Maäratud integraal¨ Pindala Funktsiooni graafiku alune …...Maäratud integraal¨...

Maaratud integraal Pindala

Funktsiooni graafiku alune pindala

x4x0 ξ1 x1 ξ2 x2 ξ3x3 ξ4

y

x

y = f (x)

x = a

ppppppp

p

ppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppx = b

G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analuus I 1 / 17

Maaratud integraal Kvadratuurvalemid

Kvadratuurvalemid

Maaratud integraali ligikaudse arvutamise valemeid nimetamekvadratuurvalemiteks. Kasutades seda, et

b∫a

f (x)dx = limn→∞

maxi

∆xi→0

n∑i=1

f (ξi)∆xi ,

saame maaratud integraali ligikaudselt arvutada kasutades Riemannisummat

SΠn (f ) =n∑

i=1

f (ξi)∆xi

valides konkreetse tukelduse ja funktsiooni vaartused osaloikudes[xi , xi+1].



Ristkulikvalem

(Parempoolse) Ristkulikvalemi saame kui valime

SΠn (f ) =n∑

i=1

f (xi)∆xi

Valides uhtlase tukelduse xi = a +b − a

ni saame, tahistades

h :=b − a

n,

SΠn (f ) = hn∑

i=1

f (a + hi)



Trapetsvalem

Trapetsvalemi saame kui valime ξi selliselt, et f (ξi) = 12(f (xi) + f (xi+1)).

Pideva funktsiooni f korral leidub igal osaloigul vahemalt uks sellinepunkt ξi kuna loigul pidev funktsioon omandab sellel loigul koikvaartused oma maksimaalse ja minimaalse vaartuse vahel.

SΠn (f ) =12

n∑i=1

(f (xi) + f (xi+1)

)∆xi

Valides uhtlase tukelduse xi = a +b − a

ni saame, tahistades

h :=b − a

n,

SΠn (f ) =h2

n∑i=1

(f (a+h(i−1))+f (a+hi)

)=

h2

((f (a)+f (b)

)+h

n−1∑i=1

f (a+hi)



Kvadratuurvalemid

Uldjuhul vaatame kvadratuurvalemit kujul

b∫a

f (x)dx =n∑

i=1

ai f (ξi) + (Rnf )(a,b),

kus ξi on kvadratuurvalemi solmed ja ai kvadratuurvalemi kordajad.Juhul kui kasutame uhtlast tukeldust ja nouame valemi tapsustpolunoomide korral, saame Newton-Cotes’i kvadratuurvalemid.Trapetsvalemi saame noudes, et valem oleks tapne juhul n = 2funktsioonide f (x) = 1 ja f (x) = x korral.



Newton-Cotes n = 2 (Trapetsvalem)

Valiku n = 2 korral h = b − a ja saame kvadratuurvalemi erijuhu∫ b

af (x)dx = a1 f (a) + a2 f (b) + R2(a,b, f ).

Kui nouda funktsioonide 1 ja x korral valemi tapsust, siis saame∫ ba 1dx = a1 · 1 + a2 · 1 ⇒ a1 + a2 = b − a,∫ ba xdx = a1 · a + a2 · b ⇒ a a1 + b a2 =

b2 − a2

2,{

a1 + a2 = h

a a1 + b a2 =a + b

2h⇒ a1 = a2 =

h2

ning ∫ b

af (x)dx =

h2

( f (a) + f (b)) + R2(a,b, f ).



Trapetsvalem (n = 2)∫ b

af (x)dx ≈ h

(12

f (x0) + f (x1) + f (x2) + . . .+ f (xm−1) +12

f (xm)

)Kehtib hinnang

|R2| ≤(b − a)3

12m2 maxx∈[a,b]

∣∣ f ′′(x)∣∣

Simpsoni valem (n = 3)

∫ ba f (x)dx ≈ b − a

6m[ f (x0) + 4 ( f (x1) + f (x3) + f (x5) + . . .+ f (x2m−1)) +

+2 ( f (x2) + f (x4) + f (x6) + . . .+ f (x2m−2)) + f (x2m)] .

