Mantıksal Tasarım

Bölüm 4 : Birleşimsel MantıkBölüm 4 : Birleşimsel Mantık

Öğr.Gör.Bülent ÇOBANOĞLU --- Sakarya Üniversitesi ---Mantıksal Tasarım Öğr.Gör.Bülent ÇOBANOĞLU --- Sakarya Üniversitesi ---Mantıksal Tasarım

Mantıksal Tasarım



Sayısal devrelerin iki temel türü vardır.

1. Birleşimsel devre (combinational circuit)

2. Dizisel devre (sequential circuit)

4.1. Devre Türleri, Fiziksel Değişkenler, Mantık Türleri

x1 ® ® y1

x2 ® Birleşimsel ® y2

. Devre .

. .xn ® ® yk

y1 = f1(x1, x2, …. , xn)

y2 = f2(x1, x2, …. , xn)

……………………..

yk = fk(x1, x2, …. , xn)

Dizisel devreler de kendi içinde ikiye ayrılır:

1. Zamanuyumlu dizisel devreler (synchronous sequential circuits)

2. Zamanuyumsuz dizisel devreler (asynchronous sequential circuits)



Zamanuyumlu Devre Çıkışı Örneği

Saat Vuruşu(Clock Pulse)

Giriş

ZamanuyumluÇıkış

Zamanuyumsuz Devre Çıkışı Örneği

Giriş

ZamanuyumsuzÇıkış



Geçitler İçin Kullanılan Gösterimler

aAND

bab

NOT a a'

aNAND b

(ab)’ = a’ + b’

aNOR

b (a + b)’ = a’b’

a'b + ab’ aXOR

b

ab + a’b’ aXNOR b

a a Yükselteç

aOR

ba + b



4.3. Temel Geçitlerle Çözümleme ve Tasarım

4.3.1. Temel Geçitlerden Oluşan Devrelerin Çözümlenmesi

Temel Geçitlerden Oluşan Örnek Bir Devrenin Çözümlenmesi

a

b

c

f1

f2

y2

y1

y3

y5

y6

y4

y7 y8

y9



y6 = y1 + y3 = ab + c(a + b) = ab + ac + bc

y7 = y6’ = (ab + ac + bc)’ = (ab)’ (ac)’ (bc)’ = (a’ + b’)(a’ + c’)(b’ + c’) = a’b’ + a’c’ + b’c’

y8 = y4y7 = (a + b + c)(a’b’ + a’c’ + b’c’) = ab’c’ + a’bc’ + a’b’c

y9 = y5 + y8 = abc + ab’c’ + a’bc’ + a’b’c

Sonuç: f1 = y6 = ab + ac + bc

f2 = y9 = abc + ab’c’ + a’bc’ + a’b’c

y1 = ab

y2 = a + b

y3 = cy2 = c(a + b)

y4 = y2 + c = a + b + c

y5 = cy1 = abc

a

b

c

f1

f2

y2

y1

y3

y5

y6

y4

y7 y8

y9



4.3.2. Temel Geçitlerle Devre Tasarımı

Devrenin gerçekleştireceği işlev ya da işlevlerin sözlü olarak tanımlanması.

Eğer sözlü tanımda belirtilmemisse, ya da sözlü tanım yeterince belirgin değilse,

devrenin giriş ve çıkışlarının, kullanılacak giriş ve çıkış değişkenlerinin ve

değişkenlerin anlamlarının belirlenmesi.

Çıkış işlevlerinin bulunması. Eğer devrenin gerçekleştireceği işlev basit ise, sözlü

tanımdan hareketle, çıkış işlevleri doğrudan yazılabilir. Eğer çıkış işlevlerini doğrudan

yazmak mümkün değilse, doğruluk çizelgesi, harita gibi araçlardan bir ya da birkaçı

kullanılarak çıkış işlevleri bulunur.

Çıkış işlevlerinin yalınlaştırılması ve istenilen biçime sokulması. Çıkış işlevlerinin

genellikle çarpımlar toplamı ya da toplamlar çarpımı biçimine sokulması istenir.

Eğer isteniyorsa, devre şemasının çizilmesi. Devre şeması kullanılacak geçit türüne

göre değişir. Bu nedenle, kullanılacak geçitlerin türüne göre, önce çıkış işlevlerinin

uygun biçime dönüştürülmesi gerekir.



Örnek: Dört üyeli bir kurulda, a, b, c ve d ile gösterilen kurul üyelerinin oylarının ağırlıkları, ortaklık payları ile orantılı olarak 2, 3, 4 ve 6’dır. Üyelerin oylarından kurul kararını (kabul/ret) elde etmeyi sağlayan birleşimsel devre tasarlanacak.

a ®b ® Birleşimsel ® y = f(a,b,c,d)

c ® Devre

d ®

Giriş (a, b, c, ve d) değerlerinin anlamı:

1 : Üye kabul oyu kullandı

0 : Üye ret oyu kullandı.

