Univerza v Ljubljani

Fakulteta za matematiko in fiziko

Oddelek za matematiko 2012/2013

Magistrsk študijsk program :i i i

Matematika

Financna matematika

IŠRM

Magistrski študij Matematike (2. stopnja)

v študijskem letu 2012/13

Vpis: Prijava do 31. avgusta, vpis najkasneje do 28. septembra. Pogoji za vpis:

1. končan študijski program Matematika prve stopnje; ali

2. končan visokošolski strokovni študijski program Praktična matematika (kandidat mora

opraviti za 60 ECTS izpitov iz predmetov na univerzitetnem študiju Matematika prve stopnje,

med temi obvezno: Algebra 2, Algebra 3, Splošna topologija, Analiza 3, Analiza 4,

Verjetnostni račun in statistika ter Seminar 2); ali

3. končan študijski program prve stopnje iz tehničnih ali naravoslovnih področij, kjer je že

osvojil osnove matematične analize in linearne algebre npr. finančna matematika, fizika,

računalništvo in informatika (kandidat mora opraviti še študijske obveznosti v obsegu 10 do

60 ECTS, ki se določijo glede na strokovno področje); ali

4. končano enakovredno izobraževanje na drugi univerzi v Sloveniji ali v tujini.

Študijske obveznosti: Študij traja 2 leti in je vreden 120 ECTS.

Opravljeni izpiti v obsegu 60 ECTS (12 predmetov) izmed strokovnih predmetov v skupinah

M1–M5 in R1. Iz vsake skupine je treba izbrati vsaj en predmet, pri tem je treba iz skupine

M1 nujno izbrati Teorijo mere ali Uvod v funkcionalno analizo.

Opravljeni izpiti v obsegu 35 ECTS izmed strokovnih (matematičnih) ali splošnih (na drugih

oddelkih in fakultetah) izbirnih predmetov na 2. stopnji UL; od tega do največ 10 ECTS lahko

zbere z delovno prakso (vsaj 150 delovnih ur, izdelana predstavitev; 30 delovnih ur ustreza 1

ECTS) ali z raziskovalnim delom z objavo.

Magistrsko delo in zaključni magistrski izpit sta vredna 25 ECTS. Zaključni izpit obsega tri

vprašanja: po eno iz matematične analize in iz algebre ter eno iz preostalih osnovnih področij

študija (geometrija, topologija, verjetnostni račun, numerične metode, diskretna in

računalniška matematika). Vprašanja so zajeta iz vnaprej pripravljenega seznama izpitnih

vprašanj, ki obsegajo zgolj osnovno matematično znanje.

Napredovanje in ponavljanje: Za napredovanje iz 1. v 2. letnik mora študent opraviti za vsaj 50

ECTS obveznosti, za ponavljanje 1. letnika pa vsaj 30 ECTS.

Seznam predmetov za študijsko leto 2012/2013

M1 (analiza in mehanika)

2/2 Uvod v funkcionalno analizo Roman Drnovšek 1. sem.

2/2 Teorija mere Bojan Magajna 1. sem.

2/2 Parcialne diferencialne enačbe Miran Černe 2. sem.

2/2 Mehanika kontinuuma Igor Dobovšek 2. sem.

3/1 Teorija operatorjev Roman Drnovšek 2. sem.

2/2 Kompleksna analiza Franc Forstnerič 2. sem.

M2 (algebra in diskretna matematika)

3/1 Asociativna algebra Matej Brešar 1. sem.

2/2 Teorija grafov Sandi Klavžar 1. sem.

2/2 Izbrana poglavja iz diskretne matematike Matjaž Konvalinka 1. sem.

2/2 Uporabna diskretna matematika Riste Škrekovski 1. sem.

3/1 Neasociativna algebra Tomaž Košir 2. sem.

M3 (geometrija in topologija)

3/1 Analiza na mnogoterostih Franc Forstnerič 1. sem.

3/1 Uvod v algebraično geometrijo Tomaž Košir 1. sem.

3/1 Konveksnost Boris Lavrič 1. sem.

2/2 Algebraična topologija 1 Petar Pavešić 2. sem.

M4 (numerična matematika)

2/2 Numerična aproksimacija in interpolacija Jernej Kozak 1. sem.

2/2 Računalniško podprto (geometrijsko) oblikovanje Gašper Jaklič 2. sem.

2/2 Numerična integracija in navadne diferencialne enačbe Jernej Kozak 2. sem.

M5 (verjetnost, statistika in finančna matematika)

2/2 Slučajni procesi 2 Janez Bernik 1. sem.

2/2 Finančna matematika 2 József Gáll 1. sem.

3/1 Bayesova statistika H. J. A. Hoijtink 1. sem.

3/1 Verjetnostni račun 2 Matjaž Omladič 1. sem.

2/2 Optimizacija v financah Dejan Velušček 1. sem.

2/2 Modeliranje s slučajnimi procesi Oliver Dragičević 2. sem.

2/2 Rieszovi prostori v matematični ekonomiji Roman Drnovšek 2. sem.

2/2 Aktuarska matematika Ermanno Pitacco 2. sem.

2/2 Izbrana poglavja iz teorije iger Aljaž Ule 2. sem.

R1 (računalniška matematika)

2/2 Izbrana poglavja iz računalniške matematike Sergio Cabello 1. sem.

2/2 Teorija izračunljivosti Marko Petkovšek 2. sem.

2/2 Izbrana poglavja iz optimizacije Riste Škrekovski 2. sem.

O (splošni predmeti izven M1–M5 in R1)

2/2 Moderna fizika Peter Križan 1. sem.

2/2 Matematični modeli v biologiji Milan Hladnik 2. sem.

Predmeti na interdisciplinarnem doktorskem študijskem programu Statistika

Analiza omrežij Vladimir Batagelj 1. ali 2. sem.

Statistični paketi Andrej Blejec 1. sem.

Analiza zgodovine dogodkov Maja Pohar Perme, Janez Stare 1. ali 2. sem.

Magistrski študij Finančne matematike (2. stopnja)

v študijskem letu 2012/13

Vpis: Prijava do 31. avgusta, vpis najkasneje do 28. septembra. Pogoji za vpis:

1. končan študijski program Finančna matematika prve stopnje; ali

2. končan visokošolski strokovni študijski program Praktična matematika (kandidat mora

opraviti izpite iz predmetov: Denar in finance, Makroekonomija, Analiza 3, Verjetnostni

račun 1, Finančna matematika 1, Mikroekonomija, Finančni trgi in inštitucije, Programiranje

1, Finančni praktikum, Statistika 1, Slučajni procesi 1, Operacijske raziskave, Teorija iger,

Seminar 1 in 2 ter Optimizacijske metode); ali

3. končana prva stopnja študijskega programa Matematika (kandidat mora opraviti izpite iz

predmetov: Makroekonomija, Mikroekonomija, Denar in finance, Finančni trgi in inštitucije;

če še ni opravil predmeta Slučajni procesi 1, potem mora obvezno opraviti predmet Uvod v

slučajne procese); ali

4. končan študijski program prve stopnje iz ekonomskih, tehničnih ali naravoslovnih področij

npr. ekonomija, fizika, računalništvo in informatika (kandidat mora opraviti še študijske

obveznosti v obsegu 10 do 60 ECTS, ki se določijo glede na strokovno področje, med temi

obvezno izpite iz predmetov: Makroekonomija, Mikroekonomija, Denar in finance, Finančni

trgi in inštitucije); ali

5. končano enakovredno izobraţevanje na drugi univerzi v Sloveniji ali v tujini; ali

6. končan stari (nebolonjski) univerzitetni študijski program Matematika (kandidat mora opraviti

izpite iz predmetov: Makroekonomija, Mikroekonomija, Denar in finance, Finančni trgi in

inštitucije, če še ni opravil predmeta Slučajni procesi 1, potem mora obvezno opraviti predmet

Uvod v slučajne procese).

Študijske obveznosti: Študij traja 2 leti in je vreden 120 ECTS.

Opravljeni izpiti v obsegu 35 ECTS (7 predmetov) izmed strokovnih predmetov v skupini

M5, med temi obvezno Verjetnostni račun 2.

Opravljeni izpiti v obsegu 20 ECTS izmed finančnih predmetov na Ekonomski fakulteti.

Opravljeni izpiti v obsegu 20 ECTS (4 predmeti) izmed strokovnih predmetov v skupinah

M1–M4 in R1.

Opravljena delovna praksa (od 150 do 300 delovnih ur, izdelana predstavitev; 30 delovnih ur

ustreza 1 ECTS) ali projektno delo v skupnem obsegu od 5 do 10 ECTS.

Opravljene obveznosti v obsegu 15 ECTS po lastni izbiri na drugih magistrskih ali doktorskih

študijskih programih na UL (npr. na doktorskem študijskem programu Statistika), na poletnih

šolah iz ustreznih tematskih področij in drugje. Študent lahko največ 3 ECTS pridobi tudi z

aktivnim sodelovanjem v okviru podiplomskega Seminarja iz finančne matematike, ki poteka

na OM FMF.

