MA1003 C alculo III Tema 02: Derivadas parciales y …...æztt 6 tsin pq3 2 cos t3 sinptq 6t2...
Transcript of MA1003 C alculo III Tema 02: Derivadas parciales y …...æztt 6 tsin pq3 2 cos t3 sinptq 6t2...
-
MA1003 Cálculo IIITema 02: Derivadas parciales y aplicaciones
Parte 01: Derivadas de funciones escalares
Profesor Jesús Sánchez Guevara
U.C.R.
I Semestre 2020
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 1 / 16
-
En esta clase
1 Funciones escalares.
2 Derivadas parciales.
3 Regla de la cadena.
4 Derivación impĺıcita.
Introducción
¿Qué es la derivación parcial?
o Es la generalización a varias variables de lasderivadas usuales de funciones f : RÑ R.
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 2 / 16
-
Definición
Sea D Ď R2, un campo (o función) escalar fde dos variables, es una correspondencia que acada tupla px , yq P D asigna un único númeroreal z. Se escribe z “ f px , yq. A D se le llamadominio de f y al conjunto
R “ tf px , yq : px , yq P Du
rango o imágen de f .
Ejemplo
El plano π : x ` 2y ` 3z “ 6 es larepresentación gráfica de la función escalar de 2variables
z “ f px , yq “p6´ x ´ 2yq
3
Su dominio es R2 y su rango R.
Ejemplo
La esfera S : x2 ` y2 ` z2 “ r2 es larepresentación de la gráfica de 2 funciones:
z “ f`px , yq “a
r2 ´ x2 ´ y2
z “ f´px , yq “ ´a
r2 ´ x2 ´ y2
El rango de f´ es r´r , 0s y el de f` es r0, rs. Enambos casos el dominio es la región de R2 dadapor el ćırculo de radio r centrado en el origen ysu interior. Explicar en pizarra. y su rango R.
Ejercicio
Considere la funciónz “ f px , yq “
a
1´ |x | ´ |y |.1 Determine su dominio máximo.
2 Determine su rango.
3 Haga la gráfica de la función.
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 3 / 16
-
Definición
Sea S la superficie dada por la gráfica de unafunción z “ f px , yq, y h en el rango de f .
1 Se le llama curva de contorno de f a laaltura h, a la curva dada por laintersección:
Ch : tz “ f px , yqz “ h
2 Se le llama curva de nivel de S (a la alturah), a la proyección vertical de Ch sobre elplano XY .
Ejemplo
Se hacen algunas curvas de nivel delparaboloide z “ x2 ` y2.
Geogebra: z=x^2+y^2
Definición
Sea z “ f px , yq un campo escalar de dominio Dy pa, bq P D.
1 Se dice que
ĺımpx,yqÑpa,bq
f px , yq “ L
si para todo � ą 0 existe δ ą 0 tal que}px , yq ´ pa, bq} ă δ entonces|f px , yq ´ L| ă �.
2 f es continua en pa, bq si
ĺımpx,yqÑpa,bq
f px , yq “ f pa, bq
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 4 / 16
-
Propiedades
1 Si ĺımpx,yqÑpa,bq f px , yq “ L yĺımpx,yqÑpa,bq gpx , yq “ M, entonces
ĺımpx,yqÑpa,bq
pf px , yq ˘ gpx , yqq “ L˘M
2 Todo polinomio en dos variablesppx , yq
řni“0
řmj“0 cijx
iy j es continuo en
todo punto pa, bq P R2.3 sean z “ gpx , yq y w “ f pzq funciones tal
que g es continua en pa, bq y f es continuaen gpa, bq, entoncespf ˝ gqpx , yq “ f pgpx , yqq es continua enpa, bq.
Definición
Sea z “ f px , yq una función escalar y pa, bqpunto en su dominio.
1 La derivada parcial de f con respecto a xen pa, bq se define como el ĺımite:
fx pa, bq “BfBxpa, bq “
ĺımhÑ0
f pa` h, bq ´ f pa, bqh
2 La derivada parcial de f con respecto a yen pa, bq se define como el ĺımite:
fy pa, bq “BfBypa, bq “
ĺımhÑ0
f pa, b ` hq ´ f pa, bqh
También se usan las notaciones:fx “ zx “ D1f “ Dx f y fy “ zy “ D2f “ Dy f .
o Interpretación geométrica: fx y fy son laspendientes de las tangentes de las curvasformadas por los cortes verticales x “ a yy “ b. Hacer dibujo.
