Makalah Schrodinger
description
Transcript of Makalah Schrodinger
PERSAMAAN GELOMBANG SCHRODINGER
NAMA : TOGA CLINTON SIHOTANG
NIM : 4143321044
KELAS : FISIKA EKSTENSI 2014
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2015
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas rahmat dan
karunia-Nyalah sehingga penulis dapat menyelesaikan pembuatan makalah fisika
modern yang berjudul ‘Persamaan Gelombang Schrodinger ’ tepat pada
waktunya.
Harapan penulis semoga makalah ini membantu menambah pengetahuan
dan pengalaman bagi para pembaca, sehingga penulis dapat memperbaiki bentuk
maupun isi makalah ini sehingga kedepannya dapat lebih baik.
Makalah ini penulis akui masih banyak kekurangan karena pengalaman
yang penulis miliki sangat kurang, oleh karena itu penulis harapkan kepada para
pembaca untuk memberikan masukan-masukan yang bersifat membangun untuk
kesempurnaan makalah ini.
Medan, 21 November 2015
Toga Clinton sihotang
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Gelombang zat, atau gelombang pengarah (pemandu) telah menjadi bagian
khasanah ilmu Fisika pada tahun 1925 dengan ditandai oleh munculnya hipotesa
de-Broglie. Hipotesa tentang gelombang pengarah sangat diilhami oleh studi
mengenai gerak elektron dalam atom Bohr. Gelombang zat yang senantiasa
menyertai gerak suatu zarah melengkapkan pandangan tentang dualisme zarah
gelombang. Dengan demikian perbedaan antara cahaya dan zarah, atau lebih
tegasnya antara gelombang dan zarah menjadi hilang. Gelombang cahaya dapat
berperilaku sebagai zarah, sebaliknya zarah dapat berperilaku sebagai gelombang.
Pandangan semacam itu sangat berbeda dengan persepsi manusia tentang gejal-
gajal fisik konkret yang dialami nya sehari-hari.
Sejak abad ke-20 teori-teori klasik mulai dipertanyakan kesahihannya
untuk dipergunakan di tingkat atom yang sub-atom. Satu tahun setelah postulat
de-Broglie disebarluaskan seorang ahli fisika dari Austria, Erwin Schrodinger
berhasil merumuskan suatu persamaan diferensial umum untuk gelombang de-
Broglie dan dapat ditunjukkan pula kesahihannya untuk berbagai gerak elektron.
Persamaan diferensial ini yang selanjutnya dikenal sebagai persamaan gelombang
Schrodinger sebagai pembuka jalan ke arah perumusan suatu teori mekanika
kuantum yang komprehensip dan lebih formalistik. Pada tahun 1927, satu tahun
setelah Schrodinger merumuskan persamaan gelombangnya, Heisenberg
merumuskan suatu prinsip yang bersifat sangat fundamental. Prinsip ini
dirumuskan pada waktu orang sedang sibuk mempelajari persamaan Schrodinger
dan berusaha keras untuk dapat memahami maknanya.
Pada tahun 1926, Heisenberg juga muncul dengan suatu cara baru untuk
menerangkan garis-garis spektrum yang dipancarkan oleh sistem atom.
Pendekatannya sangat lain, karena yang digunakannya adalah matriks. Hasil yang
diperoleh dengan cara ini sama dengan apa yang diperoleh melalui persamaan
Schrodinger. Mekanika kuantumnya Heisenberg dikenal sebagai mekanika
matriks. Secara kronologis prinsip Heisenberg muncul sesudah dirumuskannya
persamaan Schrodinger. Tetapi sebagai suatu prinsip teoritik hal itu merupakan
suatu hal yang fundamental, dan dapat disejajarkan dengan teori kuantum
Einstein, postulat de-Broglie, dan postulat Bohr. Oleh karenanya dalam
pembahasannya prinsip Heisenberg ditampilkan lebih dahulu dari persamaan
Schrodinger. Teori Planck tentang radiasi thermal, teori einstein tentang foton,
teori Bohr tentang atom Hidrogen, dan postulat de-Broglie tentang gelombang zat,
serta prinsip Heisenberg dikenal sebagai teori kuantum lama. Dalam teori
kuantum lama terkandung hampir semua landasan bagi suatu teori yang dapat
menguraikan perilaku sistem-sistem fisika pada tingkat atom dan sub-atom.
B. Perumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud Persamaan Schrodinger ?
2. Bagaimana Persamaan Gelombang Schrodinger bergantung waktu ?
3. Bagaimana Persamaan Gelombang Schrodinger bebas waktu
BAB II
PEMBAHASAN
A. Persamaan Schrodinger
Persamaan Schrodinger diajukan pada tahun 1925 oleh fisikawan Erwin
Schrodinger (1887-1961). Persamaan ini pada awalnya merupakan jawaban dari
dualisme partikel-gelombang yang lahir dari gagasan de Broglie yang
menggunakan persamaan kuantisasi cahaya Planck dan prinsip fotolistrik Einstein
untuk melakukan kuantisasi pada orbit elektron. Selain Schrodinger dua orang
fisikawan lainnya yang mengajukan teorinya masing-masing adalah Werner
Heisenberg dengan Mekanika Matriks dan Paul Dirac dengan Aljabar Kuantum.
Ketiga teori ini merupakan tiga teori kuantum lengkap yang berbeda dan
dikerjakan terpisah namun ketiganya setara. Teori Schrodinger kemudian lebih
sering digunakan karena rumusan matematisnya yang relatif lebih sederhana.
Meskipun banyak mendapat kritikan persamaan Schrodinger telah diterima secara
luas sebagai persamaan yang menjadi postulat dasar mekanika kuantum.
Persamaan Schrodinger merupakan persamaan pokok dalam mekanika
kuantum – seperti halnya hukum gerak kedua yang merupakan persamaan pokok
dalam mekanika Newton – dan seperti persamaan fisika umumnya persamaan
Schrodinger berbentuk persamaan diferensial. Bentuk umum persamaan
Schrodinger adalah sebagai berikut,
Bentuk khusus persamaan Schrodinger yaitu persamaan Schrodinger bebas waktu
adalah
Bentuk ini lebih sering digunakan karena energi dan medan potensial sistem fisika
umumnya hanya bergantung pada posisi.
Persamaan Schrödinger dapat diturunkan dari persamaan umum gelombang:
Dengan melakukan separasi variabel
didapatkan
dari persamaan di atas dapat diperoleh dua persamaan, yaitu:
yang solusi umumnya untuk ialah:
mengingat dan , maka didapatkan solusi dari persamaan
gelombang:
Jika mengambil model partikel dalam kotak
Jika menggunakan syarat batas φ(x) = 0 untuk x = 0, didapati bahwa koefisien C =
0 sehingga suku pertama dapat ditiadakan. Dengan mengingat persamaan ke-dua,
solusi persamaan gelombang ini menjadi:
Sekarang kita menggambarkan gerak partikel dalam suatu keadaan ruang-waktu
dengan beranggapan keadaan partikel dalam bentuk gelombang, maka kita dapat
melakukan substitusi, di mana
dan v = E/p, sehingga didapatkan
Dengan substitusi nilai v serta substitusi , persamaan gelombang dapat
dituliskan dalam bentuk:
mengingat ,
maka sehingga didapatkan bentuk
persamaan Schrödinger:
atau
Catatan: = frekuensi (nu) dan = kecepatan.
B. Persamaan Schrodinger bergantung waktu
Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang Y bersesuaian dengan
variabel gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, Y bukanlah
suatu kuantitas yang dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks.
Karena itu, kita akan menganggap Y dalam arah x dinyatakan oleh :
Y = Ae-2pI(Vt-x/l)
sehingga :
Y = Ae-(i/ħ)(Et-px)
Persamaan di atas merupakan penggambaran matematis gelombang
ekuivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang
bergerak dalam arah +x. Namun, pernyataan fungsi gelombang Y hanya benar
untuk partikel yang bergerak bebas.Sedangkan untuk situasi dengan gerak partikel
yang dipengaruhi berbagai pembatasan untuk memecahkan Y dalam situasi yang
khusus, kita memerlukan persamaan Schrodinger.
Pendekatan Schrodinger disebut sebagai mekanika gelombang. Persamaan
Schrodinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung
kelemahan yang sama yaitu persamaan tersebut tidak dapat diturunkan secara
ketat dari prinsip fisis yang ada karena persamaan itu sendiri menyatakan sesuatu
yang baru dan dianggap sebagai satu postulat dari mekanika kuantum, yang dinilai
kebenarannya atas dasar hasil-hasil yang diturunkan darinya.
Persamaan Schrodinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel
yang bergerak bebas. Perluasan persamaan Schrodinger untuk kasus khusus
partikel bebas (potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel
yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu
merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu cara pun
yang membuktikan bahwa perluasan itu benar. Yang bisa dilakukan hanyalah
mengambil postulat bahwa persamaan Schrodinger berlaku untuk berbagai situasi
fisis dan membandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok,
maka postulat yang terkait dalam persamaan Schrodinger sah, jika tidak cocok,
postulatnya harus dibuang dan pendekatan yang lain harus dijajaki.
i ℏ ∂Ψ∂ t
=− ℏ2
2m∂2Ψ∂ x2 +VΨ
i ℏ ∂Ψ∂ t
=− ℏ2
2 m (∂2 Ψ∂ x2 + ∂2 Ψ
∂ y2 + ∂2Ψ∂ z2 )+VΨ
dimana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z dan t.
