M. Bostelmann - Neuhäusel 20051 / 56 Matrizen. M. Bostelmann - Neuhäusel 20052 / 56 Marktforschung...
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 1 / 56
Matrizen
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 2 / 56
Marktforschung
Ein Marktforschungsinstitut wird von einem Verlag damit
beauftragt, das Kaufverhalten der Kunden von
Fernsehzeitschriften zu untersuchen.
Dies soll Hilfen für spätere Marketingentscheidungen
liefern.
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 3 / 56
Modell
2 Zeitschriften A und B
die Gesamtzahl der Kunden bleibt konstant
der Marktmechanismus bleibt konstant
Vereinfachungen
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 4 / 56
Daten
Das Institut ermittelt mit Hilfe von Umfragen folgende Daten:
pro Woche wechseln 20% der A-Kunden nach B
pro Woche wechseln 5% der B-Kunden nach A
Zeitschrift B hat 3000 Kunden
Zeitschrift A hat 2000 Kunden
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 5 / 56
Diskussion
irgendwann kaufen alle Kunden die Zeitschrift B
die Kundenzahlen oszillieren
es stellt sich ein Gleichgewicht ein
Wie entwickeln sich die Kunden-zahlen über einen längeren Zeitraum?
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 6 / 56
Übergangstabelle
von A von B
nach A 80% 5%
nach B 20% 95%
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 7 / 56
Übergangsgraph
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 8 / 56
Baumdiagramm
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 9 / 56
Erste Prognose
Nach zwei Wochen A: 1280 + 20 + 120 + 142,5 = 1562,5
B: 320 + 380 + 30 + 2707,5 = 3437,5
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 10 / 56
Entwicklung
Untersuchen Sie die Entwicklung der Kunden-zahlen über einen Zeitraum von 10 Wochen.
Verwenden Sie Excel !!!
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 11 / 56
Excel-Eingabe
=B5*(1-$B$1)+C5*$B$2 =C5*(1-$B$2)+B5*$B$1
Kopieren
Einfügen
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 12 / 56
Excel-Ergebnis
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 13 / 56
Excel-Grafik
0
1000
2000
3000
4000
5000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A
B
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 14 / 56
Zwischenbilanz
Die Kundenzahlen von A sinken, die von B steigen.
Hält diese Tendenz an?
0
1000
2000
3000
4000
5000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A
B
Fragen
Hat A irgendwann keine Kunden mehr?
Was passiert, wenn A zu Beginn mehr (noch weniger) Kunden hat ?
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 15 / 56
Dynasys
Definitionen
Startwerte A:=2000 B:=3000Ventile A_nach_B:=0.2*A B_nach_A:=0.05*B
Modell
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 16 / 56
DynasysSimulationsparameter
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 17 / 56
DynasysZeitdiagramm
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 18 / 56
DynasysSimulation
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 19 / 56
DynasysTabelle
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 20 / 56
DynasysSimulation
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 21 / 56
DynasysSimulation über 50 Wochen
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 22 / 56
DynasysAnfangswerte A=4000 ; B=1000
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 23 / 56
DynasysAnfangswerte A=0 ; B=5000
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 24 / 56
DynasysZeitliche Abhängigkeit der Änderungsraten
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 25 / 56
DynasysVergleich von A und dA bei gleicher Skalierung
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 26 / 56
DynasysVergleich von A und dA bei ungleicher Skalierung
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 27 / 56
SchematisierungBerechnung der Kundenzahlen nach einer Woche:
Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000
Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 28 / 56
Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche:
von A von Bnach A 0,8 0,05nach B 0,2 0,95
Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000
Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000
0,8 0,05
0,2 0,95
Matrix
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 29 / 56
SchematisierungBerechnung der Kundenzahlen nach einer Woche:
Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000
Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 30 / 56
SchematisierungBerechnung der Kundenzahlen nach einer Woche:
Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000
Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000
Aalt : 2000
Balt : 3000
2000
3000
Vektor
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 31 / 56
SchematisierungBerechnung der Kundenzahlen nach einer Woche:
0,2 0,95
0,8 0,05
2000
3000
0,8 0,02000 30005· + ·
=
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 32 / 56
SchematisierungBerechnung der Kundenzahlen nach einer Woche:
0,2 0,95
0,8 0,05
2000
3000
·
0
2
,8
00
·200
+
0 + 0,
0,2 0, ·0 30
05
00
·3000
95
=
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 33 / 56
SchematisierungBerechnung der Kundenzahlen nach einer Woche:
0,8 0,05
0,2 0,95
2000
3000
1760
3250
=
Übergangs-matrix
alter Kunden-vektor
neuer Kunden-vektor
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 34 / 56
Definition
Ein rechteckiges Zahlenschema mit n Reihen und m Spalten heißt (n x m)-Matrix.
