Manual de Matematica

Conteudo

1 Teoria de Conjuntos 3

1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Notacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Relaccoes de Pertenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Formas de definicao de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.5 Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.6 Igualdade de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.7 Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.8 Conjunto Universo ou Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.9 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.10 Conjunto de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.11 Operacoes Sobre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Exercicios De Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Aritmetica 12

2.1 Razoes e Proporcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.1 Percentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.2 Exercicios de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Potenciacao e Radiciacao 17

3.1 Potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Operacoes com Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Multiplicacao de Potencias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes . . . . . . 183.2.2 Divisao de Potencias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes . . . . . . . . . 183.2.3 Multiplicacao de Potencias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes . . . . . . 183.2.4 Divisao de Potencias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes . . . . . . . . . 183.2.5 Potencia de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Radiciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.1 Raiz de Imdice n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.2 Multiplicacao e Divisao de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.3 Simplificacao de Radicais (Reducao ao mesmo ındice) . . . . . . . . . . . . . . 203.3.4 Comparacao de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.5 Adicao e Subtracao de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.6 Potencia de uma raiz e Raiz de uma Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.7 Exercicios de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Algebra 24

4.1 Expressoes Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.1 Expressoes numericas e valor numerico de uma expressao . . . . . . . . . . . . 244.1.2 Domınio de Expressoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.3 Valores Numericos de Uma Expressao Literal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

2

4.1.4 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.5 Monomios Semelhantes e Monomios Iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.1.6 Operacoes Sobre Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.1.7 Polinomios, Polinomios Semelhantes e Polinomios Iguais . . . . . . . . . . . . . 294.1.8 Factorizacao de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.1.9 Polinomios Quadraticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.10 Triangulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.11 Exercicios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.12 Exercıcios de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Geometria Plana 405.1 Areas, Perımetros e Volumes de Figuras Geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1.1 Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.1.2 Losango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.1.3 Rectangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.1.4 Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.5 Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.6 Classificacao dos triangulos - Quanto aos lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.1.7 Classificacao de Triangulos - Quanto aos Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.8 Trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1.9 Papagaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.10 Cırculo e Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.1.11 Sector Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.1.12 Linhas de Nıvel de Um Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1.13 Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.1.14 Angulos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.15 Angulos Internos de Um Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.16 Angulos Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.17 Angulos Internos de Um Quadrilatero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.18 Angulos Verticalmente Opostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.19 Angulos Alternos Internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.20 Angulos Correspondentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.1.21 Teorema De Semelhancas de Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Relaccoes e Funcoes 606.1 Relaccoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.1.1 Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.1.2 Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.1.3 Funcoes Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.1.4 Sistemas de Equacoes e Inequacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


7 Funcoes Quadraticas 747.1 Funcoes e Equacoes Quadraticas, Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.1.1 Funcoes Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.1.2 Estudo Completo de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.1.3 Equacoes Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.1.4 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.1.5 Equacoes Parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.1.6 Funcao e Equacao Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.1.7 Composicao de funcoes por funcoes Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.1.8 Equacoes e Inequaoes Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82


3

8 Funcao Logaritmica e Exponencial 908.1 Funcao e Equacao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8.1.1 Resolucao de Equacoes Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.1.2 Inequacao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.1.3 Funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.1.4 Representacao Grafica de uma Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 938.1.5 Calculo Logarıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.1.6 Propriedades Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.1.7 Equacao Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.1.8 Inequacao Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.1.9 Funcao Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.1.10 Representacao Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.2 Exercicios de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9 Funcao Homografica E Modular 1049.0.1 Funcao e Equacao Homografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.1 Equacoes e Inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.2 Funcao Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.2.1 Grafico da Funcao Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.2.2 Equacoes Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.2.3 Inequacoes Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


10 Trigonometria Elementar 12110.1 Razoes Trigonometricas No Triangulo Rectangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

10.1.1 Angulos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310.1.2 Formula Fundamental da Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310.1.3 Cırculo Trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12410.1.4 Passagem Para o Primeiro Quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12610.1.5 Passagem Para Radianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12910.1.6 Teorema dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12910.1.7 Teorema dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.1.8 Area de triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130


11 Funcoes E Equacoes Trigonometricas 13311.1 Funcoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

11.1.1 Funcao Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13411.1.2 Funcao Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13611.1.3 Funcao Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

11.2 Equacoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13911.2.1 Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13911.2.2 Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14011.2.3 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

11.3 Exercıcios de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

12 Sucessao e Limites de Sucessoes; Limite de Funcoes 14512.1 Sucessao e Limites de Sucessoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

12.1.1 Sucessoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14512.1.2 Monotonia de uma Sucessao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14612.1.3 Grafico de uma Sucessao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14712.1.4 Limite de uma Sucessao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14812.1.5 Operacoes com Limites de Sucessoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4

12.1.6 Formas Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14912.1.7 O Numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

12.2 Progressoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15212.2.1 Progressao Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15212.2.2 Termo Geral de uma Progressao Aritmetica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15212.2.3 Soma de n termos de uma Progressao Aritmetica. . . . . . . . . . . . . . . . . 15212.2.4 Progressao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15312.2.5 Termo Geral de uma Progressao Geometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15312.2.6 Soma de n termos de uma Progrssao Geometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

12.3 Limite de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15512.3.1 Calculo de Limite de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15612.3.2 Indeterminacao do Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15612.3.3 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15612.3.4 Limites Notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

12.4 Alguns Exercicios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15812.5 Continuidade de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

12.5.1 Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16112.6 Classificacao dos Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

12.6.1 Descontinuidade da Primeira Especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16212.6.2 Descontinuidade da Segunda Especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162


13 Calculo Diferencial 16713.1 Conceito de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16713.2 Derivacao por Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

13.2.1 Regras de Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17413.2.2 Tabelas de Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17513.2.3 Exercicios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

13.3 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18013.4 Exercıcios de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Centro de Preparaçao aos Exames de Admisao ao Ensino Superior- CPEAES www.cpeaes.ac.mz Por: Justino M. J. Rodrigues

Justino Rodrigues ( Coordenador ),E– Mail [email protected] , Cel? 82-0432 760- www.cpeaes.ac.mz

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PREFÁCIO

O presente livro (manual) foi preparado pelos professores deste centro (CPEAES) sob a sua

coordenação e é destinado ao âmplo circulo de estudantes ocupados no estudo de preparação aos

exames de admissão para o ensino superior ou no desenvolvimento da actividade pedagógica nos

centros de ensino e pesquisa em particular.

O traço característico deste livro (manual) consiste em expor os problemas e as tendências

actuais de planos curriculares orientados para o ensino geral e técnico nacional, o

aperfeiçoamento e assimilação das matérias dadas nas escolas, assinalados sob óptica do

desenvolvimento estável dos princípios básicos da teoria e da prática, planificação dos métodos

de estudos, sem expor a metodologia concreta de planificação.

Os autores põe em destaque os elementos que devem ser assimilados e que possam ser úteis nas

diferentes condições de avaliação nos exames de admissão de modo a alcançar os objectivos

desejados.

O livro pode ser utilizado como material de estudo.

O CPEAES ficar-lhe-á muito grato se nos dar a conhecer a sua opinião a cerca da tradução do

presente livro, assim como acerca da sua apresentação e impressão.

Agradecer-lhe-emos também qualquer outra sugestão.

NB: Este livro é propriedade do centro e todos seus direitos e obrigações estão reservados a este

centro ( CPEAES )

É expressamente proibido a sua reprodução, seja ela por fotocópia ou outra forma electrónica,

tanto como a sua venda fora deste estabelecimento (CPEAES) como detentor de todos direitos.

Maputo, Maio de 2007

Justino M. J. Rodrigues (Coordenador )

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Caro Leitor!...

Quero antes, agradecer a todos que de forma directa ou indirecta fizeram parte desta obra, ao escreve-la inspirei-me nos princıpios de um grande Professor que postula a ideia de que ”...ensinar e lembraraos outros que eles sabem tanto quanto voce!...” e procurei de modo solene e calmo mostrar asmais importantes passagens que todos tivemos (porque acredito em vos) durante o ensino secundarioe na pre da Universidade.

Estou consciente de que a caminhada para o ensino superior e ardua, disconfortante, mas tambemtenue e gratificante. Espero que este material sirva aos leitores amigos dos ”romances matematicos”comoferramenta necessaria para a caminhada que se dispoem seguir, e porque nao um bom livro para asferias de fim do ano? Tem se dito, um bom comeco, meio caminho andado - comece por aqui.

Mocambique vive nos ultimos dias uma crescente tendencia de saıda da lista de paises menosalfabetizados ”paises pobres ate no saber...” O Governo mocambicano aposta na formacao e olha paraela como uma base sustentavel e funcional para a conquista dos mais dignos valores de uma sociedadesocializavel. E neste solene momento em que as atencoes do paıs estao viradas a causa do pensamento,do saber e da formacao, que em cada mocambicano devemos criar um Mocambique - o paıs que nosviu nascer, por isso, ca estamos frente a um desafio que e nosso e acima de tudo e para nos. Estamostodos convıctos de que venceremos os desafios que iremos enfrentar; e com este espirito de conviccao,com esta esperanca, que buscamos a nos o empenho, a abnegacao, a dedicacao, energia e calor para acaminhada que hoje iniciamos.

Este caminho, cheio de agruras a que vos propusestes seguir e duro, e acima de tudo e encorajadore digno, por isso, como Professor, amigo e apaixonado pela escrita ofereco esta obra e desejo ao leitor, muito e muito bom trabalho. Bem Haja.

Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga(Licenciado em Informatica)

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Capıtulo 1

Teoria de Conjuntos

1.1 Conjuntos

A teoria de conjuntos e uma parte da matematica que desempenha um papel de extrema importanciana vida do dia a dia. Ela e aplicada em muitos campos da ciencia tais como: Estatıstica, Engenharia,Economia e etc... Neste capitulo debrussaremo-nos sobre linhagensbasicas da teoria de conjuntos, osestudantes em preparacao para os exames de admissao deverao le-lo com muito cuidado e resolverpaulatina e atenciosamente os exercıcios que se seguem.

Definicao 1.1. Conjuntos e elementos- O conjunto e um conceito fundamental em todos os ramos

da matematica; intuitivamente um conjunto e uma lista, uma coleccao, um agrupamento ou uma classe

de objectos com caracterısticas identicas. Os objectos em um conjunto, como veremos nos exemplos

seguintes podem ser qualquer coisa, podem ser pessoas, rios, lagos, nome de provincias, etc. Estes

objectos que fazem parte de conjuntos sao chamados elementos do conjunto.

Exemplo 1.1. Vejamos seguintes exemplos de conjuntos e seus elementos

1) Os numeros 1, 3, 7, 10 podem ser vistos como elementos de um conjunto.

2) As solucoes da equacao x3 + 3x− 1 = 0 sao elementos de um conjunto.

3) As vogais do alfabeto portugues sao elementos de um conjunto.

4) Os estudantes que faltam as aulas, sao elementos de um conjunto.

5) Maputo, Gaza, Inhambane, Zambezia, Cabo Delgado; sao elementos de um conjunto.

1.1.1 Notacoes

Designam-se Conjuntos geralmente usando letras Maiusculas

Exemplo 1.2.

A = {2, 4, 6, 8, ...} B = {1, 3, 5, 7, 9, ...} C = {maputo, pemba, xai− xai, lichinga}

3

4 centro de preparacao de exames de admissao ao ensino superior

Os elementos de um conjunto designam-se com letras minusculas

Exemplo 1.3. Veja que os nomes dos elementos do conjunto C descrito acima, aparecem com iniciais

minusculas. Um outro exemplo e o das vogais do alfabeto que se representam de modo seguinte

{a, e, i, o, u}

Observacao 1.1. Veja que no exemplo anterior os elementos de um conjunto aparecem separados

pelo sinal de vırgula. Quando representamos um determinado conjunto, relaccionando-o com seus

elementos denotaremos de modo seguinte

A = {a, e, i, o, u}

onde o nome do conjunto aparece com letras maiusculas e os elementos aparecem com letras minusculas.

Os elementos de um conjunto aparecem entre chaves ”{}”. A esta forma de representar conjuntos

chamamos Forma tabular ou representacao por extensao

Se definirmos um conjunto particular usando uma determinada propriedade de que se revestem seuselementos, como, por exemplo: Ao considerarmos o conjunto B como sendo o conjunto de numerosimpares, usamos uma letra qualquer; por questao de uniformidade usaremos a letre x para representarum elemento qualquer e o simbolo ”:”que significa - tal que, e escrevemos

B = {x : x = 2k − 1, k ∈ N}

e le-se:B e um conjunto de numeros x tal que esses numeros x′s sao impares. A esta meneira de construirou representar um conjunto chama-se representacao por compreensao

1.1.2 Simbologia

Os simbolos mais usados na teoria de conjuntos estao representados a seguir

1) ∈ pertence a ∈ B

2) /∈ nao pertence m /∈ B

3) = igual A = B

4) 6= diferente A 6= B

5) ⊂ contido A ⊂ B

6) 6⊂ nao contido A 6⊂ B

7) ⊃ contem A ⊃ B

8) 6⊃ nao contem A 6⊃ B

9) {} vazio

10) ] cardinal ]{1, 4} = 2

dr. betuel de jesus varela canhanga 5

1.1.3 Relaccoes de Pertenca

• Quando um elemento a nao faz parte de um determinado conjunto A , diz se que a nao pertenceA. E escreve se a 6∈ A

• Quando um elemento a faz parte de um determinado conjunto A , diz se que a pertence a A.E escreve se a ∈ A

Exemplo 1.4. Seja A = {a, b, c, d, e, f} , Dizemos que A e um conjunto e a, b, c, d, e, f sao elementos

do conjunto A . Poderemos ter seguintes afirmacoes

♣ a ∈ A

♣ e ∈ A

♣ m 6∈ A

♣ p 6∈ A

1.1.4 Formas de definicao de um conjunto

Diremos que um conjunto esta bem definido, quando claramente identificam-se os seus elementos.Existem 3 formas de definicao de um conjuntoX ExtensaoX CompreensaoX Diagrama de Venn

Definicao 1.2. Um conjunto diz-se definido ou representado por extensao quando ”extendemos”,

listamos todos seus elementos

Exemplo 1.5. O conjunto A esta representado por extensao

A = {1, 3, 5, 7, 9}.

Definicao 1.3. Um conjunto diz-se definido ou representado por compreensao quando ”compreen-

demos”com base em uma regra quais sao os constituintes do mesmo

Exemplo 1.6. Vejamos seguintes exemplos. O conjunto A esta representado por extensao

A = {x : x = 2k − 1; k ∈ N e x < 10}.

1.1.5 Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos

Definicao 1.4. Um conjunto diz-se Finito se poder-se identificar o numero de elementos que dele

fazem parte. Em outras palavras, se tiver Cardinal.

Exemplo 1.7. Vejamos seguintes exemplos.

1) O Conjunto formado por capitais provinciais de Mocambique


2) O Conjunto formado pelos estudantes desta turma

3) O Conjunto de numeros naturais menores que 1000000

Definicao 1.5. Um conjunto diz-se Infinito se nao se poder identificar o numero de elementos que

dele fazem parte. Em outras palavras, se nao tiver Cardinal.


1) O Conjunto formado por numeros entre 1 e 3.

2) O Conjunto de numeros naturais maiores que 1000000

1.1.6 Igualdade de Conjuntos

Definicao 1.6. O conjunto A diz se igual ao conjunto B se eles tiverem mesmos elementos, isto e,

todos elementos de B pertencem a A - e todos elementos de A pertencem a B.


• A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 1, 4} sao conjuntos iguais

• O conjunto formado por pessoas de sexo femenino e igual ao conjunto formado por mulheres.

”Retirem equivocos, esquecam guys, lesbicas e maricas...So para relaxar...”

• Seja A = {x : x2 + 4x + 4 = 0}, B = x : x + 2 = 0, e C = {−2} sao conjuntos iguais.

1.1.7 Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio

Definicao 1.7. Diz se que um conjunto e nulo ou vazio e denota-se {} ao conjunto que nao contem

elementos. Em outras palavras, o seu cardinal e igual a zero


• O conjunto formado por todas pessoas com mais de 700 anos de vida na terra

• O conjunto formado pelas solucoes da equacao x2 + 1 = 0

1.1.8 Conjunto Universo ou Universal

Definicao 1.8. Em qualquer aplicacao da teoria de conjuntos, todos os conjuntos estudados estarao

no momento de estudo particularizados de um outro conjunto mais amplo e expresso, por exemplo,

quando falamos de numeros naturais, vemos que eles fazem parte de um outro conjunto, que e o

conjunto de numeros. Quando falamos de estudantes desta sala, vemos que eles fazem parte do

conjunto de estudantes desta escola, portanto ha sempre uma tendencia de particularizar um pequeno


conjunto de um outro conjunto mais amplo com o intuito de concentrar atencoes sobre a materia

em estudo. Diz se que um conjunto e Universo ou Universal e denota-se U , se ele contem todos

subconjuntos de um determinado caso em estudo.

Exemplo 1.11. Vejamos seguintes exemplos

• Em Geometria plana o conjunto Universal e o conjunto de todos os pontos do espaco.

• O Conjunto Universal do conjunto de estudantes desta turma e o conjunto de todos estudantes

desta escola.

1.1.9 Subconjuntos

Definicao 1.9. O nome vai mais longe, sub-conjunto, um conjunto pequeno. O termo pequeno

na lingua portuguesa e relactivo,”pequeno em relaccao a alguma coisa.”Diz se que o conjunto A e

subconjunto do conjunto B , se todos elementos de A pertencem, isto e, tambem sao elementos de

B.

Exemplo 1.12. Veja seguintes exemplos

• Seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , o conjunto A e subconjunto do conjunto B.

Em outras palavras A ⊂ B

• O conjunto de capitais provinciais do Sul de Mocambique e um subconjunto de capitais provin-

ciais de Mocambique.

• Conhecemos os conjuntos

– N- Conjunto de numeros naturais

– Z- Conjunto de numeros inteiros

– Q- Conjunto de numeros racionais

– R- Conjunto de numeros reais

Entao poderemos ver que o conjunto de numeros naturais e subconjunto de Z e dai segue se a

seguinte cadeia

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Costuma a dizer que o conjunto A e superconjunto de B . Esta afrimacao equivale a dizer que oconjunto B e subconjunto de A e isto e logico, se B e subconjunto de A , entao A e superconjuntode B . A ser assim temos para a firmacao

A ⊂ B

os seguintes comentarios:


1) O conjunto A e subconjunto de B

2) O conjunto A esta contido em B

3) O conjunto B e superconjunto de A

4) O conjunto B e contem A

Para a afirmacaoA 6⊂ B

poderemos fazer seguintes comentarios

1) O conjunto A nao e subconjunto de B

2) O conjunto A nao esta contido em B

3) Existe em A pelo menos um elemento que nao faz parte de B

4) O conjunto B nao contem A

Observacao 1.2. Atencao:

♠ Sem limitacao da sua essencia e para todos efeitos, o conjunto vazio - ”{}” e subconjunto de

qualquer conjunto

♠ Se o conjunto A = B entao A ⊂ B e B ⊂ A

1.1.10 Conjunto de conjunto

Algumas vezes os elementos de um determinado conjunto, sao tambem conjuntos, exemplo, o conjuntoformado por todos subconjuntos de um determinado conjunto e um conjunto de conjuntos ou aindafamılia de conjuntos


1) O conjunto A = {{a, b}, {c}, {a, e}} e um conjunto de conjuntos.

1.1.11 Operacoes Sobre Conjuntos

1) Reuniao - Chama-se reuniao de dois conjuntos ou mais a operacao que une elementos de doisou de mais conjuntos.

Exemplo 1.14. Sejam dados os seguintes conjuntos

A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 2, 7, 8}

A reuniao ∪ de A e B e um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos

C = A ∪B = {1, 2, 4, 5, 7, 8}

2) Interseccao - Chama-se Interseccao de dois conjuntos ou mais a operacao que intersecta ele-mentos de dois ou de mais conjuntos.



A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 2, 7, 8}

A interseccao ” ∩ ” de A e B e um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos

C = A ∩B = {1, 2}

Veja que participam na interseccao os elementos que em simultaneo pertencem a ambos os

conjuntos.

3) Diferenca - Chama-se Diferenca de dois conjuntos ou mais a operacao que diferencia dois oumais conjuntos.


A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 2, 7, 8}

A Diferenca ” \ ” de A e B e um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos

C = A \B = {4, 5}

Veja que participam na diferenca de A e B os elementos que fazem parte de A e que nao fazem

parte de B

4) Diferenca Simetrica


A = {1, 2, 4, 5}, B = {1, 2, 7, 8}

A Diferenca ” \ ” de A e B e um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos

C = A \B = {4, 5}

Veja que participam na diferenca de A e B os elementos que fazem parte de A e que nao fazem

parte de B.

A Diferenca ” \ ” de B e A e um outro conjunto que poderemos designa-lo por D e teremos

D = B \A = {7, 8}

A diferenca simetrica e o conjunto

E = C ∪D = {4, 5, 7, 8}

Denota-se

E = A4B


1.2 Exercicios De Aplicacao

1) Seja dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} quais das seguintes afirmacoes sao verdadeiras?

(a) 1 ∈ A

(b) 1,2,3 pertencem a A

(c) {1, 2, 3} ∈ A

(d) 1 ⊂ A

(e) 1 ∈ A

2) Sejam dados os conjuntos A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 7, 8} quais das seguintes afirmacoes saoverdadeiras?

(a) 1 ⊂ A

(b) 1, 2, 3 pertencem a A e a B

(c) A ∈ B

(d) {A} ⊂ B

(e) A ⊂ B

(f) B ⊃ A

3) Considere os conjuntos A e B do exercıcio anterior e determine:

(a) A ∪B

(b) A ∩B

(c) seja C={1,2,3,4,5,6,7,8}. determine A \B

(d) determine A \B \ C

(e) determine A \ (B \ C)

(f) determine (A \B) \ C

4) determine A ∩B ∪ C

5) determine (A ∩B) ∪ C

6) determine A ∪ (B ∩ C)

7) Em uma turma, 20 estudantes estudam matematica, 30 estudantes estudanm fısica. 10 estudammatematica e fısica. Responda as seguintes questoes:

(a) Quantos sao os estudantes que frequentam somente matematica

(b) Quantos sao os estudantes que frequentam somente fısica

(c) Quantos sao os estudantes que frequentam matematica ou fısica

(d) quantos estudantes tem a turma

8) Em um grupo musical ha pessoas de raca negra e individuos de raca branca. Depois de feitas ascontas verificamos que ha 15 brancos puros e 5 misticos (brancos negros), o grupo e compostopor 40 musiqueiros. Responda as questoes que se seguem

(a) faca o diagrama de Venn que ilustre esta descricao

(b) quantos sao os negros puros

(c) quantos sao os negros ou brancos.


9) Em uma avaliacao considera-se posetiva as notas maiores que 10 e menores ou igual a 20,considera-se negativa as notas menores que 10, nao se considera negativa nem posetiva a nota10. Em estatisticas, um docente apresentou a seguinte descricao: 30 estudantes tem posetivas e40 tem negativas, a turma e composta por 80 estudante.

(a) faca o diagrama de venn que ilustra a descricao

(b) quantos estudantes tiveram nota igual a 10

10) numa loja de vestuarios 400 pecas tem a cor amarela, 200 tem a cor azul e 100 tem a cor branca.Na loja ha 1000 pecas, 20 pecas tem cor branca e azul, 30 amarela e branca.

(a) Faca o diagrama de Venn que ilustre a descricao acima

(b) Quantas pecas tem cores amarela, azul e branca

(c) Quantas pecas tem a cor azul e amarela.

(d) Quantas pecas nao tem cores amarela, azul e branca

(e) Quantas pecas nao tem cores amarela, azul ou branca

11) Durante o capeonato escolar passado o centro internato de Mocuba acolheu varias equipas dediferentes modalidades desportivas (Voleibol, Andebol e Futebol). Da recepcao sabe se que:No total participaram 175 estudantes, 80 desportistas jogaram Andebol, 70 futebol, 5 jogaramvoleibol, andebol e futebol, 10 jogaram voleibol e andebol. Sabe se tambem que 50 jogadoresjogaram somente andebol e 40 jogaram somente futebol. Responda as questoes que se seguem

(a) Quantos sao os desportistas que jogaram futebol e andebol.

(b) Quantos sao os desportistas que jogaram futebol e voleibol.

(c) Quantos sao os desportistas que jogaram somente voleibol.

(d) Quantos sao os desportistas que jogaram somente uma modalidade.

(e) Quantos sao os desportistas que jogaram duas modalidades.

Ensinar e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voce

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Capıtulo 2

Aritmetica

2.1 Razoes e Proporcoes

De certeza o estudante ja em algum momento ouviu falar de Razao, uma expressao que como tantaspertencentes a lingua portuguesa podem ter diferentes sentidos. Falar em Matematica de razao entredois numeros a e b e falar do quociente

a

b, b 6= 0

ou ainda, e o mesmo que falar da divisao de a por b , isto e:

a÷ b, b 6= 0.

Exemplo 2.1. Numa sala de aulas estao presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine a razao entre

o numero de rapazes e raparigas.

A razao entre o numero de rapazes e o numero de raparigas e

no rapazes

no raparigas=

2025

=45

ou4÷ 5,

isto e 4 rapazes para 5 raparigas!!!

Definicao 2.1. Quando falamos de razao entre dois numeros a e b , isto ea

b, ao dividendo a −

chamamos antecedente e ao divisor b − chamamos consequente

Definicao 2.2. Os desenhistas, cartografistas, marinheiros e outros afim, utilizam o conceito razao

para relaccionar distancias reais e distancias mapeadas, para se distinguirem introduzem no lugar de

razao o conceito de escala e define-se:

escala =medida do desenho

medida real

Exemplo 2.2. No Mapa de Mocambique a distancia entre Lichinga - Quelimane e de 50cm , sabendo

que o mapa foi desenhado com uma escala de1

5000. Determine a distancia real em km de Quelimane

a Lichinga.

12


Exemplo 2.3. Qual e a razao entre as areas de duas circunferencias se a razao entre seus raios for

igual a12

Resolucao.

cos

sen

−1 1

1

−1

Figura 2.1:

cos

sen

−2 2

2

−2

Figura 2.2:

As duas Circunferencias acima sao somente um exemplo de varias circunferencias que tem a relaccao

de seus raios 1:2.

Iremos designar r1, S1 raio e superfıcie respectivamente da primeira cırcunferencia e r2, S2 raio e

superfıcie respectivamente da segunda cırcunferencia, pelo problema colocado temos:

r1

r2=

12.

Como neste exercıcio devemos determinar a razao de proporcao entre as areas das duas cırcunferencia,


teremos:S1

S2=

π × r21

π × r22

=(

r1

r2

)2

=(

12

)2

=14

2.1.1 Percentagens

Comecemos por apresentar a definicao de percentagem.

Definicao 2.3. Chama-se Percentagem a razao com consequente 100.

Exemplo 2.4. Vejamos os exemplos seguintes:

X 30100

= 30%

X 43

= 1, 333 =133, 3100

= 133, 3%

2.1.2 Exercicios de Aplicacao

1) Numa sala estao presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine:

(a) a percentagem de rapazes.

(b) a percentagem de raparigas.

2) Um comerciante compra um par de sapatos por 100 dolares e os vende por 3 milhoes de meticais,a taxa de cambio de 1usd : 25000MTn determine:

(a) O valor de venda em usd.

(b) O valor de compra em MTn.

(c) o lucro em usd

(d) a percentagem do lucro

3) Um funcionario recebia 1500usd, em Janeiro o seu salario sofreu um aumento em 10% e emJunho um outro aumento de 20% Determine

(a) O salario recebido pelo funcionario em Fevereiro.

(b) O salario recebido pelo funcionario em Julho.

(c) A subida percentual total. De Janeiro a Julho.

4) O preco de um producto aumenta 10% mensalmente. Ao fim de 12 aumentos qual sera o precosabendo que inicialmente era 5usd?

5) Se em Janeiro de 2007 for a emprestar um montante p de um banco, quanto devolvera em Janeirode 2008 se a taxa de inflaccao anual for de 30%

6) Nas festas de um determinado fim de ano o preco do acucar branco subiu em 20% e depois subiunovamente em 30%, mais tarde, em Janeiro sofreu uma reducao em 15%, em quanto porcentovariou o preco?

7) Se um producto custa x MTn e sofre um aumento de 10% e mais tarde um outro aumento de10%. Em quanto porcento variou o preco do producto?

(a) 20%

(b) 15%

(c) 21%


(d) Nenhuma delas

1) Seja P = {0, 2, 4, 6, 8, ...}. Mostre que P pode ser definido da seguinte maneira: P ={x|x = 2n, n ∈ N}.

2) De uma definicao do mesmo tipo para I = {1, 3, 5, 7, ...}.3) Simplifique as seguntes expressoes:

(a) 9!5!

(b) n!(n−2)!

(c) n!(n+1)! − (n−1)!

n!

4) Determine

(a) C42 , C8

5 , Cn+2n+1

(b) A42, A8

5, An+2n+1

5) Com os dıgitos 0,1,2,3,4 quantos numeros podem ser compostos por 5 algarismos, se nao forpermitida a repeticao de dıgitos. (veja que 11234 nao e permitido porque houve repeticao dodıgito 1).

6) Quantas bandeiras de faixas horizontais podem ser construidas apartir de cores Amarela, Azule Verde.

7) Quantas bandeiras de uma faixa vertical e 3 faixas horizontais podem ser construidas apartir decores Amarela, Azul, Verde e Vermelha.

8) Quantas bandeiras de uma faixa vertical (Verde ou Vermelha) e 3 faixas horizontais podem serconstruidas apartir de cores Amarela, Azul, Verde e Vermelha.

9) Quantas turmas de 20 estudantes do I ano podem ser construidas se tiverem sido inscritos 30estudantes do I ano.

10) Pretende-se criar uma comissao de 3 trabalhadores de um determinado departamento, sabendoque que nesse departamento e composto por 5 funcionarios, quantos grupos diferentes podemser compostos.

11) 70 pessoas estiveram presentes em um culto, cumprimentaram-se para cumprir um dos autos doculto. Quantos foram os apertos de mao.

12) 3 litros de leite sao divididos em latas de 15 do litro. Quantas latas sao necessarias?

13) Quantas latas de 13 do litro sao necessarias para dividir 15 litros de cerveja?

14) Resolva as seguintes equacoes:

(a) 23x = 14

15

(b) x√

2 = −√18

(c) 23x− 1

3 = −53x + 4

3

(d) x+5x−5 − x−5

x+5 = 25x2−25

15) Resolva as inequacoes seguintes:

(a) 2x + 8 > 0

(b) 2x− 12 ≤ x−1

2


(c) 3(x+1)2 ≥ 5x−2

4

16) Qual e a razao entre as areas de dois circulos, se a razao entre os seus raios for de 14?

17) Determine a razao entre os volumes de dois cubos, sabendo que a razao das arestas e de 12 .

18) Num mapa de Mocambique, a distancia de Maputo a Beira e de 40cm. Sabendo que a escala ede 1 : 3000000, determine a distancia real.

19) A distancia de Quelimane a Beira e de 960km . Sendo a escala dum mapa de 1 : 2000000, quasera a sua distancia no mapa?

20) Um aluno consegue 36 pontos dum total de 60 num teste. Que percentagem obteve o aluno?