Çıkış (y) değerinin anlamı:

0 : Red kararı alındı

1 : Kabul kararı alındı

a b c d Kab Oyl. (2) (3) (4) (6) Ağ. Top.

y

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6

0 0 0 1 0 4

0 0 0 1 1 10

1 0 1 0 0 3

0 0 1 0 1 9

1 0 1 1 0 7

0 0 1 1 1 13

1 1 0 0 0 2

0 1 0 0 1 8

1 1 0 1 0 6

0 1 0 1 1 12

1 1 1 0 0 5

0 1 1 0 1 11

1 1 1 1 0 9

1 1 1 1 1 15

1



Çıkış işlevi: f(a,b,c,d) = (3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15)

Çıkış işlevinin harita yöntemiyle indirgenmesi:

ab cd 00 01 11 10 00 1

01 1 1

11 1 1 1

10 1 1

Çarpımlar toplamı biçiminde en küçük çıkış işlevi:

f(a,b,c,d) = ad + bd + cd + abc

Bu örnek için yukarıda sistematik yöntemle bulunan en küçük çıkış işlevini, düşünerek doğrudan yazmak da mümkündür.



Devre Şeması:

a

b

cd

y = ad + bd + cd + abc



Örnek: x3x2x1x0 onaltılı (hexa decimal) kod sözcüğünün çift eşlik bitini bulan

birleşimsel devreyi tasarlamaya çalışalım.

a ®b ® Birleşimsel ® y = f(a,b,c,d)

c ® Devre

d ®

Devrenin çıkış işlevini standart

çarpımlar toplamı biçiminde yazabiliriz.

f(x3,x2,x1,x0) = (1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14)



Çıkış İşlevinin harita yöntemiyle indirgenmesi:

ab cd 00 01 11 10 00 1 1

01 1 1

11 1 1

10 1 1 Çıkış işlevi indirgenemez.

Çıkış işlevinin en küçük biçimi:

f(x3,x2,x1,x0) = x3’x2’x1’x0 + x3’x2’x1x0’ + x3’x2x1’x0’ + x3’x2x1x0 + x3x2’x1’x0’

+ x3x2’x1x0 + x3x2x1’x0 + x3x2x1x0’



4.4. NAND ve NOR Geçitleri ile Çözümleme ve Tasarım

+ 5 Volt

Çıkış

(y)

Girişler

a

b

c

Örnek Bir Geçit İçin Olası Bir Elekronik Şema

Fiziksel Değerlere Göre

Geçidin Giriş-Çıkış İlişkileri

a b c y

0 Volt 0 Volt 0 Volt 5 Volt










Geçidin Mantıksal Özellikleri

(Pozitif Mantığa Göre)

Geçidin Mantıksal Özellikleri

(Negatif Mantığa Göre)

a b c y

1 1 1 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

0 1 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

a b c y

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

y = (abc)’ = a’ + b’ + c’

NAND Geçidi

y = (a + b + c)’ = a’b’c’

NOR Geçidi



NAND işlemi Birleşmeli Değildir

abc

y1 = ((ab)’c)’ = ab + c’

abc

y2 = (a(bc)’)’ = a’ + bc

y3 = (abc)’ = a’ + b’ + c’abc

y1 y2 y3



NAND ve NOR Geçitleri İçin Farklı Gösterimler

4.4.1. NAND ve NOR Geçitlerinden Oluşan

Devrelerin Çözümlenmesi

NAND Geçidi ab (ab)’

NOR Geçidiab

(a + b)’ab

a'b’

ab a' + b’



Devrenin çıkış işlevi

f(x1,x2)

= ((x1’ + x1x2) (x2’ + x1x2))’

= (x1’ + x1x2)’ + (x2’ + x1x2)’

= x1(x1x2)’ + x2(x1x2)’

= x1(x1’ + x2’) + x2(x’1 + x2’)

= x1x2’ + x2x1’

Devrenin gerçekleştirdiği

işlev

DIŞLAYAN-YADA (XOR)

işlevidir.

NAND Geçitleri ile örnek devre:

a) Devre Şeması (NAND Geçitleri İçin Tek Gösterim Kullanılarak)

x1

x2

f(x1,x2)

b) Devre Şeması (NAND Geçitleri İçin İki Gösterim Kullanılarak)

x1

x2

f(x1,x2)



NOR Geçitleri ile örnek devre:

y1 = (x4 + x1’x4’)(x4 + x2’x3’)

= x4 + x1’x2’x3’x4’

= x4 + x1’x2’x3’

y2 = (x4 + x1)(x4 + x2’x3’)

= x4 + x1x2’x3’a) Devre Şeması (NOR Geçitleri İçin Tek Gösterim Kullanılarak)

x4

x1

y1 =f1(x1,x2,x3,x4)

x3

x2

y2 =f2(x1,x2,x3,x4)

b) Devre Şeması (NOR Geçitleri İçin İki Gösterim Kullanılarak)

x4

x1

y1 =f1(x1,x2,x3,x4)

x3

x2

y2 =f2(x1,x2,x3,x4)



