Manual de Matematicas Financieras

MANUAL DE

MATEMATICAS FINANCIERAS

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Grupo:

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Licenciatura:

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Manual de Matemáticas Financieras I

Apuntes Ing. /Lae Jesús Alberto Sánchez Valtierra Página 1

I n d i c e

Fracciones ………………………………………………………………………. 2

Logaritmos ………………………………………………………………………. 3

Propiedades de los logaritmos……………………………………………………. 3

Progresiones ………………………………………………………………………. 5

Interés Simple ………………………………………………………………………. 12

Tasas Equivalentes…………………………………………………………………. 16

Tiempo Real y Tiempo Aproximado………………………………………………. 19

Fórmula para encontrar en qué tiempo se duplica un capital…………………. 20

Descuento ………………………………………………………………………. 23

Ecuaciones de Valores Equivalentes…………………………………………….. 28

Interés Compuesto ………………………………………………………………. 35

Tasa nominal, efectiva y equivalente……………………………………………… 50

Ecuaciones de valores equivalentes a interés compuesto…………………….. 63

Anualidades ………………………………………………………………………. 67

Anualidades vencidas……………………………………………………………… 70

Cálculo de renta de una anualidad………………………………………………. 76

Anualidades anticipadas………………………………………………………….. 84

Anualidades generales……………………………………………………………. 87

Amortización ……………………………………………………………………… 89

Depreciación ……………………………………………………………………… 92



FRACCIONES

Propias.- Es la fracción que no se pasa de la unidad o el entero.

Ejemplo: ½, ¾, ⅝

FRACCIONES Impropias: Es la fracción que se pasa de la unidad o es igual a

esta.

Ejemplo: 2/8, 5/4,

9/8

Números Mixtos: Está formada de entero y fracción.

Ejemplo: 2½, 3 2/5

Suma y resta de fracciones Para sumar o restar fracciones es necesario que las fracciones tengan el mismo denominador. Se pueden presentar dos casos: 1.-Fracciones con igual denominador Para sumar o restar fracciones de igual denominador , se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador. 2.-Fracciones con distinto denominador Para sumar o restar fracciones con distinto denominador : 1.o Obtenemos fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador, para lo cual hemos de reducir a común denominador. 2. o Se suman o se restan los numeradores, dejando el mismo denominador. Multiplicación de fracciones El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores de las fracciones. División de fracciones Inversa de una fracción La inversa de una fracción es otra fracción que tiene por numerador el denominador de la primera, y como denominador, el numerador de la primera. Inversa de a b → b a Al dividir dos fracciones obtenemos otra fracción. Podemos realizarlo de dos formas: 1.o Multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda: 2.o Multiplicamos los términos de ambas fracciones de manera cruzada.



LOGARITMOS

El logaritmo es el exponente al que tenemos que elevar la base para obtener el número. El logaritmo en base “a” de un número “n” es otro número “b” que cumple esta ecuación:

Loga n=b � ab = n

Log10 100=2 � 102=100

Bases de Logaritmos

10 � decimales o comunes

e � naturales o neperianos Log 3510 = 3.545307

Característica � Mantisa

Aparte, una vez obtenido el resultado se calcula el antilogaritmo para obtener el número real. Log 50 = 1.6989 Antilog 1.6989 = 50

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Log (AB)= log A + log B Log (A/B)= log A – log B Log (Ax) = x log A Logb N = log N Log b

� Esta propiedad de cambio de base expresa que todos los logaritmos pueden ponerse en términos de una sola base.



EJEMPLOS:

1) 85437 (15274) = 125386

Log 85437 + log 15274 – log 125386 =

4.9316 + 4.1839 – 5.0982 = 4.0173 Antilog 4.0173 = 10406.3876

2) (0.3876)2 (1.3979)3 =

2 log 0.3876 + 3 log 1.3979 = 2 (-0.4116) + 3 ( 0.1454) = -0.8232 + 0.4362 = -0.387 Antilog -0.387 = 0.4102

3) 6 ( 1+ i )-5 = 3

Log 6 + log ( 1 + i ) -5 = log 3 Log 6 -5 log ( 1 + i ) = log 3 -5 log ( 1 + i ) = log 3 – log 6 Log ( 1 + i ) = log 3 – log 6 -5 Log ( 1 + i ) = 0.4771 – 0.7781 = 0.0602 -5 1 + i = antilog 0.0602 = 1.1486 1 + i = 1.1486 i = 1.1486 -1 i = 0.1486

4) 3,000 ( 1 + .20 )n = 10,000 Log ( 1.20 )n = log 3.3333 n = log 3.3333 log. 1.20 n = 0.5228 0.0791 n = 6.6093

5) ( 1 + 0.18 )n -1 = 0.35

( 1.18 )n = 0.35 + 1 n = log 1.18 = log 1.35 n = log 1.35 log 1.18 n = 1.8131



PROGRESIONES

Es una sucesión de números llamados términos, tales que dos números cualesquiera consecutivos de la sucesión estén separados por una misma cantidad llamada diferencia común. FÓRMULAS:

S e clasifican en:

Es una sucesión de números llamados términos, tales que dos números cualesquiera consecutivos de la sucesión estén separados por una misma cantidad llamada diferencia común.

FÓRMULAS:

Progresiones Aritméticas

U = t1 + (n-1) d S = n [ t1 + (n-1) d] 2 S = n ( t1 + U) 2 U = último término de la progresión t = primer término de la progresión d = diferencia n = número de términos S = suma de una progresión

Progresiones Geométricas

U = t1 r n – 1

S = t1 (1 - rn) si r < 1 1 - r S = t1 (r

n – 1) si r > 1 r - 1 r = razón común



1, 4, 7, 10 . . . creciente Es una progresión aritmética cuya diferencia común es 3 30, 25, 20, 15 . . . decreciente Es una progresión aritmética cuya diferencia común es -5 3, 6, 12, 24, 48 . . . Es una progresión geométrica cuya razón común es 2 -2, 8, -32, 128 . . . Es una progresión geométrica cuya razón común es -4



EJEMPLOS DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS: 1.- Determine el décimo término y la suma de la sig uiente progresión aritmética: 3, 7, 11 . . . DATOS: FÓRMULA: t1 = 3 U = t + (n-1) d d = 4 U = 3 + (10 – 1) 4 n =10 U = 3 + (9) (4) U = 3 (36) U = 39 DESARROLLO: S = n [2 t1 + (n-1) d] 2 S = 10 [ 2 (3) + (10 – 1) (4) ] 2 S = 10 6 + 9 (4) 2 S = 10 (42) = 420 = 210 2 2 S = n (t1 + U) 2 S = 10 (3+39) 2 S = 10 (42) = 420 = 210 2 2



2) Determine el último término y la suma de la sigu iente progresión aritmética: 48, 45, 42 . . . Si cuenta con 15 términos. DATOS: FÓRMULA: t1 = 48 U = t1 + (n-1) d d = -3 U = 48 + (15 – 1)-3 n =15 U = 48 + (-42) U = 6 DESARROLLO: S = n [2 t 1 + (n-1) d] 2 S = 15 [ 2 (48) + (15 – 1) (-3) ] 2 S = 15 96 + (-42) 2 S = 15 (54) = 810 = 405 2 2 3) Determine la suma de los números pares del 1 al 100: DATOS: FÓRMULA: t1 = 2 S = n (t1 + U) d = 2 2 n = 50 U = 100 DESARROLLO: S = n (t1 + U) 2 S = 50 ( 2 + 100) 2 S = 50 (102) = 5100 = 2550 2 2



4) Determine el último término y la suma de la sigu iente progresión aritmética: 1.00, 1.05, 1.10 . . . Si cuenta con 12 térm inos. DATOS: FÓRMULA: t1 = 1 U = t1 + (n-1) d d = .05 U = 1.00 + (12 – 1) .05 n = 12 U = 1.00 + (11) (.05) U = 1.00 + 0.55 U = 1.55 DESARROLLO: S = n (2 t1 + U) 2 S = 12 (1.00 + 1.55) 2 S = 12 (2.55) = 30.6 2 2 S = 15.3 5) Se recibe un préstamo bancario de $12,000.00, el cual se acuerda pagar mediante 12 pagos mensuales de $1,000.00 más intere ses sobre saldos insolutos a razón de 5%; ¿qué cantidad de intereses se paga en total? DATOS: FÓRMULA: t1 = 600 S = n (2 t1 + U) d = -50 2 n = 12 $12,000.00 (0.05%)= 600.00 $11,000.00 (0.05%)= 550.00 $10,000.00 (0.05%)= 500.00 DESARROLLO: S = n (2 t1 + U) 2 S = 12 (2 (600) + (12-1) -50 2 S = 12 (1200 + 11 ( -50 ) 2 S = 12 (650) = 2 S = 7800 = 3900 2



EJEMPLOS DE PROGRESIONES GEOMÉTRICAS: 1.- Nos piden la suma de los 10 primeros términos y el último término: 1, 2, 4, 8 DATOS: FÓRMULA: t1 = 1 U = t1 r n-1 r = 2 n =10 S = t1 ( r

n – 1 ) r - 1

DESARROLLO: U = t1 r n-1 S = t1 ( r

n – 1 ) r - 1 U = (1) (2) 10 – 1

S = 1 ( 210 – 1 ) = 210 – 1 = 1023 U = 1 (29) = 512 2 - 1 1 2.- Nos piden la suma de los 5 primeros términos y el último término: 2 , 2 , 2 , 3 15 75 DATOS: FÓRMULA: t1 = 2 U = t1 r

n-1 3 r = 1 5 DESARROLLO: 1 – ( 1 )5 U = 2 ____ 5____ 3 1 - __r__ 5 1 ____1____ U = 2 _ 3125____ 3 __4__ 5 ___3124_____ U = 2 _ 3125____ 3 __4__ 5 U = 2 _ 15620 __ = _ 31240 __ = 0.83307 3 12500 37500



3.- La inflación de un país se ha incrementado en u n 40% en promedio durante los últimos 5 años, ¿cuál es el precio actual de un bien que tenía un precio de $100.00 hace 5 años? DATOS: FÓRMULA: t1 = 100 U = t1 r

n-1 r = 1.4 n = 6 DESARROLLO: U = t1 r

n-1

U = 100 ( 1.4 )6-1 U = 100 ( 1.4 )5 U = 100 ( 5.3782 ) U = 537.82 4.- Un jugador de ajedrez le solicitó al Rey que de spués de haberle enseñado este juego en pago le diese un grano de trigo por e l primer cuadro, dos por el segundo, 4 por el tercero y, así sucesivamente; el Rey aceptó, ¿cuántos granos perdió en pago? DATOS: FÓRMULA: t1 = 1 U = t1 r

n-1 r = 2 n = 64 DESARROLLO: U = t1 r

n-1

U = 1(2)64-1 U = 1(2)63 U = 1(9.2233) = 9.2233 S = t1 ( r

n – 1 ) r - 1 S = 1 __(2)64 -1_ = 1.8446 x 1019 2 – 1



INTERÉS SIMPLE

En el sistema de interés simple solo el capital devenga intereses, es decir,

Los intereses no se capitalizan, no se convierten e n capital para ganar dinero. El interés (o rédito), es una compensación que paga el que recibe el dinero por el provecho que ha podido sacar de él. ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN UNA OPERACIÓN DE INTERÉS SIMPLE C= Capital (principal, capital invertido) t= Tiempo o plazo I= Interés i= Tasa M= Monto

FÓRMULAS

1) M= C + I 4) C= ____M___ ( 1 + i t )

2) I= C i t 5) I= M – C

3) M= C (I + i t) 6) C= M – I



EJEMPLOS: 1.- El Sr. López solicitó un préstamo por $20,000.00 pa ra pagarlo 2 meses después, en donde para liquidarlo desembolsó $21,40 0.00

a) ¿Cuál es el capital?