21) O preco de venda dum produto subiu 20 por cento numa primeira subida de precos e 40 porcento na segunda subida. Qual foi a subida total em percentagem?

Ensinar e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceCom a simplicidade construimos o nosso orgulho

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Capıtulo 3

Potenciacao e Radiciacao

3.1 Potenciacao

Definicao 3.1. Pode acontecer que numa multiplicacao sucessiva os factores sejam iguais, isto e:

• 2× 2

• 3× 3× 3

• 4× 4× 4× 4× 4

Estes casos podem ser escritos de maneira mais simplificada, e teremos o seguinte:

• 2× 2 = 22

• 5× 5× 5 = 53

• 4× 4× 4× 4× 4 = 45

Ao falarmos de quadrado de dois, cubo de cinco e quinto de quatro, estamos a usar umnovo conceito Potencia

Potencia - e uma multiplicacao de factores iguais.

• 4× 4× 4× 4× 4 = 45 o simbolo 45 e uma potencia,

• o 4 e o factor que se repete e chama-se Base da Potencia

• 5, que e o numero de vezes em que se repete a base, chamaremos de Expoente.

Observacao 3.1. Repare que ao escrevermos 41, estamos sim a denotar uma potencia, no entanto,

pela definicao, estaremos a supor existir uma multiplicacao com um so factor, o que nao e verdade.

A ser assim, convencionou-se que 41 = 4 e isto generaliza-se a todos numeros que tenham expoente

igual a 1

a1 = a,∀a ∈ R.

Tambem convencionou se que

a0 = 1, ∀a ∈ R \ {0}.

17


3.2 Operacoes com Potencias

As propriedades de multiplicacao sucessiva de factores iguais, justificam as seguintes regras:

3.2.1 Multiplicacao de Potencias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes

Ao multiplicarmos potencias com bases iguais e expoentes diferentes, mantemos a base e somamos osexpoentes.

Exemplo 3.1.

42 × 45 = 42+5 = 47, 52 × 512 = 52+ 1

2 = 552

3.2.2 Divisao de Potencias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes

Ao dividirmos potencias com bases iguais e expoentes diferentes, mantemos a base e subtraimos osexpoentes.

Exemplo 3.2.

42 × 45 = 42−5 = 4−3, 52 × 512 = 52− 1

2 = 532

3.2.3 Multiplicacao de Potencias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes

Ao multiplicarmos potencias com expoentes iguais e bases diferentes, mantemos o expoente e multi-plicamos as bases.

Exemplo 3.3.

24 × 34 = (2× 3)4 = 64, 53 × 23 = (5× 2)3 = 103 = 1000

3.2.4 Divisao de Potencias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes

Ao dividirmos potencias com expoentes iguais e bases diferentes, mantemos o expoente e dividimosas bases.

Exemplo 3.4.

24 ÷ 34 = (2÷ 3)4 =(

23

)4

, 53 ÷ 23 = (5÷ 2)3 = (2, 5)3

3.2.5 Potencia de Potencia

Nas linhas anteriores, procuramos transmitir ao estudante a nocao de potencia, vamos agora recursi-vamente desenvolver casos de sobreposicao de potencias, exemplo

(23

)4

ao desenvolvermos expressoes com potencia de potencia faremos o seguinte(23

)4 = 23 × 23 × 23 × 23 = 23+3+3+3 = 212

de outra maneira poderemos manter a base e multiplicar os expoentes, isto e:

(23

)4 = 23×4 = 212 = 4096


Observacao 3.2. Importante:

? Uma potencia so e negativa se tiver base negativa e expoente impar.

? Uma potencia de expoente par, e sempre posetiva independentimente do sinal da base.

? Sempre que o zero for base de uma potencia, ela sera igual a zero.

? Sempre que o zero for expoente de uma potencia de base diferente de zero, ela sera igual a 1.

3.3 Radiciacao

Vamos, sem limitacao da sua essencia, prestar atencao a Raiz Quadrada - Raiz de indice 2:√

a , que e

o mesmo que escrever a12 . Desta propriedade advem que

√4 = 4

12 =

(22

) 12 usando a superpotenciacao

teremos 22× 12 = 2, com mesma analogia teremos

√36 = 6 porque 62 = 36,

√100 = 10 porque 102 = 100

3.3.1 Raiz de Imdice n

Consideremos o seguinte problema: O volume de um cubo e igual a 27cm3. Qual e a medida dasarestas do cubo?

Resolucao: Para resolvar este problema, recordaremos primeiro a formula para o calculo dovolume de um cubo. Sabemos que:

Vcubo = (aresta)3

entao, poderemos refazer a pergunta de nodo seguinte: Qual e o numero que elevado ao cubo sejaigual a 27. Isto e x3 = 27 para calcular o valor recorremos ao seguinte

x3 = 27 = x3 = 33 ⇒ x = 3.

E dizemos, cubo de 3 e 27, entao, a aresta do cubo em questao mede 3cm.

Definicao 3.2. Chama-se raiz de ındice n de um numero real b ao numero real a , tal que

an = b

onde n e o ındice do radical, b e o radicando.

• caso o n seja impar o b pode ser qualquer valor real

• caso o n seja par o b deve ser qualquer valor real posetivo ou zero.

Ja que podemos olhar para um radical como uma potencia de expoente fraccionario, entao, aspropriedades e regras sobre multiplicacao e divisao de potencias podem aqui ser utilizadas com umae unica prerogativa de que para o caso de raizes, os expoentes sao fraccoes.

3.3.2 Multiplicacao e Divisao de Radicais

Ao multiplicarmos (dividirmos) radicais com mesmo ındice obtemos um outro radical com ındiceigual ao ındice dos radicandos factores (quocientes) e com radicamdo igual ao producto (razao) dosradicandos factores (quocientes).

n√

a× n√

b = n√

a× b, n√

a÷ n√

b = n√

a÷ b


Exemplo 3.5. Veja os exemplos que se seguem:

1) 3√

2× 3√

24 = 3√

2× 24 = 3√

48

2) 3√

2× 3√

24 = 3√

2× 24 = 3√

48

3.3.3 Simplificacao de Radicais (Reducao ao mesmo ındice)

Vimos a multiplicacao e divisao de radicais com mesmo ındice. Existem casos em que se nos e impostaa necessidade de multiplicar e/ou dividir raizes com ındices diferentes. Situacoes desta natureza levamnos a necessidade de simplificacao ou transformacao de radicais.

Observacao 3.3. Se multiplicarmos ou dividirmos o ındice de um radical e o expoente do radicando

pelo mesmo valor natural nao nulo, o valor do radical nao se altera, isto e

n√

am = amn =

n×k√

am×k = am×kn×k

Exemplo 3.6. 3√

27 = 3√

33 = 3×2√

33×2 = 6√

36

Esta propriedade ajuda-nos a resolver o caso de reducao de radicais ao mesmo ındice. Tornando

por esta via possıvel a multiplicacao de radicais com ındices diferentes.

3√

5 e√

7

Achando o m.m.c de (2 e 3) que sao os coeficientes dos dois radicais, obteremos 6, entao:

3√

5 = 3×2√

52 = 6√

25√

7 = 2√

7 = 2×3√

73 = 6√

73 dai 3√

5×√

7 = 6√

25× 6√

73 = 6√

25× 73

3.3.4 Comparacao de Radicais

• Com o mesmo Indice - Dois radicais com mesmo ındice e radicandos diferentes, e maior o quetiver maior radicando. Assim:

3√

5 <3√

15 porque 5 < 15

Observe que os dois radicais tem mesmo ındice, o 3, a ser assim, basta comparar os radicandos.

• Com ındices diferentes - Nao e possıvel comparar dois radicais que tenham ındices diferentes;sempre que tivermos um caso de dois radicais que apresentem ındices desiguais, devemos primeiroreduzi-los ao mesmo ındice e depois procedemos como no caso anterior.

Exemplo 3.7. Compare os radicais 3√

5 e√

7. Vamos primeiro reduzir os dois radicais a outros

radicais equivalentes, com ındices iguais. Vamos achar o m.m.c entre os ındices, ”2 e 3”, teremos

que este m.m.c e o 6. Entao:

√7 = 2

√7 = 2×3

√73 = 6

√343 e

3√

5 = 3×2√

52 = 6√

25

Estes radicais podem ser comparados. Comparando os radicandos chegamos a conclusao de que

25 < 343 e consequentimente 3√

5 <√

7


Passagem de factores para fora ou para dentro de um radical.Sabemos que: n

√an = a

nn = a1 = a, entao teremos:

n√

an × b = n√

an × n√

b = a× n√

b

Exemplo 3.8. Vejamos os seguintes exemplos:

1)√

52 × 3 =√

52 ×√3 = 5×√3

2) 3√

54 = 3√

33 × 2 = 3√

33 × 3√

2 = 3× 3√

2

3.3.5 Adicao e Subtracao de Radicais

Vamos comecar por definir radicais semelhantes

Definicao 3.3. Chama-se Radicais Semelhantes aqueles que diferem somente no coeficiente.

Exemplo 3.9.3√

5, 3 3√

5 7 3√

625

Veja que os seguintes radicais a primeira nao parecem semelhantes. Mas se efectuarmos sobre eles

algumas transformacoes obteremos radicais semelhantes.

3√

5, 3 3√

5 7 3√

625 = 7 3√

54 = 7 3√

53 × 5 = 7× 5 3√

5 = 35 3√

5

teremos

3√

5, 3 3√

5 35 3√

5

A adicao e subttracao de radicais semelhantes efectua-se aplicando a propriedade distributiva damultiplicacao em relaccao a adicao. Assim:

7√

5 + 5√

5 = (7 + 5)√

5 2 5√

8− 11 5√

8 = (2− 11) 5√

8 = −9 5√

8

Para os casos da soma e diferenca, a reducao nao joga papel preponderante visto que para estasoperacoes muito mais do que reduzir ao mesmo ındice, necessitamos de reduzir os radicais a semel-hantes, condicao que nao e satisfeita pelas regras de simplificacao-reducao de radicais.

3.3.6 Potencia de uma raiz e Raiz de uma Potencia

Vejamos agora o significado de

(n√

a)p = n

√a× n

√a · · · n

√a p− vezes,

(n√

a)p = n

√a× a× a · · · a = n

√ap

Exemplo 3.10. Veja o seguinte exemplo(

3√

5)2

= 3√

52 = 3√

25

Consideremos a seguinte situacao:

n

√(p√

a)

=(

p√

a) 1

n =(a

1p

) 1n = a

1n×p = n×p

√a


3.3.7 Exercicios de Aplicacao

1) Para que valores de x , tem sentido as seguintes expressoes:

(a) 2n√

x

(b) 2n+1√

x

2) Simplifique os seguintes radicais:

(a) 5√

32a3b2

(b)√

9x4y8

(c)

√27ab4

12a5

(d) 4√

0, 04a4(a− b)8

3) Efectue3√

686× 3√

53√

10.

4) Simplifique:

(a) 3√

2 + 2√

2− 5√

2

(b)√

8 +√

18−√50 +√

72

(c) 5√

a5b2 + 5√

32b7 − 3a5√

b2

5) Racionalize os denominadores das seguintes fraccoes:

(a)4√14

(b)3 +

√2

3√

2

(c)12√

7 +√

3

(d)4√

2 + 5√2 +

√3

6) Racionalize os denominadores das seguintes fraccoes:

(a)4

3√

14

(b)3 +

√2

3 4√

2

(c)12

3√

7 +√

3

(d)4√

2 + 5√2− 3

√3

7) Efectue2√

3 + 3√

2√3−√2

+4√

3− 2√

2√3 + 2

√2

.

8) Escreva sob a forma de uma unica potencia:

(a) 27 × 25

(b) 23x × 2−2x

(c) 4x+1 × 4x−1


9) Escreva sob a forma dum produto de potencias de mesma base:

(a) 2x+3

(b) 32−x

10) Transforme numa so potencia:

(a) an ÷ an−1 (a 6= 0)

(b) πx ÷ πx+2

(c) xx−1 (x 6= 0)

11) Simplifique a expressao93x × 6x+4

2x+3 × 37x−1.

Ensinar e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voce.Com a simplicidade construimos o nosso orgulho

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Capıtulo 4

Algebra

4.1 Expressoes Algebricas

Cometario 4.1. qualquer exeperiencia no sentido pedagogico e uma procura de verdade no tempo,

com a certeza do seu caracter transitorio.

Na matematica a questao que hoje merece simpatia envolve uma resposta aos processos de moderni-

zacao da propria ciencia, procurando na escola atitudes de pensamento adequadas, o pensamento

matematico.

Em Algebra da matematica estudaremos varios temas que se revestem de enorme importancia

para o domınio desta disciplina. Existem escritos de matematicos que descrevem este tema como uma

construcao engenherica para estudantes de matematica, nao se pode pensar em grandes matematicos

desprovidos da algebra matematica.

Um verdadeiro matematico nao e um tecnocrata de numeros, mas sim um malabarista de conceitos.

Quase sempre nos deparamos com operacoes e problemas de matematica que exigem o conhecimento

profundo de expressoes algebricas, expressoes polinomiais, factorizacao e etc... estes assuntos serao

com detalhe tratados neste tema.

4.1.1 Expressoes numericas e valor numerico de uma expressao

Na lingua portuguesa, chamamos de expressao o acto ou efeito de exprimir algo, Vamos levar estavisao ao nıvel da matematica e iremos olhar para uma expressao como a conjugacao de sımbolos ecodigos de matematica de modo a transmitir uma mensagem ou um pensamento.

Exemplo 4.1. Vejamos a seguir alguns exemplos de expressoes algebricas

1) x− y

2) x + y

3) x2 + y2

24


4) x3 + x2 − 3x + 2

Pode se ver dos exemplos dados que as expressoes nao possuem nenhum verbo afirmativo oucomparativo. elas nao possuem sinais comparativos e(ou) igualdade. Isto e, nao sao afirmacoes, alias,mesmo do portugues, as expressoes nao carregam com elas os verbos, elas nao podem ser caracterizadasem verdadeiras ou falsas.

Exemplo 4.2. Vejamos as seguintes questoes:

1) Escola bonita - e uma expressao

2) Escola e bonita - e uma afirmacao que pode ser verdadeira ou falsa.

Analogamentex− y

e uma expressao ex− y = 0

e uma afirmacao matematica que, em funcao de valores que x e y for a tomar, pode ser verdadeiraou falsa.

Estamos sempre a fazer comparacoes com expressoes vindas da lingua portuguesa e isto o fazemosporque temos conviccao de que sobre a lingua portuguesa todos temos domınio. Nao se pode conce-ber que um falante da lingua portuguesa formule a seguinte expressao: Escola Bonitas!!!!!.... Estaexpressao nao tem sentido em portugues, em outras palavras, pode se dizer que esta expressao estaerrada. Da mesma maneira nao se pode permitir que um matematico escreva

x = −x +−y

E porque em matematica nao existem meios termos, simplesmente se diz que a expressao estaERRADA!... As expressoes da matematica que tenham variaveis tambem sao chamadas ExpressoesLiterais.

4.1.2 Domınio de Expressoes

O domınio de uma expressao algebrica com uma variavel (x por exemplo), e o conjunto de valores dex pelos quais e possıvel calcular o valor da expressao. Em outras palavras, e o conjunto de valoresque x possa tomar de modo a que a expressao tenha sentido.

Exemplo 4.3. Consideremos a expressaox + 1x− 1

,

esta expressao tem domınio

x ∈ R\{1},

porque se o x for igual a 1 teremos no denominador x − 1 = 1 − 1 = 0, e teremos uma contradicao

ao postulado segundo o qual: ”Nao existe divisao por zero!!!...”

Em geral ao determinar dominios de existencia de uma expressao seguem se as seguintes linhagensmestras:

• Radicandos de um radical com indice par nao deve ser negativo, isto e, devem sermaiores ou iguais a zero


Exemplo 4.4. Determine os Domınios das Seguintes Expressoes

1)√

x− 1 o domınio sera: x− 1 > 0 ⇒ x > 1.

2)√

x + 3 o domınio sera: x + 3 > 0 ⇒ x > −3.

3) 5√

x + 3 o domınio sera: x ∈ R. Veja que o ındice do radical e ımpar.

• Denominador de uma fraccao nao pode ser igual a zero


1)x + 1x− 1

o domınio sera: x− 1 6= 0 ⇒ x 6= 1.

2)x + 3x + 2

o domınio sera: x + 2 6= 0 ⇒ x 6= −2.

• As funcoes logaritmicas definem-se em R+ , isto e, os argumentos de funcoes logarıtmicasdevem sempre ser maiores do que zero.


1) log2(x− 2) o domınio sera: x− 2 > 0 ⇒ x > 2.

2) log10(sinx) o domınio sera: sinx > 0. resolve-se a inequacao.

• Denominadores que contem raizes de ındice par devem ser maiores do que zero.


1)x− 1√x + 1

o domınio sera: x− 1 > 0 ⇒ x > 1.

2)x2 + 33√

x + 1o domınio sera: x + 1 6= 0 ⇒ x 6= −1. Veja que o ındice do radical e ımpar.

4.1.3 Valores Numericos de Uma Expressao Literal

As expressoes geralmente sao compostas por sinais operacionais, por numeros e por simbolos literarios(Letras) ”Dai, Expressoes Literais”. E elas podem assumir um determinado valor depois de efectu-adas algumas operacoes. Este valor tem o nome de valor numerico de expressoes literais. Por exemplo,se elas possuem variaveis, ao substituirmos as variaveis por respectivos valores numericos, obteremosatraves de operacoes um numero que correspondera ao valor numerico da expressao no seu todo.

Exemplo 4.8. Determine o valor numerico das seguintes expressoes:

1) x2 − y2, quando x = 1 e y = 2, teremos:

x2 − y2 = (1)2 − (2)2 = 1− 4 = −3.

Assim −3 e o valor numerico da expressao dada com as condicoes dadas.


2) x2 − y2, quando x = 2 e y = 1, teremos:

x2 − y2 = (2)2 − (1)2 = 4− 1 = 3.

Assim 3 e o valor numerico da expressao dada com as condicoes dadas.

3) x2 − y2, quando x = a e y = b , teremos:

x2 − y2 = (a)2 − (b)2.

Assim a2 − b2 e o valor numerico da expressao dada com as condicoes dadas.

4) x + y3, quando x = −1 e y = −3, teremos:

−1 + (−3)3 = −1 + (−27) = −1− 27 = −28.

Assim −28 e o valor numerico da expressao dada com as condicoes dadas.

4.1.4 Polinomios

Definicao 4.1. Chama-se monomio a expressao constituida por numeros relactivos ou por um pro-

ducto de numeros relactivos eventualmente representados por letras.


1) 3 e um monomio

2) 2x e um monomio

3) 3x2 e um monomio

4) 7x2y3 e um monomio

5)xy2

7e um monomio

Definicao 4.2. Num monomio a parte composta por numeros (constantes) chama-se coeficiente.

Definicao 4.3. A parte composta por letras chama-se parte literal.

Definicao 4.4. Chama-se grau de um monomio a soma dos expoentes associados as variaveis. Vamos

considerar sem limitacao da sua essencia, monomios de variavel x.

Exemplo 4.10. Vejamos os seguintes exemplos.

1) No monomio 7x2y3 o coeficiente e o 7 e a parte literal e x2y3 , o grau deste monomio e

2 + 3 = 5

2) No monomio ax2 o coeficiente e o a e a parte literal e x2 , o grau deste monomio e 2

3) No monomio abx3 o coeficiente e o ab e a parte literal e x3 , o grau deste monomio e 3


4.1.5 Monomios Semelhantes e Monomios Iguais

Definicao 4.5. Diz se que dois monomios sao semelhantes ou identicos, se eles tem a mesma parte

literal

Exemplo 4.11. Considere seguintes exemplos

1) 4x e −7x sao monomios identicos

2) 2x2y eyx2

4sao monomios identicos.

Definicao 4.6. Dois monomios sao iguais se eles sao identicos e possuem mesmos coeficientes.

Exemplo 4.12. Considere seguintes exemplos

1) 4x e 4x sao iguais

2) 2x2y e8yx2

4sao iguais.

4.1.6 Operacoes Sobre Monomios

Com os monomios podemos efectuar as operacoes de adicao, subtracao, multiplicacao e divisao.

Os estudantes devem prestar atencao a explicacoes do Professor

Adicao - Adicione seguintes monomios

1) 3x2 e 7x2

2) ax2 e bx2

3) 7x4 e 7x3

4) 3x2 e 7x5

5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3

Subtracao - Subtraia seguintes monomios

1) 3x2 e 7x2

2) ax2 e bx2

3) 7x4 e 7x3

4) 3x2 e 7x5


Divisao - Divida seguintes monomios

Na divisao de monomios seguem se as regras sobre divisao de potencias (com mesma base e expoentediferentes).

1) 3x2 e 7x2


2) ax2 e bx2

3) 7x4 e 7x3

4) 3x2 e 7x5


Multiplicacao - Multiplique seguintes monomios

Na multiplicacao de monomios seguem se as regras sobre multiplicacao de potencias (com mesmabase e expoente diferentes).

1) 3x2 e 7x2

2) ax2 e bx2

3) 7x4 e 7x3

4) 3x2 e 7x5


4.1.7 Polinomios, Polinomios Semelhantes e Polinomios Iguais

Definicao 4.7. Um Polinomio e um agrupamento de monomios (este agrupamento e feito atraves

de operadores de adicao ou subtracao)

Definicao 4.8. Dois polinomios sao identicos se os seus monomios sao identicos dois a dois

Exemplo 4.13. x2 − 1 e 3x2 + 3

Definicao 4.9. Dois polinomios sao iguais se os seus monomios sao iguais dois a dois

Exemplo 4.14. x2 − 1, x2 − 1 e −1 + x2

Com polinomios podemos efectuar as operacoes de adicao, subtracao, divisao e multiplicacao. (Osestudantes podem consultar o livro Matematica Jovem de Antonio Almeida Costa, Alfredo dos Anjose Antonio Lopes)

Os estudantes devem prestar atencao a explicacoes do Professor

Adicione seguintes polinomios

1) x3 − 7x + 9 e 2x3 +√

5x + 5

2) x2 − x73 + 2 e 2x

73 +

√5x

3) x4 − x sin 7− 3 e 2x3 +√

5x + 6

Subtraia seguintes polinomios

1) x3 − 7x + 9 e 2x3 +√

5x + 5

2) x2 − x73 + 2 e 2x

73 +

√5x


3) x4 − x sin 7− 3 e 2x3 +√

5x + 6

Multiplique seguintes polinomios

1) x3 − 7x + 9 e 2x3 +√

5x

2) x2 − x73 + 2 e 2x

73 +

√5x

3) x4 − x sin 7− 3 e 2x3 + 6

Divida seguintes polinomios

1) x3 − 7x + 9 e 2x3 + 3

2) x2 − 3x + 2 e 2x− 1

3) x4 − 3x3 + 2x2 − x + 1 e 2x3 + x2 − 3x

4) −x5 + 3x2 + 4x e 2x

5) 2x2 + x− 10 e x− 2

6) 3x3 − 2x + 5 e x− 3

4.1.8 Factorizacao de Polinomios

Antes de introduzirmo-nos neste tema, vamos procurar perceber que o termo factorizacao vem defactores, e que factores sao os diferentes componentes de uma multiplicacao. Por exemplo 2× 4 = 8,podemos dizer que 2 e 4 sao factores.

Portanto, factorizar e o mesmo que trasnformar uma determinada expressao polinomial em umasucessao de factores. Transformar uma expressao em uma multiplicacao.

Exemplo 4.15. Existem diferentes metodos de factorizacao, cada metodo e adequado a determinadas

situacoes. Veja os exemplos que se seguem

1) x3 = x× x× x.

2) x3 + x2 = x2(x + 1) (evidenciamos os factores comuns).

3) 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1) (evidenciamos os factores comuns).

4) ax + a2x + a2 + a = x(a2 + a) + a2 + a = (a2 + a)(x + 1) (evidenciamos os factores comuns).

5) 10− 3x− x2 Para factorizar este polinomio quadratico teremos

10− 3x− x2 = (2− x)(5 + x)

transformamos assim o polinomio 10− 3x− x2 em factores (2− x) e (5 + x)


Observacao 4.1. Seja dado o polinomio ax2 + bx + c, a 6= 0 se ∆ = b2− 4ac ≥ 0 poderemos

factorizar o polinomio seguinte a formula

ax2 + bx + c = a(x− x1)(x− x2)

onde x1, x2 sao calculados pelas formulas

x1 =−b +

√∆

2a, x2 =

−b−√∆2a

Observacao 4.2. Em muitos casos usamos algumas igualdades (Os ditos casos notaveis), vejamos:

Explicar aos estudantes estes casos notaveis

• (x + y)2 = x2 + 2xy + y2,

• (x− y)2 = x2 − 2xy + y2,

• (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3,

• (x− y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3,

• x2 − y2 = (x− y)(x + y),

• x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2),

• x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2),

4.1.9 Polinomios Quadraticos

Existem diferentes classes de polinomios, e estas classes sao atribuidas em funcao do seu maior ex-poente. Por exemplo, um polinomio com maior expoente igual a 1 chama-se polinomio de grau 1 oulinear, um polinomio com maior expoente igual a 2 chama-se polinomio de grau 2 ou quadratico,um polinomio com maior expoente igual a 3 chama-se polinomio de grau 3 ou cubico... assim emdiante.

Definicao 4.10. Chama-se polinomio quadratico de variavel x ao polinomio dado na forma

P (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0, b, c ∈ R.

A a, b e c chamamos coeficientes do polinomio.Ao igualarmos um polinomio quadratico a zero transformamo-lo numa equacao quadratica.

Observacao 4.3. Importante

• um polinomio de grau 1 tem uma solucao (ou 1 raiz)

• um polinomio de grau 2 tem duas solucoes (ou 2 raizes)

• um polinomio de grau 3 tem tres solucoes (ou 3 raizes)

• · · · · · · · · · · · · · · · · · ·


Os polinomios quadraticos sao sobejamente conhecidos, razao pela qual existemformulas para momentos importantes de estudos sobre estes tipos de polinomios. Veja

atentamente

Definicao 4.11. Para um polinomio quadratico na forma ax2+bx+c = 0, chama-se Discriminante,

e denota-se ∆ ao valor numerico dado pela expressao ∆ = b2 − 4ac

Definicao 4.12. Chama-se Zero de um polinomio aos valores de x que fazem com que o polinomio

seja igual a zero. Isto e:

ax2 + bx + c = 0, a 6= 0

Facamos seguintes transformacaos:

1) (colocar em evidencia o valor de a , e a seguir multiplicar e dividir a segunda parcela por 2)

ax2 + bx + c = 0 ⇒ a

(x2 +

b

ax +

c

a

)= 0 ⇒ a

(x2 +

2b

2ax +

c

a

)= 0

2) passar o a , para o membro direito, somar e subtrair a equacao o valor(

b

2a

)2

ax2 + bx + c = x2 +b

ax +

c

a= x2 + 2

b

2ax +

(b

2a

)2

−(

b

2a

)2

+c

a= 0

3) Identificar o caso notavel

ax2 + bx + c =(

x +b

2a

)2

−(

b

2a

)2

+c

a=

[x−

(− b

2a

)]2

−(

b

2a

)2

+4ac

4a2= 0

4) Fazendo transformacoes na parte da constante teremos

ax2 + bx + c =[x−

(− b

2a

)]2

− b2 − 4ac

4a2= 0 ⇒

[x−

(− b

2a

)]2

=b2 − 4ac

4a2

5) Resolvendo a equacao teremos

ax2 + bx + c = x−(− b

2a

)= ±

√b2 − 4ac

2a⇒ x =

(− b

2a

)±√

b2 − 4ac

2a

de onde teremos

x1,2 =−b±√b2 − 4ac

2a=−b±√∆

2a

Definicao 4.13. Para um polinomio quadratico na forma ax2 + bx + c = 0, chama-se Vertice ao

ponto onde o grafico muda de monotonia. e determinam-se as coordenadas deste ponto usando as

expressoes

xv =−b

2a, yv =

−∆4a

tambem, pode se achar o xv achando a media aritmetica dos zeros da funcao


Observacao 4.4. E importante saber que um ponto no plano e composto por duas coordenadas, uma

coordenada no eixo dos x e uma outra coordenada no eixo dos y , e analogo ao cenario de que um

casal e composto por duas entidades (masculina e femenina). Assim ao determinarmos o vertice de

uma parabola preocupamo-nos em determinar o xv e o yv , portanto o par (xv, yv)

Observacao 4.5. Se designarmos os dois zeros de uma equacao quadratica por x1 e x2 , poderemos

escrever uma equacao quadratica ou um polinomio quadratico de modo seguinte

ax2 + bx + c = a(x− x1)(x− x2)

Observacao 4.6. Se designarmos os dois zeros de uma equacao quadratica por x1 e x2 , poderemos

escrever uma equacao quadratica ou um polinomio quadratico de modo seguinte

ax2 + bx + c = a[x2 − (x1 + x2)x + x1 × x2]

Veja que

x1 + x2 = − b

ae x1 × x2 =

c

a

Observacao 4.7. Nas equacoes quadraticas ou polinomios quadraticos, podemos calcular as coorde-

nadas do vertice e a seguir escrever o polinomio de modo seguinte

ax2 + bx + c = a(x− xv)2 + yv.

Esta formula e tambem conhecida por Formula de Viet - SP

4.1.10 Triangulo de Pascal

linha 01

linha 11 1

linha 21 2 1

linha 31 3 3 1

linha 41 4 6 4 1

linha 51 5 10 10 5 1

linha 61 6 15 20 15 6 1

linha 71 7 21 35 35 21 7 1

linha 81 8 28 56 70 56 28 8 1


Exemplo 4.16. Veja de seguida os exemplos da aplicacao do triangulo de Pascal

Observacao 4.8. Um binomio com expoente n ∈ N pode ser desenvlvido em soma de monomios com

grau igual a n e coeficiente tirados da linha n do triangulo de Pascal.