Kehtib hinnang

|R3| ≤(b − a)5

180 (2m)4 maxx∈[a,b]

∣∣∣ f IV(x)∣∣∣



Kvadratuurvalemid

Trapetsvalemi ja Simpsoni valemi tuletamisel me noudsime tapsustmadala astme polunoomide korral kuigi n + 1 fikseeritud solme korralvoiksime nouda Newton-Cotesi kvadratuurvalemi tapsust n-astmepolunoomi korral.Sisuliselt asendasime me integreeritava funktsiooni f funktsiooniga,mis igal osaloigul on kas lineaarne (trapetsvalem) voi ruutpolunoom(Simpsoni valem) ja integreerisime seda funktsiooni.Selliseid funktsioone nimetame splainideks. Jargnevas vaatamegi miksselline integreeritava funktsiooni lahendus on parem kui lahenduskorge astme polunomiga.


Splainid Splaini definitsioon

Splainid

Olgu meil antud mingi loik [a,b] ja selle loigu tukeldus solmedegaa = t0 < t1 < . . . < tn = b.Splainiks (ing.k spline) voib nimetada tukati antud funktsiooni, missolmedes tj rahuldab teatud siledustingingimusi. Tavaliselt peetaksenimetuse ”splain” kasutamisel silmas tukati polunomiaalset funktsiooni.

Definition (splain)

Olgu loik [a,b] ⊂ R tukeldatud osaloikudeks solmedegaa = t0 < t1 < . . . < tn = b. `-jarku splainiks siledusastmega pnimetatakse jargmiste omadustega funktsiooni M`,p(t):1. M`,p(t) on ulimalt `-astme polunoom igal osaloigul [tj , tj+1].2. M`,p(t) ise ja tema tuletised kuni jarguni p kaasa arvatud on pidevadvahemikus (a,b), st M`,p ∈ Cp(a,b).


Splainid Interpolatsioon

Vaatame naitena interpolatsiooni,kasutades funktsiooni vaartusi 10solmes.

2 4 6 8 10

-4

-2

2

4

6



Vaatame naitena interpolatsiooni,kasutades funktsiooni vaartusi 10solmes.Me saame 9 astmeinterpolatsioonipolunoomi, mislabib koiki solmi kuid solmedevahel kaitub ”halvasti”. Meiefunktsiooni vaartused olidvahemikus (0,1), seevastuinterpolatsioonipolunoomimuutumispiirkond on oluliseltlaiem. Seega korget jarkupolunoom funktsioonilahendamiseks ei sobi.

2 4 6 8 10

-4

-2

2

4

6



Vaatame naitena interpolatsiooni,kasutades funktsiooni vaartusi 10solmes.Vaatame nuud lahendamistkuupsplainidega M3,2 ∈ C2(a,b).Tulemus on oluliselt ”ilusam”.

2 4 6 8 10

-4

-2

2

4

6



Vaatame naitena interpolatsiooni,kasutades funktsiooni vaartusi 10solmes.Seega voime vaita, et splainid, sttukati polunomiaalsedfunktsioonid, mile korral igalosaloigul on polunoomi astekullalt madal, sobivadfunktsioonide lahendamiseksparemini kui korge astmepolunoomid.

2 4 6 8 10

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2


Splainid B-splainid

B-splainid

Funktsiooni esitamisel splainidega on mitmeid voimalusi. Uks nendeston kasutada baasisplaine. Me saame n + 1 solme korral interpoleerivaesituse ` > 1 astme splainidega kujul

M`,`−1(t) =

n+b`/2c∑j=−b`/2c

cjB`,`−1j (t).

Uhtlase tukelduse tj+1 − tj = h korral voime baasisplainid B`,`−1k

esitada nn B-splainide B` kaudu

B`,`−1j (t) = B`

(t − tj

h

).

Kordjajate cj leidmiseks tuleb uldjuhul lahendada vastavlintmaatriksiga lineaarvorrandisusteem.


Splainid B-splainid

B-splainid defineeritakse traditsiooniliselt rekursiivselt, kasutadeskonvolutsiooni B` := B`−1 ∗ B0 (` > 1), st kujul

B`(t) := (B`−1 ∗ B0)(t) =

∫R

B`−1(t − u)B0(u)du.

Siin B0 defineeritakse traditsiooniliselt loigu [−1/2,1/2] karakteristlikufunktsioonina χ[−1/2,1/2] kujul

B0(t) :=

0, t < −1

2 ,12 , t = −1

2 ,

1, −12 < t < 1

2 ,12 , t = 1

2 ,

0, t > −12 .

