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Polıgonos Elementos notaveis do triangulo Exercıcios
MA093 – Matematica basica 2Polıgonos - Elementos notaveis do triangulo
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Agosto de 2018
Polıgonos Elementos notaveis do triangulo Exercıcios
Topicos importantes
O objetivo dessa aula e investigar
1 Classificacao de polıgonos.
2 Elementos de polıgonoos.
3 Elementos notaveis de triangulos.
Polıgonos Elementos notaveis do triangulo Exercıcios
Polıgono
Definicao
Dada uma sequencia A1,A2, . . . ,An de n pontos distintos do plano,tal que tres pontos consecutivos nao sao colineares, denominamospolıgono a reuniao dos segmentos A1A2, A2A3, . . . ,AnA1.
Polıgonos Elementos notaveis do triangulo Exercıcios
Elementos do polıgono
Elementos do polıgono
Vertices: A1,A2, . . . ,An
Arestas: A1A2, A2A3, . . . ,AnA1
Angulos: A1, A2, . . . , An
Polıgonos Elementos notaveis do triangulo Exercıcios
Polıgono simples
Definicao
Um polıgono e simples se nenhum de seus lados intercepta outrolado.
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Regiao poligonal
Definicao
A reuniao de um polıgono com seu interior e chamada regiaopoligonal.
Polıgonos Elementos notaveis do triangulo Exercıcios
Polıgono convexo
Definicao
Um polıgono e convexo se, tomando-se quaisquer dois pontos A eB de sua regiao poligonal, o segmento AB esta contido na regiaopoligonal.
Polıgonos Elementos notaveis do triangulo Exercıcios
Polıgono equilatero e equiangulo
Definicoes
Um polıgono e
equilatero se todos os seus lados sao congruentes.
equiangulo se todos os seus angulos sao congruentes.
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Polıgono regular
Definicoes
Um polıgono e regular se e convexo, equilatero e equiangulo.
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Diagonal
Definicao
Chamamos de diagonal de um polıgono ao segmento cujasextremidades sao vertices nao consecutivos do polıgono.
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Diagonal
Teorema
Um polıgono com n lados tem n(n − 3)/2diagonais
Cada vertice tem (n − 3) vertices naovizinhos.
Somando todos os vertices, terıamosn(n − 3) diagonais.
Mas cada diagonal foi contada duasvezes (uma para cada vertice).
Logo, temos n(n − 3)/2 diagonais.
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Soma dos angulos internos
Teorema
A soma dos angulos internos de um polıgonoconvexo com n lados e igual a (n − 2) · 180◦.
As (n − 3) diagonais que partem de A1
formam (n − 2) triangulos.
A soma dos angulos internos do polıgonoe a soma dos angulos dos triangulos.
A soma dos angulos do triangulo e 180◦.
Logo, a soma desejada e (n − 2) · 180◦.
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Perımetro
Definicao
O perımetro de um polıgono simples e igual a soma das medidasde seus lados.
p = a + b + c + d + e + f + g .
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Baricentro
Teorema
As tres medianas de um triangulo se interceptam em ummesmo ponto, o Baricentro.
O baricentro divide cada mediana em duas partes, uma dasquais mede o dobro da outra.
AM ≡ BM AO = 2NO
BN ≡ CN BO = 2PO
AP ≡ CP CO = 2MO
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Incentro
Teorema
As tres bissetrizes de um triangulo se interceptam em ummesmo ponto, o Incentro.
O incentro esta a mesma distancia dos lados do triangulo.
CAO ≡ BAO
ABO ≡ CBO
ACO ≡ BCO
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Circuncentro
Teorema
As tres mediatrizes dos lados de um triangulo se interceptamem um mesmo ponto, o Circuncentro.
O circuncentro esta a mesma distancia dos vertices dotriangulo.
AM ≡ BM BN ≡ CN AP ≡ CP AO ≡ BO ≡ CO
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Ortocentro
Teorema
As retas suporte das tres alturas de um triangulo seinterceptam em um mesmo ponto, o Ortocentro.
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Exercıcio 1
Problema
Determine o valor de x na figura abaixo.
90◦
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Exercıcio 2
Problema
Sabendo que, na figura, o lado AB e paralelo a DE , determine ovalor de x .
120◦
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Exercıcio 3
Problema
Sabendo que o triangulo ABP e equilatero e que o pentagonoABCDE e regular, determine x .
x = 66◦
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Exercıcio 4
Problema
Para qual polıgono convexo a soma dos angulos internos fornece1080◦?
O octogono, que tem 8 lados.
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Exercıcio 5
Problema
Escreva uma equacao quadratica que nos permita determinar opolıgono que tem 54 diagonais. Encontre o numero de lados dopolıgono resolvendo essa equacao.
n2
2− 3n
2− 54 = 0
O polıgono tem 12 lados (dodecagono)
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Exercıcio 6
Problema
Determine o valor de x na figura abaixo.
35◦
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Exercıcio 7
Problema
Sendo G o baricentro do triangulo ABC , determine x , y e z .
x = 7, y = 12, z = 5
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Exercıcio 8
Problema
Seja O o ortocentro (ponto de intersecao das alturas) de umtriangulo isosceles de base AB. Sabendo que o angulo AOB mede110◦, determine os angulos internos do triangulo.
Dica: faca um desenho que represente o problema.
55◦, 55◦ e 70◦