m17 Integration
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1
1 Chap.17 수치적분
CAE 기본개념소개Chap. 17Chap. 17 수치적분수치적분 (Numerical Integration)(Numerical Integration)
수치적분 개요
사다리꼴 공식
Simpson의 공식
2 Chap.17 수치적분
적분의개념
∫b
adxxf )(
: 구간 [a, b]에서의
f(x) 곡선아래의면적
=> 특정구간에서주어진
물리적변수의총량또는총
합 의미
2
3 Chap.17 수치적분
적분의응용사례
강물과길로둘러싸인
들판의면적계산
강물의단면적계산 고층건물의측면에부는
바람에의한유효힘계산
4 Chap.17 수치적분
사다리꼴공식 (Trapezoid rule)
[ ] ⇒−
−+−
=∫ )("12
)()()(2
)(3
ηfabbfafabdxxfb
a
사다리꼴공식에서의절단오차
3
5 Chap.17 수치적분
수치적분에서의구간의영향
5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +−+−+=P. 453 예제 17.1
6 Chap.17 수치적분
합성사다리꼴공식
)(...)()(
, ,
1
1
0
0
∫∫∫−
++≈=
==−
=
n
n
x
x
x
x
b
a
n
dxxfdxxfdxxfI
bxaxnabhlet
22
3
13
3 1"12
)()("12
)(n
Efnabf
nabE t
n
iit ∝⇒
−−=
−−= ∑
=
ξ절단오차 : 1차의정확도
4
7 Chap.17 수치적분
합성사다리꼴공식 – M File
function I = trap(func,a,b,n)% I = trap(func,a,b,n):% multiple-application trapezoidal rule.% input:% func = name of function to be integrated% a, b = integration limits% n = number of segments% output:% I = integral estimate
x = a;h = (b - a)/n;s = feval(func,a);for i = 1 : n-1x = x + h;s = s + 2*feval(func,x);
ends = s + feval(func,b);I = (b - a) * s/(2*n);
++= ∑−
=
)()(2)(2
1
10 n
n
ii xfxfxfhI
P. 456 예제 17.2
8 Chap.17 수치적분
Simpson 공식
사다리꼴공식: 구간을나누어데이터점간선형보간기초로면적계산
Simson공식: 구간을나누어데이터점간고차다항식보간기초로면적계산
Simson 1/3 공식: 세점을연결하는포물선아래에있는면적계산
Simson 3/8 공식: 네점을연결하는3차곡선아래에있는면적계산
5
9 Chap.17 수치적분
Simpson의 1/3 공식
세점을연결하는 Lagrange 보간다항식 (2차)
)())((
))(()())((
))(()())((
))(()( 21202
101
2121
200
2010
21 xfxxxxxxxxxf
xxxxxxxxxf
xxxxxxxxxL
−−−−
+−−−−
+−−−−
=
bxhxxaxabhwhere =+==−
= 2010 ,,,2
)(2880
)()(90
)4(5
)4(5
ξξ fabfhEt−
−=−= : 3차의정확도
P. 460 예제 17.3
10 Chap.17 수치적분
합성 Simpson의 1/3 rule
P. 462 예제 17.4
)(180
)(
)(90
)4(4
5
)4(5
ξ
ξ
fnab
fhEt
−−=
−=
4
1n
Et ∝∴
6
11 Chap.17 수치적분
Simpson의 3/8 공식
)())()((
))()(()(
))()(())()((
)())()((
))()(()())()((
))()(()(
3231303
2102
321202
310
1312101
3200
302010
321
xfxxxxxxxxxxxxxf
xxxxxxxxxxxx
xfxxxxxxxxxxxxxf
xxxxxxxxxxxxxL
−−−−−−
+−−−
−−−+
−−−−−−
+−−−
−−−=
bxhxxhxxaxabhwhere =+=+==−
= 302010 ,2,,,3
12 Chap.17 수치적분
Simpson의 3/8 공식
P. 464 예제 17.5
)(6480
)(
)(803
)4(5
)4(5
ξ
ξ
fab
fhEt
−−=
−=
분모비교
Simson의 1/3 공식: 2880Simson의 3/8 공식: 6480
7
13 Chap.17 수치적분
Newton-Cotes 의폐구간적분공식
Simpson의 1/3 공식(3 points)과 3/8 공식(4 points)의오차의차수는같음
일반적으로짝수구간(segment) -홀수점(point) 공식을선호
실제공학문제에서합성 Simpson 1/3 공식이널리사용 (정확도는구간늘려서향상)