Makalah Metode Cholesky - Edited

Contact detail: [email protected]

Penerapan Metode Cholesky dalam Penyelesaian

Persamaan Linier Simultan

SARJANA MAGISTER (SARMAG) TEKNIK SIPIL

UNIVERSITAS GUNADARMA

DEPOK

2008

Oleh :

1. BETY PRASTIWI (10308066)

2. DEBBY RAHMAWATI (10308067)


KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Wr.Wb.

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas berkah dan karunia-Nya sehingga kami dapat

menyelesaikan makalah ini dengan tepat waktu. Makalah yang berjudul ”Penerapan Metode

Cholesky dalam Penyelesaian Persamaan Linier Simultan” ini membahas tentang

penjelasan secara umum akan metode Cholesky serta aplikasinya dalam penyelesaian soal.

Makalah ini pun dibuat untuk memenuhi tugas mata kuliah matematika dasar bagi

mahasiswa Sarmag Teknik Sipil 2008 Universitas Gunadarma.

Dalam penulisan makalah ini kami banyak mendapat bantuan dari berbagai pihak. Oleh

karena itu, kami ingin mengucapkan terima kasih kepada semua yang telah membantu

penulisan makalah ini. Secara khusus kami ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. DR. Ernastuti, SSi. Mkom. selaku dosen matematika dasar yang telah memberikan

tugas ini kepada kami

2. Orang tua dan keluarga yang senantiasa memberikan motivasi dan dukungan baik moril

dan materil

3. Teman-teman dari Sarmag Teknik Sipil 2008 yang telah banyak membantu

4. Berbagai pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu

Kami sadar bahwa dalam makalah ini masih terdapat banyak kekurangan, Hal itu

dikarenakan keterbatasan kemampuan dan pengetahuan kami. Oleh karena itu, kami sangat

mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari para pembaca sekalian.

Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Wassalamualaikum Wr.Wb.

Depok, November 2008

Penyusun


DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ............................................................................................................... i

DAFTAR ISI ............................................................................................................................ ii

ABSTRAK…………………………………………………………………………………… ......1

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................................2

I.1. Latar Belakang Masalah ................................................................................................2

I.2. Tujuan ..........................................................................................................................2

I.3. Rumusan Masalah .........................................................................................................2

I.4. Batasan masalah ............................................................................................................3

I.5. Sistematika penulisan ....................................................................................................3

BAB II LANDASAN TEORI .................................................................................................4

II.1. Pengertian Metode Cholesky ............................................................................................4

II.2. Ciri-ciri Metode Cholesky ................................................................................................4

BAB III PEMBAHASAN ........................................................................................................6

BAB IV ANALISIS ............................................................................................................... 16

BAB V PENUTUP ................................................................................................................... 21

V.1. Kesimpulan .................................................................................................................... 21

V.2. Saran .............................................................................................................................. 21

DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................................. 23


ABSTRAK

Metode Cholesky pada dasarnya hanya merupakan bentuk khusus dari dekomposisi

LU. Metode ini adalah sebuah cara penyelesaian persamaan linear simultan yang diperoleh

dari rumusan matematika berdasarkan atas unsur koefisien variabel yang simetris. Tujuan

dari pembuatan makalah ini yaitu selain untuk menghitung faktor-faktor suatu matriks juga

untuk membuktikan kembali bahwa dengan faktor-faktor tersebut dapat dijadikan matriks

asal. Hasil pembahasan metode Cholesky ini menunjukkan bahwa faktor-faktor yang

dihasilkan adalah matriks dalam produk triangulasi atas dan triangulasi bawah dengan kedua

matriks satu sama lain adalah matriks transpose.

Kata kunci: transpose, determinan, matriks simetris, triangulasi atas, triangulasi

bawah.


BAB I

PENDAHULUAN

I.1. Latar Belakang Masalah

Metode Cholesky adalah salah satu metode yang digunakan dalam penyelesaian

masalah persamaan linier. Pada dasarnya metode ini hanyalah bentuk khusus dari metode

faktorisasi Doolittle. Namun sering kali suatu model permasalahan menjadi rumit dan tidak

dapat diselesaikan dengan metode penyelesaian biasa. Oleh karena itu, digunakanlah metode

lain yaitu metode numerik jenis dekomposisi Cholesky.