Magistrsko delo je vredno 20 ECTS.

Napredovanje in ponavljanje: Za napredovanje iz 1. v 2. letnik mora študent opraviti za vsaj 50

ECTS obveznosti, za ponavljanje 1. letnika pa vsaj 30 ECTS.

Predmeti iz skupine M5, predvideni v študijskem letu 2012/13:

3/1 Slučajni procesi 2 Janez Bernik 1. sem.

2/2 Finančna matematika 2 József Gáll 1. sem.

3/1 Bayesova statistika H. J. A. Hoijtink 1. sem.

3/1 Verjetnostni račun 2 Matjaţ Omladič 1. sem.

2/2 Optimizacija v financah Dejan Velušček 1. sem.

2/2 Modeliranje s slučajnimi procesi Oliver Dragičević 2. sem.

2/2 Rieszovi prostori v matematični ekonomiji Roman Drnovšek 2. sem.

2/2 Aktuarska matematika Ermanno Pitacco 2. sem.

2/2 Izbrana poglavja iz teorije iger Aljaţ Ule 2. sem.

Predmeti iz skupin M1–M4 in R1, predvideni v študijskem letu 2012/13:

(Poudarjeni so predmeti, ki so priporočeni kot izbirni predmeti za študente programa Finančna matematika,

poševno označeni pa so predmeti, ki so tudi primerni za študente programa Finančna matematika.)

M1 Uvod v funkcionalno analizo Roman Drnovšek 1. sem.

M1 Teorija mere Bojan Magajna 1. sem.

M1 Parcialne diferencialne enačbe Miran Černe 2. sem.

M1 Mehanika kontinuuma Igor Dobovšek 2. sem.

M1 Teorija operatorjev Roman Drnovšek 2. sem.

M1 Kompleksna analiza Franc Forstnerič 2. sem.

M2 Asociativna algebra Matej Brešar 1. sem.

M2 Teorija grafov Sandi Klavţar 1. sem.

M2 Izbrana poglavja iz diskretne matematike Matjaţ Konvalinka 1. sem.

M2 Uporabna diskretna matematika Riste Škrekovski 1. sem.

M2 Neasociativna algebra Tomaţ Košir 2. sem.

M3 Analiza na mnogoterostih Franc Forstnerič 1. sem.

M3 Uvod v algebraično geometrijo Tomaţ Košir 1. sem.

M3 Konveksnost Boris Lavrič 1. sem.

M3 Algebraična topologija 1 Petar Pavešić 2. sem.

M4 Numerična aproksimacija in interpolacija Jernej Kozak 1. sem.

M4 Računalniško podprto (geometrijsko) oblikovanje Gašper Jaklič 2. sem.

M4 Numerična integracija in navadne diferencialne

enačbe Jernej Kozak 2. sem.

R1 Izbrana poglavja iz računalniške matematike Sergio Cabello 1. sem.

R1 Teorija izračunljivosti Marko Petkovšek 2. sem.

R1 Izbrana poglavja iz optimizacije Riste Škrekovski 2. sem.

Predmeti na interdisciplinarnem doktorskem študijskem programu Statistika za leto 2012/13, ki so

priporočeni študentom Finančne matematike, so:

Analiza omreţij Vladimir Batagelj 1. ali 2. sem.

Statistični paketi Andrej Blejec 1. sem.

Analiza zgodovine dogodkov Maja Pohar Perme, Janez Stare 1. ali 2. sem.

Na doktorskem študijskem programu Matematika in fizika se bosta predvidoma predavala še dva

predmeta z vsebinami iz finančne matematike. Ob posebnem dovoljenju lahko katerega od teh

opravljajo tudi študenti 2. stopnje:

Finančna matematika Ernst Eberlein 1. sem.

Optimalno ustavljanje Goran Peskir 2. sem.

Predmeti na magistrskih študijskih programih Ekonomske fakultete za leto 2012/13, ki so

priporočeni študentom Finančne matematike, so:

Predmeti, na katerih smo imeli v preteklih letih dovolj mest za študente FMF:

predmet predvideni izvajalec ECTS semester

Ekonomske politike EU Mojmir Mrak 10 1. sem.

Makroekonomija 3 Sašo Polanec, Igor Masten 10 1. sem.

Mikroekonomija 3 Maks Tajnikar 10 1. sem.

Finančna analiza 2 Aljoša Valentinčič, Neil

Garrod 8 1. sem.

Management finančnih inštitucij Marko Košak 8 1. sem.

Modeli denarne politike Igor Masten 8 1. sem.

Ekonometrija 2 Igor Masten, Sašo Polanec 8 2. sem.

Finančna ekonomija Aleš Ahčan 8 2. sem.

Poslovne finance 2 Dušan Mramor 8 2. sem.

Davki in davčna harmonizacija EU Tine Stanovnik 7 2. sem.

Ekonomika trga dela Janez Malačič 7 2. sem.

Javne finance 2 Tine Stanovnik 7 2. sem.

Mednarodne finance 2 Mojmir Mrak 7 2. sem.

Predmeti, za katere smo prosili EF, da nam odobri prosta mesta za študente FMF:

Teorija finančnega posredništva Aktuarska matematika

Upravljanje naloţb in obveznosti Vedenjske finance

Ekonometrija časovnih vrst in panelnih podatkov Obvladovanje tveganj

Teorija informacij in pogodb v financah Ekonomske integracije in EU

Zavarovalne finance Zdruţitve in prevzemi

Ţivljenjska in pokojninska zavarovanja Modeli vrednotenja naloţb

Splošno zavarovanje Teorija finančnega posredništva

Interdisciplinarni magistrski program Računalništvo in matematika (2. stopnja)

v študijskem letu 2012/13

Vpis: Prijava do 31. avgusta, vpis najkasneje do 28. septembra. Kandidat za vpis mora izpolnjevati

enega od naslednjih pogojev:

1. Ima končan univerzitetni študijski program prve stopnje Interdisciplinarnega študija Računal-

ništvo in matematika, Matematika, Finančna matematika ali Računalništvo in informatika.

2. Ima končan visokošolski strokovni študijski program prve stopnje Računalništvo in informatika

oz. študijski program Računalništvo in informatika za pridobitev visoke strokovne izobrazbe,

sprejet pred 11. 6. 2004. (Kandidat mora dodatno opraviti naslednje predmete s prve stopnje IŠRM:

Analiza 3, Diskretne strukture 2, Linearna algebra in Numerične metode.)

3. Ima končan visokošolski študijski program prve stopnje Praktična matematika oz. študijski pro-

gram Praktična matematika za pridobitev visoke strokovne izobrazbe, sprejet pred 11. 6. 2004.

(Kandidat mora dodatno opraviti naslednje predmete s prve stopnje IŠRM: Osnove umetne inteligence,

Operacijski sistemi, Računalniške komunikacije, Algoritmi in podatkovne strukture.)

4. Ima končan študijski program prve stopnje oz. študijski program za pridobitev visoke strokovne

izobrazbe, sprejet pred 11. 6. 2004, iz tehniških ali naravoslovnih področij, kjer je že osvojil

potrebna osnovna znanja s področja matematike in računalništva. (Pred vpisom mora kandidat

opraviti še študijske obveznosti v obsegu 60 ECTS, ki se določijo glede na strokovno področje, s kate-

rega prihaja kandidat, in so bistvene za nadaljevanje študija.)

5. Ima končano enakovredno izobraževanje na drugi univerzi v Sloveniji ali v tujini.

Študijske obveznosti: Študij traja 2 leti in je vreden 120 ECTS. Vsi predmeti so semestrski. Računal-

niški predmeti praviloma obsegajo 45 ur predavanj in 30 ur vaj, vredni pa so po 6 ECTS. Matematični

predmeti praviloma obsegajo 30 ur predavanj in 30 ur vaj, vredni pa so po 5 ECTS. Študentovo izbiro

predmetov mora potrditi študijska komisija.

Predmeti se delijo na obvezne in izbirne. Obvezna sta računalniška predmeta Algoritmi in Računalni-

ški sistemi. Med izbirnimi predmeti mora študent opraviti 5 izbirnih računalniških predmetov, 4 izbir-

ne matematične predmete iz skupine A, 5 izbirnih matematičnih predmetov iz skupine B, še en

strokovni (tj. matematični ali računalniški) izbirni predmet ter 2 splošna izbirna predmeta.

Študent torej zbere potrebnih 120 ECTS na naslednji način:

12 ECTS z dvema obveznima predmetoma;

80 ECTS z izbirnimi matematičnimi oziroma računalniškimi predmeti;

11 ECTS s splošnimi izbirnimi vsebinami;

17 ECTS z izdelavo magistrskega dela in zagovorom.

Napredovanje: Za napredovanje v drugi letnik mora študent opraviti vse obveznosti prvega letnika.