C= 20,000.00

b) ¿Cuál es el tiempo? t= 2 meses

c) ¿Cuánto pagó de intereses?

M= C + I I= M – C I= 21,400.00 – 20,000.00 I= $1,400.00

d) ¿Cuál es el monto de la operación? M= 21,400.00

e) ¿Qué tasa de interés simple se aplicó?

I= C i t i= ___I_____ = __ 1,400_________ C t 20,000 (2 meses) i= 0.035 x 100 i= 3.5% mensual X 12

i= 42% anual



2) Se obtiene un crédito por $180,000.00 a 160 días por 30% de interés simple, ¿qué cantidad deberá pagar al vencer su deuda? DATOS: FÓRMULA: C = 180,000.00 M= C ( 1 + i ) t = 160 días i = 30% M= ? DESARROLLO:

M= 180,000 [( 1 + (o.30) ( 160 )]

360 M= $204,000.00 3.- Martha desea adquirir un inmueble dentro de 2 a ños, supone que el enganche que habrá de pagar en esa fecha será de $60,000.00; desea tener esa cantidad dentro de 2 años, ¿qué cantidad debe invertir en su depósito de renta fija que rinde 3% de interés mensual simple?

DATOS: FÓRMULA: t = 2 años C= ____M____ M = 60,000.00 ( 1 + i t ) i = 3% mensual = 0.36% anual C= ? DESARROLLO: C= 60,000.00 = 60,000.00 1 + (0.36) (2) 1.72 C= 34,883.72



4.- ¿Cuál es la tasa de interés anual si hoy invier to $500,000.00 y en un año recibo $800,000.00? DATOS: FÓRMULA: C = 500,000 I = C I t ; Despejamos i: M= 800,000 i = ? i= __ I_____ C t

I= M – C I= 800 000 – 500 000 I= 300,000 DESARROLLO: i= __ 300,000____ = (500,000) ( 1 ) i= 0.6 x 100 i= 60% 5.- ¿Qué cantidad debe invertir hoy al 1.8% de inte rés simple mensual para tener 20,000 dentro de 2 meses? DATOS: FÓRMULA: C = ? C= ____M_____ M= 20,000 ( 1 + i t ) i = 1.8% mensual t= 2 meses DESARROLLO: C= __ 20,000______ = 1 + (0.018) ( 2 ) C= ____20,000______ = 1.036 C= $19,305.01



TASAS EQUIVALENTES Dos tasas de interés con diferentes periodos de conversión son equivalentes si producen el mismo monto compuesto al cabo del mismo periodo de tiempo. 1.- ¿A qué tasa de interés simple anual $2,500.00 a cumulan intereses por $500.00 en 6 meses? DATOS: FÓRMULA: C = 2,500 I = C I t I = 500 t = 6 meses Despejamos i: i= ?

i= __ I___ C t DESARROLLO: i= __ 500______ = (2 500 ) ( 6 ) i= _____500_____ = 15 000 i= 0.0333 (12) i= 0.4 x 100 i= 40% 2.- Cuál es la tasa de interés simple mensual equiv alente a una tasa de 54% anual? DATOS: i= 54% anual / 12 SOLUCIÓN:

i= 54 / 12 i= 4.5% mensual



3.- Encuentre el interés simple de un préstamo de $ 1,500.00 a 45 días con el 35% de interés anual simple (tiempo comercial) DATOS: FÓRMULA: C = 1 500 I= C i t t= 45 días i = 35% anual = 0.35 / 360 DESARROLLO:

I= 1 500 ( _0.35_ ) (45) = 360 I= 65.62% 4.- Una persona le prestó $400.00 a un amigo y 4 me ses después le cobró $440.00, ¿qué tasa anual de interés pagó el amigo? DATOS: FÓRMULA: C = 400 I = C I t M = 440 t = 4 meses Despejamos i: i= ?

i= __ I___ C t

I= M – C I= 440 - 400 I= 40 DESARROLLO: i= __ 40______ = ( 400 ) ( 4 ) i= _____40_____ = 16 000 i= 2.5 (12) i= 0.03 x 100 i= 30%



5.- José Luis pide un crédito por $200,000.00, ¿cuá nto deberá pagar si desea liquidarlo dentro de 27 días, considerando una tasa del 40% de interés simple anual? DATOS: FÓRMULA: C = 200 000 M= C ( 1 + i t ) t= 27 días i = 40% anual = 0.4 / 360 M= ? DESARROLLO:

M= 200 000 ( 1+ ( _0.4_ ) (27) ) = 360 M= 200 000 (1.03) = M= $206,000.00



TIEMPO REAL Y TIEMPO APROXIMADO

�� Considera los días exactos Considera el año comercial de 360 días ¿Cuántos días hay del 1° de Marzo al 1° de Abril?

a) Tiempo Real = 31 días b) Tiempo aproximado = 30 días

¿Cuántos días hay del 15 de Junio al 15 de Diciembr e?

a) Tiempo Real = 183 días

Junio 15 Julio 31 Agosto 31 Septiembre 30 Octubre 31 Noviembre 30 Diciembre _15_

183

b) Tiempo aproximado = 180 días

30 días x 6 meses = 180

¿Cuántos días hay del 14 de Mayo al 15 de Noviembre ?

a) Tiempo Real b) Tiempo aproximado Mayo 17 16 Junio 30 30 Julio 31 30 Agosto 31 30 Septiembre 30 30 Octubre 31 30 Noviembre _15_ _15_

185 181



FÓRMULA PARA ENCONTRAR EN QUÉ TIEMPO SE DUPLICA UN CAPITAL

1.- Encuentre el interés simple en tiempo real y ap roximado de un préstamo de $1,000.00 a 60 días con el 35% de interés anual sim ple.

DATOS: FÓRMULA: C = 1 000 I = C i t t = 60 días i = 35 % anual simple = 0.35 I= ?

DESARROLLO: Tiempo Real Tiempo aproximado

I= 1 000 ( _0.35_ ) (60) = I= 1 000 ( _0.35_ ) (60) = 365 360 I= 57.53% I= 58.33% 2.- Una señora paga $205.08 con un pagaré de $185.0 0 firmado el 10 de Mayo con el 38% de interés anual simple, ¿cuándo lo pagó? DATOS: FÓRMULA: C = 185 t= ___I__ M = 205 C i i = 38 % anual simple = 0.38 I= 205.08 – 185 = 20.08 t= ?

DESARROLLO: Tiempo Real Tiempo aproximado t= _______20.08_____ = t= _______20.08_____ =

(185) ( _0.35_ ) (185) ( _0.35_ ) 365 360

t= 104.25 = 105 días t= 102.82 = 103 días 23 de Agosto 23 de Agosto MAY JUN JUL AGOS MAY JUN JUL AGOS 21 30 31 23 20 30 30 23



3.-María va a depositar $3,500.00 el 13 de Marzo, p iensa retirar su inversión el 17 de Julio, la cuenta paga 6% de interés anual simple , ¿cuál será el monto a retirar? DATOS: FÓRMULA: C = 3 500 M= C( 1 + i ) i = 6 % anual simple = 0.06% t= 13 de Marzo al 17 de Julio M= ?


M= 3 500 (1+ ( 0.06 ) (126) ) = M= 3 500 (1+ ( 0.06 ) (124) ) = 365 360

M= $3,572.49 M= $3,572.33 t= 126 días t= 124 días MAR ABR MAY JUN JUL MAR ABR MAY JUN JUL 18 30 31 30 17 17 30 30 30 17 4.- El 14 de Agosto una persona adquiere una licuad ora que cuesta $300.00 y la pagó el 26 de Noviembre con un abono de $380.00, ¿q ué tasa de interés anual simple pagó? DATOS: FÓRMULA: C = 300 i= __I__ M = 380 C t t= 14 de Agosto al 26 de Noviembre M= ?

DESARROLLO: Tiempo Real Tiempo aproximado i= _____80_______ x 365 x 100 i= _____80_______ x 360 x 100 (300) (104) (300) (102) i= 93.58% i= 94.11%



5.- ¿Cuál será el monto el 24 de Diciembre de un ca pital de $10,000.00 depositado el 15 de Mayo del mismo año en una cuent a de ahorro que paga 49% anual simple? DATOS: FÓRMULA: C = 10 000 M= C ( 1 + i t ) i = 49 % anual simple = 0.49% M = ? t= Real = 223 Aprox. = 219


M= 10 000 (1 + ( 0.49 ) (223) ) = M= 10 000 (1+ ( 0.49 ) (219) ) = 365 360

M= 10 000 ( 1.2993 ) M= 10 000 ( 1.2980 ) M= $12,993.69 M= $12,980.83 Mayo 16 15 Junio 30 30 Julio 31 30 Agosto 31 30 Septiembre 30 30 Octubre 31 30 Noviembre 30 30 Diciembre 24_ 24_

223 219



DESCUENTO

Descuento Real o Justo

� Este se calcula sobre

� el valor real que se anticipa y no sobre el nominal FÓRMULAS D= C d t M= C + D M= C ( 1 + d t ) “Descuento”

Descuento Comercial

� Este se calcula sobre

� el valor nominal (es decir, el monto) Es el valor que el documento tiene FÓRMULAS escrito para ser pagado en la D= M d t fecha de vencimiento. C= M - D C= M ( 1 - d t ) D �� Descuento d �� Tasa de descuento



EJEMPLOS: 1.- Una persona tiene un pagaré por $185,000.00, el cual se vence dentro de 2 meses y lo desea adelantar; calcule el valor actual del documento. Tasa de descuento 20% anual DATOS: FÓRMULA: M = 185 000 M= C ( 1 + d t ) t = 2 meses / 12 d = 20% Despejar C: C= ____M____ ( 1 + d t ) DESARROLLO: PARA SACAR DESCUENTO REAL O JUSTO: C= ____M____ ( 1 + d t ) C= ___ 185 000_____ =

1 + ( 0.20 ) (2) 12 C= $179,032.25 PARA SACAR DESCUENTO COMERCIAL: C= ____M____ ( 1 + d t ) C= ___ 185 000_____ =

1 - ( 0.20 ) (2) 12 M= $178,833.33



2.- Una empresa descuenta un documento por el cual recibe $945.05. El tipo de descuento es del 25% y el valor nominal del documen to era de $1,000.00, ¿cuánto tiempo faltaba para el vencimiento de su ob ligación? DATOS: FÓRMULA: C = 945.05 D= C d t M = 1 000 d = 25% anual = 0.25% Despejar t: t = ? t= ___D__ C d DESARROLLO: D= 1 000 - 945.05 = 54.95 PARA SACAR DESCUENTO COMERCIAL: t= __D__ M d t= ___ 54.95_____ = (1 000) (0.25) t= 0.2198 x 360 = t= 79.128 = 80 días PARA SACAR DESCUENTO REAL: t= __D__ C d t= ___ 54.95_____ = ( 945.05 ) (0.25) t= 0.2325 x 365 = t= 84.89 = 85 días