1) Decomponha (3 + 2)1, como podemos ver temos uma potencia de expoente 1, vamos entao

recorrer a linha 1, teremos que somar monomios de grau 1 e coeficientes 1 e 1 (veja a linha 1),

teremos entao:

(3 + 2)1 = 1× 3120 + 1× 3021 = 3 + 2 = 5

2) Decomponha (3 + 2)2, como podemos ver temos uma potencia de expoente 2, vamos entao

recorrer a linha 2, teremos que somar monomios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha

2), teremos entao:

(3 + 2)2 = 1× 3220 + 2× 3121 + 1× 3022 = 9 + 12 + 4 = 25

3) Decomponha (a + b)2, como podemos ver temos uma potencia de expoente 2, vamos entao

recorrer a linha 2, teremos que somar monomios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha

2), teremos entao:

(a + b)2 = 1× a2b0 + 2× a1b1 + 1× a0b2 = a2 + 2ab + b2


recorrer a linha 3, teremos que somar monomios de grau 3 e coeficientes 1, 3, 3 e 1 (veja a linha

3), teremos entao:

(a + b)3 = 1× a3b0 + 3× a2b1 + 3× a1b2 + 1× a0b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


recorrer a linha 4, teremos que somar monomios de grau 4 e coeficientes 1, 4, 6, 4 e 1 (veja a

linha 4), teremos entao:

(a + b)4 = 1× a4b0 + 4× a3b1 + 6× a2b2 + 4× a1b3 + 1× a0b4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

6) Decomponha (a − b)2 = [a + (−b)]2, como podemos ver temos uma potencia de expoente 2,

vamos entao recorrer a linha 2, teremos que somar monomios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1

(veja a linha 2), teremos entao:

(a + b)2 = [a + (−b)]2 = 1× a2(−b)0 + 2× a1(−b)1 + 1× a0(−b)2 = a2 − 2ab + b2



vamos entao recorrer a linha 3, teremos que somar monomios de grau 3 e coeficientes 1, 3, 3 e 1

(veja a linha 3), teremos entao:

(a−b)3 = [a+(−b)]3 = 1×a3(−b)0+3×a2(−b)1+3×a1(−b)2+1×a0(−b)3 = a3−3a2b+3ab2−b3


vamos entao recorrer a linha 4, teremos que somar monomios de grau 4 e coeficientes 1, 4, 6, 4

e 1 (veja a linha 4), teremos entao:

(a−b)4 = 1×a4(−b)0+4×a3(−b)1+6×a2(−b)2+4×a1(−b)3+1×a0(−b)4 = a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4

4.1.11 Exercicios Resolvidos

1) Determine os Valores de A e B de modo que:

(a)1

(x− 1)(x + 1)=

A

x− 1+

B

x + 1Resolucaovamos somar as fraccoes que se encontram a direita, teremos:

1(x− 1)(x + 1)

=A(x + 1) + B(x− 1)

(x− 1)(x + 1)⇒

⇒ 1 = Ax + A + Bx−B ⇒ (A + B)x + A−B = 0x + 1

daqui resolvemos o seguinte sistema de equacoes

{A + B = 0A−B = 1

⇒{

A = −B−B −B = 1

⇒{

A = −B

B = −12

⇒

A =12

B = −12

.

(b)2

(x− 1)(x + 1)2=

A

x− 1+

B

x + 1+

C

(x + 1)2Resolucaovamos somar as fraccoes que se encontram a direita, teremos:

2(x− 1)(x + 1)2

=A(x + 1)2 + B(x− 1)(x + 1) + C(x− 1)

(x− 1)(x + 1)2⇒

⇒ 2 = A(x2 + 2x + 1) + B(x2− 1) + C(x− 1) = (A + B)x2 + (2A + C)x + (A−B−C) = 2

daqui resolvemos o seguinte sistema de equacoes

A + B = 02A + C = 0A−B − C = 2

⇒

A = −B2(−B) + C = 0−B −B − C = 2

⇒

A = −B−2B = −C−2B − C = 2

⇒

⇒

A = −B−2B = −C−2C = 2

⇒

A = −B−2B = 1C = −1

⇒

A =12

B = −12

C = −1


(c) Factorize o seguinte Polinomio

P (x) = x3 − 3x2 + 2x

ResolucaoVamos primeiro evidenciar o factor comum, o factor que aparece em todos os monomios,teremos entao:

P (x) = x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x + 2)

vemos que estamos agora na presenca de um polinomio quadratico. Podemos achar asraizes (x1 = 1; x2 = 2) e dai poderemos escrever

P (x) = x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x + 2) = x(x− 1)(x− 2)

(d) Factorize o seguinte Polinomiox3 − y3,

Resolucaotrata-se da diferenca de cubos, veja que estamos na presenca de um caso notavel, teremosentao:

x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2)

(e) Factorize o seguinte Polinomiox2 − y4,

trata-se da diferenca de quadrados, veja que estamos na presenca de um caso notavel,teremos entao:

x2 − y4 = x2 − (y2)2 = (x− y2)(x + y2)

2) Efectue as seguintes operacoes

(a)5

2x− 10+

x

x− 5ResolucaoVamos antes de tudo transformar a primeira fraccao e de seguida achamos o mmc.

52x− 10

+x

x− 5=

52(x− 5)

+x

x− 5=

52(x− 5)

+2x

2(x− 5)=

5 + 2x

2x− 10.

(b)x2

x + 2− 4x− 4

x + 2ResolucaoComo temos duas fraccoes com mesmo denominador, iremos somente efectuar a operacaode subtraccao, preste atencao porque antes do sinal de fraccao aparece um sinal -”que afectatoda a fraccao.

x2

x + 2− 4x− 4

x + 2=

x2 − 4x + 4x + 2

.

3) Seja f(x) = 2x2−x Determine f(2), f(a), f(2+a), f(2−a), f(k+a), f(a)−f(2−a)

(a) f(2) = 2(2)2 − 2 = 2× 4− 2 = 8− 2 = 6(b) f(a) = 2(a)2 − a = 2× a2 − a = a(2a− 1)(c) f(2+a) = 2(2+a)2− (2+a) = 2× (4+4a+a2)−2−a = 8+8a+2a2−2−a = 2a2 +8a+6(d) f(2−a) = 2(2−a)2− (2−a) = 2× (4−4a+a2)−2+a = 8−8a+2a2−2+a = 2a2−7a+6(e) f(k + a) = 2(k + a)2 − (k + a) = 2× (k2 + 2ka + a2)− k − a = 2k2 + 4ka + 2a2 − k − a =

2a2 + 2k2 + 4ka− k − a

(f) f(a)− f(2− a) = 2a2 − a− (2a2 − 7a + 6) = −a + 7a− 6 = 6a− 6


4.1.12 Exercıcios de Aplicacao

1) Calcule o valor numerico das seguintes expressoes para os valores de x indicados

(a) (x− 1)(x2 + x + 1) para x = 1, x =√

2

(b)x + 1x− 1

− x3 − 5x

x2 − 1para x = −3

2) Seja f(x) = 3(x− 2)2 + 5 calcule f(2 + α) e f(2− α)

3) Seja f(x) =5

2− xcalcule f(2 + α) e f(2− α)

4) Seja f(x) =x + 3x− 2

calcule f(2 + α) e f(2− α)

5) Seja f(x) = x2−3x+2. Calcule f(−3), f(2x−3), f(2x−3)+f(2x+3), f(x+h),f(x + h)− f(x)

h

6) Seja f(x) = 2x− 3 e g(x) = x2 + 5 calcule

(a) f(5), g(−3), g[f(2)], f [g(3)], g[f(x)]

(b) f [g(x + 1)] + g[g(x)]

7) Determine o domınio de seguintes expressoes

(a) x2 − 1 +1x

(b)x2 − 5x + 1

x2 − 2x

(c)√

2− x

(d)1√x

+2

x + 3

(e)√

x + 3x− 4

(f)√

x2 + 3x− 1

(g)5

x2 − 9+

7√x + 3

(h)√

x− 2 +√

6− 2x

8) Seja P (x) = 2x3 + ax2 + bx− 5. Determine a e b de modo que P (2) = 0 e P (−1) = 0

9) Sejam dados os polinomios

A(x) = −x3 + 3x2 − 7x + 5, B(x) = 2x3 − 3x2 + 2x− 1, C(x) = −3x3 + 5x− 2.

Determine

(a) A + B + C

(b) 2A + 2B − C

(c) 2A− 3B − 5C

10) Determine α e β de modo que os polinomios A(x) e B(x) sejam iguais

(a) A(x) = (α + β)x2 − 3x B(x) = 5x2 − (α− β)x

(b) A(x) = 2αx2 + 3x− 5 B(x) = 4x2 + 3βx− 3α + β


11) Determine m de modo que o polinomio Q(x) = (m2 − 1)x2 + (m2 − 3m + 2)x + 1 + m3

(a) seja constante

(b) seja do primeiro grau

12) Factorize pondo em evidencia o factor comum

(a) 8a3b2 + 16a2b3 + 20a3b3

(b) 5x3 − 15x2

(c) 16x5 − 20x4 + 8x3

(d) (x + 1)(7x− 3)− (x + 1)(2− x)

(e) 2x(x− 1)2 − 2x2(x− 1)

13) Factorize os seguintes trinomios

(a) x2 + 3x + 2

(b) x2 + 7x + 6

(c) x2 + x− 42

(d) x5 + 4x4 + 4x3

14) Factorize (Diferenca de quadrados)

(a) 25a2 − 36

(b)4x2

9− 16y2

25(c) 18− 5x2

(d) (a + 5)2 − (4− 3a)2

15) Escreva sob forma de quadrado perfeito

(a) 81a2 − 18a + 1

(b) 49x2 + 28xy + 4y2

(c) (a + 3)2 − 6(a + 3)√

5 + 45

(d)(6− x)2

12+

6− x

x+

3x2

16) Factorize usando casos notaveis

(a) 8x3 − y3

27

(b)8a3

27+

64b6

125(c) 8x3 − (x− 3)3

(d) (2x− 5)3 + 27x3

17) Factorize agrupando em factores

(a) ax + 2x + 3a + 6

(b) ax− x− 5a + 5

(c) x2 − 3ax− 2x + 6a

18) Factorize caso possıvel


(a) x4 − 16y4

(b) 5x2 + 125(c) −9x3y + 30x2y2 − 25xy3

(d) 3x2 + 15xy + 12y2

(e) 5a2 − 10a2b2 + 5b4

(f) (a− 3)2 − (5− 2a)2

(g) (x− y)3 − (x + y)3

19) Simplifique

(a)4x− 8x− 2

(b)−6x2 − 14x

14 + 6x

(c)x− 3

x2 − 6x + 9

(d)x2 − 8x + 16

16− x2

(e)8x− 4x2

6x− 12

(f)4x2 − 12x + 9

4x2 − 9

(g)(2x− 1)(x− 1)2 − 2(x2 − x− 1)(x− 1)

(x− 1)4

20) Simplifique

(a)2x(x− 1)− x2

(x− 1)2

(b)(2x + 3)x2 − 2x(x2 + 3x)

x3

(c)(2x + 1)(x2 − x)− (2x− 1)(x2 + x)

x2(x− 1)2

21) Efectue seguintes operacoes

(a)x2

x + 2− 4x− 4

x + 2

(b)x

x + 1+

34

(c)x

x− 3− 2

x2 − 9

(d)2x

x2 − 2x− 15+

3x2 − 10x + 25

22) Determine A e B de modo que:

(a)3x− 1

x2 + 4x− 5=

A

x + 5+

B

x− 1

(b)1

2x2 + 3x− 2=

A

2x− 1+

B

x + 2Ensinar e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voce

Typeset by LATEX2ε

Capıtulo 5

Geometria Plana

5.1 Areas, Perımetros e Volumes de Figuras Geometricas

5.1.1 Quadrado

E uma figura geometrica que tem as seguintes caracteristica:

1) Quatro lados iguais;

2) Quatro angulos rectos - (iguais a 90o).

3) Diagonais iguais e perpendiculares.

Chamemos d− diagonal; P− Perımetro, S− Superfıcie ou area; a− o lado do quadrado. Veja afigura

A B

CD

a

a

a

a

90o

Figura 5.1:

40


Com base na figura e nas propriedades do quadrado podemos tirar as seguintes ilacoes:

• AC = BD = d,

• AB = BC = CD = AD = a.

• d2 = a2 + a2 ⇒ d2 = 2a2 ⇒ d =√

2a2 ⇒ d = a√

2;

• P = 4a, S = a2.

5.1.2 Losango


1) Quatro lados iguais;

2) Diagonais perpendiculares.

Chamemos d− diagonal; P− Perımetro, S− Superfıcie ou area; a− o lado do losango. Veja afigura

A B

CD

a

a

a

a

90o

K

Figura 5.2:


Com base na figura e nas propriedades do losango podemos tirar as seguintes ilacoes:

• DK = h e perpendicular a AB - (altura).

• AC = d1, BD = d2,

• AB = BC = CD = AD = a.

• P = 4a, S = ah, S =d1 + d2

2

5.1.3 Rectangulo


1) Lados iguais 2 a 2;

2) Quatro angulos rectos - (iguais a 90o).

3) Diagonais iguais.

Chamemos d− diagonal; P− Perımetro, S− Superfıcie ou area; l− o lado menor do rectanguloe c− o lado maior do rectangulo. Veja a figura

A B

CD

c

l

Figura 5.3:


Com base na figura e nas propriedades do rectangulo podemos tirar as seguintes ilacoes:

• AC = BD = d,

• AB = CD = c, AD = BC = l.

• d2 = c2 + l2 ⇒ d =√

c2 + l2;

• P = 2c + 2l, S = cl.

5.1.4 Paralelogramo


1) Lados opostos iguais;

2) Lados opostos paralelos;

3) angulos opostos iguais;

4) Diagonais intersectam-se no ponto medio.

Chamemos d− diagonal; P− Perımetro, S− Superfıcie ou area; a− o lado menor e b− o lado maior doparalelogramo. Veja a figura

A B

CD b

a

K

Figura 5.4:

Com base na figura e nas propriedades do paralelogramo podemos tirar as seguintes ilacoes:

• DK = h e perpendicular a AB - (altura).

• AC = d1, BD = d2,

• AB = CD = b BC = AD = a.

• P = 2a + 2b, S = bh,

5.1.5 Triangulo


1) Tres lados;

2) Tres angulos;


A Bc

C

a

b

K

Figura 5.5:

Chamemos P− Perımetro, S− Superfıcie ou area; a, b, c− os lados do triangulo. Veja a figura

Com base na figura e nas propriedades do triangulo podemos tirar as seguintes ilacoes:

• CK = h e perpendicular a AB - (altura).

• P = a + b + c, S =base× altura

2=

AB × CK

2=

ch

2,

5.1.6 Classificacao dos triangulos - Quanto aos lados

1) Triangulo Equilatero

• tem tres lados iguais,

• CK ⊥ AB (⊥ significa perpendicular) - (altura),

• A altura divide a base em dois segmentos iguais AK = BK ,

• A altura divide o angulo do topo em dois sectores iguais ^ACK = ^KCB ,

• Os seus tres angulos sao iguais e iguais a 60o.

A Ba

C

a

a

K

Figura 5.6:


(a) Como AB = a e AK = BK ⇒ AK = BK =a

2dai que no triangulo AKC teremos

a2 = h2 +(a

2

)2

a2 −(a

2

)2= h2 ⇒ h2 = a2 −

(a

2

)2⇒ h2 =

44a2 −

(a

2

)2⇒

h2 =4a2 − a2

4⇒ h =

√4a2 − a2

4=

√3a2

2⇒ h =

a

2

√3

(b) P = 3a (Perımetro)

(c) S =ah

2=

a× a

2

√3

2=

a2

4

√3

2) Triangulo Isosceles

• Tem pelo menos dois (2) lados iguais.


• A altura divide as bases em duas (2) partes iguais se esta altura for tracada apartir dovertice criado pelos (2) lados iguais.

A B

C

aa

bK

Figura 5.7:


(a) Como AB = b, AC = BC,⇒ AK = BK =b

2dai que no triangulo AKC teremos

a2 = h2 +(

b

2

)2

a2 −(

b

2

)2

= h2 ⇒ h2 = a2 −(

b

2

)2

⇒ h2 =44a2 −

(b

2

)2

⇒

h2 =4a2 − b2

4⇒ h =

√4a2 − b2

4=√

4a2 − b2

2

(b) P = 2a + b (Perımetro)

(c) S =ah

2=

b×√

4a2 − b2

22

=b√

4a2 − b2

4

3) Triangulo Escaleno

• Tem os tres (3) lados desiguais, isto e,diferentes.


A B

C

ab

cK

Figura 5.8:


(a) P = a + b + c (Perımetro)

(b) S =ah

2

5.1.7 Classificacao de Triangulos - Quanto aos Angulos

1) Triangulo Acutangulo - Vide a figura (5.9)

• Tem todos (3) angulos agudos (menores que 90o)

A B

C

ab

c

Figura 5.9:

2) Triangulo Rectangulo - veja a figura (5.10)

• Tem um angulo recto [na figura vem sombreado] (igual a 90o)

• Os outros dois (2) angulos sao agudos (menores do que 90o).

A B

C

ab

c

Figura 5.10:

3) Triangulo Obtusangulo - veja a figura (5.11)

• Tem um angulo obtuso (maior que 90o)[na figura vem sombreado]

• Os outros dois (2) angulos sao agudos (menores do que 90o).


A B

C

ab

cK

Figura 5.11:

5.1.8 Trapezio

E uma figura da geometria plana com as caracteristicas seguintes

• Tem quatro (4) lados

• Dois lados paralelos - bases

– Base Maior - dos lados paralelos - o que tiver maior comprimento.

– Base Menor - dos lados paralelos - o que tiver menor comprimento.

• Dois lados nao paralelos.

• Tem a altura que e a distancia entre as bases.

1) Trapezio Rectangulo.

• Tem dois angulos rectos - [na figura vem sombreados].

• A altura e igual a um dos lados

• CK e a altura.

A B

D Cbase

BaseK

Figura 5.12:

2) Trapezio Escaleno.

• Tem todos lados desiguais.


• AD 6= BC

• Dois angulos agudos e dois obtusos

• CK e a altura.

A B

D Cb

BK

Figura 5.13:

3) Trapezio Equilatero.

• Tem dois (2) lados iguais.

• AD = BC.

• Dois angulos agudos (iguais) e dois obtusos (iguais).

• CK e a altura.

A B

D Cb

BK

Figura 5.14:

Para qualquer trapezio temos

S =(B + b)

2× h.

5.1.9 Papagaio

• Dois lados consecutivos iguais

• Diagonais Perpendiculares

• dois dos quatro angulos sao iguais.

• P = 2a + 2b (Perimetro)


• S =d1 × d2

2onde d1 = AC, d2 = BD sao as diagonais do papagaio.

• BC = CD e AB = AD.

A

D B

C

Figura 5.15:

5.1.10 Cırculo e Circunferencia

• P = 2πr (Perımetro).

• S = πr2 (Superfıcie).

oA

r

Figura 5.16:

5.1.11 Sector Circular

O sector circular e uma determinada parte do cırculo, veja a parte sombreada.

• O comprimento do arco na parte sombreada calcula-se pela formula Ca =α2πr

360oonde α e o

angulo descrito ao tracarmos o sector circular.

• P = 2r + Ca = 2r +α2πr

360o, (Perımetro)


• S =απr2

360o(Superfıcie).

oAr

Figura 5.17:

5.1.12 Linhas de Nıvel de Um Triangulo

1) Altura - Um segmento perpendicular a um dos lados do triangulo, e e baixado do vertice opostoa esse lado.

90o

Figura 5.18:


Observacao 5.1. Num triangulo podemos sempre encontrar tres (3) alturas, o ponto de in-

terseccao das alturas chama-se ortocentro. As tres linhas desenhadas no triangulo da figura

(5.19) sao alturas (cada uma tracada em relaccao a uma base), o que implica que os angulos

marcados na figura sejam de 90o. O ponto pintado no centro do triangulo e o ortocentro.

Figura 5.19:

2) mediatriz - Um segmento perpendicular ao lado do triangulo, e que passa pelo ponto medio dessetriangulo. Podemos tracar 3 mediatrizes apartir de um triangulo.

Observacao 5.2. As tres linhas desenhadas no triangulo da figura (5.20) sao mediatrizes (cada

uma tracada em relaccao a um lado), o que implica que se verificam as seguintes igualdades

AI = CI, CJ = BJ, AK = BK.

E os angulos marcados na figura sao rectos. O ponto pintado no centro do triangulo e o Cicun-

centro (nome dado ao ponto de interseccao das mediatrizes).

A BK

J

C

I

Figura 5.20:

3) mediana - Um segmento que passa pelo ponto medio do lado de um triangulo e e tracado apartirdo vertice oposto a esse lado. Podemos tracar 3 medianas apartir de um triangulo.


Observacao 5.3. As tres linhas desenhadas no triangulo da figura (5.21) sao medianas (cada

uma tracada em relaccao a um lado), o que implica que se verificam as seguintes igualdades


O ponto pintado no centro do triangulo e o Centro de gravidade ou Barricentro (nome

dado ao ponto de interseccao das medianas).

A BK

J

C

I

Figura 5.21:

4) Bissectriz - Um segmento que divide angulo de um triangulo em (2) partes (sectores) iguais.Podemos tracar 3 bissectrizes apartir de um triangulo.

Observacao 5.4. As tres linhas desenhadas no triangulo da figura (5.22) sao bissectrizes (cada

uma tracada em relaccao a um angulo), o que implica que se verificam as seguintes igualdades

^1 = ^2, ^3 = ^4, ^5 = ^6.

O ponto pintado no centro do triangulo e o Incentro (nome dado ao ponto de interseccao das

bissectrizes).

A

34

B

56

C

1 2

Figura 5.22:


5) Linha media - Um segmento que une os pontos medios de dois lados de um triangulo. A linhamedia e paralela ao terceiro lado e mede a metade desse lado. Podemos tracar 3 linhas mediasapartir de um triangulo.

Observacao 5.5. As tres linhas desenhadas no triangulo da figura (5.23) sao linhas medias

(cada uma tracada em relaccao a (2) lados do triangulo), o que implica que se verificam as

seguintes igualdades


Cumprem-se tambem as seguintes afirmacoes

(a) JK ‖ AC, 2× JK = AC

(b) IJ ‖ AB, 2× IJ = AB

(c) IK ‖ BC, 2× IK = BC

A BK

J

C

I

Figura 5.23:

5.1.13 Teorema de Pitagoras

Observacao 5.6. O teorema de pitagoras aplica-se sobre triangulos rectangulo.

Segundo Pitagoras, a superfıcie do quadrado desenhado apartir da hipotenusa de um triangulo

rectangulo, e igual, a soma das superfıcies de quadrados desenhados apartir dos catedos do mesmo

triangulo. Na figura (5.24) temos um triangulo [o angulo pintado mede 90o] rectangulo com hipotenusa

a e catetos b e c, pelo teorema teremos

1) Superfıcie do quadrado formado pela hipotenusa Sh = a2

2) Superfıcie do quadrado formado pelo cateto b Sc1 = b2

3) Superfıcie do quadrado formado pelo cateto c Sc2 = c2

entao:

a2 = b2 + c2


A B

C

ab

c

Figura 5.24:

5.1.14 Angulos Complementares

Sao aqueles cuja soma e igual a 90o graus. α + β = 90o, dizemos que α e complementar de β,versa-vice.

Na figura (5.25), suponhamos que o angulo B seja recto, isto e, igual a 90o, a soma de α e β eigual a 90o.

B

α

β

Figura 5.25:

5.1.15 Angulos Internos de Um Triangulo

A soma dos angulos internos de um triangulo e sempre igual a 180o, a ser assim, na figura (5.26),temos

α + β + γ = 180o

da figura (5.26), podemos tirar as seguintes deducoes:

β + θ = 180o ⇒ β = 180o − θ

por outro lado

α + β + γ = 180o

entao:

α + (180o − θ) + γ = 180o ⇒ α + γ = θ


A

α

B

β θ

C

γ

Figura 5.26:

5.1.16 Angulos Suplementares

Sao aqueles cuja sua soma e igual a 180o. Dizemos que α e β sao complementares se

α + β = 180o

o

αβ

Figura 5.27:

5.1.17 Angulos Internos de Um Quadrilatero

A soma dos angulos internos de um quadrilatero e sempre igual a 360o. De acordo a figura (5.28)teremos

α + β + γ + θ = 360o

Para um quadrilatero regular (figuras geometricas sao regulares se tiverem todos lados iguais)a soma dos angulos consecutivos e igual a 180o. Isto e

α + β = α + θ = β + γ = γ + θ = 180o

5.1.18 Angulos Verticalmente Opostos

Os angulos opostos em relaccao ao vertice sao iguais, assim sendo e de acordo a figura (5.29)

α = β γ = θ


A B

CD

α β

θ γ

Figura 5.28:

α

β

γ θ

Figura 5.29:

5.1.19 Angulos Alternos Internos

Os angulos alternos internos sao iguais, observe a figura (5.30), suponhe que r e s sao rectasparalelas, entao:

α = θ γ = β

α β

γ θ

r

s

Figura 5.30:

Observacao 5.7. Os angulos alternos internos sao tambem chamados z - angulos pois, eles formam

a letra Z.


5.1.20 Angulos Correspondentes

Os angulos correspondentes sao a juncao dos pressupostos criados sobre angulos verticalmenteopostos e z -angulos , observe a figura (5.31), suponhe que r e s sao rectas paralelas, entao cumprem-se as seguintes afirmacoes:

1) Por oposicao de vertices temos:

(a) α = α1

(b) β = β1

(c) γ = γ1

(d) θ = θ1

2) Por serem angulos alternos internos (z -angulos) temos:

(a) α = θ

(b) γ = β

3) De onde concluimos:

(a) α = α1 = θ = θ1

(b) γ = γ1 = β = β1

α β

γ θ

α1

β1

γ1θ1

r

s

Figura 5.31:

5.1.21 Teorema De Semelhancas de Triangulos

Dois triangulos sao semelhantes se:

1) Tem angulos correspondentes iguais.

2) Tem lados correspondentes proporcionais.

Na figura (5.32), consideremos que:

α = α1, β = β1, γ = γ1

portanto os dois triangulos sao identicos, a ser assim cumpre-se a segunda afirmacao: (os lados cor-respondentes sao proporcionais),

1) O lado AB e correspondente a DE


A

α

B

β

C

γ

D

α1

E

β1

F

γ1

Figura 5.32:

2) O lado BC e correspondente a EF

3) O lado AC e correspondente a DF

eAB

DE=

BC

EF=

AC

DF


Typeset by LATEX2ε

Capıtulo 6

Relaccoes e Funcoes

6.1 Relaccoes

Comecemos por definir alguns conceitos:

Definicao 6.1. Sejam dados os conjuntos

A = {a1, a2, a3, · · · } e B = {b1, b2, b3, · · · },

chamaremos relaccao a ligacao de elementos de A com os elementos de B. Em outras palavras, chamare-

mos Relaccao a associacao entre elementos de dois conjuntos.

Vamos supor que os elementos do conjunto A sao as provincias no Norte de Mocambique e oselementos de B sao as suas respectivas capitais, teremos entao:

A = {cabo delgado, niassa, nampula} B = {pemba, lichinga, nampula}

ao associarmos os nomes das provincias com as suas capitais dizemos que estamos estabelecendorelaccoes e teremos

A −→ B = {(cabo delgado, pemba); (niassa, lichinga); (nampula, nampula)}

Definicao 6.2. Para este caso, chamaremos ao conjunto de partida da relaccao, conjunto A por

domınio ou objecto e ao conjunto de chegada, o conjunto B chamaremos contradomınio ou

imagem.

As relaccoes podem ser estabelecidas de 3 maneiras diferentes.

1) por extensao,

2) por diagramas de venn, e

3) por compreensao.

Exemplo 6.1. Consideremos o conjunto

A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 10, 15, 20},

60


podemos estabelecer a seguinte relaccao entre elementos de A com elementos de B

A −→ B = {(1, 5); (2, 10); (3, 15); (4, 20)},

esta maneira de estabelecer relaccoes nao se difere da usada acima. A mesma relaccao pode ser

estabelecida usando formulas e simbolos matematicos de modo seguinte

{(x, y)|y = 5x, x ∈ {1, 2, 3, 4}};

neste caso o domınio da funcao e o conjunto

A = {1, 2, 3, 4}

e a regra de definicao da relaccao e

y = 5x.

Com base na regra temos

x = 1 y = 5× 1 = 5 x = 2 y = 5× 2 = 10

x = 3 y = 5× 3 = 15 x = 4 y = 5× 4 = 20

assim sendo, temos

{(x, y)|y = 5x, x ∈ {1, 2, 3, 4}} = {(1, 5); (2, 10); (3, 15); (4, 20)};Mostramos desta meneira, dois metodos diferentes de representacao de relaccoes.

Observacao 6.1. As funcoes sao relaccoes que para cada elemento do conjunto de partida existe

um e somente um elemento no conjunto de chegada.

Exemplo 6.2. Veja o seguinte exemplo.

{(1, 2); (3, 4); (5, 6); (7, 8)}

e uma funcao porque para cada elemento do conjunto de partida, o conjunto

{1, 3, 5, 7}

existe somente um elemento no conjunto de chegada

{2, 4, 6, 8},

de maneira analoga podemos dizer que e uma funcao porque para cada x pertencente ao par (x, y)

existe um e somente um y

Em diferentes fontes de conhecimento, em diferentes livros constam diferentes maneiras de denotarfuncoes, vejamos seguintes casos

y = 7− x, f(x) = 7− x, g(x) = 7− x.

Denotamos entao de 3 maneiras diferentes a mesma funcao. Assumimos nestes casos que os valoresdo domınio sao pertencentes ao conjunto de numeros reais. Estas funcoes chama-se funcoes devariavel real


6.1.1 Funcoes

Vamos comecar por definir uma funcao

Definicao 6.3. Um Funcao e uma relaccao em que para cada elemento do domınio corresponde um

e somente um elemento do contradomınio.

Definicao 6.4. Toda funcao do tipo

y = ax + b

chama-se funcao linear

Estas funcoes quando representadas graficamnete apresentam-se como uma recta (uma linha recta),dai o nome ¿Funcao LinearÀ

Numa funcao linear y = ax+ b o a e o coeficiente angular, e o parametro que determina o nıvel deinclinacao da recta. Dai, se duas rectas tiverem mesmo coeficiente angular, entao elas sao paralelas.Se os coeficientes angulares nao forem iguais significa que as rectas tem um ponto comum. A rectaperpendicular a

y = ax + b

tem a formay = −1

ax + b1,

• se b = 0 a funcao passa a ter a forma y = ax e funcoes deste tipo passam pela origem do sistemacarteziano ortogonal.

• Se o valor de a for negativo, isto e, menor que zero, diremos que a funcao e decrescente.

• Se o valor de a for posetivo a funcao e crescente.

• Se o velor de a for igual a zero, diremos a funcao e constante, isto e , nao e crescente nemdecrescente.

O coeficiente angular da recta que passe pelos pontos

P1(x1, y1) e P1(x2, y2)

ea =

y2 − y1

x2 − x1, x2 6= x1

Definicao 6.5. Diremos que uma funcao e crescente num intervalo se para qualquer que seja x1, x2

pertencentes ao domınio da funcao (ou a um intervalo) com

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

Definicao 6.6. Diremos que uma funcao e decrescente num (intervalo) se para qualquer que seja

x1, x2 pertencentes ao domınio da funcao f , com

x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

Para esbocar o grafico de uma funcao linear basta-nos encontrar dois pontos por que passa a recta,unindo os 2 pontos teremos a recta.


Exemplo 6.3. Vejamos os esbocos graficos de algumas funcoes lineares

1) y1 = 2x + 2

2) y2 = 2− x

3) y3 = 3

x

y

(0, 2)

(2, 0)

(0, 3)

(−1, 0) (2, 0)

y1 = 2x + 2

y2 = −x + 2

y3 = 3

Figura 6.1:

6.1.2 Funcao Inversa

Para invertermos uma funcao y = f(x) seguimos os passos seguintes:

1) Na sentenca y = f(x) procuramos isolar o x escrevendo x = f(y)

2) Trocamos o x por y−1 e o y por x .

Exemplo 6.4. Determine a funcao inversa de y = x− 1

1) Vamos isolar o x :

y = x− 1 ⇒ y − x = −1 ⇒ −x = −1− y ⇒ x = y + 1

2) Trocamos x por y−1 e y por x teremos entao

y−1 = x + 1

Vejamos os esbocos graficos das funcoes f e a funcao f−1


x

y

x + 1

x− 1

Figura 6.2:

6.1.3 Funcoes Compostas

Consideremos os conjuntos

A = {1, 2, 3}; B = {2, 4, 6}; C = {3, 5, 7}

Componha o esquema da relaccao

f : A → B e g : B → C.