Izbirni matematični predmeti, skupina A

Logika v računalništvu 2 / 2 5 ECTS

Računalniško podprto (geometrijsko) načrtovanje 2 / 2 5 ECTS

Računska geometrija 2 / 2 5 ECTS

Teorija kodiranja in kriptografija 2 / 2 5 ECTS

Verjetnostne metode v računalništvu 2 / 2 5 ECTS

Izbirni matematični predmeti, skupina B

Analiza in vizualizacija podatkov 2 / 2 5 ECTS

Izbrana poglavja iz računalniške matematike 2 / 2 5 ECTS

Izbrana poglavja iz numerične matematike 2 / 2 5 ECTS

Izbrana poglavja iz teorije iger 2 / 2 5 ECTS

Matematika z računalnikom 2 / 2 5 ECTS

Simbolno računanje 2 / 2 5 ECTS

Teorija grafov 2 / 2 5 ECTS

Izbrana poglavja iz diskretne matematike 2 / 2 5 ECTS

Kombinatorika 2 2 / 2 5 ECTS

Optimizacijske metode 2 2 / 2 5 ECTS

Kriptografija in računalniška varnost 2 / 2 5 ECTS

Obvezna računalniška predmeta

Algoritmi 3 / 2 6 ECTS

Računalniški sistemi 3 / 2 6 ECTS

Izbirni računalniški predmeti

Umetna inteligenca 3 / 2 6 ECTS

Digitalno procesiranje signalov 3 / 2 6 ECTS

Izračunljivost in računska zahtevnost 3 / 2 6 ECTS

Uvod v bioinformatiko 3 / 2 6 ECTS

Sodobne metode razvoja programske opreme 3 / 2 6 ECTS

Strojno učenje 3 / 2 6 ECTS

Zaznavanje v kognitivnih sistemih 3 / 2 6 ECTS

Mehko računanje in naravni algoritmi 3 / 2 6 ECTS

Teorija programskih jezikov 3 / 2 6 ECTS

Interaktivnost in obvladovanje informacij 3 / 2 6 ECTS

Sodobni pristopi in arhitekture pri razvoju 3 / 2 6 ECTS

informacijskih sistemov

Odkrivanje znanj iz podatkov 3 / 2 6 ECTS

Uvod v funkcionalno analizoRoman Drnovsek

Vsebina:Spoznamo osnovne pojme teorije Hilbertovih prostorov in linearnih operatorjev med njimi. Pre-cej pozornosti posvetimo kompaktnim operatorjem, ki imajo podobne lastnosti kot operatorjina koncnorazseznih prostorih. Dobljene rezultate uporabimo pri resevanju Sturm-Liouvilleovegaproblema, ki se pojavlja pri vec fizikalnih problemih, na primer pri opisu gibanja nihajoce strune.Nekoliko pokukamo v teorijo Banachovih prostorov, ki so posplositev Hilbertovih prostorov.

Potrebno/pricakovano predznanje: Osnove linearne algebre in matematicne analize. Zaze-leno je poznati osnovne pojme iz topologije.

Izvedba (2/2): Predavanja in vaje. Na sredini semestra (namesto kolokvija) domaca naloga,ki se uposteva pri oceni. Pisni in ustni izpit.

Teorija mereBojan Magajna

Vsebina:Teorija mere je temelj za poglobljeno obravnavo verjetnostnega racuna in statistike, neizogibnapa je tudi na mnogih drugih podrocjih matematike, na primer v funkcionalni in harmonicnianalizi, operatorskih algebrah, ergodicni teoriji itn.

Mera je posplositev pojmov dolzine, ploscine in prostornine na poljubne mnozice. To omogocadefinicijo integrala funkcij (Lebesgueovega integrala) na splosnih mnozicah, ki niso nujno pod-mnozice v Rn. Ta integral ima ugodnejse lastnosti od Riemannovega integrala, ceprav se zazvezne funkcije na intervalu [a, b] reducira na Riemannov integral. Pri predmetu se bomo sezna-nili s klasicnimi osnovami teorije mere in integrala v taki splosnosti, kot je potrebna za uporabona drugih podrocjih matematike. (Obdelali bomo prva stiri poglavja iz knjige Osnove teorijemere, DMFA, 2011.)

Potrebno/pricakovano predznanje: osnovni pojmi o mnozicah in razumevanje osnov analizeiz prvega letnika.

Izvedba (2/2): Dva kolokvija, ki lahko nadomestita izpit iz vaj, izpit iz vaj ter izpit iz teorije.

Parcialne diferencialne enacbeMiran Cerne

Vsebina:Parcialne diferencialne enacbe se uporabljajo pri formulaciji in modeliranju problemov, v katerihnastopajo funkcije vec spremenljivk. Tako z njimi lahko modeliramo sirjenje zvoka, prevajanjetoplote, srecamo jih pri opisu gibanja tekocin (Navier-Stokesove enacbe), v elektrodinamiki(Maxwellove enacbe), pri geometrijskih problemih (Riccijev tok) in tudi na podrocju financnematematike (Black-Scholesova enacba).

Pri predmetu se bodo slusatelji seznanili s parcialnimi diferencialnimi enacbami v poljubnidimenziji. Predstavljeni bodo posebni prostori funkcij, ki se jih potrebuje pri resevanju parcialnihdiferencialnih enacb, ter distribucije kot posplosene resitve linearnih parcialnih diferencialnihenacb. Dokazani bodo eksistencni izreki za Laplaceovo enacbo (Perronova metoda) ter toplotnoin valovno enacbo v poljubni dimenziji. Predstavljene bodo tudi osnovne regularnostne lastnostiresitev teh enacb.

Potrebno/pricakovano predznanje: Predmet je nadgradnja predmeta Analiza 4 z dodiplom-skega studija. Potrebuje se nekatere osnovne pojme in rezultate, ki se jih spozna pri predmetuUvod v funkcionalno analizo.

Izvedba (2/2): Dva kolokvija, ki lahko nadomestita izpit iz vaj, izpit iz vaj ter izpit iz teorije.

Mehanika kontinuumaIgor Dobovsek

Vsebina:Mehaniko kontinuuma lahko definiramo kot matematicni nacin opisa osnovnih principov obna-sanja teles zvezne strukture, kjer kontinuum razumemo kot veckrat odvedljivo materijalno mno-goterost. Podrocja uporabe osnovnih principov mehanike kontinuuma so precej siroka: od upo-rabe v mehaniki trdnih teles, mehaniki fluidov, biofiziki, tehniki, do uporabe pri razlicnih inter-disciplinarnih raziskovalnih projektih. Vsebinsko jedro predmeta temelji na matematicni obrav-navi osnovnih principov, kjer se prepletajo elementi linearne algebre, analize na mnogoterostihin diferencialne geometrije. Poudarek bo na uporabi osnovnih pojmov iz podrocja diferencialnegeometrije. Poleg tega bodo za potrebe teorije izpeljani dodatni elementi, s pomocjo katerih namatematicni nacin opisemo gibanje, ohranitvene zakone in enacbe snovi na nivoju materijalnemnogoterosti. S tem je pristop k uporabi na razlicnih podrocjih v matematiki, fiziki in tehnikipoenoten in lazji. Po uspesno opravljenem izpitu bo student opremljen z znanjem, ki omogocaspremljanje ustrezne znanstvene literature in ki je potrebno za poglobljen nadaljnji studij nasirsem raziskovalnem podrocju mehanike, s poudarkom na uporabi sodobnih matematicnih sred-stev.

Potrebno/pricakovano predznanje: Potrebno je operativno znanje iz osnov analize in line-arne algebre, zazeleno pa poznavanje osnovnih pojmov iz diferencialne geometrije.

Izvedba (2/2): Poleg predavanj in individualnega studija posameznih poglavij v skladu zinteresi studenta, ce ta izrazi zeljo po taksnem nacinu studija, bo poudarek na resevanju domacihnalog. Resitve nalog skupaj z izbranimi poglavji s predavanj ter individualnega studija bodoosnova za zagovor na teoreticnem delu izpita.

Teorija operatorjevRoman Drnovsek

Vsebina:Obravnavamo nekatere razrede omejenih linearnih operatorjev na Hilbertovih in Banachovihprostorih. Posvetimo se tudi vprasanju obstoja invariantnih podprostorov. V zadnjem delu seukvarjamo s teorijo neomejenih operatorjev, ki je uporabna pri resevanju diferencialnih enacb.

Potrebno/pricakovano predznanje:

• predmet Uvod v funkcionalno analizo.

Izvedba (3/1): Predavanja in vaje. Na sredini semestra (namesto kolokvija) domaca naloga,ki se uposteva pri oceni. Pisni in ustni izpit.

Kompleksna analizaFranc Forstneric

Vsebina:S kompleksno analizo ste se prvic srecali na prvi stopnji studija matematike. V okviru tegapredmeta bomo spoznali nove vsebine. Podrobneje bomo obravnavali princip maksima za ho-lomorfne funkcije in njegove posledice. Ogledali si bomo konvergenco v prostoru holomorfnihfunkcij in dokazali Riemannov upodobitveni izrek, da je vsako enostavno povezano ravninskoobmocje, ki ni vsa ravnina, biholomorfno disku. Studirali bomo injektivne holomorfne funkcijein dokazali izreke Koebeja, Landaua ter Picardov izrek, da je vsaka holomorfna funkcija nakompleksni ravnini, ki izpusti vsaj dve vrednosti, konstantna. Ta fascinanten rezultat je osnovaza uvedbo pojma Kobayashijeve metrike in hiperbolicnosti, ki povezuje kompleksno analizo zdiferencialno geometrijo. Holomorfne funkcije bomo aproksimirali z racionalnimi funkcijami, vposebnih primerih s polinomi. Z uporabo vrst bomo resili Mittag-Lefflerjev problem o obstojumeromorfne funkcije s predpisanimi glavnimi deli, z uporabo neskoncnih produktov pa bomokonstruirali holomorfno funkcije z niclami v dani diskretni mnozici. Ogledali si bomo tudi pojemanaliticnega nadaljevanja in konstrukcijo Riemannove ploskve holomorfne funkcije.

