Magas rend¶ aszimmetriák a Buda-Lund modellben...

Magas rend¶ aszimmetriák a Buda-Lundmodellben

Lökös Sándor

Fizikus MSc.

Témavezet®: Csanád Máté

ELTE, Atom�zikai Tanszék

ELTE TTK

Budapest, 2014.

TARTALOMJEGYZÉK 1

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 2

2. Nehézion-�zika eredményei 5

3. Hidrodinamika 73.1. Klasszikus hidrodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2. Relativisztikus hidrodinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4. Néhány megoldás 124.1. Landau�Khalatnikov-megoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2. Hwa�Bjorken-megoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3. Csörg®�Csernai�Hama�Kodama-megoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4. Csanád�Nagy�Lökös-megoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.5. Egy nem-relativisztikus megoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5. A Buda-Lund modell és a paraméterek energiafüggése 195.1. A modell leírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2. Mérhet® mennyiségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3. Illesztés adatokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4. Az eredmények értelmezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6. A Buda-Lund modell magasabb aszimmetriákkal 326.1. A magasabb rend¶ aszimmetriák koe�cienseinek bevezetése . . . . . . . . . . . 326.2. Mérhet® mennyiségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.3. Nyeregponti közelítés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.4. Az invariáns spektrum és magasabb rend¶ aszimmetriák . . . . . . . . . . . . . 396.5. Az elliptikus folyás és magasabb rend¶ aszimmetriák . . . . . . . . . . . . . . . 396.6. A paraméterfüggés vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.7. Aszimmetria paraméterek kombinációjának hatása . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7. Összefoglaló 50

8. Köszönetnyilvánítás 50

9. Függelék 519.1. A hidrodinamika alapegyenleteinek térelméleti levezetése . . . . . . . . . . . . . 519.2. További aszimmetria koe�ciensek bevezetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.3. A Bessel-függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1 BEVEZETÉS 2

Kivonat

Jelen dolgozatban röviden bemutatom a nehézion-�zika egy hatékony fenomenologikusmódszerét, a hidrodinamikai modellek alkalmazását az ütközések nyomán kialakuló, tágulóés h¶l® anyag leírására. Egy történeti áttekintés után a hidrodinamika alapegyenleteitmutatom be, melyekre néhány megoldást is tárgyalok az azt követ® fejezetben, végig szemel®tt tartva az alkalmazást. Ezután a Buda-Lund modellt mutatom be és használom felarra, hogy a mérésekb®l nyerhet® néhány paraméter értékének ütközési energia-függésétmegállapítsam.Ezt követ®en általánosítom a modellt magasabb aszimmetria koe�ciensekre, melyek azeredetileg feltételezett ellipszoidális szimmetriát elrontják (ld. 10., 11., 12. ábrák). Az ál-talánosított modell �gyelembe vesz eggyel magasabb aszimmetriát leíró tagot, melynekbevezetése természetes, s így utat enged további koe�ciensek bevezetésének is.

1. Bevezetés

�Azért örvendeznek a képek néz®i,mert szemlélet közben megtörténik afelismerés, és megállapítják, hogy mimicsoda, hogy ez a valami éppen ez,és nem más!�

Arisztotelész, Poétika IV.

Arisztotelész szavait tágabb értelemben véve a tudós ember is egyfajta m¶élvez®. Örvend,amikor a képben felfedez valamit, felismeri, megérti, a maga nyelvére � matematikára, mond-hatnánk � lefordítja és további felismeréseket tesz. Örvend, hogy a kép egyre nagyobb részétlátja s érti, összekapcsol több olyan képet, melyr®l eddig azt hitte, más m¶vész munkája. Perszenéha zsákutcába jut, a képr®l letéved. Mégis, ha m¶élvez®ként tekintünk a tudósra, s ezen belüla �zikusra, kétségtelen, hogy ugyanaz az örvend® érzése, mint a m¶ért®nek, aki a festményenegy eddig nem ismert részletet fedez fel, vagy a m¶kedvel® laikusnak, aki el®ször lát egy képet.A Természet a m¶elemz® tudós képe, melyet évszázadok óta néz. Azonban a m¶ért®vel szemben,kinek vizsgált tárgyai vele egy méret¶ek. A tudósnak, s vele együtt a �zikusnak nehezebbdolga van. A megismerést szeretné kiterjeszteni a kép olyan részeire is, melyek parányiak, vagyolyanokra, melyek nagyon messze vannak t®le. Szeretné megismerni ezeket, így eszközöket épít,melyek kiszélesítik érzékelésének lehetséges korlátait. Olyan szerkezeteket gyárt, melyek a �térben és id®ben is � nagyon távoli dolgokat teszik tapasztalhatóvá, vagy olyanokat, melyek azegészen apró részekr®l adnak számot. Felbontja a kép részeit alkotó elemeire. Megkérdezi, hogyazok ténylegesen a legkisebb alkotóelemek, vagy esetleg léteznek-e kisebbek.Sok olyan része is van a képnek, melyek a múlt nagy eseményeinek nyomát ®rzik. Ezek a képkeletkezésének körülményir®l tudnak számot adni. A �zikus újra lejátssza ezeket az eseményeketés megnézi, hogy ugyanolyan nyomokat talál-e utána, mint amiket a képben már korábban istalált. Kísérletezik a kép alkotórészeivel. Szeretné megérteni miért pont olyan kép amilyen ésnem másmilyen, �... hogy ez a valami éppen ez, és nem más! �.

1 BEVEZETÉS 3

1. ábra. Balra Az ellipszoidális szimmetria szemléltetése nehézion ütközések nyomán kialakulóforró plazmára [1]. Jobbra A Glauber-modellen alapuló Monte-Carlo szimuláción látszik, hogy azellipszoidális szimmetriát szükséges lehet egy általánosabb alakkal helyettesítenünk a megoldásokilletve modellek keresése során [2].

Ilyen felbontásra és id® visszaforgatásra szolgálnak a nehézion ütköztet®k is, ahol nehéz a-tommagok ütközéseit vizsgálva, így nagyon közel juthatunk az �srobbanáshoz. Olyan tulaj-donságokat �gyelhetünk meg közvetve, melyekkel akkor rendelkezett a Világegyetem, mikormég csak pár mikroszekundum ideje létezett. Az ütközések után nagyon rövid ideig egy olyanforró és s¶r¶ anyag jön létre, melyet megolvadt nukleonok alkotnak, vagyis kvarkok és gluonokplazmája (az angol elnevezésb®l rövidítve QGP). Mint azt kés®bb látni fogjuk, ez a plazmakísérletileg kimutathatóan a világ legtökéletesebb folyadéka, melynek viszkozitása az elméletiminimum határához nagyon közeli. Ez a plazma tágul és h¶l, a kvarkok újra összeállnakrészecskékké, s így jönnek létre újra hadronok, melyeket detektálva kaphatunk információt aplazma, tulajdonképpen a Világegyetem egy igen korai szakaszának tulajdonságairól.A képnek eme részét vizsgálva is saját nyelvünkre kell fordítanunk a látottakat. A nehézionütközések leírására számos megközelítés létezik. Egyik ilyen a hidrodinamikai leírás, melynekötlete éppen a közel nulla viszkozitásból származik. Ezekben a leírásokban a keletkezett plazmát,mint egy táguló, tökéletes folyadékot írjuk le. A kifagyáskor megy végbe a hadrongenezis, azaza kvarkok és gluonok ekkor állnak újra össze különböz® részecskékké. Ennek a fázisátmenetneka leírása a �zika egy igen érdekes és aktívan kutatott területe, melyr®l több szót nem ejtünk.A kifagyott hadronokat detektálhatjuk, azok különböz® tulajdonságaiból következtethetünk aforrásukra. A hidrodinamikai modellek és megoldások helyesen adják vissza az elméleti vára-kozásokat. A dolgozatban kés®bb tárgyalásra kerül® leírások közül nem egy tekinti az egyszer¶gömböt egy magasabb aszimmetriájú ellipszoidnak esetleg még kevésbé szimmetrikusnak. Ezenleírásoknak fontosságát indokolja, hogy az ütközés nyomán keletkezett plazma a legkisebbvalószín¶séggel, csupán centrális ütközéseknél lehet gömbszimmetrikus. A kevésbé naiv képlátható a 1. bal ábra oldalán, ahol a keletkez® anyag ellipszoidális szimmetriát mutat.Ebben az esetben azonban a maganyagot folytonos eloszlású homogén közegnek feltételezzük,

1 BEVEZETÉS 4

ami persze nem igaz a valódi magokra. Erre láthatunk egy Monte-Carlo szimulációt a 1.ábrán. Ez motiválja az egyre általánosabb geometriát feltételez® hidrodinamikai megoldásokés modellek keresését.Jelen dolgozat egyik célja egy sikeresen alkalmazott, de ellipszoidális szimmetriát feltételez®hidrodinamikai modell továbbfejlesztése. A Buda-Lund modell [3] sikeresen írta le a PHENIXés a CERN SPS kísérletekben végrehajtott nehézion ütközéseket. Ebben modellben (is) egyskálaparaméter határozza meg annak a felületnek az alakját, melyen a termodinamikai meny-nyiségek, például a h®mérséklet, a nyomás, ugyanolyan értéket vesz fel. Ez szoros kapcsolatbanvan a forrás geometriájával. Az 5. fejezetben részletezett modellben megjelen® skálaparamétertírtam át más alakra a 6. fejezetben, amely alakot természetes módon lehetett általánosítani. Asebességtér szimmetriájának általánosítását is meg lehetett tenni.

2 NEHÉZION-FIZIKA EREDMÉNYEI 5

2. Nehézion-�zika eredményei

�A modern tudomány abbankülönbözik a régit®l, hogy nem azabszolút változatlan dolgokra, azokmozdulatlan lényegére irányul, hanema változásokra, amelyek lefolyásukbanvalamilyen határozottságotmutatnak.�

Mezei Árpád, A szürrealizmus

A Relativisztikus Nehézion-ütköztet®nek (RHIC) több olyan nevezetes felfedezése volt, melya QGP kutatása során mérföldk®nek számít.Az els® ilyen mérföldk® az ún. jet quenching (2.ábra), vagy jet elnyomás meg�gyelése volt [4�6].Az elnyomás azt jelentette, hogy nehézion-ütközések (pl. arany-arany) során keletkez® nagyimpulzusú részecske-nyalábokból (jetekb®l) kevesebbet észleltek, mint amennyire számítani le-hetett. A részecskék valami az impulzusuk nagy részét a leadták. A meg�gyelések azt mutatták,hogy a jelenség centrális ütközéseknél nagyobb mértékben jelentkezik. Periferikus ütközéseknél,melyek során az atommagok kis része vesz részt az ütközésben, nem �gyelték meg (ld. 2. ábra). Arészletes vizsgálat során bevezették az ún. nukleáris modi�kációs faktort, ahogy az (1) egyenletszemlélteti, mely azt mérte, hogy nehézion-ütközésekb®l keletkez® részecskék száma hogyanaránylik a proton-proton ütközésekb®l keletkez® részecskék számával.

RAA =1

NBin.ütk.

NA+A

Np+p

(1)

ahol NBin.ütk. az elméletileg jósolt ütközések száma az atommagok alkotórészei között (binárisütközések),Np+p a proton-proton ütközésben keletkez® részecskék száma,NA+A pedig az ion-ionütközésben keletkez® részecskék száma. Amikor ezt a faktort megmérték centrális arany-aranyütközések esetén, azt tapasztalták, hogy a nagy impulzusú részecskék száma csak ∼20-40%-aannak, mint amire a proton-proton ütközések alapján számítani lehetett.

Ennek magyarázatára több feltételezés is született, melyek közül az egyik az anyag egy újállapotát jósolta, mely állapotban a kvarkok és a gluonok plazmát hoznak létre. Ez lefékezi azer®s kölcsönhatásban részt vev® részecskéket, így a nagy impulzusú részecskék száma jelent®senlecsökken.

A feltevések próbájaként elvégeztek olyan kísérleteket [7], melyekben egy deuteront és egyarany atommagot ütköztettek (2. ábra). A jelenség ebben az esetben nem ismétl®dött meg.Ennek magyarázata az, hogy az új anyag ezekben a kísérletekben bár szintén létrejöhetett, deolyan kis térfogatban, mely nem tudta lefékezni a részecskéket. Ezekb®l a mérési eredményekb®larra lehetett következtetni, hogy az anyagnak valóban egy új formáját találták meg. Ezt az eztkövet® mérések is alátámasztották.

További meg�gyelések skálaviselkedést mutattak [8] (azaz, bizonyos mérhet® mennyiségeka paraméterekt®l nem egyesével, hanem azok egy bizonyos kombinációjától függnek). Ilyen

2 NEHÉZION-FIZIKA EREDMÉNYEI 6

2. ábra. A jet quenching jelenségének vizsgálata: a deuteron ellenpróba, a centrális és aperiferikus ion-ion ütközések. A kép adatainak forrása: [5, 7]

viselkedést például a hidrodinamikában lehet meg�gyelni. Ezek az eredmények ösztönözték azonméréseket, melyekben a QGP viszkozitását mérték. Ezek alapján kiderült [9], hogy QGP egyrendkívül kis viszkozitású, szinte tökéletes folyadék. A mérések szerint a QGP viszkozitásánakértéke az elméleti minimumhoz 1 közeli: η/s ≈ (1, 1−1, 5)~/4π, ahol ~/4π a feltételezett elméletiminimum, η/s pedig a kinematikai viszkozitás.