Observe que existe uma maneira de definir a relaccao A → C usando as relaccoes (funcoes) f eg, suponhamos que h : A → C sem a necessidade de passar por B , entao teremos:

h(1) = 3 ⇒ 3 = g[f(1)]; h(2) = 5 ⇒ 5 = g[f(2)]; h(3) = 7 ⇒ 7 = g[f(3)];

assim, de modo claro conclui-se queh(x) = g[f(x)]

e dizemosA h e uma funcao que compoe f em g .

Exemplo 6.5. Sejam dadas as funcoes

f(x) = ax + b, g(x) = cx + d,

vamos determinar a a funcao fog e gof

fog = f [g(x)] = a[g(x)] + b = a(cx + d) + b = acx + ad + b

gof = g[f(x)] = c[f(x)] + d = c(ax + b) + d = acx + cb + d


6.1.4 Sistemas de Equacoes e Inequacoes Lineares

Todas as rectas podem ser representadas apartir da expressao y = ax+b onde em caso de a = 0 temosuma recta horizontal que corta o eixo vertical em b, caso contrario temos uma recta obliqua e inclinadade modo dependente do a-coeficiente angular. Muitos problemas de matematica, economia, gestaoe areas afim, podem ser resolvidos usando sistemas de rectas. Veja o seguinte exemplo:

Exemplo 6.6. Em boas cozinhas, para preparar 5 unidades de sopa mistura-se uma determinada

quantidade de agua ao dobro de oleo. Se se misturar quantidades iguais de agua e oleo no lugar de 5,

produzem-se 7 unidades. Determine a quantidade de litros de agua e de oleo.

Este tipo de problemas e muitos outros podem ser e com muita facilidade resolvidos usando ossistemas de equacoes lineares. E possıvel criar e/ou resolver problemas que exigem sistemas de equacoesde diferentes graus, mas, para todos efeitos e sem limitacao da sua vamos falar de sistemas de 2 equacoescom 2 incognitas. Resolver um sistema de 2 equacoes com duas incognitas e o mesmo que procurarencontrar o par (x, y) que satisfaz o sistema

{ax + by + c = 0dx + ey + f = 0

.

Observacao 6.2. Seja dado o seguinte sistema de duas equacoes com duas incognitas

ax + by + c = 0

dx + ey + f = 0

diremos que

1) O sistema tem uma e unica solucao sea

d6= b

e

2) O sistema nao tem solucao sea

d=

b

e

3) O sistema tem muitas solucoes sea

d=

b

e=

c

f

Exemplo 6.7. Quantas solucoes tem o sistema

2x− y + 5 = 0

x− 5y = 7

Usando as regras dadas acima concluimos que o sistema tem uma unica solucao. Resolvendo-oteremos:

{2x− y + 5 = 0x− 5y = 7

⇒{

2x− y + 5 = 0x = 7 + 5y

⇒{

2(7 + 5y)− y + 5 = 0x = 7 + 5y

⇒

y = −199

x = 7 + 5(−19

9

)= −33

9

Graficamente a solucao de um sistema de equacao corresponde ao ponto de interseccao das duasrectas geradas pelas funcoes definidas pelas equacoes do sistema. Para o sistema acima teremos vejaa figura (6.3):

Para resolver uma inequacao linear vamos apartir do esboco do grafico fazer a leitura da parte quesatisfaz a condicao da inequacao.


x

y

2x + 5

x−75

Figura 6.3:

Vejamos o seguinte exemplo2x + 5− y > 0

devemos fazer com que o y tenha coeficiente posetivo, para tal vamos multiplicar ambos membros dainequacao por -1 e teremos

−2x− 5 + y < 0,

esbocamos o grafico dey = 2x + 5

x

y

2x + 5

Figura 6.4:


e porque pelo exercicio o sinal (condicao) da inequacao e menor, a solucao e a parte de baixo (aparte sombreada no esboco grafico)

Para o caso em que temos um sistema de varias equacoes lineares, devemos esboca-las e escolhemoscomo solucao a parte correspondente a interseccao das diferentes solucoes.

Exemplo 6.8.

y + x− 1 ≥ 0

y − x− 2 ≥ 0

Antes de resolvermos este sistema de inequacoes, vamos transformar em sistema de equacoes,

y + x− 1 = 0

y − x− 2 = 0⇒

y + x = 1

y − x = 2

somando as duas equacoes (metodo de adicao sucessiva) teremos 2y = 3, isto e y =32, substituindo

numa das equacoes (a primeira por exemplo) teremos

32

+ x− 1 = 0 ⇒ x = 1− 32⇒ x = −1

2.

A solucao do sistema de equacao e o ponto

(−1

2,32

)

que e o ponto de interseccao das duas rectas que sao definidas pelas equacoes do sistema. Vamos no

mesmo S.C.O esbocar as rectas

y + x− 1 = 0, e y − x− 2 = 0


−x + 1

x

y

y − x− 2 = 0

y + x− 1 = 0

− 12

32

II

IIII

IV

Figura 6.5:

As duas rectas intersectam-se e fazem 4 regioes (I,II,III,IV), veja na figura (6.5). Como no sistema

de inequacoes todas as condicoes foram dadas para regioes maiores que as rectas dadas, a nossa solucao

sera a regiao II que e a regiao que fica acima das duas rectas.

Observacao 6.3. Veja que se o sinal de desigualdade for > ou < as rectas aparecem em traco nao

cheio, isto e, (tracejado).

Existe um tipo de inequacoes que muito embora nao sejam lineares, sao compostas por binomioslineares em forma de factores e(ou) quocientes.

Exemplo 6.9. Veja atentamente os exemplos que se seguem

1) Resolva a seguinte equacaox− 1x + 1

= 0,

veja que para que a fraccao dada(qualquer fraccao) seja igual a zero basta qu e x − 1 = 0(o

numerador seja igual a zero). entao teremos

x− 1x + 1

= 0 ⇒ x− 1 = 0 ⇒ x = 1,

e importante frizar que

x + 1 6= 0 ⇒ x 6= −1

portanto a solucao e

S : x = 1


2) Resolva a seguinte equacao2x− 1x− 3

= 0,

teremos2x− 1x− 3

= 0 ⇒ 2x− 1 = 0 ⇒ x =12,

como126= 3 teremos que

S : x =12

3) Resolva a seguinte equacao

(2x− 1)(x− 3) = 0,

pode ver se que basta que

S : 2x− 1 = 0 ∨ x− 3 = 0 ⇒ x =12∨ x = 3

4) Resolva a seguinte equacao

(x2 − 1)(x + 4)(x + 2) = 0,

teremos entao

S : x2 − 1 = 0 ∨ x + 4 = 0 ∨ x + 2 = 0 ⇒ x = −4 ∨ x = −2 ∨ x− 1,∨x = 1

Consideremos agora o caso em que temos inequacoes compostas por binomios lineares.

1) Resolva a seguinte inequacaox− 1x + 1

> 0,

iremos aqui recorrer ao metodo de tabelas, antes vamos resolver seguintes equacoes

x− 1 = 0, x + 1 = 0

isto e

x = 1, x = −1

Vamos construir a seguinte tabela

x ]−∞;−1[ -1 ]-1;1[ 1 ]1;+∞[

x− 1 - -2 - 0 +

x + 1 - 0 + + +x− 1x + 1

+ @ - 0 +

Ao resolvermos a inequacao dada, porque a condicao diz maior do que zero, nos limitamo-nos

a procurar encontrar asregioes ao longo do eixo dos x onde a expressao tem sinal posetivo, e

lendo a ultima linha da tabela podemos dar a seguinte solucao

S : x ∈]−∞;−1[∪]1, +∞[


(a) se no lugar da inequacao dada neste exercıcio tivessemos que resolver a seguinte inequacao

x− 1x + 1

< 0,

tereiamos que seguir os mesmos passos mas no fim, da leitura da ultima linha da tabela

iriamos dar como solucao a parte que tem o sinal negativo, isto e:

S : x ∈]− 1; 1[,

(b) e se tivessemos a inequacaox− 1x + 1

≥ 0,

tereiamos que seguir os mesmos passos mas no fim, da leitura da ultima linha da tabela

iriamos dar como solucao a parte que tem o sinal posetivo ou zero, isto e:

S : x ∈]−∞;−1[∪[1, +∞[

2) Resolva a seguinte inequacao(x− 1)(x + 2)(x + 1)(x− 3)

< 0,

usando o metodo de tabelas, teremos que antes resolver seguintes equacoes

x− 1 = 0, x + 1 = 0, x + 2 = 0, x− 3 = 0

isto e

x = 1, x = −1, x = −2, x = 3

Vamos construir a seguinte tabela

x ]−∞;−2[ -2 ]-2;-1[ -1 ]-1;1[ 1 ]1;3[ 3 ]3;+∞[

x− 1 - - - - - 0 + + +

x + 2 - 0 + + + + + + +

x + 1 - - - 0 + + + + +

x− 3 - - - - - - - 0 +(x− 1)(x + 2)(x + 1)(x− 3)

+ 0 - @ + 0 - @ +

A solucao sera a parte negativa porque a inequacao aparece com o sinal menor do que zero.

Assim sendo teremos:

S : x ∈]− 2;−1[∪]1; 3[



1) Represente graficamente as funcoes definidas pelas equacoes seguintes, determine o domınio econtradomınio.

(a) y = 2x− 1

(b) y = 2− x

(c) y = x + 2y − 1

(d) 2x− 3y + 2 = 0

(e) y = 3

(f) x = 1 (suponha que seja funcao de y )

2) Para cada uma das alineas do numero anterior identifica se o ponto (1, 0) e o ponto (1, 1)pertencem ou nao a recta

3) Identifique o coeficiente angular (declive) das rectas dadas

(a) 2x + 2y − 7 = 0

(b) y = 3

(c) x− 3y +23

= 0

(d) x− 2y = 1

4) Veja se as seguintes rectas sao paralelas (se tem mesmo coeficiente angular)

(a) 9x− 6y + 2 = 0, 3x + 2y + 1 = 0

(b)2x

3+

y

2= 3, 2x + 3y − 1

5) Seja f(x) = 2x− 6, D(f) =]− 1; 4], determine a Im(f)

6) Seja f(x) =−x− 7

2, D(f) =]− 1; 3[, determine a Im(f)

7) De uma funcao, sabemos que D(f) = [−3; 5] e Im(f) = [1; 5]

(a) Esboce uma das possibilidade

(b) Suponha que as funcoes sao lineares. Escreva as suas formulas

8) Ache f [g(x)] e g[f(x)]

(a) f(x) = x + 1 g(x) = x− 1

(b) f(x) = ax + b g(x) = cx + d

(c) Para a funcao anterior determine f [f(x)].

(d) Qual e a caracterıstica de uma funcao composta por duas funcoes lineares

9) Seja f uma funcao linear, tal que f [f(x)] = x− 1, determine f(x)

10) Resolva as seguintes equacoes

(a)x + 3

5− 3

10=

x− 52

+710

(b)3x− 33x + 5

= 9

11) Resova a equacao (x + 3)(4x + 7)(3x− 1) = 0 apresente as solucoes em:


(a) N(b) Z(c) Q(d) R

12) Nas boas escadas a altura a dos degraus e a sua profundidade p estao relaccionadas por 2a−64 =p em Cm.

(a) Esboce 3 escadas diferentes para a = 10, a = 20 a = 15

(b) Umas escadas compostas de 17 degraus levam a um piso situado 2, 55m acima. Qual e aprofundidade dos degraus?

(c) Considera-se que a altura de um degrau nao pode ultrapassar 25Cm. Dispoe-se dum espacoque permite colocar escadas tais que a soma da profundidade seja 4m. Qual sera a alturamaxima dessas escadas?

13) Resolva as inequacoes seguintes

(a) 3x− 23≥ x + 2

3

(b) −3x− 22

>x + 2

5

(c) 2 ≤ −2x + 73

< 6

14) Resolva seguintes inequacoes

(a) (x + 3)(x− 5) > 0

(b) (3x− 5)(2− 3x) ≥ 0

(c) x(x

2− 1

)≥ 0

(d)5

1− 4x< 0

(e)2− x

x− 6< 0

15) Indique o numero de solucoes dos seguintes sistemas de equacoes

(a){

x + 4y − 2 = 02x− y + 3 = 0

(b){

3x + 5y + 1 = 0−21x− 35y − 7 = 0

(c){ −x + 2y + 3 = 0

3x− 6y + 1 = 0

(d){

x + y + 2 = 03x− 4y − 20 = 0

16) Resolva os seguintes sistemas

(a){

2x + 3y − 6 = 02x + y + 2 = 0

(b){

2x− 3y − 6 = 02x + 3y − 6 = 0

(c){

2x− 10y = 0−5x + 25y = 0


(d)

{(x + y)− (x− y) + 1 = 0x + y

2+

x− y

3− 7

36= 0

17) Um cavalo e uma mula caminhavam juntos levando no lombo pesados sacos. Lamentava-se ocavalo da sua pesada carga quando a mula lhe disse: ”de que ti queixas? Se eu levasse um dosteus sacos, a minha carga seria o dobro da tua. Pelo contrario, se te desse um saco, a tua cargaseria igual a minha.”Quantos sacos levava o cavalo e quantos sacos levava a mula?

18) Resolva

(a) 2x− y + 1 > 0

(b) 3x + 5y ≤ 0

(c) x− y − 1 > 2x + 6y

(d) 2x− y + 1 < x− y − 1

19) Resolva

(a) 2x + 3y − 1 < 0 e x− y > 1

(b) x− 2 ≥ 0 e x + y − 2 ≤ 0

(c) 2x + y − 1 < 0 e y ≤ −2x− 5

(d) x > 0, y > 0 e x + y ≤ 5

(e) (2x− y + 1)(x− y − 1) ≥ 0


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Capıtulo 7

Funcoes Quadraticas

7.1 Funcoes e Equacoes Quadraticas, Radicais

7.1.1 Funcoes Quadraticas

Estudaremos neste capıtulo funcoes que podem ser apresentadas de maneira grafica expressandoparabolas ou partes de parabolas. Vimos nas aulas passadas o conceito de relacao e funcao, estu-damos tambem uma determinada e especıfica famılia de funcoes, as funcoes lineares - aquelas queadmitem expoente maximo associado a variavel igual a 1. As funcoes lineares apresentam-se na forma

y = ax + b,

e sobre elas, construimos o grafico e fizemos varios estudos (rever aulas passadas).Ao estudarmos funcoes quadraticas iremos de certeza re-utilizar as bases que adquirimos do es-

tudo de funcoes e funcoes lineares, um exemplo disso aplica-se sobre o conceito Domınio e(ou) Con-tradomınio, Zeros, Sinal, Monotonia de funcao. Iremos aqui, usar estes conceitos virando nossasatencoes para as funcoes que admitem expoente maximo de x igual a 2 - funcoes quadraticas. Asfuncoes quadraticas sao funcoes do tipo

y = ax2 + bx + c, a 6= 0,

e podem ser representadas de maneiras diferentes.

1) Vejamos o caso mais simples de funcoes quadraticas, o caso em que elas tem a forma

f(x) = ax2

Veja figura (7.1)

(a) y = x2

(b) y = 2x2

(c) y = 3x2

Observacao 7.1. No esboco graficos de funcoes quadraticas a amplitude (abertura da parabola)

varia de modo inverso com o valor de a , isto e, quanto maior for o valor de a , menor sera a

abertura da parabola.

74


x

y

y = x2 y = 2x2

y = 3x2

Figura 7.1:

Se o a for negativo a parabola e virada para baixo (concavidade virada para baixo)

Veja figura (7.2)

(a) y = −x2

(b) y = −2x2

(c) y = −3x2

x

y

−x2

−3x2

−2x2

Figura 7.2:

2) Vejamos o caso em que as funcoes tem deslocamento ao longo do eixo horizontal.

y = a(x− p)2 onde o x ∈ R, a 6= 0 e p, q ∈ R.

Podemos ter varios exemplos de funcoes quadraticas com esta representacao

Veja a figura (7.3)

(a) y = x2


(b) y = (x + 3)2

(c) y = (x− 1)2

x

y

y = (x + 3)2 y = x2 y = (x− 1)2

Figura 7.3:

Observacao 7.2. Os graficos de y = ax2, y1 = a(x − p)2 sao semelhantes e obtem-se y1 a

partir da transladacao de y = ax2 em p unidades para a esquerda se p > 0 ou p unidades para

a direita se p < 0.

Definicao 7.1. Chama-se vertice de uma funcao quadatica ao ponto (xv, yv) onde ela muda

de comportamento, isto e, deixa de crescer e passa a decrescer ou versa e vice.

Exemplo 7.1. Para as funcoes dadas nos exemplos anteriores vejamos os seus respectivos

vertices (coordenadas do vertice).

(a) Para a funcao y = x2 o vertice e o ponto V (0, 0)

(b) Para a funcao y = (x + 3)2 o vertice e o ponto V (−3, 0)

(c) Para a funcao y = (x− 1)2 o vertice e o ponto V (1, 0).

Consideremos a funcao y = −3(x − 1)2, vamos antes fazer o esboco grafico, (Figura7.4)

Observacao 7.3. As funcoes y = (x − 1)2, y = −3(x − 1)2 e y = 3(x − 1)2 tem vertices no

ponto (1, 0) o que nos leva a concluir que o valor de a nao influencia na determinacao do vertice

da funcao.

Pode concluir-se que o vertice da funcao y = a(x− p)2 e o ponto V (p, 0) e o eixo de simetria eo eixo x = p.

Exemplo 7.2. Determine, sem construir o grafico, o vertice e o eixo de simetria da funcao

(a) y = 2(x−√2)2

(b) y = − 26 (x− c)2


x

y

Figura 7.4: y = −3(x− 1)2

(c) y = x2 + x + 14 (passe primeiro para a forma y = a(x− p)2.

3) Observemos agora o caso em que

y = a(x− p)2 + q, x ∈ R, a 6= 0, q 6= 0, ∀p

Este caso e semelhante ao caso (2) em que tinhamos

y = a(x− p)2.

Para obtermos o grafico deste tipo de funcoes, fazemos a transladacao que fizemos no casoy = a(x − p)2 e acrescentamos mais uma transladacao de q unidades para cima se q > 0 epara baixo se q < 0. Note-se que ao transladarmos um determinado grafico, devemos transladartodos os pontos que fazem parte dele.

Desenhar com o auxılio dos estudantes, explicando detalhadamente os passos para a construcaode y = 1

2(x− 5)2 + 2

Eis os passos:

(a) Construir o grafico da funcao y1 = x2;

(b) construir o grafico da funcao y2 = 12x2;

(c) construir o grafico da funcao y3 = 12(x− 5)2; e, finalmente,

(d) construir o grafico da funcao y4 = 12(x − 5)2 + 2. transladando-o duas (2) unidades para

cima.

Observacao 7.4. O grafico da funcao y = a(x− p)2 + q pode se obter do grafico y1 = ax2 por

meio de uma transladacao horizontal de p unidades e uma transladacao vertical de q unidades.

Observacao 7.5. Para funcoes dadas na forma y = a(x− p)2 + q , o eixo de simetia e x = p e

o vertice localiza-se no ponto V (p, q).

7.1.2 Estudo Completo de uma Funcao

O estudo completo de uma funcao consiste numa serie de investigacoes que sao feitas para a descobertade caracterısticas que, de maneira inequıvoca, identificam uma funcao. Este estudo (para funcoesquadraticas) e composto por 9 (nove) passos importantes a saber:


x

y

II : 12x2

I : x2III : 1

2(x− 5)2

IV : 12(x− 5)2 + 2

Figura 7.5:

1) O sinal de a

2) O domınio da funcao,

3) o contradomınio da funcao,

4) as coordenadas do vertice,

5) os zeros da funcao,

6) a variacao da funcao ( ou monotonia da funcao),

7) a variacao do sinal da funcao,

8) a equacao do eixo de simetria e

9) a construcao grafica.

Com os estudantes, na sala, fazer o estudo completo das funcoes y = x2 − 2x e y = −x2 + 2x + 3

7.1.3 Equacoes Quadraticas

No capıtulo anterior falamos de equacoes lineares, e definimos equacao como uma igualdade que contemuma determinada incognita. Ao resolvermos uma equacao procuramos achar os valores da incognitaque satisfaz a igualdade. Chamaremos entao de equacao quadratica a equacao que tiver na incognitao expoente 2. A forma geram da equacao quadratica e a seguinte:

ax2 + bx + c = 0, a 6= 0.

Existem 3 tipos de equacoes qudraticas e nas suas resolucoes diferem um tipo do outro no pontode vista de eficiencia, isto e, podemos resolve-las da mesma maneira, mas e racional para cada casocumprir certos algorıtmos que facilitam a resolucao. Vejamos:

1) No caso em que os valores de b e c sao iguais a zero, teremos

ax2 = 0, a 6= 0

e daı resulta que x = 0, neste caso e muito simples encontrar a solucao, veja que achar a solucaode uma equacao ax2 = 0 reduz se a determinar ao longo do eixo dos x o conjunto de pontosinterceptados pela parabola y = ax2 , veja nas figuras (7.1) e (7.2) os graficos de y = ax2 .


2) No caso em que c = 0, b 6= 0 , teremos

ax2 + bx = 0

. Colocando o x em evidencia, vem x(ax + b) = 0 onde x = 0 ou ax + b = 0 o que nosleva as solucoes x = 0 ou x = − b

a . Vamos aqui fazer o esboco do grafico de funcoes dadas naforma y = ax2+bx para podermos observar graficamente as solucoes. Consideremos as equacoesx2 + 3x = 0 x2 − 5x = 0. Ao determinarmos as solucoes graficas destas equacoes vamos fazeros esbocos graficos de funcoes

y = x2 + 3x e y = x2 − 5x

x

y

x2 + 3x

x2 − 5x

Figura 7.6:

Resolvendo a equacaoteremos x2 + 3x = 0 ⇒ x(x + 3) = 0 dai que teremos x = 0 ou x + 3 =0 ⇒ x = −3. Para a equacao x2− 5x = 0 teremos x(x− 5) = 0 ⇒ x = 0 ou x− 5 = 0 ⇒ x = 5,estes resultados podem ser observados apartir da leitura grafica.

3) No caso em que os valores de a, b e c sao diferentes de zero, teremos

ax2 + bx + c = 0,

os estudantes poderao resolver esta equacao usando a formula resolvente que foi vista aquandodo estudo da factorizacao de polinomios quadraticos. So para recordar:

x1,2 =−b±√∆

2ae ∆ = b2 − 4ac.

Com o auxılio desta formula, os estudantes poderao tambem encontrar as coordenadas do verticedo grafico que descreve a funcao y = ax2 + bx + c :

xv = − b

2ae yv = −∆

4a


7.1.4 Exercıcio

Determine para as seguintes funcoes os zeros, os vertices e o eixo de simetria da funcao.

1) y = ax2 + bx + c, a 6= 0,

2) y = x2 − 10x + 25,

3) −x2 + 8x = −5 + y,

4) x2 − 7x + 11 = 1− y,

5) y = 2x2 + 7x + 5,

6) y + 3x + (x + 1)2 + x2 = 2(x2 − 1) + x(x + 3).

Observacao 7.6. Seja dada uma equacao quadratica, se a + b + c = 0 esta equacao tem raızes iguais

a x1 = 1 e x2 = ca .

Observacao 7.7. Sejam x1 e x2 , raızes de uma equacao quadratica, entao x1+x2 = − ba ; x1×x2 = c

a

e x2 − (x1 + x2)x + x1 × x2 = 0

7.1.5 Equacoes Parametricas

Nma funcao quadratica de acordo ao valor assumido pelo ∆ = b2− 4ac podemos saber se tem ou naoraizes e caso as tenha podemos saber se estas raizes sao duplas ou nao

1) ∆ < 0 a funcao nao tem raizes em R

2) ∆ = 0 a funcao tem raizes duplas isto e x1 = x2

3) ∆ > 0 a funcao tem raizes diferentes isto e x1 6= x2

Usando estes 3 pressupostos podemos resolver as equacoes parametricas

Exemplo 7.3. Seja dada a funcao y = x2 − 6x + k

1) Determine k de modo que a funcao y nao tenha raizes

2) Determine k de modo a que a funcao tenha raizes duplas

3) Determine k de modo que a funcao tenha raizes reais e diferentes

4) Determine k de modo que a funcao passe pelo ponto (1, 2)

7.1.6 Funcao e Equacao Radical

Funcoes radicais sao funcoes que possuem a variavel dentro do radical (e sem limitacao da sua essencia,vamos supor que tenham formas lineares como radicandos) e tem a forma

y =√

ax + b. ax + b ≥ 0

A condicao ax + b ≥ 0 advem do domınio de radicais com ındice par (recordar o capıtulo sobreradiciacao).


Exemplo 7.4. Considere a funcao

1) f(x) =√

2x− 1 Determine o domınio da funcao.

2) g(x) =√

ax− 3 Determine o domınio da funcao.

Observacao 7.8. Como esbocar o grafico de uma funcao radical?

• Atente a figura (7.7), nela estao construıdos os quatro graficos que podem ser usados como

auxiliadores no esboco grafico de funcoes radicais.

1) y =√

x ,

2) y =√−x ,

3) y = −√x , e

4) y = −√−x

x

y

y =√

x

y = −√xy = −√−x

y =√−x

Figura 7.7:

• Ver atentamente os teores sobre equacoes e inequacoes irracionais. Explicar aos estudantes.

7.1.7 Composicao de funcoes por funcoes Radical

1) Sejam dadas as funcoesf(x) =

√ax + b, g(x) =

√cx + d

Determinemos as funcoes fog e gof.

fog = f [g(x)] =√

a√

cx + d + b


e

gof = g[f(x)] =√

c√

ax + b + d

2) Sejam dadas as funcoesf(x) =

√ax + b, g(x) = cx + d

Determinemos as funcoes fog e gof.

fog = f [g(x)] =√

a(cx + d) + b

egof = g[f(x)] = c

√ax + b + d

7.1.8 Equacoes e Inequaoes Radicais

Existem varios tipos de equacoes quadraticas

1) Equacoes do tipo√

A = B resolve-se impondo que

A = B2, e B ≥ 0

Exemplo 7.5. Para resolvermos a equacao√

x2 − 1 = −x + 2 fazemos

x2 − 1 = (−x + 2)2 ⇒ x2 − 1 = x2 − 4x + 4 ⇒ 4x− 5 = 0 ⇒ x =54,

Pelo domınio de expressoes radicais de ındice par temos que

x2 − 1 ≥ 0 ⇒ x ∈]−∞,−1] ∪ [1, +∞[,

e porque54

faz parte do domınio da expressao dizemos entao que S : x =54

.

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

y

−3 −2 −1 1 2 3 x

Figura 7.8:

Vejamos a solucao da mesma equacao dada na forma grafica


−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 x

x =5

4

Figura 7.9:

2) Para o caso em que a equacao e dada na forma√

A =√

B

teremos:A = B, A ≥ 0, B ≥ 0

Exemplo 7.6. Consideremos a equacao

√−x + 4 =√

x− 1

seguindo as regras acima teremos:

−x + 4 ≥ 0 ⇒ −x ≥ −4 ⇒ x ≤ 4

analogamente

x− 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1

o que nos leva a afirmar que caso exista solucao desta equacao, ela localiza-se entre 1 e 4, isto e,

no conjunto interseccao dos domınios das expressoes radicais dadas. Resolvendo

−x + 4 = x− 1 ⇒ −2x = −5 ⇒ x =52,

como 2.5 esta entre 1 e 4 temos: S : x =52

Graficamente teremos:


2

y

1 2.5 4 x

√x− 1√−x + 4

Figura 7.10:

Para resolver inequacoes e a semelhanca do que aconteceu com as inequacoes quadraticas, us-aremos o metodo grafico. Suponhamos que queremos resolver a inequacao

√−x + 4 >√

x− 1

, esbocamos o grafico de

y1 =√−x + 4 e y2 =

√x− 1,

e a solucao sera o intervalo onde o grafico de y1 se localiza acima do grafico de y2 E a solucaosera

x ∈]−∞,52[.

Veja que os parenteses sao abertos porque a inequacao aparece com o sinal > e nao ≥ .


2

y

1 2.5 4 x

√x− 1√−x + 4

Figura 7.11:


1) Resolva seguintes inequacoes

(a) (x + 3)(x− 5) > 0

(b) (3x− 5)(2− 3x) ≥ 0

(c) x(x

2− 1

)≥ 0

(d)5

1− 4x< 0

(e)2− x

x− 6< 0

2) Verifique quais dos seguintes pontos pertencem a parabola que representa graficamente a funcaof(x) = x2 − 5x + 6.

(a) A(2, 0)

(b) B(4, 2)

(c) C(−1, 10)

3) Determine o valor de m para que o ponto A(2, 1) pertenca a parabola que representa grafica-mente a funcao f(x) = (m + 1)x2 − 1.

4) Mesma pergunta com A(2, 5) e f(x) = x2 − 2x + m.

5) Represente graficamente as seguintes funcoes:

(a) f(x) = (x− 3)2


(b) f(x) =(x− 1)2

3(c) f(x) = 3(x + 2)2 + 1

6) Escreva sob a forma canonica e resolva, a partir dessa forma, a equacao y = 0; indique em cadacaso as coordenadas do vertice.

(a) y = x2 − 6x + 6

(b) y = 2x2 − 8x + 6

(c) y = x2 − 65x− 7

25

7) Resolva, utilizando o discriminante, as seguintes equacoes:

(a) 3x2 − 5x + 7 = 0

(b) 4(x− 3)2 = 3− x

(c) (2 +√

3)x2 − (2√

3 + 1)x +√

3− 1 = 0

8) Determine os valores de k na funcao y = x2 − 6x + k, de modo que:

(a) as raızes sejam reais e iguais;

(b) as raızes sejam reais e diferentes;

(c) nao haja raızes reais;

(d) uma das raızes seja 5;

(e) a curva passe pelo ponto A(4, 5);

(f) a ordenada do vertice seja −1.

9) Determine os valores de p de modo que a funcao quadratica y = x2 + px + p− 716 tenha raızes

reais.

10) Nas seguintes equacoes do segundo grau, sendo dada uma solucao, determine a outra sem resolvera equcao:

(a) 6x2 − 7x− 10; x1 = 2

(b) x2 − x +√

2− 2; x1 =√

2

11) Escreva equacoes do segundo grau que admitam as seguintes solucoes:

(a) 1 e -1

(b) 1√2

e −2√

2

12) Determini x e y sabendo que:

(a) x + y = −13 e x× y = −2

3

(b) x + y = 6 e x× y = 7

13) Seja ax2 + bx + c = 0 e x1 × x2 = 0.

(a) Qual e o valor de c?

(b) Se as raızes nao forem ambas iguais a zero, simplifique ax2 + bx+ c. Qual e a segunda raız?Por que ponto passa o grafico? Faca um esboco do grafico.

(c) Se ambas as raızes forem zero, simplifique ax2 + bx + c. Faca um esboco do grafico.

14) Seja ax2 + bx + c = 0 e x1 × x2 6= 0.


(a) Simplifique ax2 + bx + c sabendo que as raızes sao iguais.

(b) Por que ponto passa o grafico? Onde esta o vertice? Faca um esboco do grafico.

15) Determine um numero real cuja soma com o seu inverso seja igual a 4.