Predmet Kompleksna analiza je dobra priprava na predmet Riemannove ploskve, ki se bopredvidoma izvajal v studijskem letu 2013/2014 in je osnova za studij funkcij vec kompleksnihspremenljivk ter kompleksnih mnogoterosti na doktorskem studiju matematike.

Potrebno/pricakovano predznanje: Zadosca znanje kompleksne analize, ki ste ga pridobilina prvi stopnji.

Izvedba (2/2): Predavanja in vaje. Domaca naloga se uposteva pri oceni pisnega dela izpita.Po opravljenem pisnem izpitu opravljate ustni del izpita.

Asociativna algebraMatej Bresar

Vsebina:Obravnavani bodo predvsem nekomutativni (asociativni) kolobarji in algebre. Uvodni del bonamenjen njihovim primerom in konstrukcijam, jedro predmeta pa klasicni strukturni teoriji.Ob tem se bo student seznanil s pojmi, ki se ne pojavljajo le v algebri, ampak tudi na nekaterihdrugih matematicnih podrocjih (npr. v funkcionalni analizi, teoriji operatorjev in se kje). Pred-met bo tako zelo koristen za studente, ki bi se zeleli usmeriti v teoreticno matematiko. Zanimivpa bo tudi za vse, ki jih algebra veseli in bi zeleli njeno znanje nadgraditi ter osvetliti znanepojme s prvostopenjskega studija v novi luci.

Potrebno/pricakovano predznanje: Potrebno je znanje iz predmetov Algebra 1, 2 in 3.Zahtevnejsim pojmom bo namenjena kratka ponovitev.

Izvedba (3/1): Izpit bo sestavljen iz domacih nalog in ustnega izpita. Naloge bodo po zah-tevnosti razlicne. Vecina bo lazjih ali vsaj takih, da bodo zahtevale le razumevanje snovi spredavanj. Nekatere bodo tezje, kaka naloga pa bo dodana kot izziv za najbolj motiviranestudente. Zato se ne bo pricakovalo, da bi studenti morali resiti prav vse naloge. Pogoj zapristop k ustnemu izpitu bo vsaj pol resenih nalog.

Teorija grafovSandi Klavzar

Vsebina:Predmet bo predstavil teorijo grafov kot sodobno, hitro se razvijajoce podrocje matematike.Poudarek bo na sirini in tudi na globini podrocja. Predmet je namenjen studentom, ki ze poznajoosnove teorije grafov ter si zelijo poglobiti znanje skozi obravnavo osrednjih konceptov teorijegrafov na nov nacin. Pristop, ki ga bomo izbrali, je preko grafovskih produktov in njihovihpodgrafov. Obravnavana bodo naslednja poglavja: Kartezicni produkt grafov; Hammingovigrafi; Hamiltonovi grafi; Ravninskost in prekrizno stevilo; Povezanost; Neodvisnost; Barvanjagrafov; Dominacija v grafih. Predmet je osnova za morebitno kasnejse raziskovalno delo napodrocju diskretne matematike.

Potrebno/pricakovano predznanje: Logika in mnozice, Algebra 1, Diskretna matematika 1.

Izvedba (2/2): Domace naloge, 2 kolokvija namesto izpita iz vaj, izpit iz vaj, ustni izpit.

Osnovna literatura: W. Imrich, S. Klavzar, D. F. Rall: Topics in Graph Theory, Graphs andTheir Cartesian Product, A K Peters, Wellesley, 2008.

Izbrana poglavja iz diskretne matematike(Politopi in razporeditve hiperravnin)

Matjaz Konvalinka

Vsebina:Pri predmetu bomo obravnavali dve temi iz diskretne geometrije: politope in razporeditve hi-perravnin.

Politop P ⊆ Rn je posplositev m-kotnika v ravnini in je lahko podan na dva nacina: bodisikot konveksna ogrinjaca koncne mnozice tock bodisi kot omejen presek koncne mnozice zaprtihpolprostorov. Spoznali bomo najpomembnejse pojme, metode in izreke iz teorije politopov,kot so Farkaseva lema, eliminacija Fouriera in Motzkina, mreza lic, dualni politop, simplicialnipolitopi, f -vektorji in h-vektorji, Ehrhartov kvazipolinom itd.

Razporeditev hiperravnin je koncna mnozica hiperravnin v prostoru Rn. Kljucni algebraicnisredstvi pri obravnavi razporeditev sta delno urejena mnozica presekov in njen karakteristicnipolinom. Spoznali bomo pomembne druzine razporeditev in glavne metode racunanja karakte-risticnega polinoma.

Potrebno/pricakovano predznanje: Za predmet je potrebno osnovno znanje linearne algebrein diskretne matematike. Ostalo potrebno predznanje (rodovne funkcije, Mobiusova funkcijaitd.) bomo ponovili na zacetku semestra.

Izvedba (2/2): Izpit iz teorije, projekt.

Uporabna diskretna matematikaRiste Skrekovski

Vsebina:Obravnavali bomo naslednja podrocja:

I. Teorija grafov v kemiji. Benzenoidi, fulereni in nanocevke kot grafovske strukture. Ke-kuleove strukture oziroma popolna prirejanja v grafu, Clarova teorija aromaticnega seksteta,teorija resonance. Molekularni deskriptorji: Wienerjev indeks, Randicev indeks, Hosoyajev in-deks, zagrebski indeksi in drugi molekularni deskriptorji.

II. Uporaba verjetnostne metode. Osnovna metoda, linearnost matematicnega upanja, me-toda izbirsa, drugi moment in koncentracija slucajnih spremenljivk, slucajni grafi, brezlestvicnaomrezja in drugi modeli velikih omrezij.

III. Spekter grafa. Splosno o spektru grafa. Laplaceova matrika. Energija grafa.

IV. Matematika v bioinformatiki.

Zazeleno (ni pa nujno) predznanje: Diskretna matematika 1 in/ali 2.

Izvedba: 2/2

Obveznosti studenta: seminarska naloga, ustni izpit.

Neasociativna algebraTomaz Kosir

Vsebina:Student se spozna z osnovnimi pojmi in izreki teorije Liejevih algeber. Liejeve algebre so po-membno orodje v razlicnih vejah matematike. V matematicni analizi jih srecamo pri studijumnogoterosti ter v geometriji pri studiju Liejevih grup in drugih geometrijskih objektov. Klasi-fikacija pripadajocih korenskih sistemov pa se pojavlja vsepovsod v matematiki.

Obravnavali bomo naslednje teme:

• Definicija Liejeve algebre. Ideali in homomorfizmi. Resljive in nilpotentne Liejeve alge-bre.

• Liejev in Cartanov izrek. Killingova forma. Povsem razcepne upodobitve. Upodobitvealgebre sl2(F ). Razcep na korenske podprostore.

• Korenski sistemi. Enostavni koreni in Weylova grupa. Klasifikacija (koncnorazseznih)enostavnih Liejevih algeber.

• Univerzalna ovojna algebra. Poincare-Birkhoff-Wittov izrek.• Upodobitve enostavnih Liejevih algeber.

Potrebno/pricakovano predznanje: Pri predmetu so potrebna znanja, pridobljena na prvistopnji pri predmetih Algebra 1, 2 in 3.

Izvedba (3/1): Predmet se izvaja na obicajen nacin s predavanji in vajami. Studenti bodomed letom dobili domace naloge, ki se upostevajo pri koncni oceni. Ob koncu semestra bo pisniizpit in ustni zagovor.

Temeljna literatura:

• J. E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer,New York, Berlin, 1997.

• B. C. Hall: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction,Springer, New York, Berlin, 2003.

• W. A. de Graaf: Lie Algebras: Theory and Algorithms, North Holland, Amsterdam,2000.

Dodatna literatura:

• J. P. Serre: Complex Semisimple Lie Algebras, Springer, Berlin, 2001.• R. W. Carter, G. Segal, I. G. Macdonald: Lectures on Lie Groups and Lie Algebras,

Cambridge Univ. Press, 1995.• J. E. Humphreys: Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge Univ. Press, 1992.