3.- BANORTE descuenta a un cliente un pagaré con va lor nominal de $2’500,000.00 que vence en 60 días con una tasa del 20%. Ese día BANORTE descuenta en el Banco Agrícola ese mismo documento al 18%, usando el descuento comercial, ¿cuál fue la ut ilidad de BANORTE? DATOS: FÓRMULA: M = 2 500 000 C= M ( 1 - d t ) t = 60 días d = 20% DESARROLLO: PRIMERO SACAR DESCUENTO COMERCIAL

C= 2 500 000 ( 1 - ( 0.20 ) ( 60 ) 360 C= $2’416,666,667 D= M – C D= 2 500 000 - 2 416 666.67 D= 83 333.33

C= 2 500 000 ( 1 - ( 0.18 ) ( 60 ) 360 C= $2’425,000.00 D= M – C D= 2 500 000 - 2 425 000 D= 75 000 83 333.33 - 75 000.00 8,333.33 Esta es la ganancia de BANORTE



4.- ¿Cuál es el descuento real de un documento que vence dentro de 50 días, que tiene un valor nominal de $3,850.00, si se le d escuenta al 18% 30 días antes de su vencimiento? DATOS: FÓRMULA: M = 3 850 M= C ( 1 + d t ) d = 18% = 0.18% t = 50 días – 30 días transcurridos = 20 días Despejar C: D = ? C= ___M__ 1 + d t DESARROLLO: C= _____ 3 850____ = 1 + ( 0.18 ) ( 30 ) C= $3,793.87 D= M – C D= 3 850 - 3 793.87 = 56.13 5.-¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cu al se recibieron $1,439.79; si se descontó comercialmente al 17% 85 días antes de su vencimiento? DATOS: FÓRMULA: C = 1 439.79 C= M ( 1 - d t ) d = 17% = 0.17% t = 85 días Despejar M: D = ? M= ___C____ ( 1 - d t ) DESARROLLO: M= _____ 1 439.79____ = 1 - ( 0.17 ) ( 85 ) 360 M= $1,499.99



ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES

Es muy frecuente que en las operaciones financieras se hagan 2 ó más transacciones diferentes que deban replantearse para expresarlas en una operación única. PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DE VALORES

EQUIVALENTES

PASO 1. Colocar todas las cantidades en una escala de tiempo y valor.

DEUDAS

NÚMEROS

TIEMPO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

PAGOS LETRAS

PASO 2. Llevar todas las deudas a su fecha de vencimiento inicial con su tasa de interés específica. PASO 3. Llevar todas mis deudas y pagos a una “fecha focal” “fecha focal” = Fecha donde se igualan cargos y abonos. PASO 4. Igualar: Pagos = Deudas NOTA:

a) Siempre que se calculen los pagos en la fecha de vencimiento y esa sea la fecha focal, lo que busco es el monto.

b) Y cuando la fecha focal es antes de la fecha de vencimiento, lo que busco es el capital.



EJEMPLOS: 1.- La Sra. Martínez adeuda $5,000.00, mismos que y a incluyen los intereses, y debe pagarlos dentro de 8 meses. Hace un pago de $3 ,000.00 dentro de 2 meses, ¿cuánto deberá pagar al cabo de los 8 meses si se c onsidera la operación al 30% anual y se usa como fecha focal dentro de 8 meses?

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A

$3,000.00 DATOS: FÓRMULA: 1 5,000.00 M= C ( 1 + i t ) A 3,000.00 i= 30% anual DESARROLLO: M= 3 000 [1 + ( 0.30 ) ( 6 )] = 12 M= $3,450.00 Igual a lo de abajo: 5 000 - 3 450 + x X= 5 000 – 3 450 X= $1,550.00



2.- El Nacional Monte de Piedad cobra 5.5% mensual por los préstamos que hace sobre prendas pignoradas. ¿Cuánto tendrá que pagar dentro de 3 meses una persona que empeñó hace un mes un televisor, por el cual le prestaron $800.00 y el día de hoy empeña un reloj por el cual le presta n $750.00? HOY

1= $800.00 T.V.

Hace un mes�� 0 1 2 3 4 5 2= $750.00 RELOJ

DATOS: FÓRMULA: 1 800.00 M= C ( 1 + i t ) 2 750.00 i= 5.5% mensual = 0.055% DESARROLLO: M= 800 [1 + ( 0.055 ) ( 4 )] = M= $976.00 M= 750 [1 + ( 0.055 ) ( 3 )] = M= $873.75 976.00 – 873.75 = 1,849.75



3.- Una pareja de recién casados adquiere un refrig erador que cuesta $2,200.00 y paga $800.00 de contado. El saldo acuerda pagarlo c on 3 pagos iguales a 30, 60 y 90 días; el interés que cobran es del 30% anual s imple, ¿a cuánto asciende cada uno de esos pagos? Valor 2 200 Abono - 800 Saldo 1 400

1 $1,400.00

30%

30 60 90 X X X C B A FÓRMULA: M= C ( 1 + i t ) DESARROLLO: M= 1 400 [ 1 + ( 0.30 ) ( 90 )] = 360 M= $1,505.00 A= M = X B= M= X [ 1 + ( 0.30 ) ( 30 )] = 1.025 X 360 C= M= X [ 1 + ( 0.30 ) ( 60 )] = 1.05 X 360 1 505= X + 1.025 X + 1.05 X 1 505= 3.075 X X= 1 505 3.075 X= $489.43



4.- ¿Cuál será el precio de contado de un automóvil que se pagó con:

a) Un enganche de $48,500.00 b) Un abono de $38,500.00 realizado 6 meses después de la compra c) Un pago final de $35,500 8 meses después de la c ompra

El costo del préstamo fue del 2% mensual simple.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1) 48 500 2) 38 500 3) 35 500

FÓRMULA: C= ____M______ ( 1 + i t ) DESARROLLO: C= __ 35 500___ 1 + (0.02) (8) C= $30,603.44 C= __ 38 500___ 1 + (0.02) (6) C= $34,375.00 X= 48 500 + 30 603.44 + 34 375 = $113,478.44



5.- Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $200 000.00 con 40% de interés simple y que vence dentro de 4 meses; ademá s, debe pagar otra deuda de $150,000.00 contraída hace 2 meses con 35% de in terés simple y que vence dentro de 2 meses. Considerando un interés del 42%, ¿qué pago deberá h acer hoy para saldar sus deudas si se compromete a pagar $100,000.00 dentro de 6 meses? 200 000 40% 150 000 35%

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 100 000 Fecha focal 42% FÓRMULA: M= C ( 1 + i t ) DESARROLLO: M= 200 000 [ 1 + ( 0.40 ) ( 1 )] = M= $280,000.00 ACTUALIZAR EL PAGO:

1) C= ____M____ ( 1 + i t )

C= ____280 000___ = [ 1 + ( 0.42 ) ( 4 )] 12

C= 245,614.03



2) C= 150 000 [ 1 + ( 0.35 ) ( 4 )]

12 C= 167,500.00

C= ____M____ ( 1 + i t )

C= ___167 500____ [ 1 + ( 0.42 ) ( 2 )] 12 C= 156,542.05 ACTUALIZAR EL PAGO

C= ____M____ ( 1 + i t )

C= ___100 000____ [ 1 + ( 0.42 ) ( 6 )] 12 C= 82 644.62 X= 245 614.03 + 156 542.05 = 402 156,08

- 82 644.62 319 511.46



INTERÉS COMPUESTO

FÓRMULA: M= C ( 1 + i )n

M= Monto C= Capital i= Tasa de interés por periodo n= Número de periodos de capitalización EJEMPLOS: 1.-Se depositan $500.00 en un banco a una tasa de i nterés del 18% anual capitalizable mensualmente.

a)¿cuál será el monto acumulado en 2 años? b) ¿cuánto ganó por interés?

DATOS: FÓRMULA: C = 500 M= C ( 1 + i )n i = 18% anual capitalizable mensualmente = 0.18% 12 n = 2 años = 24 meses M = ? DESARROLLO: M= 500 ( 1 + ( 0.18 )24 12 M= $714.75

M= C + I I= M – C 714.75 – 500 = 214.75



2.- Una persona deposita hoy $50,000.00 a precio fi jo por 2.20% de interés mensual y no retira su depósito y reinvierte sus in tereses; ¿cuánto tendrá en su cuenta 3 meses después? DATOS: FÓRMULA: C = 50 000 M= C ( 1 + i )n i = 2.20% interés mensual n = 3 meses M = ? DESARROLLO: M= 50 000 ( 1 + 0.0220 )3 M= $53,373.13 3.- Se obtiene un préstamo bancario de $15,000.00 a plazo de un año y con interés del 12% convertible trimestralmente; ¿cuál es el monto que debe liquidarse? DATOS: FÓRMULA: C = 15 000 M= C ( 1 + i )n i = 12% c0nvertible trimestralmente = 0.12 12 n = 1 M = ? DESARROLLO: M= 15 000 ( 1 + ( 0.12 )4 4 M= $16,882.63



4.- Se obtiene un préstamo bancario de $15,000.00 a plazo de 7 meses y medio al 12% convertible trimestralmente; ¿cuál es el monto que habrá de liquidarse? DATOS: FÓRMULA: C = 15 000 M= C ( 1 + i )n i = 12% convertible trimestralmente = 0.12 4 n = 7 meses y medio = 2.5 trimestres M = ? DESARROLLO: M= 15 000 ( 1 + ( 0.12 )4 4 M= $16,150.43 5.- Una persona deposita su dinero en el banco a un plazo de 2 años y a una tasa de 0.15% convertible semestralmente. Debido a una e mergencia retira su dinero a los 15 meses; ¿cuál será el monto acumulado que s e le entregó si depositó $12,000.00? DATOS: FÓRMULA: C = 12 000 M= C ( 1 + i )n i = 0.15% convertible semestralmente = 0.15% 2 n = 15 meses = 2.5 M = ? DESARROLLO: M= 12 000 ( 1 + ( 0.15 )2.5 2 M= $14,378.13



EJEMPLOS: 1.- ¿Cuánto debe depositarse en el banco si se dese a tener un monto de $50,000.00 dentro de 3 años y la tasa de interés es del 20% convertible semestralmente?

DATOS: FÓRMULA: M = 50 000 C= _____M_____ i = 0.20% anual ( 1 + i )n convertible semestralmente = 0.20 2 n = 3 años = 6 semestres C= ? DESARROLLO: C= ____50 000____ = ( 1 + 0.20 )6

2 C= ___50 000_____ = 1.771561 C= $28,223.69 2.- ¿Qué cantidad debe depositarse ahora en una cue nta de inversión que paga interés del 25% convertible trimestralmente si se d esea tener $50,000.00 dentro de 3 años?

DATOS: FÓRMULA: M = 50 000 C= _____M_____ i = 0.25% anual ( 1 + i )n convertible trimestralmente = 0.25 4 n = 3 años = 12 trimestres C= ? DESARROLLO: C= ____50 000____ = ( 1 + 0.24 )12

4 C= ___50 000_____ = 2.069889992 C= $24,155.87



3.- ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en c alidad de préstamo si ha firmado un documento por $65,000.00 que incluye cap ital e intereses al 30% convertible trimestralmente y que tiene vencimiento en 18 meses?

