M(1)t= M(1)

t –1+xt-xt-n/n

市场预测与决策市场预测与决策

陈晓慧陈晓慧

(8)(8)

2009.1.2009.1.

市场预测与决策市场预测与决策

陈晓慧陈晓慧

(8)(8)

2009.1.2009.1.

chap8chap8 趋势外推预测法趋势外推预测法

趋势外推法概述趋势外推法概述曲线趋势外推法曲线趋势外推法增长曲线趋势外推法增长曲线趋势外推法

趋势外推预测法概述趋势外推预测法概述一、趋势外推法 (Trend extension )

1.ConceptConcept

当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。 2. PostulatePostulate

（ 1 ）假设事物发展过程没有跳跃式变化； （ 2 ）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展， 其条件是不变或变化不大。

二 、趋势模型类型二 、趋势模型类型 (Tend model types)

1. 多项式曲线多项式曲线 (Multinomial curve)

2 3 4

2

2 3

ˆ

ˆ

(1) 0

ˆ

(2) 0

ˆ

(3) 0

ˆ

t

t

i

t

t

t

y a bx cx dx ex

y t

x

c d e

y a bx

d e

y a bx cx

e

y a bx cx dx

其中： —第期预测值

—时间序列；当 时，

即线性方程趋势外推法时，即二次曲线趋势外推法

时，即三次曲线趋势外推法

ˆ tty K ab

2. 指数曲线外推模型指数曲线外推模型

一般形式 ：

对数曲线

3.3. 增长曲线外推法：增长曲线外推法：

修正的指数曲线

罗吉斯曲线

龚珀兹曲线

ˆ tty ab

ˆ lnty a b t

ˆtb

ty Ka

1ˆt ty

K ab

1

1)3(

1

1

t

t

ttt

ttt

ttt

y

y

yyy

yyy

yyy

二阶差分二阶差分 三阶差分三阶差分

一阶差分环比指数一阶差分环比指数

注意：注意： 增长曲线模型增长曲线模型在理论上的变化规律都遵循着一阶在理论上的变化规律都遵循着一阶差分 、二阶差分 、三阶差分 、一阶差分 环比指数为一差分 、二阶差分 、三阶差分 、一阶差分 环比指数为一常数的特征。常数的特征。

一阶差分一阶差分差分概念差分概念

一、直线趋势外推法一、直线趋势外推法 ((Liner tend ) ) 1 、 principleprinciple•最小二乘法最小二乘法 (Least square method),将时间序列拟合成一条预测直线趋势，使预测值与实际值之间的离差和为最小。

(t11,y11)

(t22,y22)(t44,y44)

(t33,y33)

eii

图 拟合直线方程原理

0en

1ii

曲线趋势外推预测法曲线趋势外推预测法

BB

AA

222 ( ) ( )i t tt

Q e y y a bty

设有 n 个点即： (t11,y11),(t22,y22),…,(tnn,ynn),如图， AB 为拟合直线， n 个观察值对该直线的离差分别为 e11,e22, …,enn 。令：

tt

yy

2 2 2

ˆ

( 1, 2, , ),

ˆ

( ) [ ( )]

t

t

i

t

i t t t

i t tt

y a bt

y a bt

a b e

y n t n

e y y y a bt

Q e y y y a bt

设直线方程为： ，

拟合直线方程为： ，

直线方程的截距， 斜率， 离差

现对 作 次观察

则有：

最小值

（（ 11 ））

在 Q 中 , 描述了直线方程 与 n 个观察点的接近程度。误差的大小随直线的位置变化而变化。即误差误差的值会随着的值会随着 aa 和和 bb 变化而变化变化而变化。即是 a 和 b 的二元函数。2.forecast modelforecast model

为了使误差最小 , 即 Q 为最小值 ; 可分别对 a,b 求偏导 , 并令其为 0. 则有 :

（（ 22 ））

ty

（ 2 ）

（ 4）

（ 5）

（ 3 ）

0)(2

)(2

btay

btayaa

Q

t

t

0 tbnayt

0)(2

)(2

btayt

btaybb

Q

t

t

02 tbtatyt

22 )(

)2(1

ttn

yttynb

tbytbyn

a

ti

ii

(6)

(7)3.3. 拟合直线方程的步骤拟合直线方程的步骤(1) 绘制散点图(2) 列表计算求待定系数所需的数据(3) 确定待定系数 a 、 b, 建立预测模型(4) 用拟合直线方程求预测值