A foton, mivel nem vesz részt az er®s kölcsönhatásban, úgymond az egész reakciót �végignézi�,azaz fotonok a kifagyás el®tt és után is, folyamatosan keletkeznek. A fotonspektrumból sikerültmegállapítani [10], hogy az elméleti számításoknak megfelel®en magas kezdeti h®mérséklettelrendelkezik ez az anyag (hozzávet®leg 300-600 MeV). A rács-QCD számítások szerint körülbelül170 MeV az a h®mérséklet, mely felett megjelenhetnek kvark szabadsági fokok [11]. A mértfotonspektrumból számolt magas kezdeti h®mérséklet tehát meger®síti azt, hogy egy kvarkokbólés gluonokból álló anyag jön létre.

Ma már nem csak a RHIC-ben végeznek nehézion-�zikai kísérleteket, hanem az CERN LHC-ban is, ahol Pb+Pb ütközéseket mérnek nagyobb energiákon. Az eredmények azt mutatják,hogy az ALICE detektor által meg�gyelt ütközésekben is létrejön a QGP � és viselkedéséthidrodinamikai modellekkel szintén jól le lehet írni.

1Az AdS/CFT dualitásból adódó sejtés a kinematikai viszkozitás alsó határára

3 HIDRODINAMIKA 7

3. Hidrodinamika

�... a szép és a szellemi hogyankeveredik, és tulajdonképpenkezdett®l fogva ugyanaz, vagyis másszavakkal: tudomány és m¶vészet ...�

Thomas Mann, A varázshegy

A hidrodinamikai leírás teljes megértéséhez természetesen ismernünk kell az alapegyenleteket.Ebben a fejezetben röviden leírom, hogyan kaphatjuk a klasszikus és relativisztikus hidrodinami-ka alapegyenleteit tökéletes és viszkózus folyadékokra, mely egyenleteket a vázolt módon kívülmég számtalanképpen lehet származtatni. Akár egyszer¶ megfontolásokkal, akár a hidrodina-mikára, mint térelméletre tekintve, egy Lagrange-s¶r¶ségfüggvényt felírva és az Euler-Lagrangeegyenlet segítségével kiszámolva a mozgásegyenletet (ld. 9.1. fejezetet).

A tökéletes folyadékok egyenleteire, mind a klasszikus, mind a relativisztikus esetben a következ®fejezetben mutatok be megoldásokat.

3.1. Klasszikus hidrodinamika

Az klasszikus hidrodinamika alapegyenleteinek egy származtatási módja a Boltzmann-e-gyenletb®l történ® levezetés. Ebben az esetben de�niálunk egy eloszlásfüggvényt, f(x,v, t)-t,melynek jelentése, hogy f(x,v, t)d3xd3v valószín¶séggel találjuk az adott részecskét t id®pilla-natban egy d3xd3v fázistérfogatban. A normálás ekkor∫ ∫

f(x,v, t)d3xd3v = N,

ahol N a rendszerben található részecskék száma. A teljes id® szerinti deriváltat

∂f

∂t+

3∑i=1

(xi∂f

∂xi+ vi

∂f

∂vi

)=

(df

dt

)coll

(2)

alakban számolhatjuk. Ez a Boltzmann-egyenlet. Könnyen megadható a tömegs¶r¶ség is

ρ(x, t) =

∫mf(x,v, t)d3v.

Ezekkel már származtatható a kontinuitási egyenlet. El®ször szorozzuk a Boltzmann-egyenletmindkét oldalát m-mel és integráljunk d3v szerint (ez az eloszlásfüggvény 0. momentuma):

∂

∂t

∫mfd3v +

3∑i=1

∂

∂xi

∫mfxid

3v +m

∫ 3∑i=1

∂

∂vi(vif)d3v = m

∫ (df

dt

)coll

d3v

3 HIDRODINAMIKA 8

Az els® tagban felismerhetjük a tömegs¶r¶ség id®deriváltját. A második tag ennél bonyolultabb:3∑i=1

∂

∂xi(ρ 〈vi〉) ≡ ∇(ρu),

ahol u jelentése az átlagos sebesség az (x,t) pontban. A harmadik kifejezés egy teljes divergenciatérfogati integrálja, így a Gauss�Osztrogradszkij-tétel értelmében zérus lesz.Az egyenlet jobb oldalán az ütközési tag is elt¶nik, mert igaz a tömegmegmaradás és az ütközésnem kelt vagy tüntet el részecskéket, csupán a sebességüket változtatja meg. Így kapjuk aszokásos alakban a kontinuitási egyenletet:

∂ρ

∂t+∇(ρu) = 0.

Az Euler-egyenletet, vagy a Boltzmann-egyenletb®l számolt alakra megszokottabb elnevezéssel,az impulzusegyenletet is származtathatjuk. Ehhez a (2) egyenletet megszorozzuk mvi-vel ésintegráljuk (vagyis képezzük az 1. momentumot):

∂

∂t

∫mvjfd

3v +3∑i=1

∂

∂xi

∫mfvjvid

3v +m

∫ 3∑i=1

vivj∂f

∂vid3v =

∫mvj

(df

dt

)coll

d3v.

Az els® kifejezés nem más mint a ∂∂t

(ρuj) id®derivált. A második kifejezés

3∑i=1

∂

∂xi(ρ 〈vjvi〉) =

3∑i=1

∂

∂xi(ρuiuj + ρ(wiwj)),

ahol a wi az átlag sebességt®l való eltérés: wi = vi − ui.A harmadik kifejezést átjelölve a

∂

∂vi(vjf) = vj

∂f

∂vi+ δijf

összefüggés alapján azt kapjuk, hogy3∑i=1

mgi

∫ [∂

∂vi(vjf)− δijf

]d3v = −

3∑i=1

viδij

∫mfd3v = −ρvj.

Mivel az ütközés során az impulzus megmarad, a jobb oldal nulla lesz. Így jutunk a

∂

∂t(ρuj) +

3∑i=1

∂

∂xi(ρuiuj + ρ(wiwj)) = ρvj

kifejezésre. Belátható, hogy a 〈wiwj〉 kifejezésben a diagonális elemek lényegesen nagyobbak,mint az o�-diagonális elemek, így adódik, hogy a ρ〈wiwj〉 felbontható egy nyomásból és egyviszkozitásból származó tagra:

P =1

3ρ〈|w|2〉

Πij = Pδij − ρ〈wiwj〉

3 HIDRODINAMIKA 9

így jutunk a

∂

∂t(ρuj) +∇

3∑i=1

∂

∂xi(ρuiuj + Pδij − Πij) = ρvj

alakra. Ebb®l kapható a

∂

∂tuj +

3∑i=1

ui∂

∂xiuj = vj −

1

ρ

3∑i=1

∂

∂xi(Pδij − Πij)

egyenlet, melyet vektoros formában felírva

∂

∂tu + (u∇)u = f − 1

ρ∇P +

1

ρ∇Π.

Elhagyva a viszkózus tagot, a tökéletes folyadékok hidrodinamikájának mozgásegyenletét, azEuler-egyenletet kapjuk. (A viszkózus tagot is megtartva és észrevéve, hogy a Π ∝ gradv és így∇Π ∝ 4v és az arányossági tényez® η, megkapjuk a viszkózus folyadékok mozgásegyenletét, aNavier�Stokes-egyenletet.)

Az energiaegyenletet is ugyanilyen megfontolásokkal tudjuk levezetni, csupán annyi a különbség,hogy a Boltzmann-egyenletet nem az impulzussal, hanem a kinetikus energiával szorozzuk,vagyis az eloszlásfüggvény v szerinti második momentumát képezzük. Így a következ®t kapjuk:

∂

∂tε+ u∇ε = −P

ρ∇u− 1

ρ∇F +

1

ρΨ

ahol

ε =1

2〈|w|2〉

F =1

2〈w|w|2〉

Ψ =∑i,j

πi,j∂

∂xiuj

rendre a bels® energia, a h®�uxus, a viszkozitás miatt fellép® disszipáció.A fent levezetett három egyenlet, a kontinuitási egyenlet, az Euler, vagy impulzusegyenlet,illetve az energiaegyenlet tekinthet®k a klasszikus hidrodinamika alapegyenleteinek.

3 HIDRODINAMIKA 10

3.2. Relativisztikus hidrodinamika

A relativisztikus esetben is alkalmazhatjuk a fenti eljárást, de a klasszikus Boltzmann-egyenlet helyett természetesen a relativisztikus megfelel®jét kell használnunk, melynek alakja:

pµ∂µfp(x) = C[f ]p(x),

ahol fp(x) az egy-részecske eloszlásfüggvény, a pµ az on-shell részecske négyesimpulzusa. A jobboldalon C[f ]p(x) jelöli az ütközési integrált:

C[f ]p(x) =1

2

∫d3p1p0′

1

d3p′

p0d3p1p0′

1

[f ′f ′1W (p′, p′1|p, p1)− ff1W (p, p1|p′, p′1)]

ahol

f ′ ≡ f(x, p′), f ′1 ≡ f(x, p′1), f ≡ f(x, p), f1 ≡ f(x, p1)

A részecskeszám megmaradás levezethet® a részecskeszám

nµ =

∫d3pkpk0

pµkfk.

de�níciójából. Ennek deriváltja

∂µnµ =

∫d3pkpk0

pµk∂µfk =N∑

k,l=1

∫d3pkP k0

Ckl(x, pk) = 0,

mert az ütközési integrál elt¶nik, ha a részecskeszám megmarad, csakúgy, mint a klasszikusesetben is.A töltésmegmaradást � ha van értelme töltésr®l beszélni a rendszerben � ugyanilyen megfonto-lásokkal vezethetjük le:

Qµk =

∫d3pkp0k

qkpµkfk

∂µQµk =

∫d3pkp0k

qkpµk∂µfk

Az energia-impulzus megmaradást az energia-impulzus tenzor divergenciamentessége jelenti,mely az eloszlás függvény második momentumából származik. A tenzor de�níciója:

T µν =

∫d3pkp0k

pµkpνkfk.

3 HIDRODINAMIKA 11

A fentiekhez hasonló módon adódik a divergenciamentesség. Így, ha nincs töltés a rendszerbena relativisztikus hidrodinamika alapegyenletei

∂µnµ(x) = 0

∂µTµν = 0.

Az els® egyenlet a kontinuitási egyenlet relativisztikus megfelel®je, így a nµ egy részecske áramjelentés¶ négyesvektor, míg a T µν az energia-impulzus tenzor, melynek alakja nyugvó tökéletesfolyadékra

T µν = (ε+ p)uµuν − pgµν

Ha behelyettesítjük ezt az alakot a (3) egyenletbe és felbontjuk a zárójeleket, a következ®krejutunk:

∂ν ((ε+ p)uνuµ − gµν) = uνuµ∂νε+ εuµ∂νuν + εuν∂νu

µ+ (3)

+ uνuµ∂νp+ uνp∂νuµ + uµp∂νu

ν − ∂νgµνp =

= [(ε+ p)uν∂νuµ + (uνuµ − gµν)∂νp] +

+ [uµ ((ε+ p)∂νuν + uν∂νε)] = 0

Ha vesszük az egyenlet uµ-vel vett projekcióját, akkor az els® zárójeles kifejezés egyenl® lesznullával és megkapjuk a relativisztikus energiamegmaradást biztosító egyenletet :

(ε+ p)∂νuν + uν∂νε = 0.

Ha uν-vel szorozzuk és kivonva az eredeti egyenletb®l, az Euler-egyenletet kapjuk:

(ε+ p)uν∂νuµ = (gµν − uµuν)∂νp.

Klasszikus és relativisztikus esetben is kevesebb egyenletünk van, mint ahány ismeretlenünk.Kapcsolatot kell még teremteni az energias¶r¶ség, és a nyomás között az állapotegyenlettel:

ε = κp(T ).

Itt expliciten jelöltem, hogy a nyomás függhet a h®mérséklett®l. Erre vonatkozó rács-QCDszámolások [11], illetve implicit hidrodinamikai megoldás is létezik [12], melyet alább bemutatok.

4 NÉHÁNY MEGOLDÁS 12

4. Néhány megoldás

�Az egyetlen igazi tanulás: alényünkben szunnyadó tudásnaktevékennyé ébresztése.�

Weöres Sándor: A teljesség felé

Ebben a fejezetben a relativisztikus hidrodinamika olyan megoldásait mutatom be, melyekaz alkalmazás szempontjából fontosak. A relativisztikus hidrodinamika egyenletei bonyolultnemlineáris egyenletek, megoldásuk igen nehéz. A bemutatott megoldások ezért is játszanaknagy szerepet a nehézion-�zika fenomenologikus megértésében, mert az egyenletek nehezenmegoldhatóságából következ®en nagyon kevés megoldást, és még kevesebb a reális körülményekközött alkalmazható, explicit megoldást ismerünk.

4.1. Landau�Khalatnikov-megoldás

Landau javasolta els®ként a relativisztikus hidrodinamika alkalmazását nagyenergiás folya-matok, els® sorban a légkörben lejátszódó proton-proton ütközések leírására. � vezette le arelativisztikus hidrodinamika egyenleteit és az el®bbi alkalmazásra egy megoldást is talált [13].A proton-proton ütközések jellegéb®l fakadóan nem volt szükséges 3+1 dimenziós megoldástfelírni, így a Landau�Khalatnikov-megoldás csak 1+1 dimenziós.

A megoldásban a már említett

∂Tµν∂xµ

= 0

összefüggést áttranszformálták a

uµ∂(Tuν)

∂xµ+∂T

∂xν= 0

kifejezésbe. Mivel a vizsgált tartományban a Lorentz-kontrakció miatt az ütköz® részeket lapítottkorongnak lehet tekinteni, ezért elegend® csupán két koordinátával foglalkozni (melyek a t és az koordináták):

∂(Tu1)

∂x4+∂(Tu4)

∂x1= 0.