I.2. Tujuan

Tujuan kami dalam menyusun makalah ini adalah :

- Untuk memenuhi tugas mata kuliah matematika dasar

- Untuk menambah pengetahuan tentang materi

- Untuk menyelesaikan permasalahan berupa soal dengan metode Cholesky

I.3. Rumusan Masalah

Masalah yang dibahas dalam makalah ini adalah :

Bagaimana tahapan-tahapan dalam menyelesaikan soal dengan metode ini?

Apakah semua permasalahan dapat diselesaikan dengan metode Cholesky?

Apa kelebihan dan kekurangan dari metode Cholesky?


I.4. Batasan masalah

Masalah yang diangkat dalam makalah ini terbatas pada persoalan persamaan linier

simultan. Kami sebagai penulis tidak membuat rumusan baru, melainkan hanya

mengembangkan dan mengaplikasikan metode yang telah ada.

I.5. Sistematika penulisan

BAB I. PENDAHULUAN

I.1. Latar Belakang Masalah

I.2. Tujuan

I.3. Rumusan Masalah

I.4. Batasan masalah

I.5. Sistematika penulisan

BAB II. LANDASAN TEORI

II.1. Pengertian Metode Cholesky

II.2. Ciri-ciri Metode Cholesky

BAB III. PEMBAHASAN

BAB IV. ANALISIS

BAB V. PENUTUP

V.1. Kesimpulan

V.2. Saran


aij = aji

BAB II

LANDASAN TEORI

II.1. Pengertian Metode Cholesky

Dalam penyelesaian masalah-masalah rekayasa sipil sering kali digunakan suatu cara

penyelesaian yang disebut metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan

untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi

perhitungan biasa (+, -, / , *). Salah satu cabang metode numerik yang biasa digunakan

adalah metode Cholesky.

Metode Cholesky adalah sebuah metode penyelesaian persamaan linear simultan yang

diperoleh dari rumusan matematika berdasarkan atas unsur koefisien variabel yang

simetris[6].

II.2. Ciri-ciri Metode Cholesky

Ciri-ciri dari persamaan linear simultan yang diselesaikan dengan menggunakan

metode Cholesky adalah :

1. Matriks yang akan diselesaikan harus merupakan matriks bujursangkar yaitu

matriks simetris yang ber-ordo sama ( jumlah baris sama dengan jumlah

kolom)[5].

Contoh :

A2x2 = �2 47 1

�

2. Unsur matriks baris sama dengan unsur matriks kolom pada indeks baris dan

kolom yang sama[5].

; i ≠ j ; i = 1,2,3, ….., n ; j = 1,2,3, ….., n

3. Angka di amn haruslah angka yang paling besar karena nilai di dalam tanda akar

harus bertanda positif.


4. Angka diluar diagonal utama harus memiliki nilai yang sama[3].

Contoh:

�4 � −10� 5 �

−10 � 70�

5. Ada 2 jenis rumusan dalam metode Cholesky. Hal ini berdasarkan jenis matriks

yang dikerjakan, yaitu apakah matriks tersebut memenuhi nilai positif definitif?

Bila ya, maka penyelesaian matriks tersebut menggunakan rumusan [A] =

[��][U],

bila tidak, maka menggunakan rumusan [A]=[ [��][�][U] [3].

(Mengenai rumus, akan dibahas pada bab selanjutnya)

Ada pun ciri-ciri dari matriks yang memenuhi nilai positif definitif yaitu

Nilai pada diagonal utamanya selalu positif

Determinannya bernilai positif


BAB III

PEMBAHASAN

Persamaan linear simultan itu dapat dinyatakan sebagai:

��

�� … � ��

�� … � ��

… … … … …… … … … …

�� … � ��

�� * �

�

��

��

……��

�� =�

�

��

��

……��

�� atau [A] {X} = {B}

Di dalam metode Cholesky, matriks [A] disebut matriks simetri apabila di luar unsur

diagonal, unsur matriks baris sama dengan unsur matriks kolom pada indeks baris dan kolom

yang sama. Dengan demikian unsur matriks simetri dirumuskan sebagai

dengan i≠ j;

i= 1,2,3,...n; j= 1,2,3,...n.