16) Na figura ao lado, o quadrado tem 10m de lado. Determine x de modo que o quadrado iteriortenha 90m2 de area.

17) Um rectangulo tem 34cm de perımetro e as suas diagonais medem 13cm. Determine o compri-mento dos seus lados.

18) As pessoas que assistiram a uma reuniao cumprimentaram-se, apertando-se as maos. Uma delasverificou que foram 66 os apertos de mao. Quantas pessas estiveram na reuniao?

19) Duas camponesas levaram um total de 100 ovos para o mercado. Uma delas tinha mais mer-cadoria mas recebeu por ela tanto dinheiro como a outra. Uma vez vendidos todos os ovos, aprimeira camponesa disse a segunda: ”se eu tivesse trazido a mesma quantidade de ovos quetu, teria recebido 1500 meticais”. A segunda camponesa respondeu: ”e se eu tivesse vendido osovos que tinhas, teria recebido 2000

3 meticais”. Quantos ovos vendeu cada uma?

20) Um problema chines: Uma cidade quadrada de dimensoes desconhecidas possui uma porta nomeio de cada um dos seus lados. Uma arvore encontra-se a 20 passos da porta Norte, no exteriorda cidade. Esta arvore e visıvel desde um ponto C que se pode alcancar percorrendo 14 passosa partir da porta Sul, seguidos de 1775 passos em direccao a Oeste. Quais sao as dimensoes dacidade?

21) Determine o valor de k para que a funcao f(x) = (2− k)x2 − 5x + 3 admita um valor maximo.

22) Determine o valor de m para que a funcao f(x) = (4m+1)x2−x+6 admita um valor mınimo.

23) Determine k de modo que o valor mınimo da funcao f(x) = x2 − 6x + 3k seja 3.

24) Determine p de modo que a funcao f(x) = −3x2 + (2p− 3)x− 1 tenha um valor maximo parax = 2.

25) A trajectoria duma bola, num chuto, descreve uma parabola. Supondo que a altura h , emmetros, t segundos apos o chuto, seja dada por h = −t2 + 6t, determine:

(a) em que instante a bola atinge a altura maxima;

(b) qual e a altura maxima atingida pele bola.

26) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto e dado por C = x2 −80x + 300. Nestas condicoes, calcule:

(a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mınimo;

(b) o valor mınimo do custo.

27) Estude o sinal dos seguintes trinomios:

(a) y = x2 − 6x + 9

(b) y = 5x2 + 2x + 17

28) Resolva, utilizando as regras do sinal do trinomio do segundo grau, as inequacoes seguintes:

(a) x2 − 8x + 16 ≥ 0

(b) x2 − 8x + 7 > 0

(c) 9x2 + 8x− 1 < 0


(d) −x + 7x2 + 2 ≤ 0

29) Resolva as seguintes inequacoes:

(a) (x− 3)2 > 16

(b) (x + 2)2 − 9 ≤ 0

(c) (x + 3)2 ≥ 10

30) Represente graficamente as funcoes seguintes:

(a) f(x) =√

x + 3

(b) f(x) =√−2x + 5

(c) f(x) = 2√−x + 1

(d) f(x) = 1−√x

31) Represente a funcao que da o raio de um cırculo em funcao da sua area.

32) Seja f(x) = 14x2 − 1, D(f) = [0, +∞[.

(a) Esboce o grafico de f e f−1.

(b) Determine a funcao inversa e o seu domınio e contradomınio.

33) Seja f(x) = −√x− 4 + 1.

(a) Determine D(f) e Im(f).

(b) Esboce o grafico da funcao f e da sua funcao inversa.

(c) Determine a funcao inversa, o seu domınio e o seu contradomınio.

34) Seja f(x)√

x + 4− 1.

(a) Determine D(f) e Im(f).

(b) Esboce o grafico da funcao f e da sua funcao inversa.

(c) Determine a funcao inversa, o seu domınio e o seu contradomınio.

(d) Determine fof−1 e f−1

o f.

35) Das funcoes a seguir, determine fog e gof.

(a) f(x) = x2 − 4 e g(x) = −x2 + 2x

(b) f(x) = 5 + x− 2x2 e g(x) = 5− 3x

36) Resolva analiticamente as equacoes seguintes:

(a)√

x + 8 = 3

(b) x +√

x− 1 = 13

(c)√

x2 − 1 + 2 = x

37) Resova analiticamente as seguintes equacoes:

(a)√

x2 − 3x =√

3x− 5

(b)√

x2 − 3x− 4 =√

x2 − 6x + 5

Resolva grafica e analiticamente as seguintes inequacoes:

(a)√

1 + x > 3


(b)√

x + 2 >√

x + 3

(c)√

2x− 3 <√

x + 3


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Capıtulo 8

Funcao Logaritmica e Exponencial

8.1 Funcao e Equacao Exponencial

Definicao 8.1. Chama-se Equacao Exponencial a toda equacao que apresenta incognita sob ex-

poente.

Exemplo 8.1. A equacao

2x = 8

e exponencial, pois o x que e a incognita aparece no expoente

8.1.1 Resolucao de Equacoes Exponenciais

Para resolver equacoes exponenciais como 2x = 8, prossegue-se:

1) Encontrar duas potencias da mesma base, uma em cada membro;

2) Igualar os expoentes dos dois membros entre si; e,

3) Achar o valor da variavel.


1) Resolva 2x = 8

2x = 23

como as bases sao iguais, igualamos os expoentes e teremos:

x = 3

2) Resolva 3x =19

3x = 3−2


x = −2

90


3) Resolva 17x = 1

17x = 170


x = 0

4) Resolva 7x = −1 Esta equacao nao tem solucao, veja que para qualquer x ∈ R, 7x e sempre

posetivo.

5) Resolva 5x = 0 Esta equacao nao tem solucao, veja que para qualquer x ∈ R, 7x > 0.

6) Resolva√

3x = 9√

3x = 32 ⇒ (3x)12 = 32 ⇒ 3

x2 = 32

igualando os expoentes temos:x

2= 3 ⇒ x = 6.

7) Vejamos o caso em que temos equacoes do tipo

3x+1 + 3x+2 + 1 = 37

Eis os passos importantes:

(a) Fazer o desenvolvimento seguindo regras de potenciacao,

3x3 + 3x9 + 1 = 37

(b) colocar em evidencia o factor comum, e isolar o 3x

3x(3 + 9) = 37− 1 ⇒ 12× 3x = 36 ⇒ 3x =3612⇒ 3x = 31 ⇒ x = 1

8) Para o caso em que temos uma equacao do tipo

4x − 9× 2x + 8 = 0,

procedemos de modo seguinte

(a)

4x − 9× 2x + 8 = 0 ⇒ (2x)2 − 9× 2x + 8 = 0

(b) Vamos fazer a substituicao t = 2x, t > 0 e determinar os valores de t que satisfazem a

equacao assim obtida,

t2 − 9t + 8 = 0 ⇒ (t− 1)(t− 8) = 0 ⇒ t1 = 1, t2 = 8


(c) Para cada valor de t obtido, resolver a equacao 2x = t e teremos

2x = 1 ⇒ x = 0, 2x = 8 ⇒ x = 3.

(d) A Solucao sera

x ∈ {0; 3}

9) Resolva as seguintes equacoes

(a) 5x+1 + 5x = 150

(b) 9x − 8× 3x = 9

8.1.2 Inequacao Exponencial

Seja am > an , uma inequacao exponencial. Na resolucao desta inequacao e preciso ter atencao oseguinte:

• Se a > 1, o sentido do sinal de desigualdade mantem-se, isto e,

am > an ⇒,m > n;

• Se 0 < a < 1; (o a e a base exponencial e esta base nao pode ser negativa nem iguala 1) muda o sentido do sinal de desigualdade, isto e,

am > an ⇒ m < n

Exemplo 8.3. 1) Resolva 2x > 1

primeiro devemos perceber que 1 = 20 e dai escrevemos 2x > 20 , de acordo as instrucoes o nosso

a = 2 > 0 entao x > 0

2) Resolva 2x < 8

2x < 23 ⇒ x < 3

3) Resolva 17x ≥ 1

17x ≥ 170 ⇒ x ≥ 0

4) Resolva(

12

)x

< 8(

12

)x

<

(12

)−3

porque a < 1 teremos

x > −3

5) Resolva 7x > −1 veja que ∀x ∈ R⇒ 7x e sempre posetivo, isto significa que e maior que -1, dai

que a solucao da inequacao dada e x ∈ R .

6) Resolva 5x < 0 neste caso nao existe solucao, pois 5x e sempre maior do que zero, isto e, nunca

e menor do que zero ou ainda dizemos que x ∈ {} (intervalo vazio).


8.1.3 Funcao exponencial

O estudante de certeza ja sabe a oque se refere o termo ”exponencial,”

Definicao 8.2. Chama-se, Funcao Exponencial, a toda funcao que tem sob expoente uma variavel.

Exemplo 8.4. Veja as seguintes funcoes:

1) f(x) = 2x

2) f(x) = 2x + 1

3) f(x) = 2x+1

8.1.4 Representacao Grafica de uma Funcao Exponencial

Ha que ter em conta o seguinte: Seja f(x) = ax ;

1) Se a > 1 a funcao exponencial. f(x) e crescente.

2) Se 0 < a < 1 a funcao exponencial f(x) e decrescente

3) O valor de a corresponde a assimptota horizontal

4) Devemos procurar os pontos historcos da funcao, isto e, os pontos onde ela toca os eixos doS.C.O

Exemplo 8.5. Represente graficamente as seguintes funcoes, ache o Df e a Imf

x

y

2x

�1

2

�x

Figura 8.1:

1) y = 2x, vide (8.1)

2) y =(

12

)x

, vide (8.1)

3) y = 2x + 1, vide (8.2)

4) y = −2x + 1, vide (8.2)

5) y = 2(x+1) + 1, vide (8.3)


x

y

2x + 1

−2x + 1

Figura 8.2:

x

y

2x+1

2x+1 + 1

2x

Figura 8.3:

6) y = −2x, vide (8.4)

7) y = −2(x−1) − 3, vide (8.4)


x

y

−2(x−1) − 3

−2x −2x−1

Figura 8.4:

8.1.5 Calculo Logarıtmico

Definicao 8.3. Chama-se logarıtmo base a de b e denota-se

loga b

onde

a ∈ R+ \ {1}, b > 0

ao valor y , tal que ay = b

E temosloga y = x; (a > 0; a 6= 1); y > 0; x ∈ R

, le-se: logarıtmo de y na base a e igual a x. Onde:

• y e o logaritmando,

• a e a base,

• x e o logarıtmo.

Observacao 8.1. Veja que, se:

y = ax ⇒ loga y = x; (a > 0; a 6= 1)

Exemplo 8.6. Determine o valor de x tal que

1) log2 x = 4 veja que, segundo a definicao de logarıtmo,

x = 24 ⇒ x = 16

2) logx 81 = 4,


8.1.6 Propriedades Importantes

1) loga 1 = 0

2) loga a = 1

3) aloga x = x

4) loga b =logp b

logp a(mudanca de base: b > 0; p > 0; p 6= 0)

5) loga uv = loga u + loga v

6) loga

u

v= loga u− loga v, v 6= 0

7) logan√

pq =q

nloga p;

Observacao 8.2. Sem limitacao da sua essencia, tem se que:

log10a = lg a, loge a = ln a

8.1.7 Equacao Logarıtmica

1) Resolva 2 log2 x = log2 4. Este tipo de equacao resolve-se seguindo os seguintes passos:

2) Calcule sem recorrer a tabelas e(ou) maquinas calculadoras

(a) 5log5 2,Usando a a propriedade (3) temos que

5log5 2 = 2

(b) log2 2√

3

Usando a propriedade (7) teremos

log2 2√

3 =√

3 log2 2

e pela propriedade (2) temos que

log2 2 = 1 ⇒√

3 log2 2 =√

3

(c) Determine lg 25 sabendo que lg 2 = x

Ao resolvermos este exercicio devemos procurar escrever o 25 como1004

dai teremos

lg 25 = lg1004

= lg 100− lg 4

Pela propriedade (6) teremos

lg 25 = lg 102 − lg 22 = 2 lg 10− 2 lg 2

usando propriedade (2) e aliado ao facto de que pelo exercicio lg 2 = x teremos

lg 25 = 2− 2x.

(d) Determine lg 500 sabendo que lg 2 = α .


(e) Determine log4 log2 log3 81Pela definicao de logarıtmo temos que

log3 81 = 4

entaolog4 log2 log3 81 = log4 log2 4

como log2 4 = 2 entao teremos

log4 log2 4 = log4 2 =12

(f) Determine log8 log6 log2 64

3)log2 x = log2 4

Como temos nos 2 membros logarıtmos da mesma base, igualamos apenas os logaritmandos

4) x = 4.

5) Resolva log3 x = 1,Basta usar a definicao de logarıtmo para resolver este exercıcio, teremos entao

log3 x = 1 ⇒ x = 31 ⇒ x = 3

6) Resolva a equacao logarıtmica log3(x− 1) + log3(2x + 1)− log3(x− 3) = 3Vamos achar o domınio da expressao, para tal teremos que resolver seguintes inequacoes

x− 1 > 0 ∧ 2x + 1 > 0 ∧ x− 3 > 0 ⇒ x > 3

aplicando as propriedades (5) e (6) teremos

log3

(x− 1)(2x + 1)x− 3

= 3,

vamos escrever 3 como log3 27 dai que

log3

(x− 1)(2x + 1)x− 3

= log3 27 ⇒ (x− 1)(2x + 1)x− 3

= 27

Resolvamos a equacao

(x− 1)(2x + 1)x− 3

= 27 ⇒ (x− 1)(2x + 1) = 27(x− 3)

transformamos assim numa equacao quadratica

2x2 − x− 1− 27x + 81 = 0 ⇒ x2 − 14x + 40 = 0 ⇒ x = 10 ∨ x = 4.

Concluimos entao queS : x ∈ {4; 10}

pois tanto 4 como o 10 sao maiores que 3 (condicao imposta pelo domınio da expressao)

Observacao 8.3. Durante a resolucao de uma equacao logarıtmica muitas vezes somos obrigados a

transforma-la em exponencial, outras vezes a simples percepcao deste conceito satisfaz a resolucao

do problema. As equacoes e inequacoes logarıtmicas sao muito analogas as equacoes e inequacoes

exponenciais.


8.1.8 Inequacao Logarıtmica

Consideremos a inequacaolog2 x > log2 3.

Para resolve-la, e preciso ter em conta o seguinte, se loga m > loga n, entao:

1) Se a > 1, o sentido do sinal de desigualdade mantem-se, isto e,

loga m > loga n,⇒ m > n;

2) Se 0 < a < 1, muda o sentido do sinal de desigualdade, isto e,

loga m > loga n,⇒ m < n;

Para o casolog2 x > log2 3

porque a = 2 > 1 teremosx > 3

Exemplo 8.7. Veja seguintes exemplos

1) log2 x > log2 2, como a base e 2, entao teremos x > 2 veja no grafico

x

y

log2 2 = 1

Figura 8.5:

2) log 12x > log 1

23, como a base e

12, entao teremos x < 3

3) log3 x > log29 x

Mudamos de base

log3 x > log29 x ⇒ log3 x >

12

log23 x


aplicando a substituicao

t = log3 x

teremos

t >12t2 ⇒ 2t− t2 > 0

de onde resulta que t ∈]0; 2[ e sendo assim

log3 x > 0 ∧ log3 x < 2

o que nos da

x ∈]1; 9[

8.1.9 Funcao Logarıtmica

Vamos considerar a seguinte funcao:

f(x) = loga x; a > 0; a 6= 1; x > 0 :

A esta funcao, chamaremos Funcao Logarımica de Base a. Por utras palavras, a funcao inversa dafuncao exponencial de base a, da-se o nome de Funcao Logarıtmica de Base a.

8.1.10 Representacao Grafica

Para a representacao grafica, suponhamos por exemplo a = 2 : O grafico da funcao

f(x) = log2 x

obtem-se de modo seguinte

1) Determinamos o domınio da funcao, para tal, consideramos o argumento da funcao maior doque zero e dai extraımos a assimptota vertical

2) Procuramos a semelhanca da funcao exponencial, os pontos de historia da funcao, que sao ospontos onde a funcao intersecta o eixo x (x- intercepto) e o eixo y (y - intercepto)

Represente graficamente as seguintes funcoes:

1) f(x) = log2(x + 1)

2) f(x) = log12

(x + 1) Esboce este grafico (veja que e identico ao esbocado na (8.6) mas tem uma

base menor do que a unidade.

3) f(x) = − log2(−x + 1)

4) f(x) = − log2(−x + 1)− 3 e f(x) = − log2(−x− 3) + 1


x

y

Figura 8.6: f(x) = log2(x + 1)

x

y

Figura 8.7: f(x) = − log2(−x + 1)

8.2 Exercicios de Aplicacao

1) Sendo x < 0 e sabendo que ax > 1, o que pode afirmar sobre o valor de a? Justifiquegraficamente.

2) Se a > 1 e 0 < ax < 1, o que pode afirmar sobre o valor de x? Justifique graficamente.

3) Se 0 < a < 1 e ax > 1, o que pode afirmar sobre o valor de x? Justifique.

4) Esboce os graficos das funcoes definidas por:

(a) y = 2x−3

(b) y =(

12

)x

+ 3

(c) y = 5− 2x

(d) y = 1 + 3x

5) Resolva as seguintes equacoes:


x

y

f(x)

(−5, 0)

g(x)

Figura 8.8: f(x) = − log2(−x− 3) + 1 e g(x) = − log2(−x + 1)− 3

(a)(

32

)x

= 827

(b) 3x = 181

(c) 3x = 9√

3


(a)(

32

)x

≥ 1

(b) 19 ≤

(13

)x

≤ 9

(c) 5−2 ≤(

15

)x

≤ 4

(d) bx ≥ b, (0 < b < 1)

(e) bx > b2, (b > 1)

7) Determine, aplicando a definicao de logarıtmo:

(a) log3 81

(b) log 1332

(c) log 25

254

8) Determine o valor de x tal que:

(a) log2 x = 4

(b) log√2 x = 5

(c) log 12x = −2

3

(d) log0,5 x = 34


9) determine o domıno das funcoes definidas por:

(a) y = log 12(x− 3)

(b) y = log2(x2 − 3)

(c) y = logx(x2 − 7x + 12)

10) Esboce os graficos das funcoes definidas por:

(a) y = log2(x + 4)

(b) y = log3 x + 2

(c) y = log 13(x− 1) + 2

(d) y = log2(5− x)

11) Determine a funcao inversa das funcoes seguintes e para cada funcao e sua inversa, determine odomınio e o contradomınio.

(a) f(x) = 2x+3 − 5

(b) f(x) = log 23(x− 2) + 7


(a) log3 x < log312

(b) log10 2x > log10 x

(c) log 153x > 0

(d) log3x2 ≤ 2

(e) log 13(x2 − 1) > 1

13) Dado lg 2 = 0, 3010 e lg 3 = 0, 4771, determine : (Nota: lg x = log10 x)

(a) lg 24

(b) lg 29

(c) lg 32

(d) lg√

3

14) Calcule, aplicando as propriedades dos logarıtmos:

(a) log53√

52

(b) 72 log7 5

(c) 2−3 log2 2

(d) log2 16×log2

√27

log2 8

(e) 13 log 2

38− 2 log 2

33 + 1

4 log 2381

15) Determine (fog)(x) e (gof)(x) nos seguintes casos:

(a) f(x) = 3x e g(x) = log 13x

(b) f(x) = 5x e g(x) = 2x + 1

16) Resolva as seguiintes equacoes exponenciais:

(a) (ax−1)x = 1

(b) 4× 22x − 4× 2x − 3 = 1


(c) 9x + 3× 6x = 4x+1

(d) 2x+7 − 2x+4 − 2x+2 = 3x+4 − 3x+2

(e) 9x+1 + 8× 3x + 33 = 3x+4 + 19× 3x+2

(f) 16x2−1 − 4x+1 = 322 + 22x+1 − 4x+2

17) Resolva, com ajuda da maquina de calcular, as equacoes seguintes:

(a) 2x = 348

(b) 6, 23x = 13

18) Resolva as seguintes equacoes logarıtmicas:

(a) lg(2x− 5) + lg(3x + 7) = 4 lg 2

(b) 2 lg 2 + lg(x2 − 1) = lg(4x− 1)

(c) 3 log4 x + log2 x = 10

(d) 2(log3 x + log 13x) = 3 + log3

1x

(e)7

lg(x3 − 1)+

lg x

lg(x2 − 3)=

17lg x3 − 1

Com a simplicidade construimos o orgulho!...

Typeset by LATEX2ε

Capıtulo 9

Funcao Homografica E Modular

9.0.1 Funcao e Equacao Homografica

Definicao 9.1. Chamam-se funcao Homografica a funcoes do tipo

f(x) =ax + b

cx + d; onde a, b, c, d ∈ R.

Exemplo 9.1. vejamos seguintes exemplos

1) A funcao

y =1x

e Homografica onde

a = 0, d = 0, b = 1, c = 1

e tem uma representacao grafica caracterizada por uma curva chamada hiperbole equilatera.

O grafico desta funcao faz uma curva suave em dois quadrantes alternos, vejamos a tabela de

valoresx -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) -13

−12

-1 @ 112

13

Com base na tabela podemos construir o grafico da figura (9.1)

2) Consideremos agora

y = −1x

e homografica

a = 0, d = 0, b = −1, c = 1

vide a figura (9.2)

A funcao homografica

f(x) =ax + b

cx + d

104


x

y

Figura 9.1:

x

y

Figura 9.2:

e definida para cx + d 6= 0, ou seja o seu domınio e

Df = x ∈ R\{−d

c}

Observacao 9.1. Analisando as tabela pode ver se que na medida em que os valores de x tendem

a crescer (em modulo), os valores de y vao aproximando o zero, isto e, vao aproximando o eixo dos

x′s , Escrevemos y → 0 quando x →∞ e dizemos, o y ou, a funcao tende para zero quando x tende

para o infinito). O eixo dos x e assiptota ao grafico. Por outro lado, Quando x tende para zero, y

tende o infinito, isto e x → 0 ⇒ y →∞ . Neste caso , o grafico da funcao aproxima-se do eixo dos y ,

mas nunca o toca. O eixo dos y e assimptota ao grafico.


O grafico da funcao homografica definida por

f(x) =ax + b

cx + d

admite duas assımptotas: uma assımptota vertical e uma assımptota horizontal. A assımptotavertical corresponde ao valor que anula o denominador, isto e

cx + d = 0 ⇒ x =−d

c.

Para determinar a equacao da assımptota horizontal, devemos escrever f(x) sob a forma seguinte

f(x) = A +B

cx + d; segundo a formula , a equacao da assımptota horizontal sera dada por y =

a

c

Exemplo 9.2. Vejamos os exemplos seguintes

1) Esboce graficamente a funcao

f(x) =2x + 1x + 2

,

(a) Vamos determinar primeiro a assimptota vertical, pelo domınio

x + 2 6= 0 ⇒ x 6= −2 logo AV = −2 i.e (x = −2).

(b) A assimptota horizontal pode ser dada pela formula

AH = y =a

c

21

= 2

(c) Zeros da funcao,

2x + 1 = 0 ⇒ x =−12

(d) y intercepto (intercepto vertical)- Chamaremos de y intercepto (caso exista, ao ponto onde

o grafico intersecta o eixo do y ) para esta funcao homografica o y intercepto e

f(0) =2× 0 + 1

0 + 2=

12


f(x) = −2x + 1x + 2

, Vide a figura 9.2

(a) Veja que escrever

f(x) = −2x + 1x + 2

,

e o mesmo que escrever

f(x) =−2x− 1x− 3

,

portanto

a = −2, , b = −1, c = 1, d = −3.

determinemos a assimptota vertical, pelo domınio

x− 3 6= 0 ⇒ x 6= 3 logo AV = 3 i.e (x = 3).


x

y

Figura 9.3:

(b) A assimptota horizontal pode ser dada pela formula

AH = y =a

c=−21

= −2

(c) Zeros da funcao,

−2x− 1 = 0 ⇒ x = −12

(d) y intercepto (intercepto vertical)- Chamaremos de y intercepto (caso exista, ao ponto onde

o grafico intersecta o eixo do y ), isto e x e igual a zero.

f(0) =−2× 0− 1

0− 3=

13

Observacao 9.2. grafico da funcao homografica e composto por dois ramos simetricos em relacao ao

ponto de encontro das assımptotas.

9.1 Equacoes e Inequacoes

Para resolver inequacoes e equacoes com uma parte homografica, recorremos ao metodo de tabelasestudado no capıtulo sobre funcoes, equacoes e inequacoes lineares.


x

y

Figura 9.4:

9.2 Funcao Modular

Definicao 9.2. Definimos o modulo de um numero da seguinte forma:

|a| =

a, se a ≥ 0;

−a, se a < 0.

Exemplo 9.3. vejamos os exemplos seguintes

1) |0| = 0 .

2) |−2| = −(−2) = 2 porque -2 e menor que zero.

3) |2| = 2 porque 2 e maior que zero.

dr. betuel de jesus varela banhanga 109

4)∣∣−2 +

√3∣∣ = −(−2 +

√3) porque −2 +

√3 e menor que zero.

5)∣∣2−√3

∣∣ = 2−√3 porque 2−√3 e maior que zero.

6)

|x− 1| =

x− 1, se x− 1 ≥ 0;

−(x− 1), se x− 1 < 0.⇒

x− 1, se x ≥ 1;

−x + 1, se x < 1.

7)

− |x− 1| =−(x− 1), se x− 1 ≥ 0;

−[−(x− 1)], se x− 1 < 0.⇒

−x + 1, se x ≥ 1;

x− 1, se x < 1.

8)

∣∣x2 − 1∣∣ =

x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0;

−(x2 − 1), se x2 − 1 < 0.⇒

x2 − 1, se x ∈]−∞,−1] ∪ [1;+∞[;

−x2 + 1), se x ∈]− 1; 1[.

9)∣∣∣∣x2 − 1x + 2

∣∣∣∣ =

x2 − 1x + 2

, sex2 − 1x + 2

≥ 0;

−x2 − 1x + 2

, sex2 − 1x + 2

< 0.

Vamos primeiro estudar o sinal da fraccao

x2 − 1x + 2

para podermos resolver as inequacos

x2 − 1x + 2

≥ 0 ex2 − 1x + 2

< 0

usemos para tal o metodo de tabelas. Resolvemos as equacoes

x2 − 1 = 0 ⇒ (x− 1)(x + 1) = 0 ⇒ x = ±1, x + 2 = 0 ⇒ x = −2

x ]−∞− 2[ -2 ]− 2,−1[ −1 ]− 1, 1[ 1 ]1, +∞[

x− 1 - - - - - 0 +

x + 1 - - - 0 + + +

x + 2 - 0 + + + + +x2 − 1x + 2

- @ + 0 - 0 +

Apartir da ultima linha da tabela podemos ver que

x2 − 1x + 2

≥ 0 ⇒ x ∈]− 2,−1] ∪ [1,+∞[


ex2 − 1x + 2

< 0 ⇒ x ∈]−∞,−2[∪]− 1, 1[

entao teremos

∣∣∣∣x2 − 1x + 2

∣∣∣∣ =

x2 − 1x + 2

, se x ∈]− 2,−1] ∪ [1, +∞[;

−x2 − 1x + 2

, se x ∈]−∞,−2[∪]− 1, 1[.

10)

∣∣x2 + 2x− 3∣∣ =

x2 + 2x− 3, se x2 + 2x− 3 ≥ 0;

−(x2 + 2x− 3), se x2 + 2x− 3 < 0.

Resolvendo as duas inequacoes que aparecem no sistema, teremos:

x2 + 2x− 3 ≥ 0 ⇒ x ∈]−∞,−3] ∪ [1,+∞[

e

x2 + 2x− 3 < 0 ⇒ x ∈]− 3, 1[

∣∣x2 + 2x− 3∣∣ =

x2 + 2x− 3, se x ∈]−∞,−3] ∪ [1, +∞;

−x2 − 2x + 3, se x ∈]− 3, 1[.

11)

|x|2 + 2 |x| − 3 =

x2 + 2x− 3, se x ≥ 0;

(−x)2 + 2(−x)− 3, se x < 0.⇒

x2 + 2x− 3, se x ≥ 0;

x2 − 2x− 3, se x < 0.

Definicao 9.3. Chamamos funcao modular a funcao real de variavel real que a cada x faz corre-

sponder o seu modulo, ou seja f(x) = |x| .

Aplicando a definicao de modulo, teremos

|f(x)| = |x| ={

x, se x ≥ 0;−x, se x < 0.

Generalizando, teremos:

|f(x)| ={

f(x), se f(x) ≥ 0;−f(x), se f(x) < 0.

9.2.1 Grafico da Funcao Modular

Para construir o grafico da funcao modular f(x) = |f(x)| procedemos de modo seguintes:

1) Partindo da definicao, desenvolvemos a funcao dada.

2) Esbocamos as diferentes partes da funcao


3) procuramos carregar ou por outro, destacar as regioes correspondentes para cada intervalo dodomınio de existencia da funcao.

Exemplo 9.4. Veja os exemplos que se seguem

1) Seja f(x) = |x| , construa os graficos de f(x). Para construir os graficos da funcao, temos de

seguir os passos dados acima:

Desenvolvemos a funcao seguindo a definicao de modulo.

f(x) =

x, se x ≥ 0;

−x, se x < 0.

Vamos portanto esbocar o grafico de

y1 = x quando x ≥ 0

e

y2 = −x quando x < 0

x

y

−x x

Figura 9.5:

2) Seja f(x) = |x + 1| , construa os graficos de f(x). Para construir os graficos da funcao, temos

de seguir os passos dados acima:


f(x) =

x + 1, se x + 1 ≥ 0;

−(x + 1), se x + 1 < 0.⇒ f(x) =

x + 1, se x ≥ −1;

−x− 1, se x < −1.


y1 = x + 1 quando x ≥ −1


e

y2 = −x− 1 quando x < −1

x

y

−x− 1 x + 1

Figura 9.6:

3) Seja f(x) = − |x− 3| , construa os graficos de f(x).


f(x) =

−(x− 3), se x− 3 ≥ 0;

−[−(x− 3)], se x− 3 < 0.⇒ f(x) =

−x + 3, se x ≥ 3;

x− 3, se x < 3.


y1 = −x + 3 quando x ≥ 3

e

y2 = x− 3 quando x < 3

x

y

x− 3

−x + 3

Figura 9.7:



f(x) =∣∣∣∣x− 1x + 2

∣∣∣∣Desenvolvendo a funcao pela definicao de modulo teremos

f(x) =∣∣∣∣x− 1x + 2

∣∣∣∣ =

x− 1x + 2

, se x ∈]−∞,−2[∪[1, +∞[;

−x− 1x + 2

, se x ∈]− 2, 1[.

e dai teremos a figura (12.4)

x

y

AH = 1

AV = −2

Figura 9.8:


f(x) =∣∣x2 + 2x− 3

∣∣

Desenvolvendo o modulo apartir da definicao teremos

f(x) =∣∣x2 + 2x− 3

∣∣ =

x2 + 2x− 3, se x2 + 2x− 3 ≥ 0;

−(x2 + 2x− 3), se x2 + 2x− 3 < 0.

