Ma João 15-08 Sei Uni III (Ms) (Rf)_bb(1)
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Unidade III
MATEMÁTICA APLICADA
Prof. João Giardulli
Ajuste de curvas
O que é isso?
Ajuste de curvas
É um método que consiste em encontrar uma curva que
se ajuste a uma série de pontos.
Existem vários métodos para realizar esse ajuste, como
o método dos mínimos quadrados, o método da máxima
verossimilhança e o método do máximo coeficiente
de correlação linear.
Ajuste de curvas
Adrien-Marie Legendre
(1752-1833)
Em 1806, aos 56 anos, publica os primeiros resultados
sobre aproximação de curvas utilizando o Método
dos Mínimos Quadrados.
Do pintor Julien-Leopold Boilly 1820-Album de 73 portraits-charge
aquarellés des membres de I’Institut.
Ajuste de curvas
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
Em 1796 descobre e justifica o Método dos Mínimos
Quadrados, aos 19 anos.
Extraído de http://www.gauss-goettingen.de/gauss_en.php?navid=2&supnavid=1
em 13/8/2014, página da universidade onde lecionou Gauss.
Ajuste de curvas
Quantidade
(q)
Incidentes
(i)
1 164
2 272
3 348
4 416
5 500
Fonte: autoria própria
Ajuste de curvas
Qual é o problema?
Encontrar uma reta que passe o mais próximo possível de
todos os pontos dados.
Ajuste de curvas
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6
Fonte: autoria própria
Ajuste de curvas
Fonte: autoria própria
Ajuste de curvas
Fonte: autoria própria
Ajuste de curvas
Como funciona?
Ajuste de curvas
Consideremos n pontos do ℝ2, não todos situados na
mesma vertical, cujas coordenadas são:
(x1,y1), (x2, y2), (x3, y3) ... (xn, yn).
O problema consiste em encontrar uma reta que se ajuste
a esses pontos.
Ajuste de curvas
Fonte: página 57 do livro-texto
Ajuste de curvas
Essa nuvem de pontos é conhecida como gráfico de
dispersão. Há inúmeras maneiras de se encontrar a reta que
mais se aproxima, inclusive usando uma régua, por exemplo.
Contudo, uma maneira simples e de qualidade é o método
dos mínimos quadrados.
Ajuste de curvas
A ideia básica desse método consiste em considerar o
modelo mais simples de relacionar duas variáveis x e y.
A equação de uma reta dada pela sentença y = Ax + B tornará
mínima a soma dos quadrados dos desvios:
((d1)2 + (d2)
2 + (d3)2 + (d4)
2 + ... + (dn)2), em que di = yi – (Axi + B).
Tal reta é chamada de reta de mínimos quadrados,
cuja equação iremos determinar.
Ajuste de curvas
Os dados a serem ajustados são os (xi, yi), de forma
tal que a distância vertical di seja a menor possível.
A partir dessas distâncias, define-se que D é igual ao
somatório do quadrado dessas diferenças, isto é:
D(A, B) = Σ (di)2 = Σ(yi – (Axi + B))2.
Portanto, temos que: D(A, B) = Σ(yi – Axi – B)2
Ajuste de curvas
Os pontos críticos de D são obtidos resolvendo-se o sistema:
D(A) = 2Σ(yi – Axi – B)(-xi) = 0
D(B) = 2Σ(yi – Axi – B)(-1) = 0
Ajuste de curvas
Os pontos críticos de D são obtidos resolvendo-se o sistema:
D(A) = 2Σ(yi – Axi – B)(-xi) = 0
D(B) = 2Σ(yi – Axi – B)(-1) = 0
Ou seja:
Σ(xiyi – (Axi)2 - Bxi) = 0 ⇔ Σxiyi - AΣ(xi)
2 =Bxi
Σ(yi – Axi – B) = 0 ⇔ Σyi - AΣxi – nB = 0
Ajuste de curvas
A solução do sistema é:
O método dos mínimos quadrados consiste basicamente
em obter-se a curva, dentro de uma família de curvas
preestabelecidas, que minimiza esse desvio.
Fonte: página 58 do livro-texto
Ajuste de curvas
Lembrete:
Quando usamos funções do primeiro grau para representar
essas curvas, temos as retas e, no caso das funções
quadráticas, temos as parábolas.
Ajuste de curvas – exemplo
Um comerciante deseja obter uma equação de demanda para
o seu produto. Ele admite que a quantidade média demandada
(y) se relaciona com o seu preço unitário (x) por meio de
uma função do 1o grau y = ax + b.
Para estimar essa reta, fixou os preços em vários níveis e
observou a quantidade demandada, obtendo os dados a seguir:
Qual a equação da reta de mínimos quadrados?
Fonte: página 59 do livro-texto
Ajuste de curvas
Solução:
Inicialmente, vamos escrever a seguinte tabela de dados:
Temos que n = 4 (quantidade de dados fornecidos).