Matriks simetri dapat dinyatakan sebagai produk matriks triangulasi bawah dengan

matriks triangulasi atas, dengan kedua matriks satu sama lain adalah matriks transpose.

[A] = [U]T . [U]

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn =b1

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn =b2

: : am1 x1 + am2 x2 + ... + amnxn =bm

�� = ��


⎣⎢⎢⎢⎡�� … � ��

�� … � ��

�� … � ��

… … … … …�� … � �� ⎦

⎥⎥⎥⎤

=

⎣⎢⎢⎢⎡�� 0 0 … 0�� 0 … 0�� … 0… … … … …

�� … � �� ⎦⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎡�� . . ��

0 � �� … � ��

0 0 � �� … � ��

… … … … …0 0 0 … � �� ⎦

⎥⎥⎥⎤

(1)

Dari persamaan di atas, unsur matriks [A] merupakan hasil produk unsur baris dalam

matriks [U]Tdan unsur kolom matriks [U]. Hubungan unsur a

ij dengan unsur u

ij baris pertama

a11 = �� ;

a12 = u11 . u12 ;

a13 = u11 . u13 ;

… ;

atn = u11 . utn

Nyatakan u1i dalam unsur a1i :

u12 = 11

12

u

a=

11

12

a

a;

u13 = 11

13

u

a=

11

13

a

a;

……… ;

Baris kedua :

a22 = ��

� + �� ;

a23 = u12u13 + u22u23 ;

11

1

11

11

a

a

u

au nn

n

u11 = 11a ;


……….. ;

a2n = u12u1n + u22u2n

Nyatakan u2i dalam unsur aij :

u22 =� �� − � �� = � ��

��

��

u23 = �� – ��

�� =

�_�� [�_��/√(�_�� )][�_��/√(�_�� )]

��

��

�

� ��

...

…

Baris ketiga :

a33 = �� + ��

� + �� ;

… ;

a3n = u13u1n + u23u2n + u33u3n

Nyatakan unsur u3i dalam unsur aij :

u33 = � ��

� = � �� −��

�

��−

⎣⎢⎢⎢⎡

��

� � ��

� ��

� � ��

� ��

�

� �� ⎦⎥⎥⎥⎤

�

…

dengan nilai uij didapat dari perhitungan sebelumnya.

Rumusan umum untuk menyatakan unsur matriks [A] pada posisi diagonal :

u2n = �� – ��

�� =

��

� ��

� ��

� � ��

� ��

�

� ��

u3n =��

��


aii = �� + � ��

� + � �� + ⋯ + � ��

�

atau

��= � � ��

�

��

(� = �)

Unsur matriks di luar posisi diagonal :

�� = � �� + � �� + � �� + ⋯ + � ��

Atau

aij = ∑ �� (� < �)��

sehingga rumusan umum untuk menyatakan unsur matriks [U] menurut persamaan (1) adalah

:

��= � ��− � � ��

��

��

(1 < �

= �) (2)

�� =1

��− � � ��

��

��

� (1 < �

< �) (3)

uij = 0

(� > �) (4)

Persamaan (2), (3), dan (4) disebut formula faktorisasi yang mengubah unsur matriks

[A] menjadi unsur dari dua matriks [U]T

dan [U] seperti persamaan (1).

