I STACIONARNE ELEKTRIČNE STRUJE

☺1. ELEKTRIČNO KOLO STACIONARNE STRUJE1.1. KONVEKCIONA ELEKTRIČNA STRUJA

Sistematsku studiju makroskopskih magnetostatičkih polja, centralnog pojma magnetostatike, započinjemo analizom stacionarnih električnih struja u makroskopskim fizičkim sistemima. Sa makroskopskog stanovišta, pod stacionarnom električnom strujom podrazumevamo usmereno kretanje naelektrisanja čija se gustina raspodele u prostoru ne menja tokom vremena. Fundamentalna činjenica na osnovu koje se može zasnovati magnetostatika zasnovana je u tvrđenju da su stacionarne struje uzročnici magnetostatičkog polja. U tom smislu, stacionarno kretanje naelektrisanja preuzima u magnetostatici onu ulogu koju su u elektrostatici imali sistemi nepokretnih naelektrisanja.

Postoji više načina pomoću kojih je u određenom fizičkom sistemu moguće formirati stacionarno kretanje naelektrisanja. Sa principijelnog stanovišta, jedan od najjednostavnijih i najdirektnijih načina formiranja stacionarne struje svodi se na to da se određeno makroskopski naelektrisano telo dovede u stanje kretanja.

Na slici 1(a) prikazan je disk koji je naelektrisan po svom obodu i koji se može dovesti u stanje rotacije oko sopstvene ose konstantnom ugaonom brzinom. Pre pokretanja diska njegova naelektrisanja formiraju isključivo elektrostatičko polje, koje će delovati određenom silom na neko tačkasto nepokretno naelektrisanje (q) postavljeno u blizini diska. Magnetna igla, takođe postavljena u blizini diska biće orijentisana u pravcu magnetnog polja Zemlje.

Slika 1.

Kada se disk zarotira oko svoje ose konstantnom ugaonom brzinom , slika 1(b), zajedno sa diskom kreću se i naelektrisanja formirajući takozvanu konvencionu električnu struju. U prostoru oko ove struje se pored električnog polja formira i magnetno polje. Indikator pojave magnetnog polja je skretanje magnetne igle sa svog prvobitnog pravca.

1.2. KONDUKCIONE ELEKTRIČNE STRUJE

Mada primer sa rotirajućim naelektrisanim diskom od dielektrika ukazuje na fundamentalnu vezu između stacionarnih električnih struja i magnetnog polja, ovakav fizički sistem nije dovoljan za naše dalje analize magnetostatičkih fenomena. Centralno mesto u našim razmatranjima imaće oni fizički sistemi u kojima se stacionarne električne struje formiraju unutar nepokretne i provodne materijalne sredine. Naime, pod određenim

1

specifičnim uslovima moguće je dovesti u stanje usmerenog kretanja ogroman broj naelektrisanih i slobodnih mikročestica (elektrona, pozitivnih ili negativnih jona) unutar provodnih sredina. Ovakvo usmereno i kolektivno kretanje naelektrisanih čestica unutar provodnih sredina (u čvrstom, tečnom ili gasovitom agregatnom stanju) naziva se kondukciona električna struja ili struja provodnosti.

Tipičan makroskopski fizički sistem u kome su obezbeđeni uslovi za trajno održavanje kondukcionih struja ima strukturu takozvanog strujnog kola. Pod strujnim kolom podrazumevamo sistem međusobno povezanih provodnika kroz koji se odvija usmereno kretanje naelektrisanja. Kod svakog strujnog kola pogodno je razlikovati njegovu aktivnu i pasivnu komponentu. Obično ulogu aktivne komponente električnog kola preuzima odgovarajući uređaj koji se naziva generator. Ostali deo kola predstavlja pasivnu komponentu.

Slika 2.

Na slici 2 prikazan je primer strujnog kola u kome rotirajući metalni disk preuzima ulogu mehaničkog generatora. Pasivni deo kola predstavlja provodna žica načinjena od istog metala kao i disk, koja je preko prekidača П spojena sa njegovim tačkama A i B. Kada je prekidač П otvoren, a nenaelektrisan disk rotira konstantnom ugaonom brzinom , dolazi do preraspodele njegovih naelektrisanja (slika 2(a)). Naime, slobodni elektroni metalnog diska raspoređuju se po njegovom obodu, dok centralna tačka diska (A) postaje elektro-pozitivna. Sa stanovišta rotirajućeg koordinatnog sistema vezanog za disk, svaki slobodni elektron metala izložen je delovanju centrifugalne sile koja ga pomera prema obodu diska.

Vrlo brzo nakon zatvaranja prekidača П (slika 2(b)) dolazi do uspostavljanja dinamičke ravnoteže. U ovom, takozvanom stacionarnom stanju, slobodni elektroni žičanog provodnika pomeraju se od tačke B prema tački A. Gubitak elektrona na kontaktu B neprestano se nadoknađuje radijalnim kretanjem elektrona kroz disk od tačke A prema tački B. Drugim rečima, strujno kolo formira se od žičanog provodnika i dela AB diska. Kretanje elektrona unutar ovog strujnog kola održava se u stacionarnom stanju sve dok se disk okreće konstantnom ugaonom brzinom . Uspostavljanje električne struje praćeno je pojavom magnetostatičkog polja koje se registruje skretanjem magnetne igle. Mada strujno kolo odražava bitna elektromagnetna svojstva koja proučavamo, treba primetiti da je u praksi teško ostvariti uslove pod kojima bi mehanički generator doveo do intenzivnijih struja i lako merljivih magnetostatičkih polja.

Daleko izražajnije efekte imamo kada koristimo električno kolo sa hemijskim generatorom elektromotorne sile (slika 3). Upravo je pomoću ovakvog strujnog kola prvi put registrovano magnetostatičko polje stacionarne struje u Oerstedovom eksperimentu iz 1820.godine. Sa fizičkog stanovišta, hemijski generatori su znatno komplikovaniji sistemi u odnosu na mehanički generator sa slike 2, pre svega zato što je njegovo funkcionisanje

2

povezano sa odgovarajućim hemijskim procesima. Tipičan hemijski generator možemo shvatiti kao sud sa elektrolitom u koji su uronjene dve elektrode različitih metala (slika 3(a)). Elektroliti predstavljaju rastvore kiselina, baza ili soli (na primer, rastvor kuhinjske soli NaCl u vodi) u kojima je izvršena delimična disocijacija molekula rastvora na pozitivne i negativne jone (na primer, pozitivne Na+ i negativne Cl-).

Slika 3.

Kada je prekidač П otvoren (slika 3(a)), hemijski procesi na kontaktima elektroda i elektrolita dovode do toga da jedna elektroda sadrži višak pozitivnog, a druga višak negativnog naelektrisanja. Hemijski generator kao celina predstavlja električki neutralan sistem, pri čemu je pozitivna elektroda prekrivena tankim slojem negativnih jona, dok je negativna elektroda okružena slojem pozitivnih jona. Sve dok je prekidač П otvoren, u hemijskom generatoru sva kretanja neutralnih molekula i jona elektrolita imaju haotični karakter, a raspodela naelektrisanja na elektrodama ne menja se tokom vremena.

Zatvaranjem prekidača П (slika 3(b)) uspostavlja se novo stacionarno stanje (dinamička ravnoteža) u kome se javlja stacionarna električna struja. Kao i u slučaju kola sa mehaničkim generatorom, struju u metalnoj žici formiraju slobodni elektroni koji se kreću od negativne ka pozitivnoj elektrodi. Međutim, električnu struju u elektrolitu hemijskog generatora čine usmerena kretanja pozitivnih i negativnih jona. Na slici 3(c) prikazano je kretanje ekvivalentnog negativnog naelektrisanja kroz elektrolit. U hemijskom generatoru ulogu „strane sile“ koja obavlja prostorno razdvajanje naelektrisanja preuzimaju hemijski procesi (za razliku od našeg primera mehaničkog generatora, gde se u ulozi „strane sile“ pojavljuje centrifugalna sila ). Primetimo da je delovanje stranih sila kod hemijskog generatora lokalizovano u blizini površina elektroda (delovi AB i A’B’ sa slike 3(c)). U ovim delovima strujnog kola ekvivalentno negativno naelektrisanje se kreće (suprotno elektrostatičkim zakonima) od „+“ ka „-„ naelektrisanjima.

Mada navedeni primeri električnih kola sa mehaničkim i hemijskim generatorom predstavljaju tipične fizičke sisteme u kojima su obezbeđeni uslovi za stacionarno kretanje naelektrisanja, treba primetiti da se ovi uslovi mogu obezbediti pod raznim drugim okolnostima. Tako, na primer, kontakt dva različita provodnika koji se održavaju na različitim temperaturama ponaša se kao neka vrsta termičkog generatora. Ne ulazeći ovde u detalje raznovrsnih fizičkih procesa kojima se može obezbediti stacionarnost električne struje, naglasimo da se u svim slučajevima pojavljuje sledeće opšte svojstvo: za održavanje električne struje potrebno je obezbediti da u delu električnog kola, ili u čitavoj njegovoj zapremini, deluju „strane sile“ neelektrostatičkog porekla. U našem primeru mehaničkog

3

generatora, ulogu strane sile preuzima centrifugalna sila , dok je kod hemijskog generatora strana sila „hemijske prirode“.

1.3. STRUJNO KOLO KAO STACIONARNI ELEKTRO-MAGNETNI SISTEM

Na osnovu primera iz naših dosadašnjih razmatranja možemo uočiti da kondukcione struje imaju karakter „vrtloga“, koji se formira unutar određene provodne sredine. Formalno električno kolo stacionarne struje podseća na zatvoreni sistem cevi u kojima stacionarno struji nestišljiv fluid, pri čemu generator preuzima ulogu mehaničke pumpe. Međutim, generator električne struje ne potiskuje slobodne elektrone metalnog provodnika. Dominantni procesi strujnog kola su bitno nemehaničkog karaktera.

Polazna tačka svih naših daljih razmatranja bazira se na činjnici da strujno kolo predstavlja elektro-magnetni sistem. Preciznije rečeno, procesi koji leže u osnovi stacionarnog i usmerenog kretanja naelektrisanih mikročestica unutar provodne sredine strujnog kola posledica su složenih elektro-magnetnih zbivanja. Detaljnija kvantitativna analiza ovih procesa biće izložena u drugom, trećem, četvrtom i petom poglavlju; ovde ćemo ukazati na neke ključne pojmove koji se mogu shvatiti na osnovu već datih primera sistema sa kondukcionim strujama.

Slika 4.

Sa stanovišta opšte strukture, strujno kolo se pre svega karakteriše određenom raspodelom naelektrisanja, vidi sliku 4(a). Tačke A i B strujnog sistema sa slike 4(a) repezentuju polove generatora (oblasti statičnog pozitivnog i negativnog naelektrisanja). Struju u spoljnjem delu kola formiraju elektroni koji se kreću od tačke B prema tački A. Uočimo da unutar samog generatora imamo kretanje ekvivalentnih negativnih naelektrisanja (pod delovanjem strane sile) od tačke A prema tački B, to jest od pozitivnog prema negativnom polu generatora.

Ovakvu raspodelu statičnog i pokretnog naelektrisanja možemo protumačiti polazeći od analize elektromagnetnog polja u stacionarnom stanju posmatranog strujnog sistema. Naime, u procesu uključenja generatora u strujno kolo javlja se složeno vremenski zavisno elektro-magnetno polje koje se prostire brzinom svetlosti u čitavom prostoru samog sistema i njegove okoline. Ovaj prelazni režim skoro trenutno dovodi do stacionarnog stanja u kome se formira vremenski nezavisno, trajno električno polje i magnetno polje (vidi sliku 4(b)). Polje postoji kako u spoljnjem delu kola, tako i u samom generatoru, pri čemu linije ovog polja polaze od pozitivnog, a završavaju se u negativnom polu generatora. Pri tom je polje

4

uglavnom lokalizovano unutar samog strujnog sistema, dok je magnetno polje dominantno lokalizovano izvan strujnog sistema.

Postojanje trajnog električnog polja u pasivnom delu kola sa slike 4(b)) objašnjava zašto u ovom delu kola dolazi do usmerenog kretanja svih slobodnih elektrona. Naime, polje

deluje na svaki pojedinačni elektron silom = -e , zbog čega skoro trenutno po uključenju generatora, započinje kretanje elektrona u svim delovima metalnog provodnika. Međutim, sila polja nije dovoljna da obezbedi i kretanje elektrona (to jest odgovarajućeg naelektrisanja) unutar samog generatora : sa slike 4(b) vidimo da linije ovog polja E imaju smer od pozitivnog ka negativnom polu generatora, što znači da sila = -e unutar generaotora teži da onemogući kretanje elektrona. Prenošenje elektrona kroz generator, od njegovog pozitivnog pola prema negativnom polu, odvija se u prisustvu strane sile koja je neelektrostatičkog porekla. Efekat delovanja ovakve – strane sile, ekvivalentan je delovanju dopunskog i fiktivnog električnog polja unutar generatora koje je usmereno od negativnog prema pozitivnom polu (isprekidane linije na slici 4(b)).

Uslovi stacionarnog kretanja elektrona u čitavom strujnom kolu biće obezbeđeni ukoliko je rezultujuće polje u generatoru, = + , takvo da ima smer od pozitivnog prema

negativnom polu. Efektivno polje deluje na elektrone ( odnosno odgovarajuća

naelektrisanja) silom = -e i pomera ih od pozitivnog ka negativnom polu, vidi sliku 4(a). Na taj način dolazi do „zatvorenog strujnog kola“.

Scenari po kome se odvija kretanje naelektrisanja u ovakvom kolu ima i još jedan aspekt, koji je u vezi sa zakonom održanja energije. Naime, sa stanovišta ovog zakona, strujno kolo u stacionarnom režimu predstavlja jedan otvoren fizički sistem, u koji se neprestano mora dovoditi energija, a iz kojeg neprestano odlazi toplotna energija. U tom smislu, generator predstavlja aktivni deo kola koji dvodi energiju sistemu, dok je ono uglavnom iz sistema zrači u obliku toplote u pasivnom delu kola.

1.4. ELEKTRIČNA KOLA SA KONTINUALNIMPARAMETRIMA

Završavajući našu kvalitativnu analizu električnih kola stacionarnih struja, preostaje nam da razmotrimo i neka osnovna svojstva ovih fizičkih sistema koja su bitno uslovljena njihovim geometrijskim karakteristikama. Sa geometrijskog stanovišta, električno kolo je pogodno podeliti u dve osnovne grupe: električna kola sa kontinualnim parametrima i električna kola sa koncentrisanim parametrima.

Pod električnim kolima sa kontinualnim parametrima podrazumevamo strujni sistem čije su karakteristike raspoređene po čitavoj njihovoj zapremini, to jest koja se sastoje od takozvanih zapreminskih provodnika. Raznovrsnost geometrijskih oblika ovakvih kola je naročito izrazita u njihovim pasivnim delovima, to jest u onim oblastima u kojima ne deluju strane sile (na primer, polulopte, cilindri i tako dalje).

Specijalnu, ali za naša dalja razmatranja važnu klasu kola sa kontinualnim parametrima čine takozvana kvazi-linijska električna kola stacionarnih struja prikazana na slici 5.

Da bi strujno kolo spadalo u kvazi-linijska kola moraju biti zadovoljena dva uslova, od kojih je prvi čisto geometrijski, a drugi fizički. Prvi uslov zahteva da se unutar provodne sredine može definisati takva linija L i u svakoj tački ove linije površina poprečnog preseka S, kroz koju linija L prolazi pod pravim uglom. U opštem slučaju ne predpostavlja se da je površina poprečnog preseka S ista u svakom delu kola. Drugi uslov kvazi-linearnosti kola zahteva da u svakoj tački datog poprečnog preseka S, nađenog u bilo kom delu kola, sve

5

fizičke veličine (koje opisuju lokalna svojstva jačine električne struje, otpornosti sredine i električno polje) imaju iste vrednosti.

Slika 5.

Smisao uvedenog pojma kvazi-linijskog strujnog kola je u tome što se izučavanje električne struje u njima može zameniti jednostavnijom slikom po kojoj su sve relevantne fizičke karakteristike pripisane tačkama krive L. U tom smislu, kriva L kvazi-linijskog električnog kola ponekad se naziva strujna kontura. Drugim rečima, iako je kvazi-linijsko kolo zapreminski strujni sistem, ono se formalno može posmatrati kao linija na čijem aktivnom delu (između A i B, slika 5(a)) deluje strana sila.

Uočimo u praksi relevantnih strujnih sistema, uz veći ili manji stepen tačnosti, može se svrstati u klasu kvazi-linijskih električnih kola. Dva gore navedena uslova kvazi-linijskog kola, važe, na primer, u svim delovima tankog žičanog provodnika od metala koji je priključen za polove generatora, što je u praksi veoma čest slučaj. Štaviše, generator kao aktivni deo strujnog sistema može se često smatrati delom kvazi-linijskog kola.

Pojam prostog kvazi-linijskog kola, ilustrovanog na slici 5 (a), može se uopštiti i na složena kvazi-linijska kola prikazana na slici 5(b). Ovakvo kolo se sastoji od pojedinih delova koji se mogu smatrati kvazi-linijskim provodnicima.

1.5. ELEKTRIČNA KOLA SA KONCENTRISANIMPARAMETRIMA

Svaki realni makroskopski fizički sistem u kome je formirana stacionarna električna struja predstavlja, u suštini, električno kolo sa kontinualnim parametrima. Međutim, pod određenim uslovima, električno kolo može biti shvaćeno kao sistem u kome se relevantni procesi dominantno odvijaju u određenim delovima prostora samog kola. Ovako shvaćen strujni sistem naziva se električno kolo sa koncentrisanim parametrima.

Na slici 6(a) prikazana je struktura prostog strujnog kola sa koncentrisanim parametrima. Delovi ovakvih kola u kojima se dominantno odvijaju određeni procesi nazivaju se elementi kola sa koncentrisanim parametrima.

Element kola u kome se odvija pretvaranje energije kretanja naelektrisanja u toplotu naziva se otpornik i karakteriše se otpornošću R. Drugi element kola stacionarne struje predstavlja generator, koji se karakteriše kako određenom elektromotornom silom tako i određenom otpornošću Rg. Preostali delovi kola predstavljaju provodnike zanemarljive otpornosti (u odnosu na R i Rg), čija je osnovna funkcija da povežu elemente kola i time

6

obezbede zatvorenost strujnog kola. Pretpostavićemo, takođe, da u ovim provodnicima ne deluju strane sile.

Slika 6.

Veliki broj sistema stacionarnih struja sa kojima se srećemo u tehnici i laboratorijama možemo smatrati električnim kolima sa koncentrisanim parametrima. Pritom se često događa da ulogu otpornika preuzimaju manje ili više složeni električni uređaji (na primer, sijalica ili električna grejalica), koji su spojeni sa polovima generatora tankim metalnim žicama zanemarljive otpornosti. Pod ovim uslovima, ni oblik niti dužina ovakvih metalnih žica ne igra bitnu ulogu u režimu stacionarnog kretanja naelektrisanja u sistemu.

Kola sa koncentrisanim parametrima mogu se grafički prikazati odgovarajućom električnom šemom kola. Osnovna funkcija električne šeme datog kola je da vizuelno predoči broj i vrstu elemenata kola i način na koji su oni povezani. Na slici 6(b) prikazana je električna šema strujnog kola sa slike 6(a) pri čemu su punim linijama A1 i 2B (irelevantnih oblika i dužina) prikazane veze između elemenata kola. Otpornik otpornosti R prikazan je cik-cak linijom. Generator je predstavljen rednom vezom otpornika otpornosti Rg i simbolom za elektromotornu silu , pri čemu duža i tanja linija predstavlja pozitivan pol, a kratka i deblja linija negativni pol posmatranog generatora. Napomenimo da se u literaturi sreću i drugi grafički simboli kojima se predočavaju karakteristike R, i Rg.

Složena električna kola sa koncentrisanim parametrima mogu se takođe prikazati odgovarajućim šemama. U tom slučaju možemo uočiti grane (linije sa odgovarajućim elementima) i čvorove (tačke u kojima se sustiče više grana).

☺2. KINETIKA STACIONARNIH ELEKTRIČNIH STRUJA2.1. NOSIOCI ELEKTRIČNIH STRUJA

Naša kvalitativna analiza iz prvog poglavlja pokazala je da se u električnom kolu stacionarne struje istovremeno odvija više fizičkih procesa različitih stepena složenosti. Najjednostavniji aspekt stacionarnih struja povezan je sa kretanjem naelektrisanih mikročestica duž kontinualnih putanja. U tom smislu, naš prvi zadatak je da razmotrimo kinetiku stacionarnih električnih struja.

Osnovni pojam kinetike električnih struja je pojam nosioca električne struje, pod kojim obično podrazumevamo naelektrisane čestice koje u provodnim sredinama mogu prelaziti puteve makroskopskih dužina. U različitim provodnim sredinama ulogu nosioca

7

struje mogu preuzeti različite naelektrisane čestice. Kao što smo videli u prvom poglavlju, nosioci električne struje u metalima su negativni slobodni elektroni. Sa druge strane, nosioci električne struje u elektrolitima su pozitivni i negativni joni, nastali disocijacijom molekula elektrolita. Mi ćemo se ovde ograničiti na razmatranje kinetike slobodnih elektrona metala kao osnovnoj vrsti nosioca struje u okvirima elektromagnetizma.

Razmotrimo najpre kinetička svojstva slobodnih elektrona metalnih provodnih sredina – žice, ako ona nije spojena sa polovima generatora. U tom slučaju kretanje svih slobodnih elektrona ima haotični karakter. Svaki pojedinačni i-ti elektron elektronskog gasa metala opisuje određenu izlomljenu putanju sa trenutnom brzinom , vidi sliku 1(a). Naime, i-ti elektron se sudara sa čvorovima rešetke (jonima) kristalne strukture metala menjajući pravac svog kretanja. Zbog velikog broja elektrona elektronskog gasa, kretanje pojedinačnog elektrona izgleda haotično.

Slika 1.

Ukoliko se na krajeve žice priključe polovi generatora elektromotorne sile, unutar provodne sredine (metalne žice) uspostavlja se trajno električno polje jačine , slika 1(b). U ovakvom električnom polju kretanje elektrona dobija i usmerenu komponentu zbog čega on može da se pomera na makroskopska rastojanja (nasuprot polju). Trenutna brzina i-tog

elektrona sada je jednaka zbiru brzine haotične komponente kretanja i usmerene

komponente kretanja , to jest:

= + (2.1)

Jasno je da trenutna brzina i-tog elementa na veoma komplikovan način zavisi od njegovog položaja kretanja. Zbog toga je sa makroskopskog stanovišta izučavanja električnih struja potrebno preći na odgovarajuće srednje vrednosti brzine elektrona. Ovo usrednjavanje je najlakše izvesti ako posmatramo raspored elektronskih brzina u trenutku t. Uočimo, unutar metala, tačku M sa koordinatom i zamislimo fizički infinitezimalnu zapreminu ∆V oko ove tačke (slika 2(a)). Neka se u trenutku t u ovoj zapremini nalazi ∆N slobodnih elektrona. Srednja brzina svakog od ovih elektrona je:

, (2.2)

gde se sumiranje vrši po svim elektronima zapremine ∆V. Kako je = + , nalazimo:

, (2.3a)

to jest:

8

< > = < > + < > (2.3b)

gde je < > srednja vrednost „haotične“ komponente brzine (to jest brzine elektrona u

odsustvu trajnog polja ), a < > srednja vrednost brzine usmerenog kretanja.

Slika 2.

Kako je broj elektrona u zapremini ∆V vrlo veliki, biće zastupljeni svi mogući pravci vektora , tako da je:

< > = 0. (2.4)

Srednja vrednost < > je različita od nule i njom se definiše jedan vektor koji je potpuno određen u svakoj tački provodne sredine i u svakom trenutku. Označavajući ovaj vektor sa

(< > = ), za srednju brzinu elektrona dobijamo:

< > = . (2.5)Prema tome, električnu struju sa makroskopskog stanovišta možemo posmatrati kao kolektivno i potpuno usmereno kretanje elektrona srednjom brzinom (slika 2(b)). Pritom je stvarni, fizički smer struje u metalima (to jest smer kretanja elektrona) suprotan od smera polja .

Pri izučavanju makroskopskih zakona električne struje pogodnije je umesto strujnog (fizičkog) smera definisati takozvani tehnički smer struje. Ovaj smer se definiše tako da se poklapa sa smerom jačine polja u metalu, to jest on je suprotan od smera kretanja elektrona. Drugim rečima, umesto da posmatramo stvarno usmereno kretanje elektrona, mi električnu struju možemo shvatiti kao usmereno kretanje pozitivnih čestica naelektrisanja +e u suprotnom smeru.

U daljim izlaganjima mi ćemo pod smerom struje podrazumevati njen tehnički smer, to jest podrazumevaćemo da se umesto elektrona (-e) kreću pozitivna naelektrisanja +e. Ovakva naelektrisanja ćemo nazvati ekvivalentni nosioci struje. Koncentracija n nosioca struje (to jest njihov broj u jedinici zapremine) mora biti jednaka koncentraciji ne elektronskog gasa metala. Za brzinu ovako uvedenih pozitivnih čestica imamo:

. (2.6)

2.2. GUSTINA ELEKTRIČNE STRUJE,

Sa makroskopskog stanovišta u svakoj tački provodne sredine (u trenutku t) u kojoj je uspostavljena električna struja transport naelektrisanja se odvija u određenom pravcu i smeru i sa određenim intenzitetom. Zbog toga se pojavljuje potreba za uvođenjem jedne

9

makroskopske vektorske veličine , koja se naziva gustina električne struje i koja predstavlja lokalnu karakteristiku struje u posmatranoj tački provodnika (u datom trenutku).

Vektor ćemo definisati ograničivši se na struju elektrona koja se formira u provodnoj sredini, pri čemu je srednja brzina usmerenog kretanja elektrona u posmatranoj tački i datom trenutku. Označimo sa ne koncentraciju elektrona u posmatranoj tački metala. Podsećamo da je u teoriji električnih struja pogodnije koristiti pozitivne ekvivalentne nosioce struje srednje brzine , jednačina (2.6), i koncentracije n = ne.

Gustina struje se definiše kao proizvod gustine naelektrisanja ekvivalentnih pozitivnih nosioca struje i srednje usmerene brzine :

(2.7a)na osnovu formule (2.7a) vidimo da je (dimenziono):

(=) (2.7b)

Električnu struju čiji se vektor = ( ,t) u nekim tačkama provodne sredine menja tokom vremena nazivamo nestacionarna električna struja. Ako je gustina struje u svim tačkama nezavisna od vremena (∂ /∂t=0) onda imamo stacionarnu električnu struju. Naravno, u važnim tačkama provodne sredine u kojoj je uspostavljena stacionarna struja vektor j može biti različit, to jest kod stacionarne struje imamo da je = ( ). U glavi II magnetostatike ćemo videti da upravo stacionarne struje predstavljaju uzročnike takozvanog magnetostatičkog polja.

Slika 3.Za vizuelno prikazivanje raspodele stacionarne struje po zapremini provodnika

koristimo pojam strujne linije. Ona predstavlja liniju koja u svakoj tački za tangentu ima pravac vektora , a usmerena je u smeru vektora . Pošto je na osnovu jednačine (2.7a) vektor istog pravca i smera kao i brzina , to strujne linije stacionarne struje u stvari predstavljaju usrednjene putanje pozitivnih nosioca struje, vidi sliku 3. Stujne linije imaju istu funkciju koju imaju i linije elektrostatičkog polja, pa se najčešće za njihovo crtanje koristi i ista konvencija o njihovom broju po jedinici površine (odeljak 2.2 elektrostatike).

2.3. JAČINA ELEKTRIČNE STRUJE, I

Gustina struje , definisana u prethodnom odeljku, predstavlja lokalnu vektorsku karakteristiku struje u određenoj tački provodne sredine i u datom trenutku koja veoma često nije lako merljiva fizička veličina. Zbog toga je u kinematici električnih struja pogodno koristiti jednu dodatnu, skalarnu makroskopsku veličinu koja se naziva jačina električne struje, I. Opisno govoreći, veličina I predstavlja naelektrisanje koje u jedinici vremena prođe kroz određenu površinu S u uočenom smeru. U tom smislu, jačina struje I predstavlja globalnu karakteristiku električnih struja.

10

Da bismo dali precizniju definiciju jačine električne struje u metalnoj provodnoj sredini, uočimo neku orijentisanu površinu S unutar ovakve sredine (slika 4(a)). Neka je dq naelektrisanje koje je za vreme dt proteklo kroz površinu S u zadatom smeru (određenim smerom površine S). Pod jačinom električne struje I podrazumevamo sledeću veličinu:

.(2.8)

Dakle, jačina struje I je brojno jednaka naelektrisanju koje u jedinici vremena prođe kroz unapred zadatu površinu S u zadatom smeru. Primećujemo da skalarna veličina I podseća, na primer, na fluks vektora jačine elektrostatičkog polja (odeljak 3.2 Elektrostatike). Naime, i jačina struje je definisana u odnosu na datu površinu. Takođe, kao i , ona može biti pozitivna ili negativna, zavisno od relativnog odnosa orijentacije površine (to jest zadatog smera) i smera struje.

U međunarodnom sistemu jedinica (SI) za jačinu struje koristimo amper (A):I(=)A.

Amper spada u takozvane osnovne jedinice ovog sistema. Definicija ampera se zasniva na sili koja deluje između dva tanka paralelna provodnika u kojima je uspostavljena električna struja. Ova sila će, zajedno sa definicijom ampera, biti razmatrana u sledećem poglavlju.

Slika 4.

Ovde ćemo primetiti da se na osnovu (2.8), kulon (C) može izraziti preko ampera (A) i

sekunde (s):

1C = 1A ∙ 1sDa bismo integralnu veličinu I povezali sa lokalnom karakteristikom , potrebno je

izraziti jačinu struje I neposredno preko karakteristika nosioca struje. Označimo da ∆S mali deo površine S (slika 4(b)), a sa ∆I jačinu struje kroz ∆S. Smer vektora ∆ biramo proizvoljno. Jačina struje ∆I će u odnosu na ovaj proizvoljno izabrani smer biti pozitivna (∆I>0) ako vektor zaklapa oštar ugao sa smerom vektora ∆ (kao na slici 4(b)); u suprotnom slučaju je ∆I negativne brojne vrednosti (∆I<0).

Za vreme dt kroz površinu ∆S prođu svi nosioci struje iz zapremine kosog paralelopipeda (slika 4(b)) dužine Udt i osnovice ∆S. Proteklo naelektrisanje za slučaj prikazan na slici 4(b) je:

dq = e n dV (2.9)gde je dV zapremina uočenog paralelopipeda. Zapremina dV određena je formulom:

dV = U dt ∆S = ∙ ∆ dt (2.10)

11

gde je ugao između vektora ∆ i prema tome, za jačinu struje ∆I kroz uočenu površinu ∆S dobijamo:

= e n ∙ ∆ (2.11)

Isti izraz važi i ako je ∆S suprotnog smera od onog prikazanog na slici 4(b).Vektorska veličina en u jednačini (2.11) predstavlja gustinu struje na površini

struje ∆S, tako da jačinu struje ∆I možemo napisati u obliku skalarnog proizvoda i ∆S: ∆I= ∆S.

Uzimajući da je ∆ infinitezimalna veličina, jačina struje ∆I takođe postaje infinitezimalna veličina, to jest:

dI = ∙ d (2.12)na taj način, za ukupnu jačinu struje I kroz čitavu površinu S imamo:

∙ d(2.13)

Uočavamo da jačina struje I predstavlja fluks gustine struje kroz površinu S, vidi odeljak 3.2 Elektrostatike.

Na osnovu jednačine (2.12) intenzitet vektora dobija sledeći fizički smisao. Imamo:dI = ∙ d = j dS = j dS┴ (2.14)

gde je dS┴ projekcija vektora površine d na pravac vektora . Prema tome

(2.15)

drugim rečima, gustina struje je brojno jednaka jačini struje po jedinici površine, postavljene normalno na pravac struje. Otuda za dimenziju veličine j imamo j (=) A/m2.

2.4. JEDNAČINA KONTINUITETA

U odeljku 1.3 Elektrostatike smo videli da se ukupno naelektrisanje izolovanog sistema čestica ne menja tokom vremena. Ova fundamentalna činjenica predstavlja zakon održanja naelektrisanja izolovanog sistema. Matematički oblik navedenog zakona je poznat pod nazivom jednačina kontinuiteta.

Pretpostavimo da se određeno naelektrisanje Q u trenutku t nalazi unutar zapremine V ograničene površinom S (slika 5(a)). Sistem naelektrisanja Q posmatramo kao izolovan sistem (on se, na primer, može sastojati od nepromenljivog broja pozitivno naelektrisanih čestica). Neka je za vreme dt jedan deo čestica napustio uočenu zapreminu, odnevši sa sobom naelektrisanje dq (slika 5(b)). Na osnovu zakona održanja naelektrisanja mora biti:

dq = -dQ (2.16)gde je dQ razlika naelektrisanja u trenutku t+dt i trenutku t, sadržanog u zapremini V.

12

Slika 5.

Znak minus na desnoj strani jednačine (2.16) se javlja zato što je naelektrisanje unutar uočene zapremine V smanjilo tokom vremena dt. Deleći levu i desnu stranu izraza (2.16) sa dt dobijamo:

(2.17)

Veličina dq/dt predstavlja jačinu struje I kroz zatvorenu površinu S (iz unutrašnje oblasti prema spoljnjoj) i može biti izražena preko gustine struje = ( ,t), vidi jednačinu (2.13).

Prema tome,

∙ d = , (2.18)

gde je d vektor elementarne površine d usmeren u pravcu spoljne normale na S. Sa druge strane, naelektrisanje Q možemo izraziti preko gustine naelektrisanja :

, (2.19)

tako da je:

∙ d = . (2.20)

Integracija po zapremini V funkcije se svodi na integraciju po prostornim koordinatama. Zbog toga diferenciranje po vremenu i integracija po V na desnoj strani izraza (2.20) mogu da zamene mesta. Tako dobijamo:

∙ d =

,(2.21)

gde ∂ /∂t predstavlja parcijalni izvod funkcije po vremenu. Izraz (2.21) predstavlja integralni oblik jednačine kontinuiteta. Iako matematički komplikovanija, formula (2.21) se po svom fizičkom sadržaju ne razlikuje od polazne jednačine (2.16).

Levu stranu jednačine (2.21) možemo transformisati u zapreminski integral koristeći Gauss-Ostrogradski-jevu teoremu. Tako dobijamo formulu:

.(2.22)

Pošto dobijeni izraz mora važiti za proizvoljnu zapreminu V, to je:

13

. (2.23)

Ovo je diferencijalni oblik jednačine kontinuiteta. Formula (2.23) izražava lokalnu vezu između gustine struje u datoj tački provodne sredine u datom trenutku i gustine naelektrisanja u istoj tački i istom trenutku.

Primećujemo da jednačina kontinuiteta podseća na diferencijalni oblik Gauss-ove teoreme = . Na kraju odeljka 4.1. Elektrostatike smo videli da linije polja „izviru“ iz onih tačaka prostora u kojima je >0, a „poniru“ u tačkama gde je <0. Analognu situaciju imamo i u slučaju strujnih linija vektora . Izvori strujnih linija su one tačke u kojima je -∂ /∂t > 0, to jest tačke u kojima se gustina naelektrisanja smanjuje sa vremenom. Tačke u kojima se tokom vremena povećava gustina naelektrisanja (-∂ /∂t < 0), predstavlja „ponore“ strujnih linija.

2.5. USLOV STACIONARNOSTI ELEKTRIČNE STRUJE

Stacionarne električne struje su u odeljku (2.3) definisane kao struje čija se gustina u svim tačkama provodne sredine ne menja sa vremenom ( = ( )). U ovom odeljku ćemo, sa stanovišta jednačine kontinuiteta, razmatrati pod kojim uslovima električna struja može biti stacionarna.

Stacionarnost struje će biti ostvarena ako je brzina nosioca struje u svakoj tački provodne sredine nezavisna od vremena ( = ( )). Kako je = , vidi jednačinu (2.7a), to dalje znači da će i gustina naelektrisanja u svakoj tački biti nezavisna od vremena (

), to jest:

. (2.24)

Na osnovu integralnog oblika jednačine kontinuiteta (2.21) i jednačine (2.24) dobijamo:

∙ d = 0 (2.25)

Ova formula predstavlja takozvani uslov stacionarnosti električne struje u integralnom obliku. Jednačina (2.25) izražava činjenicu da je fluks vektora kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S jednak nuli. To znači da će iz proizvoljne zapremine V metalnog provodnika ograničene površinom S u jedinici vremena izaći tačno onoliko naelektrisanja koliko je u nju ušlo za isto to vreme.

Zamena (2.24) u diferencijalni oblik jednačine kontinuiteta (2.23) daje:(2.26)

Ovo je uslov stacionarnosti električne struje u diferencijalnom obliku. Jednačina (2.26) podseća na diferencijalni oblik Gauss-ove teoreme, , za elektrostatičko polje u tačkama gde nema naelektrisanja, vidi odeljak 4.1. Elektrostatike. Bitna razlika između (2.26) i je u tome što je uslov ispunjen u svakoj tački provodne sredine sa stacionarnom strujom.

Uslov stacionarnosti (2.26) se može prevesti na jezik strujnih linija vektora . Naime, kako u svakoj tački provodne sredine važi relacija , to strujne linije nigde nemaju ni „izvore“ ni „ponore“, takve linije moraju biti zatvorene linije (slika 6(a)).

14

Slika 6.

Prema tome, stacionarna električna struja može postojati jedino u formi „vrtloga“, to jest u obliku zatvorenog strujnog kola. Ponekad je korisno smatrati da stacionarna struja dolazi iz beskonačnosti i odlazi u beskonačnost (slika 6(b)); ovakvu struju možemo shvatiti kao deo beskonačno velikog strujnog kola.

Primetimo na kraju da se iz dosadašnje analize ne vidi kako je moguće ostvariti uslove za održavanje stacionarne električne struje. Problem je, pre svega, u tome što je za trajno usmereno kretanje elektrona potrebno stvoriti trajno električno polje u unutrašnjosti metala (vidi odeljak 1.1). Ovo polje u specijalnom slučaju stacionarnih struja mora biti i vrtložnog karaktera, što predstavlja dodatni problem.

Iako se vidi da ne postoji električno polje koje zadovoljava ove uslove, pre svega, u unutrašnjosti provodnika pošto ga stavimo u spoljnje električno polje ne može da se uspostavi trajno električno polje, već ono vrlo brzo iščezava uspostavljanjem ravnotežnog stanja. Takođe, u odeljku 3.1. Elektrostatike je pokazano da ne postoji vrtložno električno polje. Drugim rečima, rešenje navedenih problema se ne može naći u okviru elektrostatike.

☺3. ELEKTRIČNO POLJE STACIONARNE STRUJE3.1. MEHANIZAM NASTANKA ELEKTRIČNOG POLJA

STACIONARNE STRUJE

U prethodnom odeljku smo videli da je za održavanje stacionarne struje neophodno prisustvo stalnog (trajnog) električnog polja . Zadatak ovog odeljka je da opiše „mehanizam“ nastanka ovog polja.

Eksperimenti ukazuju da se ovakvo polje uspostavlja skoro trenutno po uključenju generatora elektromotorne sile u kolo. Naime, eksperiment ukazuje na skoro trenutno uspostavljanje struje u kolu, što znači da se usmereno kretanje elektrona (brzinom ) skoro trenutno javlja duž čitavog provodnika, čak i kada je ovaj veoma dugačak (na primer, nekoliko kilomatara). Pritom su same brzine Ue usmerenog kretanja elektrona provodnika neznatne. Na primer, kod uobičajenih metalnih provodnika sa gustinom struje j=1A/cm2

brzina elektrona Ue je reda veličine jednog centimetra u minutu.Razlog za skoro trenutno započinjanje usmerenog kretanja slobodnih elektrona po

čitavoj dužini provodnika moramo tražiti u procesima koji se odvijaju u prisustvu elektromagnetnog polja neposredno nakon uključenja provodnika za polove izvora

15

elektromotorne sile. Elektromagnetno polje predstavlja specifičnu kombinaciju vremenski zavisnog električnog polja i vremensku zavisnog magnetnog polja. Brzina uspostavljanja elektromagnetnog polja u vakuumu spada u maksimalne brzine koje se sreću u prirodi i jednaka je brzini prostiranja svetlosti u vakuumu (c = 3∙108m/s2).

Ispostavlja se da je za razumevanje mehanizma nastanka stacionarne struje i njenog polja najznačajnije da je uključivanje provodnika za polove generatora praćeno skoro trenutnom promenom gustine slobodnih naelektrisanja duž čitavog strujnog kola. Kao posledice ove preraspodele naelektrisanja, u tankom površinskom sloju čitavog provodnika dolazi do formiranja pozitivno i negativno naelektrisanih oblasti (slika 1).