ActionAction ：：在确定直线方程时 , 时间序列为奇数时 , 取中间数 (n+1/2) 的编号为 0, 那么 x 的编号就构成了以0 中心 , 的正、负数对称的编号。 例如 , 当 n=9 时 ,9+1/2=5, 那么就可以编成 -4,-3,-2,- 1,0,1, 2,3,4, 这时由于∑ x=0, 可简化计算。此时的a,b 公式为 :

2t

tyb

yn

ya

t

tt

某家用电器厂 1994 年 ~2004 年利润数据资料如表所示，试预测 2005 、 2006 年利润各为多少？

年份 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

销售额 200 300 350 400 500 630630 700 750 850 950 1020

解：解： （ 1 ）画散点图并观察各个点变化趋势是否可用直线方程来拟合。（ 2 ）列表计算求待定系数所需要的数据资料，由于时间序列为 11 个，即 n+1/2=11+1/2=6 。故以1990 年为中点编号：-5 ， -4 ， -3 ， -2 ， -1 ，0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 。 1994 1995 1996 1997 1998 1999

12001000 800 600

400

200

图 直线绘制图

表 某家用电器厂 1985 年 ~1995 年利润及拟合直线方程法计算表 单位：万元

中心中心

线性趋势外推法举例线性趋势外推法举例

年份 利润 yii

t t² tytt 左左边边

t t² tytt 右边右边

1994 200 -5 25 -1000 191.0191.0 0 0 0 191.0191.0

1995 300 -4 16 -2000 273.7273.7 1 1 300 273.7273.7

1996 350 -3 9 -1050 356.4356.4 2 4 700 356.4356.4

1997 400 -2 4 -800 439.1439.1 3 9 1200 439.1439.1

1998 500 -1 1 -500 521.8521.8 4 16 2000 521.8521.8

19991999 630 0 0 0 604.5604.5 5 25 3150 604.5604.5

2000 700 1 1 700 687.2687.2 6 36 4200 687.2687.2

2001 750 2 4 1500 769.9769.9 7 49 5250 769.9769.9

2002 850 3 9 2550 852.6852.6 8 64 6800 852.6852.6

2003 950 4 16 3800 935.3935.3 9 81 8550 935.3935.3

2004 1020 5 25 5100 1018.01018.0 10 100 10200 1018.01018.0

∑ 6650 0 110 9100 55 385 42350

ty

ty

表 某家用电器厂 1994 年 ~1904 年利润及拟合直线方程法计算表 单位：万元

表的以左边∑ t=0, ∑ytt=6650, ∑t²=110;∑tytt =9100.表的右边以 0 ， 1 ，… ,10 对自变量 t 进行编号 , 并求得：∑ t=55, ∑t²=385; ∑tytt =42350(3) 确定待定系数 , 建立预测模型 ① 按表的左边 t 编号 , 有： a= ∑ ytt/n=6650/11=604.3; b= ∑ty/ ∑t²=9100/110=82.7

故左边预测的直线方程为： ② 按表右边的 x 编号方法有：

ty t 7.825.606

2 2 2

11 42350 55 665082.7

( ) 11 385 55

1 1( ) (6650 82.7 55) 191.0

11

191.0 82.7

t

t

t

n ty t yb

n t t

a y b xn

y t

右边预测直线方程为：

（ 4 ）用拟合直线方程求预测值 分别按左、右边直线方程

进行预测结果相同，故拟合直线有效。见表

⒊⒊ 特点特点（ 1 ）拟合直线方程的一阶差分为一常数一阶差分为一常数，即：

（ 2 ）直线外推法直线外推法只适用时间序列呈直线趋势时间序列呈直线趋势预测。（ 3 ）无论远、近的数据不考虑权重。（ 4 ）用最小二乘法最小二乘法拟合直线方程消除了不规则的影响，使内插值和外推值内插值和外推值都落在拟合的直线上。

ty t 7.820.191

byyy tt 1

tt

y 7.825.606

二、二次曲线外推法二、二次曲线外推法 (Twice curve extension)

在实际预测中 , 常常碰到的是其他的曲线形式。在这样的情况下 , 就要用到曲线外曲线外推趋势法推趋势法。这种方法仍然是利用最二乘法二乘法来拟合曲线方程。介绍如下：设曲线预测模型为：

