M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 27 ELETTROMAGNETISMO...
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M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 1
ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_2b
(ultima modifica 10/10/2011)
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L’integrale
è un integrale superficiale ed è un integrale doppio in due dimensioni. Esso è il flusso del vettore attraverso la superficie di area S.
Il versore normale alla superficie S
• è uscente dalla superficie se la superficie è chiusa e
• dipende dalla direzione nella quale è percorso il contorno della superficie se la superficie è aperta e si determina con al regola della mano destra.
sd AS
A
sd
na
na
na
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Le grandezze elettromagnetiche generalmente sono grandezze scalari e vettoriali che dipendono dal tempo e dal punto o posizione ( coordinate spaziali), ossia complessivamente dipendono da quattro variabili:
•il tempo e
•le tre coordinate spaziali.
Sono quindi importanti i metodi per definire la velocità spaziale di variazione di un campo scalare per un tempo stabilito.
Si devono sviluppare le derivate parziali rispetto alle tre coordinate e poiché la velocità di variazione può essere diversa nelle diverse direzioni, sarà necessario introdurre un vettore che definisca la velocità spaziale di cambiamento del campo scalare in un determinato punto e un determinato tempo.
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Gradiente di un campo scalare
V(u1,u2,u3) V è una grandezza scalare funzione di tre coordinate ui ( potenziale elettrico, temperatura ,
pressione, tasso di umidità).
Per la stessa variazione dV, la velocità di variazione è diversa lungo , perché dn è il percorso più piccolo per passare dalla superficie a potenziale V a quella a potenziale V+dV.
dldV
ndnald
P3P2
P1 V
V+dV
nd
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Sulla base di queste considerazioni sorge l’esigenza di definire un vettore che rappresenti sia l’ampiezza che la direzione della massima velocità spaziale di incremento di una grandezza scalare come; gradiente della grandezza scalare,
ossia il vettore che rappresenta il rapporto massimo fra la variazione di V e la lunghezza dl
in coordinate cartesiane
dndV
a V V grad n
l n a adndV
cosα dndV
dldn
dndV
dldV
Vz
ay
ax
aV
za
ya
xa
zyx
zyx
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Si definisce divergenza di un vettore di campo in un punto, il flusso netto uscente dalla superficie per unità di volume, quando il volume tende a zero:
In coordinate cartesiane:
AA
Δv
sdAlimAA div S
0Δv
z
A
y
A
x
AA divA zyx
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La divergenza in coordinate cilindriche:
La divergenza in coordinate sferiche :
z
A
A
r1
rA r
r1
AdivA zr
A
sin R1
sinA
sin R1
RAR
R1
AdivA R2
2
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M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 8
Teorema della divergenza
Il flusso totale di un vettore uscente da una superficie chiusa qualunque A è uguale all’integrale della divergenza del vettore, esteso al volume V racchiuso dalla superficie stessa:
Se la divergenza è uguale a zero in tutti i punti del campo, il campo è solenoidale.
Se il campo è solenoidale, il flusso attraverso una qualunque superficie contenuta nel campo è uguale a zero.
dv AdivsdAVS
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Integrale lineare di un vettore
L’integrale lineare di un vettore lungo un tratto di curva delimitato da due punti M e N é:
Il valore dell’integrale dipende :
• dal tratto di curva percorso tra M e N
• dalle posizioni di punti M e N
A
ld cosβ AldAN
M
N
M
A
t
P
M
N
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M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 10
Il campo è irrotazionale quando l’integrale lineare tra due punti qualsiasi appartenenti al campo, non dipende dal tratto di curva che unisce i due punti M e N, ma solo dalla posizione dei due punti:
chiuso percorsoun é l dove 0ldA
inoltre
ldAldA
eparticolarin
N M percorso qualsialsiper k ldA
M
N
N
M
N
M
l
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Se è irrotazionale ammette un potenziale scalare V, ossia: A
gradVA
dVVV
ldAdV
N
MNM
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Il rotazionale o rotore di un vettore nel punto P é:
ossia, é un vettore la cui
•ampiezza è la massima circuitazione del vettore per unità di area, quando questa tende a zero e
•la cui direzione è normale alla direzione dell’area orientata che rende massima la circuitazione.
In coordinate cartesiane:
A
AArot
A
zyx
zyx
xz
zxy
yzx
AAAzyx
aaa
A
y
A
xAy
ax
A
z
Aa
z
A
y
AaA
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Il rotore in coordinate cilindriche:
Il rotore in coordinate sferiche:
zr
zr
ArAAzr
araa
r1
A
ARsinRAA
R
sinRaRaa
sinR1
A
R
R
2
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M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 14
Il gode delle seguenti importanti proprietà:
I° Identità nulla: Il rotore del gradiente di un campo scalare è uguale a zero.
II° Identità nulla: La divergenza del rotore di un campo vettoriale é uguale a zero.