Örnek: y = f(x1,x2,x3,x4,x5) = x1 + (x2 + x3’)(x4 + x3x5 )

işlevini gerçekleştiren devrenin NAND geçitleri ile oluşturulması

4.4.2. NAND ve NOR Geçitleriyle Devre Tasarımı

x1’

x2’

x3

y =f(x1,x2,x3,x4,x5)

x4'

x5

a ) Devre Şeması ( NAND Geçitleri İçin İki Gösterim Kullanılarak)

x1’

x2’

x3

y =f(x1,x2,x3,x4,x5)

x4'

x5

b ) Devre Şeması ( NAND Geçitleri İçin Tek Gösterim Kullanılarak)



y = f(x1,x2,x3,x4) = (x1 + x2x3)(x2 + x3’(x1 + x4))(x1 + x3’ + x4’)

işlevini gerçekleştiren devrenin NOR geçitleri ile oluşturulması

y =f(x1,x2,x3,x4)

a) Devre Şeması (NOR Geçitleri İçin İki Gösterim Kullanılarak)

x1

x2’x3’

x2

x3

x1

x4

x1

x3’x4’

x1

x2’x3’

x2

x3

x1

x4

y =f(x1,x2,x3,x4)

b) Devre Şeması (NOR Geçitleri İçin Tek Gösterim Kullanılarak)

x1

x3’x4’



4.5. İki ve Çok Düzeyli Devreler

ab

cd

ab + cd

İki Düzeyli AND-OR Devresi

ab

cd

(a+b)(c+d)

İki Düzeyli OR-AND Devresi

ab

cd

ab + cd

İki Düzeyli NAND-NAND Devresi

ab

cd

(a+b)(c+d)

İki Düzeyli NOR-NOR Devresi



ab

f(a,b,c,d) = ab + a’b’c’ + bcd + b’d’a'b’c’bcd

b'd’

ab

f(a,b,c,d) = ab + a’b’c’ + bcd + b’d’a'b’c’bcd

b'd’

Çarpımlar Toplamı Biçimindeki İşlevlerin İki Düzeyli AND-OR Devresi ile Gerçekleştirimi

Çarpımlar Toplamı Biçimindeki İşlevlerin İki Düzeyli NAND-NAND Devresi ile Gerçekleştirimi



a

y

ab

cd

y = ab + a’(b + c)d’1 0 1

1 0

0 1 0 1

0 1

1

0

0

Çok Düzeyli Devrelerde Gürültü



•8.1. Aritmetik İşlem DevreleriAritmetik İşlem Devreleri

8.1. Yarım-Toplayıcı (Half Adder - HA)

a b Doğruluk Çizelgesi

a b s c Çıkış İşlevleri:

c HA 0 0 0 0 s = ab’ + a’b

(elde) 0 1 1 0 = a b

1 0 1 0 c = ab

s (toplam) 1 1 0 1

•Toplama, çıkarma, çarpma, bölme işlemlerini yapan devrelere, ‘Aritmetik İşlem Devreleri’ Toplama, çıkarma, çarpma, bölme işlemlerini yapan devrelere, ‘Aritmetik İşlem Devreleri’ denir. Bilgisayarlarda ve hesap makinelerinde, temel işlemler toplama ve çıkartma denir. Bilgisayarlarda ve hesap makinelerinde, temel işlemler toplama ve çıkartma işlemleridir.işlemleridir.

•Girişine uygulanan iki biti toplayıp, sonucu toplam (sum) ve elde (carry) şeklinde veren Girişine uygulanan iki biti toplayıp, sonucu toplam (sum) ve elde (carry) şeklinde veren toplayıcı devresi, ‘yarım toplayıcı’ olarak isimlendirilir toplayıcı devresi, ‘yarım toplayıcı’ olarak isimlendirilir

S

C

A

B Toplam

Elde

S=AB C=A.B



8.2. Tam-Toplayıcı (Full-Adder -

FA) Doğruluk Çizelgesi

ai bi ai bi ci si ci+1

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

ci+1 FA ci 0 1 0 1 0

(çıkış eldesi) (giriş eldesi) 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

si (toplam) 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

Çıkış İşlevleri:

si = aibici + ai’bi’ci + ai’bici’ + aibi’ci’

ci+1 = aibi + aici + bici

•Bir bitlik üç adet sayının toplamını gerçekleştiren ve sonucu S ve C olarak isimlendirilen iki Bir bitlik üç adet sayının toplamını gerçekleştiren ve sonucu S ve C olarak isimlendirilen iki çıkış hattında gösteren düzenek, ‘Tam Toplayıcı’ olarak isimlendirilir çıkış hattında gösteren düzenek, ‘Tam Toplayıcı’ olarak isimlendirilir


SS=ABC+ABC+ABC+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC C C i+1= i+1= CoCo=AC+BC+AB=AC+BC+AB


A B C

A B C

A B C

A B C

S

A B

A C

B C

Co

İki yarım toplayıcı kullanarak nasıl tam toplayıcı elde ederiz?İki yarım toplayıcı kullanarak nasıl tam toplayıcı elde ederiz?