（一）（一） modelmodel

（ 1 ）利用最小二乘法得：

2ˆ cxbxayt

最小值

2222 )()( cxbxayyyeQ ttti

（ 2 ）

224

22

2

224

224

)(

)(

ttn

ytyytc

t

tyb

ttn

yttyta

ttt

t

tt

原理原理 拟合直线方程根据最小二乘法原理，使观察期对于估计值的离差平方和 ，再求偏导并令其等于 0 ，求出 a,b, 最后建立直线方程进行预测。但这种方法的问题是在拟合直线过程，对时间的近期和远期的数据同等对待，求出的预测方程不够精确。而加权拟合法就较好的解决了这个问题。 ( 例题略 )

min)( 2

tt yyQ

三、加权拟合直线方程三、加权拟合直线方程

生物的生长过程经历了出生、成长、成熟三个阶段，在这三个阶段生物的生长速度是不一样的。 例如 , 南瓜的重量增长速度 , 在第一阶段增长的较慢 , 在成长时期则突然加快 , 而到了成熟期又趋减慢 , 形成一条 S 形曲线 -增长曲线增长曲线。增长曲线增长曲线 是描绘经济指标随时间变化呈某种生物变化规律的一种曲线。 用增长增长曲线曲线进行预测的方法称为增长增长曲线曲线预测法。它是一种很常用的方法。 例如新技术、新产品的开发和更新换代过程新技术、新产品的开发和更新换代过程 ,, 需求增长需求增长规律等均可用增长曲线增长曲线来描述。

增长曲线预测方法增长曲线预测方法

1.1. 人类增长曲线人类增长曲线

年龄 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

身高 48 76 112 140 168 172 176 178 180 181

人类身高的成长曲线的生长规律如表人类身高的成长曲线的生长规律如表 5-15-1 所示 单位：所示 单位： cmcm

年龄

身高

图 人身高成长曲线图 人身高成长曲线

一、例子一、例子

如表 是南瓜重量随时间变化的生长曲线。

天 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

克 120 200 400 1000 2600 3300 3800 4300 4900 5100 5300 5400

图 南瓜重量生长曲线天

重量

2.2. 生物增长曲线生物增长曲线

如图 自行车寿命周期曲线

导入期 成长期 成熟期 衰推期t

销量

3. 商品寿命曲线

1.1.ModelModel

其中：其中： a,b—a,b— 参数，参数，

t—t— 时间序列时间序列 ,,

yytt— — 经济目标值 经济目标值

bb ＞＞11

00 ＜＜ bb ＜＜ 11

图 简单指数型增长曲线图

tt aby

( 0( 0 ，， aa))

t

（ 1）

（一）简单指数（一）简单指数yt

2.2.Application conditionApplication condition 当时间序列呈单纯的增加或减少的趋势，且当时间序列呈单纯的增加或减少的趋势，且各期各期的增长率或减少率基本相等的增长率或减少率基本相等，则可用指数曲线描述时，则可用指数曲线描述时间序列是比较好的。间序列是比较好的。

tt aby

将（将（ 11 ）取对数，有：）取对数，有：

ty

ba

btay

t

t

lg

lg,lg

lglglg （（ 22 ））

（（ 33 ））

由由 (3)(3) 和和 (4)(4) 可知：可知： ① ①其对数曲线方程为一条直线其对数曲线方程为一条直线 ;;

② ②其对数曲线一阶差分为一常数。其对数曲线一阶差分为一常数。

bttyy tt lg)1(lglg 1

3.3.CharacteristicCharacteristic

（（ 44 ））

bbab

bab

y

y

bababkabkyyy

t

t

t

t

tttttt

)1(

)1(

)1()()(

2

1

1

111

一阶差分环比为：

其一阶差分为：

2. Characteristic2. Characteristic

一阶差分环比指数为一常数一阶差分环比指数为一常数。。

1.1.ModelModel （（ 11 ））tt abky

（二）修正指数曲线（二）修正指数曲线 (Amend exponential curve)

k＞ 0 ， 0 ＜ a＜ 1 ， 0＜ b＜ 1

y00=K+a

图 7-6 修正曲线的几种类型

ty

t

ky ty

tyty

t

tt

图 (d) 衰退后期

图（ b ）饱和期图 (a) 成长期

图（ c ） 衰退期前期

ky 0

k＞ 0 ， a ＞ 1 ， b ＞ 1

k＞ 0 ， 0 ＜ a＜ 1 ，b ＞ 1

k＞ 0 ， a ＞ 0 ， 0＜ b＜ 1

ky

ky 0

3.3. 修正曲线模型的几种类型图修正曲线模型的几种类型图

t

t

tt

abky

abky

1

1

式中 ::k,a,b 为待定参数 .由 (1) 可得一阶、二阶导数为：

(1)

