M5 - DYNAMIQUECompétences attendues :• Déterminer l’accélération d’un solide.• Déterminer les actions mécaniques qui agissent sur le solide en mouvementProgramme S.T.I. :• Principe fondamental de la dynamique pour un solide en mouvement

Qu’est-ce que la dynamique ?

• La dynamique est la science qui permet l'étude des relations existant entre les mouvements de solides et les actions mécaniques extérieures qui sont les causes de ces mouvements.

Mise en évidence du principe• Comparons deux véhicules identiques chargés

différemment

• Quelle grandeur physique nous permet de dire que les deux véhicules n’auront pas la même accélération a ?

• Sur quelle grandeur physique faut-il agir pour que les deux véhicules aient la même accélération a ?

La masse m du véhicule

La force de poussée F

Principe fondamental de la dynamique de translation

La somme des forces extérieures F qui agissent sur le solide S, est égale à sa masse m multipliée par son accélération a .

NEWTON1642 - 1727

On appelle « Force » d’inertie la quantité (- m x a ) qui s’oppose à l’accélération

amFext

Le solide est équilibré en rotation donc la somme des moments en G est nulle.

Méthode1. Rassembler les données (masse et position

du centre de gravité)

5. Suivant le problème, calculer l’accélération ou l’action mécanique demandée

2. Calculer l’accélération du centre de gravitéav – v0) / tou av2 – v0

2) / 2(x-x0)3. Faire le bilan des A.M.E.

4. Écrire le PFD et donner les équations de la dynamique

Exemple simple : La Chute libre (sans frottement)

(S)

P

(Rg)

Un solide S de masse m qui tombe…

Le PFD s’écrit :

z

Conclusion : En l’absence de toute force de frottement, l’accélération et donc la vitesse ainsi que la durée de la chute sont indépendants de la masse du solide

amF

g subit une force extérieure : son poids

Plui donnant une accélération notée g

Soit : gmP

D’où : ga

Application : étude comparative• Quelle voiture possède la plus grande accélération

au démarrage ?

Modèle Clio II 1.6 16v Espace 2.0 16v Range Rover 4.4i V8

Vitesse max 185 km/h 182 km/h 202 km/hArchitecture 4 cyl. en ligne 4 cyl. en ligne 8 cylindres en VCouple 15,1 mKg à 3750

tr/min19,2 mKg à 3750

tr/min44,8 mKg à 3600

tr/minPuissance 110 ch à 5750

tr/min140 ch à

5500tr/min282 ch à 5400 tr/min

Masse 1092 Kg 1590 Kg 2509 kgFmoy au démarrage

2173 N 2862 N 5143 N

accélération1,99 m/s2 1,8 m/s2 2,05 m/s2

Application : étude du TGV

=> 500 000 = 700 000 x a=> a = 0,714 m/s2

Un train de 700 tonnes démarre, tiré avec une force de 500 000N sur une voie ferrée horizontale.

En négligeant les frottements, calculez :

- Son accélération

- Sa vitesse après 30s

PFD : F = m x a

V = a . t = 0,714 x 30 = 21,42 m/s = 77,11 km/h

Application : freinage d’une voiture

=> F = 1060 x 2 = 2120 N

=> a = (v – v0) / t => t = (v – v0) / a = - 13,89 / -2 = 6,95 s

Un automobiliste conduit sa voiture à 50 km/h sur une route horizontale. La voiture a une masse de 1060 kg. Soudain, il freine pour s’arrêter.

PFD : F = m x a

En supposant que la décélération est constante pendant le freinage (a=-2m/s2): - calculez la force de freinage exercée sur la voiture

- Tracer cette force de freinage sur le dessin

- Calculer la durée du freinage

- Calculer la distance de freinage

=> x = ½ a.t2 + v0.t = ½ (-2)x6,952 + 13,89x6,95 = 48, 23 m

FG

Application : Étude d’un ascenseur

A/ Un ascenseur de masse totale m=400kg, initialement immobile, est tiré par un câble vertical tendu par une force T de 5000N et s’élève depuis le rez-de-chaussée. Il accélère pendant 3 secondes.

Mouvement rectiligne uniformément varié

a = 1000/400 = 2,5m/s2 m.

g

T=5000N

m.a

Objectif : Étudier l’évolution de la tension dans le câble d’un ascenseur en vue de son dimensionnement.

1/ Quelle est la nature de son mouvement dans la phase 1 ?

2/ Calculer son accélération a.