Cara ini dinamakan metode Akar Cholesky karena adanya unsur akar pada pernyataan

uii, dan hanya berlaku bagi matriks yang simetri serta nilai di bawah tanda akar adalah

bilangan positif. Untuk menjelaskan metode ini, tinjau matriks simetri berikut ini :

� = �9 −3 6

−3 17 −106 −10 12

�


Untuk mendapatkan [U] = �

��

0 � ��

0 0 � ��

�dengan menggunakan persamaan (1), (2), (3),

diperoleh:

�� = √9 = 3 ; �� =��

√��

=−3

3= −1 ; � �� =

��

√��

=6

3= 2

�� = � �� − � �� = √17 − 1 = 4

�� =�� − � ��

��=

−10 + 2

4= −2

�� = � �� − � �� − � ��

� = √12 − 4 − 4 = 2

Sehingga

[�] = �3 −1 20 4 −20 0 2

� ;[��] = �3 0 0

−1 4 02 −2 2

�

Dapat dibuktikan :

[��][�] = �3 0 0

−1 4 02 −2 2

� �3 −1 20 4 −20 0 2

� = �9 −3 6

−3 17 −106 −10 2

�

Apabila matriks simetri tidak memenuhi nilai positif definitif, faktorisasi dilakukan ke dalam

produk, maka :

[�] = [��]�[�][��] (5)

Matriks [D] merupakan matriks diagonal dengan unsur-unsur matriks berupa suku

kuadrat dari faktorisasi baris matriks [U] [1]. Jika suku terfaktor adalah uii, maka unsur

diagonal dalam matriks [D] adalah

��= � �� ; � = 1, 2, 3, … , �


Nilai kuadrat uii

menghindarkan perhitungan di bawah tanda akar seperti dalam

persamaan (2). Dengan ketetapan ini, perlu dilakukan modifikasi untuk persamaan (2) dan

persamaan (3), prosedur modifikasi ini disebut cara Modifikasi Cholesky.

Persamaan (5) dapat dinyatakan dalam format yang lengkap berikut ini :

[�]

=

⎣⎢⎢⎢⎡

1 0 0 … 0�� 1 0 … 0�� 1 … 0… … … … …

�� … 1 ⎦⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎡�� 0 0 … 00 � �� 0 … 00 0 � �� … 0… … … … …0 0 0 … � �� ⎦

⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎡1 �� … ��

0 1 �� … ��

0 0 1 … ��

… … … … …0 0 0 … 1 ⎦

⎥⎥⎥⎤

(6)

Unsur matriks [A] di posisi diagonal berdasarkan rumusan (6) adalah a11

= d11

pada

suku pertama. Suku pada posisi diagonal lainnya adalah :

(7)

Unsur matriks [A] di luar posisi diagonal sebagai :

(8)

Unsur matriks [D] dan [�]�� dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (7) dan

(8) dalam persamaan faktorisasi

d11 = a11

d22 = a22 – d11��

d33 = a33 – d11�� - d22��

�

…

dnn = ann – d11��

- d22��

- … - ��

��= �� + ��

� + �� + ⋯ + ��

�� = �� + �� + �� + ⋯ + �� = ��+ ∑ �� (�� )��

;�� (1 < �< �)


atau secara umum :

(9)

Cara mendapatkan unsur matriks [U] pada persamaan faktorisasi (9) adalah

��= 1 , �� =��

�� , �� =

��

�� , … , �� =

��

��

�� =�

��(�� − � ��), �� =

�

��(�� − � ��), … , �� =

�

��(�� − � ��)

(10)

atau secara umum :

�� = �

��− ∑ ��

�� ; 1 < i < j

(11)

�� = 0, i > j

Jika diuraikan unsur matriks pada contoh

[A] = �9 −3 6

−3 17 −106 −10 12

�

Untuk mendapatkan [D] = �� 0 0

0 � �� 00 0 � ��

� dan

[��] = �1 ��

0 1 ��

0 0 1

� dengan menggunakan persamaan (10) dan (11) akan diperoleh

��= ��− � ��

��

��

�� ;(1 < �= �)


[�] = �9 0 00 16 00 0 4

� �� [��] =

⎣⎢⎢⎢⎡1 −

1

3

2

3

0 1 −1

20 0 1 ⎦

⎥⎥⎥⎤

Dapat dibuktikan bahwa [��][�][��] = [�]

Dengan memperhatikan persamaan (9) dan (11), urutan penyelesaian adalah

mendapatkan suku pada diagonal dii, kemudian menghitung unsur pada baris ke-i dari matriks

[U].