Teorema di Stokes:
L’integrale superficiale del rotore di un campo vettoriale su una superficie aperta è uguale all’integrale lineare del vettore lungo la linea chiusa che delimita il contorno della superficie.
A rot
0V) ( (V)) (gradrot
div (rot (A)) ( A) 0
ld AsdACS
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Nello studio dei campi vettoriali è conveniente rappresentare le variazioni di campo graficamente con linee di campo direzionali o orientate chiamate linee di campo o linee di flusso.
Esse danno una visione della distribuzione del campo, indicando in ciascun punto:
• la direzione del campo vettoriale con il verso delle linee
• l’ampiezza attraverso la densità delle linee ( nei punti dove le linee sono più fitte il campo è più intenso).
La superficie di un volume definito all’interno di un campo, racchiude una sorgente (source), se le linee di flusso sono uscenti.
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Campi particolari
Se la divergenza di una grandezza vettoriale che definisce un campo è nulla, il campo è solenoidale:
Se il rotore di una grandezza vettoriale che definisce un campo è nullo, il campo è irrotazionale:
I campi vettoriali possono essere classificati in base al fatto che essi siano solenoidali, irrotazionali e non.
0sdAdv AdivSV
ld AsdACS
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Campi generali
Un campo vettoriale generico ha sia la divergenza che il rotore diversi da zero e può essere considerato come la somma di un campo solenoidale e di un campo irrotazionale.
Teorema di Helmhotz
Un campo vettoriale (funzione vettoriale puntuale) è determinato dalla somma della divergenza del potenziale scalare e del rotore del potenziale vettoriale, quando la sua divergenza e il suo rotore sono ovunque definiti:
AVF
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I campi possono essere classificati in :
• Campi variabili rapidamente: nei quali i fenomeni di propagazione spaziale non sono trascurabili;
• Campi Statici: nei quali le grandezze che caratterizzano il campo sono costanti al variare del tempo. Essi sono tempo-invarianti e in essi sono nulle le correnti di spostamento e le f.e.m indotte;
• Campi quasi statici: nei quali le grandezze variano lentamente, ossia:
- le derivate temporali delle grandezze di campo sono trascurabili rispetto alla loro velocità di propagazione nello spazio e
- le grandezze che caratterizzano il campo variano nello stesso modo in un qualunque punto dello spazio.
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M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 19
I campi quasi statici si classificano in:
• Campi tempovarianti con legge armonica stazionaria (sinusoidale). Per essi è conveniente rappresentare le variabili in forma vettoriale.
• Campi tempovarianti con legge non armonica stazionaria.
• Nel caso di campi quasi statici le leggi di Maxwell si riducono ad equazioni di diffusione.
Saranno trattati campi statici e quasi statici.
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M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 20
Lo studio dei campi statici o quasi statici trova applicazione nello studio delle:
• macchine elettriche rotanti;
• trasformatori;
• attuatori (relé contattori);
• testine magnetiche;
• schermature;
• bobine per acceleratori e macchine da fusione;
• potenziali elettrostatici: isolatori, passanti, connettori.
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M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 21
Lo studio dei campi rapidamente variabili o dinamici trova applicazione per esempio nello studio di:
• Guide d’onda,
• Antenne,
• Cavità risonanti,
• Filtri
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M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 22
Un generico problema di campo può essere risolto atraverso l’applicazione di metodi analitici oppure a metodi numerici.
I metodi analitici sono particolarmente indicati nel caso dello studio di sistemi bidimensionali ed in presenza di mezzi lineari omogenei ed isotropi. Essi sono stati ampiamente sviluppati durante il secolo scorso e quando risultano applicabili, consentono di ottenere delle soluzioni esatte.
I principali metodi analitici utilizzati per la risoluzione di problemi di campo elettromagnetico sono:
• metodo delle immagini;
• soluzioni in forma chiusa delle equazioni di Maxwell espresse in forma di serie convergenti;
• metodi di trasformazioni conformi.
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I metodi numerici sono applicabili anche nel caso tridimensionale e nel caso di mezzi non lineari, non omogenei ed anisotropi.
Essi consentono di ottenere delle soluzioni approssimate e si sono sviluppati con l'avvento dei calcolatori elettronici, quindi da circa trent'anni, ma solo negli ultimi venti anni hanno trovato uno sviluppo nell'ambito progettuale-industriale.
I principali metodi numerici utilizzati per la risoluzione di problemi di campo elettromagnetico sono:
• metodo delle differenze finite
• metodo degli elementi finiti
• metodo BEM ( Boundary Elements Method ).
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M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 24
Il problema della risoluzione di equazioni integro-differenziali di campo è comune alle diverse aree scientifiche dell’ingegneria e della fisica.
Gli studi e i risultati ottenibili per un sistema fisico diventano spendibili per la modellazione e lo studio in termini di campi di fenomeni fisici di natura diversa, quando questi presentino forti analogie ed in particolare nel fenomeno della trasmissione del calore.