Analiza na mnogoterostihFranc Forstneric

Vsebina:Svet ni raven, ampak je ukrivljena mnogoterost. Gladka mnogoterost dimenzije n je Hausdorffovtopoloski prostor, ki izgleda lokalno v okolici vsake tocke tako kot n-dimenzionalni evklidskiprostor, ti lokalni kosi pa so zlepljeni skupaj z gladkimi difeomorfizmi. Najpreprostejsi primeriso krivulje in ploskve v evklidskih prostorih. Pojem mnogoterosti se je naravno razvil iz delslavnih matematikov in fizikov, kot so bili Gauss, Riemann, Klein, Poincare, Einstein, Weyl,Cartan, Chern in mnogi drugi. Teorija mnogoterosti je osnova za vrsto podrocij sodobne ma-tematike, kot so diferencialna, analiticna in algebraicna geometrija, diferencialna topologija,Liejeve grupe, dinamika, teorija foliacij itd. Mnogoterosti so tudi nepogresljivo orodje v fiziki,mehaniki, astronomiji in drugih podrocjih naravoslovja in tehnike.

Priceli bomo z elementarnimi konstrukcijami in primeri mnogoterosti ter gladkih preslikavmed njimi. Nato bomo analiticne pojme in sredstva, kot so odvajanje, integriranje, diferencialneenacbe, vektorska polja ipd., posplosili z evklidskih prostorov na gladke mnogoterosti. Spoznalibomo vrsto novih pojmov, metod in rezultatov: tangentni in kotangentni svezenj mnogoterosti,tok vektorskega polja, komutator, Frobeniusov izrek o integrabilnosti distribucij, Liejeve grupein algebre, Sardov izrek o kriticnih vrednostih preslikav, pojem transverzalnosti, integracijadiferencialnih form in de Rhamov izrek.

Predmet je dobra priprava na vrsto drugih predmetov iz analize in geometrije na 2. in 3. stopnjistudija matematike.

Potrebno/pricakovano predznanje: Poznavanje osnov matematicne analize in topologije vobsegu predmetov na prvi stopnji programa Matematika na FMF UL.

Izvedba (3/1): Predavanja in vaje. Domaca naloga se uposteva pri oceni pisnega dela izpita.Po opravljenem pisnem izpitu opravljate ustni del izpita.

Uvod v algebraicno geometrijoTomaz Kosir

Vsebina:Student se spozna z osnovnimi pojmi in izreki algebraicne geometrije ter metodami za izracuneosnovnih invariant. Spozna tudi stevilne zglede algebraicnih mnozic, to je raznoterosti, ki jih bosrecal pri drugih predmetih.

Obravnavali bomo naslednje teme:

• Uvod v Groebnerjeve baze.• Afine raznoterosti. Kolobar polinomskih preslikav na raznoterosti. Racionalne presli-

kave.• Hilbertov izrek o niclah. Dimenzija.• Projektivne raznoterosti. Regularne in racionalne preslikave.• Preslikave med raznoterostmi. Odpravljanje singularnosti.• Hilbertov polinom in Hilbertova funkcija.• Klasicne konstrukcije – sekantne raznoterosti, Grassmannove raznoterosti, detereminan-

tne raznoterosti, Segrejeve raznoterosti, produkt raznoterosti.• Tangentni prostor, tangentni stozec.• Delitelji na raznoterostih. Linearni sistemi. Projektivne vlozitve raznoterosti.• Riemann-Rochov izrek.

Znanja, pridobljena pri predmetu, se uporabljajo na vseh podrocjih matematike in uporabematematike, kjer studiramo geometricne objekte, v teoriji stevil, v teoreticni fiziki in tudi drugje.

Znanja pri predmetu se dopolnjujejo z znanji, pridobljenimi pri predmetu Komutativna alge-bra na 2. stopnji studija Matematike. Predmeta sta zasnovana neodvisno in se ju lahko opravljav poljubnem zaporedju ali samo enega od obeh.

Potrebno/pricakovano predznanje: Pri predmetu so potrebna znanja, pridobljena na prvistopnji pri predmetih Algebra 1, 2 in 3. Znanja iz predmetov Afina in projektivna geometrijaali Algebraicne krivulje so koristna, niso pa obvezna.

Izvedba (3/1): Predmet se izvaja na obicajen nacin s predavanji in vajami. Studenti bodomed letom dobili domace naloge, ki se upostevajo pri koncni oceni. Ob koncu semestra bo pisniizpit in ustni zagovor.

Temeljna literatura:

• B. Hassett: Introduction to algebraic geometry, Cambridge Univ. Press, 2007.• I. Shafarevich: Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer,

2. izdaja, Berlin, 1994.

Dodatna literatura:

• M. C. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati, G. Monti Bragadin: Lectures on Curves,Surfaces and Projective Varieties. A Classical View of Algebraic Geometry, EMS Text-books in Mathematics, 2009.

• W. Fulton: Algebraic Curves, Addison-Wesley, Redwood City, 1989.• J. Harris: Algebraic Geometry: A First Course, Springer, New York, 1995.• K. Hulek: Elementary Algebraic Geometry, AMS, Providence, 2003.

KonveksnostBoris Lavric

Vsebina:Teorija konveksnosti je relativno mlado podrocje matematike, v katerem se prepletajo vsebineiz geometrije, analize, linearne algebre, topologije in kombinatorike, povezane s preprostim geo-metrijskim pojmom, ki daje teoriji ime.

Pri predmetu bomo obravnavali osnovne poteze konveksne geometrije in konveksne analize terjih povezali s sirokim obmocjem aplikacij teorije konveksnosti. Poleg lastnosti konveksnih mnozicin konveksnih funkcij v evklidskih in normiranih prostorih si bomo ogledali tudi njihovo uporabopri resevanju problemov z drugih podrocij matematike, predvsem linearne algebre, funkcionalneanalize, geometrije in uporabne matematike.

Teme iz vsebine predmeta: Osnovne geometrijske in kombinatoricne lastnosti konveksnihmnozic. Separacijski izreki. Ekstremne podmnozice konveksnih mnozic. Politopi in poliedri.Izrek Weyla in Minkowskega. Stozci, polare in urejenost. Sistemi linearnih neenacb. Farka-seva lema in linearno programiranje. Metricni prostor in metricne lastnosti konveksnih mnozic.Konveksne funkcije in optimizacija.

Potrebno/pricakovano predznanje: Osnove linearne algebre, analize in splosne topologije.

Izvedba (3/1): Predavanja in vaje. Izpit iz vaj in izpit iz teorije.

Algebraicna topologija 1Petar Pavesic

Vsebina:V algebraicni topologiji uporabljamo algebraicne strukture za studij geometrijskih objektov. Toso lahko ploskve, telesa ali visje razsezne mnogoterosti, potem se vozli, prostori resitev diferen-cialnih enacb pa tudi zapleteni vzorci, digitalizirani posnetki in podobno. Algebraicne strukturepa so predvsem stevilske karakteristike (stopnja, ovojno stevilo, Eulerjeva karakteristika) tergrupe.

Pri predmetu se bomo najprej naucili, kako diskretiziramo geometrijske objekte s pomocjosimplicialnih in CW-kompleksov, potem pa bomo geometrijo teh objektov algebraicno opisali spomocjo fundamentalne grupe in homoloskih grup.

Tradicionalno je algebraicna topologija nekaksna sinteza in vrhunec dodiplomskega studija terpomemben predpogoj za nadaljevanje studija na tretji stopnji in za raziskovalno delo. Nekaterideli pa so tudi mocno povezani z uporabo: na primer simplicialni kompleksi so standardnoorodje za digitaliziranje slik in za numericno modeliranje, v zadnjem casu pa se homoloskegrupe rutinsko uporabljajo za samodejno racunalnisko analizo zapletenih mnozic podatkov, kotso satelitske slike, posnetki, dobljeni z magnetno resonanco, ter mnoge druge digitaliziranepodobe, tako staticne kot tudi dinamicne.

Potrebno/pricakovano predznanje: Pricakovano predznanje obsega predmete Splosna to-pologija, Uvod v geometrijsko topologijo ter Algebra 2.

Predmet se navezuje na vse predmete, ki imajo mocno geometrijsko komponento (npr. Alge-braicne krivulje, Algebraicna geometrija, Diferencialna geometrija, Analiza na mnogoterostih,Riemannove ploskve, Liejeve grupe) in je poznavanje kateregakoli od teh zelo dobrodoslo sstalisca motivacije, ni pa predpopogoj za poslusanje predmeta.

Izvedba (2/2): Predmet se bo izvajal s predavanji ter s kombinacijo seminarjev in vaj. Obve-znosti studenta, na podlagi katerih bo oblikovana ocena, so samostojno resevanje domacih nalogter krajsa seminarska naloga (ce bo to stevilo vpisanih dopuscalo).

Numericna aproksimacija in interpolacijaJernej Kozak

Vsebina:Predmet obravnava matematicna orodja, ki so nepogresljiva v aproksimativnem resevanju pra-kticnih problemov. Spoznamo razrede funkcij, ki so primerni za iskanje aproksimacij, npr.polinome, odsekoma polinomske funkcije (zlepke), trigonometrijske polinome, racionalne funk-cije ipd., ter kriterije, ki povedo, kako aproksimativne funkcije poiscemo. Tu izbiramo medoptimalnimi shemami, kot je npr. enakomerna aproksimacija ali aproksimacija po metodi naj-manjsih kvadratov, in preprostejsimi, linearnimi pristopi, kot je interpolacija. Postavimo merila,ki povedo kaj o kvaliteti aproksimacij, in poiscemo konkretne postopke konstrukcije. Predmetje osnova vsem drugim predmetom s podrocja numericne analize.

