidas Gráficamente

Se puede resolver el problema gráficamente, tomando como ordenadas los valores

y por abscisas las frecuencias, se ubican según las lecturas efectuadas

(1,2,3….) en el plano cartesiano, uniendo estos puntos tendremos una línea recta.

(es la ecuación de una recta)

Los valores de a y b se deducen directamente del gráfico y son:

y

NOTA: Las pérdidas totales se obtienen mediante aparatos especiales, el más conocido

es el aparato de Epstein, las frecuencias lo sabemos mediante el frecuencímetro,

actualmente existen medidores digitales que ahorran los tediosos trabajos tradicionales.

4. CIRCUITOS MAGNETICOS

4.1. GENERALIDADES:

La corriente (NI) o Fmm de la bobina, produce un flujo magnético ( ) que recorre la

longitud media cerrada ( ) del núcleo; ese recorrido lo hace venciendo la oposición

que le presenta el material del núcleo llamado reluctancia del material Rm.

Es análogo al circuito eléctrico:

Fmm= NI= R

14

= NI/R … (1) Fmm=NI=Fuerza magnetomotriz del circuito.

= Flujo magnético en el circuito R =

reluctancia del núcleo

Además sabemos que: ……….. (2)

ya que y

de (2) = (1) tenemos: ……….. (3)

cuya unidad es: ; como , entonces:

………. (4)

La reluctancia equivalente en serie: … (5)

Las reluctancias en paralelo: …. (6)

El inverso de la reluctancia es la permeancia P; es decir P=1/R

es el análogo magnético de la conductancia eléctrica .

El análogo magnético de la conductividad eléctrica es la permeabilidad magnética :

En resumen:

Tabla de analogía:

CIRCUITOS ELECTRICOS CIRCUITOS MAGNÉTICOS

PARAMETROS UNIDADES PARAMETROS UNIDADES

CORRIENTE: Amperios (A) Flujo Magnético Weber (Wb)

Fuerza Electromotriz: Fem= E Voltios (V) Fuerza Magnetomotriz:

Fmm= NI

Amperio –

Vueltas (A-V)

Resistencia : R

-

Ohm ( ) Reluctancia:

Conductancia: Permeancia:

15

Conductividad: Permeabilidad:

Resistividad: Reluctividad:

Los cálculos de flujo en el núcleo mediante el concepto de circuitos magnéticos, son

aproximaciones. En el mejor de los casos se logra el 5 % de error; esto se debe a:

1) La separación de las láminas por capas delgadas de

aislante

aumenta

la sección del núcleo.

2) El asumir que todo el flujo esta confinado dentro del

núcleo magnético. Esto no es cierto, siempre una pequeña fracción del flujo se sale del

núcleo al aire de alrededor donde la permeabilidad es baja. Este flujo se denomina

“Flujo de Dispersión”.

3) El cálculo de la reluctancia hacemos con una longitud

media lm y sección transversal Am del núcleo, estas suposiciones no incluyen las

deformaciones en las esquinas.

4) La permeabilidad de los materiales ferromagnéticos

varía según la cantidad del flujo que ya tengan. Esto introduce una fuente de error en

los cálculos.

5) La sección transversal efectiva del aire en el

entrehierro es mayor que la del núcleo, debido al

“efecto refrigerante” o “efecto de bordes” del

campo magnético en el entrehierro.

Se compensa en algo estos errores, introduciendo

factores o criterios técnicos siguientes:

FACTOR DE APILAMIENTO: Al construir con láminas separadas entre si por capas

aislantes un núcleo, se aumenta el área de su sección transversal y por lo tanto su volumen.