Fonte: página 59 do livro-texto
Ajuste de curvas
Logo, A será dado por:
Fonte: página 59 do livro-texto
Ajuste de curvas
B será dado por:
Logo, a equação da reta procurada é:
Fonte: página 59 do livro-texto
Fonte: página 59 do livro-texto
Interatividade
Qual é o objetivo do Método de Mínimos Quadrados?
a) Ajustar uma reta a uma nuvem de pontos.
b) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte que
as distâncias destes pontos a esta curva sejam mínimas.
c) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte que
os quadrados das distâncias destes pontos a esta
curva sejam mínimos.
d) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte
que a soma dos quadrados das distâncias verticais
destes pontos a esta curva seja mínima.
e) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte que
os quadrados das distâncias destes pontos a esta
curva sejam máximos.
Tipos de ajustes de curvas
O tipo de ajuste mais simples é o ajuste linear ou
regressão linear, que relaciona duas variáveis x e y.
O modelo matemático usado e a equação de uma reta:
y = Ax + B, em que A e B são os parâmetros do modelo.
Tipos de ajustes de curvas
No caso em que precisamos relacionar uma variável dependente
y com p variáveis independentes, o tipo de ajuste é chamado de
ajuste linear múltiplo, representado por:
y = β0 + β1.x1 + β2.x2 + ... + βp.xp
Em que β0 , β1 , ..., βp são os parâmetros do modelo.
Tipos de ajustes de curvas
Quando o modelo usado para o ajuste da curva
não é uma reta, e sim uma parábola, o tipo de ajuste
que usamos e a regressão quadrática são dados por:
y = Ax2 + Bx + C em que A, B e C são os parâmetros do modelo.
Tipos de ajustes de curvas
Observações:
Qualquer que seja o tipo de ajuste, precisamos de métodos
para calcular esses parâmetros e encontrar a solução.
Dependendo do caso, da quantidade de variáveis e
parâmetros, o calculo não é tão simples e precisamos
de recursos computacionais para resolver o problema.
Tipos de ajustes de curvas
Observações:
Existem diversos softwares com as fórmulas programadas,
com os quais só precisamos fornecer os dados para obter os
resultados. Entre eles, o mais popular é o Excel, da Microsoft.
Regressão linear
Em análise estatística, o método que estuda a relação
entre diversas variáveis quantitativas ou qualitativas, de modo
que uma variável pode ser predita a partir de outra variável
(ou outras variáveis), é conhecido como análise de regressão.
Não se quer apenas analisar a associação existente entre
duas variáveis quantitativas (ou qualitativas), mas justificar
a hipótese a respeito da provável relação de causa e
efeito entre essas variáveis.
A variável X depende da variável Y?
Regressão linear
A análise de regressão é usada com a finalidade de previsão.
Nesse caso, queremos prever o valor da variável X em
função da variável Y.
Outra finalidade é o de estimar o quanto a variável Y influencia
ou modifica a variável X.
Regressão linear
O caso mais simples de regressão é quando temos duas
variáveis e a relação entre elas pode ser representada por
uma linha reta, que chamamos de regressão linear simples
ou ajuste linear simples.
Fonte: página 60 do livro-texto
Regressão linear
b0 é o coeficiente linear, também chamado intercepto;
é o valor que y assume quando x for zero.
Quando a região experimental inclui x = 0, então b0
é o valor da média da distribuição de y em x = 0.
Fonte: página 60 do livro-texto
Regressão linear
b1 é o coeficiente angular, expressa a taxa de mudança
em y, isto é, a mudança em y quando ocorre a mudança
de uma unidade em x.
Ele indica a mudança na média da distribuição de
probabilidade de y por unidade de acréscimo em x.
Página 60 da apostila
Regressão linear
O ajuste linear múltiplo aplica-se nos casos em que y
é uma função linear de duas ou mais variáveis lineares.
Nesse caso, procura-se calcular os valores de b0, b1, b2 ,b3, ... ,
bn, tais que a relação entre eles seja aproximada por uma
expressão do tipo: y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + ... + bnxn.
Regressão linear
No caso do ajuste linear múltiplo, resolver o sistema de
equações normais é resolver o sistema:
Fonte: página 61 do livro-texto
Regressão linear
Exemplo: determinar a equação do tipo y = b0 + b1x1 + b2x2
que melhor se ajusta a tabela a seguir:
Solução:
Logo:
y = 4,2 + 3,4 x1 – 6,5 x2
Fonte: página 61 do livro-texto
Fonte: página 61 do livro-texto
Fonte: página 61 do livro-texto
Regressão linear
Observações:
O caso do ajuste polinomial consiste em determinar um
polinômio (que pode ser de qualquer grau).
Quando se trata de um polinômio do 2º grau, dizemos que o
ajuste é uma regressão quadrática.
Regressão linear
y = b0 + b1x1 + b2x
2 + b3x3 + ... + bnxn
Para resolver o ajuste polinomial, usamos o método do ajuste
linear múltiplo, com a seguinte adaptação:
x1 = x1, x2 = x2, x3 = x3, ... , xn = xn
Regressão linear
Portanto, o sistema fica assim:
Fonte: página 62 do livro-texto
Regressão linear
Exemplo: ajustar os pontos da tabela a uma
expressão do tipo y = b0 + b1x1 + b2 x
2.