Potrebno/pricakovano predznanje: Zazelen je opravljen izbirni predmet Numericna line-arna algebra, priporocamo tudi izbiro predmeta Matematicno modeliranje. Predmet je osnovavsem drugim predmetom s podrocja numericne analize.

Izvedba (2/2): Dve uri predavanj in dve uri vaj tedensko. Nacrtovan izpitni rezim: domacinalogi, pisni in ustni izpit.

Racunalnisko podprto (geometrijsko) oblikovanje

(ISRM: Racunalnisko podprto (geometrijsko) oblikovanje)Gasper Jaklic

Vsebina:Predmet bo obravnaval osnove modernega podrocja na meji med matematiko in racunalnistvom,CAGD (computer aided geometric design) – racunalnisko podprto geometrijsko oblikovanje. Greza razvoj in studij matematicnih metod za predstavitev in delo s krivuljami, ploskvami in telesi.To je osnova za racunalnisko podprto oblikovanje (CAD), proizvodnjo (CAM) in delo s parame-tricnimi krivuljami, ploskvami in telesi v raziskovanju in v industriji (nacrtovanje oblike izdelkov,vodenje robotov, strojna proizvodnja izdelkov, modeliranje in simulacije). Obravnavane bodonaslednje teme: Bezierove krivulje in njihove lastnosti ter algoritmi za delo z njimi, Bezierovizlepki, racionalne Bezierove krivulje, ploskve iz tenzorskega produkta in trikotne Bezierove krpe.

Potrebno/pricakovano predznanje: Zazelen je predhodno opravljen izbirni predmet Nu-mericna aproksimacija in interpolacija.

Izvedba (2/2): Predmet se bo izvajal z 2 urama predavanj in 2 urama vaj v racunalniskiucilnici. Nacrtovan izpitni rezim: projekt, zagovor projekta in ustni izpit.

Numericna integracija in navadne diferencialne enacbeJernej Kozak

Vsebina:Predmet obravnava snov, ki v uporabno smer nadgrajuje poznavanje matematike na podrocjuintegracije in resevanja navadnih diferencialnih enacb. Slusatelja vpelje v numericne metode,njihovo analizo in implementacijo ter spozna s prakticnimi problemi, kjer se posamezni pristopiposebej odlikujejo. S tem nudi dobro podporo resevanju raznovrstnih prakticnih problemov,tako na tehnicnem, financnem, druzboslovnem in drugih podrocjih.

Obravnavane bodo naslednje teme: numericno odvajanje, Newton-Cotesova pravila in njihovanadgradnja, Gaussova pravila, singularni integrali, integracija v vec spremenljivkah, metode tipaMonte Carlo. Resevanje navadnih diferencialnih enacb, zacetni problemi, enoclenske metode invecclenske metode, toge diferencialne enacbe in hamiltonski sistemi. Robni problemi, diferencnametoda, metoda koncnih elementov, kolokacija. Problemi lastnih vrednosti.

Potrebno/pricakovano predznanje: Potreben je predhodno opravljen izbirni predmet Nu-mericna aproksimacija in interpolacija.

Izvedba (2/2): Predmet ima dve uri predavanj in dve uri vaj tedensko. Nacrtovan izpitnirezim: domaci nalogi, pisni in ustni izpit.

Slucajni procesi 2Janez Bernik

Vsebina:Predmet Slucajni procesi 2 je uvod v teorijo slucajnih procesov v zveznem casu z zveznimitrajektorijami. Taki procesi so osnova vseh modelov v financni matematiki, ki poskusajo popisatigibanja cen vrednostnih papirjev, imajo pa tudi zelo siroko uporabo v tehniki, inzenirstvu inbiologiji.

Vsebina predmeta je sledeca:

• Brownovo gibanje: definicija, konstrukcija, osnovne lastnosti.• Lastnost Markova in krepka lastnost Markova, princip zrcaljenja.• Martingali, casi ustavljanja in izreki o optimalnem ustavljanju.• Stohasticni (Itov) integral glede na Brownovo gibanje.• Stohasticni integral glede na zvezne semimartingale.• Itova formula.

Potrebno/pricakovano predznanje: Predmet je osnoven za nadaljnji studij financne mate-matike, je pa tudi uvod v sodobno teorijo verjetnosti. Pricakuje se dobro predznanje iz teorijeverjetnosti in matematicne analize.

Izvedba (2/2): Ocena je dolocena na podlagi pisnega izpita.

Financna matematika 2(Financial Mathematics 2 – Interest Rate Theory)

Joszef Gall, University of Debrecen, Madzarska

Language of the course: English

The aim of the course:The aim of the course is to discuss modern interest rate models, bond market structures andinterest rate related financial assets, with special focus on forward interest rate models. Ouraim is to discuss fundamental results of financial mathematics on this area and also to studysome specific statistical and financial questions in such models.

Content:

Basic notions, interest rates, yield curves, bond structures, LIBOR rates.

Some elementary models, short rate models, no-arbitrage in short rate models, Vasicek, Cox-Ingersoll-Ross, Hull-White models.

Forward interest rate models in discrete and continuous time settings. Classical cases, Heath-Jarrow-Morton (HJM) framework and forward rate models driven by random fields.

No arbitrage criteria and drift conditions, change of numeraire, martingale methods.

Some special topics: LIBOR models, defaultable bonds, pricing problems of certain interest ratederivatives.

Statistical questions in interest rate models, calibration methods, parameter estimation.

For the discussion of some fundamental models and theorems we shall mainly use some handoutsand classical monographs such as [1], [2], [3], [4], [5]. On the other hand, we shall also discusssome particular problems in special models for which we shall use some papers in the literaturegiven during the course.

Literature:

[1] Bjork, T. (1998), Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford University Press, OxfordNew York.

[2] Brigo, D. and Mercurio, F. (2006), Interest Rate Models – Theory and Practice: WithSmile, Inflation and Credit, Springer, Berlin Heidelberg New York.

[3] Jarrow, R. A. (1996), Modeling Fixed Income Securities and Interest Rate Options, TheMcGraw-Hill Companies, Inc., New York.

[4] Musiela, M. and Rutkowski, M. (1997), Martingale Methods in Financial Modeling,Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg.

[5] Pelsser, A. (2000), Efficient Methods for Valuing Interest Rate Derivatives, Springer-Verlag, London.

Prerequisites: It is required that you passed a course (or courses) in probability theory, sta-tistics and random processes, and recommended that you passed an introductory course infinancial mathematics.

Bayesova statistika(Bayesian Statistics – Theory and Practice, using Winbugs)

Herbert J. A. Hoijtink, Utrecht University, Nizozemska

Language of the course: English

Content:There will be 10 lectures:Day 1: Introduction to Bayesian StatisticsDay 2: Lab-Meeting Introduction to Bayesian Statistics Using WinbugsDay 3: Markov Chain Monte Carlo MethodsDay 4: MCMC Using WinbugsDay 5: Posterior Predictive InferenceDay 6: Posterior Predictive Inference Using WinbugsDay 7: Bayesian Model Selection Using the DICDay 8: Bayesian Model Selection Using the BIC and Bayes factorDay 9: Bayesian Evaluation of Informative HypothesesDay 10: Bayesian Model Selection Using Winbugs

Literature:Ioannis Ntzoufras. Bayesian Modeling with WinBugs. Wiley, 2009.In addition, the instructor will prepare some handouts in advance of the lectures.

Prerequisites: It is required that you passed a course in probability theory and statistics.

Course details: These lectures will be given in the first two weeks of October 2012. Duringthe Winbugs meetings the students will have to work on a report that will be finally used tograde their performance in the course.

Verjetnostni racun 2Matjaz Omladic

Vsebina:Pri predmetu bomo obravnavali nekatere posebne verjetnostne vsebine, pri katerih ni potrebnogloboko teoreticno predznanje, so pa pomembne za uporabo. Poudarek bo predvsem na ergodicniteoriji.

Prva tretjina predmeta bo posvecena markovskim verigam v diskretnem casu. Gre za zapo-redja diskretnih slucajnih spremenljivk, ki so med seboj odvisna na poseben, “markovski” nacin.Vrednostim, ki jih te spremenljivke lahko zavzamejo, pravimo stanja verige. Pri dokazovanjuergodicnih lastnosti se bomo spomnili nekaterih znanj o matrikah (in jih nadgradili), pri studijuodnosov med stanji pa bomo uporabili tudi nekaj teorije grafov.

V drugi tretjini predmeta bomo studirali markovske verige z zveznim casom. Najpomembnejsiprimer takih verig so rojstno smrtni procesi. Pri studiju lastnosti bodo pomembna znanja iz pr-vega dela. Do teh procesov vodi vec poti. Ker vselej zadoscajo t. i. naprejsnjemu in nazajsnjemusistemu diferencialnih enacb Kolmogorova, jih lahko dobimo kot resitve teh enacb. Vsa znanjaiz teorije diferencialnih enacb, ki jih bomo pri tem potrebovali, bomo sproti obdelali.