İki yarım toplayıcı ve ‘VEYA’ kapısı ile tam toplayıcı elde edilmesi.İki yarım toplayıcı ve ‘VEYA’ kapısı ile tam toplayıcı elde edilmesi.


Toplam

Elde

Toplam

Elde

HA HA Elde

A

B

C

Tam Toplayıcı

A B

C

S1

HA1

HA2

C0 Elde

C0

S Toplam

TamToplayıcı

•Bu durumda toplam çıkışı;Bu durumda toplam çıkışı;

•S=C S=C (A (AB)B)

•S=C' (A'B+AB') + C(AB'+AB') 'S=C' (A'B+AB') + C(AB'+AB') '

• =C'A'B+C'AB'+C[(A'B)'.(AB')']=C'A'B+C'AB'+C[(A'B)'.(AB')']

• = C'A'B+C'AB'+C[(A+B').(A'+B)]= C'A'B+C'AB'+C[(A+B').(A'+B)]

• = C'A'B+C'AB'+C[AA'+AB+A'B'+BB']= C'A'B+C'AB'+C[AA'+AB+A'B'+BB']

• 0 0 0 0

• = C'A'B+C'AB'+ABC+A'B'C= C'A'B+C'AB'+ABC+A'B'C sonucunu sonucunu verir. verir.

•Bu durumda elde çıkışı;Bu durumda elde çıkışı;

•Co= ab +ac + bc Co= ab +ac + bc

•??



8. Yarım-Çıkarıcı (Half-Substractor -HS)

x y Doğruluk Çizelgesi

x y d b Çıkış İşlevleri:

b HS 0 0 0 0 fark= d = xy’ + x’y

(ödünç 0 1 1 1 = x y

alınan) 1 0 1 0 borç= c = x’y

d (fark) 1 1 0 0

İki bitin çıkarması işlemini yapan çıkarıcı devresinde, iki giriş ve iki çıkış bulunur. Çıkışlardan birisi İki bitin çıkarması işlemini yapan çıkarıcı devresinde, iki giriş ve iki çıkış bulunur. Çıkışlardan birisi sayının farkını (difference-D), diğeri borç bitini (borrow-B) gösterir. sayının farkını (difference-D), diğeri borç bitini (borrow-B) gösterir.

A-B işleminde A<B olduğunu zaman ‘0–1’ işlemi oluşur ve bu durumda bir yüksek değerli A-B işleminde A<B olduğunu zaman ‘0–1’ işlemi oluşur ve bu durumda bir yüksek değerli basamaktan ‘1’ borç alınır. Borç çıkışı, doğruluk tablosunda ayrı bir sutün olarak gösterilir. basamaktan ‘1’ borç alınır. Borç çıkışı, doğruluk tablosunda ayrı bir sutün olarak gösterilir.



8. Tam-Çıkarıcı (Full-Substractor-FS)

Doğruluk Çizelgesi

xi yi x i yi bi di bi+1

0 0 0 0 0

0 0 1 1 1

bi+1 FS bi 0 1 0 1 1

(çıkış ödünç (giriş ödünç ) 0 1 1 0 1

alınan) alınan) 1 0 0 1 0

di (fark) 1 0 1 0 0

1 1 0 0 0

1 1 1 1 1


di = xiyibi + xi’yi’bi + xi’yibi’ + xiyi’bi’

di+1 = xi’yi + xi’bi + yibi

Daha düşük değerli basamak tarafından ‘1’ borç alınmış olabileceğini dikkate alarak iki Daha düşük değerli basamak tarafından ‘1’ borç alınmış olabileceğini dikkate alarak iki biti birbirinden çıkaran bileşik devre, ‘tam çıkarıcı’ olarak isimlendirilirbiti birbirinden çıkaran bileşik devre, ‘tam çıkarıcı’ olarak isimlendirilir

Bölüm 4 : Birleşimsel MantıkBölüm 4 : Birleşimsel MantıkTAM ÇIKARICI

Çıkış İşlevleri:fark = ABC + A’B’C + A’BC’ + AB’C’ Borç = A’C + A’B + BC


Fark

Aı

Bı C

A B C

A Bı Cı

Aı B Cı

Borç Aı C

Aı B

B C


İki Yarım Çıkarıcı Kullanılarak Tam Çıkarıcı Elde Edilmesi :İki Yarım Çıkarıcı Kullanılarak Tam Çıkarıcı Elde Edilmesi :


•İki yarım toplayıcı kullanılarak tam toplayıcı yapıldığı gibi, iki yarım İki yarım toplayıcı kullanılarak tam toplayıcı yapıldığı gibi, iki yarım çıkarıcı (H.S.) kullanılarak tam çıkarıcı oluşturulabilir çıkarıcı (H.S.) kullanılarak tam çıkarıcı oluşturulabilir