Vezessük be a relativisztikus hidrodinamika egydimenziós mozgásának potenciáljaként a φ függ-vényt, melyb®l kapható, hogy:

Tu1 =∂φ

∂x1, Tu4 =

∂φ

∂x4


ahol φ kielégíti a

dφ = Tu4dx4 + Tu1dx1

relációt. Ha bevezetjük t-t x4 helyett, u0 = 1/√

1− v2-et az u4 helyett és az x -et az x1 helyett,akkor a

dφ = −Tu0dt+ Tu1dx

kifejezést kapjuk. De�niáljuk a sebességet az u0 és u1

u1 = sinhα, u0 = coshα

választással. Elvégezve egy Legendre-transzformációt T -ben, α-ban, a következ® potenciál adódik:

dχ = d(φ+ Tu0t− Tu1x).

Ezen egyenletb®l a következ® egyenlet írható fel:

∂2χ

∂α2− c20

∂2χ

∂y2+ (c20 − 1)

∂χ

∂y= 0,

ahol y = lnT/T0. További egyszer¶sítés a 3p = ε és c20 = 1/3 kikötés, vagyis itt a κ = 3, azazkonstans:

3∂2χ

∂α2− ∂2χ

∂y2− 2

∂χ

∂y= 0.

Új változókat bevezetve és átalakításokat elvégezve adódott egy megoldás, mely, bevezetve az

lnt+ x

∆= τ, ln

t− x∆

= η

kifejezéseket (ahol ∆ a Lorentz-kontrakciót szenvedett magok vastagsága) és �gyelembe véve aStefan�Boltzman-határesetet (ε ∼ T 4):

ε = ε0 exp

[−4

3(η + τ −√ητ)

].

alakban áll el®.


4.2. Hwa�Bjorken-megoldás

Hwa [14] volt, aki ezt a megoldást megtalálta. Ez a megoldás is 1+1 dimenziós, gyorsu-lásmentes, de explicit. Ez könnyíti az alkalmazást a Landau�Khalatnikov-megoldással (LK)megoldással szemben.

Hwa de�niált egy f(k) impulzuseloszlás függvényt, mely azt mondja meg, hogy a meg�-gyelhet® részecskék milyen valószín¶séggel találhatók kµ impulzussal még a kifagyás el®tt egyadott helyen. A jelenséget b = 0 impakt paraméterrel írta le tömegközépponti rendszerben. Aztfeltételezte, hogy a részecskék kezd®sebessége az ütközés középpontjánál a legnagyobb és kifeléegyre csökken. Így a középponttól távolodó részecskéket olyan szeletekre osztotta, melyekben azátlagos helyzetet xµ-vel jelölte. De�niálta az F (x, k) száms¶r¶ség függvényt azon részecskékre,melyek ezzel az xµ-vel jellemezhet® szeletben k és k + dk között találhatóak.

Az volt a feltevés, hogy létezik ilyen F (x, k) függvény és ez megteremti a kapcsolatot afolyadék makroszkópikus tulajdonságai xµ és a részecskék mikroszkópikus tulajdonságai kµközött. De�niálta a �uxust:

Sµ =

∫kµF (x, k)

d3k

k0az EIT pedig

Tµν(x) =

∫kµkνF (x, k)

d3k

k0

alakban áll el®. A részecskék száma megmarad, s így az EIT-nak is, vagyis kapunk egy kontinuitásiegyenletet kapunk:

∂µSµ =0 (4)

∂µTµν =0.

Ez a meggondolás egészen hasonló a Boltzmann-egyenletnél használttal. Itt F (x, k) ugyanúgyegy eloszlásfüggvény, melynek momentumaiból számolhatók ki különböz® mennyiségek. A modellmegadja a részecskeszám rapiditáseloszlását a sebesség függvényében :

dN

dy=

[γ

(∂v

∂z

)t

]−1, (5)

ahol γ = 1/√

1− v2. Lehet, hogy a tömegelem útja a Minkowski tér-id®ben nem egyenes.De�niáljuk ( xµ = (t, z) a cella közepét adja) :

v =dz

dt, u =

z

t.

Az u = v egyenl®ség nem feltétlenül kell hogy igaz legyen, de ebben a speciális esetben feltesszük,hogy az. Így adta meg Hwa a sebesség mez®t. Jelen megoldásban az (5) képlet a következ® alakotölti:

dN

dy= τ0,


ahol τ0 a keletkezést®l a kifagyásig eltelt sajátid®.

Bjorken [15] a korábban meglév® Hwa-féle megoldást más alakra hozta, melyb®l jó közelítésadható a kezdeti energias¶r¶ségre a mértb®l. A megoldáshoz Bjorken de�niálta a következ®függvényeket:

ε = ε(τ, η) (6)

p = p(τ, η)

T = T (τ, η)

uµ = uµ(τ, η)

ahol η a rapiditás, τ a sajátid®. Ez a modell is a Hwa által bevezetett sebességmez®t használja:xµ/τ = uµ. Termodinamikai megfontolásokkal, a következ® összefüggést kapta Bjorken azállapotegyenletre:

ε

3p= 1− β

3n

∂n

∂β

ahol β = T−1. Ha az EIT nyoma nem negatív (T µµ ≥ 0), a tágulásból következik, ε ≥ 3p. Vagyis:

∂n

∂β≤ 0.

A kezdeti energias¶r¶séget pedig az alábbiakból lehet megállapítani egységnyi rapiditás inter-vallumra, a nulla rapiditás körül:

ε =〈mt〉

(R2πτ0)

dn

dη,

ahol a dn/dη a részecskeszám, R2π a létrejöv® anyag keresztmetszetének felülete, melyet kísérletiadatokból (pl. HBT mérésb®l) meg lehet becsülni, 〈mt〉 pedig az átlagos transzverz energiátjelenti, ha pz = 0. A rendszer longitudinális mérete a τ0 kezdeti sajátid®vel közelíthet®, így anevez®ben a dη × térfogat áll. Ez esetben elegend® a végállapotot ismerni, mivel a gyorsuláshiánya miatt a rapiditás Lorentz-invariáns.


4.3. Csörg®�Csernai�Hama�Kodama-megoldás

Ez a megoldás [16] ellipszoidális szimmetriát feltételez a táguló anyag geometriájára, vagyis3+1 dimenziós. A korábbi relativisztikus esetekben ezek a felületek vagy szférikus szimmetriávalrendelkeztek, vagy mivel 1+1 dimenziósak voltak, semmilyennel. Jelen megoldás az s skálaváltozó

s =x2

X(t)2+

y2

Y (t)2+

z2

Z(t)2

megválasztásával egy táguló ellipszoidot ír le, ahol X(t)2, Y (t)2, Z(t)2 csak az id®t®l függ®skálaparaméterek, x, y, z pedig a koordináták. Mivel táguló megoldást vizsgálunk, szükségesegy, a tágulást jellemz® sebességmez® választása is. Az asztro�zikából kölcsönözhetünk egy ilyet,nevezetesen a Hubble-sebességmez®t, mely gömbszimmetrikus. Ez egy egyszer¶, de hatékonyfelírása a robbanás-jelleg¶ folyamatoknak. A sebesség arányos a távolsággal, Hubble felírásábanv = H · r, ahol H a Hubble-konstans. A vizsgált megoldásban kicsit másképp írjuk fel, de ajelentése ugyanaz lesz az általunk használt formulának is:

uµ = γ

(1,X

Xx,Y

Yy,Z

Zz

),

ahol γ = 1/√

1− v2, X = X · t, Y = Y · t, Z = Z · t és uµ = xµ/τ , xµ a térid® négyesvektor, τpedig a sajátid®. A termodinamikai mennyiségek

n = n0

(τ

τ0

)3

ν(s), (7)

T = T0

(τ

τ0

) 3κ 1

ν(s),

p = p0

(τ

τ0

)3+ 3κ

alakúak, ahol n a száms¶r¶ség, T a h®mérséklet, p a nyomás és p0 = n0T0. A fenti sebességmez®és termodinamikai mennyiségek X, Y , Z = áll. feltétel mellett megoldják a relativisztikushidrodinamika egyenleteit. Ha a ν(s) skálafüggvény egy ellipszoidot ír le:

ν(s) = e−bs/2. (8)


4.4. Csanád�Nagy�Lökös-megoldás

Ennek a megoldásnak [12] el®nye, hogy �gyelembe veszi az állapotegyenletben a h®mérsék-letfüggést, hátránya, hogy implicit megoldás, szükség van egy explicit κ(T ) függvényre hozzá.

Az állapotegyenlet

ε = κ(T )p (9)

alakú, a sebességmez® Hubble-jelleg¶

uµ =xµ

τ(10)

Az állapotegyenlet alakját az energiaegyenletbe helyettesítve egy h®mérsékletre vonatkozó im-plicit egyenletet kapunk:

dκ(T )T

dT

∂µT

T= ∂µ ln

(V0V

)(11)

ahol a V a rendszer térfogatát jellemzi a részecskeszámon keresztül: n = n0V0

V. Ennek az

egyenletnek megoldása egy

V0V

= exp

[∫ T

T0

dκ(T ′)T ′

dT ′∂µT

′

T ′dT ′]

(12)

alakú egyenlettel megadott V0/V . V = τ 3 választással a megoldás

τ 30τ 3

= exp

[∫ T

T0

dκ(T ′)T ′

dT ′1

T ′dT ′]

(13)

alakú. Itt megmaradó részecskeszámot tettünk fel, de ez nem feltétlenül igaz. Erre az esetre aGibbs�Duhem-relációból származtatott állapotegyenletb®l lehet számolni és

τ 30τ 3

= exp

[∫ T

T0

(κ(T ′)

T ′+

1

1 + κ(T ′)

dκ(T ′)

dT ′

)dT ′]

(14)

alakú függvény elégíti ki, szintén Hubble-típusú sebességmez®vel.

Feltehet®, hogy az állapotegyenlet a nyomástól függ. Ekkor

τ0τ

= exp

[∫ p

p0

(κ(p′)

(κ(p′) + 1)p′+

1

1 + κ(p′)

dκ(p′)

dp′

)dp

](15)

alakú a megoldás. Mindezen megoldások expliciten kiszámolhatóak, ha adott κ(T ) vagy κ(p)függvény. A h®mérsékletfügg® kompresszibilitásra egy parametrizációt tartalmaz a [11] cikk,mely alapján [12] cikkben h®mérséklet sajátid® függést lehetett számolni.


4.5. Egy nem-relativisztikus megoldás

Ez a megoldás [17] nem-relativisztikus, de ellipszoidális szimmetriát tesz fel hasonlóan a 4.3.fejezetben tárgyalt megoldáshoz relativisztikus megoldáshoz, egy skálafüggvény bevezetésével.Ha a nem-relativisztikus hidrodinamika egyenleteit a

∂tn+∇(nv) = 0 (16)

∂tv + (v∇)v = −∇pmn

(17)

∂tε+∇(εv) = −p∇v (18)

alakban írjuk fel, ahol n egy száms¶r¶ség, v a folyadékelem sebessége, m a tömege, ε pedig azenergias¶r¶ség, akkor az

n(r, t) = n0V0Ve−s/2 (19)

v(r, t) =

(X

Xrx,

Y

Yry,

Z

Zrz

)(20)

T (r, t) = T0

(V0V

)1/κ

(21)

függvények megoldása a fenti egyenleteknek, ha �gyelembe vesszük az állapotegyenlet ε = κnTalakját és az ellipszoidális szimmetriát biztosító skálafüggvény

s =r2x

2X2+

r2y2Y 2

+r2z

2Z2. (22)

Ezek a függvények csupán akkor megoldások, ha teljesül a

XX = Y Y = ZZ =T

m(23)

egyenlet. Ez egy másodrend¶ nemlineáris di�erenciálegyenlet rendszer, melynek létezik egyér-telm¶ megoldása, ha adott X0, Y0, Z0 és X0, Y0, Z0 kezdeti paraméterek értéke. Ezen egyenletekaz ellipszoid tengelyeinek id®fejl®dését írják le.

