SIGI

LLUM SCHOLÆ

REY K J A V I C E

N

S IS Menntaskólinn í Reykjavík

Eðlisfræði 1

Verkleg eðlisfræði

28. ágúst 2006

Kristján Þór Þorvaldsson

kthth@mr.is - http://mr.ohm.is

1

1. Almennar leiðbeiningar um verklegt

• Tilgangur verklegra æfinga í eðlisfræði er að tengja fræðilegan

þátt náms í eðlisfræði við raunveruleikann.

• Í verklegum æfingum kynnast nemendur inntaki eðlisfræðinnar af

beinni snertingu.

• Í þeim eru ýmist lögmál staðfest eða fyrirbæri skoðuð.

• Verklegar æfingar þjálfa nemendur í að meðhöndla flókin jafnt

sem einföld mælitæki.

• Árangur í verklegum æfingum fer alfarið eftir framlagi nemenda.

2

1. Almennar leiðbeiningar um verklegt

• Miklu máli skiptir að ganga vel um í verklegri stofu.

• Yfirhafnir, skólatöskur og sá búnaður sem ekki tengist tilraun á

nokkrun hátt á alltaf að vera víðs fjarri.

• Á vinnuborði eiga mælitækin heiðursess ásamt verkbók,

skriffærum og reiknivél.

• Hafa skal það hugfast að mælitækin eru ekki leikföng og ef

eitthvað fer miður eru nemendur dregnir til ábyrgðar.

• Ganga skal vel frá vinnuborði og tækjum í lok tilraunar.

3

1. Almennar leiðbeiningar um verklegt

• Í byrjun verklegs tíma, og helst fyrir hann, skal lesa verkseðil

gaumgæfilega.

• Kennari er ekki í verklegum tíma til að framkvæma tilraun fyrir

nemendur heldur eingöngu til að vera þeim innan handar.

• Í verkseðli eru meginskref tilraunar rakin ásamt því að yfirleitt

eru gefin dæmi um hvernig skrá eigi mælingar.

4

1. Almennar leiðbeiningar um verklegt

• Vanda skal til verks og skrá mælingar jafnóðum og helst vinna úr

þeim.

• Með því móti er tryggt að vel sé unnið úr mæligögnum.

• Þeir sem eru búnir langt á undan öðrum eru líklegri til að fara á

mis við tilgang tilraunar.

• Fyrir næsta verklega tíma skal ljúka úrvinnslu sem síðan skal

sýna kennara í næsta verklega tíma.

5

2. Vinnubók

• Allar mælingar á að færa beint í sérstaka vinnubók.

• Vinnubókin skal vera heftuð rúðustrikuð reikningsbók í A4 broti.

• Stranglega bannað er að mæta með aðra gerð af vinnubók.

• Vinnubók geymir frumgögn mælinga óspjölluð af villum sem geta

komið inn við hreinritun.

• Athugsemdir við mælingar eru einnig ritaðar ásamt gröfum og

öðru sem tengist úrvinnslu.

6

2. Vinnubók

• Aldrei skal má neitt úr bókinni né rífa síður úr henni.

• Ef eitthvað er óþarft má draga strik yfir eða krossa.

• Vanda skal vel ritun í bókina þannig að textinn sé læsilegur.

• Gott er að nota myndir til að skýra það sem átt er við; t.d.

uppsetning tilraunar.

7

2. Vinnubók

• Tilraun er kynnt með yfirskrift, þ.e. heiti tilraunar, og

dagsetningu framkvæmdar ásamt almennri lýsingu á framkvæmd

tilraunar.

• Tækjalista skal alltaf rita í vinnubók ásamt afstöðumynd af

uppstillingu.

• Mælingar eru ritaðar jafnóðum og þær eru framkvæmdar og

yfirleitt settar upp í töflu.

• Línurit skulu merkt með fyrirsögn og eiga báðir ásar að vera

kvarðaðir og merktir.

8

3. Mælingar og skekkjur

• Athugun á náttúrlegu fyrirbæri nefnist mæling og öll þekking

raunvísinda byggist á mælingum.

• Mælingar eru háðar ýmsum takmörkunum og eru meira eða

minna óvissar.

• Skekkja er frávik mælingar frá réttu gildi.