El factor de apilamiento o de laminación, se define como el cociente entre el área de la

sección recta de hierro y el área de la sección recta de la pila,

16

donde: =Sección transversal neta del material del núcleo

=Sección transversal real del núcleo, ( ).

fa, varía de acuerdo al espesor “t” de las láminas, mientras más pequeño sea el espesor,

mayor será la sección del núcleo debido al aumento de las capas aislantes; su valor se halla

comprendido entre 0,95 y 0,90 para espesores de láminas entre 0,63 mm y 0,35 mm,

respectivamente. Para láminas más delgadas entre 0,025 mm y 0,12 mm de espesor, el

factor de apilamiento se halla entre 0,4 y 0,75; luego el área útil sería:

Sean: a = ancho del núcleo

b = profundidad del núcleo (hierro + aislantes)

bm = profundidad neta del hierro. (bm = n.t).

donde: n = Nº de láminas en el núcleo; y t = espesor de las mismas

Luego: ;

Como:

AREA DEL ENTREHIERRO. – La dispersión de líneas se toma en

cuenta, aumentando la sección del entrehierro con respecto a la del

17

núcleo de acuerdo con la fórmula empírica: a y b son las dimensiones

de los lados de la sección del núcleo; g = longitud del entrehierro

“También el efecto de borde aumenta con la longitud del entrehierro”.

4.2. METODOS DE SOLUCION PARA PROBLEMAS DE CIRCUITOS

FERROMAGNETICOS: Se presentan los siguientes casos:

CASO 1: CIRCUITO SERIE RECTANGULAR SIN ENTREHIERRO Y

SECCIÓN CONSTANTE, DE UN MISMO

MATERIAL

1a.- Cálculo de la (fmm=NI), dato :

1. Se calcula

2. Con en la curva B – H del material encontramos Hm.

3. Con la ley de circuitación:

1b.- Cálculo de , dato (fmm=NI): 1. Se calcula ;

2. Con Hm en la curva B-H y encontramos Bm. 3.Luego resulta:

CASO 2: CIRCUITO SERIE RECTANGULAR CON ENTREHIERRO Y SECCIÓN

CONSTANTE, DE UN MISMO MATERIAL.

2a. Cálculo de (fmm=NI), dato :

1. Se calcula: y para el entrehierro , donde

. 2. Con Bm entramos a la curva B-H y

encontramos Hm. Determinamos

3. Luego:

2b. Cálculo de , dato (fmm=NI): Existen dos métodos:

METODO DEL TANTEO; consiste en el siguiente proceso:

1. Asumir un flujo cualquiera razonable.

18

2. Determinar: y .

3. Con en la curva B-H del material obtenemos Hm.

Con Bg en la recta B-H del entrehierro (aire) obtenemos Hg. También se puede aplicar:

;

4. Calculamos:

5. Si la fmm1=(NI)1 calculado se aproxima en 3% como

máximo, el flujo asumido será correcto, en caso

contrario seguiremos probando, asumiendo el nuevo flujo , así: Si: (NI)1< (NI)dato, se

asume > y se repiten los cálculos 2º ,3º y 4º

Si (NI)1> (NI)dato, se asume < y se repiten los cálculos 2º , 3º y 4º.

METODO GRAFICO; Empleo de la recta de pendiente modificada:

Ecuación circuital: ……… (1)

……… (2)

(2) en (1): , (ecuac. de la recta) ….(3)

1. Calcular: ; e

2. Con “x” e “y” calculado se traza la

recta lo cual interesará a la curva B-H

(escala simétrica) en el punto “M” la cual

corresponde las características del material y

obtenemos: Bm y Hm.

3.

CASO 3: CIRCUITO SERIE RECTANGULAR CON O SIN ENTREHIERRO

DE SECCION CTE, PERO CON VARIOS MATERIALES.

Se calcula las densidades para cada material:

19

3a. Cálculo de la (fmm=NI), dato el flujo : Se procede tal como en 2b.

Para material 1: Hm1

Para material 2: Hm2

Para material 3: Hm3

Para el entrehierro:

Finalmente:

3b.Cálculo de , dato (NI): Se aplica el método del tanteo:

1º) y ; es el primer valor asumido del flujo

2º) Cálculo de las intensidades: y en las curvas B-H y .

3º) Obtener ; y comparar con (NI)dato, tal

como en 2b, hasta que: , hasta en 3% de aproximación

como máximo, siendo i= 1, 2, 3 …. n. que indica el Nº de tanteos.

CASO4: CIRCUITO SERIE RECTANGULAR CON O SIN

ENTREHIERRO DE SECCIÓN VARIABLE

4a. Cálculo de NI, dato :

1º) Determinar: ; ;

y

2º) Calcular en la curva de materiales los Hm

Con

Con

y para el entrehierro ; o en la recta del aire.