5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE 19

5. A Buda-Lund modell és a paraméterek energiafüggése

�A képzelet sokkal fontosabb, mint atudás. A tudás véges. A képzeletfelöleli az egész világot.�

Albert Einstein

5.1. A modell leírása

A Buda-Lund modell egy ellipszoidálisan táguló hidrodinamikai közeget ír le, de nem egyhidrodinamikai megoldás, hanem egy végállapoti parametrizáció. A kifagyás utáni részecskékeloszlását adja meg feltételezve, hogy azok egy folyadékként viselked® közegb®l származnak.Egy forrásfüggvényt írja ezt le, mely tulajdonképpen egy relativisztikus Boltzmann-eloszlás,azaz Jüttner-eloszlás:

S(x, p)d4x =g

(2π)3pµd4Σµ(x)

B(x, p) + sq(24)

ahol g a degenerációs faktor, pµd4Σµ(x) a Cooper-Frye faktor, ami a kifagyási hiperfelületetparametrizálja, B(x, p) az (inverz) Boltzmann-eloszlás, sq pedig a kvantumstatisztikát választjaki (sq = ±1, 0 rendre a Fermi-Dirac, Bose-Einstein és Boltzmann statisztika.)A B(x, p) egy hidrodinamikai rendszerben a következ® alakban írható:

B(x, p) = exp

[pµuµT− µ

T

]. (25)

Ez a Boltzmann-eloszlás relativisztikus általánosítása, a Jüttner-eloszlás.A Cooper-Frye prefaktort a

pµd4Σµ(x) = pµuµH(τ)d4x (26)

alakban vesszük fel, ahol

H(τ) =1√

2π∆τ 2exp

[−(τ − τ0)2

2∆τ 2

](27)

alakú. Néhány hidrodinamikai megoldás a H(τ) = δ(τ − τ0), pillanatszer¶ kifagyást használjaa leírásra, mint például a 4.3. fejezetben tárgyalt.Mint már korábban láttuk, a skálaváltozó írja le azon felület geometriáját, melyen a termodina-mikai mennyiségek értéke állandó. Mivel ez a modell ellipszoidális szimmetriát feltételez, ezértaz s egy ellipszoid Descartes-koordinátás alakja:

s =r2x

2X2+

r2y2Y 2

+r2z

2Z2. (28)


A sebességtérr®l is megköveteljük, hogy tükrözze az ellipszoidális szimmetriát:

uµ = γ

(1, rx

X

X, ry

Y

Y, rz

Z

Z

). (29)

Minden hidrodinamikai megoldásra igaznak kell lennie, hogy

uµ∂µs = 0, (30)

fordítva azonban nem feltétlenül igaz, tehát ha egy sebességtér és egy skálaváltozó kielégíti afenti egyenletet, még nem biztos, hogy egy hidrodinamikai megoldásról beszélhetünk. De olyanesetben, ha a tágulás sebessége nem relativisztikus visszaadja a 4.5. fejezetben tárgyalt nem-relativisztikus megoldást.

Megadható egy h®mérsékletpro�lt is, mely egy ellipszoidot ír le a skálaváltozó segítségével:

1

T (x)=

1

T0

(1 +

T0 − TsTs

s

)(1 +

T0 − TeTe

(τ − τ0)2

2∆τ 2

). (31)

Bevezethet®k a következ® jelölések:

a2 =T0 − TsTs

=

⟨∆T

T

⟩r

d2 =T0 − TeTe

=

⟨∆T

T

⟩t

. (32)

Az a2 a h®mérséklet térbeli, a d2 pedig az id®beli gradiensét jelenti. (Például a d2 = 0 apillanatszer¶ kifagyást jelentené.)

5.2. Mérhet® mennyiségek

Amérhet® mennyiségeket a forrásfüggvény kiintegrálásával lehet megkapni. Ennek elvégzésé-hez egy közelítésre, az ún. nyeregponti közelítésre van szükség, mely úgy tekint a kiintegrálandófüggvényre, mintha azt egy Gauss-függvény és egy nagyon lassan változó, majdnem konstansfüggvény alkotná. Ebben a közelítésben a forrásfüggvény a következ® alakú:

S(x, p)d4x =g

(2π)3pµuµ(xs)H(τs)

B(xs, p) + sqexp

[−R−2µν (x− xs)µ(x− xs)ν

]d4x (33)

ahol

R−2µν = ∂µ∂ν(−lnS0)|s ahol S0(x, p) =H(τ)

B(x, p) + sq(34)

Az s index az angol saddle-point, azaz nyeregpont szóból ered és azt jelöli, hogy az adott változóa nyeregpontban kell venni. Ezt a nyeregpontot a

∂µ(− lnS0(xs, p)) = 0 (35)


egyenlet de�niálja. Kiszámolva a nyeregpontot, az S0 második deriváltjaiba helyettesítve adhatómeg a (34) mátrix, melynek determinánsa lesz az integrál értéke. Ezt a közelítést használoma kés®bbiekben az általánosabb modell felépítése közben is, így a részletesebb számítások otttalálhatóak.

Invariáns impulzuseloszlás

Mivel a kísérletekben a részecskék keletkezésének helyét nem tudjuk mérni, csupán azt,hogy mekkora impulzussal jöttek létre, a forrásfüggvény nem alkalmas a kísérleti adatokkalvaló összehasonlításra. Azonban, ha kiintegráljuk a koordináták szerint az el®z® fejezetben leírtmódon, kapjuk az invariáns impulzuseloszlást, mely

N1(p) =

∫d4xS(x, p) =

g

(2π)3EV C

1

exp[pµuµ−µ(xs)

T (xs)+ sq

] (36)

alakban adódik, ahol

E = pµuµ(xs)

V = (2π)3/2∆τ ∗

∆τ[detR−2ij ]−1/2

C =τsts. (37)

Ha bevezetjük a b(xs, p) = logB(xs, p) jelölést, adódik, hogy

b(xs, p) =p2x

2mtTx+

p2y2mtTy

+p2z

2mtTz+mt

T0− p2t

2mtT0− µ0

T0, (38)

ahol mt a transzverz tömeg és bevezettük a

Tx = T0 +mtX2 T0T0 +mta2

Ty = T0 +mtY2 T0T0 +mta2

Tz = T0 +mtZ2 T0T0 +mta2

(39)

jelöléseket.

Az elliptikus folyás

Az elliptikus folyást szintén a forrásfüggvényb®l származtatjuk úgy, hogy az sebességtérbeliáttérünk a transzverz impulzusra a

pt =√p2x + p2y (40)

px = pt cosα (41)

py = pt sinα (42)

pz = pz ≈ 0 (43)


szabályokkal. Így az impulzuseloszlás a

N1(p) ∼ exp

[− p2x

2mtTx−

p2y2mtTy

]= exp

[− p2t

2mtTe�+

(p2t

2mtTx− p2t

2mtTy

)cos(2ϕ)

2

](44)

alakban írható, ahol bevezettük a

1

Te�=

1

2

(1

Tx+

1

Ty

)(45)

mennyiséget. Bevezetjük továbbá a

w =p2t

4mt

(1

Ty− 1

Tx

)(46)

változót, mellyel de�niálhatjuk az elliptikus folyást a

v2 =I1(w)

I0(w)(47)

alakban, ahol

In(w) =1

2π

∫ 2π

0

cos(2nα)ew cos(2α)dα (48)

az els®fajú módosított Bessel-függvény (ld. 9.3. fejezet). Ebben a modellben a magasabb index¶vn-ek elt¶nnek. Tehát vn folyások a szögre való kiátlagolást jelentik.

Kétrészecske korreláció (HBT sugarak)

A modellb®l a HBT sugarak is kiszámolhatóak, melyek értékes információkat szolgáltatnaka forrás geometriájáról; tulajdonképpen ez az egyetlen út, mellyel képet alkothatunk a forrásról.

A módszert eredetileg kvazárok szögátmér®jének mérésére fejlesztették ki, de a mikrovilágmegismerésére is kit¶n®en használható. Lényege, hogy a kétrészecske impulzuseloszlást nem�gyelhetjük meg úgy, mint két külön részecske impulzuseloszlásának szorzatát, mert a hullám-függvényt szimmetrizálni kell. Bozonikus részecskék esetén ez adja a Bose�Einstein-korrelációt(fermionok esetén Fermi�Dirac típusú korreláció �gyelhet® meg).A kétrészecske korrelációs együtthatót a következ® képlet de�niálja:

C2(p1, p2) =N2(p1, p2)

N1(p1)N1(p2), (49)

ahol N2(p1, p2) a kétrészecske impulzuseloszlás függvénye, mely tartalmazza a kvantummecha-nikából következ® interferencia-tagot. A szimmetrizáció miatt a korrelációs függvény közötti


kapcsolat p1 ≈ p2 feltétellel, bevezetve a K = (p1 + p2)/2 átlagos impulzus és a q = p1 − p2jelöléseket, �gyelembe véve, hogy q � K

C2(q,K) = 1 +

∣∣∣∣∣ S(q,K)

S(0, K)

∣∣∣∣∣2

(50)

ahol

S(q,K) =

∫S(x,K)eiqxdx4 (51)

A˜a Fourier-transzformációt jelöli. Mivel bármely függvény Fourier-transzformáltja a nullábannem más, mint a függvény integrálja, ezért a nevez®ben is egy Fourier-transzformált áll.A Buda-Lund modell esetén (ld. például [18]) a korrelációs függvény a

C(q) = 1 + exp[−q20∆τ 2∗ − q2xR2

x − q2yR2y − q2zR2

z

](52)

alakban írható, ahol

1

∆τ 2∗=

1

∆τ 2+mt

T0

d2

τ 20R2x =

X2

1 +mta2+X2

T0

R2y =

Y 2

1 +mta2+Y 2

T0

R2z =

Z2

1 +mta2+Z2

T0

(53)

Így ezekkel a HBT sugarakat

Rout =

(1

R2x

+1

R2y

)−1+ β2

0∆τ 2∗

Rside =

(1

R2x

+1

R2y

)−1Rlong = R2

z

(54)

ahol az out − side − long koordináta-rendszer olyan, hogy az out irány a részecskék átlagostranszverz impulzusának irányába, a long a z irányba mutat, a side irány pedig az el®z® kett®remer®legesen fekszik a transzverz síkban. Megjegyzem, hogy ha pillanatszer¶ kifagyást tételezünkfel, akkor a ∆τ 2∗ ≡ 0, s ebben az esetben a Rout ≡ Rside igaz lenne. Azokban a modellekben,ahol a kifagyást leíró függvény egy Dirac-delta, ez igaz.


5.3. Illesztés adatokra

A modellb®l kiszámolható mennyiségeket az el®z® alfejezetben bemutattam. Ebben az al-fejezetben alkalmazom a modellt mért adatokra, több különböz® energián végzett mérésekeredményeire és a paraméterek energiafüggését határozom meg a kapott eredményekb®l.

Az alábbi 1. táblázat tartalmazza az illesztett paramétereket. Ahol az illesztési hibát nemtüntetem fel, ott az adatokhoz nem állt rendelkezésemre a dolgozat írásának idején kísérletilegmeghatározott hiba. Azonban az így, leolvasott hibákkal adott értékek vissza tudták adni avártakat illesztések során. Ezért, hiba nélkül ugyan, de álljanak itt ezen értékek is.

Az illesztett mennyiségek képei a különböz® energiákon a 3-tól 8-ig láthatók.

Kísérletek SPS PHENIX PHENIX PHENIX PHENIX ALICEEnergia[GeV] 17 39 62,5 130 200 2760

T0[MeV] 139±6 128 130 157±41 160±10 175±35X[fm] 7.1±0.2 22.4 18.5 13.1 11.2 22.3ut 0.55±0.06 1.56 2.1 1.6±3.1 1.4±0.9 1.33±1.10

Y [fm] - 50 16.5 13.5 13.3 63.5ε - 0.6 0.8 0.13±1.10 0.26±0.46 0.58±1.30Z - 0.4 0.6 1.6 1.2±2.5 0.7±1.1

τ0[fm] 5.9±0.6 4.3 6.1 8.2 7.3 7.7

1. táblázat. A különböz® energiákon végzett ütközések eredményeire illesztett paraméterekértékei. A 17 GeV-en mért adatokra kapott paraméterek, nem saját illesztésb®l származnak,hanem a [19] cikkb®l, Ezen illesztések szintén a Buda-Lund modellel készültek, degömbszimmetriát feltételezve, ezért nincs Y , ε és Z paraméter. A RHIC mérések esetén a magokarany, míg a LHC mérések esetén ólom magok voltak. Azon értékeknél, ahol nem szerepel hiba,az illesztés során egy paraméter kivételével minden más paramétert �xen kellett tartani.


3. ábra. Az LHC-ban 2.76 TeV energián mért invariáns impulzuseloszlás [20], elliptikus folyás[21] és HBT sugarak [22] illesztésének ábrái.


4. ábra. A RHIC-ben mért 200 GeV tömegközépponti energiával ütköz® arany atommagokinvariáns impulzuseloszlása [23], elliptikus folyása [24] és HBT sugarai [25].


5. ábra. A RHIC-ben mért 130 GeV tömegközépponti energiával ütköz® arany atommagokinvariáns impulzuseloszlása [26], elliptikus folyása [27] és HBT sugarai [28]. Ennél az illesztésnélaz elliptikus folyásra csak π− adatok álltak rendelkezésre.


6. ábra. A RHIC-ben mért 62 GeV tömegközépponti energiával ütköz® arany atommagokinvariáns impulzuseloszlása [29] , elliptikus folyása [30], [31] és HBT sugarai [32]. Ennél azillesztésnél a spektrum esetén csak π0 adatok, míg az elliptikus folyás esetén csak töltött hadronadatok álltak rendelkezésre. A spektrum illesztése 2 GeV-ig történt.


7. ábra. A RHIC-ben mért 39 GeV tömegközépponti energiával ütköz® arany atommagokinvariáns impulzuseloszlása [33] és elliptikus folyása [34]. Ennél az illesztésnél hasonlóan, minta 62.5GeV-esnél, a spektrum esetén csak π0 adatok, míg az elliptikus folyás esetén csak töltötthadron adatok álltak rendelkezésre.


8. ábra. A CERN SPS-ben mért 158 AGeV energiával, azaz ∼17 GeV tömegközéppontienergiával ütköz® ólom atommagok invariáns impulzuseloszlása és HBT sugarai. Az illesztettparaméterek és ábrák forrása: [19]. A fels® ábra hadronadatokat tartalmaz és az NA49kísérletnél, míg az azonosított részecskés az NA44 kísérletnél készült. v2 vagy magasabbaszimmetriák ekkor a modellben még nem volt.


9. ábra. A kifagyási h®mérséklet, az aszimmetria paraméter, a transzverz és longitudinálissebesség paraméterek energiafüggése. Azon értékeknél, ahol nem szerepel hiba, az illesztés soránparamétereket �xen kellett tartani.