• Skekkjan er oft óþekkt stærð þar sem rétt gildi mælingar er

yfirleitt ekki nákvæmlega þekkt.

• Óvissa er mat á bili sem er líklegt að hið rétta gildi liggi á.

9

3. Mælingar og skekkjur

• Óvissa í niðurstöðu er tiltekin með því að rita hana fyrir aftan

niðurstöðuna með táknið ± fyrir framan.

• Þá táknar α ± ∆α að rétt gildi sá á bilinu frá α − ∆α til α + ∆α.

• ⇒ Dæmi

• Hlutfallsóvissa er notuð til að finna heildaróvissu í reiknuðum

stærðum.

• Finna má hlutfallsóvissu sem ∆αα · 100%

• ⇒ Dæmi

10

3. Mælingar og skekkjur

• Skekkjur í tilraunum eru af ýmsu tagi. Þær helstu eru:

1. Skekkjur sem verða fyrir handvömm við framkvæmd mælinga

eða við útreikninga og lýsa sér sem óeðlileg frávik. Oft er gott

að endurtaka mælingar til að komast hjá slíku.

2. Kerfisbundnar skekkjur sem orsakast af þáttum eins og

núllpunktsskekkju í mælitæki eða vegna annarra galla í

mælikvarða. Kerfisbundnar skekkjur hafa sömu áhrif á allar

mælingar á tiltekinni stærð.

3. Tilviljunarskekkjur sem merkjast á því að við endurteknar

mælingar á sömu stærð við sömu aðstæður fást eilítið

mismunandi gildi. Skekkjur af þessari gerð valda hinni

11

eiginlegu óvissu.

• Óvissumat fer eftir framkvæmd mælinga.

1. Ef ein mæling er tekin telst óvissan aflestraróvissa mælitækis

(nákvæmni sem hægt er að lesa af tækinu).

2. Ef nokkur fjöldi mælinga er tekinn á sömu stærð og þær gefa

mismunandi niðurstöðu þá telst besta mat á mælistærðinni

meðalgildi mælinganna og óvissa er metin út frá staðalfráviki

mælinganna.

3. Gott er að draga niðurstöðu mælinga í graf og reikna hallatölu

línu um mæligildi svo og skurðpunkt við ása.

12

3. Meðalgildi og staðalfrávik

• Þegar margar mælingar eru gerðar á sömu stærð fæst venjulega

ekki alltaf sama gildið.

• Hægt er að flokka gögnin og skipta þeim upp á mælisviði og

draga tíðnirit sem sýnir fjölda sem fall af mæligildum.

Mynd 1: Tíðni sem fall af mæligildum

13

3. Meðalgildi og staðalfrávik

• Á slíku tíðniriti er ein tala látin standa fyrir besta mat á

niðurstöðunni og önnur fyrir breidd tíðniritsins.

• Besta mat á niðurstöðu er meðalgildi og svarar það til

þungamiðju tíðniritsins.

• Stærðfræðileg framsetning meðalgildis er

x =x1 + x2 + ... + xn

n=

1

n

n∑

i=1

xi

14

3. Meðalgildi og staðalfrávik

• Staðalfrávik er mælitala fyrir breidd dreifingarinnar og er eins

konar meðalgildi af fráviki mælinga frá meðaltali.

• Stærðfræðileg framsetning staðalfráviks er

s =

(

(x − x1)2 + (x − x2)

2 + ... + (x − xn)2

(n − 1)

)1/2

=

(

1

(n − 1)

n∑

i=1

(x − xi)2

)1/2

15

3. Meðalgildi og staðalfrávik

Dæmi I Tyrfingur vó massa kubbs. Niðurstöður eru að neðan.

# Massi [kg] # Massi [kg]

1 6,4 5 6,8

2 6,2 6 6,2

3 6,5 7 6,7

4 6,3 8 6,6

Finn meðalgildi mælinga og staðalfrávik.

16

3. Meðalgildi og staðalfrávik

Dæmi II Amalíus mældi herbergishita með 8 eins hitamælum.

Mælir # Hitastig [K] Mælir # Hitastig [K]

1 298 5 303

2 299 6 301

3 304 7 302

4 303 8 299

Finn meðalgildi mælinga og staðalfrávik.