Entao

f(x) =

x2 + 2x− 3, se x ∈]−∞,−3] ∪ [1, +∞;

−x2 − 2x + 3, se x ∈]− 3, 1[.

Vide a figura (9.9)

6) Esboce o grafico da funcao

f(x) = |x|2 + 2 |x| − 3

Vide figura (9.10) Desenvolvendo o modulo pela definicao teremos

f(x) =

x2 + 2x− 3, se x ≥ 0;

x2 − 2x− 3, se x < 0.


x

y

Figura 9.9:

x

y

Figura 9.10:

7) Esboce o grafico da funcao

f(x) = |x|2 − 2 |x| − 3

Vide figura (9.11) Desenvolvendo o modulo pela definicao teremos

f(x) =

x2 − 2x− 3, se x ≥ 0;

x2 + 2x− 3, se x < 0.

9.2.2 Equacoes Modulares

Definicao 9.4. Chama-se Modulo ou Valor absoluto de um numero real x , e denota-se |x| , ao

numero real nao negativo que satisfaz as seguintes condicoes:

|f(x)| = |x| ={

x, se x ≥ 0;−x, se x < 0.


x

y

Figura 9.11:

Exemplo 9.5. 1) Resolva

|x− 3| = 5

Pelo desenvolvimento do modulo temos

|x− 3| ⇒

x− 3, se x ≥ 3;

−x + 3, se x < 3.

entao

|x− 3| = 5 ⇒

x− 3 = 5, se x ≥ 3;

−x + 3 = 5, se x < 3.⇒

x = 8, se x ≥ 3;

x = −2, se x < 3.

Como 8 e maior do que 3 e -2 e menor do que 3 teremos a seguinte solucao

S : x ∈ {−2; 8}

2) Resolva a equacao seguinte

|x + 7| = −3

Usando o desenvolvimento do modulo teremos

|x + 7| = −3 ⇒

x + 7 = −3, se x ≥ −7;

−x− 7 = −3, se x < −7.⇒

x = −10, se x ≥ −7;

x = −4, se x < −7.

Como -10 e menor do que -7 e -4 e maior que -7, isto e, as duas solucoes nao pertencem aos

intervalos obtidos pela definicao do modulo diremos que a solucao desta equacao e

x ∈ {}


3) Resolva a seguinte equacao modular

|x− 1| = |3x + 1|

Para resolver esta equacao modular seguimos a regra

|A| = |B| ⇒

A = B,

A = −B .

Entao teremos

|x− 1| = |3x + 1| ⇒

x− 1 = 3x + 1,

x− 1 = −(3x + 1) .⇒

x = −1,

x = 0 .

4) Resolva

|x− 1|+ |x + 2| = |x− 3|

Passamos o membro a direita para a esquerda

|x− 1|+ |x + 2| − |x− 3| = 0.

Resolver esta equacao significa procurar determinar valores de x que fazem com que a equacao

seja igual a zero. Vamos primeiro desenvolver os tres modulos que aparecem nesta equacao

|x− 1| =

x− 1, se x ≥ 1;

−x + 1, se x < 1.

|x + 2| =

x + 2, se x ≥ −2;

−x− 2, se x < −2.

e

|x− 3| =

x− 3, se x ≥ 3;

−x + 3, se x < 3.;

Em seguida construimos a tabela

x ]−∞;−2[ -2 ]-2;1[ 1 ]1;3[ 3 ]3; +∞[

|x + 2| −x− 2 0 x + 2 3 x + 2 5 x + 2

|x− 1| 1− x 3 1− x 0 x− 1 2 x− 1

|x− 3| −x + 3 5 −x + 3 2 −x + 3 0 x− 3

|x− 1|+ |x + 2| − |x− 3| −x− 4 -2 x 1 3x− 2 7 x + 4

−x− 4 = 0 ⇒ x = −4, quando x ∈]−∞,−2[;


x = 0 ⇒ x = 0, quando x ∈]− 2, 1[;

3x− 2 = 0 ⇒ x =23, quando x ∈]1, 3[;

x + 4 = 0 ⇒ x = −4, quando x ∈]3, +∞[;

Destas equacoes, das solucoes(−4; 0;

23

)somente -4 e 0 pertencem aos seus respectivos inter-

vaos. Portanto a solucao sera

S : x ∈ {−4; 0}

Iremos mostrar pelo esboco grafico as solucoes aqui apresentadas, lembre se que determinar

solucao de uma equacao f(x) = 0 significa determinar os valores de x por onde a funcao toca

o eixo horizontal.

x

y

Figura 9.12:

Veja que o grafico toca o eixo de x em -4 e 0.

9.2.3 Inequacoes Modulares

Podemos generalizar o resultado das inequacoes do tipo

|x| > k ou |x| < k, ∀k > 0.


1) |x| > k ⇒ ()x < −k ou x > k

2) |x| < k ⇒ −k < x < k.

Exemplo 9.6. Vejamos os exemplos seguintes:

1) |x| > 4 ⇒ |x| > 22 ⇒ x < −2 ou x > 2

2) |x− 1| > 4 ⇒ |x− 1| > 22 ⇒ x− 1 < −2 ou x− 1 > 2 ⇒ x < −1 ou x > 3

3) |x + 2| > 9 ⇒ |x + 2| > 32 ⇒ x + 2 < −3 ou x + 3 > 3 ⇒ x < −5 ou x > 0

4) |x| < 4 ⇒ |x| > 22 ⇒ −2 < x < 2

5) |x + 1| < 4 ⇒ |x + 1| > 22 ⇒ −2 < x + 1 < 2 ⇒ −3 < x < 1

6) |x− 3| < 25 ⇒ |x− 3| > 52 ⇒ −5 < x− 3 < 5 ⇒ −2 < x < 8

Observacao 9.3. Podemos tambem resolver inequacoes modulares usando a definicao de modulo

e(ou) usando o metodo grafico (a semelhanca do que fizemos para equacoes quadraticas).


1) Represente graficamente as funcoes seguintes:

(a) f(x) = 2xx+1

(b) g(x) = x+42x−3

(c) h(x) = 4x−1x−3

2) Seja f uma funcao definida por f(x) = x2 + 2x.

(a) Estude e represente graficamente a funcao f.

(b) Estude e represente graficamente no mesmo sistema de eixos a funcao g definida por g(x) =2x

x+1 .

(c) Determine as coordenadas dos pontos de interseccao dos dois graficos.

(d) Verifique este resultado analiticamente, resolvendo o sistema y = x2 + 2x e y = 2xx+1

3) Determine h(x) = g[f(x)] e k(x) = f [g(x)] nos casos seguintes:

(a) f(x) = 3x− 7 e g(x) = x−32x+1

(b) f(x) = −x2 + 4 e g(x) = −x+8

2x−5

4) Chama-se distancia de dois numeros x e y ao modulo da sua diferenca. Nota-se: d(x; y) = |x−y|(a) Calcule as distancias seguintes:

i. d(−3; 3)ii. d(−3, 41; 3, 41)iii. d

(0; 3

4

)

iv. d(√

2;−3√

2)


(b) Determine os numeros reais x tais que:

i. d(4;x) = 0, 31

ii. d(x;−1

3

)= 1

4

iii. d(x; 2

5

)= 3

2

5) Represente graficamente as seguintes funcoes modulares:

(a) y = |2− x|

(b) y = |x2 − 5x + 6|

(c) y = |√5− x− 3|

(d) y =∣∣∣1−2x

x+1

∣∣∣

6) Represente graficamente as seguintes funcoes soma ou diferenca de modulos:

(a) y = |2x− 3|+ |x + 4|

(b) y = 3|x− 1| − |x− 5|

7) Resolva as seguintes equacoes modulares:

(a) |3x− 4| = 2

(b) |2x− 3| = 2x− 3

(c) |x2 − 4x + 5| = 2

(d) |4x− 1| = |2x + 3|

(e) |x|2 − 5|x|+ 6 = 0

8) Resolva as seguintes inequacoes modulares:

(a) |3x| < 1

(b)∣∣−x

2

∣∣ ≥ 5

(c) |x− 1| ≥ −2

(d) |3− x| ≤ 3

(e) |3x− 1| < 5

(f)∣∣2x−1

2

∣∣ < 15

(g) |2x + 1|+ 4− 3x > 0



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Capıtulo 10

Trigonometria Elementar

10.1 Razoes Trigonometricas No Triangulo Rectangulo

Definicao 10.1. Chamamos Triangulo Rectangulo, ao triangulo que possue um angulo igual a 90o

(90 graus).

Exemplo 10.1. Com base na figura teremos

A B

C

c

a

b

Figura 10.1:

1) O angulo B mede 90o, razao pela qual diz-se que o triangulo da fugura (10.1) e rectangulo.

2) A , B e C sao os verticesdo triangulo (nota que escrevem se em letras maıusculas).

3) a , b e c sao nomes dos lados da fugura (note que escrevem-se em letras minusculas).

4) a soma dos angulos internos de um triangulo e sempre igual a 180o.

5) Como B = 90o entao A + C = 90o, dizemos entao que A e C sao angulos complementares

(lembrar geometria plana).

121


Definicao 10.2. Chamam-se Catetos de um triangulo rectangulo os lados do triangulo que passam

pelo angulo recto, isto e, os lados que sao adjacentes ao angulo recto.

Definicao 10.3. Chama-se Hipotenusa de um triangulo rectangulo ao lado do triangulo que nao

passa pelo angulo recto, o lados que e oposto ao angulo recto.

1) Seno

O seno de um angulo A e definida como a razao entre o cateto oposto a A e a hipotenusa

sin A =Cateto Oposto

Hipotenusa=

a

b

2) Coseno

O co-seno de um angulo A e definida como a razao entre o cateto adjacente a A e a hipotenusa

cos A =Cateto Adjacente

Hipotenusa=

c

b

3) Tangente

A tangente de um angulo A e definida como a razao entre o cateto oposto a A e cateto adjacentea A

tan A =Cateto Oposto

Cateto Adjacente=

a

c

4) Cotangente

A co-tangente de um angulo A e definida como a razao entre o cateto adjacente a A e catetooposto a A

cot A =Cateto Adjacente

Cateto Oposto=

c

a

Em relaccao a figuta (10.1) poderemos construir a seguinte tabela

angulos A Csin a

bcb

cos cb

ab

tan ac

ca

cot ca

ac

Veja apartir da tabela que:sin A = cos C,

cos A = sin C,


tan A = cot C, e

cot A = tan C

Observacao 10.1. Funcoes Inversas: As funcoes trigonometricas admitem inversao.

• Se sin A = k ⇒ A = arcsin k, (arco cujo seno e k.)

• Se Se cos A = k ⇒ A = arccos k, (arco cujo coseno e k.)

• Se tan A = k ⇒ A = arctan k, (arco cuja tangente e k.)

• Se cot A = k ⇒ A = arccotk, (arco cuja cotangente e k.)

Por outro lado cot A =1

tan A

Daqui em diante e sem limitacao da sua essencia vamos chamar ao angulo A por α, B por β, eC por γ.

10.1.1 Angulos Complementares

Definicao 10.4. Chamam-se Angulos Complementares a aqueles cuja soma e igual a 90 graus

Exemplo 10.2. Se α + γ = 90 entao dizemos que α e γ sao angulos complementares

Para dois α e γ angulos complementares cumpre-se o seguinte

1) α + γ = 90

2) sin γ = cos(90− γ)

3) cos γ = sin(90− γ)

4) tan γ = cot(90− γ)

Veja que se α e complementar a γ entao α + γ = 90 ⇒ 90− α = γ

10.1.2 Formula Fundamental da Trigonometria

sin2 α + cos2 α = 1

Esta formula e chamada FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA porque muitas outras formu-las sao dela derıvadas.


cos

sen

−1 1

tan

1

−1

Figura 10.2:

10.1.3 Cırculo Trigonometrico

Definicao 10.5. Chama-se Cırculo Trigonometrico ao cırculo com centro no ponto (0, 0) e raio

igual a unidade, r = 1, vide figura (10.2)

1) No cırculo trigonometrico o eixo vertical e conhecido como eixo dos senos

2) O eixo horizontl e chamado eixo dos cossenos

3) O eixo tangente e paralelo ao eixo dos senos e passa pelo ponto (1, 0)

4) O cırculo trigonometrico e composto por quatro quadrantes

1) Primeiro Quadrante Vide figura (10.3)

• seno - posetivo

• coseno - posetivo

• tangente - posetivo

• cotangente - posetivo

2) Segundo Quadrante vide figura (10.4)

• seno - posetivo

• coseno - negativo

• tangente - negativo

• cotangente - negativo

3) Terceiro Quadrante vide figura (10.5)

• seno - negativo

• coseno - negativo

• tangente - posetivo

• cotangente - posetivo


cos

sen

−1 1

1

−1

Figura 10.3:

cos

sen

−1 1

1

−1

Figura 10.4:

4) Quarto Quadrante vide figura (10.6)

• seno - negativo

• coseno - posetivo

• tangente - negativo

• cotangente - negativo

Iremos a seguir mostrar um cırculo trigonometrico que servi-lo-a como grande auxilio durante osestudos e na aplicacao pratica de trigonometria


cos

sen

−1 1

1

−1

Figura 10.5:

cos

sen

−1 1

1

−1

Figura 10.6:

10.1.4 Passagem Para o Primeiro Quadrante

Ao longo do cırculo trigonometrico existem quatro pontos importantes,

(0o ou 360o, 90o, 180o e 270o).

Todos angulos ao longo do cırculo trigonometrico podem ser escritos em funcao destes angulos impor-tantes. Assim, por exemplo

120 = 90 + 30 ou 120 = 180− 60,

sao duas maneiras diferentes de expressar o mesmo angulo usando angulos importantes diferentes.Tem sido mais facil trabalhar com angulos do primeiro quadrante, razao pela qual, e importante

saber encontrar apartir de um angulo qualquer dado fora do primeiro quadrante, os respectivos anguloscorrespondetes no primeiro quadrante.

Ao passarmos um angulo para o I quadrante se angulo principal estiver ao longo do eixo horizontal,isto e, se for

180o, 360o

nao alteramos a funcao.


cos

sen

255o =5π

4315o = −45o = −π

4=

7π

4

135o =3π

445o =

π

4

√3

2

−√

32

√2

2

−√

22

12

− 12

√3

2−√

32

√2

2−√

22

12

− 12

210o =4π

3330o = −π

6=

11π

6

150o =5π

630o = −π

6

120o =2π

360o =

π

3

240o =4π

3−60o =

5π

3= −π

3

Figura 10.7:

Exemplo 10.3. Veja o exemplo seguinte

sin(360 + α) = sinα,

porque 360o esta na posicao horizontal, a funcao inicial (seno, para este caso) nao e alterada. De modo

analogo aconteceria se o angulo principal fosse o de 180o.

Sempre que o angulo principal estiver ao longo do eixo vertical, isto e

90o ou 270o

alteramos a funcao,

Exemplo 10.4. veja o seguinte exemplo

sin(90− α) = cosα,


porque 90o esta na posicao vertical, a funcao sin passa para funcao cos .

No processo de passagem para o primeiro quadrante e tambem necessario investigar o sinal dafuncao dada no quadrante correspondente

Exemplo 10.5. determine passando para um angulo do primeiro quadrante

1) (a) sin(360 + α) = sinα

(b) sin(360− α) = − sinα

(c) sin(90− α) = cosα

(d) sin(270 + α) = −cosα

2) (a) cos(360 + α) = · · · · · · · · ·(b) cos(360− α) = cos α

(c) tan(180− α) = · · · · · · · · ·(d) sin(180 + α) = · · · · · · · · ·

3) (a) tan(360 + α) = · · · · · · · · ·(b) tan(360− α) = · · · · · · · · ·(c) sin(180− α) = sinα

(d) sin(270− α) = · · · · · · · · ·

4) (a) cot(360 + α) = · · · · · · · · ·(b) cot(360− α) = · · · · · · · · ·(c) cot(180− α) = · · · · · · · · ·(d) sin(90 + α) = cosα

1) Para achar na primeira volta o angulo correspondente a um angulo dado fora da primeira voltaachamos o resto da divisao do angulo dado por 360o.

Exemplo 10.6. Se quizermos reduzir a primeira volta o angulo de 4750o devemos dividi-lo por

360o e teremos4750360

= 13 +70360

,

portanto o resto da divisao e 70. Dai que teremos

4750o = 70o.

2) Quando reduzimos um determinado angulo que esta fora da primeira volta, devemos primeiroprocurar encontrar seu correspondente na primeira volta e posteriormente no primeiro quadranteassim:

3) Sabendo que 360 graus e o mesmo que zero graus, sempre que um dado angulo completar umavolta, consideramos como se tivesse feito zero graus.

4) e importante verificar se as voltas sao posetivas (sentido nao horario) ou se sao negativas (sentidohotario = sentido dos ponteiros do relogio)


10.1.5 Passagem Para Radianos

Para passar um determinado angulo dado em graus para radianos, basta conhecer a seguinte proporcao

πRadianos = 180 graus

Assim, aplicando a regra de tres simples poderemos mudar qualquer angulo tanto de graus pararadianos versa e vice.

10.1.6 Teorema dos Senos

No triangulo ABC, com lados

a, b, c e angulos A, B, C

A B

C

c

a

b

Figura 10.8:


Cumpre-se a seguinte igualdade

a

sinA=

b

sinB=

c

sinC

Exemplo 10.7. Duas arvores localizam-se em lados opostos do rio Maquival. O angulo entre as linhas

de visao de um observador que as ve e de 120o e o angulo formado por uma dessas linhas e a linha que

une as arvores e de 45o. Sabendo que uma das arvores esta a 100 metros do observador (a terceira

linha mede 100 metros), qual e a distancia entre as arvores

Para resolver este problema devemos recorrer ao teorema dos senos e teremos

100sin 45o

=distancia

sin 120o

de onde teremos100√

22

=distancia

√3

2

⇒ distancia = 100

√32

10.1.7 Teorema dos Cossenos

Suponha que os angulos do triangulo da figura (10.8) sao todos eles diferentes de 90o (o triangulo naoe rectangulo), o teorema dos cossenos, permite-nos a semelhanca do teorema de pitagoras relaccionaros lados do triangulo e um dado angulo, assim teremos:

1) a2 = b2 + c2 − 2bc× cosA

2) b2 = a2 + c2 − 2ac× cosB

3) c2 = a2 + b2 − 2ab× cosC

10.1.8 Area de triangulo

Normalmente, para determinar a area de um triangulo usamos a altura (segmento que forma umangulo de 90 graus). Aqui mostra-se ser possıvel sem a altura, determinar a area de um trianguloABC com lados a, b, c e angulos A,B, C; assim

S =ab sinC

2=

ac sinB

2=

bc sinA

2

Observacao 10.2. Recorde-se da geometria plana que um paralelograma tem superficie igual ao dobro

da superfıcie de um triangulo. Assim, sempre que for necessario calcular a area de um paralelograma

podemos nos concentrar na metade desse paralelogramo (triangulo) e finalmente multiplicamos por


dois obtendo assim a superfıcie do paralelogramo

S = ab sinC = ac sinB = bc sinA


1) Num exercıcio de tiro, o alvo encontra-se numa parede cuja base esta situada a 20m do atirador.Sabendo que o atirador ve o alvo sob um angulo de 10o em relacao a horizontal, calcule adistanciado alvo ao chao.

2) Uma pessoa de 1, 70m de altura ve o ponto mais alto de um edifıcio sob um angulo de 60o .Quando recua 100m , ve o mesmo ponto sob um angulo de 30o . Supondo que a pessoa e oedifıcio estao no mesmo nıvel, determine a altura do edifıcio e a distancia inicial da pessoa aoedifıcio.

3) Sendo x um angulo, simplifique as expressoes:

(a) tanx× cosx

(b) 1− 1cos2 x

, (cosx 6= 0)

(c) cos3 x + cosx× sin2 x

4) Sendo x um angulo, demonstre a iguldade 1 + 2 sinx× cosx = (sinx + cosx)2

5) Exprima em graus:

(a) π6 rd

(b) π5 rd

6) Convirta em radianos:

(a) 3000

(b) 1000

(c) 67o30”

7) Determine com a precisao de 10−4 :

(a) sin π6

(b) cos 5π8

8) Determine a medida de α em radianos (0 < α < 2π), sabendo que:

(a) sinα =√

22

(b) cosα = −1

(c) tanα = −√3

9) Determine o menor valor nao negativo congruente ao arco (reducao a primeira volta positiva):

(a) 685o

(b) 1140o

(c) 15π2 rd


10) Represente no cırculo trigonometrico as extremidades dos arcos, em radianos, por:

(a) x = π4 + kπ

(b) x = −π3 + 2kπ

(c) x = π6 + kπ

11) Num triangulo ABC, sao dados α = 45o, β = 30o e a + b =√

2 + 1. Calcule o valor de a.

12) Num triangulo ABC, sao dados a = 1, b = 3√

2, C = 450. Calcule c.

13) Dois lados de um triangulo medem 6cm e 10cm e formam entre si um angulo de 120o. Calculea medida do terceiro lado.

14) Os lados de um triangulo ABC medem a, b, c e os seus angulos α, β, γ. Determine asua area sabendo que:

(a) a = 3, 2; b = 2, 8; γ = 32o

(b) a = 8, 4; c = 10; β = 115o

15) Calcule a area dum paralelogramo cujos lados medem 8, 4 e 7, 5 sabendo que formam um angulode 72o

16) Calcule a area dum losango de lado 8 e que tem um angulo de 130o.

17) Usando o teorema dos senos e o teorema da area, demonstre que, num triangulo qualquer, a areapode ser dada por S = a2 sin B×sin C

2 sin A


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Capıtulo 11

Funcoes E Equacoes

Trigonometricas

11.1 Funcoes Trigonometricas

Observacao 11.1. Vamos antes de tudo definir funcao periodica.

Exemplo 11.1. Veja os exemplos seguintes

1) Em geral a epoca chuvosa e periodica (nao estou a falar do cenarios dos ultimos anos, por isso

e que faco questao de dizer, em geral)

2) A festa de aniversario de uma determinada pessoa e um evento periodico

3) O pagamento de salarios e um evento periodico.

4) A festa do natal e um evento periodico.

Quando definirmos funcao periodica, estaremos somente a juntar duas palavras conhecidas, funcao

+ periodica. A caracteristica fundamental de uma funcao periodica e a seguinte

f(x + p) = f(x),

onde p e o periodo

Definicao 11.1. Chama-se funcao periodica a toda funcao que depois de um intervalo de existencia

constante ¿O periodoÀ , volta a repetir-se (volta a passar pelos mesmos pontos)

Vamos aqui recordar os nossos conhecimentos de trigonometria elementar.

133


cos

sen

255o =5π

4315o = −45o = −π

4=

7π

4

135o =3π

445o =

π

4

√3

2

−√

32

√2

2

−√

22

12

− 12

√3

2−√

32

√2

2−√

22

12

− 12

210o =4π

3330o = −π

6=

11π

6

150o =5π

630o = −π

6

120o =2π

360o =

π

3

240o =4π

3−60o =

5π

3= −π

3

Figura 11.1:

Revejam o circulo trigonometrico

11.1.1 Funcao Seno

Definicao 11.2. Chama-se funcao seno a funcao dada na forma

f(x) = a sin(bx + k) + c, b 6= 0

onde

• a e a amplitude - e a contraccao do eixo 0y

• b e a contraccao do eixo 0x ou a ampliacao em 0x


1) se b e igual a 2 cada onda contrai-se horizontalmente 2 vezes

2) se b e igual a12

cada onda amplia-se horizontalmente 2 vezes

• A funcao seno e periodica e tem perıodo T =2π

b

• O grafico passa (um dos seus perıodos comeca) pelo ponto bx + k = 0 ⇒ x = −k

b

• Imf = [c− a, c + a]

Exemplo 11.2. Veja alguns exemplos de esbocos graficos de funcoes trigonometricas.

1) y = sin x

x

y

−2π

−π0o

π2ππ

2−π

23π2

− 3π2

Figura 11.2:

2) y = 2 sin(π

2− 2x

)+ 3,

cos

sin

−2π

−π0o

π2ππ

2−π

23π2

− 3π2

x1

Figura 11.3:

3) y = −3 sin(π

2+ 2x

)− 5,


cos

sin

−2π

−π0o

π2ππ

2−π

23π2

− 3π2

x1

Figura 11.4:

11.1.2 Funcao Coseno

Definicao 11.3. Chama-se funcao coseno a funcao dada na forma

f(x) = a cos(bx + k) + c, b 6= 0

onde



1) se b e igual a 3 cada onda contrai-se 3 vezes

2) se b e igual a13


• A funcao coseno e periodica e tem perıodo T =2π

b

• O grafico passa(um dos seus perıodos comeca) pelo ponto bx + k = 0 ⇒ k = −k

b

• Imf = [c− a, c + a]

Exemplo 11.3. Veja alguns exemplos de esbocos graficos de funcoes coseno.

1) y = cosx vide funcao da figura (11.8)

2) y = 2 cos(π

2− 2x

)+ 3,

3) y = −3 cos(π

2+ 2x

)− 5,


x

y

−2π

−π0o

π2ππ

2−π

23π2

− 3π2

Figura 11.5:

cos

sin

−2π

−π0o

π2ππ

2−π

23π2

− 3π2

x1

Figura 11.6:

cos

sin

−2π

−π0o

π2ππ

2−π

23π2

− 3π2

x1

Figura 11.7:


11.1.3 Funcao Tangente

Definicao 11.4. Chamamos funcao tangente a funcao dada na forma

f(x) = a tan(bx + k) + c

onde



1) se b e igual a 3 cada onda contrai-se 3 vezes

2) se b e igual a13


• A funcao tangente e periodica e tem perıodo T =π

b

• O grafico nao passa pelo ponto bx =π

2+ kπ

• Imf =]−∞,+∞[

Exemplo 11.4. 1) y = tanx

x

y

−2π −π 0o π 2ππ2

−π2

3π2

− 3π2

Figura 11.8:

2) y = 2 tan(π

2− 2x

)+ 3, vide figura (11.9)


cos

sin

x1

0o π2

−π2

Figura 11.9:

Observacao 11.2. Geralmente considera-se uma perda de tempo o ensino da funcao cotangete,

pois, quem conhece a funcao tangente, basta que se recorde que

tanx =1

cotxou cotx =

1tanx

,

para resolver qualquer questao relaccionada a funcao cotangente

11.2 Equacoes Trigonometricas

Neste paragrafo, vamos estudar equacoes que envolvem a trigonometria. Dos temas anteriores, oestudante ja sabe o que e uma equacao e o que significa resolver uma equacao, iremos aqui purae simplismente e no uso dos conhecimentos ja adquiridos, tratar de explicar ao estudante como seresolvem equacoes trigonometricas

11.2.1 Seno

sinx = sin a entao x ={

x = a + 2kπ,x = (180− a) + 2kπ,

Exemplo 11.5. Resolver com o Professor as seguintes questoes

1) sinx = 1

2) sinx = −1


3) sinx = 0

4) sinx =12

5) sin 2x =−√3

2

11.2.2 Coseno

cosx = cos a entao x ={

x = a + 2kπ,x = −a + 2kπ,


1) cosx = a

2) cosx = 1

3) cosx = −1

4) cosx = 0

5) cosx =√

22

6) cosx =−√3

2

11.2.3 Tangente

tanx = tan a entao x ={

x = a + kπ,x = a− kπ,

⇒ x = a± kπ


1) tanx = a, a ∈ R+

2) cotx = a, a ∈ R+

3) tanx = 1

4) cotx =√

3

5) tan 2x = −√3

6) 3× tan 2x = −√3

Observacao 11.3. Os estudantes estao ja habituados (quero crer) a resolver uma inequacao, partindo

sempre de uma euqacao. Aqui, nao iremos fugir a regra, portanto para resolver uma inequacao

trigonometrica devemos


1) Transformar a inequacao em uma equacao

2) Resolver a inequacao

3) Identificar a regiao solucao da inequacao

Exemplo 11.8. Professor, resolver com os estudantes as inequacoes que se seguem mostrando-os as

solucoes apartir de esbocos em cırculos trigonometricos.

1) sinx > a

2) sinx < a

3) cosx ≥ a

4) sinx ≤ 0

5) sinx >

√2

2

6) cosx > −√

32

7) tanx > a

8) tanx < −a

9) tanx < −1

10) cosx ≤ −12

11) cosx ≥ 12

11.3 Exercıcios de Aplicacao

1) Construa o grafico (um perıodo completo) das seguintes funcoes, dando o domınio, a imagem eo perıodo.

(a) f(x) = 3 + sinx

(b) f(x) = −3 sin x

(c) f(x) = −1 + 13 sin 3x

(d) f(x) = 1− 2 sin(−x + π)

2) Faca como o exercıcio anterior para as seguintes funcoes:

(a) f(x) = 2 cosx

(b) f(x) = −12 cos 4x

(c) f(x) = 2 cos(

x +3π

2

)− 1

2


3) Idem para:

(a) f(x) = 2 tanx

(b) f(x) = −14 tanx

(c) f(x) = 1 + 4 tan(x− π

2

)

4) Determine, utilizando o cırculo trigonometrico:

(a) sin 150o

(b) tan 5π6

(c) sin 4π3

(d) tan 5π3

5) Determine em funcao do arco x as seguintes expressoes:

(a) sin(

3π

2+ x

)

(b) sin(

3π

2− x

)

6) Exprima em funcao do arco x as seguintes expressoes:

(a) cos(4π + x)

(b) sin(

5π

2− x

)

(c) cos(

9π

2+ x

)

7) Simplifique a expressao cos(5π+x)×tan(4π−x)

sin(π+x)×cos

�π

2− x

�

8) Calcule, usando as formulas de adicao:

(a) sin 5π12

(b) cos 7π12

(c) cos 11π12

9) Simplifique sin 4x× cos 3x− cos 4x× sin 3x

10) Sendo dado 0 ≤ x ≤ π2 e sin x = 4

5 ,

(a) calcule cosx, sin 2x, cos 2x e tan 2x.

(b) em que quadrante se situa o angulo correspondente a 2x?

11) Calcule sin 2x sabendo que sinx + cosx = 1, 2.

12) Demonstre quesin 2x

1− cos2 x=

2tanx

.

13) Sendo dado cos = 12 , com 0 ≤ x ≤ π

2 , determine cos x2 .

14) Sendo dado sinx = 35 , com 0 ≤ x ≤ π

2 , determine sin x2 , cos x

2 e tan x2 .

15) Dada tan x2 = 1

2 , determine sinx, cosx e tanx.

16) Transforme em produto as expressoes seguinres:


(a) sin(2x + y) + sin(2x− y)

(b) sin 7x + sin 5x + sin 3x + sinx

(c) cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos 8x

17) Simplifique a expressao cos 4a+cos 2asin 4a−sin 2a .

18) Transforme em produto a expressao sin2 x− sin2 y.