Slika 1.

Od onog trenutka kada je opisanim „mehanizmom“ stvoreno polje u unutrašnjosti provodnika, po čitavoj njegovoj dužini, ostvareni su svi uslovi za usmereno kretanje elektrona. Na svaki elektron deluje Coulomb-ova sila:

= -e (3.1)

tako da se, u srednjem, elektroni pomeraju konstantnom brzinom u smeru suprotnom od

smera polja , slika 1. Primetimo da u unutrašnjosti generatora sila = -e ima suprotan smer od smera kretanja elektrona, slika 1. Međutim, mi smo u odeljku 1.2. već videli da se u ovom delu kola pomeranje kola naelektrisanja odvija pod delovanjem ukupne sile = +

gde je strana sila ( = -e ). Naime, slika 1. se jednostavno prevodi na jezik tehničkog smera struje.

Iz dosadašnje analize uočavamo da izvor elektromotorne sile samo posredno utiče na pomeranje elektrona provodnika koji je vezan za njegove polove. Naime, osnovna uloga generatora u održavanju stacionarne struje u kolu se svodi na formiranje vremenski nezavisnog trajnog električnog polja u unutrašnjosti provodnika. Tek posredstvom ovog polja dolazi do usmerenog kretanja elektrona po čitavoj dužini provodnika. Pošto se polje uspostavlja skoro trenutno, to se, u skladu sa eksperimentalnim rezultatima, u kolu skoro trenutno mora javiti struja.

Treba primetiti da električno polje stacionarne struje može postojati samo dotle, dok u kolu struje deluje izvor date elektromotorne sile. Onog trenutka kada se generator isključi iz kola nestaju i uslovi koji su doveli do formiranja površinskih naelektrisanja provodnika po čitavoj površini provodnika se rada ponovo uspostavlja ravnomerna raspodela slobodnih naelektrisanja i ona postaje elektronski neutralna. Samim tim nestaje i polje , a sa njim i

16

struja u kolu. Drugim rečima, za održavanje polja neophodno je neprestano dovoditi energiju u sistem.

Po ovom svojstvu se električno polje stacionarne struje bitno razlikuje od elektrostatičkog polja nepokretnih naelektrisanja, koje smo izučavali u elektrostatici. Zaista, za održavanje elektrostatičkog polja nije potrebno neprestano dovoditi energiju u sistem, pošto je ono direktno izazvano samim nepokretnim naelektrisanjima sistema.

3.2. JEDNAČINE ELEKTRIČNOG POLJASTACIONARNE STRUJE

Iako se električno polje stacionarne struje po načinu svog nastanka bitno razlikuje od električnog polja nepokretnih naelektrisanja, između njih postoje i neke opšte sličnosti. Naime, u oba slučaja imamo vremenski nezavisna električna polja koja su izazvana vremenskim nezavisnim raspodelama naelektrisanja. Zbog toga integralne i diferencijalne jednačine električnog polja stacionarne struje moraju biti iste kao i u elektrostatičkom slučaju (vidi, na primer, poglavlja tri i četiri u elektrostatici). U ovom odeljku ćemo razmatrati neke posledice koje slede iz ove činjenice.

Pretpostavimo da je provodnik koji formira zatvoreno strujno kolo postavljen u dielektrik dielektrične propustljivosti . Neka je indukcija polja u dielektriku, a

indukcija u provodniku. Gauss-ova teorema za električno polje struje tada ima oblik:

(3.2)

gde je Qu ukupno naelektrisanje lokalizovano u zapremini V ograničenoj proizvoljnom površinom S.

Ako je površina S postavljena u celini u unutrašnjosti provodnika onda je Qu = 0. Zaista, unutrašnjost provodnika sa stacionarnom strujom je električki neutralna sredina, pošto broj slobodnih elektrona koji u jedinici vremena uđe u jedinicu zapremine provodnika mora biti jednak broju elektrona koji za isto vreme izađe iz nje. Na taj način, pozitivna naelektrisanja u čvorovima kristalne rešetke metala su u svakom trenutku kompenzovana istim negativnim naelektrisanjem slobodnih elektrona. Prema tome, formula (3.2) dobija sledeći oblik:

(3.3)

Poslednja jednačina takođe važi i u slučaju kada je površina S postavljena u homogenom dielektriku koji okružuje provodnik.

Konzervativni karakter električnog polja stacionarne struje, kao i u elektrostatici izražava jednačina:

(3.4)

gde je proizvoljna zatvorena kontura. Navedena jednačina tvrdi da linije električnog polja stacionarne struje ne mogu biti zatvorene. Drugim rečima, i električno polje stacionarne struje spada u bezvrtložna polja.

Za diferencijalni oblik Gauss-ove teoreme imamo:(3.5)

gde je = dQu/dV ukupna gustina naelektrisanja posmatranog sistema. U svim tačkama unutrašnjosti provodnika, a takođe i u okolnom dielektriku imamo = 0, tako da se sada jednačina (3.5) svodi na jednačinu:

(3.6)

17

Pri pisanju jednačine (3.6) pretpostavili smo da je dielektrik homogen. Poslednja jednačina tvrdi da polje stacionarne struje nema „izvore“, ni „ponore“ u unutrašnjosti provodnika, odnosno dielektrika. Ovo je u saglasnosti sa već istaknutom činjenicom da ovo polje formiraju površinska naelektrisanja koja su lokalizovana na razdvojnoj površini metala i dielektrika. Za diferencijalni oblik jednačine (3.4) imamo relaciju:

(3.7)koja važi u svim tačkama električnog polja stacionarne struje.

Formule (3.2) i (3.4) omogućavaju analizu graničnih uslova koje zadovoljava jačina polja na površini provodnika sa stacionarnom strujom. Do ovih uslova se dolazi na sličan način kao i u odeljku 10.1. Elektrostatike, gde je razmatrana razdvojna površina dva dielektrika. Zato ćemo najpre uočiti zatvorenu cilindričnu površinu S, čija je jedna osnovica u provodniku, a druga neposredno iznad njegove površine, slika 2(a). Pretpostavimo da visina uočenog cilindra S teži nuli. Imajući u vidu da jačina polja u tački 1 unutrašnjosti provodnika ima pravac i smer gustine struje , to jest tangente na površinu, i primenjujući jednačinu (3.2) dobijamo:

(3.8)

gde je E2n normalna projekcija jačine polja u tački 2 neposredno izvan provodnika, dok je

površinska gustina naelektrisanja provodnika.

Slika 2.

Na analogan način, primena formule (3.4) na pravougaonu konturu c sa slike 2(b) (čije dužine kraći stranica teže nuli) daje:

E2t = E1 , (3.9)gde je E2t tangencijalna projekcija jačine polja . Primetimo da elektrostatičko polje izvan naelektrisanog provodnika nije imalo tangencijalnu komponentu (vidi odeljak 2.2. Elektrostatike).

Integralne i diferencijalne jednačine za jačinu električnog polja stacionarne struje kompletiraju opis ovog polja. Međutim, vremenski nezavisno električno polje stacionarne struje nije jedino polje posmatranog sistema. Mi smo u odeljku 3.1 već napomenuli da se u procesu uspostavljanja stacionarne struje javlja i vremenski zavisno električno polje, a takođe i vremenski zavisno magnetno polje. Detaljnija razmatranja pokazuju da magnetno polje (analogno električnom polju) po uspostavljanju stacionarne struje postaje nezavisno od vremena, zbog čega se naziva magnetostatičko polje stacionarne struje.

Treba primetiti da, u opštem slučaju, nije moguće nezavisno razmatrati električno i magnetno polje stacionarne struje. Razlog ovome je činjenica da na slobodno naelektrisanje

18

metala u suštini istovremeno deluju kako sile električnog tako i odgovarajuće sile magnetnog polja. Međutim, u slučaju kada jačina stacionarne struje nije suviše velika, sila magnetnog polja u provodniku je zanemarljiva u odnosu na silu električnog polja. U ovakvom slučaju, na koji se i mi ograničavamo, navedena polja stacionarne struje moguće je izučavati nezavisno.

3.3. ELEKTROMOTORNA SILA GENERATORA I NAPON U KOLU KVAZI-LINIJSKE STACIONARNE STRUJE

Pored električnog polja stacionarne struje jačine u posmatranom sistemu postoji i „strano polje“ jačine generatora. Pomoću rada sile kojom ovo polje deluje na naelektrisanje +e može se definisati elektromotorna sila izvora. Pored toga, pri izučavanju kvazi-linijskih kola stacionarne struje koriste se pojmovi potencijala i napona U. Naime, konzervativni karakter električnog polja stacionarne struje omogućuje uvođenje potencijala, dok se napon definiše po analogiji sa elektrostatikom, stim što ulogu električnog polja preuzima ukupno polje: = + .

„Efikasnost“ generatora određena je radom A* koji strana sila = e izvrši pomerajući pozitivno ekvivalentno naelektrisanje e od tačke B ka tački A (kroz generator), vidi sliku 3(a):

(3.10)

Slika 3.

Pod elektromotornom silom izvora , podrazumevamo sledeću veličinu:

(3.11)

Vidimo da je veličina brojno jednaka radu strane sile pri pomeranju jediničnog pozitivnog naelektrisanja kroz generator od negativnog ka pozitivnom polu. Veličina po svojoj fizičkoj prirodi nije sila; ona se ne izražava u njutnima (N) nego u voltima (V):

Elektromotornu silu izvora možemo izraziti preko jačine „stranog polja“ na sledeći način:

(3.12)

19

Iz poslednje formule je očigledno da elektromotorna sila nije vektorska, nego skalarna veličina. Međutim, kao i pri definisanju jačine struje, potrebno je definisati takozvani smer elektromotorne sile , čime veličina dobija karakter „orijentisane“ skalarne veličine. Pod smerom elektromotorne sile podrazumevamo smer kojim (kroz generator) idemo od njegovog negativnog prema pozitivnom polu, to jest smer se poklapa sa smerom „stranog“ polja generatora.

Pošto se u kolu stacionarne struje javljaju električno polje i strano polje generatora, korisno je uvesti takozvano ukupno „električno“ polje stacionarne struje, jačine

:

= + (3.13)

Naravno, u delovima strujnog kola izvan generatora imamo = . Lako je uočiti da je

ukupno polje za razliku od električnog polja , vrtložnog karaktera. Zaista, ako za konturu c izaberemo neku zatvorenu strujnu liniju dobijamo:

,

to jest, koristeći (3.4) i (3.12), dobijamo:

(3.14)

što je upravo trebalo pokazati.Na osnovu (3.14) zaključujemo da ukupno polje ( ) nije konzervativno, dok je polje

bilo konzervativno.Kao i u slučaju elektrostatičkog polja, vidi odeljak 2.4. Elektrostatike, konzervativni

karakter polja stacionarne struje omogućuje uvođenje potencijala . Potencijal date tačke M električnog polja stacionarne struje je definisan relacijom:

(3.15)

gde je Po proizvoljno izabrana referentna tačka. Najčešće se tačka Po bira tako da potencijali polova A i B izvora elektromotorne sile, i , zadovoljavaju relaciju = - pri čemu je pozitivni pol A izvora na pozitivnom potencijalu ( >0). Razlika potencijala dve bilo koje tačke (1 i 2), slika 3(b), određena je izrazom:

(3.16)

Kod kvazi-linijskih provodnika možemo smatrati da je intenzitet vektora gustine struje kao i intenzitet električnog polja isti u svim tačkama datog poprečnog preseka. I

potencijal je tada isti u svim tačkama površine poprečnog preseka, zbog čega ona predstavlja ekvipotencijalnu površinu, prema tome, u pogledu jačine polja i potencijala , kvazi-linijski provodnik je potpuno opisan vrednostima ovih veličina u tačkama koje leže na njegovoj osi. Moguće je da se i generatori elektromotorne sile shvate kao odgovarajući kvazi-linijski delovi zatvorenog kvazi-linijskog kola, koji se karakterišu odgovarajućom elektromotornom silom .

Stacionarne struje ovakvih sistema (strujnih kola) nazivamo kvazi-linijske stacionarne struje. Primetimo da je jačina I ovakvih struja definiše kao struja kroz površinu poprešnog preseka. Ova struja je ista u svim procesima kola, što je posledica jednačine kontinuiteta. Raspodela intenziteta jačine električnog polja i potencijala duž kvazi-linijskog provodnika datog obima ne zavisi od njegovog oblika.

Pri izučavanju kvazi-linijskih kola stacionarne struje koristi se, pored potencijala i pojam napona U, pri čemu treba uzeti u obzir nekonzervativnost ukupnog polja . Naime, u

20

definiciji napona U12 između tačaka 1 i 2 kvazi-linijskog kola neophodno je najpre usvojiti takozvani pozitivni smer obilaska strujnog kola, to jest izvršiti orijentaciju kola. Pozitivni smer obilaska biramo proizvoljno, a napon U12 u odnosu na izabranu orijentaciju kola definišemo izrazom:

(3.17)

Prvi indeks u simbolu U12 označava tačku od koje se polazi, dok se drugi indeks odnosi na tačku u koju se stiže pri unapred izabranom pozitivnom smeru obilaska posmatranog dela kola (nije neophodno da početnu tačku numerišemo sa 1, a krajnju sa 2; bitan je njihov redosled u oznaci napona).

Kako je = + pri čemu važe jednačine (3.16) i (3.12), za napon U12 nalazimo sledeću opštu formulu:

(3.18)gde je = 0 ako između tačaka 1 i 2 (u smeru orijentacije konture) nema izvora elektromotorne sile. Veličina = 1 ako se između tačaka 1 i 2 nalazi izvor elektromotorne sile čija se orijentacija poklapa sa pozitivnom orijentacijom konture. Ukoliko su ove orijentacije suprotne, imamo = -1. Na primer, za napon U12 sa slike 3(b) imamo:

, dok je .Primetimo da iz relacije (3.18) proizilazi da je U21 = -U12.

Ponekad je pogodno koristiti pojam takozvanog ukupnog napona U kvazi-linijskog kola stacionarne struje. Napon U je definisan ukupnim radom pri pomeranju jediničnog pozitivnog naelektrisanja duž čitavog kola u izabranom smeru (to jest polazi se od jedne tačke i, obišavši čitavo kolo, dolazi u istu tačku). Do formule za U najjednostavnije dolazimo ako zamislimo da su tačke 2 i 1 kola sa slike 3(b) dovedene do poklapanja. Tada je , tako da dobijamo U = . U opštem slučaju je:

(3.19)

gde je sa c označena navedena orijentisana kontura. Znak „+“ odgovara orijentaciji sa slike 3(b), a znak „-„ se odnosi na suprotnu orijentaciju strujne konture.

☺4. TERMOGENA OTPORNOST KOLA STACIONARNE STRUJE4.1. OHM-OV ZAKON U DIFERENCIJALNOM OBLIKU

Pri razmatranju stacionarnih struja u glavi tri nije detaljnije izučavana činjenica da je kretanje naelektrisanja kroz provodnu sredinu praćeno odgovarjućim otporom. Napomenuto je da se zbog otpornosti u kolu stacionarne struje neprestano oslobađa toplotna energija i da se toplotni gubici nadoknađuju energijom koja se dovodi pomoću izvora elektromotorne sile. U sledećih nekoliko odeljaka mi ćemo detaljnije razmotriti pitanja vezana za otpornost kola i oslobođenu energiju.

Polazna tačka naše analize stepena otpornosti (ili stepena provodnosti) date provodne sredine sa stacionarnom strujom zavisi od toga u kakvom odnosu stoje gustina struje i jačina ukupnog električnog polja = + uspostavljenog u provodniku. Zaista, pošto se

kretanje naelektrisanja kroz provodnu sredinu odvija pod delovanjem polja , to će se

provodnik sa većom gustinom struje u tački datog karakterisati većom provodnošću, tj.

21

manjom otpornošću. Drugim rečima, za opisivanje stepena otpornosti provodne sredine potrebno je najpre ustanoviti vezu između i . Ova veza zavisi od vrste provodnika i fizičkih uslova u kojima se provodnik nalazi (na primer, temperature) takođe, ona bitno zavisi i od toga kolika je jačina ostvarenja polja u provodniku.

Mi ćemo se, pre svega, ograničiti na izotropne metalne sredine čija su svojstva ista u svim pravcima. Takođe, pretpostavimo da temperatura provodnika nije ekstremno niska, niti suviše visoka. Najzad, razmotrićemo samo slučaj kada je u svim tačkama provodne sredine polje dovoljno slabog intenziteta. Navedeni “uobičajeni” uslovi su praktično ostvareni za

veliki broj različitih metala, čak i u prilično širokom intervalu temperatura i jačina polja .Ispostavlja se da u ovakvim uslovima važi sledeća relacija:

(4.1)

Veličina zavisi od vrste provodne sredine i fizičkih uslova u kojima se ona nalazi i naziva se specifična provodnost provodne sredine u posmatranoj tački. Formula (4.1) daje lokalnu vezu između i i naziva se Ohm-ov zakon u diferencijalnom obliku. Provodne sredine za koje važi ovaj zakon nazivamo linearni izotropni provodnici. Izraz (4.1) nije jednostavno eksperimentalno proveriti direktnim merenjem i ; u njegovu ispravnost se možemo uveriti tek na osnovu posledica koje iz njega slede i koje će biti diskutovane u odeljku 4.3.

Specifična provodnost je mera provodnih svojstava sredine u datoj tački (jer je pri

datom gustina struje u toliko veća što je veće ). Stepen otpornosti koji se ispoljava u

datoj tački provodne sredine pri stacionarnoj struji određuje takozvana specifična otpornost :

. (4.2)

Sa znatnim povećanjem jačine polja u datoj provodnoj sredini dolazi do

narušavanja linearne veze između i , opisane relacijom (4.1). Pri određenim kritičnim vrednostima jačine polja odstupanje od formula (4.1) postaje drastično. U ovakvim uslovima, slobodni elektroni metala stiču dovoljno veliku kinetičku energiju u procesu ubrzavanja, tako da mogu jonizovati jone u čvorovima kristalne rešetke. Dodatni elektroni koji su napustili čvorove kristalne rešetke i sami postaju nosioci struje u metalu. Zbog toga gustina struje postaje znatno veća od onih vrednosti koje se očekuju na osnovu formule (4.1).

Nalaženje odgovarajuće formule za specifičnu otpornost metalnog provodnika zahteva poznavanje njegove mikrostrukture. Struktura metala nije jednostavna i tačne izraze za možemo dobiti tek na osnovu kvantno-mehaničkih izračunavanja.

U principu, u delu metalnog provodnika u kome ne deluju strane sile za ukupnu jačinu električnog polja imamo = + . Pod delovanjem ovog polja slobodni elektroni metala dobijaju usmerenu komponentu brzine u smeru suprotnom od smera vektora . Sa stanovišta tehničkog smera struje, njihovo kretanje je ekvivalentno kretanju pozitivnih nosioca struje (+e) u smeru suprotnom od kretanja elektrona (slika 1). Pri svakoj promeni pravca kretanja čestice +e (izazvanoj sudarima sa jonima u čvorovima kristalne rešetke) jedan deo njene kinetičke energije se gubi, što se upravo i manifestuje kao otpornost posmatranog dela provodne sredine.

22

Slika 1.

Specifična otpornost provodne sredine dužine slobodnog puta elektrona < si >, to jest srednjeg rastojanja između dva uzastopna sudara datog i-tog nosioca struje sa jonima u čvorovima kristalne rešetke. Takođe, mora zavisiti i od srednje vrednosti intenziteta njegove haotične komponente brzine < Vi >. Kvantno-mehanička izračunavanja dovode do formule:

(4.3)

gde je m masa ekvivalentnog nosioca struje koja je jednaka masi elektrona: m=me 9,1∙10-31kg, dok je n koncentracija ekvivalentnih nosioca struje (n = ne).

Količnik < Vi >/< si > u formuli (4.3) zavisi od temperature metalne sredine. Sa povećanjem temperature povećavaju se kako brzine haotičnog kretanja nosioca struje (odnosno slobodnih elektrona metala) tako i amplitude oscilovanja jona oko čvorova kristalne rešetke. Drugi od navedenih efekata se manifestuje kao efektivno smanjenje srednje dužine

slobodnog puta nosioca struje < si >. Kao rezultat ovih temperaturskih zavisnosti količnik

<Vi>/< si > raste, a samim tim i specifična otpornost . Prema tome, specifična otpornost se povećava sa povećanjem temperature.

Eksperiment pokazuje da u širokom opsegu temperatura većine metala za važi sledeća formula:

(4.4a)gde smo sa T označili temperaturu (izraženu u Kelvin-ovim stepenima) i gde je specifična otpornost na temperaturi od t = 0°C ( to jest T = 273K). Koeficijent je takozvani koeficijent termičkog širenja metala. Za veliki broj metala je ≈1/273 K-1. Napomenimo da se jednačina (4.4a) često piše i u obliku:

(4.4b)gde je sa t označena temperatura izražena u Celsius-ovim stepenima (°C), to jest t[°C]= T[K]-273. Navedena veza između i temperature se može dokazati metodama statističke fizike.

23

Slika 2.

Linearna zavisnist od T, slika 2, narušena je kako pri niskim, tako i pri visokim temperaturama: grubo govoreći, formula (4.4a) se za uobičajene metale(bakar, gvožđe, zlato, platina, olovo...) najbolje slaže sa eksperimentima u granicama od nekoliko desetina do nekoliko stotina Kelvin-ovih stepeni. U oblasti veoma niskih temperatura (blizu T=0K) veza između i T više nije linearna i izrazito zavisi od vrste provodne sredine. U većini slučajeva određena otpornost postoji i pri T→0. Postoje, međutim, i takozvani superprovodnici kod kojih naglo pada na nultu vrednost i znatno pre nego što se približimo vrednosti T=0K (vidi sliku 2). (Efekat superprovodnosti je posledica kvantno-mehaničkih svojstava provodnih sredina). Pri veoma visokim temperaturama otpornost provodnih sredina ima veće vrednosti od onih koje se očekuju na osnovu (4.4a).

4.2. INTEGRALNI OBLIK OHM-OVOG ZAKONA ZA „PASIVNI“DEO KOLA

Diferencijalni oblik Ohm-ovog zakona, jednačina (4.1), daje lokalnu vezu između , i u proizvoljnoj tački provodne sredine. U slučaju kvazi-linijskih strujnih kola ovaj

zakon možemo napisati u integralnom obliku.Razmotrićemo najpre deo kvazi-linijskog provodnika kola stacionarne struje u kome

ne deluju strane sile (deo između tačaka 1 i 2 na slici 3). U uočenom delu kola nema stranog polja ( = + = ), to jest reć je o „pasivnom“ delu kola („aktivni“ deo kola je ovaj u kome deluje elektromotorna sila generatora, ). Da bismo odredili napon U12 između tačaka 1 i 2 posmatranog kola, orijentišimo kolo kao na slici 3. na osnovu formula (3.18) i (3.16) tada imamo:

(4.5)

gde je ( je ort normale površine S poprečnog preseka provodnika, slika 3).

24

Slika 3.

Neka je vektor uočene površine poprečnog preseka kvazi-linijskog provodnika polazeći od diferencijalnog oblika Ohm-ovog zakona, , za jačinu struje I kroz površinu S u smeru orijentacije konture imamo:

(4.6a)to jest:

. (4.6b)

Ako poslednju relaciju uvrstimo u jednačinu (4.5) i iskoristimo činjenicu da je jačina struje I ista kroz svaki poprečni presek kvazi-linijskog provodnika, imamo:

(4.7)

Primećujemo da integral na desnoj strani izraza (4.7) zavisi samo od raspodele brojnih vrednosti specifične provodnosti (to jest specifične otpornosti ) duž uočenog „pasivnog“ dela kvazi-linijskog kola. Otuda se navedeni integral uzima kao mera ukupne otpornosti dela kola između tačaka 1 i 2 sa slike 3. Veličinu:

(4.8)

nazivamo termogena otpornost „pasivnog“ dela kvazi-linijskog provodnika. Sa definicijom (4.8), jednačina (4.7) daje vezu između struje I, otpornosti posmatranog dela provodnika R12 i napona na njegovim krajevima:

U12 = R12 I. (4.9)Ovo je integralni oblik Ohm-ovog zakona za „pasivni“ deo kvazi-linijskog kola stacionarne struje.

Izložena analiza se direktno uopštava i na slučaj čitavog „pasivnog“ dela kvazi-linijskog kola koji se nalazi izvan generatora elektromotorne sile. U tom slučaju se tačke 1 i 2 poklapaju sa polovima izvora A i B. Za termogenu otpornost RAB = R tada važi izraz (4.7) u kome integracija ide od tačke A do B. Integrali oblik Ohm-ovog zakona se u ovom slučaju može izraziti na sledeći način:

(4.10)gde su potencijali polova izvora elektromotorne sile.

25

Termogena otpornost R se u međunarodnom sistemu jedinica izražava omima( ). Iz (4.9) ili (4.10) vidimo da je on količnik volta (V) i ampera (A):

,

to jest otpornost od jednog oma ima provodnik na čijim je krajevima napon od 1V kada se uspostavi jačina struje od 1A. Primetimo da je ponekad korisno umesto R koristiti takozvanu termogenu provodnost G:

(4.11)

Veličina G se izražava u simensima (S), pri čemu je:

.

Definicioni izraz (4.8) za otpornost R dobija jednostavniji oblik u slučaju homogenih kvazi-linijskih provodnika konstantnog poprečnog preseka S. Specifična provodnost je za homogene provodnike konstantna po čitavoj njihovoj dužini, tako da iz (4.8) dobijamo:

(4.12a)

gde je dužina posmatranog dela kola. Imajući u vidu da je , dobijenu formulu za otpornost R12 možemo napisati i na sledeći način:

. (4.12b)

Iz ove formule vidimo da specifičnu otpornost izražavamo u sledećim jedinicama:.

To dalje znači da specifičnu otpornost izražavamo u simensima (S) po metru (m):

.

Mada je integralni oblik Ohm-ovog zakona (4.9) dobijen iz diferencijalnog oblika (4.1), sa stanovišta eksperimentalne provere je pogodniji prvi od navedenih oblika. Naime, za merenje jačine struje I i napona U12 postoje vrlo precizni instrumenti (takozvani ampermetri i voltmetri) pomoću njih se zaista pokazuje da između I i U12 postoji linearna veza, kao što se i očekuje na osnovu (4.9). preciznije govoreći, ova veza je linearna samo u domenu „uobičajenih“ uslova o kojima je bilo reči u odeljku 4.1. Opisanu zavisnost između napona i jačine struje prvi je ustanovio G. Ohm (1826. godine) i to eksperimentalnim putem; odatle potiče naziv formula (4.1) i (4.9). Pošto je integralni oblik Ohm-ovog zakona direktna posledica diferencijalnog oblika , to dolazimo do zaključka da eksperimentalnim proveravanjem integralnog oblika Ohm-ovog zakona indirektno proveravamo i rešenje njegovog diferencijalnog oblika.

4.3. INTEGRALNI OBLIK OHM-OVOG ZAKONAZA „AKTIVNI“ DEO KOLA

Rezultati prethodnog odeljka mogu biti uopšteni i na „aktivni“ deo kvazi-linijslog kola stacionarne struje. Za deo kola kažemo da je aktivan ako ovuhvada izvor elektromotorne sile.

26

Slika 4.

Posmatrajmo ovakav deo kola između tačaka 2 i 1 sa slike 4 u kome između tačaka A i B deluje elektromotorna sila . Ukupna jačina električnog polja sada je određena izrazom

= + , gde je jačina stranog polja ≠ 0 u „aktivnom“ delu kola između tačaka A i B. Tačke A i B predstavljaju pozitivni i negativni pol generatora i nalaze se na potancijalima

. Kao i do sada potencijale tačaka 1 i 2 označavamo sa ; orijentacija kola u odnosu na koju će biti određen napon U12 naznačen je na slici 4.

Na osnovu formule (3.17) sada imamo:

(4.13)

gde je ort vektora-normale površine S. S druge strane, diferencijalni oblik Ohm-ovog zakona, primenjen na bilo koju tačku uočenog dela kola, možemo izraziti formulom

. Za jačinu struje I kroz proizvoljni poprečni presek S posmatranog dela provodnika (u smeru orijentacije konture) tada imamo:

, (4.14a)tako da je:

. (4.14b)

Zamenom (4.14b) u (4.13) nalazimo:

. (4.15)

Ukupna termogena otpornost RU,21 između tačaka 2 i 1 je definisana integralom na desnoj strani formule (4.15):

. (4.16a)

Sa slike 4 vidimo da se poslednji izraz može napisati u sledećem obliku:

. (4.16b)

Prvi član ovog izraza predstavlja termogenu otpornost generatora i biće označen sa Rg; zbir preostala dva člana je termogena otpornost R21 pasivnog dela kola između tačaka 2 i 1. Prema tome:

27

RU,21 = R21 + Rg, (4.16c)tako da za integralni oblik Ohm-ovog zakona dobijamo:

U21 = (R21 + Rg)I. (4.17)Lako se dobija i integralni oblik Ohm-ovog zakona za čitavo kvazi-linijsko kolo

stacionarne struje. U tom slučaju se tačke 1 i 2 sa slike 4 poklapaju. Napon U21 tada postaje napon čitavog kola U, pri čemu je, u odnosu na naznačenu orijentaciju kola (slika 4) U= , vidi jednačinu (3.18). Prema tome, traženi integralni oblik Ohm-ovog zakona za čitavo kvazi-linijsko kolo izražava sledeća relacija:

= (R + Rg)I (4.18)gde je R ukupna otpornost „pasivnog“ dela provodnika priključenog na polove generatora.

Poređenjem relacija (4.10) i (4.18) možemo videti u kom su odnosu potencijalna razlika polova generatora i njegova elektromotorna sila . Zaista, na osnovu ovih relacija imamo da je:

. (4.19)

Pošto je , to znači da je elektromotorna sila generatora uvek veća od razlike

potencijala na njegovim polovima. Tek pri R→ ∞ jednačina (4.19) daje:, R→ ∞ (4.20)

što odgovara slučaju kada u kolu nema struje, to jest kada polovi generatora nisu spojeni provodnikom. Drugim rečima, merenje elektromotorne sile datog generatora se svodi na merenje potencijalne razlike između njegovih polova pomoću voltmetra.

4.4. JOULE-LENC-OV ZAKON U DIFERENCIJALNOMOBLIKU

U provodnoj sredini sa stacionarnom strujom se neprestano oslobađa toplota. Količina toplote koja se u jedinici vremena oslobodi u jedinici zapemine sredine zavisi od njene specifične otpornosti i gustine struje . Relacija koja povezuje navedene fizičke veličine se može dobiti polazeći od mikro-strukture provodnika.

Ograničićemo se na metalne sredine i posmatrati one njegove oblasti u kojima ne deluju strane sile. Opis mehanizma nastanka toplote u ovakvim sredinema je već bio skiciran u prethodnim odeljcima. Sa stanovišta tehničkog smera struje, pri sudaru svakog pozitivnog nosioca struje (+e) sa jonom u čvoru kristalne rešetke dolazi ne samo do nagle promene pravca kretanja nego i do smanjivanja njegove konetičke energije. Na taj način, energija koju mikročestica +e stiče ubrzavanjem (pomoću polja u metalu) između dva uzastopna sudara se prenosi na jone u čvorovima kristalne rešetke. Zbog toga oni počinju intenzivnije da osciluju oko svojih ravnotežnih položaja (slika 5(a)). Pritom se emituje toplotno zračenje, to jest deo energije u obliku toplote napušta sistem. (Ovo zračenje je na slici 5(a) prikazano talasastim strelicama)

28

Slika 5.

Opisano kretanje pozitivnoh nosioca struje (+e) može se shvatiti kao kretanje kroz odgovarajuću neprekidnu sredinu (fluid), koje je praćeno silom otpora (slika 5(b)). To dalje znači da toplota ∆Q oslobođena u fizički infinitezimalnoj zapremini ∆V provodnika u kratkom vremenskom intervalu ∆t, zavisi od rada ∆A′ koji izvrši sila = e električnog polja struje pri pomeranju svih nosioca struje uočene zapremine za uočeno vreme. Ako se celokupni izvršeni rad pretvara jedino u toplotnu energiju, mora važiti relacija:

∆Q = ∆A′. (4.21)Prema tome, oslobođenu toplotu ∆Q možemo naći izračunavanjem rada ∆A′.

Srednja vrednost elementarnog rada pri pomeranju jednog naelektrisanja (+e) duž vektora pomeraja (vidi sliku 5(b)) za vreme ∆t je određena izrazom:

(4.22)gde je srednja brzina usmerenog kretanja posmatrane čestice. Ako sa n označimo koncentraciju pozitivnih nosioca struje, onda ćemo za ukupni rad ∆A′ izvršen pri pomeranju svih nosioca struje zapremine ∆V imati:

to jest:. (4.23)

Pošto je gustina struje određena izrazom: , to je:. (4.24)

Imajući u vidu relaciju (4.21), za snagu toplotnog zračenja zapremine ∆V provodnika dobijamo:

. (4.25)

Pod gustinom snage toplotnog zračenja, P, podrazumevamo sledeću veličinu:

. (4.26)

Prema tome,. (4.27)

Na osnovu diferencijalnog oblika Ohm-ovog zakona (4.1) i formule (4.2) imamo , tako da je:

.(4.28)

Ovo je Joule-Lenc-ov zakon u diferencijalnom obliku.Do formule (4.28) smo došli pretpostavljajući da u posmatranom delu metalne sredine

ne deluju strane sile. Nije teško uočiti da ova formula važi i ako u sredini deluju strane sile, to

29

jest ako za ukupno polje važi izraz = + . Štaviše može se pokazati da se ona može primeniti, na primer, i u slučaju struje kroz elektrolite. Jedina izmena je u tome što umesto specifične otpornosti metala treba uzeti odgovarajuću vrednost za elektrolite.

4.5. INTEGRALNI OBLIK JOULE-LENC-OVOG ZAKONA

Diferencijalni oblik Joule-Lenc-ovog zakona, jednačina (4.28), daje lokalnu vezu između gustine snage P toplotnog zračenja, specifične otpornosti i gustine struje proizvoljne provodne sredine. Pokazaćemo da se i ovaj zakon (kao i Ohm-ov zakon) u slučaju kvazi-linijskih provodnika može napisati u integralnom obliku.

Posmatraćemo najpre pasivni deo kvazi-linijskog kola između tačaka 1 i 2, čiji su potencijali , vidi sliku 6. Neka je napon između tačaka 1 i 2, R12 je termogena otpornost posmatranog dela kola, a I jačina struje u kolu u smeru orijentacije konture. koristeći mogućnost da se fizički infinitezimalne veličine ∆Q, ∆t i ∆V iz formule (4.26) mogu shvatiti kao diferencijali dQ, dt i dV, za snagu toplotnog zračenja posmatranog dela kola dobijamo:

. (4.29)

Integracija ide po čitavoj zapremini V uočenog dela kvazi-linijskog kola.

Slika 6.

Za elementarnu zapreminu dV imamo:dV = Sd (4.30)

gde je S površina poprečnog preseka kvazi-linijskog provodnika, dok je d elementarna dužina njegove ose. Prema tome, formula (4.29) dobija sledeći oblik:

. (4.31)

Krivolinijski integral između tačaka 1 i 2 se može izraziti preko jačine struje I = j S; imajući u vidu da je I = const duž čitavog kola stacionarne struje, dolazimo do izraza:

. (4.32)

Kako integral u poslednjoj formuli predstavlja otpornost R12, vidi jednačinu (4.8), to je:

(4.33)

Ovo je traženi integralni oblik Joule-Lenc-ovog zakona.

30

Za ukupnu količinu toplote Q12 koja se u posmatranom delu provodnika oslobađa za vreme t imamo:

. (4.34a)

Pošto su R12 i I nezavisni od vremena, imaćemo da je:(4.34b)

Iz integralnog oblika Ohm-ovog zakona (4.9) vidimo da je , tako da se (4.34b) može napisati u sledećem obliku:

(4.34c)Formule (4.34b) i (4.34c) su pogodne za poređenje sa eksperimentalnim rezultatima pošto se Q, U, I i t mogu direktno meriti. Rezultati merenja su u saglasnosti sa dobijenim formulama. Prva ovakva merenja su obavili J. Joule (1841. godine) i E. X. Lenc (1842. godine), zbog čega se i razmotreni zakoni (4.28) i (4.33) vezuju za njihova imena.

Može se pokazati da integralnim oblik Joule-Lenc-ovog zakona (4.33) važi ne samo za deo, nego i za čitavo kvazi-linijsko kolo stacionarne struje. U tom slučaju u formuli (4.33) treba umesto otpornosti R12 određenog pasivnog dela kola uzeti ukupnu otpornost čitavog kola Ru = R+Rg (gde je Rg otpornost generatora).

Jasnu predstavu o tome šta se sa energetskog stanovišta događa u kvazi-linijskom kolu stacionarne struje možemo dobiti primenjujući integralni oblik Joule-Lenc-ovog zakona na čitavo kolo. S tim u vezi primetimo najpre da se jednačina (4.33) tada može izraziti u sledećem obliku:

(4.35)

gde je U napon čitavog kola. U odeljku 3.3 smo pokazali da je napon U određen formulom (3.18):

gde je elektromotorna sila generatora, a jačina njegovog stranog polja. Prema tome:

(4.36)

Kako je jačina struje I povezana sa naelektrisanjem dq koje za vreme dt prođe kroz poprečni presek provodnika u smeru orijentacije konture ( ), to je:

(4.37a)

to jest:

(4.37b)

Integral na desnoj strani poslednjeg izraza predstavlja ukupni rad strane sile , to jest odgovara energiji koja se pomoću generatora unosi u strujno kolo. Prema tome, relacija (3.47b) tvrdi da je oslobođena količina toplote duž čitavog kola (u jedinici vremena) upravo jednaka energiji koju za isto vreme u kolo ubacuje generator. Drugim rečima, jednačina (3.47b) izražava zakon održanja energije posmatranog sistema.

Pošto se toplotna energija oslobađa duž čitavog kola struje (a ne samo u generatoru), to znači da se energija koju generator dovodi u posmatrani sistem mora na neki način preneti dalje od njega. Posrednik u ovom prenošenju energije „na daljinu“ je elektromagnetno polje stacionarne struje. Mi smo u odeljku 3.1 videli da se ovo polje formira neposredno nakon uključivanja generatora, što znači da i oslobađanje toplote započinje skoro trenutno i to po čitavoj dužini provodnika. Eksperimenti potvrđuju ove zaključke.

31

☺5. SLOŽENA KOLA STACIONARNE STRUJE5.1. ELEKTRIČNA MREŽA KVAZI-LINIJSKIH PROVODNIKA

Do sada smo razmatrali samo najjednostavnije sisteme kvazi-linijskih provodnika stacionarnih struja, koji su imali strukturu zatvorene linije, to jest „nerazgranatog“ prostog strujnog kola. Međutim, u praksi se najčešće sreću sistemi kvazi-linijskih struja koji imaju daleko komplikovanije prostorne strukture, u kojima se provodnici „granaju“ na različite načine. Ovakve sisteme nazivamo mreža kvazi-linijskih struja ili složeno električno kolo.

Slika 1.

Pretpostavimo da imamo skup kvazi-linijskih provodnika, od kojih se svaki karakteriše određenom otpornošću Ri. Neki od njih mogu sadržati generatore određenih elektromotornih sila i unutrašnjih otpornosti Rgi. Odgovarajućim povezivanjem ovakvih provodnika dobijamo određenu električnu mrežu (slika 1(a)), u kojoj se uspostavlja stacionarna struja. Svaki provodnik koji je ušao u sastav mreže karakteriše se nekom jačinom struje Ii (slika 1(a)).

Provodnici čijim se povezivanjem dobija mreža čine takozvane grane mreže. Pod čvorovima mreže ćemo podrazumevati one tačke mreže u kojima se susreću najmanje dve grane. U jednostavnom primeru mreže sa slike 1(a) imamo 6 grana i 4 čvora. Pod konturom podrazumevamo takav skup grana date mreže koje se nadovezuju jedna na drugu tako da obrazuju zatvorenu „petlju“, to jest pojam konture možemo shvatiti kao uopštenje pojma prostog strujnog kola. Na primer, u mreži sa slike 1(a) skup grana sa strujama I1, I5, I3 (ili I2, I4, I5 ili I, I1, I2,...) predstavljaju neke od kontura date mreže.

Kao i u slučaju prostog strujnog kola, geometrijsku strukturu mreže sa koncentrisanim parametrima pogodno je simbolički prikazati električnom šemom koja predstavlja skup međusobno povezanih osnovnih elemenata mreže, otpornika (otpornosti Ri) i generatora elektromotornih sila ( , Rgi), vidi odeljak 1.5. Koristeći navedeni način prikazivanja, složeno kolo sa slike 1(a) možemo predstaviti električnom šemom sa slike 1(b).