Fark

Borç

Fark

Borç

H.S. H.S. Borç

Giriş 1 A

Giriş 2 B

Giriş 3 C

A

B

C

1.HS

2.HS

BORÇ

FARK


•Paralel Toplayıcı Paralel Toplayıcı Yarım ve tam toplayıcı işlemlerinde, tek bitlik sayıların toplamı işlemi Yarım ve tam toplayıcı işlemlerinde, tek bitlik sayıların toplamı işlemi açıklandı. Bununla beraber, her biri çok sayıda ikili basamak içeren iki açıklandı. Bununla beraber, her biri çok sayıda ikili basamak içeren iki sayının toplanması işlemini aynı anda yapan devrelere ihtiyaç vardır. sayının toplanması işlemini aynı anda yapan devrelere ihtiyaç vardır. Bilgisayarlarda ve hesap makinelerinde çok sayıda bite sahip iki sayıyı Bilgisayarlarda ve hesap makinelerinde çok sayıda bite sahip iki sayıyı aynı anda toplayan devreler ‘aynı anda toplayan devreler ‘paralel toplayıcıparalel toplayıcı’ olarak isimlendirilir’ olarak isimlendirilir

FA4 FA3 FA2 FA1 FA0

S4 S3 S2 S1 S0

A0 B0 A1 B1 A2 B2 A3 B3 A4 B4

C4 C5 C3 C2 C1 C0

•Şekil 1. Beş bitlik iki sayının paralel toplayıcı ile Şekil 1. Beş bitlik iki sayının paralel toplayıcı ile toplanmasıtoplanmasıBu devrede toplama işlemi, en düşük basamaklı bilgilerin toplanması ile başlar.

En düşük değerli basamakta Co biti ‘0’ olduğundan; Ao ve Bo değerleri toplanarak S0 ve C0

çıkışlarına gönderilir. Bunun dışındaki basamakları toplamak için, Ai, Bi, Ci bitler toplanarak

ilgili Sί ve Cί çıkışlarında gösterilir. Ci çıkışındaki bilgi, bir sonraki yüksek basamak değerlikli

bitlerin toplandığı FAi’nın Ci girişine uygulanır. Sonuç olarak; her bir FA, girişlere Sonuç olarak; her bir FA, girişlere

uygulanan üç bitin (A, B ve C) toplamını yaparak, toplam sonucunu S ve C uygulanan üç bitin (A, B ve C) toplamını yaparak, toplam sonucunu S ve C çıkışlarında gösterir. Örneğin, FAçıkışlarında gösterir. Örneğin, FA33 tam toplayıcı devresi A tam toplayıcı devresi A33, B, B3 3 ve Cve C33 değerlerini değerlerini toplayarak sonucu Ctoplayarak sonucu C44 ve S ve S33 çıkışlarında gösterir. çıkışlarında gösterir.

Bölüm 4 : Birleşimsel MantıkBölüm 4 : Birleşimsel MantıkPratikte tüm FA’lardaki toplama işlemi aynı anda yapıldığından, paralel Pratikte tüm FA’lardaki toplama işlemi aynı anda yapıldığından, paralel toplayıcılar çok hızlı işlem yaparlar. Piyasada 7483, 74283, 74LS83A toplayıcılar çok hızlı işlem yaparlar. Piyasada 7483, 74283, 74LS83A ve 74HC283 (CMOS) gibi farklı yapıda dört bitlik paralel toplayıcılar ve 74HC283 (CMOS) gibi farklı yapıda dört bitlik paralel toplayıcılar bulunmaktadır.bulunmaktadır.Dört bitlik paralel toplayıcı iki adet dört bitlik girişe (ADört bitlik paralel toplayıcı iki adet dört bitlik girişe (A33,A,A22,A,A11,A,A00 ve ve BB33,B,B22,B,B11,B,B00) ve en düşük basamaklı bit (LSB) için kullanılan C) ve en düşük basamaklı bit (LSB) için kullanılan Coo girişine girişine sahiptir. Çıkış olarak; dört adet toplam çıkışı (Ssahiptir. Çıkış olarak; dört adet toplam çıkışı (S33, S, S22, S, S11, S, S00) ile birlikte ) ile birlikte en yüksek basamaklı bitin elde çıkışı olan Cen yüksek basamaklı bitin elde çıkışı olan C44 bulunur. bulunur.


A7 A6 A5 A4

S7 S6 S5 S4 S3 S2 S1 S0

4 bit paralel toplayıcı

74LS83

• 8 bit toplananA3 A2 A1 A0

B7 B6 B5 B4 B3 B2 B1 B0

4 bit paralel toplayıcı

74LS83

C4C8C0

A1S1

A2S2

A3S3

A4S4

B1

B2

B3

B4

C0C4

7483

Bölüm 4 : Birleşimsel MantıkBölüm 4 : Birleşimsel MantıkÖrnek :Örnek : 0111 + 1010 işlemini dört bitlik paralel toplayıcı ile yapmak 0111 + 1010 işlemini dört bitlik paralel toplayıcı ile yapmak için gerekli devreyi çizerek, işlem sonuçlarını gösterelim. için gerekli devreyi çizerek, işlem sonuçlarını gösterelim.