5.4. Az eredmények értelmezése

A 9. képeken látszik, hogy a paraméterek értéke alig függ az ütközési energiától. A kifagyásih®mérsékletben ugyan meg�gyelhet® növekedés, de ez igen lassú, hisz két nagyságrenden belüla 25%-ot is alig éri el. Ez az állandóság �gyelhet® meg az ut paraméterértékekben is. Az ε ésa Z paraméterek, mivel az aszimmetriával kapcsolatosak, érzékenyen függenek a centralitástól.Sajnos az adatok minimum bias és 0-10%-os centralitásúak voltak. Ennek ellenére az látszik,hogy hibán belül ezek is hasonló értékeket vesznek fel.Ezen illesztésekb®l tehát az látszik, hogy a vizsgált paraméterek nem, vagy csak nagyon kevésséfüggnek az ütközési energiától. Látható volt, hogy két nagyságrenden keresztül az értékek hibánbelül ugyanakkorák maradtak, valamilyen trend határozottan nem alakult ki.

6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 32

6. A Buda-Lund modell magasabb aszimmetriákkal

�Fontos, hogy mindent mérjünk, amimérhet®, és megpróbáljuk mérhet®vétenni, ami még nem az.�

Galileo Galilei

Ebben a fejezetben a Buda-Lund modell egy olyan általánosítását írom le, mely magasabbaszimmetriák bevezetését teszi lehet®vé a sebességtérben. Az ily módon általánosított modellb®laz invariáns impulzuseloszlást, valamint az elliptikus folyást és annál magasabb aszimmetriátleíró mennyiséget vizsgálom.

6.1. A magasabb rend¶ aszimmetriák koe�cienseinek bevezetése

Az el®z® fejezetben egy ellipszoidális szimmetriával rendelkez®, táguló hidrodinamikai közegetleíró modellt tárgyaltam, melyb®l mérhet® mennyiségeket is ki lehetett számolni, illesztenilehetett az adatokra. Mint arra a bevezet® fejezetben is utaltam, az ellipszoidális szimmetriacsupán egy közelítése a valóságnak (1). Pontosabb leírását is adhatjuk a közeg geometriájánaka skálafüggvény módosításával.

Ahhoz, hogy a skálafüggvényt módosítsuk, áttérünk hengerkoordináta-rendszerbe, melyben azáltalánosítás lehet®sége egyszer¶en adódik. Az átírt skálafüggvény

s =r2x

2X2+

r2y2Y 2

+r2z

2Z2→ r2

R2(1 + ε2 cos(2ϕ)) +

r2zZ2

(55)

alak adódik, ahol bevezettem az 1R2 = 1

2

(1X2 + 1

Y 2

)és ε2 = Y 2−X2

X2+Y 2 mennyiségeket. Ebben azalakban az ellipszoidális szimmetria mértékét az ε2 határozza meg. Látható, hogy az ε2 = 0esetben a skálafüggvény gömbszimmetriát ír le. Az általánosítás egyszer¶en megtehet® ha újabb,magasabb index¶ εn-eket kézzel hozzáadunk a skálafüggvényhez. Természetesen ezen a módontetsz®leges számú koe�ciens bevezethet® az eredeti skálaváltozóban (ld. a 9.2). Jelen dolgozat-ban azonban csak egyet vezetek be, az ε3-at, mellyel a az elliptikus folyásnál (v2) egy magasabbrend¶ aszimmetriát jellemz® mérhet® mennyiséget (v3) vizsgálok.

Tehát a fentiek értelmében a skálafüggvényhez hozzáadva egy tagot, bevezetek egy magasabbaszimmetria faktort. Az így kapott általánosabb skálafüggvény

s =r2

R2(1 + ε2 cos 2ϕ) +

r3

R3(ε3 cos 3ϕ) +

r2zZ2

(56)

alakú lesz. Ezzel a hidrodinamikai közeg geometriája így egy általánosabb alakban adott. Avalóságban a folyadékviselkedés miatt a módosított geometria a sebességteret is érinti. Vannakhidrodinamikai megoldások, melyek ugyan a skálaváltozóban �gyelembe veszik az ellipszoidális


szimmetriát, de a sebességtérben gömbszimmetriát tesznek fel. Viszont ezen általánosítás kere-tében a sebességtér geometriájának módosítása is lehetséges.

A sebességtér származtatható egy potenciálból, mely ellipszoidális esetben

Φ =X

X

r2x2

+Y

Y

r2y2

+Z

Z

r2z2

(57)

alakú. A négyes sebesség így el®áll

uµ = (γ, ∂xΦ, ∂yΦ, ∂zΦ) (58)

alakban, ahol γ az uµuµ = 1 feltételb®l számolható:

γ =√

1 + (∂xΦ)2 + (∂yΦ)2 + (∂zΦ)2. (59)

A potenciál módosításával érhet® el általánosabb alak. Vezessük be a XiXi→ 1

Hijelölést, s így

Φ =1

Hx

r2x2

+1

Hy

r2y2

+1

Hz

r2z2

(60)

alak írható, melyet átírunk hengerkoordinátás alakra:

Φ =r2

2H(1 + χ2 cos 2ϕ) . (61)

ahol bevezettük az 1H

= 12

(1Hx

+ 1Hy

)és χ2 = Hy−Hx

Hy+Hxjelöléseket. A deriválások elvégzése és az

adódó trigonometrikus azonosságok kihasználása után az uµ-re a következ® alakot kapjuk:

uµ =

(γ,r cosϕ

H(1 + χ2),

r sinϕ

H(1− χ2),

rzHz

). (62)

Az általánosítás ugyanúgy tehet® meg, mint a skálaváltozó esetén. Egy tagot hozzáadva apotenciál

Φ =r2

2H(1 + χ2 cos 2ϕ) +

r3

3H2(χ3 cos 3ϕ) (63)

alakú lesz, mely a sebességtérben a

uµ =

(γ,

r

H((1 + χ2) cosϕ) +

r2

H2(χ3 cos 2ϕ) ,

r

H(1− χ2) sinϕ) +

r2

H2(χ3 sin 2ϕ) ,

rzHz

)(64)

alakot eredményezi. Magasabb tagokat a jelen dolgozatban nem tárgyalok.

Ezt a sebességteret illusztrálom a 10., 11., 12. ábrákon. Az új alak valóban a várakozásnakmegfelel®en módosítja az ellipszoidális szimmetriát mind jobban egy általánosabbá alakítva,ahogy a χ3 paraméter értékét növeljük. Az ábrákon a sötétebb szín jelenti a nagyobb, avilágosabb a kisebb értéket.


-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

10. ábra. A bal oldali ábrán a sebességtér χ2 = 0 és χ3 = 0 értékek mellett gömbszimmetrikus,míg a jobb oldali ábrán a χ2 = 0.3 és a χ3 = 0.3 értékek hatásai egyszerre láthatóak. Az ábrána sötétebb szín jelenti a nagyobb, a világosabb a kisebb értéket.

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

11. ábra. A sebességtér χ2 = 0.2 és χ2 = 0.3 esetben. A χ3 értéke zérus. Az ábrán a sötétebbszín jelenti a nagyobb, a világosabb a kisebb értéket.

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

12. ábra. A sebességtér χ3 = 0.2 és χ3 = 0.4 esetben. A χ2 értéke zérus. Az ábrán a sötétebbszín jelenti a nagyobb, a világosabb a kisebb értéket.


6.2. Mérhet® mennyiségek

Mint azt a kés®bbi fejezetekben láthatjuk, a modellb®l még közelítéssel sem adható zártalak a meg�gyelhet® mennyiségekre � az 5. fejezetben tárgyaltakkal ellentétben, így jelendolgozatban csak a mérhet® menynyiségek aszimmetria paraméterekt®l való függését vizsgálomnéhány tipikusnak mondható illesztett paraméterérték mellett.

6.3. Nyeregponti közelítés

A mérhet® mennyiségek meghatározásakor a forrásfüggvényt kell kiintegrálni a koordinátákszerint, ahogy ezt az 5. fejezetben már bemutattam. Azonban ez az integrál csak közelítésselvégezhet® el, a nyeregponti közelítéssel, mely, csakúgy, mint az eredeti modellben, a forrásfügg-vényt egy Gauss-függvény és egy lassan változó függvény szorzatának tekinti. A forrásfüggvényebben a közelítésben a (33) egyenletnek megfelel®en a következ® alakú:

S(x, p)d4x =g

(2π)3pµu

µ(xs)H(τs)

B(xs, p) + sqexp

[−R−2µν (x− xs)µ(x− xs)ν

], (65)

az exponensben szerepl® mátrix

R−2µν |xs = ∂µ∂ν(− lnS0)|xs ahol S0 =H(τ)

B(x, p) + sq. (66)

Vagyis, ahhoz hogy a R−2µν mátrix elemeit kiszámoljuk, az S0 második deriváltját kell a nyereg-pontban meghatároznunk, mely pontot ennek els® deriváltja de�niálja:

∂µ(− lnS0)(xs, p) = 0. (67)

A második deriváltat ebben a pontban kiszámítva adódnak az R−2µν elemei, s így a determinánstkiszámítva az integrál értéke:∫

d4xS(x, p) =g

(2π)3pµu

µ(xs)H(τs)

B(xs, p) + sq

√detR−2µν

−1. (68)

Mivel a B(x, p) egy exponenciális függvény (ld. 5. fejezet), melynél az exponensben lév® kifejezésegynél sokkal nagyobb, ezért az sq elhagyható. Így

S0 =H(τ)

B(x, p)→ − lnS0 = − lnH(τ) + lnB(x, p) (69)

alakban írható, melyb®l

∂ν(− lnS0)|xs = ∂ν(− lnH(τ) + lnB(x, p))|xs = 0→ ∂ν(lnH(τ))|xs = ∂ν(lnB(x, p))|xs (70)


feltétel adódik. Mivel H(τ)-t és B(x, p)-et ugyanolyan alakban vehetem fel, mint az eredetimodellben, vagyis

H(τ) =1√

2π∆τ 2e−

(τ−τ0)2

2∆τ2 (71)

B(x, p) = epµu

µ−µT , (72)

a fenti feltétel komponensenként a

−∂τ(τ − τ0)2

2∆τ 2

∣∣∣∣xs

= ∂τpµu

µ − µT

∣∣∣∣xs

(73)

−∂i(τ − τ0)2

2∆τ 2

∣∣∣∣xs

= ∂ipµu

µ − µT

∣∣∣∣xs

(74)

alakú egyenleteket jelenti, ahol i = x, y, z. A bal oldal nem függ a helyt®l egyik egyenlet eseténsem. Figyelembe véve, hogy

µ/T = bs, (75)1

T=

1

T0(1 + a2s) (76)

ahol az els® egyenlet a s¶r¶séget, így a b paraméter a s¶r¶ség gradiensét, a2 paraméter pedig ah®mérsékletpro�l aszimmetriáját jellemzi. Ezen alakok felhasználásával a fenti egyenletek

−∂τ(τ − τ0)2

2∆τ 2

∣∣∣∣xs

=1

T0(1 + a2s)∂τpµu

µ +

(a2

T0− b)∂τs (77)

(1 + a2s)∂xpµu

µ

T0=

(b− pµu

µ

T0a2)∂xs (78)

alakban írhatóak. Az els® a nyeregpont sajátid®-koordinátáját határozza meg, míg a másodikaz ris térkoordinátákat. Ezen egyenleteket kell tehát megoldani a nyeregpont kiszámításához.Egy lehet®ség lenne az analitikus megoldás, mely jelen esetben nem lehetséges az egyenletekbonyolultsága miatt. Tehát valamilyen közelítést kell alkalmazni ahhoz, hogy az egyenletek zártalakot szolgáltassanak a nyeregpontra.

A sajátid®re vonatkozó egyenlet

A (78) sajátid®re vonatozó egyenletben a bal oldalon álló derivált könnyen elvégezhet®. Ajobb oldalon álló mennyiségek τ szerinti deriváltját átalakítjuk t szerinti deriválttá

− τ

∆τ 2=

(1 + a2s

T0∂tpµu

µ +

(a2

T0− b)∂ts

)1

γ. (79)


A kifejezést úgy közelítem, hogy minden riHi-ben másod-, vagy magasabb rend¶ tagot elha-

nyagolhatónak veszek (amib®l következik, hogy γ ≈ 1). A kijelölt deriváltakat elvégezve ésalkalmazva a közelítést adódik, hogy

∂tpµuµ = E∂tγ − px∂t∂xΦ− py∂t∂yΦ− pz∂t∂zΦ ≈ E (80)

∂ts = ∂t

[r2

R2(1 + ε2 cos 2ϕ) +

r3

R3cos 3ϕ+

r2zZ2

]≈ 0 (81)

vagyis a nyeregpont sajátidejére

τs =τ0T0 − E∆τ 2

T0(82)

egyenlet adódik, ahol a számlálóban a T0 és az E egy nagyságrendbe esnek, azonban a ∆τ � τ0,így jó közelítéssel igaz, hogy

τs = τ0. (83)

Ez a nyeregpont sajátid®-koordinátája.