(2)

2

2

3

ln0

( )

(ln ) ( )

( )

0,

t

t t

t t

t t

t

ab by

k ab

ab b k aby

k ab

y

取 可得曲线的一拐点为：

（三）罗吉斯曲线（三）罗吉斯曲线1.1.ModelModel

ln ln 1,

ln 2k

k at y

b k

（ ）

k ＞ 0 ， a＞1

0＜ b＜ 1图 罗吉斯曲线罗吉斯曲线

y0=1/(k+a)

y∞∞ =1/k••

2.2.characteristiccharacteristic 罗吉斯罗吉斯曲线拐点左侧呈上凹趋势，过了该拐点后曲线拐点左侧呈上凹趋势，过了该拐点后曲线转变为向下凹趋势。曲线转变为向下凹趋势。（ 11 ）当）当 t=0t=0 时时 ,, 有：有： yy00 =1/k+a, =1/k+a,（（ 22 ）当）当 t→∞t→∞时， 时， yytt →1/k →1/k 当当 t→-∞t→-∞时， 时， yytt →0 →0 都是罗吉斯曲线的渐进线。都是罗吉斯曲线的渐进线。罗吉斯曲线形状与龚柏兹曲线形状很相似罗吉斯曲线形状与龚柏兹曲线形状很相似，它所描述，它所描述的经济变量的变化规律也是开始缓慢增长，而后逐渐的经济变量的变化规律也是开始缓慢增长，而后逐渐加快，达到拐点后，增长率减缓，最后达到一临界值。加快，达到拐点后，增长率减缓，最后达到一临界值。

tt abky

1

1.1.ModelModel （（ 11 ））tb

t kay

（（ 33））

（（ 22 ））

2.2.Characteristic Characteristic 导数的导数的一阶差分环比指数为一常数或其对数方程一阶差分环比指数为一常数或其对数方程为一修正曲线为一修正曲线。

常数

)1(

1

)1(

)1(111

1

1

1

21

21

1

1

bbbb

bb

bb

bb

t

t

bbt

ttt

aaaka

aka

kaka

kaka

y

y

kakayyyy

t

t

tt

tt

tt

abky tt lglglg1 ）可得：或由（

tt baky 11lg 则有：

（四）龚柏兹曲线（四）龚柏兹曲线 (Gompertz curve)

00 ＜＜ aa ＜＜ 1 1 ，， 00 ＜＜ bb＜＜ 11

y00=K

ty

t

ky

ty

tytyt

t t图图 (d) (d) 衰退期衰退期

图（图（ aa ）成长期和成熟前期）成长期和成熟前期 图图 (b) (b) 成熟期后半期和衰退期成熟期后半期和衰退期

图（图（ cc）成长期）成长期

ky

00 ＜＜ aa ＜＜ 11 ，， b b ＞ ＞ 11

a a ＞ ＞ 1 1 ，， b b ＞ ＞ 11

a a ＞ ＞ 11 ， ， 00＜＜ bb＜＜ 11

ky

ky

y00=K

4.4. 龚柏兹曲线的几种类型图龚柏兹曲线的几种类型图 3.3.应用范围应用范围 耐用消费品或技术含量较高商品的市场需求变化。

1.1. 常用的增长曲线常用的增长曲线 (In common use the growth curve ) 修正曲线、龚柏兹曲线、罗吉斯曲线。修正曲线、龚柏兹曲线、罗吉斯曲线。 利用这三种曲线可描述产品市场增长周期的不同阶利用这三种曲线可描述产品市场增长周期的不同阶段段 ,,从而揭示产品增长周期销售何时由某一阶段向另一从而揭示产品增长周期销售何时由某一阶段向另一阶段的转变阶段的转变 ,, 预测产品的市场需求潜量、最大销售量以预测产品的市场需求潜量、最大销售量以及达到饱和状态的时间等。及达到饱和状态的时间等。 2.2.Forecast method Forecast method

常用的方法有常用的方法有 :: 三和法、三点法、最小二乘法三和法、三点法、最小二乘法等。等。 3.3.ActionAction

当极限值 k 可确定 , 可采用最小二乘法可简化计算；不能确定时就用三和法或三点法 ; 当时间序列数据收集资料不全的情况下用三点法。

（五）增长曲线预测法（五）增长曲线预测法

以修正曲线为例，具体步骤如下：以修正曲线为例，具体步骤如下：11 、将时间序列分为项数相等的三段，每段的项数为、将时间序列分为项数相等的三段，每段的项数为 rr

(r=n/3,n(r=n/3,n 为时间序列总项数为时间序列总项数 )) ，若原序列项数不能被，若原序列项数不能被 33整除，需删除序列最初一期或两期数据；整除，需删除序列最初一期或两期数据；22 、时间序列、时间序列 tt 取值 取值 第一段，第一段， 00 ，， 11 ， ， ……，， r-1r-1 ；； 第二段，第二段， r, rr, r+1, …+1, … ，， 2r-1;2r-1;