11 1m
n1 nm
a . . a
. . . .
. . . .
a . . a
Eine (n x 1)- bzw. (1 x m)-Matrix heißt auch
1
n
a
:
a
1 ma .. a
Spaltenvektor bzw. Zeilenvektor
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 35 / 56
Multiplikation
Für das Produkt einer 2x2-Matrix mit einem 2x1-Vektor definieren wir
11 12 1 11 1 12 2
21 22 2 21 1 22 2
a a k a ·k a ·k· :
a a k a ·k a ·k
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 36 / 56
Symbolisierung
Für Vektoren verwenden wir Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber, für Matrizen Großbuchstaben.
Anfänglicher Kundenvektor:
Übergangsmatrix: M = 0,8 0,05
0,2 0,95
0
2000k
3000
Damit ergibt sich 1 0 n n 1k M·k bzw. k M·k
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 37 / 56
Eingabe bei Derive
Eingabe Anzeige
Zeilenvektor [1,2,3]
Spaltenvektor [1;2;3]
Matrix [1,2,3;4,5,6]
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 38 / 56
Berechnung mit Derive
Eingabe des anfänglichen Kundenvektors und der Übergangsmatrix.
Initialisierung des Kundenvektors k.
Berechnung des neuen Kundenvektors
Eingabe abschließen durch Mausklick auf Approximieren.
Keinesfalls die Enter-Taste verwenden!!!
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 39 / 56
Berechnung mit Derive
Durch mehrmaliges Klicken mit der Maus auf Approximieren erhält man eine Folge von Kundenvektoren, die die zeitliche Entwicklung des Kundenstamms zeigt.
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 40 / 56
Iteration
)kM(MkMk 012
Bei der iterativen Berechnung von z.B. k2 haben wir gerechnet
0
2 kM?
Sollte man das vielleicht auch so berechnen können?
Dazu müsste eine Multiplikation von Matrizen definiert werden.
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 41 / 56
Matrizenmultiplikation
ybxa
ybxa
y
x
ba
ba
22
11
22
11
Wir berechnen k1
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 42 / 56
Matrizenmultiplikation
und dann k2
ybbxabybaxaa
ybbxabybaxaa
ybxa
ybxa
ba
ba
22221212
21211111
22
11
22
11
y)bbba(x)abaa(
y)bbba(x)abaa(
22122212
21112111
y
x
bbba
bbba
abaa
abaa
2212
2111
2212
2111
Das sollte dann M2 sein
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 43 / 56
Matrizenmultiplikation
Damit ergibt als Definition für die Multiplikation von zwei 2x2-Matrizen:
2212
2111
2212
2111
22
11
22
11
bbba
bbba
abaa
abaa:
ba
ba
ba
ba
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 44 / 56
Prognose
Damit können wir nun Prognosen für beliebige Zeiträumeauch ohne Iteration berechnen.