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 5 / 16
-
Cálculo de derivadas
Para z “ f px , yq1 fx : en la expresión de f , derive tomando a
x como variable y y como constante.
2 fy : en la expresión de f , derive tomando ax como constante y y como variable.
Ejemplo
Si f px , yq “ x3y ` y2, entonces:1 fx “ 3x2y2 fy “ x3 ` 2y
Derivadas de orden superior
Si z “ f px , yq, entonces:1
zxx “Bpzx qBx
“BBx
ˆ
BzBx
˙
“B2zBx2
“B2fBx2
“ fxx “ D1,1f “ D1pD1f q
2
zxy “Bpzx qBy
“BBy
ˆ
BzBx
˙
“B2zByBx
“B2fByBx
“ fxy “ D2,1f “ D2pD1f q
3
zyx “BBx
ˆ
BzBy
˙
4
zyy “BBy
ˆ
BzBy
˙
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 6 / 16
-
Teorema de Schwarz
Si un campo escalar f px , yq tiene sus derivadasparciales fx , fy , fxy , fyx en una conjunto abiertodel dominio y fxy , fyx continuas en pa, bq,entonces fxy pa, bq “ fyx pa, bq
Ejercicio
Verifique que la función z “ arctanpy{xq es unasolución de la ecuación diferencial
zxx ` zyy “ 0
oHacer en pizarra:
arctan1puq “1
1` u2
zxx “2xy
px2 ` y2q2
zyy “´2xy
px2 ` y2q2
Ejercicio
Verifique que la función
z “ f px ` atq ` gpx ´ atq
donde f , g funciones cualesquiera dos vecesderivables, a constante y x , t variables, satisfacela ecuación diferencial:
ztt “ a2zxx
oHacer en pizarra:
zxx “ f 2px ` atq ` g2px ´ atq
ztt “ a2f 2px ` atq ` a2g2px ´ atq
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 7 / 16
-
Regla de la cadena
1 Si y “ f pxq y x “ xptq, entonces
dy
dt“
df
dx¨dx
dt
2 Si z “ f px , yq, con x “ xptq y y “ yptq,entonces
dz
dt“BfBx¨dx
dt`BfBy¨dy
dt
“fx ¨ xt ` fy ¨ yt
3 Si w “ f px , y , zq, con x “ xptq, y “ yptq yz “ zptq, entonces
dz
dt“BfBx¨dx
dt`BfBy¨dy
dt`BfBz¨dz
dt
“fx ¨ xt ` fy ¨ yt ` fz ¨ zt
o Hacer árbol de dependencias.
Ejemplo
Si w “ lnpxyzq, x “ t2, y “ ´2t2 y z “ t,calcule wt .
Solución:
f px , y , zq “ lnpxyzq
fx “yz
xyz“
1
x
fy “xz
xyz“
1
y
fz “xy
xyz“
1
z
ñ wt “ fx ¨ xt ` fy ¨ yt ` fz ¨ zt
“1
x¨ 2t `
1
y¨ p´4tq `
1
z¨ 1
“1
t2¨ 2t `
1
´2t2¨ p´4tq `
1
t¨ 1
“5
t
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 8 / 16
-
Dobre derivada
Si z “ f px , yq, con x “ xptq y y “ yptq,entonces
zt “fx ¨ xt ` fy ¨ yt
zt “dfx
dt¨ xt ` fx ¨ xtt `
dfy
dt¨ yt ` fy ¨ ytt
zt “pfxx ¨ xt ` fxy ¨ ytq ¨ xt ` fx ¨ xtt`pfyx ¨ xt ` fyy ¨ ytq ¨ yt ` fy ¨ ytt
Ejemplo
Si z “ x sinpyq, x “ ´t3 y y “ t, calcule ztt .