DATOS: FÓRMULA: M = 65 000 C= _____M_____ i = 0.30% anual ( 1 + i )n convertible trimestralmente = 0.30 2 n = 18 meses = 6 trimestres C= ? DESARROLLO: C= ____65 000____ = ( 1 + 0.30 )6

4 C= ___60 000_____ = 1.543301526 C= $42,117.49 4.- ¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $250,000.00 en un plazo de 19 meses y la tasa es de l 13% convertible bimestralmente?

DATOS: FÓRMULA: M = 250 000 C= _____M_____ i = 13% ( 1 + i )n convertible bimestralmente = 0.13 6 n = 19 meses = 9.5 bimestres C= ? DESARROLLO: C= ____250 000____ = ( 1 + 0.13 )9.5

6 C= ___250 000_____ = 1.818952147 C= $203,939.98



5.- Una distribuidora automotriz ofrece a sus clien tes un 10% de descuento en la compra de contado de un automóvil nuevo que cuesta $50,000.00, o bien, 50% del precio al contado y 50% a 6 meses sin descuento y sin intereses, ¿qué alternativa debe escoger si el dinero puede ser inv ertido a una tasa de interés mensual del 4%? DATOS: 1° Sacamos el costo al contado:

50 000 X 0.10 = 5 000 - 5 000

45 000 === Precio al contado menos 10% de descuento. 2 A crédito: 50% del precio al contado: 45 000 / 2 = 22,500.00 PRECIO DE CONTADO: $45,000.00 PRECIO A CRÉDITO: $25,000.00 la mitad del precio EN EL BANCO: M= 25 000 ( 1 + 0.4 )6 = 31 632.97 + 25 000.00

56 632.97 - 50 000.00 6 632.97 - 5 000.00 1 632.97 C= ___25 000___ = ( 1.04)6 C= ___25 000___ = 1.265319018 C= $19,757.86



EJEMPLOS: TASA DE INTERÉS 1.- ¿A qué tasa de interés convertible semestralmen te debe depositarse un capital de $28,223.70, para que al cabo de 3 años s e logre un monto de $50,000.00? DATOS: FÓRMULA: C = 28 223.70 M= C ( 1 + i )n M = 50 000 n = 3 años = 6 semestres i = ? convertible semestralmente = i 2 DESARROLLO: 50 000 = 28 223.70 ( 1 + i )6 2 ( 1 + i )6 = ___50 000__ = 2 28 223.70 ( 1 + i )6 = 1.7715 2 1 + i = ( 1.7715 )� 2 1 + i = 1.0999 2 i = 1.0999 - 1 2 i = 0.0999 2 i = 0.0999 ( 2 ) i = 0.1999 x 100 i = 20%



2.- ¿A qué tasa de interés convertible trimestralme nte debe depositarse un capital de $24,156.00 para que al cabo de 3 años pr oduzca $50,000.00? DATOS: FÓRMULA: C = 24 156 M= C ( 1 + i )n M = 50 000 n = 3 años = 6 semestres i = ¿? convertible trimestralmente = i 4 DESARROLLO: 50 000 = 2 156 ( 1 + i )12 4 ( 1 + i )12 = ___50 000__ = 4 24 156 ( 1 + i )12 = 2.069879119 4 1 + i = ( 1.7715 )� 4 1 + i = 1.0624 4 i = 1.0624 - 1 4 i = 0.0624 4 i = 0.0624 (4 ) i = 0.249984601 x 100 i = 25%



3.- Se depositan $3,000.00 en un banco a una tasa d e interés del 17% anual capitalizable semestralmente, ¿cuánto se gana por i ntereses en un plazo de 17 meses? DATOS: FÓRMULA: C = 3 000 M= C ( 1 + i )n M = 50 000 n = 17 meses = 17/6= 2.8 i = 17% anual capitalizable semestralmente = 0.17 2 DESARROLLO: M= 3 000 ( 1 + 0.17 )2.8 2 M= 3 769.85 I= M – C 3 769.85 – 3 000 = I= 769.85 4.- ¿Cuánto debe depositarse en un banco si se dese a un monto de $5,000.00 dentro de 10 meses y la tasa de interés es del 18% convertible semestralmente? DATOS: FÓRMULA: C = ? C= ____M_____ n= 10 meses = 5 ( 1 + i )n i = 18% anual convertible semestralmente = 0.18 2 DESARROLLO: C= ____5 000_____ = ( 1 + 0.18 )5 2 C= _____5 000___ = 1.159274074 C= 4,313.04



5.- ¿Cuánto debe pagarse a la Caja Popular que hizo un préstamo de $10,000.00 a año y medio, si la tasa aplicada es del 0.25% anu al convertible mensualmente? DATOS: FÓRMULA: C = 10 000 M= C ( 1 + i )n n = 1 año y medio = 18 meses i = 0.25% anual convertible mensualmente = 0.25 12 DESARROLLO: M= 10 000 ( 1 + 0.25 )18 12 M= 10 000 (1.449396365) = M= 14 493.96



DESPEJAR TIEMPO EN INTERÉS COMPUESTO

M= C (1 + i )n 1.- ¿En cuánto tiempo se duplica una inversión de $ 1,000.00, si se considera una tasa de interés:

a) 36% anual convertible mensualmente b) 24% anual convertible bimestralmente

Inciso a): DATOS: FÓRMULA: C = 1 000 M= C ( 1 + i )n M = 2 000 i = 36% anual convertible mensualmente = 0.36 12 DESARROLLO: 2 000 = 1 000 ( 1 + 0.36 )n 12 ( 1 + 0.03 )n = 2 000 1 000 1.03 = 2 nlog 1.03 = log 2 n= log 2 = log 3 n= 23.441 meses = 23 meses 13.2 días 1 La fracción .44 la multiplico por 30 para transformar los días

Inciso b):



DATOS: FÓRMULA: C = 1 000 M= C ( 1 + i )n M = 2 000 i = 24% anual convertible bimestralmente = 0.24 6 DESARROLLO: 2 000 = 1 000 ( 1 + 0.24 )n 12 ( 1 + 0.04 )n = 2 000 1 000 1.04 = 2 nlog 1.04 = log 2 n= log 2 = log 1.04 n= 17.67 = 17 bimestres 40.2 días 2.- ¿En cuánto tiempo reduce su valor un peso al 50 % dada una inflación del 10% anual? DATOS: FÓRMULA: C = $1.00 M= C ( 1 + i )n M = 0.50 centavos i = 10% anual DESARROLLO: 0.50 = 1 ( 1 + 0.10 )n ( 1.10 )n = 0.5 1 ( 1.10 )n = 0.5 nlog 1.10 = log 0.5 n= __log 0.5 _ = log 1.10 n= 7.27 años .27 x 12 = 3.24 meses .24 x 30 = 7 días n= 7 años, 3 meses, 7 días



3.- ¿En cuánto tiempo se triplica un capital si la tasa de interés es del 30% y se compone semestralmente? Expresar el resultado en me ses. DATOS: FÓRMULA: C = 1 M= C ( 1 + i )n M = 3 i = 30% semestral = 0.30 2 DESARROLLO: 3 = 1 ( 1 + 0.30 )n 2 3 = 1 ( 1 + 0.15 )n = ( 1.15 )n = __3__ 1 ( 1.15 )n = 3 n= __log 3___ = log 1.15 n= 7.86 semestres 7.86 x 6 = n= 47.16 meses



4.- ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si la t asa de interés es del 30% y se compone trimestralmente? Expresa el resultado en añ os. DATOS: FÓRMULA: C = 1 M= C ( 1 + i )n M = 2 i = 30% trimestral = 0.30 4 DESARROLLO: 2 = 1 ( 1 + 0.30 )n 4 ( 1 + 0.075 )n = __2__ 1 nlog 1.075 = log 2 n= __log 2____ = log 1.075 n= 9.58 / 4 que son los trimestres que hay en un añ o n= 2.39 años



5.- Una inversión duplica su valor en 18 meses a un a determinada tasa de interés, ¿en cuánto tiempo lo triplica? DATOS: FÓRMULA: C = 1 M= C ( 1 + i )n M = 2 n= 18 meses i = ? DESARROLLO: 1° buscamos el interés 2 = 1 ( 1 + i )18 ( 1 + i ) = 2 1 + i = 1.0392 i = 1.0392 – 1 i= 0.0392 2° buscamos el tiempo 3 = 1 ( 1 + 0.0392 ) ( 1.0392 ) = 3 nlog 1.0392 = log 3 n = log 3__ = log 1.0392 n= 28.57 .57 x 30 = 17.1 n= 28 meses 17.1 días



Es la tasa e interés anual que Tasa nominal se pacta y que rige durante el lapso que dure la operación. Es aquella en la cual el interés se capitaliza en forma trimestral Tasa Efectiva semestral, anual, etc. . . ., y la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. FÓRMULA:

ie= ( 1 + J )m - 1 m

ie= tasa de interés efectiva J= tasa nominal (anual convertible) m= número de periodos de capitalización en un año

Es cuando dos tasas de Interés anuales con diferentes Tasa Equivalente Periodos de capitalización Producen al cabo de un año El mismo interés compuesto.

FÓRMULA:

( 1 + i )n = ( 1 + J )m

m



EJEMPLOS: Tasa Efectiva 1.- ¿Cuál es la tasa efectiva que se recibe de un d epósito bancario de $1,000.00 pactado al 18% de interés anual convertible mensual mente? DATOS: FÓRMULA: Ie= ? ie= ( 1 + J )m - 1 J= 18% int. anual m convertible mensualmente = 0.18 12 m= 12 meses ( 1 año ) DESARROLLO: ie= ( 1 + 0.18 )12 -1 12 ie= 0.1956 x 100 ie= 19.56% interés simple anual

M= C ( 1 + i )n 1 000 ( 1 + 0.18 )12 = 12 M= 1 195.61 I= M – C 1 195.61 – 1 000 = I= 195.61 I= C i t i= __I___ C t 195.61_____ = 0.1956 x 100 1 000 ( 1 año ) i= 19.56%



2.- ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un pr éstamo bancario de $250,000.00, que se pactó al 16% de interés anual c onvertible trimestralmente? DATOS: FÓRMULA: Ie= ? ie= ( 1 + J )m - 1 J= 16% int. anual m convertible trimestralmente = 0.16 4 m= 1 año ( 12 meses ) DESARROLLO: ie= ( 1 + 0.16 )4 -1 4 ie= 0.1698 x 100 ie= 16.98% interés simple anual



3.- ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un pr éstamo bancario de $15,000.00 que

se pactó al 10% de interés anual convertible semest ralmente? DATOS: FÓRMULA: Ie= ? ie= ( 1 + J )m - 1 J= 10% int. anual m convertible semestralmente = 0.10 2 m= 1 año DESARROLLO: ie= ( 1 + 0.10 )2 -1 2 ie= 0.1025 x 100 ie= 10.25% interés simple anual

M= C ( 1 + i )n 15 000 ( 1 + 0.10 )2 = 2 M= 16 537.50 I= M – C I= 16 537.50 – 15 000 = I= 1 537.50 I= C i t i= __I___ C t i= 1 537.50_____ = 0.1025 x 100 15 000 ( 1 año ) i= 10.25%



4.-¿ Cuál es la tasa efectiva que se paga por un pr éstamo bancario de $50,000.00 que se pactó al 20% de interés anual convertible bi mestralmente? DATOS: FÓRMULA: Ie= ? ie= ( 1 + J )m - 1 J= 20% int. anual m convertible bimestralmente = 0.20 6 m= anual ( 1 año ) DESARROLLO: ie= ( 1 + 0.20 )6 -1 6 ie= 0.2174 x 100 ie= 21.74% interés simple anual