Toplanacak sayılar, tam toplayıcıların girişlerine uygulanarak çıkışları Toplanacak sayılar, tam toplayıcıların girişlerine uygulanarak çıkışları yazılırsa Şekil 'daki değerler bulunuryazılırsa Şekil 'daki değerler bulunur


FA3 FA2 FA1 FA0

S3 S2 S1 S0

A0 B0 A1 B1 A2 B2 A3 B3

C4 C3 C2 C1 C0

‘1’ ‘1’

‘0’

‘0’

‘1’

‘1’ ‘0’ ‘1’ ‘1’ ‘0’

‘1’

‘0’

‘1’ ‘0’



4.6.5. Eşlik Bit’i Üretimi

Doğruluk Çizelgesi

a b c p

0 0 0 0

a ® 0 0 1 1

b ® Birleşimsel ®p 0 1 0 1

c ® Devre 0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

p = abc + a’b’c + a’bc’ + ab’c’

p = a b c

Genelde n bit’lik x1x2x3….xn sözcüğünün çift eşlik bit’i:

p = x1 x2 x3 ….. xn olarak bulunur.

Bölüm 4 : Birleşimsel MantıkBölüm 4 : Birleşimsel MantıkPARALEL ÇIKARICIPARALEL ÇIKARICI


•‘‘n’ bitlik iki adet ikili sayıyı çıkaran paralel çıkarıcı devresinde, paralel n’ bitlik iki adet ikili sayıyı çıkaran paralel çıkarıcı devresinde, paralel toplayıcılarda olduğu gibi ‘n’ sayıda tam çıkarıcı (F.S.) devresi kullanılır .toplayıcılarda olduğu gibi ‘n’ sayıda tam çıkarıcı (F.S.) devresi kullanılır . Blok şema olarak gösterilen paralel çıkarıcılarda en sondaki borç çıkışı ‘1’ Blok şema olarak gösterilen paralel çıkarıcılarda en sondaki borç çıkışı ‘1’ ise; çıkarmanın sunucunun pozitif, ‘0’ ise sonucun negatif olduğunu ise; çıkarmanın sunucunun pozitif, ‘0’ ise sonucun negatif olduğunu gösterir. gösterir.

BORÇ ÇIKIŞI BORÇ BORÇ BORÇ

B1 A1 B2 A2 B3 A3

F1 F2 F3

F.S F.S F.S

Bn An

Fn

F.S BORÇ

. Paralel çıkarıcı devresi blok şeması.


İki tümleyeni ile toplama ve çıkarma işlemi:İki tümleyeni ile toplama ve çıkarma işlemi:

Birçok bilgisayar sistemi, negatif sayıları ifade etmek veya çıkarma işlemini Birçok bilgisayar sistemi, negatif sayıları ifade etmek veya çıkarma işlemini gerçekleştirmek için ‘2 tümleyeni’ aritmetiğini kullanır. Negatif sayıları ifade gerçekleştirmek için ‘2 tümleyeni’ aritmetiğini kullanır. Negatif sayıları ifade etmek için 2 tümleyeni aritmetiği kullanılıyorsa, işaretli (-veya +) sayıların etmek için 2 tümleyeni aritmetiği kullanılıyorsa, işaretli (-veya +) sayıların toplanması ve çıkarması işlemleri yalnızca toplama yolu ile gerçekleştirilir.toplanması ve çıkarması işlemleri yalnızca toplama yolu ile gerçekleştirilir.


Toplama İşlemi :

Negatif sayıların 2 tümleyeni formunda ifade edilmesi durumunda pozitif ve negatif sayıların toplanması temel paralel toplama devresi ile gerçekleştirilebilir. Şekil’de (-3) ve (+6) sayılarının paralel toplayıcı ile toplanması işlemi görülmektedir.

Yapılan işlem ‘Toplama’ olmasına rağmen, sayıların işaretleri farklı olduğundan toplanan sayıların farkı alınır. Fark alma işleminde;

‘+’ işaretli sayıya, ‘-’ işaretli sayının iki tümleyeni eklenir.Bulunan sonuçta elde olup olmadığına bakılır:- Elde varsa atılır ve bulunan sonuç pozitiftir.- Elde yoksa, elde edilen sayının ‘2 tümleyeni’ alınır ve sayının önüne ‘-’ işareti

konur.


Örnek 12: Örnek 12: (-3) ve (+6) sayılarını, ikili paralel toplayıcı ile toplayalım:(-3) ve (+6) sayılarını, ikili paralel toplayıcı ile toplayalım:


(-3) sayısının 2 tümleyeni

toplayıcı

A0A1A2A3

1 1 0 1

B3 B2 B1 B0 C0

00 1 1 0

S3 S2 S1 S0

0 0 1 1 1

4 Bit paralel

C4

(+3 sonuç)

(+6)

Şekil. Negatif ve pozitif sayıların paralel toplayıcı ile Şekil. Negatif ve pozitif sayıların paralel toplayıcı ile toplanmasıtoplanması

Bölüm 4 : Birleşimsel MantıkBölüm 4 : Birleşimsel MantıkÇıkarma İşlemi :Çıkarma İşlemi :

Çıkarma işlemi için 2 tümleyen aritmetiği yöntemi kullanılması durumlarında, çıkan sayının 2 tümleyeni alınarak toplama işlemi yapılır. Örneğin, A-B işlemi yapılıyorsa, A sayısı olduğu gibi bırakılıp, B sayısının 2 tümleyeni alınır. Daha sonra, A sayısı ile tümleyeni alınan B sayısı toplanır ve iki sayı arasındaki fark toplayıcı çıkışından okunur.•Örnek : Çıkarma işleminin nasıl yapıldığını açıklamak için; (+4) - (+6) işlemini Örnek : Çıkarma işleminin nasıl yapıldığını açıklamak için; (+4) - (+6) işlemini yapalım.yapalım.