Fizičko stanje mreže sa koncentrisanim parametrima (datih parametara R i, , Rgi) mora zavisiti isključivo od opštih „geometrijskih“ svojstava mreže, to jest od načina na koji su povezani otpornici i generatori. Drugim rečima, oblici linija (koji spajaju neke osnovne elemente šeme) su nevažni i možemo ih na proizvoljan način deformisati (bez prekidanja),

32

kao da su idealno elastične niti. Na taj način često je datu šemu moguće prevesti u vizuelno jednostavniji i pogodniji oblik (što je i učinjeno pro crtanju šeme sa slike 1(b)). Za dve električne mreže koje se neprekidnim deformacijama grana mogu transformisati jedna u drugu kažemo da su topološki ekevivalentne.

5.2. PRVI KIRCHHOFF-OV ZAKON

Osnovni zadatak koji se postavlja u vezi električne mreže date topološke strukture i poznatih parametara (Ri, , Rgi) sastoji se u određivanju jačina struja Ii svih grana. Ovaj problem se rešava polazeći od dva osnovna zakona koje je 1845. godine formulisao G. Kirchhoff i koji se nazivaju Kirchhoff-ovi zakoni. U ovom odeljku formulisaćemo takozvani prvi Kirfhhoff-ov zakon, koji se odnosi na bilo koji čvor složenog kola stacionarne struje.

U tom slučaju posmatrajmo proizvoljni čvor P date mreže u kome se sustiče više kvazi-linijskih provodnika sa stacionarnim strujama Ii (i=1,2,...,s). Na slici 2 prikazan je slučaj čvora sa pet grana, svaka od njih se karakteriše određenom jačinom struje Ii

(i=1,2,...,5), slika 2(b). Uočimo proizvoljnu zatvorenu površinu S koja obuhvata posmatrani čvor P. Vektor elementarne površine uočene površine S možemo orijentisati na proizvoljan način; mi ćemo uzeti, na primer, da je vektor orijentisan „od čvora“, kao na slici 2(a).

Slika 2.

Primenjujući uslov stacionarnosti (2.25) na površinu S dobijamo:

, (5.1a)

gde je gustina struje u proizvoljnoj tački površine S. Pošto je jedino u onim delovima površine S koje presecaju kvazi-linijski provodnici, to se uslov stacionarnosti svodi na sledeći oblik:

(5.1b)

gde su Si površine poprečnih preseka provodnika, a sumiranje se vrši po svim granama.Ako za smerove struja Ii u pojedinim granama uzmemo smerove vektora , onda

integrali u relaciji (5.1b) predstavljaju takozvane algebarske vrednosti jačina struja koje se sustiču u čvoru P. Uz struje čiji se smer poklapa sa izabranim smerom površine stoji znak „+“, dok uz struje čiji je smer suprotan od smera površine stoji znak „-“.

Dakle, izraz (5.1b) možemo napisati u obliku:

33

(5.2a)

gde je ako je struja Ii orijentisana od čvora, dok je ako je Ii usmerena ka čvoru. U slučaju prikazanom na slici 2 imamo:

. (5.2b)Relacija (5.2a) predstavlja opšti oblik prvog Kirchhoff-ovog zakona. Prema tome, prvi Kirchhoff-ov zakon tvrdi da je algebarski zbir struja koje se sustiču u proizvoljnom čvoru jednak nuli.

Fizički smisao prvog Kirchhoff-ovog zakona, jednačina (5.2a), svodi se na sledeće: ukupno naelektrisanje koje u jedinici vremena uđe u proizvoljan čvor složenog kola stacionarne struje jednako je ukupnom naelektrisanju koje za isto vreme izađe iz čvora. Drugim rečima, elektronski gas se u čvorovima mreže sa stacionarnom strujom ponaša kao neki nestišljiv naelektrisani fluid. Dakle, prvi Kirchhoff-ov zakon je posledica zakona održanja naelektrisanja u stacionarnim uslovima električne mreže. Ovaj zaključak se može proveriti i neposrednim merenjem jačine struje koje ulaze i izlaze iz datog čvora. Prva merenja ovakve vrste izvršio je M. Faraday, 1843. godine neposredno pre nego što je Kirchhoff formulisao svoje zakone.

5.3. DRUGI KIRCHHOFF-OV ZAKON

Za razliku od prvog Kirchhoff-ovog zakona, koji se odnosi na proizvoljni čvor električne mreže, drugi Kirchhoff-ov zakon se primenjuje na proizvoljno izabranu konturu. Kao što ćemo videti, do ovog zakona možemo doći polazeći od Ohm-ovog zakona u integralnom obliku.

U tom cilju posmatrajmo proizvoljnu konturu date mreže stacionarne struje, sa s grana otpornosti Ri i elektromotornih sila pri čemu su u otpornosti Ri uključene i unutrašnje otpornosti generatora. Na slici 3(a) prikazan je primer konture koja se sastoji od tri grane. Za formulisanje drugog Kirchhoff-ovog zakona potrebno je prethodno izvršiti orijentaciju konture (slika 3(b)). Izbor orijentacije konture je proizvoljan, a pojam orijentisane konture možemo shvatiti kao uopštenje orijentisanog prostog strujnog kola. Smerovi struje Ii u pojedinim grana konture takođe takođe se biraju proizvoljno.

Slika 3.Pretpostavimo da struje I1, I2 i I3 u granam konture sa slike 3 imaju prikazane smerove,

a da su potencijali čvorova 1, 2 i 3. naponske grane U12, U23 i U31 posmatrane konture (u odnosu na izabranu orijentaciju konture) dobijamo imajući u vidu jednačinu (3.18) sledeće:

(5.3a)

34

(5.3b)(5.3c)

Dobijeni naponi se mogu izraziti preko jačina struje I1, I2 i I3 ako se iskoriste integralni oblici Ohm-ovog zakona (4.9) odnosno (4.17). Pritom treba imati u vidu da smo pri formulisanju Ohm-ovog zakona u obliku U12 = R12 I, to jest U21 = (R21 + Rg)I, pod I podrazumevali jačinu struje (kroz površin poprečnog preseka provodnika) u smeru orijentacije konture. Dakle:

U12 = R1 I1 (5.4a)U23 = R2 (–I2) (5.4b)

U31 = R3 I3 (5.4c)tako da je:

(5.5a)(5.5b)(5.5c)

Sabiranjem relacija (5.5a-c) dobijamo:(5.6)

Opisani postupak dobijanja formule (5.6) lako se uopštava na proizvoljnu orijentaciju konture koja se sastoji od s grana. Tada je:

(5.7)

gde uvedeni parametri i mogu dobijati vrednosti +1 i -1. Naime, ako se smer struje Ii poklapa sa izabranom orijentacijom konture; pri smer struje je suprotan od smera obilaska konture. Pri smer elektromotorne sile poklapa se sa smerom obilaska konure, dok je u suprotnom slučaju , vidi sliku 3(b). Svakako, nije neophodno da se u svim granama uočene konture nalaze generatori. Shodno tome, neki članovi zbira na desnoj strani jednakosti jednačine (5.7) mogu biti jednaki nuli, to jest za grane bez generatora treba uzeti , odnosno i Rgi = 0. Formula (5.7) predstavlja opšti oblik drugog Kirchhoff-ovog zakona. U slučaju prostog strujnog kola ovaj zakon se svodi na već poznati ontegralni oblik Ohm-ovog zakona.

Međutim, bez obzira na ovakav karakter odnosna pojma prostog strujnog kola prema konturi date mreže između njih postoji bitna razlika u energijskom pogledu. Naime, kod prostog strujnog kola oslobođena toplota (u jedinici vremena) upravo je jednaka energiji koju je generator (za isto vreme) ubacio u sistem, jednačina (3.47b). u slučaju proizvoljne konture lako zaključujemo da ova jednakost dovedene i emitovane energije, u opštem slučaju, više ne važi, dovoljno je primetiti da postoje konture u kojima nema generatora, ali na čijim otpornicima se ipak oslobađa toplotna enrgija. U tom smislu kažemo da zakon održanja energije ne važi za proizvoljnu konturu mreže. Ovakav zaključak nije neočekivan pošto uočena kontura nije energijski nezavisna od preostalog dela mreže. Naravno za čitavu mrežu zakon održanja naelektrisanja nije narušen.

5.4. REDNA I PARALELNA VEZA OTPORNIKA

Tehnički razlozi često zahtevaju povezivanje više provodnika određenih otpornosti u složenije celine. Mi ćemo ovde razmotriti dve najjednostavnije vrste ovakvih veza, koje se nazivaju redna i paralelna veza otpornika.

35

Slika 4.

Redna veza otpornika čije su otpornosti R1 i R2 prikazana je na slici 4(a). Neka je UAB

napon između tačaka A i B, a UAC i UCB naponi na krajevima otpornika R1 i R2 kroz koje je uspostavljena struja jačine I. Tada je primenom Ohm-ovog zakona na delove kola između tačaka AC i CB:

(5.8a)(5.8b)

Sabiranjem ovih relacija nalazimo:(5.9)

Veličina Re definisana izrazom:Re = R1 + R2 (5.10)

naziva se ukupna (ekvivalentna) otpornost redne veze otpornika R1 i R2. Fizički smisao veličine Re sastoji se u sledećem: ako bi deo grane između tačaka A i B sa otpornicima R1 i R2

(slika 4(a)) uklonili i na njihovo mesto postavili otpornik Re = R1 + R2, slika 4(b), onda se jačina struje I i napona UAB ne bi promenili. Štaviše, ovakva zamena ne dovodi ni do energijskih promena: toplota koja se u jedinici vremena oslobodi na R1 i R2 jednaka je onoj koja se oslobodi na ekvivalentnom otporniku Re. Zaista, primenom Joule-Lenc-ovog zakona (4.33), za snagu toplotnog zračenja sistema sa slike 4(a) dobijamo:

(5.11)

što upravo odgovara snazi toplotnog zračenja na Re.

Slika 5.Paralelna veza otpornika R1 i R2 prikazana je na slici 5(a). Primena Kirchhoff-ovog

zakona na čvor A ili B daje:(5.12)

gde su smerovi struje I, I1 i I2 naznačeni na slici 5(a). Kako je i , to je:

36

(5.13)

Veličina Re definisana izrazom:

(5.14a)

naziva se ukupna (ekvivalnentna) otpornost paralelne veze otpornika R1 i R2. Iz poslednje formule dobijamo:

(5.14b)

Fizički smisao uvedene otpornosti Re paralelne veze otpornika R1 i R2 je isti kao i u slučaju njihove redne veze: u sistemu sa slika 5(a) i 5(b) jačina struje I i napona UAB imaju iste brojne vrednosti. Da su navedeni sistemi ekvivalentni i u energijskom pogledu potvrđuju sledeća izračunavanja:

(5.15a)

odnosno, kako je na osnovu (5.13) UAB = ReI, imamo:

(5.15b)

Relacije (5.10) i (5.14a) se lako uopštavaju na slučaj redne i paralelne veze više permanentnih otpornika otpornosti R1, R2, ..., Rn. Za ekvivalentnu otpornost Re redne veze imamo:

(5.16)dok u slučaju paralelne veze važi relacija:

(5.17)

Primetimo da formule (5.10) i (5.14b) podsećaju na relacije (14.22) i (14.21) Elektrostatike za ekvivalentnu kapacitivnost paralelne i redne veze kondenzatora (obratiti pažnju na „inverziju“ u navedenoj analogiji: rednoj vezi otpornika analogna je paralelna veza kondenzatora).

5.5. REDNA I PARALELNA VEZA GENERATORA ELEKTROMOTORNIH SILA

Generatori elektromotornih sila (određenih unutrašnjih otpornosti) je, kao i otpornici, mogu međusobno povezivati u manje ili više složene celine („baterije“). Dve najjednostavnije veze su redna i paralelna veza generatora.

Redna veza generatora čije su elektromotorne sile i , istog smera, a unutrašnje otpornosti Rg1 i Rg2 je prikazana na slici 6(a). Neka je I jačina struje kroz posmatrani deo kola, i neka su , i potencijali tačaka A, B i C. Primenjujući Ohm-ov zakon na delove kola između tačaka C i B dobijamo:

(5.18a)(5.18b)

37

Slika 6.

Sabiranje relacija (5.18a) i (5.18b) daje:(5.19)

Veličinu:(5.20a)

nazivamo ukupna otpornost redne veze generatora, a veličinu:(5.20b)

ukupna elektromotorna sila redne veze generatora. Prema tome:(5.21)

Što znači da je redna veza dva generatora sa slike 6(a) ekvivalentna jednom generatoru, slika 6(b), čije su karakteristike Rge i određene formulama (5.20a) i (5.20b).

Slika 7.

Razmotrimo sada paralelnu vezu dva generatora unutrašnjih otpornosti Rg1 i Rg2 (slika 7(a)), čije su elektromotorne sile i istog smera. Primenjujući prvi Kirchhoff-ov zakon na čvor A imamo:

(5.22)Primena Ohm-ovog zakona na grane sa strujama I1 i I2 daje:

(5.23a)(5.23b)

gde su i potencijali tačaka A i B. Ako iz ovih relacija nađemo I1 i I2 i izvršimo zamenu u (5.22) dobijamo:

(5.24)

Veličinu:

38

(5.25)

nazivamo ukupna unutrašnja otpornost paralelne veze generatora. Koristeći Rge, iz izraza (5.24) dobijamo:

(5.26)

Veličinu:

(5.27)

nazivamo ukupna elektromotorna sila paralelne veze generatora.Zamena (5.27) u (5.26) daje:

, (5.28)Što znači da je paralelna veza generatora ekvivalentna jednom generatoru, slika 7(b), čije su karakteristike Rge i određene formulama (5.25) i (5.27).

Dobijeni rezultati se lako uopštavaju i na slučaj redne ili paralelne veze proizvoljnog broja generatora čije su elektromotorne sile istog smera. Za rednu vezu N generatora dobijamo formulu:

(5.29a)

(5.29b)

gde je elektromotorna sila i-tog generatora, a Rgi njegova unutrašnja otpornost.U slučaju paralelne veze N-generatora imamo:

(5.30a)

(5.30b)

U specijalnom slučaju istih generatora ( i ) pri njihovom rednom vezivanju dobijamo N puta veću elektromotornu

silu, ali i N puta veću unutrašnju otpornost baterije. Međutim, paralelna veza ovakvih generatora ne dovodi do povećanja elektromotorne sile, ali se otpornost smanjuje N puta, što se može videti iz formule (5.30a).

Generatori se ne moraju vezivati uvek tako da njihove elektromotrne sile imaju isti smer. Primenjujući već isazani postupak na ovakve slučajeve došli bi do istih relacija (5.29a,b) i (5.30a,b) s tim što bi u njima veličine imale algebarska značenja. To drugim rečima znači da u formulama (5.29b) i (5.30b) umesto treba uzeti gde je (ako je i-tog generatora istog smera kao i struja onda je , u suprotnom slučaju je ).

5.6. OPŠTI METOD ODREĐIVANJA STRUJA SLOŽENOGSTRUJNOG KOLA

U odeljku 5.2. smo napomenuli da se nalaženje struja u granama složenog električnog kola (električne mreže) svodi na primenu Kirchhoff-ovih zakona. Sada ćemo izložiti jedan

39

opšti metod kojim se mogu odrediti sve struje date električne mreže. Pretpostavljamo da su poznate sve otpornosti grana i sve elektromotorne sile generatora električne mreže.

Označimo sa N broj čvorova mreže, a sa G broj njenih grana. Pošto se svaka grana karakteriše određenom jačinom struje, to znači da je broj nepoznatih struja koje je potrebno naći jednak broju G. To dalje znači da je pomoću Kirchhoff-ovih zakona neophodno formulisati sistem od G jednačina za nepoznate struje čijim bi se rešavanjem dobile njihove brojne vrednosti. Primenom Kirchhoff-ovih zakona na sve čvorove i sve konture mreže dobili bi veći broj jednačina nego što nam je potreban. Ovako dobijene jednačine ne bi bile međusobno nezavisne.

Naime, sistem od G nezavisnoh jednačina možemo formulisati ako primenimo sledeći postupak. Prvi Kirchhoff-ov zakon treba primeniti na sve čvorove mreže osim jednog; tako ćemo dobiti:

N-1jednačina. Pri tome možemo izabrati bilo koje čvorove mreže. Preostale jednačine, koje dopunjuju sistem od G jednačina, pišemo po drugom Kirchhoff-ovom zakonu. Prema tome, drugi Kirchhoff-ov zakon daje:

G - (N-1)nezavisnih jednačina za nepoznate jačine struja. Konture na koje se primenjuje drugi Kirchhoff-ov zakon moraju biti međusobno nezavisne, to jest moraju se razlikovati za bar jednu granu.

Sistem jednačina koji se dobija na opisani način bitno zavisi od toga na koji način su povezani elementi mreže. Zbog toga kažemo da su Kirchhoff-ovi zakoni topološkog karaktera. Treba primetiti da efikasnost izloženog metoda bitno zavisi od stepena složenosti mreže. Ako mreža sadrži mali broj grana onda je sistem jednačina za nepoznate struje manji, i može se relativno lako rešiti. Međutim, kada mreža sadrži veliki broj grana biće veliki i broj jednačina, tako da njihovo rešavanje zahteva dosta vremena. Ovaj problem se može prevazići upotrebom kompjutera, ali i korišćenjem drugih metoda koji se ne zasnivaju na direktnoj upotrebi Kirchhoff-ovih zakona.

■Primer

Slika 8.Primenu izloženog metoda za nalaženje svih jačina struja složenog električnog kola

ćemo prikazati na primeru takozvanog Weaststone-ovog „mosta“, slika 8. Sve otpornosti grana i elektromotornu silu smatramo poznatim veličinama. Sa slike 8 vidimo da je broj čvorova N=4, a da je broj grana G=6 (isti toliki je i broj nepoznatih jačina struje: I, I1, I2, I3, I4, I5). Za primenu Kirchhoff-ovih zakona je najpre potrebno proizvoljno izabrati smerove struje u granama (na primer kao na slici 8).

Primena prvog Kirchhoff-ovog zakona na čvorove A, B i C tada daje:(5.31a)(5.31b)(5.31c)

40

Preostale tri jednačine ćemo napisati pomoću drugog Kirchhoff-ovog zakona za nezavisne konture ACDA, CBDC i ACBA (vidi sliku 8.):

(5.32a)(5.32b)(5.32c)

Rešavanjem sistema jednačina (5.31a-c) i (5.32a-c) dolazimo do izraza za jačine struje u svim granama posmatrane mreže. Primetimo da je pri rešavanju sistema linearnih jednačina (5.31a-c) i (5.32a-b) pogodno koristiti metod determinanti (to jest takozvanu Kramer-ove formule).

Pri određenim vrednostima otporsnosti R1, R2, R3 i R4 može doći do toga da je jačina struje I5=0; u tom slučaju kažemo da je Weatstone-ov most uravnotežen. Pokzuje se da tada mora važiti relacija:

(5.33)Poslednja relacija se može iskoristiti za određivanje nepoznate otpornosti. Ako je, na primer, otpornost R4 nepoznata onda se nakon uravnotežavanja mosta (na primer, podešavanjem vrednosti otpora R3), nepoznata otpornost dobija pomoću formule .

II MAGNETOSTATIČKO POLJE U VAKUUMU

☺6. AMPÈRE-OVA SILA6.1. STRUJNI ELEMENTI KVAZI-LINIJSKOG

PROVODNIKA

Raznovrsnost pojava vezanih za stacionarne električne struje, kojima smo se bavili u glavi I, odložila je sve do ovog poglavlja analizu centralnog fenomena magneatostatike. Kao što smo već više puta napomenuli centralni fenomen magnetostatike je pajava magnetostatičkog polja u prostoru u kome postoji stacionarna elektirčna struja. Svojstva magnetostatičkog polja bitno zavise od toga u kakvoj se materijalnoj sredini nalaze provodnici sa stacionarnim strujama. Sva razmatranja u ovoj glavi se odnose na magnetostatička polja stacionarnih struja u vakuumu.

Pristupajući sistematskom izučavanju magnetostatičkog polja u vakuumu veoma je važno ukazati na sledeće okolnosti: prvo, magnetostatičko polje je vremenski nezavisno polje, što je upravo i bio slučaj sa elektrostatičkim poljem; drugo, uzročnik magnetostatičkog polja je (vremenski nezavisna) stacionarna struja, dok su uzročnici elektrostatičkog polja nepokretna naelektrisanja. Navedene okolnosti ukazuju na to da bi između elektrostatike i magnetostatike morale postojati neke opšte sličnosti, ali i principijalne razlike.

U tom smislu, naš prvi zadat je da na neki konkretizujemo pomenutu analogiju između nepokretnog naelektrisanja i stacionarne struje. Mi smo u elektrostatici već videli da se naelektrisanje Q makroskopskog tela može shvatiti kao integral infinitezimalnih naelektrisanja dq zapremine dV po čitavoj zapremini V posmatranog tela (vidi, na primer, jednačinu (1.5) Elektrostatike). Uspostavljanje analogije između veličine dq i odgovarajuće karakteristike provodnika sa stacionarnom strujom najjednostavnije je realizovati na slučaju kvazi-linijskog strujnog provodnika (slika 1(a)). Ovakav provodnik možemo zamisliti kao skup fizički infinitezimalnih odsečaka čije su dužine u opštem slučaju različite, ali u kojima je struja iste jačine I.

41

Slika 1.

Ako je dužina uočenog odsečka kvazi-linijskog provodnika onda pod strujnim elementom podrazumevamo vektorsku veličinu , gde je istog pravca i smera kao i gustina struje posmatranog odsečka (vidi sliku 1(a)). Kao što ćemo videti tokom daljeg

razmatranja veličina preuzima u magnetostatici onu ulogu koju je u elektrostatici imala naelektrisanje dq. Lako se pokazuje da važi relacija:

, (6.1a)gde je dV zapremina uočenog odsečka kvazi-linijskog kola. Zaista, ako je S površina poprečnog preseka posmatranog odsečka onda je:

. (6.1b)„Razbijanje“ strujnog kola na strujne elemente u cilju jednostavnijeg proučavanja

magnetnog polja nije ograničeno samo na prosta kola; jasno je da se ono može primeniti i na složena kola stacionarne struje. Međutim, u daljem izlaganju mi ćemo se uglavnom ograničiti na analizu magnetostatičkog polja prostih kvazi-linijskih strujnih kola. Razlog ovome je jednostavan; kao što ćemo videti, već je izučavanje magnetostatičkih polja prostih strujnih kola dovoljno kompleksan problem. U osnovi ovr kompleksnosti leži činjenica da magnetostatičko polje ne zavisi samo od opštih svojstava strujne konture nego i od njenog oblika (to jest dve proste konture istih jačina struje I, ali različitih oblika imaju različita polja). Tim pre će magnetostatička polja dva topološki ekvivalentna složena strujna kola biti veoma različita i, u opštem slučaju, vrlo komplikovana.

Nije teško uočiti da se pojam strujnog elementa može koristiti i u slučaju zapreminskih provodnika sa stacionarnom strujom (slika 1(b)). Zaista, svaki zapreminski provodnik možemo shvatit kao „snop“ kvazi-linijskih provodnika, tako da će svim odsečcima ovakvih kvazi-linijskih provodnika odgovarati po jedan vektor gustine struje . Samim tim, svaki strujni element zapreminskog provodnika opisan je vektorom . Magnetostatičko polje zapreminskih struja moguće je proučavati relativno jednostavnim metodama jedino u nekim slučajevima koji se odlikuju izrazitim stepenom prostorne simetrije. Zbog toga ćemo se ovim pitanjem baviti samo onda kada je to neophodno za razumevanje fundamentalnih svojstava magnetostatičkog polja.

Pri izučavanju magnetostatičkih polja koja se formiraju u prisustvu zapreminskih provodnika, potrebno je imati u vidu da se ova polja formiraju ne samo u okolnom vakuumu, nego i u samom provodniku. Kakvo će biti magnetostatičko polje u unutrašnjosti zapreminskog provodnika zavisi od vrste materijala od kojeg je načenjen provodnik. Mi ćemo u ovom poglavlju (glava II) uvek pretpostavljati da se magnetno svojstvo zapreminskih provodnika kao materijalnih neprekidnih sredina bitno ne razlikuju od magnetnih svojstava vakuuma. U glavi III biće pokazano da je ova pretpostavka opravdana za takozvane slabe

42

magnetike, u koje spada većina provodnih materijala (na primer bakar i aluminijum). O magnetostatičkim poljima takozvanih feromagnetika (gvožđe, nikal, kobalt), specifičnoj, ali veoma važnoj klasi materijala koji spadaju u jake magnetike biće reči u IV glavi ove knjige.

U vezi prelaska sa kvazi-linijske na zapreminske strujne provodnike pogodno je ukazati na jednu okolnost koja će biti od koristi u daljim razmatranjima. Naime, često se pojavljuje potreba za integracijom određene skalarne ili vektorske funkcije duž konture C, to jest zahteva se izračunavanje integrala:

. (6.2)

Shvatajući zapreminski provodnik kao skup od N kvazi-linijskih provodnika Ci, umesto (6.2) imamo:

(6.3a)

Kada N→∞ mi sa diskretnog skupa kvazi-linijskih provodnika prelazimo na kontinualnu raspodelu struje sa gustinom zapreminskog provodnika, pri čemu gornja suma integrala prelazi u zapreminski integral oblika:

. (6.3b)

Poređenjem (6.3b) sa (6.2) uočavamo da se prelazak sa kvazi-linijski na zapreminske provodnike, ili obratno, može simbolički zapisati na sledeći način:

(6.4)

Naglasimo, na kraju, da prisustvo generatora elektromotorne sile u strujnoj konturi najčešće neće biti eksplicitno naznačeno, to jest njevovo prisustvo u kolu struje će se podrazumevati.

6.2. AMPÈRE-OV ZAKON

Osnovni zadatak koji se postavlja pri izučavanju magnetnih interakcija između provodnika sa stacionarnim strujama svodi se na nalaženje odgovarajuće formule za silu uzajamnog delovanja strujnih provodnika. Kao što smo videli analogan zadatak je prethodno morao biti rešen eksperimentalnim putem i pri zasnivanju elektrostatike gde smo pošli od Coulomb-ovog zakona za silu uzajamnog delovanja dva nepokretna tačkasta naelektrisanja. U tom smislu je i odgovor na pitanje o interakciji strujnih provodnika moguće naći adekvatnim tumačenjem eksperimentalnih činjenica.

Treba međutim, odmah naglasiti da se, za razliku od elektrostatičke interakcije, svako eksperimentalno izučavanje magnetne interakcije između stacionarnih struja ostvaruje pod donekle specifičnim okolnostima. Naime, u realnim eksperimentalnim uslovima nije moguće prethodno izolovati dva elementarna dela strujnih kontura koje međusobno interaguju, pa onda izmeriti silu interakcije ovih delova. Ovakav problem se u elektrostatici ne javlja u zaoštrenoj formi zato što je moguće imati na raspolaganju dva naelektrisana tela dovoljno malih dimenzija koja se na dovoljnom međusobnom rastojanju mogu shvatiti kao tačkasta naelektrisanja.

Pored navedene okolnosti, većoj kompleksnosti doprinosi i činjenica da strujni elementi nisu bezdimenzioni nego jednodimenzionalni objekti. Ova jednostavna geometrijska razlika je fundamentalna i od nje potiču, kao što ćemo videti, mnoge razlike između elektrostatičke i magnetostatičke sile. Za sada će biti dovoljno ukazati na samo jednu od ovih razlika: prostorni odnos dve materijalne tačke je određen jedino njihovim međusobnim rastojanjem, dok sve duži mogu imati različite međusobne prostorne orijentacije. Samim tim,

43

magnetna sila između dva strujna elementa ne zavisi samo od njihovog međusobnog rastojanja, nego i od toga kakav je međusobni odnos njihovih pravaca.

Sa upravo navedenim činjenicama vezan je takozvani problem nejednoznačnosti izbora pogodne formule za međusobnu interakciju strujnih elemenata. Naime, prve formule za sile (i ) postavio je A. Ampère još početkom devetnaestog veka, ali je tokom daljih

analiza uočeno da je međusobnu interakciju dva data strujna elementa i kontura C1 i C2 moguće opisati i na neograničeno mnogo drugih međusobno ekvivalentnih načina. Drugim rečima, izbor formula za (i ) nije jednoznačan, to jest postoji čitava klasa funkcija koje su u saglasnosti sa eksperimentalno izmerenim vrednostima za ukupnu silu

(i ) između pomenutih kontura C1 i C2. pod ovakvim okolnostima najprirodnije je opredeliti se za takvu formulu koja će biti što jednostavnija i koja će što više podsećati na formulu za međusobnu interakciju dva nepokretna tačkasta naelektrisanja, to jest Coulomb-ov zakon, jednačina (1.6) Elektrostatike, koju je pogodno napisati u sledećem obliku:

(6.5)

Tako dobijenu formulu mi ćemo i postaviti kao osnovu daljih razmatranja.

Slika 2.

Neka su i dva proizvoljna strujna elementa kvazi-linijskih strujnih provodnika (okarakterisanih konturama C1 i C2) postavljenih u vakuumu (slika 2(a)). Neka je

vektor položaja strujnog elementa u odnosu na . Fundamentalna

formula za silu kojom prvi strujni element deluje na drugi strujni element može biti zapisana u sledećem obliku:

(6.6)

gde simbol x označava odgovarajući vektorski proizvod vektora. Formula (6.6) poznata je pod nazivom Ampère-ov zakon, a sila koja je njom opisana naziva se Ampère-ova sila. U vezi navedenih formula za Coulomb-ovu silu , jednačine (6.5), i Ampère-ovu silu , jendačina (6.6), korisno je uočiti sasvim jednostavnu analogiju:

∙ → x, q → ,

Konstanta u formuli (6.6) karakteriše vakuum kao fizičku sredinu i naziva se magnetna propustljivost vakuuma. Eksperimentalna merenja pokazuju da u međunarodnom sistemu jedinica važi sledeća relacija:

44

, (6.7a)

prema tome:

(6.7b)

Imajući u vidu jednačinu (6.7a) i podsećajući se da za dielektričnu propustljivost vakuuma važi relacija (1.8a) Elektrostatike, dolazimo do sledeće formule:

(6.8)

gde je c brzina prostiranja svetlosti kroz vakuum. Poslednja formula eksplicitno ukazuje na vrlo specifičnu vezu električnih ( ) i magnetnih ( ) svojstava vakuuma. Ova veza će biti detaljnije razmatrana u Elektrodinamici, trećem delu knjige Uvod u elektromagnetizam.

Ono što nam je još preostalo da razmotrimo jeste pitanje kojom silom deluje

drugi strujni element na prvi strujni element (vidi sliku 2(b)). Naime, mi smo u

elektrostatici videli (odeljak 1.4. Elektrostatike) da za Coulomb-ove sile i kojima tačkasta naelektrisanja dq1 i dq2 deluju jedno na drugo važi sledeća relacija (1.7) Elektrostatike, to jest . Primetimo da se eksplicitni oblik za Coulomb-ovu silu

može dobiti iz izraza (1.6) Elektrostatike za silu ako se izvrši permutacija indeksa 1 i 2 u naelektrisanjima dq1 i dq2 i ako se umesto vektora uzme vektor . Ispostavlja se da se Ampère-ova sila može opisati formulom, koja se analognim postupkom (izmena indeksa i transformacija u ) dobija iz izraza (6.6), to jest:

(6.9)

Formula (6.9) kompletira sadržaj Ampère-ovog zakona.Poređenjem (6.6) i (6.9) dolazimo do zaključka da je u opštem slučaju:

. (6.10)Sa matematičkog stanovišta, ova činjenica je posledica svojstva vektorskog množenja vektora koji figurišu u izrazima (6.6) i (6.9). sa fizičkog stanovišta, relacija (6.10) na prvi pogled ukazuje na to da smo izborom formula (6.6) i (6.9) za i narušili važenje III Newton-ovog zakona („zakon akcije i reakcije“). Međutim, do ovakvog pogrešnog zaključka može se doći jedino ako se izgubi iz vida činjenica da se III Newton-ov zakon odnosi na ukupnu silu interakcije između strujnih kontura, ali ne i na silu interakcije između parova njihovih strukturalnih elemenata.

■PrimerRazmotrimo najpre slučaj dva kolinearna strujna elementa i koji stoje

pod pravim uglom u odnosu na duž koja spaja njihova središta (slika 3(a)).

45

Slika 3.

Na osnovu (6.6) tada dobijamo:

, (6.11)

dok primena formule (6.9) daje . Vidimo da se dva kolinearna strujna elementa privlače dok se dva naelektrisanja istog znaka odbijaju. U slučaju strujnih elemenata suprotnih smerova (slika 3(b)) izraz za silu se razlikuje od izraza (6.11) po znaku, pri

čemu ponovo važi relacija . U posmatranom slučaju Ampère-ove sile i

su odbojne.Dublje razlike između Ampère-ove i Coulomb-ove sile javljaju se tek kada su

međusobni prostorni odnosi strujnih elemenata različiti od onih prikazanih na slikama 3(a) i 3(b). Neki od specifičnih prostornih odnosa strujnih elemenata prikazani su na slikama 3(c) i 3(d). Za silu u slučaju prikazanom na slici 3(c) imamo:

, (6.12a)

gde je ort vektora , dok je:

. (6.12b)Najzad, strijni elementi sa slike 3(d) ne deluju međusobno nikakvim Ampère-ovim silama. ■

6.3. PRINCIP SUPERPOZICIJE AMPÈRE-OVIH SILA

U poslednjem odeljku mi smo se bavili Ampère-ovom silom kojom uzajamno deluju dva strujna elementa kvazi-linijskih struja. Sada nam preostaje da razmotrimo i pitanje uzajamnog delovanja čitavih strujnih kontura. Ovo pitanje je analogno onom kojim smo se bavili pri izučavanju principa superpozicije Coulomb-ovih sila (odeljak 1.5. Elektrostatike).

Slika 4.Razmotrimo najpre kako svi strujni elementi kvazi-linijske struje I1 (kontura C1), slika

4, deluju na proizvoljni strujni element kvazi-linijske struje I2 (kontura C2). Saglasnost sa

46

eksperimentima se postiže ako se pođe od toga da strujni elementi

konture C1 deluju na uočeni strujni element konture C2 nezavisno jedni od drugih. Za

ukupnu silu kojom čitava kontura C1 deluje na tada važi sledeća formula:

(6.13)

gde je sila određena formulom (6.6). Relacija (6.13) izražava takozvani princip superpozicije Ampère-ovih sila.

Integracijom izraza (6.13) po čitavoj konturi C2 dobijamo ukupnu silu kojom kontura C1 deluje na konturu C2, to jest:

, (6.14a)

odnosno:

.(6.14b)

Na analogan način, za silu kojom kontura C2 deluje na konturu C1, važi sledeća formula:

.(6.15)

gde je izraz određen formulom (6.9).

Može se pokazati, uprkos relaciji (6.10), za ukupne sile i važi sledeća formula:

.(6.16)

Formula (6.16) tvrdi ono što se i moglo očekivati: da za ukupne sile kojima čitave konture C1

i C2 uzajamno deluju jedna na drugu mora važiti III Newton-ov zakon. Do prividnog narušavanja ovog zakona dolazi samo ako se on primeni na delove strujnih kontura koji ne mogu realno postojati kao nezavisni fizički objekti. Dokaz formule (6.16) nije suviše komplikovan (koriste se standardne formule vektorske analize i činjenica da je takozvani integral od totalnog diferencijala po zatvorenoj konturi jednak nuli), ali mi se time nećemo baviti.

Ampère-ov zakon formulisan u odeljku 6.2. i princip superpozicije Ampère-ovih sila možemo smatrati osnovnim teorijskim postavkama na kojima se zasniva izučavanje međusobne interakcije proizvoljnih provodnih kontura sa stacionarnim strujama. Problem određivanja Ampère-ovih sila između strujnih kontura u vakuumu često se naziva osnovni zadatak magnetostatike. U tom smislu ovaj zadatak je analogan osnovnom zadatku elektrostatike (vidi odeljak 1.5. Elektrostatike).

Treba, međutim, odmah naglasiti da je problem određivanja sila koje deluju između datih strujnih kontura u opštem slučaju daleko komplikovaniji od analognog elektrostatičkog problema. Ova činjenica je neposredna posledica toga što se formula (6.6) Ampère-ovu silu

komplikovanija od Coulomb-ovog zakona. Čak i u slučajevima sistema koji se sastoji od dve strujne konture jednostavnijih geometrijskih oblika (na primer, dve kvadratne konture koje leže u istoj ravni na datom međusobnom rastojanju) izračunavanje ukupne sile međusobne interakcije nije sasvim jednostavno. Zbog toga se, kao i u elektrostatici, problem određivanja sile međusobne interakcije rešava u dve etape: najpre se uvede pojam (magnetostatičkog) polja prve strujne konture i izračuna njegova jačina, a zatim se određuje sila kojom ovakvo polje deluje na drugu od posmatranih strujnih kontura. U tom

47

matematičkom smislu potreba za uvođenjem polja (magnetostatičkog polja stacionarne struje) kojom ćemo se baviti u sedmoj glavi, postaje čak i veća nego u elektrostatici.

☺7. JAČINA MAGNETOSTATIČKOG POLJA, 7.1. LAPLACE-OVA FORMULA ZA JAČINU MAGNETOSTATIČKOG

POLJA

Prvi zadatak pri formulisanju magnetostatike kao “teorije polja“ pri razmatranja polja kvazi-linijskih stacionarnih struja je definisanje pojma jačine magnetostatičkog polja, strujnog elementa .

Pristupajući zadatku definisanja vektora neophodno je ukazati da izraz za jačinu polja zavisi od izvora magnetostatičkog polja, stacionarne struje jačine I kroz strujni provodnik datog oblika – geometrije, položaja tačke u kojoj se definiše i sredine u kojoj se definiše polje. treba definisati tako da izraz za silu delovanja strujnog elementa date konture na strujni element neke druge konture dobijamo kao delovanje odgovarajućeg magnetnog polja d na strujni element druge konture.

Imajući u vidu navedene okolnosti, nije teško naći formulu za jačinu magnetnog polja elementarnog dela kvazi-linijskog strujnog provodnika sa stacionarnom strujom jačine

I u proizvoljnoj tački M (slika 1(a)). Ako se u tačku M postavi „probni“ strujni element neke strujne konture sa strujom jačine Ip, na njega će strujni element I delovati

silom koja je određena relacijom (6.6). Formulu (6.6) je pogodno napisati u sledećem obliku:

(7.1)

gde je vektor položaja probnog strujnog elementa u odnosu na strujni element I (vidi sliku 1(b)).

Slika 1.

Poslednja formula zadovoljava pomenute uslove koji su nam potrebni za definisanje jačine magnetostatičkog polja koje u tački M stvara strujni element I . Zaista, prvi činilac

vektorskog proizvoda jednačine (7.1) zavisi samo od karakteristika probnog strujnog

48

elementa dok drugi činilac zavisi od karakteristika datog provodnika, položaja tačke M i sredine u kojoj se nalazi provodnik. Drugim rečima jednačina (7.1) ima strukturu formule

kojom smo definisali jačinu elektrostatičkog polja . Prema tome, za jačinu

magnetostatičkog polja Bd

koje u tački M stvara strujni element I možemo uzeti:

(7.2a)

Ovo je takozvana Laplace-ova formula za jačinu magnetostatičnog polja strujnog elementa.

Da bismo jasnije uočili sličnosti i razlike između izraza (7.2a) i izraza (2.1) Elektrostatike za jačinu elektrostatičnog polja tačkastog naelektrisanja q, napišimo izraz (7.2a) u sledećem obliku:

(7.2b)

ovde je jedinični vektor vektora . Očigledno je da vektor Bd

više nije kolinearan

sa ortom nego leži normalno na ravan u kojoj su vektori i . Primetimo takođe da Bd

ne zavisi od probnog strujnog elementa. Kao i u elektrostatici (vidi odeljak 2.1 Elektrostatike) ova stalnost se obično tumači kao činjenica da posmatrano polje postoji nezavisno od merenja (delovanja na probni strujni element). Za jedinicu jačine magnetnog polja se u Međunarodnom sistemu koristi tesla (T) :

B (=) TNa osnovu (7.2b) i (6.7b) vidimo da tesla spada u takozvane izvedene jedinice ovog

sistema, pri čemu je:

Podsećamo da je amper (A) osnovna jedinica Međunarodnog sistema (vidi odeljak 2.3); definicija ampera će biti data u deljku 7.4, zajedno sa konkretnim fizičkim sadržajem navedene veze između tesle (T), njutna (N), ampera (A) i metra (M).