PFD : F = m x a-4000 + 5000 = 400xa

- m.g + T = m.a

G

Isolement de la

charge

B/ L’ascenseur continue ensuite en mouvement rectiligne uniforme pendant 6s.

vitesse au début du MRU = vitesse à la fin du MRUV

V = a .t = 2,5 x 3 = 7,5 m/s

m.g

T

1/ Quelle est la vitesse de l’ascenseur dans cette phase 2 ?

2/ Quelle est la nouvelle tension T du câble ?

T = 4000N

- 4000 + T = 0 - m.g + T = m x 0 PFD : F = m x a

G

Isolement de la

charge

C/ Avant d’arriver à l’étage souhaité, le mécanisme de freinage agit pendant 4s jusqu’à l’arrêt.

Calcul de la décélération a de l’ascenseur :

m.g

T

m.a

1/ Si son mouvement est uniformément retardé, quelle est la tension du câble ?

Calcul de la Tension T dans le câble :

a = (v – v0) / t = (0 – 7,5) / 4 = - 1,875 m/s2

PFD : F = m x a - m.g + T = - m.a - 4000 + T = - 400x1,875 T = 3250 N

G

Isolement de la

charge

Evolution de la tension dans le câble :Phase 1: T = 5000NPhase 2: T = 4000NPhase 3: T = 3250N

D/ Analyser l’évolution de la tension durant les trois phases et choisir un cable dans le document constructeur. (le coefficient de sécurité dans les appareils de levage est 8)

Choix du câble :Tmaxi = 5000N

Tmaxi effectif = 5000N x 8 = 40000NCable choisi :MGE180:Fmax=95800N

Exercice 1: démarrage en côte

1.1- Déterminer les composantes du poids dans le repère (A,X,Y)

Y

AB

G

15%

AB

m.a

Pente 15% = tan Donc =tan-1 0,15 = 8,5°

sur X => XP + XB = m . a

C = R . XB = 0,35 . 2980 = 1043 m.N

=> -1780 +XB = 1200 . a

X

AB

G

15%

XBXPm.a

PFD => F = m . a

C = R . XB = 0,35 . 1780 = 623 m.N

MRU (a = 0m/s2) => XB = 1780NMRUV (a = 1 m/s2) => XB = 1200 + 1780 = 2980N

1.2- Déterminer la force de poussée de la route sur la roue avant si :

- le véhicule démarre avec une accélération de 1m/s2.- le véhicule roule à vitesse constante

1.3- En déduire, pour chaque cas, le couple à fournir aux roues avant si leur rayon est de 35cm.

Exercice 2: Solide en liaison glissière

xyzG

NSTerreT

0003000

)/(

xyzG

S

S

YX

ST

0000

)/1(/1

/1

1,0tan/1

/1 S

S

YX

xyzG

SX

ST

00000

)/2(/2

G

F1/S

PF2/S

m.a

Données : m=3kg ; v=1 m/s en 0,5s. Bilan des actions extérieures

à S :

2.1- Appliquer le PFD au solide S et déterminer X1/S,Y1/S et X2/S

0./2()/1()/( amSTSTSTerreTPFD

GGGG

xyzGxyzGxyz

Y

GxyzG

amXXN

S

S

S

00000.

00000

0000

0003000 /2

/1

/1

xyzGxyzGxyzGxyzG

amXYX

NS

S

S

00000.

00000

0000

0003000

/2

/1

/1

101

1 ,YX

plusde/S

/S

030

6)5,001(.3).(.

/1

/2/1

0

S

SS

Y

NtvvmamXX

Résolution : NY/S

30)2(1

NxXS

3301,0)3(/1

NXS

936)1(/2

)3()2()1(

d’où les 2 équations :

Exercice 3: robot NOKIA

3.1. Préciser les composantes de P ; effectuer l’application numérique.

Galet (19)

A0/19

A B

Robot (R)

x

z

O

B0/19

Sens de

l’accélérationP

GP

19/OA

19/OB

m = 2000 kg

(0,0,P)

(0,0,AZ)

(BX,0BZ)

P (0,0,-20000N)(0,0,-m.g) P

Bx = m . atBx = 2000 x 0,15 = 300 N

Données : at= 0,15 m /s2 et m = 2000kgl’équation de la résultante dynamique en projection sur (O,x)

Galet (19)

A0/19

A B

Robot (R)

x

z

O

B0/19

Sens de

l’accélérationP

G

3.2- Appliquer le PFD au solide S et déterminer Bx