A térkoordinátákra vonatkozó egyenlet

A térkomponensekre vonatkozó egyenletek megoldása esetén is a τs meghatározásakor tettközelítést használom. Így ha a Descartes-rendszerben felírt

1 + a2(r2x

X2 +r2y

Y 2 + r2z

Z2

)(E riH2i γ− pi

Hi

)T0b− a2

(Eγ − px rxHx − py

ryHy− pz rzHz

) =2riX2i

(84)

egyenletekben a másodrend¶ tagokat kicsinek vettem. A kijelölt m¶veleteket elvégezve és át-rendezve ri-re a következ® alakot kapjuk:

ris =piX

2i

EX2i − 2H2

i (T0b− a2E)(85)

mely, bevezetve a Ri =X2i Hi

EX2i +2Hi(a2E−b) jelölést, az

ris =piRi

T0(86)

alakban írhatók a nyeregpont térkoordinátái (i = x, yz). A második deriváltakat tehát ezenkoordináták által meghatározott tér-id® pontban kell venni.


A második deriváltak meghatározása

Az el®z® két alfejezetben levezettem azokat a megoldandó egyenleteket, melyek megha-tározzák a nyeregpont helyét a tér-id®ben. Mivel az egyenleteket analitikusan nem lehetettmegoldani, közelít® megoldást adtam azokra a (83) és a (86) egyenletekben. Azonban a másodikderiváltak meghatározása szükséges ahhoz, hogy a (66) mátrix determinánsát meghatározzuk.

A Young-tétel miatt a meghatározandó mátrixról tudjuk, hogy szimmetrikus, így elegend® lennecsak a f®átlóbeli és feletti elemeket kiszámolni. Azonban a fenti közelítést itt is alkalmazva amátrixnak csak f®átlóbeli elemei lesznek.

R−2µν =

∂τ∂τB(xs, p)− ∂τ∂τH(τ)

∂x∂xB(xs, p)∂y∂yB(xs, p)

∂z∂zB(xs, p)

(87)

A deriváltakat kiszámolva

R−2ττ = ∂2τ (− lnH(τ) + lnB(xs, p)) =1

∆τ 21 + a2s

T0∂2τpµu

µ +

(pµu

µ

T0a2 − b

)∂2τ = (88)

=1

∆τ 2+ 2

(E

T0a2 − b

)(X2

X+Y 2

Y+Z2

Z

)=

1

∆τ 2+ 2

(E

T0a2 − b

)(1

H2x

+1

H2y

+1

H2z

)(89)

Rii =1 + a2s

T0∂2i pµu

µ +

(pµu

µ

T0a2 − b

)∂2i s =

(E

T0a2 − b

)2

X2i

(90)

a detR−2µν kiszámítható. Itt ennek négyzetgyökének reciprokát adom meg, mivel a spektrumkiszámításakor ez jelenik meg:√

detR−2µν−1

=

[1

∆τ 2+ 2

(E

T0a2 − b

)(1

H2x

+1

H2y

+1

H2z

)]−1/2(E

T0a2 − b

)−3/2XY Z√

8(91)

A mérhet® mennyiségek meghatározásához áttérünk a transzverz impulzusra. Ennek eloszlásáhozki kell integrálni a szögre, s a fenti közelítés �zikai tartalma itt jelenik meg világosabban. AdetR−2µν mátrix kiszámítása során elhagytuk annak szögfüggését a mellette álló B(x, p) expo-nenciális függvény mellett, mivel utóbbié jelent®sebb.


6.4. Az invariáns spektrum és magasabb rend¶ aszimmetriák

Ahhoz, hogy az invariáns impulzuseloszlás viselkedését vizsgáljuk a forrásfüggvényt kellkiintegrálni a koordináták szerint. Ezt a nyeregponti közelítés segítségével el is tudtuk végezni,az eredmény pedig

N1(p) =gpµu

µ(xs)XY Z

(2π)3√

8

[1

∆τ2+ 2

(E

T0a2 − b

)(1

H2x

+1

H2y

+1

H2z

)]−1/2(ET0a2 − b

)−3/2e− pµu

µ(xs)

T (xs)

(92)

alakban adódik. Ahhoz, hogy mérhet® mennyiséget kapjak ebb®l az alakból, áttérek a transzverzimpulzusra,

pt =√p2x + p2y, px = pt cosα, py = pt sinα, pz = 0. (93)

Azért tehetem meg, hogy pz = 0-t választok, mert olyan mérhet® mennyiségeket számolok ki,melyeknek körülbelül nulla rapiditásuk ebben az irányban. Ezt behelyettesítve és integrálva aszögre adódik a transzverz impulzuseloszlás. Látható, hogy a kifejezések bonyolultak, az integrálanalitikusan nem végezhet® el, ezért numerikus módszerrel számolok tovább.

6.5. Az elliptikus folyás és magasabb rend¶ aszimmetriák

Azzal, hogy a szögre kiintegráltunk egy szögfüggetlen eloszlást kaptunk. Azonban a szögfügg®eloszlások is fontosak. A modell általánosítása éppen azt célozza meg, hogy általánosabb szög-függ® eloszlás is vizsgálható legyen a modellel. A szögfügg® részt leválasztva, Fourier-sorbafejtve

N1(p) = N1(pt, α) = N1(pt)

(1 + 2

∞∑n=1

vn cos(nα)

)(94)

átrendezéssel adódik adódik a de�níció:

vn =

∫ 2π

0N1(pt, α) cos(nα)dα∫ 2π

0N1(pt, α)dα

. (95)

A folyások (�ow) a sorfejtés együtthatói: vn. Az általánosított modell v2 és v3 aszimmetriátjellemz® együtthatók leírására alkalmas, mivel csak eggyel több tagot vezettem be. (Megjegy-zem, hogy ezen mennyiség nem nulla volta egy bizonyítéka annak, hogy a sQGP valóbanfolyadékszer¶en viselkedik. A térbeli aszimmetria miatt, amely az ütközések nem-centrálisvoltából fakad, impulzustérbeli aszimmetria is kialakulhat kollektív viselkedés esetén. Ilyenviselkedés azonban csak a folyadékképben lehet, olyan elképzelésben, melyben az sQGP gáz,nem.)

Az eredeti modellben az integrálok analitikusan elvégezhet®ek voltak és a módosított Bessel-függvényeket adták eredményül (ld. 9.3. fejezet). Az általánosított modellben azonban a zártalakú megoldásról már a spektrum esetén is le kellett mondani. A folyások esetében is numerikusintegrálással lehet eredményre jutni.


6.6. A paraméterfüggés vizsgálata

El®ször megvizsgáltam a különböz® tömeg¶ részecskékre milyen jelleg¶ függvényeket kapoknéhány tetsz®legesen, de reálisan választott harmonikus mellett, melyek értékét feltüntettem aképeken. Ezek eredménye látható a 14. ábrán.

13. ábra. A paraméterértékek a tömegfüggés során: ε2=0.3, ε3=0.1, χ2=0.3, χ3=0.1

Látható, hogy olyan alakú függvényeket kapunk vissza, ami megfelel a kísérleti eredmények-nek, mint amilyenek akár az 5. fejezetben is láthatóak.

A továbbiakban már nem vizsgálok meg minden paramétert, minden mennyiségre és mindháromrészecskére, csupán pionokra. Az adott paramétereknél csak a velük kapcsolatos mennyiségeketvizsgálom, mint például az ε2 hatása a spektrumra elhanyagolható, viszont annál érdekesebb azelliptikus folyásban (v2) és hatásának hiánya a v3-ban. A fejezet végén bemutatom, hogy függössze a térbeli és az sebességtérbeli aszimmetria, mely a kollektív viselkedés jele.


Paraméter jele neve értékeT0 Kifagyási h®mérséklet 170.0

∆τ 2 A kifagyás id®tartama 0.01m Tömeg 140.0a2 H®mérsékletpro�l aszimmetria paraméter 0.1b S¶r¶séggradiens-paraméter -0.1R Transzverz síkbeli méret 15Z Longitudinális méret 5

ut, Z Átlagos transzverz és longitudinális sebesség 0.6ε2, χ2 Térbeli és sebességtérbeli elliptikusság -0.3ε3, χ3 Térbeli és sebességtérbeli triangulitás -0.2

2. táblázat. A paraméterek rögzített értékei. Amelyik paraméter változik, aktuális értékét aképen jelölöm.

Ahol valamilyen paraméterérték változik, az ábrán feltüntetem fel aktuális értékét. A többiparaméter értéke minden esetben rögzített, értékét a 2. táblázat tartalmazza.


A kifagyási h®mérséklett®l való függés

A T0 paraméter a kifagyási h®mérsékletet jelenti, s mindhárom mennyiségre hatással vana változása. Ez az a h®mérséklet, amelyen �megtörténik� a hadronizáció. Az idéz®jel azértszükséges, mert a �megtörténik� szó arra utal, hogy a hadronok keletkezése pillanatszer¶enmegy végbe. Jelen modellben ezt nem tettük fel, én mégis ezzel a közelítéssel élek amikor a ∆τ 2

paraméter értékét kicsinek választom. A képeken jól látszik, hogy a modell szerint magasabbh®mérsékleteken több nagy impulzusú részecske keletkezik kisebb aszimmetriával.

14. ábra. A spektum, a v2 és a v3 h®mérsékletfüggése. A modellben a magasabb h®mérsékletektöbb nagyimpulzusú részecske tartozik. Emellett érdekes, hogy a megnövekedett hozammalpárhuzamosan az aszimmetriát leíró függvények értéke csökken.


A h®mérsékletpro�ltól való függés

Az a2 paramétert a h®mérsékletpro�l alakjának jellemzésére vezettük be. Azt a felületetjellemzi, amelyen a h®mérséklet ugyanolyan értékeket vesz fel, s ez ugyanaz, mint a térbeligeometria, amint az a (76) egyenletben látszik. A 15. ábrán látható, hogy minél nagyobbaz a2 értéke a folyások annál kisebb értéket vesznek fel. Ennek a paraméternek a hatásáraa spektrum normálása változik. Mivel azonban a h®mérsékletpro�l geometriáját jellemzi, afolyásokban szerep játszik. Matematikailag az exponens pµuµ-vel arányos tagjának szögfüggésétparaméterezi.

15. ábra. A spektrum és a folyások változása az a2 paraméter hatására. Látható, hogy aspektrumnak csak a normálását változtatja, de a folyások függvényeit jelent®sen, a bevezetettaszimmetriaparaméterekhez hasonlóan módosítja. Érdekes meg�gyelni, hogy kis a2 értékekre alegnagyobb mindkét folyás értéke. Nem szabad elfelejteni, hogy ez a paraméter a h®mérsékletaszimmetriáját írja le, míg a v2 és v3 mennyiségek a térbeli és sebességtérbeli aszimmetriátjellemzik. Kés®bb részletesen kitérek rá, hogy ez a két aszimmetria tulajdonképpen nemelválasztható egyértelm¶en a mérési adatok segítségével.


A s¶r¶séggradienst®l való függés

A b egy s¶r¶séggradiens jelleg¶ paraméter, hisz e−µ/T = ebs alakban vezettük be. Emiattis várjuk, hogy a b negatív értékeket vesz fel, s minél nagyobb negatív értéket vesz fel as¶r¶séggradiens annál nagyobb. A kis b értékek már megváltoztatják a görbék meredekségét,illetve jellegét is, amint az a a 16. ábrán látható. Határesetben, amikor a b = 0, az exponensbencsak a pµuµ/T tag járuléka számít. Ez a folyások esetén közel nulla értéket eredményez, hisz ab épp a térbeli geometriát, s így a szögfüggést leíró tagot szorozza.

16. ábra. A s¶r¶séggradiens hatása a mérhet® mennyiségekre. Egészen kis b értékekt®leltekintve a spektrum normálására van hatással. Azonban a folyásokra, csakúgy, mint az a2

paraméternek, hatása a folyásokra jelent®s. Mivel ennek a paraméter a s¶r¶ség csökkenésétírja le a központi részt®l kifelé (mivel csökkenést várható, negatív értékeket vizsgálok) azaszimmetriát befolyásolnia kell. Ez a hatás meg�gyelhet® a v2 és a v3 ábráin. Érdekesmeg�gyelni, hogy a b értékét növelve a kisimpulzusú tartomány (500MeV alatt) és az ennélmagasabb impulzusú tartomány másképp viselkedik.


Az transzverz és longitudinális sebességekt®l való függés

Az ut paraméter az átlagos transzverz, a Z paraméter pedig a longitudinális sebességetjellemzi. Ezeket a

ut =R

H, Z =

Z

Hz

(96)

formában vezetem be. Ezen paraméterek a spektrumot nem, míg az aszimmetriát leíró tagokatbefolyásolják, amint az a 17. ábrákon látszik. Bár a ~ = c = 1 egységrendszer használva aparaméterek értéke, ha valóban hármassebesség jelentéssel bírnának, nem lehetnem nagyobbegynél. Azonban ezek bizonyos irányok átlagsebességét jelent® paraméterek, így vizsgálhatóklennének egynél nagyobb paraméterek is.

17. ábra. A várakozásnak megfelel®en nagyobb átlagos sebességekhez, nagyobb folyási értékekis tartoznak. A sebesség mindkét folyás esetében fontos szerepet játszik, ezért is vezettük be asebességtérbeli aszimmetriát leíró koe�cienseket.


A térbeli aszimmetriától való függés

Az ε2 és ε3 paraméterek a térbeli aszimmetriát leíró paraméterek. Az ε2 a térbeli ellip-tikusságot, míg az ε3 egy magasabb rend¶ aszimmetriát, a térbeli triangularitást méri. Amodell továbbfejlesztésének egyik célja éppen az volt, hogy ezt a magasabb térbeli szimmetriátbevezessem. Az ábrákon is jól meg�gyelhet®, hogy az ε2 a v2-höz, míg a ε3 a v3-hoz ad járulékot.Amint az várható is, nagyobb paraméterértékre nagyobb folyásértéket kapunk.