Ukupna jačina magnetosatičkog polja koje u proizvoljnoj tački M (vidi sliku 1(a)) stvara čitava kontura C biće jednaka vektorskom zbiru jačina Bd

određenih Laplace-ovom

formulom (7.2a). Zaista, koristeći princip superpozicije Ampmère-ovih sila (6.13) i imajući u vidu formulu (7.1) dolazimo do sledeće relacije:

(7.3)

gde je integracija izvršena po čitavoj konturi C. Poslednja formula se lako uopštava i na slučaj ukupne jačine polja koja u proizvoljnoj tački prostora formira više kvazi-linijskih kontura. Naime, ako su jačine polja kontura onda važi sledeća formula:

(7.4)

Sličnu generalizaciju imamo i u slučaju zapreminskih stacionarnih struja.Na osnovu izložene analize vidimo da vektor u proizvoljnoj tački M (pri datoj

prostornoj raspodeli stacionarnih struja) predstavlja funkciju polja, to jest:(7.5)

gde je vektor položaja tačke M. Dakle jačina polja predstavlja lokalnu karakteristiku polja. Podsetimo se da je u elektrostatici jačina elektrostatičnog polja igrala analognu ulogu.

49

7.2 PRIMENA LAPLACE-OVE FORMULE ZA IZRAČUNAVANJE JAČINE POLJA,

Laplace-ova formula (6.18a) omogućuje da se u principu, izračuna jačina magnetnog polja proizvoljnog kvazi-linijskog strujnog provodnika. Efikasnost ovakvog direktnog metoda određivanja vektora zavisi od toga koliko je komplikovan integral koji se pojavljuje pri izračunavanju doprinosa svih strujnih elemenata date konture, jednačina (7.3). U ovom odeljku ćemo ilustrovati navedeni metod određivanja vektora jednostavnim primerima kvazi-linijskih strujnih provodnika.

■Primer 1

Slika 1.

Izračunaćemo jačinu magnetostatičkog polja izvan beskonačnog i pravolinijskog tankog provodnika sa stacionarnom strujom jačine I (slika 2(a)). Uočimo proizvoljnu tačku M koja je na rastojanju a od strujnog provodnika i proizvoljni strujni element . Za jačinu polja uočenog elementa imamo:

(7.6a)

gde su r i naznačene na slici 2(a), dok je ort vektora . Sa slike vidimo da je i , tako da je:

(7.6b)

Imajući u vidu relaciju (7.3), za ukupnu jačinu polja dobijamo:

(7.7a)

to jest:

(7.7b)

Poslednja formula predstavlja takozvani Biot-Savart-ov zakon. Primetimo da jačina polja neograničeno raste kada a→0, to jest u tačkama koje leže na linijskom provodniku. Razrešenje ove nefizičke situacije leži u činjenici da je linijski provodnik matematička fikcija.

50

Za provodnik konačnog poprečnog preseka jačina polja biće konačna u svim tačkama prostora.■

■Primer 2

Slika 3.

Formulu za jačinu polja u proizvoljnoj tački M polja linijske kružne konture poluprečnika R, (slika 3(a)), takođe je moguće dobiti u analitičkom obliku. Međutim, pošto u opštem slučaju postupak izračunavanja nije jednostavan mi ćemo se ovde ograničiti samo na određivanje vektora u tačkama linije koja je normalna na ravan konture i koja prolazi kroz njen centar, slika 3(b).

Vektor jačine polja koje u tački M formira strujni element (vidi sliku 3(b)) možemo razložiti na dva međusobno normalna vektora i , to jest .

Za komponentu imamo:

(7.8)

gde je jedinični vektor z-ose, dok su veličine r i definisane na slici 3(b). Sa iste slike vidimo da je , tako da za komponentu ukupne jačine polja u pravcu z-ose dobijamo:

(7.9a)

to jest pošto je poslednji integral upravo jednak obimu posmatrane kružne konture imamo:

(7.9b)

Imajući u vidu da se vektor pri integraciji duž konture C međusobno poništavaju, dobijamo:

(7.10)

Prema tome, za traženu jačinu polja u tački M na osi kružne konture imamo

, to jest pošto je , dobijamo:

(7.11a)

51

Iz poslednje formule vidimo da pri Z→±∞ imamo B→0. Maksimalna jačina polja je u samom centru kružne konture (Z=0), kada važi formula:

(7.11b)

Detaljnija analiza magnetostatičkog polja u proizvoljnoj tački M, ali na dovoljnoj udaljenosti od kružne konture biće data u odeljku 12.■

7.3. LINIJE MAGNETOSTATIČKOG POLJA

Kao i u slučaju elektrostatičkog polja, za vizuelno prikazivanje prostorne strukture magnetostatičkog polja pogodno je koristiti takozvane linije magnetostatičkog polja. Mada ni linije polja nemaju neposredni fizički smisao, pomuću njih je moguće ukazati na ključna geometrijska svojstva magnetostatičkog polja.

Pod linijom magnetostatičkog polja podrazumeva liniju koja u svakoj svojoj tački za tangenti ima pravac vektora (vidi sliku 4).

Slika 4.

Po dogovoru, smer ovako definisane linije poklapa se sa smerom vektora u posmatranoj tački polja, definisanoj vektorom položaja . Stepen složenosti linija magnetostatičkog polja zavisi od stepena složenosti prostornih raspodela stacionarnih struja koje ova polja formiraju. Primeri strujnih kontura koji će ovde biti razmatrani omogućuju nam da uočimo neke osnovne karakteristike magnetostatičkog polja.

Kao prvi primer navešćemo strukturu linija magnetostatičkog polaj izvan tankog beskonačnog i pravolinijskog strujnog provodnika sa strujom I, vidi sliku 2(b). U navedenom jednostavnom slučaju linije polja su koncentrični krugovi koji leže u ravni normalnoj na provodnik, a čiji su vektori u samom provodniku. Do ovog zaključka dolazimo na osnovu Biot-Savart-ovog zakona (7.7b). Promenom smera struje I linije polja zadržavaju snoje oblike, ali se njihov smer menja.

Nešto komplikovaniju strukturu linija imamo u slučaju dva beskonačni i paralelna provodnika, slika 5(a), čije su struje I istog smera i intenziteta. Sa slike 3(a) uočavamo da se u razmatranom slučaju javljaju dva osnovna tipa linija polja, to jest neke od njih obuhvataju prvi ili drugi provodnik, dok drugi tip linija obuhvata oba provodnika. „Granicu“ ova dva tipa linija predstavljaju dve otvorene linije. Isprekidane linije na slici 5(b) koje polaze i završavaju se iz neposredne okoline tačke =0.

52

Slika 5.

Prikazana struktura linija polja se ponavlja u svakoj ravni koja je paralelna ravni sa slike 5(a). Struktura linija je bitno manja u slučaju kada su struje suprotnih smerova (vidi sliku 5(b)); primetimo da „granično“ prava linija (isprekidana linija) dolazi iz beskonačnosti i odlazi u beskonačnost.

Struktura linija magnetostatičkog polja kružne strujne konture prikazana je na slici je na slici 6. Pri promeni smera struje u konturi menja se samo smer, ali ne i struktura linija polja. Vidimo da su linije polja zatvorene linije sa izuzetkom linije polja koja se poklapa sa osom simetrije posmatrane kružne konture. Reč je o pravoj liniji koja dolazi iz beskonačnosti i odlazi u beskonačnost (isprekidana linija na slici 6).

Slika 6.

Već se na osnovu navedenih primera mogu uočiti osnovne sličnosti i razlike između linija elektrostatičkog i magnetostatičkog polja. Kao i u elektrostatici, linije magnetostatičkog polja su neprekidne linije koje se nigde ne presecaju. Osnovna razlika između linija polja i

je u tome što linije magnetostatičkog polja nemaju „izvore“ ni „ponore“, to jest ne postoje tačke u polju iz kojih će izlaziti ili u koje će ulaziti linije ovog polja. U tom smislu i kažemo da magnetostatičko polje stacionarnih električnih struja spada u klasu bezizvornih polja. U svim prikazanim primerima ovog odeljka pojavljuju se isključivo ili zatvorene (vrtložne) linije ili linije koje dolaze iz beskonačnosti i odlaze u beskonačnost. Jedini izuzetak su (isprekidane) središne tačke duži koja spaja dva beskonačna provodnika sa strujama I istih smerova, a gde je =0.

53

Pored već opisanih linija polja moguć je i jedan specifičan tip nezatvorenih linija beskonačnih dužina, takozvanih magnetostatičkih linija Peano-vog tipa. Može se pokazati da se linije ovakvog tipa ne pojavljuju u slučaju elektrostatičkog polja ni pri kakvoj raspodeli nepokretnih naelektrisanja. Ispostavlja se da se magnetostatičke linije Peano-vog tipa javljaju čak i kod vrlo jednostavnog magnetostatičkog sistema koji se sastoji od kružnog strujnog provodnika duž čije ose simetrije leži beskonačan pravolinijski strujni provodnik (slika 7). Ispostavlja se da ovakve magnetne linije imaju oblik helikoide koja se omotava oko kružnog strujnog provodnika I1. U zavisnosti od toga kakav je količnik jačina struje u posmatranim provodnicima, helikoida koja prolazi kroz određenu tačku u polju može biti ili zatvorena linija ili otvorena linija Peano-vog tipa, to jest linija pomoću koje se može kompletno „prebrisati“ čitava površina torusa oko koga se obmotava. U postojanje helikoidnih linija polja posmatranog strujnog sistema možemo se uveriti kombinovanjem linija polja struje I1 i polja struje I2.

Slika 7.

Upravo opisana analognost dovodi do toga da magnetostatičko polje za razliku od elektrostatičkog, nije uvek moguće vizuelno predošiti crtežima na kojima će linije polja zadovoljavati konvenciju o gustini linija polja. Podsećamo da je ova konvencija bila uvedena u elektrostatici i da se svodi na sledeći zahtev: broj prikazanih linija polja koje prolaze kroz jedinicu površine postavljenu normalno na pravac polja mora biti jednak jačini polja u posmatranoj tački prostora. U našem konkretnom primeru sa slike 7 ova konvencija je narušena ukoliko su struje I1 i I2 takve da se pojavljuju linije Peano-vog tipa i zaista, ista linija ovog tipa će kroz uočenu jediničnu površinu proći beskonačan broj puta.

Konvenciju o gustini linija polja možemo primeniti u svim ovim magnetostatičkim sistemima u kojima ne dolazi do opisanih problema. Zbog praktičnosti upotrebe pojma linija magnetostatičkog polja, ovaj pojam će biti korišćen u našem daljem izlaganju, kad god je to dopustivo.

7.4. NEPOKRETNI STRUJNI PROVODNIK U SPOLJNJEM MAGNETOSTATIČKOM POLJU

Jačina magnetostatičkog polja je u odeljku 7.1. definisana pomoću pojma probnog strujnog elementa i sile koja deluje na ovaj strujni element. Time, međutim, još nije odgovoreno na pitanje kojom će silom ovako definisano polje delovati na strujni element

54

nekog provodnika. Navedeno pitanje je analogno onom koje je već postavljeno u elektrostatici (vidi odeljak 2.3. Elektrostatike) i dovodi do sličnog odgovora.

Da bi našli odgovor na postavljeno pitanje, pretpostavimo da je kvazi-linijski strujni provodnik sa stacionarnom strujom izvor magnetostatičkog polja i neka se u ovom polju nalazi drugi nepokretni kvazi-linijski strujni provodnik sa strujom I, slika 8.

Slika 8.

Za ukupnu silu kojom čitava kontura deluje na strujni element tada važi formula (6.1b) u kojoj je određeno Ampère-ovim zakonom (6.6), to jest:

(7.12a)

odnosno:

(7.12b)

Integral u poslednjem izrazu je na osnovu jednačina (7.2a) i (6.9) baš jačina spoljnjeg magnetostatičkog polja . Prema tome, za Ampère-ovu silu kojom spoljnje polje jačine

deluje na proizvoljni strujni element važi sledeća formula:

(7.13)Navedena relacija se ponekad naziva i Ampère-ova formula. Treba primetiti da formula (7.13) važi pod uslovom da množenje strujnog provodnika sa strujom I ne remeti spoljnje polje, to jest ne menja jačinu struje izvora polja.

Ampère-ova sila (7.13) ne deluje na strujni element koji leži na pravcu vektora , to jest koji leži na magnetnoj liniji (pošto je tada ). Sa druge strane, ako je

onda je intenzitet Ampère-ove sile maksimalan. Ova zavisnost sile od prostorne orijentacije strujnog elementa je specifičnost integracije struje i spoljnjeg magnetostatičkog polja (ne javlja se u elektrostatici). Primetimo takođe da je ukupna sila koja deluje na strujnu konturu c zadata izrazom:

(7.14)

■Primer

55

Slika 9.

Primenu Ampère-ove formule ćemo ilustrovati jednostavnim primerom izračunavanja sile koja deluje po jedinici dužine dva nepokretna, pravolinijska i paralelna strujna provodnika beskonačnih dužina, u kojima su uspustavljene struje jačine I1 i I2. Pretpostavićemo da su struje I1 i I2 istog smera (slika 9(a)). Jačina polja koje stvara struja I1 na mestu drugog provodnika određena je Biot-Savarat-ovim zakonom (7.7b), to jest:

(7.15)

Prema tome, za Ampère-ovu silu (vidi sliku 9(a)) koja deluje na deo drugog provodnika dužine , na osnovu (7.13) i (7.15), imamo:

(7.16)

Nije teško pokazati da drugi provodnik deluje na prvi provodnik sa slike 9(a) silom , to jest međusobna interakcija paralelnih pravolinijskih provodnika sa struja istih

smerova je privlačnog karaktera.U slučaju kada su struje I1 i I2 suprotnih smerova (slika 9(b)) dolazimo do analogne

formule formuli (7.16). Jedina razlika u odnosu na sistem sa slike 9(a) je u tome što su sada Ampère-ove sile odbojnog karaktera. ■

Formula (7.16) može poslužiti za definiciju ampera (A). Naime, uzimajući u (7.16) da je , da je i i imajući u vidu jednačinu (6.7b) dobijamo

. Drugim rečima, dva dela paralelnih pravolinijskih provodnika jediničnih dužina, koja se nalaze u vakuumu na jediničnom rastojanju, a koja se privlače silom imaju jačine struje od jednog ampera. Poslednji zaključak upravo i predstavlja definiciju ampera (A) kao jedne od osnovnih veličina Međunarodnog sistema jedinica (SI). U to smilsu je tesla kao izvedena jedinica za jačinu magnetostatičkog polja (vidi odeljak 7.1), jačina polja koje silom od 1N deluje na pravolinijski provodnik dužine i struje

, postavljenog normalno na vektor .

☺8. LORENTZ-OVA SILA8.1. OSNOVNA SVOJSTVA LORENTZ-OVE SILE

U odeljku 7.4. mi smo razmatrali slučaj kvazi-linijskog strujnog provodnika u spoljnjem magnetostatičkom polju jačine . Videli smo da na svaki strujni element ovakvog provodnika deluje Ampère-ova sila . Sa stanovišta mikrostrukture, svaki strujni element metalnog provodnika predstavlja kompleksan sistem različitih naelektrisanih

56

čestica. Mi smo u glavi I već videli da električna struja u metalnim provodnicima predstavlja usmereno kretanje elektrona. Navedena okolnost nam sugeriše da potražimo odgovor na pitanje kako spoljnje magnetostatičko polje deluje na pojedinačna naelektrisanja. Štaviše, pošto se naelektrisane čestice javljaju na samo kao elementi strukture provodnih sredina, nego i kao samostalni objekti koji se kreću kroz vakuum, mi se suočavamo i sa jednim opštim problemom. Naime, postavlja se generalno pitanje kako spoljnje magnetostatičko polje deluje na bilo kakvu naelektrisanu česticu koja se kreće u ovom polju.

Odgovor na ovo pitanje mogu, u suštini direktno dati jedino eksperimenti. Fundamentalna formula za silu kojom spoljnje magnetostatičko polje jačine deluje na tačkasto naelektrisanje q koje se kreće u vakuumu brzinom može se zapisati u sledećem obliku:

(8.1)

Sila izražena ovom formulom naziva se (magnetno) Lorentz-ova sila. Naglašavamo da u izrazu (8.1) figurira jačina polja u onoj tački prostora kroz koju čestica upravo prolazi brzinom . Drugim rečima, jednačina (8.1) predstavlja „lokalnu“ relaciju: , i odnose se na istu tačku prostora u kojem se trenutno nalazi naelektrisanje q. Naravno, o primenljivosti formule (8.1) moguće je govoriti samo ako smo se prethodno opredelili za određeni referentni sistem u kome je brzina čestice određena vektorom , a jačina polja vektorom .

Na osnovu formule (8.1) za intenzitet Fm Lorentz-ove sile imamo:

(8.2)gde je ugao između vektora i , dok je apsolutna vrednost tačkastog naelektrisanja q. Pravac vektora je uvek normalan na ravan u kojoj leže i dok je njegov smer određen uzajamnim odnosom i i znakom naelektrisanja q, slika 1.

Slika 1.

Važno je uočiti da se Lorentz-ova sila bitno razlikuje od sile , jednačina (2.7) Elektrostatike, kojom spoljnje elektrostatičko polje deluje na tačasto naelektrisanje q. Pre svega, ako čestica miruje u spoljnjem magnetostatičkom polju ( ) onda je , to jest Lorentz-ova sila ne deluje na nepokretna naelektrisanja. Osim toga ona neće delovati ni na česticu koja se kreće u pravcu linije magnetostatičkog polja (pošto je tada ugao ili 0 ili tako da je , to jest ).

Formula (8.1) za Lorentz-ovu silu donekle je slična formuli

za elementarnu Ampère-ovu silu kojom spoljnje polje deluje na strujni

57

element , jednačina (7.13). uočavamo da veličina u izrazu za preuzima ulogu

strujnog elementa iz navedene formule za . Relacija (8.1) za Lorentz-ovu silu može poslužiti za definisanje vektora kao eksperimentalno merljive veličine. Naime, intenzitet B vektora jačine datog magnetostatičkog polja možemo izmeriti u proizvoljnoj tački prostora koristeći formulu:

. (8.3)

Zaista, mereći maksimalnu Lorentz-ovu silu kojom polje deluje na dato (izmereno) naelektrisanje q koje se kroz posmatranu tačku kreće datom (izmerenom) brzinom, i primenjujući formulu (8.3) neposredno dolazimo do veličine B. Pravac i smer vektora moguće je eksperimentalno utvrditi na osnovu pravaca i smerova vektora i . Naravno, opisani merni postupak je principijelnog karaktera, kojim se tvrdi da je veličina principijelno merljiva veličina u istom smislu u kome je to bila i jačina elektrostatičkog polja

. U realnim eksperimentalnim uslovima ovakav postupak zahteva rešenje problema merenja kako tako i brzine i naelektrisanja q, što najčešće nije jednostavan zadatak. Zbog toga se u praksi merenje veličine zasniva na drugim, indirektnim metodama, kojima se ovde nećemo baviti.

Izložena analiza je polazila od pretpostavke da se unošenjem pomenutog naelektrisanja q u magnetostatičko polje njegova jačina nije izmenila. Međutim, ispostavlja se da se ovakva pretpostavka može smatrati ispravnom jedino u slučaju relativno sporih kretanja i pri relativno malim ubrzanjima naelektrisane čestice (relativno malog naelektrisanja q). Kada ovi uslovi nisu zadovoljeni ubrzano kretanje naelektrisanja stvara sopstveno i vremenski zavisno elektromagnetno polje koje deluje na izvor magnetostatičkog polja (strujne konture), zbog čega se čestica nalazi u izmenjenom polju. Opsana situacija je donekle analogna onoj koja se javlja pri unošenju naelektrisanja u elektrostatičko polje (vidi odeljak 2.3. Elektrostatike).

Naglasimo, na kraju, da je formula (8.1) za silu specijalan slučaj jedne opšte formule. Naime, u slučaju kada na tačkasto naelektrisanje q istovremeno deluje i elektrostatičko i magnetostatičko polje važi formula:

(8.4)

Veoma često se upravo rezultujuća sila naziva Lorentz-ova sila, tako da je sila sa kojom se srećemo u magnetostatici samo „magnetna“ komponenta ovakve ukupne sile. Štaviše, u elektrodinamici se pokazuje da formula (8.4) važi u opštem slučaju vremenski zavisnog elektromagnetnog polja, opisanog vektorima i koji su ne samo funkcije položaja nego i vremena. Tako shvaćena formula (8.4) predstavlja najopštiji izraz za silu kojom elektromagnetno polje deluje na tačkasto naelektrisanje q, zbog čega se naziva i elektromagnetnom silom.

8.2. VEZA IZMEĐU LORENTZ-OVE I AMPÈRE-OVE SILE

Ampère-ova sila , kojom spoljnje magnetostatičko polje deluje na strujni element predstavlja makroskopsku manifestaciju fundamentalnije, lorentz-ove sile kojom polje deluje na pojedinačna naelektrisanja metalnog provodnika. U odeljku 8.1. videli smo da (magnetna) Lorentz-ova sila deluje samo na pokretna naelektrisanja. Zbog toga je pri tumačenju veze između Lorentz-ove i Ampère-ove sile dovoljno razmotriti uticaj spoljnjeg polja na pokretne, slobodne elektrone metalnog provodnika.

58

Slika 2.

Uočimo strujni element kvazi-linijskog provodnika površine poprečnog preseka S na mestu gde je spoljnje polje jačine , slika 2(a). Sa makroskopskog stanovišta uočeni element predstavlja cilindar dužine (slika 2(b)) kroz koji se usmereno kreću elektroni naelektrisanja . Ako je n srednji broj elektrona elektronskog gasa u jedinici zapremine metala (koncentracija), onda je srednji broj elektrona u posmatranom delu provodnika. Lorentz-ova sila koja deluje na i-ti elektron određena je sledećom formulom:

(8.5)

gde je brzina haotičnog kretanja posmatranog elektrona, a brzina njegovog usmerenog kretanja (vidi odeljak 2.1.).

Da bismo pokazali da je Ampère-ova sila makroskopska manifestacija delovanja sile , nađimo najpre izraz za srednju vrednost Lorentz-ove sile, . Imaćemo da je:

(8.6a)

gde je srednja brzina haotičnog, a usmerenog kretanja elektrona. U odeljku 2.1. mi

smo već pokazali da je , vidi jednačinu (2.4). Takođe, na osnovu formula (2.3) i (2.6)

imamo , gde je srednja brzina ekvivalentnog nosioca struje (q=+e). Na taj

načina za dobijamo:

. (8.6b)Prema tome, za ukupnu silu kojom spoljnje polje deluje na elektronski gas u

strujnom elementu sa slike 2(b) imamo:(8.7a)

to jest:. (8.7b)

Pošto je , vidi jednačinu (2.11), to je:(8.8)

što upravo predstavlja izraz za Ampère-ovu silu . Drugim rečima Ampère-ova sila predstavlja makroskopsku posledicu delovanja Lorentz-ove sile. Naime, Lorentz-ova sila deluje na svaki od pokretnih elektrona provodnika što rezultira delovanje Ampère-ove sile na provodnik u celini.

Lako je uočiti da se izloženi postupak može inverzovati u tom smislu što bi pošli od Ampère-ove sile i došli do formule za Lorentz-ovu silu koja deluje na pojedini slobodni

59

elektron metalnog provodnika. Upravo ovim postupkom je H. Lorentz i došao do formule , koja se u navedenom obliku prvi put pojavljuje u jednom njegovom radu iz

1895. godine. Drugim rečima, formula za Lorentz-ovu silu prvi put je dobijena analizom eksperimentalno ustanovljene Ampère-ove sile kojom magnetno polje deluje na strujni provodnik, uz pretpostavku o elektronskoj mikrostrukturi metalnih provodnika.

8.3. NEKONZERVATIVNOST MAGNETOSTATIČKOG POLJA

Mi smo u odeljku 8.1. već istakli da se delovanje magnetostatičkog polja na tačkasto naelektrisanje q (posredstvom Lorentz-ove sile ) bitno razlikuje od delovanja

elektrostatičkog polja (posredstvom sile ). Ove razlike dovode do toga da elektrostatička i magnetostatička polja pripadaju veoma različitim klasama polja. Naime, u ovom odeljku ćemo videti da je magnetostatičko polje, za razliku od elektrostatičkog, nekonzervativno polje.

Podsećamo da smo silu kojom elektrostatičko polje deluje na pokretno ili nepokretno naelektrisanje q nazvali konzervativnom silom, a samo polje konzervativnim poljem iz sledećeg razloga: Naime, videli smo (odeljak 2.4. Elektrostatike) da je rad sile

pri pomeranju tačkastog naelektrisanja iz tačke 1 u tačku 2 polja bio u opštem slučaju različit od nule i da je zavisio samo od položaja ovih tačaka, ali ne i od oblika putanje duž koje se obavlja pomeranje. Ovo izuzetno važno svojstvo elektrostatičkog polja omogućilo nam je uvođenje pojma razlike potencijala između tačaka 1 i 2 kao jednoznačne skalarne veličine (odeljak 2.5. Elektrostatike). Štaviše, pogodnim izborom referentne tačke mi smo bili u mogućnosti da u svakoj tački elektrostatičkog polja jednoznačno definišemo njen skalarni potencijal. Pritom je pokazano da važi relacija

, zbog čega se elektrostatičko polje često označava i kao potencijalno vektorsko polje (odeljak 2.7. Elektrostatike). Najzad konzervativni karakter polja nam je omogućio da nađemo potencijalnu energiju tačkastog naelektrisanja q u spoljnjem elektrostatičkom polju (vidi odeljak 5.1. Elektrostatike). Izborom referentne tačke, veličina We javlja se kao jednoznačna veličina, koja zavisi od položaja naelektrisanja q i koja u svim tačkama gde je ima nenultu brojnu vrednost.

Da bismo uočili razlike između navedenih osobina polja i specifičnih svojstava magnetostatičkog polja stacionarnih električnih struja, poćićemo od rada Lorentz-ove sile

pri pomeranju tačkastog naelektrisanja q. U tom cilju, primetimo najpre da je vektor brzine naelektrisanja q istog pravca i smera kao i vektor elementarnog pomeranja

ovog naelektrisanja. To dalje znači da je , tako da za elementarni rad Lorentz-ove sile pri navedenom pomeranju imamo:

. (8.9)

Na taj načina, za ukupni rad Lorentz-ove sile pri pomeranju naelektrisanja q iz tačke 1 u tačku 2 polja putanjom proizvoljnog oblika dobijamo:

. (8.10)

Prema tome, Lorentz-ova sila magnetostatilkog polja ne vrši rad pri pomeranju naelektrisanja q, zbog čega se svrstava u nekonzervativne sile, a polje u nekonzervativna polja.

60

Kao posledica nekonzervativnosti magnetostatičkog polja, pojavljuju se dva problema. Prvi problem se odnosi na problem uvođenja pojma skalarnog magnetnog polja, a drugi je problem definisanja potencijalne energije tačkastog naelektrisanja u ovom polju. Naime, skalarni potencijal se u magnetostatici uvodi po analogiji sa skalarnim potencijalom elektrostatičkog polja (odeljak 2.3. Elektrostatike). Ako je M proizvoljna tačka magnetostatičkog polja, onda se u ovoj tački definiše sledećom formulom:

(8.11)

gde je vektor položaja tačke M, dok je P0 izabrana referentna tačka u kojoj je . Međutim ispostavlja se da je, za razliku od elektrostatičkog slučaja potencijal višeznačna funkcija u svakoj tački M izvan strujnog provodnika. Samim tim, veličina gubi karakter funkcije položaja i ne može se iskoristiti kao funkcija polja. S tim u vezi je i nemogućnost sefinisanja potencijalne energije (kao jednoznačne veličine) u magnetostatičkom polju.

8.4. PARADOKS RADA AMPÈRE-OVE SILE

Mi smo u odeljku 8.2. ukazali na važnu činjenicu da je Ampère-ova sila koja deluje na element strujnog provodnika sa konstantnom strujom I jednaka zbiru Lorentz-ovih sila koje deluju na svaki slobodni elektron posmatranog strujnog provodnika. Sada ćemo razmotriti jednu na prvi pogled neočekivanu posledicu do koje do koje dolazimo pri analizi rada pri pomeranju strujnog elementa pod delovanjem Ampère-ove sile i rada

Lorentz-ove sile pri istom pomeranju. Navedena posledica je poznata kao paradoks rada Ampère-ove sile. Kao što ćemo videti, suština paradoksa je u tome što se ispostavlja da je rad Lorentz-ove sile jednak nuli, dok je rad Ampère-ove sile različit od nule (iako je pritom zbir Lorentz-ovih sila).

Pretpostavimo da je kvazi-linijski strujni provodnik postavljen u spoljnje magnetostatičko polje, slika 3(a). Smatraćemo da u polju deluje takav generator elektromotrne sile , koji u svakom trenutku t, pa i tokom pomeranja strujne konture, obezbeđuje

konstantnost struje I. Uslov I=const znači da će Ampère-ova sila koja deluje na strujni element zavisi samo od spoljnjeg polja , ali ne i od trenutka t.

Slika 3.

Ako provodnik sa strujom I držimo u fiksnom položaju (1), onda će na svaki slobodan elektron strujnog elementa delovati Lorentz-ova sila , gde smo sa

61

označi1i srednju brzinu kretanja elektrona duž provodnika. Na osnovu formule (8.10), lako je uočiti da će rad Lorentz-ove sile tada biti jednak nuli. Prema tome, ukupan elementaran

rad Lorentz-ove sile , pri pomeranju svih slobodnih elektrona uočenog strujnog elementa takođe jednak nuli:

(8.12)

Naravno, rad Ampère-ove sile će takođe biti jednak nuli, sve dok se strujni provodnik drži nepokretnim u položaju (1), to jest:

. (8.13)Do paradoksa dolazi ako strujni provodnik prepustimo samom sebi, pri uslovu

I=const. Naime, na proizvoljni element delovaće Ampère-ova sila tako da će tokom vremena dt doći do njegovog pomeranja opisanog, na primer, vektorom , vidi sliku 3(a). Sa stanovišta nepokretnog koordinatnog sistema S iz kojeg posmatramo pojavu, strujni element dobija određenu brzinu samim tim, svaki od elektrona se kreće u istom sistemu S brzinom:

(8.14)

gde je vektor pomeranja elektrona, dok je brzina usmerenog kretanja elektrona. Pritom je Lorentz-ova sila koja deluje na svaki elektron u ovako izmenjenim uslovima ponovo normalna na brzinu , tako da za rad ponovo imamo:

. (8.15)

Međutim rad Ampère-ove sile više nije jednak nuli, to jest u opštem slučaju imamo:

(8.16)Pos1ednji zaključak na prvi pogled nije u saglasnosti sa činjenicom da je Ampère-ova

sila zbir Lorentz-ovih sila, što upravo i predstavlja suštinu paradoksa.Razrešenje problema krije se upravo u uslovima kojima smo obezbedili konstantnost

struje I u pokretnoj provodnoj konturi.Da bismo uočili da je kontradikcija samo prividna razložićemo Lorentz-ovu silu koja de1uje na pojedinačni elektron na

komponente i , duž provodnika i pravca pomeranja provodnika, slika 3(b). posmatrani strujni element pomera se pod delovanjem Ampère-ove sile određene formulom:

(8.17)

što je kao formula (8.8.). Drugim rečima, je zbir komponenti Lorentz-ove sile, pri

čemu i i vrši rad pri pomeranju strujne konture. Dodatna je okolnost što postoji i

komponenta Lorentz-ove sile, koja deluje nasuprot kretanju elektrona u provodniku i koja „teži“ da uspori njegovo kretanje.Međutim, pošto u strujnom kolu deluje takav generator koji u svakom trenutku

obezbeđuje uslov I=const, to znači da je komponenta poništena nekorn dodatnom silom.

U odsustvu specifičnog „kompenzacionog“ generatora elektromotorne sile , u kolu bi se pri njegovom pomeranju u magnetnom polju javila „indukova“ struja čije je poreklo upravo u delovanju komponente Lorentz-ove sile. Ovaj efekat se naziva elektromagnetna indukcija i biće predmet izučavanja u Elektrodinamici.

62

☺9. JEDNAČINE MAGNETOSTATIČKOG POLJA9.1. AMPÈRE-OVA TEOREMA ZA POLJE KVAZI-LINIJSKOG

PROVODNIKA

Jačinamagnetostičkog polja bilo kakvog sistema stacionarnih struja zadovoljava određene vrlo opšte uslove koji se mogu izraziti takozvanim jednačinama magnetostatičkog polja. Kao i u elektrostatici, ove jednačine rnogu biti zapisane u integralnom ili diferencijalnom obliku (vidi, na primer, početak odeljka 3.1. Elektrostatike). Postoje dve fundamentalne integralne jednačine magnetostatičkog polja, koje će biti formulisane i primenjene na rešavanje nekih konkretnih problema u sledećih nekoliko odeljaka. Diferencijalnim jednačinama magnetostatičkog polja bavićemo se u odeljku 9.6.

U ovom odeljku ćemo formulisati prvu od pomenutih integralnih jednačina i to za slučaj magnetostatičkog polja kvazi-linijskog provodnika. Ova jednačina se odnosi na

cirkulaciju vektora ,to jest na sledeći krivolinijski integral po zatvorenoj konturi C: ,

vidi odeljak 3.1. Elektrostatike). Integra1nu jednačina koja govori o brojnoj vrednosti ovog integrala naziva se Ampère-ova teorema o cirkulaciji vektora .

Nadenu teoremu ćemo najpre formulisati za najjednostavniji slučaj magnetostatičkog polja bekonačnog i pravolinijskog provodnika sa strujom jačine I (slika 1). Izračunaćemo cirkulaciju vektora duž orijentisane konture C0 koja se poklapa sa proizvoljnom linijom magetostatičkog polja struje I (slika 1). Na osnovu Biot-Savart-ovog zakona (7.7b) neposredno dobijamo da je:

(9.1)

Slika 1.

Jednačina (9.1) upravo i predstavlja Ampère-ovu teorernu za sistem za slike 1. Nije teško zak1jučiti da će pri promeni smera struje I doći do promene znaka desne strane relacije (9.1), to jest umesto imaćemo .

63

Slika 2.

Pokažimo sada da do istog izraza (9.1.) dolazimo i u slučaju proizvoljne konture C koja obuhvata posmatrani pravolinijski provodnik (slika 2(a)). Posmatrajmo vektor orijentisane konture C, koji se nalazi na rastojanju od strujnog provodnika (sl.2a). Skalarni proizvod možemo izraziti u obliku , gde je projekcija vektora pravac vektora , vidi sliku 2(b). Imajući u vidu da je , gde je elementarni ugao naznačen na slici 2(b), dobijamo:

. (9.2)Prema tome, na osnovu (9.2) i Biot-Savart-ovog zakona (7.7b) dolazimo do sledećeg

izraza:

, (9.3a)

to jest:

(9.3b)

što predstavlja Ampère-ovu teoremu za proizvoljnu konturu C sa slike 2(a). Kao i malopre, pri promeni smera struje I sa slike 2(a) u relaciji (9.3b) umesto treba staviti .

Poređenjem izraza (9.1) i (9.3b) dolazimo do važnog zaključka o nezavisnosti cirkulacije vektora od oblika konture po kojoj se vrši integracija. Drugim rečima, ako konturu C zamislimo kao idealno e1astičnu nit, onda se pri ma kakvoj njenoj deformacji bez prekidanja integral na levoj strani jednačine (9.3b) neće menjati.

64

Slika 3.

Razmotrićemo sada i slučaj proizvoljne konture C koja ne obuhvata bekonačni pravolinijski provodnik (slika 3.). Da bismo izračunali cirkulaciju vektora duž ovakve konture C, potrebno je uočiti da menja znak pri obilasku konture C, slika 3, i to tako da se doprinosi pojedinih strujnih elemenata poništavaju. Prema tome, ako kontura C ne obuhvata beskonačni pravolinijski provodnik, imaćemo da je:

, (9.4a)

gde je prikazan na slici 3, to jest:

. (9.4b)

Slika 4.Dobijeni rezu1tati se mogu uopštiti i na slučak proizvoljnog krivolinijskog provodnika

(slika 4(a)), konačne ili beskonačne dužine. Naime, može se pokazati da važi sledeća formula:

(9.5)

znak „+“ odgovara smerovima struje I i konture C naznačenim na slici 4(a), dok se znak „-“ odnosi na situaciju sa slike 4(b). Formula (9.5) predstavlja opšti oblik Ampère-ove teorerne za cirkulaciju vektora proizvoljnog kvazi-linijskog provodnika duž proizvoljne konture C koja obuhvata ovaj provodnik.

65

Može se pokazati da se formula (9.5) odnosi i na s1učaj proizvoljnog kvazi-linijskog provodnika i proizvoljne konture C koja ne obuhvata ovaj provodnik. Jačina struje I koja figuriše na desnoj strani jednačine (9.5) tada je jednaka nuli.

9.2. AMPÈRE-OVA TEOREMA ZA POLJE ZAPREMINSKIH STRUJNIH PROVODNIKA

Ampère-ova teorema je u prethodnom odeljku formulisana isključivo za jednu kvazi-linijsku strujnu konturu. Međutim, ona se može uopštiti i na slučaj sistema više kvazi-linijskih strujnih kontura. Pošto se svaki zapreminski provodnik sa stacionamom strujom može shvatiti kao sistern od beskonačno mnogo kvazi-linijskih struja, moguća je i generalizacija Ampère-ove teoreme na zapreminske provodnike.

Mi ćemo najpre razmotriti sistem od N kvazi-linijskih provodnika sa stacionarnim strujama proizvoljnih smerova, slika 5(a). Neka proizvoljna kontura C obuhvata provodnika, pri čemu je . Zbog jednostavnosti predpostavićemo da svaki od provodnika preseca samo jedanput površinu S, koja je oslonjena na konturu C.

Slika 5.

Da bismo uzeli u obzir činjenicu da struje u provodnicima koji presecaju površinu S imaju različite smerove, izvršićemo njenu orijentaciju (vidi odeljak 3.2. Elektrostatike) i to na sledeći način. Jedinični vektor vektora elementarne površine kroz koju prolazi struja Ii biće definisan pravilom desnog zavrtnja u odnosu na smer obilaska konture C, vidi sliku 5(a). Smer struje Ii u odnosu na smer jediničnog vektora biće opisan parametrom

, pri čemu znak „+“ važi ako su Ii i istog smera, a znak „-“ ako je struja Ii

suprotnog smera u odnosu na . Pošto se ona strana površine dSi iz koje izlazi ort naziva spoljna, a suprotna strana ove površine unutrašnja (vidi odeljak 3.2. E1ektrostatike) jasno je da će važiti sledeće pravilo: uz struje koje izlaze iz spoljne strane površine S stoji znak „+“, a uz one koje ulaze u nju znak „-“.

Ukupna jačina magnetostatičkog polja u proizvoljnoj tački konture C određena je principom superpozicije:

, (9.6)

gde je jačina polja struje Ii, . Za struja Ii, koje su obuhvaćene konturom C važi Ampère-ova teorema:

, (9.7a)

dok za preostale struje (koje nisu obuhvaćene konturom C) imamo:

66

. (9.7b)

Integracijom formule (9.6) duž konture C i korišćenjem izraza (9.7a,b) dolazimo do sledeće relacije:

.

(9.8)

Poslednja formula upravo i predstavlja Ampère-ovu teoremu za sistem od N kvazi-linijskih struja, pri čemu N predstavlja skup indeksa obuhvaćenih struja.

Da bismo Ampère-ovu teoremu generalisali i na zapreminski provonik sa stacionarnom strujom uočićemo proizvoljnu konturu C (slika 5(b)), oslonimo površinu S na konturu C i izdelimo je na veliki broj N malih površina . Svaka od površina , koja leži unutar zapreminskog provodnika definiše jednu uzanu strujnu cev sa strujom jačine . Za i-tu strujnu cev će važiti sledeća formula:

(9.9)

gde je gustina struje na (vidi sliku 5(b)).Primenom formule (9.8) na ovakav sistem strujnih cevi dovodi do sledeće formule

.(9.10)

ako sada uzmemo →∞, pri čemu maksimalna površina iz skupa , teži nuli, onda suma na desnoj strani jednačine (9.10) prelazi u odgovarajući površinski integral gustine struje po površini S. Drugim rečima, dolazimo do sledeće relacije:

.

(9.11)

Poslednja formula se može smatrati jednim od najopštijih oblika Ampère-ove teoreme o cirkulaciji vektora .

9.3. PRIMENA AMPÈRE-OVE TEOREME NA IZRAČUNAVANJE POLJA

Ampère-ova teorema formulisana relacijama (9.8) ili (9.11) omogućuje nam da lako nađemo jačinu polja nekih kvazi-linijskih strujnih provodnika. Primena ove teoreme je moguća ako je unapred poznato da magnetostatičko polje posmatranog sistema irna izrazitu prostornu simetriju. U tom smislu metod određivanja vektora koji je zasnovan na Ampère-ovoj teoremi analogan je metodu određivanja jačine elektrostatičkog polja koji koristi Gass-ovu teoremu za vektor (vidi, na primer, početak odeljka 3.4. Elektrostatike).