Solución 1
zt “fx ¨ xt ` fy ¨ yt“ sinpyq ¨ p´3t2q ` x cospyq ¨ 1
“´ 3t2 sinptq ´ t3 cosptq
ñ ztt “´ 6t sinptq ´ 3t2 cosptq ´ 3t2 cosptq
` t3 sinptq
“ ´ 6t2 cosptq ` p´6t ` t3q sinptq
Solución 2
zt “fx ¨ xt ` fy ¨ yt
ztt “dfx
dt¨ xt ` fx ¨ xtt `
dfy
dt¨ yt ` fy ¨ ytt
ztt “dfx
dt¨ p´3t2q ` fx ¨ p´6tq `
dfy
dt
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 9 / 16
-
Continuación, z “ x sinpyq, x “ ´t3 y y “ t.
ztt “dfx
dt¨ p´3t2q ` fx ¨ p´6tq `
dfy
dt
ztt “ pfxxxt ` fxyytq ¨ p´3t2q`fx ¨ p´6tq ` pfyxxt ` fyyytqfxx “ 0fyx “ cospyqfyy “ ´x sinpyq
ztt “ cospyq ¨ p´3t2q`
sinpyq ¨ p´6tq ` cospyqp´3t2q ´ x sinpyq
ztt “ ´6t2 cosptq ` p´6t ` t3q sinptq
Regla de la cadena
1 Si z “ f px , yq, x “ xpu, vq y y “ ypu, vqentonces:
zu “ fx ¨ xu ` fy ¨ yuzv “ fx ¨ xv ` fy ¨ yv
2 Si w “ f px , y , zq, x “ xpu, vq, y “ ypu, vqy z “ zpu, vq entonces:
zu “ fx ¨ xu ` fy ¨ yu ` fz ¨ zuzv “ fx ¨ xv ` fy ¨ yv ` fz ¨ zu
Nota: Dibujar las dependencias.
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 10 / 16
-
Doble derivadas
Si z “ f px , yq, x “ xpu, vq y y “ ypu, vqentonces:
zu “ fx ¨ xu ` fy ¨ yuzv “ fx ¨ xv ` fy ¨ yvzuu “ pfxx ¨ xu ` fxy ¨ yuq ¨ xu`
fx ¨ xuu ` pfyx ¨ xu ` fyy ¨ yuq ¨ yu ` fy ¨ yuuzvv “ pfxx ¨ xv ` fxy ¨ yv q ¨ xv`
fx ¨ xvv ` pfyx ¨ xv ` fyy ¨ yv q ¨ yv ` fy ¨ yvvzuv “ pfxx ¨ xv ` fxy ¨ yv q ¨ xu`
fx ¨ xuv ` pfyx ¨ xv ` fyy ¨ yv q ¨ yu ` fy ¨ yuv
Nota: Dibujar las dependencias.Nota: Todas estas fórmulas se extiendennaturalmente a los casos con más variables.
Ejemplo
Sea z “ xy donde x “ sinptrq y y “ cosprq,calcule ztt ´ zrr .
o Hacer en la pizarra.
Ejemplo
Dada z “ f px , yq, con x “ r cospθq yy “ r sinpθq, muestre que se cumple la igualdad
zxx ` zyy “ zrr `1
rzr `
1
r2zθθ
o Detalles en Página 272-2073PDF Pita. Es elejercicio 4.11 de la práctica.
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 11 / 16
-
Derivación impĺıcita
1 Si f px , yq “ 0 define y en función de x ,entonces
y 1 “dy
dx“´fxfy
2 Si F px , y , zq “ 0 define z en función de x yy , entonces
zx “´FxFz
zy “´FyFz
Ejemplo
Dada la expresión F px{z, y{zq “ 0 quedetermina a z como función de x y y , muestreque se cumple