17

4. Normaldreifing (gaussdreifing)

Mynd 2: Normaldreifing - dreifing mælinga er samhverf umhverfis með-

altalið (m er fræðilegt meðalgildi en σ fræðilegt staðalfrávik).

18

4. Normaldreifing (gaussdreifing)

• Þegar mælingar dreifast gaussískt (normalt) eru um 67%

mælinganna innan eins staðalfráviks frá meðalgildinu.

• Um 95% eru innan tveggja staðalfrávika frá meðalgildi.

• Sjá mynd á fyrri glæru.

19

5. Markverðir stafir

• Í útreikningum þarf að gæta þess að fjöldi markverðra stafa í

niðurstöðu sé ekki meiri en fjöldi stafa í grunngögnum.

• Fjöldi markverðra stafa í tölu er talinn frá fyrsta staf vinstra

megin við töluna sem ekki er núll.

• Í heilli tölu er síðasti stafurinn í tölunni sem ekki er núll talinn

sem síðasti markverði stafurinn.

• Ef tala inniheldur kommu er síðasti stafurinn í tölunni síðasti

markverði stafurinn þrátt fyrir að hann sé núll.

20

5. Markverðir stafir

• Allir stafir milli fyrsta og síðasta markverða stafs teljast

markverðir stafir.

1234 4 markverðir stafir 123,4 4 markverðir stafir

1234 ·102 4 markverðir stafir 12,34 4 markverðir stafir

123,400 6 markverðir stafir 0,0123400 6 markverðir stafir

21

5. Markverðir stafir

• Þegar niðurstaða er rituð á að hafa jafnmarga stafi og nákvæmni

mælingar segir til um eða með einum fleiri.

• Tölu skal því rita með einum eða tveimur óvissum stöfum.

• Óvissa er yfirleitt rituð með einum eða í mesta lagi tveimur

markverðum stöfum eftir því hvort að einn eða tveir óvissir stafir

eru hafðir í niðurstöðu.

• Þegar lokaniðurstaða er sett fram er hafður einn markverður

stafur í óvissu.

22

6. Meðferð óvissu í útreikningum

6.1 Meðferð óvissu við samlagningu og frádrátt

• Talan γ er reiknuð þannig að γ = α + β.

• Óvissa α er ∆α en óvissa β er ∆β.

• Þá er hæsta gildi á γ því γmax = (α + ∆α) + (β + ∆β)

= γ + (∆α + ∆β) en lægsta γmin = (α − ∆α) + (β − ∆β)

= γ − (∆α + ∆β).

• Af þessu má ráða að ∆γ = (∆α + ∆β).

• Sama regla gildir fyrir frádrátt.

23

6. Meðferð óvissu í útreikningum

6.2 Meðferð óvissu við margföldun og deilingu

• Þegar tölur α og β með óvissur ∆α og ∆β eru margfaldaðar

saman fæst talan γ ± ∆γ = (α ± ∆α) · (β ± ∆β)

= αβ ± (∆α · β + ∆β · α) + ∆α · ∆β.

• Óvissur ∆α og ∆β eru litlar stærðir miðað við α og β svo því má

sleppa liðnum ∆α · ∆β og rita óvissu γ sem

∆γ = ∆α · β + ∆β · α

24

6. Meðferð óvissu í útreikningum

6.2 Meðferð óvissu við margföldun og deilingu

• Því verður þegar deilt er í ∆γ með γ þá

∆γ

γ=

∆α

α+

∆β

β

• Hlutfallsóvissa γ er jöfn samanlagðri hlutfallsóvissu í α og β.

• Slíkt hið sama gildir um deilingu.

• ⇒ Dæmi.

25

7. Gröf

• Gröf sem koma við sögu eru yfirleitt beinlínugröf.

• Línan hefur jöfnu y = hx + k þar sem h er hallatala en k er

skurðpunktur við y-ás.

• Þegar mælipunktar eru rissaðir upp í graf er oft kúnstin sú að

finna bestu línu og kennistærðir hennar. Slíkt er oft á tíðum gert

með tölvum.

26

Heimildir

• Verkleg eðlisfræði 2005-2007 eftir Davíð Þorsteinsson.

• Glósur úr Orku eftir Kristján Þór Þorvaldsson.

• Samtíningur um verklegt eftir Kristján Þór Þorvaldsson.

• University Physics eftir Harris Benson.

27