M= C ( 1 + i )n M= 50 000 ( 1 + 0.20 )6 = 6 M= 60 871.30 I= M – C I= 60 871.30 – 50 000 = I= 10 871.30 I= C i t i= __I___ C t i= 10 871.30_____ = 0.2174 x 100 50 000 ( 1 año ) i= 21.74%



5.- ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un pr éstamo de $25,000.00 que se pactó al 6% de interés anual convertible bimestralm ente? DATOS: FÓRMULA: Ie= ? ie= ( 1 + J )m - 1 J= 6% int. anual m convertible bimestralmente = 0.06 6 m= anual ( 1 año ) DESARROLLO: ie= ( 1 + 0.06 )6 -1 6 ie= 0.0615

M= C ( 1 + i )n M= 25 000 ( 1 + 0.06 )6 = 6 M= 26 538.00 I= M – C I= 26 538 – 25 000 = I= 1 538 I= C i t i= __I___ C t i= 1 538_____ = 25 000 ( 1 año ) i= 0.0615



EJEMPLOS: Tasa Nominal 1.- ¿Cuál es la tasa nominal convertible trimestral mente que produce un rendimiento del 40% anual? DATOS: FÓRMULA: J= ? ie= ( 1 + J )m - 1 m Ie= 40% anual convertible trimestralmente = 0.40 4 m= 4 DESARROLLO: 0.40 = ( 1 + J )4 -1 4 ( 1 + J )4 = 0.40 + 1 4 ( 1 + J )4 = 1.40 4 1 + J = ( 1.40 )� 4 1 + J = 1.0877 4 J = 1.0877 - 1 4 J = 0.0877 4 J = 0.0877 ( 4 ) J= 0.3508 X 100 J= 35.08%



2.- Determinar la tasa nominal convertible semestra lmente que produce un rendimiento anual del 35% DATOS: FÓRMULA: J= ? ie= ( 1 + J )m - 1 m Ie= 35% anual convertible semestralmente = 0.35 2 m= 2 DESARROLLO: 0.35 = ( 1 + J )4 -1 2 ( 1 + J )4 = 0.35 + 1 2 ( 1 + J )4 = 1.35 2 1 + J = ( 1.35 )� 2 1 + J = 1.1618 2 J = 1.1618 - 1 2 J = 0.1618 2 J = 0.1618 ( 2 ) J= 0.3236 X 100 J= 32.36%



3.- Determinar la tasa nominal convertible mensualm ente que produce un rendimiento del 7.2 anual DATOS: FÓRMULA: J= ? ie= ( 1 + J )m - 1 m Ie= 7.2% anual Convertible mensualmente = 0.072 12 m= 12 DESARROLLO: 0.072 = ( 1 + J )12 -1 12 ( 1 + J )12 = 0.072 + 1 12 ( 1 + J )12 = 1.072 12 1 + J = ( 1.072 )� 12 1 + J = 1.0058 12 J = 1.0058 - 1 12 J = 0.0058 12 J = 0.0058 ( 12 ) J= 0.0696 X 100 J= 6.96 %



1.- Determinar la tasa nominal convertible trimestr almente que resulte equivalente a una tasa del 25% convertible semestra lmente. DATOS: FÓRMULA: J= ? ( 1 + i ) n = ( 1 + J )m m ie= 25% anual DESARROLLO: ( 1 + 0.25 )2 = ( 1 + J )4 = 4 ( 1.25 )2 = ( 1 + J )4 = 4 ( 1 + J )4 = 1.265625 4 1 + J = ( 1.265625 )� 4 1 + J = 1.06066 4 J = 1.06066 - 1 4 J = 0.06066 4 J = 0.06066 ( 4 ) J= 0.242640 X 100 J= 24.26% M= 100 ( 1 + 0.25 )2 = 1.265625 X 100 = 126.56% 2 M= 100 ( 1 + 0.25 )4 = 1.265576451 X 100 = 126.55% 4



2.- ¿Qué tasa nominal convertible mensualmente resu lta equivalente a una tasa del 14% convertible trimestralmente. DATOS: FÓRMULA: J= ? ( 1 + i )n = ( 1 + J )m m ie= 14% anual DESARROLLO: ( 1 + 0.14 )4 = ( 1 + J )12 = 4 12 ( 1.1475 )2 = ( 1 + J )12 = 12 ( 1 + J )12 = 1.1475 12 1 + J = ( 1.1475 )� 12 1 + J = 1.011531452 12 J = 1.011531452 - 1 12 J = 0.011531452 12 J = 0.011531452 ( 12 ) J= 0.138377428 X 100 J= 13.83% M= 100 ( 1 + 0.1383 )2 = 1.1474 X 100 = 114.74% 12 M= 100 ( 1 + 0.14 )4 = 1.14752 X 100 = 114.75% 4



3.- ¿Qué tasa de interés mensual resulta equivalent e a una tasa del 12% semestral? DATOS: FÓRMULA: J= ? ( 1 + i ) n = ( 1 + J )m m ie= 12% anual DESARROLLO: ( 1 + 0.12 )2 = ( 1 + J )12 = ( 1 + J )12 = 1.122 ( 1 + J )12 = 1.2544 1 + J = ( 1.2544 )� 1 + J = 1.01906 J= 1.01906 -1 J= 0.01906 M= 100 ( 1 + 0.12 )2 = 1.25.44% M= 100 ( 1 + 0.1906 )12 = 125.44%



4.- ¿Qué tasa de interés trimestral resulta equival ente a una tasa del 12% semestral? DATOS: FÓRMULA: J= ? ( 1 + i ) n = ( 1 + J )m m ie= 12% anual DESARROLLO: ( 1 + 0.12 )2 = ( 1 + J )4 = ( 1 + J )4 = 1.122 = ( 1 + J )4 = 1.2544 1 + J = ( 1.2544 )� 1 + J = 1.0583 J= 1.0583 -1 J= 0.01583 X 100 J= 5.83% M= 100 ( 1 + 0.12 )2 = 1.25.44% M= 100 ( 1 + 0.0583 )4 = 125.43%



ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES A INTERÉS COMPUESTO 1.- ¿Qué cantidad debe pagarse trimestralmente para saldar una deuda de 3 pagos mensuales de $100.00 cada uno dada una tasa d el 2% mensual?

i= 0.02

0 1 2 3 100 100 100 A B C M= C ( 1 + i )n A M= 100 (1.02)2 = 104.04 B M= 100 (1.02)1 = 102.00 C M= 100 = 100.00 $ 306.04



2.- ¿Qué cantidad debe pagarse semestralmente para saldar una deuda de 3 pagos bimestrales de $300.00 cada uno dada una tasa del 3% bimestral?

i= 0.03

0 1 2 3 300 300 300 A B C M= C ( 1 + i )n A M= 300 (1.03)2 = 318.27 B M= 300 (1.03)1 = 309.00 C M= 300 = 300.00 $ 927.27 3.- Resuelva el mismo problema tomando como fecha f ocal el mes 0 M= C ( 1 + i )n

Despejar C: C= ____M_____ ( 1 + i )n

C= ___300______ = 291.26 ( 1 + 0.03 )1

C= ___300______ = 282.77 ( 1 + 0.03 )2

C= ___300______ = 274.54 ( 1 + 0.03 )3 =848.57



4.- Se tiene una deuda bancaria de $500,000.00 paga dera en 2 abonos de $250,000.00 cada uno a 3 y 6 meses; se desea liquid ar en 3 pagos bimestrales, el primero de $100,000.00, y el segundo de $200,000.00 , ¿ de cuánto será el tercer pago considerando una tasa del 36% anual convertibl e mensualmente?

i= 0.36%

250 000 250 000

0 1 2 3 4 5 6

Primer bimestre Segundo bimestre Pagó pagó $100,000.00 $200,000.00

Se va a actualizar 4 meses

1 M= C ( 1 + i )n

2 M= 250 000 ( 1 + 0.36 )3 = 273,181.75

12 + M= 250,000.00 TOTAL = 523,181.75 A M= 100 000 ( 1 + 0.36 )4 = 112 550.88 12 + B M= 200 000 ( 1 + 0.36 )2 = 212,180.00 12 324,730.88 523 181.75 - 324 730.88 = 198 450.87



5.- En la compra de una TV con valor de $3,000.00 s e paga $1,500.00 de contado y se firma un documento por la diferencia a pagar a 6 meses, considerando un interés del 2% mensual ¿de cuánto e s el importe del documento? i= 0.02% 3 000 – 1 500 = 1 500 M= 1 500 ( 1 + 0.02 )2

M= 1 689.24



ANUALIDADES Conjunto de pagos iguales realizados a intervalos i guales de tiempo.

Inmediatas vencidas

Diferidas ciertas

Inmediatas anticipadas

Diferidas SIMPLES

Inmediatas vencidas

Diferidas contingentes


Diferidas

ANUALIDADES

Inmediatas

vencidas Diferidas

ciertas Inmediatas

anticipadas Diferidas

GENERALES

Inmediatas vencidas

Diferidas contingentes


diferidas



TIEMPO:

Anualidad Cierta: sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Anualidad Contingente: cuando la fecha del primer pago, la fecha del último pago o ambos, no se fijan de antemano; depen de de algún hecho que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuándo. INTERESES: Anualidad Simple: cuando el periodo de pago coincide con el de la capitalización de los intereses. Anualidad General: el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización. PAGOS: Anualidad Vencida: los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. Anualidad Anticipada: los pagos se realizan al principio de cada periodo . INICIACIÓN: Anualidad Inmediata: es el caso más común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo que sigue inmediata mente a la formalización del trato. Anualidad diferida: se pospone la realización de los cobros o pagos.



EJEMPLOS: De los siguientes planteamientos diga qué tipo de a nualidad es: 1.- Una mina en explotación tiene una producción an ual de 600.000 dólares y se calcula que se agotará en 5 años, ¿cuál es el valor actual de la producción si el rendimiento del dinero es del 11%? Anualidad simple, cierta, vencida e inmediata 2.- Una persona adquiere en Septiembre un televisor a crédito y acepta liquidarlo mediante pagos entregados al principio de cada uno de los 12 bimestres comenzando en Enero del año siguiente y con interes es del 20% anual efectivo. Anualidad general, cierta, anticipada y diferida 3.- Se vende un camión en mensualidades que deben l iquidarse el primer día de cada mes a partir del próximo mes con interés del 1 2% anual con capitalización quincenal. Anualidad general, cierta, anticipada e inmediata 4.- El paga de la renta de una casa-habitación Anualidad simple, cierta, anticipada e inmediata 5.- Una pensión por jubilación que asigna una canti dad mensual. Anualidad simple, contingente, anticipada e inmedia ta



ANUALIDADES VENCIDAS FÓRMULAS: M= R [(1 + i ) n -1] i C= R [(1 + i ) -n -1] i R= Renta o pago por periodo C= Capital M= Monto PROBLEMAS: 1.- Qué cantidad se acumularía en un semestre si se depositan $100,000.00 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente? DATOS: FÓRMULA: R= 100 000 M= R [(1 + i ) n -1] i= 36% anual i Conv. Mensualmente 0.036 12 n= 6 100 000 [ (1 + 0.36)6 -1 ] M= _____________12________ 0.36 12 M= 19 405.22965 = 0.03 M= $646,840.98