Dalam kenyataanya, persamaan Schrodinger telah menghasilkan ramalan
yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Pada rumus terakhir
diatas hanya bisa dipakai untuk persoalan non relativistik dan rumusan yang lebih
rumit jika kelajuan partikel yang mendekati cahaya terkait. Karena persamaan itu
bersesuaian dengan eksperimen dalam batas – batas berlakunya, kita harus
mengakui bahwa persamaan Schrodinger menyatakan suatu postulat yang berhasil
mengenai aspek tertentu dari dunia fisis.
Betapapun sukses yang diperoleh persamaan Schrodinger, persamaan ini
tetap merupakan postulat yang tidak dapat diturunkan dari beberapa prinsip lain,
dan masing – masing merupakan rampatan pokok, tidak lebih atau kurang sah
daripada data empiris yang merupakan landasan akhir dari postulat itu. Penjabaran
Persamaan Schrodinger bergantung waktu
~ (identik) dengan y dalam gerak gelombang umum
: menggambarkan keadaan gelombang kompleks yang tak dapat terukur
= A e−iω( t− x
v ), = 2pf, V =lf
maka =A e−2 πi( ft− x
λ )
energi totalnya
(Persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi)
(Persamaan Schrodinger bergantung waktu dalam tiga dimensi)
E=h =
hcλ , dengan l=
hp =
2 π ℏp , p=
2 π ℏλ
F=
Eh =
E2 π ℏ
Persamaan gelombangnya menjadi
= Ae−( i
ℏh )( Et−px)
∂2Ψ∂ x2 = ∂2
∂ x2 ( Ae−( iℏ )(Et−px )
)=− p2
ℏ2 [ Ae−( iℏ )(Et − px )
]
∂Ψ∂ x
=iA pℏ e−( i
ℏ )( Et−px)
jadi
∂2Ψ∂ x2 =− p2
ℏ2 Ψ
∂Ψ∂ t
=− i ℏℏ Ψ
Kita tahu bahwa energi total
E= Ek+Ep (non relativistik)
= p2
2m+V
; dikali dengan
E=p2 Ψ2m
+VΨ, karena
∂Ψ∂ t
=− iEℏ Ψ
, maka
E=
ℏi∂ Ψ∂ t
∂2Ψ∂ x2 =− p2Ψ
ℏ2
p2Ψ =−ℏ2 ∂2 Ψ
∂ x2
-−ℏ
i∂ Ψ∂ t
=− ℏ2
2m∂2 Ψ∂ x2 +VΨ
sehingga menjadi :i2=−1→ i
−(1)2= i
1
i ℏ ∂Ψ∂ t
=− ℏ2
2m∂2 Ψ∂ x
+VΨ
(persamaan schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi)
C. Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu
Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel tidak bergantung
dari waktu secara eksplisit, gaya yang bereaksi padanya, jadi juga V, hanya
berubah terhadap kedudukan partikel. Jika hal itu benar, persamaan Schrodinger
dapat disederhanakan dengan meniadakan ketergantungan terhadap waktu t.
Fungsi gelombang partikel bebas dapat ditulis
Y = Ae-(i/ħ)(Et – px) = Ae-( iE/ħ )te+(ip/ħ)x
= ψ e-(iE/ħ)t
ini berarti, Y merupakan perkalian dari fungsi bergantung waktu e-(iE/h)t dan fungsi
yang bergantung kedudukan ψ . Kenyataanya, perubahan terhadap waktu dari
semua fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya jenuh mempunyai bentuk
yang sama seperti pada partikel bebas.
Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam satu dimensi
∂2ψ∂ x2 + 2m
ℏ2 ( E−V ) ψ=0
Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam tiga dimensi
∂2ψ∂ x2 + ∂2ψ
∂ y2 + ∂2 ψ∂ z2 + 2m
ℏ2 ( E−V ) ψ=0
Pada umumnya dapat diperoleh suatu fungsi gelombang Y yang tidak saja
memenuhi persamaan dan syarat batas yang ada tetapi juga turunannmya jenuh,
berhingga dan berharga tunggal dari persamaan keadaan jenuh Schrodinger. Jika
tidak, sistem itu tidak mungkin berada dalam keadaan jenuh.