■Primer 1Tipičan primer kvazi-linijskog strujnog provodnika čije polje, pod određenim specifičnim uslovima, ima izrazitu prostornu simetriju je takozvani solenoid (zavojnica), slika 6(a). Nairne, ako su navojci solenoida ravnomerno i gusto namotani i ako je njihov broj dovoljno veliki, onda možemo smatrati da polje ima aksijalnu simetriju (simetrično je u odnosu na osu solenoida). Ova činjenica je posledica toga što se solenoid pod navedenim uslovima može

67

posmatrati kao „kompaktan“ skup vrlo velikog broja međusobno „slepljenih“ kružnih linijskih kontura, slika 6(b), to jest kao strujni provodnik (strujni plašt) cilindričnog oblika. Pošto polje koje stvara svaka od pomenutih kružnih kontura ima aksijalnu simetriju, to će u rezultujuće polje zadržati isti tip simetrije.

Slika 6.

Međutim, aksijalna sirnetrija polja još nije dovoljna za efikasnu upotrebu Ampère-ove teoreme. Osnovni problem je u tome što je struktura magnetnih linija u proizvoljnoj ravni koja prolazi kroz osu solenoida još uvek komplikovana, naročito na krajevima solenoida. Problem se izrazito pojednostav1juje ako zamislimo beskonačno dugačak solenoid sa neograniečeno velikim brojem navojaka. U takvom graničnom slučaju polje poseduje ne sarno aksijalnu nego i dodatnu translacionu simetriju (u odnosu na pravac ose solenoida). Naime, u tom slučaju možemo uzeti da je jačina polja jedino u zapremini ograničenoj solenoidom, a da je izvan ove zapremine . Zaista sa povećanjem dužine solenoida dolazi do razmicanja linija polja u prostoru izvan cilindrične zapremine solenoida, tako da se u graničnom slučaju neograničenog solenoida, one razmiču na beskonačno rastojanje, to jest preostaju samo magnetne linije koje prolaze kroz poprečni presek solenoida. Na taj način, pravac vektora polja u unutrašnjosti beskonačno dugačkog solenoida poklapa se sa pravcem ose solenoida (slika 6(b)), dok je smer vektora određen pravilom desnog zavrtnja (u odnosu na smer struje I u navojcima).

Da bismo odredili intenzitet vektora polja ovakvog solenoida, uočimo pravougaonu konturu C, slika 6(b), čije su dužine stranice paralelne osi solenoida. Ako je broj navojaka koje obuhvata kontura C, onda Ampère-ova teorema (9.8) dovidi do sledeće relacije:

(9.12)

gde je dužina dužih stranica pravougaonika C, a I jačina struje u navojcima. Prema tome, kako je broj navojaka po jedinici dužine beskonačno dugačkog solenoida, za jačinu polja dobijamo:

(9.13)Iz poslednje formule vidimo da je magnetostatičko polje beskonačnog solenoida homogeno (B=const). Uočimo takođe da je veličina B konačna ne samo u svakoj tački prostora ograničenog solenoidom, nego i u neposrednoj blizini površine solenoida. Drugim rečima, opisanom „kompaktizacijom“ kvazi-linijskih kontura automatski je uklonjena beskonačna brojna vrednost jačine polja B na samoj linijskoj konturi.

Primetimo, na kraju, da se formula (9.13) često koristi za približno izračunavanje jačine polja dovoljno dugačkog i tankog, ali konačnog solenoida.■

■Primer 2

68

Kao i drugi primer kvazi-linijskog strujnog provodnika čije se polje pod određenim specifičnim uslovima lako određuje pomoću Ampère-ove teoreme, navodimo takozvani torus (slika 7(a)) pravougaonog poprečnog preseka.

Slika 7.

U opštem slučaju, struktura magnetnih linija polja torusa je komplikovana i zavisi kako od jačine struje I tako i od dimenzija torusa (R1, R2, h), a takođe i od načina namotavanja navojaka. Jačina polja torusnih navojaka je, u opštem slučaju, različita od nule kako u unutrašnjosti tako i izvan torusne zapremine.

Međutim, ako su navojci ravnomerno raspoređeni i gusto namotani, a broj navojaka dovoljno veliki, možemo smatrati da je vektor različit od nule jedino u unutrašnjosti torusa, a da su linije ovog polja koncentrični krugovi (slika7(b)). Za ukupan broj navojaka N važi sledeća formula:

(9.14)Gde je poluprečnik srednje linije torusa (slika 7(b)) dok je n broj navojaka po jedinici dužine ove linije. Primena Ampère-ove teorerne (9.8) na kružnu konturu C poluprečnika r (koja se poklapa sa kružnom magnetnom linijom istog poluprečnika, slika 7(b)) dovodi do sledeće relacije:

. (9.15)

Prerna tome, za intenzitet vektora polja u unutrašnjosti toruske zapremine dobijamo:

. (9.16a)

Primetimo da polje posmatranog torusa nije homogeno (veličina se smanjuju sa udaljenjem od ose simetrije torusa). Uočimo, takođe, da jačina polja B ima konačnu brojnu vrednost u svim tačkama u unutrašnjosti i na površini torusa. U slučaju kada je torus dovoljno male površine poprečnog preseka, možemo uzeti da je , tako da formula (9.16) dobija sledeći jednostavniji oblik:

(9.16b)Vidimo da se tek polje tankog torusa može smatrati homogenim. U slučaju tankog torusa oblik površine njegovog poprečnog preseka S ne igra neku bitnu ulogu, tako da se formula (9.16b) može primeniti, na primer, i na tanki torus kružnog poprečnog preseka. Primetimo, takodje, da se približna formula (9.l6b) poklapa sa formulom (9.13), za polje beskonačno dugačkog solenoida.■

■Primer 3

69

Kao treći primer razmotrimo magnetostatičko polje u unutrašnjosti metalnog strujnog provodnika sa stacionarnom strujom i nađimo odnos električnog i magnetnog polja unutar provodnika.

Slika 8.

Ovde se ograničavamo na razmatranje magnetostatičkog polja unutar beskonačnog pravolinijskog provodnika konačnog i kružnog poprečnog preseka poluprečnika R sa stacionarnom strujom (slika 8(a)). Označimo sa I jačinu struje kroz površinu poprečnog preseka provodnika. Napomenimo da je u stacionarnom stanju jačina struje I ista kroz sve poprečne preseke. U tom slučaju je gustina struje ista u svim tačkama provodnika. Neka je C kružna kontura poluprečnika koja leži u ravni normalnoj na osu posmatranog provodnika (slika 8(a)) i neka je S ravna površina koju ograničava navedena kontura. Linije polja su koncentrični krugovi sa centrima na osi provodnika koji leže u ravnima normalnim na osu. Posmatrana kontura C se poklapa sa linijom polja.

Polazeći od Ampère-ove teoreme (9.11) dolazimo do sledeće relacije

(9.17a)

tako da inenzitet B jačine polja u unutrašnjosti pvodonika dat sledećim izrazom:

. (9.17b)

Grafik zavisnosti prikazan je na slici 8(b), zajedno sa zavisnošću B od r izvan posmatranog provodnika (koja je određena Biot-Savart-ovim zakonom, jednačina (7.7b)). Sa grafika vidimo da je B=B(r) neprekidna i konačna funkcija od r pri čemu je jačina polja maksimalna na samoj površini strujnog provodnika. Jačina polja postaje neograničeno velika tek u graničnom slučaju idealno tankog, linijskog provodnika (R→0).

Pored magnetnog polja u unutrašnjosti provodnika deluje i stalno električno polje jačine . Struktura linija ovog polja takođe je prikazana na slici 8(a). Električno polje formirano u unutrašnjosti provodnika deluje silom na svaki slobodan elektron „elektronskog gasa“ posmatranog metalnog provodnika. Magnetno polje deluje na isti elektron srednjom Lorentz-ovom silom , gde je usmerena komponenta

brzine posmatranog elektrona, slika 9. Sila je usmerena prema osi posmatranog pravolinijskog provodnika.

70

Slika 9.

Za količnik intenziteta i važi sledeća formula:

(9.18a)

Ova formula nam omogućuje da zaključimo da u slučaju kada jačina struje I nije suviše velika važi relacija , to jest uticaj magnetnog polja na kretanje elektrona metala može se

zanemariti. Za uobičajene metale imamo , jednačina (2.7a), i , jednačina (4.1). Sa druge strane, na osnovu (9.17b) za maksimalnu jačinu magnetnog polja imamo

. Prema tome:

. ■ (9.18b)

9.4. GASS-OVA TEOREMA ZA FLUKS VEKTORA

Druga od integralnih jedinačina magnetostatičkog polja odnosi se na fluks jačine polja . U ovom odeljku mi ćemo definisati navedenu veličinu , na način koji je potpuno analogan definiciji fluksa jačine elektrostatičkog polja (odeljak 3.2. Elektrostatike). Sa definisanim pojmom fluksa biće formulisana druga integralna jedinačina magnetostatičkog polja u vakuumu. Ova veličina se odnosi na fluks kroz zatvorenu površinu S i u tom smislu je matematički analogna Gauss-ovoj teoremi za fluks vektora jačine elektrostatičkog polja (odeljak 3.3. Elektrostatike). Zbog toga se jednačina koju ćemo dobiti u ovom odeljku često naziva i Gauss-ova teorema za fluks vektora .

Slika 10.

71

Posmatrajmo magnetostatičko polje proizvoljnog sistema kvazi-linijskih ili zapreminskih struja, koje u proizvoljnoj tački M ima jačinu B, slika 10. Neka je vektor elementarne površine dS kojoj pripada tačka M i koji je definisan relacijom (3.3) Elektrostatike, to jest , gde je ort normale na površinu dS. Elementarni fluks magnetostatičkog polja određen je sledećom relacijom:

, (9.20)gde je ugao između vektora i .

Za ukupni fluks vektor kroz proizvoljnu dvostranu površinu S imamo:

. (9.21)

Jedino ograničenje na površinu S je da ne preseca linijske provodnike u čijim tačkama je jačina polja beskonačna. Ovim se obezbeđuje konačnost fluksa . Kao i u elektrostatici, skalarna veličina može biti kako pozitivna tako i negativna, a takođe može imati i nultu vrednost (što zavisi od oblika, položaja i orijentacije površine S u datom magnetnom polju). Za razliku od elektrostatičkog slučaja, za jedinicu magnetostatičkog fluksa u međunarodnom sistemu jedinica imamo:

Proizvod tesle (T) i kvadratnog metra (m2) naziva se veber (Wb); dakle:

U elektrostatici smo videli da fluks kroz površinu S ima jednostavnu i opštu geometrijsku interpretaciju. Ona je izražena relacijom , jednačina (3.5b) Elektrostatike, gde je N+ ukupan broj linija polja koje izlaze, a N- ukupan broj linija koje ulaze u spoljnju stranu površine S. Navedeno geometrijsko tumačenje fluksa oslanja se kao što smo videli, na konvenciju o gustini prikazanih linija polja. Ako navedena konvencija nije narušena, onda i fluks magnetnostatičkog polja ima istu geometrijsku interpretaciju, to jest:

(9.22)gde N+ i N- imaju isti smisao kao i u elektrostatici. Sa definisanim pojmom fluksa prelazimo na formulisanje druge integralne jednačine magnetostatičkog polja u vakuumu. Navedenu teoremu ćemo najpre razmotriti na najjednostavnijem primeru magnetostatičkog polja beskonačnog i pravolinijskog provodnika sa jačinom struje I (sl.11(a)), koji se može shatiti kao deo zatvorene kružne strujne konture beskonačnog prečnika. Neka je S zatvorena površina koja ne preseca kvazi-linijski provodnik. Zbog jednostavnosti, pretpostavićemo najpre da svaka magnetna linija dvaput preseca površinu S (ili je uopšte ne preseca), vidi sliku 11(a).

72

Slika 11.

Ako je N+ broj linija koje ulaze u površinu S, a N- broj linija koje iz nje izlaze, onda je jasno da mora biti . Prema tome, na osnovu geometrijske interpretacije fluksa, jednačina (9.22), dolazimo do zaključka da je kroz zatvorenu površinu S jednak nuli. Drugim rečima važi sledeća relacija

.

(9.23)

Ovo je Gauss-ova teorema za fluks vektora kroz zatvorenu površinu S sa slike 11(a), za polje beksonačnog ravolinijskog strujnog provodnika. Nije teško zaključiti da formula (9.23) važi i u slučaju kada navedeni kvazi-linijski strujni provodnik prodire kroz zatvorenu površinu S. Do ovakvog zaključka dolazimo imajući u vidu činjenicu da su linije magnetostatičkog polja u unutrašnjosti kvazi-linijskog provodnika takođe neprekidne i zatvorene (vidi primer 3. odeljka 9.3.).

Važno je uočiti da formula (9.23) ostaje da važi pri ma kakvoj neprekidnoj deformaciji zatvorene površine S sa slike 11(a). Ovaj zaključak je posledica geometrijske činjenice da se pri navedenoj deformaciji pvršine S brojevi linija koje u nju ulaze (N+) i koje iz nje izlaze (N-) povećavaju za isti iznos. Drugim rečima, svaka pojedinačna magnetna linija uvek preseca paran broj puta zatvorenu površinu S, tako da je kroz zatvorenu površinu S uvek jednak nuli.

Postavlja se pitanje da li formula (9.23) ostaje ista čak i uslučaju proizvoljne ali neprekidne deformacie kvazi-linijskih provodnika, slika 11(b). Odgovor na ovo pitanje zavisi od toga da li se pri navedenoj deformaciji mogu pojaviti takve tačke u magnetnom polju koje će se pokazati (analogno elektrostatičnom slučaju) kao “izvori” ili “ponori” magnetnih linija, slika 12. Ako bi ovakve tačke magnetostatičkog polja stacionarne struje postojale, onda bi fluks jačine magnetnog polja bio različit od nule kroz svaku površinu koja bi obuhvatala ovakve tačke. Postojanje ovakvih tačaka bi označilo da struja u provpdniku nije jedini uzročnik magnetostatičkog polja. Naime, ovakve tačke bi se mogle shvatiti kao dodatni, i, u opštem slučaju, čak samostalni izvori magnetostatičkog polja, to jest kao takozvani monopoli.

Međutim, “kreaciju” monopola tokom deformacije kvazi-linijskog provodnika sa stacianarnom strujom negiraju, pre svega, postajeće eksperimentalne činjenice. Osim toga, naša polazna pretpostavku je u kontradikciji sa Laplace-ovom formulom (7.2a) za jačinu polja strujnih provodnika. Ono što se stvarno događa sa svim linijama magnetostatičkog polja pri neprekidnoj transformaciji strujne konture svodi se na sledeće: linije polja koje su bile zatvorene ili ostaju i dalje zatvorene i konačne ili se prekidaju ali su tada njihovi krajevi u

73

beskonačnosti. Ilustraciju ove osobine magnetnih linija imamo ako zamislimo da se beskonačni pravolinijski provodnik (shvaćen kao deo kruga beskonačnog poluprečnika) neprekidnom deformacijom dovodi na oblik kružnog provodnika konačnog poluprečnika. Samim tim, proizvoljna površina S će ponovo biti presečena magnetnim linijama samo paran broj puta, što znači da formula (9.23) važi za kvazi-linijsku strujnu kotnuru proizvoljnog oblika.

Slika 12.

U slučaju sistema N-kvazi-linijskih strujnih provodnika proizvoljnih oblika i proizvoljnih prostornih položaja može doći do pojave magnetnih linija Peano-vog tipa (vidi odeljak 7.3.), čime se narušava konvencija gustini broja magnetnih linija, tako da (na prvi pog1ed) izg1eda da se jednačina (9.23) ne može generalisati na ovaj slučaj. Međutim, ovaj prividan problem se razrešava imajući u vidu princip superpozicije vektora . Naime, ako su

jačine polja koje u proizvoljnoj tački M stavaraju provodne konture sa strujama , pri čemu za svako važi (9.23), onda je ponovo:

(9.24)

Kao što vidimo, da bi važila dobijena formula nije neophodan uslov stacionarnosti magnetnih linija polja , ključna osobina polja je njegova bezizvornost.

Primetimo, na kraju, da formula (9.23) važi i u slučaju sistema zapreminskih provodnika sa stacionarnim strujama.

9.5. DIFERENCIJALNE JEDNAČINE MAGNETOSTATIČKOGPOLJA

NaŠa dosadaŠnja analiza fundametalnih jednačina magnetostatičkog polja u vakuumu odnosila se isključivo na integralne oblike ovih jednačina, datih relacijama (9.11) i (9.23). Kao što je napomenuto na početku odeljka 9.1. jednačine magnetostatičkog polja mogu biti zapisane i u obliku odgovarajućih diferencijalnih jednačina. U punoj analogiji sa postupkom iz1oženim u elektrostatici, prelazak sa integralnih na diferencijalne oblike navedenih jednačina ostvaruje se primenom Stokes-ove teoreme i Gauss-Ostrogradski-jeve teoreme, jednačine (4.11) i (4.3) Elektrostatike.

Primena Gauss-Ostrogradski-jeve teoreme na levu stranu integralne jednačine (9.23) daje:

74

(9.25a)

gde je V zapremina ograničena površinom S. Kako poslednja jednačina mora važiti za proizvoljnu zapreminu V ograničenu proizvoljnom površinom S, to mora biti:

(9.25b)

Ovo je druga od traženih diferencijalnih jednačina magnetostatičkog polja u vakuumu koja se često naziva i diferencijalni oblik Gauss-ove teoreme za vektor .

Primena Stokes-ove teoreme na levu stranu integralne jednačine (9.11) daje:

(9.26a)

gde je S proizvoljna površina oslonjena na konturu C. To dalje znači da mora važiti sledeća relacija:

(9.26b)

Dobijena forumula (9.26b) predstavlja Ampère-ovu teoremu u diferencijalnom obliku. Za razliku od polaznog, integralnog oblika koji je imao “nelokalni” karakter (to jest odnosio se na cirkulaciju vektora ), jednačina (9.26b) ima lokalni karekter i odnosi se na datu tačku polja.

Jednačine (9.25b) i (9.26b) u potpunosti opisuju magnetostatičko polje (stacionarnih struja) u vakuumu. Činjenica da je označava da ovo polje nema ni “izvore” ni “ponore” (za razliku od elektrostatičkog polja kod koga je i u kome su tačke u kojima je bile izvori polja). Kako je to magnetostatičko polje spada u vrtložna polja (dok je elektrostatičko polje bilo bezvrtložno, to jest u svakoj tački ovog polja važila je relacija ).

Sa matematičkog stanovišta dobijene diferencijalne jedriačine (9.25b) i (9.26b) predstavljaju sistem parcijalnih jednačina za vektor . Ako je gustina stuje unapred zadata funkcija, onda se rešavanjem ovog sistema može, u principu, odrediti jačina polja u svakoj tački prostora. Stepen složenosti rešavanja ovakvog sistema jednačina bitno zavisi od toga kakva je funkcija ; u praksi se pokazuje da je rešenje moguće naći relativno jednostavno samo u slučaju vrlo jednostavnih raspodela gustine struja.

Slika 13.

U teoriji diferencijalnih jednačina se pokazije da sistem jednačina tipa (9.25b) i (9.26b) ima beskonačno mnogo rešenja za vektorsku funkciju . Sa fizičkog stanovišta, mi smo zainteresovani za takvo rešenje koje bi bilo jednoznačna funkcija u čitavom prostoru. Da bismo iz skupa svih mogućih rešenja izdvojili ovakvo fizički relevantno rešenje, neophodno je opredeliti se za određene granične uslove koje mora da

75

zadovoljava vektor . Pitanje graničnih uslova je delikatan problem u teoriji parcijalnih diferencijalnth jednačina. Ispostavlja se da će rešenje parcijalnih diferencijalnih jednačina magnetostatičkog polja biti jednoznačna u određenoj zapremini V ako je vektor zadat u svim tačkama granične površine S koja definiše zapreminu V, vidi sliku 13.

Za konkretan izbor vektora na površini S opredeljujemo se na osnovu opštih fizičkih pretpostavki o razmatranom sistemu. Na primer, ako su stacionarne struje raspoređene sa određenom konačnom gustinom u konačnom delu prostora, onda za površinu S možemo uzeti sferu veoma velikog poluprečnika R (R→∞) koja obuhvata čitav strujni sistem. U tom slučaju, u svim tačkama ovakve sfere S možemo uzeti, pri R→∞, da je

. Tada je, pri datoj raspodeli jačina polja jednoznačna funkcija u čitavorn prostoru. Drugim rečima, ako su struje lokalizovane u konačnom delu prostora onda postoji samo jedno rešenje jednačina magnetostatičkog polja. Ovo tvrđenje naziva se teorema o jednoznačnosti rešenja jednačina magnetostatičkog polja.

Ukoliko smatramo da se stacionarne električne struje konačne gustine protežu u beskonačnoti (na primer, u slučaju beskonačnog pravolinijskog strujnog provodnika), onda nije (u opštem slučaju) moguće zadržati uslov na površini S koja je udaljena u beskonačnost. Tada se izbor fizičkog rešenja obavlja tako što se zahtevaju uslovi konačnosti i neprekidnosti funkcije u svakoj tački prostora. Na taj način ponovo dolazimo do zaključka da će polje biti jednoznačno u čitavom prostoru.

☺10. VEKTORSKI POTENCIJAL MAGNETOSTATI ČKOG POLJA

10.1. DEFINICIJA VEKTORSKOG POTENCIJALA,

Nemogućnosti upotrebe pojma skalarnog magnetnog potencijala na koju smo ukazali u odeljku 8.5. i koja je u vezi sa nekonzervativnim karakterom magnetostatičkog polja, navodi na ideju da bi neka vektorska veličina možda mogla biti oslobođena od navedenih ograničenja. U ovom odeljku ćemo pokazati da takva vektorska veličina zaista postoji, da se rnože jednoznačno definisati u svakoj tački prostora i da poseduje osnovna svojstva potencijala. Ova veličina, koju je u teoriju uveo Maxwell, naziva se vektorski potencijal magnetostatičkog polja, .Postupak definisanja vektora moguće je realizovati na nekoliko međusobno ekvivalentnih načina. Mi ćemo ovde izložiti jedan jednostavan metod koji je dovoljno opšti u tom smislu što je mogao biti iskorišćen i pri definisanju potencijala elektorostatičkog polja. Jedinstvena osnova od koje polazi ovaj metod su sledeće jednačine elektrostatičkog i magnetostatičkog polja: , odnosno . Matematička suština metoda je u korišćenju opštih formula iz vektorske analize koje važe za rotor i divergenciju proizvoljne diferencijabilne vektorske funkcije.

Potsećamo najpre kako se pomenuti postupak može iskoristiti pri definisanju potencijala elektrostatičkog polja, a polazeći od relacije . Iz vektorske analize je poznato da za proizvoljnu neprekidnu i diferencijalnu skalarnu funkciju važi relacija:

(10.1)Prema tome, kako je , svakoj tački prostora zaista je moguće pored vektora

pridružiti i skalarnu veličinu , takvu da je gde je c proizvoljna konstanta.

76

U našem konkretnom slučaju je (iz razloga pogodnosti) uzeto , što upravo i dovodi do relacije .

Prenoseći ovaj postupak na magnetostatičko polje, gde je u svakoj tački polja , moramo imati u vidu jednu drugu formulu vektorske analize. Naime, poznato je da

za svaku neprekidnu i deferencijabilnu vektorsku funkciju važi sledeća relacija:(10.2)

Upravo ova relacija navodi nas da se magnetostatičko polje može u svakoj tački opisati ne samo vektorom nego i dodatnim vektorom , takvim da je:

(10.3)

Veličina definisana formulom (10.3) upravo i predstavlja traženi vektorski potencijal magnetostatičkog polja. Intenzitet A vektora u međunarodnom sistemu jedinica (SI) izražava se na sledeći način:

Definiciona formula (10.3) predstavlja lokalnu relaciju koja povezuje i u proizvoljnoj tački magnetostatičkog polja, pošto je njom zadovoljena jednačina koja takođe važi u proizvoljnoj tački polja. Primetimo, međutim, da formula (10.3) ne određuje jednoznačno vektorski potencijal . Naime, formulu (10.3) zadovoljava i svaka druga funkcija definisana izrazom:

(10.4)gde je proizvoljna diferencijabilna skalarna funkcija koja se naziva kalibraciona funkcija. Zaista, imajući u vidu formulu (10.3) i primenjujući jednačinu (10.1) na funkciju dobijamo:

(10.5)činjenica da se jačina polja ne menja pri transformaciji naziva se kalibraciona (gradijentna) invarijantnost magnetostatičkog polja.

Jednoznačnost vektorskog potencijala postiže se takozvanim postupkom kalibracije. Matematičku osnovu za navedeni postupak daje jedna teorema koja se dokazuje u vektorskoj ana1izi koja se naziva Helmholz-ova teorema o jednoznačnosti proizvoljne vektorske funkcije

. Ova teorema tvrdi da će biti jednoznačna vektorska funkcija ako su istovremeno poznati njena divergencija ( ) i njen rotor ( ). Prema tome, pošto je na osnovu (10.3) funkcija poznata ( ), to je neophodno da se još definiše i (kao jednoznačna funkcija). Ovo se može postići na više načina, a mi ćemo se opredeliti za takozvanu Coulomb-ovu kalibraciju, koja zahteva da je:

(10.6)

Opisanim postupkom dolazimo do toga da je svakoj tački magnetostatičkog polja jednoznačno pridružen vektor . Zbog toga se za vizuelno prikazivanje prostorne raspodele vektora mogu koristiti linije vektorskog potencijala, koje se definišu na isti način kao i linije polja ili (vidi, na primer, odeijak 7.3.). Jasno je da će se tada geometrijski smisao Coulomb-ove kalibracije (10.6) sastojati u tome da linije vektorskog potencijala nemaju (ni u jednoj tački) ni „izvore“ niti „ponore“.

Ukažimo, na kraju, i na još jedno važno svojstvo vektorskog potencijala , koje se javlja kao neposredna posledica formule . U torn cilju uočimo orijentisanu konturu C proizvoljnog oblika koja prolazi kroz tačke magnetostatičkog polja sa konačnim vektorskim potencijalom . Neka je S dvostrana površina proizvoljnog oblika, koja je ograničena konturom C; integraleći relaciju po ovakvoj površini dobijamo:

. (10.7)

77

Primenom Stokes-ove teoreme na levu stranu poslednje jednačine, kao i uzimanjem u obzir da integral na njenoj desnoj strani predstavlja fluks polja kroz površinu S, dolazimo do sledeće relacije:

(10.8)

Na osnovu dobijene formule vidimo da za označavanje fluksa kroz površinu S nije neophodno poznavati ni jačinu polja , niti vektor u svim tačkama ove površine. Za primenu formule (10.8) pri izračunavanju veličine dovoljno je imati vrednosti potencijala

, na ivici površine S, to jest na konturi C koja je ograničava.

10.2. DIFERENCIJALNA JEDNAČINA VEKTORSKOGPOTENCIJALA

U ovom odeljku ćemo pokazati da se vektorski potencijal magnetostatičkoj polja može izračunati na osnovu unapred zadate raspodele gustine struje . Naime, potencijal je povezan sa gustinom struje na skoro isti način kao što je potencijal elektrostatičkog polja povezan sa zapreminskom gustinom nepokretnog naelektrisanja (vidi odeljak 4.3. Elektrostatike). Preciznije govoreći, pokazaćemo da vektor zadovoljava određenu diferencijalnu jednačinu koja je skoro identična Poisson-ovoj jednačini za potencijal elektrostatitčkog polja, vidi jednačinu (4.16) Elektrostatike.U tom cilju pođimo od formule , jednačine (9.26b). Kako je , jednačina (10.3) to je:

(10.9)Koristeći relaciju vektorske analize:

(10.10)koja važi za proizvoljnu diferencijalnu vektorsku funkciju , gde je

laplasijan (izražen u Descartes-ovim koordinatama), nalazimo:

(10.11)Ako se opredelirno za Coulomb-ovu kalibraciju , jednačina (10.6), jednačina (10.11) može biti zapisana u sledećem vektorskom obliku:

(10.12)

Ovo je tražena Poisson-ova diferencijalna jednačina vektorskog potencijala magnetostatičkog polja. Vidimo da je jednačina (10.12) analogna Poisson-ovoj jednačini

za potencijal elektrostatičkog polja i da se formalni prelazak sa jedne na

drugu ostvaruje transformacijom i .Vektorska jednačina (10.12) predstavlja skup od tri skalarne jednačine u Descarter-

ovim koordinatama to je sledeći sistem diferencijalnih jednačina:

(10.13a)

(10.13b)

78

(10.13c)

Naravno, formula (10.12) se može izraziti i u nekim drugim koordinatama (cilindričnim, sfernim). Kao i u elektrostatici, pogodan izbor koordinata zavisi od vrste posmatranog sistema strujnih provodnika i bitno zavisi od tipa simetrije u raspodeli gustine struje .

■PrimerOdredićemo vektorski potencijal magnetostatičkog polja beskonačnog solenoida

poluprečnika R sa stacionarnom strujom jačine I, vidi sliku 1.

Slika 1.

U proizvoljnoj tački M izvan beskonačnog solenoida ( ). U prostoru izvan ovakvog solenoida jačina magnetnog polja jednaka je nuli ( ) to jest . Poslednja relacija znači da se vektor može izraziti kao gradijent neke skalarne funkcije , to jest:

(10.14)Koristeći Coulomb-ovu kalibraciju, jednačina (10.6), , za skalarnu funkciju dobijamo sledeću diferencijalnu jednačinu:

(10.15a)U posmatranoj tački M vektorski potencijal je , vidi sliku 1, tako da skalarna funkcija . U tom slučaju jednačina (10.15a) izražena preko ugla dobija oblik:

(10.15b)

Opšte rešenje diferencijalne jednačine (10.15b) je:(10.15c)

gde je sferni ugao prikazan na slici 1. Zamenom jednačine (10.15c) u jednačinu (10.14) nalazimo traženi vektorski potencijal u tački M izvan solenoida:

. (10.16)

Preostalu nepoznatu konstantnu c nalazimo iz uslova neprekidnosti potencijala pri .Uočimo važnu činjenicu koja se javlja u razmatranom slučaju beskonačnog solenoida

B=0, ovaj deo prostora karakteriše se konačnom i nenultom vrednošću vektorskog potencijala .■

10.3. INTEGRALNE FOMRULE ZA POTENCIJAL

79

U prethodnom odeljku smo videli da je za nalaženje vektorskog potencijala (pri datoj raspodeli struja) potrebno rešiti Poisson-ovu jednačinu (10.12). Međutim, u jednom važnom slučaju već znamo rešenje ove jednačine. U ovom odeljku ćemo videti da se pod određenim uslovima ovo rešenje može izraziti preko odgovarajućih integrala, to jest u intergralnoj formi.Razmotrićemo najpre pitanje integralne forme za potencijal u slučaju zapreminskog strujnog provodnika lokalizovanog u konačnom delu prostora (vidi sliku 2(a)) Pretpostavimo da je u svim tačkama konačne zapremine V ovakvog provodnika uspostavljena stacionarna struja konačne gustine . Jačina magnetostatičkog polja ovakvog strujnog provodnika teži nultoj vrednosti u svim tačkama prostora koje su na beskonačnim udaljenostima od strujnog provodnika (r→∞). U ovom slučaju potencijal možemo normirati tako što ćemo da zahtevamo da je pri r→∞. Smatraćemo da potencijal zadovoljava Coulomb-ovu kalibraciju.

Slika 2.

Pod navedenim okolnostima, Piosson-ova jednačina (10.12) za svaku od komponenti Ax, Ay i Az vektora , jednačine (10.13a,b,c,), analogna je Poisson-ovoj jednačini za skalarni potencijal elektrostatičkog polja: . U Elektrostatici smo pokazali da je integralni oblik formule za dat izrazom (.) Eektrostatike. Prema tome, po analogiji, za traženi integralni oblik formule za potencijal dobijamo:

(10.17)

Može se pokazati da je vektor izračunat po ovoj formuli konačan ne samo izvan posmatranog zapreminskog provodnika, nego i u svakoj tački njegove zapremine V. Primetimo, takođe, da vektor izražen formulom (10.17) zadovoljava Coulomb-ovu kalibraciju , a takođe i uslov normiranosti pri r→∞.

U graničnom sIučaju kvazi-linijskog provodnika, slika 2(b), na osnovu relacije opisane jednačinom (6.4) dobijamo:

(10.18)

pri čemu se kontura integracije poklapa sa konturom C kvazi-linijskog provodnika.Dobijene integralne formule (10.17), to jest (10.18), ne mogu se, u opštem slučaju,

upotrebiti kada se strujni sistern u pojedinim pravcima proteže u beskonačnost. Naime u

80

posmatranom slučaju ove formule daju beskonačne brojne vrednosti veličine . Napomenimo da se kod nekih strujnih sistema dolazi do kompenzovanja ovih beskonačnih brojnih vrednosti. Kao primer, navedimo sistem sva beskonačna paralelna pravolinijska provodnika sa strujama istog intenziteta, ali suprotnih smerova.

☺11. MAGNETOSTATIČKI DIPOL11.1. MAGNETOSTATIČKI DIPOLNI MOMENT STACIONARNIH

STRUJA

Zavravajući magnetostatiku strujnih sistema u vakuumu, razmotrićemo jedan specijalni strujni sistem koji u magnetostatici preuzima ulogu elektrostatičkog dipola (vidi odeljak 6. Elektrostatike). Preciznije govoreći, mi ćemo najpre pokazati da se u vezi kvazi-linijskih i zapreminskih strujnih provodnika može uvesti takozvani magnetni moment , koji je analogan elektrostatičkom dipolnom momentu .

Slika 1.

Razmotrimo najpre kvazi-linijski provodnik proizvoljnog oblika, sa stacionarnom električnom strujom I (vidi sliku 1(a)). Uočimo njegov strujni element koji se nalazi u položaju definisanim vektorom položaja . Pod magnetostatičkim dipolnim momentom posmatrane kvazi-linijske strukture podrazumevamo sledeću vektorsku veličinu:

,

(11.1)

gde integracija ide po orijentisanoj konturi C kvazi-linijskog provodnika. Smer konture C poklapa se sa tehničkim smerom struje I. Intenzitet pm vektora ima dimenziju ampera (A)

puta kvadratni metar (m2), to jest .Definiciona formula (11.1) dobija jedinstveniji oblik u slučaju kada kontura C leži u

ravni (na primer, u xOy-ravni, vidi sliku 1(b)). Za vektor elementarne površine šrafirane na slici 1(b) važi sledeća formula poznata iz vektorske algebre:

. (11.2a)

Vektor ukupne površine koja je definisana ravnom konturom C tada je određena relacijom:

. (11.2b)

81

Prema tome, formula (11.1) u slučaju posmatrane ravne kontrure C dobija sledeći oblik:

,(11.3)

naravno, poslednja formula važi ne samo kada se ravna strujna kontura nalazi u xOy-ravni, nego i u slučaju ravni proizvoljno postavljene u prostoru.

Posmatrajmo sada zapreminski strujni provodnik proizvoljnog oblika, sa stacionarnom električnorn strujom određene zapreminske gustine , vidi sliku 2. magnetostatički dipolni moment ovakvog strujnog provodnika definisan je izrazom:

,

(11.4)

gde je V zapremina strujnog provodnika.

Slika 2.

Uočimo da su definicione formule (11.1) i (11.4) za magnetostatički moment kvazi-linijskih (zapreminskih stacionarnih struja) donekle sličan odgovarajućim formulama iz elektrostatike. Po analogiji sa elektrostatikom može se definisati i magnetostatički dipol. Mi ćemo pod magnetostatičkim dipolom podrazumevati kvazi-linijski provodnik poluprečnika R u kome je uspostavljena stacionarna električna struja jačine I, slika 3. Magnetostatički dipolni moment navedene kružne konture dat je izrazom (11.3) u kome je .

Slika 3.

82

11.2. VEKTORSKI POTENCIJAL MAGNETOSTATIČKOG DIPOLA

Prelazimo na izračunavanje magnetostatičkog polja magnetostatičkog dipola, strujnog provodnika koji u magnetostatici preuzima ulogu električnog dipola. U ovom odeljku mi ćemo razmatrati vektorski potencijal magnetostatičkog dipola. Pritom ćemo se ograničiti na one tačke prostora koje su na dovoljnoj udaljenosti od centra dipola. U sledećem odeljku mi ćemo na osnovu poznatog vektora odrediti i vektor , imajući u vidu formulu

.Pristupajući određivanju vektorskog potencijala u proizvoljnoj tački M koja je na

dovoljnoj udaljenosti od centra posmatrane kružne strujne konture pogodno je koristiti sferne koordinate ( ), vidi sliku 4.

Slika 4.

Na istoj slici naznačeni su i pomoćni uglovi i , koji će nam biti neophodni pri određivanju vektora . Primenjujući formulu (10.18) za vektor na nač slučaj imamo da je:

(11.5)

gde kontura ide duž kruga poluprečnika R, dok je vektor poloažaja posmatrane tačke M. Vektor predstavlja vektor položaja posmatranog strujnog elementa u odnosu na centar strujnog sistema.

Kada je tačka M na dovoljnoj udaljenosti od ovog centra važi uslov , tako da na osnovu kosinusne teoreme imamo da je:

(11.6a)

Pri dobijanju ove približne formule najpre je zanemaren član , a zatim je iskorišćena približna formula , gde je . Na osnovu (11.6a) dolazimo do relacije:

(11.6b)

Pri čemu je iskorišćena i dodatna približna formula . Zarnena (11.6b) u (11.5) daje:

(11.7)

gde je ort vektora .

83

Prvi integral u formuli (11.7) jednak je nuli (pošto elementarni vektori konture C obrazuju zatvoren poligon vektora). Drugi integral iz formule (11.7) možemo izračunati koristeći relacije:

(11.8a)(11.8b)

Pri pisanju poslednjeg izraza iskoristili smo sledeće razlaganje vektora i :

.Koristeći (11.8a,b), dolazimo do sledeće vrednosti za drugi integral u jednačini (11.7):

(11.9)

gde je jedinični vektor u pravcu porasta ugla .Imajući u vidu vrednost integrala (11.9), dobijamo pri da je:

(11.10a)

to jest:

(11.10b)

gde je pm intenzitet magnetostatičkog dipolnog momenta . Formula (11.10b) može da se izrazi i preko vektorskog proizvoda vektora i na sledeći način:

(11.10c)

Formulu (11.10c) možemo izraziti pomoću tri skalarne relacije. Naime, razlaganjem vektora na komponente duž osa sfernog koordinatnog sistema definisanih ortovima

imamo:(11.11)

pri čemu je:(11.12a)

(11.12b)

(11.12c)

Ove tri formule biće iskorišćene u sledećem odeljku pri određivanju jačine polja na dovoljnoj udaljenosti od centra dipola.

11.3. JAČINA POLJA MAGNETOSTATIČKOG DIPOLA

84

Slika 5.U ovom odeljku analiziraćemo polje magnetostatičkog dipola u tačkama prostora koje

su dovoljno daleke od centra dipola. Ovakva aproksirnacija se po analogiji sa elektrostatikom ponekad naziva aproksimacija tačkastog dipola. Na osnovu dobijenih vrednosti videćemo u kom smislu je kružna linijska strujna kontura analogna elektrostatičkom dipolu.

Pristupajući izračunavaju jačine polja kružne strujne konture pri , pogodno je ponovo koristiti sferne koordinate ( ). U tom cilju razložimo vektor duž osa ovog koordinatnog sistema:

(11.13)

gde su ortovi osa navedenog koordinatnog sistema. Koristeći formulu za rotor vektorske funkcije u sfernim koordinatama, poznate iz vektorske analize, dobijamo:

(11.14)

Rešavanjem navedene simbolične determinante i imajući u vidu jednačine (11.12a,b,c), dolazimo do sledećih formula:

(11.15a)

(11.15b)

(11.15c)Zamenom dobijenih vrednosti u jednačinu (11.13) dolazimo do sledećeg izraza za vektor magnetostatičkog dipola na velikom rastojanju od centra dipola:

(11.16)

za intenzitet B vektora važi sledeća formula:

(11.17)

Upoređujući forrnule (11.16) i (11.17) sa odgovarajućim izrazima za jačinu elektrostatičkog polja tačkastog dipola (vidi odeljak _ Elektrostatike) dolazimo do zaključka da se radi o identičnim formulama.

Kao što vidimo, na osnovu iskazanih izračunavanja došli smo do jednog netrivijalnog rezultata koji govori o poklapanju struktura fizičkih polja i na dovoljnim rastojanjima od

85

dva fizički veoma različita sistema. Naime, polje električnog dipola, slika 5(a), i polje kružne strujne konture, slika 5(b), imaju istu strukturu. Ovo je bio jedan od razloga da kružna strujna kontura preuzme ulogu magnetostatičkog dipola.