Perhitungan ini dapat diubah dalan urutan kolom, sehingga :

Perkalian �� ∗ �� terdapat dalam kedua persamaan ini. Tetapkan

��∗�� = � ��

dan hitung unsur ��, �� ,u dengan rumusan

��∗�� = � ��− � ��

∗ ; (1 < � < �)

��

��

�� = �� − ∑ ��; (1 < � = �)��

(12)

dengan

�� =�

��

∗

(13)

�� =1

��

��− � ��

��

��

� ;1 < �< �

�� = �� − � �� ;1 < �= �

��

��


Nilai ��∗ yang merupakan nilai antara di kolom – j diperoleh untuk setiap unsur di

luar diagonal setelah kolom pertama. Unsur diagonal ��dihitung dari persamaan (12), yang

pada saat bersamaan nilai akhir dari unsur �� diproses dengan persamaan (13). Dengan

urutan perhitungan ini, jumlah perkalian dapat dikurangi dibanding dengan cara Akar

Cholesky, dan perhitungan akar dihindari.

Apabila persamaan linear simultan yang akan diselesaikan dinyatakan sebagai

[�]{�}= {�}, dengan mengganti matriks [�] = [�]�[�][�] ,berarti persamaan linear dapat

dinyatakan sebagai

[�]�[�][��]{�}= {�}

Namakan [��]{�}= {�} yaitu

⎣⎢⎢⎢⎡

1 �� … ��

0 1 �� … ��

0 0 1 … ��

… … … … …0 0 0 … 1 ⎦

⎥⎥⎥⎤

⎩⎪⎨

⎪⎧

��

��

��

��

��⎭⎪⎬

⎪⎫

=

⎩⎪⎨

⎪⎧

��

��

��

��

��⎭⎪⎬

⎪⎫

(14)

dan

[�]{�}= {�}, ��

⎣⎢⎢⎢⎡�� 0 0 … 00 � �� 0 … 00 0 � �� … 0… … … … …0 0 0 … � �� ⎦

⎥⎥⎥⎤

⎩⎪⎨

⎪⎧

��

��

��

…�� ⎭

⎪⎬

⎪⎫

=

⎩⎪⎨

⎪⎧

��

��

��

…�� ⎭

⎪⎬

⎪⎫

(15)

��{�}= {�}, ��

⎣⎢⎢⎢⎡

1 0 0 … 0�� 1 0 … 0�� 1 … 0… … … … …

�� … 1 ⎦⎥⎥⎥⎤

⎩⎪⎨

⎪⎧

��

��

��

…��⎭

⎪⎬

⎪⎫

=

⎩⎪⎨

⎪⎧

��

��

��

…��⎭

⎪⎬

⎪⎫

Dengan substitusi ke depan �� = ��

�� = �� − ��

�� = �� − �� − �� , ��

�� = �� − ∑ ��;(1 < �)��


Dengan mengetahui vector {�}, dari persamaan (15) diperoleh unsur vector {�}, yaitu :

�� =��

��; (i=1,2, …., n)

Proses perhitungan terakhir adalah menemukan vektor {�} dari persamaan dengan cara

substitusi ke belakang

�� = ��

�� = � �� − ��

�� = � � − � �� ; (� < �)

�

��


BAB IV

ANALISIS

Pada bab ini akan dibahas mengenai tahapan-tahapan penyelesaian dari persoalan

matriks dengan menggunakan metode Cholesky. Selain itu pada bab ini akan dibahas pula

jawaban-jawaban dari setiap pertanyaan yang tertera pada rumusan masalah.

Penerapan metode Cholesky pada matriks simetris yang memenuhi nilai

positif definitif

[�] = �4 2 −102 5 7

−10 7 70�

Langkah-langkah yang harus dilakukan :

1. Cari nilai [U]

u11 = √�� = √4 = 2

u12 = ��

�� =

�

� = 1

u13 = ��

�� =

��

� = -5

u22 = � �� − (��)� = �5 − (1)� = √4 = 2

u23 = ��

�� =

�� (�)(��)

� =

��

� = 6

u33 = � �� − (��)� − (� ��)² = � 70 − (−5 )� − (6)² = √9 = 3

Untuk u21 , u31 , u32 bernilai nol (0) karena i > j

[U] = �2 1 −50 2 60 0 3

�

2. Cari nilai [UT].

Mengubah baris jadi kolom dan sebaliknya.