Jadi kuantitas energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur
wajar dari teori dan kuantitas energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai jejak
universal yang merupakan ciri dari semua sistem yang mantap.
Harga En supaya persamaan keadaan tunak Schrodinger dapat dipecahkan
disebut harga eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian ψn disebut fungsi
eigen. Tingkat energi diskrit atom hidrogen :
En = -
me4
32 π 2ε02 ℏ2 ( 1
n2) n = 1,2,3……
Dalam atom hidrogen , kedudukan elektron tidak terkuantitasi, sehingga
kita bisa memikirkan elektron berada disekitar inti dengan peluang tertentu ½Y½2
per satuan volume tetapi tanpa ada kedudukan tertentu yang diramalkan atau orbit
tertentu menurut pengertian klasik.
Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa
eksperimen yang dilakukan pada atom hidrogen selalu menunjukkan bahwa atom
hidrogen selalu mengandung satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satu
daerah dan 73 persen di daerah lainnya; peluang itu menunjukkan peluang untuk
mendapatkan elektron , dan walaupun peluang ini menyebar dalam ruang,
elektronnya sendiri tidak.
Persamaan gelombang partikel bebas
Ψ =Ae−( iℏ )( et− px )
= Ae−( iℏ )Et+e( ip
ℏ )x
= Ψe−( iEℏ ) t
, dengan = Ae
Ambil persamaan Schrodinger yang bergantung waktu,
i ℏ ∂Ψ∂ t
=− ℏ2
2m∂2 Ψ∂ x2 +vΨ
EΨe−( iEℏ ) t
=− ℏ2
2me−( iE
ℏ )t=− ℏ2
2me−( iE
ℏ )t ∂2Ψ2x2 +VΨe
−( iEℏ ) t
EΨ=− ℏ2
2 m∂2Ψ∂ x2 +VΨ →X 2m
ℏ2
∂2Ψ∂ x2 + 2 m
ℏ2 ( E−V )Ψ=0, tidak bergantung waktu
Analog terhadap persamaan schrodinger adalah tali terbentang yang
panjangnya L yang keduanya terikat.
∂2Ψ∂ x2 = 1
V 2∂2 Ψ∂ t2 , Ψ=Y
λn=2 L
n+1 , n=0,1,2,…
Dengan tingkat energi diskrit atom Hidrogen
En=− me4
32 π2 to2 ℏ2 ( 1n2 ) ,
n=1,2,3…..
Momentum sudut ditentukan
Li=( l( l+1))1/2
ℏ , l = 0,1,2,…..
dengan harga ekspektasi
¿G>∫−~
~
G ΙΨΙ2 dx ,Ψ
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Persamaan Schrodinger adalah persamaan yang dapat digunakan untuk
menjelaskan sifat-sifat gelombang dari partikel.
2. Pemisahan variabel adalah suatu metoda penyelesaian persamaan
diferensial dengan beberapa variabel dengan menganggap bahwa solusi
merupakan produk dari persamaan satu variabel (biasanya variabel posisi
dan waktu).
3. Persamaan Schrodinger bebas waktu merupakan persamaan Schrodinger
hanya merupakan fungsi dari posisi saja (tidak tergantung dari waktu).
4. Pernyatan setara bagi mekanika kuantum adalah yang di dalam kurung
kurawal. Apabila sebuah benda bergerak melewati perbatasan dua daerah
dimana berkerja {gaya potensial}, maka perilaku gerak dasar dari benda
dapat dicari dengan memecahkan { hukum kedua Newton, persamaan
Schodinger} { Kedudukan fungsi gelombang} selalu kontinu pada daerah
perbatasan, dan bahwa { kecepatan turunan dψ/dx} juga kontinu apabila
perubahan {gaya perubahan potensial} tetap berhingga.
B. Saran
Setiap penelitian pasti ada kekurangan jadi di setiap penelitian pasti juga
akan perbaikan. Maka Saya sebagai penyusun sadar bahwa makalah ini
jauh dari kesempurnaan karena saya memiliki keterbatasan-keterbatasan
yang tidak dapat saya pungkiri,untuk itu saya harapkan kritik dan saran
yang membangun dari guru/dosen dan para pembaca
DAFTAR PUSTAKA
Beiser, Arthur and The Houw Liong. 1990. Konsep Fisika Modern.
Jakarta:Erlangga.
Kenneth Krane.1983.Modern Physics.John Wiley &Sons:USA
McEvoy, J.P. and Zarate, Oscar. 1996. Quantum Theory For Beginners.
Bandung:Mizan.
Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; and Moyer, Curt A.
1989. ModernPhysics. Florida: Harcourt Brace Jovanovich.