第三段，第三段， 22r, r, 2r+1, …2r+1, … , 3r-1; , 3r-1;

33 、分别求出序列每段数据的和、分别求出序列每段数据的和 第一，第二，第三段数据的和分别用第一，第二，第三段数据的和分别用∑∑ 11YYtt 、 、 ∑∑ 22YYtt 、 、 ∑∑ 33YYtt 表示，表示，

二、三和法二、三和法 (Trisect method)

1

1)(

1

1)(

1

1)(

213

23

12

2

1

01

b

babrkabkY

b

babrkabkY

b

barkabkY

rr

r

rt

tt

rr

r

rt

tt

rr

t

tt

解此方程组，得 a,b,k 值：

)1

1(

1)1(

1)(

1

22 1

2 1

3 2

b

baY

rk

b

bYYa

YY

YYb

r

t

rtt

r

tt

tt

三和法举例三和法举例 某地区电冰箱销售资料如表所示，试预测 2005 年的销售量和达到饱和状态的时间。 某地区电冰箱销售资料 单位：万台年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

销售量 256 390 498 586 656 714 762 800 830

解：解： (1)(1)画散点图画散点图∵环比系数为 0.81,0.81,0.80,0.83,0.79,0.79,大体相同，∴用修正曲线进行预测。N=9,r=3,t=0,1,2,……,8,计算得∑ 11Ytt=1142, ∑ 22Ytt =1956, ∑ 33Ytt=2392

1 2 3 4 5 6 7 8 9

900

600

300•

• •• • • • • •

3 2 33

2 1

- 2392 -1956= = = 0.813

- 1956 -1142t

t

Y Yb

Y Y

46.7091813.0

1813.0)11421956(

3

a

4.966)]46.709(1813.0

1813.01142[

3

13

k

故所求得的修正指数曲线模型为：tt

t abKY 813.046.7094.966

将 t=9 代入上式模型可得 2003年的销售量：)(4.856813.046.7094.966 9

9 万台

Y在 t=23 时，所求得的修正指数曲线模型为：

.2017,4.96696423

本饱和年该地区电冰箱需求基即在万台接近，与饱和期销售量

Y

这种方法是用在观察数据不全观察数据不全的情况下，假定曲线通过已知的相邻间隔相等的三个点（必要条件）（必要条件），现假设：

)1(

)1(),3()2(

2,,0

,,,

21

10

22

1

00

210

nn

n

n

n

tt

babyy

bayy

aky

abky

akabky

nnt

abky

nyyy

同理：

有：

代入上式，有用

由修整指数增长模型个时间单位分别间隔(1)

(3)

(5)

(6)

（ 2）（ 4）

三、三点法三、三点法 (Three point method)

(5) ÷(6)有：

n

nn

nn

yy

yyb

bba

bab

yy

yy

10

21

10

21

)1(

)1(

(7)

(8)

将（ 7）代入（ 5 ）有：

210

210

10

21

10

yy2y

yy

yy

yy1

yya

)( （ 9）

将（ 9）代入（ 2 ）得：

210

2120

0 2 yyy

yyyayk

（ 10）

将 a,b,k 代入（ 1 ），即可得预测值。

characteristiccharacteristic⒈在计算模型参数时，仅用了三个数据点，因而选用数据时，要尽量未受要尽量未受到随机因素干扰的数据到随机因素干扰的数据，因此，在可能情况下，最好选均值。最好选均值。⒉计算简单。

作业作业⒈常用的增长曲线是指简单指数、修正指数、————和————曲线。⒉对于某一产品销售量时间序列，当一阶差分近似相等，其曲线可近似用————数学模型描述。⒊对于某一产品销售量时间序列，当各期销售量倒数一阶差分近似相等，其曲线可近似用————数学模型描述。⒋当产品的销售量接近罗吉斯曲线的 1/k ，说明产品由成长发展到市场————⒌龚伯兹是一条不对称的 S 曲线， k 为曲线的上渐进线，其经济意义为市场———状态下的需求量。

————本章完——本章完——