18. ábra. A fels® sorban a v2 változása látható rendre az ε2 és ε3 paraméterek változásaira. Azalsó sorban ugyanezen változások �gyelhet®ek meg a v3 folyás esetén. Az eddig tárgyalt a2 és bparaméterekkel ellentétben ezen paraméterek a térbeli aszimmetria leírására vezettem be, ígyhatásuk a folyási függvényekre fontos. A várt viselkedés látható az ábrákon, vagyis nagyobbparaméterértékekhez nagyobb folyásértékek is tartoznak.


Az sebességtérbeli aszimmetriától való függés

Az χ2 és χ3 paraméterek a sebességtérbeli aszimmetriát írják le, amint azt a (63) egyenletbenbevezettem. A χ2 az ellipszoidális, míg a χ3 a magasabb rend¶ aszimmetriához ad járulékot asebességtérben. A különböz® index¶ folyások paraméterei nincsenek hatással a többire, mintazt a 19. ábra illusztrálja. Érdekes, hogy a sebességtér aszimmetriája a kisebb (500 MeV alatti)

19. ábra. A fels® sorban a v2 folyás változása látható a χ2 és χ3 paraméterek értékeinekváltozására. Az alsó sorban a v3 folyás ugyanezen paraméterek változása mellett. A kollektívviselkedés miatt a folyási függvényekre a sebességtérbeli aszimmetria is hatással van, csakúgy,mint a térbeli aszimmetriát leíró paraméterek.

impulzusoknál nem játszik fontosabb szerepet. Természetesen nem elhanyagolható, de nemfüggetlen a térbeli aszimmetriától a folyadékjelleg miatt, s mivel annak jelent®sebb járuléka van,sebességt®l függetlenül, a kisebb impulzustartományokban is, az sebességtérbeli aszimmetriacsak a nagyobb értékeknél lesz jelent®sebb. Ez az ábrákon is látszik; meg�gyelhet®, hogyamikor olyan paraméter változik, melynek nincs hatása az adott folyásra, akkor csak a rögzítettparaméter szabályozza az értékét: a térbeli aszimmetria. Így összehasonlítva az egymás mellettlév® ábrákat látható, hogy 500 MeV körüli impulzustól ad a térbeli aszimmetriával összemérhet®járulékot.


6.7. Aszimmetria paraméterek kombinációjának hatása

A 18. és 19. ábrák alapján látható, hogy az térbeli és az sebességtérbeli aszimmetria afolyásokat mindkét paraméter befolyásolja. Megjegyzem, hogy ezen paraméterek mellett az a2,b paraméterek és az ut, Z-n keresztül a tágulást leíró paraméter, a H is befolyásolja a folyásokat.

Már a módosított sebességtér illusztrálásakor látható (10., 11 és 12. ábrák), hogy egy álta-lánosabb szimmetria jobban megközelíti a valóságot (1. ábra). Ez a kapcsolat a két paraméterközött, mely már az eredeti modellben is megjelenik, a mérésekkel összhangban áll, s bizonyítékaa kollektív viselkedésnek.

Érdemes tehát a paraméterértékek kombinációját egy szintvonalas �térképen� megvizsgálnunk.Ilyen térképet mind a v2, mind a v3 esetére készítettem. Ez látható a 20. ábrákon.

20. ábra. A vonalak közötti távolság 0.05. A bal oldali képek pt =500 MeV-nél, míg a jobboldaliak pt =1700 MeV-nél készültek. Jól látható az ábrákon, hogy a sebességtérbeli aszimmetriacsak nagyobb impulzusoknál jelenik meg és ekkor a két paraméter szétválaszthatatlan, vagyis avn értéke nem függ külön az egyik és külön a másik értékét®l, hanem csak azok kombinációjától.Az értékeik külön meghatározása további vizsgálatot igényel. Ilyen lehet jelen modellel történ®illesztés.


Tehát egy nagyon fontos következtetést lehet levonni, mely az ábrákon jól látszik: a kísérletekbenmegmért v2, v3, ... , vn folyások értékeib®l nem lehet függetlenül következtetni a térbeli aszim-metriára, mert folyások értékeit, f®leg a nagyobb impulzusoknál a sebességtérbeli aszimmetriais jelent®sen befolyásolja. A kísérletek során csupán a kett® kombinációját lehet mérni. Ahhoz,hogy a két paraméter értékét külön-külön meg lehessen határozni, hidrodinamikai modellekszükségesek, melyek tartalmazzák mindkét paramétert.A dolgozatban tárgyalt modell alkalmas ilyen vizsgálatokra. Az adatokkal való összehasonlítássalel lehet dönteni, hogy melyik paraméternek mekkora járuléka van a folyási függvényekben.Amint azt már említettem a paraméterek csupán az indexüknek megfelel® folyási függvénybeadnak járulékot. Ezt ábrákon is bemutattam.

8 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS 50

7. Összefoglaló

A dolgozatban egy már ismert hidrodinamikai modellt, a Buda-Lund modellt használtam felarra, hogy a nehézion-ütközésekben keletkez® sQGP néhány tulajdonságának energiafüggésétmeghatározzam. A modell leírása után több különböz® energiára végeztem illesztéseket. Ezenvizsgálat eredménye, hogy a hidrodinamikai modell paraméterei nem függenek az ütközésienergiától, vagy csak olyan kis mértékben, melyet az illesztések nem mutattak ki, amint ezvárható volt. Ugyanis az ütközési energiától az sQGP keletkezése vagy nem keletkezése függhet,de olyan paraméterek, mint a kifagyási h®mérséklet, azaz a hadrongenezis h®mérséklete aTermészet egy általános tulajdonsága és nem függhet attól, hogy milyen energián végezzüka kísérletet. Olyan paraméterek, mely a keletkezett plazma méretével, a tágulás idejével kap-csolatosak lehetnének energiafügg®ek. De az illesztések ezt nem támasztják alá.

A dolgozat második felében a modell egy általánosítását tárgyaltam, mely magasabb aszimmet-riákat is �gyelembe vesz. A módszerrel, mellyel bevezettem a magasabb rend¶ aszimmetriákparamétereit, tetsz®leges számú koe�ciens bevezethet®, így tetsz®legesen magas aszimmetria�gyelembe vehet®. Jelen dolgozatban az els® két ilyen paramétert tárgyaltam, s így a v2 és a v3mérhet® mennyiségeket tudtam kiszámolni numerikusan.Az általánosított modell helyes görbéket ad vissza a más illesztésekb®l nyert paraméterekkel.Fontos eredmény, hogy a modellb®l látható a térbeli és sebességtérbeli aszimmetria egymástbefolyásoló hatása. Az err®l készült kontúr ábrákon bemutattam, hogy a kísérletileg meghatáro-zott folyási függvények értékeit nem-függetlenül befolyásolja a két külön aszimmetriaparaméter,így azok értéke nem, csupán kombinációjuk értéke határozható meg közvetlenül a mérésekb®l.Értékeik meghatározására külön vizsgálatot igényel.

8. Köszönetnyilvánítás

Köszönöm Csanád Máténak, témavezet®mnek a végtelen türelmét, odaadó munkáját, taná-csait és útmutatásait, melyek nélkül a dolgozat nem készülhetett volna el. Köszönöm CzinderAnitának, barátn®mnek, akinek támogatása mindig er®t adott. Köszönöm szüleimnek, baráta-imnak segítségükért, lelkesítésükért.

9 FÜGGELÉK 51

9. Függelék

9.1. A hidrodinamika alapegyenleteinek térelméleti levezetése

A térelméletet jelen esetben folyadékokra alkalmazzuk. Jelen függelék célja a hidrodinamikaalapegyenleteinek levezetése térelméleti módszerekkel.

Klasszikus Lagrange-koordinátázás

A Lagrange-koordináta egy tömegelemmel együtt mozgó, az elmozdulás tér egy pontja.Kezdeti feltételnek egy t0 id®pillanatban kiválasztott r0 koordináta számít, ez azonosítja atömegelemet. A sebességet és a gyorsulást:

v(r, t) =∂

∂tr(r0, t) (97)

a(r, t) =∂2

∂t2r(r0, t) (98)

összefüggések adják, ahol r0 a folyadékelem kezdeti feltétele, a t = 0 id®pontbeli helyvektor.

Klasszikus Euler-koordinátázás

Ahhoz, hogy áttérjünk a Lagrange-koordinátákról az Euler-koordinátákra a

vE(r, t) = vL(r0(r, t), t) (99)

vagy az Euler-képb®l a Lagrange-képbe való áttéréshez a

vL(r0, t) = vE(r(r0, t), t) (100)

függvényt keressük, ahol a vE az Euler-képbeli sebességmez®t, míg vL a Lagrange-képbelisebességmez®t jelöli. Vagyis lényegében az együttmozgó rendszerr®l térünk át laborrendszerre(Lagrange →Euler), vagy fordítva (Euler → Lagrange).

A totális derivált a Lagrange-képbeli mez® id®deriváltja Euler-képben. Tömören jelölve:

dFdt

=∂F

∂t+ (v∇)F (101)

ahol F egy Lagrange-képbeli mez®. Így például a sebességmez® a következ®képpen írható át:

dvdt

=∂v

∂t+ (v∇)v (102)

Látjuk tehát, hogy a konvektív tag az Euler-egyenletben tulajdonképpen egy áttérés egy másikképbe. Ha bevezetjük J Jacobi-mátrixot és annak determinánsát J -t

Jab =∂ra∂r0b

(103)

9 FÜGGELÉK 52

alakban, ahol az a, b a komponenseket indexelik akkor kapjuk

ρd3r = ρJd3r0 = ρ0d3r0 (104)

amib®l látható, hogy

ρ =ρ0(r0)J(r0, t)

. (105)

Klasszikus mechanikából ismert, hogy az L Lagrange-függvény megadható, mint L=K-V,ahol K a kinetikus, V pedig a potenciális energia. Ezt s¶r¶ségekre átfogalmazva általánosanfelírhatjuk

Λ = ρ0

(v2

2− ε), (106)

alakot. Behelyettesítve az

∂Λ

∂ra=

∂

∂t

∂Λ

∂ra,i+

∂

∂r0b

∂Λ

∂ra,b(107)

alakú Euler�Lagrange-egyenletbe. Itt ra,t = ∂ra/∂t, ra,b = ∂ra/∂b jelölést vezetjük be, ahol aza, b a komponenseket indexelik. A deriváltakat külön-külön kiírva:

∂Λ

∂ra= 0 (108)

∂Λ

∂ra,t= ρ0va. (109)

Itt fontos még egy közbevetés. Az adiabatikusság miatt a pálya mentén az entrópia állandó.Vagyis a termodinamika I. f®tétele a következ® alakot ölti:

dε =pdρ

ρ2(110)

Ezt felhasználva a harmadik tagot is kiszámítva

∂Λ

∂ra,b=

∂Λ

∂Jab= −ρ0

∂

∂Jabε(ρ0J, s0

)=ρ20J2

∂ε

∂ρ

∂J

∂Jab= pJJ−1ba (111)

és vissza írva az (107) Euler�Lagrange-egyenlet (109),(111) tagjait

ρ0∂va∂t

= − ∂

∂rbpJJ−1ba , (112)

alakra jutunk, ahol J a J Jacobi mátrix determinánsa, J−1ba az elmozdulástér gradiensénekinverzéb®l származik.

9 FÜGGELÉK 53

Ha �gyelembe vesszük, hogy a fenti eredményt is Lagrange-koordinátákban kaptuk, ráis-merünk az Euler-egyenletre, hisz Euler-koordinátákban a Jacobi-determináns kifejezései egyetadnak. Kifejtve tehát a deriváltat a (102) szerint

∂ua∂t

+

(∂ua∂xa

)ua = − 1

ρ0

∂p

∂xa(113)

ahol ua egy Euler-képbeli sebességmez® egy koordinátája, xa pedig egy Euler-képbeli helyvektoregy koordinátája.

Relativisztikus Euler-koordinátázás

A relativisztikus hidrodinamika Lagrange-s¶r¶ségfüggvénye a következ® alakú:

Λ = −ρε(ρ, s) +ρν

2

(1− gijuiuj

)(114)

ahol ρ, ε, s a pillanatnyilag együttmozgó rendszerbeli, más szóval nyugalmi s¶r¶ség, fajlagosbels® energia és entrópia, valamint alkalmaztuk a kinematikai kényszert. Euler képben azokat amegmaradási tételeket, melyek a lagrange-i képben maguktól adódtak, multiplikátorokkal kell�gyelembe venni, mint küls® kényszereket. Ilyen megmaradási tételek a kontinuitási egyenlet,az adiabatikusság, a kezdeti feltétel megmaradása 2. Ezek után a teljes LSF összeáll a fentiLagrange s¶r¶ségfüggvényb®l és egy, a kényszereket is tartalmazó Lagrange s¶r¶ségfüggvényb®l.Elvégezve a variálásokat kiderül, hogy a pálya mentén a Lagrange s¶r¶ségfüggvény értéke magaa nyomás:

Λteljes = ρ(−ε+ Φ

)= ρ(w − ε) = p (115)

ahol w = p/ρ+ ε a fajlagos entalpia. A variációs elvekb®l megkaphatjuk az általánosított Euleregyenletet is:

Dwuidτ

= (wui);juj =

p,iρ

(116)

Itt a ;j a teljes divergenciát jelöli.Így az EIT kanonikus el®állításban a következ®képpen néz ki:

T ij = φα,i∂Λ

∂φα,i− gjiΛ = ρ

w

c2uiuj − gijp. (117)

Vagy a Hilbert-féle el®állítást használva

T µν = 2∂Λ

∂gµν− gµνΛ = ρ

w

c2uµuν − gµνp (118)

A kétféle el®állítás közötti különbség az, hogy relativisztikusan mindig csak a Hilbert-féleEIT Lorentz-invariáns. Azonban nem feltétlenül következnek bel®le megmaradási tételek, míga kanonikusból igen.