2.- ¿ Cuál es el monto de $20,000.00 semestrales de positados durante 4 años y medio en una cuenta bancaria que rinde 18% capitali zable semestralmente? DATOS: FÓRMULA: R= 20 000 M= R [(1 + i ) n -1] i= 18% anual i Capitalizable semestralmente 0.18 2 n= 4 y medio = 9 semestres 20 000 [ (1 + 0.18)9 -1 ] M= _____________ 2________ 0.18 2 M= 23,437.86559 0.09 M= $260,420.72 3.- ¿Qué cantidad se acumula en una cuenta de ahorr os si se depositan $200.00 mensuales durante 5 años si el banco promete 8.5% c apitalizable mensualmente? DATOS: FÓRMULA: R= 200 M= R [(1 + i ) n -1] i= 8.5% anual i Capitalizable mensualmente 0.085 12 n= 5 años 200 [ (1 + 0.085)60 -1 ] M= ___________12________ 0.085 12 M= 105.4601195 7.083333333 M= $14,888.48



4.- ¿Qué cantidad se acumulará en un trimestre si s e depositan $100.00 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 30% anual convertible mensualmente? DATOS: FÓRMULA: R= 100 M= R [(1 + i ) n -1] i= 30% anual i Convertible mensualmente 0.30 12 n= 3 años 100 [ (1 + 0.30)3 -1 ] M= __________12________ 0.30 12 M= 7.6890625 0.025 M= $307.56 5.- El Dr. Chaparro deposita $100.00 al mes de habe r nacido su hijo, continua haciendo depósitos mensuales por la misma cantidad hasta que su hijo cumpla 18 años, para ese día entregarle lo acumulado como regalo de cumpleaños. Suponga que durante ese tiempo la cuenta pagó 8.52% anual convertible mensualmente. DATOS: FÓRMULA: R= 100 M= R [(1 + i ) n -1] i= 8.52 anual i Convertible mensualmente 00852 12 n= 18 años (18 x 12) 100 [ (1 + 0.0852)216 -1 ] M= __________12________ 0.0852 12 M= 360.97856222 7.1 M= $50,842.05



PROBLEMAS: 1.- ¿Cuál es el valor actual de una renta bimestral de $4,500.00 depositados al final de cada uno de 7 bimestres, si la tasa de int erés es del 9% bimestral? DATOS: FÓRMULA: R= 4 500 C= R [ 1- (1 + i ) n ] i= 9% bimestral = 0.09% i n= 7 bimestres M= 4 500 [ (1- (1 + 0.09 )-7 ] 0.09 M= $22,648.28 2.- ¿Cuál es el valor en efectivo de una anualidad de $1,000.00 al final de cada 3 meses durante 5 años, suponiendo un interés anual d el 16% anual convertible trimestralmente? DATOS: FÓRMULA: R= 1 000 C= R [ 1- (1 + i ) n ] i= 16% anual i Convertible trimestralmente 0.16 4 n= cada 3 meses durante 5 años = 4 x 5 = 20 1 000 [ (1 + 0.16)-20 ] C= __________ 4________ 0.16 4 C= 543.6130538 0.04 C= $13,590.32



3.- ¿Qué conviene más para comprar un auto: a) Pagar 260,000.00 de contado b) 130,000.00 de enganche y 12,000.00 al final de c ada uno de los 12 meses siguientes, si el interés se calcula a razón del 18 % convertible mensualmente. DATOS: FÓRMULA: R= 12 000 C= R [ 1- (1 + i ) n ] i= 18% anual i Convertible mensualmente 0.18 12 n= 12 12 000 [ (1 + 0.18)- 12 ] C= __________ 12_____ = 0.18 12 C= 1963.350937 = 0.015 C= $130,890.06 + 130,000.00 260,890.06 4.-Se calculan los intereses a una tasa del 22% con vertible trimestralmente, ¿qué pago único de inmediato es equivalente a 15 pagos t rimestrales de $800.00 si el primero de ellos se hace dentro de 3 meses? DATOS: FÓRMULA: R= 800 C= R [ 1- (1 + i ) n ] i= 22% anual i Convertible trimestralmente 0.22 4 n= 15 pagos trimestrales 800 [ (1 + 0.22)- 15 ] C= __________ 4________ 0.22 4 C= 441.6535615 = 0.055 C= 8,030.06



5.- Calcular monto y capital de $40,000.00 anuales durante 6 años a una tasa del 22% DATOS: FÓRMULA: R= 40 000 M= R [(1 + i ) n -1] i= 22% anual i n= 63 años C= R [ 1- (1 + i ) n ] i M= 40 000 [ (1 + 0.22)6 -1 ] 0.22 M= 91,892.15836 = 0.22 M= $417,691.6289 C= 40 000 [ 1- (1 + 0.22)-6 ] 0.22 C= 27 868.87697 = 0.22 C= $126,676.7135



CÁLCULO DE RENTA DE UNA ANUALIDAD

FÓRMULAS

M= R [(1 + i ) n -1] C= R [ 1- (1 + i ) n ] i i Despejar R: Despejar R: R= M R= ____Ci_____ [(1 + i ) n -1] 1- (1 + i ) n EJEMPLOS: 1.- Una persona adquiere hoy a crédito una computad ora que cuesta $19,750.00 y conviene pagarla con 4 mensualidades vencidas, ¿c uánto tendrá que pagar cada mes si le cobran 1.8% de interés mensual? DATOS: FÓRMULA: C= 19,750.00 R= ____Ci_____ i= 1.8% interés mensual 1-(1 + i )n n= 4 mensualidades vencidas R= 19 750 ( 0.018 ) = 1-(1 + 0.018)4 R= ___355.5________ = 0.068873068 R= 5,161.66 2.- ¿Cuánto debe depositar el Sr. Juárez al final d e cada mes durante los próximos 7 años en un fondo que paga 13.5% converti ble mensualmente con el objeto de acumular $100,000.00 al realizar el últim o depósito? DATOS: FÓRMULA: C= 100 000 R= ____Ci_____ i= 13.50 conv. Mens. 0.135 [(1 + i ) n -1] 12 n= 7 años (12 x 7 = 84 ) R= 100 000 ( 0.135/12) = [(1 + 0.135/12 )84 -1] R= 100 000 (0.01125) 1.559274728 R= 721.489



3.- Una empresa contrata una deuda de $100,000.00 e n un banco, el interés es del 22% anual convertible mensualmente, ¿cuánto ten drá que pagar mensualmente la empresa para saldar su deuda en 15 meses? DATOS: FÓRMULA: C= 100 000 R= ____Ci_____ i= 22 % anual conv. Mens. 0.22 1- (1 + i ) -n 12 n= 15 meses R= 100 000 ( 0.22/12) = [(1 + 0.22/12 )-15 -1] R= 1 833.33 = 0.238533849 R= 7,685.84 4.- Laura compra a crédito un refrigerador de $6,75 0.00 y conviene pagarlo con 6 mensualidades vencidas, ¿cuánto tendrá que pagar al mes si le cobran 8% de interés mensual? DATOS: FÓRMULA: C= 6 750 R= ____Ci_____ i= 8% interés mensual 0.08 1- (1 + i )-n n= 6 meses R= 6 750 (0.08) = 1- (1 + 0.08)-6 R= 540 = 0.369830373 R= 1,460.12



5.- Una empresa contrata una deuda de $1’000,000.00 con un banco. El interés es del 13% anual convertible mensualmente; ¿cuánto ten drá que pagar mensualmente para saldar su deuda en 3 años? DATOS: FÓRMULA: C= 1’000 000 R= ____Ci_____ i= 13% interés anual conv mens. 0.13/12 1- (1 + i ) -n n= 3 años = 36 meses R= 1’000 000 ( 0.13/12 1- (1 + 0.13/12)-36 R= 10,833.33333 = 0.311521599 R= 33,693.95



EJEMPLOS: 1.- Lucero debe pagar hoy $350,000.00, como no tien e esa cantidad disponible platica con su acreedor y acuerda pagarle mediante 6 abonos mensuales de $62,000.00, el primero de ellos dentro de 1 mes, ¿q ué tasa de interés va a pagar? DATOS: FÓRMULA: C= 350 000 C= R [ 1- (1 + i ) n ] i n= 6 R= 62 000 350 000 = 62 000 [ 1- (1 + i )-6 ] i 1- (1 + i )-6 = 350 000 i 62 000 1- (1 + i )-6 = 5.64516129 i 0.01 -5.79547647 0.15031518 -0.01 -0.01-X X -5.64516129 0.19404558 0.02 -5.60143089 0.01–X = 0.15031518 -0.01 0.19404558 0.01 –X = -0.007746385153 0.01-X = 0.7746385153 -0.01 X= 0.017746385 X 100 X= 1.77% mensual



2.- Una lavadora cuesta $1,250.00 y se vende a 12 p agos mensuales de $125.00, el primero de ellos dentro de un mes, ¿qué tasa de interés se paga? DATOS: FÓRMULA: C= 1 250 C= R [ 1- (1 + i ) n ] i n= 12 R= 125 1 250 = 125 [ 1- (1 + i )-12 ] i 1- (1 + i )-12 = 1 250 i 125 1- (1 + i )-6 = 5.64516129 i 0.02 -10.57534122 0.57534122 -0.01 -0.02-X X -10 0.62133723 0.03 -9.95400399 0.02–X = 0.57534122 -0.01 0.621337230 0.02 –X = 0.925972551 (-0.01) -X= 0.009259725512 – 0.02 X= 0.01010740274 X 100 X= 1.074027449% mensual



3.- Un televisor de $449.50 se vende con $49.50 de cuota inicial y 18 pagos mensuales de $27.50, el primero de ellos dentro de un mes, ¿qué tasa de interés se va a pagar? DATOS: FÓRMULA: C= 449.50 C= R [ 1- (1 + i ) -n] i n= 18 R= 27.50 449.50 – 49.50= 400 400 = 27.50 [ 1- (1 + i )-18 ] i 1- (1 + i )-18 = 400 i 27.50 1- (1 + i )-18 = 14.54545455 i 0.02 -14.99203125 0.44657625 -0.01 -0.02-X X 14.545455 1.23851817 0.03 -13.75351308 0.02–X = 0.44657625 -0.01 1.23851817 0.02-X = 0.36057303 (-0.01) 0.02-X= -0.0036057303 -0.02 X= 0.02360573 X 100 X= 2.36% mensual



4.- ¿A qué tasa de interés se deben hacer los depós itos semestrales vencidos de $1,200.00 para acumular $8,000.00 en 3 años? DATOS: FÓRMULA: M= 8 000 M= R [ (1 + i ) -n-1] i n= 3 años R= 1 200 8 000 = 1 200 [ (1 + i )6 -1] [ (1 + i )6 -1] = 8 000 = 6.666666667 1 200 0.05 6.80191281 -0.05-X 0.135246143 -0.01 X 6.666666667 0.16893735 0.04 6.63297546 0.05–X = 0.135246143 0.01 0.16893735 0.05-X = 0.8005699814 (0.01) 0.05-X= -0.00800569814-0.05 X= 0.041994301X 100 X=4.199430186 %