V zadnji tretjini si bomo ogledali uporabo teh teorij. Najprej se bomo posvetili cakalnimsistemom, ki sodijo v sirse podrocje operacijskih raziskav in pomenijo se zmerom eno najpo-membnejsih uporab teorije (predvsem) rojstno smrtnih procesov. Nato si bomo ogledali neka-tere pomembne algoritme t. i. metode MCMV (Monte Carlo markovskih verig), to so predvsemGibbsov algoritem in algoritmi tipa Metropolis-Hastings. Gre za algoritme, ki racunajo vre-dnosti financnih instrumentov, pri dokazovanju konvergence teh algoritmov pa bomo bistvenouporabili ergodicne lastnosti. Kot statisticno podlago uporabljajo ti algoritmi Bayesov pristop(in ne frekventisticnega). Ko so se v devetdesetih letih prejsnjega stoletja statistiki zaceli zave-dati pomena teh in nekaterih drugih algoritmov, je to povzrocilo bistvene spremembe v odnosihmed razlicnimi oblikami statisticnega premisljevanja.

Potrebno/pricakovano predznanje: Verjetnostni racun 1 in Statistika 1 oziroma Verjetnostin statistika

Izvedba (3/1): Domace naloge, pisni izpit in zagovor.

Optimizacija v financahDejan Veluscek

Vsebina:Student spozna nekatere osnovne vrste optimizacijskih problemov, se posebej tiste, s katerimilahko modeliramo probleme s podrocja financ. Seznani se z osnovnimi matematicnimi prijemi zanjihovo resevanje, hkrati pa za prakticno resevanje uporablja tudi primerne programske pakete.

Linearno programiranje: Teorija in algoritmi, metoda simpleksov, metode notranjih tock. Li-nearni modeli v financah: osnovni izrek o vrednotenju, vrednotenje izvedenih financnih instru-mentov v odsotnosti arbitraze, uporaba linearnega programiranja pri klasifikaciji podatkov ipd.

Kvadraticno programiranje: Pogoj optimalnosti, dualnost, metode notranjih tock, programskaorodja za prakticno resevanje. Financni modeli: razlicni nacini izbire in upravljanja portfelja,maksimiziranje Sharpeovega razmerja, mean-variance optimizacija idr.

Stohasticno programiranje: Uporaba stohasticnih modelov, modeliranje ob upostevanju negoto-vosti, metode za resevanje. Primeri financnih modelov: izbor in upravljanje s portfelji, optimi-zacija z izogibanjem tveganja idr.

Dinamicno programiranje: Pregled teorije in osnovnih metod za resevanje, dinamicno progra-miranje v diskretnem in zveznem casu, zvezni prostor stanj, optimalno upravljanje. Primerifinancnih modelov: dinamicna analiza portfelja, problem optimalnega ustavljanja idr.

Optimizacija na stozcih: Pregled teorije in prakticnih algoritmov. Financni modeli: arbitraza zminimalnim tveganjem, aproksimacija kovariancnih matrik idr.

Potrebno/pricakovano predznanje: Predmet nadgrajuje in dopolnjuje snov predmeta Op-timizacijske metode, po vsebini pa se dotika se predmetov Operacijske raziskave, Financnamatematika in Numericne metode.

Izvedba (2/2): Predmet se izvaja na obicajen nacin s predavanji in vajami. Studenti bodomed letom dobili domace naloge, ki se upostevajo pri koncni oceni. Ob koncu semestra bo pisniizpit in ustni zagovor.

Literatura: Zapiski, knjige in clanki priporoceni s strani predavatelja.

Modeliranje s slucajnimi procesiOliver Dragicevic

Vsebina:Prvi del predmeta vsebuje teoreticne osnove za nadaljnji studij Levyjevih procesov, drugi delpa zajema osnovne vezi med slucajnimi procesi ter parcialnimi diferencialnimi enacbami oz.potencialno teorijo. Kratek opis snovi:

(1) Levyjevi procesi: lastnost cadlag, Levy-Hincinov izrek, Levyjeve mere, skoki in skocniprocesi.

(2) Stohasticne diferencialne enacbe: eksistencni izrek, Laplaceova enacba, difuzijska enacba,Feynman-Kacova formula.

Potrebno/pricakovano predznanje: Slucajni procesi 2, Teorija mere.

Izvedba (2/2): Domace naloge ter morebiti se zagovor.

Rieszovi prostori v matematicni ekonomijiRoman Drnovsek

Vsebina:Rieszov prostor je delno urejen vektorski prostor V , v katerem za vsak par vektorjev x, y ∈ Vobstajata supremum sup{x, y} in infimum inf{x, y}. Torej imamo vektorski prostor, opremljenz relacijo delne urejenosti ≤ (ki je smiselno usklajena z operacijama vektorskega prostora), vkaterem ima vsak par vektorjev najmanjso zgornjo in najvecjo spodnjo mejo. Primer Rieszovegaprostora je koncnorazsezni prostor Rn, ki je delno urejen po komponentah.

Pri predmetu spoznamo osnove teorije Rieszovih prostorov in njeno uporabo v matematicniekonomiji. Pri tem se seznanimo z nekaterimi modeli za izmenjalne ekonomije, kot je Arrow-Debreujev model za izmenjalne ekonomije s koncno mnogo dobrinami in porabniki. V temmodelu je mnozica dobrin predstavljena z Rieszovim prostorom Rn, prostor linearnih funkcio-nalov na njem, ki je tudi Rieszov, pa predstavlja prostor cen dobrin.

Potrebno/pricakovano predznanje: Osnove linearne algebre in matematicne analize.

Izvedba (2/2): Predavanja in vaje. Na sredini semestra (namesto kolokvija) domaca naloga,ki se uposteva pri oceni. Pisni in ustni izpit.

Aktuarska matematika(Actuarial Mathematics)

Ermanno Pitacco, Universita degli studi di Trieste, Italija

Language of the course: English

Content:

1. Multiple state models for life and other contingencies: the time-continuous approach. Statesand transitions. Benefits and premiums. Examples. The time-continuous Markov model. Exam-ples. The semi-Markov model. Splitting of states. Finding transition probabilities. Increment-decrement tables. Actuarial values of benefits. Premiums and reserves. Examples. Distributionsof random present values.

2. Multiple state models for life and other contingencies: the time-discrete approach. Thetime-discrete Markov model. Examples. Splitting of states. Actuarial values, premiums andreserves. Emerging costs; profit testing.

3. Indexing benefits in insurance packages. Linking benefits and premiums to some index. Aformal statement. Practical aspects of benefit indexing in insurance packages. Some examples.Some numerical examples.

4. Dynamics in transition intensities. Projecting mortality and other intensities. The longevityrisk.

Literature:

Haberman S., Pitacco E. (1999). Actuarial models for disability insurance, CRC Press.

Pitacco E. (2004). ”Disability Insurance, Numerical Methods”, in: J. L. Teugels, B. Sundt(Eds.), Encyclopedia of Actuarial Science, J. Wiley & Sons, vol. 1: 541–548.

Pitacco E., Denuit M., Haberman S., Olivieri A. (2009). Modelling longevity dynamics forpensions and annuity business, Oxford University Press.

Prerequisites: It is required that you passed a course in probability theory and statistics.

Izbrana poglavja iz teorije igerAljaz Ule

Vsebina:Teorija iger je skupek matematicnih pristopov k modeliranju interaktivnih situacij, ki se po-javljajo v druzbenih okoljih. Uporablja se predvsem za analizo mikroekonomskih problemov.Pri predmetu bomo najprej kriticno poglobili osnovne pojme teorije iger. Spoznali bomo nekajzahtevnejsih vsebin in jih uporabili za analizo trzne konkurence, licitacij in pogajanj. Spoznalibomo omejitve klasicne teorije iger in razvili moderno vedenjsko ter evolucijsko teorijo iger. Pritem se bomo naslonili na izsledke laboratorijskih poskusov.

Potrebno/pricakovano predznanje:

• Teorija verjetnosti• Predznanje osnov teorije iger je v pomoc, ni pa obvezno

Izvedba (2/2): Predmet se bo izvajal skozi locena predavanja in vaje. Pisni izpit iz vaj inustni izpit iz teorije bo sestavljen v eno oceno.

Izbrana poglavja iz racunalniske matematike

(ISRM: Racunska geometrija)Sergio Cabello

Vsebina:Predmet obravnava osnovne algoritme racunske geometrije. Racunska geometrija se ukvarja zracunskimi problemi, kjer imajo vhodni podatki geometrijski pomen. Podrobno bomo obravna-vali naslednje probleme:

• Presecisca daljic. Algoritmi pometanja.• Veckotniki in triangulacije veckotnikov.• Konveksne mnozice. Algoritmi za iskanje konveksne ovojnice tock v ravnini.• DCEL. Problem dolocanja polozaja.• Voronojevi diagrami. Fortuneov algoritem.• Delaunayeva triangulacija.• Podatkovne strukture za tocke.