2A kezdeti feltétel megmaradását úgy kell érteni, hogy az xi(τ, r0) pályavonal invertálható r0-ban. Ezmatematikailag annyit jelent, hogy a pályák nyalábok.

9 FÜGGELÉK 54

9.2. További aszimmetria koe�ciensek bevezetése

Mint azt a 6. fejezetben említettem, akárhány koe�ciens bevezethet® a modellbe. Ehhez askálaváltozót és a sebességtér potenciálját

s =r2

R2+

N∑n=2

(rn

Rnεn cos(nϕ)

)(119)

Φ =r2

2H+

N∑n=2

(rn

nHχn cos(nϕ)

)(120)

alakban kell felvenni. Én az N = 3 esetet vizsgáltam, azaz a gömbszimmetria mellé mégbevezettem két további aszimmetria faktort. Természetesen többet is be lehet vezetni és ezekkelmég általánosabb szimmetriákat kapnánk. Ilyet ábrázoltam a 21. ábrán, ahol még egy, χ4

paramétert vezettem be a sebességtérbe. A skálaváltozó is ilyen alakú aszimmetriát tükröz.

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

21. ábra. Az eredeti trianguláris aszimmetriát mutató sebességtér módosulása, ha bevezetema χ4 paramétert. χ4 = 0.3, χ2 = 0.3 és χ3 = 0.3.

9 FÜGGELÉK 55

9.3. A Bessel-függvények

Ebben az alfejezetben rövid áttekintését adom a speciális függvények egy szélesen alkalmazottcsoportjának, a Bessel-függvényeknek, és bemutatom kapcsolatukat a hipergeometrikus függ-vényekkel, melyeknek a Bessel-függvények határeseteik.

A Laplace-egyenlet hengerkoordinátákban

Számos m¶szaki és alkalmazott számításnál a peremfeltételek hengerszimmetrikusak, így aLaplace egyenlet megoldása is az kell legyen az ilyen rendszerekben. (Gondoljunk például a köralakú membrán rugalmas rezgéseire.)A Laplace egyenlet

∂2xu+ ∂2yu+ ∂2zu = 0 (121)

hengerkoordinátákban a

∂2ρu+1

ρ∂ρu+

1

ρ2∂2ϕu+ ∂2zu = 0 (122)

alakú. Ez az egyenlet bizonyos feltételekkel át lehet alakítani. (Ezen feltételek részletei a rövidáttekintésben nem említhet®ek meg, de a [35] irodalom fellelhet®, mely � nem csak a Bessel-függvények terén � széleskör¶ ismereteket tartalmaz.)

d2Y

dt2+

1

t

dY

dt+ Y = 0 (123)

(Itt t egy változó és nem az id®t jelöli.) Ennek az átalakított egyenletnek a hatványsor formájábanel®állítható legáltalánosabb megoldása:

Y = c0

∞∑k=0

(−1)k

22k(k!)2t2k. (124)

Így a (123) di�erenciálegyenletet nullindex¶ Bessel-féle di�erenciálegyenletnek, ennek (124)megoldását nullindex¶ Bessel-függvénynek nevezzük és a következ® jelölést használjuk rá:

J0(t) =∞∑k=0

(−1)k

22k(k!)2t2k. (125)

A gyakorlatban azonban sokszor merül fel a (123) egyenletnél általánosabb

x2d2y

dx2+ x

dy

dx+ (x2 − p2)y = 0 (126)

alakú, ún. nullindex¶ Bessel-féle di�erenciálegyenlet, melynek megoldását az el®z®ekhez hasonlóanvégezhetjük. Ebben az esetben az egyenletünk

xd2Y

dx2+ (2 + p1)

dY

dx+ xY = 0 (127)

9 FÜGGELÉK 56

alakú lesz, melynek megoldását megint felírhatjuk hatványsor alakjában:

Y = c0

∞∑k=0

(−1)k

22kk!(p+ 1)...(p+ k)x2k. (128)

Míg az el®z® részben a c0 állandó tetsz®leges volt, itt meghatározott alakja van, ugyanisbelátható, hogy

c0 =1

2pΓ(p+ 1)(129)

ahol a nevez®ben a Γ-függvény áll. Így a megoldás

Jp(x) =∞∑k=0

(−1)k

k!Γ(p+ k + 1)

(x2

)p+2k

(130)

alakú. Ezt a függvényt els®fajú p-index¶ Bessel-függvénynek nevezzük. A negatív index¶ függ-vényeket a

J−p(x) = (−1)pJp(x) (131)

összefüggés alapján de�niálhatjuk. Elvileg p bármilyen valós (s®t komplex) értéket felvehet.Azonban tömören azt lehet mondani, hogy ha p nem egész, akkor Jp(x) és J−p(x) a (126)egyenletnek alaprendszerét3 állítja el®; ha p egész szám, akkor Jp(x) és J−p(x) összefügg®k,tehát a (126) egyenletnek egyetlen partikuláris megoldását kaptuk.

A módosított Bessel-függvények

Ha a (126) p-ed rend¶ Bessel-féle di�erenciálegyenletet úgy módosítjuk, hogy az x2 elébevezetünk egy λ szorzót, tehát:

x2d2y

dx2+ x

dy

dx+ (λ2x2 − p2)y = 0, (132)

egy kissé általánosabb egyenletet kapunk, de a (126) egyenlet megoldásának segítségével felírhatóezen egyenlet megoldása is. Ugyanis, ha y = y(x) megoldása a (126) egyenletnek, akkorbelátható, hogy y = y(λx) megoldása a (134) egyenletnek.

Ha a (134) egyenletben speciálisan λ = i-t helyettesítünk,

x2d2y

dx2+ x

dy

dx+ (i2x2 − p2)y = 0, azaz (133)

x2d2y

dx2+ x

dy

dx− (x2 + p2)y = 0 (134)

3Egy n-ed rend¶ di�erenciálegyenlet I alaprendszerét alkotják azon függvények, melyek I-n legalább n-enértelmezettek, lineárisan függetlenek I-n és mindegyik függvény megoldása az egyenletnek.

9 FÜGGELÉK 57

egyenletre jutunk. Ennek az egyenletnek a megoldása Jp(ix), de ehelyett gyakran az ún. els®fajúmódosított Bessel-függvényt használjuk, melynek el®állítása:

Ip(x) = e−ipπ/2Jp(xeiπ/2). (135)

Így a (130) megoldásból következ®en az els®fajú módosított Bessel-függvények el®állítása:

Ip(x) =∞∑k=0

1

k!Γ(p+ k + 1)

(x2

)p+2k

. (136)

Ha p = n egész szám, akkor I−n(x) = In(x). Ha p nem egész, akkor Ip(x) és I−p(x) a (134)di�erenciálegyenlet egy alaprendszerét alkotják. Ekkor képezhetjük a

Kp(x) =π

2 sin pπ[I−p(x)− Ip(x)] (137)

függvényt, amelyet harmadfajú módosított Bessel-függvénynek nevezünk.

Integrális el®állítás

Azon alkalmazásokban, melyekben a jelen dolgozatban felmerül a Bessel-függvények alkal-mazása, azok integrális el®állítása a fontos.

A (130) megoldást szokás Bessel-féle együtthatóknak is nevezni, mert ezek a függvények egy ún.generátorfüggvény sorfejtésének együtthatóiként is származtathatóak. Ez a generátorfüggvény

w = ex2 (z− 1

z ). (138)

Ha ezen függvény két tényez®jét külön-külön z hatványai szerint Laurent-sorba fejtjük ésösszeszorozzuk a megfelel® módon a tagokat, akkor

∞∑k=0

(−1)k

k!Γ(n+ k + 1)

(x2

)n+2k

= Jn(x) (139)

vagyis a generátorfüggvény sorfejtése:

ex2 (z− 1

z ) =∞∑

−infty

Jn(x)zn. (140)

Hogyha ezen függvény Laurent-sorában a J − n(x) együtthatókat a szinguláris hely körülhaladó zárt görbe menti integrál segítségével írjuk fel, egy fontos integrális el®állítást kapunk(alkalmazva a z = eiϕ helyettesítést):

Jn(x) =1

π

∫ π

0

cos(x sinϕ− nϕ)dϕ ahol n = 0, 1, 2, ... . (141)

9 FÜGGELÉK 58

Ez a Bessel-integrál. A kapcsolatot felhasználva a Bessel- és a módosított Bessel-függvényekközött, megadható azok integrális el®állítása is. Itt csak az els®fajú módosított Bessel-függvényétközlöm:

In(z) =1

π

∫ π

0

ez cosϕ cos zϕdϕ− sinnπ

π

∫ ∞0

e−z cosh t−ntdt (142)

vagy feltételezve, hogy n egész

In(z) =1

π

∫ π

0

ez cosϕ cos(nϕ)dϕ. (143)

Ezen integrális el®állítás jelenik meg a vn folyások leírásában.

HIVATKOZÁSOK 59

Hivatkozások

[1] M. Nagy and R. Vértesi, A kvarkanyag nyomában - nagyenergiás nehézion-�zikai kutatásoka PHENIX kísérletben, 2010.

[2] B. Alver and G. Roland, Phys.Rev. C81, 054905 (2010) [arXiv:1003.0194].

[3] M. Csanad, T. Csorgo, and B. Lorstad, Nucl.Phys. A742, 80 (2004) [arXiv:nucl-th/0310040].

[4] K. Adcox et al., Phys. Rev. Lett. 88, 022301 (2002) [arXiv:nucl-ex/0109003].

[5] S. S. Adler et al., Phys. Rev. Lett. 91, 072301 (2003) [arXiv:nucl-ex/0304022].

[6] K. Adcox et al., Nucl. Phys. A757, 184 (2005) [arXiv:nucl-ex/0410003].


[8] A. Adare et al., Phys. Rev. Lett. 98, 162301 (2007) [arXiv:nucl-ex/0608033].

[9] A. Adare et al., Phys. Rev. Lett. 98, 172301 (2007) [arXiv:nucl-ex/0611018].

[10] A. Adare et al., Phys. Rev. Lett. 104, 132301 (2010) [arXiv:0804.4168].

[11] S. Borsányi et al., JHEP 1011, 077 (2010) [arXiv:1007.2580].

[12] M. Csanád, M. Nagy, and S. Lökös, Eur.Phys.J. A48, 173 (2012) [arXiv:1205.5965].

[13] S. Belen'kji and L. Landau, Il Nuovo Cimento (1955-1965) 3, 15 10.1007/BF02745507(1956).

[14] R. C. Hwa, Phys. Rev. D 10, 2260 (1974).

[15] J. D. Bjorken, Phys. Rev. D 27, 140 (1983).

[16] T. Csörg®, L. Csernai, Y. Hama, and T. Kodama, Heavy Ion Phys. A21, 73 (2004)[arXiv:nucl-th/0306004].

[17] T. Csorgo et al., Phys.Rev. C67, 034904 (2003).

[18] M. Csanad and T. Csorgo, Acta Phys.Polon.Supp. 1, 521 (2008) [arXiv:0801.0800].

[19] A. Ster, T. Csorgo, and B. Lorstad, Nucl.Phys. A661, 419 (1999) [arXiv:hep-ph/9907338].

[20] K. Aamodt et al., Phys.Lett. B696, 30 (2011) [arXiv:1012.1004].

[21] K. Aamodt et al., Phys.Rev.Lett. 105, 252302 (2010) [arXiv:1011.3914].

[22] K. Aamodt et al., Phys.Lett. B696, 328 (2011) [arXiv:1012.4035].

HIVATKOZÁSOK 60

[23] S. S. Adler et al., Phys. Rev. C69, 034909 (2004) [arXiv:nucl-ex/0307022].



[26] A. et al., Phys. Rev. Lett. 88, 242301 (2002).

[27] S. Adler et al., Phys.Rev.Lett. 94, 232302 (2005).

[28] K. Adcox et al., Phys.Rev.Lett. 88, 192302 (2002) [arXiv:nucl-ex/0201008].

[29] Pi0 invariant yield measured in PHENIX run10 at 62.4 GeV Au+Au collisionin di�erent centralities. , http://www.phenix.bnl.gov/WWW/plots/show_plot.php?

editkey=p1120.

[30] A. Taranenko, v2 of charged pi, k, p/pbar from Au+Au collisions at 62 GeV, http://www.phenix.bnl.gov/WWW/plots/show_plot.php?editkey=p1142.

[31] S. Esumi and the PHENIX Collaboration, Journal of Physics G: Nuclear and ParticlePhysics 38, 124010 .

[32] A. Enokizono, mT dependence of 3-D HBT radius parameters (Au+Au/Cu+Cu 62GeV) ,http://www.phenix.bnl.gov/WWW/plots/show_plot.php?editkey=p0595.

[33] The invariant yield of pi0 at 39 GeV in PbSc Run-10. , http://www.phenix.bnl.gov/WWW/plots/show_plot.php?editkey=p1107.

[34] A. Taranenko, v2 of charged pi, k, p/pbar from Au+Au collisions at 39 GeV .

[35] M. Farkas, M¶szaki Könyvkiadó (1964).

Magas rend¶ aszimmetriák a Buda-Lund modellben...

Documents

Transcript of Magas rend¶ aszimmetriák a Buda-Lund modellben...