5.- Usted desea juntar o reunir un monto de $5,000. 00, para ello lo hará mediante 5 abonos mensuales vencidos de $762.00, ¿qué tasa d e interés anual debe de tener para reunir la cantidad? DATOS: FÓRMULA: M= 5 000 M= R [ (1 + i ) -n-1] i n= 6 abonos mensuales R= 772 5 000 = 772 [ (1 + i )5-1] [ (1 + i )5-1] = 5 000 = 6.476683938 772 0.04 6.63297546 -0.04-X 0.156291522 -0.01 X 6.476683938 0.16456558 0.03 6.46840988 0.04–X = 0.156295223 0.01 0. 16456558 0.04-X = 0.9497721819 (0.01) X= -0.00949721819 -0.05 X= -0.030502781X 100 X= 3.05%



ANUALIDADES ANTICIPADAS

MONTO:

Maa= R [(1 + i ) n -1] ( 1 + i ) i Maa= R (1 + i )n+1 -1 -1 i CAPITAL: Caa= R [ 1- (1 + i ) n ] ( 1 + i ) i Maa= R 1+ (1 + i )n+1 i



EJEMPLOS: 1.- Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $25 0.00 al principio de cada mes, si la cuenta paga 1.3% mensual de interés ¿cuá nto habrá ahorrado durante el primer año? Maa= R [(1 + i ) n -1] ( 1 + i ) i Maa= 250 [(1 + 0.13)12 -1] ( 1 + 0.013) = 3,265.98 0.013 Maa= R (1 + i )n+1 -1 -1 i Maa= 250 (1 + 0.013 )12 +1 -1 -1 = 3 0.014 2.- ¿Qué renta anual anticipada es equivalente a un a renta mensual anticipada de $680.00 a una tasa de 25% convertible mensualmente? Caa= R [(1 + i ) n -1] ( 1 + i ) i Caa= 680 [ 1-(1 + 0.25/12)-12 ] ( 1 + 0.25/12 = 7,304.87 0.25/12



3.- La Sra. Gavaldón debe pagar $90,000.00 dentro d e 2 años y para reunir esta cantidad decide hacer 12 depósitos bimestrales en u na cuenta de inversión que rinde 4.2% bimestral de interés, ¿de cuánto deben s er sus depósitos si hoy realiza el primero? R= _____M___ (1 + i )n + 1 -1 R= 90 000 (1 + 0.242)12 + 1 -1= 5,682.63 0.042



ANUALIDADES GENERALES

Las anualidades generales son aquellas en las que el periodo de pago no coincide con el de capitalización, por consiguiente se tiene que convertir la tasa de interés al periodo de pago. Ejemplo: Encontrar el monto de un conjunto de 4 pagos trimes trales vencidos de $5,000.00 i= 36% anual convertible mensualmente ( 1 + i )4 = ( 1 + 0.36/12 )12 ( 1 + i )4= 1.425760887 1 + i = (1.425760887) 1/4

1 + i = 1.092727 i= 1.092727 – 1 i= 0.092727 trimestral M= R [(1 + i ) n -1] i M= 5 000 [(1 + 0.092727 )4 -1] 0.092727 M= 22,957.76



Encontrar el monto de un conjunto de 10 depósitos v encidos de $2,500.00 , si el interés que se gana es del 30% convertible semestra lmente ( 1 + i )12 ( 1 + 0.30/2 )2 ( 1 + i )12 = (1.15)2 1 + i = (1.3225) 1/12

i= 1.023567073 -1 i= 0.023567073 mensual M= R [(1 + i ) n -1] i M= 2 500 (1 + 0.023567073 )10 -1] 0.023567073 M= 27,824.98 A qué cantidad pagada hoy equivalen 25 pagos quince nales vencidos de $280.00, si el interés es del 25% convertible semes tralmente ( 1 + i )24 = (1 + 0.25/2 )2 ( 1 + i )24 = (1.265625) 1 + i = (1.265625)1/24

i= 1.009863581 -1 i= 0.009863581 quincenal C= R [ 1- (1 + i ) -N] i C= 280 [ 1- (1 + 0.00986358055)-25] 0.00986358055 C= 6,176.89



AMORTIZACIÓN

En el área financiera significa saldar gradualmente una deuda por medio de una serie de pagos que, generalmente son iguales y se realizan a intervalo de tiempo iguales. Amortizar es extinguir una deuda actual mediante pagos periódicos.

Ejemplo: Sergio Campos contrae hoy una deuda de $95,000.00 al 18% convertible semestralmente que amortizará mediante 6 pagos semestrales iguales, el primero de los cuales vence dentro de 6 meses.

a) calcular el valor de los pagos: R= ____Ci_____ 1- (1 + i )n R= ____95 000 (0.09)_____ 1- (1 + 0.09 )-6 R= ____8 550_____ = 8 550____ 1- (0.596267326) 0.403732674 R= 21,177.37

PAGO INT. S/EL SALDO AMORTIZACIÓN SALDO 0 0 0 0 95,000.00 1 21,177.37 8,550.00 12,627.37 82,372.63 2 21,177.37 7,413.54 13,763.83 68,608.80 3 21,177.37 6,174.79 15,002.81 53,606.21 4 21,177.37 4,824.55 16,352.81 37,253.40 5 21,177.37 3,352.80 17,824.57 19,428.83 6 21,177.37 1,748.59 19,428.83 0



Calcule el valor de los pagos y realice la tabla de amortización para saldar un adeudo de 4,000.00 contratado al 42% convertible bimestralmente, si la deuda ha de quedar saldada al cabo de un año hacienda pagos bimestrales comenzando dentro de 2 meses. R= ____Ci_____ 1- (1 + i )n R= ____4 000 (0.07)_____ 1- (1 + 0.07 )-6 R= ____280_____ __= 280____ 1- 0.666342223 0.333657776 R= 839.18 BIM. PAGO INT. S/EL SALDO AMORTIZACIÓN SALDO

0 0 0 0 4,000.00 1 839.18 280 559.18 3,440.82 2 839.18 240.85 598.33 2,842.49 3 839.18 198.97 640.20 2,202.29 4 839.18 154.16 685.02 1,517.27 5 839.18 106.20 732.98 784.29 6 839.18 54.90 784.29 0



DERECHOS ADQUIRIDOS POR EL DEUDOR Y SALDO A FAVOR DEL ACREEDOR Resulta fácil ver que, por ejemplo, en una operación de compra venta a crédito después de que el deudor ha realizado algunos pagos, ha adquirido parcialmente el bien, mientras que el acreedor, al haber recibido esos pagos, ya no es prioritario de todos los derechos sobre el bien, sino solo de una parte (el saldo a su favor) En general, en cualquier operación de amortización de una deuda y en cualquier momento: Derechos del Deudor + Derechos del Acreedor = Valor de la Operación FÓRMULA: SALDO= C (1 + i)n - R [ (1 + I )n ]- 1 i Ejemplo: Se tiene una deuda de $80,000.00 contratado al 10% convertible semestralmente que se liquida con 6 pagos semestrales (pagos vencidos) R= ____Ci_____ 1- (1 + i )-n R= ____80 000 (0.05)_____ 1- (1 + 0.05 )-6 R= 15,761.39 BIM. PAGO INT. S/EL SALDO AMORTIZACIÓN SALDO

0 0 0 0 80 000 1 15 761.39 4 000 11,761.39 68,238.61 2 15 761.39 3 411.9305 12,349.4595 55,889.1505 3 15 761.39 2 794.457525 12,966.93248 42,922.21802 4 15 761.39 2 146.110901 13,615.2791 29,306.93892 5 15 761.39 1 465.346946 14,296.04305 15,010.89587 6 15 761.39 750.5447933 15,010.92 0



DEPRECIACIÓN

Es la pérdida de valor que sufre un bien desde el momento en el que se adquiere, por

el uso que se le da o bien por el transcurso mismo del tiempo; exceptuando a los

terrenos y algunos metales. Esta pérdida debe reflejarse contablemente con el fin de:

a) Determinar el costo de los bienes o servicios que se generan con dichos

activos. b) Establecer un fondo de reserva que permita reemplazar el bien al final de su

vida útil.

Cargos por depreciación: Son los cargos que periódicamente se realizan a los

resultados por la depreciación del bien y se crea un fondo para contar con los recursos

necesarios para reemplazarlo al concluir su vida útil.

Valor en libros: Es la diferencia entre el valor original y la depreciación acumulada a

una fecha determinada, el cual no necesariamente corresponde a su valor de

mercado.

Valor de salvamento o valor de desecho: Es el valor que tiene el activo al final de su

vida útil, y debe ser igual al valor en libros en esa fecha.

La base de depreciación de un activo es igual a su costo original menos su valor

calculado de salvamento, es la cantidad que debe ser cargada a resultados en el

transcurso de su vida activa.

Agotamiento: Es el concepto que se utiliza en el caso de los activos que no pueden

reemplazarse, es decir, la pérdida progresiva de valor por la reducción de su cantidad

aprovechable. Ejemplo esto son las minas que, por la extracción de que son objeto,

van disminuyendo paulatinamente su capacidad y su valor, hasta que se agotan

totalmente.



OBJETIVOS DE LA DEPRECIACIÓN:

1. Reflejar en los resultados la pérdida de valor del activo.

2. Crear un fondo interno para financiar la adquisición de un nuevo activo al

finalizar la vida útil del antiguo.

NOTACIONES UTILIZADAS:

C= Costo original del activo

S= Valor de salvamento (S puede ser negativo)

n= Vida útil calculada en años

B = C – S= Base de depreciación del activo

Dk= Cargo por depreciación por el año k(1<k<n)

Ak= Depreciación acumulada al final del año k

(0 < k < n), Do = O y Dn = B

Vk= Valor en libros al final del año k(0 < k < n) (Vo= C y Vn = S dk= Tasa de depreciación por el año k(1 < k < n)



MÉTODOS PARA CALCULAR LA DEPRECIACIÓN: Método de Línea Recta.- Es el más simple y el que más se utiliza. Es el único

aprobado por las autoridades para cumplir con las disposiciones fiscales al respecto.

Este método supone que la depreciación anual es la misma durante toda la vida útil

del activo. De acuerdo con ello, la base de depreciación se divide entre el número de

años de vida útil calculada y se determina el cargo que anualmente se hará al fondo

de reserva y a los resultados. Al final de la vida útil, la depreciación acumulada más el

valor de salvamento del bien debe ser igual al valor de reposición.

Ejemplo: Se compra un equipo de cómputo con valor de $16,000.00 y se calcula que su vida útil

será de 4 años, antes de que deba se reemplazado por equipos más modernos. Su

valor de desecho se calcula en $2,500.00

a) Determinar la depreciación anual por el método de línea recta.

b) Elaborar una tabla de depreciación.

Solución: Utilizando la fórmula D= B = C – S n n D= 16 000 – 2 500 = 13 500 4 4 D= 3 375 De esta forma, la depreciación anual será de $3 375, cantidad que se incrementará en

el fondo de reserva para depreciación y disminuirá en el valor en libros del activo.