• i- A (+4=0100) ve B (+6=0110) sayıları toplayıcı girişlerine uygulanır. Ancak, B i- A (+4=0100) ve B (+6=0110) sayıları toplayıcı girişlerine uygulanır. Ancak, B sayısının 2 tümleyeni alınması gerektiğinden, B sayının 2 tümleyeni alınarak ‘1010’ sayısının 2 tümleyeni alınması gerektiğinden, B sayının 2 tümleyeni alınarak ‘1010’ şeklinde B girişine uygulanmalıdır.şeklinde B girişine uygulanmalıdır.

•ii- Bu durumda, 0100 sayısı ile 1001 sayısı, Cii- Bu durumda, 0100 sayısı ile 1001 sayısı, C00=1 eklenerek toplama işlemine tabi =1 eklenerek toplama işlemine tabi tutulur. tutulur.

•iii- Sonuç olarak 1110 sayısı elde edilir. Bu sayının işaret biti olarak ‘0’ değerine sahip iii- Sonuç olarak 1110 sayısı elde edilir. Bu sayının işaret biti olarak ‘0’ değerine sahip olması, sonucun negatif ve 2 tümleyeni formunda olduğunu gösterir.olması, sonucun negatif ve 2 tümleyeni formunda olduğunu gösterir.

• iv- Bulunan sayının 2 tümleyeni alınarak önüne ‘-’ işareti konulmasıyla, doğru iv- Bulunan sayının 2 tümleyeni alınarak önüne ‘-’ işareti konulmasıyla, doğru sonuç (-0010) bulunur. sonuç (-0010) bulunur.

•Aynı entegreyi toplama ve çıkarma devresi olarak kullanmak mümkündür. Bu şekilde Aynı entegreyi toplama ve çıkarma devresi olarak kullanmak mümkündür. Bu şekilde tasarlanan devreler Flip-Flop ve kaydedici içerdiğinden daha sonraki konularda tasarlanan devreler Flip-Flop ve kaydedici içerdiğinden daha sonraki konularda incelenecektir.incelenecektir.

A1 S1 A2 S2 A3 S3 A4 S4 S3

B1 B2 B3 B4

C0 C4

74LS838 B0 B1 B2 B3

C 0 =1

A0 A1 A2 A3

Sonucun ‘+’ veya ‘-‘ olduğunu gösterir.

S0 S1 S2

B sayısının terslenmiş

girişleri

A sayısı girişleri

Fark çıkışlarını gösterir



a ®b ® Birleşimsel ®y (0 : doğruc ® Devre 1 : yanlış)p ®

ab cp 00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 y = a b c p

4.6.6. Eşlik Bit’iDenetimiDoğruluk Çizelgesi a b c p y 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0



İkiye Tümler Hesaplayan Devre

A = an-1an-2 … a1a0 n bit’lik ikili bir sayı olsun. A sayısının ikiye tümleri olan

B = bn-1bn-2 … b1b0 sayısını üreten devreyi tasarlamak istiyoruz: B = (A’)2

n bit’lik sözcükler üzerinde işlem yapan bu tür devreler genellikle çok karmaşıktır. Bu tür devreler genellikle bir bütün olarak tasarlanmaz. Devre modüler yapıda düşünülür ve devrenin bir modülü tasarlanır.

İkiye tümler algorilmasına göre, devrenin i. modülünün ai girişi ile bi çıkışı

arasındaki bağlantı aşağıdaki gibidir:

Eğer i. basamağın sağındaki basamaklarda hiç 1 yoksa: bi = ai

Eğer i. basamağın sağındaki basamaklarda en az bir tane 1 varsa: bi = ai’



ai


bi = ki’ai + kiai’

ki+1 Mi ki ki+1 = ki + ai

bi

an-1 an-2 ai a0

kn Mn-1 kn-1 Mn-2 kn-2 ….. ki+1 Mi ki …. k1 M0 k0

bn-1 bn-2 bi b0



BCD - Artık-3 Kod Dönüştürücü

BCD Kod Söz. Artık-3 Kod Söz.