19) Resolva as seguintes rquacoes em seno:

(a) sin 3x = sin π4

(b) sin(3x− π

4

)= sin π

4

(c) sin(2x− π

4

)= −1

(d) sin(2x− π

3

)=

√3

2

20) Resolva as seguintes equacoes em cosseno:

(a) cosx = cos π3

(b) cos 2x = cos(x− π

6

)

(c) cos(3x− π

4

)= 0

(d) cos(2x− π

3

)= 1

2

21) Resolva as seguintes equacoes em tangente:

(a) tan 3x = tan 2x

(b) tan 3x−√3 = 0

22) Resolva as seguintes equacoes trigonometricas:

(a) cosx− sinx = 0

(b) 2 sin2 x = sin x

(c) sin2 x−1sin x−1 = 0

(d) 3 sinx− 2 sin2 x = 0

23) Resolva as seguintes inequacoes em seno:

(a) sinx ≥ −√

22

(b) 2 sinx =√

2

(c) 0 < sinx < 1

24) Resolva as seguintes inequacoes em cosseno:

(a) cosx ≤ 12

(b) 2 cosx + 1 > 0

(c) 0 < cosx < 1

25) Resolva as seguintes inequacoes em tangente:

(a) tanx <√

33


(b) 3 tanx−√3 > 0

(c) 0 < tanx < 1

26) Resolva as seguintes inequacoes trigonometricas:

(a) cos 2x > 0

(b) sin(2x− π

4

)≥ 1

2

(c) tan(x− π

4

)< −1

(d) 2 sin2 x− 3 sin x + 1 ≥ 0

27) Determine o valor de x de modo que (pode usar calculadora):

(a) x = arccos√

22

(b) x = arctan 6

(c) x = arcsin(cos

π

2

)

Ensinar e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto voceCom a simplicidade construimos o nosso orgulho

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Capıtulo 12

Sucessao e Limites de Sucessoes;

Limite de Funcoes

12.1 Sucessao e Limites de Sucessoes

12.1.1 Sucessoes

Definicao 12.1. Chamaremos de Sucessao a toda e qualquer aplicacao de N∗ = N\{0} em R : Isto

e, aplicacao com domınio igual ao conjunto de numeros Naturais e contradomınio igual ou contido em

R

Exemplo 12.1. Vamos, a seguir, mostrar alguns exemplos de sucessoes.

1) 2; 4; 6; 8; · · · an = 2n; ∀n ∈ N∗

2) 1; 4; 9; 16; · · · an = n2; ∀n ∈ N∗

3) 2; 4; 8; 16; · · · an = 2n; ∀n ∈ N∗

Observacao 12.1. Os termos sao numerados assim: a1, a2, a3, · · · , an; respectivamente, para o

primeiro, segundo, terceiro, e n-esimo termo; onde an e tambem chamado Termo geral da sucessao.

Definicao 12.2. Termo Geral duma sucessao e o termo pelo qual ela e gerada.

Exemplo 12.2. Determine os primeiros tres termos da sucessao de termo geral an = 5 + 7n Iremos

determinar

a1, a2 e a3,

a1 = 5 + 7× 1 = 5 + 7 = 12,

a2 = 5 + 7× 2 = 5 + 14 = 19,

a3 = 5 + 7× 3 = 5 + 21 = 26.

145


12.1.2 Monotonia de uma Sucessao

• Uma sucessao an diz-se crescente se an+1 − an > 0

Exemplo 12.3. Consideremos a sucessao de termo geral an = 2n + 1, nesta sucessao o termo

an+1 = 2(n + 1) + 1 = 2n + 3;

achando a diferenca

an+1 − an

teremos

an+1 − an = 2n + 3− (2n + 1) = 2n + 3− 2n− 1 = 2;

porque 2 e maior que zero dizemos que a sucessao de termo geral an = 2n + 1 e crescente.

• Uma sucessao an diz-se decrescente se an+1 − an < 0

Exemplo 12.4. Consideremos a sucessao de termo geral an =1n

, nesta sucessao o termo

an+1 =1

n + 1;

achando a diferenca

an+1 − an

teremos

an+1 − an =1

n + 1− 1

n=

n

n(n + 1)− n + 1

n(n + 1)=

n− n− 1n(n + 1)

= − 1n(n + 1)

;

porque o denominador e sempre maior do que zero, (veja que o n e maior que zero) dai que a

fraccao toda seja menor do que zero. Dizemos entao que a sucessao de termo geral an =1n

e

decrescente.

• Se an+1 − an = 0; diz-se que a sucessao an e constante.

Exemplo 12.5. Considere a sucessao de termo geral an = 2, nesta sucessao o termo

an+1 = 2

achando a diferenca

an+1 − an

teremos

an+1 − an = 2− 2 = 0

o que nos leva a dizer que a sucessao de termo geral an = 0 e constante


Observacao 12.2. Uma sucessao diz se monotona se for crescente ou decrescente. Isto e, se

uma sucessao for constante dizemos que ela nao e monotona.

Exemplo 12.6. Classifique quanto a monotonia (monotona crescente, monotona decrescente e nao

monotona) as seguintes sucessoes

1) an =n + 1

n

2) an =1

n + 1

3) an = 2− 5n

4) an = (−2)n

5) an = 3n

6) an = −3

12.1.3 Grafico de uma Sucessao

Exemplo 12.7. Veja os seguintes exemplos

1) Seja dada a sucessao

an =1n

O grafico desta sucessao e um grafico e pontos isolados. Vamos construir a tabela de valores e

a partir desta construiremos o espectivo grafico.

n 1 2 3 4 5

an 1 12

13

14

15

Pode constatar se que a sucessao dada tende a aproximar o eixo horizontal na medida em que os

n

an

•• • • • •

Figura 12.1:

valores de n aumentam. Diremos entao que ela tende para zero quando n tende para o infinito.


2) Seja dada a sucessao

an = 1 +1n

,

Vamos construir a tabela de valores e a partir desta construiremos o espectivo grafico.

n 1 2 3 4 5

an 2 32

43

54

65

Do ultimo exemplo vemos do grafico que cada termo fica mais perto de 1, ou ainda que os os

n

an

•• • • • •

Figura 12.2:

valores que a sucessao vai tomando na medida que os valores de n vao aumentando sao cada vez

mais proximos da unidade. Diz-se neste caso que a sucessao converge para 1 quando n tende

para ∞ (infinito). Escreve-se

limn→∞ an = 1

ou simplismente

lim an = 1

12.1.4 Limite de uma Sucessao

A sucessao an converge para o limite k se, ao aumentar o numero n, os termos an da sucessao tendempara o valor k, ou seja, aproximam-se cada vez mais de k. Escreve-se:

limn→∞ an = k

oulim an = k

e diz se que an e Convergente.A sucesao que nao converge, isto e, que nao tem limite e chamada divergente.

12.1.5 Operacoes com Limites de Sucessoes

Suponhamos que an e bn sao sucessoes convergentes com limites respectivamente k1 e k2. Isto e:

lim an = k1 lim bn = k2,

significa que ao aumentar o numero n, os termos de an aproximam-se cada vez mais de k1 enquantoisso os termos de bn aproximam-se cada vez mais de k2 disto podemos concluir:


1) lim(an + bn) = lim an + lim bn = k1 + k2.

2) lim(an − bn) = lim an − lim bn = k1 − k2.

3) liman

bn=

lim an

lim bn=

k1

k2k2 6= 0.

4) lim(an × bn) = lim an × lim bn = k1 × k2.

5) lim(an)p = (lim an)p = kp1.

6) lim pan = plim an = pk1 .

Observacao 12.3. Quando se fala de limite de sucessao, pode nao se escrever a tendencia, pois e

sempre para o infinito.

Vejamos alguns casos importantes Determine o lim kbn sabendo que bn →∞1) lim kbn = 0 se |k| < 1, isto e −1 < k < 1.

2) lim kbn = ∞ se k > 1.

3) lim kbn nao exite se k ≤ −1.

4) lim kbn e indeterminacao se k = 1.

12.1.6 Formas Indeterminadas

Vamos estudar os seguintes tipos de formas basicas:

• ∞∞ e uma indeterminacao

• ∞−∞ e uma indeterminacao

• 00

e uma indeterminacao

• 1∞ e uma indeterminacao

• 0×∞ e uma indeterminacao

Exemplo 12.8. Ache o limite de

1) an =2 + 4nn + 1

substituindo teremos

lim an = lim(

2 + 4nn + 1

)=

∣∣∣∣∣∣∞∞

∣∣∣∣∣∣

para levantarmos a indeterminacao vamos escolher no denominador a parte que mais depressa

corre para o infinito (parte mais velha) e fazemos o mesmo no denominador. Teremos entao:

n →∞⇒ 2 + 4n ∼ 4n n + 1 ∼ n

dai teremos

lim an = lim(

2 + 4n

n + 1

)= lim

4n

n= 4 videfig.(12.3)


n

an

• • • • •

Figura 12.3:

n 1 2 3 4 5

an 3 103 = 3.333(3) 7

2 = 3.5 185 = 3.6 11

3 = 3.666(6)

2) an =3n1n2

fazendo a substituicao teremos

lim an = lim3n2

1n

=[00

]

para levantar esta indeterminacao,vamos fazer a divisao e teremos

3n2

1n

=3n

n2=

3n

de onde teremos

lim3n

= 0

3) an =(

1 + 2n1 + 3n

)3

4) an =(

2n3+4n2 + n3

)2

− 24

5) an =

6n3n

12.1.7 O Numero e

Exemplo 12.9. Veja os seguintes exemplos


1) Seja an =(

1 +1n

)n

vamos pelo metodo grafico determinar o limite de an

n 1 2 3 4 5

an 2 94 = 2.25

(43

)3 ≈ 2.37(

54

)4 ≈ 2.44(

65

)5 ≈ 2.48

n

an

• • • • •e ≈ 2.7183

Figura 12.4:

Pela resolucao deste exercicio pode ver se que

lim an = lim(

1 +1n

)n

= [1∞]

que e uma indeterminacao. Com base no grafico podemos ler que

lim an = lim(

1 +1n

)n

= e.

Observacao 12.4. Suponhamos que an → 1, bn →∞ entao teremos

lim (an)bn = [1∞] = elim(an−1)bn

2) Determine

lim(

n + 2n

)n

.

Se formos a substituir o n pelo infinito teremo uma indeterminacao na base do tipo[∞∞

],

ao levantarmos esta indeterminacao passamos a ter uma outra indeterminacao, a do tipo [1∞] .

para levantarmos este tipo de nao determinacao recorremos ao seguinte:

lim(an)bn = [1∞] = elim(an−1)×bn = elim

n + 2

n− 1

!×n

entao

lim(an)bn = elim

n + 2− n

n

!×n

= elim

2n

!×n

= e2

3) Determine lim(

n + 1n + 2

)2n


12.2 Progressoes

Vamos estudar 2 tipos de progressoes:Progressao Aritmetica e Progressao Geometrica.

12.2.1 Progressao Aritmetica

Definicao 12.3. Chama-se Progressao Aritmetica (P.A) a toda a sucessao em que o termo con-

sequente obtem-se adicionando um certo valor constante ao termo precedente. A este valor constante

da-se o nome de Razao ou Diferenca da P.A. Seja d a razao de um PA, a1 o seu primeiro termo,

a2 = a1 + d, a3 = a2 + d, a4 = a3 + d · · · an = an−1 + d

Exemplo 12.10. Observe seguintes exemplos

1) 1, 3, 5, 7, 9, 11 · · · A Razao desta progressao e 2

2) 10, 7, 4, 1,−2,−5, · · · A razao desta progressao e −3

12.2.2 Termo Geral de uma Progressao Aritmetica.

O termo geral duma P.A. e dado por:

an = a1 + (n− 1)× d ou an = ak + (n− k)d

onde d e a razao da P.A.

Exemplo 12.11. Determine o termo geral e o vigesimo termo das progressoes: 10, 7, 4, 1,−2,−5, · · ·Vamos primeiro achar a razao:

d = an − an−1 = 7− 10 = 1− 4 = −5− (−2 = −3).

O primeiro termo da progressao e a1 = 10 Agora podemos determinar o termo geral:

an = a1 + d(n− 1) = 10 + (n− 1)× (−3) = −3n + 13.

O vigesimo termo ea20 = −3× 20 + 13 = −47.

12.2.3 Soma de n termos de uma Progressao Aritmetica.

A soma de n termos de uma progressao aritmetica e dada pela formula

Sn =a1 + an

2× n;

onde:

• a1 e o primeiro termo dos termos a somar,

• an e o ultimo termo dos termos a somar, e

• n e o numero de termos a somar.

Exemplo 12.12. Dada a progressao: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, · · ·


1) Determine a soma dos primeiros 20 termos da progressao. Para resolver esta questao vamos usara formula

Sn =a1 + an

2× n;

depois de transformada. Sabendo que

an = a1 + (n− 1)d

teremos

Sn =a1 + a1 + d(n− 1)

2× n =

[a1 +

d

2(n− 1)

]n;

substituindoa1 = 1, d = 2, n = 20,

teremos

S20 =[1 +

22(20− 1)

]20 = (1 + 19)20 = 20× 20 = 400;

2) Determinea5 + a6 + a7 + · · ·+ a20

, veja que o primeiro termo da soma e a5 = 9, ultimo termo da soma e

a20 = a1 + d(20− 1) = 1 + 2× 19 = 39

e o numero de termos a somar e n = 16, utilizando a formula obterems

S16 =(

a1 + an

2

)n =

(a5 + a20

2

)16 =

(9 + 39

2

)16 = 384.

12.2.4 Progressao Geometrica

Definicao 12.4. Toda a sucessao cujo termo consequente obtem-se multiplicando o termo precedente

por um numero constante, chama-se Progressao Geometrica (P.G). Ao numero constante, da-se o

nome de razao ou quociente da P.G.

12.2.5 Termo Geral de uma Progressao Geometrica.

O termo geral de uma PG e dado pela formula

an = a1 × qn−1 ou an = ak × qn−k, k < n

Exemplo 12.13. vejamos: 1, 3, 9, 27, 81, · · · E uma P.G. de razao q = 3

Vamos primeiro achar a razao:

q =an − a

n− 1=

31

=93

=279

= 3.

O primeiro termo da progressao e a1 = 1 Agora podemos determinar o termo geral:

an = a1 × q(n−1) = 1× 3n−1.

O vigesimo termo ea20 = 319 = 1162261467.


Exemplo 12.14. Determine o termo geral da progressao seguinte:

2, 6, 18, 54, 162, · · ·

Para determinar o termo geral vamos usas

a1 = 2, q =186

=62

= 3

e teremos

an = a1 × qn−1 = 2× 3n−1

12.2.6 Soma de n termos de uma Progrssao Geometrica.

A soma de n termos de uma PG e dada por

Sn =a1 × (1− qn)

1− q

Onde:

1) a1 e o primeiro termo da soma,

2) n e o numero de termos a somar e

3) q , como ja vimos, e a razao da progressao.

Exemplo 12.15. Determine a soma dos primeiros 5 termos da seguinte progressao geometrica

2, 6, 18, 54, 162 · · ·

Observacao 12.5. para achar a soma destes 5 termos podemos recorrer ao metodo tradicional e

teremos

2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242,

isto o fizemos porque a quantidade de termos e pequena, estamos a somar somente 5 termos. Imagine

que quizessemos somar 500 termos, quanto trabalho teriamos? E nessas ocasioes que se urge impor-

tante usar a formula da soma de n termos de uma P.G. Usando a formula para somar os 5 primeiros

termos da PG teriamos

a1 = 2, q = 3, n = 5,

e teremos

S5 =a1 × (1− q5)

1− q=

2× (1− 35)1− 3

=2× (1− 243)

−2=

2× (−242)−2

= 242

Exemplo 12.16. Resolva seguintes questoes

1) Qual das seguintes sucessoes sao PA ou PG


(a) 3, 5, 2, −1, · · ·

(b) 2, 2, 2, 2, · · ·

(c) 18, 12, 8, 4, · · ·

(d) 5, 7, 9, 11, · · ·

(e) −12,

14, −1

8,

116

, · · ·

2) Construa a formula do termo geral das seguintes PA

(a) 210, 220, 230, 240, · · ·

(b) 10, 12, 14, 16, · · ·

3) Construa a formula do termo geral das seguintes PG

(a) 2, 10, 50, 250, · · ·

(b) 5, 50, 500, 5000, · · ·

4) Ache as seguintes somas

(a) 1 + 2 + 3 + · · ·+ 300

(b) 10 + 12 + 14 + · · ·+ 98

5) Ache as seguintes somas

(a) 2 + 1 +12

+14

+ · · ·

(b)13− 1

9+

127− · · ·

6) Ache a representacao racional de cada uma das fraccoes decimal periodica

(a) 5, 111111 · · ·

(b) 2.5333333 · · ·

12.3 Limite de uma Funcao

Definicao 12.5. Diz-se que o numero b e limite da funcao f(x), quando x tende para a (x → a);

se para qualquer valor xi pertencente a vizinhanca de raio δ > 0 e centro em a tem se

|xi − a| < δ ⇒ |f(xi)− b| < ε

onde ε > 0 e escreve-se

limx→a

f(x) = b,


12.3.1 Calculo de Limite de uma Funcao

Observacao 12.6. Ao calcularmos limite de uma funcao procedemos de maneira analoga ao calculo

de limites de sucessoes. Todos os metodos usados para levantamento de indeterminacoes de sucessoes

sao validos para limites de funcoes.

12.3.2 Indeterminacao do Tipo

00

Exemplo 12.17. veja: limx→2

x− 2x2 − 4

=[00

]

Este tipo de indeterminacao levanta-se:

1) Factorizando, no caso de expressoes racionais, ou

2) Substituindo, para casos de expressoes irracionais, ou

3) Multiplicando pelo conjugado

limx→2

x− 2x2 − 4

= limx→2

x− 2(x + 2)(x− 2)

= limx→2

1x + 2

=14

12.3.3 Limites Laterais

1) Se f(x) tende para o limite b quando x tende para a; tomando apenas valores menores que a,escreve-se:

limx→a−

f(x) = b

O numero b chama-se Limite a Esquerda de f(x) no ponto a

2) Se f(x) tende para o limite c quando x tende para a; tomando apenas valores maiores que a,escreve-se:

limx→a+

f(x) = c

O numero c chama-se Limite a Direita de f(x) no ponto a

Portanto b e c sao chamados Limites Laterais

Exemplo 12.18. Determine os limites laterais das funcoes

1)

f(x) =

3, se x < 2;

x− 1, caso contrario,

Vamos construir o grafico desta funcao para podermos observas os seus limites laterais.

Com base na figura (12.5) constatamos que:

• a esqueda de 2 a funcao tende para 3, limx→2−

f(x) = 3

• a direita de 2 a funcao tende para 1, limx→2+

f(x) = 1


x

y

Figura 12.5:

Definicao 12.6. Diz se que uma funcao tem limite num certo ponto se os seus limites laterais

forem iguais.

Observacao 12.7. Para a funcao esbocada na figura (12.5), porque seus limites laterais sao

diferentes quando x → 2, dizemos que ela nao tem limite quando x → 2.

2)

f(x) =

x2 − 1, se x ∈]−∞, 1[;

−x + 1, x ∈]1;∞[;,

2, x = 1;,

Vamos construir o grafico desta funcao para podermos observas os seus limites laterais.

x

y

Figura 12.6:

Com base na figura (12.6) constatamos que:

• a esqueda de 1 a funcao tende para 0, limx→1−

f(x) = 0

• a direita de 1 a funcao tende para 0, limx→1+

f(x) = 0


Observacao 12.8. Para a funcao esbocada na figura (12.6), porque seus limites laterais sao

iguais quando x → 1 dizemos que ela tem limite e esse limite e igual a zero.

12.3.4 Limites Notaveis

Veja alguns limites notaveis

1) limx→0

sinx

x= 1

x

y

Figura 12.7:

Observacao 12.9. Veja que o grafico da funcao

y =sinx

x

tem um ponto de discontinuidade, que e o ponto de abcissa x = 0, esbocando o grafico podemos

ver que a funcao tende para 1 na vizinhanca de zero. Muitos exercıcios sobre limites de funcoes

trigonometricas resolvem-se com auxilio do limite estudado acima. Razao pela qual chamamos

Limite notavel. Outros limites notaveis sao:

2) limx→0

tanx

x= 1

3) limx→0

ln(x + 1)x

= 1

4) limx→0

ex − 1x

= 1

12.4 Alguns Exercicios Resolvidos

1) Resolva limx→∞

(2x− 1)(3x + 5)(4x− 2)3x3 + x− 2

Aplicando a substituicao, teremos

limx→∞

(2x− 1)(3x + 5)(4x− 2)3x3 + x− 2

=[∞∞

]

pegando as partes mais velhas teremos

limx→∞

(2x− 1)(3x + 5)(4x− 2)3x3 + x− 2

= limx→∞

2x 3x 4x

3x3= lim

x→∞24x3

3x3=

243

= 8


2) Resolva limx→2

x2 − 4x2 − 3x + 2

Aplicando a substituicao, teremos

limx→2

x2 − 4x2 − 3x + 2

=[00

]

factorizando tanto o numerador como o denomınador teremos

limx→2

x2 − 4x2 − 3x + 2

= limx→2

(x + 2)(x− 2)(x− 2)(x− 1)

= limx→2

x + 2x− 1

=41

= 4.

3) Resolva limx→0

√1 + x− 1

3√

1 + x− 1Aplicando a substituicao, teremos

limx→0

√1 + x− 1

3√

1 + x− 1=

[00

]

para fazer com que tanto a raiz do numerador como a do denominador desaparecam facamos om.m.c (menor multiplo comum) de 2 e 3 (ındices das raizes). mmc(2;3)=6, facamos entao

t6 = 1 + x, x → 0 ⇒ t → 1

e

limt→1

t3 − 1t2 − 1

= limt→1

(t− 1)(t2 + t + 1)(t− 1)(t + 1)

= limt→1

t2 + t + 1t + 1

=32.

4) Resolva limx→a

√x−√a

x− aAplicando a substituicao, teremos

limx→a

√x−√a

x− a=

[00

]

Um outro metodo para resolver este tipo de limites (expressoes irracionais) conciste na racional-izacao do denominador e(ou) do numerador. Teremos entao:

limx→a

√x−√a

x− a= lim

x→a

x− a

(x− a)(√

x +√

a)= lim

x→a

1√x +

√a

=1

2√

a.

5) Resolva limx→0

(sin 3x

x

)x+2

.

Vamos achar o limite

limx→0

(sin 3x

x

)= lim

x→0

(3sin 3x

3x

)= 3

e o limitelimx→0

(x + 2) = 2

de onde concluimos que

limx→0

(sin 3x

x

)x+2

= 32 = 9



(x + 12x + 1

)x2

Vamos achar o limite

limx→∞

(x + 12x + 1

)=

[∞∞

]= lim

x→∞

( x

2x

)=

12

e o limitelim

x→∞x2 = ∞

finalmente teremos

limx→∞

(x + 12x + 1

)x2

=(

12

)∞= 0


(x + 1x− 1

)x

Substituindo teremos

limx→∞

(x + 1x− 1

)x

= [1∞]

Vamos levantar a indeterminacao, teremos:

elim

x→∞

x + 1x− 1

− 1!

x

= elim

x→∞

2x− 1

!x

= elim

x→∞

2x

x− 1

!

= elim

x→∞

2x

x

!

= e2

8) limx→∞

(x + 1

x

)x

= e Aplicando a substituicao teremos:

limx→∞

(x + 1

x

)x

= e = [1∞]

vamos levantar a indeterminacao, teremos entao:

limx→∞

(x + 1

x

)x

= elim

x→∞

x + 1

x− 1

!x

= elim

x→∞

1x

!x

= e

9) Resolva limx→∞x[ln(x + 1)− ln(x)]

Substituindo teremoslim

x→∞x[ln(x + 1)− ln(x)] = [∞−∞]

Vamos levantar a indeterminacao, teremos:

limx→∞x[ln(x + 1)− ln(x)] = lim

x→∞x

[ln

x + 1x

]= lim

x→∞ ln(

x + 1x

)x

= ln

[lim

x→∞

(x + 1

x

)x]

como

limx→∞

(x + 1

x

)x

= e

(vide exercıcios anteriores) entao teremos

limx→∞x[ln(x + 1)− ln(x)] = ln e = 1


12.5 Continuidade de Funcoes

Definicao 12.7. A funcao f(x) diz-se contınua no ponto x = x0 se verificam simultaneamente as

seguintes condicoes:

1) A funcao e definida no ponto x = x0; isto e, existe um numero f(x0)

2) Existe limite finito de f(x) quando x tende para x0

3) limx→x0

f(x) = f(x0),

Exemplo 12.19. Verifique se a funcao f(x) = x2 e contınua no ponto x0 = 2

1) A funcao f(x) = x2 e definida em x0 = 2 e f(2) = 4.

2) limx→2

x2 = 4

3) limx→2

x2 = f(2)

Concluimos deste modo que a funcao e contınua.

Observacao 12.10. Se uma funcao nao e contınua, dizemos que ela e Discontınua.

Observacao 12.11. Seja f(x) uma funcao definida num certo intervalo e x0 pertencente a esse

intervalo. Entao, se:

•lim

x→x−0f(x) = f(x0) 6= lim

x→x+0

f(x)

dizemos que ela e contınua a Esquerda.

•lim

x→x+0

f(x) = f(x0) 6= limx→x−0

f(x)

dizemos que ela e contınua a Direita.

12.5.1 Pontos de Descontinuidade

Se num dado ponto x = x0 , a condicao de continuidade e violada, entao x0 chama-se Ponto deDescontinuidade.

Exemplo 12.20. Na funcao

f(x) =x− 1

(x− 2)(x + 1)

e descontınua nos pontos x = 2, x = −1 pois esta funcao nao esta definida nestes pontos. Entao

x = 2, x = −1 sao pontos de descontinuidade para a funcao dada.


12.6 Classificacao dos Pontos de Descontinuidade

12.6.1 Descontinuidade da Primeira Especie

Se para uma funcao f(x) existirem limites laterais finitos e diferentes, isto e,

1) ∃ limx→x−0

f(x)

2) ∃ limx→x+

0

f(x)

3) limx→x−0

f(x) 6= limx→x+

0

f(x)

entao o ponto de descontinuidade x = x0 chama-se Ponto de Descontinuidade da PrimeiraEspecie do Tipo Salto.

Se limx→x−0

f(x) = limx→x+

0

6= f(x0, ) entao o ponto de descontinuidade x = x0 chama-se Ponto de

Descontinuidade da Primeira Especie Eliminavel ou Evitavel.

Exemplo 12.21. 1) A funcao [vide figura (12.8)]

f(x) =

x + 1, se x ≥ 2;

−x, x < 2.

x

y

Figura 12.8:

e descontınua no ponto x = 2, Classifique o tipo de descontinuidade.

12.6.2 Descontinuidade da Segunda Especie

Se para uma funcao f(x) pelo menos um dos limites laterais for ∞ ; a descontinuidade e da segundaespecie.



x

y

Figura 12.9:

1) Investigue a continuidade da funcao y =1x

, esta funcao e homografica e tem a = 0, b = 1, c =

1, d = 0,

pelo grafico da figura (12.9) podemos fazer as seguintes leituras

(a) limx→0+

= +∞

(b) limx→0−

= −∞

(c) A funcao e no ponto x = 0 discontinua (discontinuidade de segunda especie).

2) Investigue a continuidade da funcao y =x− 1

(x− 2)(x + 1), pelo grafico da figura (12.10) podemos

fazer as seguintes leituras

(a) limx→−1−

= −∞

(b) limx→−1+

= +∞

(c) limx→2−

= −∞

(d) limx→2+

= +∞

(e) A funcao e nos pontos x = −1 e x = 2 discontinua (discontinuidade de

segunda especie).


1) Determine os primeiros 4 termos das sucessoes seguintes:

(a) Un =√

n

(b) Un =(

12

)n


x

y

Figura 12.10:

2) Calcule os tres termos seguintes e o temo geral das seguintes sucessoes:

(a) 12 , 1

6 , 19 , ...

(b) 1, 15 , 1

9 , ...

3) Os numeros totais de diagonais que se podem titar de todos os vertices de um poligono formamuma sucessao. Definiremos o termo geral Un desta sucessao como sendo o numero total dediagonais de um poligono de n vertices.

(a) Explique porque esta definicao so tem sentido a partir de n = 4.

(b) Calcule os primeiros 4 termos da sucessao.

(c) Determine o termo geral da sucessao.

4) Determine, caso exista, o limite das seguintes sucessoes:

(a) Un = 1− 2n2

(b) Un = 2n

(c) Un = 14n−3

(d) Un = 2−n2

n

(e) Un = 1+3n

3n

5) Determine:

(a) lim(

n2

n2 − 6− 1

n

)

(b) lim(

2n +12n

)

(c) lim(

2n2 + 2n2 − 1

)6

(d) lim 3

√27− 1

n


(e) lim 3n

3n+4n

6) Calcule:

(a) lim(

n + 1n

)n2

(b) lim(

1 +1

2n + 1

)n

(c) lim(

1 +1kn

)n

7) Investigue a continuidade da seguinte funcao: f(x) = x2−3x+2x2+x+1

.

8) Determine, caso existam, as equacoes das assimptotas das seguintes funcoes:

(a) y = tanx

(b) y = 1x2−1

(c) y = 1(x−1)2

(d) y = x2+xx

(e) y = 1sin x

(f) y = 2 + 1√x

(g) y = 51−x − 5

(h) y = arctanx + 10

(i) y = 1ln |x|

9) Calcule:

(a) limx→1

2x2−5x+8x2+1

(b) limx→3

x−3√3−x

(c) limx→4

√x−2

x−4

(d) limx→a

x2−axa−x

(e) limx→p

x−√p

x2−p

(f) limx→∞

(1 +

k

x

)x

(g) limx→0

√2x+1−√x+1

sin x

(h) limx→0

sin 4xtan x

(i) limx→0

sin x−tan xx

(j) limx→0

sin x2

8x

Determine se e contınua a funcao f(x) = sin x|x| , f(0) = 1.

10) tem Seja f uma funcao definida por f(x) ={

3x x ≤ −1x2 − x + p x > −1

. Determini p para que a

funcao f seja contınua.


11) Determine se e contınua a funcao f(x) ={

x2 − 1, x ≤ 0;|x2 − 1|, x > 1.


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Capıtulo 13

Calculo Diferencial

13.1 Conceito de Derivada

Definicao 13.1. Seja dada um funcao f(x) que e definida num certo domınio D. Suponhamos que

x1 e x2 sao dois pontos pertencentes a D, e x2 > x1 chamaremos de incremento de f a funcao

dada pela expressao

∆y = f(x2)− f(x1).

Definicao 13.2. Sejam x1 e x2 dois pontos pertencentes a D, e D e o domınio de definicao de uma

funcao f(x)suponhamos ainda que x2 > x1, chamaremos de incremento de x a expressao

∆x = x2 − x1.

x

y2x

x1 x2

f(x1)

f(x2)

∆y

∆x

Figura 13.1:

Observacao 13.1. Na figura abaixo vamos tracar a partir do grafico anterior um segmento que une

os pontos f(x1) e f(x2)

167


x

y2x

x1 x2

f(x1)

f(x2)

Figura 13.2:

Podemos ver que estamos na presenca de um triangulo com pontos em (x1, f(x1)); (x2, f(x1))

e (x2, f(x2)). Da trigonometria sabemos que o quociente dos catetos (oposto pelo adjacente) a um

determinado angulo corresponde a tangente a esse angulo; sabemos tambem que a tangente a um

determinado angulo dita o coeficiente angular da hipotenusa, isto e, o grau de inclinacao da hipotenusa.