Esto se refleja claramente en la siguiente tabla:

Año Kilómetros recorridos

Depreciación anual

Depreciación acumulada

0 0 0 16 000 1 3 375 3 375 12 625 2 3 375 6 750 9 250 3 3 375 10 125 5 875 4 3 375 13 500 2 500

Método de porcentaje fijo.- Este método tiene en consideración el hecho de que la

depreciación es mayor en los primeros años de uso y menor en los últimos. Para

reflejarlo se carga un porcentaje fijo del valor en libros del activo a los resultados de la

empresa. Dicho valor en libros disminuye cada año y, por lo tanto, la depreciación

disminuye también consecuentemente. La depreciación anual estará dada por la

fórmula:

Dk= Vk-1 d

El valor en libros al final del primer año estará dado por:

V1 = V0 – V0d = C - Cd

Donde V es el valor en libros y d la tasa de depreciación anual fijada. En el segundo

año, el valor en libros estará dado por:

V2 = V1 – V1d = V2(1-d) = C(1-d)(1-d)(1-d)

Por lo tanto, se está en presencia de una progresión geométrica cuyo término común

es (1-d)

El valor en libros al final de cada año puede determinarse utilizando la fórmula:

Vk = C(1-d)k

En el último año, el valor de salvamento será igual al valor en libros:

S= C(1-d)n = Vn



Dados S y n, se puede determinar la tasa de depreciación utilizando la fórmula S=

C(1-d)n = Vn

Este método solo puede aplicarse si el valor de salvamento es positivo; de lo contrario,

esta fórmula carecería de sentido. En caso de que el valor de desecho calculado fuese

0, puede sustituirse por 1 para poder aplicar dicha fórmula.

Ejemplo:

Una compañía compra una camioneta para el reparto de su mercancía en $75,000.00,

calcular que su vida útil será de 5 años y que al final de ella su valor de desecho será

de $10 000

a) Determinar la tasa de depreciación d que debe aplicarse

b) Elaborar la tabla de depreciación correspondiente

Solución:

Es este caso se conoce el valor de desecho y el número de años de vida útil.

S= C(1-d)n

10 000 = 75 000(1-d)5

10 000 = (1-d)5

75 000

0.13333333 = (1-d)5

(0.13333333)1/5 = 1-d

0.66832506 = 1-d

d = 1 – 0.668325

d = 0.33167494

d = 33.1675%

Este porcentaje se aplica para calcular la siguiente tabla de depreciación

correspondiente; si existe diferencia, debido al redondeo de las cifras, se debe ajustar

en el último cargo por depreciación.



Año Kilómetros recorridos

Depreciación anual


Valor en libros

0 0 0 75 000.00 0.331675 1 24 875.63 24 875.63 50 124.38 0.331675 2 16 625.00 41 500.63 33 499.37 0.331675 3 11 110.90 52 611.53 22 388.47 0.331675 4 7 425.70 60 037.23 14 962.77 0.331675 5 4 962.78 65 000.00* 10 000.00 0.331675

*La diferencia de 0.01 se debe a redondeo.

Método de suma de dígitos.- Este método al igual que el del porcentaje fijo, es un

método acelerado de depreciación que asigna un cargo mayor a los primeros años de

servicio y lo disminuye con el transcurso del tiempo. Para determinar el cargo anual se

multiplica la base de depreciación del activo por una fracción que se obtiene de la

siguiente manera:

1. Se suman los dígitos (suma de dígitos) de 1 a n de los años de vida esperada

del activo. Ejemplo: Si un activo tiene una vida esperada de 4 años, se suman

los dígitos enteros correspondientes a los años de servicio esperados:

1+2+3+4 = 10. Esta cifra también puede determinarse utilizando la siguiente

fórmula:

s = n(n+1) 2 En el caso anterior se tiene:

s= 4(4+1) 2

s= 4(5) 2

s= 10

La cifra que así se obtenga será el denominador de la fracción a depreciar.

2. Los dígitos correspondientes a los años de vida útil del activo se ordenan

inversamente al tiempo y así, inversamente, se asignan a cada uno de los años

de vida útil. Estos serán los numeradores de la fracción.



Ejemplo: En el caso del activo con vida de 4 años se tiene:

Año: 1 2 3 4 Años en orden invertido: 4 3 2 1 Suma de dígitos: 10 10 10 10 Fracción que se depreciará: _4__ _3_ _2_ _1_ 10 10 10 10

3. La fracción que así se obtenga se multiplica por la base de depreciación del

activo (C-S) y se obtiene el cargo anual. En consecuencia se tiene que:

D1 = n (C-S) D1 = n - 1 (C-S) Dn = 1 (C-S) S s s

y generalizando: Dk = n-k+1 (C-S) s

La depreciación acumulada (Ak) se obtiene multiplicando la base de depreciación (C-

S) por la suma de las fracciones acumulada hasta ese año.

Ejemplo:

Se compra mobiliario de oficina con valor de $8 975, se espera que su vida útil sea de

5 años y tenga un valor de desecho de $2 000

a) Elaborar la tabla de depreciación usando el método de suma de dígitos.

Solución:

1. Se determina la base de depreciación: B = C – S B= 8 975 – 2,000 B= 6 975

2. Se calcula el denominador de la fracción (suma de dígitos): n = 5 s = n(n+1) 2 s = 5 (6)

2 s= 15



3. Se determinan los numeradores de las fracciones:

Año: 1 2 3 4 5 Años en orden invertido: 5 4 3 2 1 Fracción que se depreciará: _ 5_ 4 3 2 1 15 15 15 15 15 Cabe destacar que 5 4 3 2 1 = 15 15 15 15 15 15 15

4. Se multiplica cada fracción por la base de depreciación para determinar el

cargo de cada año.

Este procedimiento puede simplificarse con la utilización de las fórmulas como se verá

en la siguiente tabla.

Año Fracción Base de depreciación

Depreciación anual


Valor en

libros 0 0 0 0 0 8 975 1 5/15 6 975 2 325 2 325 6 650 2 4/15 6 975 1 860 4 185 4 790 3 3/15 6 975 1 395 5 580 3 395 4 2/15 6 975 930 6 510 2 465 5 1/15 6 975 465 6 975 2 000

Método por unidad de producción o servicio.- Al adquirir un activo se espera que

dé servicio durante un determinado periodo (años, días, horas), o bien que produzca

una cantidad determinada de kilos, toneladas, unidades, kilómetros, etc. Si se conoce

la vida esperada del bien en función de estos parámetros, puede depreciarse de

acuerdo con las unidades de producción o servicio que genera durante un periodo

determinado.



Ejemplo: Una compañía arrendadora de autos adquiere un automóvil para su flotilla con un

costo de $152 000. La empresa calcula que la vida útil del automóvil para efectos de

arrendamiento es de 60 000 km y que, al cabo de ellos, el valor de deseco de la

unidad será de 62 000. El kilometraje recorrido por la unidad durante los 3 primeros

años fue:

Años Kilómetros

1 24 000 2 22 000 3 14 000

a) Determinar el monto de depreciación por kilómetro recorrido.

b) Elaborar la tabla de depreciación correspondiente.

Solución:

En primer lugar se determina la base de depreciación:

B = C – S

B = 152 000 – 62 000

B = 90 000

Esta base de depreciación se distribuye entre los kilómetros “útiles” para efectos de

arrendamiento con el fin de encontrar la depreciación por kilómetro.

d/km = 90 000 60 000 d/km = $1.50

La depreciación por kilómetro es de $1.50. Conociendo este dato, la tabla siguiente

muestra la depreciación correspondiente:



Año Kilómetros

recorridos Depreciación

anual Depreciación acumulada

Valor en libros

0 0 0 0 152 000 1 24 000 36 000 36 000 116 000 2 22 000 33 000 69 000 83 000 3 14 000 21 000 90 000 62 000

Método del fondo de amortización.- Este método toma en consideración los

intereses que gana el fondo de reserva que se va constituyendo; por lo tanto, el

incremento anual del fondo estará dado por la suma del cargo anual por depreciación

más los intereses ganados en el periodo de referencia.

La aportación anual al fondo de amortización se deriva de la fórmula

M= R (1+i)n -1 I Para determinar el pago periódico se despeja R: R= _____Mi_____ (1+i)n -1 En este caso M = B, pues es el monto que se debe acumular al cabo de n años, a una

tasa de interés i y R = D, el cargo anual que debe realizarse al fondo.

Por lo tanto Dk = B ____i_____ = ___Bi______ = _____Bi____ (1+i)n -1 (1+i)n -1 (1+i)k -1 Para determinar la depreciación acumulada Ak calcula el monto de un pago periódico

D a un plazo k y a una tasa de interés i por periodo:

Ak = D ___(1+i)k -1__ i Donde: Ak =D _(1+i)k -1; M= R __(1+i)n -1__ i i El monto acumulado al cabo de n años debe ser igual, como ya se señaló, a la base

de depreciación del activo.

Ejemplo: Se adquiere mobiliario nuevo para un hotel. Su costo de adquisición es de $40,000.00

y se calcula que tendrá una vida útil de 5 años, al cabo de los cuales su valor de

desecho será de 0. El interés vigente es del 35% anual.



a) Determinar el cargo anual por depreciación utilizando el método del fondo de

amortización.

b) Elaborar la tabla de depreciación correspondiente.

Solución: En primer lugar se calcula la base de depreciación: B = C – S B = 40 000 – 0 B = 40 000 Acto seguido, mediante la fórmula D = B ____i____, se determina el cargo anual por depreciación: (1+i)n -1

D = B ____i_____ (1+i)n -1

D = 40 000 ____0.35____ (1+0.35)5 -1

D = 40 000 ____0.35______

4.48403344 -1

D = 40 000 ____0.35______ 3.48403344

D = 40 000(0.10045828) D = 4018.33

La aportación que se debe hacer anualmente al fondo de amortización es de

$4,018.33

La siguiente tabla de depreciación que se presenta es equivalente a una tabla de

amortización, pero con la adición de una columna para anotar el valor en libros.



Años Depósito

anual Intereses ganados

Depreciación anual


Valor en libros

0 0 0 0 0 40 000.00 1 4 018.33 0 4 018.33 4 018.33 35 981.67 2 4 018.33 1 406.42 5 424.75 9 443.08 30 556.92 3 4 018.33 3 305.08 7 323.41 16 766.48 23 233.52 4 4 018.33 5 868.27 9 886.6 26 653.08 13 346.92 5 4 018.33 9 328.58 13 346.91 39 999.99 0.01 6 4 018.33 19 908.34 39 999.99

Como puede observarse, en épocas de inflación y altas tasas de interés, el monto de

las aportaciones que realiza la empresa es relativamente pequeña, pues el grueso de

la depreciación está dado por los intereses que gana el fondo. Esta situación se

invierte si los intereses que gana el fondo son bajos.

Depreciación en épocas inflacionarias.- En épocas inflacionarias, el rápido

incremento de los precios de todos los bienes y servicios impiden que un sistema de

depreciación basada en costos históricos cumpla con los objetivos arriba

mencionados, pues si la base de depreciación se mantiene sin actualizar, los precios

de los bienes no revelarán los costos actuales de producción, ni el fondo que se

establezca permitirá reemplazar al bien.

Valor de reposición

Cuando las organizaciones enfrentan situaciones de alta inflación sus encargados de

finanzas tienen una gran responsabilidad: hacerlas productivas descontando el efecto

de la inflación. Esto es, el importe que se necesitará embolsar en el futuro para

reponer un activo que se encuentra en servicio en un momento determinado. Este

cálculo resulta complejo, pues influyen varios factores:

a) la vida útil esperada del activo

b) La obsolencia del activo

c) La inflación esperada



Ejemplo: ¿Cuál es el valor de reposición de un equipo cuyo costo de adquisición es de $5,000,

si su vida útil esperada es de 4 años y se prevé que la inflación anual promedio será

de 30%?

Solución: Se aplica la fórmula del monto e interés compuesto y se obtiene: M = C(1+i)n M = 5 000 (1+0.30)4 M = 5000 (2.8561) M = 14 280.50 El valor de reposición esperado en 4 años es de $14,280.00

Manual de Matematicas Financieras

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