Potrebno/pricakovano predznanje: Osnovno znanje o algoritmih in podatkovnih struktu-rah.

Izvedba (2/2):

• Obveznosti studenta: 4 domace naloge z zagovorom ali pisni izpit (50 %), ustni izpit(50 %).

• Ob soglasju studentov bodo predavanja v angleskem jeziku.

Teorija izracunljivostiMarko Petkovsek

Vsebina:

(1) Formalni jeziki in avtomati.(2) Osnovne lastnosti izracunljivih funkcij.(3) Neodlocljivi problemi in neizracunljive funkcije.(4) Rekurzivne in rekurzivno prestevne mnozice.(5) Aritmeticna hierarhija.(6) Stopnje neresljivosti.(7) Povezava med matematicno logiko in teorijo izracunljivosti.

Potrebno/pricakovano predznanje:

• Logika in mnozice

Izvedba (2/2): Obveznosti studenta: domace naloge, ustni izpit.

Izbrana poglavja iz optimizacijeRiste Skrekovski

Vsebina:Obravnavali bomo naslednja podrocja:

I. Verjetnostni algoritmi. Racunanje mediane, testiranje prastevilskosti, maksimalna izpoln-ljivost, 3-izbirljivost itd. Markovske verige in slucajni sprehodi. Entropija.

II. Preiskovalne tehnike. Lokalno preiskovanje, evolucijski algoritmi s poudarkom na genet-skih algoritmih, simulirano ohlajanje, optimizacija s kolonijami mravelj, Grasp itd.

III. Umetna inteligenca: Odlocitvena drevesa, strojno ucenje, rudarjenje podatkov, SVMitd.

IV. Algoritmi na omrezjih in v bioinformatiki.

Zazeleno (ni pa nujno) predznanje: Diskretna matematika 1 ali Diskretna matematika 2

Izvedba: 2/2

Obveznosti studenta: seminarska naloga, ustni izpit.

Moderna fizikaPeter Krizan

Vsebina:Moderna fizika je ustaljeno ime za fizikalne pojave, ki niso zajeti v klasicni fiziki, predvsemspecialno teorijo relativnosti, kvantno fiziko, jedrsko fiziko in fiziko osnovnih delcev. Na spo-znanjih moderne fizike temelji velika vecina priprav, ki jih srecujemo vsak dan, od laserja vpredvajalniku zgoscenk, preko mobilnih telefonov do racunalnikov in naprav za medicinsko sli-kanje. Poskusi v fiziki osnovnih delcev so nas pripeljali do razumevanja narave na najmanjsihin najvecjih razdaljah.

Pri predmetu se bodo slusatelji seznanili z osnovnimi zakonitostmi na podrocju klasicne elek-trodinamike (elektrostatika, multipoli, magnetno polje, Maxwellove enacbe), posebne teorijerelativnosti (transformacije prostora in casa, cetverci, Maxwellove enacbe v kovariantni obliki),kvantne fizike (valovne lastnosti delcev, Schroedingerjeva enacba, harmonski oscilator, vodikovatom), fizike osnovnih delcev (Standardni model osnovnih delcev, leptoni in kvarki, osnoveumeritvenih teorij elektromagnetne, sibke in mocne interakcije, temna snov) ter s povezavo medrazvojem vesolja in fiziko osnovnih delcev.

Predmet je nadgradnja predmeta Fizika z dodiplomskega studija.

Potrebno/pricakovano predznanje: Opravljen izpit iz predmeta Fizika na prvi stopnji.

Izvedba (2/2): Izpit iz vaj, ki ga lahko nadomesti domaca naloga, ter izpit iz teorije.

Matematicni modeli v biologijiMilan Hladnik

Vsebina:Namen izbirnega predmeta je seznaniti studente z raznovrstno uporabo matematike v biologiji.Prinasa pregled glavnih diskretnih in zveznih matematicnih modelov v populacijski dinamiki inekologiji (kot so npr. modeli zajedavstva in simbioze, modeli tekmovanja, epidemioloski modeli),v fiziologiji (npr. modeli morfogeneze, razni nevroloski modeli) in v genetiki (analiza DNK,evolucijski modeli dednosti). Ob tem student spozna tudi splosne osnove modeliranja procesovv naravoslovju.

Matematika je danes nepogresljivi sestavni del vsakega resnega raziskovanja v strukturni (te-oreticni) biologiji. Student matematike dobi med studijem dovolj osnovnega matematicnegaznanja za morebitno kasnejso uporabo v biologiji, ce ga to zanima in ce se je pripravljen predho-dno nauciti osnovnega bioloskega jezika, da bo lahko sodeloval z biologi, biokemiki in zdravniki.Predmet ambicioznemu studentu nekoliko razsiri obzorje in mu da obcutek uporabnosti mate-matike v modernih bioznanostih.

Potrebno/pricakovano predznanje:Za uspesno spremljanje predmeta je potrebno predznanje linearne algebre, splosne analize, teorije(sistemov) diferencialnih enacb ter nekaj osnovne kombinatorike in teorije verjetnosti. Zazelenoje poznavanje teorije dinamicnih sistemov, a to ni pogoj. Dolocene potrebne rezultate iz teo-rije dinamicnih sistemov (npr. vprasanje stabilnosti, obstoj limitnih ciklov ipd.) bomo omeniliposebej, na zalost pa ne bo dovolj casa za podrobnejse teoreticne izpeljave. V tem smislu jeto tipicni predmet iz uporabne matematike (mnogo primerov, malo dokazov). Zelo koristnapa je spretnost pri delu z racunalnikom (numericno in simbolno racunanje s programi Maple,Mathematica ipd.)

Izvedba (2/2):Predmet ima 30 ur predavanj in 30 uri vaj (v enem semestru). Na predavanjih bi si ogledaliglavne znacilnosti obravnavanih modelov, na vajah pa konkretne krajse zglede. Domaca nalogabo zasnovana individualno in projektno, zahtevala bo izpeljavo in analizo matematicnega modelaza doloceno konkretno situacijo. Od stevila studentov bo odvisna tudi predstavitev projekta vokviru vaj. Pisni izpit se opravi v obliki dveh kolokvijev ali na posebnem izpitnem roku pozakljucku predavanj. Izdelani projekt in opravljeni pisni izpit je pogoj za ustni izpit (zakljucnipogovor in vpis ocene).

Analiza omrezijVladimir Batagelj

Vsebina:

• Uvod, osnovni pojmi.• Viri in zbiranje omreznih podatkov.• Kakovost merjenja omrezij.• Vrste in predstavitve omrezij, programi za analizo omrezij.• Zgradba omrezij: povezanosti, razbitja, izrezi, komponente, sredice, skrcitve, vzorci,

ogrodja.• Mere srediscnosti in pomembnosti, otoki.• Markovske verige kot omrezja.• Aciklicna omrezja.• Dvovrstna omrezja in mnozenje omrezij.• Razvrscanje omrezij in blocno modeliranje.• Statisticna analiza in modeliranje omrezij – brezlestvicna omrezja.• Uporabe: rodovniki, internet, analiza besedil itd.

Potrebno/pricakovano predznanje:

Izvedba (3/1): Domace naloge 50 %, zakljucni projekt 50 %.

Statisticni paketiAndrej Blejec

Vsebina:

• Uvod v R.• Podatkovne strukture in objekti.• Uporaba R paketov.• Uporaba in priprava funkcij, kontrolne strukture.• Priprava statisticnih graficnih prikazov.• Funkcije za izvedbo statisticnih testov in modelov.• Sestavljanje R paketov.• Osnove in uporaba sistema za pisanje porocil LaTeX.• Sweave – povezava R in LaTeX za pripravo ponovljivih racunalnisko podprtih statisticnih

porocil in prezentacij.

Potrebno/pricakovano predznanje: Pri predmetu so potrebna osnovna znanja uporaberacunalnika in osnov statistike.

Izvedba (2/2): Dve seminarski nalogi in sprotno sodelovanje na vajah.

Analiza zgodovine dogodkovMaja Pohar Perme, Janez Stare

Vsebina:

• Krnjenje.• Krivulja prezivetja, trenutno tveganje.• Eksponentna in Weibullova porazdelitev.• Neparametricno ocenjevanje krivulje prezivetja.• Statisticno primerjanje krivulj prezivetja.• Parametricni regresijski modeli v analizi prezivetja.• Model sorazmernih tveganj: Definicija modela, predpostavke modela, interpretacija pa-

rametrov. Ocenjevanje parametrov, metoda parcialnega verjetja. Stratifikacija. Casovnoodvisne spremenljivke. Ocenjevanje verjetnosti prezivetja. Testna statistika. Ostanki.Ocenjevanje primernosti in veljavnosti modela. Vrednotenje napovedne vrednosti mo-dela.

• Sotveganja.• Vecstanjski modeli.

Potrebno/pricakovano predznanje: Pri predmetu so potrebna znanja osnov statistike.

Izvedba (3/1): Pisni izpit 60 %, domace naloge in seminarska naloga 40 %.