A ser assim,∆y

∆x=

cateto opostocateto adjacente

e o coeficiente angular (declive do segmento que une f(x1) com f(x2)

Observacao 13.2. Vejamos o seguinte, como

∆y = f(x2)− f(x1) e ∆x = x2 − x1 ⇒ x2 = x1 + ∆x

e

∆y = f(x1 + ∆x)− f(x1)

Definicao 13.3. Suponhamos agora que a distancia entre os pontos x1 e x2 e menor, isto e

x2∼= x1 ⇒ x2 − x1

∼= 0 ⇒ ∆x → 0

Suponhamos ainda que nestas condicoes existe o limite

lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

f(x1 + ∆x)− f(x1)∆x

este limite e igual a derivada da funcao f(x) em x1 e denota-se f ′(x1).

Definicao 13.4. A funcao que determina a relaccao entre os valores de x e as derivadas nesses pontos

chamamos de funcao derivada e denota-se f ′(x)

Exemplo 13.1. Consideremos alguns exemplos.


1) Usando a definicao de derivada determine a deriva de f(x) = 2 Vamos achar ∆y a parte.

Consideremos um x qualquer pertencente ao domınio de f(x). Veja que esta funcao e constante

, portanto f(x) = 2 e f(x + ∆x) = 2 dai teremos que

∆y = f(x + ∆x)− f(x) = 22 − 22 = 0

Passemos agora ao calculo do limite

lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

0∆x

= 0

dizemos entao que

f ′(x) = 0 e por exemplo f ′(0) = 0; f ′(2) = 0; f ′(4) = 0.

2) Usando a definicao de derivada determine a deriva de f(x) = x Vamos achar ∆y a parte.

Consideremos um x qualquer pertencente ao domınio de f(x).

∆y = f(x + ∆x)− f(x) = (x + ∆x)− x = ∆x


lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

∆x

∆x= 1

dizemos entao que

f ′(x) = 1, e por exemplo f ′(0) = 1; f ′(2) = 1; f ′(4) = 1.

3) Usando a definicao de derivada determine a deriva de f(x) = 3x Vamos achar ∆y a parte.


∆y = f(x + ∆x)− f(x) = 3(x + ∆x)− 3x = 3∆x


lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

3∆x

∆x=

[00

]

levantamos a indeterminacao (simplificando a expressao) teremos

lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

31

= 3

dizemos entao que



4) Usando a definicao de derivada determine a deriva de f(x) = 2x + 1 Vamos achar ∆y a parte.


∆y = f(x + ∆x)− f(x) = [2(x + ∆x) + 1]− (2x + 1) = 2x + 2∆x + 1− 2x− 1 = 2∆x


lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

2∆x

∆x= 2

dizemos entao que


5) Usando a definicao de derivada determine a deriva de f(x) = x2 Vamos achar ∆y a parte.


∆y = f(x + ∆x)− f(x) = (x + ∆x)2 − x2 = x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2 = 2x∆x + (∆x)2


lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

2x∆x + (∆x)2

∆x=

[00

]


lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

2x + ∆x

1= 2x

dizemos entao que

f ′(x) = 2x, e por exemplo f ′(0) = 2× 0; f ′(2) = 2× 2 = 4; f ′(4) = 2× 4 = 8.

6) Usando a definicao de derivada determine a deriva de f(x) = x2 + 5x Vamos achar ∆y a parte.


∆y = f(x + ∆x)− f(x) = (x + ∆x)2 + 5(x + ∆x)− (x2 + 5x) =

= x2 + 2x∆x + (∆x)2 + 5x + 5∆x− x2 − 5x = (∆x)2 + 2x∆x + 5(∆x)


lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

(∆x)2 + 2x∆x + 5(∆x)∆x

=[00

]


lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

∆x + 2x + 51

= 2x + 5

dizemos entao que

f ′(x) = 2x+5, e por exemplo f ′(0) = 2×0+5 = 5; f ′(2) = 2×2+5 = 9; f ′(4) = 2×4+5 = 13.


7) Usando a definicao de derivada determine a deriva de f(x) = x3 Vamos achar ∆y a parte.


∆y = f(x + ∆x)− f(x) = (x + ∆x)3 − x3 = x3 + 3x2∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 − x3 =

= 3x2∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3


lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

3x2∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3

∆x=

[00

]


lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

3x2 + 3x∆x + (∆x)2

1= 3x2

dizemos entao que

f ′(x) = 3x2, e por exemplo f ′(0) = 3× 02 = 0; f ′(2) = 3× 22 = 12; f ′(4) = 3× 42 = 48.

8) Usando a definicao de derivada determine a deriva de f(x) =1x

Vamos achar ∆y a parte.


∆y = f(x + ∆x)− f(x) =1

x + ∆x− 1

x=

x− x−∆x

x(x + ∆x)=

= − ∆x

x(x + ∆x)

Calculemos tambem∆y

∆x

∆y

∆x= −

∆x

x(x + ∆x)∆x

= − ∆x

x∆x(x + ∆x);


lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0− ∆x

x∆x(x + ∆x)=

[00

]


lim∆x→0

∆y

∆x= − lim

∆x→0

1x(x + ∆x)

= − 1x2

dizemos entao que

f ′(x) = − 1x2

, e por exemplo @f ′(0); f ′(2) = − 122

= −14; f ′(4) = − 1

42= − 1

16.


9) Usando a definicao de derivada determine a deriva de f(x) =1x2

Vamos achar ∆y a parte.


∆y = f(x + ∆x)− f(x) =1

(x + ∆x)2− 1

x2=

x2 − (x + ∆x)2

x2(x + ∆x)2=

=x2 − x2 − 2x∆x− (∆x)2

x2(x + ∆x)2= −2x∆x + (∆x)2

x2(x + ∆x)2

Calculemos tambem∆y

∆x

∆y

∆x= −

2x∆x + (∆x)2

x2(x + ∆x)2

∆x= − 2x∆x + (∆x)2

x2(x + ∆x)2∆x= − 2x + ∆x

x2(x + ∆x)2


lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0− 2x + ∆x

x2(x + ∆x)2= −2x

x4= − 2

x3.

dizemos entao que

f ′(x) = − 2x3

, e por exemplo @f ′(0); f ′(2) = − 223

= −14; f ′(4) = − 2

43= − 1

32.

10) Usando a definicao de derivada determine a deriva de f(x) =√

x Vamos achar ∆y a parte.


∆y = f(x + ∆x)− f(x) =√

x + ∆x−√x

racionalizando o numerador (multiplicando pelo seu conjugado) teremos

∆y =(√

x + ∆x−√x)(√

x + ∆x +√

x)√x + ∆x +

√x

=∆x√

x + ∆x +√

x

Calculemos tambem a parte∆y

∆xteremos

∆y

∆x=

∆x

∆x(√

x + ∆x +√

x)

e simplificando a expressao teremos

∆y

∆x=

1(√

x + ∆x +√

x)


lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

∆y

∆x=

1(√

x + ∆x +√

x)=

12√

x.

dizemos entao que

f ′(x) =1

2√

x, e por exemplo @f ′(0); f ′(2) =

12√

2; f ′(4) =

12√

4=

14.


11) Usando a definicao de derivada determine a deriva de f(x) = sinx Vamos achar ∆y a parte.


∆y = f(x + ∆x)− f(x) = sin(x + ∆x)− sinx (13.1)

vamos usar as formulas trigonometricas, lembre-se que

sin p− sin q = 2 sinp− q

2cos

p + q

2(13.2)

aplicando (13.2) em (13.1) teremos

lim∆x→0

2sin

(∆x

2

)cos

(2x + ∆x

2

)

∆x


lim∆x→0

2sin

(∆x

2

)cos

(2x + ∆x

2

)

∆x.

Lembre-se que

limx→0

sinx

x= 1

entao

lim∆x→0

2sin

(∆x

2

)cos

(2x + ∆x

2

)

2(

∆x

2

) =

= lim∆x→0

sin(

∆x

2

)

(∆x

2

) × cos(

2x + ∆x

2

) = lim

∆x→0

[1× cos

(2x + ∆x

2

)]= cosx

12) Usando a definicao de derivada determine a deriva de f(x) = cosx Vamos achar ∆y a parte.


∆y = f(x + ∆x)− f(x) = cos(x + ∆x)− cosx (13.3)

vamos usar as formulas trigonometricas, lembre-se que

cos p− cos q = −2 sinp + q

2sin

p− q

2(13.4)

aplicando (13.4) em (13.3) teremos

lim∆x→0

−2sin

(2x + ∆x

2

)sin

(∆x

2

)

∆x



lim∆x→0

−2sin

(2x + ∆x

2

)sin

(∆x

2

)

∆x.

Lembre-se que

limx→0

sinx

x= 1

entao

lim∆x→0

−2sin

(2x + ∆x

2

)sin

(∆x

2

)

2(

∆x

2

) =

= − lim∆x→0

sin(

∆x

2

)

(∆x

2

) × sin(

2x + ∆x

2

) = − lim

∆x→0

[1× sin

(2x + ∆x

2

)]= − sinx

Observacao 13.3. Segundo a definicao podemos calcular a derivada de qualquer funcao, muito em-

bora nao seja tao facil para algumas funcoes um pouco mais complicadas. Existem no entanto um

conjunto de formulas e regras que ajudam a determinacao da derivada de qualquer funcao.

13.2 Derivacao por Tabela

Vamos a seguir apresentar um conjunto de regras que podem ser usadas para a derivacao, estas regras,auxiliam-se a tabela de derivadas

13.2.1 Regras de Derivacao

Seja x ∈ R, p e uma constante real , f, g, t sao funcoes de x entao cumpre-se o seguinte:

1)x′ = 1. (13.5)

2)t(x) = xp ⇒ t′(x) = pxp−1. (13.6)

3)t(x) = pf(x) ⇒ t′(x) = pf ′(x). (13.7)

4)t(x) = f(x) + g(x) ⇒ t′(x) = f ′(x) + g′(x). (13.8)

5)t(x) = f(x)× g(x) ⇒ t′(x) = f ′(x)g(x) + g′(x)f(x). (13.9)


6)

t(x) =f(x)g(x)

⇒ t′(x) =f ′(x)g(x)− g′(x)f(x)

g2(x). (13.10)

7)t(x) = f(g(x)) ⇒ t′(x) = f ′(g(x))g′(x). (13.11)

13.2.2 Tabelas de Derivacao

Seja x ∈ R, p e uma constante real , f, g, t sao funcoes de x entao cumpre-se o seguinte:

1) t(x) = p ⇒ t′(x) = 0.

2) t(x) =√

x ⇒ t′(x) =1

2√

x, x > 0.

3) t(x) = sin x ⇒ t′(x) = cosx.

4) t(x) = cos x ⇒ t′(x) = − sinx.

5) t(x) = tan x ⇒ t′(x) =1

cos2 x.

6) t(x) = cot x ⇒ t′(x) = − 1sin2 x

.

7) t(x) = arcsinx ⇒ t′(x) =1√

1− x2, (−1 < x < 1).

8) t(x) = arccosx ⇒ t′(x) = − 1√1− x2

, (−1 < x < 1).

9) t(x) = arctanx ⇒ t′(x) =1

1 + x2.

10) t(x) = arcctgx ⇒ t′(x) = − 11 + x2

.

11) t(x) = ax ⇒ t′(x) = ax ln a, (a > 0).

12) t(x) = ex ⇒ t′(x) = ex ln e = ex.

13) t(x) = lnx ⇒ t′(x) =1x

, (x > 0).

14) t(x) = loga x ⇒ t′(x) =1

x ln a, (x > 0, a > 0).

Exemplo 13.2. Iremos em seguida apresentar alguns exemplos da aplicacao das regras e tabelas de

derivadas.

1) Derive y = x5 − 4x3 + 2x− 3

Como estamos na presenca de um polinomio podemos derivar monomio a amonomio auxiliando-

nos da regra (13.8) e (13.6) teremos

y′ = 5x4 − 4× 3x2 + 2 = 5x4 − 12x2 + 2.


2) Derive y = ax2 − bx + c, a 6= 0.

derivaremos monomio a amonomio auxiliando-nos da regra (13.8) e (13.6) teremos

y′ = 2ax− b.

3) Derive y =2x + 3

x2 − 5x + 5Estamos na presenca de uma fraccao, auxiliando-nos da regra (13.10) teremos

y′ =2(x2 − 5x + 5)− (2x− 5)(2x + 3)

(x2 − 5x + 5)2=−2x2 − 6x + 25(x2 − 5x + 5)2

.

4) Derive y = 5 sinx− 4 cos x

Temos que derivar funcoes trigonometricas, auxiliamo-nos na regra (13.7) e (13.8), teremos

y′ = 5 cosx− 4× (− sinx) = 5 cosx + 4 sinx.

5) Derive y = x2 arctanx

Auxiliados na regra (13.9) teremos

y′ = 2x arctanx +x2

x2 + 1.

6) Derive y = x6ex

Trata-se da derivada de producto que contem funcao exponencial. Auxilamo-nos a regra (13.9)

teremos

y′ = 6x5ex + x6ex.

7) Derive y = ex arcsinx

Trata-se da derivada de producto que contem funcao exponencial e trigonometrica. Auxilamo-

nos a regra (13.9) teremos

y′ = ex arcsinx +ex

√1− x2

.

8) Derive y = lnx lg x

Trata-se da derivada de producto que contem funcao logarıtmica. Auxilamo-nos a regra (13.9)

teremos

y′ =lg x

x+

lnx

x ln 10.

9) Derive y = (1 + 2x)50

Estamos na presenca de uma funcao composta. Auxilamo-nos a regra (13.11) teremos

y′ = 50(1 + 2x)49(1 + 2x)′ = 50(1 + 2x)492 = 100(1 + 2x)49.


10) Derive y =(

3x + 15

)4

teremos

y′ = 4(

3x + 15

)3 (3x + 1

5

)′= 4

(3x + 1

5

)3 (35

)=

125

(3x + 1

5

)3

.

11) Derive y =√

1− x2

Estamos na presenca de uma funcao composta. Auxilamo-nos a regra (13.11) teremos

y′ =(1− x2)′

2√

1− x2=

−2x

2√

1− x2= − x√

1− x2.

12) Derive y = (2− 3 sin 2x)6

teremos

y′ = 6(2− 3 sin 2x)5(2− 3 sin 2x)′ = 6(2− 3 sin 2x)5(−3 cos x)(2x)′ =

= −18(2− 3 sin 2x)5 cosx× 2 = −36(2− 3 sin 2x)5 cosx.

13) Derive y =√

1− arctanx

teremos

y′ =(1− arctanx)′

2√

1− arctanx=

−(

11 + x2

)

2√

1− arctanx=

= − 1(1 + x2)(2

√1− arctanx)

.

14) Derive y = arcsin(

x√1 + x2

)

y′ =

(x√

1 + x2

)′

√1−

(x√

1 + x2

)2(13.12)

Simplificando esta expressao teremos

y′ =

(x√

1 + x2

)′

√1

1 + x2

=(

x√1 + x2

)′√1 + x2 (13.13)

Supondo que

y1 =x√

1 + x2

calculamos y′1

y′1 =(

x√1 + x2

)′=

√1 + x2 − x× (1 + x2)′

2√

1 + x2

1 + x2=

√1 + x2 − 2x2

2√

1 + x2

1 + x2(13.14)


simplificando esta expressao (achando mmc no numerador) teremos

y′1 =1

(1 + x2)√

1 + x2(13.15)

Aplicando (13.15) em (13.13) teremos

y′ =1

1 + x2

15) Derive y = arctan lnx

Sabendo que (arctan t)′ =1

1 + t2entao:

y′ =(lnx)′

1 + ln2 x=

1x(1 + ln2 x)

13.2.3 Exercicios Propostos

Determine a derivada das seguintes funcoes

1) y = sin3 5x cos2x

3

2) y = − 112(x− 2)3

− 4x− 3

3) y = − 154(x− 3)5

− 103(x− 3)4

− 12(x− 3)2

4) y =x7

7(1− x3)5

5) y =√

2x2 − 2x + 1x

6) y =x√

2x2 − 2x + 1

7) y =x

a2√

a2 + x2

8) y =x3

3√

(1 + x2)3

9) y =23

3√

x2 +187

x 6√

x +95x

3√

x2 +613

x3 5√

x

10) y =18

3√

(1 + x3)8 − 15

3√

(1 + x3)6

11) y =45

4

√x− 1x + 3

12) y = x5(b− 3x4)5

13) y =(

a + bxn

a− bxn

)k

14) y =9

7(x− 3)4− 4

(x− 3)3+

2(x + 2)2

− 7(x− 3)3


15) y = (a− x)√

a + x

16) y =√

(x− a)(x− b)(x− c)(x− d)

17) y = 7√

x + 5√

x

18) y = (2x + 1)(3x− 2)√

3x− 5

19) y =1√

2ax− x4

20) y = ln( 3√

1 + ax − 3x)− ln(√

1 + ex + loga x)

21) y =cos3 x(3 cos4 cos5 x− 5)

15

22) y =(tanx−1)(tan4 x + 7 tan5 x− arctanx)

3 tan3 x

23) y = tan( cos3 x)

24) y =12

sinx2

25) y = sin7(x− 2 cos x4)

26) y = 4 sinx cos2 x2 + sinx2

27) y =tan3 x

3− tanx + x

28) y = − cosx

4 sin4 x+

43

cotx

29) y =√

a sin2 x + b cosx2

30) y = arctanx sinα

1 + x cosβ

31) y = sinx a

32) y = 6√

eax+b

33) y = ecos2 x

34) y =√

cosxa√

sin x

35) y = ln(x +√

a2 + x2)

36) y = x− 2√

x + 2 ln(1 + 5√

x

37) y =x

ln3 x

38) y = ln cosx− 2x2

39) y = ln(x− a)2

x3 + b

40) y = ln ln ln lnx

Observacao 13.4. 1)


2) Estudo da Primeira Derivada

(a) Se a primeira derivada de f(x) for posetiva numa regiao do domınio da funcao f(x), entao

a funcao e crescente nessa regiao.

(b) Se a primeira derivada de f(x) for negativa numa regiao do domınio da funcao f(x), entao

a funcao e decrescente nessa regiao

(c) Se a primeira derivada de f(x) for igual a zero num determinado ponto do domınio da

funcao f(x), entao a funcao atinge um maximo relactivo ou local nesse ponto.

3) Estudo da Segunda Derivada

(a) Se a segunda derivada de f(x) for posetiva numa regiao do domınio da funcao f(x), entao

a funcao tem concavidade virada para cima nessa regiao.

(b) Se a segunda derivada de f(x) for negativa numa regiao do domınio da funcao f(x), entao

a funcao tem concavidade virada para baixo nessa regiao

(c) Se a segunda derivada de f(x) for igual a zero num determinado ponto do domınio da

funcao f(x), entao a funcao tem uma inflexao nesse ponto.

Veja os exercıcios resolvidos.

13.3 Exercıcios Resolvidos

1) Consideremos a funcao f(x) = x2 − 1,

(a) ache a primeira e segunda derivadas.

(b) Estude a monotonia e a concavidade de f(x)

ResolucaoUsando as regras de derivacao teremos

f ′(x) = 2x f ′′(x) = 2

Vamos esbocar no mesmo grafico as tres funcoes


x

y

x2 − 1

2x

2

Figura 13.3:

Da Leitura do grafico e dos nossos conhecimentos sobre diferenciacao tiramos as seguintes con-clusoes

• A funcao dada e quadratica com valor de a posetivo (concavidade virada para cima).

• A funcao tem um mınimo igual a -1 quando x = 0,

• A funcao derıvada tem zero no ponto onde a funcao f(x) atinge um extremo relactivo(mınimo).

• A segunda derivada e posetiva e igual a 2, por isso a concavidade da parabola e virada paracima.

• A primeira derivada de f(x) e negativa no intervalo ] −∞; 0[ e nesse intervalo a funcaof(x) e decrescente.

• A primeira derivada de f(x) e posetiva no intervalo ]0; +∞[ e nesse intervalo a funcao f(x)e crescente.

2) Consideremos a funcao f(x) = x3 − 3x2 + 2x,

(a) ache a primeira e segunda derivadas.

(b) Estude a monotonia e a concavidade de f(x)

(c) Determine os seus extremos relactivos

ResolucaoUsando as regras de derivacao teremos

f ′(x) = 3x2 − 6x + 2 f ′′(x) = 6x− 6

Vamos esbocar no mesmo grafico as tres funcoes, f(x), f ′(x), f ′′(x)


x

y

3x2 − 6x + 2

6x− 6

x3 − 3x2 + 2x

Figura 13.4:

Da Leitura do grafico e dos nossos conhecimentos sobre diferenciacao tiramos as seguintes con-clusoes

• A funcao dada e cubica e por isso tem 3 raizes, xa = 0, xb = 1, xc = 2.

• A funcao derivada f ′(x) = 3x2 − 6x + 2 tem concavidade virada para cima, tem zeros

nos pontos x1 = 1 − 1√3

e x2 = 1 +1√3

onde a funcao f(x) atinge extremo relactivo

(maximo em x1 ) e (mınimo em x2 ). Veja que estes extremos sao mesmo relactivos, pois

nao e verdade que o maximo valor que a funcao toma e atingido em 1− 1√3

e tambem nao

e verdade que o mınimo valor que a funcao toma e atingido em 1 +1√3.

• A funcao f(x) tem um mınimo relactivo (local) igual a f

(1 +

1√3

).

• A funcao f(x) tem um maximo relactivo (local) igual a f

(1− 1√

3

).

• A segunda derivada e uma funcao linear que e negativa quando x < 1 onde a concavidadede f(x) e virada para baixo.

• A segunda derivada e posetiva quando x > 1 onde a concavidade de f(x) e virada paracima.

• No ponto x = 1 a concavidade de f(x) nao esta virada para cima nem para baixo, dizemosentao que e o ponto de inflexao, e e ai onde f ′′(x) = 0.

3) Faca o estudo completo da seguinte funcao y =x2 − 4x2 + 1

ResolucaoAntes de mais vamos recordar que o estudo completo da funcao e um processo constituido porseguintes passos:

• Determinacao do Domınio da funcao.

• Determinacao dos zeros da funcao.


• Determinacao de f ′(x) e f ′′(x).

• Determinacao dos zeros da primeira (extremos relactivos) e segunda derivada (pontos deinflexao).

• Determinacao das assimptotas.

• Estudo do sinal (com base no sinal da primeira derivada).

• Estudo da concavidade da funcao (com base no sinal da segunda detivada).

• Esboco grafico.

(a) Determinacao do Domınio da funcao.

f(x) =x2 − 4x2 + 1

, Df : x ∈ R

veja que o denominador nao e igual a zero para qualquer valor de x ∈ R.

(b) Determinacao dos zeros da funcao.Para determinarmos os zeros da funcao teremos

f(x) = 0 ⇒ x2 − 4x2 + 1

= 0 ⇒ x2 − 4 = 0 ⇒ x = ±2.

(c) Determinacao de f ′(x) e f ′′(x).i.

f ′(x) =(x2 − 4)′(x2 + 1)− (x2 − 4)(x2 + 1)′

(x2 + 1)2=

2x(x2 + 1)− 2x(x2 − 4)(x2 + 1)2

=

=2x(x2 + 1− x2 + 4)

(x2 + 1)2=

10x

(x2 + 1)2

ii.

f ′′(x) =10x

(x2 + 1)2=

(10x)′(x2 + 1)2 − 10x[(x2 + 1)2

]′(x2 + 1)4

=

=10(x2 + 1)2 − 10x

[2(x2 + 1)2x

]

(x2 + 1)4=

10(x2 + 1)2 − 40x2(x2 + 1)(x2 + 1)4

=

=10(x2 + 1)[x2 + 1− 4x2)

(x2 + 1)4=

10(x2 + 1)(1− 3x2)(x2 + 1)4

(d) Determinacao dos zeros da primeira derivada (extremos relactivos) e segunda derivada(pontos de inflexao). Vamos determinar os zeros da primeira e segunda derivadai.

f ′(x) = 0 ⇒ 10x

(x2 + 1)2= 0 ⇒ 10x = 0 ⇒ x = 0

ii.

f ′′(x) = 0 ⇒ 10(x2 + 1)(1− 3x2)(x2 + 1)4

= 0 ⇒ 10(x2 + 1)(1− 3x2) ⇒ 1− 3x2 = 0

⇒ −3x2 = −1 ⇒ x2 =13⇒ x = ± 1√

3

(e) Determinacao das assimptotas.i. A funcao dada nao tem assimptotas verticais. Veja que ela tem o domınio x ∈ R.

e nao so.@a tal que lim

x→af(x) = ∞


ii. Determinemos as assimptotas horizontais (versos - oblıquas) Vamos achar

k1 = limx→+∞

f(x)x

= limx→+∞

x2 − 4(x2 + 1)x

=[∞∞

]

Procuramos levantar a indeterminacao

k1 = limx→+∞

x2

x3= lim

x→+∞1x

= 0.

b1 = limx→+∞[f(x)− k1x] = lim

x→+∞x2 − 4x2 + 1

= 1.

dai temos que a assimptota obliqua e igual a

y = k1x + b1 = 0x + 1 = 1

neste caso temos o caso particular de assiptota obliqua que e (assimptota horizon-tal).Achemos

k2 = limx→−∞

f(x)x

= limx→−∞

x2 − 4(x2 + 1)x

=[∞∞

]

Procuramos levantar a indeterminacao

k2 = limx→−∞

x2

x3= lim

x→−∞1x

= 0.

b2 = limx→−∞[f(x)− k2x] = lim

x→−∞x2 − 4x2 + 1

= 1.

dai temos que a assimptota obliqua e igual a

y = k2x + b2 = 0x + 1 = 1.

neste caso temos o caso particular de assiptota obliqua que e (assimptota horizon-tal).Vemos que neste caso, a funcao tem somente uma assimptota, que e a recta y = 1.

(f) Estudo do sinal (com base no sinal da primeira derivada). A primeira derivada e

f ′(x) =10x

(x2 + 1)2.

Esta funcao e negativa a esquerda de zero(f(x) e decrescente a direita de zero). f ′(x)e posetiva a direita de zero (f(x) e crescente a direita de zero).

(g) Estudo da concavidade da funcao (com base no sinal da segunda detivada).

f ′′(x) =10(x2 + 1)(1− 3x2)

(x2 + 1)4

ao estudarmos o sinal desta funcao vamos somente estudar o sinal de (1− 3x2) pois osoutros factores sao sempre posetivos. teremos

x ∈]−∞;− 1√3[∪]

1√3, +∞[ f ′′(x) < 0 concavidade virada para baixo

ex ∈]− 1√

3;

1√3[ f ′′(x) > 0 concavidade virada para cima

(h) Esboco grafico.


x

y

Figura 13.5:

13.4 Exercıcios de Aplicacao

1) Seja dada a funcao f(x) = x2 − x.

(a) Determine f′(x) pelo calculo de lim

∆x→0

∆y∆x .

(b) Determine a equacao da tangente ao grafico em (−3, 12).

(c) Determine o ponto em que a inclinacao do grafico e igual a:

i. 4

ii.12

iii. −2

2) Calcule a derivada das funcoes seguintes:

(a) y = x7

(b) y = x2 3√

x

(c) y =

√x5

x√

x

3) Calcule a inclinacao do grafico da funcao y = x4 nos pontos (2, 16) e (−1, 1).

4) Seja f(x) = x5. Para que valores de x , a derivada e igual a516

?

5) Seja f(x) =√

x.

(a) Desenhe o grafico da funcao.

(b) Calcule limx→0+

f(x)

(c) Investigue limx→0+

f′(x)

(d) Determine o ponto de tangencia com a equacao y = x +14

6) Determine as derivadas das funcoes seguintes:

(a) y =12x3 − 3

4x2 + 5x


(b) y = (x2 − 5)(x + 2√

x)

(c) y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)

(d) y =1−√x

1 +√

x

7) Seja f(x) = 2x2 + 2.

(a) Determine os pontos de interseccao do grafico com os eixos de x e dos y.

(b) Determine f′(x).

(c) Determine os pontos do grafico em que a tangente tem coeficiente angular igual a32.

(d) Desenhe o grafico de f .

8) Seja, agora, g(x) = 2x3 + x2 + x + 2.

(a) Resonda as mesmas perguntas que no exercicio anterior.

(b) Determine os pontos do grafico em que a tangente e paralela a recta y = x.

(c) Desenhe o grafico de g.

9) Calcule as derivadas das seguintes funcoes:

(a) y = (3x2 − 5x + 8)4

(b) y = 3

√(12x− 3

)2

(c) y =√

9x2 + 4 +2√

9x2 + 4

(d) y =

[(1

x− 1

)2

+ x

]2

(e) y =√

x + 1x− 1

(f) y =x√

x2 + 25

10) Determine a equacao da tangente ao grafico de f(x) para o valor dado de x :

(a) f(x) = (3x2 + 1)2; x = −1

(b) f(x) =1

(2x− 1)2; x = 1

11) Das seguintes funcoes, determine:

(a) os intervalos de variacao da funcao;

(b) as coordenadas dos pontos maximo, minimo e de inflexao.

(c) o coeficiente da tangente no ponto de inflexao.

i. f(x) = 2 + (x− 1)3

ii. f(x) = x3 − 3x2 + 2iii. f(x) = 3

√x

iv. f(x) =x2

x− 1(d) Classifique a paridade as funcoes seguintes:

i. y = |x|


ii. y =1x

iii. y =x2 − x

x2 + 1iv. y =

√|x2 + 1|

(e) Faca o estudo das seguintes funcoes:

i. y = −x3 − 6x2 − 9x

ii. y =x2 − 4x2 + 1

12) Dum rectangulo de cartolina de de 10dm de 16dm faz-se uma caixa (sem tampa) cortando 4quadrados iguais nos 4 vertices.

(a) Determine a derivada da formula do volume.

(b) Para que valor do lado dos 4 quadrados recortados o volume e maximo e quanto e essevolume?

(c) Desenhe o grafico do volume em funcao ao lado dos quadrados referidos anteriormente.

13) Um papel rectangular de area 2m2 vai-se imprimir. As partes que se nao imprimem sao asbordas de 20cm abaixo e acima e as bordas de 15cm e esquerda e a direita. Quais sao asdimensoes do papel para uma area impressa maxima?

14) Seja f(x) = x2 − 12x; x ∈

[14, +∞

[

(a) Determine o dominio e o contradominio da sua funcao inversa g.

(b) No grafico de g situa-se P(p,1). Calcule p.

(c) Determine a equacao da tangente ao grafico em p.

15) f(x) = sinx + cos x.

(a) Calcule a derivada de f.

(b) Determine os zeros de f.

(c) Determine os extremos de f.

(d) Desenhe o grafico de f.

16) Responda as mesmas perguntas do exercicio precedente para a funcao f(x) = sin2 x.

17) f(x) = arctanx.

(a) Desesnhe o grafico de f.

(b) Calcule as coordenadas dos pontos em que a tangente tem declive igual a14. Nn figura,

desenhe essas tangentes.

(c) Determine os valores possiveis dos coeficientes angulares das tangentes ao grafico de f.

18) Determine as derivadas das seguintes funcoes:

(a) y = sin 3x

(b) y = − cos(−6x + 3)

(c) y = 4 cos2(3x− 1)

(d) y = cosx3

(e) y = arcsin(x2 + 3x)


(f) y =1

arccos(3x + 1))

(g) y =(

23

)−x+7

(h) y = ln(x− 4)

(i) y = log2(3x + 5)

(j) y = 3

√log2

4(sin 3x)

(k) y = ππ

(l) y = lg x2 × lg 8

(m) y =√

sin ex + sin e√

x


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