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2


Splainid B-splainid

B-splainid kui sinc-funktsiooni Fourier’ teisendid

Teiseks voimaluseks on esitada B-splainid B` (` > 0) vastavaaknafunktsiooni λ`(u) := sinc`+1(u/2) Fourier’ teisendinaB`(t) :=

√π2λ∧` (πt). Fourier’ teisendus:

f∧(v) :=1√2π

∫R

f (t)e−ivtdt .

Voime kasutada ka kuju

B`(t) :=

∫ ∞0

sinc`+1(u

2

)cos(πut) du

kus kardinaalsiinus (sinus cardinalis)

sinc(x) :=

{1, x = 0,

sin(πx)πx , x 6= 0.


Shannoni valimread splainidest tuumadega Valimridade teooria

Valimridade (ing.k sampling series) teooria

Kui me vaatame kvadratuurvalemi uldkuju

b∫a

f (x)dx =n∑

i=1

ai f (ξi) + (Rnf )(a,b),

kus ξi on kvadratuurvalemi solmed ja ai kvadratuurvalemi kordajad,siis oleks loomulik kasutada sellise valemi tuletamiseks funktsiooni fesitust valimreana:

f (t) =∑

i

f (ξi)si(t) + (Rf )(t) = (Sf )(t) + (Rf )(t),

kus {ξi} on valim punkte ning si on nn baasifunktsioonid. Toepoolest:

b∫a

f (x)dx =∑

i

f (ξi)

b∫a

si(x)dx + (Rf )(a,b).


Shannoni valimread splainidest tuumadega Valimridade teooria

Uldistatud valimread

Me defineerime uldistatud valimread (t ∈ R, W > 0):

(SW f )(t) =∞∑

k=−∞f (

kW

)s(Wt − k). (1)

Et saavutada uhtlast koonduvust f ∈ C(R) korral ‖f − SW (f )‖ → 0,W →∞, peab vastav tuum s ∈ C(R) rahuldama teatud tingimusi:

∞∑k=−∞

s(u − k) = 1 (u ∈ R) ja supu∈R

∞∑k=−∞

|s(u − k)| <∞

Esimene tingimus tahendab, et valimrida peab olema tapne funktsioonif (t) = 1 korral. Voib nouda tapsust ka korgema astme polunoomidekorral. Vastavate tingimuste kuju on sarnane.


Shannoni valimread splainidest tuumadega B-splain tuumad

B-splainide valimread

Kuna B-splainid B` sobivad valimera tuumaks, siis sobib valimreatuumaks ka iga loplik lineaarkombinatsioon∑

`,k

c`,kB`(t − k),∑`,k

c`,k = 1.

Lihtsaim naide, mis annab interpoleeriva valimrea on funktsiooni tukatilineaarne esitus

SW ,1(t) :=∞∑

k=−∞f(

kW

)B1(Wt − k).

Vorreldes seda esitust tukati lineaarse interpoleeriva splaini M1,0(t)valemiga, saame sel juhul konstandid cj = f (tj).Seda esitust integreerides jouame jallegi trapetsvalemini.


Aitkeni vote

Aitkeni vote

Kuna info integreeritava funktsiooni tuletiste kohta ei ole alatikattesaadav, siis on moistlik vaadata ka teist tuupi veahinnanguid.Vaatame sama kvadratuurvalemiga kolme erineva solmede arvugaleitud integraali tegeliku vaartuse I lahendeid (I1- n solme, I2- 2nsolme, I3- 4n solme).Kui iteratsiooniprotsessi korral kehtib

I − I2I2 − I1

≈ I − I3I3 − I2

siis saame tapsustatud vaartuse

I ≈I1I3 − I2

2I3 − 2I2 + I1

= I3 −I23 − 2I2I3 + I2

2I3 − 2I2 + I1

Veahinnangu saame seega kujul

I3 − I ≈I23 − 2I2I3 + I2

2I3 − 2I2 + I1


Maäratud integraal¨ Pindala Funktsiooni graafiku alune …...Maäratud integraal¨...

Documents

Transcript of Maäratud integraal¨ Pindala Funktsiooni graafiku alune …...Maäratud integraal¨...