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Triangulos Exercıcios
MA093 – Matematica basica 2Triangulos
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Agosto de 2018
Triangulos Exercıcios
Topicos importantes
O objetivo dessa aula e investigar
1 A classificacao de triangulos.
2 Algumas caracterısticas dos triangulos.
3 Os casos de congruencia de triangulos.
Triangulos Exercıcios
Classificacao segundo os lados
Classificacao
Um triangulo e
Equilatero, se tem tres lados congruentes.
Isosceles, se tem dois lados congruentes.
Escaleno, se nao tem lados congruentes.
Triangulos Exercıcios
Triangulo retangulo
Definicao
Um triangulo e dito retangulo se um de seus angulos e reto, ouseja, mede 90◦.
Em um triangulo retangulo,
O lado oposto ao angulo reto e chamado hipotenusa.
Os outros lados sao chamados catetos.
Triangulos Exercıcios
Congruencia de triangulos
Definicao
Dois triangulos sao congruentes se podemos estabelecer umacorrespondencia entre os angulos de modo que
Os lados correspondentes sejam congruentes; e
Os angulos correspondentes sejam congruentes.
Triangulos Exercıcios
Congruencia de triangulos
Uso da congruencia na pratica
A teoria sobre congruencia de triangulos nos permite desenhar umtriangulo a partir de medidas conhecidas.
Apesar de dois triangulos serem congruentes quando suas seismedidas sao iguais (lados e angulos), tres medidas ja bastam.As possibilidades sao
LLL (os tres lados sao conhecidos)LLA (dois lados e um angulo nao compreendido entreeles)LLA (dois lados e um angulo nao compreendido entre eles)LAL (dois lados e o angulo compreendido entre eles)LAA (dois angulos e um lado nao compreendido entre eles)ALA (dois angulos e o lado compreendido entre eles)AAA (os tres angulos saoconhecidos)AAA (os tres angulos sao conhecidos)
As combinacoes LLL, LAL, LAA e ALA servem
AAA e LLA nao servem para definir congruencia
Triangulos Exercıcios
Caso LLL
Caso LLL
Dois triangulos sao congruentes se possuemtres lados congruentes.
Desenhando ∆ABC a partir de AB, AC e BC
Desenhe o lado AB. (Fig. 1)
Com o compasso centrado em A, marqueos pontos que estao a uma distancia iguala medida do lado AC . (Fig. 1)
Com o compasso centrado em B, marqueos pontos que estao a uma distancia iguala medida do lado BC . (Fig. 1)
Descoberta a localizacao de C , trace oslados que faltam. (Fig. 2)
Triangulos Exercıcios
Caso LAL
Caso LAL
Dois triangulos sao congruentes se possuemdois lados congruentes, bem como o anguloentre eles.
Desenhando ∆ABC a partir de AB, BC e B
Desenhe o lado AB. (Fig. 1)
Com um transferidor, marque o angulo B
(ponto D) e trace a semirreta−→BD.(Fig.1)
Com o compasso centrado em B ou umaregua, marque o ponto C sobre a
semirreta−→BD. (Fig. 1)
Descoberta a localizacao de C , trace olado AC . (Fig. 2)
Triangulos Exercıcios
Caso ALA
Caso ALA
Dois triangulos sao congruentes se possuemdois angulos congruentes, bem como o ladoentre eles.
Desenhando ∆ABC a partir de AB, A e B
Desenhe o lado AB. (Fig. 1)
Com um transferidor, marque o angulo A
(ponto D) e trace a semirreta−→AD.(Fig.1)
Com um transferidor, marque o angulo B
(ponto E ) e trace a semirreta−→BE .(Fig.1)
O vertice C esta na intersecao dassemirretas. (Fig. 2)
Triangulos Exercıcios
Caso LAA
Caso LAA
Dois triangulos sao congruentes se possuemdois angulos congruentes, bem como um ladonao compreendido entre eles.
Desenhando ∆ABC a partir de AB, A e C
Sabemos que a soma dos angulos internosde um triangulo equivale a 180◦.
Logo, conhecendo A e C , encontramos Bcalculando B = 180◦ − A− C .
Assim, caımos no caso ALA, mencionadoanteriormente.
Triangulos Exercıcios
Medidas insuficientes: AAA
Caso AAA
E possıvel construir infinitos triangulos dadasas medidas dos tres angulos.
Os triangulos ABC e ADE nao saocongruentes, embora B ≡ D e C ≡ E .