[UT] = �2 0 01 2 0

−5 6 3�

3. Pembuktian

Buktikan bahwa [A] = [UT][U]

�4 2 −102 5 7

−10 7 70� = �

2 0 01 2 0

−5 6 3� �

2 1 −50 2 60 0 3

�

= �

(2.2)+ (0.0)+ (0.0) (2.1)+ (0.2)+ (0.0) (2. −5 )+ (0.6)+ (0.3)(1.2)+ (2.0)+ (0.0) (1.1)+ (2.2)+ (0.0) (1. −5 )+ (2.6)+ (0.3)

(−5.2 )+ (6.0)+ (3.0) (−5.1 )+ (6.2)+ (3.0) (−5. −5 )+ (6.6)+ (3.3)

�

�4 2 −102 5 7

−10 7 70� =�

4 2 −102 5 7

−10 7 70� (TERBUKTI BENAR)

PENGGUNAAN MATLAB

Penerapan metode Cholesky pada matriks simetris yang tidak memenuhi

nilai positif definitif

% Dekomposisi Metode Cholesky

% untuk matrik simetri dan positif

% Cara Panggil: C = Cholesky(A)

% Input: A = matrik simetri dan positif

% Output: C = matrik segitiga atas dimana: A = C*B

A=[4 2 -10;2 5 7; -10 7 70]

[m,n] = size(A);

if m~=n, error('Matrik harus bujur sangkar'); end

B=chol (A)

C=transpose (B)

A=C*B

end


� = �8 2 −42 13 −6

−4 −6 20�

Buktikan hingga menjadi � = [��][�][�]

Langkah-langkah penyelesaian :

1. Cari nilai matriks [U] = �1 ��

0 1 � ��

0 0 1

�

�� =��

��=

��

(√��)�=

2

8=

1

4

�� =��

��=

��

(√��)�= −

4

8= −

1

2

�� =1

��

(�� − � ��. ��. ��)=1

�� − � ��

(�� − � ��. ��. ��)

= �

��

��

� �−6 − �8.�

�. −

�

��=

��

��[−5 ] = −

�

�

Untuk u21 , u31 , u32 bernilai nol (0) karena i > j

[�] =

⎣⎢⎢⎢⎡1

1

4−

1

2

0 1 −2

50 0 1 ⎦

⎥⎥⎥⎤

2. Cari nilai [UT] = �1 0 0

�� 1 0�� 1

�.

Mengubah baris jadi kolom dan sebaliknya.

[UT] = �

1 0 0�

�1 0

−�

�−

�

�1

�

3. Cari nilai matriks [D] = �� 0 00 � �� 00 0 � ��

�

�� = � �� = 8


�� = � �� − � �� = 13 − 8. �

�

��

�

=��

�

�� = � �� − � �� − � ��

� = 20 − 8. �−1

2�

�

−25

2�−

2

5�

�

= 20 − 2 − 2 = 16

Sehingga didapat :

[�] = �

8 0 0

025

20

0 0 16

�

4. Pembuktian

Buktikan bahwa [B] = [UT] [D] [U]

�8 2 −42 13 −6

−4 −6 20� =

⎣⎢⎢⎢⎡

1 0 01

41 0

−1

2−

2

51⎦

⎥⎥⎥⎤

�

8 0 0

025

20

0 0 16

�

⎣⎢⎢⎢⎡1

1

4−

1

2

0 1 −2

50 0 1 ⎦

⎥⎥⎥⎤

�8 2 −42 13 −6

−4 −6 20� = �

8 0 0

2��

�0

−4 −5 16

� �

11

4−

1

2

0 1 −2

5

0 0 1

�

�8 2 −42 13 −6

−4 −6 20� = �

8 2 −42 13 −6

−4 −6 20� (TERBUKTI BENAR)

Tidak semua persoalan linier dapat diselesaikan dengan metode Cholesky ini . Hal ini

dikarenakan adanya syarat-syarat tertentu yang harus dipenuhi seperti bentuk matriks

yang harus simetris, angka diluar diagonal utama nya harus memiliki nilai yang sama,

dan lain-lain.