x3 ® ®y3 x3 x2 x1 x0 y3 y2 y1

y0

x2 ® Kod ®y2 0 0 0 0 0 0 1 1

x1 ® Dönüştürücü ®y1 0 0 0 1 0 1 0 0

x0 ® ®y0 0 0 1 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1 0

0 1 0 0 0 1 1 1

yi=fi(x3,x2,x1,x0) i = 3, 2, 1, 0 0 1 0 1 1 0 0 0

işlevleri eksik tanımlanmış 0 1 1 0 1 0 0 1

işlevlerdir. 0 1 1 1 1 0 1 0

1 0 0 0 1 0 1 1

Çıkış İşlevleri: 1 0 0 1 1 1 0 0

y3 = (5,6,7,8,9)+(10,11,12,13,14,15) 1 0 1 0 - - - -

y2 = (1,2,3,4,9)+(10,11,12,13,14,15) 1 0 1 1 - - - -

y1 = (0,3,4,7,8)+(10,11,12,13,14,15) 1 1 0 0 - - - -

y0 = (0,2,4,6,8)+(10,11,12,13,14,15) 1 1 0 1 - - - -

1 1 1 0 - - - -

1 1 1 1 - - - -



y3 = x3 + x2x1 + x2x0

y2 = x2’x1 + x2’x0 + x2x1’x0’

y1 = x1’x0’ + x1x0

y0 = x0’

x3x2 x1x0

00 01 11 10 00 1 1 1

01 1

11 Æ Æ Æ Æ

10 1 Æ Æ

y2

x3x2 x1x0

00 01 11 10 00 1 1

01 1 1

11 Æ Æ Æ Æ

10 1 Æ Æ

y1

x3x2 x1x0

00 01 11 10 00 1 1

01 1 1

11 Æ Æ Æ Æ

10 1 1 Æ Æ

y0

x3x2 x1x0

00 01 11 10 00

01 1 1 1

11 Æ Æ Æ Æ

10 1 1 Æ Æ

y3


KARŞILAŞTIRICILAR (COMPARATORS)KARŞILAŞTIRICILAR (COMPARATORS)• İki sayıyı karşılaştıran ve büyüklüklerini belirleyen bileşik devreler, ‘İki sayıyı karşılaştıran ve büyüklüklerini belirleyen bileşik devreler, ‘büyüklük büyüklük

karşılaştırıcıkarşılaştırıcı’ (magnitude comparator) olarak isimlendirilir. Karşılaştırma sonucu; A>B, ’ (magnitude comparator) olarak isimlendirilir. Karşılaştırma sonucu; A>B, A=B veya A<B’yi belirleyen üç konum ile belirlenir. En yaygın kullanım yerleri Aritmetik A=B veya A<B’yi belirleyen üç konum ile belirlenir. En yaygın kullanım yerleri Aritmetik Lojik devrelerdir. Karşılaştırıcı devreleri, girişleri aynı veya farklı iken çıkış veren kontrol Lojik devrelerdir. Karşılaştırıcı devreleri, girişleri aynı veya farklı iken çıkış veren kontrol devrelerinde ve ikili karşılaştırmanın kullanıldığı adres bulma devrelerinde kullanılır devrelerinde ve ikili karşılaştırmanın kullanıldığı adres bulma devrelerinde kullanılır

• En basit karşılaştırıcı devresi, tek bitlik A ve B sayılarının eşitlik En basit karşılaştırıcı devresi, tek bitlik A ve B sayılarının eşitlik durumunu karşılaştıran Karşılaştırıcı devresidir. Bu devrede A=B durumunu karşılaştıran Karşılaştırıcı devresidir. Bu devrede A=B durumunda çıkışlardan birisi ‘1’ olurken, A≠B durumunda diğeri ‘1’ olurdurumunda çıkışlardan birisi ‘1’ olurken, A≠B durumunda diğeri ‘1’ olur


A B AB

A=B

Girişler Çıkışlar

A B AB A=B

0 0 0 1

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1

•Şekil . Bir bitlik iki sayının

karşılaştırması.

Bölüm 4 : Birleşimsel MantıkBölüm 4 : Birleşimsel Mantıkİki bitlik bilgiyi karşılaştıran ve A=B, A>B ve A<B çıkışlarını üreten İki bitlik bilgiyi karşılaştıran ve A=B, A>B ve A<B çıkışlarını üreten devreyi tasarlayalım.devreyi tasarlayalım.Devrenin doğruluk tablosu oluşturulur ve çıkışı temsil eden Devrenin doğruluk tablosu oluşturulur ve çıkışı temsil eden fonksiyonlar yazılırsa, Şekil.a daki eşitlikler elde edilir. Elde edilen fonksiyonlar yazılırsa, Şekil.a daki eşitlikler elde edilir. Elde edilen eşitlikleri temsil eden devrenin çizilmesi ile Şekil.b ’deki lojik devre eşitlikleri temsil eden devrenin çizilmesi ile Şekil.b ’deki lojik devre oluşuroluşur


A B A>B A=B A<B

0 0 0 1 0

0 1 0 0 1

1 0 1 0 0

1 1 0 1 0

•A>B=A.Bı

•A=B=Aı.Bı+AB =A๏B

•A<B=Aı.B

A B

A=B A>B A<B

( a) (b)Şekil-- Bir bitlik iki sayıyı karşılaştıran lojik devre tasarımı.

Mantıksal Tasarım

Documents

Transcript of Mantıksal Tasarım