Esse caso e equivalente a termos apenasdois angulos conhecidos, pois a medida doterceiro sempre pode ser descobertausando o fato de que a soma dos angulosinternos e 180◦.
Triangulos Exercıcios
Medidas insuficientes: LLA
Caso LLA
E possıvel construir dois triangulos dadas as medidas de dois ladose um angulo nao compreendido entre eles.
Os triangulos ABC e ABD naosao congruentes, embora
Ambos tenham em comumo angulo A e o lado AB.
O lado BC seja congruentecom BD.
Triangulos Exercıcios
Caso particular LLA
Caso LLA com angulo maior ou igual a 90◦
No caso LLA, se o angulo tiver medida maiorou igual a 90◦, o triangulo e unico.Nesse caso, os outros dois angulos sao agudos.
Desenhando ∆ABC a partir de AB, AC e B
Desenhe o lado AB. (Fig. 1)
Com o compasso centrado em A, marqueos pontos que estao a uma distancia iguala medida do lado AC . (Fig. 1)
Com um transferidor, marque o angulo B
(ponto D) e trace a semirreta−→BD.(Fig.1)
Descoberta a localizacao de C , trace olado AC . (Fig. 2)
Triangulos Exercıcios
Triangulo isosceles
Teorema
Um triangulo e isosceles se e somente se possui dois anguloscongruentes.
Se A ≡ B entao ∆ABC e isosceles.(∆ABC ≡ ∆BAC por ALA.)
Se ∆ABC e isosceles entao A ≡ B.(∆ABC ≡ ∆BAC por LAL.)
O lado compreendido entre os angulosiguais (AB) e chamado base.
Triangulos Exercıcios
Desigualdade triangular
Teorema
Em um triangulo, a medida de um lado e menor que a soma dasmedidas dos outros dois lados.
a < b + c b < a + c c < a + b
Triangulos Exercıcios
Bissetriz de um angulo
Definicao
Uma semirreta−→AD interna a um angulo BAC e chamada bissetriz
do angulo se BAD ≡ CADA bissetriz divide o angulo BAC em dois angulos congruentes.
Triangulos Exercıcios
Bissetriz de um triangulo
Definicao
Bissetriz (interna) de um triangulo e o segmento com extremidadesem um vertice e no lado oposto a este, que divide o angulo dessevertice em dois angulos congruentes.
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Mediana de um triangulo
Definicao
Mediana de um triangulo e o segmento que liga um vertice aoponto medio do lado oposto.
Triangulos Exercıcios
Altura de um triangulo
Definicao
Altura de um triangulo e o segmento que liga um vertice a suaprojecao na reta que contem o lado oposto.
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Perımetro de um triangulo
Definicao
O Perımetro de um triangulo e a soma dos comprimentos de seuslados.
Perımetro: p = a + b + c
Triangulos Exercıcios
Exercıcio 1
Problema
Na figura abaixo, o triangulo ABC e isosceles, com base BC .Determine x e y .
x = 85◦, y = 50◦
Triangulos Exercıcios
Exercıcio 2
Problema
Sabendo que o triangulo ABC e equilatero, determine x e y .
x = 4, y = 9
Triangulos Exercıcios
Exercıcio 3
Problema
Encontre os valores de x e y na figura abaixo (nao e precisoencontrar z e α).
x = 11, y = 15
Triangulos Exercıcios
Exercıcio 4
Problema
Um triangulo isosceles tem um lado com 10 cm e outro com 24cm. Nesse caso, o comprimento do terceiro lado e
A) x = 10 cm
B) x = 24 cm
C) x = 10 cm ou x = 24 cm
D) 10 cm ≤ x ≤ 24 cm
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Exercıcio 5
Problema
Sabendo que r e paralela a s na figura abaixo, determine os valoresde α e β.
α = 40◦, β = 60◦
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Exercıcio 6
Problema
As bissetrizes de dois angulos adjacentes a um lado de umtriangulo formam um angulo de 120◦. Sabendo que um desses doisangulos mede 70◦, determine a medida do outro.
50◦
Triangulos Exercıcios
Exercıcio 7
Problema
Usando esquadros, compasso e transferidor, desenhe triangulos apartir das informacoes fornecidas abaixo.
1 Lados que medem 3 cm e 6 cm e angulo compreendido entreeles de 60◦.
2 Lados que medem 4 cm, 5 cm e 7 cm.