Primetimo, na kraju da je magnetostatičko polje proizvoljnog zapreminskog strujnog provodnika lokalizovano u konačnom delu prostora u takozvanoj dipolnoj aproksimaciji dato takođe jednačinom (11.16). Naime, polje proizvoljnog strujnog sistema u tačkama udaljenim od njega, ekvivalentno je polju magnetnog dipola sa magnetnim momentorn datim jednačinom (11.4). Uočimo da je elektrostatičko polje u dipolnoj aproksimaciji bilo jednako zbiru polja naelektrisanja i polja odgovarajućeg električnog dipola. U slučaju magnetostatičkog polja, u kome ne postoje magnetni monopoli, magnetno polje sadrži samo dipolni član.

11.4. MAGNETOSTATIČKI DIPOL U HOMOGENOM POLJU . POTENCIJALNA FUNKCIJA

Prelazimo sada na razmatranje ponašanja magnetostatičkog dipola u spo1jašnjem magnetostatičkom polju. U ovom odeljku biće razmatrano ovo ponašanje u homogenom polju. Pri izučavanju stujne konture u spoljnjem polju moguća su dva međusobno ekvivalentna prilaza: preko Ampère-ove sile (metod sile) ili preko

takozvane potencijalne funkcije (energetski metod). Slično je bilo i u elektrostatici pri razmatranju električnog dipola u polju .

Posmatrajmo sada magnetostatički dipol (kružne strujne konture poluprečnika R sa strujom jačine I) magnetostatičkog dipolnog momenta u spoljnjem homogenom

magnetnom polju jačine , slika 6. Za ukupnu Ampère-ovu silu kojom polje deluje na strujnu konturu imamo:

(11.18a)

pošto je , takvo je i polje , imamo:

(11.18b)

Pošto vektori obrazuju zatvoren poligon vektora, to je , tako da je:

(11.18c)

Prema tome, homogeno magntetno polje ne može translatorno pomerati kružnu strujnu konturu (magnetostatički dipol). Primetimo da dobijeni rezultat važi ne samo za kružnu, nego i za strujnu konturu proizvoljnog oblika.

86

Slika 6.

Međutim, pokazuje se da magnetni dipol deluje moment sila , koji „teži“ da je

dovede u stanje rotacije. Za ukupni moment Ampère-ovih sila koje deluje na strujni element posmatranog strujnog provodnika imamo:

(11.19a)

gde je vektor položaja strujnog elementa u odnosu na tačku O (primer, koordinanti početa, vidi sliku 6.) Formulu (11.19a) moguće je napisati u sledećem obliku:

, (11.19b)

pri čemu je korišćena formula za dvostruki vektorski proizvod „bac minus cab“.

Drugi integral u formuli (11.19b) jednak je nuli jer su R i međusobno normalni vektori ( ). Prvi integral u formuli (11.19b) se uz pomoć relacija i

transformiše u sledeći integral:

(11.19c)

Pri pisanju gornjeg izraza iskoristili smo formulu (11.9) za vrednost integrala .

Uvršćavanjem izraza (11.19c) u jednačinu (11.19b) i uzevši u obzir da je magnetni moment posmatranog magnetostatičkog dipola, nalazimo:

(11.20)

Formula (11.20) predstavlja konačan izraz za moment Ampère-ovih sila kojim spoljnje homogeno magnetostatičko polje deluje na magrietostatički dipol dipolnog momenta .

Na osnovu izraza (11.20) može se izvršiti analiza ponašanja magnetostatičkog dipola, pri čemu pretpostavljamo da se pri ma kakvim pomerajima strujne konture struja I održava konstantnom. Naime, strujna kontura čiji magnetni moment zaklapa ugao sa pravcem polja , slika 7(a), teži da zauzme položaj stabilne ravnoteže, slika 7(b), u kojoj je ugao

(tako da je ). Prema tome, kada se posmatrani sistem prepusti samom sebi, a pritom važi uslov , onda će doći do poklapanja pravaca i smerova vektora i , slika 7(b). Primetimo da za ili takođe imamo ravnotežno stanje, ali je pritom reč o labilnoj ravnoteži. Analognu situaciju imali smo u slučaju elektrostatičkog dipola u homogenom polju (vidi odeljak 6.3. Elektrostatike).

87

Razmotrimo, na kraju, isti problem sa energijskog stanovišta. Već smo videli da se, strogo govoreći, ne može uvesti pojam potencijalne energije strujne konture u polju jer je magnetostatičko polje nepotencijalno. Ipak, u ovakvom polju se može definisati takozvana potencijalna funkcija , koja pod izvesnim uslovima ima ulogu analognu ulozi potencijalne

energije. Potencijalna funkcija kvazi-linijske strujne konture C struje I u spoljnjem magnetostatičkom polju definiše se sledećim izrazom:

(11.21)

gde je fluks vektora kroz površinu naleglu na konturu C.Translatorno pomeranje kružne strujne konture u proizvoljnom pravcu može se opisati promenorn koordinata njenog centra. Ampère-ova sila koja deluje na centar

magnetostatičkog dipola povezana je sa potencijalnom funkcijom na isti način na koji je sila koja deluje u potencijalnom polju povezana sa potencijalnom energijom. Naime,

(11.22)

gde indeks I označava da je . U konkretnom slučaju homogenog magnetnog polja, gradijent fluksa kroz konturu tokom njenog translatornog kretanja jednak je nuli, tako da

na osnovu (11.22) dolazimo do već poznatog zaključka da je , vidi jednačinu (11.18c).Ako sada pretpostavimo da je kružna strujna kontura pod delovanjem Ampère-ovih

sila dovedena u stanje rotacije oko određene ose (u pravcu vektora ) i daje ovakva promena njenog prostornog položaja opisana uglom , onda za intenzitet MA momenta Ampère-ove sile imamo opštu formulu:

(11.23)

Na osnovu formula (11.22) I (11.23) vidimo da se u pogledu delovanja sile i momenta

, potencijalna funkcija potpuno ekvivalentna potencijalnoj energiji. U posmatranom slučaju magnetostatičkog dipola u homogenom magnetnom polju za magnetni fluks imamo:

(11.24a)

tako da je, vidi jednačinu (11.21):

(11.24b)

Za intenzitet MA momenta Ampère-ove sile tada imamo na osnovu (11.23):, (11.25)

vektor pritom je usmeren duž ose rotacije (pravac ), tako da je , što upravo predstavlja već poznati rezultat, jednačina (11.20).

Primetimo na kraju, da dobijeni rezultati važe za kondukcione struje, to jest za metalne provodnike koji predstavljaju čvrsto telo. ponašanje konvekcionih struja u magnetnom polje se donekle razlikuje od onog opisanog u ovom odeljku.

11.5. MAGNETOSTATIČKI DIPOL U NEHOMOGENOM MAGNETNOM POLJU

88

Rezultati dobijeni u prethodnom odeljku mogu se uopštiti na slučaj kružne strujne konture u nehomogenom magnetostatičkom polju . Pri ovom uopštavanju pretpostavićemo da je poluprečnik konture R dovoljno mali (tako da se jačina polja ne menja znatno na površini ograničenoj ovom konturom). Kao i u slučaju , ponašanje kružne strujne konture u nehomogenom polju moguće je analizirati kako sa stanovičta sile koja na nju deluje, tako i sa energijskog stanovišta. Ispostavlja se, međutim, da je drugi od navedenih metoda jednostavniji. Zbog toga ćemo ovde izložiti postupak određivanja rezultujuće sile

i rezultujućeg momenta koristeći pojam potencijalne funkcije .

Razmotrimo prvo silu kojom spoljnje nehomogeno magnetostatičko polje deluje

na magnetostatički dipol dipolnog momenta , slika 8. Pod uslovorn , ukupna

Ampère-ova sila koja deluje na ovaj dipol određena je formulom (11.22):

, (11.26a)

Ako je poluprešnik R posmatrane kružne konture dovoljno mali, potencijalna funkcija u

jednačini (11.26a) određena je izrazom (11.24b): gde je vektor određen poljem u centru dipola, slika 8. U posmatranom slučaju tačkastog dipola, imamo:

(11.26a)

Slika 8.

Pod delovanjem sile (11.26b) dipol vrši translaciono kretanje. Na primer, za polje koje je izrazito nehomogeno u nekom pravcu (pravac sa slike 8.) i pod uslovom da vektori i zaklapaju oštar ugao , formula (11.26b) daje:

(11.26c)

odakle vidimo da sila uvlači dipol u oblast jačeg polja, slika 8.

Polazeći od potencijalne funkcije lako se nalazi i moment kojom Ampère-ove sile deluju na „tačkasti“ dipol. Naime, polazeći od formula (11.23) i (11.24b), nalazimo da je u posmatranom slučaju:

(11.27)

gde je sa označena jačina spoljnjeg polja u centru dipola. Pod delovanjem momenta (11.27) dipol se ponaša isto kao u homogenom magnetnom polju. Naime, spoljnje polje teži da obrne dipol tako da mu se pravac mogućeg momenta poklopi sa pravcem polja (u centru dipola).

Pod delovanje sile i momenta sile magnetostatički dipol vrši dvojako kretanje:

translacjiu u oblasti jačeg polja (ako je ugao oštar) i rotaciju do poklapanja ose sa pravcem polja . Ovakvo kretanje se sa stanovišta magnetnog fluksa kroz površinu

89

naleglu na konturu C može protumačiti kao „težnja“ strujne konture da se postavi u položaj maksimalnog fluksa .

11.6. ROTIRAJUĆA NAELEKTRISANA LOPTA U HOMOGENOM POLJU

Završavajući naša razmatranja vezana za magnetostatički dipol razmotrimo još jednu primenuovog pojma na slučaj jedne specifične vrste zapreminskih struja. Naime, mi smo se do sada ograničavali isključivo na stacionarne električne struje, za koje smo pretpostavili da su formirane unutar metalnih provodnika (pri čemu su nosioci ovakvih struja slobodni elektroni metala). Međutim, makroskopsko naelektrisano telo u stanju translacionog ili rotacionog kretanja možemo shvatiti kao određenu vrstu električne struje. Kao što je već bilo pomenuto, ovakve električne struje spadaju u grupu takozvanih kondukcionih električnih struja (vidi, na primer odeljak 1.2).

Ograničićemo se na slučaj rotirajuće naelektrisane lopte poluprečnika R, načinjene od materijala ukupne mase M i zapreminskih naelektrisane ukupnim naelektrisanjem Q, slika 9(a). Pretpostavićemo da lopta rotira konstantnom ugaonorn brzinom ( ) oko z-ose. Smatraćemo da je gustina mase lopte oblik raspodele pretpostavićemo za gustinu naelektrisanja lopte .

Slika 9.

Sa stanovišta nepokretnog koordinatnog sistema x, y, z, naelektrisana lopta može biti shvaćena kao sistem u kome je formirana zapreminska stacionarna struja određene gustine

, vidi sliku 9(b). Za vektor važi formula , gde je linijska brzina uočenog elementarnog dela lopte pri njenoj rotaciji po krugu oko z-ose. U torn slučaju, za magnetni moment rotirajuće naelektrisane lopte imamo:

, (11.28)

vidi jednačinu (11.4). veličina definisana ovom relacijom naziva se orbitalni magnetni moment rotirajuće lopte.

Specifičnost posmatrane naelektrisane lopte koja rotira je u tome što ona (sa stanovišta nepokretnog koordinatnog sistema) formira (kao i svaka stacionarna struja) određeno magnetnostatičko polje . Mi se ovde nećemo baviti izračunavanjem ovog polja. Primetimo samo, da na dovoljnoj udaljenosti od centra rotirajuće lopte, važi ista formula za kao i za magnetostatički dipol, pri čemu je dipolni moment određen formulom (11.28), vidi odeljak

90

11.3. Drugim rečima, polje rotirajuće lopte u dipolnoj aproksimaciji isto je kao i polje odgovarajućeg magnetostatičkog dipola.

Sa stanovišta mehanike, svaki infinitezimalni element zapremine dV mase rotirajuće lopte karakteriše se momentom impulsa , gde je

impuls posmatranog elementa mase dM čiji je položaj definisan vektorom . Kako je , to je , gde je brzina uočenog elementa pri

njegovom kružnom kretanju oko ose rotacije. Za ukupni moment impulsa čitave lopte tada imamo:

(11.29)

gde je V zapremina lopte. Vektor ima pravac i smer z-ose, dok će njegov intenzitet zavisiti od raspodele mase unutar lopte.

Kakva će biti veza između vektora i bitno zavisi od odnosa raspodele mase i naelektrisanja unutar lopte. Najjednostavniji oblik ove veze imamo kada između gustine naelektrisanja i gustine mase pretpostavimo da postoji proporicionalnost:

(11.30a)gde je K neka konstanta. Integracijom ovog izraza po zapremini V lopte dobijamo:

, (11.30b)

pri čemu je integral na levoj strani ove relacije jednak ukupnom naelektrisanju Q, dok je integral na desnoj strani jednak masi lopte M. Prema tome, imamo da je , to jest:

(11.30c)

Na osnovu (11.28) i (11.29) i pretpostavljene proporcionalnosti (11.30c), dobijamo sledeću proporcionalnost između i :

(11.31)

Kao što vidimo, pri vektori i imaju iste smerove, dok su pri smerovi ovih vektora suprotni. Koeficijent proporcionalnosti između i :

(11.32)

naziva se orbitalni magnetni faktor (magnetomehanički odnos) rotirajuće lopte.Ukazaćemo na kraju, na jednu specifičnu magneto-mehaničku pojavu do koje dolazi

kada se rotirajuća lopta nađe u prostoru u kome je formirano spoljnje homogeno magnetostatičko polje . U elektrodinamici se pokazuje da se pri slabim intenzitetima polja

javlja dopunsko rotaciono kretanje naelektrisane lopte, takvo da vrh vektora orbitalnog magnetnog momenta (ili vrh vektora momenta impulsa ) rotira oko pravca polja

određenom ugaonom brzinom , koja se naziva Larmor-ova ugaona brzina. Izraz za možemo naći ako pođemo od opšte jednačine rotacionog kretanja

(11.33a)

gde je moment Ampère-ovih sila kojom spoljnje polje deluje na posmatrani

sistem magnetnog momenta . S druge strane, na osnovu (11.31) i (11.32) imamo da je

, tako da se jednačina (11.33) može napisati u sledećem obliku:

91

(11.33b)

Jednačine oblika (11.33b) opisuju rotaciju vektora oko pravca vektora uganom brzinom:

(11.34)

Obrtanje vektora oko pravca vektora ugaonom brzinom naziva se Larmor-ova

precesija, slika 10. Iz navedene formule vidimo da će brojna vrednost Larmor-ove ugaone

brzine biti zanemarijivo mala ako je ispunjen uslov . Kod makroskopskih naelektrisanih tela ovaj odnos je uvek ispunje, tako da je Larmor-ova precesija zanemraljiva.

Primetimo, na kraju, da do magnetno-mehaničkih efekata dolazi ne samo u slučaju kondicionih struja nego i u slučaju električnih struja u metalnim provodnicima, čiji su nosioci siobodni elektroni metala. Međutim, ukupno naelektrisanje provodnih elektrona krutog metalnog provodnika daleko je manje od ukupne mase metalnog provodnika, tako da je njegova precesija zanernariljiva.

Slika 10.

III MAGNETOSTATIČKA POLJA DIJAMAGNETIKA I PARAMAGNETIKA

☺12. NAMAGNETISAVANJE DIJAMAGNETIKA I PARAMAGNETIKA

12.1. KLASIFIKACIJA MAGNETIKA

U prethodnom poglavlju mi smo se ograničili na razmatranje magetostatičkih polja stacionarnih struja u vakuumu. Dobijeni rezultati mogu se uopštiti i na slučaj neprekidnih materijalnih sredina u gasovitom, tečnom ili čvrstom stanju.

Ako se uzorak materijala konačnih dimenzija unese u magetostatičko polje dolazi do namagnetisanja uzorka, to jest materijal koji je unet u spoljnje polje i sam postaje izvor dodatnog magnetostatičkog polja. Na taj način, u posmatranom magetostatičkom sistemu

92

dolazi do superpozicije polja i formiranja novog rezultujućeg polja koje se razlikuje od prvobitnog polja. Do ovakvih promena dolazi i u slučaju kada materijal uzorka ispunjava čitav prostor izvan izvora polja (strujnog provodnika). Sve materijalne sredine mogu se namagnetisati u većem ili manjem stepenu na opisani način, a da bi istakliovu njihovu aktivnu ulogu u magnetnorn pogledu, mi ih u magnetostatici nazivarno magnetici.

Postoje razne klasifikacije magnetika, koje se međusobno razlikuju po tome šta je uzeto kao princip njihove podele. Jedna od mogućih podela ističe eksperimentalnu činjenicu da neki magnetici slabo menjaju spoljnje polje u koje su uneti, dok drugi mogu izmeniti spoljnje polje u izuzetno velikom stepenu. U tom smislu, svi magnetici mogu se podeliti na slabe magnetike i jake magnetike. Kao i svaku drugu, tako i podelu magnetika na slabe i jake treba shvatiti samo kao prvi korak prema njihovoj sistematskoj analizi, kojim se naglašava samo jedno, ali ne i jedino, svojstvo koje ih razlikuje. Navedena podela magnetika delimično odražava istorijske okolnosti pod kojima je započela tematska studija magnetizma.

U ovom poglavlju mi ćemo se ograničiti na razmatranje slabih magnetika, u koje spada većino materijalnih sredina (i to kako u gasovitom ili tečnom tako i u čvrstom stanju). Njihovo izučavanje je znatno jednovanije nego razmatranje jakih magnetika zato što ih, pre svega, karakterišu sledeća dva svojstva. Prvo, kod slabih magnetika možemo smatrati da stepen njihove namagnetisanosti linearno raste sa povećanjem intenziteta rezultujućeg magnetostatičkog polja koje se u njima formira. Drugo, proces namagnetisavanja slabih magnetika ima reverzibilni karakter, to jest nakon prestanka delovanja spoljnjeg polja dolazi do njihovog razmagnetisavanja.

Dodatna specifičnost slabih magnetika je u tome što mogu dovesti kako do slabljenja tako i do pojačavanja spoljnjeg magnetostatičkog polja. Slabi magnetici koji smanjuju intenzitet spoljnjeg polja unutar svoje zapremine nazivaju se dijamagnetici. Ova činjenica ilustrovana je na slici 1(a), gde je prikazano rezultujuće polje koje se formira unošenjem cilindričnog dijamagnetnog uzorka u homogeno spoljnje polje, a pri čemu se osa cilindra poklapa sa pravcem ovog polja. Drugu grupu slabih magnetika čine takozvani paramagnetici, koji pojačavaju intenzitet spoljnjeg polja unutar svoje zapremine (slika 1(b)).

Slika 1.Kao primere dijamagnetnih materijala navodimo vodonik, azot, inertne gasove, vodu,

kuhinjsku so, cink. Sa druge strane, primeri paramagnetnih materijala su kiseonik, vazduh, većina organskih jedinjenja i tako dalje.

Pored navedenih razlika u pogledu slabljenja i pojačavanja spoljnjeg magnetostatičkog polja, dijamagnetici i paramagnetici se razlikuju i po još jednoj makroskopskoj osobini mehaničkog karaktera, koja se može relativno jednostavno registrovati eksperimentalnim putem. Naime, ako se cilindrični dijamagnetni uzorak postavi u nehomogeno magnetostatičko polje, na njega će delovati sila koja je usmerena prema oblasti prostora gde je spoljnje polje slabije (slika 2(a)). U slučaju paramagnetika situacija je obrnuta (slika 2(b)): pod delovanjem sile paramagnetni uzorak bi se pomerao prema oblasti prostora gde je spoljnje polje intenzivnije.

93

Slika 2.

Sile kojima nehomogena polja deluju na dijamagnetne i paramagnetne uzorke su veoma slabe, a za njihovo registrovanje neophodna su dovoljno jaka magnetostatička polja izrazite nehomogenosti. Prva sistematska eksperimentalna istraživanja ovih sila obavio je M. Faraday u periodu od 1845. do 1847. godine. Njegovi eksperimenti, obavljeni sa većim brojem različitih materijala slabo izraženog stepena namagnetisavanja, upravo su i doveli do zaključka o postojanju dve vrste slabih magnetika. Same nazive „dijamagnetik” i „paramagnetik” takođe je uveo Faraday.

Od interesa je uočiti sličnosti i razlike između navedenih svojstava slabih magetika i već poznatih svojstava dielektrika, razmatranih u elektrostatici. Naime, dielektrici su slični sa slabim magenticima po tome što predstavljaju linearne materijalne sredine, koje takođe gube svoja makroskopska svojstva naelektrisanih tela nakon ukidanjanja spoljnjeg eltrostatičkog polja. Ključna razlika između dielektrika i slabih magnetika je u tome što svi dielektrici smanjuju intenzitet spoljnjeg eletričnog polja unutar svoje zapremine, dok se kod slabih magnetika javlja kako efekat slabljenja (dijamagnetici) tako i efekat pojačavanja (pararnagnetici) spoljnjeg magnetostatičkog polja. Osim toga, razlika između dielektrika i slabih magnetika pojavljuje se i u pogledu sila kojom spoljnje nehomogeno polje deluje na uzorke ovih materijala: cilindrični uzorak dielektrika pomera se prema oblasti prostora gde je električno polje intenzivnije, dok u slučaju slabib magnetika imamo već poznatu situaciju sa slike 2.

Izučavanje jakih magnetika, koje nas suočava sa vrlo specifičnm svojstvima ovih materijalnih sredina, biće odloženo do sledećeg poglavlja. Ovde ćemo samo primetiti da u ovakve materijale spada, na primer, gvožđe, nikl ili kobalt, kada se nalaze u čvrstom agregatnom stanju i pri određenim temperaturnim uslovima. Po gvožđu kao glavnom predstavniku, jaki magnetici se obično nazivaju feromagnetici.

12.2. MAGNETOSTATIČKI MODEL ATOMA (MOLEKULA) DIJAMAGNETIKA I PARAMAGNETIKA

Makroskopska svojstva magetostatičkih polja u prisustvu dijamagnetika i paramagnetika mogu se protumačiti polazeći od mikrostrukture ovih materijala. Kao i u slučaju dielektrika, najkompletniji opis zbivanja u magneticima na atomičnom i molekularnom nivou daje kvantna mehanika. Za razliku od dielektrika, kvantnomehaničke zakonitosti u teoriji magnetika igraju daleko važniju ulogu; štaviše, detaljnije analize pokazuju da fenomeni makroskopskog magnetizma ne bi uopšte bili mogući ukoliko bi na mikro nivou materije važili zakoni klasične fizike. Pa ipak, iako je makroskopski magnetizam

94

u suštini kvantna pojava, neka od osnovnih magetostatičkih svojstava materijalnih sredina moguće je razumeti na osnovu relativno jednostavnih magetostatičkih modela njihove mikrostrukture. Relativna efikasnost ovakvih modela pri tumačenju magnetizma posledica je, u suštini, činjenice da su u njima implicitno sadržane kvantnomehaničke pretpostavke.

Opšti postupak konstruisanja magetostatičkih modela dijamagnetnih i paramagnetnih atoma ili molekula zasniva se na korišćenju pojma Ampère-ovih mikrostruja. Po svom istorijskom poreklu, sadržaj ovog pojma nije precizno određen i jedino što se u njemu ističe je postojanje permanentnog kretanja neke vrste naelektrisanja unutar atoma ili molekula. Nakon otkrića elektrona i zaključaka o tome da ova čestica ulazi u sastav svih atoma i molekula, bilo je prihvaćeno stanovište da su Ampère-ovske mikrostruje povezane sa kretanjem elektrona duž određenih putanja unutar atoma i molekula. Međutim, ubzro je uočeno da je ovakva jednostavna dinamička slika unutrašnjosti atoma i molekula u opštoj suprotnosti sa zaknima elektromagnetizma. Ispostavilo se da se stabilnost ovakvih sistema može može opisati jedino novom vrstorn fizičkih zakona u okviru kvantne mehanike.

Kvantnomehaničkim stanjima elektrona najbliža je slika po kojoj se Ampère-ove mikrostruje mogu smatrati zapreminskim stacionarnim strujama, koje su sa određenom gustinom raspoređene unutar atoma ili molekula. Za naša dalja razmatranja od osnovnog je interesa činjenica da se u vezi svake zapreminske mikrostruje može definisati odgovarajući magnetni moment atoma ili molekula preciznije rečeno, vektor uvodimo istom definicionom formulom (11.4), koja je u odeljku 11.1 već korišćena za makroskopske zapreminske struje. Kakav će biti vektor zavisi od vrste atoma

(molekula), to jest od toga kakva je prostorna raspodela zapreminskih mikrostruja sistema. Ostim toga, uvedeni pojam magnetnog momenta Ampère-ovih mikrostruja leži u osnovi opisa interakcije atoma (molekula) sa spoljnjim magnetostatičkim poljem u koji se unosi.

Slika 3.Saglasnost sa eksperimentima se postiže ako u slučaju izolovanih (slobodnih atoma ili

molekula dijamagnetika uzmemo da Ampère-ovske mikrostruje imaju takvu raspodelu ,

pri kojoj je . Na slici 3(a) ilustrovan je primer dijamagnetnog atoma. Drugim rečima, dijamagnetne atome (molekule) karakteriše nulti magnetni moment i po ovom svojstvu oni su analogni nepolarnim atomima (molekulima) dielektrika (odeljak 7.1. Elektrostatike).

Unošenjem dijamagnetnog atoma (molekula) u magnetostatičko polje dolazi do složene preraspodele Ampère-ovih mikrostruja i formiranja novog stacionarnog stanja, koje je u slučaju atoma ilustrovano na slici 3(b). Ispostavlja se da se u ovom stanju javlja indukovani magnetni moment koji je usmeren nasuprot polja , Slika 3(b). Naime, na kretanje

elektronskog gasa atoma (kome odgovara raspodela struja ) suprotstavlja se precisiono

95

kretanje ugaonom brzinom . Kao rezultat ovog kretanja u atomu se indukuju Ampère-

ovske struje . Rezultujuća gustina stiuje . Kako je magnetni moment

koji potiče od raspodele struja jednak nuli, preostaje samo magnetni moment

od indukovanih struja gustine . Dakle, atorni dijamagnetnog materijala u spoljnjem

magnetnom polju imaju magnetni moment koji je dat formulom:

(12.1)

Slika 4.

Atom paramagnetnog materijala ilustrovan je na slici 4(a). U odsustvu spoljnjeg polja ovakvi atomi (molekuli) imaju nenulti magnetni moment , vidi sliku 4 (a), koji potiče od

raspodele Ampère-ovih struja . Po ovom svom svojstvu atomi (molekuli) paramagnetnih materijala analogni su atomima (molekulima) polarnih dielektrika.Kada se atom (molekul) paramagnetnog materijala unese u spoljnje magnetostatičko polje dolazi rotacije vektora oko pravca polja kao na slici 4(b).

Zbog ovoga se pored Ampère-ovih struja javljaju i indukovane struje , kojima

odgovara indukovan magnetni moment . Po pravilu, indukovane gustine struja i

dgovarajući magnetni moment su zanemarljivi u odnosu na sopstvene gustine struje

i sopstveni magnetni moment . U tom slučaju, ukupna gustina Ampère-ovske struje paramagnetnog atoma (molekula) data je sa:

(12.2a)

dok je ukupni magnetni moment jednak:

(12.2b)

12.3. MEHANIZAM NAMAGNETISAVANJADIJAMAGNETNIH MATERIJALA

Kao što smo videli u prethodnorn odeljku atomi (molekuli) dijamagnetika i paramagnetika razlikuju se kako po svojim magnetnim momentima u odsustvu spoljnjeg magnetng polja tako i po svom ponašanju u ovom polju. Osnovno pitanje koje se s tim u vezi postavlja je zašto postoje dve različite vrste slabih magnetika, to jest kakvi su mehanizmi namagnetisanja dijamagnetnih i paramagnetnih uzoraka, i u čemu je njihova razlika. Ispostavlja se da odgovor na ovo pitanje nije sasvim jednostavan pošto pri opisivanju namagnetisavanja uzoraka slabih magnetika treba uzeti u obizir ne samo svojstva njihovih

96

pojedinačnih atoma (molekula) o kojima je bilo reči u odeljku 15.1, nego i karakter interakcija između njihovih atoma (molekula). Obzirom da svaki rnakroskopsi uzorak predstavlja skup od ogromnog broja atoma (molekula) precizniji opis procesa namagnetisavanja zahteva korišćenje metoda statističke fizike.

Najpre ćemo razmotriti mehanizam namagnetisavanja dijamagnetnih materijala. Ograničićemo se na slučaj gasovitog dijamagnetnog uzorka, koji se najlakše proučava. Gasovita materijalna sredina će ispoljavati dijamagnetna svojstva ako se sastoji od atoma (ili molekula) dijamagnetnog tipa, to jest ako je njihov magnetni moment u odsustvu spoljnjeg magnetostatičkog polja jednak nuli (vidi odeljak 15.2.). Atomi (mo1ekuli) dijamagnetnog gasa određene temperature su u stanju neprestanog haotičnog kretanja. Ovakvo kretanje dovodi do neprestanih međusobnih sudara atoma (molekula). Međutim, ispostavlja se da pri sudarima ne dolazi do promene njihvog magnetnog momenta , to jest, u odsustvu polja ostaje da važi relacija , slika 5(a).

Postavljanjem dijamagnetnog gasa u spoljnje magnetostatičko polje (slika 5(b)), dolazi do dogatnog precesivnog kretanja svih elektrona u atomu o kome je bilo reči u odeljku 15.2. Na taj način svaki atom dijamagnetnog gasa dobija odeđeni indukovani magnetni moment

, jednačina (12.1). Vektori svih atoma dijamagnetnog gasa orijetisani su

nasuprot polja (vidi sliku 5(b)). Tokom kretanja atoma gasa između dva sudara ne dolazi

do promene . Takođe, ispostavlja se da ni rneđusobni sudari atoma, u suštini, bitno ne utiču

na ovakvu orijentaciju indukovanih magnetnih momenata .

Slika 5.

To dalje znaži da dijamagnetna svojstva gasa ne zavise od temperature, to jest povećanje srednje brzine atoma i povećanje srednjeg broja sudara u jedinici vremena sa porastom temperature ne utiče na indukovane magnetne momente atoma . Ova temperaturska nezavisnost stepena namagnetisanosti dijamagnetnih materijala potvrđena je i eksperimentalnim putem još 1895. godine u radovima P. Curie-a. U torn smislu, opisani mehanizam namagnetisavanja dijamagnetnih materijala može se uzeti kao adekvatna osnova u studijama makroskopskog magnetizma navedene vrste magnetika.

Primetimo da između mehanizma namagnetisavanja dijamagnetnih materijala i elektrostatičkog mehanizma elektronske (deformacione) polarizacije dielektrika postoje razlike (vidi odeljak 7.1. Elektrostatike). Naime, analogno dijamagneticima, klasa dielektrika koja se sastoji od nepolarnih molekula postaje polarizovana nakon unošenja u spoljnje elektrostatičko polje. Principijelna razlika između dijamagnetika i nepolarnih dielektrika je u tome što su indukovani magnetni momenti dijamagnetnih materijala

usmereni nasuprot polja , dok su indukovani elektrostatički momenti usmereni u pravcu

spoljnjeg elektrostatičkog polja . Drugim rečima, dijamagnetni fenomen nema, u suštini, svoj analogon u elektrostatici.

97

Na osnovu izloženog opisa mehanizma namagnetisavanja dijamagnetnog gasa vidimo da se finalno stanje ovakvog magnetika u spoljnjem polju (vidi sliku 5(b)) može zamisliti

kao sistem indukovanih magnetnih momenata usmerenih nasuprot polja . Štaviše, sa stanovišta rnakroskopske teorije magnetika, ovakvu finalnu sliku namagnetisanog dijamagnetnog gasa možemo uprostiti tako što ćemo zanemariti kretanje atoma (molekula) i proučavati sistem nepokretnih magnetnih momenata . Ovakva predstava zamrznutog dijamagnetika može se preneti i na slučaj dijamagnetnih materijala u tečnom i čvrstom agregatnom stanju. Naravno, prirodno je očekivati da mehanizmi namagnetisanja koji dovode do ovakve finalne slike tečnih i čvrstih magnetika moraju biti komplikovaniji zbog složenih interakcija između konstituenata tečnih i čvrstih tela. Strogo govoreći, ovakve interakcije imaju kvantni karakter i mogu biti opisane jedino u okviru kvantne mehanike.

12.4. MEHANIZAM NAMAGNETISAVANJAPARAMAGNETNIH MATERIJALA

Prelazimo na razmatranje mehanizma namagnetisavanja paramagnetnih rnaterijala.Ponovo ćemo se ograničiti na gasovito stanje magnetika, to jest posmatraćemo

paramagnetni gas čiji su atomi u neprestanom haotičnom kretanju. Pretpostavićemo da atomi ovakvog gasa mogu intergovati jedino direktnim međusobnim sudarima. Gasovita sredina koja ispoljava paramagnetna svojstva sastoji se od atoma (molekula) čiji je magnetni moment

u odsustvu spoljnjeg polja različit od nule (vidi kraj odeljka 12.2.).Vektori magnetnih momenata atoma paramagnetnog gasa su u datom trenutku

postavljeni u svim mogućim pravcima, to jest imaju izotropnu prostornu raspodelu njihovih pravaca i smerova, slika 6(a). U tom smislu, paramagnetni uzorak sastavljen od velikog broja atoma nije namagnetisan, to jest ukupni magnetni moment čitavog uzorka jednak je nuli. Ovakvo makroskopsko stanje ne menja se ni uzimanjem u obzir procesa međusobnih sudara atom. Naime, tokom sudara dva atoma može doći do izmene orijentacije njihovih momenata

, ali će raspodela ovih vektora sa stanovišta čitavog uzorka ostati izotropna.

Postavljanjem paramagnetnog gasa u spoljnje magnetostatičko polje (slika 6(b)) dolazi do znatno složenije situacije u odnosu na onu sa kojom smo se sreli kod dijamagnetika. Naime, uključivanjem polja svaki atom paramagnetnog gasa dolazi u stanje precesionog

kretanja, to jest vektori rotiraju oko pravca polja Larmor-ovom ugaonom brzinom

. U

isto vreme, precesiono kretanje dovodi do indukovanog dipolnog momenta sa kojim smo se već sreli kod dijamagnetika. Detaljnija analiza (u koju ovde nećemo ulaziti) pokazuje da su intenziteti vektora indukovanih magnetnih momenata paramagnetnih materijala obično znatno manji od intenziteta njihovih magnetnih momenata izazvanih elektronskom “rotacijom” oko jezgra, to jest važi formula (12.2b). To dalje zhači da se pri proučavanju paramagnetika može zanemariti postojanje indukovanog magnetnog momenta, to jest možemo uzeti da se atomi paramagnetnog gasa karakterišu samo vektorom . Zbog toga se ponekad kaže da je kod paramagnetnog gasa “maskiran” dijamagnetni efekat.

98

Slika 6.

Za razmatranje suštine mehanizma namagnetisavanja paramagnetika veoma je važno naglasiti da relevantni magnetni moment dolaze u takvo precesiono stanje pri čemu se

ugao između ovog vektora i vektora jačine magnetostatičkog polja ne menja uključivanjem polja. Da bismo istakli ovu činjenicu pogodno je za trenutak zamisliti da do međusobnog sudara atoma ne dolazi, to jest da imamo slučaj takozvanog neinteragujućeg gasa. Pod ovakvim okolnostima mi bismo imali samo precesiono kretanje vektora svih atoma gasa, pri čemu bi prostorna raspodela ovih vektora i dalje ostala izotropna (vidi sliku 6(b)). Drugim rečima, neinteragujući paramagnetni gas postavljen u spoljnje polje ostao bi nenamagnetisan.

Do orijentacije magnetnih momenata u smeru polja dolazi tek ako se uzmu u obzir sudari među atomima, to jest ako posmatramo interagujući paramagnetni gas. Analiza zasnovana na metodama klasične statističke fizike pokazuje da međusobni sudari atoma paramagnetnog gasa dovode do neizotropne raspodele vektora magnetnih momenata , pri

čemu ovi vektori imaju tendenciju usmeravanja u pravcu vektora polja (vidi slliku 7(a)).

Ova tendencija uređivanja vektora utoliko je izrazitija što je niža temperatura gasa. Na taj

način za razliku od dijamagnetika srednji magnetni momenti atoma namagnetisanog

paramagnetnog gasa imaju iste pravce i smerove kao spoljnje polje .Detaljnija izračunavanja pokazuju da stanje namagnetisanosti paramagnetika zavisi od

temperature ovakvih magnetika. Pokazuje se da se sa porastom temperature smanjuje stepen namagnetisanosti. Ispostavilo se da je stepen namagnetisanosti paramagnetika obrnuto proporcionalan apsolutnoj temperaturi T posmatranog gasa. Eksperimentalna istraživanja P. Curie-a iz 1896. godine potvrđuju navedenu temperatursku zavisnost.

99

Slika 7.

Primetirno, na kraju, da je opisani mehanizam namagnetisavanja paramagnetnog gasa donekle analogan orijentacionoj polarizaciji dielektika (vidi odeljak 7.1. Ekektrostatike). Naime, kao i kod polarnih dielektika u kojima se dipolni momenti (u srednjem) orijentišu u pravcu električnog polja, magnetni momenti orijentisani su u pravcu polja . Bitna razlika između pomenuta dva mehanizrna je u tome što se orijentaciona polarizacija dešava pod dejstvom električnog polja , dok je orijentacija u pravcu polja rezultat međuatomske interakcije u paramagnetnom gasu.

Kao i u slučaju dijamagnetika, finalnu sliku namagnetisanog paramagnetnog gasa određene temperature, koji se nalazi u spoljnjem polju možemo zamisliti kao skup

nepokretnih magnetnih momenata , ali postavljenih u smeru vektora , vidi sliku 7(b). Ovakva predstava “zamrznutih” paramagnetika dovoljno je adekvatna i pri opisivanju osnovnih makroskopskih svojstava tečnih i čvrstih paramagnetika.

12.5. MIKROSTRUKTURA MAGNETOSTATIČKOG POLJA DIJAMAGNETIKA I PARAMAGNETIKA

Mehanizmi namagnetisavanja dijamagnetnih i paramagnetnih materijala, razmatrani u prethodna dva odeljka, omogućuju neku analizu mikrostrukture njihovih magnetostatičkih polja. Polazna tačka ove analize svodi se na činjenicu da svaki atom (molekul) namagnetisanog dijamagnetnog ili paramagnetnog uzorka formira određeno mikromagnetostatičko polje koje ima strukturu polja magnetostatičkog dipola (vidi odeljak 11.). Rezultujuće mikropolje koje formira čitav namagnetisan uzorak predstavlja superpoziciju svih mikropolja ovakvih mikro-magnetostatičkih dipola. Ovakav skup predstava o mikrostrukturi slabih magnetika naziva se Ampère-ovski model namagnetisavanja dijamagnetnih i paramagnetnih materijala.

Razmotrimo najpre Ampère-ovski model dijamagnetnog materijala u spoljnjem makroskopskom polju (slika 8(a)). Finalno stanje namagnetisanog dijamagnetika

opisujemo sistemom indukovanih magnetnih momenata , pri čemu se

svi vektori mogu smatrati nepokretnim.

100

Slika 8.

Svaki vektor se može shvatiti kao magnetni moment odgovarajućeg magnetostatičkog mikro-dipola. Magnetostaičko polje ovog dipola (u aproksimaciji tačkastog dipola) je mikropolje (vidi sliku 8(a)). Rezultujuće mikropolje svih N dipola uzorka sada je definisano formulom:

(12.3)

Polje predstavlja vrlo komplikovanu funkciju vektora položaja koja se izrazito menja idući od jedne do druge tačke posmatranog magnetostatičkog sistema.

Sa stanovišta makroskopske teorije magnetizrna pogodno je koristiti odgovajuću srednju vrednost rezultujućeg mikropolja , koja bi karakterisala magnetik u svakoj njegovoj tački. U tom cilju uočimo fizički infinitezimalnu zapreminu posmatranog sistema u kojoj se još uvek nalazi ogroman broj mikro-dipola. Makroskopsko polje u posmatranoj tački zapremine tada definišemo sledećim izrazom:

(12.4)

Ovako definisano polje daleko sporije varira idući od jedne do druge tačke magnetika.

Ukupno makroskopsko polje koje se formira u prisustvu dijamagnetika u spoljujem makroskopskom polju ta daje određeno formulom:

(12.5)

Ampère-ovski model namagnetisanog paramagnetika, slika 8(b), može se konstruisati na način koji je analogan već izloženom postupku. Namagnetisani paramagnetni uzorak određene temperature može se opisati sistemom nepokretnih atoma (molekula) sa usrednjenim magnetnim momentima postavljenim u pravcu i smeru spoljnjeg polja .