xzx ` yzy “ z
1 Tome u “ x{z y v “ y{z.
2 Fx “ Fuux ` Fvvx “Fu
z
3 Fy “ Fuuy ` Fvvy “Fv
z
4 Fz “ Fuuz ` Fvvz “´xFu ´ yFv
z2
5 zx “ ´FxFz “zFu
xFu ` yFv
6 zy “ ´FyFz “zFv
xFu ` yFvFinalmente
xzx ` yzy “xzFu
xFu ` yFv`
yzFv
xFu ` yFv
“zpxFu ` yFv qxFu ` yFv
“ z
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 12 / 16
-
Definición
Si F px , yq y Gpx , yq entonces su jacobiano es:
BpF ,GqBpx , yq
“ detˆ
Fu FvGu Gv
˙
Derivación impĺıcita
1 Si"
x “ xpu, vqy “ ypu, vq
define u “ upx , yq y v “ vpx , yq, entonces
ux “yvBpx,yqBpu,vq
vx “´yuBpx,yqBpu,vq
uy “´xvBpx,yqBpu,vq
vy “xuBpx,yqBpu,vq
Siempre que Bpx,yqBpu,vq ‰ 0.
Ejemplo
Si x “ uv y y “ u{v , determinan a u y v comofunciones de x , y , calcule uxx .
1
ux “yvBpx,yqBpu,vq
“yv
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
xu xvyu yv
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“yv
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
xu xvyu yv
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“´u{v2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
v u1{v ´u{v2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“´u{v2
´2u{v“
1
2v
2 uxx “ BBx pux q “BBx p
12vq “ ´1
2v2vx
3
vx “´yuBpx,yqBpu,vq
“´1{v´2u{v
“1
2u
4 Aśı, uxx “ ´12v2 vx “´12v2
12u“ ´1
4uv2
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 13 / 16
-
Derivación impĺıcita
Si"
F px , y , u, vq “ 0Gpx , y , u, vq “ 0
define u “ upx , yq y v “ vpx , yq, entonces
ux “´BpF ,GqBpx,vqBpF ,GqBpu,vq
vx “´BpF ,GqBpu,xqBpF ,GqBpu,vq
uy “´BpF ,GqBpy,vqBpF ,GqBpu,vq
vy “´BpF ,GqBpu,yqBpF ,GqBpu,vq
Siempre que BpF ,GqBpu,vq ‰ 0.
Note que La regla anterior es una casoparticular de esta al hacer:
F px , y , u, vq “ xpu, vq ´ xGpx , y , u, vq “ ypu, vq ´ y
Ejemplo
Halle ux y uy a partir del sistema:
"
xu ´ yv “ 0xv ` yu “ 1
1 Tome F px , y , u, vq “ xu ´ yv yGpx , y , u, vq “ xv ` yu ´ 1
2BpF ,GqBpu,vq “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Fu FvGu Gv
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
x ´yy x
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ x2 ` y2
3BpF ,GqBpx,vq “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Fx FvGx Gv
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
u ´yv x
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ xu ` yv
4BpF ,GqBpy,vq “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Fy FvGy Gv
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
´v ´yu x
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“´xv ` yu
Aśı ux “´pxu ` yvqx2 ` y2
y uy “´p´xv ` yuq
x2 ` y2
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 14 / 16
-
Funciones dadas en forma paramétrica
Si un función diferenciable z “ f px , yq, dondex , y variables independientes está dada enforma paramétrica como:
$
&
%
x “ xpu, vqy “ ypu, vqz “ zpu, vq
donde se supone que el jacobianoBpx , yq{Bpu, vq ‰ 0, entonces:
zx “ zuux ` zvvx “zuyv ´ zvyu
Bpx,yqBpu,vq
zy “ zuuy ` zvvy “´zuxv ` zvxu
Bpx,yqBpu,vq
Ejemplo
Halle zx ` zy si$
&
%
x “ u ` lnpvqy “ v ´ lnpuq
z “ uv2
1Bpx,yqBpu,vq “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
xu xvyu yv
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
1 1{v´1{u 1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
1` 1{uv “puv ` 1q
uv
2 zuyv ´ zvyu “ v2 ´ 2uvp´1{uq “ vpv ` 2q3 ´zuxv`zvxu “ ´v2p1{vq`2uv “ vp2u´1q
zx ` zy “ vpv ` 2quv
puv ` 1q` vp2u ´ 1q
uv
puv ` 1q
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 15 / 16
-
F I N
Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T02P01 derivadas parciales I Semestre 2020 16 / 16