M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileM103 Linearna algebra 1 Tema: Baza i dimenzija. 13. 3....
Transcript of M103 Linearna algebra 1 - fizika.unios.hr fileM103 Linearna algebra 1 Tema: Baza i dimenzija. 13. 3....
M103 Linearna algebra 1
Tema: Baza i dimenzija.
13. 3. 2018.
predavac: Darija Markovic asistent: Darija Markovic
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Baza i dimenzija
1 Baza i dimenzija
M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 2/6
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Baza i dimenzija
Propozicija 1.16.
Neka je S = {a1, a2, . . . , am}, m ∈ N, sustav izvodnica za vektorskiprostor V 6= {0}. Tada postoji baza prostora V koja je podskup skupa S.
Napomena 1.17.Postupak koji smo primijenili u proslom dokazu naziva se redukcija sustavaizvodnica do baze.
Teorem 1.18.
Svaki konacnodimenzionalni vektorski prostor V 6= {0} ima bazu.
M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 3/6
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Baza i dimenzija
Propozicija 1.16.
Neka je S = {a1, a2, . . . , am}, m ∈ N, sustav izvodnica za vektorskiprostor V 6= {0}. Tada postoji baza prostora V koja je podskup skupa S.
Napomena 1.17.Postupak koji smo primijenili u proslom dokazu naziva se redukcija sustavaizvodnica do baze.
Teorem 1.18.
Svaki konacnodimenzionalni vektorski prostor V 6= {0} ima bazu.
M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 3/6
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Baza i dimenzija
Propozicija 1.16.
Neka je S = {a1, a2, . . . , am}, m ∈ N, sustav izvodnica za vektorskiprostor V 6= {0}. Tada postoji baza prostora V koja je podskup skupa S.
Napomena 1.17.Postupak koji smo primijenili u proslom dokazu naziva se redukcija sustavaizvodnica do baze.
Teorem 1.18.
Svaki konacnodimenzionalni vektorski prostor V 6= {0} ima bazu.
M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 3/6
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Baza i dimenzija
Lema 1.19.
Neka je B = {b1, b2, . . . , bn} sustav izvodnica za vektorski prostor V , teneka je A = {a1, a2, . . . , ak} ⊂ V linearno nezavisan. Tada je k ≤ n.
Teorem 1.20.
Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor. Sve bazeprostora V su jednakobrojne.
Definicija 1.21.
Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor. Dimenzijaprostora V definira se kao broj elemenata bilo koje njegove baze.Dodatno, uzima se da je dimenzija nulprostora 0.
M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 4/6
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Baza i dimenzija
Lema 1.19.
Neka je B = {b1, b2, . . . , bn} sustav izvodnica za vektorski prostor V , teneka je A = {a1, a2, . . . , ak} ⊂ V linearno nezavisan. Tada je k ≤ n.
Teorem 1.20.
Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor. Sve bazeprostora V su jednakobrojne.
Definicija 1.21.
Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor. Dimenzijaprostora V definira se kao broj elemenata bilo koje njegove baze.Dodatno, uzima se da je dimenzija nulprostora 0.
M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 4/6
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Baza i dimenzija
Lema 1.19.
Neka je B = {b1, b2, . . . , bn} sustav izvodnica za vektorski prostor V , teneka je A = {a1, a2, . . . , ak} ⊂ V linearno nezavisan. Tada je k ≤ n.
Teorem 1.20.
Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor. Sve bazeprostora V su jednakobrojne.
Definicija 1.21.
Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor. Dimenzijaprostora V definira se kao broj elemenata bilo koje njegove baze.Dodatno, uzima se da je dimenzija nulprostora 0.
M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 4/6
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Baza i dimenzija
Propozicija 1.22.
Neka je A = {a1, a2, . . . , ak}, k ∈ N, linearno nezavisan skup ukonacnodimenzionalnom prostoru V . Tada se A moze nadopuniti do baze.
Primjer 1.23.Nadopunimo skup
A = {a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 1,−1,−1)}
do baze prostora R4.
Napomena 1.24.Postupak prosirenja nezavisnog skupa do baze prostora nikako nijejedinstven.
M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 5/6
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Baza i dimenzija
Propozicija 1.22.
Neka je A = {a1, a2, . . . , ak}, k ∈ N, linearno nezavisan skup ukonacnodimenzionalnom prostoru V . Tada se A moze nadopuniti do baze.
Primjer 1.23.Nadopunimo skup
A = {a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 1,−1,−1)}
do baze prostora R4.
Napomena 1.24.Postupak prosirenja nezavisnog skupa do baze prostora nikako nijejedinstven.
M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 5/6
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Baza i dimenzija
Propozicija 1.22.
Neka je A = {a1, a2, . . . , ak}, k ∈ N, linearno nezavisan skup ukonacnodimenzionalnom prostoru V . Tada se A moze nadopuniti do baze.
Primjer 1.23.Nadopunimo skup
A = {a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 1,−1,−1)}
do baze prostora R4.
Napomena 1.24.Postupak prosirenja nezavisnog skupa do baze prostora nikako nijejedinstven.
M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 5/6
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Baza i dimenzija
Korolar 1.25.Neka je V vektorski prostor, te neka je dimV = n <∞.
(a) Svaki linearno nezavisan skup u V ima n ili manje elemenata. Svakilinearno nezavisan skup u V koji ima tocno n elemenata je baza zaV .
(b) Svaki sustav izvodnica za V ima n ili vise elemenata. Svaki sustavizvodnica za V koji ima tocno n elemenata je baza za V .
Napomena 1.26.Prethodni korolar pokazuje da svaki linearno nezavisan skup u prostorudimenzije n ima najvise n elemenata. U tom smislu je definicija linearnenezavisnosti, kako smo je naveli, sasvim zadovoljavajuca zakonacnodimenzionalne prostore.
M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 6/6
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Baza i dimenzija
Korolar 1.25.Neka je V vektorski prostor, te neka je dimV = n <∞.
(a) Svaki linearno nezavisan skup u V ima n ili manje elemenata. Svakilinearno nezavisan skup u V koji ima tocno n elemenata je baza zaV .
(b) Svaki sustav izvodnica za V ima n ili vise elemenata. Svaki sustavizvodnica za V koji ima tocno n elemenata je baza za V .
Napomena 1.26.Prethodni korolar pokazuje da svaki linearno nezavisan skup u prostorudimenzije n ima najvise n elemenata. U tom smislu je definicija linearnenezavisnosti, kako smo je naveli, sasvim zadovoljavajuca zakonacnodimenzionalne prostore.
M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 6/6