Kelebihan Metode Cholesky:

1. Dapat mengetahui factor-faktor dari suatu matriks

Kekurangan Metode Cholesky:

1. Tidak semua persoalan dapat diselesaikan dengan metode Cholesky

2. Terlalu banyak persyaratan dalam penyelesaiannya


BAB V

PENUTUP

V.1. Kesimpulan

Metode Cholesky adalah sebuah metode penyelesaian persamaan linear simultan yang

diperoleh dari rumusan matematika berdasarkan atas unsur koefisien variabel yang simetris.

Metode ini memiliki beberapa ciri, yaitu matriks yang akan diselesaikan harus merupakan

matriks bujursangkar (ber-ordo sama), unsur matriks baris sama dengan unsur matriks kolom

pada indeks baris dan kolom yang sama. Angka diluar diagonal utama harus memiliki nilai

yang sama.

Metode Cholesky ini memiliki 2 jenis rumusan. Hal ini berdasarkan jenis matriks

yang dikerjakan, yaitu apabila matriks tersebut memenuhi nilai positif definitif maka

penyelesaian matriks tersebut menggunakan rumusan [A] = [��][U], bila tidak memenuhi,

maka menggunakan rumusan [A]=[ [��][�][U]. Ada pun ciri-ciri dari matriks yang

memenuhi nilai positif definitif yaitu

Nilai pada diagonal utamanya selalu positif

Determinannya bernilai positif

Dari hasil penyusunan makalah yang kami lakukan, dapat disimpulkan bahwa terapan

metode numerik khususnya metode Cholesky dalam persoalan matematika cukup diperlukan

karena dengan metode ini dapat dibuktikan dan dicari faktor dari suatu matriks.

Selain itu, berdasarkan analisis soal yang kami lakukan, dapat di simpulkan pula bahwa

tidak semua persoalan matriks dapat diselesaikan dengan metode Cholesky.

V.2. Saran

Kami menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini, masih terdapat kekurangan.

Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun dari

para pembaca.


Selain itu, kami pun menyarankan kepada pembaca sekalian, sekiranya dapat

mempelajari dan berusaha mengenal lebih jauh mengenai terhadap rekayasa sipil dalam

berbagai bidang dengan mencari tahu dan tidak hanya terpaku pada makalah ini.


DAFTAR PUSTAKA

[1] Lipson, Marc and Seymour Lipschutz. 2001. Schaum’s Outlines of Theory and

Problems of Linear Algebra 3th ed. New York: The McGraw-Hill Companies.

[2] Yahya, Yusuf dkk. 2001. Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi. Jakarta: Ghalia

Indonesia.

[3] Zakaria, Hasballah dan Amrinsyah Nasution. 2001. Metode Numerik dalam Ilmu

Rekayasa Sipil. Bandung: ITB.

[4] Tam. Metode Cholesky. ars.uns.ac.id. 24-11-2008 11.35 WIB

[5] Zakaria, Hasballah dan Amrinsyah Nasution. Metode Numerik secara Umum.

mail.si.itb.ac.id. 21-11-2008 10.01 WIB

[6] ________. materimahasiswateknik.blogspot.com. 21-11-2008 10.30 WIB

[7] ________. mti.ugm.ac.id. 23-11-2008 16.43 WIB

[8] ________. www.eng.ui.ac.id. 23-11-2008 13.12 WIB

[9] ________. www.google.com. 20-11-2008 08.44 WIB

[10] ________. www.malang.ac.id. 21-11-2008 11.14 WIB

[11] ________. www.math.ui.ac.id. 24-11-2008 08.40 WIB

[12] ________. www.yahoo.com. 21-11-2008 17.50 WIB

Makalah Metode Cholesky - Edited

Documents

Transcript of Makalah Metode Cholesky - Edited