Svaki od ovakvih magnetnih momenata odgovara mikro-dipoiu čije je polje , vidi sliku

8(b). Definicija rezultujućeg mikropolja ista je kao kod dijamagnetika, jednačina (12.3).

Isti je i postupak usrednjavanja polja koje dovodi do makroskopskog polja paramagnetika, jednačina (12.4). Samim tim, i rezultujuće magnetostatičko polje koje se formira u prisustvu pararnagnetika biće opisano već navedenom formulom (12.5).

Jedan od osnovnih zadataka koji se postavlja u makroskopskoj teoriji dijamagnetika i paramagnetika sastoji se upravo u određivanju polja . Kvantitativni odgovor na pitanje kolika je jačinu polja u prisustvu slabib magnetika može se dati tek nakon formiranja odgovarajućih jednačina magnetostatičkog polja dijamagnetika i paramagnetika. Međutim, kvalitativna predstava o uticaju dijamagnetne, odnosno paramagnetne sredine na ukupnu jačinu polja moguća je već na osnovu analize ovog odeljka. Naime, sa slike 8 se već vidi da će polje kod dijamagnetika biti suprotnog smera od polja , što znači da će ukupno polje Bu dijamagnetiku biti manje od B0. S druge strane, sa slike 8(b) se može zaključiti da će u paramagnetnim materijalima polje B biti pojačano u odnosu na B0. Naime, u ovom slučaju makro poije magnetika ima pravac i smer vektora .

12.6. MAGNETIZACIJA MAGNETIKA,

101

Pored makroskopskog polja potrebno je definisati još jednu makroskopsku veličinu, koja karakteriše stepen namagnetisanosti slabih magnetika i koje se naziva magnetizacija magnetika . Kao i poje , vektorsku veličinu možemo definisati na jedinstven način kako za dijamagnetike tako i za paramagnetike. Naime, ispostavlja se da postoji jednoznačna i lokalna veza između magetizacije i rezu1tujućeg magnetostatičkog polj a .

Da bismo definisali vektor uočimo fizički infinitenzimalnu zapreminu proizvoljnog dijamagnetika ili paramagnetika. Označimo sa magnetni moment i-tog atoma (molekula) zapremine . Magnetizacija tada je definisana izrazom:

(12.6)

gde se sumiranje vrši po svim atomima (molekulima) zapremine . Ovom formulom je magnetizacija definisana kao makroskopska veličina, to jest kao magnetni moment jedinice zapremine posmatranog magnetika. Uočimo da intenzitet vektora ima dimenziju ampera po metru, to jest .

Magnetizacija određene tačke slabog magnetika zavisi kako od uzročnika namagnetisavanja, tako i od vrste magnetika. U opštem slučaju, uzročnik namagnetisavanja određene tačke magnetika je rezultujuće polje (jer se atomi, odnosno molekuli

zapremine nalaze ne samo u spoljnjem polju , nego i u indukovanom polju samog magnetika. Drugim rečima, vektor u opštem slučaju ne zavisi samo od stacionarnih struja u provodnicima koje formiraju polje , nego i od odgovarajućih stacionarnih struja kojima se može opisati aktivna uloga magnetika pri formiranju polja . Kao i pri razmatranju dielektrika, ograničićemo se na one magnetike čija su magnetna svojstva ista u svim pravcima i koji se nazivaju izotropni magnetici. Osim toga pretpostavićemo da je namagnetisavanje ovakvih magnetika izvršeno magnetostatičkim poljem dovoljno slabog intenziteta.

Eksperimenti pokazuju da je pod navedenim ograničenjima magnetizacija proporcionalna jačini primarnog polja u posmatranoj tački magnetika (to jest , gde je Km odgovarajući koeficijent proporcionalnosti). Iz daljih izlaganja će biti jasno da je ovakvu vezu između i pogodno izraziti u sledećem obliku:

(12.7)

gde je takozvana magnetna susceptibilnost magnetika, dok je magnetna konstanta vakuuma. Pošto intenzitet vektora ima istu dimenziju kao veličina , na osnovu (12.7) zaključujemo da je magnetna susceptibolnost bezdimenziona veličina. Formula (12.7) uspostavlja linearnu vezu između i , zbog čega se posmatrani slabi magnetici ponekad nazivaju i linearni izotropni magnetici.

Magnetna susceptibilnost zavisi od vrste materijala od kojeg je načinjen magnetik i, u opštem slučaju, njegove temperature. Eksperimenti pokazuju da je za većinu dijamagnetika praktično nezavisna od temperature, dok se kod najvećeg broja paramagnetnih materijala smanjuje sa povećanjem temperature. Slabi magnetici sa ovakvim temperaturskim zavisnostima veličine obično se nazivaju klasični (normalni) slabi magnetici. Postoje, međutim, i materijali koj kojih su registrovane nelinearne zavisnosti od temperature.

102

Parametar može poslužiti za klasifikaciju slabih magnetika. Pritom je u slučaju dijamagnetika, dok je kod paramagnetika , vidi sliku 9(a). U prilično širokom intervalu temperatura (oko sobne temperature) veličina je kod većine slabih magnetika veoma mala. Drugim rečima, ako na -osi nanosimo izmerene vrednosti veličine različitih dijamagnetika i paramagnetika, ovako nađene eksperimentalne tačke grupišu se oko vrednosti (vidi sliku 9(a)).

Slika 9.

Umesto magnetne susceptibi1nosti često je pogodnije koristiti takozvanu magnetnu propustljivost (permeabilnost) magnetika :

(12.8)

Očigledno, ovako uvedena veličina ima istu dimenzionalnost kao , to jest , vidi jednačinu (6.7b). Pod relativnom magnetnom propustljivošću slabog magnetika podrazumevamo sledeću bezdimenzionu veličinu:

(12.9)

Na osnovu definicionih formula (12.8) i (12.9) zaključujemo da se može izraziti preko na sledeći način:

(12.10)Navedena veza između i omogućuje nam da slabe magnetike klasifikujemo i prema vrednosti veličine ; naime, u slučaju dijamagnetika imamo , dok je za paramagnetike

, slika 9(b). Pošto se većine dijamagnetika i paramagnetika gripiše oko nulte vrednosti, njihova relativna magnetna propustijivost je mala i grupiše se oko jedinične brojne vrednosti.

Vezu između i izraženu formulom (12.7) takođe je pogodno izraziti preko . Zamena (12.10) u (12.7) daje:

(12.11)

Na osnovu ove formule vidimo da magnetizacija , pri fiksnom , zavisi samo od relativne magnetne propustljivosti kao makroskopskog parametra koji karakteriše vrstu magnetika. U slučaju dijamagnetika imamo , tako da na osnovu (12.11) zaključujemo da su tada vektori i suprotnih smerova. Sa druge strane, kod paramagnetika je što znači da su tada vektori i istih smerva. Uočimo da su ovi zaključci o smeru vektora u

103

odnosu na u saglasnosti sa Ampère-ovim modelom dijamagnetika i paramagnetika (vidi odeljak 12.5.).

Kao što se vidi, vektor magnetizacije preuzima onu ulogu koju je u elektrostatici imao vektor polarizacije dielektrika (vidi odeljak ___ Elektrostatike). Štaviše, definicione formule (12.8) i (12.9) za i imaju istu strukturu kao i definicione relacije i

, gde je električna susceptibilnost dielektrika (odljak ___ Elektrostatike). Takođe, linearna veza između i data forrndlom (12.11) analogna vezi polarizacije sa jačinom električnog polja: . Primetimo, međutim, da je kod dielektrika , tako da je vektor uvek istog pravca kao i vektor .

☺13. STRUJA NAMAGNETISAVANJA DIJAMAGNETIKA I PARAMAGNETIKA

13.1. STRUJE PROVODNOSTI I STRUJE NAMAGNETISAVANJA

Kao što smo videli u odeljku 12, namagnetisavanje dijamagnetika i paramagnetika u makroskopskom polju zadatih stacionarnih struja svodi se na pojavu dodatnih Ampère-ovskih mikrostruja, koje formiraju dopunska magnetostatička mikropolja. U ovom, i sledećih nekoliko odeljaka mi ćemo razmotriti kako se skup mikro-polja Ampère-ovskih struja usrednjavanjem svodi na odgovarajuće makroskopsko polje. Sa analognim zadatkom sreli smo se i u elektrostatici dielektrika, gde skup mikro-elektrostatičkih polja dipola usrednjavanjem daje odgovarajuće elektrostatičko polje (vidi odeljak 1. Elektrostatike). Tamo smo videli da je pri rešavanju navedenog zadatka bilo korisno razlikovati takozvana strana i vezana naelektrisanja dielektrika. Analogni magnetostatički zadatak se rešava uvođenjem pojmova struja provodnosti i struja namagnetisavanja.

Da bismo uočili šta se podrazumeva pod ovim strujama, posmatrajmo proizvoljni (na primer metalni) strujni provodnik P koji je okružen slabim magnetikom (vidi sliku 1). Magnetik može imati kako oblasti izražene prostorne nehomogenosti, tako i površinu diskontinuiteta koja razdvaja dva različita magnetika. U sistemu sa slike 1 uočavamo dve vrste stacionarnih struja: makroskopsku stacionarnu struju u metalnom provodniku i skup Ampère-ovskih mikro struja kojima je modelovan okolni magnetik. Da bismo istakli ovu činjenicu mi ćemo makroskopsku stacionarnu struju u metalnom provodniku nazvati struja provodnosti. Kao što vidimo, struja provodnosti analogna je pojmu „stranih“ naelektrisanja iz elektrostatike dielektrika.

104

Slika 1.

Sistem Ampère-ovskih mikro struja namagnetisanog magnetika može se zameniti jednom ekvivalentnom strujom koja je raspoređena u prostoru magnetika. Ovakva ekvivalentna, makroskopska stacionarna struja naziva se struja namagnetisavanja magnetika. Pogodnost korišćenja ovako uvedene makroskopske struje je u tome što se izučavanje magnetostatičkih polja u magnetiku svodi na već poznati metod izučavanja polja stacionarnih struja sa kojim smo se sreli u magnetostatici vakuuma. Naime, rezultujuće polje koje se formira u magnetiku isto je kao i polje u vakuumu, koje stvara struja provodnosti i struja namagnetisavanja.

Osnovno pitanje koje se postavlja u vezi struje namagnetisavanja je sledeće: kakva treba da bude prostorna raspodela ovih makro-struja da bi one bile ekvivalentne sistemu Ampère-ovskih mikro-struja magnetika. Ispostavlja se da su struje namagnetisavanja lokalizovane samo u oblastima prostora gde je magnetik iz bilo kojih razloga nehomogeno namagnetisan, to jest u oblastima gde je magnetizacija funkcija vektora položaja posmatrane tačke magnetika. U suprotnom slučaju, kada je , za magnetik kažemo da je homogeno namagnetisan.

U delovima magnetika, gde se njegova nehomogenost menja kontinulano (na primer, oblast u kojoj je uočena zapremina sa slike 1) struja namagnetisavanja ima karakter zapreminske struje namagnetisavanja, koja je sa određenom gustinom raspoređena u prostoru. Makroskopska veličina definiše se sledećim izrazom:

,

(13.1)

gde je gustina mikro struja namagnetisavanja u uočenoj fizičiu infinitezimalnoj zapremini posmatrane oblasti magnetika, slika 2(a). Naime, magnetik se može aproksimirati sistemim neopokretnih molekula magnetnih momenata , odnosno sistemom

Ampère-ovih struja raspoređenih sa gustinama Mikrostruja namagnetisavanja u datoj

tački magnetika ima gustinu gde se sumiranje vrši po svim

molekulima magnetika. Kao makroskopska veličina, vektor menja se daleko sporije od

, idući od jedne do druge tačke magnetika.

Slika 2.

105

Na granici provodnika P i okolnog magnetika, kao i na površini diskontinuiteta dva homogena magnetik (površina S sa slike 1.) javlja se površinska struja namagnetisavanja. Kao i svaka površinska struja, tako i površinska struja namagnetisavanja predstavlja sam granični slučaj zapreminske struje kroz vrlo uzan sloj magnetika oko uočene površine S. Uočimo elementarnu površinu dSʹ normalnu na površinu diskontinuiteta S, (vidi sliku 2(b)), koja definiše deo uzanog sloja u kome se formira površinska struja namagnetisanja. Neka je

i neka je gustina odgovarajuće zapreminske struje u tački M na površini dSʹ. Jačina ove struje na površini dSʹ jednaka je . Jačina ove struje po jedinici dužine granične površine S, takozvana linijska gustina površinske struje namagnetisavanja definisana je izrazom , to jest:

.(13.2)

Za pravac i smer vektora linijske gustine površinske struje namagnetisavaja uzima se pravac i smer vektora u posmatranoj tački M (vidi sliku 2(b)).

U sledećih nekoliko odeljaka mi ćemo dati detaljniji kvantitativni smisao pojma struja namagnetisavanja magnetika. Naš osnovni cilj biće nalaženje makroskopske veličine i i vektor magnetizacije koji takođe predstavlja makroskopsku veličinu.

13.2. STRUJE NAMAGNETISAVANJA HOMOGENIH I DISKONTINUALNO NEHOMOGENIH MAGNETIKA

Razmotrićemo najpre raspodelu struja namagnetisanja u homogenim dijamagneticima ili paramagneticima, i na granicama diskontinuiteta.

Posmatraćemo metalni provodnik sa strujom (provodnosti) jačine I koji je okružen beskonačnim homogenim magnetikom (na primer, dijamagnetikom; ). Neka se u oblasti ovog magnetika nalazi drugi homogeni magnetik (na primer, paramagnetik; ),

vidi sliku 3(a). Kružići na slici 3(a) predstavljaju indukovane mirko struje namagnetisanja

koje (formalno) ograničavaju površine formirajući magnetne momente .

Slika 3.

Sa prikazane slike 3(a) uočavamo da se mikro struje ( ) mikrodipola koji nisu uz površinu provodnika (ili na površinu diskontinuiteta) međusobno ponitšavaju. Prema tome, ako u unutrašnjosti magnetika uočimo fizički infnitezimalnu zapreminu ,onda u saglasnosti sa formulom (13.1), za zapreminsku gustinu struje namagnetisavanja imamo:

(13.3)

106

Drugim rečima, ni u jednoj tački homogenog magnetika nije uspostavljena struja namagnetisavanja. Analognu situaciji smo imali i u elektrostatici dielektirka: zapreminska gustina vezanih naelektrisanja bila je jednaka nuli u svakoj tački unutrašnjosti homogenog dielektika, vidi odeljak 8.2. Elektrostatike.

Situacija je, međutim, bitno drugačija na granici dodira homogenog magnetika i metalnog provodnika. Sa slike 3(a) uočavamo da mikrostruje namagnetisavanja uz metalni provodnik ostaju nekompenzovane, tako da formiraju tanki cilindrični strujni „plašt“ koji je omotan oko provodnika. Drugim rečima, na povrišni metalnog provodnika, u magnetiku, formira se makroskopska površinska struja namagnetisavanja (linijske gustine ) čiji je smer suprotan od struje provodnosti I (slika 3(b)). Analogno, i na razdvojnoj površini dva magnetika formiraju se površinske struje. Na taj način dolazimo do zaključka da se sistem sa slike 3(a) svodi na odgovarajući sistem u vakuumu (slika 3(b)) u kome je rnakroskopsko rnagnetostatičko polje formirano kao superpozicija polja struja provodnosti (I) i struja namagnetisavanja (Iʹ).

Preostaje narn još da nađemo formulu koja povezuje linijsku gustinu navedene površinske struje namagnetisavanja i vektora magnetizacije u proizvoljnoj graničnoj tački posmatranog magnetika. U tom cilju posmatrajmo fizički infinitezimalnu zapreminu magnetika (vidi sliku 4(a)) u kojoj se nalazi mikro struja . Jačina struje namagnetisanja kroz površinu jednaka je:

(13.4)

gde je broj mikrostruja na dužini . Ako mikrostruje zamislimo u kvadratnom obliku (dužine stranice ) onda za možemo uzeti paralelopiped, takav da jedna njegova stranica naleže na površinu provodnika, vidi sliku 4(a). U tom slučaju imamo , dok je:

. (13.5)

Slika 4.

Naime, broj kontura u zapremini jednak je proizvodu broja kontura u jednom sloju ( ) i broja slojeva ( )Na osnovu formule (13.4) za linijsku gustinu površinske struje namagnetisavanja imamo:

. (13.6)

Da bismo veličinu povezali za intenzitetom J vektora magnetizacije u posmatranoj tački na razdvojnoj površini metala i magnetika, primetimo da je:

(13.7)

107

gde je n koncentracija rnikrostruja. Koncentracija n jednaka je broju mikrostruja u jedinici zapremine i izražava se formulom , to jest:

(13.8)

Zamena ove formule u relaciju (13.7) daje:

(13.9)

Poređenjem formula (13.9) i (13.6) dobijamo daje:, (13.10)

to jest linijska gustina struje namagnetisavanja na razdvojnoj površini homogenog magnetika i metalnog provodika brojno je jednaka intenzitetu vektora magnetizacije u posmatranoj tački. Lako je uočiti da jednačina (13.10) predstavlja skalarni oblik sledeće vektorske relacije:

,(13.11)

gde je jedinični vektor normale na površinu provodnika usmeren ka magnetiku. Trijedar međusobno normalnih vektora prikazan je na slici 4(b). Primetimo da formula (13.11) važi i u slučaju kada je strujni provodnik okružen homogenim paramagnetikom. Uočimo da i u slučaju paramagnetika imaju suprotne smerove od onih prikazanih na slici 4(b) (pri neizmenjenom smeru struje I).

Dobijeni rezulti lako se prenose na izučavanje raspodele struja namagnetisavanja na površinama diskontinuiteta dva magnetika, na primer paramagnetni uzorak oblika deformisanog cilindra postavljen normalno na pravac magnetnog polja struje I i uronjen u homogeni dijamagnetik (vidi sliku 3(a)).

Na osnovu prethodne analize, struje namagnetisavanja ne upostavljaju se u homogenim delovima magnetika ( , ) . Na površini diskontinuiteta S, površinsku

struju namagnetisavanja gustine formiraju mikrostruje namagnetisavanja paramagnetnog

uzorka i dijamagnetnog uzorka . Zbog toga, za rezultujući vektor važi relacija:

(13.12)

gde je odgovarajuća linijska gustina dijamagnetika, a linijska gustina paramagnetne struje namagnetisavanja (obe na omotaču uočenog uzorka). Ova gustine struja su date sledećim formulama:

(13.13a)

(13.13b)

gde je vektor magnetizacije dijamagnetika ( ), dok je vektor magnetizacije

paramagnetika ( ) u posmatranoj tački omotača. Znak “-” u formuli (13.13a) posledica je orijentacije normale (usmeren ka magnetiku “ ”). Zamena (13.13a,b) u (13.12) definitivno daje:

(13.14)

Rezimirajući poslednje rezultate zaključujemo da se u ekvivalentnom sistemu u vakuumu (slika 3(b)) pojavljuje i dodatna rnakroskopska struja namagnetisavanja formirana na omotaču cilindričnog paramagnetnog uzorka. Takođe, može se pokazati da dobijene formule važe i u slučaju kada je metalni strujni provodnik okružen bilo kakvim slabim magnetikom koji je homogen u svim tačkama, osim na proizvoljnoj površini diskontinuiteta.

108

13.3. STRUJE NAMAGNETISAVANJA KONTINUALNO NEHOMOGENIH DIJAMAGNETIKA I PARAMAGNETIKA

Razmotrićemo I slučaj struja namagnetisavanja kontinualno nehomogenih dijamagnetika I paramagnetika, to jest slabih magnetika čija se magnetna svojstva kontinualno menjaju od jedne do druge tačke.

Mi ćemo, zbog jednostavnosti pretpostaviti da, u inače homogenom slabom magnetiku (koji okružuje strujni provodnik), postoji određena oblast nehomogenosti makroskopskih razmera, slika 5.

Smatraćemo da je nehomogenost u ovoj oblasti izazvana, na primer, povećanom koncentracijom identičnih molekula dijamagnetika ili paramagnetika. Uočimo da je na slici 5(a) prikazana i zatvorena orijentisana kontura C, koja leži u oblasti nehomogenosti i koja će nam biti neophodna u daljoj analizi. Ampère-ovske mikro struje atoma magnetika u oblasti nehomogenosti i na kontaktu sa metalnim provodnikom nazanačene su orijentisanim krugovima, iz praktičnih razloga.

Za delove posmatranog magnetika izvan oblasti nehomogenosti važe već poznate činjenice: u svim tačkama gde je magnetik homogen ne dolazi do formiranja struje namnetisavanja; jedino se na razdvojnoj površini provodnika i magnetika javlja površinska struja namagnetisavanja pri čemu je odgovarajući vektor linijske gustine opisan formulom (13.11). Dodatna okolnost, koja sistem sa slike 5(a) razlikuje od do sada razmatranih homogenih ili diskontinualno nehomogenih sistema, sastoji se u tome što se u oblasti kontinualne nehomogenosti magnetika javja zapreminska struja namagnetisavanja

određene (zapreminske) gustine . Kao i svaka makroskopska stacionarna struja, tako i

struja ima vrtložni karakter. Prema tome, sistem sa slike 5(a) ekvivalentan je sistemu struja

provodnosti I u yakuumu, uz prisustvo površinske i zapriminske struje namagnetisavanja, i

, slika 5(b).

Slika 5.

Da bismo pronašli formulu koja povezuje zapreminsku gustinu struje , sa vektorom magnetizacije u proizvoljnoj tački oblasti nehomogenosti,

uočimo površinu S oslonjenu na već pomenutu konturu C sa slike 5(a). Sa prikazane slike 6(a) primećujemo da se Ampère-ovske mikrostrujne konture koje prodiru kroz površinu S mogu podeliti na dve grupe. Prvu grupu Ampère-ovskih struja čine one koje površinu S prodiru dva puta, dok u drugu grupu spadaju one koje prodiru samo jedanput, i koje su „nanizane“ na liniju C. To dalje znači da se ukupna struja kroz uočenu površinu S svodi samo na one

109

Ampère-ovske strujne konture koje su nanizane na konturu C, a koje prodiru površinu S po njenom „ivičnom“ delu, vidi sliku 6(a).

Slika 6.

Za ukupnu rnakroskopsku struju namagnetisavanja koja prolazi kroz površinu S mora važiti sledeća relacija:

, (13.15)

gde je linijska gustina struje namagnetisavanja, dok je element konture C. Veličina može se povezati sa intenzitetom manetizacije u proizvoljnoj tački konture C ako najpre uočimo da je:

(13.16)

gde je broj mikro-kontura sa strujama „nanizanih” na dužini konture C. Da bismo

izračunali uočimo kosi cilinder zapremine dV, konstruisan oko elementa (slika 6(b)) sa bazama koje su normalne na vektor magnetizacije , a čije su površine jednake površini mikro-strujne konutre. Sa slike 6(b) uočavamo da će sve mikro konture čiji se centri nalaze unutar zapremine dV biti nanizane duž ose ovog cilindra dužine , tako da je:

(13.17)gde je n koncentracija molekula magnetika. Kako je gde je ugao između ose cilindra i vektora (vidi sliku 6(b)), to je:

, (13.18)tako da zamena ove formule u (13.16) daje:

(13.19)

Imajući u vidu da je , dolazimo do tražene veze između magnetizacije J i gustine struje struje namagnetisavanja:

(13.20)Zamena (13.20) u (13.15) daje:

, (13.21)

gde je vektor elementa orijentisane konture C.Tranformišući linjski integral na desnoj strani poslednje relacije u površinski (pomoću

Stokes-ove toereme) dobijamo:

, (13.22)

110

odakle je, definitivno,

(13.23)

Dobijena relacija analogna je elektrostatičkoj formuli 4 za zapreminsku gustinu vezanih naelektrisanja dielektrika, jednačina (8.12) Elektrostatike. Uočimo da za (slučaj homogenog magnetika) formula (13.23) daje , što je u saglasnosti sa zaključkom odeljka 13.2. Napomenimo, takođe, da će formula igrati važnu ulogu u našim daljim razmatranjima vezanim za opšte jednačine magnetostatičkog polja dijamagnetika i paramagnetika (vidi odeljak 14.1.).

☺14. JEDNAČINE MAGNETOSTATIČKOG POLJA U DIJAMAGNETICIMA I PARAMAGNETICIMA

14.1. INTEGRALNE JEDNAČINE MAGNETOSTATIČKOG POLJA U DIJAMAGNETICIMA I PARAMAGNETICIMA

Prelazimo na formiranje opštih jednačina magnetostatičkog polja slabih magnetika. Prelazeći na ovu centralnu temu magnetostatike, mi se suočavamo sa zadatkom koji je donekle sličan onom iz elektrostatike (vidi odeljak 9 Elektrostatike). Naime, pokazaćemo da se magnetostatičko polje slabih magnetika opisuje pomoću dve jednačine, koje se mogu izraziti kako u integralnim, tako i u diferencijalnim oblicima. Suština postupka kojim se dolazi do ovih jednačina je svođenje magnetostatike slabih magnetika na već proučenu magnetostatiku polja u vakuumu, uz upotrebu pojma struja namagnetisavanja. Kao što ćemo videti, mada se dijamagnetici i paramagnetici bitno razlikuju po orijentaciji magnetizacije , njihove jednačine imaju formalno isti oblik što nam omogućuje da u ovoj glavi (III) istovremeno razmatramo obe navedene vrste magnetika.

U ovom odeljku mi ćemo opisati kako se dolazi do integralnih jednačina magnetostatičkog polja slabih magnetika. U tom cilju, primetimo da smo pri razmatranju magnetostatičkog polja stacionarnih struja u vakuumu (glava II) došli do dve fundamenatalne integralne jednačine:

, (14.1a)

. (14.1b)

Prva od ovih jednačina predstavlja najopštiji slučaj Ampère-ove teoreme o cirkulaciji vektora . Druga integralna jednačina predstavlja Gauss-ovu teoremu za fluks vektora kroz

zatvorenu površinu S.Da bismo ove jednačine generalisali na slabe magnetike, posmatraćemo najopštiji

slučaj sistema stacionarnih struja (provodnosti) u nehomogenom slabom magnetiku magnetne propustljivosti . Ovakav magnetostatički sistem može se svesti na magnetostatički sistme u vakuumu, pri čemu se slabi magnetik zamenjuje odgovarajućim strujama namagnetisavanja. Drugim rečima sistem stacionarnih struja u magnetiku ekvivalentan je sistemu struja provodnosti i struja namagnetisavanja u vakuumu. To dalje znači da se integralne jednačine za magnetostatičko polje u magneticima mogu dobiti primenom formula (14.1a,b) na ekvivalentni sistem struja (u vakuumu).

U vezi primene postojećih formula mi se suočavamo sa jednim matematičkim problemom, koji je već bio pomenut u elektorstatici dielektrika (vidi odeljak 9.1. Elektrostatike). Naime, Ampère-ova teorema (14.1a) važi isključivo za zapreminske struje: da

111

bismo prevazišli teškoću primene ove teoreme na sisteme sa površinskim strujama namagnetisavanja, smatraćemo da ove struje nisu striktno raspoređene po površinama, nego u slojevima konačne, ali male debljine. Ova izmena nema principijelni fizički značaj; štaviše, realna granica dva magnetika različitih magnetnih propustljivosti i uvek predstavlja određeni sloj konačne zapremine.

Pod navedenim okolnostima, možemo uzeti da se vektor jačine polja u bilo kojoj tački magnetika (kao i u bilo kojoj tački metalnog provodnika koji je takođe magnetik) određen raspodelom ukupne struje gustine koja se sastoji od struja provodnosti gustine

i struja namagnetisavanja gustine , to jest:

. (14.2)Prvu od traženih integralnih jednačina za polje u magneticima dobijamo primenom Ampère-ove teoreme (14.1a) preuzete iz magnetostatike vakuuma. Naime, imajući u vidu jednačinu (14.2) i primenjujući ovu teoremu, dolazimo do sledeće formule:

, (14.3)

gde je S površina ograničena orijentisanom konturom C. Primetimo da u jednačini (14.3) figuriše magnetna konstanta vakuuma .

Pošto sve struje namagnetisavanja posmatramo kao zapreminske struje, možemo koristiti već poznatu formulu (13.23):

, (14.4)gde je vektor magnetizacije. Zamena (14.4) u (14.3) daje:

. (14.5)

Primenom Stokes-ove teoreme imamo da je:

(14.6)

tako da jednačina (14.5) dobija sledeći oblik:

. (14.7)

Primetimo da smo, sa matematičkog stanovišta, do ovog izraza došli na način koji je analogan onom iz elektrostatike dielektrika (odeljak 9.1. Elektrostatike).

Formula (14.7) sugeriše nam da je korisno uvesti sledeću vektorsku veličinu:

(14.8)

Vektor ima istu dimenzionalnost kao , to jest . U literaturi ne postoji saglasnost oko naziva vektora ; štaviše neki autori nalaze da je dovoljno koristiti samo oznaku bez ekspliciranja ikakvog naziva. Mi ćemo u ovoj knjizi za veličinu koristiti termin indukcija magnetostatičkog polja, podsećajući da je termin „jačina magnetostatičkog polja“ već iskorišćen za vektor . Autori koji se opredeljuju za ovakvu terminologiju naglašavaju da je ona fizički adekvatnija jer ističe analogiju između vektora i i elektrostatičkih veličina i . Podsećamo da je vektor bio definisan izrazom (.) Elektrostatike:

, (14.9)gde je jačina elektrostatičkog polja, dok je vektor polarizacije dielektrika.

Zamena definicione formule (14.8) u (14.7) dovodi do tražene prve integralne jednačine magnetostatičkog polja u magneticima:

(14.10)

112

,gde je gustina struje provodnosti. Dobijena formula za cirkulaciju vektora obično se naziva Ampère-ova teorema za magnetike. Dobijena jednačina (14.10) analogna je Gauss-ovoj jednačini za dielektrike, jednačina (.) Elektrostatike:

(14.11)

gde je električna indukcija, a gustina naelektrisanja.Preostaje nam da formiramo i drugu integralnu jednačinu magnetostatičkog polja

slabih magnetika. Ova jednačina se dobija neposrednim uopštavanjem jednačine (14.1b) za magnetostatičko polje u vakuumu. Poslednja jednačina tvrdi da je magnetno polje stacionarnih struja u vakuumu bezizvorno. Uopštavajući ovu jednačinu na slabe magnetike, dolazimo do polja koga (u vakuumu) formiraju struje gustine . Kako su struje pomeranja, po svojoj prirodi iste kao i struje provodnosti, to je i polje ukupnih struja bezizvorno. Prema tome, u slabim magneticima imamo:

.(14.12)

Dobijena teorema predstavlja Gauss-ovu teoremu za fluks vektora za magnetike. Dobijena jednačina je analogna jednačini (.) Elektrostatike:

Koja izražava činjenicu da i u dielektricima električno polje ima nultu cirkulaciju.

14.2. OSNOVNA SVOJSTVA VEKTORA

U prethodnom odeljku mi smo videli da je definisanje vektora kao pogodne veličine nametnulo tokom formiranja opšteg oblika (14.10) prve integralne jednačine magnetostatičkog polja slabih magnetika. U ovom odeljku biće data nešto detaljnija osnovna svojstva vektora .

Ograničavajući se na slabe linearne i izotropne magnetike, ispitaćemo najpre vezu između vektora magnetizacije ovakvih magnetika i vektora . U tom smislu, pođimo od

već poznate formule (12.7) za vektor , gde je magnetna

susceptibilnost magnetika u kome je formirano polje . Sa druge strane na osnovu definicione formule (14.8) za vektor , dobijamo:

(14.13)Korišćenjem upravo navedene formule za dolazimo do sledeće tražene veze između vektora

i :

.(14.14)

Kao što vidimo, magnetna susceptibilnost pojavljuje se kao koeficijent proporcionalnosti u linearnoj vezi vektora i .

Magnetna susceptibilnost slabih linearnih magnetika može biti kako pozitivna, tako i negativna (vidi odeljak 12.6.). Naime, u slučaju dijamagnetika imamo da je < 0, tako da na osnovu formule (14.14) zaključujemo da su vektori i istih pravaca, ali suprotnih smerova. Sa druge strane u slučaju paramagnetika imamo > 0, što znači da su vektori i

istih pravaca i smerova. Za intenzitete J i H vektora i važi relacija ; grafik ove linearne zavisnosti prikazan je na slici 1(a).

113

Slika 1.

Primetimo da je veličina kod svih slabih magnetika veoma mala, tako da je nagib prave linije sa slike 1(a) prema pozitivnom smeru H-ose takođe mali.

U praksi se linearna veza (14.14) između i često izražava i preko relativne magnetne propustljivosti slabog magnetika. Naime, imajući u vidu da je , jednačina (12.10), dobijamo:

(14.15)

pri čemu je , pri čemu je magnetna propustljivost magnetika.Ograničavajući se i dalje na slabe, linearne i izotropne magnetike, potražićemo sada i

jednu korisnu formulu koja povezuje jačinu magnetostatičkog polja i vektora . Na osnovu jednačine (14.13) i jednačine (14.15) neposredno imamo:

.(14.16)

Uočimo da su vektori i uvek istog pravca i smera, bez obzira da li je reč o dijamagneticima ili paramagneticima. Intenziteti B i H vektora i pokazuju linearnu zavisnost koja je ilustrovana na slici 1(b). Kao što ćemo videti, kod feromagnetnih materijala funkcionalna zavisnost ne samo da nije linearna nego nije ni jednoznačna.

Veza između i , izražena formulom (14.16) omogućuje nam da neposredno uočimo u kakvom odnosu stoji vektor sa strujama provodnosti i strujama namagnetisavanja proizvoljnog magnetostatičkog sistema. U tom cilju, uočimo da je

i podsetimo se da vektor zavisi kako od struja provodnosti ( ), tako i od struja namagnetisavanja ( ). Prema tome i vektor u opštem slučaju zavisi kako od struja provodnosti, tako i od struja namagnetisavanja:

. (14.17)Drugim rečima, kako struje namagnetisavanja zavise od vrste magnetika u opštem slučaju i vektor zavisi od vrste magnetika. Samo pod određenim specifičnim okolnostima može se dogoditi da vektor ne zavisi od .

Ukažimo i na jedno važno svojstvo vektora , koje se odnosi na cirkulaciju ovog vektora. Naime, iako vektor u opštem slučaju zavisi i od i od , cirkulacija ovog vektora, data jednačinom (14.10), zavisi samo od struja provodnosti ( ).

Završavajući našu analizu linearnih i izotropnih magnetika sa stanovišta svojstva vektora , korisno je ukazati i na slučaj kada su ovi magnetici homogeni (to jest kada je

). U tom slučaju jednačine magnetostatičkog polja (14.10) i (14.12) dobijaju sledeći oblik:

114

(14.17a)

(14.17b)

Uočimo da relacije (14.17a,b) imaju formalno isti oblik kao i jednačine magnetostatičkog polja u vakuumu (14.1a,b) osim što u formuli (14.1a) umesto magnetne propustljivosti vakuuma ( ) figuriše magnetna propustljivost magnetika ( ).

14.3. DIFERENCIJALNE JEDNAČINE MAGNETOSTATIČKOG POLJA U DIJAMAGNETICIMA I PARAMAGNETICIMA

Naša razmatranja iz odeljka 14.1. pokazala su da se najopštija svojstva magnetostatičkih polja u slabim magneticima mogu opisati sistemom od dve fundamentalne integralne jednačine, izražene formulama (14.10) i (14.12). U ovom odeljku mi ćemo izložiti postupak transformisanja ovih integralnih jednačina u odgovarajuće diferencijalne jednačine magnetostatičkog polja slabih magnetika.

Da bismo dobili prvu diferencijalnu jednačinu za magnetostatičko polje u slabom magnetiku, pođimo od Ampère-ove teoreme (14.10):

. (14.18a)

Primenom Stokes-ove teoreme, za krivolinijski integral na levoj strani poslednjeg izraza dobijamo:

(14.18b)

tako da je:

. (14.18c)

Kako poslednja relacija važi za proizvoljnu površinu S, to mora biti:(14.19)

Ovo je diferencijalni oblik Ampère-ove teoreme za magnetike. Dobijena formula (14.19) izražava lokalnu vezu između magnetne indukcije u datoj tački magnetika i gustine struje provodnosti u istoj tački.

Drugu diferencijalnu jednačinu za magnetostatičko polje u magnetiku dobijamo polazeći od Gauss-ove teoreme (14.12):

(14.20a)

Primenjujući Gauss-Ostrigradsi-jevu formulu na površinski integral poslednje formule dobijamo:

(14.20b)

gde je V zapremina ograničena površinom S. Imajući u vidu da je površina S proizvoljna površina (a samim tim i V predstavlja proizvoljnu zapreminu), na osnovu (14.20b) dolazimo do relacije:

(14.21)Ovo je tražena druga diferencijalna jednačina za magnetostatičko polje u magnetiku.

Dobijene diferencijalne jednačine (14.19) i (14.21) važe za proizvoljno magnetostatičko polje koje se formira u magneticima uz prisustvo struja provodnosti gustine

. Međutim, kao i u slučaju integralnih jednačina, korisno je razmotriti slučaj

115

homogenih, linearnih i izotropnih magnetika, kada postoji veza između i izražena relacijom (14.16), , gde je magnetna propustljivost posmatranog magnetika. Imajući u vidu ovu vezu, sistem jednačina (14.19) i (14.21) dobija sledeći oblik:

(14.22a)(14.22b)

I kao što vidimo, diferencijalne jednačine (14.22a,b) imaju formalno isti oblik kao i jednačine magnetostatičkog polja u vakuumu, formirana u prisustvu istih struja provodnosti, vidi jednačine (9.26b) i (9.25b). Jedina razlika je u tome što u jednačinama (14.22a,b) umesto magnetne propustljivosti vakuuma ( ) figuriše parametar .

■ PrimerPomoću jednačine (14.22a) može se doći do nekih opštih zaključaka o struji

namagnetisavanja u homogenim magneticima. Pretpostavićemo da homogeni magnetik predstavlja provodnu sredinu u kojoj je uspostavljena struja provodnosti određene zapreminske gustine . Ovakav slučaj imamo, na primer, u unutrašnjosti homogenog metalnog provodnika sa stacionarnom strujom.

Polazeći od formule (13.23) i imajući u vidu da je kod homogenih magnetika , dobijamo:

(14.23a)

to jest imajući u vidu jednačinu (14.22a): ■ (14.23b)

Završavajući naša razmatranja fundamentalnih diferencijalnih jednačina magnetostatičkog polja u magneticima, primetimo da se i u ovom polju može definisati vektorski potencijal izrazom:

.(14.24)

Kao i u magnetostatici vakuuma, jednačina (14.24) ne definiše jednoznačno vektor . Ukljanjanje ove nejednoznačnosti može se ostvariti, na primer, uz dodatni kalibracioni uslov:

. (14.25)U slučaju linearnih i izotropnih magnetika, jednačina (14.19) (veza ) dovodi

do sledeće diferencijalne jednačine za vektorski potencijal :

. (14.26)

U opštem slučaju dobijena jednačina je vrlo komplikovana. Međutim, formula (14.26) dobija daleko jednostavniji oblik u slučaju homogenih magnetika ( ). Naime, pod navedenim uslovima imamo:

. (14.27)Kao što vidimo dobijena jednačina (14.27) ima isti oblik kao i odgovarajuća formula (10.12) za vektor iz magnetostatike vakuuma, s tim što umesto u njoj figuriše .

116

IV MAGNETOSTATIČKO POLJE FEROMAGNETIKA

☺15. MAKROSKOPSKA SVOJSTVA FEROMAGNETIKA15.1. FEROMAGNETNI MATERIJALI

Sva naša dosadašnja razmatranja magnetostatike materijalnih sredina (glava III) odnosila su se isključivo na slabe magnetike, koji neznatno menjaju rezultujuće polje pri unošenju u spoljnje magnetostatičko polje stacionarne struje. Kao što je već bilo primećeno, većina materijala (kako u čvrstom i tečnom, tako i u gasovitom agregatnom stanju) spada u slabe magnetike. Međutim, mi smo već nagovestili da postoji i vrlo specifična, ali važna klasa materijala koji spadaju u takozvane jake magnetike. U osnovne materijaje ovakve vrste spadaju gvožđe (Fe), kobalt (Co) i nikl (Ni) kao i neke njihove legure i oksidi i to isključivo kada se nalaze u čvrstom agregatnom stanju. Po gvožđu kao glavnom predstavniku, jaki magnetici se često nazivaju i feromagnetici. Treba primetiti da se feromagnetna svojstva mogu pojaviti i kod nekih materijala u čvrstvo stanju koji uopšte ne sadrže ni gvožđe ni kobalt niti nikl. Kao primer ovakvog feromagnetika navodimo takozvanu Heusle-ovu leguru, u čiji sastav ulaze bakar (Cu), mangan (Mn) i aluminijum (Al).