Nach 10 Wochen: 010
10 kMk
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 45 / 56
Berechnung mit Derive
Eingabe
Vereinfachen
ergibt
![Page 46: M. Bostelmann - Neuhäusel 20051 / 56 Matrizen. M. Bostelmann - Neuhäusel 20052 / 56 Marktforschung Ein Marktforschungsinstitut wird von einem Verlag damit.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022070310/55204d6f49795902118c0bb0/html5/thumbnails/46.jpg)
M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 46 / 56
Berechnung mit Derive
Eingabe
Vereinfachen
ergibt
![Page 47: M. Bostelmann - Neuhäusel 20051 / 56 Matrizen. M. Bostelmann - Neuhäusel 20052 / 56 Marktforschung Ein Marktforschungsinstitut wird von einem Verlag damit.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022070310/55204d6f49795902118c0bb0/html5/thumbnails/47.jpg)
M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 47 / 56
Berechnung mit Derive
Eingabe
Vereinfachen
ergibt
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 48 / 56
Stabiler KundenvektorOffenbar beschreibt der Vektor ks=
4000
1000eine stabile Situation
Mathematisch bedeutet dies ss kkM
Mit Hilfe dieser Gleichung sollte sich ks auchdirekt berechnen lassen.
bzw. ein dynamisches Gleichgewicht.
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 49 / 56
Berechnung von ks
ss kkM Aus folgt
y
x
y
x
95.02.0
05.08.0
Und daraus das LGS
0.8x + 0.05y = x0.2x + 0.95y = y
bzw. -0.2x + 0.05y = 0 0.2x - 0.05y = 0
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 50 / 56
Berechnung von ks
-0.2x + 0.05y = 0 0.2x - 0.05y = 0
Dieses LGS ist jedoch nicht eindeutig lösbar!
Wir müssen aber auch noch x + y = 5000berücksichtigen. Damit ergibt sich das LGS
0.2x - 0.05y = 0 x + y = 5000
mit der eindeutigen Lösung x=1000 und y=4000
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 51 / 56
Lösung mit Derive
Eingabe
Mit Mausklick auf „Eingeben und Vereinfachen“erhält man die Lösung
![Page 52: M. Bostelmann - Neuhäusel 20051 / 56 Matrizen. M. Bostelmann - Neuhäusel 20052 / 56 Marktforschung Ein Marktforschungsinstitut wird von einem Verlag damit.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022070310/55204d6f49795902118c0bb0/html5/thumbnails/52.jpg)
M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 52 / 56
Ergebnis
Insbesondere ist das LGS nicht von einer speziellen Anfangsverteilung der Kunden abhängig. Also istauch der stabile Kundenvektor unabhängig von der Anfangsverteilung der Kunden!
Die Kundenverteilung stabilisiert sich.
Der stabile Kundenvektor ks lässt sich mit Hilfeder Gleichung M·ks=ks und der konstantenKundensumme berechnen.
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 53 / 56
Grenzmatrix
Untersucht man mit Derive Potenzen der Überführungsmatrix, so stellt man fest, dassauch hier eine Stabilisierung stattfindet.
G:n 0,2 0,20,8 0,05
limn 0,8 0,80,2 0,95
M
mit der Grenzmatrix MG.
Offenbar gilt
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 54 / 56
Grenzmatrix
Die Grenzmatrix überführt den Anfangsvektor direktin den stabilen Vektor.
Sowohl die Grenzmatrix als auch der stabile Vektor sind von einer speziellen Anfangsverteilung unabhängig.
Statt der Gesamtzahl der Kunden (5000) kann man auch von einer Gesamtmenge von 100% bzw. 1 ausgehen.
G 0 sM ·k k))))))))))))))))))))))))))))
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 55 / 56
Grenzmatrix
Der Anfangsvektor kann dann in der Form
1
0oder
0
1geschrieben werden.
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M. Bostelmann - Neuhäusel 2005 56 / 56
Grenzmatrix
Durch Multiplikation mit der Grenzmatrix erhält man die erste bzw. zweite Spalte dieser Matrix:
s s
a b 1 a a b 0 bk bzw. k
c d 0 c c d 1 d
))))))))))))))))))))))))))))
Daraus folgt: skd
b
c
a
Die Spalten der Grenzmatrix stellen den stabilen Vektor dar.