3º) Calcular

4b. Cálculo de , dato NI:

Aplicamos el método del tanteo como en 2b y 3b con la diferencia de que:

20

, y

es el primer valor asumido del flujo

CASO 5: CIRCUITOS RECTANGULARES

PARALELO Y SERIE-PARALELO CON O SIN

ENTREHIERRO

Se aplica Kirchoff: Ley de nodos: y Ley de

mallas: ;

en nodo “m”: ; en malla manm:

; en malla mbnm:

; en malla ambna: .

No existe métodos generales; de acuerdo a la configuración del circuito y a los datos, se

elige el método del tanteo o el método gráfico.

REACTOR CON NUCLEO DE HIERRO

Es un bobinado con núcleo ferromagnético que al ser recorrida por una corriente alterna

genera altas inductancias con dimensiones reducidas, XL = wL. Cuando se le energiza con

una tensión V aparece en sus bornes una tensión autoinducida

“e”: ; “r” es la resistencia del cobre de la bobina y

“e” es la tensión inducida: , “r” es pequeña y se

puede despreciar, entonces: ; Si la energía eléctrica es sinusoidal, el flujo ( )

producido lo es también, entonces: ; El valor eficaz de la tensión

sinusoidal es: ;

Siendo ; resulta:

21

Corriente de Excitación: Es la corriente “ie” absorbida por el reactor bajo una tensión v

sinusoidal: Esta corriente de excitación pierde su forma sinusoidal debido a la

característica no lineal del material ferromagnético:

“ie” se descompone una parte en la que realiza la excitación real, en la creación del campo

magnético y la otra parte genera pérdidas en el núcleo en forma de calor por efecto de las

corrientes parásitas y el fenómeno de la histéresis: , donde: =componente

magnetizante e =componente de pérdidas.

: Es del 3 al 10 % del valor nominal en reactores y transformadores, tiene alta

reactancia respecto a las pequeñas resistencias de pérdidas, justifica considerar como

sinusoide y representarla por un fasor, a partir de sus valores eficaces: ;

cuando al reactor se aplica una tensión eficaz ( ):

, componente de pérdidas en el núcleo y está en fase ; = pérdidas en el

hierro en watts; E=voltaje eficaz aplicado en bornes.

22

, componente de magnetización, cuyo valor eficaz es el valor eficaz de todos los

armónicos, menos la componente de pérdidas, por lo que está en cuadratura con , o sea

retrazada 90º respecto de . Entonces:

Las pérdidas en el hierro es:

La componente de pérdidas es pequeña en comparación con la componente de

magnetización y en algún momento alterna:

CIRCUITO EQUIVALENTE DEL REACTOR

1. Parámetros eléctricos de excitación e .

2. La resistencia interna de la bobina R

3. La componente de pérdidas Ir y la

componente de magnetización Im tal que

cumplan .

De donde se deduce los valores fasoriales:

; ; ; ; g disipa las pérdidas en

el hierro: . La conductancia “g” y la susceptancia “b” de magnetización

constituyen la admitancia de excitación: ; siendo datos y la admitancia

es:

CURVAS CARACTERISTICAS DE

LOS REACTORES: Hay tres aspectos:

23

la producción de flujo, las pérdidas de dicha producción de flujo y la reactancia neta

resultante.

Curvas para determinar los parámetros:

1. Curva de Magnetización eficaz para el Flujo Senoidal: Permite calcular “Hm” eficaz,

conociendo: ; y por la ley de circuitación, calculamos la corriente de

magnetización Im: ;

2. Curva de Pérdidas en el Núcleo: Permite calcular las pérdidas en ó

conociendo Bmax en o gauss.

3.

Las curvas de potencia Reactiva: Es la gráfica de Voltio Amperio reactivos (Q) vs

Bmax, conociendo Bmax se determina Q, luego la corriente de magnetización Im:

Como

Procedimiento Para Construir La Curva: Partimos de que y

; entonces:

El peso del núcleo, considerando como el peso específico, será:

, luego en: ó

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Además , o sea Hm está en función de Bmax, entonces Q/peso dependerá de

Bmax y la frecuencia “f”. Veamos:

25