Mi ćemo u navedenim odeljcima videti da se feromagnetici bitno razlikuju od slabih magnetika ne samo po tome što daleko intenzivnije menjaju strukturu spoljnjeg magnetostatičkog polja u koja ih postavijamo. Feromagnetike karakteriše i čitav niz dodatnih makroskopskih svojstava, to je bio i osnovni razbog zašto smo za ovu vrstu magnetika obezbedili posebno poglavije. Detaljnija analiza rnakroskopskih osobina feromagnetika pokazuje da ključni razlog svih razlika između ovih materijala i slabih magnetika leži u sledećoj činjenici: feromagnetici spadaju u takozvane nelinearne magnetike. Naime, kod slabih magnetika važile su linearne relacije i , pri čemu veličine i nisu funkcije vektora . Ovakve linearne veze između vektora i , kao i vektora i , narušene su, u opštem slučaju, u teoriji magnetostatičkih polja fizičkih sistema koji sadrže feromagnetike.

I pored toga to su feromagnetici nelinearne materijalne sredine, opšta pojmovna struktura već razvijene teorije slabih magnetika (glava III) može se preneti i na feromagnetne materijale. Međutim, pritom se mora voditi računa o tome da neki detalji ove opšte strukture bitno i na netrivijalan način zavise upravo od nelinearnosti feromagnetika. U tom smislu, mi ćemo ovde navesti samo neke osnovne definicione formule fizičkih veličina koje će nam biti od koristi pri analizi eksperimentalnih činjenica o makroskopskim svojstvima feromagnetika.

Tri osnovne vektorske veličine, koje se prenose iz teorije slabih magnetika, a koje služe za opisivanje magnetostatičkih struja sistema sa ferornagnetnim materijalima, su vektori

, i . Magnetizacija proizvoljne tačke feromagnetika definisana je izrazom:

,

(15.1)

gde je magnetni moment i-tog „atoma“ feromagnetika iz uočene infiniteziamlne

zapremine . Vektori , i povezani su relacijom:

117

.(15.2)

Uočavamo da relacije (15.1) i (15.2) imaju formalno isti oblik kao i u teoriji slabih magnetika; vidi jednačine (12.6) i (14.8).

Razlika između slabih magnetika i feromagnetika je u tome što je , u opštem slučaju, nelinearna funkcija promenljive . Samim tim, jačina polja predstavlja, u opštem slučaju, nelinearnu funkciju . Štaviše, videćemo da postoje okolnosti pod

kojima je višeznačna funkcija promenljive ; isto važi i za funkciju .

Najzad, u opštem slučaju vektori , i u posmatranoj tački feromagnetika nisu kolinearni. Naglašavamo da se ovakva nekolinearnost ne javlja kod slabih magnetika (pošto kod slabih magnetika imamo i , to su , i uvek kolinearni vektori).

Tri osnovne skalarne veličine u teoriji feromagnetika su magnetna propustljivost , relativna magnetna propustljivost i magnetna susceptibilnost . U literaturi o feromagnetizmu sreće se više različitih definicija magnetne propustljivosti feromagnetnih materijala, ali i više ratličitih primena ovih definicija. Mi ćemo magnetnu propustljivost magnetika definisati na sledeći način:

(15.3)

gde smo sa B i H označili intenzitete vektora i , a pri čemu, je . Kada definiciona relacija (15.3) formalno podseća na formulu za slabih magnetika, uočimo da je , to jest reč je o veličini koja zavisi od (što nije bio slučaj kod slabih magnetika). Takođe, primetimo da , u opštem slučaju, višeznačna funkcija od . Da bi se izbegle komplikacije, opšta formula (15.3) najčešće se primenjuje onda kada se ne manifestuje navedena višeznačnost.

Relativna magnetna propustlivost feromagnetika definiše se formulom:

.

(15.4)

Pod feromagnetnom susceptibilnošću , podrazumevamo sledeću veličinu:

.(15.5)

Kao što vidimo, relacije (15.4) i (15.5) imaju formalno iste oblike kao i kod slabih magnetika. Međutim, obe navedene veličine u teoriji feromagnetizma predstavljaju, u opštem slučaju, nelinearne i višeznačne funkcije promenljive .

15.2. NELINEARNA SVOJSTVA FEROMAGNETIKA

Prelazimo na razmatranje nekih osnovnih makroskopskih svojstava feromagnetika, do kojih se dolazi eksperimentalnim istraživanjima. Skrećemo pažnju da su ova istraživanja uglavnom obavljena ili neposredno pre, ili nakon objavljivanja Maxwell-ovog „Traktata o elektricitetu i magnetizmu“ (1873.godine). U ovom odeljku prikazaćemo osnovne rezultate

118

koji se odnose na nelinearna svojstva feromagnetika, izražena preko skalarne funkcionalne zavisnosti . Prvi rezultati ovakve vrste potiču iz eksperimenata koje je 1872. godine obavio A. G. Stoletov.

Jedan od najjednostavnijih eksperinientalnih metoda konstruisanja grafika zasniva se na upotrebi tankog, prethodno nenamagnetisanog prstena od homogenog feromagnetnog materijala (vidi sliku 1(a)). Oko ovakvog prstena ravnomerno i gusto je namotan (sa n navojaka po jedinici dužine) tanak (izolovan) provodnik čiji su krajevi povezani preko promenijivog otpornika R i prekidača П sa generatorom konstantne elektromotorne sile .

Slika 1.

Prstenasti oblik feromagnetnog uzorka je vrlo specifičan oblik, izabran zato što su vektori i u tom slučaju kolinearni, tako da je dovoljno meriti samo intenzitete B i H vektora i . Osim toga, pokazuje se da su brojne vrednosti veličine B jednake u svim tačkama tankog prstena. Isto važi i za veličinu H, pri čemu je gde je I jačina struje u navojcima. Pravci vektora i poklapaju se sa tangentom na srednju liniju prstena, dok su njihovi smerovi određeni pravilorn desnog zavrtnja u odnosu na smer struje I u navojima. Najzad, u prostoru izvan feromagnetnog prstena imamo i .Konkretan postupak nalaženja funkcionalne veze sastoji se u tome da se, nakon zatvaranja prekidača П, klizač na otporniku R pomera na levo u malim skokovima. Time se i jačina struje I kroz navojke sporo povećava u malim skokovima za vrednosti , koje se mere ampermetrom A sa slike 1(a). Samim tim, menja se i vrednost veličine H za male vrednosti

; uočimo da je eksperimentalno određivanje veličine H omogućeno time što kod tankog feromagnetnog prstena između H i I postoji jednoznačna veza. Pri svakoj skokovitoj promeni jačine struje I, dolazi do malih skokovitih promena jačine polja B u prstenu, a samim tim i do promene fluksa kroz površinu S poprečnog preseka prstena. Ove promene fluksa registruju se odgovarajućim fluksmetrom (koji radi na principu takozvane elektromagnetne indukcije) čime je omogućeno i eksperimentalno merenje veličine .

Na taj način, u BH-ravni može se nacrtati odgovarajući skup tačaka, koje pri dovoljno malim vrednostima definišu određe, praktično glatku, krivu liniju , vidi sliku 1(b). Ovako dobijena kriva linija, prethodno nenamagnetisanog feromagnetika, naziva se prvobitna kriva namagnetisavanja. Prikazana BH-kriva predstavlja “odziv” feromagnetnog materijala tankog prstena na opisanu promenu struje . Sa principijelnog stanovišta možemo smatrati da su vrednosti toliko male, da kontinualna BH-kriva predstavlja odziv na “ulaznu” struju koja linearno raste sa vremenom (vidi vinjetu na slici 1(a)). U našim

119

daljim razmatranjima mi ćemo pretpostaviti da se skokovite promene struje uvek mogu prikazati odgovarajućim neprekidnim funkcijama vremena t.

Sa slike 1(b) neposredno uočavamo da predstavlja jednoznačnu, ali nelinearnu funkciiu promenljive H. Pri povećanju H, tok funkcije odvija se u više etapa, koje su odvojene određenim karakterističnim tačkama na prvobitnoj krivi namagnetisavanja. Do tačke V slika 1(b) vrednost B neznatno se menja sa povećanjem H. Nakon toga između tačaka V i S dolazi do naglog povećanja jačine polja B, pri čemu tačka P ovog dela krive predstavlja prevojnu tačku prvobitne krive namagnetisavanja. Počev od tačke S, posmatrano BH-kriva postaje prava linja sa određenim malim nagibnim uglom u odnosu na pozitivni smer H-ose. Pravolinijski deo prvobitne kri namgnetisavanja počev od tačke S naziva se oblast zasićenja feromagntnog materijala.

Sa poznatim oblikom prvobitne krive namagnetisavanja, , moguće je rekonstruisati i zavisnost intenziteta magnetizacije feromagnetnog prstena od

veličine H. Naime, za navedeni oblik feromagnetnog uzorka vektor kolinearan je sa i , tako da se formula (15.2) može koristiti u sledećem skalarnom

obliku: , gde je . Naravno, mi razmatramo namagnetisavanje duž

prvobitne krive narnagnetisavanja, tako da je nelinearna i jednoznačna funkcija

promeniljive H. Na slici 2. prikazana je zavisnost . U oblasti zasićenja (počev od

tačke S) magnetizacija je slaborastuća linearna funkcija od H. Ako liniju zasićenja produžimo prema -osi (isprekidana linija na slici 2.) dobijamo presečnu tačku . Obzirom na vrlo mali ugao pravolinijskog dela grafika sa slike 2, može se uzeti (sa dovoljnim stepenom tačnosti) da je . Drugim rečima, veličina ima brojnu vrednost

koja je vrlo blizu vrednosti saturacine magnetizacije .

Slika 2.Opisani globalni tok prvobitne krive namanetisavanja, slika 1(b) (ili slika 2.)

karakteriše svaki feromagnetni rnaterijal. Međutim, prvobitne krive namagnetisavanja različitih feromagnetnih mterijala mogu se znatno razlikovati, naročito na delu V-P-S: do oblasti zasićenja može se doći pri manjim ili većim vrednostima promenljive H. U tom smislu, prvobitna kriva namagnetisavanja predstavlja bitnu karakteristiku po kojoj se različiti prstenasti uzorci feromagnetnog materijala mogu razlikovati u pogledu svojih nelinearnih svojstava. Štaviše, prvobitne krive namagnetisavanja feromagnetnih prstenova načinjenih od istog materijala, ali dobijenih različitim postupkom sečenja u odnosu na kristalogratske ravni (koje karakterišu unutrašnju strukturu uzorka), mogu se znatno razlikovati.

120

15.3. FEROMAGNETNI MATERIJALI KAO JAKIPARAMAGNETICI

Na svojstvo nelinearnosti feromagnetika, razmatrano u prethodnom odeljku, neposredno se nadovezuje druga osnovna karakteristika ovih materijala kao izrazito jakih magnetika. Podsećamo da je ova činjenica bila već korišćena pri klasifikaciji magnetika. Ovde ćemo dati konkretniji, kvantitativni smisao navedene činjenice, pokazujući kako se menja magnetna propustljivost duž prvobitne krive namagnetisvanja tankog feromagnetnog prstena.

Slika 3.

Pošto su vektori i kolinearni u slučaju takvog feromagnetnog prstena, dovoljno je ispitati kakva je zavisnost . Traženu funkciju pri možemo rekonstruisati

polazeći od poznate BH-krive, slika 1(a), i definicionog izraza (15.3): . Pritom se može koristiti grafički metod prikazan na slici 3. Uočimo proizvoljnu taku M na prvobitnoj krivoj namagnetisavanja (slika 3(a)) i primetimo za ugao prave koja prolazi kroz tačku 0 i M važi relacija . Ako zamislimo da se tačka M pomera na gore (slika 3(a)) zaključujemo da je maksimalan kada dođemo u položaj Mm, nakon čega brojna vrednost veličine opada. Na taj način zaključujemo da grafik

funkcije ima oblik koji je prikazan na slici 2(b).

Na osnovu prikazanog grafika funkcije vidimo da je reč o jednoznačnoj i nelinearnoj funkciji. Osim toga, primećujemo da je za svako . Prema tome, za relativnu magnetnu propustijivost imamo što znači da feromagnetni materijali spadaju u nelinearne paramagnetike.

Eksperimentalna merenja pokazuju da su maksimalne vrednosti izuzetno velike u poređenju sa vrednostima slabih magnetika ( ). Na primer, u slučaju tehnički čistog

gvožđa za maksimalno imamo . Štaviše, za feromagnetnu leguru koja je poznata pod nazivorn supermaloj (u čiji sastav ulaze Ni, Fe, Mn i Mo) imamo

. Zbog velike vrednosti jačina polja u

feromagnetnom prstenu, pri dostiže izuzetno velike vrednosti u odnosu na polje navojaka bez ovakvog prstena. Navedene činjenice sugerišu, kada je reš o feromagneticima, upotrebu termina jaki paramagnetici.

15.4. IREVERZIBILNOST NAMAGNETISAVANJA MAGNETIKA

121

U ovom i sledećem odeljku razmotrićemo dve dodatne rnakroskopske osobine feromagnetika, koje se obično shvataju kao dva aspekta jedinstvenog nelinearnog fenomena poznatog pod nazivom feromagnetni histerezis. Opisno govoreći, pod feromagnetnim histerezisom podrazumevamo činjenicu da već ispitivana funkcija može, pod određenim okolnostistima, biti višeznačna funkcija. Drugim rečima, datoj brojnoj vrednosti nezavisno promenljive H može odgovarati više različitih vrednosti zavisno promenljive B. Ovo svojstvo feromagnetika otkriveno je eksperimentalnim putem 1880. godine (E. Warburg, A. Righi J. Ewing).

Prvi od pornenutih aspekata feromagnetnog histerezisa odnosi se na ireverzibilni karakter procesa namagnetisavanja i razmagnetisavanja feromagnetnog uzorka u spoljnjem magnetostatičkom polju stacionarne struje. Da bismo uočili suštinu feromagnetne ireverzibilnosti, korisno je prethodno uvesti pojam istorije namagnetisavanja feromagnetnog uzorka. U tom cilju mi ćemo se ponovo ograničiti na tanki, prethodno nenamagnetisan ferornagnetni prsten sa ravnomerno i gusto namotanim navojcima tankog provodnika (vidi sliku 1(a)). U smislu onoga što je rečeno u odeljku 15.2, pretpostavićemo da se jačina struje

kroz navojke menja sporo i skoro kontinualno tokom vremena t, a da svakoj ovakvoj promeni struje odgovara određena linija u BH-ravni. Svaka od ovako dobijenih linija BH-ravni definiše jednu od mogućih istoria namagnetisavanja ispitivanog feromagnetnog prstena.

Slika 4.

Na slici 4(a) ilustrovana je istorija namagnetisavanja feromagnetnog prstena koja se odnosi na početnu etapu namagnetisavanja duž prvobitne krive namagnetisavanja. Struja dostiže maksimalnu vrednost koja je dovolja samo da se razvije početni deo prvobitne krive namagnetisavanja do tačke 1. Ukoliko ovakvu struju vraćamo na nultu vrednost, slika 4(b), dolazi do takvih promena B i H koje imamo kada je vraćemo nazad iz tačke 1 u tačku 0. Drugim rečima, proces namagnetisavanja uzorka tokom istorije namagnetisavanja koju diktira posmatrana struja ima reverzibilni karakter.

Međutim, sasvim novu situaciju imamo ukoliko ostvarimo takve promene struje koje omogućavaju da se najpre razvije kompletno prvobitna kriva namagnetisavanja, a nakon toga smanjimo brojnu vrednost struje, sllika 5. Na slici 5(a) prikazana je takva promena struje čija vrednost obezbeđuje namagnetisavanje prstena do zasićenja (tačka 1ʹ), a zatim se struja smanjuje na vrednost , tačka 2 na BH-krivoj. Jasno uočavamo da se navedeni BH-grafik odnosi na višeznačnu funkciju , to jest postoje vrednosti H za koje velilina B ima dve različite vrednosti. Uočavamo takođe da se tačka 2 nalazi izvan prvobitne krive namagnetisavanja 0-1-1ʹ, što znači da je posmatrana istorija namagnetisavanja ireverzibilnog karaktera.

122

Sa fizičkog stanovišta, najvanžiju posledicu feromagnetnog histerazisa imamo pri strujnoj promeni sa slike 5(b). Naime, ukoliko struju vratimo na nultu vrednost, tačka 3, feromagnetni prsten dolazi u finalno magnetostatičko stanje koje odgovara tački 3 na BH-grafiku. Drugim rečima, ireverzibilna promena magnetostičkog stanja tokom istorije namagnetisavanja 1ʹ-2-3 dovela je do toga da se u prstenu zadržalo magnetistatičko polje određene jačine , iako je struja isključena. Polje naziva se remanentno (rezidualno, zaostalo) magnetostatičko polje. Brojna vrednost veličine zavisi od vrste materijala od kojeg je načinjen feromagnetni psten.

Slika 5.

Ukoliko sa fermomagnetnog prstena uklonimo navojne provodnike, dobijamo jedan vrlo specifičan magnetostatički sistem koji čuva informaciju o tome šta se sa njim dešavalo u prošlosti. Istorija njegovog namagnetisavanja zapisano je u brojnoj vrednosti i može se rekonstruisati u tom smislu što se u tačku 3 grafika u BH-ravni dolazi nakon “kretanja” po sasvim definisanoj putanji za datu vrstu materijala. Zbog toga kažemo da feromagnetne materijale kao nelinearne materijalne sredine karakteriše feromagnetna memorija. Ovakvo svojstvo feromagnetika, koje se ne javlja u slučaju slabih magnetika, od izuzetog je interesa kako sa terijskog tako i praktičnog stanovišta.

Fizički sistemi koji raspolažu određenim stepenom namagnetisanosti u odsustvu spoljnjeg polja stacionarne struje nazivaju se permanentni magneti. U našem konkretnom slučaju, feromagnetni prsten karakteriše određena magnetizacija , koja na osnovu formule

(15.2) i činjenice da je i ima vrednost . Prema tome, posmatrani prsten predstavlja, u teorijskom smislu, najosnovnijin oblik permanentnog magneta.

Visina geometrijske simetrije ovakvog magneta onemogućuje njegovu praktičnu primenu kao izvora spoljnjeg magnetostatičkog polja (zato što je polje lokalizovano isključivo unutar njegove zapremine). Međutim, čak i neznatno narušavaju navedene simetrije prstena može “osloboditi” polje iz njegove unutrašnjosti. Ovakvi uslovi se ostvaruju, na primer, ako presečemo namagnetisani prsten formirajući uski procep, to dovodi do neke vrste “potkovičastog” permanentnog magneta. Takođe, ako prsten sa procepom lagano deformišemo u oblik pravog cilindra, dolazirno do vrste “magnetne igle”.

15.5. HISTEREZISNI CIKLUS FEROMAGNETIKA

Nastavljajući našu analizu feromagnetnog histerezisa, razmotrićemo, i drugi njegov aspekt, koji je povezan sa složenijim istorijama namagnetisavanja. Raznovrsnost putanje u BH-ravni pri složenijim varijacijama struje kroz navojke feromagnetnog prstena može biti izuzetno velika. Ovde ćemo razmotriti slučaj koji dovodi do takozvanog stabilnog histerezisnog ciklusa pri namagnetisavanju feromagnetika.

123

Razmotrićemo najpre slučaj kada su “spore” promene jačina struje kroz navojke prstena opisane grafikom sa slike 6(a). Presečne tačke grafika struje sa t-osom odgovaraju trenucima kada obrćemo polaritet generatora elektromotorne sile našeg polaznog sistema iz odeljka 15.2. (slika 1(a)). Prelazan grafik u oblasti negativnih vrednosti jačina struje odgovara promeni smera struje. Uzimamo da vrednost dovodi feromagnetni prsten u pošetnu tačku S oblasti zasićenja prvobitne krive namagnetisavanja, a to je

.

Slika 6.

Na slici 6(b) prikazana je kriva u BH-ravni koja odgovara istoriji namagnetisavanja prstena sa slike 6(a). Uočavamo da je dobijena kriva otvorena i da se nalazi u intervalu vrednosti H od (kada je ) do (kada je ). Pri svakom punom zaokretu BH-krive oko tačke 0 dolazi do neznatnog pomeranja ove krive, tako da su prelomne tačke (1,2,3) posmatrane putanje veoma bliske; isto važi i za prelomne tačke 1ʹ,2ʹ,3ʹ. Sa povećanjem broja zaokreta, BH-kriva postaje sve zbijenija u tom smislu što nizovi tačaka kao i konvergiraju odgovarajućim fiksnim položajima u BH-ravni.

Na slici 7(a) ilustrovana je granična situacija u BH-ravni do koje dolazi nakon dovoljno velikog broja periodičnih promena smera struje .

Slika 7.

Ovakva granična “putanja” predstavlja zatvorenu liniju koja je simetrična u odnosu na tačku 0 BH-ravni, a koja se naziva stabilni histerezisni ciklus. Da bi se istakla činjenica da prelomne tačke ciklusa predstavljaju početne tačke oblasti zasićenja, za navedeni ciklus koristi se i naziv maksimalni histerezisni cikius.

124

U realnim eksperimentalnim uslovima, feromagnetni prsten ulazi u stabilni histerezisni ciklus već nakon desetak promena smera struje u navojcima. Isključivanjem struje, posle višestruke promene njenog smera, dolazi i do zaustavljanja histerezisnih promena B i H; naime pri imamo , tako da za polje B u prstenu važi ili , vidi slliku 7(a). Drugim rečima, posmatrani feromagnetni uzorak postaje permanentni magnet sa magnetizacijom gde je pri čemu je ort normale na površini poprečnog preseka u posmatranoj tački.

Tačke stabilnog histerezisnog ciklusa koje su na slici 7(a) označene simbolima c, i, k, l, u, s predstavljaju njegove karakteristične tačke, a odnose se na različita magnetostatička stanja feromagnetnog prstena. Linija c-i-k-l preseca B-osu u tački gde je remanentno polje prstena; ista linija preseca H-osu u tački , gde je takozvano koercitivno polje. Idući duž krive c-i-k dolazi se u tačku k nakon neprestanog smanjivanja jačine polja B u prstenu do nulte vrednosti; kada prsten postaje razmagnetisan pod delovanjem polja struje u navojcima. Zbog toga se deo ciklusa određen tačkama c-i-k naziva kriva razmagnetisavanja. Koristeći formulu (15.2) moguće je naći intenzitete i smerove vektora , i u svim karakterističnim tačkama stabilnog histerezisnog ciklusa (pri datim

, , i ).Različiti feromagnetni materijali karakterišu se različitim brojnim vrednostima

veličina i . Međutim, dok se vrednosti za različitih feromagnetika kreću u uskom intervalu ( ), interval mogućih vrednosti veličine veoma je veliki (kreće se od oko

pa čak i do ). Zbog toga je uobičajeno da se feromagnetni materijali klasifikuju u dve grupe: meki feromagnetici (malo ) i tvrdi feromagnetici (veliko

). Sa tehničkog stanovišta, meki feromagnetici (u koje spada, na primer, čisto gvožđe) koriste se za izradu jezgara transformatora (sistema solenoida). Tvrdi feromagnetici (u koje spada, na primer, čelik) upotrebljavaju se za izradu permanentnih magneta.

Kompletnu sliku o histerezisu datog feromagnetnog materijala možemo dobiti ako u istoj BH-ravni prikažemo eksperimentalne rezultate pri manjim amplitudama struje od onih koje su dovele do histerezisnog ciklusa sa slike 7(a). Naime, ako su vrednosti amplitude

takve da se feromagnetni uzorak ne dovodi do zasićenja, onda se unutar dosadašnjeg “maksimalnog” histerezisnog ciklusa formiraju manji, ali takođe stabilni histerezisni ciklusi (vidi sliku 7(b)).

Do sada navedena makroskopska svojstva feromagnetika odnosila su se na one temperature pri kojima feromagnetni materijali ispoljavaju svoje specifične osobine. Ispostavlja se da svaki feromagnetik karakteriše određena kritična temperatura , iznad koje uzorak naglo gubi feromagnetna svojstva. Ovo važno svojstvo feromagnetika otkrio je P. Curie 1893. godine pri ekseperimentisanju sa gvožđenim permanentnim magnetikom. Navedena pojava naziva se Curie-jev feromagnetni efekat.

Temperatura pri kojoj permanentni magnet postaje razmagnetisan naziva so Curie-jeva temperatura. Brojna vrednost temeperature zavisi od vrste magnetika. Eksperimenti pokazuju da su temperature gvožđa, kobalta i nikla znatno iznad sobnih temperatura, ali i znatno ispod temperatura topljenja ovih feromagnetnih materijala. Tako, na primer, za gvožđe imamo , dok je . U slučaju kobalta imamo . Znatno nižu Curie-jeovu temperaturu ima nikl, . Postoje i feromagnetni materijali čija je temperatura znatno ispod sobnih temperatura; na primer, disperzijum (Dy) ima , tako da se njegova feromagnetna svojstva ispoljavaju samo u uslovima ekstremno niskih temperatura.

125

Razmagnetisani feromagnetik sa temperaturom ponaša se u svim eksperimentima kao “obični”, slabi paramagnetik.

15.6. WEISS-OVI FEROMAGNETNI DOMENI

Završavajući naš pregled osnovnih makroskopskih svojstava feromagnetika, preostaje nam da razmotrimo još jednu od njih, koja u izvesnom smislu predstavlja osnovu za kvalitativno tumačenje svih do sada poznatih svojstava. Reč je o postojanju takozvanih Weiss-ovih domena unutar zapremine kako namagnetisanog, tako i nenamagnetisanog uzorka feromagnetika. Hipotezu o postojanju ovakvih domena predložio je P. Weiss 1907. godine pri zasnivanju klasične teorije feromagnetizma. Ubrzo nakon toga, njegova teorijska pretpostavka potvrđena je eksperimentalnim putem i to različitim mernim tehnikama.

Posmatraćemo najpre nenamagnetisan monokristalni uzorak feromagnetika, koji je dobijen sečenjem po određenim kristalogratskim ravnima (slika 8(a)). Interesuje nas kako su prostorno raspoređeni magnetni momenti feromagnetnog materijala, vidi jednačinu (15.1).

Slika 8.

Ispostavlja se da ovu prostornu raspodelu karakteriše komplikovana mrežasta struktura nepravilnog oblika koja podseća na mozaik. U svakoj pojedinačnoj ćeliji ovakve prostorne strukture vektori imaju iste intenzitete, pravce i smerove međutim, opšti pravci i smerovi

vektora , različitih ćelija međusobno se razlikuju (vidi strelice na slici 8(b)). Drugim rečima, nasuprot očekivanju (po kojem bi nenamagnetisan feromagnetni uzorak imao potupno haotično raspoređene magnetne momente u svim pravcima), postoji određeni red koji se tek na makroskopskorn nivou manifestuje kao “haos”. Pojedinačna ćelija prostorne strukture upravo i predstavlja ono što se naziva Weiss-ov feromagnetni domen.

U postojanje Weiss-ovih domena možemo se uveriti koristeći relativno jednostavan eksperimentalni metod. Naime, ako se ravna površina feromagnetnog uzorka dobro uglača, a zatim prevuče tankim slojem ulja koje sadrži gvozdeni prah, onda će se delići gvožđa dominantno rasporediti po granicama Weiss-ovih domena. Formiranje mrežaste strukture gvozdenog praha na površini ispitivanog uzorka posledica je činjenice da se delići praha pomeraju kroz sloj ulja prema oblastima gde se lokalno magnetostatičko polje feromagnetika karakteriše izrazitom nehomogenošću. Obrazovanje ovakvih struktura može se uočiti čak i pomoću mikroskopa sa relativno malim uvećanjem.

Razmere Weiss-ovih domena variraju u znatnorn stepenu, ali su u proseku takve da su zapremine domena reda veličine . Pritom svaki domen u proseku sadrži ogroman broj čvorova kristalne rešetke feromagnetnog uzorka (reda veličine “atoma” po jednom domenu). Drugim rečima, fenomen Weiss-ovih domena javlja se na mezoskopskom nivou strukture materije. Ipak, sa dovoljnim stepenom tačnosti, možemo smatrati da magnetizacija

126

, definisana formulom (15.1), bitno ne zavisi od veličine Weiss-ovih domena. Preciznije rečeno, možemo smatrati da zapremina iz formule (15.1) sadrži dovoljno veliki broj Weiss-ovih domena.

Činjenica je, međutim, da se stanje kako nenamagnetisanog feromagnetika, tako i sam proces njegovog namagnetisavanja može rasvetliti upravo na jeziku Weiss-ovih domena. Na slici 9. ilustrovana je promena strukture Weiss-ovih domena feromagnetnog prstena duž prvobitne krive namagnetisavanja i dela histerezisnog cikiusa. Tačka 0 odgovara početnom stanju nenamagnetisanog uzorka, kada su rezultujući magnetni momenti Weiss-ovih domena sasvim haotično raspoređeni u prostoru. Ovakav feromagnetni uzorak ne formira nikakvo magnetno polje, to jest , čime se objašnjava činjenica da postoje i stanja feromagnetnih materijala kada se uzorci ne ponašaju kao magneti.

Slika 9.

Proces namagnetisavanja posmatranog uzorka duž prvobitne krive namagnetisavanja započinje promenom strukture Weiss-ovih domena, koja je reverzibilnog karaktera sve do tačke 1 grafika sa slike 9. Naime, na ovom delu BH-krive sa povećanjem H dolazi do neznatnog ali kontinualnog pomeranja granica domena tako što se oni domeni čiji je ukupni magnetni moment u smeru vektora povećavaju na račun ostalih domena. Daljim povećavanjem polja H ulazi se u oblast 1-2 naglog uspona BH-krive, gde dolazi do naglog i reverzibilnog pomeranja granica onih domena kod kojih je usmeren duž polja , a na

račun ostalih domena. Ovaj proces je istovremeno praćen naglom rotacijom vektora koji se dominantno postavljaju u pravcu i smeru vektora . Počev od tačke 2 ulazimo u oblast zasićenja gde su magnetni momenti svih domena usmereni duž vektora .

Na delu histerezisne krive 3-4 koji odgovara odzivu feromagnetnog uzorka na smanjivanje polja H, dolazi do dezorijentacije rnagnetnih momenata i pomeranja granica domena, ali tako da se pri nultoj vrednosti polja H u feromagnetnom uzorku zadržava delimična uređenost orijentacije magnetnih momenata Weiss-ovih domena. Zbog toga se u

127

odsustvu polja H uzorak karakteriše magnetizacijom , odnosno remanentnim magnetnim poljem jačine ,vidi sliku 9. Deo krive 4-5 sa B-H grafika odgovara procesu razmagnetisavanja pri kojem se uspostavlja haotična raspodela magnetnih momenata Weiss-ovih domena. U tački 5 koja odgovara koercitivnom polju , feromagnetni uzorak je

potpuno razmagnetisan, to jest .Pomoću Weiss-ovih domena može se dati i kvalitativno tumačenje Curie-jevog

feromagnetnog efekta. Naime, pri povećanju temperature T, struktura Weiss-ovih domena permanentnog magneta (prethodno namagnetisanog do zasićenja, tačka 2 sa slike 9.) se dugo održava. U blizini kritične temperature dolazi do nagle promene strukture Weiss-ovih domena, kako u pogledu zapremine, tako i orijentacije magnetnih momenata. Kada temperatura permanentnog magneta dostigne vrednost dolazi do razaranja domenske strukture: posmatrani uzorak gubi feromagnetna svojstva i postaje slabi paramagnetik. Hlađenjem uzorka obnavlja se struktura Weiss-ovih domena.

Činjenica da feromagnetni materijali spadaju u jake magnetike, povezana je sa tim da magnetni momenti Weiss-ovih domena imaju vrlo velike brojne vrednosti. Vektor

magnetizacije pri zasićenju, vidi sliku 2, predstavlja zbir magnetnih momenata svih Weiss-ovih domena po jedinici zapremine feromagnetnog uzorka u stanju zasićena. Otuda će i intenzitet vektora imati vrlo veliku brojnu vrednost, što upravo i leži u osnovi tvrdnje da feromagnetici spadaju u jake magnetike (primetimo da je u stanju saturacije ). Naravno, samo eksperimentalna činjenica o postojanju Weiss-ovih domena i o usmeravanju njihovih magnetnih momenata u stanju zasićenja, ne objašnjava zašto su ovi magnetni momenti izuzetno velikih vrednosti niti koji su mehanizmi rasta domena i usmeravanja njihovih momenata. Navedena pitanja su ostala otvorena sve do konstituisanja kvantne teorije feromagnetizma.

☺16. MAGNETOSTATIČKO POLJE PERMANENTNOGMAGNETA

16.1. PERMANENTNI MAGNET KAO IDEALIZOVANFEROMAGNEK

Pri izučavanju feromagnetika, mogu se formulisati dva osnovna problema. Prvi se odnosi na izučavanje njihovog ponašanja u magnetostatičkim poljima rnakroskopskih strujnih provodnika, to jest na analiza rezultujućeg magnetostatičkog polja formiranog u prisustvu feromagnetika. Drugi problem se odnosi na analizu polja permanentnih magneta (feromagnetni uzorci koji se i u odsustvu stacionarnih struja karakterišu nenultom magnetizacijom). U ovom odeljku biće razmatran drugi od pomenuta dva problema.

Pri kvantitativnom izučavanju formulisanih problema, mi se direktno suočavamo sa nejednoznačnošću funkcija i , povezanim sa histerezisom. Pri analizi polja permanentnog magneta moguće je konstruisati odgovarajuće aproksimativne metode. Ipostavlja se da je pogodna aproksimacija (dovoljno adekvatna za najveći broj permanentnih magneta koji se sreću u praksi) za pojavu takozvanog idealizovanog feromagnetika.

Pod idelizovanim feromagnetikom podrazumevamo feromagnetnu materijalnu sredinu čija je magnetizacija u proizvoljnoj tački izražena sledećom formulom:

128

,(16.1)

gde se vektor odnosi na istu tačku prostora na koju se odnosi i vektor . Po definiciji,

veličina predstavlja nenulti vektor koji ne zavisi od i koji se naziva permanentna

magnetizacija idealizovanog feromagnetika. Veličina predstavlja, po definiciji, pozitivan realan broj ( ) nezavisan od i naziva se magnetna susceptibilnost idealizovanog

feromagnetika. Član iz formule (16.1) je takozvana indukovana magnetizacija

idealizovanog feromagnetika. U opštem slučaju, uvedene veličine i mogu zavisiti od vektora položaja posmatrane tačke feromagnetika.

Slika 1.

Sa fizičkog stanovišta idealizovani ferornagnetik može se shvatiti kao linearna paramagnetna sredina susceptibilnosti (razmatrana u glavi III) koja ima dodatnu

paramagnetnu magnetizaciju . Na slici 1(a) ilustrovan je uzorak idelizovanog feromagnetika kao (šravirana?) paramagnetna sredina u koju su “ugrađeni” fiksni vektori permanentne magnetizacije . U ovakvom modelu permanentnog magneta, šrafirana? materijalana sredina posmatra se kao slabi (linearni) paramagnetik magnetne propustljivosti (to jest susceptibilnosti ) čije je namagnetisavanje obavljeno onom komponentom

mikrostrukture uzorka koja je opisana skupom vektora . Prema prethodnoj formuli (16.1)

ukupna magnetizacija u proizvoljnoj tački ovakvog dvokomponentnog sistema jednaka je

zbiru vektora i vektora indukovane magnetizacije .Polazeći od formule (16.1) može se doći do veze između vektora i u proizvoljnoj

tački idealizovanog feromagnetika. Naime, koristeći opštu relaciju (15.2) imamo:(16.2a)

to jest:(16.2b)

Po analogiji sa slabim magneticima, pogodno je definisati veličinu :(16.3)

koja se naziva magnetna propustljivost idealizovanog feromagnetika. Prema tome, traženu vezu između i možemo izraziti sledećom formulom:

(16.4)

129

Naravno, veličina ne zavisi od i treba je razlikovati od , o kojoj je bilo reči u odeljku 15.3. Primetimo takođe, da se i za idelizovane feromagnetike može uvesti veličina .

Aproksimacija idealizovanog feromagnetika, izražena formulama (16.1) i (16.4), pogodna je za tvrde feromagnetike, podsećamo da se upravo ovakvi materijali najčešće koriste za izradu permanentnih magneta. Osim toga, permanentni magnet se obično realizuje što se tvrdi ferornagnetik dovede u finalno stanje stabilnog histerezisnog ciklusa, a zatim isključi struja čijim je poljem izvršeno namagnetistavanje datog uzorka. Specifičnost navedenih materijala je u tome što se njihov stabilni histerezisni cik1us praktično svodi na oblik koji je prikazan na slici 1(b). Obično se kod permanentnih magneta javljaju takva finalna stanja sa vrednostima i koje odgovaraju tačkama na pravolinijskom delu ciklusa u drugom kvadrantu BH-ravni.

16.2. INTEGRALNE JEDNAČINE MAGNETOSTATIČKOG POLJA PERMANENTINH MAGNETA

Prelazimo na formulisanje integralnih jednačina magnetostatičkih polja permanentnih magneta u aproksimaciji idelalizoanih feromagnetika.

Slika 2.Posmatraćemo homogeni uzorak permanentnog magneta, načinjenog od tvrdog

feromagnetnog materijala (vidi sliku 2.). Svaku tačku ovakvog magneta karakteriše određena permanentna magnetizacija , kao i magnetna propustljivost

idealizovanog feromagnetika. Pretpostavljamo da je posmatrani

uzorak u vakuumu ( ). Magnetostatičko polje u svakoj tački ovakvog fizičkog sistema karakterišu vektori i (vidi slike 2(a) i 2(b)).

Magnetostatičko stanje posmatranog sistema sa slike 2. nastalo je nakon isključivanja električne struje kojom je izvršeno trajno namagnetisavanje feromagnetnog uzorka. Na taj način, do odgovarajućih integralnih jednačina za i možemo doći ako u opštim jednačinama koje važe za slabe magnetike stavimo da je gustina struje , a za jednačinu veze između i iskoristimo formulu (16.4). Prema tome, za i permanentnog magneta, shvaćenog kao idealizovani feromagnetik, vidi sledeće formule:

(16.5a)

(16.5b)

130

,(16.5c)

pri čemu kontura C i zatvorena površina S imaju isti smisao kao i u polaznim opštim jednačinama (14.12) i (14.10). Kao i u slučaju svih integralnih jednačina kojima smo se dosad bavili (kako u elektrostatici, tako i u magnetostatici) formule (16.5a) i (16.5b) opisuju isključivo globalne karakteristike polja permanentnog magneta.

Navedene integralne jednačine omogućuju da se uoči važna razlika između strukture vektorskih polja i permanentnog magneta, naznačeno na slici 2(a) i slici 2(b). Naime, na osnovu formule (16.5b) zaključujemo da su linije polja zatvorene orijentisane linije. Drugim rečima, pri prelasku iz permanentno namagnetisanog magnetika u vakuum ove linije ostaju neprekidne i ne menjaju svoju orijentaciju.

Međutim, bitno drugačiju situaciju imamo sa linijama vektorskog polja . Naime, polazeći od formule (16.5a) i primenjujući je na neku zatvorenu konturu C, koja prolazi kroz tačke 1 i 2, i koja se poklapa sa nekom od linija polja , zaključujemo da važi sledeća relacija:

(spolja) (unutra)

(16.6a)

to jest:

(unutra) (spolja)

(16.6b)

Za vektor u integralu na desnoj strani formule (16.6b) imamo pošto putanja

integracije od 1 do 2 (spolja) ide kroz vakuum. Zbog toga je tako da je navedeni integral od 1 do 2 pozitivan, a samim tim važi sledeća relacija:

.

(unutra)

(16.6b)

Poslednja nejednakost biće zadovoljena ako je vektor bar na nekom delu konture C kroz magnet suprotno orijentisan u odnosu na vektor (vidi sliku 2(b)).

Dobijeni globalni zaključak o smeru vektorskog polja unutar permanentnog magneta sugeriše da linije ovog polja mogu imati izvore i ponore, bar u nekim delovima posmatranog uzorka, vidi oblasti označene isprekidanim linijama na slici 2(b). Preciznije rečeno, ukoliko nije realizovana mogućnost da je u svim tačkama permanentnog magneta i okolnorn prostoru, onda vektorsko polje mora imati izvore i ponore.

Na kraju treba naglasiti da oblici linija vektorskih polja i ne moraju biti podudarne u svim svojim delovima. Naime, u vakuumu je , međutim u unutrašnjosti

permanentnog magneta , pri čemu uslov (16.7) može biti zadovoljen i u slučaju kada i ne leže na istom pravcu. Drugim rečeima, oblici linija i u unutrašnjosti magneta su, u opštem slučaju različiti.

131