Solução:
Fonte: página 62 do livro-texto
Fonte: página 62 do livro-texto
Regressão linear
Exemplo: ajustar os pontos da tabela a uma
expressão do tipo y = b0 + b1x + b2 x2.
Solução:
y = -2,018 + 11,332x – 1,222x2
Fonte: página 62 do livro-texto
Fonte: página 62 do livro-texto
Interatividade
Defina a equação da reta para a quantidade de incidentes
ao longo dos meses de 2011 e estime a quantidade de
chamados para o mês de agosto.
Mês Quantidade
1 1.017
2 879
3 1.135
4 1.082
5 975
6 902
7 1.037
a) 1096 chamados.
b) 996 chamados.
c) 896 chamados.
d) 796 chamados.
e) 696 chamados.
Fonte: autoria própria
Medidas de dispersão
Medidas de dispersão são aquelas usadas para nos dizer
o quanto os valores analisados estão distantes (dispersos)
do valor real. A mais comum é a média. Na realidade, a
média é uma medida de tendência central e o seu valor é
calculado por meio da soma dos valores dados, dividida
pelo número de dados.
Medidas de dispersão
Em determinadas análises, a média não é suficiente, pois
podemos ter dois grupos distintos com uma dispersão
diferente e mesmo assim o valor da média ser igual.
Medidas de dispersão
Exemplo:
Observe os dados nos grupos:
A = 3,3,3
B = 1,3,5
A média nos dois grupos é a mesma e igual a 3, mas a
variação dos dados observados no grupo A é diferente
da variação observada no grupo B.
Medidas de dispersão
Nesse caso, além de usar a medida de tendência, é
aconselhável usar medidas de dispersão para uma
análise mais completa. As mais usadas são a
variância e o desvio padrão.
Medidas de dispersão
Propriedades do desvio padrão
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a todos os
valores de uma variável, o desvio padrão não se altera.
Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma
variável por uma constante (diferente de zero), o desvio
padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante.
Interatividade
Defina a variância e o desvio padrão para a quantidade
de incidentes ao longo dos meses de 2011.
Mês Quantidade
1 1.017
2 879
3 1.135
4 1.082
5 975
6 902
7 1.037
a) 8.562 e 2,16.
b) 4,67 e 93.
c) 8.562 e 93.
d) 4,67 e 2,16.
e) 7.027 e 84.
Fonte: autoria própria
Coeficiente de variação
O coeficiente de variação é usado para analisar e caracterizar
a dispersão dos dados observados com relação ao seu valor
médio, isto é, o coeficiente de variação é a razão entre o
desvio padrão e a média dos dados observados.
CV = (desvio padrão / média) x 100
Coeficiente de variação
Exemplo:
Tomemos os resultados das estaturas e dos pesos de um
mesmo grupo de indivíduos:
Qual das medidas (estatura ou peso)
possui maior homogeneidade?
Fonte: página 64 do livro-texto
Coeficiente de variação
Solução:
Teremos de calcular o coeficiente de variação da estatura
e o do peso.
O resultado menor será o de maior homogeneidade
(menor dispersão ou variabilidade).
Coeficiente de variação
Solução:
Coeficiente de variação da estatura:
(5 / 175 ) x 100 = 2,85%
Coeficiente de variação do peso:
(2 / 68 ) x 100 = 2,94%
Fonte: página 64 do livro-texto
Coeficiente de variação
Solução:
No caso, as estaturas apresentam menor grau de dispersão
que os pesos.
Correlação entre variáveis
Para analisar como os valores entre duas variáveis estão
relacionados, podemos observar um diagrama de dispersão
ou analisar os resultados por meio de uma equação.
Correlação entre variáveis
A partir da análise do diagrama de dispersão, podemos verificar
se a correlação entre as duas variáveis é:
linear positiva: os pontos do diagrama têm como imagem uma
reta ascendente;
linear negativa: os pontos têm como imagem uma reta
descendente;
não linear: os pontos têm como imagem uma curva;
não há relação: os pontos não dão ideia de uma
imagem definida.
Coeficiente de correlação linear
Proposto por Karl Pearson, o coeficiente de correlação
(ou “r de Pearson”) é usado para obter a medida da
correlação linear.
Ele indica o grau de intensidade da correlação entre
duas variáveis e o sentido dessa correlação, isto é,
se a correlação é positiva ou negativa.
Coeficiente de correlação linear
É dado pela fórmula:
Em que: n = número de observações.
Os valores limites de r são -1 e +1.
Fonte: página 65 do livro-texto
Coeficiente de correlação linear
Resumindo:
r = -1 (correlação linear negativa);
r = 0 (pontos não correlacionados);
r = +1 (correlação linear positiva).
Coeficiente de correlação linear
Exemplos:
Fonte: página 65 do livro-texto
Interatividade
O Método dos Mínimos Quadrados é um processo de:
a) estimação estatística.
b) determinação exata das curvas.
c) interpolação.
d) aproximação de curvas.
e) cálculo de erros.
ATÉ A PRÓXIMA!